En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Signaux physiques (PCSI) : Propagation d'un signal : Battements Signaux physiques (PCSI)/Propagation d'un signal : Battements », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Addition de deux ondes électriques de fréquences très voisines, notion de battementsmodifier
On considère deux ondes électriques de grandeur vibrante « la tension aux bornes de deux G.B.F. [1] différents » de fréquences très voisines, On considère deux ondes électriques l'une de fréquence «» et d'amplitude «», On considère deux ondes électriques l'autre de fréquence «» et d'amplitude «» ; on observe chaque tension sur une voie différente de l'oscilloscope numérique et on visualise la somme de ces deux tensions grâce à l'opérateur mathématique « addition » disponible sur l'oscilloscope ; on observe le 1er oscillogramme ci-dessous dans lequel « est en rouge », « en bleu clair » et « en noir » à la suite duquel est représenté on observe un 2ème oscillogramme dans lequel n'est laissé, pour une meilleur lisibilité de l'écran, que le signal résultant dans ce dernier oscillogramme a été ajoutée, en rouge, l'« enveloppe supérieure » du signal résultant c.-à-d. la courbe reliant les maxima de ce dernier, l'« enveloppe inférieure » du signal résultant c.-à-d. la courbe reliant les minima du signal résultant, n'étant pas représentée [2].
Observation de deux tensions sinusoïdales de fréquences voisines et de même amplitude simultanément à leur somme
Observation de battements entre deux tensions sinusoïdales de fréquences voisines et de même amplitude, modulation d'amplitude entre et fois l'amplitude
On constate que, pour certains intervalles de temps au voisinage de et de , les tensions de fréquences très voisines étant quasiment en phase, On constate que, pour certains intervalles de temps au voisinage de et de , l'« amplitude » de l'onde résultante est maximale égale à «» alors que On constate que, pour certains autres intervalles de temps au voisinage de , elles sont quasiment en opposition de phase et par suite On constate que, pour certains autres intervalles de temps au voisinage de , l'« amplitude » de l'onde résultante est minimale égale à «» ; l'onde résultante est « pseudo-sinusoïdale » de fréquence [3] avec une modulation d'« amplitude » à la fréquence [4], l'onde résultante est « pseudo-sinusoïdale » de fréquence avec une modulation l'« amplitude » variant entre «» et «» [5].
Définition
Lorsque l'on forme l'addition de deux signaux sinusoïdaux de fréquences très voisines on dit que l'on réalise Lorsque l'on forme des « battements entre ces deux signaux », ceci veut dire que le signal résultant est « pseudo-sinusoïdal »
de fréquence égale à la fréquence quasi-commune et
de « pseudo-amplitude » variant à la fréquence de battements égale à la « différence des fréquences » [6].
Il n'est pas nécessaire que les deux signaux soient de même amplitude pour réaliser des battements entre eux, il suffit qu'ils soient de fréquences très voisines ; ci-dessous un 1er oscillogramme présentant des battements entre des signaux sinusoïdaux de fréquence et d'amplitude en rouge sur l'oscillogramme et ci-dessous un 1er oscillogramme présentant des battements entre des signaux sinusoïdaux de fréquence et d'amplitude en bleu sur l'oscillogramme ; ci-dessous un 1er oscillogramme la fréquence des battementsen noir sur l'oscillogramme est toujours la différence des fréquences mais ci-dessous un 1er oscillogramme la « pseudo-amplitude » varie maintenant entre et à la suite duquel est représenté ci-dessous un 2ème oscillogramme dans lequel n'est laissé, pour une meilleur lisibilité de l'écran, que le signal résultant avec l'ajout, en rouge, d'une approximation de l'« enveloppe supérieure » du signal résultant c.-à-d. la courbe reliant les maxima de ce dernier[7], l'« enveloppe inférieure » du signal résultant c.-à-d. la courbe reliant les minima du signal résultant, n'étant pas représentée.
Observation de deux tensions sinusoïdales de fréquences voisines et d'amplitudes différentes simultanément à leur somme
Observation de battements entre deux tensions sinusoïdales de fréquences voisines et d'amplitudes différentes, modulation d'amplitude entre la valeur absolue de la différence des amplitudes et la somme des amplitudes
Interprétation de l'onde résultante comme une onde pseudo-sinusoïdale de pseudo-amplitude à variation lente et périodique, fréquence de battementsmodifier
Battements entre deux signaux sinusoïdaux de même amplitudemodifier
On considère deux signaux sinusoïdaux de fréquences voisines et de même amplitude «» avec «» ; le signal résultant «» se réécrit, à l'aide de la formule de trigonométrie transformant une somme de cosinus en un produit de cosinus «» [8], utilisée dans le but de faire apparaître un produit de fonctions du temps dont l'une varierait nettement plus lentement que l'autre, le signal résultant «» ;
le 1er facteur en cosinus «» variant plus rapidement que le 2nd «» « très grande par rapport à » [9], le 2nd facteur «» peut être considéré comme « quasi constant » pendant une période de variation du 1er «», d'où la réécriture du signal résultant en introduisant la « grandeur quasi constante sur la période avec » selon le signal résultant «» avec « qui se réécrit » [10] ; le signal résultant est donc « pseudo-sinusoïdal » de «pseudo-fréquence» et le signal résultant est donc « pseudo-sinusoïdal » de « pseudo-amplitude» [11] le signal résultant est donc « pseudo-sinusoïdal » de « pseudo-amplitude variant à la fréquence dite des battements «» [12].
Remarque Contacts de l'enveloppe supérieure avec le signal résultant : pour «», « représente la pseudo-amplitude », Remarque Contacts de l'enveloppe supérieure avec le signal résultant : pour «», le contact du signal résultant avec l'enveloppe supérieure se fait aux instants « vérifiant Remarque Contacts de l'enveloppe supérieure avec le signal résultant : pour «», le contact du signal résultant avec l'enveloppe supérieure » [14],
Remarque Contacts de l'enveloppe supérieure avec le signal résultant : pour «», « la pseudo-amplitude », Remarque Contacts de l'enveloppe supérieure avec le signal résultant : pour «», le contact du signal résultant avec l'enveloppe supérieure se fait aux instants « vérifiant Remarque Contacts de l'enveloppe supérieure avec le signal résultant : pour «», le contact du signal résultant avec l'enveloppe sup » [15],
Remarque Contacts de l'enveloppe supérieure avec le signal résultant : pour «», « est de nouveau la pseudo-amplitude », Remarque Contacts de l'enveloppe supérieure avec le signal résultant : pour «», le contact du signal résultant avec l'enveloppe supérieure se fait aux instants « vérifiant Remarque Contacts de l'enveloppe supérieure avec le signal résultant : pour «», le contact du signal résultant avec l'enveloppe sup » [16] ;
Remarque Contacts de l'enveloppe supérieure avec le signal résultant : pour «» les contacts du signal résultant avec l'enveloppe supérieure se déterminent comme précédemment, le phénomène étant périodique de période en effet la fréquence de étant est de période la pseudo-amplitude est de période correspondant aux deux phases successives étudiées ci-dessus, son inverse définissant la fréquence des battements.
Battements entre deux signaux sinusoïdaux d'amplitudes différentesmodifier
On considère maintenant deux signaux sinusoïdaux de fréquences voisines et d'amplitudes différentes «» avec «» ; le signal résultant «» ne s'acquière plus par « utilisation de la trigonométrie » [17] mais le signal résultant peut s'obtenir par « diagramme de Fresnel [18] à l'instant » [19] bien que cette méthode soit, a priori, réservée à l'addition de deux signaux sinusoïdaux de même fréquence, ou le signal résultant peut s'obtenir par « grandeurs instantanées complexes » [20] ;
Détermination de la pseudo-amplitude du signal résultant de deux signaux sinusoïdaux de fréquences très voisines et d'amplitudes différentes par tracé du diagramme de Fresnel [18] relativement à un axe tournant à la vitesse angulaire du plus lent
nous allons représenter le diagramme de Fresnel [18] « relativement à un axe tournant à la même vitesse angulaire que le vecteur de Fresnel [18][21] associé au signal » «fixe par rapport à» avec l'« angle orienté » ; relativement à cet axe , le vecteur de Fresnel [18] associé à l'autre signal lequel peut être réécrit selon tourne lentement à la vitesse angulaireen effet «» avec l'« angle orienté » :
nous en déduisons l'angle que fait avec à la date «» noté sur le diagramme ci-contre «» ou «» [22] nous en déduisons et la norme du vecteur de Fresnel [18] en formant ou soit finalement
«» ;
nous interprétons le diagramme de Fresnel [18] relativement à l'axe tournant à la vitesse angulaire par rapport à l'axe de référence en observant que nous interprétons le signal résultant est « pseudo-sinusoïdal » de fréquence et de « pseudo-amplitude » «» soit nous interprétons le signal résultant est « pseudo-sinusoïdal » de fréquence et de « pseudo-amplitude » «», nous interprétons le signal résultant est « pseudo-sinusoïdal » de fréquence et de « pseudo-amplitude » variant « périodiquement » [23] à la fréquence «» des battements nous interprétons le signal résultant est « pseudo-sinusoïdal » de fréquence et de « pseudo-amplitude » entre les valeurs minimale correspondant aux instants [24] et nous interprétons le signal résultant est « pseudo-sinusoïdal » de fréquence et de « pseudo-amplitude » entre les valeurs maximale correspondant aux instants [25] ;
nous pouvons également déterminer l'angle que fait avec à l'instant c.-à-d. «» nous pouvons également déterminer l'angle par projection de sur et sur directement à non représenté sur le diagramme ci-dessus soit nous pouvons également déterminer l'angle «» ou, en explicitant et , nous pouvons également déterminer l'angle «» d'où une valeur de à près et par suite nous pouvons également déterminer l'expression du signal résultant selon «».
Remarque : De façon à ne pas particulariser le signal relativement au signal , nous transformons l'argument du cosinus de l'expression de selon Remarque : «» ou, en définissant la « fréquence moyenne », Remarque : «» où « représente la pseudo-phase initiale résultante » et finalement le signal résultant se réécrit
Détermination de la différence relative de fréquences à partir d'un enregistrement de battementsmodifier
Une fois obtenu l'enregistrement du signal résultant, on trace l'enveloppe supérieure ou l'enveloppe inférieure et Une fois obtenu l'enregistrement du signal résultant, on détermine la période de cette dernière ou la pseudo-période dans le cas où l'amortissement n'est pas négligeable[27] définissant Une fois obtenu l'enregistrement du signal résultant, on détermine la période des battementsou pseudo-période des battements en cas de présence d'amortissement et Une fois obtenu l'enregistrement du signal résultant, on détermine son inverse, la « fréquence des battements» ou pseudo-fréquence si présence d'amortissement[28] ;
Une fois obtenu l'enregistrement du signal résultant, on peut aussi déterminer la pseudo-période du signal résultant ainsi que son inverse la « pseudo-fréquence » [29] ;
Une fois obtenu l'enregistrement du signal résultant, on en déduit le rapport «» lequel se réécrit, en notant «», «» [30].
Observation de battements entre signaux émis par deux diapasons frappés simultanément, les signaux étant captés par un microphone positionné à égale distance des deux diapasons
Expérience : On enregistre, sur un oscilloscope numérique, le signal reçu par un microphone situé à égale distance de deux diapasons vibrant a priori à la même fréquence [31] et qui ont été frappés simultanément ; Expérience : si les diapasons vibrent exactement à la même fréquence on n'observera pas de battements, l'observation de ces derniers prouvant un décalage en fréquences des diapasons ;
Expérience : déterminant, sur l'enregistrement, les instants pour lesquels l'amplitude des battements est minimale, on en déduit la période puis la fréquence des battements :
Expérience : ci-contre les instants d'amplitude minimale sont : Expérience : ci-contre «», «» et «» Expérience : ci-contre donnant une période de battements «» et par suite Expérience : ci-contre donnant une fréquence de battements «» d'où Expérience : ci-contre donnant un écart relatif de fréquences des diapasons de Expérience : ci-contre donnant «» [32] soit «».
Détermination qualitative de la différence relative de fréquences à partir d'une observation sensorielle directemodifier
Dans le cas d'ondes sonores ce phénomène est directement perceptible, car l'intensité acoustique[33]perçue par une oreille humaine estau carré de l'amplitude ; ainsi lorsqu'on superpose deux sons de fréquences et , on entend très distinctement la « modulation du niveau acoustique [33] à la fréquence de battements» en effet, si les deux sons ont la même intensité acoustique [33], les battements entre les deux sons se matérialisent par une modulation de niveau acoustique [33] de période allant d'une intensité acoustique [33] nulle à une intensité acoustique [33] quatre fois plus intense que celle des sons originaux l'amplitude résultante maximale étant deux fois l'amplitude de chaque son mais l'intensité acoustique [33] étant le carré de l'amplitude ;
le phénomène de battements est utilisé pour accorder certains instruments de musique, par exemple un piano : certaines notes sont produites par deux ou trois cordes qui doivent vibrer exactement à la même fréquence et de façon sinusoïdale, quand on les fait vibrer simultanément on réalise des battements si elles ne vibrent pas à la même fréquence, on doit alors modifier la tension de l'une des cordes pour diminuer la fréquence des battements jusqu'à ce que cette dernière devienne nulle, assurant alors que les deux cordes vibrent effectivement à la même fréquence.
Complément : détermination de la pseudo-amplitude de l'onde résultante instantanée en fonction du déphasage (lentement variable) par pseudo-amplitude complexemodifier
Nous avons précédemment distingué, dans la résolution, le cas de battements entre signaux sinusoïdaux de même amplitude et Nous avons précédemment distingué, dans la résolution, le cas de battements entre signaux d'amplitudes différentes, Nous avons précédemment distingué, le 1er ayant été résolu par utilisation des formules de trigonométrie transformant une somme de fonctions sinusoïdales en un produit, Nous avons précédemment distingué, le 2nd, ne permettant pas l'utilisation de ces formules de trigonométrie, ayant fait appel à la notion étendue de vecteurs de Fresnel [18] tournants, Nous avons précédemment distingué, le 2nd, méthode conduisant à la construction d'un diagramme de Fresnel [18] relativement à un axe tournant à la vitesse angulaire la plus faible, mais Nous avons précédemment distingué, il aurait été aussi possible de construire un diagramme de Fresnel [18] de ce type dans le cas de battements entre signaux sinusoïdaux de même amplitude [34] ;
la méthode de construction d'un diagramme de Fresnel [18] à l'instant [19] et celle d'utilisation des grandeurs instantanées complexes étant deux facettes d'une même méthode [20], il est possible d'adapter, dans le cas de battements entre signaux sinusoïdaux de fréquences très voisines, la méthode de construction d'un diagramme de Fresnel [18] relativement à un axe tournant à la vitesse angulaire la plus faible, de façon à travailler directement sur les affixes des vecteurs de Fresnel [18], c'est le « but des sous paragraphes suivants » [35].
Battements entre deux signaux sinusoïdaux de même amplitudemodifier
On considère deux signaux sinusoïdaux de fréquences voisines et de même amplitude «» avec «» ; aux « signaux sinusoïdaux » on fait correspondre les « grandeurs instantanées complexes » [36] d'où le signal résultant «» étant défini comme «», on est amené à « évaluer la somme des grandeurs instantanées complexes » mais
avant de faire cela, utilisons le fait que les « fréquences et sont très voisines, proches de leur moyenne », en écrivant «» ou, avant de faire cela, utilisons le fait que les « fréquences et sont très voisines, proches de leur moyenne » avec «», «» [37] puis
avant de faire cela, réécrivons chaque grandeur instantanée complexe sous la forme d'un produit d'une grandeur exponentielle complexe de grande fréquence égale à la fréquence moyenne et avant de faire cela, réécrivons chaque grandeur instantanée complexe sous la forme d'un produit d'un facteur complexe variant lentement avec le temps appelé « pseudo-amplitude complexe » d'où avant de faire cela, réécrivons chaque grandeur instantanée complexe «» ou «» avant de faire cela, réécrivons chaque grandeur instantanée comple avec «» les « pseudo-amplitudes complexes » associées ;
puis, formons la somme des grandeurs instantanées complexes «» c.-à-d. puis, formons la somme des grandeurs instantanées complexes égale à une grandeur instantanée complexe de fréquence égale à la fréquence moyenne et puis, formons la somme des grandeurs instantanées complexes égale à une grandeur instantanée complexe de « pseudo-amplitude complexe » «» c.-à-d. la somme des « pseudo-amplitudes complexes » «» ;
puis, transformons la « pseudo-amplitude complexe résultante » en décomposant les phases initiales comme fait pour les fréquences [38] soit «» puis, transformons la « pseudo-amplitude complexe résultante » en décomposant les phases initiales comme fait pour les fréquences avec «» et «» d'où puis, la réécriture de la « pseudo-amplitude complexe résultante » « puis, la réécriture de la « pseudo-amplitude complexe résultante » « ou encore puis, la réécriture de la « pseudo-amplitude complexe résultante » «» avec la « formule d'Euler [39] du cosinus » [40] d'où puis, la réécriture de la « pseudo-amplitude complexe résultante » « notée » [41] puis, la réécriture de la « pseudo-amplitude complexe résultante » dont le module définit la « pseudo-amplitude résultante» [42],[43] et puis, la réécriture de la « pseudo-amplitude complexe résultante » dont l'argument définit la « pseudo-phase initiale» [43] ;
finalement le signal résultant s'écrivant «» est identique au résultat trouvé par utilisation directe des formules trigonométriques finalement le signal résultant s'écrivant «» avec «» [44] mais finalement le signal résultant s'écrivant la forme sous laquelle est obtenu le résultat par pseudo-amplitudes complexes nécessitant une discussion [45] est moins intéressante et il aurait été préférable, pour obtenir le signal résultant, d'expliciter la grandeur instantanée complexe résultante puis d'en prendre la partie réelle soit finalement la grandeur instantanée complexe résultante s'écrivant «» en y reportant l'expression de la pseudo-amplitude complexe résultante trouvée précédemment avant discussion d'où l'expression de la grandeur instantanée complexe résultante «» dont on tire, en en prenant la partie réelle, finalement le signal résultant sous la forme «» [46].
Conclusion : on trouve effectivement un signal « pseudo-sinusoïdal » de fréquence égale à la « fréquence moyenne » et Conclusion : on trouve effectivement un signal « pseudo-sinusoïdal » de pseudo-amplitude c.-à-d. une fonction redressée double alternance [47] se réécrivant selon «» et définissant l'« enveloppe supérieure du signal résultant », « enveloppe variant à la fréquence des battements entre sa valeur minimale et sa valeur maximale ».
Remarque : bien que la « grandeur instantanée complexe résultante » soit Remarque : bien que l'« affixe d'un vecteur de Fresnel [18] tournant dans le diagramme de Fresnel [18] à l'instant , Remarque : bien que l'« affixe d'un vecteur de Fresnel tournant étant de direction fixe relativement à l'axe tournant à la vitesse angulaire » alors que Remarque : le diagramme de Fresnel [18] à l'instant dans le paragraphe « battements entre deux signaux d'amplitudes différentes » plus haut dans ce chapitre [48] Remarque : le diagramme de Fresnel à l'instant utilise des « vecteurs de Fresnel [18] tournants repérés par rapport à un axe en rotation à la vitesse angulaire » Remarque : le diagramme de Fresnel à l'instant de façon à ce que le vecteur de Fresnel [18]et non soit de direction fixe, Remarque : nous obtenons la même expression de signal résultant
Remarque : Pour qu'il y ait une correspondance exacte entre la méthode des grandeurs instantanées complexes et celle du diagramme de Fresnel [18] à l'instant , il aurait fallu choisir l'axe tournant à la vitesse angulaire moyenne mais la conséquence aurait été qu'aucun des deux vecteurs de Fresnel [18] tournants et n'aurait été de direction fixe relativement à tournant dans le sens par rapport à à la vitesse angulaire et tournant dans le sens par rapport à à la vitesse angulaire opposée [49] et l'avantage de conserver une symétrie entre les deux signaux n'aurait pas compensé le désavantage de n'avoir plus aucun vecteur de Fresnel [18] fixe
Battements entre deux signaux sinusoïdaux d'amplitudes différentesmodifier
On considère deux signaux sinusoïdaux de fréquences voisines et d'amplitudes différentes «» avec «» pour lesquels on peut réitérer la méthode exposée dans le paragraphe « battements entre deux signaux sinusoïdaux de même amplitude » plus haut dans ce chapitre en l'adaptant si besoin est ;
aux « signaux sinusoïdaux » on fait correspondre les « grandeurs instantanées complexes » [36] d'où le signal résultant «» étant défini comme «», on est donc amené à « évaluer la somme des grandeurs instantanées complexes » ;
comme précédemment on transforme les fréquences selon «», les « fréquences étant très voisines, proches de leur moyenne » ou, comme précédemment on transforme les fréquences selon «» en introduisant la différence de fréquence [37] ; comme précédemment on peut alors réécrire les grandeurs instantanées complexes de façon plus symétrique selon «» ou, comme précédemment on peut alors réécrire en introduisant «» les « pseudo-amplitudes complexes » associées, comme précédemment on peut alors réécrire les grandeurs instantanées complexes de façon plus symétrique selon «» ;
ensuite, on forme la somme des grandeurs instantanées complexes «» ensuite, on forme la somme des grandeurs instantanées complexes égale à une grandeur instantanée complexe de fréquence égale à la fréquence moyenne et ensuite, on forme la somme des grandeurs instantanées complexes égale à une grandeur instantanée complexe de « pseudo-amplitude complexe » «» c.-à-d. la somme des « pseudo-amplitudes complexes associées à chaque grandeur instantanée complexe » «» [50] ensuite, on forme la somme des grandeurs instantanées complexes égale à une grandeur instantanée complexe dont le module définit la « pseudo-amplitude résultante » et ensuite, on forme la somme des grandeurs instantanées complexes égale à une grandeur instantanée complexe dont l'argument définit la « pseudo-phase initiale résultante » [51], ensuite, on forme le signal résultant pouvant alors être réécrit selon «» ;
finalement les «» déterminées par de «» valent :
«» [52] ou, avec et en développant «» soit encore, avec la formule d'Euler [39] définissant le cosinus [40], «» établissant que la « pseudo-amplitude » de l'onde résultante « varie à la fréquence dite des battements égale à de sa valeur minimale à sa valeur maximale » ;
«» nécessite l'écriture de la « pseudo-amplitude complexe résultante » sous sa forme algébrique [53], ceci donnant, après des transformations élémentaires [54], la forme algébrique de la « pseudo-amplitude complexe résultante » dont on tire , ces deux expressions permettant de déterminer la « pseudo-phase initiale résultante » et de constater que celle-ci est également périodique de fréquence égale à celle des battements
↑ Dans le cas présent l'« enveloppe inférieure » du signal résultant est, en 1ère approximation, la symétrique, par rapport à l'axe des temps, de l'« enveloppe supérieure » de ce dernier.
↑ C.-à-d. la fréquence « quasi commune » de et mais on peut dire aussi que c'est la fréquence moyenne .
↑ C.-à-d. la différence des fréquences de et soit , en effet la période observée de modulation d'amplitude est .
↑ L'« enveloppe supérieure » courbe passant par les maxima du signal résultant en lui étant tangent est un « signal sinusoïdal redressé double alternance » de fréquence c.-à-d. un signal égal à la valeur absolue d'un signal sinusoïdal de fréquence voir le paragraphe « définition d'un redresseur double alternance » du chap. de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) », elle aurait pu être déterminée physiquement mais elle a simplement été ajoutée au signal résultant obtenu sur oscilloscope.
↑ Bien entendu la plus grande moins la plus petite.
↑ L'« enveloppe supérieure » n'a pas été déterminée physiquement mais approchée en l'assimilant à la somme d'une composante permanente de valeur et d'un « signal sinusoïdal » de fréquence et d'amplitude ; la courbe obtenue n'étant pas parfaitement tangente au signal résultant, elle ne constitue donc qu'une approximation de l'« enveloppe supérieure », la variation de la pseudo-amplitude étant en fait périodique mais non sinusoïdale.
↑ Se retrouve à partir des formules d'addition élémentaires «» soit encore, en posant et dont on tire et , la relation rappelée.
↑ La raison étant que les fréquences et sont voisines, ce qui peut s'écrire « avec » «» d'où «».
↑ On a utilisé la parité du cosinus pour faire apparaître interprétable en fréquence.
↑ On rappelle qu'une amplitude est nécessairement positive d'où la nécessité de prendre la valeur absolue de ; on vérifie qu'il s'agit bien d'un signal sinusoïdal redressé double alternance voir le paragraphe « définition d'un redresseur double alternance » du chap. de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) » de fréquence le facteur étant la conséquence du fait que le signal sinusoïdal redressé double alternance a une période moitié de celle du signal sinusoïdal.
↑ 19,0 et 19,1 En effet, lors de l'addition de deux signaux sinusoïdaux de même fréquence, le diagramme de Fresnel à l'instant utilisant des vecteurs de Fresnel tournants voir le paragraphe « vecteur de Fresnel tournant » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » se déduit de celui à l'instant voir le paragraphe « amplitude et phase initiale résultantes en termes de vecteur de Fresnel » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » par rotation d'angle raison pour laquelle le diagramme de Fresnel à l'instant est usuellement non utilisé au profit de celui à l'instant ; si les signaux sont de fréquences différentes mais très voisines, le vecteur de Fresnel tournant associé au signal de plus grande fréquence tourne légèrement plus rapidement que celui associé au signal de plus faible fréquence et par suite le diagramme de Fresnel à l'instant se déforme lentement avec le temps, sa déformation lente pouvant être interprétée en termes de signal résultant « pseudo-sinusoïdal » dont la « pseudo-amplitude » peut alors être calculée.
↑ Le vecteur de Fresnel faisant l'angle relativement à l'axe usuel , nous choisissons un axe tournant à la même vitesse angulaire que et se confondant avec à l'instant c.-à-d. faisant, à l'instant , l'angle avec , ce qui implique la fixité de par rapport à , l'angle que fait avec étant alors .
↑ Montrant, de nouveau, que tourne lentement relativement à à la vitesse angulaire .
↑ Pour rappel, seule la pseudo-amplitude est importante, c'est elle qui permet de justifier la fréquence des battements, la pseudo-phase initiale résultante n'étant établie qu'à titre documentaire.
↑ Comme nous le voyons sur l'exemple de ce paragraphe où l'amortissement n'est pas négligeable, le tracé effectif d'une enveloppe n'est pas indispensable pour déterminer sa période plus exactement sa pseudo-période car bien souvent les pseudo-oscillations soulignent suffisamment les courbes les enveloppant.
↑ Sa connaissance nous donne donc une information sur la valeur absolue de la différence des fréquences des signaux en battements mais pas sur le signe de la différence.
↑ Dans la pratique l'enregistrement nécessite un effet de loupe c.-à-d. une modification de l'échelle des temps de l'oscilloscope car, sur une période de battements, il y a en général beaucoup trop de pseudo-oscillations pour que celles-ci soient discernables comme on peut le constater sur l'exemple de ce paragraphe.
↑ En effet les fréquences des signaux étant très voisines l'une de l'autre «».
↑ Il s'agit du « do3 » voir les paragraphes « physique (octave) » et « solfège » de l'article « Octave (musique) » de wikipedia pour plus d'informations.
↑ Comme la fréquence commune des diapasons était connue, on n'a pas eu à la déterminer par pseudo-période du signal résultant comme indiqué dans le préambule ; compte-tenu du grand nombre de pseudo-périodes contenues dans une période de battements il aurait été nécessaire de changer la sensibilité de la base de temps d'au moins un facteur .
↑ 33,033,133,233,333,433,5 et 33,6 L'intensité acoustique est la puissance transportée par l'onde sonore par unité d'aire de section droiteplus précisément par de section droite, l'intensité acoustique s'exprime donc en ; le seuil d'audibilité dans l'air par une oreille humaine pour un son sinusoïdal de étant ce qui est très faible, on introduit une échelle logarithmique à base d'un logarithme décimal pour repérer l'intensité acoustique, ce qui définit le niveau d'intensité acoustique selon «», les niveaux acoustiques étant respectivement pour :
un « bruissement de feuilles »,
une « conversation vive » ou
une « atteinte du seuil de la douleur » correspondant à une puissance acoustique de , celle de la conversation vive étant fois plus faible soit et une « atteinte du seuil de la douleur » correspondant à une puissance acoustique de , celle d'un bruissement de feuilles fois plus faible soit .
↑ Si cela n'a pas été fait, c'est que la méthode directe est indéniablement plus rapide.
↑À considérer comme complément, la méthode de construction d'un diagramme de Fresnel relativement à un axe tournant à la vitesse angulaire la plus faible plus concrète suffisant largement.
↑ 36,0 et 36,1 On rappelle que et sont les parties réelles de et , les parties imaginaires de ces dernières n'ayant, pour le problème étudié, aucune signification mais en acquerraient une si les signaux sinusoïdaux étaient en « sinus ».
↑ 37,0 et 37,1 La différence de fréquence étant très petite relativement à la fréquence moyenne .
↑ La démarche est la même mais la raison ne l'est pas, en particulier les phases initiales ne sont pas a priori voisines l'une de l'autre.
↑ 39,0 et 39,1Leonhard Euler (1707 - 1783) mathématicien et physicien suisse qui passa la plus grande partie de sa vie dans l'Empire russe et en Allemagne, surtout connu pour ses travaux en analyse mathématique ainsi qu'en mécanique des fluides, optique et astronomie, considéré comme l'un des plus grands et plus prolifiques mathématiciens de tous les temps ; en mathématiques il fit d'importantes découvertes dans des domaines aussi variés que le calcul infinitésimal et la théorie des graphes, il introduisit également une grande partie de la terminologie et de la notation des mathématiques modernes, en particulier pour l'analyse mathématique, comme la notion de fonction mathématique ; il est aussi connu pour ses travaux en mécanique, en dynamique des fluides, en optique et en astronomie.
↑ 40,0 et 40,1 La formule d'Euler d'origine est mais les deux formules qui en découlent définissant le cosinus «» et le sinus «» sont encore appelées « formules d'Euler ».
↑ On constate que la « pseudo-amplitude complexe résultante » se réécrit comme le produit d'une « grandeur réelle variant lentement avec le temps » et On constate que la « pseudo-amplitude complexe résultante » se réécrit comme le produit d'une « exponentielle imaginaire de valeur constante ».
↑ Laquelle « varie lentement à la fréquence » correspondant donc à la « fréquence des battements ».
↑ 43,0 et 43,1 Le module du produit d'un réel et d'une exponentielle imaginaire laquelle est de module unité est la valeur absolue du réel c.-à-d.
le réel si ce dernier est positif, l'argument du produit étant alors l'argument de l'exponentielle imaginaire ou
l'opposé du réel si de dernier est négatif, l'argument du produit étant alors l'argument de l'exponentielle imaginaire auquel s'ajoute au choix.
↑ Plus précisément fonction redressée double alternance « d'une fonction sinusoïdale » car à toute fonction périodique alternative non sinusoïdale on peut définir une redressée double alternance voir le paragraphe « définition d'un redresseur double alternance » du chap. de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) ».
↑ Méthode que l'on peut appliquer sans souci même si cela n'a pas d'intérêt au cas de deux signaux de même amplitude.
↑ Les décompositions des phases initiales effectuées dans le paragraphe « battements entre deux signaux sinusoïdaux de même amplitude » plus haut dans ce chapitre ne sont pas utiles ici en effet elles ont été faites pour utiliser la formule d'Euler relative au cosinus mais ici les amplitudes empêchant toute utilisation de formule d'Euler, il est inutile de procéder à cette décomposition même si cela reste néanmoins possible.
↑Lesquelles varient lentement à la fréquence , cette dernière correspondant donc à la fréquence des battements.
↑ Pour cela on prend la forme algébrique des deux termes de la somme et on regroupe les termes réels et les termes imaginaires.
↑ De l'expression de la pseudo-amplitude complexe résultante «» on tire, en appliquant la formule d'Euler voir la note « 40 » plus haut dans ce chapitre «».
![{\displaystyle \;t=20\;ms{\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b750006aea84281595dec3b341c0980f1d225dd)
![{\displaystyle \;\color {transparent}{t=20\;ms{\big ]}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15ea39864b0fc77064cd454c1d7e99fa7cb0ccef)
![{\displaystyle \;t=10\;ms{\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c057029f4c506a987d3422c8ca7b1ba9a31ef962)
![{\displaystyle \;\color {transparent}{t=10\;ms{\big ]}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5553f58b46cda46a7c2e673d6eafa4870a6ee2c)
![{\displaystyle \;\left[{\begin{array}{c}s_{1}(t)=S_{m}\,\cos(2\,\pi \,f_{1}\,t+\varphi _{1})\\s_{2}(t)=S_{m}\,\cos(2\,\pi \,f_{2}\,t+\varphi _{2})\end{array}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a624719ccf8a65ce2f40728bab171904773de12)
![{\displaystyle \;s_{\text{tot}}(t)=s_{1}(t)+s_{2}(t)=S_{m}\left[\cos(2\,\pi \,f_{1}\,t+\varphi _{1})+\cos(2\,\pi \,f_{2}\,t+\varphi _{2})\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00ca59b5446b960e578d30abf59e7eaf030105ac)
![{\displaystyle \;t\in \left[0\,{\text{;}}\,10\,ms\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a16e6726c1006748f820e2bd8f9448f6cd1739f)
![{\displaystyle \;\color {transparent}{t\in \left[0\,{\text{;}}\,10\,ms\right]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8e232faa46e1398ed7146c1c605b60e608311c0)
![{\displaystyle \;t\in \left[10\,ms\,{\text{;}}\,30\,ms\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/049993b1ae3256226b4402a56a40e78ffbcb2008)
![{\displaystyle \;\color {transparent}{t\in \left[10\,ms{\text{;}}\,30\,ms\right]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b37a38f035ec29d8df246047cde72b371bc1738e)
![{\displaystyle \;\color {transparent}{t\in \left[10\,ms\,{\text{;}}\,30\,ms\right]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47378425f5c20d73f540b675d20ac9ae85c75ef2)
![{\displaystyle \;t\in \left[30\,ms\,{\text{;}}\,40\,ms\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca52589dd809dcc0cf61932bfc62ff2b855f896b)
![{\displaystyle \;\color {transparent}{t\in \left[30\,ms{\text{;}}\,40\,ms\right]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51b6cc5f9342d1a25e1307e0fc9f407ed0940784)
![{\displaystyle \;\color {transparent}{t\in \left[30\,ms\,{\text{;}}\,40\,ms\right]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5be9628cc466382116525dd7612d20bb747cf2d5)
![{\displaystyle \;\left[{\begin{array}{c}s_{1}(t)=S_{m,\,1}\,\cos(2\,\pi \,f_{1}\,t+\varphi _{1})\\s_{2}(t)=S_{m,\,2}\,\cos(2\,\pi \,f_{2}\,t+\varphi _{2})\end{array}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4105eaf5cda3d024497866b47cdf36769dafab53)
![{\displaystyle \;s_{2}(t)=S_{m,\,2}\,\cos \!\left\lbrace 2\,\pi \,f_{1}\,t+\left[2\,\pi \left(f_{2}-f_{1}\right)t+\varphi _{2}\right]\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f964aa5bb3511f3c547a73b5169dc981b6c3b58f)
![{\displaystyle \;\alpha (t)=\left[2\,\pi \,\left(f_{2}-f_{1}\right)\,t+\varphi _{2}\right]-\varphi _{1}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51dce51c70593a792e788e77851fab906616a07f)
![{\displaystyle \;\left[{\overrightarrow {S_{\text{tot}}}}(t)\right]^{2}=\left[{\vec {S_{1}}}(t)+{\vec {S_{2}}}(t)\right]^{2}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7317102b511712bf80bde11b864712e20b56417)
![{\displaystyle \;\left[{\overrightarrow {S_{\text{tot}}}}(t)\right]^{2}=S_{m,\,1}^{2}+S_{m,\,2}^{2}+2\,S_{m,\,1}\,S_{m,\,2}\,\cos \!\left[\alpha (t)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3fe275688efb7d81d0b19feabb508536a9f7d34)
![{\displaystyle \;\left\Vert {\overrightarrow {S_{\text{tot}}}}(t)\right\Vert ={\sqrt {S_{m,\,1}^{2}+S_{m,\,2}^{2}+2\,S_{m,\,1}\,S_{m,\,2}\,\cos \!\left[2\,\pi \,(f_{2}-f_{1})\,t+(\varphi _{2}-\varphi _{1})\right]}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7029b4d9911ab39a840f05b7df0b8b327983c764)
![{\displaystyle \;{\mathcal {S}}_{m,\,{\text{tot}}}(t)={\sqrt {S_{m,\,1}^{2}+S_{m,\,2}^{2}+2\,S_{m,\,1}\,S_{m,\,2}\,\cos \!\left[2\,\pi \,(f_{2}-f_{1})\,t+(\varphi _{2}-\varphi _{1})\right]}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a98f17e6eda37e4df8e9cc961a6e590f356bf28)
![{\displaystyle \;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\mathcal {S}}_{m,\,{\text{tot}}}(t)\,\cos \!\left[\beta (t)\right]=S_{m,\,1}\,\cos(\varphi _{1})+S_{m,\,2}\,\cos \!\left[\alpha (t)+\varphi _{1}\right]\\{\mathcal {S}}_{m,\,{\text{tot}}}(t)\,\sin \!\left[\beta (t)\right]=S_{m,\,1}\,\sin(\varphi _{1})+S_{m,\,2}\,\sin \!\left[\alpha (t)+\varphi _{1}\right]\end{array}}\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca2998382b46e10f210e26bf5a9297ce6112d5d5)
![{\displaystyle \;\left\lbrace {\begin{array}{c}\cos \!\left[\beta (t)\right]={\dfrac {S_{m,\,1}\,\cos(\varphi _{1})+S_{m,\,2}\,\cos \!\left[2\,\pi \,(f_{2}-f_{1})\,t+\varphi _{2}\right]}{\sqrt {S_{m,\,1}^{2}+S_{m,\,2}^{2}+2\,S_{m,\,1}\,S_{m,\,2}\,\cos \!\left[2\,\pi \,(f_{2}-f_{1})\,t+(\varphi _{2}-\varphi _{1})\right]}}}\\\sin \!\left[\beta (t)\right]={\dfrac {S_{m,\,1}\,\sin(\varphi _{1})+S_{m,\,2}\,\sin \!\left[2\,\pi \,(f_{2}-f_{1})\,t+\varphi _{2}\right]}{\sqrt {S_{m,\,1}^{2}+S_{m,\,2}^{2}+2\,S_{m,\,1}\,S_{m,\,2}\,\cos \!\left[2\,\pi \,(f_{2}-f_{1})\,t+(\varphi _{2}-\varphi _{1})\right]}}}\end{array}}\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/540d9e39403fcdac92db75709ea24ace9793c85a)
![{\displaystyle \;s_{\text{tot}}(t)={\mathcal {S}}_{m,\,{\text{tot}}}(t)\,\cos \!\left[2\,\pi \,f_{1}\,t+\beta (t)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3ea669dbe66f7feb8d67e1bdf68ae5204cd31f9)
![{\displaystyle \;s_{\text{tot}}(t)={\mathcal {S}}_{m,\,{\text{tot}}}(t)\,\cos \!\left[2\,\pi \,f_{\text{moy}}\,t+\varphi _{\text{tot}}(t)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9537221dcc5d5ed6ef3074ab42bf6d16e02d8da)
![{\displaystyle \;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\underline {s_{1}}}(t)=S_{m}\,\exp \!\left[i\,(2\,\pi \,f_{1}\,t+\varphi _{1})\right]\\{\underline {s_{2}}}(t)=S_{m}\,\exp \!\left[i\,(2\,\pi \,f_{2}\,t+\varphi _{2})\right]\end{array}}\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8478074257f67e694f1fc7c9bb8cb5702fcf287)
![{\displaystyle \;\Re \!\left[{\underline {s_{1}}}(t)+{\underline {s_{2}}}(t)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7831906ef52e6c48ed388831421301b10ddaca7b)
![{\displaystyle \;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\underline {s_{1}}}(t)=S_{m}\,\exp \!\left[i\,(2\,\pi \,f_{\text{moy}}\,t)\right]\,\exp \!\left[i\left(-2\,\pi \,{\dfrac {\Delta f}{2}}\,t+\varphi _{1}\right)\right]\\{\underline {s_{2}}}(t)=S_{m}\,\exp \!\left[i\,(2\,\pi \,f_{\text{moy}}\,t)\right]\,\exp \!\left[i\left(2\,\pi \,{\dfrac {\Delta f}{2}}\,t+\varphi _{2}\right)\right]\end{array}}\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90b71ba2e70fe93332529fd682e481e13c0d1ec2)
![{\displaystyle \;\left\lbrace {\begin{array}{l c l}{\underline {s_{1}}}(t)\!\!&=&\!\!{\underline {{\mathcal {S}}_{m,\,1}}}(t)\,\exp \!\left[i\,(2\,\pi \,f_{\text{moy}}\,t)\right]\\{\underline {s_{2}}}(t)\!\!&=&\!\!{\underline {{\mathcal {S}}_{m,\,2}}}(t)\,\exp \!\left[i\,(2\,\pi \,f_{\text{moy}}\,t)\right]\end{array}}\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ded71eba3077d65f254e8d234cb76f617013d67c)
![{\displaystyle \;\left\lbrace {\begin{array}{l c l}{\underline {{\mathcal {S}}_{m,\,1}}}(t)\!\!&=&\!\!S_{m}\,\exp \!\left[i\,\left(-2\,\pi \,{\dfrac {\Delta f}{2}}\,t+\varphi _{1}\right)\right]\\{\underline {{\mathcal {S}}_{m,\,2}}}(t)\!\!&=&\!\!S_{m}\,\exp \!\left[i\,\left(2\,\pi \,{\dfrac {\Delta f}{2}}\,t+\varphi _{2}\right)\right]\end{array}}\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/238e60a13da5aa386c092f6bb07dba0982dac890)
![{\displaystyle \;{\underline {s_{1}}}(t)+{\underline {s_{2}}}(t)={\underline {{\mathcal {S}}_{m,\,1}}}(t)\,\exp \!\left[i\,(2\,\pi \,f_{\text{moy}}\,t)\right]+{\underline {{\mathcal {S}}_{m,\,2}}}(t)\,\exp \!\left[i\,(2\,\pi \,f_{\text{moy}}\,t)\right]=\left[{\underline {{\mathcal {S}}_{m,\,1}}}(t)+{\underline {{\mathcal {S}}_{m,\,2}}}(t)\right]\exp \!\left[i\,(2\,\pi \,f_{\text{moy}}\,t)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b74fdbb8320cde9846c377fc16a908810195ff8)
![{\displaystyle \;S_{m}\,\exp \!\left[i\,\left(-2\,\pi \,{\dfrac {\Delta f}{2}}\,t+\varphi _{1}\right)\right]+S_{m}\,\exp \!\left[i\,\left(2\,\pi \,{\dfrac {\Delta f}{2}}\,t+\varphi _{2}\right)\right]=S_{m}\left\lbrace \exp \!\left[i\,\left(-2\,\pi \,{\dfrac {\Delta f}{2}}\,t+\varphi _{1}\right)\right]+\exp \!\left[i\,\left(2\,\pi \,{\dfrac {\Delta f}{2}}\,t+\varphi _{2}\right)\right]\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68cd646b985b3016abc150c9ede837026450f54c)
![{\displaystyle \;{\underline {{\mathcal {S}}_{m,\,1}}}(t)+{\underline {{\mathcal {S}}_{m,\,2}}}(t)=S_{m}\left\lbrace \exp \!\left[i\,\left(-2\,\pi \,{\dfrac {\Delta f}{2}}\,t+\varphi _{\text{moy}}-{\dfrac {\Delta \varphi }{2}}\right)\right]+\exp \!\left[i\,\left(2\,\pi \,{\dfrac {\Delta f}{2}}\,t+\varphi _{\text{moy}}+{\dfrac {\Delta \varphi }{2}}\right)\right]\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d89aa3b1b37fa151a41275155fb328fd94a2d3d)
![{\displaystyle =S_{m}\,\exp \!\left[i\,\varphi _{\text{moy}}\right]\left\lbrace \exp \!\left[-i\,\left(2\,\pi \,{\dfrac {\Delta f}{2}}\,t+{\dfrac {\Delta \varphi }{2}}\right)\right]+\exp \!\left[i\,\left(2\,\pi \,{\dfrac {\Delta f}{2}}\,t+{\dfrac {\Delta \varphi }{2}}\right)\right]\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0627ab277b451c9cf226dc8f93469da91a97de1)
![{\displaystyle =S_{m}\,\exp \!\left[i\,\varphi _{\text{moy}}\right]\left\lbrace 2\;\cos \!\left(2\,\pi \,{\dfrac {\Delta f}{2}}\,t+{\dfrac {\Delta \varphi }{2}}\right)\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59597c7f1681c187965662b1dd4b7c81459cddf5)
![{\displaystyle \;{\underline {{\mathcal {S}}_{m,\,1}}}(t)+{\underline {{\mathcal {S}}_{m,\,2}}}(t)=2\,S_{m}\,\cos \!\left[2\,\pi \,{\dfrac {\Delta f}{2}}\,t+{\dfrac {\varphi _{2}-\varphi _{1}}{2}}\right]\,\exp \!\left[i\left({\dfrac {\varphi _{1}+\varphi _{2}}{2}}\right)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fd3f7759cb95732cf12002c4ed303d5f57b2f15)
![{\displaystyle \;\vert S_{m,\,{\text{tot}}}(t)\vert =2\,S_{m}\,\left\vert \cos \!\left[2\,\pi \,{\dfrac {\Delta f}{2}}\,t+{\dfrac {\varphi _{2}-\varphi _{1}}{2}}\right]\right\vert \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/930bb06e39d2386cbe4cd62bb8125f4950644790)
![{\displaystyle \;\varphi _{\text{tot}}(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l c}{\dfrac {\varphi _{1}+\varphi _{2}}{2}}&{\text{pour }}\cos \!\left[2\,\pi \,{\dfrac {\Delta f}{2}}\,t+{\dfrac {\varphi _{2}-\varphi _{1}}{2}}\right]>0\\\ {\dfrac {\varphi _{1}+\varphi _{2}}{2}}\pm \pi &{\text{pour }}\cos \!\left[2\,\pi \,{\dfrac {\Delta f}{2}}\,t+{\dfrac {\varphi _{2}-\varphi _{1}}{2}}\right]<0\end{array}}\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36a43bdd423ac5d00c36507ded858ffbecdf123c)
![{\displaystyle \;s_{\text{tot}}(t)=s_{1}(t)+s_{2}(t)=\vert S_{m,\,{\text{tot}}}(t)\vert \,\cos \!\left[2\,\pi \,f_{\text{moy}}\,t+\varphi _{\text{tot}}(t)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2aa7be165956470bad7e7c18ed961e0683555d0f)
![{\displaystyle \;{\underline {s_{\text{tot}}}}(t)={\underline {{\mathcal {S}}_{m,\,{\text{tot}}}}}(t)\,\exp \!\left[i\,(2\,\pi \,f_{\text{moy}}\,t)\right]=\left\lbrace 2\,S_{m}\,\cos \!\left[2\,\pi \,{\dfrac {\Delta f}{2}}\,t+{\dfrac {\varphi _{2}-\varphi _{1}}{2}}\right]\,\exp \!\left[i\left({\dfrac {\varphi _{1}+\varphi _{2}}{2}}\right)\right]\right\rbrace \,\exp \!\left[i\,(2\,\pi \,f_{\text{moy}}\,t)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34746460ae5dd56e4baf765752c6ef15d5cc0ddb)
![{\displaystyle \;{\underline {{\mathcal {S}}_{m,\,{\text{tot}}}}}(t)=2\,S_{m}\,\cos \!\left[2\,\pi \,{\dfrac {\Delta f}{2}}\,t+{\dfrac {\varphi _{2}-\varphi _{1}}{2}}\right]\exp \!\left[i\left({\dfrac {\varphi _{1}+\varphi _{2}}{2}}\right)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f67ad7311971c39ddddc748947a62f790835487b)
![{\displaystyle \;{\underline {s_{\text{tot}}}}(t)=2\,S_{m}\,\cos \!\left[2\,\pi \,{\dfrac {\Delta f}{2}}\,t+{\dfrac {\varphi _{2}-\varphi _{1}}{2}}\right]\,\exp \!\left[i\,\left(2\,\pi \,f_{\text{moy}}\,t+{\dfrac {\varphi _{1}+\varphi _{2}}{2}}\right)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/341571ce90c640963ce8ae4660633267a76db55c)
![{\displaystyle =\Re \!\left[{\underline {s_{\text{tot}}}}(t)\right]=2\,S_{m}\,\cos \!\left[2\,\pi \,{\dfrac {\Delta f}{2}}\,t+{\dfrac {\varphi _{2}-\varphi _{1}}{2}}\right]\,\cos \!\left[2\,\pi \,f_{\text{moy}}\,t+{\dfrac {\varphi _{1}+\varphi _{2}}{2}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00a73cc7fb623b488705359bfef56272ba910809)
![{\displaystyle \;\vert S_{m,\,{\text{tot}}}\vert =2\,S_{m}\left\vert \cos \!\left[2\,\pi \,{\dfrac {\Delta f}{2}}\,t+{\dfrac {\varphi _{2}-\varphi _{1}}{2}}\right]\right\vert \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d99151f8d165f54b00fd187ac51da28ebbad75f)
![{\displaystyle \;\vert S_{m,\,{\text{tot}}}\vert =2\,S_{m}\left\vert \cos \!\left[2\,\pi \,{\dfrac {|f_{2}-f_{1}|}{2}}\,t+{\dfrac {\varphi _{2}-\varphi _{1}}{2}}\right]\right\vert \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4c9cea23ca34e2cd8b312f68bbfca007c444c87)
![{\displaystyle \;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\underline {s_{1}}}(t)=S_{m,\,1}\,\exp \!\left[i\,(2\,\pi \,f_{1}\,t+\varphi _{1})\right]\\{\underline {s_{2}}}(t)=S_{m,\,2}\,\exp \!\left[i\,(2\,\pi \,f_{2}\,t+\varphi _{2})\right]\end{array}}\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40c2e883c1d59ca93a05ac4fb621db0c168a428f)
![{\displaystyle \;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\underline {s_{1}}}(t)=S_{m,\,1}\,\exp \!\left[i\,(2\,\pi \,f_{\text{moy}}\,t)\right]\,\exp \!\left[i\left(-2\,\pi \,{\dfrac {\Delta f}{2}}\,t+\varphi _{1}\right)\right]\\{\underline {s_{2}}}(t)=S_{m,\,2}\,\exp \!\left[i\,(2\,\pi \,f_{\text{moy}}\,t)\right]\,\exp \!\left[i\left(2\,\pi \,{\dfrac {\Delta f}{2}}\,t+\varphi _{2}\right)\right]\end{array}}\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/867bae146116de7ec5bae6cf9e16ecd1b7147b7a)
![{\displaystyle \;\left\lbrace {\begin{array}{l c l}{\underline {{\mathcal {S}}_{m,\,1}}}(t)\!\!&=&\!\!S_{m,\,1}\,\exp \!\left[i\,\left(-2\,\pi \,{\dfrac {\Delta f}{2}}\,t+\varphi _{1}\right)\right]\\{\underline {{\mathcal {S}}_{m,\,2}}}(t)\!\!&=&\!\!S_{m,\,2}\,\exp \!\left[i\,\left(2\,\pi \,{\dfrac {\Delta f}{2}}\,t+\varphi _{2}\right)\right]\end{array}}\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/249713875b7c2cc02fc4236e6ccab0f423507f16)
![{\displaystyle \;{\underline {{\mathcal {S}}_{m,\,{\text{tot}}}}}(t)=S_{m,\,1}\,\exp \!\left[i\,\left(-2\,\pi \,{\dfrac {\Delta f}{2}}\,t+\varphi _{1}\right)\right]+S_{m,\,2}\,\exp \!\left[i\,\left(2\,\pi \,{\dfrac {\Delta f}{2}}\,t+\varphi _{2}\right)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18a31e6201f6734f6095839fd91f17b35592b74c)
![{\displaystyle \;\vert S_{m,\,{\text{tot}}}\vert =\left\vert {\underline {S_{m,\,{\text{tot}}}}}(t)\right\vert ={\sqrt {\left\vert {\underline {S_{m,\,{\text{tot}}}}}(t)\right\vert ^{2}}}={\sqrt {{\underline {S_{m,\,{\text{tot}}}}}(t)\left[{\underline {S_{m,\,{\text{tot}}}}}(t)\right]^{*}}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50d4941dbd6aae873b601e2c1bf95c1d53fbe4d8)
![{\displaystyle \;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\underline {S_{m,\,{\text{tot}}}}}(t)=S_{m,\,1}\,\exp \!\left[i\left(-2\,\pi \,{\dfrac {\Delta f}{2}}\,t+\varphi _{1}\right)\right]+S_{m,\,2}\,\exp \!\left[i\left(2\,\pi \,{\dfrac {\Delta f}{2}}\,t+\varphi _{2}\right)\right]\\\left[{\underline {S_{m,\,{\text{tot}}}}}(t)\right]^{*}=S_{m,\,1}\,\exp \!\left[i\left(2\,\pi \,{\dfrac {\Delta f}{2}}\,t-\varphi _{1}\right)\right]+S_{m,\,2}\,\exp \!\left[i\left(-2\,\pi \,{\dfrac {\Delta f}{2}}\,t-\varphi _{2}\right)\right]\end{array}}\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/679b4455ae6bd0cd05aed9e31854f5d62b25307e)
![{\displaystyle \;\vert S_{m,\,{\text{tot}}}(t)\vert ={\sqrt {S_{m,\,1}^{2}+S_{m,\,2}^{2}+S_{m,\,1}\,S_{m,\,2}\left\lbrace \exp \!\left[i\left(-2\,\pi \,\Delta \!f\;t+\varphi _{1}-\varphi _{2}\right)\right]+\exp \!\left[i\left(2\,\pi \,\Delta \!f\;t-\varphi _{1}+\varphi _{2}\right)\right]\right\rbrace }}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4553f8bb54c90d9ff80abc8821b8e70d0b21a3a1)
![{\displaystyle ={\sqrt {S_{m,\,1}^{2}+S_{m,\,2}^{2}+2\,S_{m,\,1}\,S_{m,\,2}\,\cos \!\left[2\,\pi \,(\Delta f)\,t-\varphi _{1}+\varphi _{2}\right]}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fef260a8948f15009f81c2a4ea7c6efcb83f028)
![{\displaystyle \left[S_{m,\,1}\,\cos \!\left(2\,\pi \,{\dfrac {\Delta f}{2}}\,t-\varphi _{1}\right)+S_{m,\,2}\,\cos \!\left(2\,\pi \,{\dfrac {\Delta f}{2}}\,t+\varphi _{2}\right)\right]+i\left[-S_{m,\,1}\,\sin \!\left(2\,\pi \,{\dfrac {\Delta f}{2}}\,t-\varphi _{1}\right)+S_{m,\,2}\,\sin \!\left(2\,\pi \,{\dfrac {\Delta f}{2}}\,t+\varphi _{2}\right)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d22b40644a0291aea5ff20da0adee1457ec6683)
![{\displaystyle \;\left\lbrace {\begin{array}{c}\cos \!\left[\varphi _{\text{tot}}(t)\right]={\dfrac {S_{m,\,1}\,\cos \!\left[\pi \,(\Delta f)\,t-\varphi _{1}\right]+S_{m,\,2}\,\cos \!\left[\pi \,(\Delta f)\,t+\varphi _{2}\right]}{|S_{m,\,{\text{tot}}}(t)|}}\\\sin \!\left[\varphi _{\text{tot}}(t)\right]={\dfrac {-S_{m,\,1}\,\sin \!\left[\pi \,(\Delta f)\,t-\varphi _{1}\right]+S_{m,\,2}\,\cos \!\left[\pi \,(\Delta f)\,t+\varphi _{2}\right]}{|S_{m,\,{\text{tot}}}(t)|}}\end{array}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6ec97ae7ee49eeaf823b6f21ebf462a4271d39c)
![{\displaystyle \;\left[0\,{\text{;}}\,10\,ms\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb739b235b0d55f650e5bbd60ee8bce829317a02)
![{\displaystyle \;\left[10\,ms\,{\text{;}}\,30\,ms\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea02b10f8679566e7aca8d300e9ce32c0f0c6a2c)
![{\displaystyle \;\left[30\,ms\,{\text{;}}\,40\,ms\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54dcccc6696ad2c8f90ba1f3d7d3ff879684e781)
![{\displaystyle {\big ]}{\big \}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02a034fcc6c80b600edbfced2889da54722687c9)
![{\displaystyle \;2\,S_{m}\,\cos \!\left[2\,\pi \,{\dfrac {\Delta f}{2}}\,t+{\dfrac {\varphi _{2}-\varphi _{1}}{2}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cba623aaa69ee1f34448aa3a8ca5d1678952b328)
![{\displaystyle \;\exp \!\left[i\left({\dfrac {\varphi _{1}+\varphi _{2}}{2}}\right)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a616efc10d932b6ee79d45c0efa6e461dea31504)
![{\displaystyle \;{\underline {S_{m,\,{\text{tot}}}}}(t)=S_{m,\,1}\,\exp \!\left[i\left(-2\,\pi \,{\dfrac {\Delta f}{2}}\,t+\varphi _{1}\right)\right]+S_{m,\,2}\,\exp \!\left[i\left(2\,\pi \,{\dfrac {\Delta f}{2}}\,t+\varphi _{2}\right)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fc952427607efb32b27f31d29c0ba161f735b5a)
![{\displaystyle \;{\underline {S_{m,\,{\text{tot}}}}}(t)=S_{m,\,1}\,\left[\cos \!\left(2\,\pi \,{\dfrac {\Delta f}{2}}\,t-\varphi _{1}\right)-i\,\sin \!\left(2\,\pi \,{\dfrac {\Delta f}{2}}\,t-\varphi _{1}\right)\right]+S_{m,\,2}\,\left[\cos \!\left(2\,\pi \,{\dfrac {\Delta f}{2}}\,t+\varphi _{2}\right)+i\,\sin \!\left(2\,\pi \,{\dfrac {\Delta f}{2}}\,t+\varphi _{2}\right)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/360eff1710677146e8dbe832d37cc6ddf686cf9e)
