En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Optique géométrique : conditions de Gauss Signaux physiques (PCSI)/Exercices/Optique géométrique : conditions de Gauss », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Pour être défini, un miroir sphérique nécessite la connaissance de :
sa nature « concave » ou « convexe »,
son centre centre de courbure de la surface sphérique réfléchissante[1],
son rayon de courbure non algébrisérayon de courbure de la surface sphérique réfléchissante,
l'axe optique principal dont la partie incidente ou son prolongement passe par et le point objet point objet dont on étudiera l'image éventuelle et
son sommet intersection de l'axe optique principal et de la surface réfléchissante.
Nous adoptons l'algébrisation physique de l'axe optique principal[2] et, pour unifier l'étude des miroirs sphériques, algébrisons le rayon de courbure du miroir selon [2] avec pour conséquence la nature « concave » ou « convexe » du miroir caractérisé par le signe du rayon de courbure algébrisé :
si [2], étant à droite de est virtuel, correspondant à un miroir « convexe »,
si [2], étant à gauche de est réel, correspondant à un miroir « concave ».
Miroir sphérique convexe : algébrisation de l'axe optique principal, définitions du centre, du sommet et du rayon de courbure algébrisé
Miroir sphérique concave : algébrisation de l'axe optique principal, définitions du centre, du sommet et du rayon de courbure algébrisé
Dans la suite nous supposerons le miroir sphérique concave[3] et Dans la suite nous admettrons qu'il n'y a pas stigmatisme rigoureux du miroir sphérique[4] pour tous les points objet autres que et tous les points du miroir[5].
Démonstration du stigmatisme approché d'un miroir sphérique concave sous conditions de Gauss
Considérant un point objet réel et l'axe optique principal correspondant de support [7], nous envisageons des rayons incidents issus de , peu inclinés par rapport à l'axe optique principal, d'angle d'inclinaison tel que et dont le point d'incidence reste proche du sommet c'est-à-dire tel que l'angle que fait la normale au miroir en dans le sens incident avec la partie incidente de l'axe optique principal est tel que [8].
Le rayon incident donnant, par utilisation des lois de Snell - Descartes[9] de la réflexion[10],[11], le rayon réfléchi à l'axe optique principal, appelons l'angle d'inclinaison du rayon réfléchi par rapport à la partie réfléchie de l'axe optique principal ; nous nous proposons de démontrer que est indépendant du rayon incident considéré c'est-à-dire indépendant de et de dans la mesure où les conditions de Gauss[12] de stigmatisme approché[13] et sont réalisées.
dans le triangle , «»[15],[17] ; en utilisant la 2ème relation de Snell - Descartes[9] pour la réflexion[11] «» la relation ci-dessus se réécrit dans le triangle , «» ;
dans le triangle , on élimine alors entre ces deux relations en faisant la différence soit : ou soit enfin «»[14].
Évaluation des angles θo, θi et ω en fonction des abscisses de Ao, Ai et C repérées relativement à H
De la relation et des conditions de Gauss[12] de stigmatisme approché[13], montrer que le rayon réfléchi est peu incliné relativement à la partie réfléchie de l'axe optique principal c'est-à-dire .
En travaillant dans le triangle [18] évaluer en fonction, entre autres, de [2] puis, en tenant compte de la petitesse de la valeur absolue de l'angle ,
en travaillant dans le triangle [18] évaluer en fonction, entre autres, de [2] puis, en tenant compte de la petitesse de la valeur absolue de l'angle ,
en travaillant dans le triangle [18] évaluer en fonction, entre autres, de [2] puis, en tenant compte de la petitesse de la valeur absolue de l'angle ,
déduire des trois évaluations précédentes et de la relation , un lien entre «, et »[2]relation .
Solution
De la relation écrite sous la forme et des conditions de Gauss[12] de stigmatisme approché[13] on en déduit
«» c'est-à-dire que le rayon réfléchi est aussi peu incliné relativement à la partie réfléchie de l'axe optique principal.
En travaillant dans le triangle , «»[2] car sur le schéma d'où , et [2] ; En travaillant dans le triangle , «»[19] on en déduit [2] ;
en travaillant dans le triangle , «»[2] car sur le schéma d'où , et [2] ; en travaillant dans le triangle , «»[19] on en déduit [2] ;
en travaillant dans le triangle , «»[2] car sur le schéma d'où , et [2] ; en travaillant dans le triangle , «»[19] on en déduit [2] ;
des trois évaluations précédentes et de la relation réécrite selon , on en déduit «»[2] ou, après simplifiant par , des trois évaluations précédentes et de la relation réécrite selon , on en déduit «»[2].
Établissement de la confusion de H et de S à l'ordre un en ω
Établir que [18] peut être confondu avec le sommet du miroir à l'ordre un en [20] et
réécrire que la relation en tenant compte de cette confusion.
Solution
Montrons que peut être confondu avec à l'ordre un en [21], en évaluant puis à l'ordre deux en , on obtient Montrons que peut être confondu avec à l'ordre un en « à l'ordre deux en »[22],[23] d'où Montrons que peut être confondu avec à l'ordre un en « à l'ordre deux en », soit « à l'ordre deux en » ou finalement Montrons que peut être confondu avec à l'ordre un en « à l'ordre un en » ;
remplaçant par à l'ordre un en dans la relation , on peut, sous les conditions de Gauss[12] de stigmatisme approché[13], la réécrire selon
Conclusion : stigmatisme approché du miroir sphérique (concave) pour le point objet Ao et relation de conjugaison (approchée) de position de Descartes (avec origine au sommet)
Vérifier que la relation définit, pour un point objet quelconque, un point image unique et en déduire Vérifier le stigmatisme approché du miroir sphérique[6] pour le point objet ;
Vérifier que la relation pouvant être écrite selon «»[2],[25] où est une constante appelée « vergence » du miroir sphérique exprimée en dioptries de symbole [26], Vérifier que la relation pouvant être écrite selon «» exprimer en fonction de [2].
Par la suite notant l'abscisse de Descartes[27]avec origine au sommet[28] du point objet [2] et Par la suite notant l'abscisse de Descartes avec origine au sommetcelle du point image [2], la relation de conjugaison approchée de position ou 1ère relation de conjugaison approchée de Descartes[27] d'un miroir sphérique se réécrit
La relation établit le stigmatisme approché du miroir sphérique[6] « pour tout point objet autre que et »[30] puisque, La relation établit le stigmatisme approché du miroir sphérique « pour un point objet fixé, le point image est déterminé de façon unique indépendamment des variations des petits angles et .
La relation peut effectivement être écrite sous la forme «»[2],[25] où est une constante définissant la « vergence » du miroir sphérique selon
Avec les « abscisses de Descartes[27]avec origine au sommet du point objet et du point image »[2], la relation de conjugaison approchée de position ou 1ère relation de conjugaison approchée de Descartes[27] du miroir sphérique se réécrit
Vérifier, par construction et pour une direction d'axe optique principal préalablement fixée, que le centre et le sommet [5] du miroir sont des points
Vérifier, par construction et pour une direction d'axe optique principal préalablement fixée, que pour lesquels le miroir est stigmatique rigoureux et
Vérifier, par construction et pour une direction d'axe optique principal préalablement fixée, que dont l'image est confondue avec l'objet c'est-à-dire des points doubles.
Justifier la raison pour laquelle la relation de conjugaison approchée de position de Descartes[27]avec origine au sommet est applicable à , centre du miroir, Justifier la raison pour laquelle la relation de conjugaison approchée de position de Descartes avec origine au sommet est applicable à , bien que la conjugaison soit rigoureuse ;
vérifier, en utilisant cette relation, que est effectivement un point double.
Admettant que la relation de conjugaison approchée de position de Descartes[27]avec origine au sommet reste applicable à , sommet du miroir[31], pour lequel il y a conjugaison rigoureuse, Admettant que la relation de conjugaison approchée de position de Descartes avec origine au sommet reste applicable à , évaluer en fonction de et de puis Admettant que la relation de conjugaison approchée de position de Descartes avec origine au sommet reste applicable à , vérifier, sur cette dernière forme, que
Admettant que la relation de conjugaison approchée de position de Descartes avec origine au sommet reste applicable à , vérifier, « est effectivement un point double » et
Admettant que la relation de conjugaison approchée de position de Descartes avec origine au sommet reste applicable à , vérifier, « il n'y a pas d'autres points doubles que et ».
Solution
Voir ci-contre les propriétés particulières d'un point objet en ou d'un miroir sphérique concave[25] :
à gauche tout rayon d'un faisceau incident issu du centre d'un miroir sphérique concave étant normal au miroir se réfléchit sur lui-même, donnant un ensemble de rayons réfléchis convergeant en un point unique quelle que soit l'ouverture du faisceau incident, c'est-à-dire prouvant que le miroir sphérique est stigmatique rigoureux pour son centre ; de plus le point image de étant lui-même, ce dernier est un point double ;
à droite tout rayon d'un faisceau incident convergeant sur le sommet d'un miroir sphérique concave se réfléchissant en suivant une direction symétrique par rapport à l'axe optique principal et l'ensemble des rayons réfléchis divergeant à partir d'un point unique quelle que soit l'ouverture du faisceau incident, cela prouve le stigmatisme rigoureux du miroir sphérique pour son sommet[4] ; de plus le point image de étant lui-même, ce dernier est un point double.
Pour appliquer la relation de conjugaison approchée de position de Descartes[27]avec origine au sommet à , centre du miroir, bien que la conjugaison soit rigoureuse, il suffit de ne considérer que les rayons paraxiaux du faisceau incident issu de et d'ouverture quelconque[32], condition d'applicabilité de la relation de conjugaison de position de Descartes[27] ;
dans ce cas, si on appelle l'image du point objet , ce dernier étant d'abscisse objet de Descartes[27]avec origine au sommet «» et dans ce cas, si on appelle l'image du point objet , ce dernier d'abscisse image de Descartes[27]avec origine au sommet «», nous obtenons, dans ce cas, en remplaçant par , «» d'où soit «» «»[33] prouvant que dans ce cas, en remplaçant par , «» d'où soit «» se confond avec et par suite que « est un point double ».
De on tire soit «» forme permettant à l'abscisse objet d'être nulle ; sous cette forme on vérifie que
De on tire soit «» le point objet en , d'abscisse objet de Descartes[27]avec origine au sommet De on tire soit «» le point objet en , a une image d'abscisse image de Descartes[27]avec origine au sommet, c'est-à-dire De on tire soit «» le point objet en , a une image confondue avec , prouvant que « est bien un point double » ;
les points doubles d'abscisse objet de Descartes[27]avec origine au sommet étant tels que leurs abscisses images de Descartes[27]avec origine au sommet s'écrivant «»[2],[33] avec «» obéissent à l'équation «» c'est-à-dire «», les points doubles la 1ère solution donnant sommet du miroir et les points doubles la 2ème équation conduisant à «» c'est-à-dire centre du miroir ;
le centre et le sommet d'un miroir sphérique sont donc les seuls points doubles de ce dernier.
Caractère focal d'un miroir sphérique, position des foyers principaux objet et image, lien de la vergence et des distances focales objet et image
Vérifier, sur la 1ère relation de conjugaison de Descartes[27] d'un miroir sphérique, que ce dernier est nécessairement « focal »[34] puis
déterminer la position du foyer principal objet c'est-à-dire le point objet de l'axe optique principal ayant pour image le point à l'infini de cet axe optique principal ou et déterminer la position du foyer principal image c'est-à-dire le point image de l'axe optique principal ayant pour antécédent[35] le point à l'infini de cet axe optique principal ou ;
quelle particularité ces deux points possèdent-ils en ce qui concerne leurs positions absolues d'une part et leur position relative d'autre part ?
Définissant la distance focale objet comme l'abscisse objet de Descartes[27] du foyer principal objet avec origine au sommet soit «»[2] et Définissant la distance focale image comme l'abscisse image de Descartes[27] du foyer principal image avec origine au sommet soit «»[2],
déterminer le lien entre vergence , distance focale objet et distance focale image .
Solution
Un miroir sphérique est un « système focal » car le point à l'infini de l'axe optique principal n'est pas un point double[36].
Le foyer principal image , repéré par l'abscisse image de Descartes[27]avec origine au sommet[2] Le foyer principal image , étant l'image du point à l'infini de l'axe optique principal, repéré par l'abscisse objet de Descartes[27]avec origine au sommet, Le foyer principal image , étant l'image du point à l'infini de l'axe optique principal, on en déduit soit «»[2].
Le foyer principal objet , repéré par l'abscisse objet de Descartes[27]avec origine au sommet[2] Le foyer principal objet , étant l'antécédent[35] du point à l'infini de l'axe optique principal, repéré par l'abscisse image de Descartes[27]avec origine au sommet, Le foyer principal objet , étant l'antécédent du point à l'infini de l'axe optique principal, on en déduit soit «»[2].
Les positions géométriques respectives des foyers principaux objet et image étant telles que «»[2] et le changement de sens d'algébrisation conduisant à [2],[33], on en déduit «»[2] c'est-à-dire la coïncidence des positions géométriques des foyers principaux objet et image[37] ;
leur position géométrique commune étant telle que «»[2] on vérifie qu'elle coïncide avec le milieu du segment joignant le sommet et le centre du miroir.
Notion de distances focales objet et image :
la distance focale image étant définie par «»[2] est liée à la vergence par «» ;
la distance focale objet étant définie par «»[2] est liée à la vergence par «» ;
Signe de la vergence suivant la nature concave ou convexe du miroir sphérique, caractère convergent ou divergent du miroir et nature réelle ou virtuelle des foyers principaux
Déterminer le signe de la vergence suivant la nature « concave » ou « convexe » du miroir sphérique puis
Déterminer son caractère « convergent » ou « divergent » sachant qu'un système focal à « vergence positive » respectivement « négative » est dit « convergent » respectivement « divergent » et
Déterminer la nature « réelle » ou « virtuelle » des foyers principaux.
Solution
De on en déduit que la vergence est de signe contraire au rayon de courbure algébrisé du miroir sphérique, ainsi :
un miroir concave a un rayon de courbure algébrisé [2],[39], donc une vergence , c'est un système « convergent »,
un miroir convexe a un rayon de courbure algébrisé [2],[39], donc une vergence , c'est un système « divergent ».
De on en déduit la nature réelle ou virtuelle des foyers principaux objet et image suivant la nature convergente ou divergente du miroir sphérique :
un miroir concave étant convergent, la distance focale image [2] est entraînant le caractère réel du foyer principal image et un miroir concave étant convergent, la distance focale objet [2] étant , le foyer principal objet est également réel[40],
un miroir convexe étant divergent, la distance focale image [2] est entraînant le caractère virtuel du foyer principal image et un miroir convexe étant divergent, la distance focale objet [2] étant , le foyer principal objet est également virtuel[40].
Démonstration de l'absence de conjugaison non rigoureuse du miroir sphérique (concave) pour le point objet à l'infini sur l'axe optique principal
déterminer la position de point de l'axe optique principal par lequel passe le rayon réfléchi correspondant au rayon incident à l'axe optique principal, de point d'incidence [42] et
vérifier que dépendant effectivement de et par suite vérifier qu'il n'y a pas conjugaison rigoureuse du miroir sphérique concave[25] pour le point situé à l'infini de l'axe optique principal.
Solution
Schéma de démonstration de l'absence de stigmatisme rigoureux d'un miroir sphérique concave[4] pour le point objet à l'infini sur l'axe optique principal
Montrons algébriquement qu'un miroir sphérique concave[25] n'est pas rigoureusement stigmatique pour le point à l'infini de l'axe optique principal[4] et pour cela il suffit de montrer Montrons algébriquement qu'un rayon incident à l'axe optique principal, de point d'incidence [42], repéré par l'angle que fait le rayon incident avec tel que [43], Montrons algébriquement qu'un rayon incident à l'axe optique principal, donne un réfléchi qui recoupe l'axe optique principal en [42] dépendant effectivement de d'où Montrons algébriquement l'absence de stigmatisme rigoureux du miroir pour [4] ;
l'angle d'incidence étant [44], l'angle de réflexion est donc d'après la 2ème relation de Snell - Descartes[9] de la réflexion[11] ; on en déduit alors «»[45] et [2] se détermine par [2],[46] «»[2] ou, avec et simplification par , se détermine par ,«»[2] ;
on peut alors évaluer «»[2], expression dans laquelle [2] d'où «»[2] ou, sachant que , l'expression finale
«»[2],[47] dépend effectivement de et par suite le miroir sphérique concave[25] n'est pas stigmatique rigoureux pour le point à l'infini [4] de l'axe optique principal[48].
Aplanétisme approché d'un miroir sphérique sous conditions de Gauss
On considère un objet linéique transverse de pied tel qu'il y ait stigmatisme approché l'objet linéique transverse [49] admet une image « nette » [52] mais a priori[53] On considère un objet linéique transverse de pied tel qu'il y ait stigmatisme approché l'objet linéique transverse admet une image ni « linéique »[54] ni « transverse ».
On suppose que l'objet linéique transverse [49] est, quand l'objet n'est pas proche du miroir, vu du sommet du miroir sous un angle non algébrisé petit c'est-à-dire si et On suppose que l'objet linéique transverse est, quand l'objet est proche du miroir, vu du centre du miroir sous un angle non algébrisé petit c'est-à-dire si , On suppose que l'objet linéique transverse est, ces deux exigences constituant les conditions de Gauss[12] d'aplanétisme approché[55] pour un objet linéique transverse[49] quelconque[56].
Remarque : Il existe deux exigences équivalentes pour définir les conditions de Gauss[12] d'aplanétisme approché[55] d'un objet linéique transverse[49] quelconque [57] :
Remarque : si un objet est tel que son pied n'est pas proche du centre du miroir, il doit être vu du centre sous un angle non algébrisé petit c'est-à-dire si et
Remarque : si un objet est tel que son pied est proche de , il doit être vu du sommet du miroir sous un angle non algébrisé petit c'est-à-dire si .
Démonstration de l'aplanétisme approché d'un miroir sphérique concave pour un objet linéique transverse de pied non proche du centre du miroir et vu de ce centre sous un petit angle
L'objet linéique transverse [49] étant d'abord supposé de pied non proche du centre du miroir c'est-à-dire , nous considérons l'angle , sous lequel il est vu du centre , petit c'est-à-dire , nous considérons l'angle sous lequel il est vu du sommet , n'étant pas nécessairement petit, la démarche pour établir l'aplanétisme du miroir pour un tel objet est rendue plus aisée si on utilise la « relation de conjugaison de position ou 1ère relation de conjugaison de Descartes[27]avec origine au centre établie dans la solution de la question plus bas dans cet exercice »[58] à savoir «»[2] où est la vergence précédemment introduite ;
la démarche peut alors être décomposée en les étapes suivantes :
montrer qu'à l'ordre un en , l'objet linéique transverse [49] peut être confondu avec un arc de cercle de centre , d'angle au centre associé ,
en utilisant la relation de conjugaison de position de Descartes[27]avec origine au centredd"> Voir la solution de la question « relation de conjugaison de position (ou 1ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre) » plus bas dans cet exercice.</ref>, montrer alors que l'image est un arc de cercle de centre et en utilisant la relation de conjugaison de position de Descartes avec origine au centre, vérifier que l'angle au centre associé est encore ,
conclure qu'à l'ordre un en , l'image peut être confondue avec un segment à l'axe optique principal c'est-à-dire qu'elle est linéique transverse[59].
Solution
L'objet linéique transverse [49] étant supposé de pied non proche du centre du miroir c'est-à-dire , avec l'angle non algébrisé sous lequel il est vu du centre , petit c'est-à-dire ,
le caractère transverse de l'objet linéique la longueur est plus grande que la longueur [60], soit plus précisément « à l'ordre deux en »[22] ou finalement « à l'ordre un en » prouvant, qu'à cet ordre, l'objet linéique transverse [49] peut être confondu avec un arc de cercle de centre , d'angle au centre associé ,
tous les points objet de l'arc de cercle de centre ayant une abscisse objet de Descartes[27]avec origine au centre indépendante de sur l'axe optique secondaire associé de support [61], l'application de la 1ère relation de conjugaison de Descartes[27]avec origine au centre[62] donne donc des points image à abscisse image de Descartes[27]avec origine au centre indépendante de sur l'axe optique secondaire associé de support , c'est-à-dire que l'image est assimilable, à l'ordre un en , à un arc de cercle de centre ,
l'angle non algébrisé sous lequel l'arc de cercle est vu du centre étant petit, on peut faire l'opération inverse de celle faite précédemment pour l'objet , c'est-à-dire assimiler l'arc de cercle de centre à un segment choisi à l'axe optique principal de support [63], c'est-à-dire que l'image est, à l'ordre un en , linéique transverse ;
nous avons donc établi l'aplanétisme approché du miroir sphériqueconcave[25]pour tout objet linéique de pied non proche du centre du miroir.
Démonstration de l'aplanétisme approché d'un miroir sphérique concave pour un objet linéique transverse de pied proche du centre du miroir et vu du sommet de ce dernier sous un petit angle
L'objet linéique transverse [49] de pied étant maintenant supposé proche du centre du miroir c'est-à-dire , L'objet linéique transverse de pied nous considérons l'angle , sous lequel il est vu du sommet , petit c'est-à-dire ; la démarche pour établir l'aplanétisme du miroir pour un tel objet nécessite l'utilisation de deux rayons paraxiaux issus de , point objet quelconque de [64] et la démarche pour établir l'aplanétisme du miroir pour un tel objet nécessite de montrer que le point image , défini comme l'intersection des deux rayons réfléchis, la démarche pour établir l'aplanétisme du miroir pour un tel objet nécessite de montrer que le point image , a pour projeté, sur l'axe optique principal, le point image , pour cela :
déterminer l'abscisse image de Descartes[27]avec origine au sommet de en fonction de la distance focale image et déterminer l'abscisse image de Descartes avec origine au sommet de en fonction de l'abscisse objet de Descartes[27]avec origine au sommet de ,
déterminer la longueur algébrique en fonction de et de l'abscisse objet de Descartes[27]avec origine au sommet de ,
travaillant dans le repère orthonormé [65] déterminer l'équation des rayons incidents et [66],
travaillant dans le repère orthonormé [67] déterminer les équations des rayons réfléchis, puis leur intersection ;
vérifier que l'abscisse image de Descartes[27]avec origine au sommet du projeté de sur l'axe optique principal est égale à l'abscisse image de Descartes[27]avec origine au sommet de ,
conclure à l'aplanétisme approché du miroir sphérique pour l'objet linéique transverse [49] de pied proche du centre du miroir.
Solution
Soit un objet linéique transverse[49] de pied , proche du centre du miroir sphérique concave c'est-à-dire , vu du sommet de ce dernier sous un angle petit c'est-à-dire correspondant à la condition de Gauss[12] d'aplanétisme approché[55] précitée ;
on détermine d'abord l'abscisse image de Descartes[27]avec origine au sommet[2] de , image du point objet d'abscisse objet de Descartes[27]avec origine au sommet[2], par utilisation de la 1ère relation de conjugaison de Descartes[27] du miroir sphérique avec origine au sommet[68] de vergence , [2] étant la distance focale image du miroir d'où :
soit finalement «» ;
«[2] étant » et «» avec « non algébrisé », on en déduit d'où, avec [19],
«» ;
dans le repère orthonormé [65], le rayon incident issu de de coordonnées [66] étant de pente a pour équation soit finalement «»[69], dans le repère orthonormé , le rayon incident issu de de coordonnées [66] et passant par le foyer principal objet du miroir sphérique de coordonnées étant de pente a pour équation soit finalement «»
dans le repère orthonormé [67] le rayon réfléchi sur le miroir du rayon incident étant de direction symétrique de celle de ce dernier relativement à l'axe optique principal est de même pente [70] d'où l'équation du rayon réfléchi correspondant au rayon incident «»[71], dans le repère orthonormé , le rayon réfléchi sur le miroir du rayon incident étant, à partir du point d'incidence sur le miroir, à l'axe optique principal, son équation nécessite de déterminer au préalable l'ordonnée de par dans l'équation du rayon incident établie plus haut soit d'où l'équation du rayon réfléchi correspondant au rayon incident «» ; dans le repère orthonormé , l'intersection de ces deux rayons réfléchis a pour abscisse image de Descartes[27]avec origine au sommet soit
«» ;
l'abscisse «» de l'intersection de ces deux rayons réfléchis est identique à l'abscisse image de Descartes[27]avec origine au sommet «» du point image ;
le projeté de sur l'axe optique principal se superposant à , on conclut à l'aplanétisme approché du miroir sphériqueconcave[25]pour tout objet linéiquede pied proche du centre du miroir.
Relation de conjugaison (approchée) de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet)