Signaux physiques (PCSI)/Exercices/Optique géométrique : conditions de Gauss

Optique géométrique : conditions de Gauss
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Exercices no13
Leçon : Signaux physiques (PCSI)
Chapitre du cours : Optique géométrique : conditions de Gauss

Exercices de niveau 14.

Exo préc. :Optique géométrique : miroir plan
Exo suiv. :Optique géométrique : lentilles minces
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Signaux physiques (PCSI)/Exercices/Optique géométrique : conditions de Gauss
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Stigmatisme et aplanétisme approchés d'un miroir sphérique sous conditions de Gauss

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     Pour être défini, un miroir sphérique nécessite la connaissance de :

  • sa nature « concave » ou « convexe »,
  • son centre centre de courbure de la surface sphérique réfléchissante[1],
  • son rayon de courbure non algébrisé rayon de courbure de la surface sphérique réfléchissante,
  • l'axe optique principal dont la partie incidente ou son prolongement passe par et le point objet point objet dont on étudiera l'image éventuelle et
  • son sommet intersection de l'axe optique principal et de la surface réfléchissante.

     Nous adoptons l'algébrisation physique de l'axe optique principal[2] et, pour unifier l'étude des miroirs sphériques, algébrisons le rayon de courbure du miroir selon [2] avec pour conséquence la nature « concave » ou « convexe » du miroir caractérisé par le signe du rayon de courbure algébrisé :

  • si [2], étant à droite de est virtuel, correspondant à un miroir « convexe »,
  • si [2], étant à gauche de est réel, correspondant à un miroir « concave ».

     Dans la suite nous supposerons le miroir sphérique concave[3] et
     Dans la suite nous admettrons qu'il n'y a pas stigmatisme rigoureux du miroir sphérique[4] pour tous les points objet autres que et tous les points du miroir[5].

Démonstration du stigmatisme approché d'un miroir sphérique concave sous conditions de Gauss

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Schéma d'un miroir sphérique concave dans le but d'établir le stigmatisme approché du miroir[6] pour tout point objet autre que et

     Considérant un point objet réel et l'axe optique principal correspondant de support [7], nous envisageons des rayons incidents issus de , peu inclinés par rapport à l'axe optique principal, d'angle d'inclinaison tel que et dont le point d'incidence reste proche du sommet c'est-à-dire tel que l'angle que fait la normale au miroir en dans le sens incident avec la partie incidente de l'axe optique principal est tel que [8].

     Le rayon incident donnant, par utilisation des lois de Snell - Descartes[9] de la réflexion[10],[11], le rayon réfléchi à l'axe optique principal, appelons l'angle d'inclinaison du rayon réfléchi par rapport à la partie réfléchie de l'axe optique principal ; nous nous proposons de démontrer que est indépendant du rayon incident considéré c'est-à-dire indépendant de et de dans la mesure où les conditions de Gauss[12] de stigmatisme approché[13] et sont réalisées.

Établissement de la relation liant θo, θi et ω

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  1. En travaillant dans le triangle établir une 1ère relation entre , angle d'incidence du rayon incident en et ,
  2. en travaillant dans le triangle établir une 2ème relation entre , angle de réflexion du rayon réfléchi en et ,
  3. en utilisant la 2ème loi de Snell - Descartes[9] de la réflexion[11] et les deux relations précédentes, déduire la relation suivante entre , et  :
    «»[14].

Évaluation des angles θo, θi et ω en fonction des abscisses de Ao, Ai et C repérées relativement à H

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     De la relation et des conditions de Gauss[12] de stigmatisme approché[13], montrer que le rayon réfléchi est peu incliné relativement à la partie réfléchie de l'axe optique principal c'est-à-dire .

  1. En travaillant dans le triangle [18] évaluer en fonction, entre autres, de [2] puis, en tenant compte de la petitesse de la valeur absolue de l'angle ,
  2. en travaillant dans le triangle [18] évaluer en fonction, entre autres, de [2] puis, en tenant compte de la petitesse de la valeur absolue de l'angle ,
  3. en travaillant dans le triangle [18] évaluer en fonction, entre autres, de [2] puis, en tenant compte de la petitesse de la valeur absolue de l'angle ,
  4. déduire des trois évaluations précédentes et de la relation , un lien entre «, et »[2] relation .

Établissement de la confusion de H et de S à l'ordre un en ω

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     Établir que [18] peut être confondu avec le sommet du miroir à l'ordre un en [20] et

     réécrire que la relation en tenant compte de cette confusion.

Conclusion : stigmatisme approché du miroir sphérique (concave) pour le point objet Ao et relation de conjugaison (approchée) de position de Descartes (avec origine au sommet)

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     Vérifier que la relation définit, pour un point objet quelconque, un point image unique et en déduire
     Vérifier le stigmatisme approché du miroir sphérique[6] pour le point objet  ;

     Vérifier que la relation pouvant être écrite selon «»[2],[25] est une constante appelée « vergence » du miroir sphérique exprimée en dioptries de symbole [26],
     Vérifier que la relation pouvant être écrite selon «» exprimer en fonction de [2].

     Par la suite notant l'abscisse de Descartes[27] avec origine au sommet[28] du point objet [2] et
       Par la suite notant l'abscisse de Descartes avec origine au sommet celle du point image [2],
     la relation de conjugaison approchée de position ou 1ère relation de conjugaison approchée de Descartes[27] d'un miroir sphérique se réécrit

«»[29].

Points pour lesquels la conjugaison du miroir sphérique est rigoureuse et points doubles

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     Vérifier, par construction et pour une direction d'axe optique principal préalablement fixée, que le centre et le sommet [5] du miroir sont des points
     Vérifier, par construction et pour une direction d'axe optique principal préalablement fixée, que pour lesquels le miroir est stigmatique rigoureux et
     Vérifier, par construction et pour une direction d'axe optique principal préalablement fixée, que dont l'image est confondue avec l'objet c'est-à-dire des points doubles.

     Justifier la raison pour laquelle la relation de conjugaison approchée de position de Descartes[27] avec origine au sommet est applicable à , centre du miroir,
           Justifier la raison pour laquelle la relation de conjugaison approchée de position de Descartes avec origine au sommet est applicable à , bien que la conjugaison soit rigoureuse ;

     vérifier, en utilisant cette relation, que est effectivement un point double.

     Admettant que la relation de conjugaison approchée de position de Descartes[27] avec origine au sommet reste applicable à , sommet du miroir[31], pour lequel il y a conjugaison rigoureuse,
           Admettant que la relation de conjugaison approchée de position de Descartes avec origine au sommet reste applicable à , évaluer en fonction de et de puis
           Admettant que la relation de conjugaison approchée de position de Descartes avec origine au sommet reste applicable à , vérifier, sur cette dernière forme, que
           Admettant que la relation de conjugaison approchée de position de Descartes avec origine au sommet reste applicable à , vérifier, « est effectivement un point double » et
           Admettant que la relation de conjugaison approchée de position de Descartes avec origine au sommet reste applicable à , vérifier, « il n'y a pas d'autres points doubles que et ».

Caractère focal d'un miroir sphérique, position des foyers principaux objet et image, lien de la vergence et des distances focales objet et image

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     Vérifier, sur la 1ère relation de conjugaison de Descartes[27] d'un miroir sphérique, que ce dernier est nécessairement « focal »[34] puis

     déterminer la position du foyer principal objet c'est-à-dire le point objet de l'axe optique principal ayant pour image le point à l'infini de cet axe optique principal ou et
     déterminer la position du foyer principal image c'est-à-dire le point image de l'axe optique principal ayant pour antécédent[35] le point à l'infini de cet axe optique principal ou  ;

     quelle particularité ces deux points possèdent-ils en ce qui concerne leurs positions absolues d'une part et leur position relative d'autre part ?

     Définissant la distance focale objet comme l'abscisse objet de Descartes[27] du foyer principal objet avec origine au sommet soit «»[2] et
     Définissant la distance focale image comme l'abscisse image de Descartes[27] du foyer principal image avec origine au sommet soit «»[2],

     déterminer le lien entre vergence , distance focale objet et distance focale image .

Quelques propriétés découlant du caractère focal d'un miroir sphérique

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Signe de la vergence suivant la nature concave ou convexe du miroir sphérique, caractère convergent ou divergent du miroir et nature réelle ou virtuelle des foyers principaux

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     Déterminer le signe de la vergence suivant la nature « concave » ou « convexe » du miroir sphérique puis

     Déterminer son caractère « convergent » ou « divergent » sachant qu'un système focal à « vergence positive » respectivement « négative » est dit « convergent » respectivement « divergent » et

     Déterminer la nature « réelle » ou « virtuelle » des foyers principaux.

Démonstration de l'absence de conjugaison non rigoureuse du miroir sphérique (concave) pour le point objet à l'infini sur l'axe optique principal

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     En reprenant la démonstration faite dans la solution de la question « démonstration du stigmatisme approché d'un miroir sphérique concave sous conditions de Gauss » plus haut dans cet exercice[41] mais
     En reprenant la démonstration avec situé à l'infini ce qui correspond à et
     En reprenant la démonstration en conservant les notations introduites dans « cette question » à l'exception de qui sera noté [42] et de qui sera noté [42],

     déterminer la position de point de l'axe optique principal par lequel passe le rayon réfléchi correspondant au rayon incident à l'axe optique principal, de point d'incidence [42] et

     vérifier que dépendant effectivement de et par suite
     vérifier qu'il n'y a pas conjugaison rigoureuse du miroir sphérique concave[25] pour le point situé à l'infini de l'axe optique principal.

Aplanétisme approché d'un miroir sphérique sous conditions de Gauss

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     On considère le miroir sphérique concave introduit à la question « démonstration du stigmatisme approché d'un miroir sphérique concave sous conditions de Gauss » plus haut dans cet exercice et
     On considère un objet linéique transverse [49] de pied [50] tel qu'il y ait stigmatisme approché du miroir[6] pour tous les points de [51]

               On considère un objet linéique transverse de pied tel qu'il y ait stigmatisme approché l'objet linéique transverse [49] admet une image « nette » [52] mais a priori[53]
                    On considère un objet linéique transverse de pied tel qu'il y ait stigmatisme approché l'objet linéique transverse admet une image ni « linéique »[54] ni « transverse ».

     On suppose que l'objet linéique transverse [49] est, quand l'objet n'est pas proche du miroir, vu du sommet du miroir sous un angle non algébrisé petit c'est-à-dire si et
          On suppose que l'objet linéique transverse est, quand l'objet est proche du miroir, vu du centre du miroir sous un angle non algébrisé petit c'est-à-dire si ,
          On suppose que l'objet linéique transverse est, ces deux exigences constituant les conditions de Gauss[12] d'aplanétisme approché[55] pour un objet linéique transverse[49] quelconque[56].

     Remarque : Il existe deux exigences équivalentes pour définir les conditions de Gauss[12] d'aplanétisme approché[55] d'un objet linéique transverse[49] quelconque [57] :
     Remarque : si un objet est tel que son pied n'est pas proche du centre du miroir, il doit être vu du centre sous un angle non algébrisé petit c'est-à-dire si et
     Remarque : si un objet est tel que son pied est proche de , il doit être vu du sommet du miroir sous un angle non algébrisé petit c'est-à-dire si .

Démonstration de l'aplanétisme approché d'un miroir sphérique concave pour un objet linéique transverse de pied non proche du centre du miroir et vu de ce centre sous un petit angle

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     L'objet linéique transverse [49] étant d'abord supposé de pied non proche du centre du miroir c'est-à-dire ,
     nous considérons l'angle , sous lequel il est vu du centre , petit c'est-à-dire ,
     nous considérons l'angle sous lequel il est vu du sommet , n'étant pas nécessairement petit,
     la démarche pour établir l'aplanétisme du miroir pour un tel objet est rendue plus aisée si on utilise la « relation de conjugaison de position ou 1ère relation de conjugaison de Descartes[27] avec origine au centre établie dans la solution de la question plus bas dans cet exercice »[58] à savoir «»[2] est la vergence précédemment introduite ;

     la démarche peut alors être décomposée en les étapes suivantes :

  • montrer qu'à l'ordre un en , l'objet linéique transverse [49] peut être confondu avec un arc de cercle de centre , d'angle au centre associé ,
  • en utilisant la relation de conjugaison de position de Descartes[27] avec origine au centredd"> Voir la solution de la question « relation de conjugaison de position (ou 1ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre) » plus bas dans cet exercice.</ref>, montrer alors que l'image est un arc de cercle de centre et
               en utilisant la relation de conjugaison de position de Descartes avec origine au centre, vérifier que l'angle au centre associé est encore ,
  • conclure qu'à l'ordre un en , l'image peut être confondue avec un segment à l'axe optique principal c'est-à-dire qu'elle est linéique transverse[59].

Démonstration de l'aplanétisme approché d'un miroir sphérique concave pour un objet linéique transverse de pied proche du centre du miroir et vu du sommet de ce dernier sous un petit angle

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     L'objet linéique transverse [49] de pied étant maintenant supposé proche du centre du miroir c'est-à-dire ,
          L'objet linéique transverse de pied nous considérons l'angle , sous lequel il est vu du sommet , petit c'est-à-dire  ;
     la démarche pour établir l'aplanétisme du miroir pour un tel objet nécessite l'utilisation de deux rayons paraxiaux issus de , point objet quelconque de [64] et
     la démarche pour établir l'aplanétisme du miroir pour un tel objet nécessite de montrer que le point image , défini comme l'intersection des deux rayons réfléchis,
     la démarche pour établir l'aplanétisme du miroir pour un tel objet nécessite de montrer que le point image , a pour projeté, sur l'axe optique principal, le point image , pour cela :

  • déterminer l'abscisse image de Descartes[27] avec origine au sommet de en fonction de la distance focale image et
         déterminer l'abscisse image de Descartes avec origine au sommet de en fonction de l'abscisse objet de Descartes[27] avec origine au sommet de ,
  • déterminer la longueur algébrique en fonction de et de l'abscisse objet de Descartes[27] avec origine au sommet de ,
  • travaillant dans le repère orthonormé [65] déterminer l'équation des rayons incidents et [66],
  • travaillant dans le repère orthonormé [67] déterminer les équations des rayons réfléchis, puis leur intersection  ;
  • vérifier que l'abscisse image de Descartes[27] avec origine au sommet du projeté de sur l'axe optique principal est égale à l'abscisse image de Descartes[27] avec origine au sommet de ,
  • conclure à l'aplanétisme approché du miroir sphérique pour l'objet linéique transverse [49] de pied proche du centre du miroir.

Relation de conjugaison (approchée) de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet)

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Représentation symbolique sans les foyers d'un miroir sphérique concave à gauche et d'un miroir sphérique convexe à droite

     Dès lors qu'un miroir sphérique est utilisée sous conditions de Gauss[12] de stigmatisme et d'aplanétisme approchés[13],[55], l'usage est de représenter ce miroir sous une forme symbolique dans laquelle figurent

  • l'axe optique principal,
  • le centre ,
  • les foyers principaux objet et image non représentés ci-contre[72],
  • le sommet et
  • la partie de miroir en à l'axe optique principal[73], partie de miroir sur laquelle est rappelée l'algébrisation physique de l'axe optique principal.
Schéma de démonstration de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes[27] avec origine en pour un miroir sphérique concave

     Sur le schéma ci-contre on a construit l'image linéique transverse d'un objet linéique transverse [49] de pied et en considérant deux rayons incidents issus de ,
     l'un passant que le centre du miroir et qui se réfléchit sur lui-même[74],
     l'autre passant par le sommet du miroir et qui se réfléchit en obéissant à la 2ème loi de Snell - Descartes[9] de la réflexion[11],[75],
     le point d'intersection de ces deux rayons réfléchis étant le point de convergence de tous les rayons réfléchis correspondant à tous les rayons incidents issus de sous conditions de Gauss[12],[76],
     il suffit de projeter orthogonalement sur l'axe optique principal pour obtenir le point image du point objet [77].

     En comparant les triangles rectangles et , déterminer le grandissement transverse par le miroir sphérique concave de l'objet linéique transverse [49] défini par «» en fonction des abscisses objet et image de Descartes[27] avec origine au sommet [2] ;

     la relation établie ci-dessus définit la relation de conjugaison approchée de grandissement transverse ou 2ème relation de conjugaison approchée de Descartes[27] avec origine au sommet pour tout objet linéique transverse[49] de pied [78],[29], elle caractérise quantitativement la propriété d'aplanétisme approché du miroir sphérique pour l'objet linéique transverse[49] de pied [79].

     Considérant un objet linéique transverse [49] de pied [83] et
     Considérant la condition d'aplanétisme approché du miroir pour cet objet c'est-à-dire l'angle non algébrisé sous lequel l'objet est vu du sommet , petit ,

  • vérifier, par construction de l'image , qu'elle est symétrique de par rapport à l'axe optique principal et
  • comparer au résultat donné par l'application de la relation de conjugaison de grandissement transverse ou 2ème relation de conjugaison de Descartes[27] avec origine au sommet établie dans la solution de la 1ère sous question précédente pour un objet linéique transverse[49] de pied [78],[29] en considérant .

     Considérant maintenant un objet linéique transverse [49] de pied [84] et
     Considérant la condition d'aplanétisme approché du miroir pour cet objet c'est-à-dire l'angle non algébrisé sous lequel l'objet est vu du centre , petit [85],

  • vérifier que l'image se superpose à , le caractère linéique transverse de l'objet entraînant celui de l'image et
  • en déduire la valeur du grandissement transverse pour un objet linéique transverse[49] de pied .

Construction de l'image par un miroir sphérique d'un objet linéique transverse

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     Définitions préliminaires : On appelle plan focal objet le plan transverse passant par le foyer principal objet et

     Définitions préliminaires : On appelle plan focal image le plan transverse passant par le foyer principal image  ;

     Définitions préliminaires : on appelle axe optique secondaire tout axe passant par le centre du miroir, il possède une partie incidence contenue dans l'espace objet réel se réfléchissant sur elle-même pour donner sa partie émergente contenue dans l'espace image réelle ;

     Définitions préliminaires : on appelle foyer secondaire objet associé à un axe optique secondaire de support l'intersection de cet axe optique secondaire avec le plan focal objet et

     Définitions préliminaires : On appelle foyer secondaire image associé à un axe optique secondaire de support l'intersection de cet axe optique secondaire avec le plan focal image.

     Propriétés : Justifier les propriétés des foyers secondaires objet et image associés à un axe optique secondaire de support  :

  1. le foyer secondaire objet associé à l'axe optique secondaire de support admet pour image le point à l'infini de l'axe optique secondaire soit ,
  2. le foyer secondaire image associé à l'axe optique secondaire de support admet pour antécédent[35] le point à l'infini de l'axe optique secondaire soit .

     Considérant un objet linéique transverse [49] réel, de pied séparé du sommet d'un miroir sphérique concave d'une distance supérieure au rayon non algébrisé du miroir, construire son image par le miroir de deux façons différentes :

  1. en considérant deux rayons incidents issus de choisis parmi les trois suivants : passant par , passant par ou à l'axe optique principal,
  2. en considérant un rayon incident issu de [91] choisi parmi les deux suivants : passant par ou à l'axe optique secondaire .

     Refaire les constructions précédentes avec un miroir convexe.

Relations de conjugaison de position et de grandissement transverse de Descartes (avec origine au centre) sous conditions de Gauss

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Relation de conjugaison de position (ou 1ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre)

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     On repère maintenant les points objet et image relativement au centre du miroir sphérique en définissant

  • l'abscisse objet de Descartes[27] avec origine au centre de par [2] et
  • l'abscisse image de Descartes[27] avec origine au centre de par [2] ;

     à partir de la relation de conjugaison de position ou 1ère relation de conjugaison de Descartes[27] avec origine au sommet[68] et par changement d'origine,
     établir que la relation de conjugaison de position ou 1ère relation de conjugaison de Descartes[27] avec origine au centre s'écrit

«»[2],[92] ou «» avec vergence du miroir.

Relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2ème relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre)

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Schéma de démonstration de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes[27] avec origine en pour un miroir sphérique concave

     À partir de la relation de conjugaison de grandissement transverse ou 2ème relation de conjugaison de Descartes[27] avec origine au sommet[97] et par changement d'origine,
     établir la relation de conjugaison de grandissement transverse ou 2ème relation de conjugaison de Descartes[27] avec origine au centre[98].

     En utilisant le schéma ci-contre vérifier directement cette relation.

Relations de conjugaison de position et de grandissement transverse de Newton sous conditions de Gauss

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     On repère maintenant le point objet relativement au foyer principal objet du miroir sphérique et
     On repère maintenant le point image relativement au foyer principal image du même miroir sphérique en définissant

  • l'abscisse objet de Newton[106] de par «»[2] et
  • l'abscisse image de Newton[106] de par «»[2].

Relation de conjugaison de position (ou 1ère relation de conjugaison) de Newton

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     À partir de la relation de conjugaison de position ou 1ère relation de conjugaison de Descartes[27] avec origine au sommet[68] et par changement d'origine,
     établir que la relation de conjugaison de position ou 1ère relation de conjugaison de Newton[106] s'écrit

«»[2],[107] ou «»[29] avec et distances focales image et objet du miroir.

Relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2ème relation de conjugaison) de Newton

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Schéma de démonstration des deux formes de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Newton[106] pour un miroir sphérique concave

     À partir de la relation de conjugaison de grandissement transverse ou 2ème relation de conjugaison de Descartes[27] avec origine au sommet[97] et par changement d'origine,
     établir la relation de conjugaison de grandissement transverse ou 2ème relation de conjugaison de Newton[106],[111],[107].

     En utilisant le schéma ci-contre vérifier directement les deux formes de cette relation.

Relations de Lagrange - Helmholtz sous conditions de Gauss

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Expression de Descartes (avec origine au sommet) du grandissement angulaire d'un pinceau incident issu d'un point objet

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Schéma de détermination du grandissement angulaire en repérage de Descartes[27] avec origine en pour un miroir sphérique concave

     Le grandissement angulaire d'un pinceau lumineux incident issu d'un point objet , de direction faisant un angle avec la partie incidente de l'axe optique principal, le pinceau se réfléchissant sur le miroir en convergeant vers le point image , avec une direction faisant un angle avec la partie réfléchie de l'axe optique principal, est défini selon

«»[118],[119] ;

     en utilisant le schéma ci-contre, établir l'expression du grandissement angulaire «»[118],[119] en fonction des abscisses objet et image de Descartes[27] avec origine au sommet, respectivement « et »[2],[120].

Établissement de la relation de Lagrange - Helmholtz

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     Á l'aide de la relation de conjugaison de grandissement transverse ou 2ème relation de conjugaison de Descartes[27] avec origine au sommet[97] et
     Á l'aide de l'expression du grandissement angulaire dans le même repérage[121],

vérifier la « relation de Lagrange - Helmholtz »[122],[123]
«»[124].

Stigmatisme et aplanétisme approchés d'un dioptre sphérique sous conditions de Gauss

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     Pour être défini, un dioptre sphérique nécessite la connaissance de :

  • sa nature « concave » ou « convexe »,
  • son centre centre de courbure de la surface sphérique dioptrique[126],
  • son rayon de courbure non algébrisé rayon de courbure de la surface sphérique dioptrique,
  • l'axe optique principal dont la partie incidente ou son prolongement passe par et le point objet point objet dont on étudiera l'image éventuelle,
  • son sommet intersection de l'axe optique principal et de la surface dioptrique et
  • l'indice de l'espace objet réel ainsi que celui de l'espace image réelle .

     Nous adoptons l'algébrisation physique de l'axe optique principal[127] et, pour unifier l'étude des dioptres sphériques, algébrisons le rayon de courbure du dioptre selon [127] avec pour conséquence la nature « concave » ou « convexe » du dioptre caractérisé par le signe du rayon de courbure algébrisé :

  • si , étant à droite de est un point de l'espace objet virtuel, correspondant à un dioptre « convexe »,
  • si , étant à gauche de est un point de l'espace objet réel, correspondant à un dioptre « concave ».

     Dans la suite nous supposerons le dioptre sphérique concave faisant passer d'un espace plus réfringent à un espace moins réfringent figure de gauche de la 1ère ligne de la galerie ci-dessus[128] et
     Dans la suite nous admettrons qu'il n'y a pas stigmatisme rigoureux du dioptre sphérique[4] pour tous les points objet autres que et tous les points du dioptre[129].

Démonstration du stigmatisme approché d'un dioptre sphérique concave convergent sous conditions de Gauss

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Schéma d'un dioptre sphérique concave convergent dans le but d'établir le stigmatisme approché du dioptre[6] pour tout point objet autre que et

     Considérant un point objet réel et l'axe optique principal correspondant de support [130], nous envisageons des rayons incidents issus de , peu inclinés par rapport à l'axe optique principal, d'angle d'inclinaison tel que et dont le point d'incidence reste proche du sommet l'angle que fait la normale au dioptre en avec l'axe optique principal est donc petit en valeur absolue [8].

     Le rayon incident donnant, par utilisation des lois de Snell - Descartes[9] de la réfraction[131], le rayon émergent à l'axe optique principal, appelons l'angle d'inclinaison du rayon réfracté par rapport à l'axe optique principal ; nous nous proposons de démontrer que est indépendant du rayon incident considéré c'est-à-dire indépendant de et de dans la mesure où les conditions de Gauss[12] de stigmatisme approché[13] et sont réalisées.

Établissement de la relation liant θo, θi, ω, no et ni

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  1. En travaillant dans le triangle établir une 1ère relation entre , angle d'incidence du rayon incident en et ,
  2. en travaillant dans le triangle établir une 2ème relation entre , angle de réfraction du rayon émergent en et ,
  3. en utilisant la 2ème loi de Snell - Descartes[9] de la réfraction[131] sous conditions de Gauss[12] et les deux relations précédentes, déduire la relation suivante entre , , , et
    «».

Évaluation des angles θo, θi et ω en fonction des abscisses de Ao, Ai et C repérées relativement à H

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     De la relation et des conditions de Gauss[12] de stigmatisme approché[13], montrer que le rayon réfracté est aussi peu incliné relativement à l'axe optique principal c'est-à-dire .

  1. En travaillant dans le triangle [18] évaluer en fonction, entre autres, de puis, en tenant compte de la petitesse de la valeur absolue de l'angle, ,
  2. en travaillant dans le triangle [18] évaluer en fonction, entre autres, de puis, en tenant compte de la petitesse de la valeur absolue de l'angle, ,
  3. en travaillant dans le triangle [18] évaluer en fonction, entre autres, de puis, en tenant compte de la petitesse de la valeur absolue de l'angle, ,
  4. déduire des trois évaluations précédentes et de la relation , un lien entre , et relation .

Établissement de la confusion de H et de S à l'ordre un en ω

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     Établir que [18] peut être confondu avec le sommet du dioptre à l'ordre un en [20] et

     réécrire que la relation en tenant compte de cette confusion.

Conclusion : stigmatisme approché du dioptre sphérique (concave convergent) pour le point objet Ao et relation de conjugaison (approchée) de position de Descartes (avec origine au sommet)

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     Vérifier que la relation définit, pour un point objet quelconque, un point image unique et en déduire
     Vérifier le stigmatisme approché du dioptre sphérique[6] pour le point objet  ;

     Vérifier que la relation pouvant être écrite selon «»[137] est une constante appelée « vergence » du dioptre sphérique exprimée en dioptries de symbole [26],
     Vérifier que la relation pouvant être écrite selon «» exprimer en fonction de , et .

     Par la suite notant l'abscisse de Descartes[27] avec origine au sommet[138] du point objet et
         Par la suite notant l'abscisse de Descartes avec origine au sommet celle du point image ,
     la relation de conjugaison approchée de position ou 1ère relation de conjugaison approchée de Descartes[27] d'un dioptre sphérique se réécrit

«».

Points pour lesquels la conjugaison du dioptre sphérique est rigoureuse et points doubles

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     Vérifier, par construction et pour une direction d'axe optique principal préalablement fixée, que le centre et le sommet [5] du dioptre sont des points
     Vérifier, par construction et pour une direction d'axe optique principal préalablement fixée, que pour lesquels le dioptre est stigmatique rigoureux et
     Vérifier, par construction et pour une direction d'axe optique principal préalablement fixée, que dont l'image est confondue avec l'objet c'est-à-dire des points doubles.

     Justifier la raison pour laquelle la relation de conjugaison approchée de position de Descartes[27] avec origine au sommet est applicable à , centre du dioptre,
           Justifier la raison pour laquelle la relation de conjugaison approchée de position de Descartes avec origine au sommet est applicable à , bien que la conjugaison soit rigoureuse ;

     vérifier, en utilisant cette relation, que est effectivement un point double.

     Admettant que la relation de conjugaison approchée de position de Descartes[27] avec origine au sommet reste applicable à , sommet du dioptre[139], pour lequel il y a conjugaison rigoureuse,
           Admettant que la relation de conjugaison approchée de position de Descartes avec origine au sommet reste applicable à , évaluer en fonction de et de puis
           Admettant que la relation de conjugaison approchée de position de Descartes avec origine au sommet reste applicable à , vérifier, sur cette dernière forme, que
           Admettant que la relation de conjugaison approchée de position de Descartes avec origine au sommet reste applicable à , vérifier, « est effectivement un point double » et
           Admettant que la relation de conjugaison approchée de position de Descartes avec origine au sommet reste applicable à , vérifier, « il n'y a pas d'autres points doubles que et ».

Caractère focal d'un dioptre sphérique, position des foyers principaux objet et image, lien de la vergence et des distances focales objet et image, signe de la vergence

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Caractère focal d'un dioptre sphérique, définition des foyers principaux objet et image, lien de la vergence avec les distances focales objet et image

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     Vérifier, sur la 1ère relation de conjugaison de Descartes[27] d'un dioptre sphérique, que ce dernier est nécessairement « focal »[34] puis déterminer

     déterminer la position du foyer principal objet c'est-à-dire le point objet de l'axe optique principal ayant pour image le point à l'infini de cet axe optique principal ou et
     déterminer la position du foyer principal image c'est-à-dire le point image de l'axe optique principal ayant pour antécédent[35] le point à l'infini de cet axe optique principal ou .

     Définissant la distance focale objet comme l'abscisse objet de Descartes[27] du foyer principal objet avec origine au sommet soit «» et
     Définissant la distance focale image comme l'abscisse image de Descartes[27] du foyer principal image avec origine au sommet soit «»,

     déterminer le lien entre vergence , distance focale objet , distance focale image , indice espace objet et indice espace image .

Signe de la vergence suivant la nature concave ou convexe du dioptre sphérique et la valeur de l'indice de l'espace objet comparé à celle de l'espace image, caractère convergent ou divergent du dioptre et nature réelle ou virtuelle des foyers principaux

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     Déterminer le signe de la vergence suivant la nature « concave » ou « convexe » du dioptre sphérique et du signe de puis

     Déterminer son caractère « convergent » ou « divergent » sachant qu'un système focal à « vergence positive » est dit « convergent » et
     Déterminer son caractère « convergent » ou « divergent » sachant qu'un système focal à « vergence négative » est dit « divergent » ainsi que

     Déterminer la nature « réelle » ou « virtuelle » de ses foyers principaux.

     Pour terminer, on précisera, dans chacun des quatre cas possibles, les positions absolues des foyers principaux objet et image relativement au centre et au sommet du dioptre considéré.

Aplanétisme approché d'un dioptre sphérique sous conditions de Gauss

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     On considère le dioptre sphérique concave convergent introduit à la question « démonstration du stigmatisme approché d'un dioptre sphérique concave convergent sous conditions de Gauss » plus haut dans cet exercice et
     On considère un objet linéique transverse [49] de pied [50] tel qu'il y ait stigmatisme approché du dioptre[6] pour tous les points de [153]

               On considère un objet linéique transverse de pied tel qu'il y ait stigmatisme approché l'objet linéique transverse [49] admet une image « nette » [52] mais a priori[154]
                    On considère un objet linéique transverse de pied tel qu'il y ait stigmatisme approché l'objet linéique transverse admet une image ni « linéique »[54] ni « transverse ».

     On suppose que l'objet linéique transverse [49] est, quand l'objet n'est pas proche du dioptre, vu du sommet du dioptre sous un angle non algébrisé petit c'est-à-dire si et
          On suppose que l'objet linéique transverse est, quand l'objet est proche du dioptre, vu du centre du dioptre sous un angle non algébrisé petit c'est-à-dire si ,
          On suppose que l'objet linéique transverse est, ces deux exigences constituant les conditions de Gauss[12] d'aplanétisme approché[55] pour un objet linéique transverse[49] quelconque[155].

     Remarque : Il existe deux exigences équivalentes pour définir les conditions de Gauss[12] d'aplanétisme approché[55] d'un objet linéique transverse[49] quelconque [57] :
     Remarque : si un objet est tel que son pied n'est pas proche du centre du dioptre, il doit être vu du centre sous un angle non algébrisé petit c'est-à-dire si et
     Remarque : si un objet est tel que son pied est proche de , il doit être vu du sommet du dioptre sous un angle non algébrisé petit c'est-à-dire si .

Démonstration de l'aplanétisme approché d'un dioptre sphérique concave convergent pour un objet linéique transverse de pied non proche du centre du dioptre et vu de ce centre sous un petit angle

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     L'objet linéique transverse [49] étant d'abord supposé de pied non proche du centre du dioptre c'est-à-dire ,
     nous considérons l'angle , sous lequel il est vu du centre , petit c'est-à-dire ,
     nous considérons l'angle sous lequel il est vu du sommet , n'étant pas nécessairement petit,
     la démarche pour établir l'aplanétisme du dioptre pour un tel objet est rendue plus aisée si on utilise la « relation de conjugaison de position ou 1ère relation de conjugaison de Descartes[27] avec origine au centre établie dans la solution de la question plus bas dans cet exercice »[58] à savoir «» où est la vergence précédemment introduite ;

     la démarche peut alors être décomposée en les étapes suivantes :

  • montrer qu'à l'ordre un en , l'objet linéique transverse [49] peut être confondu avec un arc de cercle de centre , d'angle au centre associé ,
  • en utilisant la relation de conjugaison de position de Descartes[27] avec origine au centre[156], montrer alors que l'image est un arc de cercle de centre et
                 en utilisant la relation de conjugaison de position de Descartes avec origine au centre, vérifier que l'angle au centre associé est encore ,
  • conclure qu'à l'ordre un en , l'image peut être confondue avec un segment à l'axe optique principal c'est-à-dire qu'elle est linéique transverse[157].

Démonstration de l'aplanétisme approché d'un dioptre sphérique concave convergent pour un objet linéique transverse de pied proche du centre du dioptre et vu du sommet de ce dernier sous un petit angle

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     L'objet linéique transverse [49] de pied étant maintenant supposé proche du centre du dioptre c'est-à-dire ,
          L'objet linéique transverse de pied nous considérons l'angle , sous lequel il est vu du sommet , petit c'est-à-dire  ;
     la démarche pour établir l'aplanétisme du dioptre pour un tel objet nécessite l'utilisation de deux rayons paraxiaux issus de , point objet quelconque de [159] et
     la démarche pour établir l'aplanétisme du dioptre pour un tel objet nécessite de montrer que le point image , défini comme l'intersection des deux rayons réfléchis,
     la démarche pour établir l'aplanétisme du dioptre pour un tel objet nécessite de montrer que le point image , a pour projeté, sur l'axe optique principal, le point image , pour cela :

  • déterminer l'abscisse image de Descartes[27] avec origine au sommet de en fonction de la distance focale image et
         déterminer l'abscisse image de Descartes avec origine au sommet de en fonction de l'abscisse objet de Descartes[27] avec origine au sommet de ,
  • déterminer la longueur algébrique en fonction de et de l'abscisse objet de Descartes[27] avec origine au sommet de ,
  • travaillant dans le repère orthonormé [160] déterminer l'équation des rayons incidents et [66],
  • travaillant dans le repère orthonormé [160] déterminer les équations des rayons réfractés, puis leur intersection  ;
  • vérifier que l'abscisse image de Descartes[27] avec origine au sommet du projeté de sur l'axe optique principal est égale à l'abscisse image de Descartes[27] avec origine au sommet de ,
  • conclure à l'aplanétisme approché du dioptre sphérique concave convergent pour l'objet linéique transverse [49] de pied proche du centre du dioptre.

Relation de conjugaison (approchée) de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet)

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     Dès lors qu'un dioptre sphérique est utilisée sous conditions de Gauss[12] de stigmatisme et d'aplanétisme approchés[13],[55], l'usage est de représenter ce dioptre sous une forme symbolique dans laquelle figurent l'axe optique principal, le centre , les foyers principaux objet et image , le sommet et la partie de dioptre en à l'axe optique principal[164]

voir ci-dessous les quatre types de dioptres sphériques à gauche et leur représentation symbolique[165] à droite.



Schéma de démonstration de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes[27] avec origine en pour un dioptre sphérique concave convergent

     Sur le schéma ci-contre on a construit l'image linéique transverse d'un objet linéique transverse [49] de pied et en considérant deux rayons incidents issus de ,
     l'un passant que le centre du dioptre et qui poursuit dans l'espace image réel sans être dévié[166],
     l'autre passant par le sommet du dioptre et qui se réfracte en obéissant à la 2ème loi de Snell - Descartes[9] de la réfraction[131],[167],
     le point d'intersection de ces deux rayons émergents étant le point de convergence de tous les rayons réfractés correspondant à tous les rayons incidents issus de sous conditions de Gauss[12],[168]
     il suffit de projeter orthogonalement sur l'axe optique principal pour obtenir le point image du point objet [169]

     En comparant les triangles rectangles et , déterminer le grandissement transverse par le dioptre de l'objet linéique transverse [49] défini par «» en fonction des abscisses objet et image de Descartes[27] avec origine au sommet  ;

     la relation établie ci-dessus définit la relation de conjugaison approchée de grandissement transverse ou 2ème relation de conjugaison approchée de Descartes[27] avec origine au sommet pour tout objet linéique transverse[49] de pied [78], elle caractérise quantitativement la propriété d'aplanétisme approché du dioptre sphérique pour l'objet linéique transverse de pied [137].

     Considérant un objet linéique transverse [49] de pied [173] et
     Considérant la condition d'aplanétisme approché du dioptre pour cet objet c'est-à-dire l'angle non algébrisé sous lequel l'objet est vu du sommet , petit ,

  • vérifier, par construction de l'image et utilisation de la 2ème relation de Snell - Descartes[9] de réfraction[131] dans les conditions de Gauss[12], qu'elle est se superpose à avec un cœfficient d'agrandissement dépendant du rapport des indices des espaces objet et image,
  • comparer au résultat donné par l'application de la relation de conjugaison de grandissement transverse ou 2ème relation de conjugaison de Descartes[27] avec origine au sommet établie dans la solution de la 1ère sous question précédente pour un objet linéique transverse[49] de pied [78] en considérant et
  • en déduire l'applicabilité de la relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2ème relation de conjugaison) de Descartes avec origine en pour un objet linéique transverse de pied .

     Considérant maintenant un objet linéique transverse [49] de pied [174] et
     Considérant la condition d'aplanétisme approché du dioptre pour cet objet c'est-à-dire l'angle non algébrisé sous lequel l'objet est vu du centre , petit [175],

  • vérifier que l'image se superpose à , le caractère linéique transverse de l'objet entraînant celui de l'image et
  • en déduire la valeur du grandissement transverse pour un objet linéique transverse[49] de pied puis
  • vérifier que cette valeur est la limite de celle du grandissement transverse pour un objet linéique transverse[49] de pied quand ce dernier tend vers [176].

Construction de l'image par un dioptre sphérique d'un objet linéique transverse

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     Définitions préliminaires : On appelle plan focal objet le plan transverse passant par le foyer principal objet et

     Définitions préliminaires : On appelle plan focal image le plan transverse passant par le foyer principal image  ;

     Définitions préliminaires : on appelle axe optique secondaire tout axe passant par le centre du dioptre, il possède une partie incidence contenue dans l'espace objet réel se prolongeant sans être dévié pour donner sa partie émergente contenue dans l'espace image réelle ;

     Définitions préliminaires : on appelle foyer secondaire objet associé à un axe optique secondaire de support l'intersection de cet axe optique secondaire avec le plan focal objet et

     Définitions préliminaires : On appelle foyer secondaire image associé à un axe optique secondaire de support l'intersection de cet axe optique secondaire avec le plan focal image.

     Propriétés : Justifier les propriétés des foyers secondaires objet et image associés à un axe optique secondaire de support  :

  1. le foyer secondaire objet associé à l'axe optique secondaire de support admet pour image le point à l'infini de l'axe optique secondaire soit ,
  2. le foyer secondaire image associé à l'axe optique secondaire de support admet pour antécédent le point à l'infini de l'axe optique secondaire soit .

     Considérant un objet linéique transverse [49] réel, de pied séparé du sommet d'un dioptre sphérique concave convergent d'une distance supérieure au rayon non algébrisé du dioptre pour la construction on prendra indice du verre et indice de l'air, construire son image par le dioptre de deux façons différentes :

  1. en considérant deux rayons incidents issus de choisis parmi les trois suivants : passant par , passant par ou à l'axe optique principal,
  2. en considérant un rayon incident issu de [91] choisi parmi les deux suivants : passant par ou à l'axe optique secondaire .

     Refaire les constructions précédentes avec un dioptre sphérique concave divergent obtenu en permutant les espaces objet et image.

Relations de conjugaison de position et de grandissement transverse de Descartes (avec origine au centre) sous conditions de Gauss

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Relation de conjugaison de position (ou 1ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre)

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     On repère maintenant les points objet et image relativement au centre du dioptre sphérique en définissant

  • l'abscisse objet de Descartes[27] avec origine au centre de par et
  • l'abscisse image de Descartes[27] avec origine au centre de par  ;

     à partir de la relation de conjugaison de position ou 1ère relation de conjugaison de Descartes[27] avec origine au sommet[162] et par changement d'origine,
     établir que la relation de conjugaison de position ou 1ère relation de conjugaison de Descartes[27] avec origine au centre s'écrit

«»[92] ou «» avec vergence du dioptre sphérique.

Relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2ème relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre)

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Schéma de démonstration de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes[27] avec origine en pour un dioptre sphérique concave convergent

     À partir de la relation de conjugaison de grandissement transverse ou 2ème relation de conjugaison de Descartes[27] avec origine au sommet[183] et par changement d'origine,
     établir la relation de conjugaison de grandissement transverse ou 2ème relation de conjugaison de Descartes[27] avec origine au centre[98].

     En utilisant le schéma ci-contre vérifier directement cette relation.

Relations de conjugaison de position et de grandissement transverse de Newton sous conditions de Gauss

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     On repère maintenant le point objet relativement au foyer principal objet du dioptre sphérique et
     On repère maintenant le point image relativement au foyer principal image du même dioptre sphérique en définissant

  • l'abscisse objet de Newton[106] de par «» et
  • l'abscisse image de Newton[106] de par «».

Relation de conjugaison de position (ou 1ère relation de conjugaison) de Newton

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     À partir de la relation de conjugaison de position ou 1ère relation de conjugaison de Descartes[27] avec origine au sommet[162] et par changement d'origine,
     établir que la relation de conjugaison de position ou 1ère relation de conjugaison de Newton[106] s'écrit

«»[107] ou «»[187] avec et distances focales image et objet du dioptre.

Relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2ème relation de conjugaison) de Newton

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Schéma de démonstration des deux formes de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Newton[106] pour un dioptre sphérique concave convergent

     À partir de la relation de conjugaison de grandissement transverse ou 2ème relation de conjugaison de Descartes[27] avec origine au sommet[183] et par changement d'origine,
     établir la relation de conjugaison de grandissement transverse ou 2ème relation de conjugaison de Newton[106],[111],[107].

     En utilisant le schéma ci-contre avec et vérifier directement les deux formes de cette relation.

Relations de Lagrange - Helmholtz sous conditions de Gauss

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Expression de Descartes (avec origine au sommet) du grandissement angulaire d'un pinceau incident issu d'un point objet

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Schéma de détermination du grandissement angulaire en repérage de Descartes[27] avec origine en pour un dioptre sphérique concave convergent

     Le grandissement angulaire d'un pinceau lumineux incident issu d'un point objet , de direction faisant un angle avec l'axe optique principal, le pinceau se réfractant sur le dioptre en convergeant vers le point image , avec une direction faisant un angle avec l'axe optique principal, est défini selon

«»[119] ;

     en utilisant le schéma ci-contre, établir l'expression du grandissement angulaire «»[119] en fonction des abscisses objet et image de Descartes[27] avec origine au sommet, respectivement « et »[195].

Établissement de la relation de Lagrange - Helmholtz

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     Á l'aide de la relation de conjugaison de grandissement transverse ou 2ème relation de conjugaison de Descartes[27] avec origine au sommet[183] et
     Á l'aide de l'expression du grandissement angulaire dans le même repérage[196],

vérifier la « relation de Lagrange - Helmholtz »[122],[123]
«»[197].

Notes et références

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  1. Si le miroir est « concave », est réel, et si le miroir est « convexe », est virtuel.
  2. 2,000 2,001 2,002 2,003 2,004 2,005 2,006 2,007 2,008 2,009 2,010 2,011 2,012 2,013 2,014 2,015 2,016 2,017 2,018 2,019 2,020 2,021 2,022 2,023 2,024 2,025 2,026 2,027 2,028 2,029 2,030 2,031 2,032 2,033 2,034 2,035 2,036 2,037 2,038 2,039 2,040 2,041 2,042 2,043 2,044 2,045 2,046 2,047 2,048 2,049 2,050 2,051 2,052 2,053 2,054 2,055 2,056 2,057 2,058 2,059 2,060 2,061 2,062 2,063 2,064 2,065 2,066 2,067 2,068 2,069 2,070 2,071 2,072 2,073 2,074 2,075 2,076 2,077 2,078 2,079 2,080 2,081 2,082 2,083 2,084 2,085 2,086 2,087 2,088 2,089 2,090 2,091 2,092 2,093 2,094 2,095 2,096 2,097 2,098 2,099 2,100 2,101 2,102 2,103 2,104 2,105 2,106 2,107 2,108 2,109 2,110 2,111 2,112 2,113 2,114 2,115 2,116 2,117 2,118 2,119 2,120 2,121 2,122 2,123 2,124 2,125 2,126 et 2,127 Supposant l'axe optique principal horizontal avec les espaces objets réel et virtuel respectivement situés à gauche et à droite du miroir,
       la partie incidente de l'axe optique principal est orientée dans le sens et tous ses points qu'ils soient réels ou virtuels ont une abscisse comptée à partir d'une origine pouvant être quelconque mesurée dans ce sens, le sens étant rappelé en indice de l'abscisse ;
       la partie réfléchie de l'axe optique principal est alors orientée dans le sens et tous ses points qu'ils soient réels ou virtuels ont une abscisse comptée à partir d'une origine pouvant être quelconque et différente de celle des points de la partie incidente de l'axe mesurée dans ce sens, le sens étant aussi rappelé en indice de l'abscisse ;
       voir les paragraphes « algébrisation physique de l'axe optique principal (associé à un objet ponctuel) » et « repérage d'un point objet ou d'un point image sur l'axe optique principal (surface réfléchissante) » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
  3. En précisant la modification des résultats pour un miroir sphérique convexe.
  4. 4,0 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6 et 4,7 Voir le paragraphe « stigmatisme rigoureux d'un système optique pour un point objet » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
  5. 5,0 5,1 et 5,2 Si le point objet est sur le miroir, l'axe optique principal associé à ce point objet ayant pour support , joue le rôle de sommet du miroir ; ainsi, dans la mesure où l'axe optique principal n'a pas été préalablement défini, tout point du miroir peut être considéré comme un sommet.
  6. 6,0 6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6 et 6,7 Voir le paragraphe « stigmatisme d'un système optique pour un point objet » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
  7. Dès lors que est , l'axe optique principal est parfaitement défini ainsi que le sommet qui est l'intersection de l'axe optique principal et du miroir ;
       sur le schéma est , ceci entraînant que , l'image éventuelle de par le miroir, est telle que est  ;
       pour traiter le cas correspondant à , ce qui entraînerait que , l'image éventuelle de par le miroir, serait telle que , il suffirait de permuter l'objet et l'image pour retrouver le cas précédent aussi nous nous contenterons de traiter le cas du schéma .
  8. 8,0 et 8,1 Les rayons incidents sont donc paraxiaux, conditions de Gauss admises pour que le système recevant ces rayons soit stigmatique approché pour le point objet considéré, voir le paragraphe « énoncé des conditions de Gauss de stigmatisme approché d'un système optique centré » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
  9. 9,00 9,01 9,02 9,03 9,04 9,05 9,06 9,07 9,08 9,09 9,10 et 9,11 Willebrord Snell Van Royen ou Snellius (1580 - 1626) humaniste, mathématicien et physicien néerlandais, semble avoir découvert les lois portant son nom avant Descartes sans que ce soit assuré.
       René Descartes (1596 - 1650) mathématicien, physicien et philosophe français, considéré comme l'un des fondateurs de la philosophie moderne, en physique a contribué à l'optique géométrique et en mathématiques est à l'origine de la géométrie analytique.
  10. Voir le paragraphe « 1ère loi de Snell - Descartes de la réflexion » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
  11. 11,0 11,1 11,2 11,3 et 11,4 Voir le paragraphe « 2ème loi de Snell - Descartes de la réflexion » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
  12. 12,00 12,01 12,02 12,03 12,04 12,05 12,06 12,07 12,08 12,09 12,10 12,11 12,12 12,13 12,14 12,15 12,16 12,17 12,18 et 12,19 En , Gauss, à l'âge de dix-neuf ans, caractérisa presque complètement tous les polygones réguliers constructibles à la règle et au compas et il demanda par la suite qu'un heptadécagone polygone régulier de côtés soit gravé sur son tombeau ; bien d'autres découvertes de mathématiques lui sont dues dont, en particulier, en la 1ère démonstration de la loi de réciprocité quadratique conjecturée par Euler en un nombre premier est congru à un carré de nombre entier modulo un autre nombre premier, par exemple ou ou encore de même que Leonhard Euler (1707 - 1783) mathématicien et physicien suisse qui passa la plus grande partie de sa vie dans l'Empire russe et en Allemagne ; en mathématiques il fit d'importantes découvertes dans des domaines aussi variés que le calcul infinitésimal et la théorie des graphes, il introduisit également une grande partie de la terminologie et de la notation des mathématiques modernes, en particulier pour l'analyse mathématique, comme la notion de fonction mathématique ; il est aussi connu pour ses travaux en mécanique, en dynamique des fluides, en optique et en astronomie ;
       dans le domaine de l'astronomie Gauss publia un travail très important sur le mouvement des corps célestes contenant le développement de la méthode des moindres carrés ; auparavant, en , il développa une nouvelle méthode de calcul lui permettant de prédire où doit se trouver Cérès une planète naine de la ceinture des astéroïdes entre Mars et Jupiter ;
       dans le domaine de la physique il est l'auteur de deux des quatre équations de Maxwell gérant l'électromagnétisme James Clerk Maxwell (1831 - 1879) physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif permettant de déterminer l'orientation à droite d'un espace tridimensionnel ou le caractère direct d'un triplet de vecteurs a été baptisé « tire-bouchon de Maxwell » en son honneur.
  13. 13,00 13,01 13,02 13,03 13,04 13,05 13,06 13,07 13,08 et 13,09 Voir le paragraphe « énoncé des conditions de Gauss de stigmatisme approché d'un système optique centré » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
  14. 14,0 et 14,1 Cette relation reste applicable quels que soient les ordres de grandeur de et , elle ne nécessite donc pas de se placer dans les conditions de Gauss de stigmatisme approché.
  15. 15,0 15,1 15,2 et 15,3 On utilise la propriété suivante : « dans un triangle, un angle extérieur est égal à la somme des deux autres angles intérieurs » propriété utilisant des angles non algébrisés.
  16. On remarque, sur le schéma, que et sont positifs mais étant négatif, sa valeur absolue s'écrit .
  17. On remarque, sur le schéma, que tous les angles , et sont positifs.
  18. 18,0 18,1 18,2 18,3 18,4 18,5 18,6 et 18,7 étant le projeté orthogonal du point d'incidence sur l'axe optique principal.
  19. 19,00 19,01 19,02 19,03 19,04 19,05 19,06 19,07 19,08 19,09 19,10 19,11 19,12 19,13 19,14 et 19,15 Voir le paragraphe « développements limités à l'ordre un de quelques fonctions usuelles » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  20. 20,0 et 20,1 Ceci nécessite que soit un infiniment petit au moins d'ordre deux en .
  21. 21,0 et 21,1 étant considéré comme un infiniment petit d'ordre un.
  22. 22,0 22,1 22,2 et 22,3 Voir le paragraphe « développements limités à l'ordre deux de quelques fonctions usuelles au voisinage de zéro » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  23. Voir aussi la remarque du paragraphe « développements limités à l'ordre un de quelques fonctions usuelles » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  24. Sous cette forme la relation nécessite que le point objet soit sommet du miroir.
  25. 25,00 25,01 25,02 25,03 25,04 25,05 25,06 25,07 25,08 25,09 25,10 25,11 25,12 25,13 25,14 25,15 25,16 et 25,17 Nous admettrons que cette relation ou propriété établie dans le cas d'un miroir sphérique concave est encore applicable, sans modification, à un miroir sphérique convexe.
  26. 26,0 et 26,1 Pour que la vergence s'exprime en dioptries, les abscisses doivent l'être en la dioptrie étant liée au mètre par .
  27. 27,000 27,001 27,002 27,003 27,004 27,005 27,006 27,007 27,008 27,009 27,010 27,011 27,012 27,013 27,014 27,015 27,016 27,017 27,018 27,019 27,020 27,021 27,022 27,023 27,024 27,025 27,026 27,027 27,028 27,029 27,030 27,031 27,032 27,033 27,034 27,035 27,036 27,037 27,038 27,039 27,040 27,041 27,042 27,043 27,044 27,045 27,046 27,047 27,048 27,049 27,050 27,051 27,052 27,053 27,054 27,055 27,056 27,057 27,058 27,059 27,060 27,061 27,062 27,063 27,064 27,065 27,066 27,067 27,068 27,069 27,070 27,071 27,072 27,073 27,074 27,075 27,076 27,077 27,078 27,079 27,080 27,081 27,082 27,083 27,084 27,085 27,086 27,087 27,088 27,089 27,090 27,091 27,092 27,093 27,094 27,095 27,096 27,097 27,098 27,099 27,100 27,101 27,102 27,103 27,104 27,105 27,106 27,107 27,108 27,109 27,110 27,111 27,112 27,113 27,114 27,115 27,116 27,117 27,118 27,119 27,120 27,121 27,122 27,123 27,124 27,125 27,126 27,127 27,128 27,129 27,130 27,131 27,132 27,133 27,134 27,135 27,136 27,137 27,138 27,139 27,140 27,141 27,142 27,143 27,144 27,145 27,146 27,147 27,148 et 27,149 René Descartes (1596 - 1650) mathématicien, physicien et philosophe français, considéré comme l'un des fondateurs de la philosophie moderne, en physique a contribué à l'optique géométrique et en mathématiques est à l'origine de la géométrie analytique.
  28. Pour le repérage de Descartes dans un miroir sphérique concave ou convexe, il y a deux origines utilisées : l'origine au sommet qui est la plus fréquemment utilisée et l'origine au centre qui l'est beaucoup moins.
  29. 29,0 29,1 29,2 29,3 29,4 et 29,5 C.-à-d., comme cela sera vu dans les paragraphes « 1ère relation de conjugaison (ou relation de conjugaison de position) de Descartes », « 1ère relation de conjugaison (ou relation de conjugaison de position) de Newton », « 2ème relation de conjugaison (ou relation de conjugaison de grandissement transverse) de Descartes » et « 2ème relation de conjugaison (ou relation de conjugaison de grandissement transverse) de Newton » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », nous obtenons la même relation de conjugaison approchée de position ou de grandissement transverse de Descartes ou de Newton que celle d'une lentille mince à condition que l'algébrisation de l'axe optique du miroir sphérique soit l'algébrisation physique adoptée dans ce cours revoir le paragraphe « algébrisation physique de l'axe optique principal (associé à un objet ponctuel) » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
  30. 30,0 et 30,1 pour que l'axe optique principal associé à soit unique et
                         pour que l'abscisse de Descartes avec origine au sommet ne soit pas nulle, ce qui permet à son inverse d'exister
  31. Mais évidemment pas sous la forme «» qui est indéterminée quand on l'applique à , son abscisse objet y étant nulle
  32. Le fait que les autres rayons convergent également en ne modifient en rien la convergence des rayons réfléchis provenant de rayons incidents paraxiaux.
  33. 33,0 33,1 et 33,2 En effet quand on change le sens d'orientation d'un axe les abscisses sont changées en leurs opposées.
  34. 34,0 et 34,1 Un système « afocal » étant tel que le point à l'infini de l'axe optique principal est un point double, un système sera « focal » si le point à l'infini de l'axe optique principal est conjugué à un point de ce même axe optique principal à distance finie.
  35. 35,0 35,1 35,2 35,3 35,4 35,5 et 35,6 C.-à-d. pour point objet.
  36. En effet nous avons établi que les seuls points doubles du miroir sphérique sont et , voir la solution de la question « points pour lesquels la conjugaison du miroir sphérique est rigoureuse et points doubles » plus haut dans cet exercice.
  37. Cette coïncidence n'est que géométrique, car ce sont des points d'espaces optiques différents, l'un est dans un espace objet et l'autre dans un espace image.
  38. Pratiquement « la vergence est la valeur de l'invariant », appliquée au couple de points conjugués on trouve et
       Pratiquement « la vergence est la valeur de l'invariant », appliquée au couple de points conjugués ,  ;
       pour mémoire, étant un point double, l'invariant en donne la valeur «».
  39. 39,0 et 39,1 Correspondant au caractère réel respectivement virtuel du centre d'un miroir concave respectivement convexe.
  40. 40,0 et 40,1 Pour un miroir concave respectivement convexe le caractère réel respectivement virtuel du centre avec le fait que la position géométrique commune des foyers principaux est le milieu du segment joignant le centre et le sommet, entraîne le caractère réel respectivement virtuel des foyers principaux objet et image.
  41. Plus exactement dans la solution des questions successives « établissement de la relation liant θo, θi et ω » et « évaluation des angles θo, θi et ω en fonction des abscisses de Ao, Ai et C repérées relativement à H » plus haut dans cet exercice.
  42. 42,0 42,1 42,2 42,3 et 42,4 Fonction de car ce point hors condition de Gauss en dépend effectivement c'est d'ailleurs, en ce qui concerne , le but de cette question.
  43. Voir schéma ci-dessus.
  44. En effet les angles sont alternes-internes, leurs mesures ont donc mêmes valeurs absolues mais est sur le schéma alors que est .
  45. En effet l'angle que fait avec la partie incidente de l'axe optique principal et celui que fait le rayon réfléchi en avec la en à la partie réfléchie à l'axe optique principal sont alternes-internes, la mesure de la valeur absolue du 1er étant la mesure de sachant qu'il est sur le schéma tout comme .
  46. Toutes les grandeurs étant positives sur le schéma.
  47. L'expression simple du résultat indique qu'il doit y avoir une méthode plus rapide pour sa détermination ; en effet les angles non algébrisés et étant égaux à , le triangle est isocèle la hauteur issue de est aussi médiatrice d'où, en notant son pied, et ce qui est indéniablement plus rapide.
  48. La démonstration de l'absence de stigmatisme rigoureux d'un miroir sphérique concave pour n'importe quel point objet autre que le centre et le sommet de l'axe optique principal pourrait être faite en suivant une démarche analogue.
  49. 49,00 49,01 49,02 49,03 49,04 49,05 49,06 49,07 49,08 49,09 49,10 49,11 49,12 49,13 49,14 49,15 49,16 49,17 49,18 49,19 49,20 49,21 49,22 49,23 49,24 49,25 49,26 49,27 49,28 49,29 49,30 49,31 49,32 49,33 49,34 49,35 49,36 49,37 49,38 49,39 49,40 49,41 49,42 49,43 49,44 49,45 49,46 49,47 49,48 49,49 49,50 49,51 49,52 49,53 49,54 49,55 49,56 49,57 49,58 49,59 49,60 49,61 49,62 49,63 49,64 49,65 49,66 49,67 et 49,68 Voir le paragraphe « définition d'un objet linéique transverse » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
  50. 50,0 et 50,1 Ce qui signifie que l'axe optique principal a pour support .
  51. C.-à-d. que, pour un point quelconque de , avec la définition de l'axe optique secondaire associé de support cet axe jouant le rôle d'axe optique principal pour le point objet est qualifié de secondaire relativement au point objet , les rayons incidents issus de doivent être paraxiaux peu inclinés relativement à l'axe optique secondaire de support et à point d'incidence restant proche du sommet secondaire , intersection de l'axe optique secondaire de support avec le miroir.
  52. 52,0 et 52,1 L'image est qualifiée de « nette » car tous les points objet ont une image ponctuelle .
  53. C.-à-d. hors conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché, voir le paragraphe « conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
  54. 54,0 et 54,1 Linéique signifiant « rectiligne ».
  55. 55,0 55,1 55,2 55,3 55,4 55,5 55,6 et 55,7 Voir le paragraphe « conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
  56. C'est cette façon qui a été vue en cours, étant en effet le point de l'axe optique principal appartenant à la face d'entrée du miroir dans le paragraphe « conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
  57. 57,0 et 57,1 C'est cette façon que nous adopterons car elle conduit à une démonstration plus rapide de l'aplanétisme.
  58. 58,0 et 58,1 Il est possible de se contenter de la relation de conjugaison de position de Descartes avec origine au sommet mais la méthode est alors moins aisée.
  59. Il y a donc aplanétisme approché du miroir sphérique pour un objet linéique transverse de pied non proche du centre du miroir à condition qu'il soit vu de ce centre sous un petit angle.
  60. 60,0 et 60,1 étant l'hypoténuse du triangle rectangle en et le côté adjacent à l'angle de mesure .
  61. 61,0 et 61,1 Cet axe optique secondaire relativement au point objet est en fait un axe optique principal relativement au point objet .
  62. Voir la solution de la question « relation de conjugaison de position (ou 1ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre) » plus bas dans cet exercice.
  63. 63,0 et 63,1 Il s'agit effectivement d'un choix car le segment aurait pu être choisi à n'importe quel axe optique secondaire de support .
  64. Le caractère paraxial étant indispensable pour satisfaire au stigmatisme approché du miroir pour le point objet voir le paragraphe « énoncé des conditions de Gauss de stigmatisme approché d'un système optique centré » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », tous les rayons non paraxiaux issus de seront arrêtés par un diaphragme centré sur  ;
       on vérifie aisément que les rayons incidents et sont deux candidats respectant la paraxialité, par contre le rayon incident pouvant ne pas l'être car est proche de et si tel était le cas il serait alors arrêté par le diaphragme centré en , nous ne l'utiliserons pas.
  65. 65,0 et 65,1 L'axe étant porté par l'axe optique principal, orienté dans le sens incident et l'axe étant porté par la représentation symbolique du miroir orienté vers le haut, l'objet étant lui aussi orienté vers le haut.
  66. 66,0 66,1 66,2 66,3 66,4 et 66,5 L'abscisse de est évidemment celle de et son ordonnée sera notée l'ordonnée de , variant entre et  ;
       ici intervient une 1ère condition de Gauss d'aplanétisme approché qui assure que le point est suffisamment proche de l'axe optique principal pour que deux rayons incidents judicieusement choisis travaillent dans les conditions de stigmatisme approché.
  67. 67,0 et 67,1 L'axe étant porté par l'axe optique principal, orienté dans le sens réfléchi donc de sens contraire à celui de l'axe et l'axe étant le même que précédemment à savoir porté par la représentation symbolique du miroir et orienté vers le haut.
  68. 68,0 68,1 68,2 68,3 et 68,4 Voir la solution de la question « conclusion : stigmatisme approché du miroir sphérique (concave) pour le point objet Ao et relation de conjugaison (approchée) de position de Descartes (avec origine au sommet) » plus haut dans cet exercice.
  69. 69,0 et 69,1 On vérifie sur le schéma que, lorsque est , est .
  70. En effet le rayon réfléchi a une pente opposée à celle du rayon incident dans le repère mais, quand on passe dans le repère correspondant à une inversion du sens de l'axe des abscisses sans que celui de l'axe des ordonnées ne soit changé, la pente doit être multipliée par un facteur d'où le rayon réfléchi a une pente identique à celle du rayon incident la raison étant que les pentes sont définies dans deux repères différents.
  71. 71,0 et 71,1 On vérifie bien sur le schéma que, lorsque est , est .
  72. La position des foyers principaux sont à ajouter au milieu du segment .
  73. Cette partie de miroir en à l'axe optique principal est terminée par des bords inclinés vers , ainsi un miroir concave à centre réel a des bords inclinés vers la gauche c'est-à-dire vers l'espace objet réel et un miroir convexe à centre virtuel a des bords inclinés vers la droite c'est-à-dire vers l'espace objet virtuel.
  74. 74,0 74,1 et 74,2 En effet le rayon réfléchi doit être issu du point d'incidence du rayon incident et passer par l'image de par le miroir c'est-à-dire lui-même.
  75. 75,0 75,1 et 75,2 Attention le sommet du miroir est le seul point d'incidence en lequel on peut appliquer la 2ème loi de Snell - Descartes en travaillant sur la représentation symbolique du miroir car c'est le seul point pour lequel la direction de cette représentation symbolique se confond avec la direction réelle du miroir autrement dit c'est le seul point où la normale réelle est à la représentation symbolique, par exemple le rayon incident qui se confond avec la normale réelle du miroir en n'est pas à la représentation symbolique du miroir en .
  76. Car le miroir est stigmatique approché pour .
  77. 77,0 et 77,1 Car le miroir est aplanétique approché pour .
  78. 78,0 78,1 78,2 78,3 78,4 et 78,5 Elle ne peut évidemment pas s'appliquer sous la forme indiquée pour car elle correspondrait à une forme indéterminée mais
       on vérifie, dans la solution de la sous question suivante, qu'elle s'applique sous cette forme pour .
  79. Bien que démontrée sur un miroir sphérique concave elle reste applicable à un miroir sphérique convexe.
  80. Il est déconseillé de choisir ce rayon dans les constructions futures demandées car peu pratique l'angle devant être mesuré et reporté symétriquement par rapport à l'axe optique principal ; ici nous le choisissons car il est utilisé dans la démonstration qui suit.
  81. On suppose pour que le triangle puisse être défini.
  82. Ayant suppose et étant un point double on en déduit ce qui définit le triangle .
  83. Le miroir sphérique n'est stigmatique rigoureux que pour le pied de l'objet linéique, pour tous les autres points objet constituant ce dernier on suppose le stigmatisme approché du miroir c'est-à-dire l'utilisation de rayons incidents issus de paraxiaux ce qui peut être réalisé en pratique avec un diaphragme centré en collé contre le miroir.
  84. L'objet, collé contre le miroir sphérique, de pied , l'axe optique principal ayant pour support , ne peut être rigoureusement linéique c'est-à-dire rectiligne car il suit la courbure du miroir mais, s'il est vu de sous un petit angle non algébrisé , on peut confondre l'arc de cercle de centre et le segment correspondant lui étant tangent à l'ordre un en , raison pour laquelle l'objet est qualifié de « linéique transverse » ;
       le miroir sphérique est stigmatique rigoureux pour tous les points de l'objet linéique car tous ces points, étant sur le miroir, jouent le rôle de sommet secondaire pour lequel le miroir est stigmatique rigoureux.
  85. Qui est aussi la condition pour que l'objet collé sur le miroir puisse être considéré comme linéique.
  86. Le centre est le seul point de l'espace objet d'un miroir sphérique en lequel un objet linéique transverse positionné en ce point admet une image linéique transverse inversée de même taille.
  87. Chaque point du miroir jouant le rôle de sommet pour l'axe optique principal passant par ce point, c'est effectivement un point double.
  88. Le sommet et plus généralement tout point de la surface réfléchissante sphérique est le seul point de l'espace objet d'un miroir sphérique en lequel un objet linéique transverse positionné en ce point admet une image linéique transverse droite de même taille.
  89. En effet le rayon incident issu de et passant par se réfléchit sur lui-même, les parties incidente et réfléchie constituant l'axe optique secondaire de support .
  90. En effet le rayon réfléchi issu de et passant par s'est réfléchi sur lui-même, les parties incidente et réfléchie constituant l'axe optique secondaire de support .
  91. 91,0 et 91,1 Un seul rayon incident suffit car appartenant à l'axe optique principal son image est sur cet axe.
  92. 92,0 et 92,1 Cette relation est applicable à tout point objet de l'axe optique principal, le cas conduisant à une forme indéterminée.
  93. On rappelle que cette relation est applicable en tout point objet autre que le sommet, la vergence valant .
  94. 94,0 94,1 94,2 et 94,3 Quand on a l'égalité entre deux fractions les grandeurs sont appelées « extrêmes » et « moyens », l'égalité des deux fractions étant équivalente à c'est-à-dire à l'égalité du produit des extrêmes et celui des moyens on parle encore de l'égalité des produits en croix.
  95. 95,0 et 95,1 Cela nécessite que et c'est-à-dire .
  96. Applicable en tout point objet autre que le centre du miroir ;
       bien que la relation de conjugaison de position de Descartes avec origine au sommet qui a été utilisée au départ ne soit pas applicable au sommet du miroir, on vérifie aisément que la relation de conjugaison de position de Descartes avec origine au centre est applicable en en effet et d'où .
  97. 97,0 97,1 97,2 97,3 97,4 et 97,5 Voir la solution de la question « relation de conjugaison (approchée) de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet) » plus haut dans cet exercice.
  98. 98,0 et 98,1 Cette relation est applicable à tout objet linéique transverse de pied , le cas conduisant à une forme indéterminée.
  99. 99,0 et 99,1 Applicable en tout point .
  100. Le but de cette avant dernière transformation étant de faire apparaître des inverses de longueur comme celles de la 1ère relation de conjugaison de Descartes avec origine au centre « », voir la solution de la question « relation de conjugaison de position (ou 1ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre) » plus haut dans cet exercice.
  101. Voir la solution de la question « relation de conjugaison de position (ou 1ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre) » plus haut dans cet exercice.
  102. Applicable en tout point objet autre que le centre du miroir ;
       bien que la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes avec origine au sommet qui a été utilisée au départ ne soit pas applicable au sommet du miroir, on vérifie aisément que la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes avec origine au centre est applicable en en effet et d'où « ».
  103. 103,0 103,1 103,2 103,3 103,4 et 103,5 Les angles précités étant non algébrisés.
  104. 104,0 et 104,1 On suppose pour que le triangle puisse être défini.
  105. 105,0 et 105,1 Ayant suppose et étant un point double on en déduit ce qui définit le triangle .
  106. 106,00 106,01 106,02 106,03 106,04 106,05 106,06 106,07 106,08 106,09 106,10 106,11 106,12 106,13 106,14 106,15 106,16 106,17 106,18 106,19 106,20 106,21 106,22 106,23 106,24 106,25 106,26 106,27 106,28 106,29 et 106,30 Isaac Newton (1643 - 1727) philosophe, mathématicien, physicien, astronome, alchimiste et théologien anglais, connu essentiellement de nos jours pour avoir fondé la mécanique classique, pour sa théorie de la gravitation et aussi pour la création du calcul infinitésimal ; en optique il a développé une théorie de la couleur et a aussi inventé un télescope composé d'un miroir primaire concave et d'un miroir secondaire plan, télescope connu de nos jours sous le nom de télescope de Newton.
  107. 107,0 107,1 107,2 et 107,3 Applicable pour tout point objet et , ces cas conduisant à une forme indéterminée.
  108. 108,0 et 108,1 On rappelle que cette relation est applicable en tout point objet autre que le sommet.
  109. On remplacera une seule fois par pour obtenir une forme symétrique de la relation.
  110. Applicable en tout point objet autre que le foyer principal objet du miroir en effet si est en , l'image est le point à l'infini de l'axe optique principal et on obtient une forme indéterminée avec et valant  ;
       bien que la relation de conjugaison de position de Descartes avec origine au sommet qui a été utilisée au départ ne soit pas applicable au sommet du miroir, on vérifie aisément que la relation de conjugaison de position de Newton est applicable en en effet et d'où .
  111. 111,0 et 111,1 Cette relation a deux formes possibles suivant qu'elle est exprimée en fonction de l'abscisse objet de Newton et de la distance focale objet ou en fonction de l'abscisse image de Newton et de la distance focale image.
  112. 112,0 112,1 et 112,2 Applicable en tout point objet ;
       bien que la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes avec origine au sommet qui a été utilisée au départ ne soit pas applicable au sommet du miroir, on vérifie aisément que cette forme de relation de conjugaison de grandissement transverse de Newton est applicable en en effet respectivement d'où .
  113. Voir la solution de la question « relation de conjugaison de position (ou 1ère relation de conjugaison) de Newton » plus haut dans cet exercice.
  114. Dans toute la solution de cette question représente le point géométrique du foyer principal image et non le point optique, il est donc considéré confondu avec le point géométrique du foyer principal objet.
  115. 115,0 et 115,1 On suppose c'est-à-dire que n'est pas le point à l'infini de l'axe optique principal, pour que le triangle puisse être défini.
  116. Dans toute la solution de cette question représente le point géométrique du foyer principal objet et non le point optique, il est donc considéré confondu avec le point géométrique du foyer principal image.
  117. 117,0 et 117,1 On suppose pour que le triangle puisse être défini.
  118. 118,0 118,1 et 118,2 Voir le paragraphe « définition du grandissement angulaire d'un pinceau lumineux issu d'un point objet » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
  119. 119,0 119,1 119,2 119,3 119,4 et 119,5 Les angles et sont de valeur absolue petite c'est-à-dire et .
  120. L'expression du grandissement angulaire est établie en utilisant un miroir sphérique concave mais elle reste applicable pour un miroir sphérique convexe.
  121. 121,0 et 121,1 Voir la solution de la question « expression de Descartes (avec origine au sommet) du grandissement angulaire d'un pinceau incident issu d'un point objet » plus haut dans cet exercice.
  122. 122,0 122,1 122,2 et 122,3 Joseph Louis Lagrange (1736 - 1813) mathématicien, mécanicien et astronome italien, naturalisé français vers la fin du XVIIIème siècle son nom italien était Giuseppe Luigi Lagrangia ;
       on lui doit, entre autres, d'avoir jeté en mathématiques les bases du calcul variationnel, calcul qu'il appliqua en mécanique pour résoudre quelques problèmes propagation du son, corde vibrante, librations de la Lune c'est-à-dire petites variations de son orbite ;
       en , alors installé à Paris, il publia son livre de mécanique analytique dont le formalisme a permis, un siècle et demi plus tard, l'ébauche de la mécanique quantique, il est aussi l'un des pères du système métrique et de la division décimale des unités ;
       on remarquera que le domaine de l'optique n'est pas pour Lagrange un domaine privilégié ni pour Helmholtz non plus !
  123. 123,0 123,1 123,2 et 123,3 Hermann Ludwig Ferdinand von Helmholtz (1821 - 1894) physiologiste et physicien allemand, à qui on doit d'importantes contributions dans la perception des sons et des couleurs ainsi que surtout dans le domaine de la thermodynamique ;
       on remarquera que le domaine de l'optique n'est pas pour Helmholtz un domaine privilégié ni pour Lagrange non plus !
  124. Cette relation est différente de celle établie dans le paragraphe « relation de Lagrange-Helmholtz d'une lentille (sphérique) mince » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » dans laquelle il n'y a aucune réflexion, la relation de Lagrange - Hemholtz s'écrivant alors «» à condition, toutefois, que les espaces image et objet soient de même indice.
  125. Il s'agit de la même relation de Lagrange - Helmholtz que celle explicitée pour un miroir plan mais contrairement à cette dernière dans laquelle les grandissements transverse et angulaire valent respectivement et quelle que soit la position du point objet , dans un miroir sphérique les grandissements transverse et angulaire dépendent explicitement de la position de l'objet , plus la valeur absolue du grandissement transverse est grande plus celle du grandissement angulaire est petite.
  126. Si le dioptre est « concave », est réel, et si le dioptre est « convexe », est virtuel.
  127. 127,0 et 127,1 Supposant l'axe optique principal horizontal, l'espace objet réel étant situé à gauche du dioptre, la partie incidente de l'axe optique principal est orientée dans le sens et l'espace image réelle étant alors situé à droite du dioptre, la partie émergente est orientée dans le même sens  ; il est donc inutile de préciser en indice le sens de l'orientation de l'axe optique principal contrairement à ce qui doit être fait dans le cas d'un miroir sphérique.
  128. En précisant la modification des résultats pour un dioptre sphérique des trois autres types.
  129. Si le point objet est sur le dioptre, l'axe optique principal associé à ce point objet ayant pour support , joue le rôle de sommet du dioptre ; ainsi, dans la mesure où l'axe optique principal n'a pas été préalablement défini, tout point du dioptre peut être considéré comme un sommet.
  130. Dès lors que est , l'axe optique principal est parfaitement défini ainsi que le sommet qui est l'intersection de l'axe optique principal et du dioptre.
  131. 131,0 131,1 131,2 131,3 131,4 131,5 et 131,6 Voir le paragraphe « 2ème loi de Snell - Descartes de la réfraction » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
  132. On remarque, sur le schéma, que et sont positifs mais étant négatif, sa valeur absolue s'écrit .
  133. On remarque, sur le schéma, que est positif mais et étant négatifs, leur valeur absolue s'écrit et .
  134. 134,0 134,1 134,2 et 134,3 On rappelle que les angles étant petits, la 2ème relation de Snell - Descartes de la réfraction se réécrit en omettant les sinus relation approchée de Kepler.
       Johannes Kepler (1571 - 1630) ou Johannes Keppler astronome allemand, surtout connu pour avoir étudié l'hypothèse héliocentrique de Nicolas Copernic (1473 - 1543) chanoine, médecin et astronome polonais et avoir découvert que les planètes suivent une trajectoire elliptique autour du Soleil c'est lors de l'étude de l'orbite de Mars qu'il voit la nécessité de se pencher sur l'optique à cause de la réfraction atmosphérique.
  135. Combinaison Linéaire.
  136. Sous cette forme la relation nécessite que le point objet soit sommet du dioptre.
  137. 137,00 137,01 137,02 137,03 137,04 137,05 137,06 137,07 137,08 137,09 137,10 137,11 137,12 137,13 137,14 et 137,15 Nous admettrons que cette relation ou propriété établie dans le cas d'un dioptre sphérique concave convergent est encore applicable, sans modification, à un dioptre sphérique concave divergent ou à un dioptre sphérique convexe convergent ou divergent.
  138. Pour le repérage de Descartes dans un dioptre sphérique concave ou convexe, convergent ou divergent, il y a deux origines utilisées : l'origine au sommet qui est la plus fréquemment utilisée et l'origine au centre qui l'est beaucoup moins.
  139. Mais évidemment pas sous la forme «» qui est indéterminée quand on l'applique à , son abscisse objet y étant nulle
  140. En suivant une direction plus rapprochée de l'axe optique principal que ne l'est celle du rayon incident.
  141. Le fait que les autres rayons divergent également à partir de ne modifient en rien la divergence des rayons transmis provenant de rayons incidents paraxiaux.
  142. En effet nous avons établi que les seuls points doubles du dioptre sphérique sont et , voir la solution de la question « points pour lesquels la conjugaison du dioptre sphérique est rigoureuse et points doubles » plus haut dans cet exercice.
  143. Pratiquement « la vergence est la valeur de l'invariant », appliquée au couple de points conjugués on trouve et
       Pratiquement « la vergence est la valeur de l'invariant », appliquée au couple de points conjugués ,  ;
       pour mémoire, étant un point double, l'invariant en donne la valeur «».
  144. 144,0 144,1 144,2 et 144,3 Exemple passage du verre à l'air ou de l'eau à l'air ou encore du verre à l'eau.
  145. 145,0 145,1 145,2 et 145,3 Exemple passage de l'air au verre ou de l'air à l'eau ou encore de l'eau au verre.
  146. 146,0 et 146,1 Le centre d'un dioptre sphérique concave est réel alors que celui d'un dioptre sphérique convexe est virtuel.
  147. Pour qu'un dioptre concave soit convergent il faut que la lumière passe d'un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent c'est-à-dire .
  148. Pour qu'un dioptre concave soit divergent il faut que la lumière passe d'un milieu moins réfringent à un milieu plus réfringent c'est-à-dire .
  149. Pour qu'un dioptre convexe soit divergent il faut que la lumière passe d'un milieu moins réfringent à un milieu plus réfringent c'est-à-dire .
  150. Pour qu'un dioptre convexe soit convergent il faut que la lumière passe d'un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent c'est-à-dire .
  151. Avec, pour un dioptre concave, du côté de l'espace objet réel c'est-à-dire usuellement à gauche et du côté de l'espace image réelle c'est-à-dire usuellement à droite,
       Avec, pour un dioptre convexe, du côté de l'espace objet virtuel c'est-à-dire usuellement à droite et du côté de l'espace image virtuelle c'est-à-dire usuellement à gauche.
  152. Avec, pour un dioptre concave, du côté de l'espace objet virtuel c'est-à-dire usuellement à droite et du côté de l'espace image virtuelle c'est-à-dire usuellement à gauche,
       Avec, pour un dioptre convexe, du côté de l'espace objet réel c'est-à-dire usuellement à gauche et du côté de l'espace image réelle c'est-à-dire usuellement à droite.
  153. C.-à-d. que, pour un point quelconque de , avec la définition de l'axe optique secondaire associé de support cet axe jouant le rôle d'axe optique principal pour le point objet est qualifié de secondaire relativement au point objet , les rayons incidents issus de doivent être paraxiaux peu inclinés relativement à l'axe optique secondaire de support et à point d'incidence restant proche du sommet secondaire , intersection de l'axe optique secondaire de support avec le dioptre.
  154. C.-à-d. hors conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché, voir le paragraphe « conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
  155. C'est cette façon qui a été vue en cours, étant en effet le point de l'axe optique principal appartenant à la face d'entrée du dioptre dans le paragraphe « conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
  156. Voir la solution de la question « relation de conjugaison de position (ou 1ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre) » plus bas dans cet exercice.
  157. Il y a donc aplanétisme approché du dioptre sphérique pour un objet linéique transverse de pied non proche du centre du dioptre à condition qu'il soit vu de ce centre sous un petit angle.
  158. Voir la solution de la question « relation de conjugaison de position (ou 1ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre) » plus bas dans cet exercice.
  159. Le caractère paraxial étant indispensable pour satisfaire au stigmatisme approché du dioptre pour le point objet voir le paragraphe « énoncé des conditions de Gauss de stigmatisme approché d'un système optique centré » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », tous les rayons non paraxiaux issus de seront arrêtés par un diaphragme centré sur  ;
       on vérifie aisément que les rayons incidents et sont deux candidats respectant la paraxialité, par contre le rayon incident pouvant ne pas l'être car est proche de et si tel était le cas il serait alors arrêté par le diaphragme centré en , nous ne l'utiliserons pas.
  160. 160,0 160,1 160,2 et 160,3 L'axe étant porté par l'axe optique principal orienté dans le sens incident et l'axe étant porté par la représentation symbolique du dioptre orienté vers le haut, l'objet étant lui aussi orienté vers le haut.
  161. Sur le schéma ci-dessus « la distance focale objet vaut avec et »,
       Sur le schéma ci-dessus « la distance focale image, quant à elle, valant ».
  162. 162,0 162,1 162,2 162,3 et 162,4 Voir la solution de la question « conclusion : stigmatisme approché du dioptre sphérique (concave convergent) pour le point objet Ao et relation de conjugaison (approchée) de position de Descartes (avec origine au sommet) » plus haut dans cet exercice.
  163. En effet le rayon réfracté de pente égale à la tangente de l'angle de réfraction c'est-à-dire égale à l'angle de réfraction à l'ordre un de ce dernier voir le paragraphe « développements limités à l'ordre un de quelques fonctions usuelles » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » et
       En effet le rayon incident étant de pente égale à la tangente de l'angle d'incidence c'est-à-dire égale à l'angle d'incidence à l'ordre un de ce dernier voir le paragraphe « développements limités à l'ordre un de quelques fonctions usuelles » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »,
       En effet l'utilisation de la 2ème relation de Snell - Descartes de la réfraction écrite pour de petits angles conduit à d'où .
  164. Cette partie de dioptre en à l'axe optique principal est terminée par des bords inclinés vers la droite pour un dioptre convergent et vers la gauche pour un dioptre divergent.
  165. La position des foyers principaux sont à ajouter suivantleur détermination de la solution de la question « caractère focal d'un dioptre sphérique, définition des foyers principaux objet et image, lien de la vergence avec les distances focales objet et image » plus haut dans cet exercice.
  166. 166,0 166,1 et 166,2 En effet le rayon émergent doit être issu du point d'incidence du rayon incident et passer par l'image de par le dioptre c'est-à-dire lui-même.
  167. 167,0 167,1 et 167,2 Attention le sommet du dioptre est le seul point d'incidence en lequel on peut appliquer la 2ème loi de Snell - Descartes de la réfraction en travaillant sur la représentation symbolique du dioptre car c'est le seul point pour lequel la direction de cette représentation symbolique se confond avec la direction réelle du dioptre autrement dit c'est le seul point où la normale réelle est à la représentation symbolique, par exemple le rayon incident qui se confond avec la normale réelle du dioptre en n'est pas à la représentation symbolique du dioptre en .
  168. Car le dioptre est stigmatique approché pour .
  169. 169,0 et 169,1 Car le dioptre est aplanétique approché pour .
  170. Il est déconseillé de choisir ce rayon dans les constructions futures demandées car peu pratique l'angle devant être mesuré puis l'angle calculé et enfin reporté par rapport à l'axe optique principal ; ici nous l'utilisons dans la démonstration d'où ce choix.
  171. On suppose pour que le triangle puisse être défini.
  172. Ayant supposé et étant un point double on en déduit ce qui définit le triangle .
  173. Le dioptre sphérique n'est stigmatique rigoureux que pour le pied de l'objet linéique, pour tous les autres points objet constituant ce dernier on suppose le stigmatisme approché du dioptre c'est-à-dire l'utilisation de rayons incidents issus de paraxiaux ce qui peut être réalisé en pratique avec un diaphragme centré en collé contre le dioptre.
  174. L'objet, collé contre le dioptre sphérique, de pied , l'axe optique principal ayant pour support , ne peut être rigoureusement linéique c'est-à-dire rectiligne car il suit la courbure du dioptre mais, s'il est vu de sous un petit angle non algébrisé , on peut confondre l'arc de cercle de centre et le segment correspondant lui étant tangent à l'ordre un en , raison pour laquelle l'objet est qualifié de « linéique transverse » ;
       le dioptre sphérique est stigmatique rigoureux pour tous les points de l'objet linéique car tous ces points, étant sur le dioptre, jouent le rôle de sommet secondaire pour lequel le dioptre est stigmatique rigoureux.
  175. Qui est aussi la condition pour que l'objet collé sur le dioptre puisse être considéré comme linéique.
  176. 176,0 176,1 176,2 et 176,3 Nous pouvons donc affirmer que la 2ème relation de conjugaison ou relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes avec origine au sommet d'un dioptre sphérique est applicable à tout objet linéiqua transverse de pied ou par levée de l'indétermination.
  177. Chaque point du dioptre jouant le rôle de sommet pour l'axe optique principal passant par ce point, c'est effectivement un point double.
  178. Voir l'expression de la vergence dans la solution de la question « conclusion : stigmatisme approché du dioptre sphérique (concave convergent) pour le point objet Ao et relation de conjugaison (approchée) de postion de Descartes (avec origine au sommet) » plus haut dans cet exercice.
  179. En effet le rayon incident issu de et passant par se prolonge dans l'espace image sans déviation, les parties incidente et émergente constituant l'axe optique secondaire de support .
  180. En effet le rayon émergent issu de et passant par est le prolongement d'un rayon incident sans changement de direction, les parties incidente et émergente constituant l'axe optique secondaire de support .
  181. On rappelle que cette relation est applicable en tout point objet autre que le sommet, la vergence valant .
  182. Applicable en tout point objet autre que le centre du dioptre ;
       bien que la relation de conjugaison de position de Descartes avec origine au sommet qui a été utilisée au départ ne soit pas applicable au sommet du miroir, on vérifie aisément que la relation de conjugaison de position de Descartes avec origine au centre est applicable en en effet et d'où .
  183. 183,0 183,1 183,2 183,3 183,4 et 183,5 Voir la solution de la question « relation de conjugaison (approchée) de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet) » plus haut dans cet exercice.
  184. Le but de cette avant dernière transformation étant de faire apparaître des inverses de longueur comme celles de la 1ère relation de conjugaison de Descartes avec origine au centre « », voir la solution de la question « relation de conjugaison de position (ou 1ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre) » plus haut dans cet exercice.
  185. Voir la solution de la question « relation de conjugaison de position (ou 1ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre) » plus haut dans cet exercice.
  186. Applicable en tout point objet autre que le centre du dioptre ;
       bien que la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes avec origine au sommet qui a été utilisée au départ ne soit pas applicable au sommet du dioptre sans levée d'indétermination, on vérifie aisément que la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes avec origine au centre est applicable en en effet et d'où «».
  187. 187,0 187,1 187,2 et 187,3 C.-à-d., comme cela sera vu dans les paragraphes « 1ère relation de conjugaison (ou relation de conjugaison de position) de Newton » et « 2ème relation de conjugaison (ou relation de conjugaison de grandissement transverse) de Newton » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », nous obtenons la même relation de conjugaison approchée de position ou de grandissement transverse de Newton que celle d'une lentille mince à condition que les deux formes de la 2ème relation de conjugaison de Newton soient explicitées uniquement en fonction des abscisses objets ou des abscisses images et non simultanément des deux.
  188. 188,0 188,1 188,2 et 188,3 On rappelle la vergence voir la solution de la question « caractère focal d'un dioptre sphérique, définition des foyers principaux objet et image, lien de la vergence avec les distances focales objet et image » plus haut dans cet exercice d'où .
  189. On remplacera une seule fois par pour obtenir une forme symétrique de la relation puis on simplifiera l'équation obtenue par .
  190. Applicable en tout point objet autre que le foyer principal objet du dioptre en effet si est en , l'image est le point à l'infini de l'axe optique principal et on obtient une forme indéterminée avec et valant  ;
       bien que la relation de conjugaison de position de Descartes avec origine au sommet qui a été utilisée au départ ne soit pas applicable au sommet du dioptre sans levée d'indétermination, on vérifie aisément que la relation de conjugaison de position de Newton est applicable en en effet et d'où .
  191. Le but de cette opération étant de faire apparaître, au numérateur et au dénominateur, deux grandeurs égales découlant de la 1ère relation de conjugaison de Newton ou encore «».
  192. Voir la note « 191 » précédente.
  193. Applicable en tout point objet ;
       bien que la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes avec origine au sommet qui a été utilisée au départ ne soit pas applicable au sommet du dioptre, on vérifie aisément que cette forme de relation de conjugaison de grandissement transverse de Newton est applicable en en effet respectivement d'où .
  194. Voir la solution de la question « relation de conjugaison de position (ou 1ère relation de conjugaison) de Newton » plus haut dans cet exercice.
  195. L'expression du grandissement angulaire est établie en utilisant un dioptre sphérique concave convergent mais elle reste applicable pour tout type de dioptre sphérique.
  196. 196,0 et 196,1 Voir la solution de la question « expression de Descartes (avec origine au sommet) du grandissement angulaire d'un pinceau incident issu d'un point objet » plus haut dans cet exercice.
  197. 197,0 et 197,1 Cette relation est la même que celle établie dans le paragraphe « relation de Lagrange-Helmholtz d'une lentille (sphérique) mince » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » dans laquelle il n'y a aucune réflexion, la relation de Lagrange - Hemholtz s'écrivant alors «» dans le cas usuel d'une lentille mince où les espaces image et objet sont de même indice.