Signaux physiques (PCSI)/Propagation d'un signal : Battements

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Addition de deux ondes électriques de fréquences très voisines, notion de battements

     On considère deux ondes électriques de grandeur vibrante « la tension aux bornes de deux G.B.F. différents » de fréquences très voisines,
     On considère deux ondes électriques l'une de fréquence «$\;f_{1}=1,00\,kHz\;$» et d'amplitude «$\;U_{m,\,1}=1,0\,V\;$»,
     On considère deux ondes électriques l'autre de fréquence «$\;f_{2}=1,05\,kHz\;$» et d'amplitude «$\;U_{m,\,2}=1,0\,V\;$» ;
     on observe chaque tension sur une voie différente de l'oscilloscope numérique et on visualise la somme de ces deux tensions grâce à l'opérateur mathématique « addition » disponible sur l'oscilloscope ;
     on observe le 1^er oscillogramme ci-dessous dans lequel «$\;u_{1}(t)\;$ est en rouge », «$\;u_{2}(t)\;$ en bleu clair » et «$\;u_{1}(t)+u_{2}(t)\;$ en noir » à la suite duquel est représenté
     on observe un 2^ème oscillogramme dans lequel n'est laissé, pour une meilleur lisibilité de l'écran, que le signal résultant $\;{\big \{}$dans ce dernier oscillogramme a été ajoutée, en rouge, l'« enveloppe supérieure » du signal résultant $\;{\big (}$c.-à-d. la courbe reliant les maxima de ce dernier${\big )}$, l'« enveloppe inférieure » du signal résultant $\;{\big (}$c.-à-d. la courbe reliant les minima du signal résultant${\big )}$, n'étant pas représentée${\big \}}$.

Observation de deux tensions sinusoïdales de fréquences voisines et de même amplitude simultanément à leur somme

Observation de battements entre deux tensions sinusoïdales de fréquences voisines et de même amplitude,
modulation d'amplitude entre $\;0\;$ et $\;2\;$ fois l'amplitude

     On constate que, pour certains intervalles de temps $\;{\big [}$au voisinage de $\;t=0\;$ et de $\;t=20\;ms{\big ]}$, les tensions de fréquences très voisines étant quasiment en phase,
     On constate que, pour certains intervalles de temps $\;\color {transparent}{\big [}$au voisinage de $\;\color {transparent}{t=0}\;$ et de $\;\color {transparent}{t=20\;ms{\big ]}}$, l'« amplitude » de l'onde résultante est maximale égale à «$\;U_{m,\,1}+U_{m,\,2}=2,0\,V\;$» alors que
     On constate que, pour certains autres intervalles de temps $\;{\big [}$au voisinage de $\;t=10\;ms{\big ]}$, elles sont quasiment en opposition de phase et par suite
     On constate que, pour certains autres intervalles de temps $\;\color {transparent}{\big [}$au voisinage de $\;\color {transparent}{t=10\;ms{\big ]}}$, l'« amplitude » de l'onde résultante est minimale égale à «$\;U_{m,\,1}-U_{m,\,2}=0\,V\;$» ;
     l'onde résultante est « pseudo-sinusoïdale » de fréquence $\;\simeq 1,0\,kHz\;$  avec une modulation d'« amplitude » à la fréquence $\;\simeq 50\,Hz\;$ ,
         l'onde résultante est « pseudo-sinusoïdale » de fréquence $\;\color {transparent}{\simeq 1,0\,kHz}\;$ avec une modulation l'« amplitude » variant entre «$\;U_{m,\,1}-U_{m,\,2}=0\,V\;$» et «$\;U_{m,\,1}+U_{m,\,2}=2,0\,V\;$» .

Définition

     Lorsque l'on forme l'addition de deux signaux sinusoïdaux de fréquences très voisines on dit que l'on réalise
     Lorsque l'on forme des « battements entre ces deux signaux », ceci veut dire que le signal résultant est « pseudo-sinusoïdal »

• de fréquence égale à la fréquence quasi-commune et
• de « pseudo-amplitude » variant à la fréquence de battements égale à la « différence des fréquences » .

     Il n'est pas nécessaire que les deux signaux soient de même amplitude pour réaliser des battements entre eux, il suffit qu'ils soient de fréquences très voisines ;
     ci-dessous un 1^er oscillogramme présentant des battements entre des signaux sinusoïdaux $\;u_{1}(t)\;$ de fréquence $\;1,00\,kHz\;$ et d'amplitude $\;2,0\,V\;$ ${\big (}$en rouge sur l'oscillogramme${\big )}\;$ et
     ci-dessous un 1^er oscillogramme présentant des battements entre des signaux sinusoïdaux $\;u_{2}(t)\;$ de fréquence $\;1,05\,kHz\;$ et d'amplitude $\;1,0\,V$ $\;{\big (}$en bleu sur l'oscillogramme${\big )}$ ;
     ci-dessous un 1^er oscillogramme la fréquence des battements $\;{\big (}$en noir sur l'oscillogramme${\big )}\;$ est toujours la différence des fréquences mais
     ci-dessous un 1^er oscillogramme la « pseudo-amplitude » varie maintenant entre $\;U_{m,\,1}-U_{m,\,2}=1,0\,V\;$ et $\;U_{m,\,1}+U_{m,\,2}=3,0\,V\;$ à la suite duquel est représenté
     ci-dessous un 2^ème oscillogramme dans lequel n'est laissé, pour une meilleur lisibilité de l'écran, que le signal résultant $\;{\big \{}$avec l'ajout, en rouge, d'une approximation de l'« enveloppe supérieure » du signal résultant $\;{\big (}$c.-à-d. la courbe reliant les maxima de ce dernier${\big )}\;$, l'« enveloppe inférieure » du signal résultant $\;{\big (}$c.-à-d. la courbe reliant les minima du signal résultant${\big )}$, n'étant pas représentée${\big \}}$.

Observation de deux tensions sinusoïdales de fréquences voisines et d'amplitudes différentes simultanément à leur somme

Observation de battements entre deux tensions sinusoïdales de fréquences voisines et d'amplitudes différentes,
modulation d'amplitude entre la valeur absolue de la différence des amplitudes et la somme des amplitudes

Interprétation de l'onde résultante comme une onde pseudo-sinusoïdale de pseudo-amplitude à variation lente et périodique, fréquence de battements

Battements entre deux signaux sinusoïdaux de même amplitude

     On considère deux signaux sinusoïdaux de fréquences voisines et de même amplitude «$\;\left[{\begin{array}{c}s_{1}(t)=S_{m}\,\cos(2\,\pi \,f_{1}\,t+\varphi _{1})\\s_{2}(t)=S_{m}\,\cos(2\,\pi \,f_{2}\,t+\varphi _{2})\end{array}}\right]\;$» avec «$\;f_{2}>f_{1}\;$» ;
     le signal résultant «$\;s_{\text{tot}}(t)=s_{1}(t)+s_{2}(t)=S_{m}\left[\cos(2\,\pi \,f_{1}\,t+\varphi _{1})+\cos(2\,\pi \,f_{2}\,t+\varphi _{2})\right]\;$» se réécrit, à l'aide de la formule de trigonométrie transformant une somme de cosinus en un produit de cosinus «$\;\cos(p)+\cos(q)=2\,\cos \!\left({\dfrac {p+q}{2}}\right)\,\cos \!\left({\dfrac {p-q}{2}}\right)\;$» , utilisée dans le but de faire apparaître un produit de fonctions du temps dont l'une varierait nettement plus lentement que l'autre,
     le signal résultant «$\;s_{\text{tot}}(t)=2\,S_{m}\,\cos \!\left(2\,\pi \,{\dfrac {f_{1}+f_{2}}{2}}\,t+{\dfrac {\varphi _{1}+\varphi _{2}}{2}}\right)\,\cos \!\left(2\,\pi \,{\dfrac {f_{1}-f_{2}}{2}}\,t+{\dfrac {\varphi _{1}-\varphi _{2}}{2}}\right)\;$» ;

     le 1^er facteur en cosinus «$\;\cos \!\left(2\,\pi \,{\dfrac {f_{1}+f_{2}}{2}}\,t+{\dfrac {\varphi _{1}+\varphi _{2}}{2}}\right)\;$» variant plus rapidement que le 2^nd «$\;\cos \!\left(2\,\pi \,{\dfrac {f_{1}-f_{2}}{2}}\,t+{\dfrac {\varphi _{1}-\varphi _{2}}{2}}\right)\;$» $\;{\bigg \{}$«$\;{\dfrac {f_{1}+f_{2}}{2}}\;$ très grande par rapport à $\;{\bigg \vert }{\dfrac {f_{1}-f_{2}}{2}}{\bigg \vert }\;$»${\bigg \}}$, le 2^nd facteur «$\;\cos \!\left(2\,\pi \,{\dfrac {f_{1}-f_{2}}{2}}\,t+{\dfrac {\varphi _{1}-\varphi _{2}}{2}}\right)\;$» peut être considéré comme « quasi constant » pendant une période de variation du 1^er «$\;\cos \!\left(2\,\pi \,{\dfrac {f_{1}+f_{2}}{2}}\,t+{\dfrac {\varphi _{1}+\varphi _{2}}{2}}\right)\;$», d'où la réécriture du signal résultant en introduisant la « grandeur $\;S_{m,\,{\text{tot}}}(t)=2\,S_{m}\,\cos \!\left(2\,\pi \,{\dfrac {f_{1}-f_{2}}{2}}\,t+{\dfrac {\varphi _{1}-\varphi _{2}}{2}}\right)\;$ quasi constante sur la période $\;T_{\text{résult}}={\dfrac {1}{f_{\text{moy}}}}\;$ avec $\;f_{\text{moy}}={\dfrac {f_{1}+f_{2}}{2}}\;$» selon
     le signal résultant «$\;s_{\text{tot}}(t)=S_{m,\,{\text{tot}}}(t)\,\cos \!\left(2\,\pi \,{\dfrac {f_{1}+f_{2}}{2}}\,t+{\dfrac {\varphi _{1}+\varphi _{2}}{2}}\right)\;$» avec «$\;S_{m,\,{\text{tot}}}(t)\;$ qui se réécrit $\;S_{m,\,{\text{tot}}}(t)=2\,S_{m}\,\cos \!\left(2\,\pi \,{\dfrac {f_{2}-f_{1}}{2}}\,t+{\dfrac {\varphi _{2}-\varphi _{1}}{2}}\right)\;$»  ;
     le signal résultant est donc « pseudo-sinusoïdal » de «$\;{\big (}$pseudo-${\big )}$fréquence $\;f_{\text{résult}}={\dfrac {f_{1}+f_{2}}{2}}\;$» et
     le signal résultant est donc « pseudo-sinusoïdal » de « pseudo-amplitude $\;\vert S_{m,\,{\text{tot}}}(t)\vert =2\,S_{m}\,\left\vert \cos \!\left(2\,\pi \,{\dfrac {f_{2}-f_{1}}{2}}\,t+{\dfrac {\varphi _{2}-\varphi _{1}}{2}}\right)\right\vert \;$» 
     le signal résultant est donc « pseudo-sinusoïdal » de « pseudo-amplitude variant à la fréquence dite des battements «$\;f_{\text{battements}}=f_{2}-f_{1}\;$».

     Remarque $\rightsquigarrow$ Contacts de l'enveloppe supérieure avec le signal résultant : reprenant les signaux de même amplitude du paragraphe « addition de deux ondes électriques de fréquences très voisines, notion de battements » plus haut dans ce chapitre «$\;s_{1}(t)\;$ et $\;s_{2}(t)\;$», de « fréquences $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}f_{1}=1,00\,kHz\\f_{2}=1,05\,kHz\end{array}}\right\rbrace \;$», d'« amplitude commune $\;S_{m}=1,0\,V\;$» et « en phase $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\varphi _{1}=0\\\varphi _{2}=0\end{array}}\right\rbrace \;$», on constate :

     Remarque $\color {transparent}{\rightsquigarrow }$ Contacts de l'enveloppe supérieure avec le signal résultant : $\succ \;$pour «$\;t\in \left[0\,{\text{;}}\,10\,ms\right]\;$», «$\;S_{m,\,{\text{tot}}}(t)=2\,S_{m}\,\cos \!\left(2\,\pi \,{\dfrac {f_{2}-f_{1}}{2}}\,t\right)>0\;$ représente la pseudo-amplitude »,
     Remarque $\color {transparent}{\rightsquigarrow }$ Contacts de l'enveloppe supérieure avec le signal résultant : $\color {transparent}{\succ }\;$pour «$\;\color {transparent}{t\in \left[0\,{\text{;}}\,10\,ms\right]}\;$», le contact du signal résultant avec l'enveloppe supérieure se fait aux instants «$\;t_{p}\;$ vérifiant
     Remarque $\color {transparent}{\rightsquigarrow }$ Contacts de l'enveloppe supérieure avec le signal résultant : $\color {transparent}{\succ }\;$pour «$\;\color {transparent}{t\in \left[0\,{\text{;}}\,10\,ms\right]}\;$», le contact du signal résultant avec l'enveloppe supérieure $\;\cos \!\left(2\,\pi \,{\dfrac {f_{1}+f_{2}}{2}}\,t_{p}\right)=1\;$»,

     Remarque $\color {transparent}{\rightsquigarrow }$ Contacts de l'enveloppe supérieure avec le signal résultant : $\succ \;$pour «$\;t\in \left[10\,ms\,{\text{;}}\,30\,ms\right]\;$», «$\;S_{m,\,{\text{tot}}}(t)=2\,S_{m}\,\cos \!\left(2\,\pi \,{\dfrac {f_{2}-f_{1}}{2}}\,t\right)<0\;$ $\Rightarrow$ la pseudo-amplitude $\;-S_{m,\,{\text{tot}}}(t)\;$»,
     Remarque $\color {transparent}{\rightsquigarrow }$ Contacts de l'enveloppe supérieure avec le signal résultant : $\color {transparent}{\succ }\;$pour «$\;\color {transparent}{t\in \left[10\,ms{\text{;}}\,30\,ms\right]}\;$», le contact du signal résultant avec l'enveloppe supérieure se fait aux instants «$\;{t'}_{\!q}\;$ vérifiant
   Remarque $\color {transparent}{\rightsquigarrow }$ Contacts de l'enveloppe supérieure avec le signal résultant : $\color {transparent}{\succ }\;$pour «$\;\color {transparent}{t\in \left[10\,ms\,{\text{;}}\,30\,ms\right]}\;$», le contact du signal résultant avec l'enveloppe sup $\;\cos \!\left(2\,\pi \,{\dfrac {f_{1}+f_{2}}{2}}\,{t'}_{\!q}\right)=-1\;$»,

     Remarque $\color {transparent}{\rightsquigarrow }$ Contacts de l'enveloppe supérieure avec le signal résultant : $\succ \;$pour «$\;t\in \left[30\,ms\,{\text{;}}\,40\,ms\right]\;$», «$\;S_{m,\,{\text{tot}}}(t)=2\,S_{m}\,\cos \!\left(2\,\pi \,{\dfrac {f_{2}-f_{1}}{2}}\,t\right)>0\;$ est de nouveau la pseudo-amplitude »,
     Remarque $\color {transparent}{\rightsquigarrow }$ Contacts de l'enveloppe supérieure avec le signal résultant : $\color {transparent}{\succ }\;$pour «$\;\color {transparent}{t\in \left[30\,ms{\text{;}}\,40\,ms\right]}\;$», le contact du signal résultant avec l'enveloppe supérieure se fait aux instants «$\;t_{p}\;$ vérifiant
   Remarque $\color {transparent}{\rightsquigarrow }$ Contacts de l'enveloppe supérieure avec le signal résultant : $\color {transparent}{\succ }\;$pour «$\;\color {transparent}{t\in \left[30\,ms\,{\text{;}}\,40\,ms\right]}\;$», le contact du signal résultant avec l'enveloppe sup $\;\cos \!\left(2\,\pi \,{\dfrac {f_{1}+f_{2}}{2}}\,t_{p}\right)=1\;$» ;

     Remarque $\color {transparent}{\rightsquigarrow }$ Contacts de l'enveloppe supérieure avec le signal résultant : $\succ \;$pour «$\;t>40\,ms\;$» les contacts du signal résultant avec l'enveloppe supérieure se déterminent comme précédemment, le phénomène étant périodique de période $\;40\,ms\;$ ${\bigg \{}$en effet la fréquence de $\;S_{m,\,{\text{tot}}}(t)=2\,S_{m}\,\cos \!\left(2\,\pi \,{\dfrac {f_{2}-f_{1}}{2}}\,t\right)\;$ étant $\;{\dfrac {f_{2}-f_{1}}{2}}=25\,Hz\;$ est de période $\;40\,ms\;$ $\Rightarrow$ la pseudo-amplitude $\;\vert S_{m,\,{\text{tot}}}(t)\vert$ $=2\,S_{m}\,\left\vert \cos \!\left(2\,\pi \,{\dfrac {f_{2}-f_{1}}{2}}\,t\right)\right\vert \;$ est de période $\;20\,ms\;$ ${\big (}$correspondant aux deux phases successives étudiées ci-dessus${\big )}$, son inverse définissant la fréquence des battements $\;f_{2}-f_{1}=50\,Hz{\bigg \}}$.

Battements entre deux signaux sinusoïdaux d'amplitudes différentes

     On considère maintenant deux signaux sinusoïdaux de fréquences voisines et d'amplitudes différentes «$\;\left[{\begin{array}{c}s_{1}(t)=S_{m,\,1}\,\cos(2\,\pi \,f_{1}\,t+\varphi _{1})\\s_{2}(t)=S_{m,\,2}\,\cos(2\,\pi \,f_{2}\,t+\varphi _{2})\end{array}}\right]\;$» avec «$\;f_{2}>f_{1}\;$» ;
     le signal résultant «$\;s_{\text{tot}}(t)=s_{1}(t)+s_{2}(t)=S_{m,\,1}\,\cos(2\,\pi \,f_{1}\,t+\varphi _{1})+S_{m,\,2}\,\cos(2\,\pi \,f_{1}\,t+\varphi _{1})\;$» ne s'acquière plus par « utilisation de la trigonométrie »  mais
     le signal résultant peut s'obtenir par « diagramme de Fresnel à l'instant $\;t\;$» bien que cette méthode soit, a priori, réservée à l'addition de deux signaux sinusoïdaux de même fréquence, ou
     le signal résultant peut s'obtenir par « grandeurs instantanées complexes »  ;

Détermination de la pseudo-amplitude du signal résultant de deux signaux sinusoïdaux de fréquences très voisines et d'amplitudes différentes par tracé du diagramme de Fresnel relativement à un axe tournant à la vitesse angulaire du plus lent

     nous allons représenter le diagramme de Fresnel « relativement à un axe $\;{\overrightarrow {Ox'}}\;$ tournant à la même vitesse angulaire que le vecteur de Fresnel $\;{\vec {S_{1}}}(t)\;$  associé au signal $\;s_{1}(t)=S_{m,\,1}\,\cos(2\,\pi \,f_{1}\,t+\varphi _{1})\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\vec {S_{1}}}(t)\;$fixe par rapport à$\;{\overrightarrow {Ox'}}\;$» avec l'« angle orienté $\;{\widehat {\left\lbrace {\overrightarrow {Ox'}}\,,\,{\vec {S_{1}}}(t)\right\rbrace }}=\varphi _{1}\;$» ;
     relativement à cet axe $\;{\overrightarrow {Ox'}}$, le vecteur de Fresnel $\;{\vec {S_{2}}}(t)\;$ associé à l'autre signal $\;s_{2}(t)=S_{m,\,2}\,\cos(2\,\pi \,f_{2}\,t+\varphi _{2})\;$ lequel peut être réécrit selon $\;s_{2}(t)=S_{m,\,2}\,\cos \!\left\lbrace 2\,\pi \,f_{1}\,t+\left[2\,\pi \left(f_{2}-f_{1}\right)t+\varphi _{2}\right]\right\rbrace \;$ tourne lentement à la vitesse angulaire$\;2\,\pi \,(f_{2}-f_{1})\;$ ${\big \{}$en effet «$\;2\,\pi \,(f_{2}-f_{1})\ll 2\,\pi \,f_{1}\;$»${\big \}}\;$ avec l'« angle orienté $\;{\widehat {\left\lbrace {\overrightarrow {Ox'}}\,,\,{\vec {S_{2}}}(t)\right\rbrace }}=2\,\pi \left(f_{2}-f_{1}\right)t+\varphi _{2}\;$» :

     nous en déduisons l'angle que fait $\;{\vec {S_{2}}}(t)\;$ avec $\;{\vec {S_{1}}}(t)\;$ à la date $\;t\;$ «$\;{\widehat {\left\lbrace {\overrightarrow {S_{1}}}(t)\,{\text{;}}\,{\overrightarrow {S_{2}}}(t)\right\rbrace }}={\widehat {\left\lbrace {\overrightarrow {Ox'}}\,,\,{\vec {S_{2}}}(t)\right\rbrace }}-{\widehat {\left\lbrace {\overrightarrow {Ox'}}\,,\,{\vec {S_{1}}}(t)\right\rbrace }}\;$» noté $\;\alpha (t)\;$ sur le diagramme ci-contre «$\;\alpha (t)=\left[2\,\pi \,\left(f_{2}-f_{1}\right)\,t+\varphi _{2}\right]-\varphi _{1}\;$» ou «$\;\alpha (t)=2\,\pi \,(f_{2}-f_{1})\,t+(\varphi _{2}-\varphi _{1})\;$»
     nous en déduisons et la norme du vecteur de Fresnel $\;{\overrightarrow {S_{\text{tot}}}}(t)={\vec {S_{1}}}(t)+{\vec {S_{2}}}(t)\;$ en formant $\;\left[{\overrightarrow {S_{\text{tot}}}}(t)\right]^{2}=\left[{\vec {S_{1}}}(t)+{\vec {S_{2}}}(t)\right]^{2}=$ ${\vec {S_{1}}}^{2}+{\vec {S_{2}}}^{2}+2\,{\vec {S_{1}}}(t)\!\cdot \!{\vec {S_{2}}}(t)\;$ ou $\;\left[{\overrightarrow {S_{\text{tot}}}}(t)\right]^{2}=S_{m,\,1}^{2}+S_{m,\,2}^{2}+2\,S_{m,\,1}\,S_{m,\,2}\,\cos \!\left[\alpha (t)\right]\;$ soit finalement

«$\;\left\Vert {\overrightarrow {S_{\text{tot}}}}(t)\right\Vert ={\sqrt {S_{m,\,1}^{2}+S_{m,\,2}^{2}+2\,S_{m,\,1}\,S_{m,\,2}\,\cos \!\left[2\,\pi \,(f_{2}-f_{1})\,t+(\varphi _{2}-\varphi _{1})\right]}}\;$» ;

     nous interprétons le diagramme de Fresnel relativement à l'axe $\;{\overrightarrow {Ox'}}\;$ tournant à la vitesse angulaire $\;2\,\pi \,f_{1}\;$ par rapport à l'axe $\;{\overrightarrow {Ox}}\;$ de référence en observant que
     nous interprétons le signal résultant est « pseudo-sinusoïdal » de fréquence $\;f_{1}\;$ et de « pseudo-amplitude » «$\;{\mathcal {S}}_{m,\,{\text{tot}}}(t)=\left\Vert {\overrightarrow {S_{\text{tot}}}}(t)\right\Vert \;$» soit
     nous interprétons le signal résultant est « pseudo-sinusoïdal » de fréquence $\;\color {transparent}{f_{1}}\;$ et de « pseudo-amplitude » «$\;{\mathcal {S}}_{m,\,{\text{tot}}}(t)={\sqrt {S_{m,\,1}^{2}+S_{m,\,2}^{2}+2\,S_{m,\,1}\,S_{m,\,2}\,\cos \!\left[2\,\pi \,(f_{2}-f_{1})\,t+(\varphi _{2}-\varphi _{1})\right]}}\;$»,
     nous interprétons le signal résultant est « pseudo-sinusoïdal » de fréquence $\;\color {transparent}{f_{1}}\;$ et de « pseudo-amplitude » variant « périodiquement »  à la fréquence «$\;f_{\text{battements}}=f_{2}-f_{1}\;$» des battements
     nous interprétons le signal résultant est « pseudo-sinusoïdal » de fréquence $\;\color {transparent}{f_{1}}\;$ et de « pseudo-amplitude » entre les valeurs minimale $\;\vert S_{m,\,1}-S_{m,\,2}\vert \;$ correspondant aux instants $\;t_{{\text{min}},\,n}\;$ et
     nous interprétons le signal résultant est « pseudo-sinusoïdal » de fréquence $\;\color {transparent}{f_{1}}\;$ et de « pseudo-amplitude » entre les valeurs maximale $\;S_{m,\,1}+S_{m,\,2}\;$ correspondant aux instants $\;t_{{\text{max}},\,n}\;$ ;

     nous pouvons également déterminer l'angle $\;\beta (t)\;$ que fait $\;{\overrightarrow {S_{\text{tot}}}}(t)\;$ avec $\;{\overrightarrow {Ox'}}\;$ à l'instant $\;t\;$ c.-à-d. «$\;\beta (t)={\widehat {\left\lbrace {\overrightarrow {Ox'}}\,,\,{\overrightarrow {S_{\text{tot}}}}(t)\right\rbrace }}\;$»
     nous pouvons également déterminer l'angle $\;\color {transparent}{\beta (t)}\;$ par projection de $\;{\overrightarrow {S_{\text{tot}}}}(t)={\vec {S_{1}}}(t)+{\vec {S_{2}}}(t)\;$ sur $\;{\overrightarrow {Ox'}}\;$ et sur $\;{\overrightarrow {Oy'}}\;$ directement $\;\perp \;$ à $\;{\overrightarrow {Ox'}}\;$ ${\big (}$non représenté sur le diagramme ci-dessus${\big )}\;$ soit
     nous pouvons également déterminer l'angle $\;\color {transparent}{\beta (t)}\;$ «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\mathcal {S}}_{m,\,{\text{tot}}}(t)\,\cos \!\left[\beta (t)\right]=S_{m,\,1}\,\cos(\varphi _{1})+S_{m,\,2}\,\cos \!\left[\alpha (t)+\varphi _{1}\right]\\{\mathcal {S}}_{m,\,{\text{tot}}}(t)\,\sin \!\left[\beta (t)\right]=S_{m,\,1}\,\sin(\varphi _{1})+S_{m,\,2}\,\sin \!\left[\alpha (t)+\varphi _{1}\right]\end{array}}\right\rbrace \;$» ou, en explicitant $\;{\mathcal {S}}_{m,\,{\text{tot}}}(t)\;$ et $\;\alpha (t)+\varphi _{1}$,
     nous pouvons également déterminer l'angle $\;\color {transparent}{\beta (t)}\;$ «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\cos \!\left[\beta (t)\right]={\dfrac {S_{m,\,1}\,\cos(\varphi _{1})+S_{m,\,2}\,\cos \!\left[2\,\pi \,(f_{2}-f_{1})\,t+\varphi _{2}\right]}{\sqrt {S_{m,\,1}^{2}+S_{m,\,2}^{2}+2\,S_{m,\,1}\,S_{m,\,2}\,\cos \!\left[2\,\pi \,(f_{2}-f_{1})\,t+(\varphi _{2}-\varphi _{1})\right]}}}\\\sin \!\left[\beta (t)\right]={\dfrac {S_{m,\,1}\,\sin(\varphi _{1})+S_{m,\,2}\,\sin \!\left[2\,\pi \,(f_{2}-f_{1})\,t+\varphi _{2}\right]}{\sqrt {S_{m,\,1}^{2}+S_{m,\,2}^{2}+2\,S_{m,\,1}\,S_{m,\,2}\,\cos \!\left[2\,\pi \,(f_{2}-f_{1})\,t+(\varphi _{2}-\varphi _{1})\right]}}}\end{array}}\right\rbrace \;$» d'où une valeur de $\;\beta (t)\;$ à $\;2\,\pi$ près et par suite
     nous pouvons également déterminer l'expression du signal résultant selon «$\;s_{\text{tot}}(t)={\mathcal {S}}_{m,\,{\text{tot}}}(t)\,\cos \!\left[2\,\pi \,f_{1}\,t+\beta (t)\right]\;$».

     Remarque : De façon à ne pas particulariser le signal $\;(1)\;$ relativement au signal $\;(2)$, nous transformons l'argument du cosinus de l'expression de $\;s_{\text{tot}}(t)={\mathcal {S}}_{m,\,{\text{tot}}}(t)\,\cos \!\left[2\,\pi \,f_{1}\,t+\beta (t)\right]\;$ selon
     Remarque : «$\;2\,\pi \,f_{1}\,t+\beta (t)=2\,\pi \,{\dfrac {f_{1}+f_{2}}{2}}\,t-2\,\pi \,{\dfrac {f_{2}-f_{1}}{2}}\,t+\beta (t)\;$» ou, en définissant la « fréquence moyenne $\;f_{\text{moy}}={\dfrac {f_{1}+f_{2}}{2}}\;$»,
     Remarque : «$\;2\,\pi \,f_{1}\,t+\beta (t)=2\,\pi \,f_{\text{moy}}\,t+\varphi _{\text{tot}}(t)\;$» où «$\;\varphi _{\text{tot}}(t)=\beta (t)-2\,\pi \,{\dfrac {f_{2}-f_{1}}{2}}\,t\;$ représente la pseudo-phase initiale résultante » et finalement le signal résultant se réécrit

«$\;s_{\text{tot}}(t)={\mathcal {S}}_{m,\,{\text{tot}}}(t)\,\cos \!\left[2\,\pi \,f_{\text{moy}}\,t+\varphi _{\text{tot}}(t)\right]\;$».

Détermination de la différence relative de fréquences à partir d'un enregistrement de battements

     Une fois obtenu l'enregistrement du signal résultant, on trace l'enveloppe supérieure $\;{\big (}$ou l'enveloppe inférieure${\big )}\;$ et
     Une fois obtenu l'enregistrement du signal résultant, on détermine la période de cette dernière $\;{\big (}$ou la pseudo-période dans le cas où l'amortissement n'est pas négligeable${\big )}\;$ définissant
     Une fois obtenu l'enregistrement du signal résultant, on détermine la période des battements $\;{\big (}$ou pseudo-période des battements en cas de présence d'amortissement${\big )}\;$ et
     Une fois obtenu l'enregistrement du signal résultant, on détermine son inverse, la « fréquence des battements $\;f_{\text{battements}}=\vert f_{2}-f_{1}\vert \;$» ${\big (}$ou pseudo-fréquence si présence d'amortissement${\big )}\;$ ;

     Une fois obtenu l'enregistrement du signal résultant, on peut aussi déterminer la pseudo-période du signal résultant ainsi que son inverse la « pseudo-fréquence $\;f_{\text{résult}}={\dfrac {f_{1}+f_{2}}{2}}\;$» ;

     Une fois obtenu l'enregistrement du signal résultant, on en déduit le rapport «$\;{\dfrac {f_{\text{battements}}}{f_{\text{résult}}}}={\dfrac {\vert f_{2}-f_{1}\vert }{\dfrac {f_{1}+f_{2}}{2}}}\;$» lequel se réécrit, en notant «$\;\Delta f=f_{2}-f_{1}\;$», «$\;{\dfrac {f_{\text{battements}}}{f_{\text{résult}}}}\simeq {\dfrac {\vert \Delta f\vert }{f_{1}}}\simeq {\dfrac {\vert \Delta f\vert }{f_{2}}}\;$».

Observation de battements entre signaux émis par deux diapasons frappés simultanément, les signaux étant captés par un microphone positionné à égale distance des deux diapasons

     Expérience : On enregistre, sur un oscilloscope numérique, le signal reçu par un microphone situé à égale distance de deux diapasons vibrant a priori à la même fréquence $\;f_{0}=264\,Hz\;$  et qui ont été frappés simultanément ;
     Expérience : si les diapasons vibrent exactement à la même fréquence on n'observera pas de battements, l'observation de ces derniers prouvant un décalage en fréquences des diapasons ;

     Expérience : déterminant, sur l'enregistrement, les instants pour lesquels l'amplitude des battements est minimale, on en déduit la période puis la fréquence des battements :

     Expérience : ci-contre les instants d'amplitude minimale sont :
     Expérience : ci-contre «$\;t_{1}=0,78\,s\;$», «$\;t_{2}=4,23\,s\;$» et «$\;t_{3}=7,72\,s\;$»
     Expérience : ci-contre donnant une période de battements «$\;T_{\text{battements}}\simeq 3,47\,s\;$» et par suite
     Expérience : ci-contre donnant une fréquence de battements «$\;f_{\text{battements}}\simeq 0,29\,Hz\;$» d'où
     Expérience : ci-contre donnant un écart relatif de fréquences des diapasons de
     Expérience : ci-contre donnant «$\;{\dfrac {\vert \Delta f\vert }{f_{0}}}\simeq {\dfrac {f_{\text{battements}}}{f_{\text{résult}}}}\simeq {\dfrac {0,29}{264}}\;$»  soit «$\;{\dfrac {\vert \Delta f\vert }{f_{0}}}\simeq 0,1\,\%\;$».

Détermination qualitative de la différence relative de fréquences à partir d'une observation sensorielle directe

     Dans le cas d'ondes sonores ce phénomène est directement perceptible, car l'intensité acoustique $\;I\;$  perçue par une oreille humaine est$\;\propto \;$au carré de l'amplitude ; ainsi lorsqu'on superpose deux sons de fréquences $\;f_{1}=440\,Hz\;$ et $\;f_{2}=441\,Hz$, on entend très distinctement la « modulation du niveau acoustique à la fréquence de battements $\;f_{\text{battements}}=1\,Hz\;$» $\;{\big \{}$en effet, si les deux sons ont la même intensité acoustique, les battements entre les deux sons se matérialisent par une modulation de niveau acoustique de période $\;1,0\,s\;$ allant d'une intensité acoustique nulle à une intensité acoustique quatre fois plus intense que celle des sons originaux $\;{\big (}$l'amplitude résultante maximale étant deux fois l'amplitude de chaque son mais l'intensité acoustique étant le carré de l'amplitude${\big )}{\big \}}$ ;

     le phénomène de battements est utilisé pour accorder certains instruments de musique, par exemple un piano : certaines notes sont produites par deux ou trois cordes qui doivent vibrer exactement à la même fréquence $\;{\big (}$et de façon sinusoïdale${\big )}$, quand on les fait vibrer simultanément on réalise des battements si elles ne vibrent pas à la même fréquence, on doit alors modifier la tension de l'une des cordes pour diminuer la fréquence des battements jusqu'à ce que cette dernière devienne nulle, assurant alors que les deux cordes vibrent effectivement à la même fréquence.

Complément : détermination de la pseudo-amplitude de l'onde résultante instantanée en fonction du déphasage (lentement variable) par pseudo-amplitude complexe

     Nous avons précédemment distingué, dans la résolution, le cas de battements entre signaux sinusoïdaux de même amplitude et
     Nous avons précédemment distingué, dans la résolution, le cas de battements entre signaux d'amplitudes différentes,
     Nous avons précédemment distingué, le 1^er ayant été résolu par utilisation des formules de trigonométrie transformant une somme de fonctions sinusoïdales en un produit,
     Nous avons précédemment distingué, le 2^nd, ne permettant pas l'utilisation de ces formules de trigonométrie, ayant fait appel à la notion étendue de vecteurs de Fresnel tournants,
     Nous avons précédemment distingué, le 2^nd, méthode conduisant à la construction d'un diagramme de Fresnel relativement à un axe $\;{\overrightarrow {Ox'}}\;$ tournant à la vitesse angulaire la plus faible, mais
     Nous avons précédemment distingué, il aurait été aussi possible de construire un diagramme de Fresnel de ce type dans le cas de battements entre signaux sinusoïdaux de même amplitude ;

     la méthode de construction d'un diagramme de Fresnel à l'instant $\;t\;$ et celle d'utilisation des grandeurs instantanées complexes étant deux facettes d'une même méthode, il est possible d'adapter, dans le cas de battements entre signaux sinusoïdaux de fréquences très voisines, la méthode de construction d'un diagramme de Fresnel relativement à un axe $\;{\overrightarrow {Ox'}}\;$ tournant à la vitesse angulaire la plus faible, de façon à travailler directement sur les affixes des vecteurs de Fresnel , c'est le « but des sous paragraphes suivants ».

Battements entre deux signaux sinusoïdaux de même amplitude

     On considère deux signaux sinusoïdaux de fréquences voisines et de même amplitude «$\;\left[{\begin{array}{c}s_{1}(t)=S_{m}\,\cos(2\,\pi \,f_{1}\,t+\varphi _{1})\\s_{2}(t)=S_{m}\,\cos(2\,\pi \,f_{2}\,t+\varphi _{2})\end{array}}\right]\;$» avec «$\;f_{2}>f_{1}\;$» ;
     aux « signaux sinusoïdaux $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}s_{1}(t)\\s_{2}(t)\end{array}}\right\rbrace \;$» on fait correspondre les « grandeurs instantanées complexes $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\underline {s_{1}}}(t)=S_{m}\,\exp \!\left[i\,(2\,\pi \,f_{1}\,t+\varphi _{1})\right]\\{\underline {s_{2}}}(t)=S_{m}\,\exp \!\left[i\,(2\,\pi \,f_{2}\,t+\varphi _{2})\right]\end{array}}\right\rbrace \;$»  d'où
     le signal résultant «$\;s_{\text{tot}}(t)=s_{1}(t)+s_{2}(t)\;$» étant défini comme «$\;\Re \!\left[{\underline {s_{1}}}(t)+{\underline {s_{2}}}(t)\right]\;$», on est amené à « évaluer la somme des grandeurs instantanées complexes $\;{\underline {s_{1}}}(t)+{\underline {s_{2}}}(t)\;$» mais $\;\ldots$

     avant de faire cela, utilisons le fait que les « fréquences $\;f_{1}\;$ et $\;f_{2}\;$ sont très voisines, proches de leur moyenne $\;f_{\text{moy}}={\dfrac {f_{1}+f_{2}}{2}}\;$», en écrivant «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}f_{1}={\dfrac {f_{1}+f_{2}}{2}}-{\dfrac {f_{2}-f_{1}}{2}}\\f_{2}={\dfrac {f_{1}+f_{2}}{2}}+{\dfrac {f_{2}-f_{1}}{2}}\end{array}}\right\rbrace \;$» ou,
              avant de faire cela, utilisons le fait que les « fréquences $\;\color {transparent}{f_{1}}\;$ et $\;\color {transparent}{f_{2}}\;$ sont très voisines, proches de leur moyenne » avec «$\;\Delta f=f_{2}-f_{1}\;$», «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}f_{1}=f_{\text{moy}}-{\dfrac {\Delta f}{2}}\\f_{2}=f_{\text{moy}}+{\dfrac {\Delta f}{2}}\end{array}}\right\rbrace \;$» puis

     avant de faire cela, réécrivons chaque grandeur instantanée complexe sous la forme d'un produit d'une grandeur exponentielle complexe de grande fréquence $\;{\big (}$égale à la fréquence moyenne${\big )}\;$ et
     avant de faire cela, réécrivons chaque grandeur instantanée complexe sous la forme d'un produit d'un facteur complexe variant lentement avec le temps $\;{\big (}$appelé « pseudo-amplitude complexe »${\big )}\;$ d'où
     avant de faire cela, réécrivons chaque grandeur instantanée complexe «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\underline {s_{1}}}(t)=S_{m}\,\exp \!\left[i\,(2\,\pi \,f_{\text{moy}}\,t)\right]\,\exp \!\left[i\left(-2\,\pi \,{\dfrac {\Delta f}{2}}\,t+\varphi _{1}\right)\right]\\{\underline {s_{2}}}(t)=S_{m}\,\exp \!\left[i\,(2\,\pi \,f_{\text{moy}}\,t)\right]\,\exp \!\left[i\left(2\,\pi \,{\dfrac {\Delta f}{2}}\,t+\varphi _{2}\right)\right]\end{array}}\right\rbrace \;$» ou «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l c l}{\underline {s_{1}}}(t)\!\!&=&\!\!{\underline {{\mathcal {S}}_{m,\,1}}}(t)\,\exp \!\left[i\,(2\,\pi \,f_{\text{moy}}\,t)\right]\\{\underline {s_{2}}}(t)\!\!&=&\!\!{\underline {{\mathcal {S}}_{m,\,2}}}(t)\,\exp \!\left[i\,(2\,\pi \,f_{\text{moy}}\,t)\right]\end{array}}\right\rbrace \;$»
avant de faire cela, réécrivons chaque grandeur instantanée comple avec «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l c l}{\underline {{\mathcal {S}}_{m,\,1}}}(t)\!\!&=&\!\!S_{m}\,\exp \!\left[i\,\left(-2\,\pi \,{\dfrac {\Delta f}{2}}\,t+\varphi _{1}\right)\right]\\{\underline {{\mathcal {S}}_{m,\,2}}}(t)\!\!&=&\!\!S_{m}\,\exp \!\left[i\,\left(2\,\pi \,{\dfrac {\Delta f}{2}}\,t+\varphi _{2}\right)\right]\end{array}}\right\rbrace \;$» les « pseudo-amplitudes complexes » associées ;

     puis, formons la somme des grandeurs instantanées complexes «$\;{\underline {s_{1}}}(t)+{\underline {s_{2}}}(t)={\underline {{\mathcal {S}}_{m,\,1}}}(t)\,\exp \!\left[i\,(2\,\pi \,f_{\text{moy}}\,t)\right]+{\underline {{\mathcal {S}}_{m,\,2}}}(t)\,\exp \!\left[i\,(2\,\pi \,f_{\text{moy}}\,t)\right]=\left[{\underline {{\mathcal {S}}_{m,\,1}}}(t)+{\underline {{\mathcal {S}}_{m,\,2}}}(t)\right]\exp \!\left[i\,(2\,\pi \,f_{\text{moy}}\,t)\right]\;$» c.-à-d.
     puis, formons la somme des grandeurs instantanées complexes égale à une grandeur instantanée complexe de fréquence égale à la fréquence moyenne $\;f_{\text{moy}}\;$ et
     puis, formons la somme des grandeurs instantanées complexes égale à une grandeur instantanée complexe de « pseudo-amplitude complexe » «$\;{\underline {{\mathcal {S}}_{m,\,1}}}(t)+{\underline {{\mathcal {S}}_{m,\,2}}}(t)\;$» c.-à-d. la somme des « pseudo-amplitudes complexes » «$\;S_{m}\,\exp \!\left[i\,\left(-2\,\pi \,{\dfrac {\Delta f}{2}}\,t+\varphi _{1}\right)\right]+S_{m}\,\exp \!\left[i\,\left(2\,\pi \,{\dfrac {\Delta f}{2}}\,t+\varphi _{2}\right)\right]=S_{m}\left\lbrace \exp \!\left[i\,\left(-2\,\pi \,{\dfrac {\Delta f}{2}}\,t+\varphi _{1}\right)\right]+\exp \!\left[i\,\left(2\,\pi \,{\dfrac {\Delta f}{2}}\,t+\varphi _{2}\right)\right]\right\rbrace \;$» ;

     puis, transformons la « pseudo-amplitude complexe résultante » en décomposant les phases initiales comme fait pour les fréquences soit «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\varphi _{1}={\dfrac {\varphi _{1}+\varphi _{2}}{2}}-{\dfrac {\varphi _{2}-\varphi _{1}}{2}}=\varphi _{\text{moy}}-{\dfrac {\Delta \varphi }{2}}\\\varphi _{2}={\dfrac {\varphi _{1}+\varphi _{2}}{2}}+{\dfrac {\varphi _{2}-\varphi _{1}}{2}}=\varphi _{\text{moy}}+{\dfrac {\Delta \varphi }{2}}\end{array}}\right\rbrace \;$»
           puis, transformons la « pseudo-amplitude complexe résultante » en décomposant les phases initiales comme fait pour les fréquences avec «$\;\varphi _{\text{moy}}={\dfrac {\varphi _{1}+\varphi _{2}}{2}}\;$» et «$\;\Delta \varphi =\varphi _{2}-\varphi _{1}\;$» d'où
     puis, la réécriture de la « pseudo-amplitude complexe résultante » «$\;{\underline {{\mathcal {S}}_{m,\,1}}}(t)+{\underline {{\mathcal {S}}_{m,\,2}}}(t)=S_{m}\left\lbrace \exp \!\left[i\,\left(-2\,\pi \,{\dfrac {\Delta f}{2}}\,t+\varphi _{\text{moy}}-{\dfrac {\Delta \varphi }{2}}\right)\right]+\exp \!\left[i\,\left(2\,\pi \,{\dfrac {\Delta f}{2}}\,t+\varphi _{\text{moy}}+{\dfrac {\Delta \varphi }{2}}\right)\right]\right\rbrace \;$
     puis, la réécriture de la « pseudo-amplitude complexe résultante » «$\;\color {transparent}{{\underline {{\mathcal {S}}_{m,\,1}}}(t)+{\underline {{\mathcal {S}}_{m,\,2}}}(t)}$ $=S_{m}\,\exp \!\left[i\,\varphi _{\text{moy}}\right]\left\lbrace \exp \!\left[-i\,\left(2\,\pi \,{\dfrac {\Delta f}{2}}\,t+{\dfrac {\Delta \varphi }{2}}\right)\right]+\exp \!\left[i\,\left(2\,\pi \,{\dfrac {\Delta f}{2}}\,t+{\dfrac {\Delta \varphi }{2}}\right)\right]\right\rbrace \;$ ou encore
     puis, la réécriture de la « pseudo-amplitude complexe résultante » «$\;\color {transparent}{{\underline {{\mathcal {S}}_{m,\,1}}}(t)+{\underline {{\mathcal {S}}_{m,\,2}}}(t)}$ $=S_{m}\,\exp \!\left[i\,\varphi _{\text{moy}}\right]\left\lbrace 2\;\cos \!\left(2\,\pi \,{\dfrac {\Delta f}{2}}\,t+{\dfrac {\Delta \varphi }{2}}\right)\right\rbrace \;$» avec la « formule d'Euler du cosinus »  d'où
     puis, la réécriture de la « pseudo-amplitude complexe résultante » «$\;{\underline {{\mathcal {S}}_{m,\,1}}}(t)+{\underline {{\mathcal {S}}_{m,\,2}}}(t)=2\,S_{m}\,\cos \!\left[2\,\pi \,{\dfrac {\Delta f}{2}}\,t+{\dfrac {\varphi _{2}-\varphi _{1}}{2}}\right]\,\exp \!\left[i\left({\dfrac {\varphi _{1}+\varphi _{2}}{2}}\right)\right]\;$ notée $\;{\underline {{\mathcal {S}}_{m,\,{\text{tot}}}}}(t)\;$»
     puis, la réécriture de la « pseudo-amplitude complexe résultante » dont le module définit la « pseudo-amplitude résultante$\;\vert S_{m,\,{\text{tot}}}(t)\vert =2\,S_{m}\,\left\vert \cos \!\left[2\,\pi \,{\dfrac {\Delta f}{2}}\,t+{\dfrac {\varphi _{2}-\varphi _{1}}{2}}\right]\right\vert \;$» et
     puis, la réécriture de la « pseudo-amplitude complexe résultante » dont l'argument définit la « pseudo-phase initiale $\;\varphi _{\text{tot}}(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l c}{\dfrac {\varphi _{1}+\varphi _{2}}{2}}&{\text{pour }}\cos \!\left[2\,\pi \,{\dfrac {\Delta f}{2}}\,t+{\dfrac {\varphi _{2}-\varphi _{1}}{2}}\right]>0\\\ {\dfrac {\varphi _{1}+\varphi _{2}}{2}}\pm \pi &{\text{pour }}\cos \!\left[2\,\pi \,{\dfrac {\Delta f}{2}}\,t+{\dfrac {\varphi _{2}-\varphi _{1}}{2}}\right]<0\end{array}}\right\rbrace \;$» ;

     finalement le signal résultant s'écrivant «$\;s_{\text{tot}}(t)=s_{1}(t)+s_{2}(t)=\vert S_{m,\,{\text{tot}}}(t)\vert \,\cos \!\left[2\,\pi \,f_{\text{moy}}\,t+\varphi _{\text{tot}}(t)\right]\;$» est identique au résultat trouvé par utilisation directe des formules trigonométriques
     finalement le signal résultant s'écrivant «$\;s_{\text{tot}}(t)=s_{1}(t)+s_{2}(t)=S_{m,\,{\text{tot}}}(t)\,\cos \!\left(2\,\pi \,{\dfrac {f_{1}+f_{2}}{2}}\,t+{\dfrac {\varphi _{1}+\varphi _{2}}{2}}\right)\;$» avec «$\;S_{m,\,{\text{tot}}}(t)=2\,S_{m}\,\cos \!\left(2\,\pi \,{\dfrac {f_{2}-f_{1}}{2}}\,t+{\dfrac {\varphi _{2}-\varphi _{1}}{2}}\right)\;$» mais
     finalement le signal résultant s'écrivant la forme sous laquelle est obtenu le résultat par pseudo-amplitudes complexes nécessitant une discussion est moins intéressante et il aurait été préférable, pour obtenir le signal résultant, d'expliciter la grandeur instantanée complexe résultante puis d'en prendre la partie réelle soit
     finalement la grandeur instantanée complexe résultante s'écrivant «$\;{\underline {s_{\text{tot}}}}(t)={\underline {{\mathcal {S}}_{m,\,{\text{tot}}}}}(t)\,\exp \!\left[i\,(2\,\pi \,f_{\text{moy}}\,t)\right]=\left\lbrace 2\,S_{m}\,\cos \!\left[2\,\pi \,{\dfrac {\Delta f}{2}}\,t+{\dfrac {\varphi _{2}-\varphi _{1}}{2}}\right]\,\exp \!\left[i\left({\dfrac {\varphi _{1}+\varphi _{2}}{2}}\right)\right]\right\rbrace \,\exp \!\left[i\,(2\,\pi \,f_{\text{moy}}\,t)\right]\;$» en y reportant l'expression de la pseudo-amplitude complexe résultante trouvée précédemment avant discussion $\;{\underline {{\mathcal {S}}_{m,\,{\text{tot}}}}}(t)=2\,S_{m}\,\cos \!\left[2\,\pi \,{\dfrac {\Delta f}{2}}\,t+{\dfrac {\varphi _{2}-\varphi _{1}}{2}}\right]\exp \!\left[i\left({\dfrac {\varphi _{1}+\varphi _{2}}{2}}\right)\right]\;$ d'où l'expression de la grandeur instantanée complexe résultante «$\;{\underline {s_{\text{tot}}}}(t)=2\,S_{m}\,\cos \!\left[2\,\pi \,{\dfrac {\Delta f}{2}}\,t+{\dfrac {\varphi _{2}-\varphi _{1}}{2}}\right]\,\exp \!\left[i\,\left(2\,\pi \,f_{\text{moy}}\,t+{\dfrac {\varphi _{1}+\varphi _{2}}{2}}\right)\right]\;$» dont on tire, en en prenant la partie réelle,
     finalement le signal résultant sous la forme «$\;s_{\text{tot}}(t)$ $=\Re \!\left[{\underline {s_{\text{tot}}}}(t)\right]=2\,S_{m}\,\cos \!\left[2\,\pi \,{\dfrac {\Delta f}{2}}\,t+{\dfrac {\varphi _{2}-\varphi _{1}}{2}}\right]\,\cos \!\left[2\,\pi \,f_{\text{moy}}\,t+{\dfrac {\varphi _{1}+\varphi _{2}}{2}}\right]\;$».

     Conclusion : on trouve effectivement un signal « pseudo-sinusoïdal » de fréquence égale à la « fréquence moyenne $\;f_{\text{moy}}={\dfrac {f_{1}+f_{2}}{2}}\;$» et
     Conclusion : on trouve effectivement un signal « pseudo-sinusoïdal » de pseudo-amplitude $\;\vert S_{m,\,{\text{tot}}}\vert =2\,S_{m}\left\vert \cos \!\left[2\,\pi \,{\dfrac {\Delta f}{2}}\,t+{\dfrac {\varphi _{2}-\varphi _{1}}{2}}\right]\right\vert \;$ c.-à-d. une fonction redressée double alternance se réécrivant selon «$\;\vert S_{m,\,{\text{tot}}}\vert =2\,S_{m}\left\vert \cos \!\left[2\,\pi \,{\dfrac {|f_{2}-f_{1}|}{2}}\,t+{\dfrac {\varphi _{2}-\varphi _{1}}{2}}\right]\right\vert \;$» et définissant l'« enveloppe supérieure du signal résultant », « enveloppe variant à la fréquence des battements $\;f_{\text{battements}}=$ $\vert f_{2}-f_{1}\vert \;$ entre sa valeur minimale $\;0\;$ et sa valeur maximale $\;2\,S_{m}\;$».

     Remarque : bien que la « grandeur instantanée complexe résultante $\;{\underline {s_{\text{tot}}}}(t)=2\,S_{m}\,\cos \!\left[2\,\pi \,{\dfrac {\Delta f}{2}}\,t+{\dfrac {\varphi _{2}-\varphi _{1}}{2}}\right]\,\exp \!\left[i\,\left(2\,\pi \,f_{\text{moy}}\,t+{\dfrac {\varphi _{1}+\varphi _{2}}{2}}\right)\right]\;$» soit
     Remarque : bien que l'« affixe d'un vecteur de Fresnel tournant $\;{\overrightarrow {S_{\text{tot}}}}(t)\;$ dans le diagramme de Fresnel à l'instant $\;t$,
           Remarque : bien que l'« affixe d'un vecteur de Fresnel tournant $\;{\overrightarrow {S_{\text{tot}}}}(t)\;$ étant de direction fixe relativement à l'axe $\;{\overrightarrow {Ox'}}\;$ tournant à la vitesse angulaire $\;2\,\pi \,f_{\text{moy}}\;$» alors que
     Remarque : le diagramme de Fresnel à l'instant $\;t\;$ dans le paragraphe « battements entre deux signaux d'amplitudes différentes » plus haut dans ce chapitre
           Remarque : le diagramme de Fresnel à l'instant $\;\color {transparent}{t}\;$ utilise des « vecteurs de Fresnel tournants repérés par rapport à un axe $\;{\overrightarrow {Ox'}}\;$ en rotation à la vitesse angulaire $\;2\,\pi \,f_{1}\;$»
           Remarque : le diagramme de Fresnel à l'instant $\;\color {transparent}{t}\;$ de façon à ce que le vecteur de Fresnel $\;{\overrightarrow {S_{1}}}(t)\;$ ${\big \{}$et non $\;{\overrightarrow {S_{\text{tot}}}}(t){\big \}}\;$ soit de direction fixe,
     Remarque : nous obtenons la même expression de signal résultant $\;\ldots$

     Remarque : Pour qu'il y ait une correspondance exacte entre la méthode des grandeurs instantanées complexes et celle du diagramme de Fresnel à l'instant $\;t$, il aurait fallu choisir l'axe $\;{\overrightarrow {Ox'}}\;$ tournant à la vitesse angulaire moyenne $\;2\,\pi \,f_{\text{moy}}\;$ mais la conséquence aurait été qu'aucun des deux vecteurs de Fresnel tournants $\;{\overrightarrow {S_{1}}}(t)\;$ et $\;{\overrightarrow {S_{2}}}(t)\;$ n'aurait été de direction fixe relativement à $\;{\overrightarrow {Ox'}}\;$ ${\bigg \{}{\overrightarrow {S_{2}}}(t)\;$ tournant dans le sens $\;+\;$ par rapport à $\;{\overrightarrow {Ox'}}\;$ à la vitesse angulaire $\;2\,\pi \,{\dfrac {\Delta f}{2}}=2\,\pi \,{\dfrac {f_{2}-f_{1}}{2}}\;$ et $\;{\overrightarrow {S_{1}}}(t)\;$ tournant dans le sens $\;-\;$ par rapport à $\;{\overrightarrow {Ox'}}\;$ à la vitesse angulaire opposée $\;-2\,\pi \,{\dfrac {\Delta f}{2}}=$ $-2\,\pi \,{\dfrac {f_{2}-f_{1}}{2}}\;$${\bigg \}}\;$ et l'avantage de conserver une symétrie entre les deux signaux n'aurait pas compensé le désavantage de n'avoir plus aucun vecteur de Fresnel fixe $\ldots$

Battements entre deux signaux sinusoïdaux d'amplitudes différentes

     On considère deux signaux sinusoïdaux de fréquences voisines et d'amplitudes différentes «$\;\left[{\begin{array}{c}s_{1}(t)=S_{m,\,1}\,\cos(2\,\pi \,f_{1}\,t+\varphi _{1})\\s_{2}(t)=S_{m,\,2}\,\cos(2\,\pi \,f_{2}\,t+\varphi _{2})\end{array}}\right]\;$» avec «$\;f_{2}>f_{1}\;$» pour lesquels
     on peut réitérer la méthode exposée dans le paragraphe « battements entre deux signaux sinusoïdaux de même amplitude » plus haut dans ce chapitre en l'adaptant si besoin est ;

     aux « signaux sinusoïdaux $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}s_{1}(t)\\s_{2}(t)\end{array}}\right\rbrace \;$» on fait correspondre les « grandeurs instantanées complexes $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\underline {s_{1}}}(t)=S_{m,\,1}\,\exp \!\left[i\,(2\,\pi \,f_{1}\,t+\varphi _{1})\right]\\{\underline {s_{2}}}(t)=S_{m,\,2}\,\exp \!\left[i\,(2\,\pi \,f_{2}\,t+\varphi _{2})\right]\end{array}}\right\rbrace \;$» d'où
     le signal résultant «$\;s_{\text{tot}}(t)=s_{1}(t)+s_{2}(t)\;$» étant défini comme «$\;\Re \!\left[{\underline {s_{1}}}(t)+{\underline {s_{2}}}(t)\right]\;$», on est donc amené à « évaluer la somme des grandeurs instantanées complexes $\;{\underline {s_{1}}}(t)+{\underline {s_{2}}}(t)\;$» ;

     comme précédemment on transforme les fréquences selon «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}f_{1}={\dfrac {f_{1}+f_{2}}{2}}-{\dfrac {f_{2}-f_{1}}{2}}\\f_{2}={\dfrac {f_{1}+f_{2}}{2}}+{\dfrac {f_{2}-f_{1}}{2}}\end{array}}\right\rbrace \;$», les « fréquences $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}f_{1}\\f_{2}\end{array}}\right\rbrace \;$ étant très voisines, proches de leur moyenne $\;f_{\text{moy}}={\dfrac {f_{1}+f_{2}}{2}}\;$» ou,
     comme précédemment on transforme les fréquences selon «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}f_{1}=f_{\text{moy}}-{\dfrac {\Delta f}{2}}\\f_{2}=f_{\text{moy}}+{\dfrac {\Delta f}{2}}\end{array}}\right\rbrace \;$» en introduisant la différence de fréquence $\;\Delta f=f_{2}-f_{1}\;$ ;
     comme précédemment on peut alors réécrire les grandeurs instantanées complexes de façon plus symétrique selon «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\underline {s_{1}}}(t)=S_{m,\,1}\,\exp \!\left[i\,(2\,\pi \,f_{\text{moy}}\,t)\right]\,\exp \!\left[i\left(-2\,\pi \,{\dfrac {\Delta f}{2}}\,t+\varphi _{1}\right)\right]\\{\underline {s_{2}}}(t)=S_{m,\,2}\,\exp \!\left[i\,(2\,\pi \,f_{\text{moy}}\,t)\right]\,\exp \!\left[i\left(2\,\pi \,{\dfrac {\Delta f}{2}}\,t+\varphi _{2}\right)\right]\end{array}}\right\rbrace \;$» ou,
     comme précédemment on peut alors réécrire en introduisant «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l c l}{\underline {{\mathcal {S}}_{m,\,1}}}(t)\!\!&=&\!\!S_{m,\,1}\,\exp \!\left[i\,\left(-2\,\pi \,{\dfrac {\Delta f}{2}}\,t+\varphi _{1}\right)\right]\\{\underline {{\mathcal {S}}_{m,\,2}}}(t)\!\!&=&\!\!S_{m,\,2}\,\exp \!\left[i\,\left(2\,\pi \,{\dfrac {\Delta f}{2}}\,t+\varphi _{2}\right)\right]\end{array}}\right\rbrace \;$» les « pseudo-amplitudes complexes » associées,
     comme précédemment on peut alors réécrire les grandeurs instantanées complexes de façon plus symétrique selon «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l c l}{\underline {s_{1}}}(t)\!\!&=&\!\!{\underline {{\mathcal {S}}_{m,\,1}}}(t)\,\exp \!\left[i\,(2\,\pi \,f_{\text{moy}}\,t)\right]\\{\underline {s_{2}}}(t)\!\!&=&\!\!{\underline {{\mathcal {S}}_{m,\,2}}}(t)\,\exp \!\left[i\,(2\,\pi \,f_{\text{moy}}\,t)\right]\end{array}}\right\rbrace \;$» ;

     ensuite, on forme la somme des grandeurs instantanées complexes «$\;{\underline {s_{1}}}(t)+{\underline {s_{2}}}(t)={\underline {{\mathcal {S}}_{m,\,1}}}(t)\,\exp \!\left[i\,(2\,\pi \,f_{\text{moy}}\,t)\right]+{\underline {{\mathcal {S}}_{m,\,2}}}(t)\,\exp \!\left[i\,(2\,\pi \,f_{\text{moy}}\,t)\right]=\left[{\underline {{\mathcal {S}}_{m,\,1}}}(t)+{\underline {{\mathcal {S}}_{m,\,2}}}(t)\right]\exp \!\left[i\,(2\,\pi \,f_{\text{moy}}\,t)\right]\;$»
     ensuite, on forme la somme des grandeurs instantanées complexes égale à une grandeur instantanée complexe de fréquence égale à la fréquence moyenne $\;f_{\text{moy}}\;$ et
     ensuite, on forme la somme des grandeurs instantanées complexes égale à une grandeur instantanée complexe de « pseudo-amplitude complexe » «$\;{\underline {{\mathcal {S}}_{m,\,{\text{tot}}}}}(t)={\underline {{\mathcal {S}}_{m,\,1}}}(t)+{\underline {{\mathcal {S}}_{m,\,2}}}(t)\;$» c.-à-d. la somme des « pseudo-amplitudes complexes associées à chaque grandeur instantanée complexe » «$\;{\underline {{\mathcal {S}}_{m,\,{\text{tot}}}}}(t)=S_{m,\,1}\,\exp \!\left[i\,\left(-2\,\pi \,{\dfrac {\Delta f}{2}}\,t+\varphi _{1}\right)\right]+S_{m,\,2}\,\exp \!\left[i\,\left(2\,\pi \,{\dfrac {\Delta f}{2}}\,t+\varphi _{2}\right)\right]\;$»
     ensuite, on forme la somme des grandeurs instantanées complexes égale à une grandeur instantanée complexe dont le module définit la « pseudo-amplitude résultante » $\;\vert S_{m,\,{\text{tot}}}(t)\vert \;$ et
     ensuite, on forme la somme des grandeurs instantanées complexes égale à une grandeur instantanée complexe dont l'argument définit la « pseudo-phase initiale résultante » $\;\varphi _{\text{tot}}(t)\,$ ,
     ensuite, on forme le signal résultant pouvant alors être réécrit selon «$\;s_{\text{tot}}(t)=s_{1}(t)+s_{2}(t)=\vert S_{m,\,{\text{tot}}}(t)\vert \,\cos \!\left[2\,\pi \,f_{\text{moy}}\,t+\varphi _{\text{tot}}(t)\right]\;$» ;

     finalement les «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\text{pseudo-amplitude résultante}}\\{\text{pseudo-phase initiale résultante}}\end{array}}\right\rbrace \;$» déterminées par $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\text{module}}\\{\text{argument}}\end{array}}\right\rbrace \;$ de «$\;{\underline {{\mathcal {S}}_{m,\,{\text{tot}}}}}(t)=S_{m,\,1}\,\exp \!\left[i\,\left(-2\,\pi \,{\dfrac {\Delta f}{2}}\,t+\varphi _{1}\right)\right]+S_{m,\,2}\,\exp \!\left[i\,\left(2\,\pi \,{\dfrac {\Delta f}{2}}\,t+\varphi _{2}\right)\right]\;$» valent :

• «$\;\vert S_{m,\,{\text{tot}}}\vert =\left\vert {\underline {S_{m,\,{\text{tot}}}}}(t)\right\vert ={\sqrt {\left\vert {\underline {S_{m,\,{\text{tot}}}}}(t)\right\vert ^{2}}}={\sqrt {{\underline {S_{m,\,{\text{tot}}}}}(t)\left[{\underline {S_{m,\,{\text{tot}}}}}(t)\right]^{*}}}\;$» ou, avec $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\underline {S_{m,\,{\text{tot}}}}}(t)=S_{m,\,1}\,\exp \!\left[i\left(-2\,\pi \,{\dfrac {\Delta f}{2}}\,t+\varphi _{1}\right)\right]+S_{m,\,2}\,\exp \!\left[i\left(2\,\pi \,{\dfrac {\Delta f}{2}}\,t+\varphi _{2}\right)\right]\\\left[{\underline {S_{m,\,{\text{tot}}}}}(t)\right]^{*}=S_{m,\,1}\,\exp \!\left[i\left(2\,\pi \,{\dfrac {\Delta f}{2}}\,t-\varphi _{1}\right)\right]+S_{m,\,2}\,\exp \!\left[i\left(-2\,\pi \,{\dfrac {\Delta f}{2}}\,t-\varphi _{2}\right)\right]\end{array}}\right\rbrace \;$ et en développant «$\;\vert S_{m,\,{\text{tot}}}(t)\vert ={\sqrt {S_{m,\,1}^{2}+S_{m,\,2}^{2}+S_{m,\,1}\,S_{m,\,2}\left\lbrace \exp \!\left[i\left(-2\,\pi \,\Delta \!f\;t+\varphi _{1}-\varphi _{2}\right)\right]+\exp \!\left[i\left(2\,\pi \,\Delta \!f\;t-\varphi _{1}+\varphi _{2}\right)\right]\right\rbrace }}\;$» soit encore, avec la formule d'Euler définissant le cosinus, «$\;\vert S_{m,\,{\text{tot}}}(t)\vert$ $={\sqrt {S_{m,\,1}^{2}+S_{m,\,2}^{2}+2\,S_{m,\,1}\,S_{m,\,2}\,\cos \!\left[2\,\pi \,(\Delta f)\,t-\varphi _{1}+\varphi _{2}\right]}}\;$» établissant que la « pseudo-amplitude » $\;\vert S_{m,\,{\text{tot}}}(t)\vert \;$ de l'onde résultante « varie à la fréquence dite des battements égale à $\;f_{\text{battements}}=$ $\Delta f=f_{2}-f_{1}\;$ de sa valeur minimale $\;\vert S_{m,\,1}-S_{m,\,2}\vert \;$ à sa valeur maximale $\;S_{m,\,1}+S_{m,\,2}\;$» ;
• «$\;\varphi _{\text{tot}}(t)\;$» nécessite l'écriture de la « pseudo-amplitude complexe résultante » sous sa forme algébrique, ceci donnant, après des transformations élémentaires, la forme algébrique de la « pseudo-amplitude complexe résultante » $\;{\underline {S_{m,\,{\text{tot}}}}}(t)=$ $\left[S_{m,\,1}\,\cos \!\left(2\,\pi \,{\dfrac {\Delta f}{2}}\,t-\varphi _{1}\right)+S_{m,\,2}\,\cos \!\left(2\,\pi \,{\dfrac {\Delta f}{2}}\,t+\varphi _{2}\right)\right]+i\left[-S_{m,\,1}\,\sin \!\left(2\,\pi \,{\dfrac {\Delta f}{2}}\,t-\varphi _{1}\right)+S_{m,\,2}\,\sin \!\left(2\,\pi \,{\dfrac {\Delta f}{2}}\,t+\varphi _{2}\right)\right]\;$ dont on tire $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\cos \!\left[\varphi _{\text{tot}}(t)\right]={\dfrac {S_{m,\,1}\,\cos \!\left[\pi \,(\Delta f)\,t-\varphi _{1}\right]+S_{m,\,2}\,\cos \!\left[\pi \,(\Delta f)\,t+\varphi _{2}\right]}{|S_{m,\,{\text{tot}}}(t)|}}\\\sin \!\left[\varphi _{\text{tot}}(t)\right]={\dfrac {-S_{m,\,1}\,\sin \!\left[\pi \,(\Delta f)\,t-\varphi _{1}\right]+S_{m,\,2}\,\cos \!\left[\pi \,(\Delta f)\,t+\varphi _{2}\right]}{|S_{m,\,{\text{tot}}}(t)|}}\end{array}}\right.$, ces deux expressions permettant de déterminer la « pseudo-phase initiale résultante » et de constater que celle-ci est également périodique de fréquence égale à celle des battements $\ldots$