Signaux physiques (PCSI)/Propagation d'un signal : Battements

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Signaux physiques (PCSI)/Propagation d'un signal : Battements
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Addition de deux ondes électriques de fréquences très voisines, notion de battements modifier

     On considère deux ondes électriques de grandeur vibrante « la tension aux bornes de deux G.B.F. [1] différents » de fréquences très voisines,
     On considère deux ondes électriques l'une de fréquence « » et d'amplitude « »,
     On considère deux ondes électriques l'autre de fréquence « » et d'amplitude « » ;
     on observe chaque tension sur une voie différente de l'oscilloscope numérique et on visualise la somme de ces deux tensions grâce à l'opérateur mathématique « addition » disponible sur l'oscilloscope ;
     on observe le 1er oscillogramme ci-dessous dans lequel «  est en rouge », «  en bleu clair » et «  en noir » à la suite duquel est représenté
     on observe un 2ème oscillogramme dans lequel n'est laissé, pour une meilleur lisibilité de l'écran, que le signal résultant  dans ce dernier oscillogramme a été ajoutée, en rouge, l'« enveloppe supérieure » du signal résultant  c.-à-d. la courbe reliant les maxima de ce dernier , l'« enveloppe inférieure » du signal résultant  c.-à-d. la courbe reliant les minima du signal résultant , n'étant pas représentée [2] .

 
Observation de deux tensions sinusoïdales de fréquences voisines et de même amplitude simultanément à leur somme
 
Observation de battements entre deux tensions sinusoïdales de fréquences voisines et de même amplitude,
modulation d'amplitude entre   et   fois l'amplitude

     On constate que, pour certains intervalles de temps  au voisinage de   et de  , les tensions de fréquences très voisines étant quasiment en phase,
     On constate que, pour certains intervalles de temps  au voisinage de   et de  , l'« amplitude » de l'onde résultante est maximale égale à « » alors que
     On constate que, pour certains autres intervalles de temps  au voisinage de  , elles sont quasiment en opposition de phase et par suite
     On constate que, pour certains autres intervalles de temps  au voisinage de  , l'« amplitude » de l'onde résultante est minimale égale à « » ;
     l'onde résultante est « pseudo-sinusoïdale » de fréquence   [3] avec une modulation d'« amplitude » à la fréquence   [4],
         l'onde résultante est « pseudo-sinusoïdale » de fréquence   avec une modulation l'« amplitude » variant entre « » et « » [5].

     Il n'est pas nécessaire que les deux signaux soient de même amplitude pour réaliser des battements entre eux, il suffit qu'ils soient de fréquences très voisines ;
     ci-dessous un 1er oscillogramme présentant des battements entre des signaux sinusoïdaux   de fréquence   et d'amplitude    en rouge sur l'oscillogramme  et
     ci-dessous un 1er oscillogramme présentant des battements entre des signaux sinusoïdaux   de fréquence   et d'amplitude    en bleu sur l'oscillogramme  ;
     ci-dessous un 1er oscillogramme la fréquence des battements  en noir sur l'oscillogramme  est toujours la différence des fréquences mais
     ci-dessous un 1er oscillogramme la « pseudo-amplitude » varie maintenant entre   et   à la suite duquel est représenté
     ci-dessous un 2ème oscillogramme dans lequel n'est laissé, pour une meilleur lisibilité de l'écran, que le signal résultant  avec l'ajout, en rouge, d'une approximation de l'« enveloppe supérieure » du signal résultant  c.-à-d. la courbe reliant les maxima de ce dernier [7], l'« enveloppe inférieure » du signal résultant  c.-à-d. la courbe reliant les minima du signal résultant , n'étant pas représentée .

 
Observation de deux tensions sinusoïdales de fréquences voisines et d'amplitudes différentes simultanément à leur somme
 
Observation de battements entre deux tensions sinusoïdales de fréquences voisines et d'amplitudes différentes,
modulation d'amplitude entre la valeur absolue de la différence des amplitudes et la somme des amplitudes

Interprétation de l'onde résultante comme une onde pseudo-sinusoïdale de pseudo-amplitude à variation lente et périodique, fréquence de battements modifier

Battements entre deux signaux sinusoïdaux de même amplitude modifier

     On considère deux signaux sinusoïdaux de fréquences voisines et de même amplitude « » avec « » ;
     le signal résultant « » se réécrit, à l'aide de la formule de trigonométrie transformant une somme de cosinus en un produit de cosinus « » [8], utilisée dans le but de faire apparaître un produit de fonctions du temps dont l'une varierait nettement plus lentement que l'autre,
     le signal résultant « » ;

     le 1er facteur en cosinus « » variant plus rapidement que le 2nd « »  «  très grande par rapport à  » [9] , le 2nd facteur « » peut être considéré comme « quasi constant » pendant une période de variation du 1er « », d'où la réécriture du signal résultant en introduisant la « grandeur   quasi constante sur la période   avec  » selon
     le signal résultant « » avec «  qui se réécrit  » [10] ;
     le signal résultant est donc « pseudo-sinusoïdal » de « pseudo- fréquence  » et
     le signal résultant est donc « pseudo-sinusoïdal » de « pseudo-amplitude  » [11]
     le signal résultant est donc « pseudo-sinusoïdal » de « pseudo-amplitude variant à la fréquence dite des battements « » [12].

     Remarque   Contacts de l'enveloppe supérieure avec le signal résultant : reprenant les signaux de même amplitude du paragraphe « addition de deux ondes électriques de fréquences très voisines, notion de battements » plus haut dans ce chapitre «  et  » [13], de « fréquences  », d'« amplitude commune  » et « en phase  », on constate :

     Remarque   Contacts de l'enveloppe supérieure avec le signal résultant :  pour « », «  représente la pseudo-amplitude »,
     Remarque   Contacts de l'enveloppe supérieure avec le signal résultant :  pour « », le contact du signal résultant avec l'enveloppe supérieure se fait aux instants «  vérifiant
     Remarque   Contacts de l'enveloppe supérieure avec le signal résultant :  pour « », le contact du signal résultant avec l'enveloppe supérieure  » [14],

     Remarque   Contacts de l'enveloppe supérieure avec le signal résultant :  pour « », «    la pseudo-amplitude  »,
     Remarque   Contacts de l'enveloppe supérieure avec le signal résultant :  pour « », le contact du signal résultant avec l'enveloppe supérieure se fait aux instants «  vérifiant
   Remarque   Contacts de l'enveloppe supérieure avec le signal résultant :  pour « », le contact du signal résultant avec l'enveloppe sup  » [15],

     Remarque   Contacts de l'enveloppe supérieure avec le signal résultant :  pour « », «  est de nouveau la pseudo-amplitude »,
     Remarque   Contacts de l'enveloppe supérieure avec le signal résultant :  pour « », le contact du signal résultant avec l'enveloppe supérieure se fait aux instants «  vérifiant
   Remarque   Contacts de l'enveloppe supérieure avec le signal résultant :  pour « », le contact du signal résultant avec l'enveloppe sup  » [16] ;

     Remarque   Contacts de l'enveloppe supérieure avec le signal résultant :  pour « » les contacts du signal résultant avec l'enveloppe supérieure se déterminent comme précédemment, le phénomène étant périodique de période    en effet la fréquence de   étant   est de période     la pseudo-amplitude     est de période    correspondant aux deux phases successives étudiées ci-dessus , son inverse définissant la fréquence des battements  .

Battements entre deux signaux sinusoïdaux d'amplitudes différentes modifier

     On considère maintenant deux signaux sinusoïdaux de fréquences voisines et d'amplitudes différentes « » avec « » ;
     le signal résultant « » ne s'acquière plus par « utilisation de la trigonométrie » [17] mais
     le signal résultant peut s'obtenir par « diagramme de Fresnel [18] à l'instant  » [19] bien que cette méthode soit, a priori, réservée à l'addition de deux signaux sinusoïdaux de même fréquence, ou
     le signal résultant peut s'obtenir par « grandeurs instantanées complexes » [20] ;

 
Détermination de la pseudo-amplitude du signal résultant de deux signaux sinusoïdaux de fréquences très voisines et d'amplitudes différentes par tracé du diagramme de Fresnel [18] relativement à un axe tournant à la vitesse angulaire du plus lent

     nous allons représenter le diagramme de Fresnel [18] « relativement à un axe   tournant à la même vitesse angulaire que le vecteur de Fresnel [18]   [21] associé au signal  »   « fixe par rapport à » avec l'« angle orienté  » ;
     relativement à cet axe  , le vecteur de Fresnel [18]   associé à l'autre signal   lequel peut être réécrit selon   tourne lentement à la vitesse angulaire   en effet « »  avec l'« angle orienté  » :

     nous en déduisons l'angle que fait   avec   à la date   « » noté   sur le diagramme ci-contre « » ou « » [22]
     nous en déduisons et la norme du vecteur de Fresnel [18]   en formant     ou   soit finalement

« » ;

     nous interprétons le diagramme de Fresnel [18] relativement à l'axe   tournant à la vitesse angulaire   par rapport à l'axe   de référence en observant que
     nous interprétons le signal résultant est « pseudo-sinusoïdal » de fréquence   et de « pseudo-amplitude » « » soit
     nous interprétons le signal résultant est « pseudo-sinusoïdal » de fréquence   et de « pseudo-amplitude » « »,
     nous interprétons le signal résultant est « pseudo-sinusoïdal » de fréquence   et de « pseudo-amplitude » variant « périodiquement » [23] à la fréquence « » des battements
     nous interprétons le signal résultant est « pseudo-sinusoïdal » de fréquence   et de « pseudo-amplitude » entre les valeurs minimale   correspondant aux instants  [24] et
     nous interprétons le signal résultant est « pseudo-sinusoïdal » de fréquence   et de « pseudo-amplitude » entre les valeurs maximale   correspondant aux instants  [25] ;

     nous pouvons également déterminer l'angle   que fait   avec   à l'instant   c.-à-d. « »
     nous pouvons également déterminer l'angle   par projection de   sur   et sur   directement   à    non représenté sur le diagramme ci-dessus  soit
     nous pouvons également déterminer l'angle   « » ou, en explicitant   et  ,
     nous pouvons également déterminer l'angle   « » d'où une valeur de   à   près et par suite
     nous pouvons également déterminer l'expression du signal résultant selon « ».

     Remarque : De façon à ne pas particulariser le signal   relativement au signal  , nous transformons l'argument du cosinus de l'expression de   selon
     Remarque : « » ou, en définissant la « fréquence moyenne  »,
     Remarque : « » où «  représente la pseudo-phase initiale résultante » et finalement le signal résultant se réécrit

« » [26].

Détermination de la différence relative de fréquences à partir d'un enregistrement de battements modifier

     Une fois obtenu l'enregistrement du signal résultant, on trace l'enveloppe supérieure  ou l'enveloppe inférieure  et
     Une fois obtenu l'enregistrement du signal résultant, on détermine la période de cette dernière  ou la pseudo-période dans le cas où l'amortissement n'est pas négligeable [27] définissant
     Une fois obtenu l'enregistrement du signal résultant, on détermine la période des battements  ou pseudo-période des battements en cas de présence d'amortissement  et
     Une fois obtenu l'enregistrement du signal résultant, on détermine son inverse, la « fréquence des battements  »  ou pseudo-fréquence si présence d'amortissement [28] ;

     Une fois obtenu l'enregistrement du signal résultant, on peut aussi déterminer la pseudo-période du signal résultant ainsi que son inverse la « pseudo-fréquence  » [29] ;

     Une fois obtenu l'enregistrement du signal résultant, on en déduit le rapport « » lequel se réécrit, en notant « », « » [30].

 
Observation de battements entre signaux émis par deux diapasons frappés simultanément, les signaux étant captés par un microphone positionné à égale distance des deux diapasons

     Expérience : On enregistre, sur un oscilloscope numérique, le signal reçu par un microphone situé à égale distance de deux diapasons vibrant a priori à la même fréquence   [31] et qui ont été frappés simultanément ;
     Expérience : si les diapasons vibrent exactement à la même fréquence on n'observera pas de battements, l'observation de ces derniers prouvant un décalage en fréquences des diapasons ;

     Expérience : déterminant, sur l'enregistrement, les instants pour lesquels l'amplitude des battements est minimale, on en déduit la période puis la fréquence des battements :

     Expérience : ci-contre les instants d'amplitude minimale sont :
     Expérience : ci-contre « », « » et « »
     Expérience : ci-contre donnant une période de battements « » et par suite
     Expérience : ci-contre donnant une fréquence de battements « » d'où
     Expérience : ci-contre donnant un écart relatif de fréquences des diapasons de
     Expérience : ci-contre donnant « » [32] soit « ».

Détermination qualitative de la différence relative de fréquences à partir d'une observation sensorielle directe modifier

     Dans le cas d'ondes sonores ce phénomène est directement perceptible, car l'intensité acoustique   [33] perçue par une oreille humaine est au carré de l'amplitude ; ainsi lorsqu'on superpose deux sons de fréquences   et  , on entend très distinctement la « modulation du niveau acoustique [33] à la fréquence de battements  »  en effet, si les deux sons ont la même intensité acoustique [33], les battements entre les deux sons se matérialisent par une modulation de niveau acoustique [33] de période   allant d'une intensité acoustique [33] nulle à une intensité acoustique [33] quatre fois plus intense que celle des sons originaux  l'amplitude résultante maximale étant deux fois l'amplitude de chaque son mais l'intensité acoustique [33] étant le carré de l'amplitude  ;

     le phénomène de battements est utilisé pour accorder certains instruments de musique, par exemple un piano : certaines notes sont produites par deux ou trois cordes qui doivent vibrer exactement à la même fréquence  et de façon sinusoïdale , quand on les fait vibrer simultanément on réalise des battements si elles ne vibrent pas à la même fréquence, on doit alors modifier la tension de l'une des cordes pour diminuer la fréquence des battements jusqu'à ce que cette dernière devienne nulle, assurant alors que les deux cordes vibrent effectivement à la même fréquence.

Complément : détermination de la pseudo-amplitude de l'onde résultante instantanée en fonction du déphasage (lentement variable) par pseudo-amplitude complexe modifier

     Nous avons précédemment distingué, dans la résolution, le cas de battements entre signaux sinusoïdaux de même amplitude et
     Nous avons précédemment distingué, dans la résolution, le cas de battements entre signaux d'amplitudes différentes,
     Nous avons précédemment distingué, le 1er ayant été résolu par utilisation des formules de trigonométrie transformant une somme de fonctions sinusoïdales en un produit,
     Nous avons précédemment distingué, le 2nd, ne permettant pas l'utilisation de ces formules de trigonométrie, ayant fait appel à la notion étendue de vecteurs de Fresnel [18] tournants,
     Nous avons précédemment distingué, le 2nd, méthode conduisant à la construction d'un diagramme de Fresnel [18] relativement à un axe   tournant à la vitesse angulaire la plus faible, mais
     Nous avons précédemment distingué, il aurait été aussi possible de construire un diagramme de Fresnel [18] de ce type dans le cas de battements entre signaux sinusoïdaux de même amplitude [34] ;

     la méthode de construction d'un diagramme de Fresnel [18] à l'instant  [19] et celle d'utilisation des grandeurs instantanées complexes étant deux facettes d'une même méthode [20], il est possible d'adapter, dans le cas de battements entre signaux sinusoïdaux de fréquences très voisines, la méthode de construction d'un diagramme de Fresnel [18] relativement à un axe   tournant à la vitesse angulaire la plus faible, de façon à travailler directement sur les affixes des vecteurs de Fresnel [18], c'est le « but des sous paragraphes suivants » [35].

Battements entre deux signaux sinusoïdaux de même amplitude modifier

     On considère deux signaux sinusoïdaux de fréquences voisines et de même amplitude « » avec « » ;
     aux « signaux sinusoïdaux  » on fait correspondre les « grandeurs instantanées complexes  » [36] d'où
     le signal résultant « » étant défini comme « », on est amené à « évaluer la somme des grandeurs instantanées complexes  » mais  

     avant de faire cela, utilisons le fait que les « fréquences   et   sont très voisines, proches de leur moyenne  », en écrivant « » ou,
              avant de faire cela, utilisons le fait que les « fréquences   et   sont très voisines, proches de leur moyenne » avec « », « » [37] puis

     avant de faire cela, réécrivons chaque grandeur instantanée complexe sous la forme d'un produit d'une grandeur exponentielle complexe de grande fréquence  égale à la fréquence moyenne  et
     avant de faire cela, réécrivons chaque grandeur instantanée complexe sous la forme d'un produit d'un facteur complexe variant lentement avec le temps  appelé « pseudo-amplitude complexe »  d'où
     avant de faire cela, réécrivons chaque grandeur instantanée complexe « » ou « »
avant de faire cela, réécrivons chaque grandeur instantanée comple avec « » les « pseudo-amplitudes complexes » associées ;

     puis, formons la somme des grandeurs instantanées complexes « » c.-à-d.
     puis, formons la somme des grandeurs instantanées complexes égale à une grandeur instantanée complexe de fréquence égale à la fréquence moyenne   et
     puis, formons la somme des grandeurs instantanées complexes égale à une grandeur instantanée complexe de « pseudo-amplitude complexe » « » c.-à-d. la somme des « pseudo-amplitudes complexes » « » ;

     puis, transformons la « pseudo-amplitude complexe résultante » en décomposant les phases initiales comme fait pour les fréquences [38] soit « »
           puis, transformons la « pseudo-amplitude complexe résultante » en décomposant les phases initiales comme fait pour les fréquences avec « » et « » d'où
     puis, la réécriture de la « pseudo-amplitude complexe résultante » « 
     puis, la réécriture de la « pseudo-amplitude complexe résultante » «    ou encore
     puis, la réécriture de la « pseudo-amplitude complexe résultante » «   » avec la « formule d'Euler [39] du cosinus » [40] d'où
     puis, la réécriture de la « pseudo-amplitude complexe résultante » «  notée  » [41]
     puis, la réécriture de la « pseudo-amplitude complexe résultante » dont le module définit la « pseudo-amplitude résultante » [42], [43] et
     puis, la réécriture de la « pseudo-amplitude complexe résultante » dont l'argument définit la « pseudo-phase initiale  » [43] ;

     finalement le signal résultant s'écrivant « » est identique au résultat trouvé par utilisation directe des formules trigonométriques
     finalement le signal résultant s'écrivant « » avec « » [44] mais
     finalement le signal résultant s'écrivant la forme sous laquelle est obtenu le résultat par pseudo-amplitudes complexes nécessitant une discussion [45] est moins intéressante et il aurait été préférable, pour obtenir le signal résultant, d'expliciter la grandeur instantanée complexe résultante puis d'en prendre la partie réelle soit
     finalement la grandeur instantanée complexe résultante s'écrivant « » en y reportant l'expression de la pseudo-amplitude complexe résultante trouvée précédemment avant discussion   d'où l'expression de la grandeur instantanée complexe résultante « » dont on tire, en en prenant la partie réelle,
     finalement le signal résultant sous la forme «   » [46].

     Conclusion : on trouve effectivement un signal « pseudo-sinusoïdal » de fréquence égale à la « fréquence moyenne  » et
     Conclusion : on trouve effectivement un signal « pseudo-sinusoïdal » de pseudo-amplitude   c.-à-d. une fonction redressée double alternance [47] se réécrivant selon « » et définissant l'« enveloppe supérieure du signal résultant », « enveloppe variant à la fréquence des battements     entre sa valeur minimale   et sa valeur maximale  ».

     Remarque : bien que la « grandeur instantanée complexe résultante  » soit
     Remarque : bien que l'« affixe d'un vecteur de Fresnel [18] tournant   dans le diagramme de Fresnel [18] à l'instant  ,
           Remarque : bien que l'« affixe d'un vecteur de Fresnel tournant   étant de direction fixe relativement à l'axe   tournant à la vitesse angulaire  » alors que
     Remarque : le diagramme de Fresnel [18] à l'instant   dans le paragraphe « battements entre deux signaux d'amplitudes différentes » plus haut dans ce chapitre [48]
           Remarque : le diagramme de Fresnel à l'instant   utilise des « vecteurs de Fresnel [18] tournants repérés par rapport à un axe   en rotation à la vitesse angulaire  »
           Remarque : le diagramme de Fresnel à l'instant   de façon à ce que le vecteur de Fresnel [18]    et non   soit de direction fixe,
     Remarque : nous obtenons la même expression de signal résultant  

     Remarque : Pour qu'il y ait une correspondance exacte entre la méthode des grandeurs instantanées complexes et celle du diagramme de Fresnel [18] à l'instant  , il aurait fallu choisir l'axe   tournant à la vitesse angulaire moyenne   mais la conséquence aurait été qu'aucun des deux vecteurs de Fresnel [18] tournants   et   n'aurait été de direction fixe relativement à     tournant dans le sens   par rapport à   à la vitesse angulaire   et   tournant dans le sens   par rapport à   à la vitesse angulaire opposée    [49]  et l'avantage de conserver une symétrie entre les deux signaux n'aurait pas compensé le désavantage de n'avoir plus aucun vecteur de Fresnel [18] fixe  

Battements entre deux signaux sinusoïdaux d'amplitudes différentes modifier

     On considère deux signaux sinusoïdaux de fréquences voisines et d'amplitudes différentes « » avec « » pour lesquels
     on peut réitérer la méthode exposée dans le paragraphe « battements entre deux signaux sinusoïdaux de même amplitude » plus haut dans ce chapitre en l'adaptant si besoin est ;

     aux « signaux sinusoïdaux  » on fait correspondre les « grandeurs instantanées complexes  » [36] d'où
     le signal résultant « » étant défini comme « », on est donc amené à « évaluer la somme des grandeurs instantanées complexes  » ;

     comme précédemment on transforme les fréquences selon « », les « fréquences   étant très voisines, proches de leur moyenne  » ou,
     comme précédemment on transforme les fréquences selon « » en introduisant la différence de fréquence  [37] ;
     comme précédemment on peut alors réécrire les grandeurs instantanées complexes de façon plus symétrique selon « » ou,
     comme précédemment on peut alors réécrire en introduisant « » les « pseudo-amplitudes complexes » associées,
     comme précédemment on peut alors réécrire les grandeurs instantanées complexes de façon plus symétrique selon « » ;

     ensuite, on forme la somme des grandeurs instantanées complexes « »
     ensuite, on forme la somme des grandeurs instantanées complexes égale à une grandeur instantanée complexe de fréquence égale à la fréquence moyenne   et
     ensuite, on forme la somme des grandeurs instantanées complexes égale à une grandeur instantanée complexe de « pseudo-amplitude complexe » « » c.-à-d. la somme des « pseudo-amplitudes complexes associées à chaque grandeur instantanée complexe » « » [50]
     ensuite, on forme la somme des grandeurs instantanées complexes égale à une grandeur instantanée complexe dont le module définit la « pseudo-amplitude résultante »   et
     ensuite, on forme la somme des grandeurs instantanées complexes égale à une grandeur instantanée complexe dont l'argument définit la « pseudo-phase initiale résultante »   [51],
     ensuite, on forme le signal résultant pouvant alors être réécrit selon « » ;

     finalement les « » déterminées par   de « » valent :

  • « » [52] ou, avec   et en développant « » soit encore, avec la formule d'Euler [39] définissant le cosinus [40], «   » établissant que la « pseudo-amplitude »   de l'onde résultante « varie à la fréquence dite des battements égale à     de sa valeur minimale   à sa valeur maximale  » ;
  • « » nécessite l'écriture de la « pseudo-amplitude complexe résultante » sous sa forme algébrique [53], ceci donnant, après des transformations élémentaires [54], la forme algébrique de la « pseudo-amplitude complexe résultante »     dont on tire  , ces deux expressions permettant de déterminer la « pseudo-phase initiale résultante » et de constater que celle-ci est également périodique de fréquence égale à celle des battements  

Notes et références modifier

  1. Générateur Basse Fréquence.
  2. Dans le cas présent l'« enveloppe inférieure » du signal résultant est, en 1ère approximation, la symétrique, par rapport à l'axe des temps, de l'« enveloppe supérieure » de ce dernier.
  3. C.-à-d. la fréquence « quasi commune » de   et   mais on peut dire aussi que c'est la fréquence moyenne  .
  4. C.-à-d. la différence des fréquences de   et   soit  , en effet la période observée de modulation d'amplitude est  .
  5. L'« enveloppe supérieure »  courbe passant par les maxima du signal résultant en lui étant tangent  est un « signal sinusoïdal redressé double alternance » de fréquence    c.-à-d. un signal égal à la valeur absolue d'un signal sinusoïdal de fréquence    voir le paragraphe « définition d'un redresseur double alternance » du chap.  de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) » , elle aurait pu être déterminée physiquement mais elle a simplement été ajoutée au signal résultant obtenu sur oscilloscope.
  6. Bien entendu la plus grande moins la plus petite.
  7. L'« enveloppe supérieure » n'a pas été déterminée physiquement mais approchée en l'assimilant à la somme d'une composante permanente de valeur   et d'un « signal sinusoïdal » de fréquence   et d'amplitude   ;
       la courbe obtenue n'étant pas parfaitement tangente au signal résultant, elle ne constitue donc qu'une approximation de l'« enveloppe supérieure », la variation de la pseudo-amplitude étant en fait périodique mais non sinusoïdale.
  8. Se retrouve à partir des formules d'addition élémentaires «       » soit encore, en posant   et   dont on tire   et  , la relation rappelée.
  9. La raison étant que les fréquences   et   sont voisines, ce qui peut s'écrire «  avec  »   « » d'où « ».
  10. On a utilisé la parité du cosinus pour faire apparaître   interprétable en fréquence.
  11. On rappelle qu'une amplitude est nécessairement positive d'où la nécessité de prendre la valeur absolue de   ;
       on vérifie qu'il s'agit bien d'un signal sinusoïdal redressé double alternance  voir le paragraphe « définition d'un redresseur double alternance » du chap.  de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) »  de fréquence    le facteur   étant la conséquence du fait que le signal sinusoïdal redressé double alternance a une période moitié de celle du signal sinusoïdal .
  12. C.-à-d. la fréquence de la pseudo-amplitude  .
  13. Lesquels étaient notés «  et  » dans le paragraphe « addition de deux ondes électriques de fréquences très voisines, notion de battements » plus haut dans ce chapitre.
  14. On observe, sur le 2sup>ème oscillogramme des battements entre deux signaux de même amplitude du paragraphe « addition de deux ondes électriques de fréquences très voisines, notion de battements » plus haut dans ce chapitre,   contacts du signal résultant avec l'enveloppe supérieure pour l'intervalle  .
  15. On observe, sur le 2sup>ème oscillogramme des battements entre deux signaux de même amplitude du paragraphe « addition de deux ondes électriques de fréquences très voisines, notion de battements » plus haut dans ce chapitre,   contacts du signal résultant avec l'enveloppe supérieure pour l'intervalle  .
  16. On observe, sur le 2sup>ème oscillogramme des battements entre deux signaux de même amplitude du paragraphe « addition de deux ondes électriques de fréquences très voisines, notion de battements » plus haut dans ce chapitre,   contacts du signal résultant avec l'enveloppe supérieure pour l'intervalle  .
  17. En effet nous n'avons plus de somme de cosinus.
  18. 18,00 18,01 18,02 18,03 18,04 18,05 18,06 18,07 18,08 18,09 18,10 18,11 18,12 18,13 18,14 18,15 18,16 18,17 18,18 18,19 et 18,20 Augustin Jean Fresnel (1788 - 1827) physicien français à qui on doit principalement l'explication de tous les phénomènes optiques dans le cadre de la théorie ondulatoire de la lumière.
  19. 19,0 et 19,1 En effet, lors de l'addition de deux signaux sinusoïdaux de même fréquence, le diagramme de Fresnel à l'instant    utilisant des vecteurs de Fresnel tournants  voir le paragraphe « vecteur de Fresnel tournant » du chap.  de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »  se déduit de celui à l'instant    voir le paragraphe « amplitude et phase initiale résultantes en termes de vecteur de Fresnel » du chap.  de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »  par rotation d'angle    raison pour laquelle le diagramme de Fresnel à l'instant   est usuellement non utilisé au profit de celui à l'instant   ;
       si les signaux sont de fréquences différentes mais très voisines, le vecteur de Fresnel tournant associé au signal de plus grande fréquence tourne légèrement plus rapidement que celui associé au signal de plus faible fréquence et par suite le diagramme de Fresnel à l'instant   se déforme lentement avec le temps, sa déformation lente pouvant être interprétée en termes de signal résultant « pseudo-sinusoïdal » dont la « pseudo-amplitude » peut alors être calculée.
  20. 20,0 et 20,1 Une grandeur instantanée complexe n'étant rien d'autre que l'affixe d'un vecteur de Fresnel tournant dans le plan complexe  c.-à-d. qu'une grandeur instantanée complexe a pour image, dans le plan complexe, un vecteur de Fresnel tournant   voir le paragraphe « lien entre grandeur instantanée complexe et vecteur de Fresnel tournant » du chap.  de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ,
       si on peut utiliser l'une des méthodes on peut se servir de l'autre  voir le paragraphe « amplitude et phase initiale en terme d'amplitude complexe » du chap.  de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » à adapter en termes de grandeurs instantanées complexes .
  21. Le vecteur de Fresnel   faisant l'angle   relativement à l'axe usuel  , nous choisissons un axe   tournant à la même vitesse angulaire que   et se confondant avec   à l'instant   c.-à-d. faisant, à l'instant  , l'angle   avec  , ce qui implique la fixité de   par rapport à  , l'angle que fait   avec   étant alors  .
  22. Montrant, de nouveau, que   tourne lentement relativement à   à la vitesse angulaire  .
  23. Mais non sinusoïdalement.
  24. Définis par « ».
  25. Définis par « ».
  26. Pour rappel, seule la pseudo-amplitude est importante, c'est elle qui permet de justifier la fréquence des battements, la pseudo-phase initiale résultante n'étant établie qu'à titre documentaire.
  27. Comme nous le voyons sur l'exemple de ce paragraphe où l'amortissement n'est pas négligeable, le tracé effectif d'une enveloppe n'est pas indispensable pour déterminer sa période  plus exactement sa pseudo-période  car bien souvent les pseudo-oscillations soulignent suffisamment les courbes les enveloppant.
  28. Sa connaissance nous donne donc une information sur la valeur absolue de la différence des fréquences des signaux en battements mais pas sur le signe de la différence.
  29. Dans la pratique l'enregistrement nécessite un effet de loupe  c.-à-d. une modification de l'échelle des temps de l'oscilloscope  car, sur une période de battements, il y a en général beaucoup trop de pseudo-oscillations pour que celles-ci soient discernables comme on peut le constater sur l'exemple de ce paragraphe.
  30. En effet les fréquences des signaux étant très voisines l'une de l'autre     « ».
  31. Il s'agit du « do3 »  voir les paragraphes « physique (octave) » et « solfège » de l'article « Octave (musique) » de wikipedia pour plus d'informations .
  32. Comme la fréquence commune des diapasons était connue, on n'a pas eu à la déterminer par pseudo-période du signal résultant comme indiqué dans le préambule ; compte-tenu du grand nombre de pseudo-périodes   contenues dans une période de battements     il aurait été nécessaire de changer la sensibilité de la base de temps d'au moins un facteur  .
  33. 33,0 33,1 33,2 33,3 33,4 33,5 et 33,6 L'intensité acoustique est la puissance transportée par l'onde sonore par unité d'aire de section droite  plus précisément par   de section droite , l'intensité acoustique s'exprime donc en   ;
       le seuil d'audibilité dans l'air par une oreille humaine pour un son sinusoïdal de   étant    ce qui est très faible , on introduit une échelle logarithmique  à base d'un logarithme décimal  pour repérer l'intensité acoustique, ce qui définit le niveau d'intensité acoustique selon « »,
       les niveaux acoustiques étant respectivement pour :
    • un « bruissement de feuilles  »,
    • une « conversation vive  » ou
    • une « atteinte du seuil de la douleur  »  correspondant à une puissance acoustique de  , celle de la conversation vive étant   fois plus faible soit   et
      une « atteinte du seuil de la douleur  »  correspondant à une puissance acoustique de  , celle d'un bruissement de feuilles   fois plus faible soit  .
  34. Si cela n'a pas été fait, c'est que la méthode directe est indéniablement plus rapide.
  35. À considérer comme complément, la méthode de construction d'un diagramme de Fresnel relativement à un axe   tournant à la vitesse angulaire la plus faible   plus concrète   suffisant largement.
  36. 36,0 et 36,1 On rappelle que   et   sont les parties réelles de   et  , les parties imaginaires de ces dernières n'ayant, pour le problème étudié, aucune signification  mais en acquerraient une si les signaux sinusoïdaux étaient en « sinus » .
  37. 37,0 et 37,1 La différence de fréquence   étant très petite relativement à la fréquence moyenne  .
  38. La démarche est la même mais la raison ne l'est pas, en particulier les phases initiales ne sont pas a priori voisines l'une de l'autre.
  39. 39,0 et 39,1 Leonhard Euler (1707 - 1783) mathématicien et physicien suisse qui passa la plus grande partie de sa vie dans l'Empire russe et en Allemagne, surtout connu pour ses travaux en analyse mathématique ainsi qu'en mécanique des fluides, optique et astronomie, considéré comme l'un des plus grands et plus prolifiques mathématiciens de tous les temps ;
       en mathématiques il fit d'importantes découvertes dans des domaines aussi variés que le calcul infinitésimal et la théorie des graphes, il introduisit également une grande partie de la terminologie et de la notation des mathématiques modernes, en particulier pour l'analyse mathématique, comme la notion de fonction mathématique ; il est aussi connu pour ses travaux en mécanique, en dynamique des fluides, en optique et en astronomie.
  40. 40,0 et 40,1 La formule d'Euler d'origine est   mais les deux formules qui en découlent définissant le cosinus «   » et le sinus «   » sont encore appelées « formules d'Euler ».
  41. On constate que la « pseudo-amplitude complexe résultante » se réécrit comme le produit d'une « grandeur réelle   variant lentement avec le temps » et
       On constate que la « pseudo-amplitude complexe résultante » se réécrit comme le produit d'une « exponentielle imaginaire   de valeur constante ».
  42. Laquelle « varie lentement à la fréquence  » correspondant donc à la « fréquence des battements ».
  43. 43,0 et 43,1  Le module du produit d'un réel et d'une exponentielle imaginaire  laquelle est de module unité  est la valeur absolue du réel c.-à-d.
    • le réel si ce dernier est positif, l'argument du produit étant alors l'argument de l'exponentielle imaginaire ou
    • l'opposé du réel si de dernier est négatif, l'argument du produit étant alors l'argument de l'exponentielle imaginaire auquel s'ajoute   au choix.
  44. Voir le paragraphe « battements entre deux signaux sinusoïdaux de même amplitude » plus haut dans ce chapitre.
  45. Liée au caractère « positif ou négatif de  ».
  46. Effectivement identique à « » avec « » établie précédemment dans le paragraphe « battements entre deux signaux sinusoïdaux de même amplitude » plus haut dans ce chapitre.
  47. Plus précisément fonction redressée double alternance « d'une fonction sinusoïdale » car à toute fonction périodique alternative non sinusoïdale on peut définir une redressée double alternance  voir le paragraphe « définition d'un redresseur double alternance » du chap.  de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) » .
  48. Méthode que l'on peut appliquer sans souci  même si cela n'a pas d'intérêt  au cas de deux signaux de même amplitude.
  49. En effet   et  .
  50. Les décompositions des phases initiales effectuées dans le paragraphe « battements entre deux signaux sinusoïdaux de même amplitude » plus haut dans ce chapitre ne sont pas utiles ici   en effet elles ont été faites pour utiliser la formule d'Euler relative au cosinus   mais ici les amplitudes   empêchant toute utilisation de formule d'Euler, il est inutile de procéder à cette décomposition   même si cela reste néanmoins possible.
  51. Lesquelles varient lentement à la fréquence  , cette dernière correspondant donc à la fréquence des battements.
  52. On rappelle que   est le conjugué de  .
  53. Pour cela on prend la forme algébrique des deux termes de la somme et on regroupe les termes réels et les termes imaginaires.
  54. De l'expression de la pseudo-amplitude complexe résultante «