Signaux physiques (PCSI)/Exercices/Propagation d'un signal : Ondes stationnaires mécaniques

Explication de la résonance d'ondes stationnaires sur une corde de Melde en évaluant les réflexions sur la poulie et le vibreur sans ou avec cœfficients d'atténuation

     On considère l'expérience classique de la corde de Melde tendue horizontalement selon l'axe $\;x'x\;$ entre un vibreur $\;O\;$  engendrant un mouvement transversal $\;s_{i}(t)=a_{0}\,\cos(\omega \,t+\varphi _{0})\;$ et
         On considère l'expérience classique de la corde de Melde tendue horizontalement selon l'axe $\;\color {transparent}{x'x}\;$ entre une poulie $\;P\;$ sur laquelle la corde s'appuie pour retenir un objet de masse $\;m\;$ ,
         On considère l'expérience classique de la corde de Melde l'axe de la poulie étant situé à la distance $\;L\;$ du vibreur et la tension de la corde étant telle que son point de contact avec la poulie reste fixe ;

     $\succ \;$on se propose de prolonger l'étude du paragraphe « interprétation par superposition d'une onde incidente progressive sinusoïdale émise par une extrémité et de l'onde réfléchie sur l'autre extrémité supposée fixe » du chap.$7$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »,
     $\color {transparent}{\succ }\;$on se propose de prolonger l'étude montrant que l'onde réfléchie sur la poulie sans atténuation $\;(r)\;$ se superposant à l'onde incidente émise par le vibreur $\;(i)\;$ donne une onde résultante stationnaire $\;(1)\;$ $\;s_{1}(M,\,t)=$ $2\,a_{0}\,\sin(k\,x-k\,L)\,\sin(\omega \,t-k\,L+\varphi _{0})\;$
     $\color {transparent}{\succ }\;$on se propose de prolonger l'étude en remarquant toutefois que cette onde ne satisfaisant pas à la C.A.L. imposée par le vibreur en $\;O\;$ , il est nécessaire d'envisager une réflexion sur le vibreur pour que le mouvement de ce dernier reste $\;s_{i}(O,\,t)=a_{0}\,\cos(\omega \,t+\varphi _{0})$ ;

     $\succ \;$avec cette réflexion sur le vibreur on obtient un nouvelle onde $\;(r')\;$ se propageant vers la poulie, onde $\;(r')\;$ qui se réfléchit sur $\;P\;$ en une onde $\;(r'')\;$ revenant vers $\;O\;$ et la superposition des ondes $\;(r')\;$ et $\;(r'')\;$ donne une nouvelle onde résultante stationnaire $\;(2)\;$ $\;s_{2}(M,\,t)\;$ qu'il conviendra d'évaluer mais
     $\color {transparent}{\succ }\;$avec cette réflexion sur le vibreur la superposition des deux ondes stationnaires $\;s_{1}(M,\,t)+s_{2}(M,\,t)\;$ ne satisfaisant pas à la C.A.L. imposée par le vibreur en $\;O$, il est nécessaire d'envisager une nouvelle réflexion sur le vibreur pour que le mouvement de ce dernier reste $\;s_{i}(O,\,t)=a_{0}\,\cos(\omega \,t+\varphi _{0})$ ;

     $\succ \;$avec cette nouvelle réflexion sur le vibreur on obtient un nouvelle onde $\;(r''')\;$ se propageant vers la poulie, onde $\;(r''')\;$ qui se réfléchit sur $\;P\;$ en une onde $\;(r^{IV})\;$ revenant vers $\;O\;$ et la superposition des ondes $\;(r''')\;$ et $\;(r^{IV})\;$ donne une nouvelle onde résultante stationnaire $\;(3)\;$ $\;s_{3}(M,\,t)\;$ qu'il conviendra d'évaluer mais
     $\color {transparent}{\succ }\;$avec cette nouvelle réflexion sur le vibreur la superposition des trois ondes stationnaires $\;s_{1}(M,\,t)+s_{2}(M,\,t)+s_{3}(M,\,t)\;$ ne satisfaisant pas à la C.A.L. imposée par le vibreur en $\;O$, il est nécessaire d'envisager une nouvelle réflexion sur le vibreur pour que le mouvement de ce dernier reste $\;s_{i}(O,\,t)=a_{0}\,\cos(\omega \,t+\varphi _{0})$ ;

     $\succ \;$etc $\;\ldots$

     Le but de cet exercice est de déterminer l'onde résultante, superposition des $\;n\;$ 1^ers couples de réflexions sur la poulie $\;P\;$ et le vibreur $\;O\;$ «$\;s_{{\text{tot}},\,n}=\sum \limits _{q=1}^{n}s_{q}(M,\,t)\;$» où «$\;s_{q}(M,\,t)\;$ est l'onde stationnaire sinusoïdales superposant l'onde se propageant vers $\;P\;$ après $\;(q-1)\;$ réflexions sur $\;O\;$ et l'onde se propageant vers $\;O\;$ après $\;q\;$ réflexions sur $\;P\;$», puis
     Le but de cet exercice est de rechercher la condition de résonance d'une telle onde.

     Nous ferons tout d'abord l'étude en considérant les réflexions parfaites $\;{\big (}$c'est-à-dire sans atténuation de l'amplitude${\big )}\;$ puis nous reprendrons l'étude
     Nous ferons tout d'abord l'étude en considérant que la réflexion sur $\;P\;$ se fait avec un cœfficient de réflexion $\;\rho \;$ et celle sur $\;O\;$ avec un cœfficient de réflexion $\;\rho '$.

Étude du cas de réflexions parfaites sur la poulie et le vibreur

Rappel de la démarche

     Rappeler la démarche permettant d'établir le « signal $\;s_{r'}(M,\,t)\;$ au point $\;M\;$ et à l'instant $\;t\;$ de l'onde $\;(r')\;$ réfléchie une 1^ère fois sur le vibreur » à partir du
     Rappeler la démarche permettant d'établir le « signal $\;s_{r}(M,\,t)\;$ au même point $\;M\;$ et au même instant $\;t\;$ de l'onde $\;(r)\;$ réfléchie sur la poulie ».

Solution

     Le signal, au point $\;M\;$ et à l'instant $\;t$, de l'onde incidente $\;(i)$, à savoir «$\;s_{i}(M,\,t)=a_{0}\,\cos(\omega \,t-k\,x+\varphi _{0})\;$» se réécrit, en arrivant sur $\;P$, «$\;s_{i}(P,\,t)=a_{0}\,\cos(\omega \,t-k\,L+\varphi _{0})\;$»,
     Le signal, au point $\;\color {transparent}{M};$ et à l'instant $\;\color {transparent}{t}$, de l'onde incidente $\;\color {transparent}{(i)}$, à savoir «$\;\color {transparent}{s_{i}(M,\,t)=a_{0}\,\cos(\omega \,t-k\,x+\varphi _{0})}\;$» il y est réfléchi en «$\;s_{r}(P,\,t)=-s_{i}(P,\,t)=-a_{0}\,\cos(\omega \,t-k\,L+\varphi _{0})\;$» puis
     Le signal, au point $\;\color {transparent}{M};$ et à l'instant $\;\color {transparent}{t}$, de l'onde incidente $\;\color {transparent}{(i)}$, à savoir «$\;\color {transparent}{s_{i}(M,\,t)=a_{0}\,\cos(\omega \,t-k\,x+\varphi _{0})}\;$» il se propage en s'éloignant de $\;P\;$ selon «$\;s_{r}(M,\,t)=s_{r}\!\left(P,\,t-{\dfrac {L-x}{c}}\right)\;$» se réécrivant
     Le signal, au point $\;\color {transparent}{M};$ et à l'instant $\;\color {transparent}{t}$, de l'onde incidente $\;\color {transparent}{(i)}$, à savoir «$\;\color {transparent}{s_{i}(M,\,t)=a_{0}\,\cos(\omega \,t-k\,x+\varphi _{0})}\;$» il se propage en s'éloignant de $\;\color {transparent}{P}\;$ selon «$\;s_{r}(M,\,t)=-a_{0}\,\cos(\omega \,t+k\,x-2\,k\,L+\varphi _{0})\;$» ;

     cette onde $\;(r)\;$ de signal, au point $\;M\;$ et à l'instant $\;t$, «$\;s_{r}(M,\,t)=-a_{0}\,\cos(\omega \,t+k\,x-2\,k\,L+\varphi _{0})\;$» se réécrit, arrivant en $\;O\;$ «$\;s_{r}(O,\,t)=-a_{0}\,\cos(\omega \,t-2\,k\,L+\varphi _{0})\;$»,
     cette onde $\;\color {transparent}{(r)}\;$ de signal, au point $\;\color {transparent}{M}\;$ et à l'instant $\;\color {transparent}{t}$, «$\;\color {transparent}{s_{r}(M,\,t)=-a_{0}\,\cos(\omega \,t+k\,x-2\,k\,L+\varphi _{0})}\;$» se réfléchit sur le vibreur en «$\;s_{r'}(O,\,t)=-s_{r}(O,\,t)=a_{0}\,\cos(\omega \,t-2\,k\,L+\varphi _{0})\;$» puis
     cette onde $\;\color {transparent}{(r)}\;$ de signal, au point $\;\color {transparent}{M}\;$ et à l'instant $\;\color {transparent}{t}$, «$\;\color {transparent}{s_{r}(M,\,t)=-a_{0}\,\cos(\omega \,t+k\,x-2\,k\,L+\varphi _{0})}\;$» se propage en s'éloignant de $\;O\;$ selon «$\;s_{r'}(M,\,t)=s_{r'}\!\left(O,\,t-{\dfrac {x}{c}}\right)\;$» se réécrivant
     cette onde $\;\color {transparent}{(r)}\;$ de signal, au point $\;\color {transparent}{M}\;$ et à l'instant $\;\color {transparent}{t}$, «$\;\color {transparent}{s_{r}(M,\,t)=-a_{0}\,\cos(\omega \,t+k\,x-2\,k\,L+\varphi _{0})}\;$» se propage en s'éloignant de $\;\color {transparent}{O}\;$ selon «$\;s_{r'}(M,\,t)=a_{0}\,\cos(\omega \,t-k\,x-2\,k\,L+\varphi _{0})\;$», d'où

     l'expression du signal, au point $\;M\;$ et à l'instant $\;t$, de l'onde $\;(r')\;$ réfléchie une 1^ère fois sur le vibreur «$\;s_{r'}(M,\,t)=a_{0}\,\cos(\omega \,t-k\,x-2\,k\,L+\varphi _{0})\;$».

 

Expression de l'onde stationnaire, superposition de l'onde (r') et de sa réfléchie (r’’) sur la poulie

     Remarquant que $\;s_{r'}(M,\,t)\;$ se déduit de $\;s_{i}(M,\,t)\;$ par simple déphasage, déterminer $-$ sans calcul $-$ le signal de l'onde résultante, superposition de l'onde $\;(r')\;$ et de sa réfléchie $\;(r'')\;$ sur la poulie, $\;s_{2}(M,\,t)=s_{r'}(M,\,t)+s_{r''}(M,\,t)\;$ à partir de l'expression de $\;s_{1}(M,\,t)$.

Solution

     Remarquant que $\;s_{r'}(M,\,t)\;$ se déduit de $\;s_{i}(M,\,t)\;$ par un simple déphasage égal à $\;-2\,k\,L\;$, il en découle le signal de l'onde résultante $\;s_{2}(M,\,t)=s_{r'}(M,\,t)+s_{r''}(M,\,t)\;$ à partir de l'expression de $\;s_{1}(M,\,t)=2\,a_{0}\,\sin(k\,x-k\,L)\,\sin(\omega \,t-k\,L+\varphi _{0})\;$ par ajout du déphasage $\;-2\,k\,L\;$ soit «$\;s_{2}(M,\,t)=2\,a_{0}\,\sin(k\,x-k\,L)\,\sin(\omega \,t-3\,k\,L+\varphi _{0})\;$».

 

Itération du procédé

     Itérer le procédé utilisé précédemment pour obtenir $\;s_{q}(M,\,t)\;$ le signal de l'onde résultante superposant l'onde se propageant vers $\;P\;$ après $\;(q-1)\;$ réflexions sur $\;O\;$ et l'onde se propageant vers $\;O\;$ après $\;q\;$ réflexions sur $\;P\;$ à partir de $\;s_{1}(M,\,t)$.

Solution

     Itérant le procédé exposé précédemment on déduit $\;s_{q}(M,\,t)\;$ le signal de l'onde résultante superposant l'onde se propageant vers $\;P\;$ après $\;(q-1)\;$ réflexions sur $\;O\;$ et l'onde se propageant vers $\;O\;$ après $\;q\;$ réflexions sur $\;P\;$ à partir de $\;s_{1}(M,\,t)\;$ par ajout du déphasage $\;-(q-1)\,2\,k\,L\;$ soit «$\;s_{q}(M,\,t)=2\,a_{0}\,\sin(k\,x-k\,L)\,\sin \!\left[\omega \,t-(2\,q-1)\,k\,L+\varphi _{0}\right]\;$».

 

Expression de l'onde résultante superposant les n 1^ers couples d'ondes stationnaires successives après (n - 1) réflexions sur le vibreur et n sur la poulie

     Exprimer le signal de l'onde résultante au point $\;M\;$ et à l'instant $\;t$, superposition des $\;n\;$ 1^ers couples d'ondes stationnaires successives après $\;n\;$ réflexions sur la poulie $\;P\;$ et $\;\left(n-1\right)\;$ sur le vibreur $\;O\;$ «$\;s_{{\text{tot}},\,n}(M,\,t)=\sum \limits _{q=1}^{n}s_{q}(M,\,t)\;$» ;

     vérifier qu'elle peut s'écrire sous la forme «$\;s_{{\text{tot}},\,n}(M,\,t)=2\,a_{0}\,\sin(k\,x-k\,L)\,\sum \limits _{q=1}^{n}\sin(\omega \,t+\varphi _{q})\;$» ou
     vérifier qu'elle peut s'écrire sous la forme «$\;s_{{\text{tot}},\,n}(M,\,t)=S_{n}(t)\;\sin(k\,x-k\,L)\;$» en posant «$\;2\,a_{0}\,\sum \limits _{q=1}^{n}\sin(\omega \,t+\varphi _{q})=S_{n}(t)\;$».

Solution

     Le signal de l'onde résultante au point $\;M\;$ et à l'instant $\;t$, superposition des $\;n\;$ 1^ers couples d'ondes stationnaires successives après $\;n\;$ réflexions sur la poulie $\;P\;$ et $\;\left(n-1\right)\;$ sur le vibreur $\;O\;$ «$\;s_{{\text{tot}},\,n}(M,\,t)=$ $\sum \limits _{q=1}^{n}s_{q}(M,\,t)\;$» se réécrit selon «$\;s_{{\text{tot}},\,n}(M,\,t)=\sum \limits _{q=1}^{n}\left\lbrace 2\,a_{0}\,\sin(k\,x-k\,L)\,\sin \!\left[\omega \,t-(2\,q-1)\,k\,L+\varphi _{0}\right]\right\rbrace \;$» soit, après mise en facteur de la partie commune à tous les termes de la somme «$\;s_{{\text{tot}},\,n}(M,\,t)=2\,a_{0}\,\sin(k\,x-k\,L)\left\lbrace \sum \limits _{q=1}^{n}\sin \!\left[\omega \,t-(2\,q-1)\,k\,L+\varphi _{0}\right]\right\rbrace \;$» ce qui est bien de la forme
  «$\;s_{{\text{tot}},\,n}(M,\,t)=2\,a_{0}\,\sin(k\,x-k\,L)\,\sum \limits _{q=1}^{n}\sin(\omega \,t+\varphi _{q})\;$» avec «$\;\varphi _{q}=-(2\,q-1)\,k\,L+\varphi _{0}\;$» ou encore
«$\;s_{{\text{tot}},\,n}(M,\,t)=S_{n}(t)\;\sin(k\,x-k\,L)\;$» en posant «$\;2\,a_{0}\,\sum \limits _{q=1}^{n}\sin(\omega \,t+\varphi _{q})=S_{n}(t)\;$».                            

 

Évaluation de l'onde résultante superposant les n 1^ers couples d'ondes stationnaires successives après (n - 1) réflexions sur le vibreur et n sur la poulie

     Dans le but d'évaluer $\;S_{n}(t)=2\,a_{0}\,\sum \limits _{q=1}^{n}\sin(\omega \,t+\varphi _{q})\;$ nous introduisons la grandeur instantanée complexe $\;{\underline {S_{n}}}(t)=2\,a_{0}\,\sum \limits _{q=1}^{n}\exp(i\,\omega \,t+\varphi _{q})\;$ dont $\;S_{n}(t)\;$ est la partie imaginaire, puis
     Dans le but d'évaluer $\;\color {transparent}{S_{n}(t)=2\,a_{0}\,\sum \limits _{q=1}^{n}\sin(\omega \,t+\varphi _{q})}\;$ nous introduisons l'amplitude complexe $\;{\underline {A_{n}}}=2\,a_{0}\,\sum \limits _{q=1}^{n}\exp(i\,\varphi _{q})\;$ telle que $\;{\underline {S_{n}}}(t)={\underline {A_{n}}}\,\exp(i\,\omega \,t)$ ;

     vérifier que $\;{\underline {A_{n}}}\;$ est la « somme des $\;n\;$ 1^ers termes d'une suite géométrique » de 1^er terme $\;2\,a_{0}\,\exp(i\,\varphi _{1})\;$ et de raison $\;\exp \!\left[i\,(\varphi _{2}-\varphi _{1})\right]$ $\;{\big \{}$on explicitera le 1^er terme et la raison${\big \}}$ ;

     vérifier que $\;\color {transparent}{\underline {A_{n}}}\;$ est la « somme des $\;\color {transparent}{n}\;$ 1^ers termes d'une suite géométrique » en déduire une expression simplifiée de $\;{\underline {A_{n}}}\;$ puis

     vérifier que $\;\color {transparent}{\underline {A_{n}}}\;$ est la « somme des $\;\color {transparent}{n}\;$ 1^ers termes d'une suite géométrique » déterminer son module $\;A_{n}\;$ et
     vérifier que $\;\color {transparent}{\underline {A_{n}}}\;$ est la « somme des $\;\color {transparent}{n}\;$ 1^ers termes d'une suite géométrique » déterminer son argument $\;\varphi _{{\text{tot}},\,n}$, dans le but de
     terminer l'évaluation de $\;S_{n}(t)=A_{n}\,\sin(\omega \,t+\varphi _{{\text{tot}},\,n})\;$ et celle du signal $\;s_{{\text{tot}},\,n}\;$ de l'onde résultante $\;s_{{\text{tot}},\,n}(M,\,t)=S_{n}(t)\,\sin(k\,x-k\,L)$
     terminer l'évaluation de $\;\color {transparent}{S_{n}(t)=A_{n}\,\sin(\omega \,t+\varphi _{{\text{tot}},\,n})}\;$ et celle du signal $\;\color {transparent}{s_{{\text{tot}},\,n}}\;$ de l'onde résultante $\;\color {transparent}{s_{{\text{tot}},\,n}(M,\,t)}$ $=A_{n}\,\sin(k\,x-k\,L)\,\sin(\omega \,t+\varphi _{{\text{tot}},\,n})$.

Solution

     Pour évaluer $\;S_{n}(t)=2\,a_{0}\,\sum \limits _{q=1}^{n}\sin(\omega \,t+\varphi _{q})\;$ nous introduisons la grandeur instantanée complexe $\;{\underline {S_{n}}}(t)=2\,a_{0}\,\sum \limits _{q=1}^{n}\exp(i\,\omega \,t+\varphi _{q})\;$ dont $\;S_{n}(t)\;$ est la partie imaginaire, puis
     Pour évaluer $\;\color {transparent}{S_{n}(t)=2\,a_{0}\,\sum \limits _{q=1}^{n}\sin(\omega \,t+\varphi _{q})}\;$ nous introduisons l'amplitude complexe «$\;{\underline {A_{n}}}=2\,a_{0}\,\sum \limits _{q=1}^{n}\exp(i\,\varphi _{q})\;$» obtenue après simplification de $\;{\underline {S_{n}}}(t)\;$ par $\;\exp(i\,\omega \,t)$, soit encore
     Pour évaluer $\;\color {transparent}{S_{n}(t)=2\,a_{0}\,\sum \limits _{q=1}^{n}\sin(\omega \,t+\varphi _{q})}\;$ nous introduisons l'amplitude complexe «$\;{\underline {A_{n}}}=2\,a_{0}\,\sum \limits _{q=1}^{n}\exp \!\left\lbrace i\left[\varphi _{0}-(2\,q-1)\,k\,L\right]\right\rbrace =\sum \limits _{q=1}^{n}\left\lbrace 2\,a_{0}\,\exp \!\left[i(\varphi _{0}-k\,L)\right]\;\exp \!\left[-2\,i\,(q-1)\,k\,L\right]\right\rbrace \;$
     Pour évaluer $\;\color {transparent}{S_{n}(t)=2\,a_{0}\,\sum \limits _{q=1}^{n}\sin(\omega \,t+\varphi _{q})}\;$ nous introduisons l'amplitude complexe «$\;\color {transparent}{\underline {A_{n}}}$ $=\sum \limits _{q=1}^{n}\left\lbrace 2\,a_{0}\,\exp \!\left[i\,\varphi _{1}\right]\;\left[\exp(-2\,i\,k\,L)\right]^{\,q-1}\right\rbrace \;$» soit finalement, en reconnaissant la « somme des $\;n\;$ 1^ers termes d'une suite géométrique de 1^er terme $\;2\,a_{0}\,\exp \!\left[i(\varphi _{0}-k\,L)\right]\;$ et de raison $\;\exp(-2\,i\,k\,L)\;$»,
     Pour évaluer $\;\color {transparent}{S_{n}(t)=2\,a_{0}\,\sum \limits _{q=1}^{n}\sin(\omega \,t+\varphi _{q})}\;$ nous introduisons l'amplitude complexe «$\;{\underline {A_{n}}}=2\,a_{0}\,\exp \!\left[i(\varphi _{0}-k\,L)\right]{\dfrac {1-\exp(-2\,n\,i\,k\,L)}{1-\exp(-2\,i\,k\,L)}}\;$» soit, en simplifiant le quotient du 2^ème facteur par mise en facteur de $\;\exp(-n\,i\,k\,L)\;$ au numérateur et de $\;\exp(-i\,k\,L)\;$ au dénominateur pour faire apparaître, respectivement au numérateur et au dénominateur, la formule d'Euler relative au sinus dans le facteur restant
     Pour évaluer $\;\color {transparent}{S_{n}(t)=2\,a_{0}\,\sum \limits _{q=1}^{n}\sin(\omega \,t+\varphi _{q})}\;$ nous introduisons l'amplitude complexe «$\;{\underline {A_{n}}}=2\,a_{0}\,\exp \!\left[i(\varphi _{0}-k\,L)\right]{\dfrac {\exp(-n\,i\,k\,L)}{\exp(-i\,k\,L)}}\,{\dfrac {\exp(n\,i\,k\,L)-\exp(-n\,i\,k\,L)}{\exp(i\,k\,L)-\exp(-i\,k\,L)}}\;$» soit encore
     Pour évaluer $\;\color {transparent}{S_{n}(t)=2\,a_{0}\,\sum \limits _{q=1}^{n}\sin(\omega \,t+\varphi _{q})}\;$ nous introduisons l'amplitude complexe «$\;{\underline {A_{n}}}=2\,a_{0}\,\exp \!\left[i(\varphi _{0}-n\,k\,L)\right]{\dfrac {2\,i\,\sin(n\,k\,L)}{2\,i\,\sin(k\,L)}}\;$» et finalement
     Pour évaluer $\;\color {transparent}{S_{n}(t)=2\,a_{0}\,\sum \limits _{q=1}^{n}\sin(\omega \,t+\varphi _{q})}\;$ nous introduisons l'amplitude complexe «$\;{\underline {A_{n}}}=2\,a_{0}\,{\dfrac {\sin(n\,k\,L)}{\sin(k\,L)}}\,\exp \!\left[i(\varphi _{0}-n\,k\,L)\right]\;$» ;

     Pour évaluer $\;\color {transparent}{S_{n}(t)=2\,a_{0}\,\sum \limits _{q=1}^{n}\sin(\omega \,t+\varphi _{q})}\;$ de l'expression de l'amplitude complexe «$\;{\underline {A_{n}}}=2\,a_{0}\,{\dfrac {\sin(n\,k\,L)}{\sin(k\,L)}}\,\exp \!\left[i(\varphi _{0}-n\,k\,L)\right]\;$» nous en déduisons
     Pour évaluer $\;\color {transparent}{S_{n}(t)=2\,a_{0}\,\sum \limits _{q=1}^{n}\sin(\omega \,t+\varphi _{q})}\;$ de l'expression de son module «$\;A_{n}=\left\vert {\underline {A_{n}}}\right\vert =2\,a_{0}\,\left\vert {\dfrac {\sin(n\,k\,L)}{\sin(k\,L)}}\right\vert \;$» ainsi que
     Pour évaluer $\;\color {transparent}{S_{n}(t)=2\,a_{0}\,\sum \limits _{q=1}^{n}\sin(\omega \,t+\varphi _{q})}\;$ de l'expression de son argument «$\;\varphi _{{\text{tot}},\,n}=\left\lbrace {\begin{array}{l}\varphi _{0}-n\,k\,L\qquad \quad {\text{si}}\;{\dfrac {\sin(n\,k\,L)}{\sin(k\,L)}}>0\\\varphi _{0}-n\,k\,L+\pi \quad {\text{si}}\;{\dfrac {\sin(n\,k\,L)}{\sin(k\,L)}}<0\end{array}}\right\rbrace \;$» ;

     Pour évaluer $\;\color {transparent}{S_{n}(t)=2\,a_{0}\,\sum \limits _{q=1}^{n}\sin(\omega \,t+\varphi _{q})}\;$ finalement «$\;S_{n}(t)=2\,a_{0}\,\sum \limits _{q=1}^{n}\sin(\omega \,t+\varphi _{q})=2\,a_{0}\,{\dfrac {\sin(n\,k\,L)}{\sin(k\,L)}}\,\sin(\omega \,t-n\,k\,L+\varphi _{0})\;$» et
     le signal de l'onde résultante s'écrit selon «$\;s_{{\text{tot}},\,n}(M,\,t)=S_{n}(t)\;\sin(k\,x-k\,L)=2\,a_{0}\,{\dfrac {\sin(n\,k\,L)}{\sin(k\,L)}}\,\sin(k\,x-k\,L)\,\sin(\omega \,t-n\,k\,L+\varphi _{0})\;$».

 

Étude de l'onde stationnaire résultante obtenue après (n - 1) réflexions sur le vibreur et n sur la poulie

     Vérifier que l'onde résultante de signal $\;s_{{\text{tot}},\,n}(M,\,t)\;$ obtenu dans la « solution de l'évaluation de l'onde résultante superposant les n 1^ers couples d'ondes stationnaires successives après (n - 1) réflexions sur le vibreur et n sur la poulie » plus haut dans cet exercice,
     Vérifier que l'onde résultante est effectivement stationnaire en déterminant la position des nœuds et des ventres puis
     Vérifier que l'onde résultante est effectivement stationnaire en constatant que les points d'un même fuseau vibrent en phase,
     Vérifier que l'onde résultante est effectivement stationnaire en constatant que les points situés de part et d'autre d'un même nœud vibrant en opposition de phase ;

     Vérifier que l'onde résultante exprimer l'amplitude aux ventres et
     Vérifier que l'onde résultante vérifier que la « condition de résonance » telle qu'elle a été déterminée au paragraphe « conditions de résonance (c'est-à-dire conditions d'interférences constructives des divers systèmes d'onde stationnaires sinusoïdales) » du chap.$7$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » correspond à l'annulation du dénominateur de l'amplitude aux ventres $\;{\big \{}$nous admettrons que ceci suffit à justifier le caractère « maximal »  de l'amplitude aux ventres${\big \}}$.

Solution

     « Les positions des nœuds de l'onde résultante de signal $\;s_{{\text{tot}},\,n}(M,\,t)=2\,a_{0}\,{\dfrac {\sin(n\,k\,L)}{\sin(k\,L)}}\,\sin(k\,x-k\,L)\,\sin(\omega \,t-n\,k\,L+\varphi _{0})\;$ sont déterminées par les abscisses telles que $\;\sin(k\,x-k\,L)=0\;$» soit
     « Les positions des nœuds de l'onde résultante «$\;x_{N_{m}}=L-{\dfrac {m\,\pi }{k}},\;m\in \mathbb {N} \;$» ou encore «$\;x_{N_{m}}=L-m\,{\dfrac {\lambda }{2}},\;m\in \mathbb {N} \;$» c'est-à-dire les mêmes positions que celles trouvées avec la seule onde stationnaire $\;(1)$ ;

                « celles des ventres de cette onde résultante de signal $\;s_{{\text{tot}},\,n}(M,\,t)=2\,a_{0}\,{\dfrac {\sin(n\,k\,L)}{\sin(k\,L)}}\,\sin(k\,x-k\,L)\,\sin(\omega \,t-n\,k\,L+\varphi _{0})\;$ ont une abscisse vérifiant $\;\sin(k\,x-k\,L)=\pm 1\;$» soit
                « celles des ventres de cette onde résultante «$\;x_{V_{m}}=L-{\dfrac {(2\,m+1)\,\pi }{2\,k}},\;m\in \mathbb {N} \;$» ou encore «$\;x_{V_{m}}=L-\left(m+{\dfrac {1}{2}}\right){\dfrac {\lambda }{2}},\;m\in \mathbb {N} \;$» c'est-à-dire, là encore, les mêmes positions que celles trouvées avec la seule onde stationnaire $\;(1)$ ; enfin nous remarquons que

     « les points d'un même fuseau correspondant à $\;2\,a_{0}\,{\dfrac {\sin(n\,k\,L)}{\sin(k\,L)}}\,\sin(k\,x-k\,L)\;$ de même signe vibrent avec la même phase » car cette dernière est indépendante de $\;x\;$ et que
     « les points situés de part et d'autre d'un même nœud correspondant à $\;2\,a_{0}\,{\dfrac {\sin(n\,k\,L)}{\sin(k\,L)}}\,\sin(k\,x-k\,L)\;$ de signe contraire vibrent en opposition de phase  », le déphasage étant de $\;\pi$ ;

     l'« amplitude aux ventres étant $\;2\,a_{0}\left\vert {\dfrac {\sin(n\,k\,L)}{\sin(k\,L)}}\right\vert \;$» a un « dénominateur s'annulant pour les pulsations spatiales $\;k_{p}\;$ telles que $\;k_{p}\,L=p\,\pi ,\;p\in \mathbb {N} ^{*}\;$» $\;{\bigg \{}$correspondant à la « condition de résonance » telle qu'elle a été déterminée au paragraphe « conditions de résonance (c'est-à-dire conditions d'interférences constructives des divers systèmes d'onde stationnaires sinusoïdales) » du chap.$7$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » en effet, avec $\;p\in \mathbb {N} ^{*}$, $\;k_{p}\,L=p\,\pi \;$ $\Leftrightarrow$ $\;k_{p}=p\,{\dfrac {\pi }{L}}\;$ $\Leftrightarrow$ $\;{\dfrac {2\,\pi }{\lambda _{p}}}=p\,{\dfrac {\pi }{L}}\;$ $\Leftrightarrow$ $\;\lambda _{p}={\dfrac {2\,L}{p}}\;$ $\Leftrightarrow$ $\;{\dfrac {c}{f_{p}}}={\dfrac {2\,L}{p}}\;$ $\Leftrightarrow$ $\;f_{p}=p\,{\dfrac {2\,L}{c}}{\bigg \}}$ en remarquant que
           l'« amplitude aux ventres étant $\;\color {transparent}{2\,a_{0}\left\vert {\dfrac {\sin(n\,k\,L)}{\sin(k\,L)}}\right\vert }\;$» a un « dénominateur s'annulant pour ces pulsations spatiales annulant aussi le numérateur car $\;n\,k_{p}\,L=n\,p\,\pi \;$ avec $\;n\,p\in \mathbb {N} ^{*}$, nous conduisent à une forme indéterminée dont la levée $\;{\big \{}$qu'il n'était pas demandé de faire${\big \}}\;$ fournie une « très grande »  amplitude aux ventres.

           l'« amplitude aux ventres étant $\;\color {transparent}{2\,a_{0}\left\vert {\dfrac {\sin(n\,k\,L)}{\sin(k\,L)}}\right\vert }\;$» a un « dénominateur s'annulant pour Additif : pour lever l'indétermination on se place au voisinage d'une condition de résonance c'est-à-dire au voisinage de $\;k_{p}\;$ telle que $\;k_{p}\,L=p\,\pi ,\;p\in \mathbb {N} ^{*}\;$ en posant «$\;k\,L=p\,\pi +\varepsilon ,\;p\in \mathbb {N} ^{*}\;$ avec $\;\vert \varepsilon \vert \ll 1\;$» dont on déduit, en multipliant par $\;n$, «$\;n\,k\,L=n\,p\,\pi +n\,\varepsilon ,\;n\,\vert \varepsilon \vert \ll 1\;$» $\;{\big \{}$en effet $\;\vert \varepsilon \vert \ll 1\;$ $\Rightarrow$ $\;n\,\vert \varepsilon \vert \ll 1\;$ car $\;n\;$ est un nombre entier fini${\big \}}$, dont on tire $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\vert \sin(k\,L)\vert =\vert \sin(p\,\pi +\varepsilon )\vert =\vert \sin(\varepsilon )\vert \sim \vert \varepsilon \vert \\\vert \sin(n\,k\,L)\vert =\vert \sin(n\,p\,\pi +n\,\varepsilon )\vert =\vert \sin(n\,\varepsilon )\vert \sim n\,\vert \varepsilon \vert \end{array}}\right\rbrace \;$ d'où, en faisant le rapport de ces deux approximations $\;{\dfrac {\vert \sin(n\,k\,L)\vert }{\vert \sin(k\,L)\vert }}\sim {\dfrac {n\,\vert \varepsilon \vert }{\vert \varepsilon \vert }}=n\;$ et par suite une amplitude aux ventres approximativement égale à $\;2\,n\,a_{0}\;$ à la résonance des ondes stationnaires.

 

Étude du cas où les réflexions sur la poulie et le vibreur se font respectivement avec un cœfficient de réflexion ρ et ρ'

Étude de l'onde réfléchie (r) sur la poulie ainsi que de l'onde résultante (1), superposition de l'onde incidente (i) et de l'onde réfléchie (r)

     Établir l'expression de l'onde réfléchie sur la poulie $\;(r)\;$ de signal $\;s_{r}(M,\,t)\;$ au point $\;M\;$ et à l'instant $\;t\;$ sachant que l'onde réfléchie $\;(r)\;$ en $\;P\;$ se déduit de l'onde incidente $\;(i)\;$ au même point $\;P\;$ par «$\;s_{r}(P,\,t)=-\rho \;s_{i}(P,\,t)\;$» puis

     déterminer le signal $\;s_{1}(M,\,t)\;$ de l'onde résultante $\;(1)$, superposition de l'onde incidente et de l'onde réfléchie sur $\;P\;$ et le mettre sous la forme
  déterminer le signal «$\;s_{1}(M,\,t)={\mathcal {A}}_{1}(x)\,\cos \!\left[\omega \,t+\varphi _{1}(x)\right]\;$» en explicitant l'amplitude «$\;{\mathcal {A_{1}}}(x)\;$» et la phase «$\;\varphi _{1}(x)\;$»  ;

     vérifier qu'il existe toujours et aux mêmes positions, des ventres de vibration mais que
     vérifier qu'il existe toujours et aux mêmes positions, les « nœuds sont remplacés par des positions de vibration d'amplitude minimale »  d'une part et que
     vérifier qu'il existe toujours et aux mêmes positions, les points d'un même « fuseau » ne vibrent plus rigoureusement en phase d'autre part.

Solution

     Le signal, au point $\;M\;$ et à l'instant $\;t$, de l'onde incidente $\;(i)$, à savoir «$\;s_{i}(M,\,t)=a_{0}\,\cos(\omega \,t-k\,x+\varphi _{0})\;$» se réécrit, en arrivant sur $\;P$, «$\;s_{i}(P,\,t)=a_{0}\,\cos(\omega \,t-k\,L+\varphi _{0})\;$»,
     Le signal, au point $\;\color {transparent}{M};$ et à l'instant $\;\color {transparent}{t}$, de l'onde incidente $\;\color {transparent}{(i)}$, à savoir «$\;\color {transparent}{s_{i}(M,\,t)=a_{0}\,\cos(\omega \,t-k\,x+\varphi _{0})}\;$» il y est réfléchi en «$\;s_{r}(P,\,t)=-\rho \;s_{i}(P,\,t)=-\rho \;a_{0}\,\cos(\omega \,t-k\,L+\varphi _{0})\;$» puis
     Le signal, au point $\;\color {transparent}{M};$ et à l'instant $\;\color {transparent}{t}$, de l'onde incidente $\;\color {transparent}{(i)}$, à savoir «$\;\color {transparent}{s_{i}(M,\,t)=a_{0}\,\cos(\omega \,t-k\,x+\varphi _{0})}\;$» il se propage en s'éloignant de $\;P\;$ selon «$\;s_{r}(M,\,t)=s_{r}\!\left(P,\,t-{\dfrac {L-x}{c}}\right)\;$» se réécrivant
     Le signal, au point $\;\color {transparent}{M};$ et à l'instant $\;\color {transparent}{t}$, de l'onde incidente $\;\color {transparent}{(i)}$, à savoir «$\;\color {transparent}{s_{i}(M,\,t)=a_{0}\,\cos(\omega \,t-k\,x+\varphi _{0})}\;$» il se propage en s'éloignant de $\;\color {transparent}{P}\;$ selon «$\;s_{r}(M,\,t)=-\rho \;a_{0}\,\cos(\omega \,t+k\,x-2\,k\,L+\varphi _{0})\;$» ;

     la superposition de l'onde réfléchie sur la poulie $\;(r)\;$ et l'onde incidente $\;(i)\;$ étant de signal, au point $\;M\;$ et à l'instant $\;t$, «$\;s_{1}(M,\,t)=s_{i}(M,\,t)+s_{r}(M,\,t)\;$» c'est-à-dire la somme de deux fonctions sinusoïdales du temps d'amplitudes différentes, nous pouvons l'évaluer par amplitude complexe $\;{\big (}$ou par « diagramme de Fresnel »${\big )}$ ; ci-dessous nous choisissons la méthode de l'amplitude complexe $\ldots$

     Les grandeurs instantanées complexes étant $\;{\underline {s_{i}}}(M,\,t)={\underline {{\mathcal {A}}_{i}}}(x)\,\exp(i\,\omega \,t)\;$ d'amplitude complexe $\;{\underline {{\mathcal {A}}_{i}}}(x)=a_{0}\,\exp \!\left[i\,(\varphi _{0}-k\,x)\right]\;$ et
     Les grandeurs instantanées complexes étant $\;{\underline {s_{r}}}(M,\,t)={\underline {{\mathcal {A}}_{r}}}(x)\,\exp(i\,\omega \,t)\;$ d'amplitude complexe $\;{\underline {{\mathcal {A}}_{r}}}(x)=-\rho \,a_{0}\,\exp \!\left[i\,(\varphi _{0}-2\,k\,L+k\,x)\right]$,
     la grandeur instantanée complexe associée à la somme est $\;{\underline {s_{1}}}(M,\,t)={\underline {s_{i}}}(M,\,t)+{\underline {s_{r}}}(M,\,t)={\underline {{\mathcal {A}}_{1}}}(x)\,\exp(i\,\omega \,t)\;$ d'amplitude complexe $\;{\underline {{\mathcal {A}}_{1}}}(x)={\underline {{\mathcal {A}}_{i}}}(x)+{\underline {{\mathcal {A}}_{r}}}(x)\;$
     la grandeur instantanée complexe associée à la somme est $\;\color {transparent}{{\underline {s_{1}}}(M,\,t)={\underline {s_{i}}}(M,\,t)+{\underline {s_{r}}}(M,\,t)={\underline {{\mathcal {A}}_{1}}}(x)\,\exp(i\,\omega \,t)}\;$ d'amplitude complexe $\;\color {transparent}{{\underline {{\mathcal {A}}_{1}}}(x)}$ $=a_{0}\,\exp(i\,\varphi _{0})\left\lbrace \exp(-i\,k\,x)-\rho \,\exp \!\left[i\,(k\,x-2\,k\,L)\right]\right\rbrace$ ;

     de l'amplitude complexe $\;{\underline {{\mathcal {A}}_{1}}}(x)=a_{0}\,\exp(i\,\varphi _{0})\left\lbrace \exp(-i\,k\,x)-\rho \,\exp \!\left[i\,(k\,x-2\,k\,L)\right]\right\rbrace \;$ de la grandeur instantanée complexe associée au signal de l'onde $\;(1)\;$ on en déduit

     de l'amplitude complexe $\;\color {transparent}{{\underline {{\mathcal {A}}_{1}}}(x)}$ $\succ \;$l'amplitude $\;{\mathcal {A}}_{1}(x)\;$ de ce dernier en prenant le module de l'amplitude complexe $\;{\underline {{\mathcal {A}}_{1}}}(x)\;$ soit «$\;{\mathcal {A}}_{1}(x)=\left\vert {\underline {{\mathcal {A}}_{1}}}(x)\right\vert ={\sqrt {{\underline {{\mathcal {A}}_{1}}}(x)\;\left[{\underline {{\mathcal {A}}_{1}}}(x)\right]^{*}}}\;$» dans laquelle $\;\left[{\underline {{\mathcal {A}}_{1}}}(x)\right]^{*}=$ $a_{0}\,\exp(-i\,\varphi _{0})\left\lbrace \exp(i\,k\,x)-\rho \,\exp \!\left[-i\,(k\,x-2\,k\,L)\right]\right\rbrace \;$ d'où $\;{\mathcal {A}}_{1}(x)=\left\vert {\underline {{\mathcal {A}}_{1}}}(x)\right\vert =a_{0}\,{\sqrt {\left\lbrace \exp(-i\,k\,x)-\rho \,\exp \!\left[i\,(k\,x-2\,k\,L)\right]\right\rbrace \left\lbrace \exp(i\,k\,x)-\rho \,\exp \!\left[-i\,(k\,x-2\,k\,L)\right]\right\rbrace }}\;$ ou, après développement, $\;{\mathcal {A}}_{1}(x)=a_{0}\,{\sqrt {1+\rho ^{2}-\rho \left\lbrace \exp \!\left[i\,2\,k\,(L-x)\right]+\exp \!\left[-i\,2\,k\,(L-x)\right]\right\rbrace }}\;$ et finalement, en utilisant la formule d'Euler relative au cosinus «$\;{\mathcal {A}}_{1}(x)=a_{0}\,{\sqrt {1+\rho ^{2}-2\,\rho \,\cos \!\left[2\,k\,(L-x)\right]}}\;$» puis

     de l'amplitude complexe $\;\color {transparent}{{\underline {{\mathcal {A}}_{1}}}(x)}$ $\succ \;$la phase $\;\varphi _{1}(x)\;$ de ce dernier en prenant l'argument de l'amplitude complexe $\;{\underline {{\mathcal {A}}_{1}}}(x)\;$ soit «$\;\varphi _{1}(x)=\mathrm {arg} \left[{\underline {{\mathcal {A}}_{1}}}(x)\right]=\varphi _{0}+\mathrm {arg} \left\lbrace \exp(-i\,k\,x)-\rho \,\exp \!\left[i\,(k\,x-2\,k\,L)\right]\right\rbrace \;$» $\;{\bigg [}$pour déterminer l'argument d'une somme de complexes, il est judicieux de mettre cette somme sous forme algébrique $\Rightarrow$ $\;\left\lbrace {\begin{array}{r c l}\exp(-i\,k\,x)\!\!&=&\!\!\cos(k\,x)-i\,\sin(k\,x)\\\exp \!\left[i\,(k\,x-2\,k\,L)\right]\!\!&=&\!\!\cos(k\,x-2\,k\,L)+i\,\sin(k\,x-2\,k\,L)\end{array}}\right\rbrace \;$ d'où la forme algébrique de la somme «$\;\exp(-i\,k\,x)-\rho \,\exp \!\left[i\,(k\,x-2\,k\,L)\right]=\left\lbrace \cos(k\,x)-\rho \,\cos(k\,x-2\,k\,L)\right\rbrace -i\,\left\lbrace \sin(k\,x)+\rho \,\sin(k\,x-2\,k\,L)\right\rbrace \;$» dont on peut déduire l'argument${\bigg ]}\;$ d'où
     de l'amplitude complexe $\;\color {transparent}{{\underline {{\mathcal {A}}_{1}}}(x)}$ $\color {transparent}{\succ }\;$la phase $\;\varphi _{1}(x)-\varphi _{0}=\mathrm {arg} \left\lbrace \exp(-i\,k\,x)-\rho \,\exp \!\left[i\,(k\,x-2\,k\,L)\right]\right\rbrace \;$ telle que $\;\left\lbrace {\begin{array}{r c l}\cos \!\left[\varphi _{1}(x)-\varphi _{0}\right]\!\!&=&\!\!{\dfrac {\cos(k\,x)-\rho \,\cos(k\,x-2\,k\,L)}{\dfrac {{\mathcal {A}}_{1}(x)}{a_{0}}}}\\\sin \!\left[\varphi _{1}(x)-\varphi _{0}\right]\!\!&=&\!\!-{\dfrac {\sin(k\,x)+\rho \,\sin(k\,x-2\,k\,L)}{\dfrac {{\mathcal {A}}_{1}(x)}{a_{0}}}}\end{array}}\right\rbrace \;$ ou encore
     de l'amplitude complexe $\;\color {transparent}{{\underline {{\mathcal {A}}_{1}}}(x)}$ $\color {transparent}{\succ }\;$la phase $\;\color {transparent}{\varphi _{1}(x)-\varphi _{0}=\mathrm {arg} \left\lbrace \exp(-i\,k\,x)-\rho \,\exp \!\left[i\,(k\,x-2\,k\,L)\right]\right\rbrace }\;$ telle que «$\;\left\lbrace {\begin{array}{r c l}\cos \!\left[\varphi _{1}(x)-\varphi _{0}\right]\!\!&=&\!\!{\dfrac {\cos(k\,x)-\rho \,\cos(k\,x-2\,k\,L)}{\sqrt {1+\rho ^{2}-2\,\rho \,\cos \!\left[2\,k\,(L-x)\right]}}}\\\sin \!\left[\varphi _{1}(x)-\varphi _{0}\right]\!\!&=&\!\!-{\dfrac {\sin(k\,x)+\rho \,\sin(k\,x-2\,k\,L)}{\sqrt {1+\rho ^{2}-2\,\rho \,\cos \!\left[2\,k\,(L-x)\right]}}}\end{array}}\right\rbrace \;$» ;

     le signal de l'onde résultante $\;(1)\;$ s'écrivant «$\;s_{1}(M,\,t)={\mathcal {A}}_{1}(x)\,\cos \!\left[\omega \,t+\varphi _{1}(x)\right]\;$» a pour « pseudo-amplitude $\;{\mathcal {A}}_{1}(x)=a_{0}\,{\sqrt {1+\rho ^{2}-2\,\rho \,\cos \!\left[2\,k\,(L-x)\right]}}\;$» et
     le signal de l'onde résultante $\;\color {transparent}{(1)}\;$ s'écrivant «$\;\color {transparent}{s_{1}(M,\,t)={\mathcal {A}}_{1}(x)\,\cos \!\left[\omega \,t+\varphi _{1}(x)\right]}\;$» a pour « phase $\;\varphi _{1}(x)=\varphi _{0}+\alpha _{1}(x)\;$ telle que $\;\left\lbrace {\begin{array}{r c l}\cos \!\left[\alpha _{1}(x)\right]\!\!&=&\!\!{\dfrac {\cos(k\,x)-\rho \,\cos(k\,x-2\,k\,L)}{\sqrt {1+\rho ^{2}-2\,\rho \,\cos \!\left[2\,k\,(L-x)\right]}}}\\\sin \!\left[\alpha _{1}(x)\right]\!\!&=&\!\!-{\dfrac {\sin(k\,x)+\rho \,\sin(k\,x-2\,k\,L)}{\sqrt {1+\rho ^{2}-2\,\rho \,\cos \!\left[2\,k\,(L-x)\right]}}}\end{array}}\right\rbrace \;$»,
     le signal de l'onde résultante $\;\color {transparent}{(1)}\;$ s'écrivant «$\;\color {transparent}{s_{1}(M,\,t)={\mathcal {A}}_{1}(x)\,\cos \!\left[\omega \,t+\varphi _{1}(x)\right]}\;$» a pour pseudo amplitude de « pulsation spatiale $\;2\,k\;$ double de la pulsation spatiale de l'onde incidente » donc
     le signal de l'onde résultante $\;\color {transparent}{(1)}\;$ s'écrivant «$\;\color {transparent}{s_{1}(M,\,t)={\mathcal {A}}_{1}(x)\,\cos \!\left[\omega \,t+\varphi _{1}(x)\right]}\;$» a pour pseudo amplitude de « période spatiale $\;{\dfrac {\lambda }{2}}\;$ égale à la moitié de la période spatiale de l'onde incidente » d'où
     le signal de l'onde résultante $\;\color {transparent}{(1)}\;$ s'écrivant «$\;\color {transparent}{s_{1}(M,\,t)={\mathcal {A}}_{1}(x)\,\cos \!\left[\omega \,t+\varphi _{1}(x)\right]}\;$» a pour les mêmes valeurs de « pseudo-amplitude » tous les $\;{\dfrac {\lambda }{2\;}}$,
     le signal de l'onde résultante $\;\color {transparent}{(1)}\;$ s'écrivant «$\;\color {transparent}{s_{1}(M,\,t)={\mathcal {A}}_{1}(x)\,\cos \!\left[\omega \,t+\varphi _{1}(x)\right]}\;$» a pour celle-ci étant « maximale aux ventres $\;V_{m}\;$ pour $\;\cos \!\left[2\,k\,(L-x_{V_{m}})\right]=-1\;$» ou
     le signal de l'onde résultante $\;\color {transparent}{(1)}\;$ s'écrivant «$\;\color {transparent}{s_{1}(M,\,t)={\mathcal {A}}_{1}(x)\,\cos \!\left[\omega \,t+\varphi _{1}(x)\right]}\;$» a pour celle-ci étant « maximale aux ventres $\;\color {transparent}{V_{m}}\;$ telle que $\;L-x_{V_{m}}={\dfrac {(2\,m+1)\,\pi }{2\,k}},\;m\in \mathbb {N} \;$ ou encore
     le signal de l'onde résultante $\;\color {transparent}{(1)}\;$ s'écrivant «$\;\color {transparent}{s_{1}(M,\,t)={\mathcal {A}}_{1}(x)\,\cos \!\left[\omega \,t+\varphi _{1}(x)\right]}\;$» a pour celle-ci étant « maximale aux ventres $\;\color {transparent}{V_{m}}\;$ telle que «$\;x_{V_{m}}=L-{\dfrac {(2\,m+1)\,\lambda }{4}},\;m\in \mathbb {N} \;$»
     le signal de l'onde résultante $\;\color {transparent}{(1)}\;$ s'écrivant «$\;\color {transparent}{s_{1}(M,\,t)={\mathcal {A}}_{1}(x)\,\cos \!\left[\omega \,t+\varphi _{1}(x)\right]}\;$» a pour celle-ci étant « maximale aux ventres $\;\color {transparent}{V_{m}}\;$ positions identiques à celles qu'on a avec des réflexions idéales et
     le signal de l'onde résultante $\;\color {transparent}{(1)}\;$ s'écrivant «$\;\color {transparent}{s_{1}(M,\,t)={\mathcal {A}}_{1}(x)\,\cos \!\left[\omega \,t+\varphi _{1}(x)\right]}\;$» a pour celle-ci étant « minimale aux points $\;N_{m}\;$ pour $\;\cos \!\left[2\,k\,(L-x_{N_{m}})\right]=+1\;$» ou
     le signal de l'onde résultante $\;\color {transparent}{(1)}\;$ s'écrivant «$\;\color {transparent}{s_{1}(M,\,t)={\mathcal {A}}_{1}(x)\,\cos \!\left[\omega \,t+\varphi _{1}(x)\right]}\;$» a pour celle-ci étant « minimale aux points $\;\color {transparent}{N_{m}}\;$ telle que $\;L-x_{N_{m}}={\dfrac {2\,m\,\pi }{2\,k}},\;m\in \mathbb {N} \;$ ou encore
     le signal de l'onde résultante $\;\color {transparent}{(1)}\;$ s'écrivant «$\;\color {transparent}{s_{1}(M,\,t)={\mathcal {A}}_{1}(x)\,\cos \!\left[\omega \,t+\varphi _{1}(x)\right]}\;$» a pour celle-ci étant « minimale aux points $\;\color {transparent}{N_{m}}\;$ telle que «$\;x_{N_{m}}=L-{\dfrac {m\,\lambda }{2}},\;m\in \mathbb {N} \;$»,
     le signal de l'onde résultante $\;\color {transparent}{(1)}\;$ s'écrivant «$\;\color {transparent}{s_{1}(M,\,t)={\mathcal {A}}_{1}(x)\,\cos \!\left[\omega \,t+\varphi _{1}(x)\right]}\;$» a pour celle-ci étant « minimale aux points que l'on qualifiera de « pseudo-nœuds »
     le signal de l'onde résultante $\;\color {transparent}{(1)}\;$ s'écrivant «$\;\color {transparent}{s_{1}(M,\,t)={\mathcal {A}}_{1}(x)\,\cos \!\left[\omega \,t+\varphi _{1}(x)\right]}\;$» a pour celle-ci étant « minimale aux points $\;\color {transparent}{N_{m}}\;$ positions identiques à celles qu'on a avec des réflexions idéales ;

  le signal de l'onde résultante $\;\color {transparent}{(1)}\;$ s'écrivant «$\;\color {transparent}{s_{1}(M,\,t)={\mathcal {A}}_{1}(x)\,\cos \!\left[\omega \,t+\varphi _{1}(x)\right]}\;$» a pour la phase initiale $\;\varphi _{1}\;$ dépendant de $\;x$, il ne s'agit pas rigoureusement d'ondes stationnaires, les points entre deux « pseudo-nœuds » consécutifs ne vibrant pas a priori rigoureusement en phase $\ldots$

 

Étude de l'onde réfléchie (r') sur le vibreur ainsi que de l'onde résultante (2), superposition de l'onde (r') et de sa réfléchie sur la poulie (r")

     Établir l'expression de l'onde réfléchie sur le vibreur $\;(r')\;$ de signal $\;s_{r'}(M,\,t)\;$ au point $\;M\;$ et à l'instant $\;t\;$ sachant que l'onde réfléchie sur le vibreur $\;(r')\;$ en $\;O\;$ se déduit de l'onde réfléchie sur la poulie $\;(r)\;$ au même point $\;O\;$ par «$\;s_{r'}(O,\,t)=-\rho '\;s_{r}(O,\,t)\;$» puis

     vérifier que l'onde réfléchie sur le vibreur $\;(r')\;$ se déduit de l'onde incidente $\;(i)\;$ en multipliant l'amplitude de vibration du vibreur $\;a_{0}\;$ par un facteur à préciser et
     vérifier que l'onde réfléchie sur le vibreur $\;\color {transparent}{(r')}\;$ se déduit de l'onde incidente $\;\color {transparent}{(i)}\;$ en ajoutant à la phase initiale $\;\varphi _{0}\;$ une valeur également à préciser ;

     déterminer le signal $\;s_{2}(M,\,t)\;$ de l'onde résultante $\;(2)$, superposition de l'onde réfléchie sur le vibreur $\;(r')\;$ de signal $\;s_{r'}(M,\,t)\;$ et de sa réfléchie sur la poulie $\;(r'')\;$ de signal $\;s_{r''}(M,\,t)\;$ c'est-à-dire
     déterminer le signal $\;s_{2}(M,\,t)=s_{r'}(M,\,t)+s_{r''}(M,\,t)\;$ et le mettre sous la forme
   déterminer le signal «$\;s_{2}(M,\,t)={\mathcal {A}}_{2}(x)\,\cos \!\left[\omega \,t+\varphi _{2}(x)\right]\;$» en explicitant l'amplitude «$\;{\mathcal {A_{2}}}(x)\;$» et la phase «$\;\varphi _{2}(x)\;$»  ;

     vérifier que $\;{\mathcal {A_{2}}}(x)\;$ se déduit de $\;{\mathcal {A_{1}}}(x)\;$ par un facteur multiplicateur à préciser $\;{\big \{}$il existe donc, aux mêmes positions, des ventres de vibration ainsi que des points de vibration d'amplitude minimale $\;{\big (}$se substituant aux nœuds des ondes stationnaires dans le cas de réflexion parfaite${\big )}{\big \}}\;$ et

     vérifier que $\;\varphi _{2}(x)\;$ se déduit de $\;\varphi _{1}(x)\;$ par un terme additif à préciser $\;{\big \{}$là encore les points d'un même « fuseau » ne vibrent plus rigoureusement en phase${\big \}}$.

Solution

     Le signal, au point $\;M\;$ et à l'instant $\;t$, de l'onde $\;(r)$, à savoir «$\;s_{r}(M,\,t)=-\rho \,a_{0}\,\cos(\omega \,t+k\,x-2\,k\,L+\varphi _{0})\;$» se réécrit, en arrivant sur le vibreur $\;O$, «$\;s_{r}(O,\,t)=-\rho \,a_{0}\,\cos(\omega \,t-2\,k\,L+\varphi _{0})\;$»,
     Le signal, au point $\;\color {transparent}{M};$ et à l'instant $\;\color {transparent}{t}$, de l'onde $\;\color {transparent}{(r)}$, à savoir «$\;\color {transparent}{s_{r}(M,\,t)=-\rho \,a_{0}\,\cos(\omega \,t+k\,x-2\,k\,L+\varphi _{0})}\;$» il y est réfléchi en «$\;s_{r'}(O,\,t)=-\rho '\,s_{r}(O,\,t)=\rho '\,\rho \,a_{0}\,\cos(\omega \,t-2\,k\,L+\varphi _{0})\;$» puis
     Le signal, au point $\;\color {transparent}{M};$ et à l'instant $\;\color {transparent}{t}$, de l'onde $\;\color {transparent}{(r)}$, à savoir «$\;\color {transparent}{s_{r}(M,\,t)=-\rho \,a_{0}\,\cos(\omega \,t+k\,x-2\,k\,L+\varphi _{0})}\;$» il se propage en s'éloignant de $\;O\;$ selon «$\;s_{r'}(M,\,t)=s_{r'}\!\left(O,\,t-{\dfrac {x}{c}}\right)\;$» se réécrivant
     Le signal, au point $\;\color {transparent}{M};$ et à l'instant $\;\color {transparent}{t}$, de l'onde $\;\color {transparent}{(r)}$, à savoir «$\;s_{r'}(M,\,t)=\rho '\,\rho \,a_{0}\,\cos(\omega \,t-k\,x-2\,k\,L+\varphi _{0})\;$» $\;{\big \{}$c'est-à-dire le signal de l'onde $\;(r')\;$ en $\;M\;$ et à l'instant $\;t$, réfléchie une 1^ère fois sur le vibreur${\big \}}$ ;

     Le signal, au point $\;\color {transparent}{M};$ et à l'instant $\;\color {transparent}{t}$, de l'onde $\;\color {transparent}{(r)}$, à savoir l'onde $\;(r')\;$ se propageant dans le même sens que l'onde incidente $\;(i)\;$ a un signal se déduisant de celui de cette dernière
     Le signal, au point $\;\color {transparent}{M};$ et à l'instant $\;\color {transparent}{t}$, de l'onde $\;\color {transparent}{(r)}$, à savoir l'onde $\;\color {transparent}{(r')}\;$ se propageant dans le même sens que l'onde incidente $\;\color {transparent}{(i)}\;$ a un signal en remplaçant «$\;a_{0}\;$ par $\;\rho \,\rho '\,a_{0}\;$» et
     Le signal, au point $\;\color {transparent}{M};$ et à l'instant $\;\color {transparent}{t}$, de l'onde $\;\color {transparent}{(r)}$, à savoir l'onde $\;\color {transparent}{(r')}\;$ se propageant dans le même sens que l'onde incidente $\;\color {transparent}{(i)}\;$ a un signal en remplaçant «$\;\varphi _{0}\;$ par $\;\varphi _{0}-2\,k\,L\;$» et par suite
     le signal de l'onde résultante $\;(2)\;$ «$\;s_{2}(M,\,t)={\mathcal {A}}_{2}(x)\,\cos \!\left[\omega \,t+\varphi _{2}(x)\right]\;$» peut se déduire de celui de l'onde résultante $\;(1)\;$ «$\;s_{1}(M,\,t)={\mathcal {A}}_{1}(x)\,\cos \!\left[\omega \,t+\varphi _{1}(x)\right]\;$» par les mêmes transformations, c'est-à-dire
     le signal de l'onde résultante $\;\color {transparent}{(2)}\;$ «$\;\color {transparent}{s_{2}(M,\,t)={\mathcal {A}}_{2}(x)\,\cos \!\left[\omega \,t+\varphi _{2}(x)\right]}\;$» peut se déduire en remplaçant «$\;a_{0}\;$ par $\;\rho \,\rho '\,a_{0}\;$» dans $\;{\mathcal {A}}_{1}(x)\;$ pour obtenir $\;{\mathcal {A}}_{2}(x)\;$ et
     le signal de l'onde résultante $\;\color {transparent}{(2)}\;$ «$\;\color {transparent}{s_{2}(M,\,t)={\mathcal {A}}_{2}(x)\,\cos \!\left[\omega \,t+\varphi _{2}(x)\right]}\;$» peut se déduire en remplaçant «$\;\varphi _{0}\;$ par $\;\varphi _{0}-2\,k\,L\;$» dans $\;\varphi _{1}(x)\;$ pour obtenir $\;\varphi _{2}(x)\;$ ce qui conduit à :

     le signal de l'onde résultante $\;\color {transparent}{(2)}\;$ $\succ \;$l'expression de « pseudo-amplitude $\;{\mathcal {A}}_{2}(x)=\rho \,\rho '\,a_{0}\,{\sqrt {1+\rho ^{2}-2\,\rho \,\cos \!\left[2\,k\,x-2\,k\,L\right]}}\;$» c'est-à-dire «$\;{\mathcal {A}}_{2}(x)=\rho \,\rho '\,{\mathcal {A}}_{1}(x)\;$» $\Rightarrow$ les positions des ventres de vibration de l'onde résultante $\;(2)\;$ sont les mêmes que celles des ventres de vibration de l'onde résultante $\;(1)\;$ ainsi que les points de vibration d'amplitude minimale $\;{\big (}$lesquels se substituent aux nœuds des ondes stationnaires dans le cas de réflexion parfaite${\big )}\;$ ${\big \{}$toutefois l'amplitude aux ventres et celle aux « pseudo-nœuds » de l'onde résultante $\;(2)\;$ sont respectivement «$\;\rho \,\rho '\,(1+\rho )\,a_{0}\;$» et «$\;\rho \,\rho '\,(1-\rho )\,a_{0}\;$»${\big \}}\;$ et
     le signal de l'onde résultante $\;\color {transparent}{(2)}\;$ $\succ \;$celle de « phase initiale $\;\varphi _{2}(x)=\varphi _{0}-2\,k\,L+\alpha _{1}(x)\;$ avec $\;\left\lbrace {\begin{array}{r c l}\cos \!\left[\alpha _{1}(x)\right]\!\!&=&\!\!{\dfrac {\cos(k\,x)-\rho \,\cos(k\,x-2\,k\,L)}{\sqrt {1+\rho ^{2}-2\,\rho \,\cos \!\left[2\,k\,(L-x)\right]}}}\\\sin \!\left[\alpha _{1}(x)\right]\!\!&=&\!\!-{\dfrac {\sin(k\,x)+\rho \,\sin(k\,x-2\,k\,L)}{\sqrt {1+\rho ^{2}-2\,\rho \,\cos \!\left[2\,k\,(L-x)\right]}}}\end{array}}\right\rbrace \;$» c'est-à-dire «$\;\varphi _{2}(x)=\varphi _{1}(x)-2\,k\,L\;$» mais la phase initiale $\;\varphi _{2}\;$ dépendant de $\;x\;$ de la même façon que $\;\varphi _{1}$, il ne s'agit pas rigoureusement d'ondes stationnaires, les points entre deux « pseudo-nœuds » consécutifs ne vibrant pas a priori en phase $\;\ldots$

 

Itération du procédé

     Itérer le procédé exposé précédemment pour obtenir $\;s_{q}(M,\,t)\;$ le signal de l'onde résultante superposant l'onde se propageant vers $\;P\;$ après $\;(q-1)\;$ réflexions sur $\;O\;$ et l'onde se propageant vers $\;O\;$ après $\;q\;$ réflexions sur $\;P\;$ à partir de $\;s_{1}(M,\,t)$.

Solution

     Itérant le procédé exposé précédemment on déduit «$\;s_{q}(M,\,t)={\mathcal {A}}_{q}(x)\,\cos \!\left[\omega \,t+\varphi _{q}(x)\right]\;$ le signal de l'onde résultante superposant l'onde se propageant vers $\;P\;$ après $\;(q-1)\;$ réflexions sur $\;O\;$ et l'onde se propageant vers $\;O\;$ après $\;q\;$ réflexions sur $\;P\;$» à partir de «$\;s_{1}(M,\,t)={\mathcal {A}}_{1}(x)\,\cos \!\left[\omega \,t+\varphi _{1}(x)\right]\;$» 
     Itérant le procédé exposé précédemment on déduit «$\;\color {transparent}{s_{q}(M,\,t)}$ en multipliant l'expression de $\;{\mathcal {A}}_{1}(x)\;$ par $\;(\rho \,\rho ')^{(q-1)}\;$ pour obtenir $\;{\mathcal {A}}_{q}(x)\;$ et
     Itérant le procédé exposé précédemment on déduit «$\;\color {transparent}{s_{q}(M,\,t)}$ en ajoutant à l'expression de $\;\varphi _{1}(x)\;$ le déphasage $\;-(q-1)\,2\,k\,L\;$ pour obtenir $\;\varphi _{q}(x)\;$ soit :

     Itérant le procédé exposé précédemment on déduit «$\;\color {transparent}{s_{q}(M,\,t)}$ pour « pseudo-amplitude $\;{\mathcal {A}}_{q}(x)=(\rho \,\rho ')^{(q-1)}\,{\mathcal {A}}_{1}(x)=(\rho \,\rho ')^{(q-1)}\,a_{0}\,{\sqrt {1+\rho ^{2}-2\,\rho \,\cos \!\left[2\,k\,x-2\,k\,L\right]}}$» $\Rightarrow$ les positions des ventres de vibration de l'onde résultante $\;(q)\;$ sont les mêmes que celles des ventres de vibration de l'onde résultante $\;(1)\;$ ainsi que les points de vibration d'amplitude minimale $\;{\big (}$lesquels se substituent aux nœuds des ondes stationnaires dans le cas de réflexion parfaite${\big )}\;$ ${\big \{}$l'amplitude aux ventres et celle aux « pseudo-nœuds » de l'onde résultante $\;(q)\;$ étant respectivement «$\;(\rho \,\rho ')^{(q-1)}\,(1+\rho )\,a_{0}\;$» et «$\;(\rho \,\rho ')^{(q-1)}\,(1-\rho )\,a_{0}\;$»${\big \}}\;$ et

     Itérant le procédé exposé précédemment on déduit «$\;\color {transparent}{s_{q}(M,\,t)}$ pour « phase initiale $\;\varphi _{q}(x)=\varphi _{1}(x)-(q-1)\,2\,k\,L=\varphi _{0}-(q-1)\,2\,k\,L+\alpha _{1}(x)\;$ avec
     Itérant le procédé exposé précédemment on déduit «$\;\color {transparent}{s_{q}(M,\,t)}$ pour « phase initiale $\;\color {transparent}{\varphi _{q}(x)=\varphi _{1}(x)-(q-1)\,2\,k\,L}$ $\;\left\lbrace {\begin{array}{r c l}\cos \!\left[\alpha _{1}(x)\right]\!\!&=&\!\!{\dfrac {\cos(k\,x)-\rho \,\cos(k\,x-2\,k\,L)}{\sqrt {1+\rho ^{2}-2\,\rho \,\cos \!\left[2\,k\,(L-x)\right]}}}\\\sin \!\left[\alpha _{1}(x)\right]\!\!&=&\!\!-{\dfrac {\sin(k\,x)+\rho \,\sin(k\,x-2\,k\,L)}{\sqrt {1+\rho ^{2}-2\,\rho \,\cos \!\left[2\,k\,(L-x)\right]}}}\end{array}}\right\rbrace \;$» $\Rightarrow$ la phase initiale $\;\varphi _{q}\;$ dépendant de $\;x\;$ de la même façon que $\;\varphi _{1}$, il ne s'agit pas rigoureusement d'ondes stationnaires, les points entre deux « pseudo-nœuds » consécutifs ne vibrant pas a priori en phase $\;\ldots$

 

Expression de l'onde résultante superposant les n 1^ers couples d'ondes pseudo-stationnaires successives après (n - 1) réflexions sur le vibreur et n sur la poulie

     Exprimer le signal de l'onde résultante au point $\;M\;$ et à l'instant $\;t$, superposition des $\;n\;$ 1^ers couples d'ondes « pseudo-stationnaires » successives après $\;n\;$ réflexions sur la poulie $\;P\;$ et $\;\left(n-1\right)\;$ sur le vibreur $\;O\;$ «$\;s_{{\text{tot}},\,n}(M,\,t)=\sum \limits _{q=1}^{n}s_{q}(M,\,t)\;$» ;

     vérifier qu'elle peut s'écrire sous la forme «$\;s_{{\text{tot}},\,n}(M,\,t)={\mathcal {A}}_{1}(x)\,\sum \limits _{q=1}^{n}\,\left\lbrace (\rho \,\rho ')^{(q-1)}\,\cos \!\left[\omega \,t+\varphi _{1}(x)-(q-1)\,2\,k\,L\right]\right\rbrace \;$»
     vérifier qu'elle peut s'écrire sous la forme «$\;\color {transparent}{s_{{\text{tot}},\,n}(M,\,t)}$ dans laquelle $\;{\mathcal {A}}_{1}(x)\;$ et $\;\varphi _{1}(x)\;$ sont respectivement l'amplitude et la phase initiale de l'onde « pseudo-stationnaire » $\;(1)\;$.

Solution

     Le signal de l'onde résultante au point $\;M\;$ et à l'instant $\;t$, superposition des $\;n\;$ 1^ers couples d'ondes « pseudo-stationnaires » successives après $\;n\;$ réflexions sur la poulie $\;P\;$ et $\;\left(n-1\right)\;$ sur le vibreur $\;O\;$ «$\;s_{{\text{tot}},\,n}(M,\,t)$ $=\sum \limits _{q=1}^{n}s_{q}(M,\,t)\;$» se réécrit selon «$\;s_{{\text{tot}},\,n}(M,\,t)=\sum \limits _{q=1}^{n}{\mathcal {A}}_{q}(x)\,\cos \!\left[\omega \,t+\varphi _{q}(x)\right]\;$