En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Optique géométrique : lentilles minces Signaux physiques (PCSI)/Exercices/Optique géométrique : lentilles minces », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Une lentille mince convergente , de distance focale image , donne d'une diapositive de de hauteur, située devant elle, une image sur un écran de projection placé à derrière .
Calculer la vergence de , Calculer la position de l'objet « diapositive » par rapport à et Calculer la hauteur de l'image sur l'écran de projection.
Solution
Schéma de positionnement d'une diapositive et d'un écran par rapport à la lentille de projection
Vergence de la lentille de projection : La vergence de se détermine à partir de sa distance focale image «» par la relation [1] soit et finalement «» [2].
Position de la diapositive par rapport à la lentille de projection : La position de la diapositive centrée en est donnée par la relation de conjugaison approchée de position ou 1ère relation de conjugaison approchée de Descartes[3] «» [4] avec «» et «» «» soit numériquement Position de la diapositive par rapport à la lentille de projection : ou «» [5].
Hauteur de l'image sur l'écran de projection : La hauteur de l'image «» est donnée par la relation de conjugaison approchée de grandissement transverse ou 2ème relation de conjugaison approchée de Descartes[3] «» [6] ou d'où une « image inversée » et la hauteur de l'image d'une pellicule de hauteur «» est «» soit numériquement Hauteur de l'image sur l'écran de projection : en ou «».
Un appareil photographique est équipé d'un objectif longue focale constitué d'une lentille mince de « focale image » et tel que Un appareil photographique est équipé d'un objectif longue focale son champ transversal est limité par les dimensions du film de « format ».
Calculer le champ angulaire dans les directions à la largeur et à la longueur du film le champ angulaire étant défini comme l'ouverture angulaire sous lequel le centre optique de l'objectif longue focale voit l'objet placé à l'infini.
Solution
Schéma de définition du champ angulaire d'un objectif d'appareil photographique
On suppose que le film est situé dans le plan focal image de l'objectif, c.-à-d. que la mise au point est faite sur l'infini mais, même avec une mise au point à distance finie, la distance du film à l'objectif reste voisine de la distance focale image voir figure ci-contre ;
dans les conditions de Gauss [7],[8],[9], le champ angulaire correspondant à la longueur d'une image du film vaut soit «» et dans les conditions de Gauss, le champ angulaire correspondant à la hauteur d'une image du film soit «».
Dimension d'une image par l'objectif longue focale et comparaison avec celle obtenue par un objectif normal
Déterminer la dimension de l'image d'un objet de hauteur situé à une distance de l'objectif.
Comparer à l'image du même objet que donnerait un objectif normal de « focale image ».
Solution
On calcule l'ouverture angulaire de l'objet de hauteur situé à la distance par «», l'angle dans les conditions supplémentaires de Gauss[7] d'aplanétisme approché[9] étant petit ; On calcule l'ouverture angulaire de l'objet c'est aussi l'angle sous lequel du centre optique de l'objectif longue focale on voit l'image d'où la hauteur de l'image donnée par «» On calcule l'ouverture angulaire de l'objet c'est aussi l'angle sous lequel du centre optique de l'objectif longue focale on voit l'image d'où la hauteur«» soit «».
Avec un objectif de distance focale , l'ouverture angulaire de l'objet de hauteur situé à la distance ayant la même valeur «» et Avec un objectif de distance focale , l'ouverture angulaire de l'objet étant l'angle sous lequel du centre optique de l'objectif on voit l'image d'où la hauteur de l'image donnée par «» Avec un objectif de distance focale , l'ouverture angulaire de l'objet étant l'angle sous lequel du centre optique de l'objectif on voit l'image d'où la hauteur«» soit Avec un objectif de distance focale , l'ouverture angulaire de l'objet étant l'angle sous lequel du centre optique de l'objectif on voit l'image d'où la hauteur«»
Remarque : le fait que « est à » explicite un des intérêts d'un téléobjectif par rapport à un objectif normal.
Discussion graphique de Bouasse pour visualiser les propriétés comparées d'un objet linéique transverse et de son image par une lentille mince de focale connue
Déduire de la 1ère relation de conjugaison approchéeou relation de conjugaison approchée de position de Descartes[3] d'une lentille sphérique mince[4] que les points objet d'abscisse objet de Descartes[3] et image d'abscisse image de Descartes[3] sont conjugués si leurs abscisses sont liées par :
La 1ère relation de conjugaison approchéeou relation de conjugaison approchée de position de Descartes[3] d'une lentille sphérique mince[4] s'écrit, avec «», «» et la vergence «», selon «» soit, en multipliant de part et d'autre par , la relation ou encore, en utilisant ,
Traduction graphique de la 1ère relation de conjugaison de Descartes d'une lentille sphérique mince dans un diagramme « axe des x : abscisses des objets », « axe des y : abscisses des images »
Associant à tout couple de points conjugués caractérisé par le couple de paramètres , la droite du plan cartésien passant par les points et , montrer que la 1ère relation de conjugaison approchéeou relation de conjugaison approchée de position de Descartes[3],[4] écrite pour le couple se traduit par
« la droite associée au couple passe par le point fixe de coordonnées ».
Solution
Associons à tout couple de points conjugués caractérisé par le couple de paramètres , la droite du plan cartésien passant par les points et , cette droite a pour équation cartésienne «» ;
la 1ère relation de conjugaison approchéeou relation de conjugaison approchée de position de Descartes[3],[4] se réécrivant sous la forme «» s'interprète par
« la droite passe par le point ».
Discussion graphique de Bouasse pour une lentille sphérique mince convergente
Considérant les différentes positions possibles du point objet sur l'axe optique principal relativement aux points réels « d'abscisse objet de Descartes[3]» [12], Considérant les différentes positions possibles du point objet sur l'axe optique principal relativement aux points réels «foyer principal objet» et Considérant les différentes positions possibles du point objet sur l'axe optique principal relativement aux points réels «centre optique»,
tracer les droites correspondantes et
déduire du signe de la nature « réelle » ou « virtuelle » du point image en précisant nettement la « nature et la position correspondante du point objet » dont est l'image ;
considérant maintenant un objet linéique transverse [13] de pied , ce dernier prenant les différentes positions possibles considérées précédemment, déterminer à partir des signes et des grandeurs comparées de et , la nature « droite » ou « inversée » de l'image ainsi que son caractère « agrandi » ou « rapetissé ».
Vérifier chaque affirmation en faisant la construction de l'image d'un objet d'abscisse objet de Descartes[3] choisi dans la discussion de Bouasse [14] précédente.
Solution
On pourra déterminer la nature réelle ou virtuelle de l'image connaissant celle réelle ou virtuelle de l'objet ponctuel suivant sa position par rapport à , ou point objet de Weierstrass[15] symétrique de relativement à [16][17] ;
on pourra aussi en déduire la disposition droite ou inversée et la dimension agrandie ou rapetissée de l'image d'un objet linéique transverse[13] suivant sa position par rapport à , ou [18].
Principe de la discussion : On positionne le point dans le plan cartésien et on trace la famille de droites passant par ce point ;
Principe de la discussion : suivant la position graphique de , on peut préciser la nature « réelle ou virtuelle » de l'objet par le signe de [17], Principe de la discussion : suivant la position graphique de , on peut en déduire la nature « réelle ou virtuelle » de l'image par le signe de [17], Principe de la discussion : suivant la position graphique de , on peut en déduire le caractère « droit ou inversé », « agrandi ou rapetissé » de l'image si l'objet est linéique transverse[13]par les signes comparés de et d'une part, et suivant leurs valeurs absolues comparées d'autre part[18].
Discussion graphique et vérification par construction :
Distinction des cas de la discussion graphique de Bouasse[14] d'une lentille mince convergente
Cas : voir ci-contre «réel en deçà depoint objet de Weierstrass[15], » Cas : voir ci-contre«réel entreetpoint image de Weierstrass[15], [17] et » ; Cas : si l'objet est linéique transverse[13], l'image est inversée et rapetissée car et [18] ;
Cas : voir ci-contre en bleu «réel entrepoint objet de Weierstrass[15]et, et » Cas : voir ci-contre en bleu«réel au-delà depoint image de Weierstrass[15], »[17] ; Cas : si l'objet est linéique transverse[13], l'image est inversée et agrandie car et [18] ;
Cas : voir ci-contre en rouge «réel entreet, et » Cas : voir ci-contre en rouge«virtuelc.-à-d. en deçà de , »[17] ; Cas : si l'objet est linéique transverse[13], l'image est droite et agrandie car et [18] ;
Cas : voir ci-contre en vert «virtuelc.-à-d. au-delà de , » Cas : voir ci-contre en vert«réel entreet, et »[17] ; Cas : si l'objet est linéique transverse[13], l'image est droite et rapetissée car et [18].
On vérifie chaque affirmation en faisant la construction de l'image d'un objet linéique transverse[13] d'abscisse choisie dans la discussion de Bouasse[14] précédente :
Construction de l'image, par une lentille mince convergente, d'un objet linéique transverse[13] réel de pied en deçà du foyer principal objet
Cas : réel en deçà de point objet de Weierstrass[15] réel entre et point image de Weierstrass[15] avec image réelle inversée et rapetissée figure ci-contre à droite ; Cas : sur la même figure, par retour inverse de on a le cas en bleu : Cas : réel entre point objet de Weierstrass[15] et réel au-delà de point image de Weierstrass[15] avec image inversée et agrandie attention en retour inverse les indices et sont permutés, la lumière se propageant de la droite vers la gauche il faut donc lire dans le cas l'objet réel entre le foyer principal objet et le point objet de Weierstrass[15] le point image réel au-delà du point image de Weierstrass[15], l'image étant réelle, inversée et agrandie relativement à l'objet réel ;
Construction de l'image, par une lentille mince convergente, d'un objet linéique transverse[13] réel de pied entre le foyer principal objet et le centre optique ou d'un objet virtuel
Cas : réel entre et virtuel avec image droite et agrandie figure ci-contre à gauche ; Cas : sur la même figure, par retour inverse de on a le cas en vert : Cas : virtuel réel entre et avec image droite et rapetissée attention en retour inverse les indices et sont permutés, la lumière se propageant de la droite vers la gauche il faut donc lire dans le cas l'objet virtuel le point image réel entre le centre optique et le foyer principal image , l'image étant réelle, droite et rapetissée relativement à l'objet virtuel .
Résumé des résultats trouvés par discussion graphique de Bouasse[14] d'une lentille mince convergente :
Pour que l'image d'un objet réel soit réelle il faut que l'objet ne soit pas entre la lentille mince convergente et le plan focal objet de cette dernière et Pour que l'image est agrandie si l'objet est entre le plan focal objet et le plan objet de Weierstrass[15],[19], l'objet réel doit être à une distance de la lentille strictement comprise entre où le grandissement transverse serait de valeur absolue infinie et où le grandissement transverse serait de valeur absolue égale à , Pour que l'image est rapetissée si l'objet est en deçà du plan objet de Weierstrass[15],[19], l'objet réel doit être à une distance de la lentille supérieure à où le grandissement transverse serait de valeur absolue égale à ), le grandissement transverse tendant vers quand la distance tend vers l'infini.
Résumé de la discussion graphique de Bouasse[14] d'une lentille mince convergente
Discussion graphique de Bouasse pour une lentille sphérique mince divergente
On se propose de refaire l'étude précédente mais appliquée à une lentille sphérique mince divergente.
Répondre aux mêmes questions, les points et point objet de Weierstrass[12] par rapport auxquels on repère la position du point objet étant maintenant virtuels, le point étant quant à lui toujours réel, et
vérifier, de même, chaque affirmation en faisant la construction de l'image d'un objet d'abscisse objet de Descartes[3] choisi dans la discussion de Bouasse[14] précédente.
Solution
On développe ci-dessous le même principe de discussion …
Discussion graphique et vérification par construction :
Distinction des cas de la discussion graphique de Bouasse[14] d'une lentille mince divergente
Cas : voir ci-contre «réel, » Cas : voir ci-contre«virtuel entreet, [17] et » ; Cas : si l'objet est linéique transverse[13], l'image est droite et rapetissée car et [18] ;
Cas : voir ci-contre en bleu «virtuel entreet, et » Cas : voir ci-contre en bleu«réel, »[17] ; Cas : si l'objet est linéique transverse[13], l'image est droite et agrandie car et [18] ;
Cas : voir ci-contre en rouge «virtuel entreetpoint objet de Weierstrass[15][20], et » Cas : voir ci-contre en rouge«virtuel en deçà depoint image de Weierstrass[15][20], et »[17] ; Cas : si l'objet est linéique transverse[13], l'image est inversée et agrandie car et [18] ;
Cas : voir ci-contre en vert «virtuel au-delà depoint objet de Weierstrass[15][20], et » Cas : voir ci-contre en vert«virtuel entrepoint image de Weierstrass[15][20]et, et »[17] ; Cas : si l'objet est linéique transverse[13], l'image est inversée et rapetissée car et [18].
On vérifie chaque affirmation en faisant la construction de l'image d'un objet linéique transverse[13] d'abscisse choisie dans la discussion de Bouasse[14] précédente :
Construction de l'image, par une lentille mince divergente, d'un objet linéique transverse[13] réel ou virtuel de pied entre le centre optique et le foyer principal objet
Cas : réel virtuel entre et avec image virtuelle droite et rapetissée figure ci-contre à droite ; Cas : sur la même figure, par retour inverse de on a le cas en bleu : Cas : virtuel entre et réel avec image droite et agrandie attention en retour inverse les indices et sont permutés, la lumière se propageant de la droite vers la gauche il faut donc lire dans le cas l'objet virtuel entre le centre optique et le foyer principal objet le point image réel entre le centre optique et le foyer principal image , l'image étant réelle, droite et agrandie relativement à l'objet réel ;
Construction de l'image, par une lentille mince divergente, d'un objet linéique transverse[13] virtuel de pied au-delà du foyer principal objet
Cas : virtuel entre et point objet de Weierstrass[15][20] virtuel en deçà de point image de Weierstrass[15][20] avec image inversée et agrandie figure ci-contre à gauche ; Cas : sur la même figure, par retour inverse de on a le cas en vert : Cas : virtuel au-delà de point objet de Weierstrass[15][20] virtuel entre et point image de Weierstrass[15][20] avec image inversée et rapetissée attention en retour inverse les indices et sont permutés, la lumière se propageant de la droite vers la gauche il faut donc lire dans le cas l'objet virtuel au-delà du point objet de Weierstrass[15] le point image virtuel entre le foyer principal image et le point image de Weierstrass[15], l'image étant virtuelle, inversée et rapetissée relativement à l'objet virtuel .
Résumé des résultats trouvés par discussion graphique de Bouasse[14] d'une lentille mince divergente :
L'image et l'objet sont toujours de nature différente[21] pour qur l'image réelle d'un objet virtuel soit agrandie il faut que ce dernier soit entre la lentille et le plan objet de Weierstrass[15],[22], l'objet virtuel doit être à une distance de la lentille strictement comprise entre où le grandissement transverse serait et où le grandissement transverse serait de valeur absolue égale à en passant par où le grandissement transverse serait infini, sinon l'image réelle d'un objet virtuel est rapetissée, l'objet étant alors en deçà du plan objet de Weierstrass[15],[22], l'objet virtuel doit être à une distance de la lentille supérieure à où le grandissement transverse serait de valeur absolue égale à , le grandissement transverse tendant vers quand la distance tend vers l'infini ; l'image virtuelle d'un objet réel est toujours rapetissée.
Résumé de la discussion graphique de Bouasse[14] d'une lentille mince divergente
Objectif photographique, profondeur de champ de netteté due au grain de la pellicule et temps de pose
L’objectif d’un appareil photographique est modélisé par une lentille sphérique mince convergente de distance « focale image »[23].
Le diaphragme d’ouverture de l’objectif a un « diamètre réglable » où , appelé « nombre d'ouverture »[24], peut varier par « valeurs discrètes de à » [25].
La pellicule ayant une structure granulaire, « la tache image d’un objet ponctuel a le diamètre d’un grain soit ».
Détermination de la profondeur de champ de netteté liée à la nature granulaire de la pellicule
L’objectif étant « mis au point sur un point objet situé à la distance de l’objectif », L'objectif étant « mis au point sur des points situés au-delà de c.-à-d. à une distance de l’objectif, donnent une image ponctuelle en deçà du film, L'objectif étant « mis au point sur des points situés en deçà de c.-à-d. à une distance de l’objectif, donnent une image ponctuelle au-delà du film, L'objectif étant « mis au point sur des points situés au-delà de dans les deux cas, apparaît une tache sur le film, laquelle semblera ponctuelle si « son diamètre est inférieur à celui du grain du film ».
On définit la « profondeur de champ de netteté »[26] de l'objectif diaphragmé pour une mise au point sur un objet donné On définit la « profondeur de champ de netteté » comme l'intervalle de distance séparant l'objectif et les objets ponctuels à image granulaire considérée comme ponctuelle sur la pellicule, On définit la « profondeur de champ de netteté » comme « intervalle noté » ;
On définit la « profondeur de champ de netteté » le minimum de la profondeur de champ[26] est donc et On définit la « profondeur de champ de netteté » le maximum de la profondeur de champ est donc , On définit la « profondeur de champ de netteté » la largeur étant définie par «» [27].
Exprimer, en fonction du grain de la pellicule, de la distance focale image , du nombre d'ouverture et de la distance de mise au point : Exprimer, le minimum de la profondeur de champ[26], Exprimer, le maximum de la profondeur de champ et Exprimer, la largeur de la profondeur de champ .
Faire l'application numérique pour les valeurs extrêmes d'ouverture.
Solution
Schéma de définition du minimum de profondeur de champ[26] d'un objectif à ouverture et grain de pellicule fixés
Minimum de profondeur de champ[26] : La mise au point étant rigoureusement faite pour la distance , Minimum de profondeur de champ : des points situés sur l'axe optique principal entre et donneront des images situées derrière la pellicule et par conséquent le faisceau issu de et limité par le diaphragme émergera selon un faisceau convergeant en laissant une tache et non un point sur la diapositive voir figure ci-contre ;
Minimum de profondeur de champ : ces taches seront vues comme des points pour un diamètre de tache au grain de la pellicule c.-à-d. Minimum de profondeur de champ : ces taches seront vues comme des points pour «» ou, en notant la valeur maximale du diamètre de la tache pouvant être considérée comme ponctuelle [28], «» ;
Minimum de profondeur de champ : on écrit tout d'abord la 1ère relation de conjugaison approchéeou relation de conjugaison approchée de position de Descartes[3],[4] pour le couple soit «» d'où «» puis,
Minimum de profondeur de champ : en raisonnant dans le cas limite, la 1ère relation de conjugaison approchéeou relation de conjugaison approchée de position de Descartes[3],[4] pour le couple soit «» d'où soit «» enfin,
Minimum de profondeur de champ : les triangles et étant semblables, on en déduit : « qui vaut, dans le cas limite, » d'où la condition «» ;
Minimum de profondeur de champ : en reportant les formules et dans la relation , on obtient soit encore ou donnant et finalement, avec «», «» ou, avec ,
Schéma de définition du maximum de profondeur de champ[26] d'un objectif à ouverture et grain de pellicule fixés
Maximum de profondeur de champ[26] : La mise au point étant rigoureusement faite pour la distance , Maximum de profondeur de champ : des points situés sur l'axe optique principal entre et donneront des images situées devant la pellicule et par conséquent le faisceau issu de et limité par le diaphragme émergera selon un faisceau convergeant en laissant une tache et non un point sur la diapositive voir figure ci-contre ;
Maximum de profondeur de champ : ces taches seront vues comme des points pour un diamètre de tache au grain de la pellicule c.-à-d. Maximum de profondeur de champ : ces taches seront vues comme des points pour «» ou, en notant la valeur maximale du diamètre de la tache pouvant être considérée comme ponctuelle [29], «» ;
Maximum de profondeur de champ : ayant écrit tout d'abord la 1ère relation de conjugaison approchéeou relation de conjugaison approchée de position de Descartes[3],[4] pour le couple et y ayant obtenu «», on poursuit
Maximum de profondeur de champ : en raisonnant dans le cas limite, la 1ère relation de conjugaison approchéeou relation de conjugaison approchée de position de Descartes[3],[4] pour le couple donnant «» d'où soit «» enfin,
Maximum de profondeur de champ : les triangles et étant semblables, on en déduit : « qui vaut, dans le cas limite, » d'où la condition «» ;
Maximum de profondeur de champ : en reportant les formules et dans la relation , on obtient ou soit encore ou donnant et finalement, avec «», «» ou, avec ,
Largeur de profondeur de champ[26] : La largeur de profondeur de champ[26] définie selon «» se calcule en reportant les expressions de et précédemment établies soit ou, en réduisant au même dénominateur,
A.N.[30] : pour le diaphragme le plus ouvert , une distance de mise au point , une distance focale image et un grain de pellicule de diamètre on obtient : A.N. : pour le diaphragme le plus ouvert , un minimum de profondeur de champ[26] en soit «», A.N. : pour le diaphragme le plus ouvert , un maximum de profondeur de champ[26] en soit «» et A.N. : pour le diaphragme le plus ouvert , une largeur de profondeur de champ[26] en soit A.N. : pour le diaphragme le plus ouvert , une largeur de profondeur de champ «» [31] ;
A.N. : pour le diaphragme le plus fermé , une distance de mise au point , une distance focale image et un grain de pellicule de diamètre on obtient : A.N. : pour le diaphragme le plus fermé , un minimum de profondeur de champ[26] en soit «», A.N. : pour le diaphragme le plus fermé , un maximum de profondeur de champ[26] en soit «» et A.N. : pour le diaphragme le plus fermé , une largeur de profondeur de champ[26] en soit A.N. : pour le diaphragme le plus fermé , une largeur de profondeur de champ «» [32].
Commentaires : La largeur de profondeur de champ[26] est d'autant plus grande que le nombre d'ouverture est grand c.-à-d. que le diaphragme est fermé[33], mais une augmentation du nombre d'ouverture c.-à-d. une fermeture du diaphragme entraînant une diminution de la puissance moyenne reçue par la pellicule, il faut compenser par une augmentation du temps d'exposition [34].
Temps de pose maximal pour que l’image d’un objet se déplaçant latéralement soit nette
L’objectif est mis au point sur un objet situé à une distance de , objet se déplaçant perpendiculairement à l’axe de visée, à la vitesse de .
Quel temps de pose maximum doit-on choisir pour que le déplacement de l'objet photographié n’altère pas la netteté de la photographie ?
Solution
L’objet se déplaçant transversalement à la vitesse émet de la lumière pendant tout le temps de pose à partir de positions différentes du plan transverse, il y a donc a priori une tache image sur la pellicule ; toutefois si le déplacement transversal de l’objet correspond à un déplacement transversal de l’image au diamètre du grain de la pellicule, il n’y aura qu’un seul point image et cette dernière sera considérée comme nette ;
on détermine à partir de à l’aide de la valeur absolue du grandissement transverse définie par dont la valeur algébrique est évaluée par la relation de conjugaison approchée de grandissement transverse ou 2ème relation de conjugaison approchée de Descartes[3][6], l’objet étant dans un plan transverse situé à correspondant à un objet positionné quasiment à l'infini de l'objectif d'où donnant «» dans laquelle «» ;
la condition de netteté se réécrivant «» conduit à ou finalement
On constitue un viseur à l'aide d'un « objectif de distance focale image »[36] et d'un « oculaire de distance focale image »[36].
L'objet placé à une « distance en avant de l'objectif » est vu à travers l'oculaire à l'infini par l'observateur qui n'accommode pas[37].
Calculer quelle doit être la plage de translation de l'oculaire, relativement à l'objectif, pour que la distance de visée soit « réglable de à l'infini » Calculer quelle doit être la plage de translation de l'oculaire, on définira cette plage de translation par le « tirage de l'oculaire ».
Solution
Il convient bien sûr de faire un schéma explicatif
On se propose de déterminer la plage de translation de l'oculaire pour que la distance de visée distance séparant le plan transverse où on place l'objet réel de pied , de la face d'entrée du viseur On se propose de déterminer la plage de translation de l'oculaire pour que la distance de visée soit « réglable de à l'», c.-à-d. tel que «»[37], On se propose de déterminer la plage de translation de l'oculaire l'objet de pied est donc dans le plan focal objet du viseur de foyer principal objet et On se propose de déterminer la plage de translation de l'oculaire l'image intermédiaire de pied dans le plan focal objet de l'oculaire de foyer principal objet , On se propose de déterminer la plage de translation de l'oculaire il suffit d'écrire la relation de conjugaison approchée de position ou 1ère relation de conjugaison approchée de Newton[38] pour l'objectif [39] On se propose de déterminer la plage de translation de l'oculaire soit «» avec On se propose de déterminer la plage de translation de l'oculaire soit pour abscisse objet de Newton[38] du point objet [40] «» [41], On se propose de déterminer la plage de translation de l'oculaire soit pour l'abscisse image de Newton[38] du point image [40] étant le tirage de l'oculaire
soit «».
numériquement le tirage de l'oculaire «» varie de « en » soit « quand »,
numériquement le tirage de l'oculaire «» varie à « quand est », le viseur étant alors afocal.
L'oculaire de Plössl [42] est le « doublet de lentilles minces du type » [43] la 1ère lentille dans le sens de propagation de la lumière est de distance focale image «» [44], L'oculaire de Plössl est le « doublet de lentilles minces du type » la distance séparant les centres optiques dans le sens de propagation de la lumière est «»[44] et L'oculaire de Plössl est le « doublet de lentilles minces du type » la 2ème lentille dans le sens de propagation de la lumière est de distance focale image «»[44].
Détermination des caractéristiques de l'oculaire de Plössl
Vérifier, sur un schéma à l'échelle, que l'oculaire de Plössl[42] est focal[45] ;
déterminer algébriquement en fonction de [44] et retrouver le résultat par construction sur un schéma à l'échelle en choisissant :
le foyer principal image de l'oculaire de Plössl[42] c.-à-d. l'image, par l'oculaire, du point à l'infini de l'axe optique principal,
le foyer principal objet de l'oculaire de Plössl[42] c.-à-d. l'antécédent, par l'oculaire, du point à l'infini de l'axe optique principal ;
préciser le caractère positif ou négatif de l'oculaire de Plössl[42] sachant qu'un oculaire est dit positif si est réel, négatif si est virtuel.
Solution
Détermination graphique des foyers principaux objet et image d'un oculaire de Plössl[42]
Un doublet de lentilles minces est « afocal » si le point à l'infini de l'axe optique principal est un point double c.-à-d. si l'image intermédiaire recherchée notée obéit à avec ou encore si , il suffit de vérifier, pour prouver que l'oculaire de Plössl[42] est « focal », que le foyer principal image de la 1ère lentille n'est pas confondu avec le foyer principal objet de la 2ème lentille c.-à-d. «» voir schéma ci-contre.
Détermination du foyer principal image de l'oculaire de Plössl[42] : la définition du foyer principal image peut être écrite selon c.-à-d. que le foyer principal image de l'oculaire de Plössl[42] est l'image par du foyer principal image de ou «» ; Détermination du foyer principal image de l'oculaire de Plössl : pour déterminer la position de il suffit d'utiliser la relation de conjugaison approchée de position ou 1ère relation de conjugaison approchée de Newton[38],[46] de la lentille [39] pour le couple soit «» avec [47] soit «» d'où donnant numériquement «» soit «» ou, Détermination du foyer principal image de l'oculaire de Plössl : en repérage de Descartes[3] relativement à la 2ème lentille soit «» ;
Détermination du foyer principal image de l'oculaire de Plössl : on détermine graphiquement la position du foyer principal image de l'oculaire de Plössl[42] Détermination du foyer principal image de l'oculaire de Plössl : on détermine graphiquement en utilisant un rayon incident à l'axe optique principal [48],
Détermination du foyer principal image de l'oculaire de Plössl : on détermine graphiquement se réfractant à partir de en un rayon intermédiaire passant par le foyer principal image [49] de , Détermination du foyer principal image de l'oculaire de Plössl : on détermine graphiquement rayon intermédiaire à l'axe optique secondaire de la lentille Détermination du foyer principal image de l'oculaire de Plössl : on détermine graphiquement se réfractant, à partir de , en passant par le foyer secondaire image de l'axe optique secondaire [50], Détermination du foyer principal image de l'oculaire de Plössl : on détermine graphiquement l'intersection de ce rayon émergent et de l'axe optique principal définissant le foyer principal image de l'oculaire de Plössl[42]voir schéma ci-dessus où on peut vérifier que la position trouvée graphiquement est conforme à celle obtenue algébriquement.
Détermination du foyer principal objet de l'oculaire de Plössl[42] : la définition du foyer principal objet peut être écrite selon c.-à-d. que le foyer principal objet de l'oculaire de Plössl[42] est l'antécédent par du foyer principal objet de ou «» ; Détermination du foyer principal objet de l'oculaire de Plössl : pour déterminer la position de il suffit d'utiliser la relation de conjugaison approchée de position ou 1ère relation de conjugaison approchée de Newton[38],[46] de la lentille [39] pour le couple soit «» avec [47] soit «» d'où donnant numériquement «» soit «» ou, Détermination du foyer principal objet de l'oculaire de Plössl : en repérage de Descartes[3] relativement à , soit «» ;
Détermination du foyer principal objet de l'oculaire de Plössl : on détermine graphiquement la position du foyer principal objet de l'oculaire de Plössl[42] Détermination du foyer principal objet de l'oculaire de Plössl : on détermine graphiquement en utilisant un rayon émergent à l'axe optique principal [51],
Détermination du foyer principal objet de l'oculaire de Plössl : on détermine graphiquement dont l'antécédent en deçà de est un rayon intermédiaire passant par le foyer principal objet [52] de , Détermination du foyer principal objet de l'oculaire de Plössl : on détermine graphiquement rayon intermédiaire à l'axe optique secondaire de la lentille Détermination du foyer principal objet de l'oculaire de Plössl : on détermine graphiquement de rayon incident, en deçà de , passant par le foyer secondaire objet de l'axe optique secondaire [53], Détermination du foyer principal objet de l'oculaire de Plössl : on détermine graphiquement l'intersection de ce rayon incident et de l'axe optique principal définissant le foyer principal objet de l'oculaire de Plössl[42]voir partie en bleu du schéma ci-dessus où on peut vérifier que la position trouvée graphiquement est conforme à celle obtenue algébriquement.
Remarque : On observe aisément que l'oculaire de Plössl[42] est symétrique relativement au milieu du segment , Remarque : ceci signifie que l'on peut retourner l'oculaire relativement à ou Remarque : ceci signifie que l'on peut inverser le sens de propagation de la lumière sans retourner l'oculaire Remarque : ceci signifie que l'on peut inverser avec absence de modification optique observable et par conséquent Remarque : ceci signifie que l'on peut déduire la position du foyer principal objet de l'oculaire à partir de celle du foyer principal image[54] ; Remarque : or si on inverse le sens de propagation de la lumière, le foyer principal image de l'oculaire [55] devient le foyer principal objet de l'oculaire [56] c.-à-d. «», Remarque : or si on inverse le sens de propagation de la lumière, la face de sortie de l'oculaire [55] devenant la face d'entrée de l'oculaire [56] c.-à-d. «», Remarque : or si on inverse le sens de propagation de la lumière, dont on déduit aisément «» ; Remarque : or si on inverse le sens de propagation de la lumière, avec la connaissance de la position du foyer principal image de l'oculaire [55] «», Remarque : or si on inverse le sens de propagation de la lumière, on en déduit celle du foyer principal objet de l'oculaire [56] «» et Remarque : or si on inverse le sens de propagation de la lumière, en inversant le sens d'algébrisation «», Remarque : or si on inverse le sens de propagation de la lumière, on en déduit la position du foyer principal objet de l'oculaire [55] «».
Caractère positif ou négatif de l'oculaire de Plössl[42] : le foyer principal objet de l'oculaire de Plössl[42] étant situé avant la face d'entrée de ce dernier car «» Caractère positif ou négatif de l'oculaire de Plössl : le foyer principal objet de l'oculaire de Plössl est réel et par suite l'oculaire est dit positif.
Caractère convergent de l'oculaire déterminé par construction
En considérant un rayon incident à l'axe optique principal et en traçant le cheminement de ce rayon à travers l'oculaire de Plössl[42], vérifier que ce dernier est convergent sachant[57] que un système optique est convergent si un rayon incident à l'axe optique principal et au-dessus de ce dernier, émerge de la face de sortie du système au-dessus de en s'en rapprochant ou un système optique est convergent si un rayon incident à l'axe optique principal et au-dessus de ce dernier, émerge de la face de sortie du système au-dessous de en s'en éloignant, un système optique est divergent si un rayon incident à l'axe optique principal et au-dessus de ce dernier, émerge de la face de sortie du système au-dessus de en s'en éloignant ou un système optique est divergent si un rayon incident à l'axe optique principal et au-dessus de ce dernier, émerge de la face de sortie du système au-dessous de en s'en rapprochant, un système optique est afocal si un rayon incident à l'axe optique principal , émerge de la face de sortie du système à , après ou sans avoir coupé ce dernier.
Solution
Détermination graphique des foyers principaux objet et image d'un oculaire de Plössl[42]
On constate, sur le schéma ci-contre[58], le caractère convergent de l'oculaire de Plössl[42] en effet
On constate, sur le schéma ci-contre, un rayon incident à l'axe optique principal et situé au-dessus, On constate, sur le schéma ci-contre, un rayon incident émerge de la lentille au-dessus de On constate, sur le schéma ci-contre, un rayon incident en se rapprochant de ce dernier et On constate, sur le schéma ci-contre, un rayon incident en se dirigeant vers le foyer principal image .
Remarque : dans le schéma rappelé ci-contre, le foyer principal image est réel mais attention : Remarque : d'une part le caractère réel du foyer principal image n'est pas nécessaire pour conclure au caractère convergent du doublet [59], raison pour laquelle le caractère réel de n'est pas évoqué, Remarque : d'autre part le caractère réel du foyer principal image n'est pas suffisant pour conclure au caractère convergent du doublet [60], raison pour laquelle le caractère réel de ne doit pas être évoqué.
Détermination de la distance focale (image) de l'oculaire
Les foyers principaux objet et image de l'oculaire de Plössl[42] ayant été déterminés dans la solution de la question « nature focale de l'oculaire et position des foyers principaux objet et image » plus haut dans cet exercice, il devient possible d'utiliser le repérage de Newton[38] pour positionner les points objet et image de l'axe optique principal selon :
l'abscisse objet de Newton[38] du point objet de l'axe optique principal «» et
l'abscisse image de Newton[38] du point image de l'axe optique principal «» ;
en admettant que la 1ère relation de conjugaison approchéeou relation de conjugaison approchée de position de Newton[38],[39] est encore applicable à un doublet focal de lentilles minces et que ceci permet de définir la valeur absolue de la distance focale image de ce dernier la distance focale objet étant toujours opposée à la distance focale image , déterminer :
en appliquant la relation de conjugaison approchée de position de Newton[38] à l'oculaire de Plössl[42],[39] pour un couple de points conjugués judicieusement choisis, puis
sachant qu'un système convergent a une distance focale image positive la distance focale image d'un système divergent étant négative.
Solution
Pour déterminer la valeur absolue de la distance focale image de l'oculaire de Plössl[42] en utilisant la 1ère relation de conjugaison approchéeou relation de conjugaison approchée de position de Newton[38] «»[39] avec «» et «», relation supposée applicable à tout couple de points conjugués par l'oculaire de Plössl[42], il faut choisir des points conjugués particuliers et les plus faciles à obtenir sont ceux dont l'image intermédiaire est à l'infini sur l'axe optique principal soit
«» établissant que le couple « est conjugué par l'oculaire de Plössl[42] » ;
pour ce couple on a «»[61] et pour ce couple on a «»[61] pour ce couple on a d'où se réécrivant soit
«» ;
l'oculaire de Plössl[42] étant convergent sa distance focale image est et par suite elle vaut
Les points principaux objet et image d'un système optique sont les points conjugués de l'axe optique principal tels que le système optique donne, d'un objet linéique transverse[13] de pied positionné au point principal objet , un grandissement transverse valant «» [63] ;
en admettant que les deux formes de la 2ème relation de conjugaison approchéeou relation de conjugaison approchée de grandissement transverse de Newton[38],[64] sont encore applicables à un doublet focal de lentilles minces, déterminer :
l'abscisse objet de Newton[38] du point principal objet «», positionner alors sur l'axe optique principal et
l'abscisse image de Newton[38] du point principal image «», positionner de même sur l'axe optique principal.
Solution
Positionnement des points principaux d'un oculaire de Plössl[42] sur le schéma construisant les positions des foyers principaux de ce dernier
Considérant le couple de points principaux conjugués par l'oculaire de Plössl[42] et appliquant la 2ème relation de conjugaison approchéeou relation de conjugaison approchée de grandissement transverse de Newton[38] sous la forme «»[64] avec «», on trouve, avec «»,
l'abscisse objet de Newton[38] du point principal objet «» ;
appliquant la 2ème relation de conjugaison approchéeou relation de conjugaison approchée de grandissement transverse de Newton[38] au couple de points principaux conjugués par l'oculaire de Plössl[42] sous la forme «»[64] avec «», on trouve, avec «»,
l'abscisse image de Newton[38] du point principal image «» ;
voir le positionnement des points principaux de l'axe optique principal sur la figure ci-dessus symétrique de par rapport au milieu du segment , oculaire symétrique par rapport à ce dernier[65] et voir la détermination graphique simultanée des foyers principaux et des points principaux[66],[67] sur la figure ci-dessous.
Détermination graphique simultanée des foyers et points principaux d'un oculaire de Plössl[42]
On reprend tout d'abord la construction du foyer principal image en noir [68] et On reprend tout d'abord la constr. celle du foyer principal objet en bleu [69] ;
on détermine ensuite le point principal image suivi on détermine ensuite du point principal objet de la façon suivante :
on considère un objet linéique transverse [13]non représenté sur le schéma ci-contre de pied sur l'axe optique principal et dont l'autre extrémité est sur le rayon incident à précédemment utilisé, dans l'hypothèse où serait en [70], l'image étant de même taille et de même sens que l'objet et l'extrémité devant être sur le rayon émergent de l'oculaire de Plössl[42] passant par le foyer principal image [71], se trouve à l'intersection de ce rayon émergent et du rayon incident conjugué, projeté orthogonal de sur définissant alors la position du point principal image voir schéma ci-dessus ;
on considère une image linéique transverse dont l'autre extrémité est sur un rayon émergent à [72], l'antécédent étant de même taille et de même sens que l'image et l'extrémité devant être sur le rayon incident correspondant passant par le foyer principal objet [73], se trouve à l'intersection de ce rayon incident et du rayon émergent conjugué, le point principal objet s'obtenant par projection orthogonale de sur voir schéma ci-dessus.
Définition du repérage de Descartes des points objet et image de l'oculaire
On définit alors le repérage de Descartes[3] pour les points objet et image de l'axe optique principal de l'oculaire de Plössl[42] selon :
l'abscisse objet de Descartes[3] du point objet de l'axe optique principal «» [75] et
l'abscisse image de Descartes[3] du point image de l'axe optique principal «»[75] ;
établir les relations de conjugaison approchée de position et de grandissement transverse de Descartes[3] à partir de celles admises de Newton[38] en effectuant un changement d'origines et vérifier que ces relations de conjugaison approchée de position et de grandissement transverse de Descartes[3] sont identiques à celles d'une lentille mince[4],[6].
Solution
On vérifie, d'après l'abscisse objet de Newton[38] du point principal objet de l'oculaire de Plössl[42] «» [76] et On vérifie, d'après l'abscisse image de Newton[38] du point principal image du même oculaire «»[76], que
la distance focale objet de l'oculaire de Plössl[42] peut être définie par «»[74] et
la distance focale image du même oculaire de Plössl[42] peut être définie par «»[74].
Définissant le repérage de Descartes[3] en prenant pour origines
le point principal objet pour l'abscisse d'un point objet de l'axe optique principal définie par «» et
le point principal image pour l'abscisse d'un point image de l'axe optique principal définie par «»,
on déduit de ce qui précède que la distance focale objet de l'oculaire de Plössl[42] est l'abscisse objet de Descartes[3] du foyer principal objet de l'oculaire et on déduit de ce qui précède que la distance focale image de l'oculaire de Plössl[42] est l'abscisse image de Descartes[3] du foyer principal objet de l'oculaire ;
Établissement de la relation de conjugaison de position de Descartes[3] de l'oculaire de Plössl[42] à partir de celle de Newton[38] : Établissement de la relation de conjugaison de position de Descartes pour cela il suffit de reporter les changements d'origines ou «» Établissement de la relation de conjugaison de position de Descartes pour cela il suffit de reporter dans la 1ère relation de conjugaison approchée de Newton[38] «» [77], ce qui donne Établissement de la relation de conjugaison de position de Descartes pour cela il suffit de reporter dans la 1ère relation de conjugaison approchée de Newton «» soit, Établissement de la relation de conjugaison de position de Descartes en développant ou, en divisant les deux membres par [78],[79], Établissement de la relation de conjugaison de position de Descartes en développant soit finalement Établissement de la relation de conjugaison de position de Descartes la 1ère relation de conjugaison approchée de Descartes[3] de l'oculaire de Plössl[42] selon «» [80],[81] avec Établissement de la relation de conjugaison de position de Descartes la 1ère relation de conjugaison approchée de Descartes « vergence du doublet » et «».
Établissement de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes[3] de l'oculaire de Plössl[42] à partir de l'une de celles de Newton[38] : Établissement de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes pour cela il suffit de reporter les changements d'origines précédemment établis «» Établissement de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes pour cela il suffit de reporter dans l'une des 2èmes relations de conjugaison approchée de Newton[38] Établissement de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes pour cela il suffit de reporter dans «»[77]ou «»[77], ce qui donne Établissement de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes pour cela il suffit de reporter dans «» ou encore «» Établissement de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes pour cela il suffit de reporter en effet multipliée par [78] ou , Établissement de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes pour cela il suffit de reporter dans ou «» dont on déduit «» Établissement de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes pour cela il suffit de reporter dans ou encore «» Établissement de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes pour cela il suffit de reporter en effet multipliée par [78] ou , Établissement de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes pour cela il suffit de reporter dans soit en inversant «» ; finalement Établissement de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes la 2ème relation de conjugaison approchée de Descartes[3] de l'oculaire de Plössl[42] selon «»[80],[81] Établissement de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes la 2ème relation de conjugaison approchée de Descartes de l'oculaire de Plössl avec «».
Construction de l'image, par l'oculaire de Plössl, d'un objet linéique transverse en utilisant les plans principaux et justification du caractère convergent (ou divergent) d'un doublet de lentilles
Montrer qu'un rayon incident à l'axe optique principal et rencontrant réellement ou fictivement [82] le plan principal objet en , Montrer qu'un rayon incident émerge du plan principal image réellement ou fictivement [83] en situé à la même distance de que , Montrer qu'le rayon émergeant en direction du foyer principal image ;
en déduire une méthode de construction de l'image , par l'oculaire de Plössl[42], d'un objet linéique transverse [13] de pied en utilisant les plans principaux objet et image de l'oculaire.
En utilisant la méthode de construction qui vient d'être évoquée, justifier la propriété rappelée ci-dessous pour déterminer le caractère convergent ou divergent d'un système optique :
un système optique est convergent si un rayon incident à l'axe optique principal en étant au-dessus de ce dernier émerge de la face de sortie du système au-dessus de en s'en rapprochant ou un système optique est convergent si un rayon incident à l'axe optique principal en étant au-dessus de ce dernier émerge de la face de sortie du système au-dessous de en s'en éloignant ;
un système optique est divergent si un rayon incident à l'axe optique principal en étant au-dessus de ce dernier émerge de la face de sortie du système au-dessus de en s'en éloignant ou un système optique est divergent si un rayon incident à l'axe optique principal en étant au-dessus de ce dernier émerge de la face de sortie du système au-dessous de en s'en rapprochant.
Solution
Principe de la construction de l'image, par un oculaire de Plössl[42], d'un objet linéique transverse[13] utilisant les plans principaux
Les plans principaux et les foyers principaux ayant été positionnés sur l'oculaire de Plössl[42] ci-contre, on y considère un rayon incident à l'axe optique principal qui rencontre fictivement[82] le plan principal objet en , dessinant ainsi un objet linéique transverse[13] fictif dans le plan principal objet ; on y considère cet objet fictif a pour conjugué, par l'oculaire de Plössl[42], l'image fictive dans le plan principal image, image de même taille que l'objet [84] ; on peut affirmer que le rayon incident à et rencontrant fictivement[82] le plan principal objet en émerge fictivement[83] du plan principal image en situé à la même distance de que ; de plus on peut affirmer que le rayon incident étant à , le rayon émergent doit passer réellement par le foyer principal image et par conséquent sa partie fictive à partir de devra avoir un prolongement passant par ; de même un rayon incident passant réellement par le foyer principal objet et rencontrant fictivement[82] le plan principal objet en [85], émerge fictivement[83] du plan principal image en [85] situé à la même distance de que en étant à , le rayon émergeant réellement au-delà de la face de sortie parallèlement à l'axe optique principal tracé non représenté mais facilement imaginable, l'oculaire de Plössl[42] étant symétrique par rapport au milieu du segment [65],[86], le tracé peut être obtenu en pratiquant le retour inverse de la lumière sur le symétrique par rapport au milieu du segment du « tracé du rayon incident à l'axe optique principal émergeant en passant par le ».
Méthode de construction de l'imaged'un objet linéique transverse[13]de pieden utilisant les plans principaux objet et image de l'oculaire : voir schéma ci-dessus en vert ; Méthode de construction de l'imageon considère deux rayons incidents issus de , Méthode de construction de l'imageon considère l'un à l'axe optique principal rencontrant le plan principal objet en [87] puis Méthode de construction de l'imageon considère l'un émergeant du plan principal image à partir de [87] tel que en passant par le foyer principal image , Méthode de construction de l'imageon considère l'autre passant par le foyer principal objet rencontrant le plan principal objet en [87] puis Méthode de construction de l'imageon considère l'autre émergeant du plan principal image à partir de [87] tel que parallèlement à l'axe optique principal ; Méthode de construction de l'imageon considère l'image étant alors à l'intersection des deux rayons émergents définis ci-dessus, Méthode de construction de l'imageon considère le pied de l'image étant le projeté orthogonal de sur l'axe optique principal [88].
Justification de la propriété pour déterminer le caractère convergentou divergentd'un système optique :
Disposition de la face de sortie relativement aux plans principaux et focaux d'un système convergent, émergence d'un rayon incident à l'axe optique principal
Justification du caractère convergent : un système optique est « convergent » si sa distance focale image est positive c.-à-d. si « est » ou Justification du caractère convergent : un système optique est « convergent » si sa distance focale objet est négative c.-à-d. si « est » [89], Justification du caractère convergent : un système optique est « convergent » le plan principal image doit être en deçà du plan focal image et simultanément Justification du caractère convergent : un système optique est « convergent » le plan principal objet au-delà du plan focal objet Justification du caractère convergent : un système optique est « convergent » d'où les quatre dispositions non exhaustives ci-contre : Justification du caractère convergent : pour les deux figures de gauche en deçà de avec une face de sortie en deçà ou au-delà de dans le 1er cas le foyer principal image est réel, le rayon émerge au-dessus de l'axe optique principal en s'en rapprochant et dans le 2ème il est virtuel, le rayon émerge au-dessous de en s'en éloignant, Justification du caractère convergent : pour les deux figures de droite au-delà de avec une face de sortie en deçà ou au-delà de dans le 1er cas le foyer principal image est réel, le rayon émerge au-dessus de l'axe optique principal en s'en rapprochant et dans le 2ème il est virtuel, le rayon émerge au-dessous de en s'en éloignant ;
Disposition de la face de sortie relativement aux plans principaux et focaux d'un système divergent, émergence d'un rayon incident à l'axe optique principal
Justification du caractère divergent : un système optique est « divergent » si sa distance focale image est négative c.-à-d. si « est » ou Justification du caractère divergent : un système optique est « divergent » si sa distance focale objet est positive c.-à-d. si « est »[89]), Justification du caractère divergent : un système optique est « divergent » le plan principal image doit être au-delà du plan focal image et simultanément Justification du caractère divergent : un système optique est « divergent » le plan principal objet en deçà du plan focal objet Justification du caractère divergent : un système optique est « divergent » d'où les quatre dispositions non exhaustives ci-contre : Justification du caractère convergent : pour les deux figures de gauche en deçà de avec une face de sortie au-delà ou en deçà de dans le 1er cas le foyer principal image est virtuel, le rayon émerge au-dessus de l'axe optique principal en s'en éloignant et dans le 2ème il est réel, le rayon émerge au-dessous de en s'en rapprochant, Justification du caractère convergent : pour les deux figures de droite au-delà de avec une face de sortie au-delà ou en deçà de dans le 1er cas le foyer principal image est virtuel, le rayon émerge au-dessus de l'axe optique principal en s'en éloignant et dans le 2ème il est réel, le rayon émerge au-dessous de en s'en rapprochant.
Axes optiques secondaires de l'oculaire et foyers secondaires objet ou image associés à un axe optique secondaire
Tout rayon incident, incliné par rapport à l'axe optique principal et passant directement ou par son prolongement par le point principal objet de l'oculaire de Plössl[42] ainsi que son émergent issu directement ou par son prolongement du point principal image son émergent constituent un axe optique secondaire ;
montrer que les « deux demi-droites issues des points principaux d'un axe optique secondaire de l'oculaire de Plössl[42] sont ».
En vous basant sur la définition des foyers secondaires associés à un axe optique secondaire d'une lentille mince [90], introduire cette notion pour un doublet de lentilles et en particulier En vous basant sur la définition des foyers secondaires associés à un axe optique secondaire d'une lentille mince, introduire cette notion pour l'oculaire de Plössl[42] puis
En vous basant sur la définition des foyers secondaires associés à un axe optique secondaire d'une lentille mince, en déduire une méthode de construction du point image, par l'oculaire de Plössl[42], d'un point objet de l'axe optique principal, méthode utilisant exclusivement la notion de foyers secondaires objet ou image.
Solution
Propriété “ parallélisme des rayons incidents passant par le point principal objet de l'oculaire de Plössl[42] et des rayons émergents correspondants ”, notion d'axes optiques secondaires
Considérons un rayon incident, incliné par rapport à l'axe optique principal plus précisément en faisant l'angle algébrisé avec et dont le prolongement passe par le point principal objet de l'oculaire de Plössl[42] et soit Considérons un point objet de ce rayon, puis [91] ; construisons l'image par l'oculaire de Plössl[42] en utilisant deux rayons incidents issus de ,
un rayon à qui rencontre le plan principal objet en un point à la distance de et émerge, du plan principal image d'un point à une même distance de en direction du foyer principal image en vert sur le schéma,
un rayon passant par le foyer principal objet qui rencontre le plan principal objet en un point à la distance de et émerge, du plan principal image d'un point à une même distance de parallèlement à en gris sur le schéma ;
construisons l'image par l'oculaire de Plössl[42] est à l'intersection des deux rayons émergents correspondant aux deux rayons incidents issus de ; construisons l'image par l'oculaire de Plössl est à l'intersection des deux le rayon émergent associé au rayon incident est alors , construisons l'image par l'oculaire de Plössl est à l'intersection des deux le rayon émergent il sort de l'oculaire de Plössl[42] en étant incliné relativement à l'axe optique principal construisons l'image par l'oculaire de Plössl est à l'intersection des deux le rayon émergent il sort de l'oculaire de Plössl en étant incliné plus précisément en faisant l'angle algébrisé avec et construisons l'image par l'oculaire de Plössl est à l'intersection des deux le rayon émergent il sort de l'oculaire de Plössl en étant incliné nous allons établir que ; ......les angles obéissant aux conditions de Gauss[7],[8],[9] sont petits leur valeur absolue en , à savoir et , sont et on déduit
on en déduit «» en utilisant la définition du grandissement tranverse d'un objet linéique transverse[13] de pied et, on en déduit avec la 2ème relation de conjugaison approchée de Descartes[3] de l'oculaire de Plössl[42] «»[94] on obtient «» d'où «» ;
en conclusion, un axe optique de l'oculaire de Plössl[42] est l'< u>association d'un rayon incident dont le prolongement passe par le point principal objetet du rayon émergent correspondant, de prolongement issu du point principal imageet de directionau rayon incident ; en conclusion, l'axe optique est dit secondaire s'il est incliné relativement à l'axe de symétrie de l'oculaire de Plössl[42], axe de symétrie définissant l'axe optique principal[95].
Notion de foyers secondaires objet et image associé à un axe optique secondaire :
l'intersection de la partie émergente d'un axe optique secondaire avec le plan focal image définit le foyer secondaire image associé à l'axe optique secondaire ; on a la propriété suivante
c.-à-d. que « tout rayon incident à et rencontrant le plan principal objet en émerge de conjugué de et situé dans le plan principal image à la même distance de que en passant par le foyer secondaire image associé à l'axe optique secondaire »,
l'intersection de la partie incidente d'un axe optique secondaire avec le plan focal objet définit le foyer secondaire objet associé à l'axe optique secondaire ; on a la propriété suivante
c.-à-d. que « tout rayon incident passant par le foyer secondaire objet et rencontrant le plan principal objet en émerge de conjugué de et situé dans le plan principal image à la même distance de que parallèlement à l'axe optique secondaire associé au foyer secondaire objet axe optique secondaire comprenant la partie incidente et la partie émergente à la partie incidente issue de ».
Utilisation de la notion de foyers secondaires image ou objet d'un oculaire de Plössl[42] pour construire l'image d'un point objet de l'axe optique principal de l'oculaire
Construction de l'image, par l'oculaire de Plössl[42], d'un point objet situé sur l'axe optique principal par utilisation exclusive de la notion de foyers secondaires objet ou image : voir ci-contre ;
en noir utilisation de la notion de foyer secondaire image : soit un rayon incident issu du point objet de l'axe optique principal , ce rayon coupant le plan principal objet en émergera du plan principal image en situé à la même distance de que , en passant par le foyer secondaire image associé à l'axe optique secondaire dont la partie incidente est la issue de au rayon incident la partie émergente étant à la partie incidente issue de ;
en gris utilisation de la notion de foyer secondaire image : soit un rayon incident issu du point objet de l'axe optique principal , ce rayon coupant le plan focal objet en un foyer secondaire objet et le plan principal objet en émergera du plan principal image en situé à la même distance de que , parallèlement à l'axe optique secondaire associé au foyer secondaire objet dont la partie incidente est la partie émergente étant à la partie incidente issue de ;
Construction de l'image, par l'oculaire de Plössl, d'un point objet situé sur l'axe optique principal se détermine par l'intersection d'un des deux rayons émergents avec .
Détermination du grossissement de l'oculaire en fonction de sa « puissance optique » pour un objet situé à l'infini
Préliminaire : la puissance optique d'un oculaire est le degré auquel l'oculaire fait converger ou diverger la lumière, Préliminaire : la puissance optique d'un oculaireelle est égale au quotient de l'angle sous lequel l'œil voit l'image en sortie de l'oculaire sur la taille de l'objet [97], Préliminaire : la puissance optique d'un oculaireelle est exprimée en dioptries .
Détermination du rayon angulaire que l'oculaire de Plössl donne de l'image d'un objet situé dans le plan focal objet de ce doublet de lentilles minces
Un disque transverse centré sur l'axe optique principal de l'oculaire de Plössl[42] est placé dans le plan focal objet de ce dernier ; Un disque transverse sachant que le rayon du disque est déterminer le rayon angulaire de son image à l'infini.
Solution
Cheminement de la lumière issue d'un objet placé dans le plan focal objet d'un oculaire de Plössl[42]
Soit le centre du disque transverse et Soit le bord supérieur situé dans le plan de coupe, on a la conjugaison suivante
«»
où est le foyer secondaire objet de la 2ème lentille par lequel passe le rayon incident non dévié par la 1ère lentille, l'axe optique secondaire de cette 2ème lentille associé à étant noté , au-delà de la 2ème lentille, le rayon correspondant émerge parallèlement à et l'image de par l'oculaire de Plössl[42] est le point à l'infini de l'axe optique secondaire de la 2ème lentille l'image de par l'oculaire de Plössl[42] étant le point à l'infini de l'axe optique principal ;
l'angle non algébrisé sous lequel de on voit étant c'est aussi l'angle d'inclinaison, relativement à l'axe optique principal , de l'axe optique secondaire de la 2ème lentille associé au foyer secondaire objet de cette même lentille avec «» [98][92], se déterminant dans le triangle rectangle selon soit «» expression nécessitant d'évaluer le rayon de l'image intermédiaire ;
étant vu de sous le même angle non algébrisé que nous en déduisons, en travaillant dans les triangles rectangles et , avec «»[98][92] soit «» «» ou, avec «» d'une part, «»[61] d'autre part et «» d'où soit finalement «» ;
le report de «» et de «» dans «» détermine la valeur du rayon angulaire de l'image à l'infini «»[93] soit «».
Évaluer la puissance de l'oculaire de Plössl[42] «» en fonction de puis calculer sa valeur en dioptries[2] si .
Solution
De l'expression du rayon angulaire de l'image à l'infini par l'oculaire de Plössl[42] trouvée précédemment «», on en déduit celle de la puissance de cet oculaire «» soit
«» ou numériquement, avec , en et finalement «»[2].
Évaluation du grossissement de l'oculaire relativement à l'observation du disque au punctum proximum de l'œil de l'observateur
L'objet observé à l'œil nu, à la distance minimale de vision distincte , serait vu sous le rayon angulaire , L'objet observé à travers l'oculaire de Plössl[42], il est vu sous le rayon angulaire ; évaluer le grossissement de l'oculaire «» en fonction de la puissance de ce dernier et de la distance minimale de vision distincte puis calculer sa valeur numérique.
Solution
L'angle non algébrisé sous lequel un œil normal voit le disque placé à son punctum proximum[99] étant «» et l'angle non algébrisé sous lequel l'œil normal n'accommodant pas voit le disque à travers l'oculaire de Plössl[42] «», on en déduit le grossissement de l'oculaire de Plössl[42] «» soit finalement «» ou numériquement «».
Doublet de lentilles minces non accolées constitué d'une lentille convergente et d'une divergente
Soit le « doublet de lentilles minces du type »[43] la 1ère lentille dans le sens de propagation de la lumière est convergente de distance focale image «»[44], Soit le « doublet de lentilles minces du type » la distance séparant les centres optiques dans le sens de propagation de la lumière est «»[44] et Soit le « doublet de lentilles minces du type » la 2ème lentille dans le sens de propagation de la lumière est divergente de distance focale image «»[44] ;
Soit ce doublet de lentilles minces non accolées pouvant être utilisé pour voir un objet avec plus de détails constitue un « oculaire ».
Déterminations algébrique et graphique des foyers principaux objet Fo et image Fi de l'oculaire
Vérifier, sur un schéma à l'échelle, que l'oculaire est focal[45] ;
déterminer, en fonction de [44], le positionnement des foyers principaux objet et image de l'oculaire et
dire si cet oculaire est « positif ou négatif » sachant qu'un oculaire est dit positif si son foyer principal objet est réel et dire si cet oculaire est « positif ou négatif » sachant qu'un oculaire est dit négatif sison foyer principal objet est virtuel.
Solution
Détermination graphique des foyers principaux objet et image du doublet de lentilles minces [43]
Un oculaire est « afocal » si le point à l'infini de l'axe optique principal est un point double c.-à-d. si l'image intermédiaire recherchée notée obéit à
«»
avec ou encore si , il suffit de vérifier, pour prouver que l'oculaire est « focal », que le foyer principal image de la 1ère lentille n'est pas confondu avec le foyer principal objet de la 2ème lentille c.-à-d. «» voir schéma ci-contre.
Détermination du foyer principal image de l'oculaire : la définition du foyer principal image peut être écrite selon c.-à-d. que le foyer principal image de l'oculaire est l'image par du foyer principal image de ou «» ; Détermination du foyer principal image de l'oculaire : pour déterminer la position de il suffit d'utiliser la relation de conjugaison approchée de position ou 1ère relation de conjugaison approchée de Newton[38],[46] de la lentille [39] pour le couple soit «» avec [47] soit «» d'où donnant numériquement «» soit «» ou, Détermination du foyer principal image de l'oculaire : en repérage de Descartes[3] relativement à la 2ème lentille soit «» ;
Détermination du foyer principal image de l'oculaire : on détermine graphiquement la position du foyer principal image de l'oculaire Détermination du foyer principal image de l'oculaire : on détermine graphiquement en utilisant un rayon incident à l'axe optique principal[48],
Détermination du foyer principal image de l'oculaire : on détermine graphiquement se réfractant à partir de en un rayon intermédiaire passant par le foyer principal image [49] de , Détermination du foyer principal image de l'oculaire : on détermine graphiquement rayon intermédiaire à l'axe optique secondaire de la lentille Détermination du foyer principal image de l'oculaire : on détermine graphiquement se réfractant, à partir de , en passant par le foyer secondaire image de l'axe optique secondaire [50], Détermination du foyer principal image de l'oculaire : on détermine graphiquement l'intersection de ce rayon émergent et de l'axe optique principal définissant le foyer principal image de l'oculaire voir schéma ci-dessus où on peut vérifier que la position trouvée graphiquement est conforme à celle obtenue algébriquement.
Détermination du foyer principal objet de l'oculaire : la définition du foyer principal objet peut être écrite selon c.-à-d. que le foyer principal objet de l'oculaire est l'antécédent par du foyer principal objet de ou «» ; Détermination du foyer principal objet de l'oculaire : pour déterminer la position de il suffit d'utiliser la relation de conjugaison approchée de position ou 1ère relation de conjugaison approchée de Newton[38],[46] de la lentille [39] pour le couple soit «» avec [47] soit «» d'où donnant numériquement «» soit «» ou, Détermination du foyer principal objet de l'oculaire : en repérage de Descartes[3] relativement à , soit «» ;
Détermination du foyer principal objet de l'oculaire : on détermine graphiquement la position du foyer principal objet de l'oculaire Détermination du foyer principal objet de l'oculaire : on détermine graphiquement en utilisant un rayon émergent à l'axe optique principal[51],
Détermination du foyer principal objet de l'oculaire : on détermine graphiquement dont l'antécédent en deçà de est un rayon intermédiaire passant par le foyer principal objet [52] de , Détermination du foyer principal objet de l'oculaire : on détermine graphiquement rayon intermédiaire à l'axe optique secondaire de la lentille Détermination du foyer principal objet de l'oculaire : on détermine graphiquement de rayon incident, en deçà de , passant par le foyer secondaire objet de l'axe optique secondaire [53], Détermination du foyer principal objet de l'oculaire : on détermine graphiquement l'intersection de ce rayon incident et de l'axe optique principal définissant le foyer principal objet de l'oculaire voir schéma ci-dessus où on peut vérifier que la position trouvée graphiquement est relativement conforme à celle obtenue algébriquement [100].
Caractère positif ou négatif de l'oculaire : le foyer principal objet de l'oculaire étant situé après la face d'entrée de ce dernier car «» Caractère positif ou négatif de l'oculaire : le foyer principal objet de l'oculaire est virtuel et par suite l'oculaire est dit négatif.
Caractère divergent de l'oculaire déterminé par construction
En considérant un rayon incident à l'axe optique principal et en traçant le cheminement de ce rayon à travers l'oculaire, vérifier que ce dernier est divergent sachant[101] que un système optique est convergent si un rayon incident à l'axe optique principal et au-dessus de ce dernier, émerge de la face de sortie du système au-dessus de en s'en rapprochant ou un système optique est convergent si un rayon incident à l'axe optique principal et au-dessus de ce dernier, émerge de la face de sortie du système au-dessous de en s'en éloignant, un système optique est divergent si un rayon incident à l'axe optique principal et au-dessus de ce dernier, émerge de la face de sortie du système au-dessus de en s'en éloignant ou un système optique est divergent si un rayon incident à l'axe optique principal et au-dessus de ce dernier, émerge de la face de sortie du système au-dessous de en s'en rapprochant, un système optique est afocal si un rayon incident à l'axe optique principal , émerge de la face de sortie du système à , après ou sans avoir coupé ce dernier.
Solution
Détermination graphique des foyers principaux objet et image du doublet de lentilles minces [43]
On constate, sur le schéma ci-dessus [102], le caractère divergent de l'oculaire en effet
On constate, sur le schéma ci-dessus, un rayon incident à l'axe optique principal et situé au-dessus, On constate, sur le schéma ci-dessus, un rayon incident émerge de la lentille au-dessus de On constate, sur le schéma ci-dessus, un rayon incident en s'éloignant de ce dernier et On constate, sur le schéma ci-dessus, un rayon incident en dont le prolongement provient du foyer principal image .
Remarque : dans le schéma rappelé ci-dessus, le foyer principal image est virtuel mais attention : Remarque : d'une part le caractère virtuel du foyer principal image n'est pas nécessaire pour conclure au caractère divergent du doublet [103], raison pour laquelle le caractère virtuel de n'est pas évoqué, Remarque : d'autre part le caractère virtuel du foyer principal image n'est pas suffisant pour conclure au caractère divergent du doublet [104], raison pour laquelle le caractère virtuel de ne doit pas être évoqué.
Détermination de la distance focale (image) de l'oculaire
l'abscisse objet de Newton[38] du point objet de l'axe optique principal «» et
l'abscisse image de Newton[38] du point image de l'axe optique principal «» ;
en admettant que la 1ère relation de conjugaison approchéeou relation de conjugaison approchée de position de Newton[38],[39] est encore applicable à un doublet focal de lentilles minces et que ceci permet de définir la valeur absolue de la distance focale image de ce dernier la distance focale objet étant toujours opposée à la distance focale image , déterminer :
en appliquant la relation de conjugaison approchée de position de Newton[38] à l'oculaire[39] pour un couple de points conjugués judicieusement choisis, puis
sachant qu'un système convergent a une distance focale image positive la distance focale image d'un système divergent étant négative.
Solution
Pour déterminer la valeur absolue de la distance focale image de l'oculaire en utilisant la 1ère relation de conjugaison approchéeou relation de conjugaison approchée de position de Newton[38]«»[39] avec «» et «», relation supposée applicable à tout couple de points conjugués par l'oculaire, il faut choisir des points conjugués particuliers et les plus faciles à obtenir sont ceux dont l'image intermédiaire est à l'infini sur l'axe optique principal soit
«» établissant que le couple « est conjugué par l'oculaire » ;
pour ce couple on a «» [105] et pour ce couple on a «»[105] pour ce couple on a d'où se réécrivant soit
«» ;
l'oculaire étant divergent sa distance focale image est et par suite elle vaut
Les points principaux objet et image d'un système optique sont les points conjugués de l'axe optique principal tels que le système optique donne, d'un objet linéique transverse[13] de pied positionné au point principal objet , un grandissement transverse valant «»[63] ;
en admettant que les deux formes de la 2ème relation de conjugaison approchéeou relation de conjugaison approchée de grandissement transverse de Newton[38],[64] sont encore applicables à un doublet focal de lentilles minces, déterminer :
l'abscisse objet de Newton[38] du point principal objet «», positionner alors sur l'axe optique principal et
l'abscisse image de Newton[38] du point principal image «», positionner de même sur l'axe optique principal.
Déterminer graphiquement la position des points principaux objet et image de l'oculaire en utilisant la méthode de détermination graphique exposée ci-après on vérifiera l'accord avec la détermination algébrique précédente :
lors de la détermination du foyer principal image de l'oculaire, on considère un rayon incident à l'axe optique principal qui se réfracte à partir de la lentille en un rayon intermédiaire dont le prolongement passe par le foyer principal image de cette dernière, ce rayon intermédiaire à l'axe optique secondaire de la lentille conduisant à un rayon émergent, à partir de cette lentille, passant par le foyer secondaire image correspondant à cet axe optique secondaire et l'intersection de ce rayon émergent et de l'axe optique principal définissant le foyer principal image de l'oculaire ; considérant ensuite un objet linéique transverse [13] de pied sur l'axe optique principal et dont l'autre extrémité est sur le rayon incident à précédemment utilisé, dans l'hypothèse où serait en [70], l'image étant de même taille et de même sens que l'objet et l'extrémité devant être sur le rayon émergent de l'oculaire passant par le foyer principal image [107], se trouve à l'intersection de ce rayon émergent et du rayon incident conjugué, projeté orthogonal de sur définissant alors la position du point principal image ;
lors de la détermination du foyer principal objet de l'oculaire, on considère un rayon émergent à l'axe optique principal dont l'antécédent en deçà de la lentille est un rayon intermédiaire de prolongement passant par le foyer principal objet de cette dernière, ce rayon intermédiaire à l'axe optique secondaire de la lentille conduisant à un rayon incident, en deçà de cette lentille, passant par le foyer secondaire objet correspondant à cet axe optique secondaire et l'intersection de ce rayon incident et de l'axe optique principal définissant le foyer principal objet de l'oculaire ; considérant ensuite une image linéique transverse dont l'autre extrémité est sur un rayon émergent à [72], l'antécédent étant de même taille et de même sens que l'image et l'extrémité devant être sur le rayon incident correspondant passant par le foyer principal objet [108], se trouve à l'intersection de ce rayon incident et du rayon émergent conjugué, le point principal objet s'obtenant par projection orthogonale de sur .
Solution
Positionnement des points principaux du doublet de lentilles minces [43] sur le schéma construisant les positions des foyers principaux de ce dernier
Considérant le couple de points principaux conjugués par l'oculaire et appliquant la 2ème relation de conjugaison approchéeou relation de conjugaison approchée de grandissement transverse de Newton[38] sous la forme «»[64] avec «», on trouve, avec «»,
l'abscisse objet de Newton[38] du point principal objet «» ;
appliquant la 2ème relation de conjugaison approchéeou relation de conjugaison approchée de grandissement transverse de Newton[38] au couple de points principaux conjugués par l'oculaire sous la forme «»[64] avec «», on trouve, avec «»,
l'abscisse image de Newton[38] du point principal image «» ;
voir le positionnement des points principaux de l'axe optique principal sur la figure ci-dessus on remarque que se confond avec et avec et voir la détermination graphique simultanée des foyers principaux et des points principaux sur la figure ci-dessous :
Détermination graphique simultanée des foyers et points principaux du doublet de lentilles minces [43]
On reprend tout d'abord la construction du foyer principal image en noir [109]rayon incident à l'axe optique principal , rayon intermédiaire passant [110] par le foyer principal image de , rayon émergent passant[110] par le foyer secondaire image de associé à son axe optique secondaire au rayon intermédiaire, l'intersection du rayon émergent plus exactement du prolongement du rayon émergent avec l'axe optique principal définissant le foyer principal image de l'oculaire et on détermine ensuite le point principal image en rouge[109]objet linéique transverse [13] tel que se trouve a priori avec n'importe quel positionnement possible sur le rayon incident à l'axe optique principal utilisé pour la détermination de , si est dans le plan principal objet, est alors dans le plan principal image, droite et de même taille que , étant sur le rayon émergent de d'où à l'intersection de ce rayon émergent et du rayon incident à l'axe optique principal puisque est droite et de même taille que , le projeté orthogonal de sur l'axe optique principal définissant le point principal image de l'oculaire graphiquement la position géométrique de se confond avec celle du foyer principal objet de [111] ;
on poursuit avec la construction du foyer principal objet en bleu[109]rayon émergent à l'axe optique principal , rayon intermédiaire passant[110] par le foyer principal objet de , rayon incident passant[110] par le foyer secondaire objet de associé à son axe optique secondaire au rayon intermédiaire, l'intersection du rayon incident plus exactement du prolongement du rayon incident avec l'axe optique principal définissant le foyer principal objet de l'oculaire et on détermine ensuite le point principal objet en rouge[109]image linéique transverse dans le plan principal image avec sur le rayon émergent à l'axe optique principal utilisé pour la détermination de ce rayon émergent étant dans le prolongement du rayon incident à l'axe optique principal utilisé pour la détermination de , l'antécédent de l'image est dans le plan principal objet, droit et de même taille que , étant sur le rayon incident de d'où à l'intersection de ce rayon incident et du rayon émergent à l'axe optique principal puisque est droite et de même taille que , le projeté orthogonal de sur l'axe optique principal définissant le point principal objet de l'oculaire graphiquement la position géométrique de se confond avec celle du foyer principal image de [111].
Détermination de la vergence d'une lentille mince, méthode d'autocollimation
On se propose de déterminer expérimentalement la vergence «» d'une lentille mince convergence , de centre optique , de distance focale image «» inconnue On se propose de déterminer expérimentalement la vergence «» d'une lentille mince convergence , par la méthode d'autocollimation ;
pour cela on accole à la lentille , un miroir plan et on obtient le système catadioptrique «» [112] ;
le système obtenu étant catadioptrique, on adopte l'algébrisation physique de l'axe optique principal [113]on précisera en indice le sens de propagation de la partie d'axe optique principal considérée.
Détermination de la distance algébrique δ entre l'objet et l'image par le système catadioptrique
Lorsque le point objet considéré d'abscisse de Descartes[3] «»[113] se déplace sur l'axe optique principal, son image par le système catadioptrique «»[112], point image d'abscisse de Descartes[3] «»[113], se déplace aussi ;
déterminer l'expression de la mesure algébrique «»[113] en fonction de « et de ».
Solution
Il convient bien sûr de faire un schéma explicatif
Le système catadioptrique «»[112] reliant le point objet de l'axe optique principal au point image de en passant par les points image intermédiaires et de selon «», on écrit successivement la 1ère relation de conjugaison approchée ou rigoureuseou relation de conjugaison approchée ou rigoureuse de position de Descartes[3] pour , et appliquée aux points conjugués soit :
Étudier la variation de la distance algébrique entre l'objet et l'image «»[113] en fonction de l'abscisse de Descartes[3] de l'objet «» ;
préciser pour quelles valeurs de «» on obtient «».
Solution
On détermine la variation de «»[113] avec «» en calculant la dérivée «», On détermine la variation de «» avec «» en calculant la dérivée soit «» puis On détermine la variation de «» avec «» en étudiant son signe, «» qui est de signe contraire de «» dont le discriminant réduit vaut «» « toujours » et par suite « toujours » et On détermine la variation de «» avec «» en concluant «[113] fonction de » [118].
« devant être pour que l'objet soit réel », on a, avec « considéré initialement à l'infini sur l'axe optique principal et se rapprochant de »,
« devant être pour que l'objet soit réel », on a, « de à »[118] « de à »,
« devant être pour que l'objet soit réel », on a, « de [118] à » « de à » ;
les valeurs de «» pour lesquelles on obtient «»[113] sont «» [119] et les valeurs de «» pour lesquelles on obtient «» sont «» [120].
On déplace l'ensemble « lentille - miroir plan » relativement à un « objet linéique transverse »[13] de façon à recueillir l'« image dans le plan de front de l'objet », On déplace l'ensemble « lentille - miroir plan » relativement à un « objet linéique transverse » la distance algébrisée « objet - lentille » étant alors «» ;
On déplace l'ensemble « lentille - miroir plan » relativement à un « objet linéique transverse » en déduire la vergence «» de la lentille «».
Solution
On recueille l'image dans le même plan transverse que l'objet signifie que «» ce qui est réalisé «» et comme cette situation correspond à «», on en déduit «» et par suite la vergence de la lentille est « en » soit «»[2].
Un téléobjectif est constitué de deux lentilles minces coaxiales, l'une «» convergente de distance focale image «» et Un téléobjectif est constitué de deux lentilles minces coaxiales, l'autre «» divergente de distance focale image «». Lorsque le téléobjectif est mis au point sur l'infini, son encombrement distance de la lentille mince à la plaque photographique est «».
Calcul de la distance séparant les centres optiques des deux lentilles minces coxiales du téléobjectif avec la mise au point de ce dernier à l'infini
Calculer la distance «» entre les centres optiques de et du téléobjectif dont la mise au point est faite sur l'infini pour cela on explicitera le foyer principal image «» du téléobjectif par rapport à et on utilisera la définition de .
Solution
Il faut bien sûr ajouter un schéma explicatif positionnant les deux lentilles minces avec leurs foyers principaux et leur centre optique respectifs.
Notant « le point à l'infini de l'axe optique principal » nous déduisons, de la définition du « foyer principal image du téléobjectif », les conjugaisons suivantes «» c.-à-d. Notant « le point à l'infini de l'axe optique principal » nous déduisons, que « est l'image, par l'oculaire , du foyer principal image de l'objectif » ou «» ;
utilisant la relation de conjugaison approchée de position ou 1ère relation de conjugaison approchée de Newton[38] de la lentille mince «» pour le « couple de points conjugués par »[39], on obtient «» ;
connaissant l'« encombrement du téléobjectif » [121] quand la « mise au point de ce dernier est faite sur l'infini »[122] «» et le réécrivant selon connaissant l'« encombrement du téléobjectif » quand la « mise au point de ce dernier est faite sur l'infini » «» «», connaissant la disposition relative des deux lentilles mince par «» soit «»,
on déduit, de la relation de conjugaison «», que « est solution de «», équation algébrique du 2ème degré, ou encore, on déduit, de la relation de conjugaison «», que « est solution de «» après développement et classement par puissances , on déduit, de la relation de conjugaison «», que « est solution de de discriminant « on déduit, de la relation de conjugaison «», que « est solution de de discriminant «» soit numériquement on déduit, de la relation de conjugaison «», que « est solution de de discriminant «» d'où on déduit, de la relation de conjugaison «», que «» et numériquement «» c.-à-d. on déduit, de la relation de conjugaison «», que «» et numériquement «» ;
or la distance « devant être à l'encombrement », puisque la plaque photographique « réelle » ne peut être qu'au-delà de la face de sortie, on retient «».
Détermination des foyers principaux image Fi et objet Fo du téléobjectif
Préciser la position du foyer principal image «» du téléobjectif et déterminer celle du foyer principal objet «» de ce dernier.
Solution
Le foyer principal image «» du téléobjectif étant dans le plan de la plaque photographique est à la distance «» de la face d'entrée, c.-à-d. Le foyer principal image «» du téléobjectif étant dans le plan de la plaque photographique est situé dans l'espace image réelle à une distance «» au-delà de la face de sortie ;
notant « le point image à l'infini sur l'axe optique principal » nous déduisons, de la définition du « foyer principal objet du téléobjectif », les conjugaisons suivantes «» c.-à-d. notant « le point image à l'infini sur l'axe optique principal » nous déduisons, que « est l'antécédent, par l'objectif , du foyer principal objet de l'oculaire » ou «» ;
utilisant la relation de conjugaison approchée de position ou 1ère relation de conjugaison approchée de Newton[38] de la lentille mince «» pour le « couple de points conjugués par »[39], on obtient «» ;
on déduit, de la relation de conjugaison «», que «» soit numériquement «» ou encore on déduit, de la relation de conjugaison «», que «» soit numériquement «» d'où
le positionnement du foyer principal objet du téléobjectif à la distance de en-deçà de la face d'entrée de ce dernier.
Détermination de la distance focale image fi du téléobjectif
En admettant l'applicabilité, au doublet de lentilles minces coaxiales, de la relation de conjugaison appliquée de position ou 1ère relation de conjugaison appliquée de Newton[38], déterminer la distance focale image «» de ce téléobjectif on vérifiera auparavant le caractère convergent du doublet.
En déduire le principal avantage de ce téléobjectif par rapport à un objectif simple de même focale.
Solution
Schéma de justification du caractère convergent du téléobjectif
On vérifie le caractère convergent du doublet de lentilles minces coaxiales constituant le téléobjectif par la constatation sur le schéma ci-dessus qu'un rayon incident à l'axe optique principal converge vers sans avoir auparavant recoupé l'axe optique principal [124].
Pour déterminer la valeur absolue de la distance focale image du téléobjectif en utilisant la 1ère relation de conjugaison approchéeou relation de conjugaison approchée de position de Newton[38]«»[39] avec «» et «», relation supposée applicable à tout couple de points conjugués par le téléobjectif, il faut choisir des points conjugués particuliers et les plus faciles à obtenir sont ceux dont l'image intermédiaire est à l'infini sur l'axe optique principal soit
«» établissant que le couple « est conjugué par le téléobjectif » ;
pour ce couple on a «» [125] et pour ce couple on a «»[125] pour ce couple on a d'où «» se réécrivant «» «» soit «» ;
le téléobjectif étant convergent sa distance focale image est et par suite le téléobjectif étant convergent sa distance focale image vaut «» [126].
L'utilisation de ce téléobjectif permet une réduction de l'encombrement « au lieu de qui serait nécessaire avec un objectif simple de même distance focale de ».
Détermination de la dimension de l'image d'une tour supposée à l'infini par le téléobjectif
Calculer la dimension de l'image, par le téléobjectif, d'une tour[127] si très éloignée de faible diamètre angulaire apparent «» par exemple tour de de haut située à du téléobjectif.
Solution
La tour étant située à du téléobjectif peut être considérée comme à l'infini de ce dernier et par suite son image par l'objectif est dans le plan focal image de pied de ce dernier, l'image définitive par l'oculaire étant dans le plan focal image de pied du téléobjectif ;
notant l'objet linéique transverse[13] représentant la tour selon son axe de symétrie vertical[127], son image par l'objectif et son image définitive par le téléobjectif, le grandissement transverse de la tour par le téléobjectif étant défini par «» se réécrit selon
«» où « est le grandissement transverse de la tour par l'objectif » et « le grandissement transverse par l'oculaire de l'image intermédiaire par l'objectif de la tour » ;
on applique alors la 2ème relation de conjugaison approchéeou relation de conjugaison approchée de grandissement transverse de Descartes[3],[6]
soit finalement le grandissement transverse de ce téléobjectif pour la tour valant ««» dont on déduit, par définition du grandissement transverse «», la dimension de l'image de la tour par le téléobjectif « en ou » c.-à-d. « une image dede haut ».
Vergence et aberrations chromatiques d'une lentille sphérique mince puis d'un doublet de lentilles sphériques minces accolées ou non, formule de Gullstrand
Une lentille sphérique est un cas particulier de « système dioptrique centré » [129] d'axe de révolution jouant le rôle d'axe optique principal , Une lentille sphérique est un cas particulier de « système dioptrique centré » obtenu par la juxtaposition de deux dioptres sphériques ou plan dont l'un au moins est sphérique [130], Une lentille sphérique est un cas particulier de « système dioptrique centré » obtenu par la juxtaposition de deux dioptres de même espace optique intermédiaire d'indice :
le 1er dioptre , dit dioptre d'entrée, est de sommet , de centre , de rayon de courbure algébrisé [131], séparant l'espace optique d'indice jouant le rôle d'espace objet réel pour la lentille sphérique[132] et l'espace optique intermédiaire d'indice ;
le 2ème dioptre , dit dioptre de sortie, est de sommet , de centre , de rayon de courbure algébrisé [133], séparant l'espace optique intermédiaire d'indice et l'espace optique d'indice jouant le rôle d'espace image réelle pour la lentille sphérique[132] ;
la 1ère relation de conjugaison approchéeou relation de conjugaison approchée de position de Descartes[3]avec origine au sommet «» [134] avec « une constante définissant la vergence du dioptre sphérique selon » dans le cas d'un dioptre plan cette relation est encore applicable avec ;
la 2ème relation de conjugaison approchéeou relation de conjugaison approchée de grandisssement transverse de Descartes[3]avec origine au sommet «» [135]encore applicable dans le cas d'un dioptre plan.
Une lentille sphérique étant « mince » [136] si « son épaisseur est très petite » [137] c.-à-d. si « les sommets des faces d'entrée et de sortie peuvent être confondus » , le point commun définissant le centre optique de la lentille sphérique mince, établir les 1ère et 2ème relations de conjugaison approchée de Descartes[3] à partir de celles des dioptres d'entrée et de sortie avec origine au sommet respectif et déterminer l'expression de la vergence de la lentille sphérique mince séparant l'espace objet réel d'indice de l'espace image réelle d'indice ,
puis retrouver les relations de conjugaison approchée de position et de grandissement transverse de Descartes[3] dans le cas où la lentille sphérique mince est plongée dans l'air et puis réécrire l'expression de sa vergence.
Solution
Considérant une lentille sphériquea priori non mince conjuguant le point objet et le point image selon «» dans les conditions de stigmatisme approché de Gauss[7],[8], on écrit les relations de conjugaison approchée de position de Descartes[3]avec origine au sommet respectif appliquées à chaque dioptre soit «» dans lesquelles nous voyons la difficulté pour éliminer l'image intermédiaire dans le cas d'une lentille sphérique « épaisse »[138], difficulté engendrée par ;
dans le cas d'une lentille sphérique mince, avec « point commun définissant le centre optique de la lentille mince », les relations de conjugaison approchée de position de Descartes[3]avec origine au sommet respectif se réécrivant «» permettent une élimination très facile de l'image intermédiaire en faisant la somme de ces deux équations «» dans laquelle « définit la vergence de la lentille sphérique mince» soit la 1ère relation de conjugaison approchéeou relation de conjugaison approchée de position de Descartes[3] d'une lentille sphérique mince
«» avec «» et «» ;
considérant encore une lentille sphériquea priori non mince conjuguant l'objet linéique transverse [13] et l'image correspondante selon «» dans les conditions de stigmatisme et d'aplanétisme approchés de Gauss[7],[8],[9], on écrit les relations de conjugaison approchée de grandissement transverse de Descartes[3]avec origine au sommet respectif appliquées à chaque dioptre selon «», le grandissement transverse de l'objet par la lentille sphérique « épaisse »[138] se définissant par «» et pouvant aisément se réécrire «» ou «», on en déduit «» soit encore «» dans laquelle l'élimination définitive de l'image intermédiaire ne semble pas aisée ;
dans le cas d'une lentille sphérique mince, avec « point commun définissant le centre optique de la lentille mince », le dernier facteur de l'expression approchée de Descartes[3] de grandissement transverse de l'objet par la lentille sphérique mince valant , on en déduit «» soit la 2ème relation de conjugaison approchéeou relation de conjugaison approchée de grandissement transverse de Descartes[3] d'une lentille sphérique mince
«» avec «».
Dans le cas où la lentille sphérique mince est plongée dans l'air on a «» la 1ère relation de conjugaison approchéeou relation de conjugaison approchée de position de Descartes[3] d'une lentille sphérique mince plongée dans l'air
Dans le cas où la lentille sphérique mince est plongée dans l'air on a «» la 2ème relation de conjugaison approchéeou relation de conjugaison approchée de grandissement transverse de Descartes[3] d'une lentille sphérique mince plongée dans l'air
«» avec «».
Aberrations chromatiques d'une lentille sphérique mince
Principe de l'aberration chromatique : l'indice du milieu constituant la lentille quand la longueur d'onde dans le vide
La vergence d'une lentille sphérique mince plongée dans l'air dépendant de l'indice du milieu constituant la lentille et celui-ci étant a priori plus ou moins dispersif [140], on observe, suivant la couleur considérée d'un faisceau incident de lumière blanche, à l'axe optique principal, que chaque couleur émerge en se focalisant sur l'axe optique principal en des foyers principaux image dont la localisation dépend de la couleur voir ci-contre, défauts appelés aberrations chromatiques de la lentille sphérique mince et quantifiés de deux façons :
en « aberration chromatique longitudinale » définie par la distance algébrique qui sépare le foyer principal image bleu du foyer principal image rouge on observe donc un défaut de focalisation ponctuelle sur l'axe optique principal du faisceau incident de lumière blanche à , le point foyer principal image de couleur blanche n'existant pas mais étant remplacé, sur , par un segment de couleurs étalées [141][142],
en « aberration chromatique transversale » définie comme le rayon de la plus petite tache lumineuse observée dans les plans focaux image de chaque couleur, le faisceau incident, à l'axe optique principal de la lentille sphérique mince, étant de lumière blanche il s'agit donc d'un défaut de focalisation ponctuelle dans les plans focaux image du faisceau incident de lumière blanche à , par exemple dans le plan focal image rouge bleu ou autre[143], la focalisation est ponctuelle pour le rouge bleu ou autre et remplacée par un disque de plus ou moins grand rayon pour chaque autre couleur [144],[145][146].
Sachant que le caractère plus ou moins dispersif[140] d'un milieu se quantifie par la constringenceou le nombre d'Abbe[147] de ce dernier «» dans laquelle les indices , et représentent respectivement les couleurs « rouge raie de l'hydrogène», « jaune raie du sodium» et « bleu raie de l'hydrogène» [148], on se propose de déterminer les aberrations chromatiques longitudinale et transversale d'une lentille sphérique mince biconvexe de rayons de courbure non algébrisés d'entrée et de sortie , de diamètre d'ouverture[149] et d'indice suivant la relation de Cauchy[150] « avec ».
Détermination de la constringence du milieu et de la vergence moyenne de la lentille sphérique mince biconvexe précédemment définie
la vergence moyenne [151] ainsi que la distance focale image[1] moyenne[151] de la lentille.
Solution
constringence du milieu constituant la lentille sphérique mince : compte-tenu de la définition , il convient d'évaluer l'indice pour les trois couleurs de référence par utilisation de la relation de Cauchy[150] avec : constringence du milieu constituant la lentille sphérique mince : couleur jaune raie du sodium, soit numériquement ou constringence du milieu constituant la lentille sphérique mince : couleur jaune raie du sodium, puis constringence du milieu constituant la lentille sphérique mince : couleur bleu raie de l'hydrogène, soit numériquement ou constringence du milieu constituant la lentille sphérique mince : couleur bleu raie de l'hydrogène, et enfin constringence du milieu constituant la lentille sphérique mince : couleur rouge raie de l'hydrogène, soit numériquement ou constringence du milieu constituant la lentille sphérique mince : couleur rouge raie de l'hydrogène, ; constringence du milieu constituant la lentille sphérique mince : on en déduit littéralement la constringence donnant numériquement soit constringence du milieu constituant la lentille sphérique mince : on en déduit littéralement la constringence«» ; constringence du milieu constituant la lentille sphérique mince : la valeur de la constringence étant , il s'agit d'un « flint » [152] qualifié de « très dispersif » et donc constringence du milieu constituant la lentille sphérique mince : la valeur de la constringence étant , il s'agit d'un « flint » mal adapté à la limitation des aberrations chromatiques.
Vergence et distance focale image[1] moyennes[151] de la lentille sphérique mince biconvexe : le rayon de courbure algébrisé d'entrée est positif car le dioptre sphérique d'entrée qualifié de convexe avant insertion dans un montage reste, une fois inséré, convexe [153], étant à droite de , d'où «» et Vergence et distance focale image moyennes de la lentille sphérique mince biconvexe : le rayon de courbure algébrisé de sortie est négatif car, le dioptre sphérique de sortie qualifié de convexe avant insertion dans un montage est, une fois inséré, concave[153], étant à gauche de , d'où «» ; Vergence et distance focale image moyennes de la lentille sphérique mince biconvexe : la vergence moyenne de la lentille sphérique mince biconvexe vaut [154] ou encore Vergence et distance focale image moyennes de la lentille sphérique mince biconvexe : la vergence moyenne de la lentille sphérique mince biconvexe vaut [154] donnant numériquement en soit «»[2] ; Vergence et distance focale image moyennes de la lentille sphérique mince biconvexe : la distance focale image[1] moyenne[151] de la lentille sphérique mince biconvexe s'obtient par ou Vergence et distance focale image moyennes de la lentille sphérique mince biconvexe : la distance focale image moyenne «» donnant numériquement Vergence et distance focale image moyennes de la lentille sphérique mince biconvexe : la distance focale image moyenne « en » soit Vergence et distance focale image moyennes de la lentille sphérique mince biconvexe : la distance focale image moyenne «».
Détermination de l'aberration chromatique longitudinale de la lentille sphérique mince biconvexe précédemment définie
À partir des mêmes données précédemment introduites déterminer, algébriquement puis numériquement, en fonction de la constringence et de la distance focale image moyenne[151],[155] À partir des mêmes données précédemment introduites déterminer, algébriquement puis numériquement, l'aberration chromatique longitudinale de la lentille sphérique mince biconvexe.
Solution
L'aberration chromatique longitudinale de la lentille sphérique mince biconvexe définie selon «» s'évalue à partir des distances focales images bleu et rouge L'aberration chromatique longitudinale de la lentille sphérique mince biconvexe définie selon «» avec L'aberration chromatique longitudinale de la lentille sphérique mince biconvexe définie où sont des infiniment petits de même ordre un, soit encore «» ;
il reste à expliciter en fonction, entre autres, de la constringence «» du milieu constituant la lentille, il reste à expliciter en fonction, entre autres, de la constringence que l'on peut réécrire «» ou, en multipliant haut et bas par [156] il reste à expliciter en fonction, entre autres, de la constringence que l'on peut réécrire «»[156] puis, il reste à expliciter en fonction, entre autres, de la avec la définition de la vergence en fonction de la distance focale image[1], «» il reste à expliciter en fonction, entre autres, de la dans laquelle «» «» [157] et par suite il reste à expliciter en fonction, entre autres, de la constringence «» soit «» [158] ;
le report dans l'expression de l'aberration chromatique longitudinale «» précédemment trouvée nous conduit à «» ou numériquement, le report dans l'expression de l'aberration chromatique longitudinale «» précédemment trouvée nous conduit à « en » soit finalement le report dans l'expression de l'aberration chromatique longitudinale «» précédemment trouvée nous conduit à «».
Remarque : vérifions s'il est réellement licite de considérer et comme des infiniment petits de même ordre de grandeur en évaluant chaque distance focale image :
Remarque : couleur rouge de vergence en soit «»[2] et Remarque : couleur rouge de distance focale image « en »[1] soit «» donnant numériquement Remarque : couleur rouge « en » soit «» et par suite «» [159],
Remarque : couleur bleu de vergence en soit «»[2] et Remarque : couleur bleu de distance focale image « en »[1] soit «» donnant numériquement Remarque : couleur bleu « en » soit «» et par suite «» [160] ;
Remarque : couleur bleu bien que étant et qu'il n'était pas rigoureusement licite de le considérer comme un infiniment petit d'ordre un en travaillant à près, Remarque : couleur bleu bien que étant l'erreur commise en faisant cette hypothèse peut être négligée, en effet Remarque : couleur bleu bien que étant on obtient la même valeur d'aberration chromatique longitudinale en la calculant directement Remarque : couleur bleu bien que étant on obtient la même valeur à partir des valeurs de distances focales images rouge et bleu Remarque : couleur bleu bien que étant on obtient la même valeur «».
Détermination de l'aberration chromatique transversale de la lentille sphérique mince biconvexe précédemment définie
À partir des mêmes données précédemment introduites déterminer algébriquement l'aberration chromatique transversale de la lentille sphérique mince biconvexe,
À partir des mêmes données précédemment introduites déterminer d'abord en fonction de l'aberration chromatique longitudinale, des distances focales des couleurs extrêmes et du diamètre d'ouverture
À partir des mêmes données précédemment introduites déterminer puis en fonction de la constringence et du diamètre d'ouverture [161],
À partir des mêmes données précédemment introduites et terminer en faisant l'application numérique ;
et enfin, en faisant la somme des deux expressions [162] et [162], «» on en déduit finalement «» d'où une 1ère expression de l'aberration chromatique transversale «».
Les deux lentilles sphériques minces et de même axe optique principal d'un doublet sont dites « accolées » quand leurs centres optiques et sont confondus, leur position commune étant notée ; notant et les vergences respectives des lentilles sphériques et , on se propose de déterminer
à quel système dioptrique le doublet de lentilles sphériques minces et accolées est équivalent puis,
dans le cas où il serait équivalent à une lentille sphérique mince, dans quelle mesure il est possible de construire un achromat mince[166] de vergence fixée en accolant deux lentilles sphériques minces de vergence adaptée et d'indice judicieusement choisi.
Applicabilité des relations de conjugaison de position et de grandissement transverse au doublet de lentilles sphériques minces accolées
Vérifier que le point est un point double du doublet de lentilles sphériques minces accolées puis
établir les relations de conjugaison de position et de grandissement transverse de Descartes[3] du doublet en choisissant comme origine du repérage de Descartes[3] des points objets et des points images correspondant.
Solution
Soient et deux lentilles sphériques minces de même axe optique principal , de centre optique commun noté , de vergences respectives et , on vérifie aisément que le « point est un point double du doublet de lentilles sphériques minces accolées », c.-à-d. «» car est un point double de et un point double de d'où « est un point double du doublet de lentilles sphériques minces accolées » le choix de comme origine du repérage de Descartes[3] des points objet et image du doublet de lentilles sphériques minces accolées permet un traitement simplifié des relations de conjugaison par le doublet :
soient un point objet de , d'abscisse de Descartes[3], soient le point conjugué par , d'abscisse de Descartes[3] et soient le point image par le doublet de lentilles sphériques minces accolées, d'abscisse de Descartes[3] c.-à-d. soient «», nous pouvons appliquer successivement la 1ère relation de conjugaison de Descartes[3],[4] à la lentille puis nous pouvons appliquer successivement la 1ère relation de conjugaison de Descartes à la lentille , nous pouvons appliquer successivement la 1ère relation de conjugaison de Descartes nous obtenons «» et nous pouvons appliquer successivement la 1ère relation de conjugaison de Descartes nous éliminons aisément l'abscisse de l'image intermédiaire en faisant la somme de ces deux relations d'où nous pouvons appliquer successivement la 1ère relation de conjugaison de Descartes[3] du doublet de lentilles sphériques minces accolées «» ;
soient un objet linéique transverse[13] de pied d'abscisse de Descartes[3], soient l'image conjuguée par , de pied d'abscisse de Descartes[3] et soient l'image par le doublet de lentilles sphériques minces accolées, de pied d'abscisse de Descartes[3] c.-à-d. soient «», nous pouvons appliquer successivement la 2ème relation de conjugaison de Descartes[3],[6] à la lentille puis nous pouvons appliquer successivement la 2ème relation de conjugaison de Descartes à la lentille , nous pouvons appliquer successivement la 2ème relation de conjugaison de Descartes nous obtenons «» ;
définissant le grandissement transverse de l'objet linéique transverse par le doublet selon «» soit finalement «», nous pouvons appliquer successivement la 2ème relation de conjugaison de Descartes nous éliminons aisément l'abscisse du pied de l'image intermédiaire en faisant le produit de ces deux relations de conjugaison de grandissement transverse de Descartes[3] soit «» d'où nous pouvons appliquer successivement la 2ème relation de conjugaison de Descartes[3] du doublet de lentilles sphériques minces accolées «».
Équivalence du doublet de lentilles sphériques minces accolées dans le cas où les vergences des deux lentilles sont opposées
Vérifier que tous les points objet sont des points doubles du doublet de lentilles sphériques minces accolées dans le cas où les vergences de celles-ci sont opposées et
préciser le système dioptrique équivalent au doublet de lentilles sphériques minces accolées.
Solution
Les relations de conjugaison de Descartes[3] d'un doublet de lentilles sphériques minces accolées de vergences opposées étant «» ou encore «», la 1ère relation établissant que tous les points sont des points doubles du doublet de lentilles sphériques minces accolées de vergences opposées [167] et la 2èmerelation établissant que l'image se superpose point par point à l'objet [168] ;
en conclusion, le doublet de lentilles sphériques minces accolées de vergences opposées est équivalent à une lame d'air à faces[169].
Équivalence du doublet de lentilles sphériques minces accolées dans le cas où les vergences des deux lentilles ne sont pas opposées
Vérifier que le doublet de lentilles sphériques minces accolées est équivalent à une lentille sphérique mince dont le centre optique est le point dans le cas où les vergences des lentilles ne sont pas opposées et
préciser la vergence de la lentille sphérique mince équivalente en fonction des vergences des lentilles individuelles.
Solution
Les relations de conjugaison de Descartes[3] d'un doublet de lentilles sphériques minces accolées de vergences non opposées étant «» établissent l'équivalence du doublet à une lentille sphérique mince de même axe optique principal, de centre optiqueet dont la vergence est la somme des vergences des lentilles individuelles soit «».
Construction d'un achromat mince de vergence fixée en accolant deux lentilles sphériques minces de vergence adaptée utilisant des milieux d'indice judicieusement choisi
On se propose de réaliser un objectif achromatique mince[170], de vergence [2], en accolant deux lentilles sphériques minces :
l'une plan convexe, de rayons de courbure non algébrisés et en verre « crown »[152] de constringence[148] et d'indice pour la radiation jaune,
l'autre plan concave, de rayons de courbure non algébrisés [171] et en verre « flint »[152] de constringence[148] et d'indice pour la radiation jaune ;
en utilisant la vergence d'une lentille sphérique mince en fonction des rayons de courbures algébrisés des faces d'entrée et de sortie ainsi que de l'indice du milieu constituant la lentille en utilisant la vergence d'une lentille sphérique mince «» [172]voir solution de la question « vergence d'une lentille sphérique mince » plus haut dans cet exercice, en utilisant la relation de Cauchy[150] gérant la variation de l'indice d'un milieu «» avec et constantes caractéristiques du milieu et en utilisant la définition de la constringence d'un milieu «» [173], laquelle, associée à la formule de Cauchy[150], permet de déterminer la valeur de la constante de la relation de Cauchy[150], en fonction de la constringence, de l'indice pour la radiation jaune et des longueurs d'onde de référence, «» [174],
déterminer une 1ère expression de la vergence du doublet de lentilles sphériques minces accolées en fonction des vergences et de chaque lentille individuelle dont l'expression pour la radiation jaune définit la relation , puis déterminer une 2ème expression en fonction des rayons de courbure algébrisés des faces d'entrée et de sortie ainsi que des indices des milieux présents et enfin,
déterminer la condition pour que le doublet de lentilles sphériques minces accolées soit achromatique en écrivant que la dérivée de sa vergence par rapport à la longueur d'onde dans le vide est nulle pour [175], on explicitera cette condition en fonction de la vergence pour la radiation jaune et de la constringence de chaque lentille individuelle relation ;
résoudre littéralement et numériquement le système d'équations linéaires aux deux inconnues [176] puis
préciser la nature « convergente ou divergente » de l'achromat mince obtenu et enfin
en déduire littéralement et numériquement :
en déduire les distances focales image de chaque lentille pour la radiation jaune,
en déduire les rayons de courbure non algébrisés d'entrée de la lentille plan convexe et de sortie de la lentille plan concave.
Solution
D'après la solution de la question « équivalence du doublet de lentilles sphériques minces accolées dans le cas où les vergences des deux lentilles ne sont pas opposées » plus haut dans cet exercice, les vergences des lentilles composant le doublet de lentilles sphériques minces accolées sont liées à celle du doublet par «», l'expression écrite pour la radiation jaune définissant la relation «» ; la vergence du doublet s'explicite en fonction des rayons de courbure algébrisés des faces d'entrée et de sortie de chaque lentille individuelle «»[177] ainsi que la vergence du doublet s'explicite en fonction des indices des milieux composant chaque lentille «» d'où la vergence du doublet «» ou «», soit l'expression de la vergence du doublet écrite pour la radiation jaune «».
La condition pour que le doublet de lentilles sphériques minces accolées soit achromatique s'écrit «» avec «» et La condition pour que le doublet de lentilles sphériques minces accolées soit achromatique s'écrit «» avec «» d'où La condition pour que le doublet de lentilles sphériques minces accolées soit achromatique s'écrit «» dans laquelle [174] La condition pour que le doublet de lentilles sphériques minces accolées soit achromatique s'écrit «» ou La condition pour que le doublet de lentilles sphériques minces accolées soit achromatique s'écrit «» après simplification évidente, soit, La condition pour que le doublet de lentilles sphériques minces accolées soit achromatique s'écrit en reconnaissant «», la réécriture de la condition d'achromatisme du doublet de lentilles sphériques minces accolées selon la relation «».
Résolution du système d'équations linéaires à deux inconnues «» : on détermine, en résolvant par C.L[178].,[179],
Résolution du système d'équations linéaires à deux inconnues par « C.L[178]. » donnant la solution «» soit numériquement Résolution du système d'équations linéaires à deux inconnues par « C.L. » donnant la solution «»[2] et
Résolution du système d'équations linéaires à deux inconnues par « C.L[178]. » donnant la solution «» soit numériquement Résolution du système d'équations linéaires à deux inconnues par « C.L. » donnant la solution «»[2].
Nature de l'achromat mince obtenu : la vergence de l'achromat mince pour la couleur jaune valant «»[2] est d'où Nature de l'achromat mince obtenu : le caractère convergent de l'achromat mince construit avec d'autres données il est bien sûr possible de construire un achromat mince divergent.
Distance focale image de chaque lentille pour la radiation jaune : pour la lentille on a «»[1] donnant numériquement Distance focale image de chaque lentille pour la radiation jaune : pour la lentille on a « en » ou «» et
Distance focale image de chaque lentille pour la radiation jaune : pour la lentille on a «»[1] donnant numériquement Distance focale image de chaque lentille pour la radiation jaune : pour la lentille on a « en » ou «».
Rayon de courbure non algébrisé de la face d'entréeou de sortiede chaque lentille : pour la lentille plan convexe on a «» «» donnant numériquement Rayon de courbure non algébrisé de la face d'entréeou de sortiede chaque lentille : pour la lentille plan convexe on a « en » soit «» et
Rayon de courbure non algébrisé de la face d'entréeou de sortiede chaque lentille : pour la lentille plan concave on a «» «» donnant numériquement Rayon de courbure non algébrisé de la face d'entréeou de sortiede chaque lentille : pour la lentille plan concave on a « en » soit «».
Doublet de lentilles sphériques minces non accolées, formule de Gullstrand et condition d'achromatisme du doublet
On considère un doublet de lentilles sphériques minces non accolées constitué
d'une 1ère lentille sphérique mince convergente , de centre optique , d'axe optique principal et de vergence puis
d'une 2ème lentille sphérique mince divergente ou convergente , de centre optique , de même axe optique principal et de vergence , d'une 2ème lentille sphérique mince séparée de la précédente de la distance ;
on se propose dans un 1er temps de déterminer les caractéristiques du doublet en fonction des vergences de chaque lentille ainsi que de la distance les séparant, c.-à-d. on se propose dans un 1er temps de préciser à quelle condition le doublet est focal et, dans cette hypothèse, de positionner les foyers principaux objet et image de ce doublet, puis
on se propose dans un 2ème temps de déterminer la valeur absolue de la distance focale image du doublet par applicabilité des deux relations de conjugaison approchée de Newton[38] au doublet [180], on se propose dans un 2ème temps enfin, en admettant [181]le caractère convergent du doublet de lentilles sphériques minces simultanément convergentes si «» [182] et on se propose dans un 2ème temps enfin, en admettant le caractère divergent du doublet de lentilles sphériques minces simultanément convergentes ou on se propose dans un 2ème temps enfin, en admettant le caractère divergent du doublet de lentilles sphériques minces simultanément divergentes si «» [183] ainsi que on se propose dans un 2ème temps enfin, en admettant le caractère convergent du doublet de lentilles sphériques minces de natures différentes si «» et on se propose dans un 2ème temps enfin, en admettant le caractère divergent du doublet de lentilles sphériques minces de natures différentes si «», on se propose dans un 2ème temps pour en déduire la formule de Gullstrand [184] précisant la vergence du doublet, et enfin
on se propose dans un 3ème temps de déterminer l'écartement pour un doublet achromatique [185] avec en verre « crown »[152] de constringence[186],[148] et on se propose dans un 3ème temps de déterminer l'écartement pour un doublet achromatique avec en verre « crown » de vergence pour la radiation jaune [2],[187] et on se propose dans un 3ème temps de déterminer l'écartement pour un doublet achromatique avec en verre « flint »[152] de constringence[186],[148] et on se propose dans un 3ème temps de déterminer l'écartement pour un doublet achromatique avec en verre « flint » de vergence pour la radiation jaune [2],[188] ou,
on se propose dans un 3ème temps de déterminer l'écartement pour un doublet achromatique avec de vergence pour la radiation jaune [2],[187] et on se propose dans un 3ème temps de déterminer l'écartement pour un doublet achromatique avec de vergence pour la radiation jaune [2],[187], on se propose dans un 3ème temps de déterminer l'écartement pour un doublet achromatique avec toutes deux en verre « flint »[152] de constringence[186],[148].
Condition pour que le doublet de lentilles sphériques minces non accolées soit focal et détermination des positions des foyers principaux objet et image
Préciser à quelle condition liant les distances focales image des deux lentilles à la distance les séparant, le doublet de lentilles sphériques minces est focal puis
positionner algébriquement les foyers principaux objet et image du doublet.
Solution
La condition pour qu'un doublet de lentilles sphériques minces soit « afocal » étant que le point à l'infini de l'axe optique principal soit un point double, nécessite que l'image intermédiaire recherchée notée obéisse à «» avec «» c.-à-d. que «» «»[189] soit finalement La condition pour qu'un doublet de lentilles sphériques minces soit « afocal » le doublet de lentilles sphériques minces non accolées est afocal ssi «» [190], a contrario La condition pour qu'un doublet de lentilles sphériques minces soit « afocal » le doublet de lentilles sphériques minces non accolées est « focal » ssi «».
Détermination du foyer principal image du doublet focal de lentilles sphériques minces non accolées : le foyer principal image du doublet est défini selon «» c.-à-d. «», Détermination du foyer principal image du doublet focal de lentilles sphériques minces non accolées : le foyer principal image du doublet est donc l'image par du foyer principal image de ; Détermination du foyer principal image du doublet focal de lentilles sphériques minces non accolées : pour déterminer la position de il suffit d'utiliser la relation de conjugaison de position ou 1ère relation de conjugaison de Newton[38],[46] de la lentille [39] avec «»[190] soit «» «»[39] ou «» soit finalement «» ou encore, Détermination du foyer principal image du doublet focal de lentilles sphériques minces non accolées : en repérage de Descartes[3] relativement à la 2ème lentille «» ou, après réduction au même dénominateur, «» soit finalement «».
Détermination du foyer principal objet du doublet focal de lentilles sphériques minces non accolées : le foyer principal objet du doublet est défini selon «» [191] c.-à-d. «», Détermination du foyer principal objet du doublet focal de lentilles sphériques minces non accolées : le foyer principal objet du doublet est donc l'antécédent par du foyer principal objet de ; Détermination du foyer principal objet du doublet focal de lentilles sphériques minces non accolées : pour déterminer la position de il suffit d'utiliser la relation de conjugaison de position ou 1ère relation de conjugaison de Newton[38],[46] de la lentille [39] avec «»[190] soit «» «»[39] ou «» soit finalement «» ou encore, Détermination du foyer principal objet du doublet focal de lentilles sphériques minces non accolées : en repérage de Descartes[3] relativement à la 1ère lentille «» ou, après réduction au même dénominateur, «» soit finalement «».
Établissement de la formule de Gullstrand déterminant la vergence du doublet de lentilles sphériques minces non accolées dans le cas où il est focal
En supposant applicables au doublet focal de lentilles sphériques minces non accolées les relations de conjugaison approchée de position et de grandissement transverse de Newton[38],[180], En supposant applicables au doublet focal de lentilles sphériques minces non accolées déterminer, en choisissant un couple de points conjugués par le doublet, En supposant applicables au doublet focal de lentilles sphériques minces non accolées déterminer, la valeur absolue de la distance focale image de ce dernier puis En supposant applicables au doublet focal de lentilles sphériques minces non accolées déterminer, la valeur absolue de sa vergence et enfin
en admettant le caractère convergent du doublet focal de lentilles sphériques minces non accolées si «» [192] et en admettant le caractère divergent du doublet focal de lentilles sphériques minces non accolées si «»[192], établir la formule de Gullstrand[184] précisant la vergence du doublet en fonction de , et .
Solution
Pour déterminer la valeur absolue de la distance focale image du doublet focal de lentilles sphériques minces non accolées en lui appliquant la 1ère relation de conjugaison approchée de Newton[38]«» avec « et », relation applicable à tout couple de points conjugués par le doublet focal, Pour déterminer la valeur absolue de la distance focale image on choisit des points conjugués particuliers, les plus faciles à utiliser étant ceux dont l'image intermédiaire est à l'infini sur l'axe optique principal Pour déterminer la valeur absolue de la distance focale image on choisit des points conjugués particuliers, soit «» établissant que Pour déterminer la valeur absolue de la distance focale image on choisit des points conjugués particuliers, le couple est conjugué par le doublet focal de lentilles sphériques minces non accolées ;
Pour déterminer la valeur absolue de la distance focale image on choisit des points conjugués particuliers, pour ce couple on a «»[193] et Pour déterminer la valeur absolue de la distance focale image on choisit des points conjugués particuliers, pour ce couple on a «»[193] d'où Pour déterminer la valeur absolue de la distance focale image on choisit des points conjugués particuliers, «», Pour déterminer la valeur absolue de la distance focale image l'applicabilité admise de la 1ère relation de conjugaison approchée de Newton[38] au doublet «» d'où Pour déterminer la valeur absolue de la distance focale image l'expression de la valeur absolue de la distance focale image du doublet focal «» ou, en inversant, Pour déterminer la valeur absolue de la distance focale image l'expression de la valeur absolue de la vergence du doublet focal «» ;
il reste à préciser le signe commun de la distance focale image et de la vergence du doublet focal de lentilles sphériques minces non accolées il reste à préciser le signe commun en utilisant la condition de convergence ou de divergence de ce doublet focal rappelée dans l'énoncé de la question ci-dessus à savoir il reste à préciser le signe commun en utilisant la condition de convergence ou de divergencesi «» le doublet est convergent c.-à-d. ou et il reste à préciser le signe commun en utilisant la condition de convergence ou de divergencesi «» le doublet est divergent c.-à-d. ou ;
il reste à préciser le signe commun tenant compte des deux conditions rappelées ci-dessus nous en déduisons l'expression de la distance focale image du doublet focal «» [194] et il reste à préciser le signe commun tenant compte des deux conditions rappelées ci-dessus nous en déduisons l'expression de la vergence du doublet focal «» il reste à préciser le signe commun tenant compte des deux conditions rappelées ci-dessus nous en déduisons l'expression de la connue sous le nom de « formule de Gullstrand »[184].
Condition sur la distance séparant les deux lentilles sphériques minces du doublet focal de ces dernières non accolées pour que le doublet soit achromatique
Admettant la disparition des aberrations chromatiques du doublet de lentilles sphériques minces non accolées Admettant la disparition des aberrations chromatiques du doublet si sa vergence est indépendant de la longueur d'onde dans le vide de la lumière le traversant [195], Admettant la disparition des aberrations chromatiques du doublet avec « la vergence d'une lentille sphérique mince d'indice s'écrivant »[172],[196], Admettant la disparition des aberrations chromatiques du doublet déterminer la condition pour que le doublet de lentilles sphériques minces non accolées soit achromatique Admettant la disparition des aberrations chromatiques du doublet déterminer en écrivant que la dérivée de sa vergence par rapport à la longueur d'onde dans le vide est nulle pour [197]on rappelle la relation de Cauchy[150] gérant la variation de l'indice d'un milieu «» avec et constantes caractéristiques du milieu et la définition de la constringence d'un milieu «»[173], laquelle, associée à la formule de Cauchy[150], permet de déterminer la valeur de la constante de la relation de Cauchy[150], en fonction de la constringence, de l'indice pour la radiation jaune et des longueurs d'onde de référence, «»[174]on explicitera cette condition d'abord en fonction de la vergence pour la radiation jaune et de la constringence de chaque lentille individuelle, puis en fonction des distances focales image pour la radiation jaune et de la constringence des mêmes lentilles.
Étudier chaque cas proposé ci-après : lentille sphérique mince en verre « crown »[152] de constringence[186],[148] et de vergence pour la radiation jaune [2],[187] et Étudier chaque cas proposé ci-après : lentille sphérique mince en verre « flint »[152] de constringence[186],[148] et de vergence pour la radiation jaune [2],[188],
Étudier chaque cas proposé ci-après : lentille sphérique mince de vergence pour la radiation jaune [2],[187] et Étudier chaque cas proposé ci-après : lentille sphérique mince de vergence pour la radiation jaune [2],[187], Étudier chaque cas proposé ci-après : lentille sphérique mince toutes deux en verre « flint »[152] de constringence[186],[148].
Solution
La condition d'achromatisme du doublet focal de lentilles sphériques minces non accolées de vergence [198] s'écrit La condition d'achromatisme du doublet focal «» [199],[197], avec «» et La condition d'achromatisme du doublet focal «», avec «» où La condition d'achromatisme du doublet focal «», avec «[200] où [174] d'où La condition d'achromatisme du doublet focal «», avec ««» La condition d'achromatisme du doublet focal «», avec «ou encore «» [201] ainsi que
La condition d'achromatisme du doublet focal «», avec «» où La condition d'achromatisme du doublet focal «», avec «[200] où [174] d'où La condition d'achromatisme du doublet focal «», avec ««» La condition d'achromatisme du doublet focal «», avec «ou encore «»[201] ;
la condition d'achromatisme du doublet focal «» nous conduisant à «»[202], on y reporte les expressions précédentes d'où, la condition d'achromatisme du doublet focal «» nous conduisant à «» ce qui se réécrit, après simplification par , «» soit finalement, en multipliant haut et bas par , la condition suivante d'achromatisme du doublet focal la condition d'achromatisme du doublet focal «» nous conduisant à «» ;
la condition d'achromatisme du doublet focal de lentilles sphériques minces non accolées peut s'écrire encore, en divisant haut et bas par , selon la condition d'achromatisme du doublet focal de lentilles sphériques minces non accolées peut s'écrire encore, «» ou, en introduisant la distance focale image de chaque lentille pour la radiation jaune à savoir et , la condition d'achromatisme du doublet focal de lentilles sphériques minces non accolées peut s'écrire encore, «» ou la condition d'achromatisme du doublet focal de lentilles sphériques minces non accolées peut s'écrire encore, «».
1er exemple : lentille sphérique mince en verre « crown »[152] de constringence[186],[148] et de vergence pour la radiation jaune [2],[187] et 1er exemple : lentille sphérique mince en verre « flint »[152] de constringence[186],[148] et de vergence pour la radiation jaune [2],[188], 1er exemple : la distance d'achromatisme séparant les deux lentilles sphériques minces est «» 1er exemple : la distance d'achromatisme avec les distances focales image des deux lentilles composantes pour la radiation jaune «», 1er exemple : le doublet achromatique de ces lentilles sphériques minces est donc du type «»[43],[203],[204],[205] ;
2ème exemple : lentille sphérique mince de vergence pour la radiation jaune [2],[187] et 2ème exemple : lentille sphérique mince de vergence pour la radiation jaune [2],[187], 2ème exemple : lentille sphérique mince toutes deux en verre « flint »[152] de constringence[186],[148], 2ème exemple : la distance d'achromatisme séparant les deux lentilles sphériques minces est «» 2ème exemple : la distance d'achromatisme avec les distances focales image des deux lentilles composantes pour la radiation jaune «», 2ème exemple : le doublet achromatique de ces lentilles sphériques minces est donc du type «»[43],[206] connu sous le nom d'oculaire d'Huygens [207],[208],[209].
Étude d'un triplet de lentilles sphériques minces convergentes
On considère le système constitué de trois lentilles sphériques minces convergentes «, et », de distances focales image respectives «, et » On considère le système constitué de trois lentilles sphériques minces convergentes «, et », telles que « et », On considère le système constitué de trois lentilles sphériques minces convergentes «, et », les trois lentilles sphériques minces ayant même axe optique principal.
Détermination de la distance focale image fi, 2 de la 2ème lentille pour que le centre optique O2 de cette dernière soit un point double du triplet
Déterminer la distance focale image «» de la 2ème lentille sphérique mince pour que le centre optique de cette dernière soit son propre conjugué par le triplet.
Solution
La condition pour que le centre optique de la 2ème lentille sphérique mince soit son propre conjugué par le triplet s'écrivant «», on détermine donc :
l'« image de par » soit «» en appliquant la 1ère relation de conjugaison approchéeou relation de conjugaison approchée de position de Descartes[3] à pour le couple [4] soit «» avec « et » «», puis
l'« antécédent de par » soit «» en appliquant la 1ère relation de conjugaison approchéeou relation de conjugaison approchée de position de Descartes[3] à pour le couple [4] soit «» avec « et » «», enfin
la « distance focale image de » en appliquant la 1ère relation de conjugaison approchéeou relation de conjugaison approchée de position de Descartes[3] à pour le couple [4] soit «» avec «, et » d'où «» soit finalement «».
En conclusion la distance focale image «» de la 2ème lentille sphérique mince pour que le centre optique de cette dernière soit un point double du triplet est «».
Détermination des caractéristiques du système optique équivalent
On se propose de déterminer les caractéristiques du système optique équivalent au triplet de lentilles sphériques minces coaxiales «, et », On se propose de déterminer les caractéristiques du système optique équivalent au triplet le centre optique de la 2ème lentille étant un point double du triplet.
Point conjugué, par le triplet, du point objet situé à l'infini sur l'axe optique principal
Déterminer le point conjugué, par le triplet, du point à l'infini sur l'axe optique principal ; comment peut-on alors qualifier le système ?
Solution
On a d'une part «» dont on déduit que le foyer principal image de la 1ère lentille est confondu avec le centre optique de la 2ème lentille et On a d'autre part «» dont on déduit que le foyer principal objet de la 3ème lentille est confondu avec le centre optique de la 2ème lentille ;
on peut donc en déduire les conjugaisons suivantes «» c.-à-d. que le point à l'infini de l'axe optique principal est un point double du triplet et par suite on peut donc en déduire le caractère afocal du système optique équivalent au triplet de lentilles sphériques minces coaxiales «, et » construit pour que soit un point double du triplet.
Construction de l'image AiBi donnée par le triplet, d'un objet linéique transverse AoBo et grandissement transverse du triplet associé à cet objet
Faire la construction de l'image donnée par le triplet, d'un objet linéique transverse [13], étant sur l'axe optique principal ;
en déduire que « le grandissement transverse du triplet associé à cet objet est indépendant de la position de ce dernier » et
en déduire que « le grandissement transverse du triplet déterminer sa valeur «».
Solution
Triplet de lentilles sphériques minces convergentes coaxiales «, et » tel que le centre optique de la 2ème lentille soit un point double du triplet et construction de l'image par le triplet, d'un objet linéique transverse [13], étant sur l'axe optique principal
Pour construire l'image par le triplet de lentilles sphériques minces convergentes coaxiales «, et » d'un objet linéique transverse [13] de pied [210], on choisit deux rayons incidents particuliers issus de de façon à déterminer son image par le triplet, le choix porte sur
un rayon à l'axe optique principal, issu de , qui émerge de en passant par , puis traverse sans être dévié et ressort de à l'axe optique principal car ,
un rayon issu de passant par , qui traverse sans être dévié, coupe le plan focal objet de en foyer secondaire objet de auquel est associé l'axe optique secondaire , émerge de parallèlement à l'axe optique secondaire associé à , ce dernier rayon coupant le plan focal objet de qui est aussi le plan de la lentille car en foyer secondaire objet de auquel est associé l'axe optique secondaire émerge de parallèlement à ,
l'image est alors définie comme l'intersection des deux rayons émergents du triplet, s'obtenant en projetant orthogonalement sur l'axe optique principal l'aplanétisme approché du triplet étant supposédans le cas de la figure on constate que « est virtuelle, inversée et rapetissée ».
Grandissement transverse, par le triplet, de l'objet linéique transverse[13] : Considérons un objet linéique transverse
![{\displaystyle {\big )}{\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eaf218fbc487e14f73cca7693c1e60d9fce5eb3c)
![{\displaystyle {\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31d63350d68291e3f56604a089e0e0b5a86c2472)
![{\displaystyle {\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6409e9848c1422eef16462fbeae301d8fa0f831)
![{\displaystyle \;\in \left]f_{i}\,{\text{ ; }}2\,f_{i}\right[\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/882ef1eab6ed8349cbbd0a37f89ec4425d5eda04)
![{\displaystyle \;\in \left]2\,f_{o}{\text{ ; }}f_{o}\right[\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b099a5c336e4172edbc2d10a6663074e51db09c)
![{\displaystyle \;\in \left]f_{o}{\text{ ; }}0\right[\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fa03a4dce04d870c9da94586f7b57b145900eb1)
![{\displaystyle \;\in \left]0{\text{ ; }}f_{i}\right[\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/412ecd016cf581d4cbdc65a7855b5856841d21d3)
![{\displaystyle \;A_{i}B_{i}{\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5dc7935bc3262a31efb8525739fed5ee667430a7)
![{\displaystyle \;1{\big )}{\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2f8d19708e53be82f3e4e2230ab01495069fbe8)
![Résumé de la discussion graphique de Bouasse[14] d'une lentille mince convergente](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/65/Lentille_mince_convergente_-_r%C3%A9sum%C3%A9_discussion_Bouasse.jpg)
Résumé de la discussion graphique de Bouasse[14] d'une lentille mince convergente![Résumé de la discussion graphique de Bouasse[14] d'une lentille mince convergente](/wiki/Fichier:Lentille_mince_convergente_-_r%C3%A9sum%C3%A9_discussion_Bouasse.jpg)
![{\displaystyle \;\in \left]f_{i}\,{\text{ ; }}0\right[\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffda0c3a3b41b287e7d620be2376e169f872517d)
![{\displaystyle \;\in \left]0{\text{ ; }}f_{o}\right[\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe3a1dfef1a9cac1f5169dba238e499d83107f63)
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![{\displaystyle \;\in \left]-\infty {\text{ ; }}2\,f_{i}\right[\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72d2ebc0747f3790243619122e29f52efbf3b382)
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![{\displaystyle {\big )}{\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fd0c02f32f607a22fbd5b1388a07b45e1c3f614)
![Résumé de la discussion graphique de Bouasse[14] d'une lentille mince divergente](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/dd/Lentille_mince_divergente_-_r%C3%A9sum%C3%A9_discussion_Bouasse.jpg)
Résumé de la discussion graphique de Bouasse[14] d'une lentille mince divergente![Résumé de la discussion graphique de Bouasse[14] d'une lentille mince divergente](/wiki/Fichier:Lentille_mince_divergente_-_r%C3%A9sum%C3%A9_discussion_Bouasse.jpg)
![{\displaystyle \;\left[\vert p_{o,\,m}\vert \,;\,\vert p_{o,\,M}\vert \right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1fc43df56916b510c8992e8659c94b1d2abdd38)
![{\displaystyle \;[O_{1}O_{2}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd518d17b77d7a35f4d7b292bc71773d71581cbc)
![{\displaystyle \;\left[-{\dfrac {9}{5}}\;a\right]\left[{\dfrac {9}{5}}\;a\right]=-f_{i}^{2}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a649cc6c84e922b4b9587ccb95c047f5066d7b27)
![{\displaystyle \;\left[O_{1}O_{2}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b3e57541fc8d73809565e9ac792a4db2d77431d)
![{\displaystyle {\bigg ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6515d4ab3aeccb7f846142fd40a7d0f7d1129e6e)
![{\displaystyle \;\left[O_{1}O_{2}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fda4234a59b66736b72b044cb76fdf25da097dff)
![{\displaystyle \;\left[O_{1}O_{2}\right]{\big )}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/854fe1e45280e79e0d82637947588f9ac7e7c649)
![{\displaystyle {\big \}}{\Big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2232061838553aebc094dcd378f7bc85e554049d)
![{\displaystyle \;e<0{\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c87e1b48236ed3208118b2e263ea9fdd2ce415fc)
![{\displaystyle \;s<0{\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/619031fa298f84bcfca12b2094c7ceb35f4efb5d)
![{\displaystyle \;H_{i}{\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73d1496a9ec3db3cddfe7803b575b7e74626c15d)
![{\displaystyle \;\Delta {\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/253fcb66c149824a93e089ec5517bd20a6fffbd7)
![{\displaystyle \;\left[-16\;a\right]\left[4\;a\right]=-f_{i}^{2}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5e2f6377aacdf48ab0a5f3f3947b753b802a9c2)
![{\displaystyle \;\Delta =\left[190-100\right]\left[190-100-4\times \left(-40\right)\right]=22500=(150)^{2}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/121842f26076dc32d2be7cd1dcb9efeb6b329f33)
Schéma de justification du caractère convergent du téléobjectif
![{\displaystyle \;\left[-1000\,mm\right]\;\left[160\,mm\right]=-f_{i}^{2}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0966d878bc401ede341719f37e8908addb4294e9)
![{\displaystyle \;V=0{\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd027f16f01a561584e926e154c4b6210b93c31a)
![{\displaystyle \;[F_{i,\,F}F_{i,\,C}]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a389d19c357ada444c69a3d602ff31a56ec10ba9)
![{\displaystyle \;({\mathfrak {1}}){\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6a175cbf1bc8b23fef35d77e201810c05740649)
![{\displaystyle \;({\mathfrak {2}}){\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ae25e7ab92915d2f49c65f7ed8ed06a5af3279b)
![{\displaystyle \;[V_{1}(\lambda _{0,\,D})\,;\,V_{2}(\lambda _{0,\,D})]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62668755bcdc51c166068ee10baac52b1de8b378)
![{\displaystyle \;{\overline {O_{2}F_{i}}}={\dfrac {f_{i,\,2}\;[e-(f_{i,\,1}+f_{i,\,2})+f_{i,\,2}]}{e-(f_{i,\,1}+f_{i,\,2})}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22e7561d8e02148cb0fdc9dfdba601e29750eb1c)
![{\displaystyle \;{\overline {O_{1}F_{o}}}={\dfrac {f_{i,\,1}\;[-(f_{i,\,1}+f_{i,\,2}-e)+f_{i\,1}]}{f_{i,\,1}+f_{i,\,2}-e}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe53ebde238d4d2794f1f26a679f2451802174f1)
![{\displaystyle \;\sigma _{o}(F_{o,\,1})\;\sigma _{i}(F_{i,\,2})={\dfrac {f_{i,\,1}^{2}}{f_{i,\,1}+f_{i,\,2}-e}}\;{\dfrac {f_{i,\,2}^{2}}{e-(f_{i,\,1}+f_{i,\,2})}}=-\left[{\dfrac {f_{i,\,1}\;f_{i,\,2}}{f_{i,\,1}+f_{i,\,2}-e}}\right]^{2}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a319a5960ca7577b2f5589fa0f365e52ce62e25)
![{\displaystyle \;-\left[{\dfrac {f_{i,\,1}\;f_{i,\,2}}{f_{i,\,1}+f_{i,\,2}-e}}\right]^{2}=-f_{i}^{2}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24b3aa5b63e0b6636229b79283563f1adae3374b)
![{\displaystyle \;[1-n(\lambda _{0})]\left({\dfrac {1}{{\overline {R}}_{s}}}-{\dfrac {1}{{\overline {R}}_{e}}}\right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1fb3a948b83369c99022ab4253c781268b0276d4)
![{\displaystyle {\Bigg ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fec8b8fd9f86cffa472e3222e479a5bb62de37f)
![{\displaystyle \;{\dfrac {dV}{d\lambda _{0}}}(\lambda _{0})={\dfrac {dV_{1}}{d\lambda _{0}}}(\lambda _{0,\,D})+{\dfrac {dV_{2}}{d\lambda _{0}}}(\lambda _{0,\,D})-e\left[{\dfrac {dV_{1}}{d\lambda _{0}}}(\lambda _{0,\,D})\;V_{2}(\lambda _{0})+V_{1}(\lambda _{0})\;{\dfrac {dV_{2}}{d\lambda _{0}}}(\lambda _{0,\,D})\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f116e9eb031b1f9b4241bd647041b98d22cbddf)
![{\displaystyle \;V_{1}(\lambda _{0})=[1-n_{1}(\lambda _{0})]\left({\dfrac {1}{{\overline {R}}_{s,\,1}}}-{\dfrac {1}{{\overline {R}}_{e,\,1}}}\right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c3f74fd0d56748f73a310477ba5f3fee9d51f1)
![{\displaystyle \;\color {transparent}{V_{1}(\lambda _{0})=[1-n_{1}(\lambda _{0})]\left({\dfrac {1}{{\overline {R}}_{s,\,1}}}-{\dfrac {1}{{\overline {R}}_{e,\,1}}}\right)}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/079140d8513ac5177fbb86b08adcbb91f3a1a87a)
![{\displaystyle \;V_{2}(\lambda _{0})=[1-n_{2}(\lambda _{0})]\left({\dfrac {1}{{\overline {R}}_{s,\,2}}}-{\dfrac {1}{{\overline {R}}_{e,\,2}}}\right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dddb6b26dc55a37079715ef88c092cd66a588ad8)
![{\displaystyle \;\color {transparent}{V_{2}(\lambda _{0})=[1-n_{2}(\lambda _{0})]\left({\dfrac {1}{{\overline {R}}_{s,\,2}}}-{\dfrac {1}{{\overline {R}}_{e,\,2}}}\right)}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9466a61f555925e14f9d7b48fe6504988e228c43)
![Triplet de lentilles sphériques minces convergentes coaxiales «'"`UNIQ--postMath-00000C8E-QINU`"', '"`UNIQ--postMath-00000C8F-QINU`"' et '"`UNIQ--postMath-00000C90-QINU`"'» tel que le centre optique '"`UNIQ--postMath-00000C91-QINU`"' de la 2ème lentille '"`UNIQ--postMath-00000C92-QINU`"' soit un point double du triplet et construction de l'image '"`UNIQ--postMath-00000C93-QINU`"' par le triplet, d'un objet linéique transverse '"`UNIQ--postMath-00000C94-QINU`"'[13], '"`UNIQ--postMath-00000C95-QINU`"' étant sur l'axe optique principal](/wiki/Fichier:Triplet_de_lentilles_-_construction_d%27image.png)
![{\displaystyle \;F_{o,\,3}=O_{2}{\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa6a3d5aa4c29af8bda1673fc87a78920796994a)
