Signaux physiques (PCSI)/Propagation d'un signal : Ondes stationnaires mécaniques

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Propagation d'un signal : Ondes stationnaires mécaniques
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Chapitre no 7
Leçon : Signaux physiques (PCSI)
Chap. préc. :Propagation d'un signal : Battements
Chap. suiv. :Propagation d'un signal : Diffraction à l'infini
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Observation stroboscopique d'une onde stationnaire sur une corde de Melde modifier

Dispositif expérimental de l'observation d'ondes stationnaires par expérience de corde de Melde [1]

     La corde de Melde [1] est une corde usuellement « horizontale » [2] tendue, longue de à , dont une de ses extrémités est reliée à un vibreur électrique alimenté par un « générateur B.F. [3] » [4] et dont l'autre extrémité est fixe ou, après passage dans la gorge d'une poulie, retient un objet en suspension dans l'air, le poids de l'objet « créant la tension de la corde et étant suffisant pour que l'on puisse considérer que le point de contact de la corde sur la poulie reste fixe » [5] ;

     cette expérience initiée par le physicien allemand « Franz Melde » [1] dans le « courant du XIXème siècle » a mis en évidence l'existence d'ondes stationnaires produites sur une corde de Melde [1] c.-à-d. tendue et reliée à un vibreur électrique.

     Pour une longueur de corde ni « trop longue » [6] ni « trop courte » [7], on a superposition de l'onde incidente créée par le vibreur « se propageant de la gauche vers la droite » et d'une 1ère onde « réfléchie sur la poulie quasi-fixe » « se propageant de la droite vers la gauche » [8].

     On observe, en éclairage normal voir ci-dessous :

  • des points de la corde ne vibrant pas appelés nœuds de vibration et
  • entre ces points, des fuseaux de vibration correspondant à des points vibrant en phase avec une amplitude de vibration plus ou moins grande,
  • les points ayant une amplitude de vibration maximale appelés ventres de vibration étant au milieu des fuseaux.
Observation d'ondes stationnaires en éclairage normal sur corde de Melde [1]

     En éclairage stroboscopique avec une fréquence égale à celle du vibreur voir ci-dessous, on voit la corde « apparemment immobile » et quand on choisit une fréquence voisine de celle du vibreur, on perçoit alors la corde en mouvement apparent très lent ; on constate que :

  • les points d'un même fuseau vibrent en phase alors que,
  • les points situés de part et d'autre d'un nœud vibrent en opposition de phase ;
Observation d'ondes stationnaires en éclairage stroboscopique sur corde de Melde [1]

     ces dernières propriétés justifient le qualificatif « stationnaire » donné à l'onde car la phase s'écrit ne dépend pas explicitement de[9] contrairement à une onde « progressive » où la phase est avec .

Caractérisation d'une onde sinusoïdale stationnaire par l'absence de propagation, notion de nœuds et de ventres modifier

     Comme on l'a vu au paragraphe « observation stroboscopique d'une onde stationnaire sur une corde de Melde » plus haut dans ce chapitre
     Comme on l'a vu au paragraphe « une onde sinusoïdale est stationnaire si la phase s'écrit avec ne contenant pas le terme caractéristique d'une propagation ».

Définition d'une onde sinusoïdale stationnaire dans un milieu unidimensionnel (linéaire) modifier

Détermination de la position des nœuds modifier

     « Chaque nœud est caractérisé par », c.-à-d. « » soit,
     « Chaque nœud est caractérisé en utilisant et après quelques simplifications élémentaires, par «» ; on en déduit donc que :

Détermination de la position des ventres modifier

     « Chaque ventre est caractérisé par », c.-à-d. « » soit,
     « Chaque ventre est caractérisé en utilisant et après quelques simplifications élémentaires, par «» ; on en déduit donc que :

Établissement de la propriété de phase des points d'un même fuseau modifier

     Les points situés entre les nœuds et , sont d'abscisses telles que ou, en explicitant les abscisses des nœuds,
     Les points situés entre les nœuds et , sont d'abscisses telles que avec ,
     Les points situés entre les nœuds et , sont d'abscisses telles que d'où le « signe de selon la parité de » :

  • « si est impair », est , l'« amplitude de vibration du point s'écrit alors » et
    « si est impair », est , la « phase initiale étant pour tous les points de cet intervalle », les points de ce fuseau vibrent tous en phase ;
  • « si est pair ou nul », est , l'« amplitude de vibration du point s'écrit alors » et
    « si est pair ou nul », est , la « phase initiale étant pour tous les points de cet intervalle égale à » [14], les points de ce fuseau vibrent tous en phase.

Établissement de la propriété d'opposition de phase des points de part et d'autre d'un même nœud modifier

     Les points situés de part et d'autre du nœud , , sont d'abscisses telles que ou, en explicitant les abscisses des nœuds,
     Les points situés de part et d'autre du nœud , , sont d'abscisses telles que avec ,
     Les points situés de part et d'autre du nœud , , sont d'abscisses telles que « lors du passage du 1er encadrement au 2nd un changement de signe de , le signe de ce derneir dépendant de la parité de » :

  • « si est impair », les « points situés à droite du nœud étant tels que est , vibrent en phase entre eux avec une phase initiale » et
    « si est impair », les « points situés à gauche du nœud étant tels que est , vibrent en phase entre eux avec une phase initiale » [14] soit
    « si est impair », les « points situés à gauche du nœud étant tels que est , vibrent en opposition de phase avec les précédents ;
  • « si est pair ou nul », les « points situés à droite du nœud étant tels que est , vibrent en phase entre eux avec une phase initiale » [14] et
    « si est pair ou nul », les « points situés à gauche du nœud étant tels que est , vibrent en phase entre eux avec une phase initiale » soit
    « si est pair ou nul », les « points situés à gauche du nœud étant tels que est , vibrent en opposition de phase avec les précédents.

Interprétation par superposition d'une onde incidente progressive sinusoïdale émise par une extrémité et de l'onde réfléchie sur l'autre extrémité supposée fixe modifier

Schéma explicatif pour traiter la superposition, sur une corde de Melde [1], d'une onde incidente progressive sinusoïdale émise par une extrémité et de l'onde réfléchie sur l'autre extrémité fixe

     On considère une onde incidente progressive sinusoïdale de fréquence et d'amplitude créée par le vibreur en , correspondant à
     On considère une « élongation transversale » [15], se propageant dans le sens des avec un « vecteur d'onde est la pulsation spatiale » et étant respectivement la célérité de propagation et la longueur d'onde de l'onde incidente d'où
     On considère l'« expression de l'onde incidente au point d'abscisse et à l'instant , » ;

     arrivant en d'abscisse , l'« onde incidente n'étant pas identiquement nulle se réfléchit » de façon à ce que l'onde résultante en le soit c.-à-d.
     arrivant en d'abscisse , « il se crée, en , une perturbation réfléchie », perturbation qui se propage dans le sens des [16] avec un « vecteur d'onde est la même pulsation spatiale » ;
     arrivant en d'abscisse , on en déduit l'« expression de l'onde réfléchie au point à l'instant , [17] soit encore
     arrivant en d'abscisse , on en déduit l'« expression de l'onde réfléchie au point à l'instant , » ;

     l'« onde résultante en d'abscisse et à la date s'écrivant », peut être obtenue par emploi des formules de trigonométrie,
     l'« onde résultante en d'abscisse et à la date s'écrivant », peut être obtenue par construction d'un diagramme de Fresnel [18] à l'instant [19] ou
     l'« onde résultante en d'abscisse et à la date s'écrivant », peut être obtenue par somme d'amplitudes complexes des grandeurs instantanées complexes [20].

Détermination de l'onde résultante par emploi des formules de trigonométrie modifier

     L'« onde résultante en d'abscisse et à la date s'écrivant » se transforme en utilisant la formule de trigonométrie transformant une différence de cosinus en un produit de sinus «» [21] selon
     L'« onde résultante en d'abscisse et à la date s'écrivant et
     finalement l'expression de l'onde résultante en d'abscisse et à la date peut être réécrite sous forme d'une onde stationnaire selon

«» [22] ;

     on reconnaît une onde stationnaire sinusoïdale «» et on peut préciser les trois constantes , et en utilisant la « formule de trigonométrie » la réécriture du signal résultant selon «» s'identifiant effectivement à

«»
avec «»,                      
                                                «» indépendant de et
                                 «» indépendant de .

Détermination de l'onde résultante par utilisation des amplitudes complexes associées aux grandeurs instantanées complexes modifier

     À l'« onde incidente progressive sinusoïdale » on associe la « grandeur instantanée complexe incidente [23]
     À l'« onde incidente progressive sinusoïdale » on associe la « grandeur instantanée complexe incidente » avec
     À l'« onde incidente progressive sinusoïdale » on associe l'« amplitude complexe incidente [24] égale à » ; de même

     à l'« onde réfléchie » on associe la « grandeur instantanée complexe réfléchie [23]
     à l'« onde réfléchie » on associe la « grandeur instantanée complexe réfléchie » avec
     à l'« onde réfléchie » on associe l'« amplitude complexe réfléchie [24] égale à » ;

     à l'« onde résultante » on associe la « grandeur instantanée complexe
     à l'« onde résultante » on associe la « grandeur instantanée complexe » avec
     à l'« onde résultante » on associe l'« amplitude complexe résultante » [25]
     à l'« onde résultante » on associe l'« amplitude complexe résultante [26] ou
     à l'« onde résultante » on associe l'« amplitude complexe résultante » en transformant la somme des termes entre crochets par utilisation de la « formule d'Euler [27] relative au sinus » [28] d'où finalement
     à l'« onde résultante » on associe l'« amplitude complexe résultante » [29] la réécriture de

     à l'« onde résultante » on associe la « grandeur instantanée complexe résultante
     à l'« onde résultante » on associe la « grandeur instantanée complexe résultante » d'où
     à l'« onde résultante » on associe l'« onde résultante » [30] qui peut être réécrite
     à l'« onde résultante » on associe l'onde résultante «» [31].

Détermination de l'onde résultante par diagramme de Fresnel modifier

Diagramme de Fresnel [18] résolvant la superposition [32], sur une corde de Melde [1], d'une onde incidente progressive sinusoïdale émise par une extrémité et de l'onde réfléchie sur l'autre extrémité fixe

     On représente le « vecteur de Fresnel [18] associé à l'onde incidente au point et à l'instant [32] » de norme et faisant l'angle avec l'axe de référence voir ci-contre et
     On représente le « vecteur de Fresnel [18] associé à l'onde réfléchie au point et à l'instant [32] » de norme , faisant l'angle avec le même axe de référence  voir ci-contre ;

     construisant la somme de ces deux vecteurs de Fresnel [18] par « règle du parallélogramme » [33] on obtient le « vecteur de Fresnel [18] au point et à l'instant associé à l'onde résultante, » si la détermination principale de la détermination principale de  :

  • faisant l'angle « avec si la détermination principale de est aigüe voir ci-contre[34] » et
    faisant l'angle « avec si la détermination principale de est obtuse » [35],
  • la norme se déterminant par [36] soit finalement «» ;

     dans les deux cas considérés le signal résultant peut être écrit «» ou, en remplaçant et par leurs expressions
     dans les deux cas considérés le signal résultant peut être écrit «» [37].

Conditions de résonance de l'onde stationnaire sinusoïdale, modes propres associés, lien entre fréquences propres, célérité et longueur de la corde modifier

Observation du phénomène de résonance sur une corde de Melde de tension et de longueur fixées lorsqu'on fait varier la fréquence de la vibration imposée modifier

     Dans la mesure où le point de contact de la corde avec la poulie peut être considéré comme fixe, la « tension de la corde est égale au poids de l'objet de masse suspendu à la corde » ou encore «» : par exemple une masse avec correspond à une « tension » ;
     si on utilise une corde de masse linéique [38] par exemple une corde en nylon , on démontre [39] que la célérité de propagation des ondes sur cette corde ne dépend que de la masse linéique et de la tension de la corde selon «» [40] et ainsi, pour une tension de corde fixée, la célérité l'est aussi :
     avec les valeurs précédentes on trouve «».

Vibrations d'une corde de Melde [1] dans ses modes propres associés à ses fréquences propres [41]

     Réglant une longueur de corde entre le vibreur et la poulie, par exemple , et faisant croître la fréquence de vibration, on observe successivement :

  • à partir de des ondes stationnaires sinusoïdales à un fuseau avec une « amplitude au ventre qui devient maximale » [42] pour «» puis qui avec « estompage » du phénomène d'ondes stationnaires ;
  • aux alentours de un nouveau système d'ondes stationnaires sinusoïdales à deux fuseaux s'installe avec une « amplitude au ventre qui devient maximale » pour «» puis qui avec « évaporation » du phénomène d'ondes stationnaires ;
  • aux alentours de de nouveau un système d'ondes stationnaires sinusoïdales mais à trois fuseaux apparaît avec une « amplitude au ventre qui devient maximale » pour «» puis qui avec « assèchement » du phénomène d'ondes stationnaires ;
  • aux alentours de un nouveau système d'ondes stationnaires sinusoïdales à quatre fuseaux se révèle avec une « amplitude au ventre qui devient maximale » pour «» puis qui avec « tarissement » du phénomène d'ondes stationnaires ;
  • etc on observe ainsi l'apparition d'un phénomène de résonance des ondes stationnaires sinusoïdales à un nombre de plus en plus grand de fuseaux pour des fréquences de plus en plus grandes par exemple une résonance des ondes stationnaires sinusoïdales à fuseaux avec pour une fréquence «» ;

     toutes ces fréquences correspondent aux « fréquences propres » [41] de vibration de la corde, la forme correspondante de cette dernière pour une fréquence propre [41] donnée définissant le « mode propre » de vibration associé à cette fréquence propre [41].

Interprétation du phénomène de résonance sur une corde de Melde de tension et de longueur fixées pour des fréquences particulières modifier

     Le vibreur crée une onde progressive sinusoïdale « incidente » se propageant dans le sens des , qui se réfléchit sur la poulie engendrant
     Le vibreur crée une onde progressive sinusoïdale « réfléchie » se propageant dans le sens des [16], onde réfléchie considérée de même amplitude que l'onde incidente ;
     la superposition de ces deux ondes et à l'exclusion de toutes autres donne un système d'ondes stationnaires sinusoïdales dont l'amplitude de vibration aux ventres est[43] avec amplitude de vibration du vibreur [44] ;

     s'il n'y avait que ces deux ondes il serait impossible d'expliquer le phénomène de résonance du système d'ondes stationnaires sinusoïdales mais, en pratique, les réflexions se poursuivant à chaque extrémité [45], il y a théoriquement un nombre infini d'ondes se superposant chaque onde étant supposée de même amplitude [46]

     Avec une 1ère réflexion sur le vibreur et une 2nde sur la poulie : l'onde « réfléchie » sur la poulie se réfléchit en arrivant sur le vibreur donnant une onde progressive sinusoïdale « réfléchie » se propageant dans le sens des [47], déphasée par rapport à l'onde « incidente » de la quantité «» [48],
     Avec une 1ère réflexion sur le vibreur et une 2nde sur la poulie : cette dernière onde se réfléchissant à son tour sur la poulie en une onde se propageant dans le sens des [49], déphasée par rapport à la 1ère onde réfléchie sur la poulie de «» [50] ;
     Avec une 1ère réflexion sur le vibreur et une 2nde sur la poulie : la superposition de ces deux ondes et donne un nouveau système d'ondes stationnaires sinusoïdalesdont l'amplitude de vibration aux ventres est en absence d'amortissement avec amplitude de vibration du vibreur mais,

     Avec une 1ère réflexion sur le vibreur et une 2nde sur la poulie : le système d'ondes stationnaires sinusoïdales étant « déphasé relativement au précédent de » [51], la superposition de ces deux systèmes d'ondes stationnaires sinusoïdales et , bien que correspondant aux « mêmes positions de ventres et de nœuds » [52], ne donne des interférences constructives que pour des valeurs particulières du déphasage c.-à-d. pour des valeurs particulières de fréquence du vibreur puis

     avec une 2ème réflexion sur le vibreur et une 3ème sur la poulie, la 2nde onde « réfléchie » sur la poulie se réfléchit en arrivant sur le vibreur donnant une onde progressive sinusoïdale « réfléchie » se propageant dans le sens des [53], déphasée par rapport à l'onde « incidente » de la quantité «» [54],
     avec une 2ème réflexion sur le vibreur et une 3ème sur la poulie, cette dernière onde se réfléchissant à son tour sur la poulie en une onde se propageant dans le sens des [55], déphasée par rapport à la 1ère onde réfléchie sur la poulie de «» [56] ;
     avec une 2ème réflexion sur le vibreur et une 3ème sur la poulie, la superposition de ces deux ondes et donne un nouveau système d'ondes stationnaires sinusoïdalesdont l'amplitude de vibration aux ventres est en absence d'amortissement avec amplitude de vibration du vibreur mais,

     avec une 2ème réflexion sur le vibreur et une 3ème sur la poulie, le système d'ondes stationnaires sinusoïdales « déphasé par rapport aux précédents de » [57] la superposition de ces trois systèmes d'ondes stationnaires sinusoïdales, et , bien que correspondant aux « mêmes positions de ventres et de nœuds » [58], ne donne des interférences deux à deux constructives que pour des valeurs particulières des déphasages c.-à-d. pour des valeurs particulières de fréquence du vibreur et

     ainsi de suite à l'exception de valeurs particulières de la fréquence du vibreur, on observe des ondes stationnaires sinusoïdales d'amplitude aux ventres modérée [59] mais

     ainsi de suite pour ces valeurs particulières de fréquence du vibreur telles que les interférences entre les divers systèmes d'ondes stationnaires sinusoïdales sont deux à deux constructives [60], les amplitudes de vibration en un point donné s'ajoutent, donnant une amplitude de vibration aux ventres « très grande » [61] d'où un phénomène de résonance.

Conditions de résonance (c.-à-d. conditions d'interférences constructives des divers systèmes d'ondes stationnaires sinusoïdales) modifier

     Un point de la corde vibrant selon le 1er système d'ondes stationnaires sinusoïdales avec «» [62] comme phase initiale,
     Un point de la corde vibrant selon le 2nd système d'ondes stationnaires sinusoïdales avec «» [63] comme phase initiale,
     Un point de la corde vibrant ,
     Un point de la corde vibrant selon le pème système d'ondes stationnaires sinusoïdales avec «» [64] comme phase initiale,

     on observera des interférences deux à deux constructives entre ces divers systèmes d'ondes stationnaires sinusoïdales
     on observera des interférences deux à deux constructives si le déphasage « mathématique » entre eux est un multiple de quel que soit le choix des systèmes d'ondes stationnaires sinusoïdales,
     on observera des interférences deux à deux constructives si le déphasage « mathématique » entre eux est un multiple de et, en choisissant les deux 1ers systèmes d'ondes stationnaires sinusoïdales,
     on observera des interférences deux à deux constructives si «» [65] «» ou encore, avec «»,
     on observera des interférences deux à deux constructives si «» «» c.-à-d. si la différence de marche est un multiple de soit enfin,
     on observera des interférences deux à deux constructives si «» «» ;

     on observera des interférences deux à deux constructives remarque : si on écrit la condition d'interférences constructives entre les systèmes d'ondes stationnaires sinusoïdales et soit
     on observera des interférences deux à deux constructives remarque : si on écrit la condition d'interférences constructives «» [66], on constate,
     on observera des interférences deux à deux constructives remarque : si on écrit la condition d'interférences constructives avec «», que
     on observera des interférences deux à deux constructives remarque : si on écrit la condition d'interférences constructives entre les systèmes d'ondes stationnaires sinusoïdales et est réalisée si
  on observera des interférences deux à deux constructives remarque : si on écrit la condition d'interférences construct. celle entre les systèmes d'ondes stationnaires sinusoïdales et l'est ;

     on observera des interférences deux à deux constructives finalement la condition d'interférences constructives entre les divers systèmes d'ondes stationnaires sinusoïdales s'écrit
     on observera des interférences deux à deux constructives finalement la condition d'interférences constructives «», ce que l'on interprète de la façon suivante :

     Les « longueurs d'onde pour lesquelles il y a résonance sont donc liées à la longueur de la corde selon » ce qui définit les longueurs d'onde de résonance et celles-ci étant liées à la fréquence selon « », on en déduit
     les « fréquences de vibration pour lesquelles il y a résonance » soit des « fréquences de résonance égales à » correspondant encore aux « fréquences propres de vibration de la corde [41] » ;

     ces « fréquences de résonance sont donc un multiple de la fréquence de résonance “ fondamentale ” » correspondant encore à la fréquence propre « fondamentale » [41] dans l'expérience du paragraphe « observation du phénomène de résonance sur une corde de Melde de tension et de longueur fixées lorsqu'on fait varier la fréquence de la vibration imposée » plus haut dans ce chapitre, à laquelle est associé le mode propre « fondamental » de la corde mode à un fuseau,
     ces « fréquences de résonance la « fréquence de résonance » correspondant aussi à une fréquence propre [41] étant associé au « mode propre de la corde à fuseaux » dans l'expérience du paragraphe « observation du phénomène de résonance sur une corde de Melde de tension et de longueur fixées lorsqu'on fait varier la fréquence de la vibration imposée » plus haut dans ce chapitre, on trouve , soit , , .

Caractérisation d'une résonance par quantification de la fréquence modifier

     Dans l'étude de résonance des ondes stationnaires sinusoïdales le long de la corde de Melde [1], on impose une excitation de fréquence variable et
         Dans l'étude de résonance des ondes stationnaires sinusoïdales le long de la corde de Melde, on regarde la réponse de la corde de Melde [1], de tension et de longueur fixées, à cette excitation,
         Dans l'étude de résonance des ondes stationnaires sinusoïdales le long de la corde de Melde, on regarde la réponse sous forme d'ondes stationnaires sinusoïdales de même fréquence que l'excitation ;
     Dans l'étude de résonance la réponse de la corde « entre en résonance » pour des fréquences excitatrices « quantifiées », les fréquences de résonancemultiples d'une fréquence,
     Dans l'étude de résonance la réponse de la corde « entre en résonance » pour caractéristique de la corde est appelée fréquence propre [41] « fondamentale » et égale à ,
     Dans l'étude de résonance la réponse de la corde « entre en résonance » pour cette dernière dépendant uniquement de la célérité de propagation le long de la corde et de sa longueur ;
     Dans l'étude de résonance les fréquences de résonance sont donc égales à , la nème valeur définissant la fréquence propre [41] « de rang» [67].

Décomposition en modes propres d'une vibration le long d'une corde fixée aux deux extrémités, application aux instruments de musique à cordes modifier

     Nous considérons maintenant une corde tendue entre ses deux extrémités maintenues « fixes » [68] et
     Nous créons une « perturbation de courte durée » [69] par exemple au milieu de la corde ;

     nous admettrons que cette perturbation quelconque initie des ondes progressives sinusoïdales de « fréquence quelconque » [70],
     nous admettrons que chaque onde progressive initiée à une fréquence quelconque se propage vers une des extrémités fixes de la corde, s'y réfléchit pour donner une 1ère onde réfléchie se propageant dans l'autre sens [71], laquelle se réfléchit à son tour sur l'autre extrémité fixe pour donner une onde réfléchie se propageant dans le sens initial [71] etc
     nous admettrons que la superposition de ces ondes progressives synchrones de fréquence quelconque, de même amplitude [46], se propageant dans les deux sens, façonne des ondes stationnaires sinusoïdales de « fréquence quelconque » ;
     nous admettrons que parmi toutes ces ondes stationnaires sinusoïdales de « fréquence quelconque », seules celles respectant les C.A.L. [12] de nœuds d'élongation aux extrémités vont subsister

Recherche des ondes stationnaires libres, notion de fréquences propres et de modes propres modifier

     Seules les ondes stationnaires sinusoïdales satisfaisant aux C.A.L. [12] de nœuds d'élongation vont subsister, c.-à-d. « seules les longueurs d'onde telles que persisteront » ou
         Seules les ondes stationnaires sinusoïdales satisfaisant aux C.A.L. de nœuds d'élongation vont subsister, c.-à-d. « seules les longueurs d'onde «»
           Seules les ondes stationnaires sinusoïdales satisfaisant aux C.A.L. de nœuds d'élongation vont subsister, ce qui correspond aux « fréquences liées aux longueurs d'onde par » soit
         Seules les ondes stationnaires sinusoïdales satisfaisant aux C.A.L. de nœuds d'élongation vont subsister, ce qui correspond aux « fréquences «» définissant les « fréquences propres de la corde fixée à ses deux extrémités », « étant la fréquence propre [72] fondamentale », « la fréquence propre [72] de rang» ;
           Seules les ondes stationnaires sinusoïdales satisfaisant aux C.A.L. de nœuds d'élongation vont subsister, le « mode de vibration » [73] de la corde pour une fréquence propre [72] fixée est appelé « mode propre » et le mode propre associé à la fréquence propre [72] de rang correspond à la présence de «fuseaux».

     Remarque : Nous avons obtenu la condition de quantification sur les fréquences propres en écrivant que la longueur de la corde est un multiple de , cette dernière étant la longueur d'un fuseau, nous nous proposons de retrouver cette condition à partir de la définition d'une onde stationnaire sinusoïdale en écrivant que les deux extrémités doivent être fixes :

     Remarque : Appelant l'extrémité de gauche d'abscisse et l'extrémité de droite d'abscisse , la corde étant orientée de vers ,

     Remarque : un « point quelconque de la corde d'abscisse subit l'oscillation stationnaire sinusoïdale » ;

     Remarque : un « point quelconque de la corde d'abscisse fixe se traduit par «», soit «» ou «» et

     Remarque : un « point quelconque de la corde d'abscisse fixe correspond à «», soit «» ou, en choisissant ,

     Remarque : un « point quelconque de la corde d'abscisse fixe correspond à «», soit «» soit «»
     Remarque : un « point quelconque de la corde d'abscisse fixe correspond à «», soit ce qui est réalisé pour les pulsations spatiales telles que
     Remarque : un « point quelconque de la corde d'abscisse fixe correspond à «», soit «» ou encore
     Remarque : un « point quelconque de la corde d'abscisse fixe correspond à «», soit «» soit,

     Remarque : un « point quelconque de la corde d'abscisse compte-tenu du lien entre pulsation spatiale et longueur d'onde ,
     Remarque : un « point quelconque de la corde d'abscisse la condition de quantification de la longueur d'onde «» ainsi que
      Remarque : un « point quelconque de la corde d'abscisse la condition de quantifi celle de la fréquence temporelle déduite de , «» ;

     Remarque : on en déduit l'oscillation stationnaire sinusoïdale au point pour la « fréquence propre [72] de rang à savoir » à laquelle on associe
     Remarque : on en déduit l'oscillation stationnaire sinusoïdale au point pour la « pulsation temporelle propre » ainsi que
     Remarque : on en déduit l'oscillation stationnaire sinusoïdale au point pour la « pulsation spatiale propre » :
     Remarque : on en déduit l'oscillation stationnaire sinusoïdale au point «»,
     Remarque : on en déduit l'oscillation stationnaire sinusoïdale au point dépendant du choix de l'origine du temps et de l'énergie communiquée initialement.

Observation expérimentale modifier

     Sans imposer d'autres conditions que celles des extrémités fixes, « on observe préférentiellement le mode propre à un fuseau pour la fréquence propre [72] » ;
     pour « observer le mode propre à deux fuseaux pour la fréquence propre [72] » il faut l'« initier avec un pincement de la corde [74] en son milieu », le resserrement initiant un nœud d'élongation,
     pour « observer le mode propre à trois fuseaux pour la fréquence propre [72] » on l'« initie avec un pincement de la corde [74] à son tiers », la compression initiant un nœud d'élongation,
     pour « observer le mode propre àfuseaux avec pour la fréquence propre [72] », on l'« initie avec un pincement de la corde [74] à la distanced'une de ses extrémités », le point de pincement initiant un nœud d'élongation

     Remarque : le fait de créer un pincement en un point fixé de la corde fait que ce point devient, sans autre perturbation parasite, un nœud d'élongation mais il existe plusieurs modes d'ondes stationnaires sinusoïdales correspondant à cette condition par exemple
     Remarque : si on pratique un pincement de la corde [74] à la distance d'une de ses extrémités, les modes respectant le fait que le point de pincement soit un nœud d'élongation sont les modes propres à fuseaux avec mais c'est le mode propre à fuseaux qui est principalement observé.

Exemple numérique modifier

     Considérons une corde de guitare de masse volumique , de diamètre , de « longueur » et de « tension »,
     Considérons une corde de guitare la célérité de propagation des ondes nécessite de déterminer au préalable la « masse linéique de la corde [75] ou
     Considérons une corde de guitare la célérité de propagation des ondes nécessite de déterminer au préalable la « masse linéique de la corde » d'où
     Considérons une corde de guitare la célérité de propagation des ondes le long de la corde selon «» ;
     Considérons une corde de guitare on en déduit la « longueur d'onde du mode propre fondamental » [76] ainsi que
     Considérons une corde de guitare on en déduit la « fréquence propre [72] fondamentale » [77],
     Considérons une corde de guitare on en déduit les « autres fréquences propres étant des multiples de soit [78], [79], [80], [81] et ainsi de suite ».

Mouvement général de la corde modifier

     La corde étant fixée à ses deux extrémités, elle oscillera en « ondes stationnaires correspondant à une superposition linéaire de ses modes propres d'oscillations »,
     La corde étant fixée à ses deux extrémités, l'onde stationnaire résultante étant « doublement périodique mais non sinusoïdale » [82] d'élongation transversale au point d'abscisse et à l'instant
     La corde étant fixée à ses deux extrémités, l'onde stationnaire résultante étant «» avec «» «» ou,
     La corde étant fixée à ses deux extrémités, en fonction des « longueurs d'onde des modes propres » et des « fréquences propres [72] associées »,
     La corde étant fixée à ses deux extrémités, l'onde stationnaire résultante étant «» ou encore,
     La corde étant fixée à ses deux extrémités, en fonction des « longueur d'onde et fréquence fondamentales et du rang de chaque mode propre »,
     La corde étant fixée à ses deux extrémités, l'onde stationnaire résultante étant «»
     La corde étant fixée à ses deux extrémités, l'onde stationnaire résultante étant explicitant le caractère « doublement périodique » du signal, « temporel » de fréquence et « spatial » de période [83] ;

     La corde étant fixée à ses deux extrémités, l'onde stationnaire résultante étant si , , le son devient alors plus grave et

     La corde étant fixée à ses deux extrémités, l'onde stationnaire résultante étant si , et , le son devient plus aigu.

Distinction entre oscillations libres et oscillations forcées (ou entretenues) modifier

     En laissant osciller librement la corde tendue entre ses deux extrémités fixes après initiation par une perturbation de courte durée, on obtient des oscillations libres à une fréquence propre [72] de la corde ;

     en excitant de façon permanente la corde à une fréquence fixée [84], on obtient des oscillations forcées à la même fréquence que l'excitateur quelle que soit la fréquence avec
           en excitant de façon permanente la corde à une fréquence fixée, on obtient un phénomène de résonance quand la fréquence de l'excitateur est égale à une fréquence propre [72] de la corde.

Généralisation aux autres instruments de musique modifier

     Parmi les instruments de musique on trouve essentiellement, en plus des instruments à cordes dont le principe est basé sur les oscillations libres d'une corde traitées dans le paragraphe « décomposition en modes propres d'une vibration le long d'une corde fixée aus deux extrémités, application aux instruments de musique à cordes » plus haut dans ce chapitre,

     Parmi les instruments de musique on trouve essentiellement, en plus des instruments de percussion dont le principe est fondé sur les vibrations obtenues quand un corps en frappe un autre, instruments que nous ne faisons qu'évoquer sans les traiter ci-après,

     Parmi les instruments de musique on trouve essentiellement, en plus des instruments à vent modélisés à l'aide d'un tuyau sonore dans lequel l'air vibre la grandeur vibrante à laquelle l'oreille humaine ou un microphone est sensible étant la surpression acoustique dont on se propose de rechercher, ci-après, les modes propres d'oscillations de l'air dans le tuyau sonore suivant que ses deux extrémités sont ouvertes ou qu'une seule de ses extrémités est ouverte.

Propriétés d'une extrémité d'un tuyau sonore suivant qu'elle est ouverte ou fermée modifier

     Une extrémité ouverte correspond à un nœud de surpression acoustique [85], on admettra qu'à un nœud de surpression acoustique correspond un ventre de déplacement des tranches d'air c.-à-d. qu'une extrémité ouverte correspond à un maximum de déplacement des tranches d'air dans le tuyau ;

     une extrémité fermée correspond à un ventre de surpression acoustique [86], on admettra qu'à un ventre de surpression acoustique correspond un nœud de déplacement des tranches d'air c.-à-d. qu'une extrémité fermée correspond à une impossibilité de déplacement des tranches d'air dans le tuyau.

Les deux extrémités étant ouvertes (exemple des orgues) modifier

     Les deux extrémités ouvertes correspondant chacune à un nœud de surpression acoustique problème équivalent à celui d'une corde tendue entre deux extrémités fixes,
     Les deux extrémités ouvertes les ondes stationnaires sinusoïdales dans le tuyau obéissant aux C.A.L. [12] sont telles que « la longueur du tuyau doit être un multiple de », d'où
     Les deux extrémités ouvertes « la longueur d'onde du mode propre de rang » vaut «» et
     Les deux extrémités ouvertes « les fréquences propres associées » sont «».

Une extrémité ouverte et l'autre fermée (exemple des clarinettes) modifier

     Une seule extrémité fermée correspondant à un ventre de surpression acoustique et l'autre extrémité ouverte à un nœud de surpression acoustique,
     Une seule extrémité fermée les ondes stationnaires sinusoïdales dans le tuyau obéissant aux C.A.L. [12] sont telles que « la longueur du tuyau doit être un multiple impair de » [87] d'où
     Une seule extrémité fermée « la longueur d'onde maximale » étant telle que c.-à-d. «» [88] de mode propre fondamental à « un demi-fuseau »
     Une seule extrémité fermée « la longueur d'onde maximale » correspondant à la « fréquence propre [72] fondamentale »,
     Une seule extrémité fermée « les autres longueurs d'onde des modes propres à fuseaux » étant telles que ou
     Une seule extrémité fermée « les autres longueurs d'onde des modes propres à fuseaux » étant telles que c.-à-d. «»,
     Une seule extrémité fermée « les fréquences propres correspondantes » étant «» [89].

     Le cas précédemment traité modélise le principe de fonctionnement d'une clarinette, l'embouchure étant équivalente à une extrémité fermée, l'autre extrémité étant bien évidemment ouverte.

Présence d'un trou intermédiaire dans le tuyau sonore à une extrémité ouverte, l'autre étant fermée (exemple de la clef de douzième d'une clarinette, le trou intermédiaire étant située au tiers de la longueur à partir de l'embouchure) modifier

     Dans une clarinette, présence d'un trou situé au tiers de la longueur à partir de l'embouchure laquelle, considérée comme une extrémité fermée, y impose un ventre de surpression acoustique et
     Dans une clarinette, présence d'un trou situé au tiers de la longueur à partir de l'embouchure le trou, extrémité ouverte tant qu'il n'est pas bouché,             un nœud de surpression acoustique, d'où
     Dans une clarinette, présence d'un trou situé au tiers de la longueur à partir de l'embouchure « la longueur d'onde maximale » telle que ou
      Dans une clarinette, présence d'un trou situé au tiers de la longueur à partir de l'embouchure la longueur d'onde maximale «» [88] c.-à-d.
     Dans une clarinette, présence d'un trou situé au tiers de la longueur à partir de l'embouchure plus faible que la longueur d'onde du mode propre fondamental du tuyau non troué correspondant à
     Dans une clarinette, présence d'un trou situé au tiers de la longueur à partir de l'embouchure « une fréquence minimale plus grande que la fréquence propre [72] fondamentale du tuyau non troué »
     Dans une clarinette, présence d'un trou situé au tiers de la longueur à partir de l'embouchure « une fréquence minimale «»
     Dans une clarinette, présence d'un trou situé au tiers de la longueur à partir de l'embouchure « une fréquence minimale de mode propre associé à « un fuseau et demi du tuyau entier» ;
     Dans une clarinette, présence d'un trou situé au tiers de la longueur à partir de l'embouchure les « autres longueurs d'onde observables » telles que ou
      Dans une clarinette, présence d'un trou situé au tiers de la longueur à partir de l'embouchure les autres longueurs d'onde observables « ou encore
      Dans une clarinette, présence d'un trou situé au tiers de la longueur à partir de l'embouchure les autres longueurs d'onde observables « » correspondant à
     Dans une clarinette, présence d'un trou situé au tiers de la longueur à partir de l'embouchure « une fréquence propre [72] plus grande que la fréquence propre [72] de même rang du tuyau non troué »
          Dans une clarinette, présence d'un trou situé au tiers de la longueur à partir de l'embouchure « une fréquence propre «»,
          Dans une clarinette, présence d'un trou situé au tiers de la longueur à partir de l'embouchure « une fréquence propre le mode propre associé étant à « fuseaux du tuyau entier» ;
     Dans une clarinette au final la présence du trou à de l'embouchure a sélectionné une fréquence propre [72] fondamentale trois fois plus grande que celle sans la présence du trou,
     Dans une clarinette au final la présence du trou à de l'embouchure a sélectionné les autres fréquences propres se déduisant de cette fréquence propre [72] fondamentale en multipliant par un impair.

Dispositif expérimental permettant d'analyser le spectre d'un signal acoustique produit par une corde vibrante modifier

     Il s'agit d'enregistrer le son émis par une « corde de guitare » [90] à l'aide d'un microphone, le signal reçu par ce dernier étant enregistré par un oscilloscope numérique possédant une fonction de « transformée de Fourier discrète » [91] qui permet d'afficher le « spectre du signal » [92].

     Ci-dessous un 1er enregistrement en pinçant la corde en son milieu, on observe un signal approximativement « pseudo-sinusoïdal » [93] de pseudo-période on observe en effet pseudo-oscillations entre et  ;

Enregistrement du son produit par le pincement d'un corde de guitare en son milieu

     Ci-dessous le calcul de la pseudo-fréquence, à partir de l'oscillogramme ci-dessus, donne «» correspondant à la « fréquence de l'harmonique observé principalement » dans le spectre d'amplitude du signal émis par la corde de guitare pincée en son milieu voir ci-dessous :

Spectre du son produit par le pincement d'un corde de guitare en son milieu

     Ci-dessous un 2ème enregistrement en pinçant la corde au quart de sa longueur, on observe un signal approximativement « pseudo-sinusoïdal » [93] de pseudo-période on observe en effet pseudo-oscillations entre et