Signaux physiques (PCSI)/Exercices/Optique géométrique : lentilles minces

Optique géométrique : lentilles minces
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Exercices no14
Leçon : Signaux physiques (PCSI)
Chapitre du cours : Optique géométrique : lentilles minces

Exercices de niveau 14.

Exo préc. :Optique géométrique : conditions de Gauss
Exo suiv. :Optique géométrique : l'œil
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Optique géométrique : lentilles minces
Signaux physiques (PCSI)/Exercices/Optique géométrique : lentilles minces
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Projection d'une diapositive

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     Une lentille mince convergente , de distance focale image , donne d'une diapositive de de hauteur, située devant elle, une image sur un écran de projection placé à derrière .

     Calculer la vergence de ,
     Calculer la position de l'objet « diapositive » par rapport à et
     Calculer la hauteur de l'image sur l'écran de projection.

Appareil photographique et objectif longue focale

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     Un appareil photographique est équipé d'un objectif longue focale constitué d'une lentille mince de « focale image » et tel que
     Un appareil photographique est équipé d'un objectif longue focale son champ transversal est limité par les dimensions du film de « format ».

Champ angulaire de l'objectif longue focale

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     Calculer le champ angulaire dans les directions à la largeur et à la longueur du film le champ angulaire étant défini comme l'ouverture angulaire sous lequel le centre optique de l'objectif longue focale voit l'objet placé à l'infini.

Dimension d'une image par l'objectif longue focale et comparaison avec celle obtenue par un objectif normal

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     Déterminer la dimension de l'image d'un objet de hauteur situé à une distance de l'objectif.

     Comparer à l'image du même objet que donnerait un objectif normal de « focale image ».

Discussion graphique de Bouasse pour visualiser les propriétés comparées d'un objet linéique transverse et de son image par une lentille mince de focale connue

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Préliminaire, réécriture de la 1ère relation de conjugaison de Descartes d'une lentille sphérique mince

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Équation cartésienne de la droite passant par les points (x0, 0) et (0, y0) avec x0 et y0 non nuls

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     Montrer que l'équation cartésienne de la droite passant par les points et avec et peut s'écrire :

«».

Préliminaire : Réécriture de la 1ère relation de conjugaison de Descartes d'une lentille sphérique mince

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     Déduire de la 1ère relation de conjugaison approchée ou relation de conjugaison approchée de position de Descartes[3] d'une lentille sphérique mince[4] que les points objet d'abscisse objet de Descartes[3] et image d'abscisse image de Descartes[3] sont conjugués si leurs abscisses sont liées par :

«»[11].

Traduction graphique de la 1ère relation de conjugaison de Descartes d'une lentille sphérique mince dans un diagramme « axe des x : abscisses des objets », « axe des y : abscisses des images »

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     Associant à tout couple de points conjugués caractérisé par le couple de paramètres , la droite du plan cartésien passant par les points et , montrer que la 1ère relation de conjugaison approchée ou relation de conjugaison approchée de position de Descartes[3],[4] écrite pour le couple se traduit par

« la droite associée au couple passe par le point fixe de coordonnées ».

Discussion graphique de Bouasse pour une lentille sphérique mince convergente

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     Considérant les différentes positions possibles du point objet sur l'axe optique principal relativement aux points réels « d'abscisse objet de Descartes[3] »[12],
     Considérant les différentes positions possibles du point objet sur l'axe optique principal relativement aux points réels « foyer principal objet» et
     Considérant les différentes positions possibles du point objet sur l'axe optique principal relativement aux points réels « centre optique»,

  • tracer les droites correspondantes et
  • déduire du signe de la nature « réelle » ou « virtuelle » du point image en précisant nettement la « nature et la position correspondante du point objet » dont est l'image ;

     considérant maintenant un objet linéique transverse [13] de pied , ce dernier prenant les différentes positions possibles considérées précédemment, déterminer à partir des signes et des grandeurs comparées de et , la nature « droite » ou « inversée » de l'image ainsi que son caractère « agrandi » ou « rapetissé ».

     Vérifier chaque affirmation en faisant la construction de l'image d'un objet d'abscisse objet de Descartes[3] choisi dans la discussion de Bouasse[14] précédente.

Discussion graphique de Bouasse pour une lentille sphérique mince divergente

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     On se propose de refaire l'étude précédente mais appliquée à une lentille sphérique mince divergente.

     Répondre aux mêmes questions, les points et point objet de Weierstrass[12] par rapport auxquels on repère la position du point objet étant maintenant virtuels, le point étant quant à lui toujours réel, et

     vérifier, de même, chaque affirmation en faisant la construction de l'image d'un objet d'abscisse objet de Descartes[3] choisi dans la discussion de Bouasse[14] précédente.

Objectif photographique, profondeur de champ de netteté due au grain de la pellicule et temps de pose

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     L’objectif d’un appareil photographique est modélisé par une lentille sphérique mince convergente de distance « focale image »[23].

     Le diaphragme d’ouverture de l’objectif a un « diamètre réglable » où , appelé « nombre d'ouverture »[24], peut varier par « valeurs discrètes de à »[25].

     La pellicule ayant une structure granulaire, « la tache image d’un objet ponctuel a le diamètre d’un grain soit ».

Détermination de la profondeur de champ de netteté liée à la nature granulaire de la pellicule

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     L’objectif étant « mis au point sur un point objet situé à la distance de l’objectif »,
     L'objectif étant « mis au point sur des points situés au-delà de c'est-à-dire à une distance de l’objectif, donnent une image ponctuelle en deçà du film,
     L'objectif étant « mis au point sur des points situés en deçà de c'est-à-dire à une distance de l’objectif, donnent une image ponctuelle au-delà du film,
     L'objectif étant « mis au point sur des points situés au-delà de dans les deux cas, apparaît une tache sur le film, laquelle semblera ponctuelle si « son diamètre est inférieur à celui du grain du film ».

     On définit la « profondeur de champ de netteté »[26] de l'objectif diaphragmé pour une mise au point sur un objet donné
           On définit la « profondeur de champ de netteté » comme l'intervalle de distance séparant l'objectif et les objets ponctuels à image granulaire considérée comme ponctuelle sur la pellicule,
           On définit la « profondeur de champ de netteté » comme « intervalle noté » ;

     On définit la « profondeur de champ de netteté » le minimum de la profondeur de champ[26] est donc et
     On définit la « profondeur de champ de netteté » le maximum      de la profondeur de champ est donc ,
     On définit la « profondeur de champ de netteté » la largeur étant définie par «»[27].

     Exprimer, en fonction du grain de la pellicule, de la distance focale image , du nombre d'ouverture et de la distance de mise au point  :
     Exprimer, le minimum de la profondeur de champ[26] ,
     Exprimer, le maximum      de la profondeur de champ et
     Exprimer, la largeur           de la profondeur de champ .

     Faire l'application numérique pour les valeurs extrêmes d'ouverture.

Temps de pose maximal pour que l’image d’un objet se déplaçant latéralement soit nette

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     L’objectif est mis au point sur un objet situé à une distance de , objet se déplaçant perpendiculairement à l’axe de visée, à la vitesse de .

     Quel temps de pose maximum doit-on choisir pour que le déplacement de l'objet photographié n’altère pas la netteté de la photographie ?

     On constitue un viseur à l'aide d'un « objectif de distance focale image »[36] et d'un « oculaire de distance focale image »[36].

     L'objet placé à une « distance en avant de l'objectif » est vu à travers l'oculaire à l'infini par l'observateur qui n'accommode pas[37].

     Calculer quelle doit être la plage de translation de l'oculaire, relativement à l'objectif, pour que la distance de visée soit « réglable de à l'infini »
     Calculer quelle doit être la plage de translation de l'oculaire, on définira cette plage de translation par le « tirage de l'oculaire ».

Oculaire de Plössl

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     L'oculaire de Plössl[42] est le « doublet de lentilles minces du type »[43] la 1ère lentille dans le sens de propagation de la lumière est de distance focale image «»[44],
                 L'oculaire de Plössl est le « doublet de lentilles minces du type » la distance séparant les centres optiques dans le sens de propagation de la lumière est «»[44] et
                 L'oculaire de Plössl est le « doublet de lentilles minces du type » la 2ème lentille dans le sens de propagation de la lumière est de distance focale image «»[44].

Détermination des caractéristiques de l'oculaire de Plössl

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Nature focale de l'oculaire et position des foyers principaux objet et image

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     Vérifier, sur un schéma à l'échelle, que l'oculaire de Plössl[42] est focal[45] ;

     déterminer algébriquement en fonction de [44] et retrouver le résultat par construction sur un schéma à l'échelle en choisissant  :

  • le foyer principal image de l'oculaire de Plössl[42] c'est-à-dire l'image, par l'oculaire, du point à l'infini de l'axe optique principal,
  • le foyer principal objet de l'oculaire de Plössl[42] c'est-à-dire l'antécédent, par l'oculaire, du point à l'infini de l'axe optique principal ;

     préciser le caractère positif ou négatif de l'oculaire de Plössl[42] sachant qu'un oculaire est dit positif si est réel, négatif si est virtuel.

Caractère convergent de l'oculaire déterminé par construction

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     En considérant un rayon incident à l'axe optique principal et en traçant le cheminement de ce rayon à travers l'oculaire de Plössl[42], vérifier que ce dernier est convergent sachant[57] que
     un système optique est convergent si un rayon incident à l'axe optique principal et au-dessus de ce dernier, émerge de la face de sortie du système au-dessus de en s'en rapprochant ou
     un système optique est convergent si un rayon incident à l'axe optique principal et au-dessus de ce dernier, émerge de la face de sortie du système au-dessous de en s'en éloignant,
     un système optique est divergent si un rayon incident à l'axe optique principal et au-dessus de ce dernier, émerge de la face de sortie du système au-dessus de en s'en éloignant ou
     un système optique est divergent si un rayon incident à l'axe optique principal et au-dessus de ce dernier, émerge de la face de sortie du système au-dessous de en s'en rapprochant,
     un système optique est afocal si un rayon incident à l'axe optique principal , émerge de la face de sortie du système à , après ou sans avoir coupé ce dernier.

Détermination de la distance focale (image) de l'oculaire

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     Les foyers principaux objet et image de l'oculaire de Plössl[42] ayant été déterminés dans la solution de la question « nature focale de l'oculaire et position des foyers principaux objet et image » plus haut dans cet exercice, il devient possible d'utiliser le repérage de Newton[38] pour positionner les points objet et image de l'axe optique principal selon :

  • l'abscisse objet de Newton[38] du point objet de l'axe optique principal «» et
  • l'abscisse image de Newton[38] du point image de l'axe optique principal «» ;

     en admettant que la 1ère relation de conjugaison approchée ou relation de conjugaison approchée de position de Newton[38],[39] est encore applicable à un doublet focal de lentilles minces et que ceci permet de définir la valeur absolue de la distance focale image de ce dernier la distance focale objet étant toujours opposée à la distance focale image , déterminer :

  • en appliquant la relation de conjugaison approchée de position de Newton[38] à l'oculaire de Plössl[42],[39] pour un couple de points conjugués judicieusement choisis, puis
  • sachant qu'un système convergent a une distance focale image positive la distance focale image d'un système divergent étant négative.

Détermination des points principaux objet Ho et image Hi de l'oculaire

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     Les points principaux objet et image d'un système optique sont les points conjugués de l'axe optique principal tels que le système optique donne, d'un objet linéique transverse[13] de pied positionné au point principal objet , un grandissement transverse valant «»[63] ;

     en admettant que les deux formes de la 2ème relation de conjugaison approchée ou relation de conjugaison approchée de grandissement transverse de Newton[38],[64] sont encore applicables à un doublet focal de lentilles minces, déterminer :

  • l'abscisse objet de Newton[38] du point principal objet «», positionner alors sur l'axe optique principal et
  • l'abscisse image de Newton[38] du point principal image «», positionner de même sur l'axe optique principal.

Définition du repérage de Descartes des points objet et image de l'oculaire

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     Vérifier, d'après les réponses de la question « détermination des points principaux objet Ho et image Hi de l'oculaire » plus haut dans cet exercice,
     Vérifier, que les distances focales objet et image de l'oculaire de Plössl[42] peuvent être définies selon «» et «»[74].

     On définit alors le repérage de Descartes[3] pour les points objet et image de l'axe optique principal de l'oculaire de Plössl[42] selon :

  • l'abscisse objet de Descartes[3] du point objet de l'axe optique principal «»[75] et
  • l'abscisse image de Descartes[3] du point image de l'axe optique principal «»[75] ;

     établir les relations de conjugaison approchée de position et de grandissement transverse de Descartes[3] à partir de celles admises de Newton[38] en effectuant un changement d'origines et
     vérifier que ces relations de conjugaison approchée de position et de grandissement transverse de Descartes[3] sont identiques à celles d'une lentille mince[4],[6].

Construction de l'image, par l'oculaire de Plössl, d'un objet linéique transverse en utilisant les plans principaux et justification du caractère convergent (ou divergent) d'un doublet de lentilles

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     Montrer qu'un rayon incident à l'axe optique principal et rencontrant réellement ou fictivement[82] le plan principal objet en ,
     Montrer qu'un rayon incident émerge du plan principal image réellement ou fictivement[83] en situé à la même distance de que ,
     Montrer qu'le rayon émergeant en direction du foyer principal image  ;

     en déduire une méthode de construction de l'image , par l'oculaire de Plössl[42], d'un objet linéique transverse [13] de pied en utilisant les plans principaux objet et image de l'oculaire.

     En utilisant la méthode de construction qui vient d'être évoquée, justifier la propriété rappelée ci-dessous pour déterminer le caractère convergent ou divergent d'un système optique :

  • un système optique est convergent si un rayon incident à l'axe optique principal en étant au-dessus de ce dernier émerge de la face de sortie du système au-dessus de en s'en rapprochant ou
    un système optique est convergent si un rayon incident à l'axe optique principal en étant au-dessus de ce dernier émerge de la face de sortie du système au-dessous de en s'en éloignant ;
  • un système optique est divergent si un rayon incident à l'axe optique principal en étant au-dessus de ce dernier émerge de la face de sortie du système au-dessus de en s'en éloignant ou
    un système optique est divergent si un rayon incident à l'axe optique principal en étant au-dessus de ce dernier émerge de la face de sortie du système au-dessous de en s'en rapprochant.

Axes optiques secondaires de l'oculaire et foyers secondaires objet ou image associés à un axe optique secondaire

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     Tout rayon incident, incliné par rapport à l'axe optique principal et passant directement ou par son prolongement par le point principal objet de l'oculaire de Plössl[42] ainsi que
               son émergent issu directement ou par son prolongement du point principal image
               son émergent constituent un axe optique secondaire ;

     montrer que les « deux demi-droites issues des points principaux d'un axe optique secondaire de l'oculaire de Plössl[42] sont ».

     En vous basant sur la définition des foyers secondaires associés à un axe optique secondaire d'une lentille mince[90], introduire cette notion pour un doublet de lentilles et en particulier
           En vous basant sur la définition des foyers secondaires associés à un axe optique secondaire d'une lentille mince, introduire cette notion pour l'oculaire de Plössl[42] puis

           En vous basant sur la définition des foyers secondaires associés à un axe optique secondaire d'une lentille mince, en déduire une méthode de construction du point image, par l'oculaire de Plössl[42], d'un point objet de l'axe optique principal, méthode utilisant exclusivement la notion de foyers secondaires objet ou image.

Détermination du grossissement de l'oculaire en fonction de sa « puissance optique » pour un objet situé à l'infini

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     Préliminaire : la puissance optique d'un oculaire est le degré auquel l'oculaire fait converger ou diverger la lumière,
Préliminaire : la puissance optique d'un oculaireelle est égale au quotient de l'angle sous lequel l'œil voit l'image en sortie de l'oculaire sur la taille de l'objet[97],
Préliminaire : la puissance optique d'un oculaireelle est exprimée en dioptries .

Détermination du rayon angulaire que l'oculaire de Plössl donne de l'image d'un objet situé dans le plan focal objet de ce doublet de lentilles minces

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     Un disque transverse centré sur l'axe optique principal de l'oculaire de Plössl[42] est placé dans le plan focal objet de ce dernier ;
     Un disque transverse sachant que le rayon du disque est déterminer le rayon angulaire de son image à l'infini.

Calcul de la puissance de l'oculaire

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     Évaluer la puissance de l'oculaire de Plössl[42] «» en fonction de puis
     calculer sa valeur en dioptries[2] si .

Évaluation du grossissement de l'oculaire relativement à l'observation du disque au punctum proximum de l'œil de l'observateur

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     L'objet observé à l'œil nu, à la distance minimale de vision distincte , serait vu sous le rayon angulaire ,
     L'objet observé à travers l'oculaire de Plössl[42], il est vu sous le rayon angulaire  ;
     évaluer le grossissement de l'oculaire «» en fonction de la puissance de ce dernier et de la distance minimale de vision distincte puis
     calculer sa valeur numérique.

Doublet de lentilles minces non accolées constitué d'une lentille convergente et d'une divergente

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     Soit le « doublet de lentilles minces du type »[43] la 1ère lentille dans le sens de propagation de la lumière est convergente de distance focale image «»[44],
           Soit le « doublet de lentilles minces du type » la distance séparant les centres optiques dans le sens de propagation de la lumière est «»[44] et
           Soit le « doublet de lentilles minces du type » la 2ème lentille dans le sens de propagation de la lumière est divergente de distance focale image «»[44] ;

     Soit ce doublet de lentilles minces non accolées pouvant être utilisé pour voir un objet avec plus de détails constitue un « oculaire ».

Déterminations algébrique et graphique des foyers principaux objet Fo et image Fi de l'oculaire

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     Vérifier, sur un schéma à l'échelle, que l'oculaire est focal[45] ;

     déterminer, en fonction de [44], le positionnement des foyers principaux objet et image de l'oculaire et

     dire si cet oculaire est « positif ou négatif » sachant qu'un oculaire est dit positif si son foyer principal objet est réel et
     dire si cet oculaire est « positif ou négatif » sachant qu'un oculaire est dit négatif sison foyer principal objet est virtuel.

Caractère divergent de l'oculaire déterminé par construction

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     En considérant un rayon incident à l'axe optique principal et en traçant le cheminement de ce rayon à travers l'oculaire, vérifier que ce dernier est divergent sachant[101] que
     un système optique est convergent si un rayon incident à l'axe optique principal et au-dessus de ce dernier, émerge de la face de sortie du système au-dessus de en s'en rapprochant ou
     un système optique est convergent si un rayon incident à l'axe optique principal et au-dessus de ce dernier, émerge de la face de sortie du système au-dessous de en s'en éloignant,
     un système optique est divergent si un rayon incident à l'axe optique principal et au-dessus de ce dernier, émerge de la face de sortie du système au-dessus de en s'en éloignant ou
     un système optique est divergent si un rayon incident à l'axe optique principal et au-dessus de ce dernier, émerge de la face de sortie du système au-dessous de en s'en rapprochant,
     un système optique est afocal si un rayon incident à l'axe optique principal , émerge de la face de sortie du système à , après ou sans avoir coupé ce dernier.

Détermination de la distance focale (image) de l'oculaire

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     Les foyers principaux objet et image de l'oculaire ayant été déterminés dans la solution de la question « déterminations algébrique et graphique des foyers principaux objet Fo et image Fi de l'oculaire » plus haut dans cet exercice, il devient possible d'utiliser le repérage de Newton[38] pour positionner les points objet et image de l'axe optique principal selon :

  • l'abscisse objet de Newton[38] du point objet de l'axe optique principal «» et
  • l'abscisse image de Newton[38] du point image de l'axe optique principal «» ;

     en admettant que la 1ère relation de conjugaison approchée ou relation de conjugaison approchée de position de Newton[38],[39] est encore applicable à un doublet focal de lentilles minces et que ceci permet de définir la valeur absolue de la distance focale image de ce dernier la distance focale objet étant toujours opposée à la distance focale image , déterminer :

  • en appliquant la relation de conjugaison approchée de position de Newton[38] à l'oculaire[39] pour un couple de points conjugués judicieusement choisis, puis
  • sachant qu'un système convergent a une distance focale image positive la distance focale image d'un système divergent étant négative.

Détermination des points principaux objet Ho et image Hi de l'oculaire

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     Les points principaux objet et image d'un système optique sont les points conjugués de l'axe optique principal tels que le système optique donne, d'un objet linéique transverse[13] de pied positionné au point principal objet , un grandissement transverse valant «»[63] ;

     en admettant que les deux formes de la 2ème relation de conjugaison approchée ou relation de conjugaison approchée de grandissement transverse de Newton[38],[64] sont encore applicables à un doublet focal de lentilles minces, déterminer :

  • l'abscisse objet de Newton[38] du point principal objet «», positionner alors sur l'axe optique principal et
  • l'abscisse image de Newton[38] du point principal image «», positionner de même sur l'axe optique principal.

     Déterminer graphiquement la position des points principaux objet et image de l'oculaire en utilisant la méthode de détermination graphique exposée ci-après on vérifiera l'accord avec la détermination algébrique précédente :

  • lors de la détermination du foyer principal image de l'oculaire, on considère un rayon incident à l'axe optique principal qui se réfracte à partir de la lentille en un rayon intermédiaire dont le prolongement passe par le foyer principal image de cette dernière, ce rayon intermédiaire à l'axe optique secondaire de la lentille conduisant à un rayon émergent, à partir de cette lentille, passant par le foyer secondaire image correspondant à cet axe optique secondaire et l'intersection de ce rayon émergent et de l'axe optique principal définissant le foyer principal image de l'oculaire ; considérant ensuite un objet linéique transverse [13] de pied sur l'axe optique principal et dont l'autre extrémité est sur le rayon incident à précédemment utilisé, dans l'hypothèse où serait en [70], l'image étant de même taille et de même sens que l'objet et l'extrémité devant être sur le rayon émergent de l'oculaire passant par le foyer principal image [107], se trouve à l'intersection de ce rayon émergent et du rayon incident conjugué, projeté orthogonal de sur définissant alors la position du point principal image  ;
  • lors de la détermination du foyer principal objet de l'oculaire, on considère un rayon émergent à l'axe optique principal dont l'antécédent en deçà de la lentille est un rayon intermédiaire de prolongement passant par le foyer principal objet de cette dernière, ce rayon intermédiaire à l'axe optique secondaire de la lentille conduisant à un rayon incident, en deçà de cette lentille, passant par le foyer secondaire objet correspondant à cet axe optique secondaire et l'intersection de ce rayon incident et de l'axe optique principal définissant le foyer principal objet de l'oculaire ; considérant ensuite une image linéique transverse dont l'autre extrémité est sur un rayon émergent à [72], l'antécédent étant de même taille et de même sens que l'image et l'extrémité devant être sur le rayon incident correspondant passant par le foyer principal objet [108], se trouve à l'intersection de ce rayon incident et du rayon émergent conjugué, le point principal objet s'obtenant par projection orthogonale de sur .

Détermination de la vergence d'une lentille mince, méthode d'autocollimation

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     On se propose de déterminer expérimentalement la vergence «» d'une lentille mince convergence , de centre optique , de distance focale image «» inconnue
     On se propose de déterminer expérimentalement la vergence «» d'une lentille mince convergence , par la méthode d'autocollimation ;

     pour cela on accole à la lentille , un miroir plan et on obtient le système catadioptrique «»[112] ;

     le système obtenu étant catadioptrique, on adopte l'algébrisation physique de l'axe optique principal[113] on précisera en indice le sens de propagation de la partie d'axe optique principal considérée.

Détermination de la distance algébrique δ entre l'objet et l'image par le système catadioptrique

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     Lorsque le point objet considéré d'abscisse de Descartes[3] «»[113] se déplace sur l'axe optique principal, son image par le système catadioptrique «»[112], point image d'abscisse de Descartes[3] «»[113], se déplace aussi ;

     déterminer l'expression de la mesure algébrique «»[113] en fonction de « et de ».

Étude de la variation de δ en fonction de l'abscisse de Descartes de l'objet

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     Étudier la variation de la distance algébrique entre l'objet et l'image «»[113] en fonction de l'abscisse de Descartes[3] de l'objet «» ;

     préciser pour quelles valeurs de «» on obtient «».

Mise en œuvre de la méthode d'autocollimation

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     On déplace l'ensemble « lentille - miroir plan » relativement à un « objet linéique transverse »[13] de façon à recueillir l'« image dans le plan de front de l'objet »,
           On déplace l'ensemble « lentille - miroir plan » relativement à un « objet linéique transverse » la distance algébrisée « objet - lentille » étant alors «» ;

           On déplace l'ensemble « lentille - miroir plan » relativement à un « objet linéique transverse » en déduire la vergence «» de la lentille «».


Téléobjectif

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     Un téléobjectif est constitué de deux lentilles minces coaxiales, l'une «» convergente de distance focale image «» et
     Un téléobjectif est constitué de deux lentilles minces coaxiales, l'autre «» divergente de distance focale image «».
     Lorsque le téléobjectif est mis au point sur l'infini, son encombrement distance de la lentille mince à la plaque photographique est «».

Calcul de la distance séparant les centres optiques des deux lentilles minces coxiales du téléobjectif avec la mise au point de ce dernier à l'infini

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     Calculer la distance «» entre les centres optiques de et du téléobjectif dont la mise au point est faite sur l'infini pour cela on explicitera le foyer principal image «» du téléobjectif par rapport à et on utilisera la définition de .

Détermination des foyers principaux image Fi et objet Fo du téléobjectif

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     Préciser la position du foyer principal image «» du téléobjectif et
     déterminer celle du foyer principal objet «» de ce dernier.

Détermination de la distance focale image fi du téléobjectif

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     En admettant l'applicabilité, au doublet de lentilles minces coaxiales, de la relation de conjugaison appliquée de position ou 1ère relation de conjugaison appliquée de Newton[38], déterminer la distance focale image «» de ce téléobjectif on vérifiera auparavant le caractère convergent du doublet.

     En déduire le principal avantage de ce téléobjectif par rapport à un objectif simple de même focale.

Détermination de la dimension de l'image d'une tour supposée à l'infini par le téléobjectif

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     Calculer la dimension de l'image, par le téléobjectif, d'une tour[127] si très éloignée de faible diamètre angulaire apparent «» par exemple tour de de haut située à du téléobjectif.

Vergence et aberrations chromatiques d'une lentille sphérique mince puis d'un doublet de lentilles sphériques minces accolées ou non, formule de Gullstrand

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Vergence et aberrations chromatiques d'une lentille sphérique mince

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     Une lentille sphérique est un cas particulier de « système dioptrique centré »[129] d'axe de révolution jouant le rôle d'axe optique principal ,
             Une lentille sphérique est un cas particulier de « système dioptrique centré » obtenu par la juxtaposition de deux dioptres sphériques ou plan dont l'un au moins est sphérique[130],
             Une lentille sphérique est un cas particulier de « système dioptrique centré » obtenu par la juxtaposition de deux dioptres de même espace optique intermédiaire d'indice  :

  • le 1er dioptre , dit dioptre d'entrée, est de sommet , de centre , de rayon de courbure algébrisé [131], séparant l'espace optique d'indice jouant le rôle d'espace objet réel pour la lentille sphérique[132] et l'espace optique intermédiaire d'indice  ;
  • le 2ème dioptre , dit dioptre de sortie, est de sommet , de centre , de rayon de courbure algébrisé [133], séparant l'espace optique intermédiaire d'indice et l'espace optique d'indice jouant le rôle d'espace image réelle pour la lentille sphérique[132] ;

     nous admettrons les relations de conjugaison approchée de Descartes[3] avec origine au sommet d'un dioptre sphérique établies dans la solution des questions « conclusion : stigmatisme approché du dioptre sphérique (concave convergent) pour le point objet Ao et relation de conjugaison (approchée) de position de Descartes (avec origine au sommet) » et « relation de conjugaison (approchée) de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet) » de la série de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » à savoir le dioptre sphérique étant de sommet séparant un milieu d'indice situé à gauche de d'un milieu d'indice situé à droite de , le rayon de courbure algébrisé étant est le centre de courbure :

  • la 1ère relation de conjugaison approchée ou relation de conjugaison approchée de position de Descartes[3] avec origine au sommet «»[134] avec « une constante définissant la vergence du dioptre sphérique selon » dans le cas d'un dioptre plan cette relation est encore applicable avec  ;
  • la 2ème relation de conjugaison approchée ou relation de conjugaison approchée de grandisssement transverse de Descartes[3] avec origine au sommet «»[135] encore applicable dans le cas d'un dioptre plan.

Vergence d'une lentille sphérique mince

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     Une lentille sphérique étant « mince »[136] si « son épaisseur est très petite »[137] c'est-à-dire si « les sommets des faces d'entrée et de sortie peuvent être confondus » , le point commun définissant le centre optique de la lentille sphérique mince,
     établir les 1ère et 2ème relations de conjugaison approchée de Descartes[3] à partir de celles des dioptres d'entrée et de sortie avec origine au sommet respectif et
     déterminer l'expression de la vergence de la lentille sphérique mince séparant l'espace objet réel d'indice de l'espace image réelle d'indice ,

     puis retrouver les relations de conjugaison approchée de position et de grandissement transverse de Descartes[3] dans le cas où la lentille sphérique mince est plongée dans l'air et
     puis réécrire l'expression de sa vergence.

Aberrations chromatiques d'une lentille sphérique mince

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Principe de l'aberration chromatique : l'indice du milieu constituant la lentille quand la longueur d'onde dans le vide

     La vergence d'une lentille sphérique mince plongée dans l'air dépendant de l'indice du milieu constituant la lentille et celui-ci étant a priori plus ou moins dispersif[140], on observe, suivant la couleur considérée d'un faisceau incident de lumière blanche, à l'axe optique principal, que chaque couleur émerge en se focalisant sur l'axe optique principal en des foyers principaux image dont la localisation dépend de la couleur voir ci-contre, défauts appelés aberrations chromatiques de la lentille sphérique mince et quantifiés de deux façons :

  • en « aberration chromatique longitudinale » définie par la distance algébrique qui sépare le foyer principal image bleu du foyer principal image rouge on observe donc un défaut de focalisation ponctuelle sur l'axe optique principal du faisceau incident de lumière blanche à , le point foyer principal image de couleur blanche n'existant pas mais étant remplacé, sur , par un segment de couleurs étalées [141][142],
  • en « aberration chromatique transversale » définie comme le rayon de la plus petite tache lumineuse observée dans les plans focaux image de chaque couleur, le faisceau incident, à l'axe optique principal de la lentille sphérique mince, étant de lumière blanche il s'agit donc d'un défaut de focalisation ponctuelle dans les plans focaux image du faisceau incident de lumière blanche à , par exemple dans le plan focal image rouge bleu ou autre[143], la focalisation est ponctuelle pour le rouge bleu ou autre et remplacée par un disque de plus ou moins grand rayon pour chaque autre couleur[144],[145][146].

     Sachant que le caractère plus ou moins dispersif[140] d'un milieu se quantifie par la constringence ou le nombre d'Abbe[147] de ce dernier «» dans laquelle les indices , et représentent respectivement les couleurs « rouge raie de l'hydrogène», « jaune raie du sodium» et « bleu raie de l'hydrogène»[148], on se propose de déterminer les aberrations chromatiques longitudinale et transversale d'une lentille sphérique mince biconvexe de rayons de courbure non algébrisés d'entrée et de sortie , de diamètre d'ouverture[149] et d'indice suivant la relation de Cauchy[150] « avec ».

Détermination de la constringence du milieu et de la vergence moyenne de la lentille sphérique mince biconvexe précédemment définie
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     À partir des données précédemment introduites déterminer, pour la lentille sphérique mince biconvexe, algébriquement et numériquement

  1. la constringence du milieu la constituant et commenter le choix de ce milieu pour limiter les aberrations chromatiques de la lentille,
  2. la vergence moyenne[151] ainsi que la distance focale image[1] moyenne[151] de la lentille.
Détermination de l'aberration chromatique longitudinale de la lentille sphérique mince biconvexe précédemment définie
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     À partir des mêmes données précédemment introduites déterminer, algébriquement puis numériquement, en fonction de la constringence et de la distance focale image moyenne[151],[155]
     À partir des mêmes données précédemment introduites déterminer, algébriquement puis numériquement, l'aberration chromatique longitudinale de la lentille sphérique mince biconvexe.

Détermination de l'aberration chromatique transversale de la lentille sphérique mince biconvexe précédemment définie
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     À partir des mêmes données précédemment introduites déterminer algébriquement l'aberration chromatique transversale de la lentille sphérique mince biconvexe,
     À partir des mêmes données précédemment introduites déterminer d'abord en fonction de l'aberration chromatique longitudinale, des distances focales des couleurs extrêmes et du diamètre d'ouverture
     À partir des mêmes données précédemment introduites déterminer puis en fonction de la constringence et du diamètre d'ouverture[161],
     À partir des mêmes données précédemment introduites et terminer en faisant l'application numérique ;

     comparer les deux aberrations chromatiques et commenter.

Doublet de lentilles sphériques minces accolées, condition d'équivalence à une lentille sphérique mince et vergence de cette dernière, achromat mince

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     Les deux lentilles sphériques minces et de même axe optique principal d'un doublet sont dites « accolées » quand leurs centres optiques et sont confondus, leur position commune étant notée  ; notant et les vergences respectives des lentilles sphériques et , on se propose de déterminer

  • à quel système dioptrique le doublet de lentilles sphériques minces et accolées est équivalent puis,
  • dans le cas où il serait équivalent à une lentille sphérique mince, dans quelle mesure il est possible de construire un achromat mince[166] de vergence fixée en accolant deux lentilles sphériques minces de vergence adaptée et d'indice judicieusement choisi.

Applicabilité des relations de conjugaison de position et de grandissement transverse au doublet de lentilles sphériques minces accolées

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     Vérifier que le point est un point double du doublet de lentilles sphériques minces accolées puis

     établir les relations de conjugaison de position et de grandissement transverse de Descartes[3] du doublet en choisissant comme origine du repérage de Descartes[3] des points objets et des points images correspondant.

Équivalence du doublet de lentilles sphériques minces accolées dans le cas où les vergences des deux lentilles sont opposées

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     Vérifier que tous les points objet sont des points doubles du doublet de lentilles sphériques minces accolées dans le cas où les vergences de celles-ci sont opposées et

     préciser le système dioptrique équivalent au doublet de lentilles sphériques minces accolées.

Équivalence du doublet de lentilles sphériques minces accolées dans le cas où les vergences des deux lentilles ne sont pas opposées

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     Vérifier que le doublet de lentilles sphériques minces accolées est équivalent à une lentille sphérique mince dont le centre optique est le point dans le cas où les vergences des lentilles ne sont pas opposées et

     préciser la vergence de la lentille sphérique mince équivalente en fonction des vergences des lentilles individuelles.

Construction d'un achromat mince de vergence fixée en accolant deux lentilles sphériques minces de vergence adaptée utilisant des milieux d'indice judicieusement choisi

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     On se propose de réaliser un objectif achromatique mince[170], de vergence [2], en accolant deux lentilles sphériques minces :

  • l'une plan convexe, de rayons de courbure non algébrisés et en verre « crown »[152] de constringence [148] et d'indice pour la radiation jaune,
  • l'autre plan concave, de rayons de courbure non algébrisés [171] et en verre « flint »[152] de constringence [148] et d'indice pour la radiation jaune ;

     en utilisant la vergence d'une lentille sphérique mince en fonction des rayons de courbures algébrisés des faces d'entrée et de sortie ainsi que de l'indice du milieu constituant la lentille
     en utilisant la vergence d'une lentille sphérique mince «»[172] voir solution de la question « vergence d'une lentille sphérique mince » plus haut dans cet exercice,
     en utilisant la relation de Cauchy[150] gérant la variation de l'indice d'un milieu «» avec et constantes caractéristiques du milieu et
     en utilisant la définition de la constringence d'un milieu «»[173], laquelle, associée à la formule de Cauchy[150], permet de déterminer la valeur de la constante de la relation de Cauchy[150], en fonction de la constringence , de l'indice pour la radiation jaune et des longueurs d'onde de référence, « »[174],

  1. déterminer une 1ère expression de la vergence du doublet de lentilles sphériques minces accolées en fonction des vergences et de chaque lentille individuelle dont l'expression pour la radiation jaune définit la relation , puis
    déterminer une 2ème expression en fonction des rayons de courbure algébrisés des faces d'entrée et de sortie ainsi que des indices des milieux présents et enfin,
  2. déterminer la condition pour que le doublet de lentilles sphériques minces accolées soit achromatique en écrivant que la dérivée de sa vergence par rapport à la longueur d'onde dans le vide est nulle pour [175], on explicitera cette condition en fonction de la vergence pour la radiation jaune et de la constringence de chaque lentille individuelle relation  ;

     résoudre littéralement et numériquement le système d'équations linéaires aux deux inconnues [176] puis

     préciser la nature « convergente ou divergente » de l'achromat mince obtenu et enfin

     en déduire littéralement et numériquement :
     en déduire les distances focales image de chaque lentille pour la radiation jaune,
     en déduire les rayons de courbure non algébrisés d'entrée de la lentille plan convexe et de sortie de la lentille plan concave.

Doublet de lentilles sphériques minces non accolées, formule de Gullstrand et condition d'achromatisme du doublet

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     On considère un doublet de lentilles sphériques minces non accolées constitué

  • d'une 1ère lentille sphérique mince convergente , de centre optique , d'axe optique principal et de vergence puis
  • d'une 2ème lentille sphérique mince divergente ou convergente , de centre optique , de même axe optique principal et de vergence ,
    d'une 2ème lentille sphérique mince séparée de la précédente de la distance  ;

     on se propose dans un 1er temps de déterminer les caractéristiques du doublet en fonction des vergences de chaque lentille ainsi que de la distance les séparant, c'est-à-dire
     on se propose dans un 1er temps de préciser à quelle condition le doublet est focal et, dans cette hypothèse, de positionner les foyers principaux objet et image de ce doublet, puis

     on se propose dans un 2ème temps de déterminer la valeur absolue de la distance focale image du doublet par applicabilité des deux relations de conjugaison approchée de Newton[38] au doublet[180],
     on se propose dans un 2ème temps enfin, en admettant[181] le caractère convergent du doublet de lentilles sphériques minces simultanément convergentes si «»[182] et
             on se propose dans un 2ème temps enfin, en admettant le caractère divergent du doublet de lentilles sphériques minces simultanément convergentes ou
             on se propose dans un 2ème temps enfin, en admettant le caractère divergent du doublet de lentilles sphériques minces simultanément divergentes         si «»[183] ainsi que
             on se propose dans un 2ème temps enfin, en admettant le caractère convergent du doublet de lentilles sphériques minces de natures différentes si «» et
             on se propose dans un 2ème temps enfin, en admettant le caractère divergent du doublet de lentilles sphériques minces de natures différentes si «»,
     on se propose dans un 2ème temps pour en déduire la formule de Gullstrand[184] précisant la vergence du doublet, et enfin

     on se propose dans un 3ème temps de déterminer l'écartement pour un doublet achromatique[185] avec en verre « crown »[152] de constringence [186],[148] et
                    on se propose dans un 3ème temps de déterminer l'écartement pour un doublet achromatique avec en verre « crown » de vergence pour la radiation jaune [2],[187] et
             on se propose dans un 3ème temps de déterminer l'écartement pour un doublet achromatique avec en verre « flint »[152] de constringence [186],[148] et
                    on se propose dans un 3ème temps de déterminer l'écartement pour un doublet achromatique avec en verre « flint » de vergence pour la radiation jaune [2],[188] ou,
             on se propose dans un 3ème temps de déterminer l'écartement pour un doublet achromatique avec de vergence pour la radiation jaune [2],[187] et
             on se propose dans un 3ème temps de déterminer l'écartement pour un doublet achromatique avec de vergence pour la radiation jaune [2],[187],
             on se propose dans un 3ème temps de déterminer l'écartement pour un doublet achromatique avec toutes deux en verre « flint »[152] de constringence [186],[148].

Condition pour que le doublet de lentilles sphériques minces non accolées soit focal et détermination des positions des foyers principaux objet et image

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     Préciser à quelle condition liant les distances focales image des deux lentilles à la distance les séparant, le doublet de lentilles sphériques minces est focal puis

     positionner algébriquement les foyers principaux objet et image du doublet.

Établissement de la formule de Gullstrand déterminant la vergence du doublet de lentilles sphériques minces non accolées dans le cas où il est focal

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     En supposant applicables au doublet focal de lentilles sphériques minces non accolées les relations de conjugaison approchée de position et de grandissement transverse de Newton[38],[180],
     En supposant applicables au doublet focal de lentilles sphériques minces non accolées déterminer, en choisissant un couple de points conjugués par le doublet,
     En supposant applicables au doublet focal de lentilles sphériques minces non accolées déterminer, la valeur absolue de la distance focale image de ce dernier puis
     En supposant applicables au doublet focal de lentilles sphériques minces non accolées déterminer, la valeur absolue de sa vergence et enfin

     en admettant le caractère convergent du doublet focal de lentilles sphériques minces non accolées si «»[192] et
     en admettant le caractère divergent    du doublet focal de lentilles sphériques minces non accolées si «»[192],
     établir la formule de Gullstrand[184] précisant la vergence du doublet en fonction de , et .

Condition sur la distance séparant les deux lentilles sphériques minces du doublet focal de ces dernières non accolées pour que le doublet soit achromatique

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     Admettant la disparition des aberrations chromatiques du doublet de lentilles sphériques minces non accolées
     Admettant la disparition des aberrations chromatiques du doublet si sa vergence est indépendant de la longueur d'onde dans le vide de la lumière le traversant[195],
     Admettant la disparition des aberrations chromatiques du doublet avec « la vergence d'une lentille sphérique mince d'indice s'écrivant »[172],[196],
     Admettant la disparition des aberrations chromatiques du doublet déterminer la condition pour que le doublet de lentilles sphériques minces non accolées soit achromatique
     Admettant la disparition des aberrations chromatiques du doublet déterminer en écrivant que la dérivée de sa vergence par rapport à la longueur d'onde dans le vide est nulle pour [197] on rappelle la relation de Cauchy[150] gérant la variation de l'indice d'un milieu «» avec et constantes caractéristiques du milieu et la définition de la constringence d'un milieu « »[173], laquelle, associée à la formule de Cauchy[150], permet de déterminer la valeur de la constante de la relation de Cauchy[150], en fonction de la constringence , de l'indice pour la radiation jaune et des longueurs d'onde de référence, « »[174] on explicitera cette condition d'abord en fonction de la vergence pour la radiation jaune et de la constringence de chaque lentille individuelle, puis en fonction des distances focales image pour la radiation jaune et de la constringence des mêmes lentilles.

     Étudier chaque cas proposé ci-après : lentille sphérique mince en verre « crown »[152] de constringence [186],[148] et de vergence pour la radiation jaune [2],[187] et
     Étudier chaque cas proposé ci-après : lentille sphérique mince en verre « flint »[152] de constringence [186],[148] et de vergence pour la radiation jaune [2],[188],

     Étudier chaque cas proposé ci-après : lentille sphérique mince de vergence pour la radiation jaune [2],[187] et
     Étudier chaque cas proposé ci-après : lentille sphérique mince de vergence pour la radiation jaune [2],[187],
     Étudier chaque cas proposé ci-après : lentille sphérique mince toutes deux en verre « flint »[152] de constringence [186],[148].

Étude d'un triplet de lentilles sphériques minces convergentes

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     On considère le système constitué de trois lentilles sphériques minces convergentes «, et », de distances focales image respectives «, et »
     On considère le système constitué de trois lentilles sphériques minces convergentes «, et », telles que « et »,
     On considère le système constitué de trois lentilles sphériques minces convergentes «, et », les trois lentilles sphériques minces ayant même axe optique principal.

Détermination de la distance focale image fi, 2 de la 2ème lentille pour que le centre optique O2 de cette dernière soit un point double du triplet

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     Déterminer la distance focale image «» de la 2ème lentille sphérique mince pour que le centre optique de cette dernière soit son propre conjugué par le triplet.

Détermination des caractéristiques du système optique équivalent

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     On se propose de déterminer les caractéristiques du système optique équivalent au triplet de lentilles sphériques minces coaxiales «, et »,
     On se propose de déterminer les caractéristiques du système optique équivalent au triplet le centre optique de la 2ème lentille étant un point double du triplet.

Point conjugué, par le triplet, du point objet situé à l'infini sur l'axe optique principal

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     Déterminer le point conjugué, par le triplet, du point à l'infini sur l'axe optique principal ; comment peut-on alors qualifier le système ?

Construction de l'image AiBi donnée par le triplet, d'un objet linéique transverse AoBo et grandissement transverse du triplet associé à cet objet

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     Faire la construction de l'image donnée par le triplet, d'un objet linéique transverse [13], étant sur l'axe optique principal ;

     en déduire que « le grandissement transverse du triplet associé à cet objet est indépendant de la position de ce dernier » et

     en déduire que « le grandissement transverse du triplet déterminer sa valeur «».

Construction de l'émergent d'un rayon incident passant par Ao et grandissement angulaire du triplet associé au pinceau incident situé entre ce rayon incident et l'axe optique principal

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     Faire la construction de l'émergent, par le triplet, d'un rayon incident passant par un point objet de l'axe optique principal et légèrement incliné par rapport à ce dernier la lumière localisée entre ce rayon incident et l'axe optique principal définissant un « pinceau incident issu de » ;

     en admettant l'applicabilité de la relation de Lagrange - Helmholtz[212],[213] d'un système dioptrique dans l'air[214],
     en admettant l'applicabilité de la relation de Lagrange - Helmholtz déduire que « le grandissement angulaire du triplet associé au pinceau incident de sommet est le même » et
     en admettant l'applicabilité de la relation de Lagrange - Helmholtz déterminer la valeur de ce dernier.

Notes et références

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  1. 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 et 1,8 Voir le paragraphe « distance focale et vergence d'une lentille mince » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
  2. 2,00 2,01 2,02 2,03 2,04 2,05 2,06 2,07 2,08 2,09 2,10 2,11 2,12 2,13 2,14 2,15 2,16 2,17 2,18 2,19 2,20 2,21 et 2,22 La dioptrie de symbole est l'unité de mesure de la vergence «».
  3. 3,00 3,01 3,02 3,03 3,04 3,05 3,06 3,07 3,08 3,09 3,10 3,11 3,12 3,13 3,14 3,15 3,16 3,17 3,18 3,19 3,20 3,21 3,22 3,23 3,24 3,25 3,26 3,27 3,28 3,29 3,30 3,31 3,32 3,33 3,34 3,35 3,36 3,37 3,38 3,39 3,40 3,41 3,42 3,43 3,44 3,45 3,46 3,47 3,48 3,49 3,50 3,51 3,52 3,53 3,54 3,55 3,56 3,57 3,58 3,59 3,60 3,61 3,62 3,63 3,64 3,65 3,66 3,67 3,68 3,69 3,70 et 3,71 René Descartes (1596 - 1650) mathématicien, physicien et philosophe français, considéré comme l'un des fondateurs de la philosophie moderne, en physique a contribué à l'optique géométrique et en mathématiques est à l'origine de la géométrie analytique.
  4. 4,00 4,01 4,02 4,03 4,04 4,05 4,06 4,07 4,08 4,09 4,10 4,11 4,12 4,13 4,14 et 4,15 Voir le paragraphe « 1ère relation de conjugaison (ou relation de conjugaison de position) de Descartes » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
  5. La diapositive doit être quasiment dans le plan focal objet de la lentille car l'image étant à «» peut être considérée, en 1ère approximation, comme étant à l'infini.
  6. 6,0 6,1 6,2 6,3 et 6,4 Voir le paragraphe « 2ème relation de conjugaison (ou relation de conjugaison de grandissement transverse) de Descartes » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
  7. 7,0 7,1 7,2 7,3 et 7,4 En , Gauss, à l'âge de dix-neuf ans, caractérisa presque complètement tous les polygones réguliers constructibles à la règle et au compas et il demanda par la suite qu'un heptadécagone polygone régulier de côtés soit gravé sur son tombeau ; bien d'autres découvertes de mathématiques lui sont dues dont, en particulier, en la 1ère démonstration de la loi de réciprocité quadratique conjecturée par Euler en un nombre premier est congru à un carré de nombre entier modulo un autre nombre premier, par exemple ou ou encore de même que Leonhard Euler (1707 - 1783) mathématicien et physicien suisse qui passa la plus grande partie de sa vie dans l'Empire russe et en Allemagne ; en mathématiques il fit d'importantes découvertes dans des domaines aussi variés que le calcul infinitésimal et la théorie des graphes, il introduisit également une grande partie de la terminologie et de la notation des mathématiques modernes, en particulier pour l'analyse mathématique, comme la notion de fonction mathématique ; il est aussi connu pour ses travaux en mécanique, en dynamique des fluides, en optique et en astronomie ;
       dans le domaine de l'astronomie Gauss publia un travail très important sur le mouvement des corps célestes contenant le développement de la méthode des moindres carrés ; auparavant, en , il développa une nouvelle méthode de calcul lui permettant de prédire où doit se trouver Cérès une planète naine de la ceinture des astéroïdes entre Mars et Jupiter ;
       dans le domaine de la physique il est l'auteur de deux des quatre équations de Maxwell gérant l'électromagnétisme James Clerk Maxwell (1831 - 1879) physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif permettant de déterminer l'orientation à droite d'un espace tridimensionnel ou le caractère direct d'un triplet de vecteurs a été baptisé « tire-bouchon de Maxwell » en son honneur.
  8. 8,0 8,1 8,2 et 8,3 Voir le paragraphe « énoncé des conditions de Gauss de stigmatisme approché d'un système optique centré » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
  9. 9,0 9,1 9,2 et 9,3 Voir le paragraphe « conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
  10. Car la droite ne passe pas par le point .
  11. 11,0 et 11,1 Cette forme de la relation de conjugaison de position de Descartes n'a un intérêt que pour la discussion graphique envisagée dans cet exercice, il serait contreproductif mais non impossible de l'utiliser à la place de celle vue dans le paragraphe « 1ère relation de conjugaison (ou relation de conjugaison de position) de Descartes » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
  12. 12,0 et 12,1 Ce point objet d'abscisse objet de Descartes appelé « point objet de Weierstrass »,
                        Ce point objet admet comme conjugué d'abscisse image de Descartes appelé « point image de Weierstrass »,
                        Ce point objet admet comme conjugué symétrique de par rapport à en effet la 1ère relation de conjugaison de Descartes avec est vérifiée pour le couple car c'est-à-dire et
                        Ce point objet le grandissement transverse pour un objet linéique transverse de pied en est égal à en effet la 2ème relation de conjugaison de Descartes appliquée au couple donne  ;
       remarque : on pourrait montrer mais on ne le fera pas que la lentille mince est stigmatique rigoureuse pour le couple de points conjugués de Weierstrass le seul autre point pour lequel il y a stigmatisme rigoureux de la lentille mince étant le point double , centre optique de la lentille, le grandissement transverse d'un objet linéique transverse de pied en y valant .
       Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815 - 1897) mathématicien allemand considéré comme le père de l'analyse moderne, ses travaux les plus connus portent sur les fonctions elliptiques.
  13. 13,00 13,01 13,02 13,03 13,04 13,05 13,06 13,07 13,08 13,09 13,10 13,11 13,12 13,13 13,14 13,15 13,16 13,17 13,18 13,19 13,20 13,21 13,22 13,23 13,24 13,25 13,26 13,27 13,28 13,29 13,30 13,31 13,32 13,33 13,34 13,35 13,36 13,37 et 13,38 Voir le paragraphe « définition d'un objet linéique transverse » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
  14. 14,00 14,01 14,02 14,03 14,04 14,05 14,06 14,07 14,08 et 14,09 Henri Pierre Maxime Bouasse (1866 - 1953) physicien français surtout connu pour avoir rédigé, entre et , un vaste traité de physique en volumes nommé « Bibliothèque scientifique de l'ingénieur et du physicien » avec l'actualisation de certains volumes jusqu'en  ; il a contre lui la méfiance qu'il avait de la « nouvelle physique » du XXème siècle relativité et mécanique quantique envers lesquelles il écrivit des préfaces très polémiques.
  15. 15,00 15,01 15,02 15,03 15,04 15,05 15,06 15,07 15,08 15,09 15,10 15,11 15,12 15,13 15,14 15,15 15,16 15,17 15,18 15,19 15,20 15,21 15,22 15,23 et 15,24 Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815 - 1897) mathématicien allemand considéré comme le père de l'analyse moderne, ses travaux les plus connus portent sur les fonctions elliptiques.
  16. En effet l'abscisse objet de Descartes de foyer principal objet est et celle de point objet de Weierstrass, .
  17. 17,00 17,01 17,02 17,03 17,04 17,05 17,06 17,07 17,08 17,09 et 17,10 On rappelle qu'un objet est , qu'une image est .
  18. 18,00 18,01 18,02 18,03 18,04 18,05 18,06 18,07 18,08 et 18,09 On rappelle qu'une image est , qu'elle est .
  19. 19,0 et 19,1 Plan transverse de pied point objet de Weierstrass c'est-à-dire situé à une distance en deçà de la lentille.
  20. 20,0 20,1 20,2 20,3 20,4 20,5 20,6 et 20,7 Pour une lentille divergente, les points conjugués de Weierstrass et , d'abscisses respectives et , sont tous deux virtuels.
  21. On vérifie ainsi qu'il est impossible d'avoir simultanément un objet et son image correspondante par une lentille divergente tous deux réels d'où l'impossibilité de faire l'image sur un écran d'un objet réel avec une lentille divergente.
  22. 22,0 et 22,1 Plan transverse de pied point objet de Weierstrass c'est-à-dire situé à une distance au-delà de la lentille divergente.
  23. Objectif de la famille des « grands angles ».
  24. Ou simplement « ouverture ».
  25. Les valeurs discrètes de forment une progression géométrique de raison , la puissance lumineuse moyenne traversant le diaphragme étant à la surface de ce dernier c'est-à-dire à , on en déduit que la puissance lumineuse moyenne reçue par le film forme une progression géométrique de raison  ;
       la valeur la plus faible correspond au plus grand diamètre de diaphragme et donc à la plus grande puissance lumineuse moyenne reçue,
       la valeur suivante donne une puissance lumineuse moyenne reçue fois plus faible,
       la valeur suivante donne une puissance lumineuse moyenne reçue fois plus faible,
       la valeur suivante donne une puissance lumineuse moyenne reçue fois plus faible etc
       la dernière valeur donne une puissance lumineuse moyenne reçue fois plus faible.
  26. 26,00 26,01 26,02 26,03 26,04 26,05 26,06 26,07 26,08 26,09 26,10 26,11 26,12 26,13 26,14 26,15 26,16 26,17 et 26,18 Par abus on parle simplement de « profondeur de champ ».
  27. Simplement noté quand il n'y a pas d'ambiguïté.
  28. Correspondant donc à .
  29. Correspondant donc à .
  30. Application Numérique.
  31. Se calcule aussi directement par « en » soit «».
  32. Se calcule aussi directement par « en » soit «».
  33. Si on souhaite faire une photographie de paysage avec un 1er plan flou, il faut faire la mise au point à l'infini et réduire la largeur de profondeur de champ en ouvrant le diaphragme au maximum correspondant à un nombre d'ouverture petit ;
       si au contraire on veut une photographie de 1er plan avec un fond de paysage flou, on réduit la profondeur de champ en ouvrant le diaphragme au maximum correspondant à un nombre d'ouverture petit mais en faisant la mise au point sur le 1er plan
  34. Plus précisément quand le nombre d'ouverture est multiplié par , l'aire de la surface limitée par le diaphragme est divisée par et le temps d'exposition, pour obtenir la même impression de la pellicule, doit être multiplié par  :
       par exemple une ouverture du diaphragme à pendant est, du point de vue de l'énergie reçue, équivalente à une ouverture à pendant mais, dans le 2ème cas, la largeur de profondeur de champ étant plus grande, les divers plans transverses se trouvant sur le trajet de la lumière donneront vraisemblablement une image nette si toutefois il s'agit d'objets fixes le cas d'objets latéralement mobiles étant envisagé dans la question « temps de pose maximal pour que l'image d'un objet se déplaçant latéralement soit nette » plus bas dans cet exercice.
  35. Parmi les valeurs de temps d'exposition que l'on trouve sur un appareil photographique partant de avec toutes les valeurs multipliées par ,
       Parmi les valeurs de temps d'exposition on choisira «» car la valeur suivante donnerait une traînée de l'image sur la pellicule.
  36. 36,0 et 36,1 L'objectif et l'oculaire étant tous deux modélisés par une lentille mince.
  37. 37,0 et 37,1 Un œil n'accommodant pas conjugue le plan transverse situé à l'infini et la rétine.
  38. 38,00 38,01 38,02 38,03 38,04 38,05 38,06 38,07 38,08 38,09 38,10 38,11 38,12 38,13 38,14 38,15 38,16 38,17 38,18 38,19 38,20 38,21 38,22 38,23 38,24 38,25 38,26 38,27 38,28 38,29 38,30 38,31 38,32 38,33 38,34 38,35 38,36 38,37 38,38 38,39 38,40 38,41 38,42 38,43 38,44 38,45 38,46 38,47 38,48 et 38,49 Isaac Newton (1643 - 1727) philosophe, mathématicien, physicien, astronome, alchimiste et théologien anglais, connu essentiellement de nos jours pour avoir fondé la mécanique classique, pour sa théorie de la gravitation et aussi pour la création du calcul infinitésimal ; en optique il a développé une théorie de la couleur et a aussi inventé un télescope composé d'un miroir primaire concave et d'un miroir secondaire plan, télescope connu de nos jours sous le nom de télescope de Newton.
  39. 39,00 39,01 39,02 39,03 39,04 39,05 39,06 39,07 39,08 39,09 39,10 39,11 39,12 39,13 39,14 39,15 39,16 et 39,17 Voir le paragraphe « 1ère relation de conjugaison (ou relation de conjugaison de position) de Newton » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
  40. 40,0 et 40,1 Voir le paragraphe « repérage de Newton des points objet et image » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
  41. On rappelle que la distance de visée «» sépare le plan transverse où on place l'objet c'est-à-dire le plan focal objet du viseur de la face d'entrée du viseur c'est-à-dire le plan transverse passant par .
  42. 42,00 42,01 42,02 42,03 42,04 42,05 42,06 42,07 42,08 42,09 42,10 42,11 42,12 42,13 42,14 42,15 42,16 42,17 42,18 42,19 42,20 42,21 42,22 42,23 42,24 42,25 42,26 42,27 42,28 42,29 42,30 42,31 42,32 42,33 42,34 42,35 42,36 42,37 42,38 42,39 42,40 42,41 42,42 42,43 42,44 42,45 42,46 42,47 42,48 42,49 42,50 42,51 42,52 42,53 42,54 42,55 42,56 42,57 42,58 42,59 42,60 42,61 42,62 42,63 42,64 42,65 42,66 42,67 42,68 42,69 et 42,70 Georg Simon Plössl (1794 - 1868) opticien autrichien, connu pour le caractère achromatique de ses objectifs au sens doublet de lentilles.
  43. 43,0 43,1 43,2 43,3 43,4 43,5 43,6 et 43,7 Un doublet de lentilles non accolées est de type si
    • la 1ère lentille dans le sens de propagation de la lumière est de distance focale image «»,
    • la distance séparant les centres optiques dans le sens de propagation de la lumière est «» et
    • la 2ème lentille dans le sens de propagation de la lumière est de distance focale image «»
      est une longueur a priori arbitraire servant d'unité.
  44. 44,0 44,1 44,2 44,3 44,4 44,5 44,6 et 44,7 étant une longueur a priori arbitraire servant d'unité.
  45. 45,0 et 45,1 Pour cela il suffit de montrer qu'il n'est pas afocal c'est-à-dire que la disposition des lentilles minces ainsi que leur distance focale image n'est pas telle que le point à l'infini de l'axe optique principal n'est pas un point double.
  46. 46,0 46,1 46,2 46,3 46,4 et 46,5 Ou de Descartes ; toutefois, quand on travaille sur un doublet, il est souvent plus pratique d'utiliser la relation de conjugaison de position de Newton car la grandeur , nulle pour un doublet afocal, peut avoir une signification dans un doublet focal comme c'est le cas dans le microscope dans lequel elle est appelée « intervalle optique » voir le paragraphe « caractère focal du microscope, notion d'intervalle optique et ordre de grandeur de sa valeur pour avoir un fort grossissement » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
  47. 47,0 47,1 47,2 et 47,3 On rappelle que .
  48. 48,0 et 48,1 Qui passe donc par le point objet à l'infini de l'axe optique principal .
  49. 49,0 et 49,1 En fait seul le prolongement du rayon intermédiaire passe par .
  50. 50,0 et 50,1 On rappelle que le foyer secondaire image associé à un axe optique secondaire est l'intersection de cet axe secondaire et du plan focal image.
  51. 51,0 et 51,1 Qui passe donc par le point image à l'infini de l'axe optique principal .
  52. 52,0 et 52,1 En fait seul le prolongement du rayon intermédiaire passe par .
  53. 53,0 et 53,1 On rappelle que le foyer secondaire objet associé à un axe optique secondaire est l'intersection de cet axe secondaire et du plan focal objet.
  54. Ce qui permet de ne déterminer directement que l'un des foyers principaux image ou objet, l'autre étant alors connu par utilisation de la propriété de symétrie de l'oculaire ; dans ce qui suit nous supposerons que seule la position du foyer principal image a été déterminée.
  55. 55,0 55,1 55,2 et 55,3 C.-à-d. l'oculaire de Plössl utilisé dans le sens initial de propagation de la lumière.
  56. 56,0 56,1 et 56,2 C.-à-d. l'oculaire de Plössl utilisé dans le sens inversé de propagation de la lumière.
  57. Les affirmations ci-dessous seront justifiées dans la solution de la question « construction de l'image, par l'oculaire de Plössl, d'un objet linéique transverse en utilisant les plans principaux et justification du caractère convergent (ou divergent) d'un doublet de lentilles » plus bas dans cet exercice.
  58. Il s'agit du schéma expliqué dans la solution de la question « nature focale de l'oculaire et position des foyers principaux objet et image » plus haut dans cet exercice.
  59. Comme on pourrait le vérifier sur le doublet convergent le rayon émerge de la 2ème lentille au-dessous de en s'en éloignant, le foyer principal image étant virtuel.
  60. Comme on pourrait le vérifier sur le doublet divergent le rayon émerge de la 2ème lentille au-dessous de en s'en rapprochant jusqu'au foyer principal image réel puis s'en éloigne en passant au-dessus.
  61. 61,0 61,1 et 61,2 Voir la solution de la question « nature focale de l'oculaire et position des foyers principaux objet et image » plus haut dans cet exercice.
  62. Sa distance focale objet valant .
  63. 63,0 et 63,1 L'image de cet objet linéique transverse est alors droite et de même taille que l'objet.
  64. 64,0 64,1 64,2 64,3 64,4 et 64,5 Voir le paragraphe « 2ème relation de conjugaison (ou relation de conjugaison de grandissement transverse) de Newton » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
  65. 65,0 et 65,1 Voir remarque dans la solution de la question « nature focale de l'oculaire et position des foyers principaux objet et image » plus haut dans cet exercice.
  66. C'est un complément, ce n'était pas demandé.
  67. On trouve une légère différence entre le positionnement des points principaux dont les abscisses ont été déterminées algébriquement et la détermination graphique de ces derniers, une construction étant nécessairement moins précise toutefois l'accord reste néanmoins acceptable.
  68. On rappelle la méthode vue dans la solution de la question « nature focale de l'oculaire et position des foyers principaux objet et image » plus haut dans cet exercice utilisant la conjugaison «» :
    • considérer un rayon incident à l'axe optique principal,
    • se réfractant à partir de la lentille en un rayon intermédiaire dont le prolongement passe par le foyer principal image de cette dernière,
    • ce rayon intermédiaire à l'axe optique secondaire de la lentille conduisant à un rayon émergent, à partir de cette lentille, passant par le foyer secondaire image correspondant à cet axe optique secondaire ,
    • l'intersection de ce rayon émergent et de l'axe optique principal définissant le foyer principal image de l'oculaire de Plössl.
  69. On rappelle la méthode vue dans la solution de la question « nature focale de l'oculaire et position des foyers principaux objet et image » plus haut dans cet exercice utilisant la conjugaison «» :
    • considérer un rayon émergent à l'axe optique principal,
    • dont l'antécédent en deçà de la lentille est un rayon intermédiaire de prolongement passant par le foyer principal objet de cette dernière,
    • ce rayon intermédiaire à l'axe optique secondaire de la lentille conduisant à un rayon incident, en deçà de cette lentille, passant par le foyer secondaire objet correspondant à cet axe optique secondaire ,
    • l'intersection de ce rayon incident et de l'axe optique principal définissant le foyer principal objet de l'oculaire de Plössl.
  70. 70,0 et 70,1 Dont on ignore la position pour l'instant.
  71. Étant donné que ce rayon émergent est le conjugué, par l'oculaire de Plössl, du rayon incident à précédemment utilisé sur lequel se trouve l'objet .
  72. 72,0 et 72,1 Nous choisissons la taille de l'image identique à celle précédemment utilisée pour la détermination du point principal image c'est-à-dire que le rayon émergent à est dans le prolongement du rayon incident à utilisé pour déterminer c'est aussi ce rayon émergent à qui a servi à la détermination du foyer principal objet mais la taille de l'image peut être quelconque c'est-à-dire que le rayon émergent à peut être à n'importe quelle distance de l'axe optique principal.
  73. Étant donné que ce rayon incident est le conjugué, par l'oculaire de Plössl, du rayon émergent à précédemment utilisé sur lequel se trouve l'image .
  74. 74,0 74,1 et 74,2 Quand on associe deux lentilles minces non accolées c'est-à-dire telles que , la notion de centre optique disparaît pour le système optique ainsi formé et, si ce dernier est focal, elle est remplacée par celle de points principaux objet et image ;
       le centre optique d'une lentille mince est le point double de l'axe optique principal tel que la lentille donne, de tout objet linéique transverse de pied positionné en , une image de grandissement transverse égal à , les distances focales objet et image étant respectivement définies par «» et «» avec «» dans lesquelles et sont respectivement les foyers principaux objet et image de la lentille alors que
       les points principaux objet et image d'un doublet de lentilles non accolées et focal sont distincts sur l'axe optique principal tel que le doublet donne, de tout objet linéique transverse de pied positionné en , une image de pied positionné en , de grandissement transverse égal à , les distances focales objet et image pouvant être respectivement définies par «» et « » avec «» dans lesquelles et sont respectivement les foyers principaux objet et image du doublet.
  75. 75,0 et 75,1 Pour un doublet de lentilles non accolées et focal, on peut dire qu'il y a dédoublement de la notion de centre optique d'une lentille en la notion de couple de points principaux objet et image , le 1er servant à repérer un point objet et le 2nd un point image, tous deux situés sur l'axe optique principal du doublet.
  76. 76,0 et 76,1 Voir la solution de la question « détermination des points principaux objet Ho et image Hi de l'oculaire » plus haut dans cet exercice.
  77. 77,0 77,1 et 77,2 Applicable si et .
  78. 78,0 78,1 et 78,2 Ce qui suppose que .
  79. La raison de cette division étant que la relation de conjugaison de position de Newton est homogène à un carré de longueur alors que celle cherchée de Descartes doit l'être en inverse de longueur.
  80. 80,0 et 80,1 On vérifie que cette forme reste applicable quand et , la seule restriction étant .
  81. 81,0 et 81,1 Il s'agit donc bien des mêmes formes de relations de conjugaison de Descartes, seules les définitions des abscisses objet et image de Descartes diffèrent.
  82. 82,0 82,1 82,2 et 82,3 La rencontre est réelle si le plan principal objet est situé en deçà de la face d'entrée et fictive s'il est au-delà de celle-ci ; ici on emploie le qualificatif « fictif » plutôt que « virtuel » car le plan principal objet n'est pas matériel le qualificatif « virtuel » étant réservé à la partie en prolongement d'un rayon réel en deçà ou au-delà d'une surface matérielle comme une face d'entrée ou de sortie.
  83. 83,0 83,1 et 83,2 La rencontre est réelle si le plan principal image est situé au-delà de la face de sortie et fictive s'il est en deçà de celle-ci ; ici on emploie le qualificatif « fictif » plutôt que « virtuel » car le plan principal image n'est pas matériel le qualificatif « virtuel » étant réservé à la partie en prolongement d'un rayon réel en deçà ou au-delà d'une surface matérielle comme une face d'entrée ou de sortie.
  84. En effet l'image de tout objet linéique transverse dans le plan principal objet est dans le plan principal image de grandissement transverse égal à .
  85. 85,0 et 85,1 Non représenté sur le schéma ci-dessus pour éviter une surcharge qui aurait rendu moins lisible la figure.
  86. Les points principaux de l'oculaire de Plössl étant également symétriques par rapport au milieu du segment , voir la solution de la question « détermination des points principaux objet Ho et image Hi de l'oculaire » plus haut dans cet exercice.
  87. 87,0 87,1 87,2 et 87,3 Non indiqué sur le schéma.
  88. On peut aisément vérifier cette construction en traçant le cheminement de chaque rayon incident à travers chaque lentille :
       le rayon incident à donne, par , à partir de la face d'entrée, un rayon intermédiaire passant par puis, par , à partir de la face de sortie, un rayon émergent passant par qui est l'image de par  ;
       le rayon incident passant par donne, par , à partir de la face d'entrée, un rayon intermédiaire passant par qui est l'image de par puis, par , à partir de la face de sortie, un rayon émergent à  ;
       l'image est alors à l'intersection des deux rayons émergents avec projeté orthogonal de sur , on obtient effectivement les mêmes position et taille de l'image.
  89. 89,0 et 89,1 Pour un système tel que l'espace image est de même indice que l'espace objet ce qui est le cas pour un doublet de lentilles minces «», il suffit donc de vérifier le bon signe sur l'une des distances focales ;
       pour un système tel que l'espace objet est d'indice et l'espace image d'indice comme l'exemple d'un dioptre sphérique «» voir la solution de la question « caractère focal d'un dioptre sphérique, définition des foyers principaux objet et image, lien de la vergence avec les distances focales objet et image » d'un exercice de la série de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
  90. Voir le paragraphe « plan focal objet, plan focl image, foyer secondaire objet associé à un axe optique secondaire, foyer secondaire image associé à un axe optique secondaire » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
  91. Nous choisissons ce point relativement éloigné du plan focal objet de façon à ce que ne soit pas trop incliné par rapport à l'axe optique principal et par suite que son image ne sorte pas de la figure.
  92. 92,0 92,1 92,2 et 92,3 Voir le paragraphe « développements limités à l'ordre un de quelques fonctions usuelles » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  93. 93,0 93,1 et 93,2 Comme nous restons dans les conditions de Gauss l'expression obtenue à l'ordre qui s'écrit est la seule envisageable ce qu'on traduit en écrivant .
  94. Voir la solution de la question « définition du repérage de Descartes des points objet et image de l'oculaire (établissement de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes de l'oculaire de Plössl à partir de l'une de celles de Newton) » plus haut dans cet exercice.
  95. Lequel, pour un doublet de lentilles minces non accolées, est le seul axe optique dont le support est une droite, le support d'un axe optique secondaire étant l'association de deux demi-droites strictement .
  96. 96,0 et 96,1 est l'oculaire de Plöss.
  97. Elle dépend donc de la conjugaison de l'oculaire c'est-à-dire du lien quantitatif entre objet et image par l'oculaire mais aussi de la position de l'œil.
  98. 98,0 et 98,1 On rappelle que l'on travaille dans les conditions de Gauss de stigmatisme et d'aplanétisme approchés dont la formulation pour un doublet de lentilles minces peut se déduire assez aisément de celle des paragraphes « énoncé des conditions de Gauss de stigmatisme approché d'un système optique centré » et « conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » énoncée pour une lentille mince.
  99. C.-à-d. placé à la distance minimale de vision distincte d'un œil normal.
  100. Avec toutefois une moins bonne précision compte-tenu de l'éloignement de de la face de sortie, entraînant un accroissement d'erreur dès lors de la présence d'une erreur de direction, fût-elle petite.
  101. Les affirmations ci-dessous ont été justifiées dans la solution de la question « construction de l'image, par l'oculaire de Plössl, d'un objet linéique transverse en utilisant les plans principaux et justification du caractère convergent (ou divergent) d'un doublet de lentilles » plus haut dans un exercice précédent.
  102. Il s'agit du schéma expliqué dans la solution de la question « déterminations algébrique et graphique des foyers principaux objet Fo et image Fi de l'oculaire » plus haut dans cet exercice.
  103. Comme on pourrait le vérifier sur l'exemple d'un microscope voir la description d'un microscope dans le paragraphe « microscope » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », pour lequel le foyer principal image est réel et le microscope divergent un rayon incident à l'axe optique principal et situé au-dessus de ce dernier émerge de la 2ème lentille au-dessous de en s'en rapprochant jusqu'au foyer principal image réel puis s'en éloigne en passant au-dessus.
  104. Comme on pourrait le vérifier sur le doublet convergent le rayon incident à l'axe optique principal et situé au-dessus de ce dernier émerge de la 2ème lentille au-dessous de en s'en eloignant, le foyer principal image étant virtuel.
  105. 105,0 et 105,1 Voir la solution de la question « déterminations algébrique et graphique des foyers principaux objet Fo et image Fi de l'oculaire » plus haut dans cet exercice.
  106. Sa distance focale objet valant .
  107. Étant donné que ce rayon émergent est le conjugué, par l'oculaire, du rayon incident à précédemment utilisé sur lequel se trouve l'objet .
  108. Étant donné que ce rayon incident est le conjugué, par l'oculaire, du rayon émergent à précédemment introduit sur lequel se trouve l'image .
  109. 109,0 109,1 109,2 et 109,3 Selon la méthode exposée dans la question « détermination des points principaux objet Ho et image Hi de l'oculaire » traitée présentement.
  110. 110,0 110,1 110,2 et 110,3 Plus exactement dont le prolongement passe
  111. 111,0 et 111,1 Il s'agit d'une confusion géométrique mais non optique car ces points sont des des espaces optiques différents.
  112. 112,0 112,1 et 112,2 «» étant la lentille avec inversion du sens de propagation de la lumière.
  113. 113,00 113,01 113,02 113,03 113,04 113,05 113,06 113,07 113,08 113,09 113,10 113,11 113,12 113,13 113,14 et 113,15 Supposant l'axe optique principal horizontal avec les espaces objets réel et virtuel respectivement situés à gauche et à droite du miroir,
       la partie incidente de l'axe optique principal est orientée dans le sens et tous ses points qu'ils soient réels ou virtuels ont une abscisse comptée à partir d'une origine pouvant être quelconque mesurée dans ce sens, le sens étant rappelé en indice de l'abscisse ;
       la partie réfléchie de l'axe optique principal est alors orientée dans le sens et tous ses points qu'ils soient réels ou virtuels ont une abscisse comptée à partir d'une origine pouvant être quelconque et différente de celle des points de la partie incidente de l'axe mesurée dans ce sens, le sens étant aussi rappelé en indice de l'abscisse ;
       voir les paragraphes « algébrisation physique de l'axe optique principal (associé à un objet ponctuel) » et « repérage d'un point objet ou d'un point image sur l'axe optique principal (surface réfléchissante) » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
  114. L'abscisse objet de Descartes de étant «» car « est réel ».
  115. Voir le paragraphe « relation de conjugaison de position (ou 1ère relation de conjugaison) de Descartes d'un miroir plan » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
  116. En effet, par retour inverse de la lumière, le foyer principal image de «» étant le foyer principal objet de «», la vergence de «» est «».
  117. L'abscisse image de Descartes de étant «».
  118. 118,0 118,1 et 118,2 Avec une discontinuité mathématique pour pour laquelle .
  119. «» est alors au foyer principal objet de la lentille , l'image par «» est le point à l'infini de l'axe optique principal, son image par «» étant aussi le point à l'infini de l'axe optique principal car point double pour le miroir plan et l'image par «» est le foyer principal image de c'est-à-dire le foyer principal objet de .
  120. «» est alors au centre optique de la lentille , point double pour et aussi au sommet du miroir plan , point double pour .
  121. C.-à-d. la distance de l'objectif à la plaque photographique.
  122. Ce qui positionne la plaque photographique dans le plan focal image du téléobjectif.
  123. Voir la solution de la question « calcul de la distance séparant les centres optiques des deux lentilles minces coaxiales du téléobjectif avec la mise au point de ce dernier à l'infini » plus haut dans cet exercice.
  124. Voir les raisons de vérification du caractère convergent divergent ou afocal d'un système optique dans la question « caractère divergent de l'oculaire par construction » plus haut dans l'exercice « doublet de lentilles non accolées constitué d'une lentille convergente et d'une divergente » de cette série d'exercices.
  125. 125,0 et 125,1 Voir la solution de la question « détermination des foyers principaux image Fi et objet Fo du téléobjectif » plus haut dans cet exercice.
  126. Sa distance focale objet valant .
  127. 127,0 et 127,1 Nous supposons, pour rendre les explications plus aisées, que la tour possède un axe de symétrie vertical mais cette hypothèse supplémentaire n'esten fait pas nécessaire.
  128. Voir la solution de la question « calcul de la distance séparant les centres optiques des deux lentilles minces coaxiales du téléobjectif avec la mise au point de ce dernier à l'infini » plus haut dans cet exercice.
  129. Voir aussi le paragraphe « retour sur les systèmes dioptriques centrés » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
  130. Si les deux étaient plans nécessairement tous deux à , on définirait une lame à faces parallèles.
  131. Si le dioptre est sphérique, le centre reste à distance finie de sur et le rayon de courbure algébrisé c'est-à-dire fini positif ou négatif,
       si le dioptre est plan, le centre est le point à l'infini de et le rayon de courbure c'est-à-dire infini.
  132. 132,0 et 132,1 Usuellement la lentille sphérique est plongée dans l'air voir le paragraphe « exemple de systèmes dioptriques centrés : les lentilles sphériques » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », l'espace optique d'entrée du 1er dioptre est alors d'indice et l'espace optique de sortie du 2ème dioptre d'indice  ;
       nous considérons, dans un 1er temps, que la lentille sphérique sépare deux milieux différents de l'air c'est-à-dire et avant de revenir au cas où les deux milieux sont l'air.
  133. Si le dioptre est sphérique, le centre reste à distance finie de sur et le rayon de courbure algébrisé c'est-à-dire fini positif ou négatif,
       si le dioptre est plan, le centre est le point à l'infini de et le rayon de courbure c'est-à-dire infini.
  134. Voir la solution de la question « conclusion : stigmatisme approché du dioptre sphérique (concave convergent) pour le point objet Ao et relation de conjugaison (approchée) de position de Descartes (avec origine au sommet) » de la série de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
  135. Voir la solution de la question « relation de conjugaison (approchée) de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet) » de la série de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
  136. Voir le paragraphe « cas particulier de lentilles sphériques : les lentilles minces » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
  137. Plus précisément si , si et si comme , est équivalent à non petit.
  138. 138,0 et 138,1 Une lentille sphérique est dite « épaisse » quand elle n'est pas modélisable en lentille sphérique « mince ».
  139. Pour que cette relation caractérise une lentille sphérique mince il faut que  ;
       en effet si les deux surfaces dioptriques sphériques sont parallèles c'est-à-dire si la distance les séparant parallèlement à l'axe optique principal est une constante quel que soit l'endroit où elle est mesurée, le système dioptrique centré est afocal et n'est donc pas une lentille sphérique mince, il s'agit d'une lame que l'on pourrait appelée « lame à faces sphériques parallèles » appellation personnelle.
  140. 140,0 et 140,1 Plus précisément l'indice est une fonction de la longueur d'onde dans le vide car , sa variation peut être modélisée par la formule empirique de Cauchy «» où et sont des constantes caractéristiques du milieu, la 1ère sans dimension et la 2nde homogène à une surface.
       Augustin Louis Cauchy (1789 - 1857), mathématicien français à qui on doit, entre autres, des critères de convergence des suites et des séries entières dans le domaine de l'analyse et dans celui de l'optique des travaux sur la propagation des ondes électromagnétiques.
  141. Attention l'étalement n'est pas uniquement longitudinal comme nous le voyons sur la figure jointe.
  142. Ce défaut s'observe aussi à partir d'un objet ponctuel fixé sur l'axe optique principal de la lentille sphérique mince et émettant de la lumière blanche, absence d'image ponctuelle blanche sur mais étalement de sur en un segment attention l'étalement se fait aussi transversalement comme nous l'indiquons dans le paragraphe ci-dessous.
  143. C.-à-d. centré sur le foyer principal image de couleur rouge bleu ou autre.
  144. Dans le plan focal rouge bleu ou autre, la couleur ayant le plus grand rayon et définissant le rayon de la tache est alors la couleur bleu rouge ou ? comme on l'observe sur la figure ci-jointe.
  145. Attention l'étalement n'est pas uniquement transversal comme nous le voyons sur la figure jointe.
  146. Ce défaut s'observe aussi à partir d'un objet ponctuel fixé sur l'axe optique principal de la lentille sphérique mince et émettant de la lumière blanche, absence d'image ponctuelle blanche sur mais étalement de sur en un segment et simultanément observation de taches lumineuses dans chaque plan transverse centré sur chaque image  ;
       l'aberration chromatique transversale est aussi une conséquence du fait que le grandissement transverse dépend implicitement de l'indice du milieu constituant la lentille, en effet la 1ère relation de conjugaison approchée de Descartes s'écrivant «» «» on en déduit l'expression du grandissement transverse par 2ème relation de conjugaison approchée de Descartes «» qui dépend effectivement de par l'intermédiaire de .
  147. Ernst Karl Abbe (1840 - 1905) physicien et industriel allemand à qui on doit des perfectionnements pour obtenir une meilleure qualité d'image, il est essentiellement connu pour la condition d'aplanétisme des systèmes centrés appelée condition des sinus d'Abbe.
  148. 148,00 148,01 148,02 148,03 148,04 148,05 148,06 148,07 148,08 148,09 148,10 et 148,11 On remarque que plus le milieu est dispersif, plus sa constringence ou nombre d'Abbe est faible, un milieu non dispersif ayant une constringence infinie ;
       par exemple, on peut classer les verres en deux catégories
    • les « crown » à base de silicate de potassium et de calcium à faible indice et à nombre d'Abbe élevé donc peu dispersif et , exemple de crown utilisé pour les télescopes et et
    • les « flint » à base de silicate de potassium et de plomb à haut indice et à nombre d'Abbe faible donc très dispersif et , exemple de flint et .
         Ernst Karl Abbe (1840 - 1905) physicien et industriel allemand à qui on doit des perfectionnements pour obtenir une meilleure qualité d'image, il est essentiellement connu pour la condition d'aplanétisme des systèmes centrés appelée condition des sinus d'Abbe.
  149. C.-à-d. le diamètre de la partie utile de la lentille pour être dans les conditions de Gauss de stigmatisme et d'aplanétisme.
  150. 150,0 150,1 150,2 150,3 150,4 150,5 150,6 et 150,7 Augustin Louis Cauchy (1789 - 1857), mathématicien français à qui on doit, entre autres, des critères de convergence des suites et des séries entières dans le domaine de l'analyse et dans celui de l'optique des travaux sur la propagation des ondes électromagnétiques.
  151. 151,0 151,1 151,2 151,3 et 151,4 C.-à-d. correspondant à la couleur jaune « jaune raie du sodium».
  152. 152,00 152,01 152,02 152,03 152,04 152,05 152,06 152,07 152,08 152,09 152,10 et 152,11 Revoir la note « 148 » plus haut dans cet exercice.
  153. 153,0 et 153,1 En fait les faces d'entrée et de sortie ne sont définies qu'à partir du moment où la lentille sphérique mince est insérée dans un montage, ceci définissant le sens de propagation de la lumière ; avant insertion le caractère convexe ou concave d'un dioptre est défini « de l'air vers le milieu constituant la lentille », « convexe » si le centre de courbure est du côté du milieu et « concave » s'il est du côté de l'air d'où un dioptre qualifié de « convexe » avant insertion de la lentille dans un montage définit une « face convexe » s'il est à l'« entrée » de la lentille et une « face concave » s'il est à sa « sortie ».
  154. 154,0 et 154,1 Voir la solution de la question « vergence d'une lentille sphérique mince » plus haut dans cet exercice, le caractère moyen ajoutant que le calcul est fait pour la couleur jaune « jaune raie du sodium».
  155. On considérera que ainsi que sont c'est-à-dire des infiniment petits de même ordre un et on établira le Développement limité à l'ordre un de ce qu'on cherche voir le paragraphe « développements limités à l'ordre un d'une fonction d'une variable au voisinage d'une de ses valeurs » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  156. 156,0 et 156,1 Dans le but de faire apparaître les vergences des différentes couleurs au numérateur et dénominateur, voir la solution de la question « vergence d'une lentille sphérique mince » plus haut dans cet exercice : «».
  157. On a utilisé le développement limité à l'ordre un de appliqué dans le cas voir le paragraphe « développements limités à l'ordre un de quelques fonctions usuelles » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  158. Soit numériquement établissant que et étant chacun strictement inférieur à peuvent être raisonnablement considérés comme des infiniment petits d'ordre un si on travaille à près.
  159. Donc pouvant être considéré comme un infiniment petit d'ordre un si on travaille à près.
  160. N'étant pas rigoureusement un infiniment petit d'ordre un si on travaille à près, mais étant néanmoins petit de même ordre de grandeur car d'où l'hypothèse simplificatrice de les supposer tous deux comme des infiniment petits de même ordre un.
  161. Pour cette expression nous supposerons c'est-à-dire que peut être considéré comme un infiniment petit d'ordre un, même si ce n'est pas tout à fait exact en travaillant à près, l'erreur commise en faisant cette hypothèse pouvant être négligée.
  162. 162,0 162,1 162,2 162,3 162,4 162,5 162,6 162,7 et 162,8 Voir la définition des points , et sur la figure ci-contre.
  163. C'est un infiniment petit d'ordre un si le 2ème facteur est non petit mais si ce dernier était un infiniment petit d'ordre un ou même deux l'aberration chromatique transversale serait un infiniment petit d'ordre deux ou même trois donc
       C'est un infiniment petit d'ordre au moins un sans autre information.
  164. 164,0 164,1 164,2 et 164,3 Développement Limité.
  165. En fait nous ne l'avons établi que pour le point objet à l'infini de l'axe optique principal.
  166. C.-à-d. un système dioptrique équivalent à une lentille sphérique mince achromatique.
  167. Contrairement au point pour lequel la conjugaison par le doublet est rigoureuse il y a, en effet, conjugaison rigoureuse du centre optique par et du centre optique par , celle de tous les autres points nécessitant d'obéir aux conditions de stigmatisme approché de Gauss, la conjugaison est approché.
  168. L'aplanétisme de chaque lentille nécessitant que les conditions d'aplanétisme approchée de Gauss de chaque lentille soient réalisées pour l'objet linéique transverse, il doit en être de même pour qu'il y ait superposition point par point de l'objet et de son image par le doublet.
  169. En effet on a établi dans la solution de la question « stigmatisme approché de la lame et distance séparant le point image du point objet associé » de l'exercice de la série de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » que la longueur algébrique joignant l'objet à son image par la lame à faces constituée d'un milieu d'indice et d'épaisseur plongé dans l'air est donnant pour une lame d'air à faces .
  170. Encore appelé « achromat mince ».
  171. De façon à ce que les faces en contact aient le même rayon de courbure infini.
  172. 172,0 et 172,1 Avec et les rayons de courbure algébrisés des faces d'entrée et de sortie de la lentille sphérique mince.
  173. 173,0 et 173,1 On rappelle la signification des indices relatifs aux trois couleurs de référence :
                            couleur jaune raie du sodium,
                            couleur bleu raie de l'hydrogène,
                            couleur rouge raie de l'hydrogène.
  174. 174,0 174,1 174,2 174,3 et 174,4 Voir la solution de la question « détermination de la constringence du milieu et de la vergence moyenne de la lentille sphérique mince biconvexe précédemment définie » plus haut dans cet exercice où on a établi d'où l'expression de .
  175. La 2ème expression de la vergence du doublet de lentilles sphériques minces accolées dépendant implicitement de la longueur d'onde dans le vide on fait un développement limité à l'ordre un de son expression au voisinage de et on trouve «» voir le paragraphe « développements limités à l'ordre un d'une fonction d'une variable au voisinage d'une de ses valeurs » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ;
       la nullité de entraîne alors que la vergence reste constante à l'ordre un en .
  176. Voir le paragraphe « résolution d'un système hétérogène de deux équations algébriques à deux inconnues » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », on choisira l'une des deux principales méthodes exposées.
  177. L'algébrisation d'un rayon de courbure infini n'ayant aucune signification dans la mesure où un point à l'infini sur l'axe optique principal peut être interprété comme réel ou virtuel.
  178. 178,0 178,1 et 178,2 Combinaison Linéaire.
  179. Voir le paragraphe « résolution par combinaison (linéaire) (d'un système hétérogène de deux équations algébriques linéaires à deux inconnues) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  180. 180,0 et 180,1 C.-à-d. l'applicabilité admise de la 1ère relation de conjugaison approchée ou relation de conjugaison approchée de position de Newton et
                           C.-à-d. l'applicabilité admise d'une des deux 2èmes relations de conjugaison approchée ou des deux relations de conjugaison approchée de grandissement transverse de Newton.
  181. La justification des propriétés suivantes admises concernant le caractère convergent ou divergent du doublet focal de lentilles sphériques minces non accolées est conforme à ce qui est exposée à la question « caractère convergent de l'oculaire déterminé par construction » d'un des exercices plus haut dans cette série à savoir :
       en considérant un rayon incident à l'axe optique principal et traçant le cheminement de ce rayon à travers le doublet,
    • si ce rayon incident en étant au-dessus de émerge de la face de sortie du doublet au-dessus de en s'en rapprochant ou au-dessous de en s'en éloignant, le doublet est convergent et
    • si ce rayon incident en étant au-dessus de émerge de la face de sortie du doublet au-dessus de en s'en éloignant ou au-dessous de en s'en rapprochant, le doublet est divergent ;
       ci-dessous la démonstration de l'équivalence des conditions de convergence ou de divergence rappelées ci-dessus
       ci-dessous la démonstration de l'équivalence avec celles proposées dans cette question, les justifications, pour être bien comprises, nécessitant d'ajouter des schémas ;
       la lentille étant convergente, si , cela signifie que est au-delà de c'est-à-dire que le rayon incident à émergeant de en passant par coupe le plan focal objet de en au-dessus de entraînant
       la lentille étant convergente, si , dans la mesure où est convergente et donc , un axe optique secondaire associé à dans le sens de propagation, et par suite, si est en deçà de une émergence de cette dernière au-dessous de en s'en éloignant et, si est au-delà de une émergence de cette dernière au-dessus de en s'en rapprochant, correspondant effectivement à un doublet convergent,
       la lentille étant convergente, si , dans la mesure où est divergente et donc , un axe optique secondaire associé à dans le sens de propagation, et par suite, comme est nécessairement au-delà de une émergence de cette dernière au-dessus de en s'en éloignant, correspondant effectivement à un doublet divergent ;
       la lentille étant toujours convergente, si , cela signifie que est en deçà de c'est-à-dire que le rayon incident à émergeant de en passant par coupe le plan focal objet de en au-dessous de entraînant
       la lentille étant toujours convergente, si , dans la mesure où est convergente et donc , un axe optique secondaire associé à dans le sens de propagation, et par suite, comme est nécessairement en deçà de une émergence de cette dernière au-dessous de en s'en rapprochant, correspondant effectivement à un doublet divergent,
       la lentille étant toujours convergente, si , dans la mesure où est divergente et donc , un axe optique secondaire associé à dans le sens de propagation, et par suite, si est en deçà de une émergence de cette dernière au-dessous de en s'en éloignant, et si est au-delà de une émergence de cette dernière au-dessus de en s'en rapprochant, correspondant effectivement à un doublet convergent.
  182. Considérer des lentilles sphériques minces simultanément divergentes avec n'étant pas réalisable.
  183. Pour des lentilles sphériques minces simultanément divergentes la condition avec étant toujours réalisée, un doublet de lentilles sphériques minces divergentes non accolées est nécessairement divergent.
  184. 184,0 184,1 et 184,2 Allvar Gullstrand (1862 - 1930) ophtalmologue suédois, prix Nobel de physiologie ou médecine en pour son travail sur les dioptries de l'œil.
  185. C.-à-d. pour un doublet de lentilles sphériques minces accolées ou non ici les lentilles sont non accolées dépourvu d'aberrations chromatiques.
  186. 186,0 186,1 186,2 186,3 186,4 186,5 186,6 186,7 et 186,8 On rappelle que le caractère plus ou moins dispersif d'un milieu se quantifie par la constringence ou le nombre d'Abbe de ce dernier dans laquelle les indices , et représentent respectivement les couleurs « rouge raie de l'hydrogène», « jaune raie du sodium» et « bleu raie de l'hydrogène».
  187. 187,0 187,1 187,2 187,3 187,4 187,5 187,6 187,7 et 187,8 Donc convergente.
  188. 188,0 188,1 et 188,2 Donc divergente.
  189. La distance séparant les deux lentilles sphériques minces étant non algébrisée est encore la distance algébrisée dans la mesure où celle-ci est positive.
  190. 190,0 190,1 et 190,2 En effet .
  191. On procède en partant de l'image par le doublet focal de lentilles sphériques minces non accolées en cherchant l'antécédent par la lentille lequel est l'image de par la lentille .
  192. 192,0 et 192,1 En accord avec le rappel formulé dans l'introduction de la question « doublet de lentilles sphériques minces non accolées, formule de Gullstrand et condition d'achromatisme du doublet » plus haut dans cet exercice
                            En accord avec la rappel justifié dans la note « 181 » également dans l'amont de cet exercice.
  193. 193,0 et 193,1 Voir la solution de la question « condition pour que le doublet de lentilles sphériques minces non accolées soit focal et détermination des positions des foyers principaux objet et image » plus haut dans cet exercice.
  194. En effet avec , « est », or si est le doublet est d'où « de même signe que »,
       En effet avec , « est », or si est le doublet est d'où « de signe contraire ».
  195. Voir la solution de la question « définition du repérage de Descartes des points objet et image de l'oculaire (distances focales objet et image d'un doublet de lentilles minces non accolées) » et celle de la question « détermination des points principaux objet Ho et image Hi de l'oculaire » dans l'exercice intitulé « oculaire de Plössl » plus haut dans cette série d'exercices ;
       on constate que la distance focale image d'un doublet de lentilles sphériques minces non accolées est définie en utilisant deux points image dépendant a priori de la longueur d'onde dans le vide et que l'indépendance de relativement à cette dernière n'assure pas l'indépendance de chaque point image et car se réécrivant , l'indépendance signifie que et varient de la même façon ;
       bien que l'achromatisme du doublet ne soit associé qu'à l'indépendance de la vergence par rapport à la longueur d'onde dans le vide, nous admettrons qu'il en est de même des points principaux et par conséquent des foyers principaux nous ne discuterons pas, par la suite, cette hypothèse supplémentaire concernant les points principaux ces derniers correspondant au dédoublement du centre optique d'une lentille sphérique mince, lequel ne dépend effectivement pas de la longueur d'onde dans le vide.
  196. Voir solution de la question « vergence d'une lentille sphérique mince » plus haut dans cette série d'exercices.
  197. 197,0 et 197,1 L'expression de la vergence du doublet de lentilles sphériques minces non accolées dépendant implicitement de la longueur d'onde dans le vide par l'intermédiaire des indices des milieux constituant chaque lentille on fait un développement limité à l'ordre un de son expression au voisinage de et on trouve «» voir le paragraphe « développements limités à l'ordre un d'une fonction d'une variable au voisinage d'une de ses valeurs » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ;
       la nullité de entraîne alors que la vergence reste constante à l'ordre un en .
  198. Voir la solution de la question « établissement de la formule de Gullstrand déterminant la vergence du doublet de lentilles sphériques minces non accolées dans le cas où il est focal » plus haut dans cet exercice.
  199. est la longueur d'onde dans le vide de la radiation jaune.
  200. 200,0 et 200,1 Se déduisant de la dérivation de la formule de Cauchy par rapport à .
  201. 201,0 et 201,1 En effet de on déduit avec l'indice ou .
  202. Dans la mesure où le dénominateur n'est pas nul.
  203. Dans cet exemple l'unité commune est donnant effectivement , et .
  204. Le doublet est alors de vergence pour la radiation jaune donnant numériquement «» « » c'est-à-dire un doublet divergent ;
       on peut vérifier que la vergence pour les deux autres couleurs de référence est sensiblement la même et pour cela il faut déterminer la vergence des lentilles individuelles pour chaque couleur :
       pour la lentille générique avec ou , «»
       pour la lentille générique avec ou , avec dans laquelle dont on déduit avec d'où « » permettant de calculer par «»,
       pour la lentille générique avec ou , de même «» avec «» :
    • «» pour la lentille et la couleur bleu «»,
    • «» pour la lentille et la couleur rouge «»,
    • « » pour la lentille et la couleur bleu «» et
    • « » pour la lentille et la couleur rouge «» ;
    • on en déduit la vergence du doublet pour la radiation bleu «» et
    • on en déduit la vergence du doublet pour la radiation rouge «».
      En conclusion « la vergence du doublet reste approximativement constante évaluée à ».
  205. Le caractère achromatique du doublet devant assurer que ses foyers principaux objet et image et ne dépendent pas de la couleur ce qui n'est pas une conséquence de la constance de la vergence c'est-à-dire encore de la constance de la distance focale image car cette dernière est définie relativement au point principal image du doublet, lequel est dépendant a priori de la couleur et la position de et d'un doublet ayant été déterminée précédemment lors de la solution de la question « condition pour que le doublet de lentilles sphériques minces non accolées soit focal et détermination des positions des foyers principaux objet et image » plus haut dans cet exercice en ayant donné «» et «» ; vérifions la propriété de constance sur le foyer principal image  :
    • «»,
    • «» et
    • «»,
    • soit une aberration chromatique longitudinale du doublet en ou «» certes non nulle mais de valeur absolue faible par rapport à celle de la distance focale image  ;
       en conclusion la constance de la vergence relativement aux couleurs de référence et le maintien d'une légère aberration chromatique longitudinale entraîne un léger déplacement du point principal image avec les couleurs de référence de même valeur que soit «» on observerait de même un léger déplacement du foyer principal objet ainsi que du point principal objet pour assurer la constance de la distance focale objet.
  206. Dans cet exemple l'unité commune est donnant effectivement , et .
  207. Christian Huygens (1629 – 1695) ou Huyghens mathématicien, astronome et physicien néerlandais est essentiellement connu pour sa théorie ondulatoire de la lumière.
  208. Le doublet est alors de vergence pour la radiation jaune donnant numériquement «» « » c'est-à-dire un doublet convergent ;
       on peut vérifier que la vergence pour les deux autres couleurs de référence est sensiblement la même et pour cela il faut déterminer la vergence des lentilles individuelles pour chaque couleur sachant que les deux lentilles sont de même constringence  :
       pour la lentille générique avec ou , «»
       pour la lentille générique avec ou , avec dans laquelle dont on déduit avec d'où « » permettant de calculer par «»,
       pour la lentille générique avec ou , de même «» avec «» ;
       pour la lentille générique avec ou , les deux rapports et sont indépendants de la lentille puisque et sont de même constringence :

    • pour la lentille et la couleur bleu «» «» et
      pour la lentille et la couleur bleu «» «»,

    • pour la lentille et la couleur rouge «» «» et
      pour la lentille et la couleur rouge «» «» ;
    • on en déduit la vergence du doublet pour la radiation bleu «» et
    • on en déduit la vergence du doublet pour la radiation rouge «».
      En conclusion « la vergence du doublet reste approximativement constante évaluée à ».
  209. Le caractère achromatique du doublet devant assurer que ses foyers principaux objet et image et ne dépendent pas de la couleur ce qui n'est pas une conséquence de la constance de la vergence c'est-à-dire encore de la constance de la distance focale image car cette dernière est définie relativement au point principal image du doublet, lequel est dépendant a priori de la couleur et la position de et d'un doublet ayant été déterminée précédemment lors de la solution de la question « condition pour que le doublet de lentilles sphériques minces non accolées soit focal et détermination des positions des foyers principaux objet et image » plus haut dans cet exercice en ayant donné «» et «» ; vérifions la propriété de constance sur le foyer principal image  :
    • «»,
    • «» et
    • «»,
    • soit une aberration chromatique longitudinale du doublet en ou «» certes non nulle mais de valeur absolue faible par rapport à celle de la distance focale image  ;
       en conclusion la constance de la vergence relativement aux couleurs de référence et le maintien d'une légère aberration chromatique longitudinale entraîne un léger déplacement du point principal image avec les couleurs de référence de même valeur que soit «» on observerait de même un léger déplacement du foyer principal objet ainsi que du point principal objet pour assurer la constance de la distance focale objet.
  210. C.-à-d. appartenant à l'axe optique principal.
  211. Thalès de Milet (né vers 625-620 av J.-C., mort vers 548-545 av J.-C.) philosophe et savant grec, auteur de nombreuses recherches mathématiques notamment en géométrie, principalement connu pour son théorème dit de Thalès.
  212. 212,0 212,1 et 212,2 Joseph Louis Lagrange (1736 - 1813) mathématicien, mécanicien et astronome italien, naturalisé français vers la fin du XVIIIème siècle son nom italien était Giuseppe Luigi Lagrangia ;
       on lui doit, entre autres, d'avoir jeté en mathématiques les bases du calcul variationnel, calcul qu'il appliqua en mécanique pour résoudre quelques problèmes propagation du son, corde vibrante, librations de la Lune c'est-à-dire petites variations de son orbite ;
       en , alors installé à Paris, il publia son livre de mécanique analytique dont le formalisme a permis, un siècle et demi plus tard, l'ébauche de la mécanique quantique, il est aussi l'un des pères du système métrique et de la division décimale des unités ;
       on remarquera que le domaine de l'optique n'est pas pour Lagrange un domaine privilégié ni pour Helmholtz non plus !
  213. 213,0 213,1 et 213,2 Hermann Ludwig Ferdinand von Helmholtz (1821 - 1894) physiologiste et physicien allemand, à qui on doit d'importantes contributions dans la perception des sons et des couleurs ainsi que surtout dans le domaine de la thermodynamique ;
       on remarquera que le domaine de l'optique n'est pas pour Helmholtz un domaine privilégié ni pour Lagrange non plus !
  214. 214,0 et 214,1 La relation de Lagrange - Helmholtz pour un système dioptrique dans l'air est identique à celle trouvée pour une lentille sphérique mince voir le paragraphe « relation de Lagrange - Helmholtz d'une lentille (sphérique) mince » dans le chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
  215. au plan de la lentille qui s'identifie au plan focal image de car .
  216. au plan focal image de .
  217. 217,0 et 217,1 Voir la solution de la question « construction de l'image AiBi donnée par le triplet, d'un objet linéique transverse AoBo et grandissement transverse du triplet associé à cet objet » plus haut dans cet exercice.
  218. On vérifierait, sur le schéma, sa valeur en mesurant « et » et en constatant que «».