Signaux physiques (PCSI)/Optique géométrique : lentilles minces

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Retour sur les systèmes dioptriques « centrés », exemple des lentilles sphériques, cas particulier des précédentes : les lentilles minces

     Rappel : Un système dioptrique centré est un cas particulier de « système optique (dioptrique) » $\;{\big [}$paragraphe du chap.$12$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »${\big ]}\;$ à caractère « centré » $\;{\big [}$paragraphe du chap.$13$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »${\big ]}$ $\;{\big (}$c.-à-d. possédant un axe de symétrie de révolution${\big )}$.

Retour sur les systèmes dioptriques « centrés »

     Il n'y a « pas stigmatisme rigoureux » pour les systèmes dioptriques centrés , mais on admet que l'utilisation de « rayons incidents paraxiaux » $\;{\big [}$voir le paragraphe « énoncé des conditions de Gauss de stigmatisme approché d'un système optique centré » du chap.$13$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »${\big ]}\;$ confère aux systèmes dioptriques centrés le « stigmatisme approché » ;

     de même il n'y a « pas aplanétisme rigoureux » pour les systèmes dioptriques centrés, mais on admet que l'utilisation d'« objets linéiques transverses “vus de la face d'entrée” sous un petit angle » $\;{\big [}$voir le paragraphe « conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché d'un système optique centré » du chap.$13$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » ${\big ]}\;$ confère aux systèmes dioptriques centrés l'« aplanétisme approché » ;

     un système dioptrique centré est dit

Schéma de définition d'un système dioptrique centré afocal

• « afocal » si le point à l'infini de l'axe optique principal est un point double, cela entraîne que
  « afocal » $\succ \;$ tout rayon incident $\;\parallel \;$ à l'axe optique principal émerge parallèlement à ce même axe, et que
  « afocal » $\succ \;$ tout pinceau incident $\;\parallel \;$ à l'axe optique principal émerge en un pinceau $\;\parallel \;$ à ce même axe mais non nécessairement de même diamètre $\;{\big (}$voir figure ci-contre${\big )}$ ;

     « afocal » comme il y a aplanétisme approché, « un objet linéique transverse du plan de front à l'infini donne une image linéique transverse du même plan de front à l'infini » mais non nécessairement superposable, cela entraîne que
« afocal » $\succ \;$ tout pinceau incident $\;\parallel \;$ de direction inclinée relativement à l'axe optique principal émerge en un pinceau $\;\parallel \;$ d'inclinaison par rapport à ce même axe a priori différente $\;{\big (}$voir figure ci-contre${\big )}$ ;

Schémas de définition des foyers principaux d'un système dioptrique centré focal

• « focal » si le point objet à l'infini de l'axe optique principal est conjugué d'un point image à distance finie, ce dernier étant le « foyer principal image » noté $\;F_{i}\;$ soit «$\;A_{o,\,\infty }\;{\stackrel {\mathcal {D}}{\longrightarrow }}\;F_{i}\;$» $\;{\big (}$voir la disposition de gauche de la figure ci-contre${\big )}\;$ et
  « focal » si le point image à l'infini de l'axe optique principal a pour conjugué un point objet à distance finie, ce dernier étant le « foyer principal objet » noté $\;F_{o}\;$ soit «$\;F_{o}\;{\stackrel {\mathcal {D}}{\longrightarrow }}\;A_{i,\,\infty }\;$» $\;{\big (}$voir la disposition de droite de la figure ci-contre${\big )}$ ;

Schémas de définition de foyers secondaires d'un système dioptrique centré focal suivant l'axe optique secondaire choisi

« focal » chacun des points du « plan focal image », c.-à-d. du plan de front passant par le foyer principal image $\;F_{i}$, étant l'image du point objet à l'infini d'une direction $\;(\delta _{o})\;$ inclinée relativement à l'axe optique principal $\;\Delta \;$ est appelé « foyer secondaire image $\;\varphi _{i}(\delta _{o})\;$ associé à la direction $\;(\delta _{o})\;$ soit $\;B_{o,\,\infty \,{\text{de}}\,\delta _{o}}\;{\stackrel {\mathcal {D}}{\longrightarrow }}\;\varphi _{i}(\delta _{o})\;$» $\;{\big (}$voir la disposition de gauche de la figure ci-contre${\big )}\;$ et
« focal » chacun des points du « plan focal objet », c.-à-d. du plan de front passant par le foyer principal objet $\;F_{o}$, étant conjugué du point image à l'infini d'une direction $\;(\delta _{i})\;$ inclinée relativement à l'axe optique principal $\;\Delta \;$ est appelé « foyer secondaire objet $\;\varphi _{o}(\delta _{i})\;$ associé à la direction $\;(\delta _{i})\;$ soit $\;\varphi _{o}(\delta _{i})\;{\stackrel {\mathcal {D}}{\longrightarrow }}\;B_{i,\,\infty \,{\text{de}}\,\delta _{i}}\;$» $\;{\big (}$voir la disposition de droite de la figure ci-contre${\big )}$.

Exemple de systèmes dioptriques « centrés » : les lentilles sphériques

     Une lentille sphérique « épaisse » est la juxtaposition de deux « dioptres sphériques » de même espace optique intermédiaire d'indice $\;n$, les deux espaces optiques extrêmes $\;{\big (}$celui d'entrée et celui de sortie${\big )}\;$ étant le plus souvent l'air d'indice $\;n_{\text{air}}\simeq 1,00$ ;

     le 1^er dioptre sphérique « le dioptre d'entrée » noté $\;{\mathcal {D}}_{e}\;$ ayant pour centre de courbure $\;C_{e}\;$ et pour sommet $\;Se\;$ et
     le 2^ème dioptre sphérique « le dioptre de sortie » noté $\;{\mathcal {D}}_{s}\;$ ayant pour centre de courbure $\;C_{s}\;$ et pour sommet $\;S_{s}\;$,
     on algébrise physiquement l'axe optique principal de la face d'entrée vers la face de sortie en définissant l'épaisseur de la lentille sphérique par $\;e={\overline {S_{e}S_{s}}}\;$ ;
     on introduit également les rayons de courbure « algébrisés »  :

• le rayon de courbure $\;{\big (}$algébrisé${\big )}\;$ de la face d'entrée $\;{\overline {R}}_{e}={\overline {S_{e}C_{e}}}\;$,
• le rayon de courbure $\;{\big (}$algébrisé${\big )}\;$ de la face de sortie $\;{\overline {R}}_{s}={\overline {S_{s}C_{s}}}\;$.

• 
  Exemples de lentilles convergentes : biconvexe, plan-convexe et ménisque convergent
• 
  Exemples de lentilles divergentes : biconcave, plan-concave et ménisque divergent

     Une lentille sphérique peut être :

• biconvexe $\;{\big (}$voir ci-dessus le 1^er schéma à partir de la gauche${\big )}\;$ si la face d'entrée est « convexe », la face de sortie étant « concave » $\;{\big [}$on peut citer un cas particulier de lentille biconvexe, la lentille « boule », les rayons de courbure non algébrisés y sont les mêmes, les centres de courbure étant confondus et l'épaisseur égale à deux fois le rayon de courbure commun non algébrisé ${\big ]}$,
• plan - convexe $\;{\big (}$voir ci-dessus les 2^èmes schémas à partir de la gauche${\big )}\;$ si la face d'entrée est « convexe », la face de sortie étant « plane » $\;{\big [}$cas particulier de lentille plan - convexe, la lentille « demi-boule », le centre de courbure de la face sphérique étant confondu avec le sommet de la face plane et l'épaisseur étant égale au rayon de courbure non algébrisé de la face sphérique ${\big ]}$,
• ménisque convergent $\;{\big (}$voir ci-dessus les 3^èmes schémas à partir de la gauche${\big )}\;$ si la face d'entrée est « convexe », la face de sortie étant « convexe » de rayon non algébrisé plus grand que celui de la face d'entrée ,
• biconcave $\;{\big (}$voir ci-dessus le 4^ème schéma à partir de la gauche${\big )}\;$ si la face d'entrée est « concave », la face de sortie étant « convexe » ,
• plan - concave $\;{\big (}$voir ci-dessus les 5^èmes schémas à partir de la gauche${\big )}\;$ si la face d'entrée est « concave », la face de sortie étant « plane » et
• ménisque divergent $\;{\big (}$voir ci-dessus les 6^èmes schémas à partir de la gauche${\big )}\;$ si la face d'entrée est « concave », la face de sortie étant « concave » de rayon non algébrisé plus grand que celui de la face d'entrée .

Lentille demi-boule non diaphragmée et absence de stigmatisme rigoureux pour le point à l'$\infty \;$ de l'axe optique principal $\;\Delta$, stigmatisme approché pour le même point si la lentille demi-boule est suffisamment diaphragmée

     Caractère « stigmatique non rigoureux mais approché » d'une lentille « demi-boule » pour le point à l'infini de son axe optique principal $\;{\big (}$voir schéma ci-contre, la demi-boule étant d'indice «$\;n\simeq 1,50\;$»${\big )}$ :

     les rayons incidents étant $\;\parallel \;$ à l'axe optique principal traversent le 1^er dioptre plan air - verre sans être déviés puis
       les rayons incidents étant // à l'axe optique principal arrivant sur le 2^ème dioptre sphérique verre - air sous un angle d'incidence d'autant plus grand en valeur absolue que le point d'incidence sur ce dioptre sphérique est éloigné de l'axe optique principal $\;\Delta$,
       les rayons incidents étant // à l'axe optique principal subissent une réflexion totale sur ce dioptre sphérique verre - air dès lors que « leur angle d'incidence est, en valeur absolue $\;\geqslant \;$ à l'angle limite du dioptre $\;{\mathit {l}}=\arcsin \left({\dfrac {1}{n}}\right)\simeq$ $41,8\,{\text{°}}\;$» $\;{\bigg \{}$c.-à-d. pour les rayons incidents dont la distance à l'axe optique principal $\;\Delta \;$ est $\;h\geqslant R\;\sin({\mathit {l}})={\dfrac {R}{n}}$ $\simeq {\dfrac {2\;R}{3}}{\bigg \}}\;$ ou
       les rayons incidents étant // à l'axe optique principal émergent par réfraction sur ce dioptre sphérique verre - air en suivant les 1^ère et 2^ème lois de Snell-Descartes de la réfraction dès lors que « leur angle d'incidence est, en valeur absolue $\;\leqslant \;$ à l'angle limite du dioptre $\;{\big \{}$les rayons réfractés étant d'autant plus inclinés en direction de l'axe optique principal $\;\Delta \;$ que la distance séparant le rayon incident de $\;\Delta \;$ est grande ${\big \}}$ ;

• on observe l'absence de convergence ponctuelle d'un faisceau parallèle à l'axe optique principal couvrant la quasi totalité de la face d'entrée $\;{\big (}$voir schéma ci-dessus à droite${\big )}\;$ d'où l'« absence de stigmatisme rigoureux de la lentille demi-boule pour le point à l'infini de l'axe optique principal » , par contre
• si on limite suffisamment la largeur du faisceau parallèle à l'aide d'un diaphragme positionné contre la face d'entrée $\;{\big (}$en rouge sur le schéma ci-dessus à droite${\big )}$, on observe l'apparition d'une « convergence ponctuelle en $\;F_{i}\;$» , ce qui justifie le « stigmatisme approché de la lentille demi-boule pour le point à l'infini de l'axe optique principal ».

Cas particulier de lentilles sphériques : les lentilles minces

     Une lentille sphérique est dite « mince » si « son épaisseur est très petite » soit encore si « les sommets des faces d'entrée et de sortie peuvent être confondus » ou «$\;S_{e}\simeq S_{s}\;$» ;

     nous admettrons le stigmatisme et l'aplanétisme « approchés » d'une lentille sphérique mince dans les conditions de Gauss à savoir

• l'utilisation de « rayons incidents paraxiaux » $\;{\big [}$voir le paragraphe « énoncé des conditions de Gauss de stigmatisme approché d'un système optique centré » du chap.$13$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »${\big ]}\;$ pour le stigmatisme approché et
•          celle d'« objets linéiques transverses “vus de la face d'entrée” sous un petit angle » $\;{\big [}$voir le paragraphe « conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché d'un système optique centré » du chap.$13$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » ${\big ]}\;$ pour l'aplanétisme approché.

Centre optique d'une lentille mince, son axe optique principal et ses axes optiques secondaires

Définition du centre optique d'une lentille mince

Centre optique d'une lentille mince

     Le « centre optique d'une lentille mince, usuellement noté $\;O\;$», est le « sommet commun $\;S_{e}\simeq S_{s}\;$ des dioptres d'entrée et de sortie de la lentille sphérique que la lentille mince modélise dans les conditions de faible épaisseur ».

Axe optique principal d'une lentille mince

     L'« axe optique principal d'une lentille mince » est l'« axe de symétrie, noté $\;\Delta$, de la lentille sphérique que la lentille mince modélise dans les conditions de faible épaisseur »,
     L'« axe optique principal d'une lentille mince » son algébrisation physique est dans le sens de la propagation $\;{\big (}$comme pour tout système dioptrique centré${\big )}$ ;
     L'« axe optique principal d'une lentille mince » «$\;\Delta \;$ est la $\;\perp \;$ commune en $\;O$, centre optique de la lentille mince, aux faces d'entrée et de sortie de cette dernière ».

Axes optiques secondaires d'une lentille mince

     Les « axes optiques secondaires d'une lentille mince » sont les « associations d'un rayon incident passant par le centre optique $\;O$, incliné par rapport à l'axe optique principal $\;\Delta$, et
     Les « axes optiques secondaires d'une lentille mince » sont les « associations de l'émergent correspondant » .

Rappel des conditions de Gauss de stigmatisme et d'aplanétisme approchés d'une lentille mince

     Conditions de Gauss du stigmatisme approché d'une lentille mince : « les rayons incidents doivent être paraxiaux » $\;{\big [}$c.-à-d. peu inclinés relativement à l'axe optique principal $\;\Delta \;$ et dont le point d'incidence reste proche du centre optique $\;O\;$${\big ]}$.

     Conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché d'une lentille mince : « si l'objet linéique transverse n'est pas proche du centre optique $\;O\;$ il doit être vu de $\;O\;$ sous un petit angle $\;\beta \;$» et
     Conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché d'une lentille mince : « s'il en est proche il doit être de petites dimensions » .

Propriété d'un rayon incident passant par le centre optique d'une lentille mince, stigmatisme rigoureux de cette dernière pour son centre optique et notion de point double

Propriété d'un rayon incident passant par le centre optique d'une lentille mince

Propriété des rayons incidents passant par le centre optique d'une lentille mince

     « Tout rayon incident passant par le centre optique $\;O\;$ d'une lentille mince » n'est pas dévié « quelle que soit l'inclinaison du rayon par rapport à l'axe optique principal $\;\Delta \;$».

Déviation d'un rayon incident par une lentille sphérique d'épaisseur $\;e\;$ tel que le rayon intermédiaire passe par $\;O\;$ et limite quand $\;e\rightarrow 0$

     Tentative de justification à partir de l'observation du tracé sur une lentille sphérique épaisse biconvexe quand cette dernière devient mince :
     Tentative de justification Ci-contre un rayon incident de point d'incidence $\;I\;$ sur la face d'entrée d'une lentille sphérique d'épaisseur $\;e\;$ donnant
     Tentative de justification Ci-contre un rayon émergent de point d'incidence $\;J\;$ sur la face de sortie de cette dernière avec
     Tentative de justification Ci-contre un rayon intermédiaire coupant l'axe optique principal de celle-ci en un point $\;O\;\in \,\left[IJ\right]$ ;
     Tentative de justification en $\;I\;$ le rayon intermédiaire s'est rapproché de la normale au dioptre d'entrée par rapport au rayon incident et
     Tentative de justification en $\;J\;$ il est plus éloigné de la normale au dioptre de sortie que le rayon émergent ,
               Tentative de justification ces deux effets antagonistes n'étant pas réalisés relativement à une même direction $\;{\big [}$la normale au dioptre d'entrée en $\;I\;$ n'étant pas confondue avec la normale au dioptre de sortie en $\;J{\big ]}$, cela fournit une direction pour le rayon émergent a priori différente de celle du rayon incident ;
     Tentative de justification toutefois si on fait tendre, par la pensée, l'épaisseur $\;e\;$ vers $\;0$, le point $\;I\;$ et le point $\;J\;$ tendent tous deux vers le centre optique $\;O\;$ de la lentille mince qui modélise la lentille sphérique d'épaisseur infiniment petite et
          Tentative de justification toutefois si on fait tendre, par la pensée, l'épaisseur e vers 0, la normale au dioptre d'entrée en $\;I\;$ et celle au dioptre de sortie en $\;J\;$ tendent toutes deux vers la normale commune aux faces d'entrée et de sortie de la lentille mince en $\;O\;$ c.-à-d. vers l'axe optique principal $\;\Delta \;$ de cette dernière,
          Tentative de justification toutefois si on fait tendre, par la pensée, l'épaisseur e vers 0, le rayon incident tendant vers un rayon incident faisant l'angle d'incidence $\;i_{e}\;$ avec $\;\Delta$,
          Tentative de justification toutefois si on fait tendre, par la pensée, l'épaisseur e vers 0, le rayon intermédiaire tendant vers un rayon intermédiaire de longueur tendant vers $\;0\;$ faisant un angle $\;i_{\text{interm}}\;$ avec $\;\Delta \;$ et
          Tentative de justification toutefois si on fait tendre, par la pensée, l'épaisseur e vers 0, le rayon émergent tendant vers un rayon émergent faisant l'angle d'émergence $\;i_{s}\;$ avec $\;\Delta \;$
          Tentative de justification toutefois si on fait tendre, par la pensée, l'épaisseur e vers 0, tels que «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}\sin(i_{e})=n\,\sin(i_{\text{interm}})\\n\,\sin(i_{\text{interm}})=\sin(i_{s})\end{array}}\right\rbrace \;$» c.-à-d. tels que «$\;i_{e}=i_{s}\;$», donc une absence de déviation du rayon émergent relativement au rayon incident et ceci quelle que soit la valeur de l'angle d'incidence.

Conséquence sur les axes optiques secondaires d'une lentille mince

     Une 1^ère conséquence est qu'« un axe optique secondaire d'une lentille mince formé d'un rayon incident passant par le centre optique de cette dernière en étant incliné d'un angle $\;\beta \;$ relativement à l'axe optique principal $\;\Delta \;$ et de l'émergent correspondant » est une « droite${\underline {\;(\delta )\;}}$passant par${\underline {\;O}}\;$ en étant inclinée de l'angle $\;\beta \;$ relativement à $\;\Delta \;$», l'inclinaison pouvant être quelconque.

Centre optique, point double de la lentille mince et stigmatisme rigoureux de cette dernière pour le centre optique

     Une 2^ème conséquence est qu'« un faisceau convergent au centre optique $\;O\;$ d'une lentille mince poursuit sans déviation en divergeant à partir de $\;O\;$» et on en déduit que :

• $\;O\;$ étant sa propre image $\;{\big [}O\;{\stackrel {\mathcal {L}}{\longrightarrow }}\;O{\big ]}\;$ est un « point double »,
• le caractère ponctuel de l'image étant indépendant de l'ouverture du faisceau, « la lentille sphérique mince est stigmatique rigoureux pour le centre optique ».

Caractère focal d'une lentille mince, foyers principal objet et principal image, plans focaux, foyers secondaire objet et secondaire image associés à un axe optique secondaire

Lentille sphérique mince : système focal

     Une lentille sphérique mince est un système « focal » c.-à-d. que

• le point à l'infini de l'axe optique principal $\;\Delta \;$ a pour image un point de $\;\Delta \;$ à distance finie et
• il existe un point de $\;\Delta \;$ à distance finie ayant pour image le point à l'infini de $\;\Delta \;$ ;

     on peut également dire que « le point à l'infini de${\underline {\;\Delta \;}}$n'est pas un point double ».

Foyer principal objet, foyer principal image

     $\succ \;$Le « foyer principal objet $\;F_{o}\;$ d'une lentille mince » est le « point de l'axe optique principal $\;\Delta \;$ ayant pour image $\;A_{i,\,\infty }\;$ le point à l'infini de $\;\Delta \;$»

soit «$\;F_{o}\;{\stackrel {\mathcal {L}}{\longrightarrow }}\;A_{i,\,\infty }\;$» ; une conséquence est que

             Le « foyer principal objet F_o d'une lentille mince »« tout rayon incident passant $\;{\big (}$réellement ou virtuellement${\big )}\;$ par $\;F_{o}\;$ émerge parallèlement à l'axe optique principal $\;\Delta \;$».

     $\succ \;$Le « foyer principal image $\;F_{i}\;$ d'une lentille mince » est le « point de l'axe optique principal $\;\Delta$, image de $\;A_{o,\,\infty }\;$ le point à l'infini de $\;\Delta \;$»

soit «$\;A_{o,\,\infty }\;{\stackrel {\mathcal {L}}{\longrightarrow }}\;F_{i}\;$» ; une conséquence est que

             Le « foyer principal image F_i d'une lentille mince »« tout rayon incident $\;\parallel \;$ à l'axe optique principal $\;\Delta \;$ émerge en passant $\;{\big (}$réellement ou virtuellement${\big )}\;$ par $\;F_{i}\;$».

     $\succ \;$On établit que «$\;F_{o}\;$ et $\;F_{i}\;$ occupent des positions géométriquement symétriques relativement à $\;O\;$» .

     $\succ \;$On distingue deux types de lentilles minces suivant le caractère réel ou virtuel des foyers principaux :

• les lentilles convergentes $\;{\big (}$biconvexe, plan convexe et ménisque convergent${\big )}\;$ pour lesquelles les foyers principaux objet et image sont réels $\;{\big (}$voir ci-dessous à gauche avec la représentation symbolique d'une lentille convergente${\big )}\;$ et
• les lentilles divergentes $\;{\big (}$biconcave, plan concave et ménisque divergent${\big )}\;$ pour lesquelles les foyers principaux objet et image sont virtuels $\;{\big (}$voir ci-dessous à droite avec la représentation symbolique d'une lentille divergente${\big )}$.

• 
  Positionnement des foyers principaux objet et image d'une lentille mince convergente avec la représentation symbolique de cette dernière
• 
  Positionnement des foyers principaux objet et image d'une lentille mince divergente avec la représentation symbolique de cette dernière

Plan focal objet, plan focal image, foyer secondaire objet associé à un axe optique secondaire, foyer secondaire image associé à un axe optique secondaire

     $\succ \;$Le « plan focal objet est le plan de front passant par le foyer principal objet $\;F_{o}\;$», il est de même nature que le foyer principal objet à savoir « réel pour une lentille convergente » et « virtuel pour une lentille divergente » ;

     $\succ \;$le « plan focal image est le plan de front passant par le foyer principal image $\;F_{i}\;$», il est de même nature que le foyer principal image à savoir « réel pour une lentille convergente » et « virtuel pour une lentille divergente ».

     $\succ \;$L'« intersection d'un axe optique secondaire $\;\delta \;$ avec le plan focal objet » définit « le foyer secondaire objet associé à cet axe optique secondaire » noté «$\;\varphi _{o,\,\delta }\;$»  ;
            L'« intersection d'un axe optique secondaire δ avec le plan focal objet » c'est aussi, dans la mesure où l'axe optique secondaire $\;\delta \;$ est peu incliné relativement à l'axe optique principal $\;\Delta \;$, « le point de l'axe optique secondaire ayant pour image le point à l'infini de cet axe »

soit «$\;\varphi _{o,\,\delta }\;{\stackrel {\mathcal {L}}{\longrightarrow }}\;B_{i,\;\infty \,{\text{de}}\,\delta }\;$» ; une conséquence est que

            L'« intersection d'un axe optique secondaire δ avec le plan focal objet » « tout rayon incident passant $\;{\big (}$réellement ou virtuellement${\big )}\;$ par $\;\varphi _{o,\,\delta }\;$ émerge parallèlement à $\;\delta \;$»  ;
     $\succ \;$l'« intersection d'un axe optique secondaire $\;\delta \;$ avec le plan focal image » définit « le foyer secondaire image associé à cet axe optique secondaire » noté «$\;\varphi _{i,\,\delta }\;$»  ;
            l'« intersection d'un axe optique secondaire δ avec le plan focal image » c'est aussi, dans la mesure où l'axe optique secondaire $\;\delta \;$ est peu incliné relativement à l'axe optique principal $\;\Delta \;$, « le point de l'axe optique secondaire, image du point à l'infini de cet axe »

soit «$\;B_{o,\;\infty \,{\text{de}}\,\delta }\;{\stackrel {\mathcal {L}}{\longrightarrow }}\;\varphi _{i,\,\delta }\;$» ; une conséquence est que

            l'« intersection d'un axe optique secondaire δ avec le plan focal image » « tout rayon incident $\;\parallel \;$ à $\;\delta \;$ émerge en passant $\;{\big (}$réellement ou virtuellement${\big )}\;$ par $\;\varphi _{i,\,\delta }\;$» .

Distance focale et vergence d'une lentille mince

     $\succ \;$La « distance focale objet d'une lentille mince est la distance algébrique $\;f_{o}={\overline {OF_{o}}}\;$» , elle est telle que :

• «$\;f_{o}<0\;$ pour une lentille mince convergente » et
• «$\;f_{o}>0\;$ pour une lentille mince divergente » ;

     $\succ \;$la « distance focale image d'une lentille mince est la distance algébrique $\;f_{i}={\overline {OF_{i}}}\;$» , elle est telle que :

• «$\;f_{i}>0\;$ pour une lentille convergente » et
• «$\;f_{i}<0\;$ pour une lentille divergente » ;

     $\succ \;$les foyers principaux objet $\;F_{o}\;$ et image $\;F_{i}\;$ d'une lentille mince étant géométriquement symétriques relativement au centre optique $\;O\;$ de cette dernière,
          les « distances focale objet et image de la lentille mince sont opposées » c.-à-d. «$\;f_{o}=-f_{i}\;$».

     $\succ \;$La « vergence d'une lentille mince est définie selon $\;C={\dfrac {1}{f_{i}}}=-{\dfrac {1}{f_{o}}}\;$» ,
                          elle est exprimée en « dioptries de symbole $\;\delta \;$», les distances focales étant alors en $\;m\;$ soit «$\;1\;\delta =1\;m^{-1}\;$» ;

• si «$\;C>0\;$ la lentille est convergente », les foyers principaux objet et image étant « réels » ;
                      $\blacktriangleright \;$ « un faisceau incident divergeant à partir de $\;F_{o}\;$ émerge parallèlement » et
                      $\blacktriangleright \;$ « un faisceau incident $\;\parallel \;$ converge vers $\;F_{i}\;$» ;
• si «$\;C<0\;$ la lentille est divergente », les foyers principaux objet et image étant « virtuels » ;
                      $\blacktriangleright \;$ « un faisceau incident convergeant virtuellement vers $\;F_{o}\;$ ${\big (}$situé au-delà de $\;{\mathcal {L}}{\big )}\;$ émerge parallèlement » et
                      $\blacktriangleright \;$ « un faisceau incident $\;\parallel \;$ diverge virtuellement à partir de $\;F_{i}\;$ ${\big (}$situé en-deçà de $\;{\mathcal {L}}{\big )}\;$».

Construction de l'image d'un objet linéique transverse situé à distance finie (ou de l'objet conjugué d'une image linéique transverse située à distance finie) à l'aide de rayons lumineux

Construction de l'image d'un objet linéique transverse situé à distance finie à l'aide de rayons lumineux judicieusement choisis

     Soit «$\;A_{o}B_{o}\;$ l'objet linéique transverse dont on cherche à déterminer l'image $\;A_{i}B_{i}\;$ dans les conditions de stigmatisme et d'aplanétisme approchés de la lentille mince », pour faire ceci il suffit de
                            déterminer « l'image $\;B_{i}\;$ de l'objet $\;B_{o}\;$»,
                            déterminer «l'image«$\;A_{i}\;$ le pied de l'image $\;A_{i}B_{i}\;$ s'obtenant en projetant orthogonalement $\;B_{i}\;$ sur l'axe optique principal $\;\Delta \;$» ;

     on considère alors « deux rayons incidents issus du point objet $\;B_{o}\;$ parmi les trois particuliers » :

• un rayon incident passant par $\;O\;$ n'étant pas dévié, le point image $\;B_{i}\;$ appartient $\;{\big (}$réellement ou virtuellement${\big )}\;$ à ce rayon émergent,
• un rayon incident $\;\parallel \;$ à l'axe optique principal $\;\Delta \;$ émergeant en passant $\;{\big (}$réellement ou virtuellement${\big )}\;$ par le foyer principal image $\;F_{i}$, le point image $\;B_{i}\;$ appartient $\;{\big (}$réellement ou virtuellement${\big )}\;$ à ce rayon émergent ou
• un rayon incident passant $\;{\big (}$réellement ou virtuellement${\big )}\;$ par le foyer principal objet $\;F_{o}\;$ émergeant parallèlement à l'axe optique principal$\;\Delta$, le point image $\;B_{i}\;$ appartient $\;{\big (}$réellement ou virtuellement${\big )}\;$ à ce rayon émergent ;

     au final le point image $\;B_{i}\;$ est l'intersection des deux rayons émergents « choisis »  ;

     voir schémas ci-dessous : à gauche, objet réel en deçà du plan focal objet d'une lentille mince convergente, l'image est réelle inversée,
     voir schémas ci-dessous : au centre, objet réel entre plan focal objet et face d'entrée d'une lentille mince convergente, l'image est virtuelle droite agrandie ,
     voir schémas ci-dessous : à droite, objet virtuel, l'image par une lentille mince convergente est réelle droite.

• 
  Construction de l'image par une lentille mince convergente d'un objet linéique transverse situé en deçà du plan focal objet
• 
  Construction de l'image par une lentille mince convergente d'un objet linéique transverse situé entre le plan focal objet et la face d'entrée
• 
  Construction de l'image par une lentille mince convergente d'un objet linéique transverse virtuel

• 
  Construction de l'image par une lentille mince divergente d'un objet linéique transverse réel
• 
  Construction de l'image par une lentille mince divergente d'un objet linéique transverse virtuel situé entre la face de sortie et le plan focal objet
• 
  Construction de l'image par une lentille mince divergente d'un objet linéique transverse virtuel situé au-delà du plan focal objet

     voir schémas ci-dessus : à gauche, objet réel, l'image par une lentille mince divergente est virtuelle droite,
     voir schémas ci-dessus : au centre, objet virtuel entre face de sortie et plan focal objet d'une lentille mince divergente, l'image est réelle droite agrandie,
     voir schémas ci-dessus : à droite, objet virtuel au-delà du plan focal objet d'une lentille mince divergente, l'image est virtuelle inversée.

Construction de l'objet conjugué d'une image linéique transverse située à distance finie à l'aide de rayons lumineux judicieusement choisis

     Soit «$\;A_{i}B_{i}\;$ l'image linéique transverse dont on cherche à déterminer l'objet conjugué $\;A_{o}B_{o}\;$ dans les conditions de stigmatisme et d'aplanétisme approchés de la lentille mince », pour faire ceci il suffit
                           de déterminer «$\;B_{o}\;$ l'objet conjugué de l'image $\;B_{i}\;$»,
                           de déterminer «$\;A_{o}\;$ le pied de l'objet $\;A_{o}B_{o}\;$ s'obtenant en projetant orthogonalement $\;B_{o}\;$ sur l'axe optique principal $\;\Delta \;$» ;

     on considère alors « deux rayons émergents passant par le point image $\;B_{i}\;$ parmi les trois particuliers » :

• un rayon émergent passant par $\;O\;$ provenant d'un rayon incident non dévié, le point objet $\;B_{o}\;$ appartient $\;{\big (}$réellement ou virtuellement${\big )}\;$ à ce rayon incident,
• un rayon émergent $\;\parallel \;$ à l'axe optique principal $\;\Delta \;$ correspondant à un incident passant $\;{\big (}$réellement ou virtuellement${\big )}\;$ par le foyer principal objet $\;F_{o}$, le point objet $\;B_{o}\;$ appartient $\;{\big (}$réellement ou virtuellement${\big )}\;$ à ce rayon incident ou
• un rayon émergent passant $\;{\big (}$réellement ou virtuellement${\big )}\;$ par le foyer principal image $\;F_{i}\;$ correspondant à un incident $\;\parallel \;$ à l'axe optique principal $\;\Delta$, le point objet $\;B_{o}\;$ appartient $\;{\big (}$réellement ou virtuellement${\big )}\;$ à ce rayon incident ;

     au final le point objet $\;B_{o}\;$ est l'intersection des deux rayons émergents « choisis »  ;

schémas identiques à ceux du paragraphe précédent mais en partant de l'image et en remontant vers l'objet.

Construction de l'image d'un objet linéique transverse situé à distance infinie ou dans le plan focal objet

Construction de l'image d'un objet linéique transverse situé à l'infini et tracés des pinceaux émergents associés aux pinceaux incidents parallèles

     Soit «$\;A_{o,\,\infty }B_{o,\,\infty \,{\text{de}}\,\delta }\;$ l'objet linéique transverse à l'infini dont on cherche l'image par une lentille mince, $\;A_{o,\,\infty }\;$ étant le point à l'infini de l'axe optique principal de cette dernière » ;
                                          « l'image de $\;A_{o,\,\infty }\;$ étant le foyer principal image $\;F_{i}\;$» et
                                          la lentille étant aplanétique $\;{\big (}$approchée${\big )}$, l'image de $\;A_{o,\,\infty }B_{o,\,\infty \,{\text{de}}\,\delta }\;$ est dans le plan focal image de la lentille, par suite
                                          la lentille étant aplanétique ( approchée ),« l'image de $\;B_{o,\,\infty \,{\text{de}}\,\delta }\;$ est le foyer secondaire image $\;\varphi _{i,\,\delta }\;$ associé à l'axe optique secondaire $\;\delta \;$», c.-à-d. que
                                          la lentille étant aplanétique ( approchée ),« l'image de $\;A_{o,\,\infty }B_{o,\,\infty \,{\text{de}}\,\delta }\;$ est $\;A_{i}B_{i}=F_{i}\varphi _{i,\,\delta }\;$» ;
                                          il suffit alors de déterminer « le foyer secondaire image $\;\varphi _{i,\,\delta }\;$ associé à l'axe optique secondaire $\;\delta \;$»,
                                          il suffit alors de déterminer les pinceaux émergents correspondant aux pinceaux $\;\parallel \;$ issus de $\;A_{o,\,\infty }\;$ convergeant en $\;F_{i}\;$ et
                                  il suffit alors de déterminer les pinceaux émergentsceux correspondant aux pinceaux $\;\parallel \;$ issus de $\;B_{o,\,\infty \,{\text{de}}\,\delta }\;$ convergeant en $\;\varphi _{i,\,\delta }$ ;

     voir schémas ci-dessous : à gauche l'image de l'objet réel $\;A_{o,\,\infty }B_{o,\,\infty \,{\text{de}}\,\delta }\;$ par une lentille convergente, l'image est réelle inversée dans le plan focal image,
     voir schémas ci-dessous : à droite l'image de l'objet réel $\;A_{o,\,\infty }B_{o,\,\infty \,{\text{de}}\,\delta }\;$ par une lentille divergente, l'image est virtuelle droite dans le plan focal image.

• 
  Construction de l'image, par une lentille mince convergente, d'un objet linéique transverse situé à l'infini
• 
  Construction de l'image, par une lentille mince divergente, d'un objet linéique transverse situé à l'infini

Construction de l'image d'un objet linéique transverse situé dans le plan focal objet et tracé du cheminement des pinceaux

     Soit «$\;A_{o}B_{o}\;$ l'objet linéique transverse dans le plan focal objet dont on cherche l'image par une lentille mince, $\;A_{o}\;$ étant le point de l'axe optique principal de cette dernière » ;
                                          «$\;A_{o}\;$ coïncidant avec le foyer principal objet $\;F_{o}\;$», « son image est le point à l'infini $\;A_{i,\,\infty }\;$ de l'axe optique principal » et
                                          la lentille étant aplanétique $\;{\big (}$approchée${\big )}$, l'image de $\;A_{o}B_{o}\;$ est dans le plan focal image de la lentille, par suite
                                          la lentille étant aplanétique ( approchée ),« l'image de $\;B_{o}\;$ coïncide avec le foyer secondaire image $\;\varphi _{i,\,\delta }\;$ associé à l'axe optique secondaire $\;\delta \;$», c.-à-d. que
                                          la lentille étant aplanétique ( approchée ),« l'image de $\;A_{o}B_{o}=F_{o}\varphi _{o}\;$ est $\;A_{i,\,\infty }B_{i,\,\infty \,{\text{de}}\,\delta }\;$» ;
                                          il suffit alors de déterminer « l'axe optique secondaire $\;\delta \;$ associé au foyer secondaire objet $\;\varphi _{o}=B_{o}\;$»,
                                          il suffit alors de déterminer les pinceaux émergents correspondant aux pinceaux incidents issus de $\;A_{o}\;$ émergeant $\;\parallel \;$ à l'axe optique principal et
                                  il suffit alors de déterminer les pinceaux émergentsceux correspondant aux pinceaux incidents issus de $\;B_{o}\;$ émergeant $\;\parallel \;$ à l'axe optique secondaire $\;\delta$ ;

     voir schémas ci-dessous : à gauche l'image de l'objet réel $\;A_{o}B_{o}\;$ dans le plan focal objet d'une lentille convergente, l'image est réelle inversée à l'infini,
     voir schémas ci-dessous : à droite l'image de l'objet virtuel $\;A_{o}B_{o}\;$ dans le plan focal objet d'une lentille divergente, l'image est réelle droite à l'infini.

• 
  Construction de l'image, par une lentille mince convergente, d'un objet linéique transverse réel situé dans le plan focal objet
• 
  Construction de l'image, par une lentille mince divergente, d'un objet linéique transverse virtuel situé dans le plan focal objet

Construction de l'image d'un objet ponctuel situé sur l'axe optique principal à distance finie (ou de l'objet conjugué d'une image ponctuelle située sur l'axe optique principal à distance finie) par utilisation de la notion de foyers secondaires

Construction de l'image d'un objet ponctuel situé sur l'axe optique principal à distance finie par utilisation des foyers secondaires

     Soit «$\;A_{o}\;$ un objet ponctuel de l'axe optique principal $\;\Delta \;$ d'une lentille mince » par laquelle on cherche à déterminer l'image $\;A_{i}$, $\;{\big (}$avec l'objet ponctuel à distance finie sur $\;\Delta \;$${\big )}$, la lentille étant stigmatique $\;{\big (}$approché${\big )}\;$ il suffit de
                      « choisir un rayon incident paraxial passant par $\;A_{o}\;$» et de
                      « déterminer le rayon émergent correspondant »,
                      ce dernier devant « passer par $\;A_{i}\;$» d'une part et d'autre part « l'image d'un point de l'axe optique principal $\;\Delta \;$ étant un point de $\;\Delta \;$»,
                      «$\;A_{i}\;$ est déterminée par l'intersection du rayon émergent avec l'axe optique principal » ;
     les rayons incidents les plus pratiques parmi ceux possibles à choisir sont :

• un rayon incident $\;{\big (}$ou son prolongement${\big )}\;$ passant $\;{\big (}$réellement ou virtuellement${\big )}\;$ par $\;A_{o}\;$ coupant le plan focal objet en $\;\varphi _{o}\;$ d'axe optique secondaire associé $\;\delta$, support de $\;O\varphi _{o}$, émerge, à partir du point d'incidence $\;I\;$ sur la lentille, parallèlement à $\;\delta \;$ ou
• un rayon incident $\;{\big (}$ou son prolongement${\big )}\;$ passant $\;{\big (}$réellement ou virtuellement${\big )}\;$ par $\;A_{o}$, $\;\parallel \;$ à un axe optique secondaire $\;\delta '\;$, l'axe optique secondaire $\;\delta '\;$ coupant le plan focal image de la lentille en $\;\varphi _{i,\;\delta '}$, foyer secondaire image associé à $\;\delta '$, émerge, à partir du point d'incidence $\;I\;$ sur la lentille, en passant $\;{\big (}$réellement ou virtuellement${\big )}\;$ par $\;\varphi _{i,\;\delta '}$ ;

     voir schémas ci-dessous : à gauche la construction de l'image par une lentille mince convergente d'un objet réel avec utilisation de la notion de foyer secondaire objet,
     voir schémas ci-dessous : à droite la construction de l'image par une lentille mince convergente d'un objet réel avec utilisation de la notion de foyer secondaire image.

• 
  Construction de l'image par une lentille mince convergente d'un objet ponctuel réel par utilisation de la notion de foyer secondaire objet
• 
  Construction de l'image par une lentille mince convergente d'un objet ponctuel réel par utilisation de la notion de foyer secondaire image

Construction de l'objet conjugué d'une image ponctuelle située sur l'axe optique principal à distance finie par utilisation des foyers secondaires

     Soit «$\;A_{i}\;$ une image ponctuelle de l'axe optique principal $\;\Delta \;$ d'une lentille mince » par laquelle on cherche à déterminer l'objet conjugué $\;A_{o}$, $\;{\big (}$avec l'image ponctuelle à distance finie sur $\;\Delta \;$${\big )}$, la lentille étant stigmatique $\;{\big (}$approché${\big )}\;$ il suffit de
                      « choisir un rayon émergent paraxial passant par $\;A_{i}\;$» et de
                      « déterminer le rayon incident correspondant »,
                      ce dernier devant « passer par $\;A_{o}\;$» d'une part et d'autre part « l'objet conjugué d'un point de l'axe optique principal $\;\Delta \;$ étant un point de $\;\Delta \;$»,
                      «$\;A_{o}\;$ est déterminée par l'intersection du rayon incident avec l'axe optique principal » ;
     les rayons émergents les plus pratiques parmi ceux possibles à choisir sont :

• un rayon émergent $\;{\big (}$ou son prolongement${\big )}\;$ passant $\;{\big (}$réellement ou virtuellement${\big )}\;$ par $\;A_{i}\;$ coupant le plan focal image en $\;\varphi _{i}\;$ d'axe optique secondaire associé $\;\delta$, support de $\;O\varphi _{i}$, correspond à un incident, en deçà du point d'incidence $\;I\;$ sur la lentille, $\;\parallel \;$ à $\;\delta \;$ ou
• un rayon émergent $\;{\big (}$ou son prolongement${\big )}\;$ passant $\;{\big (}$réellement ou virtuellement${\big )}\;$ par $\;A_{i}$, $\;\parallel \;$ à un axe optique secondaire $\;\delta '\;$, l'axe optique secondaire $\;\delta '\;$ coupant le plan focal objet de la lentille en $\;\varphi _{o,\;\delta '}$, foyer secondaire objet associé à $\;\delta '$, correspond à un incident, en deçà du point d'incidence $\;I\;$ sur la lentille, passant $\;{\big (}$réellement ou virtuellement${\big )}\;$ par $\;\varphi _{o,\;\delta '}$ ;

     voir schémas ci-dessous : à gauche la construction de l'objet conjugué par une lentille mince divergente d'une image réelle avec utilisation de la notion de foyer secondaire image,
     voir schémas ci-dessous : à droite la construction de l'objet conjugué par une lentille mince divergente d'une image réelle avec utilisation de la notion de foyer secondaire objet.

• 
  Construction de l'objet conjugué par une lentille mince divergente d'une image ponctuelle réelle par utilisation de la notion de foyer secondaire image
• 
  Construction de l'objet conjugué par une lentille mince divergente d'une image ponctuelle réelle par utilisation de la notion de foyer secondaire objet

Relations de conjugaison approchée de Descartes et de Newton d'une lentille mince

Orientation des espaces objet et image

     Chaque espace objet ou image est « orienté à droite » avec choix d'une « base $\;{\big (}$commune${\big )}\;$ orthonormée directe » $\;{\big (}$c.-à-d. déterminée par la « règle de la main droite » ${\big )}\;$ dont

• « le 1^er vecteur est celui orientant l'axe optique principal dans sa partie incidente ou émergente » ,
• « les 2^ème et 3^ème orientant les plans transverses objets ou images »,
  $\;\succ \;$« le 2^ème étant commun aux deux espaces, choisi $\;\parallel \;$ à l'objet linéique transverse $\;A_{o}B_{o}\;$ étudié »,
  $\;\succ \;$« le 3^ème, également commun aux deux espaces, orientant les angles du plan d'incidence et d'émergence ».

Repérage de Descartes des points objet et image

     L'« origine des abscisses objet et image de Descartes des points de l'axe optique principal $\;\Delta \;$ d'une lentille mince », $\;{\big (}\Delta \;$ étant préalablement algébrisé dans le sens incident de propagation de la lumière${\big )}$, « est commune choisie au centre optique $\;O\;$ de cette dernière » ;

• un « point objet $\;A_{o}\;$ de l'axe optique principal est repéré par son abscisse objet de Descartes $\;p_{o}={\overline {OA_{o}}}\;$» «$\;<0\;$ pour un objet réel » et «$\;>0\;$ pour un objet virtuel »  ;
• un « point image $\;A_{i}\;$ de l'axe optique principal est repéré par son abscisse image de Descartes $\;p_{i}={\overline {OA_{i}}}\;$» «$\;>0\;$ pour une image réelle » et «$\;<0\;$ pour une image virtuelle » .

Repérage de Newton des points objet et image

     L'« origine des abscisses objet et image de Newton des points de l'axe optique principal $\;\Delta \;$ d'une lentille mince », $\;{\big (}\Delta \;$ étant préalablement algébrisé dans le sens incident de propagation de la lumière${\big )}$, « est choisie différemment suivant la nature objet ou image du point à repérer », l'origine étant choisie
          L'« origine des abscisses objet et image de Newton au foyer principal objet $\;F_{o}\;$ de la lentille pour un point objet et
          L'« origine des abscisses objet et image de Newton au foyer principal image $\;F_{i}\;$ de cette dernière pour un point image ;

• un « point objet $\;A_{o}\;$ de l'axe optique principal est repéré par son abscisse objet de Newton $\;\sigma _{o}={\overline {F_{o}A_{o}}}\;$» «$\;<0\;$ pour un objet situé en deçà du foyer principal objet $\;F_{o}\;$» et «$\;>0\;$ pour un objet situé au-delà du foyer principal objet »  ;
• un « point image $\;A_{i}\;$ de l'axe optique principal est repéré par son abscisse image de Newton $\;\sigma _{i}={\overline {F_{i}A_{i}}}\;$» «$\;>0\;$ pour une image située au-delà du foyer principal image $\;F_{i}\;$» et «$\;<0\;$ pour une image située en deçà du foyer principal image $\;F_{i}\;$» .

Relations de conjugaison approchée de Descartes

     La 1^ère relation de conjugaison $\;{\big (}$approchée${\big )}$ $\;{\big [}$ou relation de conjugaison $\;{\big (}$approchée${\big )}$ de position${\big ]}\;$ de Descartes traduit le stigmatisme approché de la lentille mince pour un point objet $\;A_{o}\;$ de l'axe optique principal et

     la 2^ème relation de conjugaison $\;{\big (}$approchée${\big )}$ $\;{\big [}$ou relation de conjugaison $\;{\big (}$approchée${\big )}$ de grandissement transverse${\big ]}\;$ de Descartes traduit l'aplanétisme approché de cette lentille mince pour un objet linéique transverse $\;A_{o}B_{o}$.

Première relation de conjugaison (ou relation de conjugaison de position) de Descartes

Début d’un théorème

1^ère relation de conjugaison de Descartes d'une lentille mince

     Les abscisses objet et image de Descartes des points $\;A_{o}\;$ et $\;A_{i}\;$ conjugués sur l'axe optique principal $\;\Delta \;$ d'une lentille mince de centre optique $\;O\;$ sont liées, si $\;A_{o}\neq O\;$, par la relation

«$\;{\dfrac {1}{p_{i}}}-{\dfrac {1}{p_{o}}}=V\;$» où $\;V\;$ est la vergence de la lentille mince,
$\;p_{o}={\overline {OA_{o}}}\;$ et $\;p_{i}={\overline {OA_{i}}}\;$ étant respectivement les abscisses de Descartes de $\;A_{o}\;$ et $\;A_{i}$.

Fin du théorème

     L'application de la relation de conjugaison de position de Descartes au couple $\;\left(F_{o}\,,\,A_{i,\,\infty }\right)\;$ conduit à $\;{\cancel {\dfrac {1}{p_{i}\rightarrow \infty }}}-{\dfrac {1}{f_{o}}}=V\;$ soit «$\;V=-{\dfrac {1}{f_{o}}}\;$» et

           L'application de la relation de conjugaison de position de Descartes au couple $\;\left(A_{o,\,\infty }\,,\,F_{i}\right)\;$ conduit à $\;{\dfrac {1}{f_{i}}}-{\cancel {\dfrac {1}{p_{o}\rightarrow \infty }}}=V\;$ soit «$\;V={\dfrac {1}{f_{i}}}\;$».

Deuxième relation de conjugaison (ou relation de conjugaison de grandissement transverse) de Descartes

     Rappel de la définition du grandissement transverse d'un objet linéique transverse  : $\;A_{o}B_{o}\;$ étant un objet linéique transverse de pied $\;A_{o}\;$ sur l'axe optique principal $\;\Delta \;$ d'une lentille mince et $\;A_{i}B_{i}\;$ son image $\;{\big (}$linéique transverse ${\big )}\;$ par cette dernière, on définit la grandissement transverse de l'objet $\;A_{o}B_{o}\;$ par la lentille selon «$\;G_{t}(A_{o})={\dfrac {\overline {A_{i}B_{i}}}{\overline {A_{o}B_{o}}}}\;$».

Début d’un théorème

2^ème relation de conjugaison de Descartes d'une lentille mince

     Les abscisses objet $\;p_{o}={\overline {OA_{o}}}\;$ et image $\;p_{i}={\overline {OA_{i}}}\;$ de Descartes des pieds des objet et image linéiques transverses $\;A_{o}B_{o}\;$ et $\;A_{i}B_{i}\;$ conjugués par une lentille mince de centre optique $\;O\;$ étant liées, si $\;A_{o}\neq O\;$, par la 1^ère relation de conjugaison de position de Descartes , le grandissement transverse de $\;A_{o}B_{o}\;$ par la lentille obéit à la relation

«$\;G_{t}(A_{o})={\dfrac {p_{i}}{p_{o}}}\;$».

Fin du théorème

     Si «$\;(p_{o}\,,\,p_{i})\;$ sont de même signe », le grandissement transverse est « positif », l'image est qualifiée de « droite » et

     si «$\;(p_{o}\,,\,p_{i})\;$ sont de signe contraire », le grandissement transverse est « négatif », l'image est qualifiée d'« inversée » .

Relations de conjugaison approchée de Newton

     Comme pour celles de Descartes , la 1^ère relation de conjugaison $\;{\big (}$approchée${\big )}$ $\;{\big [}$ou relation de conjugaison $\;{\big (}$approchée${\big )}$ de position${\big ]}\;$ de Newton traduit le stigmatisme approché de la lentille mince pour un point objet $\;A_{o}\;$ de l'axe optique principal $\;\Delta \;$ et

          Comme pour celles de Descartes, la 2^ème relation de conjugaison $\;{\big (}$approchée${\big )}$ $\;{\big [}$ou relation de conjugaison $\;{\big (}$approchée${\big )}$ de grandissement transverse${\big ]}\;$ de Newton traduit l'aplanétisme approché de cette lentille mince pour un objet linéique transverse $\;A_{o}B_{o}$.

Première relation de conjugaison (ou relation de conjugaison de position) de Newton

Début d’un théorème

1^ère relation de conjugaison de Newton d'une lentille mince

     Les abscisses objet et image de Newton des points $\;A_{o}\;$ et $\;A_{i}\;$ conjugués sur l'axe optique principal $\;\Delta \;$ d'une lentille mince de foyers principaux objet $\;F_{o}\;$ et image $\;F_{i}\;$ sont liées, si $\;A_{o}\neq F_{o}\;$ et $\;\neq A_{o,\,\infty }\;$, par la relation

«$\;\sigma _{i}\;\sigma _{o}=f_{i}\;f_{o}\;$» avec
où «$\;f_{i}\;$» et «$\;f_{o}=-f_{i}\;$» respectivement les distances focales image et objet de la lentille,
«$\;\sigma _{o}={\overline {F_{o}A_{o}}}\;$» et «$\;\sigma _{i}={\overline {F_{i}A_{i}}}\;$» respectivement les abscisses de Newton de $\;A_{o}\;$ et $\;A_{i}$.

Fin du théorème

     L'application de la relation de conjugaison de position de Newton au point objet « centre optique $\;O\;$ de la lentille », permet de vérifier la « propriété de point double de ce dernier » car
           L'application de la relation de conjugaison de position de Newton l'abscisse objet de Newton de $\;O\;$ valant «$\;\sigma _{o}={\overline {F_{o}O}}=-f_{o}\;$», la 1^ère relation de conjugaison de Newton $\Rightarrow$
           L'application de la relation de conjugaison de position de Newton l'abscisse image de Newton de l'image de $\;O$, «$\;\sigma _{i}={\dfrac {f_{i}\;f_{o}}{\sigma _{o}}}=-f_{i}={\overline {F_{i}O}}\;$» $\Rightarrow$ l'« image de $\;O\;$ est $\;O\;$» .

Deuxième relation de conjugaison (ou relation de conjugaison de grandissement transverse) de Newton

     Voir le paragraphe « 2^ème relation de conjugaison (ou relation de conjugaison de grandissement transverse) de Descartes (rappel de la définition du grandissement transverse d'un objet linéique transverse) » plus haut dans ce chapitre.

Début d’un théorème

2^ème relation de conjugaison de Newton d'une lentille mince

     L'abscisse objet $\;\sigma _{o}={\overline {F_{o}A_{o}}}\;$ de Newton du pied de l'objet linéique transverse $\;A_{o}B_{o}\;$ étant connue, le grandissement transverse de $\;A_{o}B_{o}\;$ par la lentille obéit à la relation

«$\;G_{t}(A_{o})=-{\dfrac {f_{o}}{\sigma _{o}}}\;$» si $\;A_{o}\neq F_{o}\;$ et $\;\neq A_{o,\,\infty }\;$ ;

     l'abscisse objet $\;\sigma _{o}={\overline {F_{o}A_{o}}}\;$ de Newton du pied de l'objet linéique transverse $\;A_{o}B_{o}\;$ étant connue et l'abscisse image $\;\sigma _{i}={\overline {F_{i}A_{i}}}\;$ de Newton du pied de l'image linéique transverse $\;A_{i}B_{i}\;$ étant déterminée par la 1^ère relation de conjugaison de Newton , le grandissement transverse de $\;A_{o}B_{o}\;$ par la lentille obéit à la relation

«$\;G_{t}(A_{o})=-{\dfrac {\sigma _{i}}{f_{i}}}\;$» si $\;A_{o}\neq F_{o}\;$ et $\;\neq A_{o,\,\infty }\;$.

Fin du théorème

     Si «$\;(\sigma _{o}\,,\,f_{o})\;$ ${\big [}$respectivement $\;(\sigma _{i}\,,\,f_{i}){\big ]}\;$ sont de même signe », le grandissement transverse est « négatif », l'image est qualifiée d'« inversée » et

     si «$\;(\sigma _{o}\,,\,f_{o})\;$ ${\big [}$respectivement $\;(\sigma _{i}\,,\,f_{i}){\big ]}\;$ sont de signe contraire », le grandissement transverse est « positif », l'image est qualifiée de « droite » .

Établissement des relations de conjugaison d'une lentille mince à partir de la construction de l'image d'un objet linéique transverse

Constructions fondamentales de l'image d'un objet linéique transverse pour démontrer les relations de conjugaison de Descartes et de Newton

Construction de l'image réelle $\;A_{i}B_{i}\;$ d'un objet linéique transverse réel $\;A_{o}B_{o}\;$ par une lentille mince convergente utilisant trois rayons incidents issus de $\;B_{o}$,
$\succ \;$le 1^er passant par $\;O$,
$\succ \;$le 2^ème $\;\parallel \;$ à l'axe optique principal et
$\succ \;$le 3^ème passant par $\;F_{o}\;$

     On construit l'image $\;A_{i}B_{i}\;$ d'un « objet linéique transverse réel » $\;A_{o}B_{o}\;$ par une lentille sphérique mince « convergente » dans le cas où « l'image est réelle » en utilisant trois rayons incidents issus de $\;B_{o}$ :

• un 1^er représenté par $\;-\!\!\!>\!\!-\;$ passant par le centre optique $\;O$, n'est pas dévié $\;{\big (}$son émergent est aussi représenté par $\;-\!\!\!>\!\!-{\big )}$,
• un 2^nd représenté par $\;-\!\!\!>\!\!>\!\!-\;$ $\parallel \;$ à l'axe optique principal, émerge par le point d'incidence $\;H\;$ sur la lentille en passant par le foyer principal image $\;F_{i}$ $\;{\big (}$cet émergent est aussi représenté par $\;-\!\!\!>\!\!>\!\!-{\big )}\;$ et
• un 3^ème représenté par $\;-\!\!\!>\!\!>\!\!>\!\!-\;$ passant par le foyer principal objet $\;F_{o}$, émerge par le point d'incidence $\;K\;$ sur la lentille parallèlement à l'axe optique principal $\;{\big (}$cet émergent est aussi représenté par $\;-\!\!\!>\!\!>\!\!>\!\!-{\big )}$ ;

     le point image $\;B_{i}$, conjugué de $\;B_{o}\;$ par la lentille, est alors à l'intersection des trois rayons émergents, $\;A_{i}\;$ s'obtenant en projetant orthogonalement $\;B_{i}\;$ sur l'axe optique principal de cette dernière.

Démonstration des trois relations de conjugaison de grandissement transverse de Descartes et de Newton

     On utilise la similitude de triangles ayant pour sommet commun respectivement $\;O$, $\;F_{i}\;$ et $\;F_{o}$ ;

• on évalue la valeur absolue du grandissement transverse par «similitude des triangles $\;A_{o}B_{o}O\;$ et $\;A_{i}B_{i}O\;$» soit «$\;{\dfrac {A_{i}B_{i}}{A_{o}B_{o}}}={\dfrac {OA_{i}}{OA_{o}}}\;$» et on détermine le signe en passant aux mesures algébriques d'où «$\;{\dfrac {\overline {A_{i}B_{i}}}{\overline {A_{o}B_{o}}}}={\dfrac {\overline {OA_{i}}}{\overline {OA_{o}}}}\;$» en effet sur la figure $\;{\overline {A_{i}B_{i}}}>0$, $\;{\overline {A_{o}B_{o}}}<0$, $\;{\overline {OA_{i}}}>0\;$ et $\;{\overline {OA_{o}}}<0\;$ soit finalement « la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes »
  «$\;G_{t}(A_{o})={\dfrac {\overline {OA_{i}}}{\overline {OA_{o}}}}={\dfrac {p_{i}}{p_{o}}}\;$» ;
• on évalue la valeur absolue du grandissement transverse par similitude des triangles «$\;OHF_{i}\;$ et $\;A_{i}B_{i}F_{i}\;$» soit, avec «$\;OH=A_{o}B_{o}$, $\;{\dfrac {A_{i}B_{i}}{A_{o}B_{o}}}={\dfrac {F_{i}A_{i}}{OF_{i}}}\;$» et on détermine le signe en passant aux mesures algébriques d'où «$\;{\dfrac {\overline {A_{i}B_{i}}}{\overline {A_{o}B_{o}}}}=-{\dfrac {\overline {F_{i}A_{i}}}{\overline {OF_{i}}}}\;$» en effet sur la figure $\;{\overline {A_{i}B_{i}}}>0$, $\;{\overline {A_{o}B_{o}}}<0$, $\;{\overline {F_{i}A_{i}}}>0\;$ et $\;{\overline {OF_{i}}}>0\;$ soit finalement « une des deux relations de conjugaison de grandissement transverse de Newton »
  «$\;G_{t}(A_{o})=-{\dfrac {\overline {F_{i}A_{i}}}{\overline {OF_{i}}}}=-{\dfrac {\sigma _{i}}{f_{i}}}\;$» ;
• on évalue la valeur absolue du grandissement transverse par similitude des triangles «$\;A_{o}B_{o}F_{o}\;$ et $\;OKF_{o}\;$» soit, avec «$\;OK=A_{i}B_{i}$, $\;{\dfrac {A_{i}B_{i}}{A_{o}B_{o}}}={\dfrac {OF_{o}}{F_{o}A_{o}}}\;$» et on détermine le signe en passant aux mesures algébriques d'où «$\;{\dfrac {\overline {A_{i}B_{i}}}{\overline {A_{o}B_{o}}}}=-{\dfrac {\overline {OF_{o}}}{\overline {F_{o}A_{o}}}}\;$» en effet sur la figure $\;{\overline {A_{i}B_{i}}}>0$, $\;{\overline {A_{o}B_{o}}}<0$, $\;{\overline {F_{o}A_{o}}}<0\;$ et $\;{\overline {OF_{o}}}<0\;$ soit finalement « l'autre des deux relations de conjugaison de grandissement transverse de Newton »
  «$\;G_{t}(A_{o})=-{\dfrac {\overline {OF_{o}}}{\overline {F_{o}A_{o}}}}=-{\dfrac {f_{o}}{\sigma _{o}}}\;$».

Démonstration des deux relations de conjugaison de position de Descartes et de Newton

     Introduction : On se sert des relations de conjugaison de grandissement transverse déterminées précédemment $\;{\big [}$voir le paragraphe « démonstration des trois relations de conjugaison de grandissement transverse de Descartes et de Newton » plus haut dans ce chapitre${\big ]}$.

     Démonstration de la relation de conjugaison de position de Newton  : on égale les deux expressions de grandissement transverse de Newton d'où $\;G_{t}(A_{o})=$ «$\;-{\dfrac {\sigma _{i}}{f_{i}}}=-{\dfrac {f_{o}}{\sigma _{o}}}\;$» et par « égalité des produits des extrêmes et des moyens »  on obtient « la relation de conjugaison de position de Newton »

«$\;\sigma _{i}\;\sigma _{o}=f_{i}\;f_{o}\;$».

     Démonstration de la relation de conjugaison de position de Descartes  : on égale une des expressions de grandissement transverse de Newton , par exemple «$\;G_{t}(A_{o})=-{\dfrac {\sigma _{i}}{f_{i}}}\;$»,
           Démonstration de la relation de conjugaison de position de Descartes : on égale à celle de Descartes «$\;G_{t}(A_{o})=-{\dfrac {p_{i}}{p_{o}}}\;$» d'où «$\;-{\dfrac {\sigma _{i}}{f_{i}}}={\dfrac {p_{i}}{p_{o}}}\;$», puis
           Démonstration de la relation de conjugaison de position de Descartes : on fait le changement d'origine sur l'abscisse de Newton de $\;A_{i}\;$ de façon à ne conserver que le repérage de Descartes «$\;\sigma _{i}=$ ${\overline {F_{i}A_{i}}}={\overline {OA_{i}}}-{\overline {OF_{i}}}=p_{i}-f_{i}\;$» ce qui donne «$\;-{\dfrac {p_{i}-f_{i}}{f_{i}}}={\dfrac {p_{i}}{p_{o}}}\;$» ou encore «$\;-{\dfrac {p_{i}}{f_{i}}}+1={\dfrac {p_{i}}{p_{o}}}\;$» et,
           Démonstration de la relation de conjugaison de position de Descartes : en divisant de part et d'autre par $\;p_{i}$, la relation «$\;-{\dfrac {1}{f_{i}}}+{\dfrac {1}{p_{i}}}={\dfrac {1}{p_{o}}}\;$» c.-à-d.
        Démonstration de la relation de conjugaison de position de Descartes : en divisant de part et d'autre par $\;\color {transparent}{p_{i}}$, « la relation de conjugaison de position de Descartes »

«$\;{\dfrac {1}{p_{i}}}-{\dfrac {1}{p_{o}}}={\dfrac {1}{f_{i}}}\;$» encore écrit selon «$\;{\dfrac {1}{p_{i}}}-{\dfrac {1}{p_{o}}}=V\;$» où «$\;V={\dfrac {1}{f_{i}}}\;$ est la vergence de la lentille ».

Grandissement angulaire d'un pinceau lumineux, relation de Lagrange-Helmholtz

Expression de Descartes du grandissement angulaire d'un pinceau lumineux issu d'un point objet de l'axe optique principal

Schéma de définition du grandissement angulaire d'un pinceau lumineux issu d'un point objet de l'axe optique principal d'une lentille mince convergente

     On considère un pinceau lumineux issu du point objet $\;A_{o}\;$ de direction d'abscisse angulaire «$\;\theta _{o}={\widehat {({\overrightarrow {\Delta }}\,,\,{\overrightarrow {A_{o}I}})}}\;$» où $\;{\overrightarrow {\Delta }}\;$ est l'axe optique principal orienté dans le sens de la propagation et $\;I\;$ le point d'incidence du rayon moyen du pinceau sur la lentille, le pinceau émergent correspondant passant par $\;A_{i}\;$ de direction d'abscisse angulaire définie par «$\;\theta _{i}={\widehat {({\overrightarrow {\Delta }}\,,\,{\overrightarrow {IA_{i}}})}}\;$» $\;{\big (}$voir schéma ci-contre${\big )}$ ;

     le grandissement angulaire du pinceau issu de $\;A_{o}\;$ ${\big [}$voir le paragraphe « définition du grandissement angulaire d'un pinceau lumineux issu d'un point objet » du chap.$12$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »${\big ]}\;$ se définit selon

«$\;G_{a}(A_{o})={\dfrac {\theta _{i}}{\theta _{o}}}\;$».

• Pour évaluer $\;\theta _{o}$, on explicite $\;\tan(\vert \theta _{o}\vert )={\dfrac {OI}{OA_{o}}}\;$ puis on algébrise en utilisant le schéma $\;\theta _{o}>0$, $\;{\overline {OI}}>0\;$ et $\;{\overline {OA_{o}}}<0\;$ soit $\;\tan(\theta _{o})$ $=-{\dfrac {\overline {OI}}{\overline {OA_{o}}}}\;$ et enfin on utilise une « condition de Gauss de stigmatisme approché $\;\vert \theta _{o}\vert \ll 1\;$» d'où «$\;\tan(\theta _{o})\simeq \theta _{o}\;$» et par suite «$\;\theta _{o}\simeq -{\dfrac {\overline {OI}}{\overline {OA_{o}}}}=-{\dfrac {\overline {OI}}{p_{o}}}\;$» ;
• pour évaluer $\;\theta _{i}$, on explicite $\;\tan(\vert \theta _{i}\vert )={\dfrac {OI}{OA_{i}}}\;$ puis on algébrise en utilisant le schéma $\;\theta _{i}<0$, $\;{\overline {OI}}>0\;$ et $\;{\overline {OA_{i}}}>0\;$ soit $\;\tan(\theta _{i})=-{\dfrac {\overline {OI}}{\overline {OA_{i}}}}\;$ et enfin on utilise une « conséquence des deux conditions de Gauss de stigmatisme $\;\vert \theta _{i}\vert \ll 1\;$» d'où «$\;\tan(\theta _{i})\simeq \theta _{i}\;$» et par suite «$\;\theta _{i}\simeq -{\dfrac {\overline {OI}}{\overline {OA_{i}}}}=-{\dfrac {\overline {OI}}{p_{i}}}\;$» ;
• on en déduit le grandissement angulaire «$\;G_{a}(A_{o})={\dfrac {\theta _{i}}{\theta _{o}}}\simeq {\dfrac {-{\dfrac {\overline {OI}}{p_{i}}}}{-{\dfrac {\overline {OI}}{p_{o}}}}}\;$» donnant, après simplification, «$\;G_{a}(A_{o})\simeq {\dfrac {p_{o}}{p_{i}}}\;$» d'où l'expression de Descartes du grandissement angulaire
  «$\;G_{a}(A_{o})={\dfrac {p_{o}}{p_{i}}}\;$» .

Relation de Lagrange-Helmholtz d'une lentille (sphérique) mince

     La « relation de Lagrange - Hemholtz » est le lien entre le grandissement transverse d'un objet linéique transverse $\;A_{o}B_{o}\;$ et le grandissement angulaire d'un pinceau issu du point objet $\;A_{o}$ ;

     la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes pour une lentille mince étant «$\;G_{t}(A_{o})={\dfrac {p_{i}}{p_{o}}}\;$» et l'expression de Descartes du grandissement angulaire pour la même lentille mince «$\;G_{a}(A_{o})={\dfrac {p_{o}}{p_{i}}}\;$» on en déduit aisément la « relation de Lagrange - Helmholtz » d'une lentille $\;{\big (}$sphérique${\big )}\;$ mince

«$\;G_{t}(A_{o})\;G_{a}(A_{o})=+1\;$» .

Conditions de Bessel séparant un objet linéique transverse réel et son image par une lentille mince convergente pour que l'image soit réelle

Position du problème

     On veut projeter l'image d'un objet « rétroéclairé »  sur un écran de façon à obtenir une image agrandie tout en restant aussi lumineuse et nette que possible, avec une distance $\;D\;$ entre l'objet et l'écran imposée par les conditions extérieures.

Nécessité de choix d'une lentille convergente

     L'objet étant réel et l'image devant être réelle, la seule possibilité est une lentille « convergente »  séparée de l'objet d'une « distance supérieure à la distance focale $\;f_{i}\;$ de la lentille » d'où le choix de $\;f_{i}\;$ nécessairement inférieure à la distance $\;D\;$ entre l'écran et l'objet .

« Condition de Bessel » du choix de lentille pour avoir une image nette sur l'écran

     La distance${\underline {\;D\;}}$entre l'objet et l'écran étant imposée comment choisir la distance focale $\;f_{i}\;$ de la lentille et où la placer $\;{\big (}$c.-à-d. où placer son centre optique${\big )}$ ?

Schéma de recherche de la distance focale et de la position de la lentille mince convergente en fonction de la distance D fixée entre l'objet et l'écran

     On cherche simultanément la « distance focale $\;f_{i}\;$ de la lentille mince convergente » et
     On cherche simultanément « la distance $\;{\mathit {l}}\;$ séparant celle-ci de l'objet » et pour cela
     on va écrire que les plans de front contenant l'objet et l'écran sont conjugués avec, pour
     on va écrire « abscisse de Descartes de l'objet $\;p_{o}=-{\mathit {l}}\;$» et
           on va écrire « celle de Descartes de l'image $\;p_{i}=D-{\mathit {l}}\;$» d'où
     on va écrire par 1^ère relation de conjugaison de Descartes «$\;{\dfrac {1}{D-l}}-{\dfrac {1}{-l}}={\dfrac {1}{f_{i}}}\;$» , équation algébrique en $\;{\mathit {l}}\;$ paramétrée par $\;f_{i}$, que l'on peut réécrire selon «$\;{\dfrac {l+\left(D-{\mathit {l}}\right)}{\left(D-{\mathit {l}}\right)\,{\mathit {l}}}}={\dfrac {1}{f_{i}}}\;$» ou «$\;D\;f_{i}=\left(D-{\mathit {l}}\right)\,{\mathit {l}}\;$» soit enfin

     on va écrire l'équation du 2^ème degré en $\;{\mathit {l}}\;$ «$\;{\mathit {l}}^{\,2}-D\;{\mathit {l}}+D\;f_{i}=0\;$» ;

     cette équation admet des solutions réelles si son discriminant est positif soit «$\;\Delta =D^{2}-4\;D\;f_{i}\geqslant 0\;$» ou «$\;D\left(D-4\;f_{i}\right)\geqslant 0\;$» nécessitant que

«$\;D\geqslant 4\;f_{i}\;$» connue sous le nom de « condition (nécessaire) de Bessel de netteté de l'image sur l'écran » ;

     avec le choix nécessaire «$\;f_{i}\leqslant {\dfrac {D}{4}}\;$», la distance séparant la lentille de l'objet :

• est « unique si $\;D=4\;f_{i}\;$» $\;{\big (}$distance de Silbermann ${\big )}$, correspondant à «$\;f_{i}={\dfrac {D}{4}}\;$», sa valeur étant
  «$\;{\mathit {l}}_{\,{\text{Silbermann}}}={\dfrac {D}{2}}=2\;f_{i}\;$»,
• a « deux valeurs si $\;D>4\;f_{i}\;$» $\;{\big (}$distances de Bessel ${\big )}$, correspondant à «$\;f_{i}<{\dfrac {D}{4}}\;$», ses valeurs étant
  «$\;{\mathit {l}}_{\,{\text{Bessel}},\,1}={\dfrac {D-{\sqrt {D\left(D-4\;f_{i}\right)}}}{2}}\;$» et «$\;{\mathit {l}}_{\,{\text{Bessel}},\,2}={\dfrac {D+{\sqrt {D\left(D-4\;f_{i}\right)}}}{2}}\;$» 
  l'une ou l'autre des valeurs constituant la 1^ère condition de Bessel pour avoir une image nette sur l'écran ;
  ces deux positions de lentilles sont symétriques par rapport à $\;{\dfrac {D}{2}}\;$ c.-à-d. l'abscisse du plan séparant l'espace entre le plan objet et l'écran en deux sous-espaces d'expansion tridimensionnelle géométriquement identique.

« Condition de Bessel » du choix de la position de la lentille pour avoir un grandissement transverse suffisant

     Remarquons d'abord que si « la distance séparant l'objet de la lentille est $\;{\mathit {l}}_{\,{\text{Bessel}},\,1}\;$