Signaux physiques (PCSI)/Exercices/Optique géométrique : lentilles minces

Projection d'une diapositive

     Une lentille mince convergente $\;{\mathcal {L}}$, de distance focale image $\;f_{i}=5,0\;cm$, donne d'une diapositive de $\;24\;mm\;$ de hauteur, située devant elle, une image sur un écran de projection placé à $\;4,00\;m\;$ derrière $\;{\mathcal {L}}$.

     Calculer $\;\succ \;$la vergence $\;V\;$ de $\;{\mathcal {L}}$,
     Calculer $\;\succ \;$la position de l'objet « diapositive » par rapport à $\;{\mathcal {L}}\;$ et
     Calculer $\;\succ \;$la hauteur de l'image sur l'écran de projection.

Solution

Schéma de positionnement d'une diapositive et d'un écran par rapport à la lentille de projection

     Vergence de la lentille de projection  : La vergence de $\;{\mathcal {L}}\;$ se détermine à partir de sa distance focale image «$\;f_{i}=5,0\;10^{-2}\;m\;$» par la relation $\;V={\dfrac {1}{f_{i}}}\;$ soit $\;V={\dfrac {1}{5\,10^{-2}}}\,m^{-1}\;$ et finalement «$\;V=20\;\delta \;$».

     Position de la diapositive par rapport à la lentille de projection  : La position de la diapositive centrée en $\;A_{o}\;$ est donnée par la relation de conjugaison $\;{\big (}$approchée${\big )}\;$ de position $\;{\big [}$ou 1^ère relation de conjugaison $\;{\big (}$approchée${\big )}{\big ]}\;$ de Descartes «$\;{\dfrac {1}{\overline {OA_{i}}}}-{\dfrac {1}{\overline {OA_{o}}}}=V\;$» avec «$\;{\overline {OA_{o}}}=-d\;$» et «$\;{\overline {OA_{i}}}$ $=D\;$» $\Rightarrow$ $\;{\dfrac {1}{d}}=V-{\dfrac {1}{D}}={\dfrac {C\,D-1}{D}}\;$ $\Rightarrow$ «$\;d={\dfrac {D}{C\,D-1}}\;$» soit numériquement
     Position de la diapositive par rapport à la lentille de projection : $\;d={\dfrac {4,00}{20\times 4,00-1}}={\dfrac {4,00}{79}}\;m\;$ ou «$\;d\simeq 5,06\,cm\;$».

     Hauteur de l'image sur l'écran de projection  : La hauteur de l'image «$\;H\;$» est donnée par la relation de conjugaison $\;{\big (}$approchée${\big )}\;$ de grandissement transverse $\;{\big [}$ou 2^ème relation de conjugaison $\;{\big (}$approchée${\big )}{\big ]}\;$ de Descartes «$\;G_{t}(A_{o})\;{\stackrel {\text{déf}}{=}}\;{\dfrac {\overline {A_{i}B_{i}}}{\overline {A_{o}B_{o}}}}\;{\stackrel {\text{loi}}{=}}\;{\dfrac {\overline {OA_{i}}}{\overline {OA_{o}}}}\;$» ou $\;{\dfrac {\overline {A_{i}B_{i}}}{\overline {A_{o}B_{o}}}}=$ ${\dfrac {D}{-d}}<0\;$ d'où une « image inversée » et la hauteur de l'image d'une pellicule de hauteur «$\;h\;$» est «$\;H=h\,{\dfrac {D}{d}}\;$» soit numériquement
     Hauteur de l'image sur l'écran de projection : $\;H=24\,10^{-3}\times {\dfrac {4,00}{5,06\,10^{-2}}}\;$ en $\;m\;$ ou «$\;H\simeq 1,90\,m\;$».

 

Appareil photographique et objectif longue focale

     Un appareil photographique est équipé d'un objectif longue focale constitué d'une lentille mince de « focale image $\;f_{i}=135\,mm\;$» et tel que
     Un appareil photographique est équipé d'un objectif longue focale son champ transversal est limité par les dimensions du film de « format $\;24\times 36\;{\text{en}}\;mm\;$».

Champ angulaire de l'objectif longue focale

     Calculer le champ angulaire dans les directions $\;\parallel \;$ à la largeur et à la longueur du film $\;{\big [}$le champ angulaire étant défini comme l'ouverture angulaire sous lequel le centre optique $\;O\;$ de l'objectif longue focale voit l'objet placé à l'infini${\big ]}$.

Solution

Schéma de définition du champ angulaire d'un objectif d'appareil photographique

     On suppose que le film est situé dans le plan focal image de l'objectif, c'est-à-dire que la mise au point est faite sur l'infini mais, même avec une mise au point à distance finie, la distance du film à l'objectif reste voisine de la distance focale image $\;f_{i}\;$ ${\big [}$voir figure ci-contre${\big ]}$ ;

     dans les conditions de Gauss, le champ angulaire correspondant à la longueur d'une image du film vaut $\;\alpha _{L}\simeq {\dfrac {L}{f_{i}}}\simeq {\dfrac {36}{135}}\,rad\simeq$ ${\dfrac {36}{135}}\times {\dfrac {180}{\pi }}\;{\text{en °}}\;$ soit «$\;\alpha _{L}\simeq 15,3\;{\text{°}}\;$» et
                    dans les conditions de Gauss, le champ angulaire correspondant à la hauteur d'une image du film $\;\alpha _{H}\simeq {\dfrac {H}{f_{i}}}\simeq {\dfrac {24}{135}}\,rad\simeq$ ${\dfrac {24}{135}}\times {\dfrac {180}{\pi }}\;{\text{en °}}\;$ soit «$\;\alpha _{H}\simeq 10,2\;{\text{°}}\;$».

 

Dimension d'une image par l'objectif longue focale et comparaison avec celle obtenue par un objectif normal

     Déterminer la dimension de l'image d'un objet de hauteur $\;h=200\,m\;$ situé à une distance $\;D=2\,km\;$ de l'objectif.

     Comparer à l'image du même objet que donnerait un objectif normal de « focale image $\;f_{i}=50\,mm\;$».

Solution

     On calcule l'ouverture angulaire de l'objet de hauteur $\;h=200\,m\;$ situé à la distance $\;D=2\,km\;$ par «$\;\beta \simeq {\dfrac {h}{D}}={\dfrac {200}{2000}}\simeq 0,100\,rad\;$», l'angle dans les conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché étant petit ;
     On calcule l'ouverture angulaire de l'objet c'est aussi l'angle sous lequel du centre optique $\;O\;$ de l'objectif longue focale on voit l'image d'où la hauteur $\;h_{i}\;$ de l'image donnée par «$\;\beta \simeq {\dfrac {h_{i}}{f_{i}}}\;$» $\Rightarrow$
    On calcule l'ouverture angulaire de l'objet c'est aussi l'angle sous lequel du centre optique $\;\color {transparent}{O}\;$ de l'objectif longue focale on voit l'image d'où la hauteur«$\;h_{i}\simeq f_{i}\,\beta \simeq 135\times 0,100\;{\text{en}}\;mm\;$» soit «$\;h_{i}\simeq 13,5\,mm\;$».

     Avec un objectif de distance focale $\;{f'}_{\!i}=50\,mm$, l'ouverture angulaire de l'objet de hauteur $\;h=200\,m\;$ situé à la distance $\;D=2\,km\;$ ayant la même valeur «$\;\beta \simeq {\dfrac {h}{D}}={\dfrac {200}{2000}}\simeq 0,100\,rad\;$» et
     Avec un objectif de distance focale $\;\color {transparent}{{f'}_{\!i}=50\,mm}$, l'ouverture angulaire de l'objet étant l'angle sous lequel du centre optique $\;O'\;$ de l'objectif on voit l'image d'où la hauteur $\;{h'}_{\!i}\;$ de l'image donnée par «$\;\beta \simeq {\dfrac {{h'}_{\!i}}{{f'}_{\!i}}}\;$» $\Rightarrow$
    Avec un objectif de distance focale $\;\color {transparent}{{f'}_{\!i}=50\,mm}$, l'ouverture angulaire de l'objet étant l'angle sous lequel du centre optique $\;\color {transparent}{O'}\;$ de l'objectif on voit l'image d'où la hauteur«$\;{h'}_{\!i}\simeq {f'}_{\!i}\,\beta \simeq 50\times 0,100\;{\text{en}}\;mm\;$» soit
    Avec un objectif de distance focale $\;\color {transparent}{{f'}_{\!i}=50\,mm}$, l'ouverture angulaire de l'objet étant l'angle sous lequel du centre optique $\;\color {transparent}{O'}\;$ de l'objectif on voit l'image d'où la hauteur«$\;{h'}_{\!i}\simeq 5,0\,mm\;$»

     Remarque : le fait que «$\;{h'}_{\!i}\simeq 5,0\,mm\;$ est $\;<\;$ à $\;h_{i}\simeq 13,5\,mm\;$» explicite un des intérêts d'un téléobjectif par rapport à un objectif normal.

 

Discussion graphique de Bouasse pour visualiser les propriétés comparées d'un objet linéique transverse et de son image par une lentille mince de focale connue

Préliminaire, réécriture de la 1^ère relation de conjugaison de Descartes d'une lentille sphérique mince

Équation cartésienne de la droite passant par les points (x₀, 0) et (0, y₀) avec x₀ et y₀ non nuls

     Montrer que l'équation cartésienne de la droite passant par les points $\;(x_{0},\,0)\;$ et $\;(0,\,y_{0})\;$ avec $\;x_{0}\neq 0\;$ et $\;y_{0}\neq 0\;$ peut s'écrire :

«$\;{\dfrac {x}{x_{0}}}+{\dfrac {y}{y_{0}}}=1\;$».

Solution

     L'équation cartésienne de cette droite s'écrit «$\;a\,x+b\,y=c\;$ avec $\;c\neq 0\;$» ou, en divisant par $\;c\;$ et en notant $\;\alpha ={\dfrac {a}{c}}\;$ et $\;\beta ={\dfrac {b}{c}}$, l'équation de la droite se réécrit «$\;\alpha \,x+\beta \,y=1\;$».

     On écrit alors que le point $\;(x_{0},\,0)\in \;$ à la droite $\Rightarrow$ $\;\alpha \;x_{0}+\beta \times 0=1\;$ ou «$\;\alpha ={\dfrac {1}{x_{0}}}\;$» et
     On écrit alors que le point $\;(0,\,y_{0})\in \;$ à la droite $\Rightarrow$ $\;\alpha \times 0+\beta \;y_{0}=1\;$ ou «$\;\beta ={\dfrac {1}{y_{0}}}\;$» ;

finalement l'équation de la droite se réécrit «$\;{\dfrac {x}{x_{0}}}+{\dfrac {y}{y_{0}}}=1\;$».

 

Préliminaire : Réécriture de la 1^ère relation de conjugaison de Descartes d'une lentille sphérique mince

     Déduire de la 1^ère relation de conjugaison $\;{\big (}$approchée${\big )}\;$ ${\big [}$ou relation de conjugaison $\;{\big (}$approchée${\big )}\;$ de position${\big ]}\;$ de Descartes d'une lentille sphérique mince que les points objet $\;A_{o}\;$ d'abscisse objet de Descartes $\;p_{o}={\overline {OA_{o}}}\;$ et image $\;A_{i}\;$ d'abscisse image de Descartes $\;p_{i}={\overline {OA_{i}}}\;$ sont conjugués si leurs abscisses sont liées par :

«$\;{\dfrac {f_{o}}{p_{0}}}+{\dfrac {f_{i}}{p_{i}}}=1\;$».

Solution

     La 1^ère relation de conjugaison $\;{\big (}$approchée${\big )}\;$ ${\big [}$ou relation de conjugaison $\;{\big (}$approchée${\big )}\;$ de position${\big ]}\;$ de Descartes d'une lentille sphérique mince s'écrit, avec «$\;p_{o}={\overline {OA_{o}}}\;$», «$\;p_{i}={\overline {OA_{i}}}\;$» et la vergence «$\;V=$ ${\dfrac {1}{f_{i}}}=-{\dfrac {1}{f_{o}}}\;$», selon «$\;{\dfrac {1}{p_{i}}}-{\dfrac {1}{p_{o}}}=V\;$» $\Leftrightarrow$ $\;{\dfrac {1}{p_{i}}}-{\dfrac {1}{p_{o}}}={\dfrac {1}{f_{i}}}\;$ soit, en multipliant de part et d'autre par $\;f_{i}$, la relation $\;{\dfrac {f_{i}}{p_{i}}}-{\dfrac {f_{i}}{p_{o}}}=1\;$ ou encore, en utilisant $\;f_{i}=-f_{o}$,

«$\;{\dfrac {f_{i}}{p_{i}}}+{\dfrac {f_{o}}{p_{o}}}=1\;$».

 

Traduction graphique de la 1^ère relation de conjugaison de Descartes d'une lentille sphérique mince dans un diagramme « axe des x : abscisses des objets », « axe des y : abscisses des images »

     Associant à tout couple de points conjugués $\;(A_{o},\,A_{i})\;$ caractérisé par le couple de paramètres $\;(p_{o},\,p_{i})$, la droite $\;{\mathcal {D}}_{(p_{o},\,p_{i})}\;$ du plan cartésien passant par les points $\;(p_{o},\,0)\;$ et $\;(0,\,p_{i})$, montrer que la 1^ère relation de conjugaison $\;{\big (}$approchée${\big )}\;$ ${\big [}$ou relation de conjugaison $\;{\big (}$approchée${\big )}\;$ de position${\big ]}\;$ de Descartes écrite pour le couple $\;(A_{o},\,A_{i})\;$ se traduit par

« la droite $\;{\mathcal {D}}_{(p_{o},\,p_{i})}\;$ associée au couple $\;(A_{o},\,A_{i})\;$ passe par le point fixe de coordonnées $\;(f_{o},\,f_{i})\;$».

Solution

     Associons à tout couple de points conjugués $\;(A_{o},\,A_{i})\;$ caractérisé par le couple de paramètres $\;(p_{o},\,p_{i})$, la droite $\;{\mathcal {D}}_{(p_{o},\,p_{i})}\;$ du plan cartésien passant par les points $\;(p_{o},\,0)\;$ et $\;(0,\,p_{i})$, cette droite $\;{\mathcal {D}}_{(p_{o},\,p_{i})}\;$ a pour équation cartésienne «$\;{\dfrac {x}{p_{0}}}+{\dfrac {y}{p_{i}}}=1\;$» ;

     la 1^ère relation de conjugaison $\;{\big (}$approchée${\big )}\;$ ${\big [}$ou relation de conjugaison $\;{\big (}$approchée${\big )}\;$ de position${\big ]}\;$ de Descartes se réécrivant sous la forme «$\;{\dfrac {f_{i}}{p_{i}}}+{\dfrac {f_{o}}{p_{o}}}=1\;$» s'interprète par

« la droite $\;{\mathcal {D}}_{(p_{o},\,p_{i})}\;$ passe par le point $\;(f_{o},\,f_{i})\;$».

 

Discussion graphique de Bouasse pour une lentille sphérique mince convergente

     Considérant les différentes positions possibles du point objet $\;A_{o}\;$ sur l'axe optique principal relativement aux points réels «$\;W_{o}\;$ d'abscisse objet de Descartes $\;2\,f_{o}\;$»,
     Considérant les différentes positions possibles du point objet $\;\color {transparent}{A_{o}}\;$ sur l'axe optique principal relativement aux points réels «$\;F_{o}\;$ ${\big (}$foyer principal objet${\big )}\;$» et
     Considérant les différentes positions possibles du point objet $\;\color {transparent}{A_{o}}\;$ sur l'axe optique principal relativement aux points réels «$\;O\;$ ${\big (}$centre optique${\big )}\;$»,

• tracer les droites $\;{\mathcal {D}}_{(p_{o},\,p_{i})}\;$ correspondantes et
• déduire du signe de $\;p_{i}\;$ la nature « réelle » ou « virtuelle » du point image $\;A_{i}\;$ en précisant nettement la « nature et la position correspondante du point objet $\;A_{o}\;$» dont $\;A_{i}\;$ est l'image ;

     considérant maintenant un objet linéique transverse $\;A_{o}B_{o}\;$ de pied $\;A_{o}$, ce dernier prenant les différentes positions possibles considérées précédemment, déterminer à partir des signes et des grandeurs comparées de $\;p_{i}\;$ et $\;p_{o}$, la nature « droite » ou « inversée » de l'image ainsi que son caractère « agrandi » ou « rapetissé ».

     Vérifier chaque affirmation en faisant la construction de l'image d'un objet d'abscisse objet de Descartes $\;p_{o}\;$ choisi dans la discussion de Bouasse précédente.

Solution

     On pourra déterminer la nature $\;{\big (}$réelle ou virtuelle${\big )}\;$ de l'image connaissant celle $\;{\big (}$réelle ou virtuelle${\big )}\;$ de l'objet ponctuel suivant sa position par rapport à $\;O$, $\;F_{o}\;$ ou $\;W_{o}\;$ ${\big (}$point objet de Weierstrass symétrique de $\;O\;$ relativement à $\;F_{o}\;$${\big )}\;$ ;

     on pourra aussi en déduire la disposition $\;{\big (}$droite ou inversée${\big )}\;$ et la dimension $\;{\big (}$agrandie ou rapetissée${\big )}\;$ de l'image d'un objet linéique transverse suivant sa position par rapport à $\;O$, $\;F_{o}\;$ ou $\;W_{o}\;$.

     Principe de la discussion : On positionne le point $\;(f_{o},\,f_{i})\;$ dans le plan cartésien et on trace la famille de droites $\;{\mathcal {D}}_{(p_{o},\,p_{i})}\;$ passant par ce point ;

     Principe de la discussion : suivant la position graphique de $\;{\mathcal {D}}_{(p_{o},\,p_{i})}$, on peut préciser la nature « réelle ou virtuelle » de l'objet $\;A_{o}\;$ ${\big (}$par le signe de $\;p_{o}{\big )}\;$,
     Principe de la discussion : suivant la position graphique de $\;\color {transparent}{{\mathcal {D}}_{(p_{o},\,p_{i})}}$, on peut en déduire la nature « réelle ou virtuelle » de l'image $\;A_{i}\;$ ${\big (}$par le signe de $\;p_{i}{\big )}\;$,
     Principe de la discussion : suivant la position graphique de $\;\color {transparent}{{\mathcal {D}}_{(p_{o},\,p_{i})}}$, on peut en déduire le caractère « droit ou inversé », « agrandi ou rapetissé » de l'image si l'objet est linéique transverse $\;{\big (}$par les signes comparés de $\;p_{o}\;$ et $\;p_{i}\;$ d'une part, et suivant leurs valeurs absolues comparées d'autre part${\big )}\;$.

     Discussion graphique et vérification par construction :

Distinction des $\;4\;$ cas de la discussion graphique de Bouasse d'une lentille mince convergente

• Cas$\;\left(1\right)$ : ${\big (}$voir ci-contre${\big )}$ «$\;A_{o}\;$réel en deçà de$\;W_{o}\;$ ${\big (}$point objet de Weierstrass${\big )}$, $\;p_{o}<2\,f_{o}<0\;$» $\Rightarrow$
  Cas$\;\color {transparent}{\left(1\right)}$ : $\color {transparent}{\big (}$voir ci-contre$\color {transparent}{\big )}$ «$\;A_{i}\;$réel entre$\;F_{i}\;$et$\;W_{i}\;$ ${\big (}$point image de Weierstrass${\big )}$, $\;p_{i}>0\;$ et $\;\in \left]f_{i}\,{\text{ ; }}2\,f_{i}\right[\;$» ;
  Cas$\;\color {transparent}{\left(1\right)}$ : si l'objet est linéique transverse, l'image est inversée et rapetissée car $\;G_{t}={\dfrac {p_{i}}{p_{o}}}<0\;$ et $\;{\dfrac {\vert p_{i}\vert }{\vert p_{o}\vert }}<1\;$ ;
• Cas$\;\left(1'\right)$ : ${\big (}$voir ci-contre en bleu${\big )}$ «$\;A_{o}\;$réel entre$\;W_{o}\;$ ${\big (}$point objet de Weierstrass${\big )}\;$et$\;F_{o}$, $\;p_{o}<0\;$ et $\;\in \left]2\,f_{o}{\text{ ; }}f_{o}\right[\;$» $\Rightarrow$
  Cas$\;\color {transparent}{\left(1'\right)}$ : $\color {transparent}{\big (}$voir ci-contre en bleu$\color {transparent}{\big )}$ «$\;A_{i}\;$réel au-delà de$\;W_{i}\;$ ${\big (}$point image de Weierstrass${\big )}$, $\;p_{i}>2\,f_{i}>0\;$» ;
  Cas$\;\color {transparent}{\left(1'\right)}$ : si l'objet est linéique transverse, l'image est inversée et agrandie car $\;G_{t}={\dfrac {p_{i}}{p_{o}}}<0\;$ et $\;{\dfrac {\vert p_{i}\vert }{\vert p_{o}\vert }}>1\;$ ;
• Cas$\;\left(2\right)$ : ${\big (}$voir ci-contre en rouge${\big )}$ «$\;A_{o}\;$réel entre$\;F_{o}\;$et$\;O$, $\;p_{o}<0\;$ et $\;\in \left]f_{o}{\text{ ; }}0\right[\;$» $\Rightarrow$
  Cas$\;\color {transparent}{\left(2\right)}$ : $\color {transparent}{\big (}$voir ci-contre en rouge$\color {transparent}{\big )}$ «$\;A_{i}\;$virtuel$\;{\big (}$c'est-à-dire en deçà de $\;O{\big )}$, $\;p_{i}<0\;$» ;
  Cas$\;\color {transparent}{\left(2\right)}$ : si l'objet est linéique transverse, l'image est droite et agrandie car $\;G_{t}={\dfrac {p_{i}}{p_{o}}}>0\;$ et $\;{\dfrac {\vert p_{i}\vert }{\vert p_{o}\vert }}>1\;$ ;
• Cas$\;\left(3\right)$ : ${\big (}$voir ci-contre en vert${\big )}$ «$\;A_{o}\;$virtuel$\;{\big (}$c'est-à-dire au-delà de $\;O{\big )}$, $\;p_{o}>0\;$» $\Rightarrow$
  Cas$\;\color {transparent}{\left(3\right)}$ : $\color {transparent}{\big (}$voir ci-contre en vert$\color {transparent}{\big )}$ «$\;A_{i}\;$réel entre$\;O\;$et$\;F_{i}$, $\;p_{i}>0\;$ et $\;\in \left]0{\text{ ; }}f_{i}\right[\;$» ;
  Cas$\;\color {transparent}{\left(3\right)}$ : si l'objet est linéique transverse, l'image est droite et rapetissée car $\;G_{t}={\dfrac {p_{i}}{p_{o}}}>0\;$ et $\;{\dfrac {\vert p_{i}\vert }{\vert p_{o}\vert }}<1\;$.

     On vérifie chaque affirmation en faisant la construction de l'image d'un objet linéique transverse $\;A_{o}B_{o}\;$ d'abscisse $\;p_{o}\;$ choisie dans la discussion de Bouasse précédente :

Construction de l'image, par une lentille mince convergente, d'un objet linéique transverse réel de pied en deçà du foyer principal objet

• Cas$\;\left(1\right)$ : $\;A_{o}\;$ réel en deçà de $\;W_{o}\;$ ${\big (}$point objet de Weierstrass${\big )}\;$ $\Rightarrow$ $\;A_{i}\;$ réel entre $\;F_{i}\;$ et $\;W_{i}\;$ ${\big (}$point image de Weierstrass${\big )}\;$ avec image réelle inversée et rapetissée $\;{\big (}$figure ci-contre à droite${\big )}$ ;
  Cas$\;\color {transparent}{\left(1\right)}$ : sur la même figure, par retour inverse de $\;\left(1\right)\;$ on a le cas $\;\left(1'\right)\;$ ${\big (}$en bleu${\big )}$ :
  Cas$\;\color {transparent}{\left(1\right)}$ : $\;A_{o}\;$ réel entre $\;W_{o}\;$ ${\big (}$point objet de Weierstrass${\big )}\;$ et $\;F_{o}\;$ $\Rightarrow$ $\;A_{i}\;$ réel au-delà de $\;W_{i}\;$ ${\big (}$point image de Weierstrass${\big )}\;$ avec image inversée et agrandie $\;{\big [}$attention en retour inverse les indices $\;{}_{o}\;$ et $\;{}_{i}\;$ sont permutés, la lumière se propageant de la droite vers la gauche $\;\ldots \;$ il faut donc lire dans le cas $\;\left(1'\right)\;$ l'objet $\;A_{i}\;$ réel entre le foyer principal objet $\;F_{i}\;$ et le point objet de Weierstrass $\;W_{i}\;$ $\Rightarrow$ le point image $\;A_{o}\;$ réel au-delà du point image de Weierstrass $\;W_{o}$, l'image $\;A_{o}B_{o}\;$ étant réelle, inversée et agrandie relativement à l'objet réel $\;A_{i}B_{i}{\big ]}$ ;

Construction de l'image, par une lentille mince convergente, d'un objet linéique transverse réel de pied entre le foyer principal objet et le centre optique ou d'un objet virtuel

• Cas$\;\left(2\right)$ : $\;A_{o}\;$ réel entre $\;F_{o}\;$ et $\;O\;$ $\Rightarrow$ $\;A_{i}\;$ virtuel avec image droite et agrandie $\;{\big (}$figure ci-contre à gauche${\big )}$ ;
  Cas$\;\color {transparent}{\left(2\right)}$ : sur la même figure, par retour inverse de $\;\left(2\right)\;$ on a le cas $\;\left(3\right)\;$ ${\big (}$en vert${\big )}$ :
  Cas$\;\color {transparent}{\left(2\right)}$ : $\;A_{o}\;$ virtuel $\Rightarrow$ $\;A_{i}\;$ réel entre $\;O\;$ et $\;F_{i}\;$ avec image droite et rapetissée $\;{\big [}$attention en retour inverse les indices $\;{}_{o}\;$ et $\;{}_{i}\;$ sont permutés, la lumière se propageant de la droite vers la gauche $\;\ldots \;$ il faut donc lire dans le cas $\;\left(3\right)\;$ l'objet $\;A_{i}\;$ virtuel $\Rightarrow$ le point image $\;A_{o}\;$ réel entre le centre optique $\;O\;$ et le foyer principal image $\;F_{o}$, l'image $\;A_{o}B_{o}\;$ étant réelle, droite et rapetissée relativement à l'objet virtuel $\;A_{i}B_{i}{\big ]}$.

     Résumé des résultats trouvés par discussion graphique de Bouasse d'une lentille mince convergente :

     Pour que l'image d'un objet réel soit réelle il faut que l'objet ne soit pas entre la lentille mince convergente et le plan focal objet de cette dernière et
     Pour que l'image est agrandie si l'objet est entre le plan focal objet et le plan objet de Weierstrass, $\;{\big [}$l'objet réel doit être à une distance de la lentille strictement comprise entre $\;f_{i}\;$ ${\big (}$où le grandissement transverse serait de valeur absolue infinie${\big )}\;$ et $\;2\,f_{i}\;$ ${\big (}$où le grandissement transverse serait de valeur absolue égale à $\;1{\big )}{\big ]}$,
     Pour que l'image est rapetissée si l'objet est en deçà du plan objet de Weierstrass, $\;{\big [}$l'objet réel doit être à une distance de la lentille supérieure à $\;2\,f_{i}\;$ ${\big (}$où le grandissement transverse serait de valeur absolue égale à $\;1{\big )}$), le grandissement transverse tendant vers $\;0\;$ quand la distance tend vers l'infini${\big ]}$.

• 
  Résumé de la discussion graphique de Bouasse d'une lentille mince convergente

 

Discussion graphique de Bouasse pour une lentille sphérique mince divergente

     On se propose de refaire l'étude précédente mais appliquée à une lentille sphérique mince divergente.

     Répondre aux mêmes questions, les points $\;F_{o}\;$ et $\;W_{o}\;$ ${\big (}$point objet de Weierstrass${\big )}\;$ par rapport auxquels on repère la position du point objet $\;A_{o}\;$ étant maintenant virtuels, le point $\;O\;$ étant quant à lui toujours réel, et

     vérifier, de même, chaque affirmation en faisant la construction de l'image d'un objet d'abscisse objet de Descartes $\;p_{o}\;$ choisi dans la discussion de Bouasse précédente.

Solution

     On développe ci-dessous le même principe de discussion …

     Discussion graphique et vérification par construction :

Distinction des $\;4\;$ cas de la discussion graphique de Bouasse d'une lentille mince divergente

• Cas$\;\left(1\right)$ : ${\big (}$voir ci-contre${\big )}$ «$\;A_{o}\;$réel, $\;p_{o}<0\;$» $\Rightarrow$
  Cas$\;\color {transparent}{\left(1\right)}$ : $\color {transparent}{\big (}$voir ci-contre$\color {transparent}{\big )}$ «$\;A_{i}\;$virtuel entre$\;F_{i}\;$et$\;O$, $\;p_{i}<0\;$ et $\;\in \left]f_{i}\,{\text{ ; }}0\right[\;$» ;
  Cas$\;\color {transparent}{\left(1\right)}$ : si l'objet est linéique transverse, l'image est droite et rapetissée car $\;G_{t}={\dfrac {p_{i}}{p_{o}}}>0\;$ et $\;{\dfrac {\vert p_{i}\vert }{\vert p_{o}\vert }}<1\;$ ;
• Cas$\;\left(2\right)$ : ${\big (}$voir ci-contre en bleu${\big )}$ «$\;A_{o}\;$virtuel entre$\;O\;$et$\;F_{o}$, $\;p_{o}>0\;$ et $\;\in \left]0{\text{ ; }}f_{o}\right[\;$» $\Rightarrow$
  Cas$\;\color {transparent}{\left(2\right)}$ : $\color {transparent}{\big (}$voir ci-contre en bleu$\color {transparent}{\big )}$ «$\;A_{i}\;$réel, $\;p_{i}>0\;$» ;
  Cas$\;\color {transparent}{\left(2\right)}$ : si l'objet est linéique transverse, l'image est droite et agrandie car $\;G_{t}={\dfrac {p_{i}}{p_{o}}}<0\;$ et $\;{\dfrac {\vert p_{i}\vert }{\vert p_{o}\vert }}>1\;$ ;
• Cas$\;\left(3\right)$ : ${\big (}$voir ci-contre en rouge${\big )}$ «$\;A_{o}\;$virtuel entre$\;F_{o}\;$et$\;W_{o}\;$ ${\big (}$point objet de Weierstrass${\big )}\;$, $\;p_{o}>0\;$ et $\;\in \left]f_{o}{\text{ ; }}2\,f_{o}\right[\;$» $\Rightarrow$
  Cas$\;\color {transparent}{\left(3\right)}$ : $\color {transparent}{\big (}$voir ci-contre en rouge$\color {transparent}{\big )}$ «$\;A_{i}\;$virtuel en deçà de$\;W_{i}\;$ ${\big (}$point image de Weierstrass${\big )}\;$, $\;p_{i}<0\;$ et $\;\in \left]-\infty {\text{ ; }}2\,f_{i}\right[\;$» ;
  Cas$\;\color {transparent}{\left(3\right)}$ : si l'objet est linéique transverse, l'image est inversée et agrandie car $\;G_{t}={\dfrac {p_{i}}{p_{o}}}<0\;$ et $\;{\dfrac {\vert p_{i}\vert }{\vert p_{o}\vert }}>1\;$ ;
• Cas$\;\left(3'\right)$ : ${\big (}$voir ci-contre en vert${\big )}$ «$\;A_{o}\;$virtuel au-delà de$\;W_{o}$ ${\big (}$point objet de Weierstrass${\big )}\;$, $\;p_{o}>0\;$ et $\;\in \left]2\,f_{o}{\text{ ; }}\,+\infty \right[\;$» $\Rightarrow$
  Cas$\;\color {transparent}{\left(3'\right)}$ : $\color {transparent}{\big (}$voir ci-contre en vert$\color {transparent}{\big )}$ «$\;A_{i}\;$virtuel entre$\;W_{i}\;$ ${\big (}$point image de Weierstrass${\big )}\;$et$\;F_{i}$, $\;p_{i}<0\;$ et $\;\in \left]2\,f_{i}{\text{ ; }}f_{i}\right[\;$» ;
  Cas$\;\color {transparent}{\left(3'\right)}$ : si l'objet est linéique transverse, l'image est inversée et rapetissée car $\;G_{t}={\dfrac {p_{i}}{p_{o}}}<0\;$ et $\;{\dfrac {\vert p_{i}\vert }{\vert p_{o}\vert }}<1\;$.

     On vérifie chaque affirmation en faisant la construction de l'image d'un objet linéique transverse $\;A_{o}B_{o}\;$ d'abscisse $\;p_{o}\;$ choisie dans la discussion de Bouasse précédente :

Construction de l'image, par une lentille mince divergente, d'un objet linéique transverse réel ou virtuel de pied entre le centre optique et le foyer principal objet

• Cas$\;\left(1\right)$ : $\;A_{o}\;$ réel $\Rightarrow$ $\;A_{i}\;$ virtuel entre $\;F_{i}\;$ et $\;O\;$ avec image virtuelle droite et rapetissée $\;{\big (}$figure ci-contre à droite${\big )}$ ;
  Cas$\;\color {transparent}{\left(1\right)}$ : sur la même figure, par retour inverse de $\;\left(1\right)\;$ on a le cas $\;\left(2\right)\;$ ${\big (}$en bleu${\big )}$ :
  Cas$\;\color {transparent}{\left(1\right)}$ : $\;A_{o}\;$ virtuel entre $\;O\;$ et $\;F_{o}\;$ $\Rightarrow$ $\;A_{i}\;$ réel avec image droite et agrandie $\;{\big [}$attention en retour inverse les indices $\;{}_{o}\;$ et $\;{}_{i}\;$ sont permutés, la lumière se propageant de la droite vers la gauche $\;\ldots \;$ il faut donc lire dans le cas $\;\left(2\right)\;$ l'objet $\;A_{i}\;$ virtuel entre le centre optique $\;O\;$ et le foyer principal objet $\;F_{i}\;$ $\Rightarrow$ le point image $\;A_{o}\;$ réel entre le centre optique $\;O\;$ et le foyer principal image $\;F_{o}$, l'image $\;A_{o}B_{o}\;$ étant réelle, droite et agrandie relativement à l'objet réel $\;A_{i}B_{i}{\big ]}$ ;

Construction de l'image, par une lentille mince divergente, d'un objet linéique transverse virtuel de pied au-delà du foyer principal objet

• Cas$\;\left(3\right)$ : $\;A_{o}\;$ virtuel entre $\;F_{o}\;$ et $\;W_{o}\;$ ${\big (}$point objet de Weierstrass${\big )}\;$ $\Rightarrow$ $\;A_{i}\;$ virtuel en deçà de $\;W_{i}\;$ ${\big (}$point image de Weierstrass${\big )}\;$ avec image inversée et agrandie $\;{\big (}$figure ci-contre à gauche${\big )}$ ;
  Cas$\;\color {transparent}{\left(3\right)}$ : sur la même figure, par retour inverse de $\;\left(3\right)\;$ on a le cas $\;\left(3'\right)\;$ ${\big (}$en vert${\big )}$ :
  Cas$\;\color {transparent}{\left(3\right)}$ : $\;A_{o}\;$ virtuel au-delà de $\;W_{o}\;$ ${\big (}$point objet de Weierstrass${\big )}\;$ $\Rightarrow$ $\;A_{i}\;$ virtuel entre $\;F_{i}\;$ et $\;W_{i}\;$ ${\big (}$point image de Weierstrass${\big )}\;$ avec image inversée et rapetissée $\;{\big [}$attention en retour inverse les indices $\;{}_{o}\;$ et $\;{}_{i}\;$ sont permutés, la lumière se propageant de la droite vers la gauche $\;\ldots \;$ il faut donc lire dans le cas $\;\left(3'\right)\;$ l'objet $\;A_{i}\;$ virtuel au-delà du point objet de Weierstrass $\;W_{i}\;$ $\Rightarrow$ le point image $\;A_{o}\;$ virtuel entre le foyer principal image $\;F_{o}\;$ et le point image de Weierstrass $\;W_{o}$, l'image $\;A_{o}B_{o}\;$ étant virtuelle, inversée et rapetissée relativement à l'objet virtuel $\;A_{i}B_{i}{\big ]}$.

     Résumé des résultats trouvés par discussion graphique de Bouasse d'une lentille mince divergente :

     L'image et l'objet sont toujours de nature différente
     $\;\succ \;$pour qur l'image réelle d'un objet virtuel soit agrandie il faut que ce dernier soit entre la lentille et le plan objet de Weierstrass, $\;{\big [}$l'objet virtuel doit être à une distance de la lentille strictement comprise entre $\;0\;$ ${\big (}$où le grandissement transverse serait $\;+1{\big )}\;$ et $\;2\,f_{o}\;$ ${\big (}$où le grandissement transverse serait de valeur absolue égale à $\;1{\big )}\;$ en passant par $\;f_{o}\;$ ${\big (}$où le grandissement transverse serait infini${\big )}{\big ]}$,
     $\;\succ \;$sinon l'image réelle d'un objet virtuel est rapetissée, l'objet étant alors en deçà du plan objet de Weierstrass, $\;{\big [}$l'objet virtuel doit être à une distance de la lentille supérieure à $\;2\,f_{o}\;$ ${\big (}$où le grandissement transverse serait de valeur absolue égale à $\;1{\big )}$, le grandissement transverse tendant vers $\;0\;$ quand la distance tend vers l'infini${\big ]}$ ;
     $\;\succ \;$l'image virtuelle d'un objet réel est toujours rapetissée.

• 
  Résumé de la discussion graphique de Bouasse d'une lentille mince divergente

 

Objectif photographique, profondeur de champ de netteté due au grain de la pellicule et temps de pose

     L’objectif d’un appareil photographique est modélisé par une lentille sphérique mince convergente de distance « focale image $\;f_{i}=38\;mm\;$».

     Le diaphragme d’ouverture de l’objectif a un « diamètre réglable $\;2\,R={\dfrac {f_{i}}{N}}\;$» où $\;N$, appelé « nombre d'ouverture », peut varier par « valeurs discrètes de $\;N=2,0\;$ à $\;N=11,3\;$».

     La pellicule ayant une structure granulaire, « la tache image d’un objet ponctuel a le diamètre d’un grain soit $\;a=30\;\mu m\;$».

Détermination de la profondeur de champ de netteté liée à la nature granulaire de la pellicule

     L’objectif étant « mis au point sur un point objet $\;A_{o}\;$ situé à la distance $\;\vert p_{o}\vert =2,50\;m\;$ de l’objectif »,
     L'objectif étant « mis au point sur des points situés au-delà de $\;A_{o}\;$ c'est-à-dire à une distance $\;\vert {p'}_{o,\,M}\vert >2,50\;m\;$ de l’objectif, donnent une image ponctuelle en deçà du film,
     L'objectif étant « mis au point sur des points situés en deçà de $\;A_{o}\;$ c'est-à-dire à une distance $\;\vert {p'}_{o,\,m}\vert <2,50\;m\;$ de l’objectif, donnent une image ponctuelle au-delà du film,
     L'objectif étant « mis au point sur des points situés au-delà de $\;\color {transparent}{A_{o}}\;$ dans les deux cas, apparaît une tache sur le film, laquelle semblera ponctuelle si « son diamètre est inférieur à celui du grain du film ».

     On définit la « profondeur de champ de netteté » de l'objectif diaphragmé pour une mise au point sur un objet donné
           On définit la « profondeur de champ de netteté » comme l'intervalle de distance séparant l'objectif et les objets ponctuels à image granulaire considérée comme ponctuelle sur la pellicule,
           On définit la « profondeur de champ de netteté » comme « intervalle noté $\;\left[\vert p_{o,\,m}\vert \,;\,\vert p_{o,\,M}\vert \right]\;$» ;

     On définit la « profondeur de champ de netteté » le minimum de la profondeur de champ est donc $\;\vert p_{o,\,m}\vert \;$ et
     On définit la « profondeur de champ de netteté » le maximum      de la profondeur de champ est donc $\;\vert p_{o,\,M}\vert$,
     On définit la « profondeur de champ de netteté » la largeur étant définie par «$\;\Delta x(\vert p_{o}\vert ,\,N)=\vert p_{o,\,M}\vert -\vert p_{o,\,m}\vert \;$».

     Exprimer, en fonction du grain $\;a\;$ de la pellicule, de la distance focale image $\;f_{i}$, du nombre d'ouverture $\;N\;$ et de la distance de mise au point $\;\vert p_{o}\vert$ :
     Exprimer, le minimum de la profondeur de champ $\;\vert p_{o,\,m}\vert$,
     Exprimer, le maximum      de la profondeur de champ $\;\vert p_{o,\,M}\vert \;$ et
     Exprimer, la largeur           de la profondeur de champ $\;\Delta x(\vert p_{o}\vert ,\,N)$.

     Faire l'application numérique pour les valeurs extrêmes d'ouverture.

Solution

Schéma de définition du minimum de profondeur de champ d'un objectif à ouverture et grain de pellicule fixés

     Minimum de profondeur de champ : La mise au point étant rigoureusement faite pour la distance $\;\vert p_{o}\vert$,
           Minimum de profondeur de champ : des points $\;{A'}_{\!o,\,m}\;$ situés sur l'axe optique principal entre $\;A_{o}\;$ et $\;O\;$ donneront des images $\;{A'}_{\!i,\,m}\;$ situées derrière la pellicule et par conséquent le faisceau issu de $\;{A'}_{\!o,\,m}\;$ et limité par le diaphragme émergera selon un faisceau convergeant en $\;{A'}_{\!i,\,m}\;$ laissant une tache $\;{\big (}$et non un point${\big )}\;$ sur la diapositive $\;{\big (}$voir figure ci-contre${\big )}$ ;

           Minimum de profondeur de champ : ces taches seront vues comme des points pour un diamètre de tache $\;<\;$ au grain de la pellicule c'est-à-dire
           Minimum de profondeur de champ : ces taches seront vues comme des points pour «$\;HH'({A'}_{\!o,\,m})<a\;$» ou, en notant $\;(HH')_{m}\;$ la valeur maximale du diamètre de la tache pouvant être considérée comme ponctuelle, «$\;(HH')_{\!m}=a\;$» ;

           Minimum de profondeur de champ : on écrit tout d'abord la 1^ère relation de conjugaison $\;{\big (}$approchée${\big )}\;$ ${\big [}$ou relation de conjugaison $\;{\big (}$approchée${\big )}\;$ de position${\big ]}\;$ de Descartes pour le couple $\;(A_{o},\,A_{i})\;$ soit «$\;{\dfrac {1}{p_{i}}}-{\dfrac {1}{-\vert p_{o}\vert }}={\dfrac {1}{f_{i}}}\;$» d'où $\;{\dfrac {1}{p_{i}}}={\dfrac {1}{f_{i}}}-{\dfrac {1}{\vert p_{o}\vert }}={\dfrac {\vert p_{o}\vert -f_{i}}{f_{i}\,\vert p_{o}\vert }}\;$ $\Rightarrow$ «$\;p_{i}={\dfrac {f_{i}\,\vert p_{o}\vert }{\vert p_{o}\vert -f_{i}}}\;\;({\mathfrak {1}})\;$» puis,

           Minimum de profondeur de champ : en raisonnant dans le cas limite, la 1^ère relation de conjugaison $\;{\big (}$approchée${\big )}\;$ ${\big [}$ou relation de conjugaison $\;{\big (}$approchée${\big )}\;$ de position${\big ]}\;$ de Descartes pour le couple $\;(A_{o,\,m},\,A_{i,\,m})\;$ soit «$\;{\dfrac {1}{p_{i,\,m}}}-{\dfrac {1}{-\vert p_{o,\,m}\vert }}={\dfrac {1}{f_{i}}}\;$» d'où $\;{\dfrac {1}{p_{i,\,m}}}=$ ${\dfrac {1}{f_{i}}}-{\dfrac {1}{\vert p_{o,\,m}\vert }}={\dfrac {\vert p_{o,\,m}\vert -f_{i}}{f_{i}\,\vert p_{o,\,m}\vert }}\;$ soit «$\;p_{i,\,m}={\dfrac {f_{i}\,\vert p_{o,\,m}\vert }{\vert p_{o,\,m}\vert -f_{i}}}\;\;({\mathfrak {2}})\;$» enfin,

           Minimum de profondeur de champ : les triangles $\;KK'A_{i,\,m}\;$ et $\;HH'A_{i,\,m}\;$ étant semblables, on en déduit : $\;{\dfrac {OA_{i,\,m}}{KK'}}={\dfrac {A_{i}A_{i,\,m}}{(HH')_{m}}}\;$ $\Leftrightarrow$ $\;{\dfrac {p_{i,\,m}}{2\,R}}={\dfrac {p_{i,\,m}-p_{i}}{(HH')_{m}}}\;$ $\Rightarrow$ «$\;(HH')_{m}=$ $2\,R\,{\dfrac {p_{i,\,m}-p_{i}}{p_{i,\,m}}}\;$ qui vaut, dans le cas limite, $\;a\;$» d'où la condition «$\;2\,R\left(1-{\dfrac {p_{i}}{p_{i,\ ,m}}}\right)=a\;\;({\mathfrak {3}})\;$» ;

           Minimum de profondeur de champ : en reportant les formules $\;({\mathfrak {1}})\;$ et $\;({\mathfrak {2}})\;$ dans la relation $\;({\mathfrak {3}})$, on obtient $\;2\,R\left(1-{\dfrac {\dfrac {f_{i}\,\vert p_{o}\vert }{\vert p_{o}\vert -f_{i}}}{\dfrac {f_{i}\,\vert p_{o,\,m}\vert }{\vert p_{o,\,m}\vert -f_{i}}}}\right)=a\;$ $\Leftrightarrow$ $\;1-{\dfrac {\vert p_{o}\vert \left(\vert p_{o,\,m}\vert -f_{i}\right)}{\vert p_{o,\,m}\vert \left(\vert p_{o}\vert -f_{i}\right)}}={\dfrac {a}{2\,R}}\;$ soit encore $\;1-{\dfrac {\vert p_{o}\vert }{\vert p_{o}\vert -f_{i}}}+{\dfrac {\vert p_{o}\vert \;f_{i}}{\vert p_{o,\,m}\vert \left(\vert p_{o}\vert -f_{i}\right)}}={\dfrac {a}{2\,R}}\;$ ou $\;-{\dfrac {f_{i}}{\vert p_{o}\vert -f_{i}}}+{\dfrac {\vert p_{o}\vert \;f_{i}}{\vert p_{o,\,m}\vert \left(\vert p_{o}\vert -f_{i}\right)}}={\dfrac {a}{2\,R}}\;$ $\Leftrightarrow$ $\;{\dfrac {\vert p_{o}\vert }{\vert p_{o,\,m}\vert }}={\dfrac {a\left(\vert p_{o}\vert -f_{i}\right)}{2\,R\,f_{i}}}+1\;$ donnant $\;\vert p_{o,\,m}\vert =\vert p_{o}\vert \;{\dfrac {2\,R\,f_{i}}{a\left(\vert p_{o}\vert -f_{i}\right)+2\,R\,f_{i}}}={\dfrac {\vert p_{o}\vert }{{\dfrac {a}{2\,R}}\left({\dfrac {\vert p_{o}\vert }{f_{i}}}-1\right)+1}}\;$ et finalement, avec «$\;\vert p_{o}\vert \gg f_{i}\;$ $\Rightarrow$ $\;1\ll {\dfrac {\vert p_{o}\vert }{f_{i}}}\;$», «$\;\vert p_{o,\,m}\vert \simeq {\dfrac {\vert p_{o}\vert }{1+{\dfrac {a}{2\,R}}\;{\dfrac {\vert p_{o}\vert }{f_{i}}}}}\;$» ou, avec $\;2\,R={\dfrac {f_{i}}{N}}$,

le « minimum de profondeur de champ $\;\vert p_{o,\,m}\vert \simeq {\dfrac {\vert p_{o}\vert }{1+{\dfrac {N\;a}{f_{i}}}\;{\dfrac {\vert p_{o}\vert }{f_{i}}}}}\;$».

Schéma de définition du maximum de profondeur de champ d'un objectif à ouverture et grain de pellicule fixés

     Maximum de profondeur de champ : La mise au point étant rigoureusement faite pour la distance $\;\vert p_{o}\vert$,
           Maximum de profondeur de champ : des points $\;{A'}_{\!o,\,M}\;$ situés sur l'axe optique principal entre $\;A_{o,\,\infty }\;$ et $\;A_{o}\;$ donneront des images $\;{A'}_{\!i,\,M}\;$ situées devant la pellicule et par conséquent le faisceau issu de $\;{A'}_{\!o,\,M}\;$ et limité par le diaphragme émergera selon un faisceau convergeant en $\;{A'}_{\!i,\,M}\;$ laissant une tache $\;{\big (}$et non un point${\big )}\;$ sur la diapositive $\;{\big (}$voir figure ci-contre${\big )}$ ;

           Maximum de profondeur de champ : ces taches seront vues comme des points pour un diamètre de tache $\;<\;$ au grain de la pellicule c'est-à-dire
           Maximum de profondeur de champ : ces taches seront vues comme des points pour «$\;HH'({A'}_{\!o,\,M})<a\;$» ou, en notant $\;(HH')_{M}\;$ la valeur maximale du diamètre de la tache pouvant être considérée comme ponctuelle, «$\;(HH')_{\!M}=a\;$» ;

           Maximum de profondeur de champ : ayant écrit tout d'abord la 1^ère relation de conjugaison $\;{\big (}$approchée${\big )}\;$ ${\big [}$ou relation de conjugaison $\;{\big (}$approchée${\big )}\;$ de position${\big ]}\;$ de Descartes pour le couple $\;(A_{o},\,A_{i})\;$ et y ayant obtenu «$\;p_{i}={\dfrac {f_{i}\,\vert p_{o}\vert }{\vert p_{o}\vert -f_{i}}}\;\;({\mathfrak {1}})\;$», on poursuit

           Maximum de profondeur de champ : en raisonnant dans le cas limite, la 1^ère relation de conjugaison $\;{\big (}$approchée${\big )}\;$ ${\big [}$ou relation de conjugaison $\;{\big (}$approchée${\big )}\;$ de position${\big ]}\;$ de Descartes pour le couple $\;(A_{o,\,M},\,A_{i,\,M})\;$ donnant «$\;{\dfrac {1}{p_{i,\,M}}}-{\dfrac {1}{-\vert p_{o,\,M}\vert }}={\dfrac {1}{f_{i}}}\;$» d'où $\;{\dfrac {1}{p_{i,\,M}}}$ $={\dfrac {1}{f_{i}}}-{\dfrac {1}{\vert p_{o,\,M}\vert }}={\dfrac {\vert p_{o,\,M}\vert -f_{i}}{f_{i}\,\vert p_{o,\,M}\vert }}\;$ soit «$\;p_{i,\,M}={\dfrac {f_{i}\,\vert p_{o,\,M}\vert }{\vert p_{o,\,M}\vert -f_{i}}}\;\;({\mathfrak {2}}')\;$» enfin,

           Maximum de profondeur de champ : les triangles $\;KK'A_{i,\,M}\;$ et $\;HH'A_{i,\,M}\;$ étant semblables, on en déduit : $\;{\dfrac {OA_{i,\,M}}{KK'}}={\dfrac {A_{i,\,M}A_{i}}{(HH')_{M}}}\;$ $\Leftrightarrow$ $\;{\dfrac {p_{i,\,M}}{2\,R}}={\dfrac {p_{i}-p_{i,\,M}}{(HH')_{M}}}\;$ $\Rightarrow$ «$\;(HH')_{M}=$ $2\,R\,{\dfrac {p_{i}-p_{i,\,M}}{p_{i,\,M}}}\;$ qui vaut, dans le cas limite, $\;a\;$» d'où la condition «$\;2\,R\left({\dfrac {p_{i}}{p_{i,\,M}}}-1\right)=a\;\;({\mathfrak {3}}')\;$» ;

           Maximum de profondeur de champ : en reportant les formules $\;({\mathfrak {1}})\;$ et $\;({\mathfrak {2}}')\;$ dans la relation $\;({\mathfrak {3}}')$, on obtient $\;2\,R\left({\dfrac {\dfrac {f_{i}\,\vert p_{o}\vert }{\vert p_{o}\vert -f_{i}}}{\dfrac {f_{i}\,\vert p_{o,\,M}\vert }{\vert p_{o,\,M}\vert -f_{i}}}}-1\right)=a\;$ ou $\;{\dfrac {\vert p_{o}\vert \left(\vert p_{o,\,M}\vert -f_{i}\right)}{\vert p_{o,\,M}\vert \left(\vert p_{o}\vert -f_{i}\right)}}-1={\dfrac {a}{2\,R}}\;$ soit encore $\;{\dfrac {\vert p_{o}\vert }{\vert p_{o}\vert -f_{i}}}-{\dfrac {\vert p_{o}\vert \;f_{i}}{\vert p_{o,\,M}\vert \left(\vert p_{o}\vert -f_{i}\right)}}-1={\dfrac {a}{2\,R}}\;$ ou $\;{\dfrac {f_{i}}{\vert p_{o}\vert -f_{i}}}-{\dfrac {\vert p_{o}\vert \;f_{i}}{\vert p_{o,\,M}\vert \left(\vert p_{o}\vert -f_{i}\right)}}={\dfrac {a}{2\,R}}\;$ $\Leftrightarrow$ $\;{\dfrac {\vert p_{o}\vert }{\vert p_{o,\,M}\vert }}=-{\dfrac {a\left(\vert p_{o}\vert -f_{i}\right)}{2\,R\,f_{i}}}+1\;$ donnant $\;\vert p_{o,\,M}\vert =\vert p_{o}\vert \;{\dfrac {2\,R\,f_{i}}{-a\left(\vert p_{o}\vert -f_{i}\right)+2\,R\,f_{i}}}={\dfrac {\vert p_{o}\vert }{-{\dfrac {a}{2\,R}}\left({\dfrac {\vert p_{o}\vert }{f_{i}}}-1\right)+1}}\;$ et finalement, avec «$\;\vert p_{o}\vert \gg f_{i}\;$ $\Rightarrow$ $\;1\ll {\dfrac {\vert p_{o}\vert }{f_{i}}}\;$», «$\;\vert p_{o,\,M}\vert \simeq {\dfrac {\vert p_{o}\vert }{1-{\dfrac {a}{2\,R}}\;{\dfrac {\vert p_{o}\vert }{f_{i}}}}}\;$» ou, avec $\;2\,R={\dfrac {f_{i}}{N}}$,

le « maximum de profondeur de champ $\;\vert p_{o,\,M}\vert \simeq {\dfrac {\vert p_{o}\vert }{1-{\dfrac {N\;a}{f_{i}}}\;{\dfrac {\vert p_{o}\vert }{f_{i}}}}}$».

     Largeur de profondeur de champ : La largeur de profondeur de champ $\;\Delta x(\vert p_{o}\vert ,\,N)\;$ définie selon «$\;\Delta x(\vert p_{o}\vert ,\,N)=\vert p_{o,\,M}\vert -\vert p_{o,\,m}\vert \;$» se calcule en reportant les expressions de $\;\vert p_{o,\,m}\vert \;$ et $\;\vert p_{o,\,M}\vert \;$ précédemment établies soit $\;\Delta x(\vert p_{o}\vert ,\,N)={\dfrac {\vert p_{o}\vert }{1-{\dfrac {N\;a}{f_{i}}}\;{\dfrac {\vert p_{o}\vert }{f_{i}}}}}-{\dfrac {\vert p_{o}\vert }{1+{\dfrac {N\;a}{f_{i}}}\;{\dfrac {\vert p_{o}\vert }{f_{i}}}}}\;$ ou, en réduisant au même dénominateur,

la « largeur de profondeur de champ $\;\Delta x(\vert p_{o}\vert ,\,N)=\vert p_{o}\vert \;{\dfrac {2\;{\dfrac {N\;a}{f_{i}}}\;{\dfrac {\vert p_{o}\vert }{f_{i}}}}{1-{\dfrac {N^{2}\;a^{2}}{f_{i}^{2}}}\;{\dfrac {p_{o}^{\!2}}{f_{i}^{2}}}}}\;$».

     A.N. : $\;\blacktriangleright \;$pour le diaphragme le plus ouvert $\;N=2,0$, une distance de mise au point $\;\vert p_{o}\vert =2,50\;m$, une distance focale $\;{\big (}$image${\big )}$ $\;f_{i}=38\;mm\;$ et un grain de pellicule de diamètre $\;a=30\;\mu m\;$ on obtient :
           A.N. : $\;\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$pour le diaphragme le plus ouvert $\;\color {transparent}{N=2,0}$, $\;\succ \;$ un minimum de profondeur de champ $\;\vert p_{o,\,m}\vert \simeq {\dfrac {2,50}{1+{\dfrac {2,0\times 30\;10^{-6}}{38\;10^{-3}}}\times {\dfrac {2,50}{38\;10^{-3}}}}}\;$ en $\;m\;$ soit «$\;\vert p_{o,\,m}\vert \simeq 2,265\;m\;$»,
           A.N. : $\;\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$pour le diaphragme le plus ouvert $\;\color {transparent}{N=2,0}$, $\;\succ \;$ un maximum de profondeur de champ $\;\vert p_{o,\,M}\vert \simeq {\dfrac {2,50}{1-{\dfrac {2,0\times 30\;10^{-6}}{38\;10^{-3}}}\times {\dfrac {2,50}{38\;10^{-3}}}}}\;$ en $\;m\;$ soit «$\;\vert p_{o,\,M}\vert \simeq 2,790\;m\;$» et
           A.N. : $\;\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$pour le diaphragme le plus ouvert $\;\color {transparent}{N=2,0}$, $\;\succ \;$ une largeur de profondeur de champ $\;\Delta x(2,50\,m,\;2,0)=2,50\times {\dfrac {2\times {\dfrac {2,0\times 30\;10^{-6}}{38\;10^{-3}}}\times {\dfrac {2,50}{38\;10^{-3}}}}{1-{\dfrac {(2,0)^{2}\times (30\;10^{-6})^{2}}{(38\;10^{-3})^{2}}}\times {\dfrac {(2,50)^{2}}{(38\;10^{-3})^{2}}}}}\;$ en $\;m\;$ soit
                A.N. : $\;\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$pour le diaphragme le plus ouvert $\;\color {transparent}{N=2,0}$, $\;\color {transparent}{\succ }\;$ une largeur de profondeur de champ «$\;\Delta x(2,50\,m,\;2,0)\simeq 0,525\;m\;$» ;

            A.N. : $$