En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Optique géométrique : conditions de Gauss Signaux physiques (PCSI)/Exercices/Optique géométrique : conditions de Gauss », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Pour être défini, un miroir sphérique nécessite la connaissance de :
sa nature « concave » ou « convexe »,
son centre centre de courbure de la surface sphérique réfléchissante[1],
son rayon de courbure non algébrisérayon de courbure de la surface sphérique réfléchissante,
l'axe optique principal dont la partie incidente ou son prolongement passe par et le point objet point objet dont on étudiera l'image éventuelle et
son sommet intersection de l'axe optique principal et de la surface réfléchissante.
Nous adoptons l'algébrisation physique de l'axe optique principal[2] et, pour unifier l'étude des miroirs sphériques, algébrisons le rayon de courbure du miroir selon [2] avec pour conséquence la nature « concave » ou « convexe » du miroir caractérisé par le signe du rayon de courbure algébrisé :
si [2], étant à droite de est virtuel, correspondant à un miroir « convexe »,
si [2], étant à gauche de est réel, correspondant à un miroir « concave ».
Miroir sphérique convexe : algébrisation de l'axe optique principal, définitions du centre, du sommet et du rayon de courbure algébrisé
Miroir sphérique concave : algébrisation de l'axe optique principal, définitions du centre, du sommet et du rayon de courbure algébrisé
Dans la suite nous supposerons le miroir sphérique concave[3] et Dans la suite nous admettrons qu'il n'y a pas stigmatisme rigoureux du miroir sphérique[4] pour tous les points objet autres que et tous les points du miroir[5].
Démonstration du stigmatisme approché d'un miroir sphérique concave sous conditions de Gauss
Considérant un point objet réel et l'axe optique principal correspondant de support [7], nous envisageons des rayons incidents issus de , peu inclinés par rapport à l'axe optique principal, d'angle d'inclinaison tel que et dont le point d'incidence reste proche du sommet c'est-à-dire tel que l'angle que fait la normale au miroir en dans le sens incident avec la partie incidente de l'axe optique principal est tel que [8].
Le rayon incident donnant, par utilisation des lois de Snell - Descartes[9] de la réflexion[10],[11], le rayon réfléchi à l'axe optique principal, appelons l'angle d'inclinaison du rayon réfléchi par rapport à la partie réfléchie de l'axe optique principal ; nous nous proposons de démontrer que est indépendant du rayon incident considéré c'est-à-dire indépendant de et de dans la mesure où les conditions de Gauss[12] de stigmatisme approché[13] et sont réalisées.
dans le triangle , «»[15],[17] ; en utilisant la 2ème relation de Snell - Descartes[9] pour la réflexion[11] «» la relation ci-dessus se réécrit dans le triangle , «» ;
dans le triangle , on élimine alors entre ces deux relations en faisant la différence soit : ou soit enfin «»[14].
Évaluation des angles θo, θi et ω en fonction des abscisses de Ao, Ai et C repérées relativement à H
De la relation et des conditions de Gauss[12] de stigmatisme approché[13], montrer que le rayon réfléchi est peu incliné relativement à la partie réfléchie de l'axe optique principal c'est-à-dire .
En travaillant dans le triangle [18] évaluer en fonction, entre autres, de [2] puis, en tenant compte de la petitesse de la valeur absolue de l'angle ,
en travaillant dans le triangle [18] évaluer en fonction, entre autres, de [2] puis, en tenant compte de la petitesse de la valeur absolue de l'angle ,
en travaillant dans le triangle [18] évaluer en fonction, entre autres, de [2] puis, en tenant compte de la petitesse de la valeur absolue de l'angle ,
déduire des trois évaluations précédentes et de la relation , un lien entre «, et »[2]relation .
Solution
De la relation écrite sous la forme et des conditions de Gauss[12] de stigmatisme approché[13] on en déduit
«» c'est-à-dire que le rayon réfléchi est aussi peu incliné relativement à la partie réfléchie de l'axe optique principal.
En travaillant dans le triangle , «»[2] car sur le schéma d'où , et [2] ; En travaillant dans le triangle , «»[19] on en déduit [2] ;
en travaillant dans le triangle , «»[2] car sur le schéma d'où , et [2] ; en travaillant dans le triangle , «»[19] on en déduit [2] ;
en travaillant dans le triangle , «»[2] car sur le schéma d'où , et [2] ; en travaillant dans le triangle , «»[19] on en déduit [2] ;
des trois évaluations précédentes et de la relation réécrite selon , on en déduit «»[2] ou, après simplifiant par , des trois évaluations précédentes et de la relation réécrite selon , on en déduit «»[2].
Établissement de la confusion de H et de S à l'ordre un en ω
Établir que [18] peut être confondu avec le sommet du miroir à l'ordre un en [20] et
réécrire que la relation en tenant compte de cette confusion.
Solution
Montrons que peut être confondu avec à l'ordre un en [21], en évaluant puis à l'ordre deux en , on obtient Montrons que peut être confondu avec à l'ordre un en « à l'ordre deux en »[22],[23] d'où Montrons que peut être confondu avec à l'ordre un en « à l'ordre deux en », soit « à l'ordre deux en » ou finalement Montrons que peut être confondu avec à l'ordre un en « à l'ordre un en » ;
remplaçant par à l'ordre un en dans la relation , on peut, sous les conditions de Gauss[12] de stigmatisme approché[13], la réécrire selon
Conclusion : stigmatisme approché du miroir sphérique (concave) pour le point objet Ao et relation de conjugaison (approchée) de position de Descartes (avec origine au sommet)
Vérifier que la relation définit, pour un point objet quelconque, un point image unique et en déduire Vérifier le stigmatisme approché du miroir sphérique[6] pour le point objet ;
Vérifier que la relation pouvant être écrite selon «»[2],[25] où est une constante appelée « vergence » du miroir sphérique exprimée en dioptries de symbole [26], Vérifier que la relation pouvant être écrite selon «» exprimer en fonction de [2].
Par la suite notant l'abscisse de Descartes[27]avec origine au sommet[28] du point objet [2] et Par la suite notant l'abscisse de Descartes avec origine au sommetcelle du point image [2], la relation de conjugaison approchée de position ou 1ère relation de conjugaison approchée de Descartes[27] d'un miroir sphérique se réécrit
La relation établit le stigmatisme approché du miroir sphérique[6] « pour tout point objet autre que et »[30] puisque, La relation établit le stigmatisme approché du miroir sphérique « pour un point objet fixé, le point image est déterminé de façon unique indépendamment des variations des petits angles et .
La relation peut effectivement être écrite sous la forme «»[2],[25] où est une constante définissant la « vergence » du miroir sphérique selon
Avec les « abscisses de Descartes[27]avec origine au sommet du point objet et du point image »[2], la relation de conjugaison approchée de position ou 1ère relation de conjugaison approchée de Descartes[27] du miroir sphérique se réécrit
Vérifier, par construction et pour une direction d'axe optique principal préalablement fixée, que le centre et le sommet [5] du miroir sont des points
Vérifier, par construction et pour une direction d'axe optique principal préalablement fixée, que pour lesquels le miroir est stigmatique rigoureux et
Vérifier, par construction et pour une direction d'axe optique principal préalablement fixée, que dont l'image est confondue avec l'objet c'est-à-dire des points doubles.
Justifier la raison pour laquelle la relation de conjugaison approchée de position de Descartes[27]avec origine au sommet est applicable à , centre du miroir, Justifier la raison pour laquelle la relation de conjugaison approchée de position de Descartes avec origine au sommet est applicable à , bien que la conjugaison soit rigoureuse ;
vérifier, en utilisant cette relation, que est effectivement un point double.
Admettant que la relation de conjugaison approchée de position de Descartes[27]avec origine au sommet reste applicable à , sommet du miroir[31], pour lequel il y a conjugaison rigoureuse, Admettant que la relation de conjugaison approchée de position de Descartes avec origine au sommet reste applicable à , évaluer en fonction de et de puis Admettant que la relation de conjugaison approchée de position de Descartes avec origine au sommet reste applicable à , vérifier, sur cette dernière forme, que
Admettant que la relation de conjugaison approchée de position de Descartes avec origine au sommet reste applicable à , vérifier, « est effectivement un point double » et
Admettant que la relation de conjugaison approchée de position de Descartes avec origine au sommet reste applicable à , vérifier, « il n'y a pas d'autres points doubles que et ».
Solution
Voir ci-contre les propriétés particulières d'un point objet en ou d'un miroir sphérique concave[25] :
à gauche tout rayon d'un faisceau incident issu du centre d'un miroir sphérique concave étant normal au miroir se réfléchit sur lui-même, donnant un ensemble de rayons réfléchis convergeant en un point unique quelle que soit l'ouverture du faisceau incident, c'est-à-dire prouvant que le miroir sphérique est stigmatique rigoureux pour son centre ; de plus le point image de étant lui-même, ce dernier est un point double ;
à droite tout rayon d'un faisceau incident convergeant sur le sommet d'un miroir sphérique concave se réfléchissant en suivant une direction symétrique par rapport à l'axe optique principal et l'ensemble des rayons réfléchis divergeant à partir d'un point unique quelle que soit l'ouverture du faisceau incident, cela prouve le stigmatisme rigoureux du miroir sphérique pour son sommet[4] ; de plus le point image de étant lui-même, ce dernier est un point double.
Pour appliquer la relation de conjugaison approchée de position de Descartes[27]avec origine au sommet à , centre du miroir, bien que la conjugaison soit rigoureuse, il suffit de ne considérer que les rayons paraxiaux du faisceau incident issu de et d'ouverture quelconque[32], condition d'applicabilité de la relation de conjugaison de position de Descartes[27] ;
dans ce cas, si on appelle l'image du point objet , ce dernier étant d'abscisse objet de Descartes[27]avec origine au sommet «» et dans ce cas, si on appelle l'image du point objet , ce dernier d'abscisse image de Descartes[27]avec origine au sommet «», nous obtenons, dans ce cas, en remplaçant par , «» d'où soit «» «»[33] prouvant que dans ce cas, en remplaçant par , «» d'où soit «» se confond avec et par suite que « est un point double ».
De on tire soit «» forme permettant à l'abscisse objet d'être nulle ; sous cette forme on vérifie que
De on tire soit «» le point objet en , d'abscisse objet de Descartes[27]avec origine au sommet De on tire soit «» le point objet en , a une image d'abscisse image de Descartes[27]avec origine au sommet, c'est-à-dire De on tire soit «» le point objet en , a une image confondue avec , prouvant que « est bien un point double » ;
les points doubles d'abscisse objet de Descartes[27]avec origine au sommet étant tels que leurs abscisses images de Descartes[27]avec origine au sommet s'écrivant «»[2],[33] avec «» obéissent à l'équation «» c'est-à-dire «», les points doubles la 1ère solution donnant sommet du miroir et les points doubles la 2ème équation conduisant à «» c'est-à-dire centre du miroir ;
le centre et le sommet d'un miroir sphérique sont donc les seuls points doubles de ce dernier.
Caractère focal d'un miroir sphérique, position des foyers principaux objet et image, lien de la vergence et des distances focales objet et image
Vérifier, sur la 1ère relation de conjugaison de Descartes[27] d'un miroir sphérique, que ce dernier est nécessairement « focal »[34] puis
déterminer la position du foyer principal objet c'est-à-dire le point objet de l'axe optique principal ayant pour image le point à l'infini de cet axe optique principal ou et déterminer la position du foyer principal image c'est-à-dire le point image de l'axe optique principal ayant pour antécédent[35] le point à l'infini de cet axe optique principal ou ;
quelle particularité ces deux points possèdent-ils en ce qui concerne leurs positions absolues d'une part et leur position relative d'autre part ?
Définissant la distance focale objet comme l'abscisse objet de Descartes[27] du foyer principal objet avec origine au sommet soit «»[2] et Définissant la distance focale image comme l'abscisse image de Descartes[27] du foyer principal image avec origine au sommet soit «»[2],
déterminer le lien entre vergence , distance focale objet et distance focale image .
Solution
Un miroir sphérique est un « système focal » car le point à l'infini de l'axe optique principal n'est pas un point double[36].
Le foyer principal image , repéré par l'abscisse image de Descartes[27]avec origine au sommet[2] Le foyer principal image , étant l'image du point à l'infini de l'axe optique principal, repéré par l'abscisse objet de Descartes[27]avec origine au sommet, Le foyer principal image , étant l'image du point à l'infini de l'axe optique principal, on en déduit soit «»[2].
Le foyer principal objet , repéré par l'abscisse objet de Descartes[27]avec origine au sommet[2] Le foyer principal objet , étant l'antécédent[35] du point à l'infini de l'axe optique principal, repéré par l'abscisse image de Descartes[27]avec origine au sommet, Le foyer principal objet , étant l'antécédent du point à l'infini de l'axe optique principal, on en déduit soit «»[2].
Les positions géométriques respectives des foyers principaux objet et image étant telles que «»[2] et le changement de sens d'algébrisation conduisant à [2],[33], on en déduit «»[2] c'est-à-dire la coïncidence des positions géométriques des foyers principaux objet et image[37] ;
leur position géométrique commune étant telle que «»[2] on vérifie qu'elle coïncide avec le milieu du segment joignant le sommet et le centre du miroir.
Notion de distances focales objet et image :
la distance focale image étant définie par «»[2] est liée à la vergence par «» ;
la distance focale objet étant définie par «»[2] est liée à la vergence par «» ;
Signe de la vergence suivant la nature concave ou convexe du miroir sphérique, caractère convergent ou divergent du miroir et nature réelle ou virtuelle des foyers principaux
Déterminer le signe de la vergence suivant la nature « concave » ou « convexe » du miroir sphérique puis
Déterminer son caractère « convergent » ou « divergent » sachant qu'un système focal à « vergence positive » respectivement « négative » est dit « convergent » respectivement « divergent » et
Déterminer la nature « réelle » ou « virtuelle » des foyers principaux.
Solution
De on en déduit que la vergence est de signe contraire au rayon de courbure algébrisé du miroir sphérique, ainsi :
un miroir concave a un rayon de courbure algébrisé [2],[39], donc une vergence , c'est un système « convergent »,
un miroir convexe a un rayon de courbure algébrisé [2],[39], donc une vergence , c'est un système « divergent ».
De on en déduit la nature réelle ou virtuelle des foyers principaux objet et image suivant la nature convergente ou divergente du miroir sphérique :
un miroir concave étant convergent, la distance focale image [2] est entraînant le caractère réel du foyer principal image et un miroir concave étant convergent, la distance focale objet [2] étant , le foyer principal objet est également réel[40],
un miroir convexe étant divergent, la distance focale image [2] est entraînant le caractère virtuel du foyer principal image et un miroir convexe étant divergent, la distance focale objet [2] étant , le foyer principal objet est également virtuel[40].
Démonstration de l'absence de conjugaison non rigoureuse du miroir sphérique (concave) pour le point objet à l'infini sur l'axe optique principal
déterminer la position de point de l'axe optique principal par lequel passe le rayon réfléchi correspondant au rayon incident à l'axe optique principal, de point d'incidence [42] et
vérifier que dépendant effectivement de et par suite vérifier qu'il n'y a pas conjugaison rigoureuse du miroir sphérique concave[25] pour le point situé à l'infini de l'axe optique principal.
Solution
Schéma de démonstration de l'absence de stigmatisme rigoureux d'un miroir sphérique concave[4] pour le point objet à l'infini sur l'axe optique principal
Montrons algébriquement qu'un miroir sphérique concave[25] n'est pas rigoureusement stigmatique pour le point à l'infini de l'axe optique principal[4] et pour cela il suffit de montrer Montrons algébriquement qu'un rayon incident à l'axe optique principal, de point d'incidence [42], repéré par l'angle que fait le rayon incident avec tel que [43], Montrons algébriquement qu'un rayon incident à l'axe optique principal, donne un réfléchi qui recoupe l'axe optique principal en [42] dépendant effectivement de d'où Montrons algébriquement l'absence de stigmatisme rigoureux du miroir pour [4] ;
l'angle d'incidence étant [44], l'angle de réflexion est donc d'après la 2ème relation de Snell - Descartes[9] de la réflexion[11] ; on en déduit alors «»[45] et [2] se détermine par [2],[46] «»[2] ou, avec et simplification par , se détermine par ,«»[2] ;
on peut alors évaluer «»[2], expression dans laquelle [2] d'où «»[2] ou, sachant que , l'expression finale
«»[2],[47] dépend effectivement de et par suite le miroir sphérique concave[25] n'est pas stigmatique rigoureux pour le point à l'infini [4] de l'axe optique principal[48].
Aplanétisme approché d'un miroir sphérique sous conditions de Gauss
On considère un objet linéique transverse de pied tel qu'il y ait stigmatisme approché l'objet linéique transverse [49] admet une image « nette » [52] mais a priori[53] On considère un objet linéique transverse de pied tel qu'il y ait stigmatisme approché l'objet linéique transverse admet une image ni « linéique »[54] ni « transverse ».
On suppose que l'objet linéique transverse [49] est, quand l'objet n'est pas proche du miroir, vu du sommet du miroir sous un angle non algébrisé petit c'est-à-dire si et On suppose que l'objet linéique transverse est, quand l'objet est proche du miroir, vu du centre du miroir sous un angle non algébrisé petit c'est-à-dire si , On suppose que l'objet linéique transverse est, ces deux exigences constituant les conditions de Gauss[12] d'aplanétisme approché[55] pour un objet linéique transverse[49] quelconque[56].
Remarque : Il existe deux exigences équivalentes pour définir les conditions de Gauss[12] d'aplanétisme approché[55] d'un objet linéique transverse[49] quelconque [57] :
Remarque : si un objet est tel que son pied n'est pas proche du centre du miroir, il doit être vu du centre sous un angle non algébrisé petit c'est-à-dire si et
Remarque : si un objet est tel que son pied est proche de , il doit être vu du sommet du miroir sous un angle non algébrisé petit c'est-à-dire si .
Démonstration de l'aplanétisme approché d'un miroir sphérique concave pour un objet linéique transverse de pied non proche du centre du miroir et vu de ce centre sous un petit angle
L'objet linéique transverse [49] étant d'abord supposé de pied non proche du centre du miroir c'est-à-dire , nous considérons l'angle , sous lequel il est vu du centre , petit c'est-à-dire , nous considérons l'angle sous lequel il est vu du sommet , n'étant pas nécessairement petit, la démarche pour établir l'aplanétisme du miroir pour un tel objet est rendue plus aisée si on utilise la « relation de conjugaison de position ou 1ère relation de conjugaison de Descartes[27]avec origine au centre établie dans la solution de la question plus bas dans cet exercice »[58] à savoir «»[2] où est la vergence précédemment introduite ;
la démarche peut alors être décomposée en les étapes suivantes :
montrer qu'à l'ordre un en , l'objet linéique transverse [49] peut être confondu avec un arc de cercle de centre , d'angle au centre associé ,
en utilisant la relation de conjugaison de position de Descartes[27]avec origine au centredd"> Voir la solution de la question « relation de conjugaison de position (ou 1ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre) » plus bas dans cet exercice.</ref>, montrer alors que l'image est un arc de cercle de centre et en utilisant la relation de conjugaison de position de Descartes avec origine au centre, vérifier que l'angle au centre associé est encore ,
conclure qu'à l'ordre un en , l'image peut être confondue avec un segment à l'axe optique principal c'est-à-dire qu'elle est linéique transverse[59].
Solution
L'objet linéique transverse [49] étant supposé de pied non proche du centre du miroir c'est-à-dire , avec l'angle non algébrisé sous lequel il est vu du centre , petit c'est-à-dire ,
le caractère transverse de l'objet linéique la longueur est plus grande que la longueur [60], soit plus précisément « à l'ordre deux en »[22] ou finalement « à l'ordre un en » prouvant, qu'à cet ordre, l'objet linéique transverse [49] peut être confondu avec un arc de cercle de centre , d'angle au centre associé ,
tous les points objet de l'arc de cercle de centre ayant une abscisse objet de Descartes[27]avec origine au centre indépendante de sur l'axe optique secondaire associé de support [61], l'application de la 1ère relation de conjugaison de Descartes[27]avec origine au centre[62] donne donc des points image à abscisse image de Descartes[27]avec origine au centre indépendante de sur l'axe optique secondaire associé de support , c'est-à-dire que l'image est assimilable, à l'ordre un en , à un arc de cercle de centre ,
l'angle non algébrisé sous lequel l'arc de cercle est vu du centre étant petit, on peut faire l'opération inverse de celle faite précédemment pour l'objet , c'est-à-dire assimiler l'arc de cercle de centre à un segment choisi à l'axe optique principal de support [63], c'est-à-dire que l'image est, à l'ordre un en , linéique transverse ;
nous avons donc établi l'aplanétisme approché du miroir sphériqueconcave[25]pour tout objet linéique de pied non proche du centre du miroir.
Démonstration de l'aplanétisme approché d'un miroir sphérique concave pour un objet linéique transverse de pied proche du centre du miroir et vu du sommet de ce dernier sous un petit angle
L'objet linéique transverse [49] de pied étant maintenant supposé proche du centre du miroir c'est-à-dire , L'objet linéique transverse de pied nous considérons l'angle , sous lequel il est vu du sommet , petit c'est-à-dire ; la démarche pour établir l'aplanétisme du miroir pour un tel objet nécessite l'utilisation de deux rayons paraxiaux issus de , point objet quelconque de [64] et la démarche pour établir l'aplanétisme du miroir pour un tel objet nécessite de montrer que le point image , défini comme l'intersection des deux rayons réfléchis, la démarche pour établir l'aplanétisme du miroir pour un tel objet nécessite de montrer que le point image , a pour projeté, sur l'axe optique principal, le point image , pour cela :
déterminer l'abscisse image de Descartes[27]avec origine au sommet de en fonction de la distance focale image et déterminer l'abscisse image de Descartes avec origine au sommet de en fonction de l'abscisse objet de Descartes[27]avec origine au sommet de ,
déterminer la longueur algébrique en fonction de et de l'abscisse objet de Descartes[27]avec origine au sommet de ,
travaillant dans le repère orthonormé [65] déterminer l'équation des rayons incidents et [66],
travaillant dans le repère orthonormé [67] déterminer les équations des rayons réfléchis, puis leur intersection ;
vérifier que l'abscisse image de Descartes[27]avec origine au sommet du projeté de sur l'axe optique principal est égale à l'abscisse image de Descartes[27]avec origine au sommet de ,
conclure à l'aplanétisme approché du miroir sphérique pour l'objet linéique transverse [49] de pied proche du centre du miroir.
Solution
Soit un objet linéique transverse[49] de pied , proche du centre du miroir sphérique concave c'est-à-dire , vu du sommet de ce dernier sous un angle petit c'est-à-dire correspondant à la condition de Gauss[12] d'aplanétisme approché[55] précitée ;
on détermine d'abord l'abscisse image de Descartes[27]avec origine au sommet[2] de , image du point objet d'abscisse objet de Descartes[27]avec origine au sommet[2], par utilisation de la 1ère relation de conjugaison de Descartes[27] du miroir sphérique avec origine au sommet[68] de vergence , [2] étant la distance focale image du miroir d'où :
soit finalement «» ;
«[2] étant » et «» avec « non algébrisé », on en déduit d'où, avec [19],
«» ;
dans le repère orthonormé [65], le rayon incident issu de de coordonnées [66] étant de pente a pour équation soit finalement «»[69], dans le repère orthonormé , le rayon incident issu de de coordonnées [66] et passant par le foyer principal objet du miroir sphérique de coordonnées étant de pente a pour équation soit finalement «»
dans le repère orthonormé [67] le rayon réfléchi sur le miroir du rayon incident étant de direction symétrique de celle de ce dernier relativement à l'axe optique principal est de même pente [70] d'où l'équation du rayon réfléchi correspondant au rayon incident «»[71], dans le repère orthonormé , le rayon réfléchi sur le miroir du rayon incident étant, à partir du point d'incidence sur le miroir, à l'axe optique principal, son équation nécessite de déterminer au préalable l'ordonnée de par dans l'équation du rayon incident établie plus haut soit d'où l'équation du rayon réfléchi correspondant au rayon incident «» ; dans le repère orthonormé , l'intersection de ces deux rayons réfléchis a pour abscisse image de Descartes[27]avec origine au sommet soit
«» ;
l'abscisse «» de l'intersection de ces deux rayons réfléchis est identique à l'abscisse image de Descartes[27]avec origine au sommet «» du point image ;
le projeté de sur l'axe optique principal se superposant à , on conclut à l'aplanétisme approché du miroir sphériqueconcave[25]pour tout objet linéiquede pied proche du centre du miroir.
Relation de conjugaison (approchée) de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet)
Dès lors qu'un miroir sphérique est utilisée sous conditions de Gauss[12] de stigmatisme et d'aplanétisme approchés[13],[55], l'usage est de représenter ce miroir sous une forme symbolique dans laquelle figurent
l'axe optique principal,
le centre ,
les foyers principaux objet et image non représentés ci-contre[72],
le sommet et
la partie de miroir en à l'axe optique principal[73], partie de miroir sur laquelle est rappelée l'algébrisation physique de l'axe optique principal.
Sur le schéma ci-contre on a construit l'image linéique transverse d'un objet linéique transverse [49] de pied et en considérant deux rayons incidents issus de ,
l'un passant que le centre du miroir et qui se réfléchit sur lui-même[74],
l'autre passant par le sommet du miroir et qui se réfléchit en obéissant à la 2ème loi de Snell - Descartes[9] de la réflexion[11],[75], le point d'intersection de ces deux rayons réfléchis étant le point de convergence de tous les rayons réfléchis correspondant à tous les rayons incidents issus de sous conditions de Gauss[12],[76], il suffit de projeter orthogonalement sur l'axe optique principal pour obtenir le point image du point objet [77].
En comparant les triangles rectangles et , déterminer le grandissement transverse par le miroir sphérique concave de l'objet linéique transverse [49] défini par «» en fonction des abscisses objet et image de Descartes[27]avec origine au sommet[2] ;
la relation établie ci-dessus définit la relation de conjugaison approchée de grandissement transverse ou 2ème relation de conjugaison approchée de Descartes[27]avec origine au sommet pour tout objet linéique transverse[49] de pied [78],[29], elle caractérise quantitativement la propriété d'aplanétisme approché du miroir sphérique pour l'objet linéique transverse[49] de pied [79].
Solution
Ayant exposé la construction de l'image de l'objet linéique transverse [49] dans l'énoncé de la question pour rappel on positionne comme intersection des rayons réfléchis correspondant à deux rayons incidents issus de , le 1er passant par qui se réfléchit sur lui-même[74] et le 2ème de point d'incidence qui se réfléchit en suivant une direction symétrique par rapport à l'axe optique principal[75],[80], puis on projette orthogonalement sur l'axe optique principal pour obtenir [77] ;
le grandissement transverse étant défini par «», on le détermine en exprimant et respectivement dans les triangles rectangles et soit :
égalant les deux expressions de , on en déduit «»[2] d'où «»[2] c'est-à-dire la 2ème relation de conjugaisonapprochéeou relation de conjugaisonapprochéede grandissement transversede Descartes[27]avec origine au sommet d'un miroir sphérique concave[25]
Remarques : si est le point à l'infini de l'axe optique principal, vaut et l'image du point à l'infini de l'axe optique principal étant le foyer principal image donnant ,
Remarques : si est le foyer principal objet, et vaut l'image du foyer principal objet étant le point à l'infini de l'axe optique principal donnant infini.
Considérant un objet linéique transverse [49] de pied [83] et Considérant la condition d'aplanétisme approché du miroir pour cet objet c'est-à-dire l'angle non algébrisé sous lequel l'objet est vu du sommet , petit ,
vérifier, par construction de l'image , qu'elle est symétrique de par rapport à l'axe optique principal et
comparer au résultat donné par l'application de la relation de conjugaison de grandissement transverse ou 2ème relation de conjugaison de Descartes[27]avec origine au sommet établie dans la solution de la 1ère sous question précédente pour un objet linéique transverse[49] de pied [78],[29] en considérant .
Considérant maintenant un objet linéique transverse [49] de pied [84] et Considérant la condition d'aplanétisme approché du miroir pour cet objet c'est-à-dire l'angle non algébrisé sous lequel l'objet est vu du centre , petit [85],
vérifier que l'image se superpose à , le caractère linéique transverse de l'objet entraînant celui de l'image et
en déduire la valeur du grandissement transverse pour un objet linéique transverse[49] de pied .
Solution
Le centre du miroir sphérique concave ci-contre en étant un point double conjugué rigoureux, un objet linéique transverse [49] a pour image, par le miroir, une image de pied , de plus, comme le miroir sphérique est aplanétique approché pour tout objet de pied quelconque, l'image de , notée , est linéique transverse ; pour obtenir cette dernière il suffit de choisir pour rayon incident issu de , pour obtenir cette dernière il suffit de choisir le rayon passant par le sommet qui se réfléchit suivant une direction symétrique par rapport à l'axe optique principal et recoupe le plan transverse passant par au point , symétrique de par rapport à l'axe optique principal d'où
«» et par suite «» ;
l'application de la 2ème relation de conjugaison ou relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes[27]avec origine au sommet établie dans la solution de la 1ère sous question précédente pour un objet linéique transverse[49] de pied [78],[29] nous conduit, en considérant , à «»[2], soit, avec [2],
Tous les points du miroir sphérique étant des points doubles de ce dernier[87], un objet collé sur le miroir est donc sa propre image ; dans la mesure où l'objet est de petite taille, on peut négliger sa courbure et le considérer comme linéique transverse, son image étant alors également linéique transverse ;
Définitions préliminaires : On appelle plan focal objet le plan transverse passant par le foyer principal objet et
Définitions préliminaires : On appelle plan focal image le plan transverse passant par le foyer principal image ;
Définitions préliminaires : on appelle axe optique secondaire tout axe passant par le centre du miroir, il possède une partie incidence contenue dans l'espace objet réel se réfléchissant sur elle-même pour donner sa partie émergente contenue dans l'espace image réelle ;
Définitions préliminaires : on appelle foyer secondaire objet associé à un axe optique secondaire de support l'intersection de cet axe optique secondaire avec le plan focal objet et
Définitions préliminaires : On appelle foyer secondaire image associé à un axe optique secondaire de support l'intersection de cet axe optique secondaire avec le plan focal image.
Propriétés : Justifier les propriétés des foyers secondaires objet et image associés à un axe optique secondaire de support :
le foyer secondaire objet associé à l'axe optique secondaire de support admet pour image le point à l'infini de l'axe optique secondaire soit ,
le foyer secondaire image associé à l'axe optique secondaire de support admet pour antécédent[35] le point à l'infini de l'axe optique secondaire soit .
Solution
Propriétés des foyers secondaires associés à un axe optique secondaire :
propriété du foyer secondaire objet associé à l'axe optique secondaire de support : considérons un objet linéique transverse[49] contenu dans le plan focal objet et de pied , objet noté , ayant pour image le point à l'infini de l'axe optique principal et l'image étant linéique transverse, le point a une image également située à l'infini sur la partie réfléchie de l'axe optique secondaire de support [89], soit effectivement «»
propriété du foyer secondaire image associé à l'axe optique secondaire de support : considérons un objet dont l'image associée est contenue dans le plan focal image et de pied , image notée , ayant pour antécédent[35] le point à l'infini de l'axe optique principal et le miroir étant aplanétique, le point a un antécédent[35] également situé à l'infini sur la partie incidente de l'axe optique secondaire de support [90], soit effectivement «».
Considérant un objet linéique transverse [49] réel, de pied séparé du sommet d'un miroir sphérique concave d'une distance supérieure au rayon non algébrisé du miroir, construire son image par le miroir de deux façons différentes :
en considérant deux rayons incidents issus de choisis parmi les trois suivants : passant par , passant par ou à l'axe optique principal,
en considérant un rayon incident issu de [91]choisi parmi les deux suivants : passant par ou à l'axe optique secondaire .
Refaire les constructions précédentes avec un miroir convexe.
Solution
En considérant deux rayons incidents issus de choisis parmi les trois suivants voir schéma ci-contre à droite : passant par et se réfléchissant sur lui-même, passant par foyer principal objet et se réfléchissant parallèlement à l'axe optique principal, à l'axe optique principal et se réfléchissant en passant par le foyer principal image , En considérant deux rayons incidents issus de l'image étant à l'intersection des deux rayons réfléchis correspondant aux deux rayons incidents choisis, s'obtient en projetant orthogonalement sur l'axe optique principal.
En considérant un rayon incident issu de choisis parmi les deux suivants voir schéma ci-contre à gauche : passant par un foyer secondaire objet point d'intersection du rayon incident et du plan focal objet et se réfléchissant parallèlement à l'axe optique secondaire c'est-à-dire, pour la partie incidente , la partie réfléchie se superposant à la partie incidente mais orientée en sens contraire, à un axe optique secondaire a priori quelconque et se réfléchissant en passant par le foyer secondaire image point d'intersection de l'axe optique secondaire et du plan focal image, En considérant un rayon incident issu de l'image étant à l'intersection d'un des rayons réfléchis correspondant au rayon incident choisi et de l'axe optique principal, s'obtient comme intersection de l'axe optique secondaire passant par et du plan transverse passant par .
Ci-dessous les constructions refaites sur un miroir sphérique convexe, en considérant deux rayons incidents issus de à gauche, Ci-dessous les constructions refaites sur un miroir sphérique convexe, en utilisant un rayon incident issu de et la notion de foyers secondaires objet ou image à droite :
Construction de l'image par un miroir sphérique convexe d'un objet linéique transverse [49] utilisant deux des trois rayons incidents issus de : passant par , passant par ou à l'axe optique principal
Construction de l'image par un miroir sphérique convexe d'un objet linéique transverse [49] utilisant un des deux incidents issus de : passant par un foyer secondaire objet ou à un axe optique secondaire
Relations de conjugaison de position et de grandissement transverse de Descartes (avec origine au centre) sous conditions de Gauss
On repère maintenant les points objet et image relativement au centre du miroir sphérique en définissant
l'abscisse objet de Descartes[27]avec origine au centre de par [2] et
l'abscisse image de Descartes[27]avec origine au centre de par [2] ;
à partir de la relation de conjugaison de position ou 1ère relation de conjugaison de Descartes[27]avec origine au sommet[68] et par changement d'origine, établir que la relation de conjugaison de position ou 1ère relation de conjugaison de Descartes[27]avec origine au centre s'écrit
Les relations de conjugaison de Descartes[27]avec origine au centre utilisent comme origine pour repérer un point objet ou un point image sur l'axe optique principal :
l'abscisse objet de Descartes[27]avec origine au centre du point objet notée [2] est liée à son abscisse objet de Descartes[27]avec origine au sommet[2] par [2] ou «» et
l'abscisse image de Descartes[27]avec origine au centre du point image notée [2] est liée à son abscisse image de Descartes[27]avec origine au sommet[2] par [2] ou «» ;
on obtient la 1ère relation de conjugaison approchée de position de Descartes[27]avec origine au centre en reportant les changements d'origine des abscisses objet et image de Descartes[27] précédemment définis, dans la 1ère relation de conjugaison approchée de position de Descartes[27]avec origine au sommet «»[68],[93] soit ou et, en égalant le produit des extrêmes et celui des moyens[94] soit, après simplification ou «» et enfin, en divisant les deux membres de l'équation par [95]la raison en étant que l'on cherche à établir une équation faisant intervenir des inverses de longueur à partir d'une équation comportant des produits de deux longueurs «» ; la 1ère relation de conjugaisonapprochéede Descartes[27]avec origine au centre s'écrit donc
«»[96] avec « vergence du miroir sphérique concave[25] » et «»[2].
Relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2ème relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre)
À partir de la relation de conjugaison de grandissement transverse ou 2ème relation de conjugaison de Descartes[27]avec origine au sommet[97] et par changement d'origine, établir la relation de conjugaison de grandissement transverse ou 2ème relation de conjugaison de Descartes[27]avec origine au centre[98].
En utilisant le schéma ci-contre vérifier directement cette relation.
Solution
La démonstration se fait en partant de la 2ème relation de conjugaison approchée de Descartes[27]avec origine au sommet[97] «»[99] et La démonstration se fait en faisant le changement d'origines exposé dans la solution de la question « relation de conjugaison de position (ou 1ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre) » plus haut dans cet exercice «» soit [100]en effet la 1ère relation de conjugaison de Descartes[27]avec origine au centre «»[101] se réécrit «» d'où la simplification ; la 2ème relation de conjugaisonapprochéede Descartes[27]avec origine au centre s'écrit
Ayant construit l'image de l'objet linéique transverse [49] en positionnant comme intersection des rayons réfléchis correspondants à deux rayons incidents issus de ,
le 1er passant par qui se réfléchit sur lui-même[74] et
le 2ème de point d'incidence qui se réfléchit en suivant une direction symétrique par rapport à l'axe optique principal[75], le point étant le projeté orthogonal du point sur l'axe optique principal ;
le grandissement transverse étant défini par «», on le détermine en exprimant et [103] respectivement dans les triangles rectangles et soit :
égalant et , on en déduit «»[2] d'où «»[2] c'est-à-dire la 2ème relation de conjugaisonapprochéeou relation de conjugaisonapprochéede grandissement transversede Descartes[27]avec origine au centre d'un miroir sphérique concave[25]
Remarques : si est le point à l'infini de l'axe optique principal, vaut et l'image du point à l'infini de l'axe optique principal étant le foyer principal image donnant ,
Remarques : si est le foyer principal objet, et vaut l'image du foyer principal objet étant le point à l'infini de l'axe optique principal donnant infini.
Relations de conjugaison de position et de grandissement transverse de Newton sous conditions de Gauss
On repère maintenant le point objet relativement au foyer principal objet du miroir sphérique et On repère maintenant le point image relativement au foyer principal image du même miroir sphérique en définissant
À partir de la relation de conjugaison de position ou 1ère relation de conjugaison de Descartes[27]avec origine au sommet[68] et par changement d'origine, établir que la relation de conjugaison de position ou 1ère relation de conjugaison de Newton[106] s'écrit
«»[2],[107] ou «»[29] avec et distances focales image et objet du miroir.
Solution
Les relations de conjugaison de Newton[106] utilisent comme origine pour repérer un point objet et comme origine pour repérer un point image sur l'axe optique principal :
l'abscisse objet de Newton[106] du point objet notée [2] est liée à son abscisse objet de Descartes[27]avec origine au sommet[2] par [2] ou «» et
l'abscisse image de Newton[106] du point image notée [2] est liée à son abscisse image de Descartes[27]avec origine au sommet[2] par [2] ou «» ;
on obtient la 1ère relation de conjugaison approchée de position de Newton[106] en reportant les changements d'origine des abscisses objet et image de Descartes[27] précédemment définis, dans la 1ère relation de conjugaison approchée de position de Descartes[27]avec origine au sommet «»[68],[108] ou «» la vergence valant , soit ou et, en égalant le produit des extrêmes et celui des moyens[94] soit, après simplification «» et enfin, sachant que [109], «» ; la 1ère relation de conjugaisonapprochéede Newton[106] s'écrit
«»[110] avec « distance focale image du miroir sphérique concave[25] » et «»[2].
Relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2ème relation de conjugaison) de Newton
À partir de la relation de conjugaison de grandissement transverse ou 2ème relation de conjugaison de Descartes[27]avec origine au sommet[97] et par changement d'origine, établir la relation de conjugaison de grandissement transverse ou 2ème relation de conjugaison de Newton[106],[111],[107].
En utilisant le schéma ci-contre vérifier directement les deux formes de cette relation.
Solution
La démonstration se fait en partant de la 2ème relation de conjugaison approchée de Descartes[27]avec origine au sommet[97] «»[99] et La démonstration se fait en faisant le changement d'origines exposé dans la solution de la question « relation de conjugaison de position (ou 1ère relation de conjugaison) de Newton » plus haut dans cet exercice «» soit ou, en mettant en facteur les grandeurs image adéquates, en effet la 1ère relation de conjugaison de Newton[106] établie dans la solution de la question « relation de conjugaison de position (ou 1ère relation de conjugaison) de Newton » plus haut dans cet exercice «» d'où la simplification ; une 1ère forme de la 2ème relation de conjugaisonapprochéede Newton[106] s'écrit
la 1ère relation de conjugaison de Newton[106] s'écrivant [113] est équivalente à «», on en déduit aisément la 2ème forme de la 2ème relation de conjugaisonapprochéede Newton[106]
Ayant construit l'image de l'objet linéique transverse [49] en positionnant comme intersection des rayons réfléchis correspondants à deux rayons incidents issus de ,
le 1er passant par qui se réfléchit parallèlement à l'axe optique principal et
le 2ème à l'axe optique principal qui se réfléchit en passant par , le point étant le projeté orthogonal du point sur l'axe optique principal ;
le grandissement transverse étant défini par «», on le détermine en exprimant et [103],[114] respectivement dans les triangles rectangles et soit :
«»[2], étant et [2] ou, comme on en déduit «»[2] ;
égalant et , on en déduit «»[2] d'où «»[2] c'est-à-dire une 1ère forme de la 2ème relation de conjugaisonapprochéeou relation de conjugaisonapprochéede grandissement transversede Newton[106] d'un miroir sphérique concave[25]
«»[2], étant et [2] ou, comme on en déduit «»[2] ;
égalant et , on en déduit «»[2] d'où «»[2] c'est-à-dire une 2ème forme de la 2ème relation de conjugaisonapprochéeou relation de conjugaisonapprochéede grandissement transversede Newton[106] d'un miroir sphérique concave[25]
Remarques : si est le point à l'infini de l'axe optique principal, vaut et l'image du point à l'infini de l'axe optique principal étant le foyer principal image donnant ,
Remarques : si est le foyer principal objet, et vaut l'image du foyer principal objet étant le point à l'infini de l'axe optique principal donnant infini.
Relations de Lagrange - Helmholtz sous conditions de Gauss
Le grandissement angulaire d'un pinceau lumineux incident issu d'un point objet , de direction faisant un angle avec la partie incidente de l'axe optique principal, le pinceau se réfléchissant sur le miroir en convergeant vers le point image , avec une direction faisant un angle avec la partie réfléchie de l'axe optique principal, est défini selon
en utilisant le schéma ci-contre, établir l'expression du grandissement angulaire «»[118],[119] en fonction des abscisses objet et image de Descartes[27]avec origine au sommet, respectivement « et »[2],[120].
Solution
On détermine le grandissement angulaire «»[118],[119] par évaluation de et tous deux sur la figure ci-dessus On détermine le grandissement angulaire «» respectivement dans les triangles et l'angle étant égal à soit :
dans le triangle , «»[2] étant et [2] ou «» soit, avec [19], «» ;
dans le triangle , «»[2] étant et [2] ou «» soit, avec [19], «» ;
on en déduit alors «» soit, en simplifiant par ,
l'expression du grandissement angulaire en fonction des abscisses objet et image de Descartes[27]avec origine au sommet du couple «».
Établissement de la relation de Lagrange - Helmholtz
Á l'aide de la relation de conjugaison de grandissement transverse ou 2ème relation de conjugaison de Descartes[27]avec origine au sommet[97] et Á l'aide de l'expression du grandissement angulaire dans le même repérage[121],
vérifier la « relation de Lagrange - Helmholtz »[122],[123] «»[124].
Solution
Connaissant le grandissement transverse donné par la 2ème relation de conjugaison ou relation de grandissement transverse de Descartes[27]avec origine au sommet «»[97] et Connaissant l'expression du grandissement angulaire dans le même repérage «»[121], on en déduit le lien entre grandissements angulaire et transverse indépendant de la position du point objet ,
«» ce qui constitue la « relation de Lagrange - Helmholtz »[122],[123] cherchée[125].
Stigmatisme et aplanétisme approchés d'un dioptre sphérique sous conditions de Gauss
Pour être défini, un dioptre sphérique nécessite la connaissance de :
sa nature « concave » ou « convexe »,
son centre centre de courbure de la surface sphérique dioptrique[126],
son rayon de courbure non algébrisérayon de courbure de la surface sphérique dioptrique,
l'axe optique principal dont la partie incidente ou son prolongement passe par et le point objet point objet dont on étudiera l'image éventuelle,
son sommet intersection de l'axe optique principal et de la surface dioptrique et
l'indice de l'espace objet réel ainsi que celui de l'espace image réelle .
Nous adoptons l'algébrisation physique de l'axe optique principal[127] et, pour unifier l'étude des dioptres sphériques, algébrisons le rayon de courbure du dioptre selon [127] avec pour conséquence la nature « concave » ou « convexe » du dioptre caractérisé par le signe du rayon de courbure algébrisé :
si , étant à droite de est un point de l'espace objet virtuel, correspondant à un dioptre « convexe »,
si , étant à gauche de est un point de l'espace objet réel, correspondant à un dioptre « concave ».
Justification du caractère convergent d'un dioptre sphérique concave faisant passer d'un milieu plus réfringent vers un milieu moins réfringent
Justification du caractère divergent d'un dioptre sphérique concave faisant passer d'un milieu moins réfringent vers un milieu plus réfringent
Justification du caractère divergent d'un dioptre sphérique convexe faisant passer d'un milieu plus réfringent vers un milieu moins réfringent
Justification du caractère convergent d'un dioptre sphérique convexe faisant passer d'un milieu moins réfringent vers un milieu plus réfringent
Dans la suite nous supposerons le dioptre sphérique concave faisant passer d'un espace plus réfringent à un espace moins réfringent figure de gauche de la 1ère ligne de la galerie ci-dessus[128] et Dans la suite nous admettrons qu'il n'y a pas stigmatisme rigoureux du dioptre sphérique[4] pour tous les points objet autres que et tous les points du dioptre[129].
Démonstration du stigmatisme approché d'un dioptre sphérique concave convergent sous conditions de Gauss
Considérant un point objet réel et l'axe optique principal correspondant de support [130], nous envisageons des rayons incidents issus de , peu inclinés par rapport à l'axe optique principal, d'angle d'inclinaison tel que et dont le point d'incidence reste proche du sommet l'angle que fait la normale au dioptre en avec l'axe optique principal est donc petit en valeur absolue [8].
Le rayon incident donnant, par utilisation des lois de Snell - Descartes[9] de la réfraction[131], le rayon émergent à l'axe optique principal, appelons l'angle d'inclinaison du rayon réfracté par rapport à l'axe optique principal ; nous nous proposons de démontrer que est indépendant du rayon incident considéré c'est-à-dire indépendant de et de dans la mesure où les conditions de Gauss[12] de stigmatisme approché[13] et sont réalisées.
Établissement de la relation liant θo, θi, ω, no et ni
En travaillant dans le triangle établir une 1ère relation entre , angle d'incidence du rayon incident en et ,
en travaillant dans le triangle établir une 2ème relation entre , angle de réfraction du rayon émergent en et ,
en utilisant la 2ème loi de Snell - Descartes[9] de la réfraction[131] sous conditions de Gauss[12] et les deux relations précédentes, déduire la relation suivante entre , , , et
«».
Solution
Dans le triangle , «»[15],[132] et
dans le triangle , «»[15],[133] ou, en utilisant la 2ème relation de Snell - Descartes[9] pour la réfraction[131] et, dans le triangle , «» ou, en tenant compte de la petitesse de la valeur absolue de l'angle d'incidence la petitesse de la valeur absolue de l'angle de réfraction dans le triangle , «» ou, en utilisant la 2ème relation de Snell - Descartes pour la réfraction [134], la relation ci-dessus se réécrit dans le triangle , «» ;
dans le triangle , on élimine alors entre ces deux relations en formant la C.L[135]. «» soit : ou soit enfin, la relation
«».
Évaluation des angles θo, θi et ω en fonction des abscisses de Ao, Ai et C repérées relativement à H
De la relation et des conditions de Gauss[12] de stigmatisme approché[13], montrer que le rayon réfracté est aussi peu incliné relativement à l'axe optique principal c'est-à-dire .
En travaillant dans le triangle [18] évaluer en fonction, entre autres, de puis, en tenant compte de la petitesse de la valeur absolue de l'angle, ,
en travaillant dans le triangle [18] évaluer en fonction, entre autres, de puis, en tenant compte de la petitesse de la valeur absolue de l'angle, ,
en travaillant dans le triangle [18] évaluer en fonction, entre autres, de puis, en tenant compte de la petitesse de la valeur absolue de l'angle, ,
déduire des trois évaluations précédentes et de la relation , un lien entre , et relation .
Solution
De la relation écrite sous la forme et des conditions de Gauss[12] de stigmatisme approché[13] dont on déduit d'où
«» c'est-à-dire que le rayon réfracté est aussi peu incliné relativement à l'axe optique principal.
En travaillant dans le triangle , «» car sur le schéma d'où , et ; En travaillant dans le triangle , «»[19] on en déduit ;
en travaillant dans le triangle , car sur le schéma d'où , et en travaillant dans le triangle , «»[19] on en déduit ;
en travaillant dans le triangle , car sur le schéma d'où , et ; en travaillant dans le triangle , «»[19] on en déduit ;
des trois évaluations précédentes et de la relation réécrite selon , on en déduit «» ou, en simplifiant par , des trois évaluations précédentes et de la relation réécrite selon , on en déduit «».
Établissement de la confusion de H et de S à l'ordre un en ω
Établir que [18] peut être confondu avec le sommet du dioptre à l'ordre un en [20] et
réécrire que la relation en tenant compte de cette confusion.
Solution
Montrons que peut être confondu avec à l'ordre un en [21], en évaluant puis à l'ordre deux en , on obtient Montrons que peut être confondu avec à l'ordre un en « à l'ordre deux en »[22] d'où Montrons que peut être confondu avec à l'ordre un en « à l'ordre deux en », soit « à l'ordre deux en » ou finalement Montrons que peut être confondu avec à l'ordre un en « à l'ordre un en » ;
remplaçant par à l'ordre un en dans la relation , on peut, sous les conditions de Gauss[12] de stigmatisme approché[13], la réécrire selon
Conclusion : stigmatisme approché du dioptre sphérique (concave convergent) pour le point objet Ao et relation de conjugaison (approchée) de position de Descartes (avec origine au sommet)
Vérifier que la relation définit, pour un point objet quelconque, un point image unique et en déduire Vérifier le stigmatisme approché du dioptre sphérique[6] pour le point objet ;
Vérifier que la relation pouvant être écrite selon «»[137] où est une constante appelée « vergence » du dioptre sphérique exprimée en dioptries de symbole [26], Vérifier que la relation pouvant être écrite selon «» exprimer en fonction de , et .
Par la suite notant l'abscisse de Descartes[27]avec origine au sommet[138] du point objet et Par la suite notant l'abscisse de Descartes avec origine au sommetcelle du point image , la relation de conjugaison approchée de position ou 1ère relation de conjugaison approchée de Descartes[27] d'un dioptre sphérique se réécrit
«».
Solution
La relation établit le stigmatisme approché du dioptre sphérique[6] « pour tout point objet autre que et »[30] puisque, La relation établit le stigmatisme approché du dioptre sphérique « pour un point objet fixé, le point image est déterminé de façon unique indépendamment des variations des petits angles et .
La relation peut effectivement être écrite sous la forme «»[137] où est une constante définissant la « vergence » du dioptre sphérique selon
Avec les « abscisses de Descartes[27]avec origine au sommet du point objet et du point image », la relation de conjugaison approchée de position ou 1ère relation de conjugaison approchée de Descartes[27] du dioptre sphérique se réécrit
«».
Points pour lesquels la conjugaison du dioptre sphérique est rigoureuse et points doubles
Vérifier, par construction et pour une direction d'axe optique principal préalablement fixée, que le centre et le sommet [5] du dioptre sont des points
Vérifier, par construction et pour une direction d'axe optique principal préalablement fixée, que pour lesquels le dioptre est stigmatique rigoureux et
Vérifier, par construction et pour une direction d'axe optique principal préalablement fixée, que dont l'image est confondue avec l'objet c'est-à-dire des points doubles.
Justifier la raison pour laquelle la relation de conjugaison approchée de position de Descartes[27]avec origine au sommet est applicable à , centre du dioptre, Justifier la raison pour laquelle la relation de conjugaison approchée de position de Descartes avec origine au sommet est applicable à , bien que la conjugaison soit rigoureuse ;
vérifier, en utilisant cette relation, que est effectivement un point double.
Admettant que la relation de conjugaison approchée de position de Descartes[27]avec origine au sommet reste applicable à , sommet du dioptre[139], pour lequel il y a conjugaison rigoureuse, Admettant que la relation de conjugaison approchée de position de Descartes avec origine au sommet reste applicable à , évaluer en fonction de et de puis Admettant que la relation de conjugaison approchée de position de Descartes avec origine au sommet reste applicable à , vérifier, sur cette dernière forme, que Admettant que la relation de conjugaison approchée de position de Descartes avec origine au sommet reste applicable à , vérifier, « est effectivement un point double » et Admettant que la relation de conjugaison approchée de position de Descartes avec origine au sommet reste applicable à , vérifier, « il n'y a pas d'autres points doubles que et ».
Solution
Voir ci-contre les propriétés particulières d'un point objet en ou d'un dioptre sphérique concave convergent[137] :
à gauche tout rayon d'un faisceau incident issu du centre d'un dioptre sphérique concave convergent étant normal au dioptre poursuit son chemin sans changer de direction, donnant un ensemble de rayons transmis divergeant à partir d'un point unique quelle que soit l'ouverture du faisceau incident, c'est-à-dire prouvant que le dioptre sphérique est stigmatique rigoureux pour son centre ; de plus le point image de étant lui-même, ce dernier est un point double ;
à droite tout rayon d'un faisceau incident convergeant sur le sommet d'un dioptre sphérique concave convergent se réfractant à partir du point d'incidence lui-même[140] et l'ensemble des rayons réfractés divergeant à partir d'un point unique quelle que soit l'ouverture du faisceau incident, cela prouve le stigmatisme rigoureux du dioptre sphérique pour son sommet[4] ; de plus le point image de étant lui-même, ce dernier est un point double.
Pour appliquer la relation de conjugaison approchée de position de Descartes[27]avec origine au sommet à , centre du dioptre, bien que la conjugaison soit rigoureuse, il suffit de ne considérer que les rayons paraxiaux du faisceau incident issu de et d'ouverture quelconque[141], condition d'applicabilité de la relation de conjugaison de position de Descartes[27] ;
dans ce cas, si on appelle , l'image du point objet , ce dernier étant d'abscisse objet de Descartes[27]avec origine au sommet «» et dans ce cas, si on appelle l'image du point objet , ce dernier d'abscisse image de Descartes[27]avec origine au sommet «», nous obtenons, dans ce cas, en remplaçant par , «» d'où soit ou prouvant que dans ce cas, en remplaçant par , «» soit ou «» se confond avec et par suite que « est un point double ».
De on tire soit «» ;
De on tire soit «» le point objet en , d'abscisse objet de Descartes[27]avec origine au sommet De on tire soit «» le point objet en , a une image d'abscisse image de Descartes[27]avec origine au sommet, c'est-à-dire De on tire soit «» le point objet en , a une image confondue avec , prouvant que « est bien un point double » ;
les points doubles d'abscisse objet de Descartes[27]avec origine au sommet étant tels que leurs abscisses images de Descartes[27]avec origine au sommet s'écrivant «» avec «» obéissent à l'équation «» qui se décompose en «», les points doubles la 1ère solution donnant sommet du miroir et les points doubles la 2ème équation conduisant à «» c'est-à-dire point double ;
le centre et le sommet d'un dioptre sphérique sont donc les seuls points doubles de ce dernier.
Caractère focal d'un dioptre sphérique, position des foyers principaux objet et image, lien de la vergence et des distances focales objet et image, signe de la vergence
Vérifier, sur la 1ère relation de conjugaison de Descartes[27] d'un dioptre sphérique, que ce dernier est nécessairement « focal »[34] puis déterminer
déterminer la position du foyer principal objet c'est-à-dire le point objet de l'axe optique principal ayant pour image le point à l'infini de cet axe optique principal ou et déterminer la position du foyer principal image c'est-à-dire le point image de l'axe optique principal ayant pour antécédent[35] le point à l'infini de cet axe optique principal ou .
Définissant la distance focale objet comme l'abscisse objet de Descartes[27] du foyer principal objet avec origine au sommet soit «» et Définissant la distance focale image comme l'abscisse image de Descartes[27] du foyer principal image avec origine au sommet soit «»,
déterminer le lien entre vergence , distance focale objet , distance focale image , indice espace objet et indice espace image .
Solution
Un dioptre sphérique est un « système focal » car le point à l'infini de l'axe optique principal n'est pas un point double[142].
Le foyer principal image , repéré par l'abscisse image de Descartes[27]avec origine au sommet Le foyer principal image , étant l'image du point à l'infini de l'axe optique principal, repéré par l'abscisse objet de Descartes[27]avec origine au sommet, Le foyer principal image , étant l'image du point à l'infini de l'axe optique principal, on en déduit soit «».
Le foyer principal objet , repéré par l'abscisse objet de Descartes[27]avec origine au sommet Le foyer principal objet , étant l'antécédent[35] du point à l'infini de l'axe optique principal, repéré par l'abscisse image de Descartes[27]avec origine au sommet, Le foyer principal objet , étant l'antécédent du point à l'infini de l'axe optique principal, on en déduit soit «».
Notion de distances focales objet et image :
la distance focale image étant définie par «» est liée à la vergence par «» ;
la distance focale objet étant définie par «» est liée à la vergence par «» ;
Signe de la vergence suivant la nature concave ou convexe du dioptre sphérique et la valeur de l'indice de l'espace objet comparé à celle de l'espace image, caractère convergent ou divergent du dioptre et nature réelle ou virtuelle des foyers principaux
Déterminer le signe de la vergence suivant la nature « concave » ou « convexe » du dioptre sphérique et du signe de puis
Déterminer son caractère « convergent » ou « divergent » sachant qu'un système focal à « vergence positive » est dit « convergent » et Déterminer son caractère « convergent » ou « divergent » sachant qu'un système focal à « vergence négative » est dit « divergent » ainsi que
Déterminer la nature « réelle » ou « virtuelle » de ses foyers principaux.
Pour terminer, on précisera, dans chacun des quatre cas possibles, les positions absolues des foyers principaux objet et image relativement au centre et au sommet du dioptre considéré.
Solution
De on déduit que la vergence est de signe contraire au rayon de courbure algébrisé du dioptre si la lumière passe d'un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent [144], De on déduit que la vergence est de même signe que le rayon de courbure algébrisé du dioptre si la lumière passe d'un milieu moins réfringent à un milieu plus réfringent [145] ;
on en déduit les quatre possibilités suivant la nature du dioptre sphérique et le signe de :
un dioptre sphérique concave ayant un rayon de courbure algébrisé [146], un dioptre sphérique concave a une vergence si la lumière passe d'un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent [144], c'est un système « convergent », un dioptre sphérique concave a une vergence si la lumière passe d'un milieu moins réfringent à un milieu plus réfringent [145], c'est un système « divergent »,
un dioptre sphérique convexe a un rayon de courbure algébrisé [146], un dioptre sphérique convexe a une vergence si la lumière passe d'un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent [144], c'est un système « divergent », un dioptre sphérique convexe a une vergence si la lumière passe d'un milieu moins réfringent à un milieu plus réfringent [145], c'est un système « convergent ».
De on déduit la nature « réelle ou virtuelle » des foyers principaux objet et image suivant le caractère « convergent ou divergent » du dioptre sphérique :
pour un dioptre sphérique concave convergent «»[147], la distance focale image est entraînant le caractère réel du foyer principal image et pour un dioptre sphérique concave convergent «» , la distance focale objet étant , le foyer principal objet est également réel,
pour un dioptre sphérique concave divergent «»[148], la distance focale image est entraînant le caractère virtuel du foyer principal image et pour un dioptre sphérique concave divergent «» , la distance focale objet étant , le foyer principal objet est également virtuel,
pour un dioptre sphérique convexe divergent «»[149], la distance focale image est entraînant le caractère virtuel du foyer principal image et pour un dioptre sphérique convexe divergent «» , la distance focale objet étant , le foyer principal objet est également virtuel,
pour un dioptre sphérique convexe convergent «»[150], la distance focale image est entraînant le caractère réel du foyer principal image et pour un dioptre sphérique convexe convergent «» , la distance focale objet étant , le foyer principal objet est également réel.
Remarques : Les distances focales objet et image étant, dans les quatre cas possibles, de signe contraire, les foyers principaux objet et image sont situés de part et d'autre de la surface dioptrique, par exemple :
Remarques : pour un dioptre sphérique tel que la lumière passe d'un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent [144], le foyer principal objet est situé à de et Remarques : pour un dioptre sphérique tel que la lumière passe d'un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent , le foyer principal image est situé à de avec
le foyer principal objet est plus éloigné du sommet que le foyer principal image [151] ;
Remarques : pour un dioptre sphérique tel que la lumière passe d'un milieu moins réfringent à un milieu plus réfringent [145], le foyer principal objet est situé à de et Remarques : pour un dioptre sphérique tel que la lumière passe d'un milieu moins réfringent à un milieu plus réfringent , le foyer principal image est situé à de avec
le foyer principal objet est moins éloigné du sommet que le foyer principal image [152].
Aplanétisme approché d'un dioptre sphérique sous conditions de Gauss
On considère un objet linéique transverse de pied tel qu'il y ait stigmatisme approché l'objet linéique transverse [49] admet une image « nette » [52] mais a priori[154] On considère un objet linéique transverse de pied tel qu'il y ait stigmatisme approché l'objet linéique transverse admet une image ni « linéique »[54] ni « transverse ».
On suppose que l'objet linéique transverse [49] est, quand l'objet n'est pas proche du dioptre, vu du sommet du dioptre sous un angle non algébrisé petit c'est-à-dire si et On suppose que l'objet linéique transverse est, quand l'objet est proche du dioptre, vu du centre du dioptre sous un angle non algébrisé petit c'est-à-dire si , On suppose que l'objet linéique transverse est, ces deux exigences constituant les conditions de Gauss[12] d'aplanétisme approché[55] pour un objet linéique transverse[49] quelconque[155].
Remarque : Il existe deux exigences équivalentes pour définir les conditions de Gauss[12] d'aplanétisme approché[55] d'un objet linéique transverse[49] quelconque [57] :
Remarque : si un objet est tel que son pied n'est pas proche du centre du dioptre, il doit être vu du centre sous un angle non algébrisé petit c'est-à-dire si et
Remarque : si un objet est tel que son pied est proche de , il doit être vu du sommet du dioptre sous un angle non algébrisé petit c'est-à-dire si .
Démonstration de l'aplanétisme approché d'un dioptre sphérique concave convergent pour un objet linéique transverse de pied non proche du centre du dioptre et vu de ce centre sous un petit angle
L'objet linéique transverse [49] étant d'abord supposé de pied non proche du centre du dioptre c'est-à-dire , nous considérons l'angle , sous lequel il est vu du centre , petit c'est-à-dire , nous considérons l'angle sous lequel il est vu du sommet , n'étant pas nécessairement petit, la démarche pour établir l'aplanétisme du dioptre pour un tel objet est rendue plus aisée si on utilise la « relation de conjugaison de position ou 1ère relation de conjugaison de Descartes[27]avec origine au centre établie dans la solution de la question plus bas dans cet exercice »[58] à savoir «» où est la vergence précédemment introduite ;
la démarche peut alors être décomposée en les étapes suivantes :
montrer qu'à l'ordre un en , l'objet linéique transverse [49] peut être confondu avec un arc de cercle de centre , d'angle au centre associé ,
en utilisant la relation de conjugaison de position de Descartes[27]avec origine au centre[156], montrer alors que l'image est un arc de cercle de centre et en utilisant la relation de conjugaison de position de Descartes avec origine au centre, vérifier que l'angle au centre associé est encore ,
conclure qu'à l'ordre un en , l'image peut être confondue avec un segment à l'axe optique principal c'est-à-dire qu'elle est linéique transverse[157].
Solution
L'objet linéique transverse [49] étant supposé de pied non proche du centre du dioptre c'est-à-dire , avec l'angle non algébrisé sous lequel il est vu du centre , petit c'est-à-dire ,
le caractère transverse de l'objet linéique la longueur est plus grande que la longueur [60], soit plus précisément « à l'ordre deux en »[22] ou finalement « à l'ordre un en » prouvant, qu'à cet ordre, l'objet linéique transverse [49] peut être confondu avec un arc de cercle de centre , d'angle au centre associé ,
tous les points objet de l'arc de cercle de centre ayant une abscisse objet de Descartes[27]avec origine au centre indépendante de sur l'axe optique secondaire associé de support [61], l'application de la 1ère relation de conjugaison de Descartes[27]avec origine au centre[158] donne donc des points image à abscisse image de Descartes[27]avec origine au centre indépendante de sur l'axe optique secondaire associé de support , c'est-à-dire que l'image est assimilable, à l'ordre un en , à un arc de cercle de centre ,
l'angle non algébrisé sous lequel l'arc de cercle est vu du centre étant petit, on peut faire l'opération inverse de celle faite précédemment pour l'objet , c'est-à-dire assimiler l'arc de cercle de centre à un segment choisi à l'axe optique principal de support [63], c'est-à-dire que l'image est, à l'ordre un en , linéique transverse ;
nous avons donc établi l'aplanétisme approché du dioptre sphériqueconcave convergent[137]pour tout objet linéique de pied non proche du centre du dioptre.
Démonstration de l'aplanétisme approché d'un dioptre sphérique concave convergent pour un objet linéique transverse de pied proche du centre du dioptre et vu du sommet de ce dernier sous un petit angle
L'objet linéique transverse [49] de pied étant maintenant supposé proche du centre du dioptre c'est-à-dire , L'objet linéique transverse de pied nous considérons l'angle , sous lequel il est vu du sommet , petit c'est-à-dire ; la démarche pour établir l'aplanétisme du dioptre pour un tel objet nécessite l'utilisation de deux rayons paraxiaux issus de , point objet quelconque de [159] et la démarche pour établir l'aplanétisme du dioptre pour un tel objet nécessite de montrer que le point image , défini comme l'intersection des deux rayons réfléchis, la démarche pour établir l'aplanétisme du dioptre pour un tel objet nécessite de montrer que le point image , a pour projeté, sur l'axe optique principal, le point image , pour cela :
déterminer l'abscisse image de Descartes[27]avec origine au sommet de en fonction de la distance focale image et déterminer l'abscisse image de Descartes avec origine au sommet de en fonction de l'abscisse objet de Descartes[27]avec origine au sommet de ,
déterminer la longueur algébrique en fonction de et de l'abscisse objet de Descartes[27]avec origine au sommet de ,
travaillant dans le repère orthonormé [160] déterminer l'équation des rayons incidents et [66],
travaillant dans le repère orthonormé [160] déterminer les équations des rayons réfractés, puis leur intersection ;
vérifier que l'abscisse image de Descartes[27]avec origine au sommet du projeté de sur l'axe optique principal est égale à l'abscisse image de Descartes[27]avec origine au sommet de ,
conclure à l'aplanétisme approché du dioptre sphérique concave convergent pour l'objet linéique transverse [49] de pied proche du centre du dioptre.
Solution
Soit un objet linéique transverse[49] de pied , proche du centre du dioptre sphérique concave convergent c'est-à-dire , vu du sommet de ce dernier sous un angle petit c'est-à-dire correspondant à la condition de Gauss[12] d'aplanétisme approché[55] précitée ;
on détermine d'abord l'abscisse image de Descartes[27]avec origine au sommet de , image du point objet d'abscisse objet de Descartes[27]avec origine au sommet, par utilisation de la 1ère relation de conjugaison de Descartes[27] du dioptre sphérique avec origine au sommet[162] de vergence , étant la distance focale image du dioptre d'où :
soit finalement «».
« étant » et «» avec « non algébrisé », on en déduit d'où, avec [19],
«» ;
dans le repère orthonormé [160], le rayon incident issu de de coordonnées [66] étant de pente a pour équation soit finalement «»[69], dans le repère orthonormé , le rayon incident issu de de coordonnées [66] et passant par le foyer principal objet du dioptre sphérique de coordonnées étant de pente a pour équation soit finalement «» ;
dans le même repère orthonormé [160] le rayon réfracté sur le dioptre du rayon incident étant de direction déterminée par la 2ème relation de Snell - Descartes[9] de la réfraction[131]écrite pour de petits angles est de pente [163] d'où l'équation du rayon réfracté correspondant au rayon incident «»[71], dans le même repère orthonormé , le rayon réfracté sur le dioptre du rayon incident étant, à partir du point d'incidence sur le dioptre, à l'axe optique principal, son équation nécessite de déterminer au préalable l'ordonnée de par dans l'équation du rayon incident établie plus haut soit d'où l'équation du rayon réfracté correspondant au rayon incident «» ; dans le même repère orthonormé , l'intersection de ces deux rayons réfractés a pour abscisse image de Descartes[27]avec origine au sommet soit
«» ;
l'abscisse «» de l'intersection de ces deux rayons réfractés est identique à l'abscisse image de Descartes[27]avec origine au sommet «» de ;
le projeté de sur l'axe optique principal se superposant à , l'aplanétisme approché du dioptre sphériqueconcave convergent[137]pour tout objet linéiquede pied proche du centre du dioptre.
Relation de conjugaison (approchée) de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet)
Dès lors qu'un dioptre sphérique est utilisée sous conditions de Gauss[12] de stigmatisme et d'aplanétisme approchés[13],[55], l'usage est de représenter ce dioptre sous une forme symbolique dans laquelle figurent l'axe optique principal, le centre , les foyers principaux objet et image , le sommet et la partie de dioptre en à l'axe optique principal[164]
voir ci-dessous les quatre types de dioptres sphériques à gauche et leur représentation symbolique[165] à droite.
Dioptre sphérique concave convergent passage d'un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent
Représentation symbolique d'un dioptre sphérique concave convergent
Dioptre sphérique concave divergent passage d'un milieu moins réfringent vers un milieu plus réfringent
Représentation symbolique d'un dioptre sphérique concave divergent
Dioptre sphérique convexe divergent passage d'un milieu plus réfringent vers un milieu moins réfringent
Représentation symbolique d'un dioptre sphérique convexe divergent
Dioptre sphérique convexe convergent passage d'un milieu moins réfringent vers un milieu plus réfringent
Représentation symbolique d'un dioptre sphérique convexe convergent
Sur le schéma ci-contre on a construit l'image linéique transverse d'un objet linéique transverse [49] de pied et en considérant deux rayons incidents issus de , l'un passant que le centre du dioptre et qui poursuit dans l'espace image réel sans être dévié[166], l'autre passant par le sommet du dioptre et qui se réfracte en obéissant à la 2ème loi de Snell - Descartes[9] de la réfraction[131],[167], le point d'intersection de ces deux rayons émergents étant le point de convergence de tous les rayons réfractés correspondant à tous les rayons incidents issus de sous conditions de Gauss[12],[168] il suffit de projeter orthogonalement sur l'axe optique principal pour obtenir le point image du point objet [169]
En comparant les triangles rectangles et , déterminer le grandissement transverse par le dioptre de l'objet linéique transverse [49] défini par «» en fonction des abscisses objet et image de Descartes[27]avec origine au sommet ;
la relation établie ci-dessus définit la relation de conjugaison approchée de grandissement transverse ou 2ème relation de conjugaison approchée de Descartes[27]avec origine au sommet pour tout objet linéique transverse[49] de pied [78], elle caractérise quantitativement la propriété d'aplanétisme approché du dioptre sphérique pour l'objet linéique transverse de pied [137].
Solution
Ayant exposé la construction de l'image de l'objet linéique transverse [49] dans l'énoncé de la question pour rappel on positionne comme intersection des rayons réfractés correspondant à deux rayons incidents issus de , le 1er passant par qui est transmis sans déviation[166] et le 2ème de point d'incidence qui se réfracte en suivant une direction faisant l'angle par rapport à l'axe optique principal, la direction du rayon incident, quant à elle, faisant l'angle par rapport à l'axe optique principal telle que [134],[170],[167], puis on projette orthogonalement sur l'axe optique principal pour obtenir [169] ;
le grandissement transverse étant défini par «», on le détermine en exprimant et respectivement dans les triangles rectangles et soit :
«», étant , et [171], comme est [19] on en déduit ;
«», étant , et [172], comme est [19] on en déduit ;
écrivant la 2ème relation de Snell - Descartes[9] de la réfraction[131] pour les petits angles [134] on en déduit «» d'où «» c'est-à-dire la 2ème relation de conjugaisonapprochéeou relation de conjugaisonapprochéede grandissement transversede Descartes[27]avec origine au sommet d'un dioptre sphérique concave convergent[137]
« ou nécessitant avec ».
Remarques : si est le point à l'infini de l'axe optique principal, vaut et l'image du point à l'infini de l'axe optique principal étant le foyer principal image donnant ,
Remarques : si est le foyer principal objet, et vaut l'image du foyer principal objet étant le point à l'infini de l'axe optique principal donnant infini.
Considérant un objet linéique transverse [49] de pied [173] et Considérant la condition d'aplanétisme approché du dioptre pour cet objet c'est-à-dire l'angle non algébrisé sous lequel l'objet est vu du sommet , petit ,
vérifier, par construction de l'image et utilisation de la 2ème relation de Snell - Descartes[9] de réfraction[131] dans les conditions de Gauss[12], qu'elle est se superpose à avec un cœfficient d'agrandissement dépendant du rapport des indices des espaces objet et image,
comparer au résultat donné par l'application de la relation de conjugaison de grandissement transverse ou 2ème relation de conjugaison de Descartes[27]avec origine au sommet établie dans la solution de la 1ère sous question précédente pour un objet linéique transverse[49] de pied [78] en considérant et
en déduire l'applicabilité de la relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2ème relation de conjugaison) de Descartes avec origine en pour un objet linéique transverse de pied .
Considérant maintenant un objet linéique transverse [49] de pied [174] et Considérant la condition d'aplanétisme approché du dioptre pour cet objet c'est-à-dire l'angle non algébrisé sous lequel l'objet est vu du centre , petit [175],
vérifier que l'image se superpose à , le caractère linéique transverse de l'objet entraînant celui de l'image et
en déduire la valeur du grandissement transverse pour un objet linéique transverse[49] de pied puis
vérifier que cette valeur est la limite de celle du grandissement transverse pour un objet linéique transverse[49] de pied quand ce dernier tend vers [176].
Solution
Le centre du dioptre sphérique concave convergent ci-contre en étant un point double conjugué rigoureux, un objet linéique transverse [49] a pour image, par le dioptre, une image de pied , de plus, comme le dioptre sphérique est aplanétique approché pour tout objet de pied quelconque, l'image de , notée , est linéique transverse ; pour obtenir cette dernière il suffit de choisir pour rayon incident issu de , pour obtenir cette dernière il suffit de choisir le rayon passant par le foyer principal objet qui se propage dans l'espace image parallèlement à l'axe optique principal, le point image étant alors l'intersection de ce rayon émergent avec le plan transverse passant par ; on vérifierait graphiquement que
«» et par suite «» ;
l'application de la 2ème relation de conjugaison ou relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes[27]avec origine au sommet établie dans la solution de la 1ère sous question précédente pour un objet linéique transverse[49] de pied [78] nous conduit, en considérant , à «», soit effectivement «».
Tous les points du dioptre sphérique étant des points doubles de ce dernier[177], un objet collé sur le dioptre est donc sa propre image ; dans la mesure où l'objet est de petite taille, on peut négliger sa courbure et le considérer comme linéique transverse, son image étant alors également linéique transverse ;
comme «» on en déduit, par définition, «».
Nous avons établi, dans la solution de la sous question précédente, la valeur du grandissement transverse pour un objet linéique transverse [49] de pied «» ainsi que Nous avons établi, dans la solution de la question « points pour lesquels la conjugaions du dioptre sphérique est rigoureuse et points double » plus haut dans cet exercice, l'expression de en fonction de , de la vergence [178] et de l'indice des espaces image et objet, «» expression déduite de la 1ère relation de conjugaison ou relation de conjugaison de position de Descartes[27]avec origine au sommet soit, en reportant l'expression de la vergence, «» «» , par report dans l'expression de «» précédemment rappelée, « pour un objet linéique transverse [49] de pied » ; on en déduit
quand , et par suite «» d'où le prolongement de l'applicabilité de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes[27]avec origine au sommet à tout objet linéiqua transverse [49] de pied à par levée de l'indétermination[176].
Construction de l'image par un dioptre sphérique d'un objet linéique transverse
Définitions préliminaires : On appelle plan focal objet le plan transverse passant par le foyer principal objet et
Définitions préliminaires : On appelle plan focal image le plan transverse passant par le foyer principal image ;
Définitions préliminaires : on appelle axe optique secondaire tout axe passant par le centre du dioptre, il possède une partie incidence contenue dans l'espace objet réel se prolongeant sans être dévié pour donner sa partie émergente contenue dans l'espace image réelle ;
Définitions préliminaires : on appelle foyer secondaire objet associé à un axe optique secondaire de support l'intersection de cet axe optique secondaire avec le plan focal objet et
Définitions préliminaires : On appelle foyer secondaire image associé à un axe optique secondaire de support l'intersection de cet axe optique secondaire avec le plan focal image.
Propriétés : Justifier les propriétés des foyers secondaires objet et image associés à un axe optique secondaire de support :
le foyer secondaire objet associé à l'axe optique secondaire de support admet pour image le point à l'infini de l'axe optique secondaire soit ,
le foyer secondaire image associé à l'axe optique secondaire de support admet pour antécédent le point à l'infini de l'axe optique secondaire soit .
Solution
Propriétés des foyers secondaires associés à un axe optique secondaire :
propriété du foyer secondaire objet associé à l'axe optique secondaire de support : considérons un objet linéique transverse[49] contenu dans le plan focal objet et de pied , objet noté , ayant pour image le point à l'infini de l'axe optique principal et l'image étant linéique transverse, le point a une image également située à l'infini sur l'axe optique secondaire de support [179], soit effectivement «»,
propriété du foyer secondaire image associé à l'axe optique secondaire de support : considérons un objet dont l'image associée est contenue dans le plan focal image et de pied , image notée , ayant pour antécédent le point à l'infini de l'axe optique principal et le dioptre étant aplanétique, le point a un antécédent également situé à l'infini sur la partie incidente de l'axe optique secondaire de support [180], soit effectivement «».
Considérant un objet linéique transverse [49] réel, de pied séparé du sommet d'un dioptre sphérique concave convergent d'une distance supérieure au rayon non algébrisé du dioptre pour la construction on prendra indice du verre et indice de l'air, construire son image par le dioptre de deux façons différentes :
en considérant deux rayons incidents issus de choisis parmi les trois suivants : passant par , passant par ou à l'axe optique principal,
en considérant un rayon incident issu de [91]choisi parmi les deux suivants : passant par ou à l'axe optique secondaire .
Refaire les constructions précédentes avec un dioptre sphérique concave divergent obtenu en permutant les espaces objet et image.
Solution
En considérant deux rayons incidents issus de choisis parmi les trois suivants voir schéma ci-contre : passant par et se prolongeant sans déviation, passant par foyer principal objet et émergeant dans l'espace image parallèlement à l'axe optique principal, à l'axe optique principal et émergeant dans l'espace image en passant par le foyer principal image , En considérant deux rayons incidents issus de l'image étant à l'intersection des deux rayons réfractés correspondant aux deux rayons incidents choisis, s'obtient en projetant orthogonalement sur l'axe optique principal.
En considérant un rayon incident issu de choisis parmi les deux suivants voir schéma ci-contre à gauche : passant par un foyer secondaire objet point d'intersection du rayon incident et du plan focal objet et émergeant parallèlement à l'axe optique secondaire c'est-à-dire, pour la partie incidente , la partie réfractée en étant le prolongement sans déviation, à un axe optique secondaire a priori quelconque et émergeant en passant par le foyer secondaire image point d'intersection de l'axe optique secondaire et du plan focal image, En considérant un rayon incident issu de l'image étant à l'intersection d'un des rayons réfractés correspondant au rayon incident choisi et de l'axe optique principal, s'obtient comme intersection de l'axe optique secondaire passant par et du plan transverse passant par .
Ci-dessous les constructions refaites sur un dioptre sphérique concave divergent, en considérant deux rayons incidents issus de à gauche puis en utilisant un rayon incident issu de et la notion de foyers secondaires objet ou image à droite :
Construction de l'image par un dioptre sphérique concave divergent d'un objet linéique transverse [49] utilisant deux des trois rayons incidents issus de : passant par , passant par ou à l'axe optique principal
Construction de l'image par un dioptre sphérique concave divergent d'un objet linéique transverse [49] utilisant un des deux incidents issus de : passant par un foyer secondaire objet ou à un axe optique secondaire
Relations de conjugaison de position et de grandissement transverse de Descartes (avec origine au centre) sous conditions de Gauss
On repère maintenant les points objet et image relativement au centre du dioptre sphérique en définissant
l'abscisse objet de Descartes[27]avec origine au centre de par et
l'abscisse image de Descartes[27]avec origine au centre de par ;
à partir de la relation de conjugaison de position ou 1ère relation de conjugaison de Descartes[27]avec origine au sommet[162] et par changement d'origine, établir que la relation de conjugaison de position ou 1ère relation de conjugaison de Descartes[27]avec origine au centre s'écrit
Les relations de conjugaison de Descartes[27]avec origine au centre utilisent comme origine pour repérer un point objet ou un point image sur l'axe optique principal :
l'abscisse objet de Descartes[27]avec origine au centre du point objet notée est liée à son abscisse objet de Descartes[27]avec origine au sommet par ou «» et
l'abscisse image de Descartes[27]avec origine au centre du point image notée est liée à son abscisse image de Descartes[27]avec origine au sommet par ou «» ;
on obtient la 1ère relation de conjugaison approchée de position de Descartes[27]avec origine au centre en reportant les changements d'origine des abscisses objet et image de Descartes[27] précédemment définis, dans la 1ère relation de conjugaison approchée de position de Descartes[27]avec origine au sommet «»[162],[181] soit ou et, en égalant le produit des extrêmes et celui des moyens[94] ou, en développant chaque membre soit, après simplification évidente ou «» et enfin, en divisant les deux membres de l'équation par [95]la raison en étant que l'on cherche à établir une équation faisant intervenir des inverses de longueur à partir d'une équation comportant des produits de deux longueurs «» ; la 1ère relation de conjugaisonapprochéede Descartes[27]avec origine au centre s'écrit donc
«»[182] avec « vergence du dioptre sphérique concave convergent[137] » et «».
Relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2ème relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre)
À partir de la relation de conjugaison de grandissement transverse ou 2ème relation de conjugaison de Descartes[27]avec origine au sommet[183] et par changement d'origine, établir la relation de conjugaison de grandissement transverse ou 2ème relation de conjugaison de Descartes[27]avec origine au centre[98].
En utilisant le schéma ci-contre vérifier directement cette relation.
Solution
La démonstration se fait en partant de la 2ème relation de conjugaison approchée de Descartes[27]avec origine au sommet[183] «»[176] et La démonstration se fait en faisant le changement d'origines exposé dans la solution de la question « relation de conjugaison de position (ou 1ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre) » plus haut dans cet exercice «» soit [184]en effet la 1ère relation de conjugaison de Descartes[27]avec origine au centre «»[185] se réécrit «» d'où la simplification suivante, «» ; la 2ème relation de conjugaisonapprochéede Descartes[27]avec origine au centre s'écrit donc
Ayant construit l'image de l'objet linéique transverse [49] en positionnant comme intersection des rayons émergents correspondants à deux rayons incidents issus de ,
le 1er passant par qui est transmis sans déviation[166] et
le 2ème de point d'incidence qui se réfracte en suivant une direction faisant l'angle par rapport à l'axe optique principal, la direction du rayon incident, quant à elle, faisant l'angle par rapport à l'axe optique principal telle que [134][167],, le point étant le projeté orthogonal du point sur l'axe optique principal ;
le grandissement transverse étant défini par «», on le détermine en exprimant et [103] respectivement dans les triangles rectangles et soit :
égalant et , on en déduit «» d'où «» c'est-à-dire la 2ème relation de conjugaisonapprochéeou relation de conjugaisonapprochéede grandissement transversede Descartes[27]avec origine au centre d'un dioptre sphérique concave convergent[137]
« ou nécessitant avec ».
Remarques : si est le point à l'infini de l'axe optique principal, vaut et l'image du point à l'infini de l'axe optique principal étant le foyer principal image donnant ,
Remarques : si est le foyer principal objet, et vaut l'image du foyer principal objet étant le point à l'infini de l'axe optique principal donnant infini.
Relations de conjugaison de position et de grandissement transverse de Newton sous conditions de Gauss
On repère maintenant le point objet relativement au foyer principal objet du dioptre sphérique et On repère maintenant le point image relativement au foyer principal image du même dioptre sphérique en définissant
À partir de la relation de conjugaison de position ou 1ère relation de conjugaison de Descartes[27]avec origine au sommet[162] et par changement d'origine, établir que la relation de conjugaison de position ou 1ère relation de conjugaison de Newton[106] s'écrit
«»[107] ou «»[187] avec et distances focales image et objet du dioptre.
Solution
Les relations de conjugaison de Newton[106] utilisent comme origine pour repérer un point objet et comme origine pour repérer un point image sur l'axe optique principal :
l'abscisse objet de Newton[106] du point objet notée est liée à son abscisse objet de Descartes[27]avec origine au sommet par ou «»[188] et
l'abscisse image de Newton[106] du point image notée est liée à son abscisse image de Descartes[27]avec origine au sommet par ou «» ;
on obtient la 1ère relation de conjugaison approchée de position de Newton[106] en reportant les changements d'origine des abscisses objet et image de Descartes[27] précédemment définis, dans la 1ère relation de conjugaison approchée de position de Descartes[27]avec origine au sommet «»[162],[108] ou «» la vergence valant [188], soit ou et, en égalant le produit des extrêmes et celui des moyens[94] ou, en développant chaque membre soit, après simplification, «» et enfin, sachant que [188],[189], «» ; la 1ère relation de conjugaisonapprochéede Newton[106] s'écrit
«»[190],[187] avec « distance focale image du dioptre sphérique concave convergent[137] » et «».
Relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2ème relation de conjugaison) de Newton
À partir de la relation de conjugaison de grandissement transverse ou 2ème relation de conjugaison de Descartes[27]avec origine au sommet[183] et par changement d'origine, établir la relation de conjugaison de grandissement transverse ou 2ème relation de conjugaison de Newton[106],[111],[107].
En utilisant le schéma ci-contre avec et vérifier directement les deux formes de cette relation.
Solution
La démonstration se fait en partant de la 2ème relation de conjugaison approchée de Descartes[27]avec origine au sommet[183] «»[176] et La démonstration se fait en faisant le changement d'origines exposé dans la solution de la question « relation de conjugaison de position (ou 1ère relation de conjugaison) de Newton » plus haut dans cet exercice «» soit [191] d'où, comme «»[192] la simplification en [188] c'est-à-dire une 1ère forme de la 2ème relation de conjugaisonapprochéede Newton[106] s'écrivant selon
comme la 1ère relation de conjugaison de Newton[106][194] est équivalente à on en déduit aisément la 2ème forme de la 2ème relation de conjugaisonapprochéede Newton[106]
Ayant construit l'image de l'objet linéique transverse [49] en positionnant comme intersection des rayons réfractés correspondants à deux rayons incidents issus de ,
le 1er passant par qui émerge en parallèlement à l'axe optique principal et
le 2ème à l'axe optique principal qui se réfracte en en passant par , le point étant le projeté orthogonal du point sur l'axe optique principal ;
le grandissement transverse étant défini par «», on le détermine en exprimant et [103] respectivement dans les triangles rectangles et soit :
égalant et , on en déduit «» d'où «» c'est-à-dire une 1ère forme de la 2ème relation de conjugaisonapprochéeou relation de conjugaisonapprochéede grandissement transversede Newton[106] d'un dioptre sphérique concave convergent[137]
« ou nécessitant avec ».
le grandissement transverse «» peut aussi être déterminé en exprimant et [103] respectivement dans les triangles rectangles et soit :
égalant et , on en déduit «» d'où «» c'est-à-dire une 2ème forme de la 2ème relation de conjugaisonapprochéeou relation de conjugaisonapprochéede grandissement transversede Newton[106] d'un dioptre sphérique concave convergent[137]
« ou nécessitant avec ».
Remarques : si est le point à l'infini de l'axe optique principal, vaut et l'image du point à l'infini de l'axe optique principal étant le foyer principal image donnant ,
Remarques : si est le foyer principal objet, et vaut l'image du foyer principal objet étant le point à l'infini de l'axe optique principal donnant infini.
Relations de Lagrange - Helmholtz sous conditions de Gauss
Le grandissement angulaire d'un pinceau lumineux incident issu d'un point objet , de direction faisant un angle avec l'axe optique principal, le pinceau se réfractant sur le dioptre en convergeant vers le point image , avec une direction faisant un angle avec l'axe optique principal, est défini selon
en utilisant le schéma ci-contre, établir l'expression du grandissement angulaire «»[119] en fonction des abscisses objet et image de Descartes[27]avec origine au sommet, respectivement « et »[195].
Solution
On détermine le grandissement angulaire «»[119] par évaluation de
et tous deux sur la figure ci-dessus On détermine le grandissement angulaire «» respectivement dans les triangles et soit :
dans le triangle , «» étant et ou «» soit, avec [19], «» ;
dans le triangle , «» étant , et ou «» soit, avec [19], «» ;
on en déduit alors «» soit, en simplifiant par ,
l'expression du grandissement angulaire en fonction des abscisses objet et image de Descartes[27]avec origine au sommet du couple «».
Établissement de la relation de Lagrange - Helmholtz
Á l'aide de la relation de conjugaison de grandissement transverse ou 2ème relation de conjugaison de Descartes[27]avec origine au sommet[183] et Á l'aide de l'expression du grandissement angulaire dans le même repérage[196],
vérifier la « relation de Lagrange - Helmholtz »[122],[123] «»[197].
Solution
Connaissant le grandissement transvere donné par la 2ème relation de conjugaison ou relation de grandissement transverse de Descartes[27]avec origine au sommet «»[183] et Connaissant l'expression du grandissement angulaire dans le même repérage «»[196], on en déduit le lien entre grandissements angulaire et transverse indépendant de la position du point objet , soit finalement
«» ce qui constitue la « relation de Lagrange - Helmholtz »[122],[123] cherchée[197].
↑ 5,05,1 et 5,2 Si le point objet est sur le miroir, l'axe optique principal associé à ce point objet ayant pour support , joue le rôle de sommet du miroir ; ainsi, dans la mesure où l'axe optique principal n'a pas été préalablement défini, tout point du miroir peut être considéré comme un sommet.
↑ Dès lors que est , l'axe optique principal est parfaitement défini ainsi que le sommet qui est l'intersection de l'axe optique principal et du miroir ; sur le schéma est , ceci entraînant que , l'image éventuelle de par le miroir, est telle que est ; pour traiter le cas correspondant à , ce qui entraînerait que , l'image éventuelle de par le miroir, serait telle que , il suffirait de permuter l'objet et l'image pour retrouver le cas précédent aussi nous nous contenterons de traiter le cas du schéma .
↑ 12,0012,0112,0212,0312,0412,0512,0612,0712,0812,0912,1012,1112,1212,1312,1412,1512,1612,1712,18 et 12,19 En , Gauss, à l'âge de dix-neuf ans, caractérisa presque complètement tous les polygones réguliers constructibles à la règle et au compas et il demanda par la suite qu'un heptadécagonepolygone régulier de côtés soit gravé sur son tombeau ; bien d'autres découvertes de mathématiques lui sont dues dont, en particulier, en la 1ère démonstration de la loi de réciprocité quadratique conjecturée par Euler en un nombre premier est congru à un carré de nombre entier modulo un autre nombre premier, par exemple ou ou encore de même que Leonhard Euler (1707 - 1783) mathématicien et physicien suisse qui passa la plus grande partie de sa vie dans l'Empire russe et en Allemagne ; en mathématiques il fit d'importantes découvertes dans des domaines aussi variés que le calcul infinitésimal et la théorie des graphes, il introduisit également une grande partie de la terminologie et de la notation des mathématiques modernes, en particulier pour l'analyse mathématique, comme la notion de fonction mathématique ; il est aussi connu pour ses travaux en mécanique, en dynamique des fluides, en optique et en astronomie ; dans le domaine de l'astronomie Gauss publia un travail très important sur le mouvement des corps célestes contenant le développement de la méthode des moindres carrés ; auparavant, en , il développa une nouvelle méthode de calcul lui permettant de prédire où doit se trouver Cérèsune planète naine de la ceinture des astéroïdes entre Mars et Jupiter ; dans le domaine de la physique il est l'auteur de deux des quatre équations de Maxwell gérant l'électromagnétisme James Clerk Maxwell (1831 - 1879) physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif permettant de déterminer l'orientation à droite d'un espace tridimensionnel ou le caractère direct d'un triplet de vecteurs a été baptisé « tire-bouchon de Maxwell » en son honneur.
↑ 14,0 et 14,1 Cette relation reste applicable quels que soient les ordres de grandeur de et , elle ne nécessite donc pas de se placer dans les conditions de Gauss de stigmatisme approché.
↑ 15,015,115,2 et 15,3 On utilise la propriété suivante : « dans un triangle, un angle extérieur est égal à la somme des deux autres angles intérieurs » propriété utilisant des angles non algébrisés.
↑ On remarque, sur le schéma, que et sont positifs mais étant négatif, sa valeur absolue s'écrit .
↑ On remarque, sur le schéma, que tous les angles , et sont positifs.
↑ Pour le repérage de Descartes dans un miroir sphérique concave ou convexe, il y a deux origines utilisées : l'origine au sommet qui est la plus fréquemment utilisée et l'origine au centre qui l'est beaucoup moins.
↑ 30,0 et 30,1 pour que l'axe optique principal associé à soit unique et pour que l'abscisse de Descartes avec origine au sommet ne soit pas nulle, ce qui permet à son inverse d'exister
↑ Mais évidemment pas sous la forme «» qui est indéterminée quand on l'applique à , son abscisse objet y étant nulle
↑ Le fait que les autres rayons convergent également en ne modifient en rien la convergence des rayons réfléchis provenant de rayons incidents paraxiaux.
↑ 33,033,1 et 33,2 En effet quand on change le sens d'orientation d'un axe les abscisses sont changées en leurs opposées.
↑ 34,0 et 34,1 Un système « afocal » étant tel que le point à l'infini de l'axe optique principal est un point double, un système sera « focal » si le point à l'infini de l'axe optique principal est conjugué à un point de ce même axe optique principal à distance finie.
↑ Cette coïncidence n'est que géométrique, car ce sont des points d'espaces optiques différents, l'un est dans un espace objet et l'autre dans un espace image.
↑ Pratiquement « la vergence est la valeur de l'invariant », appliquée au couple de points conjugués on trouve et Pratiquement « la vergence est la valeur de l'invariant », appliquée au couple de points conjugués , ; pour mémoire, étant un point double, l'invariant en donne la valeur «».
↑ 39,0 et 39,1 Correspondant au caractère réel respectivement virtuel du centre d'un miroir concave respectivement convexe.
↑ 40,0 et 40,1 Pour un miroir concave respectivement convexe le caractère réel respectivement virtuel du centre avec le fait que la position géométrique commune des foyers principaux est le milieu du segment joignant le centre et le sommet, entraîne le caractère réel respectivement virtuel des foyers principaux objet et image.
↑ 42,042,142,242,3 et 42,4 Fonction de car ce point hors condition de Gauss en dépend effectivement c'est d'ailleurs, en ce qui concerne , le but de cette question.
↑ En effet les angles sont alternes-internes, leurs mesures ont donc mêmes valeurs absolues mais est sur le schéma alors que est .
↑ En effet l'angle que fait avec la partie incidente de l'axe optique principal et celui que fait le rayon réfléchi en avec la en à la partie réfléchie à l'axe optique principal sont alternes-internes, la mesure de la valeur absolue du 1er étant la mesure de sachant qu'il est sur le schéma tout comme .
↑ Toutes les grandeurs étant positives sur le schéma.
↑ L'expression simple du résultat indique qu'il doit y avoir une méthode plus rapide pour sa détermination ; en effet les angles non algébrisés et étant égaux à , le triangle est isocèle la hauteur issue de est aussi médiatrice d'où, en notant son pied, et ce qui est indéniablement plus rapide.
↑ La démonstration de l'absence de stigmatisme rigoureux d'un miroir sphérique concave pour n'importe quel point objet autre que le centre et le sommet de l'axe optique principal pourrait être faite en suivant une démarche analogue.
↑ 50,0 et 50,1 Ce qui signifie que l'axe optique principal a pour support .
↑ C.-à-d. que, pour un point quelconque de , avec la définition de l'axe optique secondaire associé de support cet axe jouant le rôle d'axe optique principal pour le point objet est qualifié de secondaire relativement au point objet , les rayons incidents issus de doivent être paraxiaux peu inclinés relativement à l'axe optique secondaire de support et à point d'incidence restant proche du sommet secondaire , intersection de l'axe optique secondaire de support avec le miroir.
↑ 52,0 et 52,1 L'image est qualifiée de « nette » car tous les points objet ont une image ponctuelle .
↑ 57,0 et 57,1 C'est cette façon que nous adopterons car elle conduit à une démonstration plus rapide de l'aplanétisme.
↑ 58,0 et 58,1 Il est possible de se contenter de la relation de conjugaison de position de Descartes avec origine au sommet mais la méthode est alors moins aisée.
↑ Il y a donc aplanétisme approché du miroir sphérique pour un objet linéique transverse de pied non proche du centre du miroir à condition qu'il soit vu de ce centre sous un petit angle.
↑ 60,0 et 60,1 étant l'hypoténuse du triangle rectangle en et le côté adjacent à l'angle de mesure .
↑ 61,0 et 61,1 Cet axe optique secondaire relativement au point objet est en fait un axe optique principal relativement au point objet .
↑ 63,0 et 63,1 Il s'agit effectivement d'un choix car le segment aurait pu être choisi à n'importe quel axe optique secondaire de support .
↑ Le caractère paraxial étant indispensable pour satisfaire au stigmatisme approché du miroir pour le point objet voir le paragraphe « énoncé des conditions de Gauss de stigmatisme approché d'un système optique centré » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », tous les rayons non paraxiaux issus de seront arrêtés par un diaphragme centré sur ; on vérifie aisément que les rayons incidents et sont deux candidats respectant la paraxialité, par contre le rayon incident pouvant ne pas l'être car est proche de et si tel était le cas il serait alors arrêté par le diaphragme centré en , nous ne l'utiliserons pas.
↑ 65,0 et 65,1 L'axe étant porté par l'axe optique principal, orienté dans le sens incident et l'axe étant porté par la représentation symbolique du miroir orienté vers le haut, l'objet étant lui aussi orienté vers le haut.
↑ 66,066,166,266,366,4 et 66,5 L'abscisse de est évidemment celle de et son ordonnée sera notée l'ordonnée de , variant entre et ; ici intervient une 1ère condition de Gauss d'aplanétisme approché qui assure que le point est suffisamment proche de l'axe optique principal pour que deux rayons incidents judicieusement choisis travaillent dans les conditions de stigmatisme approché.
↑ 67,0 et 67,1 L'axe étant porté par l'axe optique principal, orienté dans le sens réfléchi donc de sens contraire à celui de l'axe et l'axe étant le même que précédemment à savoir porté par la représentation symbolique du miroir et orienté vers le haut.
↑ 69,0 et 69,1 On vérifie sur le schéma que, lorsque est , est .
↑ En effet le rayon réfléchi a une pente opposée à celle du rayon incident dans le repère mais, quand on passe dans le repère correspondant à une inversion du sens de l'axe des abscisses sans que celui de l'axe des ordonnées ne soit changé, la pente doit être multipliée par un facteur d'où le rayon réfléchi a une pente identique à celle du rayon incident la raison étant que les pentes sont définies dans deux repères différents.
↑ 71,0 et 71,1 On vérifie bien sur le schéma que, lorsque est , est .
↑ La position des foyers principaux sont à ajouter au milieu du segment .
↑ Cette partie de miroir en à l'axe optique principal est terminée par des bords inclinés vers , ainsi un miroir concave à centre réel a des bords inclinés vers la gauche c'est-à-dire vers l'espace objet réel et un miroir convexe à centre virtuel a des bords inclinés vers la droite c'est-à-dire vers l'espace objet virtuel.
↑ 74,074,1 et 74,2 En effet le rayon réfléchi doit être issu du point d'incidence du rayon incident et passer par l'image de par le miroir c'est-à-dire lui-même.
↑ 75,075,1 et 75,2 Attention le sommet du miroir est le seul point d'incidence en lequel on peut appliquer la 2ème loi de Snell - Descartes en travaillant sur la représentation symbolique du miroir car c'est le seul point pour lequel la direction de cette représentation symbolique se confond avec la direction réelle du miroir autrement dit c'est le seul point où la normale réelle est à la représentation symbolique, par exemple le rayon incident qui se confond avec la normale réelle du miroir en n'est pas à la représentation symbolique du miroir en .
↑ 77,0 et 77,1 Car le miroir est aplanétique approché pour .
↑ 78,078,178,278,378,4 et 78,5 Elle ne peut évidemment pas s'appliquer sous la forme indiquée pour car elle correspondrait à une forme indéterminée mais on vérifie, dans la solution de la sous question suivante, qu'elle s'applique sous cette forme pour .
↑ Bien que démontrée sur un miroir sphérique concave elle reste applicable à un miroir sphérique convexe.
↑ Il est déconseillé de choisir ce rayon dans les constructions futures demandées car peu pratique l'angle devant être mesuré et reporté symétriquement par rapport à l'axe optique principal ; ici nous le choisissons car il est utilisé dans la démonstration qui suit.
↑ On suppose pour que le triangle puisse être défini.
↑ Ayant suppose et étant un point double on en déduit ce qui définit le triangle .
↑ Le miroir sphérique n'est stigmatique rigoureux que pour le pied de l'objet linéique, pour tous les autres points objet constituant ce dernier on suppose le stigmatisme approché du miroir c'est-à-dire l'utilisation de rayons incidents issus de paraxiaux ce qui peut être réalisé en pratique avec un diaphragme centré en collé contre le miroir.
↑ L'objet, collé contre le miroir sphérique, de pied , l'axe optique principal ayant pour support , ne peut être rigoureusement linéique c'est-à-dire rectiligne car il suit la courbure du miroir mais, s'il est vu de sous un petit angle non algébrisé , on peut confondre l'arc de cercle de centre et le segment correspondant lui étant tangent à l'ordre un en , raison pour laquelle l'objet est qualifié de « linéique transverse » ; le miroir sphérique est stigmatique rigoureux pour tous les points de l'objet linéique car tous ces points, étant sur le miroir, jouent le rôle de sommet secondaire pour lequel le miroir est stigmatique rigoureux.
↑ Qui est aussi la condition pour que l'objet collé sur le miroir puisse être considéré comme linéique.
↑ Le centre est le seul point de l'espace objet d'un miroir sphérique en lequel un objet linéique transverse positionné en ce point admet une image linéique transverse inversée de même taille.
↑ Chaque point du miroir jouant le rôle de sommet pour l'axe optique principal passant par ce point, c'est effectivement un point double.
↑ Le sommet et plus généralement tout point de la surface réfléchissante sphérique est le seul point de l'espace objet d'un miroir sphérique en lequel un objet linéique transverse positionné en ce point admet une image linéique transverse droite de même taille.
↑ En effet le rayon incident issu de et passant par se réfléchit sur lui-même, les parties incidente et réfléchie constituant l'axe optique secondaire de support .
↑ En effet le rayon réfléchi issu de et passant par s'est réfléchi sur lui-même, les parties incidente et réfléchie constituant l'axe optique secondaire de support .
↑ 91,0 et 91,1 Un seul rayon incident suffit car appartenant à l'axe optique principal son image est sur cet axe.
↑ 92,0 et 92,1 Cette relation est applicable à tout point objet de l'axe optique principal, le cas conduisant à une forme indéterminée.
↑ On rappelle que cette relation est applicable en tout point objet autre que le sommet, la vergence valant .
↑ 94,094,194,2 et 94,3 Quand on a l'égalité entre deux fractions les grandeurs sont appelées « extrêmes » et « moyens », l'égalité des deux fractions étant équivalente à c'est-à-dire à l'égalité du produit des extrêmes et celui des moyens on parle encore de l'égalité des produits en croix.
↑ 95,0 et 95,1 Cela nécessite que et c'est-à-dire .
↑ Applicable en tout point objet autre que le centre du miroir ; bien que la relation de conjugaison de position de Descartes avec origine au sommet qui a été utilisée au départ ne soit pas applicable au sommet du miroir, on vérifie aisément que la relation de conjugaison de position de Descartes avec origine au centre est applicable en en effet et d'où .
↑ Applicable en tout point objet autre que le centre du miroir ; bien que la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes avec origine au sommet qui a été utilisée au départ ne soit pas applicable au sommet du miroir, on vérifie aisément que la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes avec origine au centre est applicable en en effet et d'où «».
↑ 107,0107,1107,2 et 107,3 Applicable pour tout point objet et , ces cas conduisant à une forme indéterminée.
↑ 108,0 et 108,1 On rappelle que cette relation est applicable en tout point objet autre que le sommet.
↑ On remplacera une seule fois par pour obtenir une forme symétrique de la relation.
↑ Applicable en tout point objet autre que le foyer principal objet du miroir en effet si est en , l'image est le point à l'infini de l'axe optique principal et on obtient une forme indéterminée avec et valant ; bien que la relation de conjugaison de position de Descartes avec origine au sommet qui a été utilisée au départ ne soit pas applicable au sommet du miroir, on vérifie aisément que la relation de conjugaison de position de Newton est applicable en en effet et d'où .
↑ 111,0 et 111,1 Cette relation a deux formes possibles suivant qu'elle est exprimée en fonction de l'abscisse objet de Newton et de la distance focale objet ou en fonction de l'abscisse image de Newton et de la distance focale image.
↑ 112,0112,1 et 112,2 Applicable en tout point objet ; bien que la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes avec origine au sommet qui a été utilisée au départ ne soit pas applicable au sommet du miroir, on vérifie aisément que cette forme de relation de conjugaison de grandissement transverse de Newton est applicable en en effet respectivement d'où .
↑ Dans toute la solution de cette question représente le point géométrique du foyer principal image et non le point optique, il est donc considéré confondu avec le point géométrique du foyer principal objet.
↑ 115,0 et 115,1 On suppose c'est-à-dire que n'est pas le point à l'infini de l'axe optique principal, pour que le triangle puisse être défini.
↑ Dans toute la solution de cette question représente le point géométrique du foyer principal objet et non le point optique, il est donc considéré confondu avec le point géométrique du foyer principal image.
↑ 117,0 et 117,1 On suppose pour que le triangle puisse être défini.
↑ L'expression du grandissement angulaire est établie en utilisant un miroir sphérique concave mais elle reste applicable pour un miroir sphérique convexe.
↑ 122,0122,1122,2 et 122,3Joseph Louis Lagrange (1736 - 1813) mathématicien, mécanicien et astronome italien, naturalisé français vers la fin du XVIIIème siècle son nom italien était Giuseppe LuigiLagrangia ; on lui doit, entre autres, d'avoir jeté en mathématiques les bases du calcul variationnel, calcul qu'il appliqua en mécanique pour résoudre quelques problèmes propagation du son, corde vibrante, librations de la Lune c'est-à-dire petites variations de son orbite ; en , alors installé à Paris, il publia son livre de mécanique analytique dont le formalisme a permis, un siècle et demi plus tard, l'ébauche de la mécanique quantique, il est aussi l'un des pères du système métrique et de la division décimale des unités ; on remarquera que le domaine de l'optique n'est pas pour Lagrange un domaine privilégié ni pour Helmholtz non plus !
↑ 123,0123,1123,2 et 123,3Hermann Ludwig Ferdinand von Helmholtz (1821 - 1894)physiologiste et physicien allemand, à qui on doit d'importantes contributions dans la perception des sons et des couleurs ainsi que surtout dans le domaine de la thermodynamique ; on remarquera que le domaine de l'optique n'est pas pour Helmholtz un domaine privilégié ni pour Lagrange non plus !
↑ Cette relation est différente de celle établie dans le paragraphe « relation de Lagrange-Helmholtz d'une lentille (sphérique) mince » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » dans laquelle il n'y a aucune réflexion, la relation de Lagrange - Hemholtz s'écrivant alors «» à condition, toutefois, que les espaces image et objet soient de même indice.
↑ Il s'agit de la même relation de Lagrange - Helmholtz que celle explicitée pour un miroir plan mais contrairement à cette dernière dans laquelle les grandissements transverse et angulaire valent respectivement et quelle que soit la position du point objet , dans un miroir sphérique les grandissements transverse et angulaire dépendent explicitement de la position de l'objet , plus la valeur absolue du grandissement transverse est grande plus celle du grandissement angulaire est petite.
↑ Si le dioptre est « concave », est réel, et si le dioptre est « convexe », est virtuel.
↑ 127,0 et 127,1 Supposant l'axe optique principal horizontal, l'espace objet réel étant situé à gauche du dioptre, la partie incidente de l'axe optique principal est orientée dans le sens et l'espace image réelle étant alors situé à droite du dioptre, la partie émergente est orientée dans le même sens ; il est donc inutile de préciser en indice le sens de l'orientation de l'axe optique principal contrairement à ce qui doit être fait dans le cas d'un miroir sphérique.
↑ En précisant la modification des résultats pour un dioptre sphérique des trois autres types.
↑ Si le point objet est sur le dioptre, l'axe optique principal associé à ce point objet ayant pour support , joue le rôle de sommet du dioptre ; ainsi, dans la mesure où l'axe optique principal n'a pas été préalablement défini, tout point du dioptre peut être considéré comme un sommet.
↑ Dès lors que est , l'axe optique principal est parfaitement défini ainsi que le sommet qui est l'intersection de l'axe optique principal et du dioptre.
↑ On remarque, sur le schéma, que et sont positifs mais étant négatif, sa valeur absolue s'écrit .
↑ On remarque, sur le schéma, que est positif mais et étant négatifs, leur valeur absolue s'écrit et .
↑ 134,0134,1134,2 et 134,3 On rappelle que les angles étant petits, la 2ème relation de Snell - Descartes de la réfraction se réécrit en omettant les sinus relation approchée de Kepler. Johannes Kepler (1571 - 1630)ou Johannes Keppler astronome allemand, surtout connu pour avoir étudié l'hypothèse héliocentrique de Nicolas Copernic (1473 - 1543)chanoine, médecin et astronome polonais et avoir découvert que les planètes suivent une trajectoire elliptique autour du Soleil c'est lors de l'étude de l'orbite de Mars qu'il voit la nécessité de se pencher sur l'optique à cause de la réfraction atmosphérique.
↑ Pour le repérage de Descartes dans un dioptre sphérique concave ou convexe, convergent ou divergent, il y a deux origines utilisées : l'origine au sommet qui est la plus fréquemment utilisée et l'origine au centre qui l'est beaucoup moins.
↑ Mais évidemment pas sous la forme «» qui est indéterminée quand on l'applique à , son abscisse objet y étant nulle
↑ En suivant une direction plus rapprochée de l'axe optique principal que ne l'est celle du rayon incident.
↑ Le fait que les autres rayons divergent également à partir de ne modifient en rien la divergence des rayons transmis provenant de rayons incidents paraxiaux.
↑ Pratiquement « la vergence est la valeur de l'invariant », appliquée au couple de points conjugués on trouve et Pratiquement « la vergence est la valeur de l'invariant », appliquée au couple de points conjugués , ; pour mémoire, étant un point double, l'invariant en donne la valeur «».
↑ 144,0144,1144,2 et 144,3 Exemple passage du verre à l'air ou de l'eau à l'air ou encore du verre à l'eau.
↑ 145,0145,1145,2 et 145,3 Exemple passage de l'air au verre ou de l'air à l'eau ou encore de l'eau au verre.
↑ 146,0 et 146,1 Le centre d'un dioptre sphérique concave est réel alors que celui d'un dioptre sphérique convexe est virtuel.
↑ Pour qu'un dioptre concave soit convergent il faut que la lumière passe d'un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent c'est-à-dire .
↑ Pour qu'un dioptre concave soit divergent il faut que la lumière passe d'un milieu moins réfringent à un milieu plus réfringent c'est-à-dire .
↑ Pour qu'un dioptre convexe soit divergent il faut que la lumière passe d'un milieu moins réfringent à un milieu plus réfringent c'est-à-dire .
↑ Pour qu'un dioptre convexe soit convergent il faut que la lumière passe d'un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent c'est-à-dire .
↑ Avec, pour un dioptre concave, du côté de l'espace objet réel c'est-à-dire usuellement à gauche et du côté de l'espace image réelle c'est-à-dire usuellement à droite, Avec, pour un dioptre convexe, du côté de l'espace objet virtuel c'est-à-dire usuellement à droite et du côté de l'espace image virtuelle c'est-à-dire usuellement à gauche.
↑ Avec, pour un dioptre concave, du côté de l'espace objet virtuel c'est-à-dire usuellement à droite et du côté de l'espace image virtuelle c'est-à-dire usuellement à gauche, Avec, pour un dioptre convexe, du côté de l'espace objet réel c'est-à-dire usuellement à gauche et du côté de l'espace image réelle c'est-à-dire usuellement à droite.
↑ C.-à-d. que, pour un point quelconque de , avec la définition de l'axe optique secondaire associé de support cet axe jouant le rôle d'axe optique principal pour le point objet est qualifié de secondaire relativement au point objet , les rayons incidents issus de doivent être paraxiaux peu inclinés relativement à l'axe optique secondaire de support et à point d'incidence restant proche du sommet secondaire , intersection de l'axe optique secondaire de support avec le dioptre.
↑ Il y a donc aplanétisme approché du dioptre sphérique pour un objet linéique transverse de pied non proche du centre du dioptre à condition qu'il soit vu de ce centre sous un petit angle.
↑ Le caractère paraxial étant indispensable pour satisfaire au stigmatisme approché du dioptre pour le point objet voir le paragraphe « énoncé des conditions de Gauss de stigmatisme approché d'un système optique centré » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », tous les rayons non paraxiaux issus de seront arrêtés par un diaphragme centré sur ; on vérifie aisément que les rayons incidents et sont deux candidats respectant la paraxialité, par contre le rayon incident pouvant ne pas l'être car est proche de et si tel était le cas il serait alors arrêté par le diaphragme centré en , nous ne l'utiliserons pas.
↑ 160,0160,1160,2 et 160,3 L'axe étant porté par l'axe optique principal orienté dans le sens incident et l'axe étant porté par la représentation symbolique du dioptre orienté vers le haut, l'objet étant lui aussi orienté vers le haut.
↑ Sur le schéma ci-dessus « la distance focale objet vaut avec et », Sur le schéma ci-dessus « la distance focale image, quant à elle, valant ».
↑ Cette partie de dioptre en à l'axe optique principal est terminée par des bords inclinés vers la droite pour un dioptre convergent et vers la gauche pour un dioptre divergent.
↑ 166,0166,1 et 166,2 En effet le rayon émergent doit être issu du point d'incidence du rayon incident et passer par l'image de par le dioptre c'est-à-dire lui-même.
↑ 167,0167,1 et 167,2 Attention le sommet du dioptre est le seul point d'incidence en lequel on peut appliquer la 2ème loi de Snell - Descartes de la réfraction en travaillant sur la représentation symbolique du dioptre car c'est le seul point pour lequel la direction de cette représentation symbolique se confond avec la direction réelle du dioptre autrement dit c'est le seul point où la normale réelle est à la représentation symbolique, par exemple le rayon incident qui se confond avec la normale réelle du dioptre en n'est pas à la représentation symbolique du dioptre en .
↑ 169,0 et 169,1 Car le dioptre est aplanétique approché pour .
↑ Il est déconseillé de choisir ce rayon dans les constructions futures demandées car peu pratique l'angle devant être mesuré puis l'angle calculé et enfin reporté par rapport à l'axe optique principal ; ici nous l'utilisons dans la démonstration d'où ce choix.
↑ On suppose pour que le triangle puisse être défini.
↑ Ayant supposé et étant un point double on en déduit ce qui définit le triangle .
↑ Le dioptre sphérique n'est stigmatique rigoureux que pour le pied de l'objet linéique, pour tous les autres points objet constituant ce dernier on suppose le stigmatisme approché du dioptre c'est-à-dire l'utilisation de rayons incidents issus de paraxiaux ce qui peut être réalisé en pratique avec un diaphragme centré en collé contre le dioptre.
↑ L'objet, collé contre le dioptre sphérique, de pied , l'axe optique principal ayant pour support , ne peut être rigoureusement linéique c'est-à-dire rectiligne car il suit la courbure du dioptre mais, s'il est vu de sous un petit angle non algébrisé , on peut confondre l'arc de cercle de centre et le segment correspondant lui étant tangent à l'ordre un en , raison pour laquelle l'objet est qualifié de « linéique transverse » ; le dioptre sphérique est stigmatique rigoureux pour tous les points de l'objet linéique car tous ces points, étant sur le dioptre, jouent le rôle de sommet secondaire pour lequel le dioptre est stigmatique rigoureux.
↑ Qui est aussi la condition pour que l'objet collé sur le dioptre puisse être considéré comme linéique.
↑ 176,0176,1176,2 et 176,3 Nous pouvons donc affirmer que la 2ème relation de conjugaison ou relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes avec origine au sommet d'un dioptre sphérique est applicable à tout objet linéiqua transverse de pied ou par levée de l'indétermination.
↑ Chaque point du dioptre jouant le rôle de sommet pour l'axe optique principal passant par ce point, c'est effectivement un point double.
↑ En effet le rayon incident issu de et passant par se prolonge dans l'espace image sans déviation, les parties incidente et émergente constituant l'axe optique secondaire de support .
↑ En effet le rayon émergent issu de et passant par est le prolongement d'un rayon incident sans changement de direction, les parties incidente et émergente constituant l'axe optique secondaire de support .
↑ On rappelle que cette relation est applicable en tout point objet autre que le sommet, la vergence valant .
↑ Applicable en tout point objet autre que le centre du dioptre ; bien que la relation de conjugaison de position de Descartes avec origine au sommet qui a été utilisée au départ ne soit pas applicable au sommet du miroir, on vérifie aisément que la relation de conjugaison de position de Descartes avec origine au centre est applicable en en effet et d'où .
↑ Applicable en tout point objet autre que le centre du dioptre ; bien que la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes avec origine au sommet qui a été utilisée au départ ne soit pas applicable au sommet du dioptre sans levée d'indétermination, on vérifie aisément que la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes avec origine au centre est applicable en en effet et d'où «».
↑ On remplacera une seule fois par pour obtenir une forme symétrique de la relation puis on simplifiera l'équation obtenue par .
↑ Applicable en tout point objet autre que le foyer principal objet du dioptre en effet si est en , l'image est le point à l'infini de l'axe optique principal et on obtient une forme indéterminée avec et valant ; bien que la relation de conjugaison de position de Descartes avec origine au sommet qui a été utilisée au départ ne soit pas applicable au sommet du dioptre sans levée d'indétermination, on vérifie aisément que la relation de conjugaison de position de Newton est applicable en en effet et d'où .
↑ Le but de cette opération étant de faire apparaître, au numérateur et au dénominateur, deux grandeurs égales découlant de la 1ère relation de conjugaison de Newton ou encore «».
↑ Applicable en tout point objet ; bien que la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes avec origine au sommet qui a été utilisée au départ ne soit pas applicable au sommet du dioptre, on vérifie aisément que cette forme de relation de conjugaison de grandissement transverse de Newton est applicable en en effet respectivement d'où .
↑ L'expression du grandissement angulaire est établie en utilisant un dioptre sphérique concave convergent mais elle reste applicable pour tout type de dioptre sphérique.