Signaux physiques (PCSI)/Exercices/Optique géométrique : conditions de Gauss

Stigmatisme et aplanétisme approchés d'un miroir sphérique sous conditions de Gauss

     Pour être défini, un miroir sphérique nécessite la connaissance de :

• sa nature « concave » ou « convexe »,
• son centre $\;C\;$ ${\big (}$centre de courbure de la surface sphérique réfléchissante${\big )}$,
• son rayon de courbure $\;{\big (}$non algébrisé${\big )}$ $\;R\;$ ${\big (}$rayon de courbure de la surface sphérique réfléchissante${\big )}$,
• l'axe optique principal dont la partie incidente $\;{\big (}$ou son prolongement${\big )}\;$ passe par $\;C\;$ et le point objet $\;A_{o}\;$ ${\big (}$point objet dont on étudiera l'image éventuelle${\big )}\;$ et
• son sommet $\;S\;$ ${\big (}$intersection de l'axe optique principal et de la surface réfléchissante${\big )}$.

     Nous adoptons l'algébrisation physique de l'axe optique principal et, pour unifier l'étude des miroirs sphériques, algébrisons le rayon de courbure du miroir selon $\;{\overline {R}}={\overline {SC}}_{\rightarrow }\;$ avec pour conséquence la nature « concave » ou « convexe » du miroir caractérisé par le signe du rayon de courbure algébrisé :

• si $\;{\overline {R}}={\overline {SC}}_{\rightarrow }>0\;$, $\;C\;$ étant à droite de $\;S\;$ est virtuel, correspondant à un miroir « convexe »,
• si $\;{\overline {R}}={\overline {SC}}_{\rightarrow }<0\;$, $\;C\;$ étant à gauche de $\;S\;$ est réel, correspondant à un miroir « concave ».

• 
  Miroir sphérique convexe : algébrisation de l'axe optique principal, définitions du centre, du sommet et du rayon de courbure algébrisé
• 
  Miroir sphérique concave : algébrisation de l'axe optique principal, définitions du centre, du sommet et du rayon de courbure algébrisé

     Dans la suite nous supposerons le miroir sphérique concave et
     Dans la suite nous admettrons qu'il n'y a pas stigmatisme rigoureux du miroir sphérique pour tous les points objet autres que $\;C\;$ et tous les points du miroir.

Démonstration du stigmatisme approché d'un miroir sphérique concave sous conditions de Gauss

Schéma d'un miroir sphérique concave dans le but d'établir le stigmatisme approché du miroir pour tout point objet autre que $\;C\;$ et $\;S$

     Considérant un point objet réel $\;A_{o}\neq C\;$ et l'axe optique principal correspondant de support $\;(A_{o}C)\;$, nous envisageons des rayons incidents issus de $\;A_{o}$, peu inclinés par rapport à l'axe optique principal, d'angle d'inclinaison $\;\theta _{o}\;$ tel que $\;\vert \theta _{o}\vert \ll 1\;$ et dont le point d'incidence $\;I\;$ reste proche du sommet $\;S\;$ c'est-à-dire tel que l'angle que fait la normale au miroir en $\;I\;$ dans le sens incident avec la partie incidente de l'axe optique principal $\;{\widehat {({\overrightarrow {CS}}\,;\,{\vec {N}})}}=$ $\omega \;$ est tel que $\;\vert \omega \vert \ll 1\;$.

     Le rayon incident $\;A_{o}I\;$ donnant, par utilisation des lois de Snell - Descartes de la réflexion, le rayon réfléchi $\;IA_{i}\;$ ${\big (}A_{i}\in$ à l'axe optique principal${\big )}$, appelons $\;\theta _{i}\;$ l'angle d'inclinaison du rayon réfléchi par rapport à la partie réfléchie de l'axe optique principal ; nous nous proposons de démontrer que $\;A_{i}\;$ est indépendant du rayon incident considéré ${\big (}$c'est-à-dire indépendant de $\;\theta _{o}\;$ et de $\;\omega {\big )}\;$ dans la mesure où les conditions de Gauss de stigmatisme approché ${\big (}\vert \theta _{o}\vert \ll 1\;$ et $\;\vert \omega \vert \ll 1{\big )}\;$ sont réalisées.

Établissement de la relation liant θ_o, θ_i et ω

1. En travaillant dans le triangle $\;A_{o}IC\;$ établir une 1^ère relation entre $\;\theta _{o}$, $\;i\;{\big (}$angle d'incidence du rayon incident en $\;I{\big )}\;$ et $\;\omega$,
2. en travaillant dans le triangle $\;A_{i}IC\;$ établir une 2^ème relation entre $\;\theta _{i}$, $\;i'\;{\big (}$angle de réflexion du rayon réfléchi en $\;I{\big )}\;$ et $\;\omega$,
3. en utilisant la 2^ème loi de Snell - Descartes de la réflexion et les deux relations précédentes, déduire la relation suivante entre $\;\theta _{o}$, $\;\theta _{i}\;$ et $\;\omega$ : «$\;\omega ={\dfrac {\theta _{o}+\theta _{i}}{2}}\;\;({\mathfrak {a}})\;$».

Solution

     Dans le triangle $\;A_{o}IC$, «$\;\omega =\theta _{o}+(-i)\;$» et

     dans le triangle $\;A_{i}IC$, «$\;\theta _{i}=\omega +i'\;$» ; en utilisant la 2^ème relation de Snell - Descartes pour la réflexion «$\;i'=-i\;$» $\Rightarrow$ la relation ci-dessus se réécrit
     dans le triangle $\;\color {transparent}{A_{i}IC}$, «$\;\theta _{i}=\omega -i\;$» ;

     dans le triangle $\;\color {transparent}{A_{i}IC}$, on élimine alors $\;i\;$ entre ces deux relations en faisant la différence soit : $\;\omega -\theta _{i}=\theta _{o}-\omega \;$ ou $\;2\,\omega =\theta _{o}+\theta _{i}\;$ soit enfin «$\;\omega ={\dfrac {\theta _{o}+\theta _{i}}{2}}\;\;({\mathfrak {a}})\;$».

 

Évaluation des angles θ_o, θ_i et ω en fonction des abscisses de A_o, A_i et C repérées relativement à H

     De la relation $\;({\mathfrak {a}})\;$ et des conditions de Gauss de stigmatisme approché, montrer que le rayon réfléchi est peu incliné relativement à la partie réfléchie de l'axe optique principal c'est-à-dire $\;\vert \theta _{i}\vert \ll 1$.

1. En travaillant dans le triangle $\;A_{o}IH\;$ évaluer $\;\tan(\theta _{o})\;$ en fonction, entre autres, de $\;{\overline {HA_{o}}}_{\rightarrow }\;$ puis, en tenant compte de la petitesse de la valeur absolue de l'angle $\;\theta _{o}$,
2. en travaillant dans le triangle $\;A_{i}IH\;$ évaluer $\;\tan(\theta _{i})\;$ en fonction, entre autres, de $\;{\overline {HA_{i}}}_{\leftarrow }\;$ puis, en tenant compte de la petitesse de la valeur absolue de l'angle $\;\theta _{i}$,
3. en travaillant dans le triangle $\;CIH\;$ évaluer $\;\tan(\omega )\;$ en fonction, entre autres, de $\;{\overline {HC}}_{\rightarrow }\;$ puis, en tenant compte de la petitesse de la valeur absolue de l'angle $\;\omega$,
4. déduire des trois évaluations précédentes et de la relation $\;({\mathfrak {a}})$, un lien entre «$\;{\overline {HA_{o}}}_{\rightarrow }$, $\;{\overline {HA_{i}}}_{\leftarrow }\;$ et $\;{\overline {HC}}_{\rightarrow }\;$» $\;{\big [}$relation $\,({\mathfrak {b}}){\big ]}$.

Solution

     De la relation $\;({\mathfrak {a}})\;$ écrite sous la forme $\;\theta _{i}=2\,\omega -\theta _{o}\;$ $\Rightarrow$ $\;\vert \theta _{i}\vert \leqslant 2\,\vert \omega \vert +\vert \theta _{o}\vert \;$ et
     des conditions de Gauss de stigmatisme approché $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\vert \theta _{o}\vert \ll 1\\\vert \omega \vert \ll 1\end{array}}\right\rbrace \;$ $\Rightarrow$ $\;2\,\vert \omega \vert +\vert \theta _{o}\vert \ll 1\;$ on en déduit «$\;\vert \theta _{i}\vert \leqslant 2\,\vert \omega \vert +\vert \theta _{o}\vert \ll 1\;$» c'est-à-dire que le rayon réfléchi est aussi peu incliné relativement à la partie réfléchie de l'axe optique principal.

1. En travaillant dans le triangle $\;A_{o}IH$, «$\;\tan(\theta _{o})={\dfrac {\overline {HI}}{-{\overline {HA_{o}}}_{\rightarrow }}}\;$» car sur le schéma $\;\theta _{o}>0\;$ d'où $\;\tan(\theta _{o})>0$, $\;{\overline {HI}}>0\;$ et $\;{\overline {HA_{o}}}_{\rightarrow }<0\;$ ;
   En travaillant dans le triangle $\;\color {transparent}{A_{o}IH}$, «$\;\vert \theta _{o}\vert \ll 1\;$ $\Rightarrow$ $\;\tan(\theta _{o})\simeq \theta _{o}\;$» on en déduit $\;\theta _{o}\simeq -{\dfrac {\overline {HI}}{{\overline {HA_{o}}}_{\rightarrow }}}\;$ ;
2. en travaillant dans le triangle $\;A_{i}IH$, «$\;\tan(\theta _{i})={\dfrac {\overline {HI}}{{\overline {HA_{i}}}_{\leftarrow }}}\;$» car sur le schéma $\;\theta _{i}>0\;$ d'où $\;\tan(\theta _{i})>0$, $\;{\overline {HI}}>0\;$ et $\;{\overline {HA_{i}}}_{\leftarrow }>0\;$ ;
   en travaillant dans le triangle $\;\color {transparent}{A_{i}IH}$, «$\;\vert \theta _{i}\vert \ll 1\;$ $\Rightarrow$ $\;\tan(\theta _{i})\simeq \theta _{i}\;$» on en déduit $\;\theta _{i}\simeq {\dfrac {\overline {HI}}{{\overline {HA_{i}}}_{\leftarrow }}}\;$ ;
3. en travaillant dans le triangle $\;CIH$, «$\;\tan(\omega )={\dfrac {\overline {HI}}{-{\overline {HC}}_{\rightarrow }}}\;$» car sur le schéma $\;\omega >0\;$ d'où $\;\tan(\omega )>0$, $\;{\overline {HI}}>0\;$ et $\;{\overline {HC}}_{\rightarrow }<0\;$ ;
   en travaillant dans le triangle $\;\color {transparent}{CIH}$, «$\;\vert \omega \vert \ll 1\;$ $\Rightarrow$ $\;\tan(\omega )\simeq \omega \;$» on en déduit $\;\omega \simeq -{\dfrac {\overline {HI}}{\overline {HC_{\rightarrow }}}}\;$ ;
4. des trois évaluations précédentes et de la relation $\;({\mathfrak {a}})\;$ réécrite selon $\;2\,\omega =\theta _{i}+\theta _{o}$, on en déduit «$\;{\dfrac {-2\,{\overline {HI}}}{\overline {HC_{\rightarrow }}}}={\dfrac {\overline {HI}}{{\overline {HA_{i}}}_{\leftarrow }}}-{\dfrac {\overline {HI}}{{\overline {HA_{o}}}_{\rightarrow }}}\;$» ou, après simplifiant par $\;{\overline {HI}}$,
   des trois évaluations précédentes et de la relation $\;\color {transparent}{({\mathfrak {a}})}\;$ réécrite selon $\;\color {transparent}{2\,\omega =\theta _{i}+\theta _{o}}$, on en déduit «$\;{\dfrac {-2}{\overline {HC_{\rightarrow }}}}={\dfrac {1}{\overline {{\mathrm {HA} _{i}}_{\leftarrow }}}}-{\dfrac {1}{{\overline {HA_{o}}}_{\rightarrow }}}\;\;({\mathfrak {b}})\;$».

 

Établissement de la confusion de H et de S à l'ordre un en ω

     Établir que $\;H\;$ peut être confondu avec le sommet $\;S\;$ du miroir à l'ordre un en $\;\omega \;$ et

     réécrire que la relation $\;({\mathfrak {b}})\;$ en tenant compte de cette confusion.

Solution

     Montrons que $\;H\;$ peut être confondu avec $\;S\;$ à l'ordre un en $\;\omega \;$, en évaluant $\;[CH]\;$ puis $\;[HS]=[CS]-[CH]\;$ à l'ordre deux en $\;\omega$, on obtient
          Montrons que $\;\color {transparent}{H}\;$ peut être confondu avec $\;\color {transparent}{S}\;$ à l'ordre un en $\;\color {transparent}{\omega }\;$«$\;[CH]=[CI]\,\cos(\omega )=R\,\cos(\omega )\simeq R\left(1-{\dfrac {\omega ^{2}}{2}}\right)\;$ à l'ordre deux en $\;\omega \;$» d'où
          Montrons que $\;\color {transparent}{H}\;$ peut être confondu avec $\;\color {transparent}{S}\;$ à l'ordre un en $\;\color {transparent}{\omega }\;$«$\;[HS]=[CS]-[CH]\simeq R-R\left(1-{\dfrac {\omega ^{2}}{2}}\right)\;$ à l'ordre deux en $\;\omega \;$», soit «$\;[HS]\simeq R{\dfrac {\omega ^{2}}{2}}\;$ à l'ordre deux en $\;\omega \;$» ou finalement
          Montrons que $\;\color {transparent}{H}\;$ peut être confondu avec $\;\color {transparent}{S}\;$ à l'ordre un en $\;\color {transparent}{\omega }\;$«$\;[HS]\simeq 0\;$ à l'ordre un en $\;\omega \;$» ;

     remplaçant $\;H\;$ par $\;S\;$ à l'ordre un en $\;\omega \;$ dans la relation $\;({\mathfrak {b}})$, on peut, sous les conditions de Gauss de stigmatisme approché, la réécrire selon «$\;{\dfrac {-2}{{\overline {SC}}_{\rightarrow }}}={\dfrac {1}{{\overline {SA_{i}}}_{\leftarrow }}}-{\dfrac {1}{{\overline {SA_{o}}}_{\rightarrow }}}\;\;({\mathfrak {b}})\;$».

 

Conclusion : stigmatisme approché du miroir sphérique (concave) pour le point objet A_o et relation de conjugaison (approchée) de position de Descartes (avec origine au sommet)

     Vérifier que la relation $\;({\mathfrak {b}})\;$ définit, pour un point objet $\;A_{o}\;$ quelconque, un point image unique $\;A_{i}\;$ et en déduire
     Vérifier le stigmatisme approché du miroir sphérique pour le point objet $\;A_{o}$ ;

     Vérifier que la relation $\;({\mathfrak {b}})\;$ pouvant être écrite selon «$\;{\dfrac {1}{{\overline {SA_{i}}}_{\leftarrow }}}-{\dfrac {1}{{\overline {SA_{o}}}_{\rightarrow }}}=V\;$» où $\;V\;$ est une constante appelée « vergence » du miroir sphérique exprimée en dioptries $\;{\big (}$de symbole $\;\delta {\big )}\;$,
     Vérifier que la relation $\;\color {transparent}{({\mathfrak {b}})}\;$ pouvant être écrite selon «$\;\color {transparent}{{\dfrac {1}{{\overline {SA_{i}}}_{\leftarrow }}}-{\dfrac {1}{{\overline {SA_{o}}}_{\rightarrow }}}=V}\;$» exprimer $\;V\;$ en fonction de $\;{\overline {R}}={\overline {SC}}_{\rightarrow }\;$.

     Par la suite notant l'abscisse de Descartes $\;{\big (}$avec origine au sommet${\big )}\;$ du point objet $\;p_{o}={\overline {SA_{o}}}_{\rightarrow }\;$ et
       Par la suite notant l'abscisse de Descartes $\;\color {transparent}{\big (}$avec origine au sommet$\color {transparent}{\big )}\;$ celle du point image $\;p_{i}={\overline {SA_{i}}}_{\leftarrow }\;$,
     la relation de conjugaison $\;{\big (}$approchée${\big )}\;$ de position $\;{\big [}$ou 1^ère relation de conjugaison $\;{\big (}$approchée${\big )}{\big ]}\;$ de Descartes d'un miroir sphérique se réécrit

«$\;{\dfrac {1}{p_{i}}}-{\dfrac {1}{p_{o}}}=V\;$».

Solution

     La relation $\;({\mathfrak {b}})\;$ établit le stigmatisme approché du miroir sphérique « pour tout point objet $\;A_{o}\;$ autre que $\;C\;$ et $\;S\;$» puisque,
         La relation $\;\color {transparent}{({\mathfrak {b}})}\;$ établit le stigmatisme approché du miroir sphérique « pour un point objet $\;A_{o}\;$ fixé, le point image $\;A_{i}\;$ est déterminé de façon unique $\;{\big (}$indépendamment des variations des petits angles $\;\theta _{o}\;$ et $\;\omega {\big )}$.

     La relation $\;({\mathfrak {b}})\;$ peut effectivement être écrite sous la forme «$\;{\dfrac {1}{{\overline {SA_{i}}}_{\leftarrow }}}-{\dfrac {1}{{\overline {SA_{o}}}_{\rightarrow }}}=V\;$» où $\;V\;$ est une constante définissant la « vergence » du miroir sphérique selon «$\;V={\dfrac {-2}{{\overline {SC}}_{\rightarrow }}}={\dfrac {-2}{\overline {R}}}\;$» avec $\;{\overline {R}}={\overline {SC}}_{\rightarrow }\;$ rayon algébrisé du miroir.      Avec les « abscisses de Descartes $\;{\big (}$avec origine au sommet${\big )}\;$ du point objet $\;p_{o}={\overline {SA_{o}}}_{\rightarrow }\;$ et du point image $\;p_{i}={\overline {SA_{i}}}_{\leftarrow }\;$», la relation de conjugaison $\;{\big (}$approchée${\big )}\;$ de position $\;{\big [}$ou 1^ère relation de conjugaison $\;{\big (}$approchée${\big )}{\big ]}\;$ de Descartes du miroir sphérique se réécrit «$\;{\dfrac {1}{p_{i}}}-{\dfrac {1}{p_{o}}}=V\;$».

 

Points pour lesquels la conjugaison du miroir sphérique est rigoureuse et points doubles

     Vérifier, par construction et pour une direction d'axe optique principal préalablement fixée, que le centre $\;C\;$ et le sommet $\;S\;$ du miroir sont des points
     Vérifier, par construction et pour une direction d'axe optique principal préalablement fixée, que pour lesquels le miroir est stigmatique rigoureux et
     Vérifier, par construction et pour une direction d'axe optique principal préalablement fixée, que dont l'image est confondue avec l'objet $\;{\big (}$c'est-à-dire des points doubles${\big )}$.

     Justifier la raison pour laquelle la relation de conjugaison $\;{\big (}$approchée${\big )}\;$ de position de Descartes $\;{\big (}$avec origine au sommet${\big )}\;$ est applicable à $\;C$, centre du miroir,
           Justifier la raison pour laquelle la relation de conjugaison $\;\color {transparent}{\big (}$approchée$\color {transparent}{\big )}\;$ de position de Descartes $\;\color {transparent}{\big (}$avec origine au sommet$\color {transparent}{\big )}\;$ est applicable à $\;\color {transparent}{C}$, bien que la conjugaison soit rigoureuse ;

     vérifier, en utilisant cette relation, que $\;C\;$ est effectivement un point double.

     Admettant que la relation de conjugaison $\;{\big (}$approchée${\big )}\;$ de position de Descartes $\;{\big (}$avec origine au sommet${\big )}\;$ reste applicable à $\;S$, sommet du miroir, pour lequel il y a conjugaison rigoureuse,
           Admettant que la relation de conjugaison $\;\color {transparent}{\big (}$approchée$\color {transparent}{\big )}\;$ de position de Descartes $\;\color {transparent}{\big (}$avec origine au sommet$\color {transparent}{\big )}\;$ reste applicable à $\;\color {transparent}{S}$, évaluer $\;p_{i}\;$ en fonction de $\;p_{o}\;$ et de $\;V\;$ puis
           Admettant que la relation de conjugaison $\;\color {transparent}{\big (}$approchée$\color {transparent}{\big )}\;$ de position de Descartes $\;\color {transparent}{\big (}$avec origine au sommet$\color {transparent}{\big )}\;$ reste applicable à $\;\color {transparent}{S}$, vérifier, sur cette dernière forme, que
           Admettant que la relation de conjugaison $\;\color {transparent}{\big (}$approchée$\color {transparent}{\big )}\;$ de position de Descartes $\;\color {transparent}{\big (}$avec origine au sommet$\color {transparent}{\big )}\;$ reste applicable à $\;\color {transparent}{S}$, vérifier, $\succ \;$«$\;S\;$ est effectivement un point double » et
           Admettant que la relation de conjugaison $\;\color {transparent}{\big (}$approchée$\color {transparent}{\big )}\;$ de position de Descartes $\;\color {transparent}{\big (}$avec origine au sommet$\color {transparent}{\big )}\;$ reste applicable à $\;\color {transparent}{S}$, vérifier, $\succ \;$« il n'y a pas d'autres points doubles que $\;S\;$ et $\;C\;$».

Solution

Schémas de vérification du fait que, pour $\;C\;$ et $\;S$, le miroir sphérique $\;{\big (}$concave${\big )}\;$ est stigmatique rigoureux et que ce sont des points doubles

     Voir ci-contre les propriétés particulières d'un point objet en $\;C\;$ ou $\;S\;$ d'un miroir sphérique concave :

• à gauche tout rayon d'un faisceau incident issu du centre $\;C\;$ d'un miroir sphérique concave étant normal au miroir se réfléchit sur lui-même, donnant un ensemble de rayons réfléchis convergeant en un point unique quelle que soit l'ouverture du faisceau incident, c'est-à-dire prouvant que le miroir sphérique est stigmatique rigoureux pour son centre ; de plus le point image de $\;C\;$ étant $\;C\;$ lui-même, ce dernier est un point double ;
• à droite tout rayon d'un faisceau incident convergeant sur le sommet $\;S\;$ d'un miroir sphérique concave se réfléchissant en suivant une direction symétrique par rapport à l'axe optique principal et l'ensemble des rayons réfléchis divergeant à partir d'un point unique quelle que soit l'ouverture du faisceau incident, cela prouve le stigmatisme rigoureux du miroir sphérique pour son sommet ; de plus le point image de $\;S\;$ étant $\;S\;$ lui-même, ce dernier est un point double.

     Pour appliquer la relation de conjugaison $\;{\big (}$approchée${\big )}\;$ de position de Descartes $\;{\big (}$avec origine au sommet${\big )}\;$ à $\;C$, centre du miroir, bien que la conjugaison soit rigoureuse, il suffit de ne considérer que les rayons paraxiaux du faisceau incident issu de $\;C\;$ et d'ouverture quelconque, condition d'applicabilité de la relation de conjugaison de position de Descartes ;

     dans ce cas, si on appelle $\;C_{i}\;$ l'image du point objet $\;C$, ce dernier étant d'abscisse objet de Descartes $\;{\big (}$avec origine au sommet${\big )}\;$ «$\;p_{o}(C)={\overline {SC}}_{\rightarrow }={\overline {R}}\;$» et
     dans ce cas, si on appelle $\;\color {transparent}{C_{i}}\;$ l'image du point objet $\;\color {transparent}{C}$, ce dernier $\;C_{i}\;$ d'abscisse image de Descartes $\;{\big (}$avec origine au sommet${\big )}\;$ «$\;p_{i}(C_{i})={\overline {SC_{i}}}_{\leftarrow }\;$», nous obtenons,
     dans ce cas, en remplaçant $\;V\;$ par $\;{\dfrac {-2}{\overline {R}}}$, «$\;{\dfrac {1}{p_{i}(C_{i})}}-{\dfrac {1}{\overline {R}}}={\dfrac {-2}{\overline {R}}}\;$» d'où $\;p_{i}(C_{i})={\overline {SC_{i}}}_{\leftarrow }=-{\overline {R}}\;$ soit «$\;{\overline {SC_{i}}}_{\leftarrow }=-{\overline {SC}}_{\rightarrow }\;$» $\Leftrightarrow$ «$\;{\overline {SC_{i}}}_{\rightarrow }={\overline {SC}}_{\rightarrow }\;$» prouvant que
     dans ce cas, en remplaçant $\;\color {transparent}{V}\;$ par $\;\color {transparent}{\dfrac {-2}{\overline {R}}}$, «$\;\color {transparent}{{\dfrac {1}{p_{i}(C_{i})}}-{\dfrac {1}{\overline {R}}}={\dfrac {-2}{\overline {R}}}}\;$» d'où $\;\color {transparent}{p_{i}(C_{i})={\overline {SC_{i}}}_{\leftarrow }=-{\overline {R}}}\;$ soit «$\;\color {transparent}{{\overline {SC_{i}}}_{\leftarrow }=-{\overline {SC}}_{\rightarrow }}\;$» $\color {transparent}{\Leftrightarrow }$ $\;C_{i}\;$ se confond avec $\;C\;$ et par suite que «$\;C\;$ est un point double ».

     De $\;{\dfrac {1}{p_{i}}}-{\dfrac {1}{p_{o}}}=V\;$ on tire $\;{\dfrac {1}{p_{i}}}={\dfrac {1}{p_{o}}}+V={\dfrac {1+V\,p_{o}}{p_{o}}}\;$ soit «$\;p_{i}={\dfrac {p_{o}}{1+V\,p_{o}}}\;$» $\;{\big (}$forme permettant à l'abscisse objet d'être nulle${\big )}$ ; sous cette forme on vérifie que

     De $\;\color {transparent}{{\dfrac {1}{p_{i}}}-{\dfrac {1}{p_{o}}}=V}\;$ on tire $\;\color {transparent}{{\dfrac {1}{p_{i}}}={\dfrac {1}{p_{o}}}+V={\dfrac {1+V\,p_{o}}{p_{o}}}}\;$ soit «$\;\color {transparent}{p_{i}={\dfrac {p_{o}}{1+V\,p_{o}}}}\;$» le point objet en $\;S$, d'abscisse objet de Descartes $\;{\big (}$avec origine au sommet${\big )}$ $\;p_{o}(S)=0\;$
     De $\;\color {transparent}{{\dfrac {1}{p_{i}}}-{\dfrac {1}{p_{o}}}=V}\;$ on tire $\;\color {transparent}{{\dfrac {1}{p_{i}}}={\dfrac {1}{p_{o}}}+V={\dfrac {1+V\,p_{o}}{p_{o}}}}\;$ soit «$\;\color {transparent}{p_{i}={\dfrac {p_{o}}{1+V\,p_{o}}}}\;$» le point objet en $\;\color {transparent}{S}$, a une image d'abscisse image de Descartes $\;{\big (}$avec origine au sommet${\big )}$ $\;p_{i}=0$, c'est-à-dire
     De $\;\color {transparent}{{\dfrac {1}{p_{i}}}-{\dfrac {1}{p_{o}}}=V}\;$ on tire $\;\color {transparent}{{\dfrac {1}{p_{i}}}={\dfrac {1}{p_{o}}}+V={\dfrac {1+V\,p_{o}}{p_{o}}}}\;$ soit «$\;\color {transparent}{p_{i}={\dfrac {p_{o}}{1+V\,p_{o}}}}\;$» le point objet en $\;\color {transparent}{S}$, a une image confondue avec $\;S$, prouvant que «$\;S\;$ est bien un point double » ;

     les points doubles $\;A_{d}\;$ d'abscisse objet de Descartes $\;{\big (}$avec origine au sommet${\big )}$ $\;p_{d}\;$ étant tels que leurs abscisses images de Descartes $\;{\big (}$avec origine au sommet${\big )}\;$ s'écrivant «$\;p_{i}(A_{d})={\overline {SA_{d}}}_{\leftarrow }=$ $-{\overline {SA_{d}}}_{\rightarrow }=-p_{d}\;$» avec «$\;p_{i}(A_{d})={\dfrac {p_{d}}{1+V\,p_{d}}}\;$» obéissent à l'équation «$\;-p_{d}={\dfrac {p_{d}}{1+V\,p_{d}}}\;$» c'est-à-dire «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}p_{d}=0\;\;\;{\text{ou}}\\1+V\,p_{d}=-1\end{array}}\right\rbrace \;$»,
     les points doubles $\;\color {transparent}{A_{d}}\;$ la 1^ère solution donnant $\;S\;$ sommet du miroir et
     les points doubles $\;\color {transparent}{A_{d}}\;$ la 2^ème équation conduisant à «$\;p_{d}={\dfrac {-2}{V}}={\overline {R}}\;$» c'est-à-dire $\;C\;$ centre du miroir ; le centre et le sommet d'un miroir sphérique sont donc les seuls points doubles de ce dernier.

 

Caractère focal d'un miroir sphérique, position des foyers principaux objet et image, lien de la vergence et des distances focales objet et image

     Vérifier, sur la 1^ère relation de conjugaison de Descartes d'un miroir sphérique, que ce dernier est nécessairement « focal » puis

     déterminer $\;\succ \;$la position du foyer principal objet $\;F_{o}\;$ c'est-à-dire le point objet de l'axe optique principal ayant pour image le point à l'infini de cet axe optique principal $\;{\big [}$ou $\;F_{o}\;{\stackrel {\mathcal {M}}{\longrightarrow }}\;A_{i,\,\infty }{\big ]}\;$ et
     déterminer $\;\succ \;$la position du foyer principal image $\;F_{i}\;$ c'est-à-dire le point image de l'axe optique principal ayant pour antécédent le point à l'infini de cet axe optique principal $\;{\big [}$ou $\;A_{o,\,\infty }\;{\stackrel {\mathcal {M}}{\longrightarrow }}\;F_{i}{\big ]}$ ;

     quelle particularité ces deux points possèdent-ils en ce qui concerne leurs positions absolues d'une part et leur position relative d'autre part ?

     Définissant $\;\succ \;$la distance focale objet comme l'abscisse objet de Descartes du foyer principal objet $\;{\big (}$avec origine au sommet${\big )}\;$ soit «$\;f_{o}={\overline {SF_{o}}}_{\rightarrow }\;\;$» et
     Définissant $\;\succ \;$la distance focale image comme l'abscisse image de Descartes du foyer principal image $\;{\big (}$avec origine au sommet${\big )}\;$ soit «$\;f_{i}={\overline {SF_{i}}}_{\leftarrow }\;$»,

     déterminer le lien entre vergence $\;V$, distance focale objet $\;f_{o}\;$ et distance focale image $\;f_{i}$.

Solution

     Un miroir sphérique est un « système focal » car le point à l'infini de l'axe optique principal n'est pas un point double.

• Le foyer principal image $\;F_{i}$, repéré par l'abscisse image de Descartes $\;{\big (}$avec origine au sommet${\big )}$ $\;p_{i}(F_{i})={\overline {SF_{i}}}_{\leftarrow }\;$
  Le foyer principal image $\;\color {transparent}{F_{i}}$, étant l'image du point à l'infini $\;A_{o,\,\infty }\;$ de l'axe optique principal, repéré par l'abscisse objet de Descartes $\;{\big (}$avec origine au sommet${\big )}$ $\;p_{o}(A_{o,\,\infty })=\infty \;$ $\Rightarrow$ $\;{\dfrac {1}{p_{o}(A_{o,\,\infty })}}=0$,
  Le foyer principal image $\;\color {transparent}{F_{i}}$, étant l'image du point à l'infini $\;\color {transparent}{A_{o,\,\infty }}\;$ de l'axe optique principal, on en déduit $\;{\dfrac {1}{p_{i}(F_{i})}}-0=V\;$ soit «$\;{\overline {SF_{i}}}_{\leftarrow }={\dfrac {1}{V}}=-{\dfrac {\overline {R}}{2}}\;$».
• Le foyer principal objet $\;F_{o}$, repéré par l'abscisse objet de Descartes $\;{\big (}$avec origine au sommet${\big )}$ $\;p_{o}(F_{o})={\overline {SF_{o}}}_{\rightarrow }\;$
  Le foyer principal objet $\;\color {transparent}{F_{o}}$, étant l'antécédent du point à l'infini $\;A_{i,\,\infty }\;$ de l'axe optique principal, repéré par l'abscisse image de Descartes $\;{\big (}$avec origine au sommet${\big )}$ $\;p_{i}(A_{i,\,\infty })=\infty \;$ $\Rightarrow$ $\;{\dfrac {1}{p_{i}(A_{i,\,\infty })}}=0$,
        Le foyer principal objet $\;\color {transparent}{F_{o}}$, étant l'antécédent du point à l'infini $\;\color {transparent}{A_{i,\,\infty }}\;$ de l'axe optique principal, on en déduit $\;0-{\dfrac {1}{p_{o}(F_{o})}}=V\;$ soit «$\;{\overline {SF_{o}}}_{\rightarrow }=-{\dfrac {1}{V}}={\dfrac {\overline {R}}{2}}\;$».
• Les positions géométriques respectives des foyers principaux objet et image étant telles que «$\;{\overline {SF_{i}}}_{\leftarrow }=-{\overline {SF_{o}}}_{\rightarrow }\;$» et
  le changement de sens d'algébrisation conduisant à $\;{\overline {SF_{i}}}_{\rightarrow }=-{\overline {SF_{i}}}_{\leftarrow }\;$, on en déduit «$\;{\overline {SF_{i}}}_{\rightarrow }={\overline {SF_{o}}}_{\rightarrow }\;$» c'est-à-dire la coïncidence des positions géométriques des foyers principaux objet et image ;
• leur position géométrique commune étant telle que «$\;{\overline {SF_{o}}}_{\rightarrow }={\dfrac {\overline {R}}{2}}={\dfrac {{\overline {SC}}_{\rightarrow }}{2}}\;$» on vérifie qu'elle coïncide avec le milieu du segment joignant le sommet et le centre du miroir.

     Notion de distances focales objet et image :

• la distance focale image $\;f_{i}\;$ étant définie par «$\;f_{i}={\overline {SF_{i}}}_{\leftarrow }\;$» est liée à la vergence par «$\;f_{i}={\dfrac {1}{V}}=-{\dfrac {\overline {R}}{2}}\;$» ;
• la distance focale objet $\;f_{o}\;$ étant définie par «$\;f_{o}={\overline {SF_{o}}}_{\rightarrow }\;$» est liée à la vergence par «$\;f_{o}=-{\dfrac {1}{V}}={\dfrac {\overline {R}}{2}}\;$» ;

on en déduit la relation «$\;V={\dfrac {1}{f_{i}}}=-{\dfrac {1}{f_{o}}}\;$».

 

Quelques propriétés découlant du caractère focal d'un miroir sphérique

Signe de la vergence suivant la nature concave ou convexe du miroir sphérique, caractère convergent ou divergent du miroir et nature réelle ou virtuelle des foyers principaux

     Déterminer le signe de la vergence suivant la nature « concave » ou « convexe » du miroir sphérique puis

     Déterminer son caractère « convergent » ou « divergent » sachant qu'un système focal à « vergence positive » $\;{\big (}$respectivement « négative »${\big )}\;$ est dit « convergent » $\;{\big (}$respectivement « divergent »${\big )}\;$ et

     Déterminer la nature « réelle » ou « virtuelle » des foyers principaux.

Solution

     De $\;V={\dfrac {-2}{\overline {R}}}\;$ on en déduit que la vergence est de signe contraire au rayon de courbure algébrisé du miroir sphérique, ainsi :

• un miroir concave a un rayon de courbure algébrisé $\;{\overline {R}}={\overline {SC}}_{\rightarrow }<0\;$, donc une vergence $\;V>0$, c'est un système « convergent »,
• un miroir convexe a un rayon de courbure algébrisé $\;{\overline {R}}={\overline {SC}}_{\rightarrow }>0\;$, donc une vergence $\;V<0$, c'est un système « divergent ».

     De $\;V={\dfrac {1}{f_{i}}}=-{\dfrac {1}{f_{o}}}\;$ on en déduit la nature $\;{\big (}$réelle ou virtuelle${\big )}\;$ des foyers principaux objet et image suivant la nature $\;{\big (}$convergente ou divergente${\big )}\;$ du miroir sphérique :

• un miroir concave étant convergent, la distance focale image $\;f_{i}={\overline {SF_{i}}}_{\leftarrow }\;$ est $\;>0\;$ entraînant le caractère réel du foyer principal image $\;F_{i}\;$ et
  un miroir concave étant convergent, la distance focale objet $\;f_{o}={\overline {SF_{o}}}_{\rightarrow }\;$ étant $\;<0$, le foyer principal objet $\;F_{o}\;$ est également réel,
• un miroir convexe étant divergent, la distance focale image $\;f_{i}={\overline {SF_{i}}}_{\leftarrow }\;$ est $\;<0\;$ entraînant le caractère virtuel du foyer principal image $\;F_{i}\;$ et
  un miroir convexe étant divergent, la distance focale objet $\;f_{o}={\overline {SF_{o}}}_{\rightarrow }\;$ étant $\;>0$, le foyer principal objet $\;F_{o}\;$ est également virtuel.

 

Démonstration de l'absence de conjugaison non rigoureuse du miroir sphérique (concave) pour le point objet à l'infini sur l'axe optique principal

     En reprenant la démonstration faite dans la solution de la question « démonstration du stigmatisme approché d'un miroir sphérique concave sous conditions de Gauss » plus haut dans cet exercice mais
     En reprenant la démonstration avec $\;A_{o}\;$ situé à l'infini $\;{\big (}$ce qui correspond à $\;\theta _{o}=0{\big )}\;$ et
     En reprenant la démonstration en conservant les notations introduites dans « cette question » $\;{\big [}$à l'exception de $\;A_{i}\;$ qui sera noté $\;F_{i}(\omega )\;$ et de $\;H\;$ qui sera noté $\;H(\omega )\;$${\big ]}$,

     déterminer la position de $\;F_{i}(\omega )\;$ ${\big [}$point de l'axe optique principal par lequel passe le rayon réfléchi correspondant au rayon incident $\;\parallel \;$ à l'axe optique principal, de point d'incidence $\;I(\omega )\;$${\big ]}\;$ et

     vérifier que $\;F_{i}(\omega )\;$ dépendant effectivement de $\;\omega \;$ et par suite
     vérifier qu'il n'y a pas conjugaison rigoureuse du miroir sphérique $\;{\big (}$concave${\big )}\;$ pour le point situé à l'infini de l'axe optique principal.

Solution

• 
  Schéma de démonstration de l'absence de stigmatisme rigoureux d'un miroir sphérique concave pour le point objet à l'infini sur l'axe optique principal

     Montrons algébriquement qu'un miroir sphérique concave n'est pas rigoureusement stigmatique pour le point à l'infini $\;A_{o,\,\infty }\;$ de l'axe optique principal et pour cela il suffit de montrer
     Montrons algébriquement qu'un rayon incident $\;\parallel \;$ à l'axe optique principal, de point d'incidence $\;I(\omega )\;$, repéré par l'angle $\;\omega \;$ que fait le rayon incident avec $\;{\overrightarrow {CI}}(\omega )\;$ tel que $\;\vert \omega \vert \;{\cancel {\ll }}\;1\;$,
     Montrons algébriquement qu'un rayon incident $\;\color {transparent}{\parallel }\;$ à l'axe optique principal, donne un réfléchi qui recoupe l'axe optique principal en $\;F_{i}(\omega )\;$ dépendant effectivement de $\;\omega \;$ d'où
     Montrons algébriquement l'absence de stigmatisme rigoureux du miroir pour $\;A_{o,\,\infty }\;$ ;

     l'angle d'incidence étant $\;i=-\omega \;$, l'angle de réflexion est donc $\;i'=-i=\omega \;$ d'après la 2^ème relation de Snell - Descartes de la réflexion ; on en déduit alors «$\;{\widehat {\left\lbrace {\overrightarrow {H(\omega )S}},{\overrightarrow {F_{i}(\omega )I(\omega )}}\right\rbrace }}=2\;\omega \;$» et
     $\;{\overline {F_{i}(\omega )H(\omega )}}_{\rightarrow }\;$ se détermine par $\;\tan(2\;\omega )={\dfrac {\overline {H(\omega )I(\omega )}}{{\overline {F_{i}(\omega )H(\omega )}}_{\rightarrow }}}\;$ $\Rightarrow$ «$\;{\overline {F_{i}(\omega )H(\omega )}}_{\rightarrow }={\dfrac {{\overline {H(\omega )I(\omega )}}\,\cos(2\;\omega )}{\sin(2\;\omega )}}\;$» ou, avec $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\overline {H(\omega )I(\omega )}}=CI(\omega )\;\sin(\omega )=R\;\sin(\omega )\\\sin(2\;\omega )=2\;\sin(\omega )\;\cos(\omega )\end{array}}\right\rbrace \;$ et simplification par $\;\sin(\omega )$,
                  $\;\color {transparent}{{\overline {F_{i}(\omega )H(\omega )}}_{\rightarrow }}\;$ se détermine par $\;\color {transparent}{\tan(2\;\omega )={\dfrac {\overline {H(\omega )I(\omega )}}{{\overline {F_{i}(\omega )H(\omega )}}_{\rightarrow }}}}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ «$\;{\overline {F_{i}(\omega )H(\omega )}}_{\rightarrow }={\dfrac {R\,\cos(2\;\omega )}{2\;\cos(\omega )}}\;$» ;

     on peut alors évaluer «$\;{\overline {CF_{i}(\omega )}}_{\rightarrow }={\overline {CH(\omega )}}_{\rightarrow }-{\overline {F_{i}(\omega )H(\omega )}}_{\rightarrow }\;$», expression dans laquelle $\;{\overline {CH(\omega )}}_{\rightarrow }=R\;\cos(\omega )\;$ d'où «$\;{\overline {CF_{i}(\omega )}}_{\rightarrow }=R\;\cos(\omega )-{\dfrac {R\,\cos(2\;\omega )}{2\;\cos(\omega )}}=R\;{\dfrac {2\;\cos ^{2}(\omega )-\cos(2\;\omega )}{2\;\cos(\omega )}}\;$» ou, sachant que $\;\cos(2\;\omega )=2\;\cos ^{2}(\omega )-1$, l'expression finale «$\;{\overline {CF_{i}(\omega )}}_{\rightarrow }={\dfrac {R}{2\;\cos(\omega )}}\;$»
$\Downarrow$
$\;F_{i}\;$ dépend effectivement de $\;\omega \;$ et par suite
le miroir sphérique concave n'est pas stigmatique rigoureux pour le point à l'infini $\;A_{o,\,\infty }\;$ de l'axe optique principal.

 

Aplanétisme approché d'un miroir sphérique sous conditions de Gauss

     On considère le miroir sphérique concave introduit à la question « démonstration du stigmatisme approché d'un miroir sphérique concave sous conditions de Gauss » plus haut dans cet exercice et
     On considère un objet linéique transverse $\;A_{o}B_{o}\;$ de pied $\;A_{o}\neq C\;$ tel qu'il y ait stigmatisme approché du miroir pour tous les points $\;M_{o}\;$ de $\;A_{o}B_{o}\;$ $\Rightarrow$

               On considère un objet linéique transverse $\;\color {transparent}{A_{o}B_{o}}\;$ de pied $\;\color {transparent}{A_{o}\neq C}\;$ tel qu'il y ait stigmatisme approché l'objet linéique transverse $\;A_{o}B_{o}\;$ admet une image « nette » $\;A_{i}B_{i}\;$ mais a priori
                    On considère un objet linéique transverse $\;\color {transparent}{A_{o}B_{o}}\;$ de pied $\;\color {transparent}{A_{o}\neq C}\;$ tel qu'il y ait stigmatisme approché l'objet linéique transverse $\;\color {transparent}{A_{o}B_{o}}\;$ admet une image ni « linéique » ni « transverse ».

     On suppose que l'objet linéique transverse $\;A_{o}B_{o}\;$ est, quand l'objet n'est pas proche du miroir, vu du sommet $\;S\;$ du miroir sous un angle non algébrisé $\;\beta \;$ petit ${\big (}$c'est-à-dire $\;\beta \ll 1\;$ si $\;A_{o}\;{\cancel {\simeq }}S{\big )}\;$ et
          On suppose que l'objet linéique transverse $\;\color {transparent}{A_{o}B_{o}}\;$ est, quand l'objet est proche du miroir, vu du centre $\;C\;$ du miroir sous un angle non algébrisé $\;\alpha \;$ petit ${\big (}$c'est-à-dire $\;\alpha \ll 1\;$ si $\;A_{o}\;\simeq S{\big )}$,
          On suppose que l'objet linéique transverse $\;\color {transparent}{A_{o}B_{o}}\;$ est, ces deux exigences constituant les conditions de Gauss d'aplanétisme approché pour un objet linéique transverse quelconque.

     Remarque : Il existe deux exigences équivalentes pour définir les conditions de Gauss d'aplanétisme approché d'un objet linéique transverse quelconque $\;A_{o}B_{o}\;$ :
     Remarque : $\succ \;$si un objet $\;A_{o}B_{o}\;$ est tel que son pied $\;A_{o}\;$ n'est pas proche du centre $\;C\;$ du miroir, il doit être vu du centre $\;C\;$ sous un angle non algébrisé $\;\alpha \;$ petit $\;{\big (}$c'est-à-dire $\;\alpha \ll 1\;$ si $\;A_{o}\;{\cancel {\simeq }}C{\big )}\;$ et
     Remarque : $\succ \;$si un objet $\;A_{o}B_{o}\;$ est tel que son pied $\;A_{o}\;$ est proche de $\;C$, il doit être vu du sommet $\;S\;$ du miroir sous un angle non algébrisé $\;\beta \;$ petit $\;{\big (}$c'est-à-dire $\;\beta \ll 1\;$ si $\;A_{o}\;\simeq C{\big )}$.

Démonstration de l'aplanétisme approché d'un miroir sphérique concave pour un objet linéique transverse de pied non proche du centre du miroir et vu de ce centre sous un petit angle

     L'objet linéique transverse $\;A_{o}B_{o}\;$ étant d'abord supposé de pied $\;A_{o}\;$ non proche du centre $\;C\;$ du miroir $\;{\big (}$c'est-à-dire $\;A_{o}\;{\cancel {\simeq }}C{\big )}$,
     nous considérons l'angle $\;\alpha$, sous lequel il est vu du centre $\;C$, petit $\;{\big (}$c'est-à-dire $\;\alpha \ll 1{\big )}$,
     nous considérons l'angle $\;\beta \;$ sous lequel il est vu du sommet $\;S$, n'étant pas nécessairement petit,
     la démarche pour établir l'aplanétisme du miroir pour un tel objet est rendue plus aisée si on utilise la « relation de conjugaison de position $\;{\big (}$ou 1^ère relation de conjugaison${\big )}\;$ de Descartes $\;{\big (}$avec origine au centre${\big )}\;$ établie dans la solution de la question plus bas dans cet exercice » à savoir «$\;{\dfrac {1}{{\overline {CA_{i}}}_{\leftarrow }}}-{\dfrac {1}{{\overline {CA_{o}}}_{\rightarrow }}}=-V\;$» où $\;V\;$ est la vergence précédemment introduite ;

     la démarche peut alors être décomposée en les étapes suivantes :

• montrer qu'à l'ordre un en $\;\alpha$, l'objet linéique transverse $\;A_{o}B_{o}\;$ peut être confondu avec un arc de cercle de centre $\;C$, d'angle au centre associé $\;\alpha$,
• en utilisant la relation de conjugaison de position de Descartes $\;{\big (}$avec origine au centre${\big )}\;$dd"> Voir la solution de la question « relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre) » plus bas dans cet exercice.</ref>, montrer alors que l'image $\;A_{i}B_{i}\;$ est un arc de cercle de centre $\;C\;$ et
             en utilisant la relation de conjugaison de position de Descartes $\;\color {transparent}{\big (}$avec origine au centre$\color {transparent}{\big )}\;$, vérifier que l'angle au centre associé est encore $\;\alpha$,
• conclure qu'à l'ordre un en $\;\alpha$, l'image $\;A_{i}B_{i}\;$ peut être confondue avec un segment $\;\perp \;$ à l'axe optique principal c'est-à-dire qu'elle est linéique transverse.

Solution

     L'objet linéique transverse $\;A_{o}B_{o}\;$ étant supposé de pied $\;A_{o}\;$ non proche du centre $\;C\;$ du miroir $\;{\big (}$c'est-à-dire $\;A_{o}\;{\cancel {\simeq }}\;C{\big )}$, avec l'angle non algébrisé $\;\alpha \;$ sous lequel il est vu du centre $\;C$, petit $\;{\big (}$c'est-à-dire $\;\alpha \ll 1{\big )}$,

• le caractère transverse de l'objet linéique $\Rightarrow$ la longueur $\;[CB_{o}]\;$ est plus grande que la longueur $\;[CA_{o}]\;$, soit plus précisément «$\;[CA_{o}]=[CB_{o}]\,\cos(\alpha )\simeq [CB_{o}]\left(1-{\dfrac {\alpha ^{2}}{2}}\right)\;$ à l'ordre deux en $\;\alpha \;$» ou finalement «$\;[CA_{o}]\simeq [CB_{o}]\;$ à l'ordre un en $\;\alpha \;$» prouvant, qu'à cet ordre, l'objet linéique transverse $\;A_{o}B_{o}\;$ peut être confondu avec un arc de cercle de centre $\;C$, d'angle au centre associé $\;\alpha$,
• tous les points objet $\;M_{o}\;$ de l'arc de cercle $\;A_{o}B_{o}\;$ de centre $\;C\;$ ayant une abscisse objet de Descartes $\;{\big (}$avec origine au centre${\big )}\;$ indépendante de $\;M_{o}\;$ sur l'axe optique secondaire associé de support $\;(CM_{o})\;$, l'application de la 1^ère relation de conjugaison de Descartes $\;{\big (}$avec origine au centre${\big )}\;$ donne donc des points image $\;M_{i}\;$ à abscisse image de Descartes $\;{\big (}$avec origine au centre${\big )}\;$ indépendante de $\;M_{o}\;$ sur l'axe optique secondaire associé de support $\;(CM_{o})$, c'est-à-dire que l'image $\;A_{i}B_{i}\;$ est assimilable, à l'ordre un en $\;\alpha$, à un arc de cercle de centre $\;C$,
• l'angle non algébrisé $\;\alpha \;$ sous lequel l'arc de cercle $\;A_{i}B_{i}\;$ est vu du centre $\;C\;$ étant petit, on peut faire l'opération inverse de celle faite précédemment pour l'objet $\;A_{o}B_{o}$, c'est-à-dire assimiler l'arc de cercle de centre $\;C\;$ à un segment choisi $\;\perp \;$ à l'axe optique principal de support $\,(CA_{i})\,$, c'est-à-dire que l'image $\;A_{i}B_{i}\;$ est, à l'ordre un en $\;\alpha$, linéique transverse ; nous avons donc établi l'aplanétisme approché du miroir sphérique $\;{\big (}$concave${\big )}\;$ pour tout objet linéique de pied non proche du centre du miroir.

 

Démonstration de l'aplanétisme approché d'un miroir sphérique concave pour un objet linéique transverse de pied proche du centre du miroir et vu du sommet de ce dernier sous un petit angle

     L'objet linéique transverse $\;A_{o}B_{o}\;$ de pied $\;A_{o}\;$ étant maintenant supposé proche du centre $\;C\;$ du miroir $\;{\big (}$c'est-à-dire $\;A_{o}\simeq C{\big )}$,
          L'objet linéique transverse $\;\color {transparent}{A_{o}B_{o}}\;$ de pied $\;\color {transparent}{A_{o}}\;$ nous considérons l'angle $\;\beta$, sous lequel il est vu du sommet $\;S$, petit $\;{\big (}$c'est-à-dire $\;\beta \ll 1{\big )}$ ;
     la démarche pour établir l'aplanétisme du miroir pour un tel objet nécessite l'utilisation de deux rayons paraxiaux issus de $\;M_{o}$, point objet quelconque de $\;A_{o}B_{o}\;$ et
     la démarche pour établir l'aplanétisme du miroir pour un tel objet nécessite de montrer que le point image $\;M_{i}$, défini comme l'intersection des deux rayons réfléchis,
     la démarche pour établir l'aplanétisme du miroir pour un tel objet nécessite de montrer que le point image $\;\color {transparent}{M_{i}}$, a pour projeté, sur l'axe optique principal, le point image $\;A_{i}$, pour cela :

• déterminer l'abscisse image de Descartes $\;{\big (}$avec origine au sommet${\big )}$ $\;p_{i}\;$ de $\;A_{i}\;$ en fonction de la distance focale image $\;f_{i}\;$ et
       déterminer l'abscisse image de Descartes $\;\color {transparent}{\big (}$avec origine au sommet$\color {transparent}{\big )}$ $\;\color {transparent}{p_{i}}\;$ de $\;\color {transparent}{A_{i}}\;$ en fonction de l'abscisse objet de Descartes $\;{\big (}$avec origine au sommet${\big )}$ $\;p_{o}\;$ de $\;A_{o}$,
• déterminer la longueur algébrique $\;{\overline {A_{o}B_{o}}}\;$ en fonction de $\;\beta \;$ et de l'abscisse objet de Descartes $\;{\big (}$avec origine au sommet${\big )}$ $\;p_{o}\;$ de $\;A_{o}$,
• travaillant dans le repère orthonormé $\;(S,\,{\overrightarrow {Sx}},\,{\overrightarrow {Sy}})\;$ déterminer l'équation des rayons incidents $\;M_{o}S\;$ et $\;M_{o}F_{o}\;$,
• travaillant dans le repère orthonormé $\;(S,\,{\overrightarrow {Sx'}},\,{\overrightarrow {Sy}})\;$ déterminer les équations des rayons réfléchis, puis leur intersection $\;M_{i}$ ;
• vérifier que l'abscisse image de Descartes $\;{\big (}$avec origine au sommet${\big )}\;$ du projeté de $\;M_{i}\;$ sur l'axe optique principal est égale à l'abscisse image de Descartes $\;{\big (}$avec origine au sommet${\big )}\;$ de $\;A_{i}$,
• conclure à l'aplanétisme approché du miroir sphérique pour l'objet linéique transverse $\;A_{o}B_{o}\;$ de pied proche du centre du miroir.

Solution

Schéma positionnant un objet linéique transverse de pied proche du centre d'un miroir sphérique concave pour démontrer l'aplanétisme approché du miroir pour cet objet

     Soit $\;A_{o}B_{o}\;$ un objet linéique transverse de pied $\;A_{o}$, proche du centre $\;C\;$ du miroir sphérique concave $\;{\big (}$c'est-à-dire $\;A_{o}\simeq C{\big )}$, vu du sommet $\;S\;$ de ce dernier sous un angle $\;\beta \;$ petit $\;{\big (}$c'est-à-dire $\;\beta \ll 1{\big )}\;$ correspondant à la condition de Gauss d'aplanétisme approché précitée ;

1. on détermine d'abord l'abscisse image de Descartes $\;{\big (}$avec origine au sommet${\big )}$ $\;p_{i}={\overline {SA_{i}}}_{\leftarrow }\;$ de $\;A_{i}$, image du point objet $\;A_{o}\;$ d'abscisse objet de Descartes $\;{\big (}$avec origine au sommet${\big )}$ $\;p_{o}={\overline {SA_{o}}}_{\rightarrow }\;$, par utilisation de la 1^ère relation de conjugaison de Descartes du miroir sphérique $\;{\big (}$avec origine au sommet${\big )}\;$ de vergence $\;V={\dfrac {1}{f_{i}}}$, $\;f_{i}={\overline {SF_{i}}}_{\leftarrow }\;$ étant la distance focale image du miroir d'où : $\;{\dfrac {1}{p_{i}}}-{\dfrac {1}{p_{o}}}={\dfrac {1}{f_{i}}}\Rightarrow {\dfrac {1}{p_{i}}}={\dfrac {1}{p_{o}}}+{\dfrac {1}{f_{i}}}={\dfrac {f_{i}+p_{o}}{p_{o}\,f_{i}}}\;$ soit finalement «$\;p_{i}=p_{o}\,{\dfrac {f_{i}}{p_{o}+f_{i}}}\;$» ;
2. «$\;p_{o}={\overline {SA_{o}}}_{\rightarrow }\;$ étant $\;<0\;$» et «$\;{\overline {A_{o}B_{o}}}>0\;$» avec «$\;\beta \;$ non algébrisé $\;\ll 1\;$», on en déduit $\;\tan(\beta )=$ $-{\dfrac {\overline {A_{o}B_{o}}}{p_{o}}}\;$ d'où, avec $\;\tan(\beta )\simeq \beta \;$, «$\;{\overline {A_{o}B_{o}}}\simeq -\beta \;p_{o}\;$» ;
3. dans le repère orthonormé $\;(S,\,{\overrightarrow {Sx}},\,{\overrightarrow {Sy}})\;$, le rayon incident $\;M_{o}S\;$ issu de $\;M_{o}\;$ de coordonnées $\;(x_{M_{o}}=p_{o}\,,\,y_{M_{o}}=\varepsilon \,{\overline {A_{o}B_{o}}}=-\varepsilon \,\beta \,p_{o})\;$ étant de pente $\;{\dfrac {y_{M_{o}}-y_{S}}{x_{M_{o}}-x_{S}}}={\dfrac {-\varepsilon \,\beta \,p_{o}}{p_{o}}}=-\varepsilon \,\beta \;$ a pour équation $\;y-y_{S}=-\varepsilon \,\beta \left(x-x_{S}\right)\;$ soit finalement «$\;y=-\varepsilon \,\beta \,x\;$»,
        dans le repère orthonormé $\;\color {transparent}{(S,\,{\overrightarrow {Sx}},\,{\overrightarrow {Sy}})}\;$, le rayon incident $\;M_{o}F_{o}\;$ issu de $\;M_{o}\;$ de coordonnées $\;(x_{M_{o}}=p_{o}\,,\,y_{M_{o}}=-\varepsilon \,\beta \,p_{o})\;$ et passant par le foyer principal objet du miroir sphérique $\;F_{o}\;$ de coordonnées $\;(x_{F_{o}}=f_{o}=-f_{i}\,,\,y_{F_{o}}=0)\;$ étant de pente $\;{\dfrac {y_{M_{o}}-y_{F_{o}}}{x_{M_{o}}-x_{F_{o}}}}={\dfrac {-\varepsilon \,\beta \,p_{o}}{p_{o}+f_{i}}}\;$ a pour équation $\;y-y_{F_{o}}={\dfrac {-\varepsilon \,\beta \,p_{o}}{p_{o}+f_{i}}}\left(x-x_{F_{o}}\right)\;$ soit finalement «$\;y={\dfrac {-\varepsilon \,\beta \,p_{o}}{p_{o}+f_{i}}}\left(x+f_{i}\right)\;$»
4. dans le repère orthonormé $\;(S,\,{\overrightarrow {Sx'}},\,{\overrightarrow {Sy}})\;$ le rayon réfléchi sur le miroir du rayon incident $\;M_{o}S\;$ étant de direction symétrique de celle de ce dernier relativement à l'axe optique principal est de même pente $\;-\varepsilon \,\beta \;$ d'où l'équation du rayon réfléchi correspondant au rayon incident $\;M_{o}S\;$ «$\;y=-\varepsilon \,\beta \,x'\;$»,
        dans le repère orthonormé $\;\color {transparent}{(S,\,{\overrightarrow {Sx'}},\,{\overrightarrow {Sy}})}\;$, le rayon réfléchi sur le miroir du rayon incident $\;M_{o}F_{o}\;$ étant, à partir du point d'incidence $\;I\;$ sur le miroir, $\;\parallel \;$ à l'axe optique principal, son équation nécessite de déterminer au préalable l'ordonnée de $\;I\;$ par $\;x_{I}=0\;$ dans l'équation du rayon incident $\;M_{o}F_{o}\;$ établie plus haut soit $\;y(I)={\dfrac {-\varepsilon \,\beta \,p_{o}}{p_{o}+f_{i}}}\left[x(I)+f_{i}\right]={\dfrac {-\varepsilon \,\beta \,p_{o}\,f_{i}}{p_{o}+f_{i}}}\;$ d'où l'équation du rayon réfléchi correspondant au rayon incident $\;M_{o}F_{o}\;$ «$\;y={\dfrac {-\varepsilon \,\beta \,p_{o}\,f_{i}}{p_{o}+f_{i}}}\;$» ;
        dans le repère orthonormé $\;\color {transparent}{(S,\,{\overrightarrow {Sx'}},\,{\overrightarrow {Sy}})}\;$, l'intersection $\;M_{i}\;$ de ces deux rayons réfléchis a pour abscisse image de Descartes $\;{\big (}$avec origine au sommet${\big )}$ $\;{\dfrac {-\varepsilon \,\beta \,p_{o}\,f_{i}}{p_{o}+f_{i}}}=-\varepsilon \,\beta \,{x'}_{\!M_{i}}\;$ soit «$\;{x'}_{\!M_{i}}={\dfrac {p_{o}\,f_{i}}{p_{o}+f_{i}}}\;$» ;
5. l'abscisse «$\;{x'}_{\!M_{i}}={\dfrac {p_{o}\,f_{i}}{p_{o}+f_{i}}}\;$» de l'intersection $\;M_{i}\;$ de ces deux rayons réfléchis est identique à l'abscisse image de Descartes $\;{\big (}$avec origine au sommet${\big )}\;$ «$\;p_{i}=p_{o}\,{\dfrac {f_{i}}{p_{o}+f_{i}}}\;$» du point image $\;A_{i}$ ;
6. le projeté de $\;M_{i}\;$ sur l'axe optique principal se superposant à $\;A_{i}$, on conclut à l'aplanétisme approché du miroir sphérique $\;{\big (}$concave${\big )}\;$ pour tout objet linéique$\;A_{o}B_{o}\;$de pied proche du centre du miroir.