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Signaux physiques - bis (PCSI)/Filtrage linéaire : gabarit d'un filtre, 2ème partie

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Filtrage linéaire : gabarit d'un filtre, 2ème partie
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Chapitre no 9
Leçon : Signaux physiques - bis (PCSI)
Chap. préc. :Filtrage linéaire : gabarit d'un filtre, 1ère partie
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Définition du gabarit d'un filtre modifier

     Voir le paragraphe « Définition du gabarit d'un filtre » du chap.  de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) ».

Établissement du gabarit d'un 1er ordre fondamental, condition pour l'utiliser en moyenneur ou en intégrateur modifier

     Voir le paragraphe « Établissement du gabarit d'un 1er ordre fondamental, condition pour l'utiliser en moyenneur ou en intégrateur » du chap.  de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) ».

Établissement du gabarit d'un 1er ordre non fondamental à transfert statique nul, condition pour l'utiliser en dérivateur modifier

     Voir le paragraphe « Établissement du gabarit d'un 1er ordre non fondamental à transfert statique nul, condition pour l'utiliser en dérivateur » du chap.  de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) ».

Établissement du gabarit d'un 2ème ordre du type « réponse en intensité d'un R L C série soumis à une tension d'amplitude constante », condition pour l'utiliser en dérivateur, intégrateur ou sélecteur d'harmonique modifier

     Voir le paragraphe « Établissement du gabarit d'un 2ème ordre du type “ réponse en intensité d'un R L C série soumis à une tension d'amplitude constante ”, condition pour l'utiliser en dérivateur, intégrateur ou sélecteur d'harmonique » du chap.  de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) ».

Établissement du gabarit d'un 2ème ordre du type « réponse en charge d'un R L C série soumis à une tension d'amplitude constante », condition pour l'utiliser en moyenneur ou double intégrateur modifier

     Voir le paragraphe « Établissement du gabarit d'un 2ème ordre du type “ réponse en charge d'un R L C série soumis à une tension d'amplitude constante ”, condition pour l'utiliser en moyenneur ou double intégrateur » du chap.  de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) ».

Établissement du gabarit d'un 2ème ordre du type « réponse en tension aux bornes de la bobine parfaite d'un R L C série soumis à une tension d'amplitude constante », condition pour l'utiliser en double dérivateur modifier

     Voir le paragraphe « Établissement du gabarit d'un 2ème ordre du type “ réponse en tension aux bornes de la bobine parfaite d'un R L C série soumis à une tension d'amplitude constante ”, condition pour l'utiliser en double dérivateur » du chap.  de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) ».

En complément, établissement du gabarit d'un 2ème ordre du type « réponse en tension aux bornes de l'ensemble bobine parfaite et condensateur d'un R L C série soumis à une tension d'amplitude constante », condition pour l'utiliser en réjecteur d'un harmonique modifier

     Voir le paragraphe « Établissement du gabarit d'un 2ème ordre du type “ réponse en tension aux bornes de l'ensemble bobine parfaite et condensateur d'un R L C série soumis à une tension d'amplitude constante ”, condition pour l'utiliser en réjecteur d'un harmonique » du chap.  de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) ».

Mise en cascade de filtres et intérêt de réaliser des filtres à faible impédance de sortie et forte impédance d'entrée modifier

     L'avantage de monter des filtres en cascade c'est de permettre de cumuler les propriétés de chaque filtre [1] mais il faut être prudent dans leur montage et respecter les règles suivantes  règles exposées dans le cas où les fonctions de transfert sont les amplifications complexes en tension  :

  • l'impédance de sortie du dernier étage doit être très faible de façon à ce que la charge sur laquelle il est branché ne modifie quasiment pas la tension de sortie  impédance de sortie faible   tension de sortie   tension de sortie à vide par chute ohmique aux bornes de l'impédance de sortie quasi nulle  et par suite la fonction de transfert de ce dernier étage est pratiquement celle en sortie ouverte ;
  • l'impédance d'entrée du dernier étage doit être très grande de façon à ce que l'avant dernier étage étant fermé sur une charge d'impédance quasi infinie, la fonction de transfert de cet avant dernier étage soit quasi fixée égale à sa fonction de transfert à vide ;
  • l'impédance d'entrée de tous les étages  à l'exception du 1er pour lequel la condition n'est pas nécessaire [2]  doit être grande pour la même raison que précédemment et ainsi la fonction de transfert de « tous les étages »  y compris le 1er  est quasi fixée égale à sa fonction de transfert à vide [3] ;
  • dans ces conditions la fonction de transfert globale est le produit des fonctions de transfert individuelles  à vide donc calculables indépendamment des autres étages .

     Remarque : on rappelle un autre cas où la fonction de transfert globale est le produit des fonctions de transfert individuelles, c'est le cas où les étages sont identiques et que chaque étage de la chaîne d'étages successifs est fermé sur l'« impédance itérative » [4] de chacun des étages [5].

Étude du filtrage linéaire d'un signal non sinusoïdal à partir de son spectre modifier

     Préliminaire : A priori le signal n'est pas nécessairement périodique, mais seuls les signaux périodiques sont au programme de physique de P.C.S.I. ;
     Préliminaire : cette étude ayant déjà été présentée en détails avec des signaux périodiques non sinusoïdaux pour valider la construction des divers gabarits considérés dans le chap.  intitulé « Filtrage linéaire : gabarit d'un filtre, 1ère partie » de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) », nous ne faisons que rappeler le principe d'étude ci-dessous :

     Rappel du principe d'étude lors du filtrage d'un signal périodique non sinusoïdal :

  • faire l'analyse de Fourier [6] du signal d'entrée c.-à-d. déterminer sa « représentation fréquentielle  » [7], [8] en utilisant les « connaissances » [9] ou un logiciel de calcul,
  • déterminer la « réponse fréquentielle du filtre linéaire au signal d'entrée  » à l'aide de la représentation fréquentielle du signal d'entrée et de la fonction de transfert   du filtre selon « » et «  pour  » ;
  • faire la synthèse de Fourier [6] du signal de sortie c.-à-d. utiliser un logiciel de calcul pour ajouter tous les harmoniques permettant d'obtenir la réponse temporelle du filtre à partir de sa réponse fréquentielle.

     Prolongement du principe d'étude lors du filtrage d'un signal non périodique  traité en complément [10] :

  • la décomposition en série de Fourier [6] est remplacée par la « décomposition en intégrale de Fourier » [11], la « représentation fréquentielle du signal d'entrée étant  » [12],
  • la détermination de la « réponse fréquentielle du filtre linéaire au signal d'entrée  » à partir de la fonction de transfert   du filtre et de la représentation fréquentielle du signal d'entrée se fait exactement de la même façon, on obtient « » et « »,
  • enfin connaissant la réponse fréquentielle du filtre on utilise la transformation de Fourier [6] inverse [13] pour en déduire la réponse temporelle   du filtre au signal d'entrée  

Retour sur la réponse d'un système linéaire à un échelon, notion de réponse indicielle modifier

Rappel : détermination de l'équation différentielle du système linéaire à partir de la fonction de transfert harmonique de ce dernier modifier

     Revoir le chap.  de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) » par exemples les paragraphes
     Revoir  « réponse fréquentielle d'un système linéaire du 1er ordre fondamental à un signal sinusoïdal de pulsation ω (équation différentielle en ys) » ou
     Revoir  « réponse fréquentielle d'un système linéaire du 1er ordre non fondamental avec transfert statique nul à un signal sinusoïdal de pulsation ω (équation différentielle en ys) » ou encore
     revoir le chap.  de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) » par exemple le paragraphe
     Revoir  « réponse fréquentielle d'un système linéaire du 2ème ordre “ du type réponse en uR d'un R L C série soumis à une tension de valeur efficace constante ” à un signal sinusoïdal de pulsation ω (équation différentielle en ys) » ;

     le principe de la détermination de l'équation différentielle à partir de la fonction de transfert étant le même quel que soit l'ordre et quel que soit son « type », sa méthode est rappelée ci-dessous :

  • imposer une entrée   sinusoïdale de pulsation   et chercher la réponse sinusoïdale forcée   en se plaçant en électricité « complexe » associée au r.s.f. [14] pour en déduire la fonction de transfert harmonique correspondante   mise sous forme de quotient irréductible de polynômes en  , le polynôme du dénominateur   étant normalisé [15],
  • en déduire l'égalité du produit des extrêmes et des moyens   et remplacer la « multiplication par  » par la « dérivation temporelle d'ordre n », on obtient alors l'« équation différentielle » [16] en   en régime complexe associé au r.s.f. [14] mais  
  • l'équation différentielle étant indépendante de la forme de l'excitation [17], c'est encore l'équation différentielle en   avec une entrée   ou   suivant que l'échelon d'entrée est une tension ou une intensité : dans le 2nd membre «  est remplacé par  [18] » [19], «  par  [18] » [20], «  par  [18] » [21].

Rappel sur la résolution de l'équation différentielle en la réponse du système linéaire soumis à un échelon d'excitation, introduction de la réponse indicielle d'un filtre modifier

     Revoir le chap.  de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » par exemples les paragraphes
     Revoir  « recherche de la réponse en tension aux bornes du condensateur d'un “ R C série ” soumis à un échelon de tension » pour un 1er ordre fondamental ou
     Revoir  « réponse en intensité de courant traversant le condensateur d'un “ R C série ” soumis à un échelon de tension » pour un 1er ordre non fondamental à trasfert statique nul ou encore
     revoir le chap.  de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) » par exemples les paragraphes
     Revoir  « établissement de la réponse en tension uC(t) aux bornes du condensateur d'un “ R L C série ” soumis à un échelon tension, réduction canonique du “ R L C série ” (pulsation propre, cœfficient d'amortissement ou facteur de qualité), régime libre, réponse forcée (ou permanente), réponse transitoire » pour un 2ème ordre « du type réponse en charge d'un   série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable » ou
     Revoir  « établissement de la réponse en intensité i(t) du courant traversant le “ R L C série ” soumis à un échelon tension, réduction canonique, régime libre, absence de réponse forcée (ou permanente), réponse transitoire » pour un 2ème ordre « du type réponse en intensité du courant traversant le conducteur ohmique d'un   série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable » ou encore
     Revoir  « établissement de la réponse en tension uL(t) aux bornes de la bobine (parfaite) du “ R L C série ” soumis à un échelon tension, réduction canonique, régime libre, absence de réponse forcée (ou permanente), réponse transitoire » pour un 2ème ordre « du type réponse en tension aux bornes de la bobine parfaite d'un   série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable » ;

     le principe de la résolution de l'équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants hétérogène  ou homogène  pour    l'excitation [17] résultant de l'imposition d'un échelon de tension  ou de courant  au circuit , est le même quel que soit l'ordre et quel que soit son « type », sa méthode étant rappelée ci-dessous :

  • déterminer la solution libre par résolution de l'équation caractéristique,
  • écrire l'équation différentielle pour   et, dans le cas où le 2nd membre ne serait pas nul, déterminer la réponse forcée  c.-à-d. sous forme d'une constante car de même forme que l'excitation [17] ,
  • déterminer la  ou les  C.I. [22] suivant l'« ordre » [23] de l'équation différentielle linéaire et le « numéro d'espèce de la discontinuité de l'excitation [17] » [24] sachant que ce dernier se reporte sur la plus « haute » dérivée temporelle de la réponse et qu'il diminue de une unité à chaque intégration  au sens des distributions  avec effet de stagnation au numéro « zéro » [25] ;
    en conséquence, pour une équation différentielle du 2ème ordre,
           si   et   sont continues en  , utiliser les connaissances de continuité de tension aux bornes d'un condensateur et d'intensité de courant traversant une bobine dans un circuit « réel » [26], [27] pour le justifier,
           si   est continue et   discontinue de 1ère espèce en  [24], utiliser les connaissances de continuité de tension aux bornes d'un condensateur ou d'intensité de courant traversant une bobine dans un circuit « réel » [26] pour  [27] puis celles des deux continuités évoquées précédemment pour construire le circuit à  [28] permettant de déterminer  ,
           si   est discontinue de 1ère espèce et   discontinue de 2ème espèce en  [24], utiliser les connaissances de continuité de tension aux bornes d'un condensateur et d'intensité de courant traversant une bobine dans un circuit « réel » [26] pour construire le circuit à  [28] permettant de déterminer   et « intégrer [29] l'équation différentielle écrite pour tout   entre   et   pour déterminer  » [30],
  • la réponse « transitoire » [31] étant la somme de la réponse libre et de l'éventuelle réponse forcée [32], utiliser la  ou les  C.I. [22] pour déterminer la  ou les  constante(s) d'intégration, et par suite obtenir la « réponse temporelle du filtre à l'échelon d'excitation [33] ».
Définition de la réponse indicielle d'un filtre
     Un filtre étant caractérisé par sa fonction de transfert harmonique ou par l'équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants hétérogène associée, on appelle
« réponse indicielle du filtre » la réponse temporelle du filtre à un échelon d'excitation [33] unité [34].

     En conclusion, en notant «  la réponse indicielle du filtre », « la réponse temporelle du filtre à l'échelon d'excitation [33] d'amplitude   s'écrit  ».

Lien entre la fonction de transfert harmonique du filtre et les propriétés de sa réponse indicielle modifier

  • l'existence d'un transfert statique    c.-à-d. un filtre de type « passe-bas »  correspond à la présence d'une composante permanente dans la réponse indicielle, cette composante étant la réponse forcée   ou encore
    « » [35] ;
  • l'absence d'un transfert H.F. [36]    c.-à-d. un filtre de type « passe-bas » du 1er ordre  uniquement le « fondamental » [37]  ou de type « passe-bas ou passe-bande » du 2ème ordre  correspond à la continuité de la réponse indicielle en    en effet l'absence de transfert H.F. [36] nécessitant que le degré de   soit inférieur d'au moins une unité au degré de  , il s'en suit que le « numéro d'espèce de discontinuité [24] de l'excitation [17] au plus égal à l'ordre de l'équation différentielle » [38] se reporte sur la dérivée temporelle la plus « haute » de la réponse avec diminution d'une unité à chaque intégration [25], et par suite que le numéro « zéro » d'espèce de discontinuité [24] est atteint pour la réponse  dans le cas où le numéro d'espèce de discontinuité [24] de l'excitation [17] est au plus égal à l'ordre de l'équation différentielle  ou pour sa dérivée temporelle  dans le cas où le numéro d'espèce de discontinuité [24] de l'excitation [17] est au plus inférieur de une unité à l'ordre de l'équation différentielle  ce qui entraîne nécessairement que la réponse est elle-même discontinue de « 0ème espèce » c.-à-d. continue  et ceci se traduit mathématiquement sous la forme
    « », le système étant initialement au repos [39] ;
  • l'existence d'un transfert H.F. [36]    c.-à-d. un filtre de type « passe-haut » du 1er ordre  sans ou avec transfert statique [40]  ou de type « passe-haut ou coupe-bande [41] » du 2ème ordre  correspond à la discontinuité de 1ère espèce [24] de la réponse indicielle en    en effet la présence de transfert H.F. [36] nécessitant que le degré de   soit égal au degré de  , il s'en suit que le « numéro d'espèce de discontinuité [24] de l'excitation [17] plus grand d'une unité que l'ordre de l'équation différentielle » [42] se reporte sur la dérivée temporelle la plus « haute » de la réponse avec diminution d'une unité à chaque intégration [25], et par suite que le numéro « un » d'espèce de discontinuité [24] est atteint pour la réponse  et ceci se traduit mathématiquement sous la forme
    « », le système étant initialement au repos [43] ;
  • l'absence d'un transfert H.F. [36] pour la fonction de transfert “ dérivée ” [44]    c.-à-d. un filtre de type « passe-bas » du 2ème ordre  correspond à la continuité de la dérivée temporelle de la réponse indicielle en    en effet l'absence de transfert H.F. [36] pour la fonction de transfert “ dérivée ” [44] nécessitant que le degré de   soit égal au degré de   diminué de deux unités [45], il s'en suit que le « numéro d'espèce de discontinuité [24] de l'excitation [17] égal à l'ordre de l'équation différentielle diminué d'une unité » [46] se reporte sur la dérivée temporelle la plus « haute » de la réponse avec diminution d'une unité à chaque intégration [25], et par suite que le numéro « zéro » d'espèce de discontinuité [24] est atteint pour la dérivée temporelle de la réponse  et ceci se traduit mathématiquement sous la forme
    « », le système étant initialement au repos [47] ;
  • l'existence d'un transfert H.F. [36] pour la fonction de transfert “ dérivée ” [44]    c.-à-d. par exemple un filtre de type « passe-bande » du 2ème ordre [48]  correspond à la discontinuité de 1ère espèce [24] de la dérivée temporelle de la réponse indicielle en    en effet la présence de transfert H.F. [36] pour la fonction de transfert “ dérivée ” [44] nécessitant que le degré de   soit égal au degré de   diminué d'une unité [49], il s'en suit que le « numéro d'espèce de discontinuité [24] de l'excitation [17] égal à l'ordre de l'équation différentielle » [50] se reporte sur la dérivée temporelle la plus « haute » de la réponse avec diminution d'une unité à chaque intégration [25], et par suite que le numéro « un » d'espèce de discontinuité [24] est atteint pour la dérivée temporelle de la réponse  et ceci se traduit mathématiquement sous la forme
    « », le système étant initialement au repos [51].

     Avantage de ces propriétés : rapidité d'obtention de la réponse indicielle uniquement à partir de la fonction de transfert « sans qu'il soit utile d'écrire l'équation différentielle ni de la résoudre » [52]  

Exemple de filtrage non linéaire : redressement simple ou double alternance et propriétés d'un filtre non linéaire « enrichissement du spectre » modifier

Redresseur simple alternance modifier

Définition d'un redresseur simple alternance modifier

Définition

     Un redresseur simple alternance positif est un quadripôle pour lequel   et
     Un redresseur simple alternance négatifest un quadripôlepour lequel  .

Tentative de réalisation pratique d'un redresseur simple alternance modifier

 
Schéma d'un redresseur simple alternance positif construit à l'aide d'une diode à jonction [53] et d'un conducteur ohmique placé en charge, le redresseur étant soumis à une tension alternative

     À l'aide d'une diode à jonction  voir schéma ci-contre pour obtenir un redressement simple alternance « positif » [54] , la tension de seuil de la diode [55] étant « » et la résistance dynamique [56] dans le sens passant « », la résistance de la charge   étant choisie « de façon à être grande devant  » et « telle que l'intensité du courant traversant la diode soit inférieure à son maximum toléré  [57] » ;

     l'amplitude du signal d'entrée pouvant atteindre  , nous calculons la valeur minimale de la résistance d'utilisation pour que l'amplitude de l'intensité du courant dans le circuit ne dépasse pas   soit «  qui doit être   à  » ce qui nécessite « » inégalité réalisée dans la mesure où «   » [58] ;

     nous choisissons   dont une conséquence est que « » et
     nous choisissons   dont une autre est que nous pouvons adopter le « modèle idéal avec seuil » [59] pour la diode à jonction.

     Justification ou non du fonctionnement redresseur simple alternance positif :

  • « si  », la diode est « polarisée en direct » [60] et
          « si  » elle est « vraisemblablement passante » [60], la tension   par loi de maille est effectivement positive par hypothèse   et l'intensité   étant aussi   valide le caractère « passant » de la diode  et aussi le caractère « polarisée en direct »  d'où « », alors que 
          « si  » elle est « vraisemblablement bloquante » [60], l'intensité   par même intensité dans des éléments en série et la tension   par loi d'Ohm, la tension aux bornes de la diode se déterminant par loi de maille selon   et s'écrivant encore   laquelle étant   à   valide le caractère « bloquant » de la diode  et aussi le caractère « polarisée en direct » par   d'où « » ;
  • « si  », la diode est « polarisée en inverse » [60] et par suite est « bloquante » [61], l'intensité   par même intensité dans des éléments en série et la tension   par loi d'Ohm, la tension aux bornes de la diode se déterminant par loi de maille selon   et s'écrivant encore   laquelle étant   valide le caractère « polarisé en inverse » de la diode d'où « ».

     En conclusion la tension de sortie est telle que « », c.-à-d. un redresseur simple alternance positif avec défaut de seuil ; ce défaut est minimisé si la valeur de crête positive de la tension d'entrée est grande devant la tension de seuil [55] c.-à-d.  [62].

 
En bicourbe, tension d'entrée sinusoïdale de fréquence     et d'amplitude  , tension de sortie d'un redresseur simple alternance positif avec défaut de seuil, la diode étant idéale avec une tension de seuil [55]  
 
En courbe de Lissajous [63], tension d'entrée sinusoïdale de fréquence     et d'amplitude   en abscisse et tension de sortie d'un redresseur simple alternance positif avec défaut de seuil en ordonnée, la diode étant idéale avec une tension de seuil [55]  , en pointillés la courbe de Lissajous avec redresseur simple alternance positif sans défaut de seuil

     Ci-contre des deux côtés, avec une tension d'entrée sinusoïdale «   » avec « »,

  • à gauche, en fonctionnement bicourbe  , l'oscillogramme avec   sur la voie   représentée en noir et   sur la voie   représentée en rouge,
  • à droite, en fonctionnement  , l'oscillogramme en courbe de Lissajous [63]   en abscisse obtenue par la voie   et   en ordonnée obtenue par la voie  .

     Remarque : nous constatons que l'oscillogramme en bicourbe diffère, sur la voie  , de celui d'un r.s.a.p. [64], on y observe un retrait de   sur la partie de la courbe pour  , le filtre obtenu étant appelé r.s.a.p. [64] avec défaut de seuil et

     Remarque : nous constatons que la courbe de Lissajous [63] diffère de celle d'un r.s.a.p. [64] par la partie située dans le quadrant supérieur droit  pour un r.s.a.p. [64] la partie située dans le quadrant supérieur est portée par la 1ère bissectrice, ici elle se compose d'un segment d'origine  , de longueur  , porté par l'axe des abscisses et d'une partie   à la 1ère bissectrice issue de  , cette courbe de Lissajous [63] est caractéristique d'un r.s.a.p. [64] avec défaut de seuil.

Caractère non linéaire du filtre « redresseur simple alternance » modifier

     Le filtre serait linéaire en A.R.Q.S. [65], [66] s'il y avait un lien d'équation différentielle linéaire à cœfficients constants entre la tension de sortie et la tension d'entrée, ce qui nécessiterait
               Le filtre serait linéaire en A.R.Q.S. , s'il y avait un lien de proportionnalité en régime permanent, comme cette dernière condition n'est pas vérifiée, « le filtre n'est pas linéaire ».

Spectre d'un signal redressé simple alternance positif à tension d'entrée sinusoïdale modifier

 
Spectre du signal de sortie d'un r.s.a.p. [64] avec un signal d'entrée sinusoïdal de fréquence   et d'amplitude  

     Nous supposons le redressement « sans défaut de seuil » [67], la décomposition en série de Fourier [68], [6] est alors assujettie à sa représentation fréquentielle [7] « » [69] dont le spectre est représenté en rouge ci-contre en superposition du spectre du signal d'entrée en noir  une seule raie à  ,
     la représentation fréquentielle [7] « » [69] du signal de sortie étant :

  • « » composante permanente représentant la valeur moyenne du signal redressé simple alternance positif,
  • « »   l'« harmonique fondamental  »,
  • « »   l'harmonique fondamental est le seul harmonique de rang impair non nul,
  • « » [70] d'où l'« harmonique de rang pair  plus précisément de rang   selon  ».

Caractéristique spectrale d'un filtrage non linéaire modifier

     Un filtrage non linéaire réalise « un enrichissement du spectre du signal de sortie » relativement à celui du signal d'entrée  on trouve dans le signal de sortie des fréquences qui n'existaient pas dans le signal d'entrée  ;
     sur l'exemple ci-dessus le spectre du signal d'entrée est composé d'une raie, alors qu'il y a un nombre discret de raies dans le signal de sortie.

Redresseur double alternance modifier

Définition d'un redresseur double alternance modifier

Définition

     Un redresseur double alternance est un quadripôle pour lequel  .

Tentative de réalisation pratique d'un redresseur double alternance modifier

 
Schéma d'un redresseur double alternance construit à l'aide d'un pont de quatre diodes à jonction [53]  identiques  et d'un conducteur ohmique placé en charge, le redresseur étant soumis à une tension alternative

     À l'aide d'un pont de quatre diodes à jonction dit « pont de Graetz » [71]  voir schéma ci-contre où le quadripôle limité par des tiretés définit le redresseur double alternance [72] , la tension de seuil des diodes supposées identiques [55] étant «   » et la résistance dynamique [56] dans le sens passant « », la résistance de la charge   étant choisie « de façon à être grande devant  » et « telle que l'intensité du courant traversant chaque diode soit inférieure à son maximum toléré    [57] » ;

     les diodes à jonction sont montées de telle sorte que, suivant la polarisation de la tension d'entrée, le courant éventuel traverse la charge toujours dans le même sens, en effet il traverse

  • soit une diode  , la charge et une diode  ,
  • soit une diode  , la charge dans le même sens et une diode   ;

     l'amplitude du signal d'entrée pouvant atteindre  , le calcul de la valeur minimale de la résistance d'utilisation pour que l'amplitude de l'intensité du courant dans le circuit ne dépasse pas   s'obtient par la même méthode que celle utilisée lors de la « tentative de réalisation pratique d'un redresseur simple alternance » plus haut dans ce chapitre, impliquant « » et dont l'inégalité est réalisée si « » [58] ;

     nous choisissons   dont une conséquence est que « » et
     nous choisissons   dont une autre est que nous pouvons adopter le « modèle idéal avec seuil » [59] pour les diodes à jonction.

     Justification ou non du fonctionnement redresseur double alternance :

  • « si  »,   l'est aussi [73],
    « si  », si le pont de diodes conduit, «  est  » [60]  
    « si  »,   la diode   est bloquante [74] et la diode   passante [74] si la tension   est suffisante ;
    « si  »,   à la sortie de la diode  , la diode   étant bloquante [74], le courant  en rouge sur le schéma  traverse le conducteur ohmique de résistance   dans le sens   de   d'où « » puis traverse la diode   qui est passante [74] si la tension   est, là encore, suffisante ;
    « si  »,   dans ce cas on a « » soit finalement « » [75] ;
    « si  », il faut valider que le pont de diodes conduit en vérifiant « »,
    « si  », il faut valider que le pont de diodes conduit or « »   « » si « » ;
    « si  », il faut valider que le pont de diodes conduit dans le cas où « », la seule possibilité est « »  toutes les diodes sont bloquantes ,
    « si  », il faut valider que le pont de diodes conduit dans le cas où « », aucun courant ne traverse le conducteur ohmique de résistance   d'où « » et
    « si  », il faut valider que le pont de diodes conduit dans le cas où « », aucun courant ne traverse le conducteur ohmique de résistance   d'où « » aussi ;
    « si  », en résumé « » ;
  • « si  »,   l'est aussi [73] et «  est  »,
    « si  », si le pont de diodes conduit, «  est  » [60]  
    « si  »,   la diode   est bloquante [74] et la diode   passante [74] si la tension   est suffisante ;
    « si  »,   à la sortie de la diode  , la diode   étant bloquante [74], le courant  en bleu sur le schéma  traverse le conducteur ohmique de résistance   dans le sens   de   d'où « » puis traverse la diode   qui est passante [74] si la tension   est, là encore, suffisante ;
    « si  »,   dans ce cas on a « » soit finalement « » [76] ;
    « si  », il faut valider que le pont de diodes conduit en vérifiant « »  ou « » ,
    « si  », il faut valider que le pont de diodes conduit or « »   « » si  
    « si  », il faut valider que le pont de diodes conduit or « »   « »   « » ;
    « si  », il faut valider que le pont de diodes conduit dans le cas où « », la seule possibilité est « »  toutes les diodes sont bloquantes ,
    « si  », il faut valider que le pont de diodes conduit dans le cas où « », aucun courant ne traverse le conducteur ohmique de résistance   d'où « » et
    « si  », il faut valider que le pont de diodes conduit dans le cas où « », aucun courant ne traverse le conducteur ohmique de résistance   d'où « » ;
    « si  », en résumé « ».

     En conclusion « » ou,
     En conclusion « » sachant que  , c.-à-d. que
     En conclusion c'est la tension de sortie d'un redresseur double alternance avec défaut de seuil ; ce défaut est minimisé si la valeur de crête positive de la tension d'entrée ainsi que la valeur absolue de la valeur de crête négative de la tension d'entrée sont grandes devant deux fois la tension de seuil [55] c.-à-d.  [77].

 
En bicourbe, tension d'entrée sinusoïdale de fréquence     et d'amplitude  , tension de sortie d'un redresseur double alternance avec défaut de seuil, la diode étant idéale avec une tension de seuil [55]  
 
En courbe de Lissajous [63], tension d'entrée sinusoïdale de fréquence     et d'amplitude   en abscisse et tension de sortie d'un redresseur double alternance avec défaut de seuil en ordonnée, la diode étant idéale avec une tension de seuil [55]  , en pointillés la courbe de Lissajous avec redresseur double alternance sans défaut de seuil

     Ci-contre des deux côtés, avec une tension d'entrée sinusoïdale «   » avec « » [78],

  • à gauche, en fonctionnement bicourbe  , l'oscillogramme avec   sur la voie   représentée en noir et   sur la voie   représentée en rouge,
  • à droite, en fonctionnement  , l'oscillogramme en courbe de Lissajous [63]   en abscisse obtenue par la voie   et   en ordonnée obtenue par la voie  .

     Remarque : nous constatons que l'oscillogramme en bicourbe diffère, sur la voie  , de celui d'un r.d.a. [79], on y observe un retrait de   sur la partie de la courbe pour   ainsi que sur la partie de la courbe inversée pour  , le filtre obtenu étant appelé r.d.a. [79] avec défaut de seuil et

     Remarque : nous constatons que la courbe de Lissajous [63] diffère de celle d'un r.d.a. [79] par la partie située dans le quadrant supérieur droit  pour un r.d.a. [79] la partie située dans le quadrant supérieur droit est portée par la 1ère bissectrice, ici elle se compose d'un segment d'origine  , de longueur  , porté par l'axe des abscisses et d'une partie   à la 1ère bissectrice issue de   ainsi que par la partie située dans le quadrant supérieur gauche  pour un r.d.a. [79] la partie située dans le quadrant supérieur gauche est portée par la 2ème bissectrice, ici elle se compose d'un segment d'origine  , de longueur  , porté par l'axe des abscisses mais en sens inverse et d'une partie   à la 2ème bissectrice issue de  , cette courbe de Lissajous [63] est caractéristique d'un r.d.a. [79] avec défaut de seuil.

Caractère non linéaire du filtre « redresseur double alternance » modifier

     Là encore le filtre serait linéaire en A.R.Q.S. [65], [66] s'il y avait un lien d'équation différentielle linéaire à cœfficients constants entre la tension de sortie et la tension d'entrée, ce qui nécessiterait
                Là encore le filtre serait linéaire en A.R.Q.S. , s'il y avait un lien de proportionnalité en régime permanent, comme cette dernière condition n'est pas vérifiée, « le filtre n'est pas linéaire ».

Spectre d'un signal redressé double alternance à tension d'entrée sinusoïdale modifier

     Préliminaire : les harmoniques de la réponse d'un filtre à un signal d'entrée périodique sont toujours définis relativement à la fréquence du signal d'entrée,
     Préliminaire : pour un filtre linéaire, le signal de sortie étant périodique de même fréquence que le signal d'entrée, ses harmoniques sont aussi définis relativement à la fréquence du signal de sortie mais
     Préliminaire : pour un filtre non linéaire, si le signal de sortie est périodique, sa fréquence n'est pas nécessairement celle du signal d'entrée et dans ce cas ses harmoniques définis relativement à la fréquence du signal d'entrée ont un rang différent de celui qu'ils auraient si ses harmoniques étaient définis relativement à la fréquence du signal qu'ils constituent  en définissant les harmoniques du signal de sortie relativement à la fréquence du signal d'entrée, l'harmonique fondamental du signal de sortie est la sortie de l'harmonique fondamental du signal d'entrée et non l'harmonique de même fréquence que celle du signal de sortie étudié, c'est le cas du filtre r.d.a. [79] , de plus
     Préliminaire : pour un filtre non linéaire, il est possible que le signal de sortie ne soit pas périodique, dans ce cas le développement en série de Fourier [6] doit être remplacé par un développement en intégrale de Fourier [11] et la notion de rang d'harmonique pour le signal de sortie n'a plus de sens  

 
Spectre du signal de sortie d'un r.d.a. [79] avec un signal d'entrée sinusoïdal de fréquence   et d'amplitude  
 
Spectres  en rouge  du signal de sortie d'un r.d.a. [79] et  en bleu  du signal de sortie d'un r.s.a.p. [64], tous deux avec un signal d'entrée sinusoïdal de fréquence   et d'amplitude  

     Nous supposons le redressement « sans défaut de seuil » [80], la décomposition en série de Fourier [68], [6] est alors assujettie à sa représentation fréquentielle [7] « » [69] pour laquelle les harmoniques du signal redressé double alternance sont définis relativement à la fréquence du signal d'entrée et dont le spectre est représenté en rouge ci-contre en superposition du spectre du signal d'entrée en noir  une seule raie à  ,
     la représentation fréquentielle [7] « » [69] du signal de sortie étant :

  • « » [81] composante permanente représentant la valeur moyenne du signal redressé double alternance,
  • « »   il n'y a pas d'harmonique de fréquence égale à celle du signal d'entrée  la justification est que le signal redressé double alternance étant de « période  », sa fréquence est « » d'où l'harmonique fondamental du redressé double alternance  défini relativement à la fréquence de ce dernier et non relativement à la fréquence du signal d'entrée  est de fréquence « » ce qui correspond à l'harmonique de rang   du redressé double alternance  défini relativement à la fréquence du signal d'entrée et non relativement à la fréquence du signal de sortie étudié 
  • « »   il n'y a donc pas d'harmoniques de rang impair du signal redressé double alternance  définis relativement à la fréquence du signal d'entrée et non relativement à la fréquence du signal de sortie étudié   ceci résultant du fait qu'un harmonique de rang impair selon la référence précédente ne peut être un multiple de la fréquence du signal redressé double alternance car  
  • « » [82] d'où l'« harmonique de rang pair  plus précisément de rang    défini relativement à la fréquence du signal d'entrée et non relativement à la fréquence du signal de sortie étudié  s'écrivant  »   l'harmonique de rang    défini relativement à la fréquence du signal d'entrée et non relativement à la fréquence du signal de sortie étudié  du signal redressé double alternance  c.-à-d. son harmonique fondamental  défini relativement à sa fréquence et non à la fréquence du signal d'entrée  « » [83].

     ci-contre le spectre du signal de sortie d'un r.d.a. [79] en rouge en superposition des spectres du signal d'entrée en noir et du signal de sortie d'un r.s.a.p. [64] en bleu  mis à part l'absence d'harmonique de fréquence   dans le signal de sortie d'un r.d.a. [79] alors qu'il est présent dans le signal de sortie d'un r.s.a.p. [64], tous les harmoniques du signal de sortie d'un r.d.a. [79] ont une amplitude double des harmoniques de même fréquence du signal de sortie d'un r.s.a.p [64] pour un même signal d'entrée .

Caractéristique spectrale d'un filtrage non linéaire modifier

     Là encore on constate qu'un filtrage non linéaire réalise « un enrichissement du spectre du signal de sortie » relativement à celui du signal d'entrée  on trouve dans le signal de sortie des fréquences qui n'existaient pas dans le signal d'entrée  ;
     sur l'exemple ci-dessus le spectre du signal d'entrée est composé d'une raie, alors qu'il y a un nombre discret de raies dans le signal de sortie.

     Remarque : sur l'exemple du r.d.a. [79] on constate la disparition de la fréquence du signal d'entrée dans le spectre du signal de sortie ce qui a pour conséquence que la fréquence du signal de sortie est supérieure à celle du signal d'entrée  plus précisément, sur cet exemple, la fréquence du signal de sortie est le double de la fréquence du signal d'entrée .

Quelques notions de filtrage en mécanique modifier

     La notion de filtrage n'est pas spécifique aux circuits électriques, elle existe dans tous les domaines de la physique dès lors qu'apparaissent des grandeurs variant avec le temps  qu'elles soient périodiques ou non  ;

     dans le programme de physique de P.C.S.I., on se limite à évoquer le prolongement de la notion de filtrage dans le domaine mécanique  

Analogue mécanique d'un « passe-bas » : « sismomètre » avec réponse en élongation d'une excitation ondulatoire pour un faible facteur de qualité modifier

     Revoir le paragraphe « analogie électromagnétique, résonance en élongation d'un oscillateur mécanique amorti par frottement fluide linéaire soumis à une force excitatrice sinusoïdale » du chap.  de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) », on rappelle qu'il s'agit d'un « passe-bas sans résonance » si le facteur de qualité  

     Voir aussi les articles de wikipédia sur les sismomètres et sur la mesure en sismologie  

Sur le site « http://lyc.lumiere.luxeuil.free.fr/lycee_lumiere/import/SitesIn/physique/sismologie/EOST/fiche3/sismo_int.htm » est développé le fonctionnement d'un sismomètre  

Analogue mécanique d'un « passe-haut » : « accéléromètre » avec réponse en accélération d'une excitation ondulatoire pour un faible facteur de qualité modifier

     Revoir le paragraphe « établissement du gabarit d'un 2ème ordre du type “ réponse en tension aux bornes de la bobine parfaite d'un R L C série soumis à une tension d'amplitude constante ”, condition pour l'utiliser en double dérivateur » du chap.  de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) » ainsi que l'exercice « réponse en tension aux bornes de la bobine (parfaite) d'un R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable, lien avec la réponse en tension aux bornes du condensateur » de la série d'exercices du chap.  de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) », on rappelle qu'il s'agit d'un « passe-haut sans résonance » si le facteur de qualité  

     Voir aussi l'article de wikipédia sur les accéléromètres et celui de wikiversity sur les capteurs d'accélération - accéléromètres  

Analogue mécanique d'un « coupe-bande » : « amortisseur » avec réponse complémentaire de celle en vitesse d'une excitation ondulatoire modifier

     On se place dans le cas où on souhaite un amortissement important pour une fréquence particulièrement gênante, cette fréquence devant donc être la fréquence d'antirésonance du filtre [84], l'antirésonance étant réalisée quelle que soit la valeur du facteur de qualité, lequel représente l'acuité de l'antirésonance  

     Remarque : Un exemple cinématographique de passe-bande en mécanique [85] se trouve dans le film Le Salaire de la peur réalisé en   par Henri-Georges Clouzot (1907 - 1977) scénariste, dialoguiste, réalisateur et producteur de cinéma français ; on y observe le phénomène de résonance du camion relié à ses roues par suspension et excité sinusoïdalement par le passage de ses roues sur une tôle ondulée [86] à une certaine vitesse ; pour étudier plus simplement le phénomène il est intéressant d'introduire la notion de pseudo-force d'inertie d'entraînement voir ci-dessous :

     Remarque : notion de pseudo-force d'inertie d'entraînement : la r.f.d.n. [87] appliquée à un solide ponctuel   de masse   s'écrit, dans un référentiel   galiléen [88], «   » [89] dans laquelle   est la force que le système   exerce sur   à l'instant    l'indice   définissant un des systèmes parmi tous ceux ayant une action sur   et   le vecteur accélération de   à l'instant   dans le référentiel   galiléen ;
     Remarque : notion de pseudo-force d'inertie d'entraînement : dans un référentiel   en translation de vecteur accélération   par rapport au référentiel galiléen [88], [90] pour lequel on peut appliquer la loi de composition des accélérations suivante « » [91], la r.f.d.n. [87] peut être réécrit selon «   », c.-à-d. que la r.f.d.n. [87] est encore applicable dans   référentiel non galiléen en translation par rapport    référentiel galiléen  à condition d'ajouter aux forces appliquées  invariantes par changement de référentiel  une pseudo-force dite d'inertie d'entraînement    cette pseudo-force ne dépendant que de la masse de   et non du mouvement de ce dernier dans l'un ou l'autres des deux référentiels , la r.f.d.n. [87] appliqué à   dans   s'écrivant alors « » ;

     Remarque : appliqué à l'exemple du camion relié à ses roues par suspension et passant sur une tôle ondulée [86] à une certaine vitesse, on simplifie l'étude en la menant dans le référentiel   lié aux centres d'inertie des roues, référentiel non galiléen car en translation de mouvement vertical oscillant par rapport au référentiel galiléen   se déplaçant à vitesse constante horizontale relativement à l'hypothétique route horizontale, le châssis   du camion étant alors soumis aux composantes verticales des forces [92] suivantes

  • actions des ressorts liés aux axes des roues,
  • composante verticale de la résistance à l'avancement dans l'air  nous supposons cette résistance linéaire ,

     Remarque : mais le référentiel   étant non galiléen et en translation par rapport à un galiléen il faut ajouter, pour appliquer la r.f.d.n. [87] au châssis   du camion, une pseudo-force d'inertie d'entraînement     laquelle joue le rôle de « force » excitatrice verticale sinusoïdale  la fréquence d'excitation [33] étant proportionnelle à la vitesse de déplacement de   par rapport à la route horizontale   voir aussi le paragraphe « analogie électromécanique d'un R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable : pendule élastique amorti par frottement fluide linéaire auquel on applique une force sinusoïdale d'amplitude constante et de fréquence variable selon l'axe du ressort (façon la plus simple d'obtenir l'équivalent d'une force excitatrice sinusoïdale …) » du chap.  de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) » .

Notes et références modifier

  1. ↑ Dans la mesure où ces propriétés sont compatibles bien sûr.
  2. ↑ En effet l'impédance d'entrée d'un étage servant d'impédance de charge de l'étage précédent, celle-ci n'intervient pas pour le 1er étage à défaut d'étage le précédant.
  3. ↑ Pour tous les étages sauf le dernier la raison est la fermeture sur une impédance d'entrée de l'étage suivant quasi infinie alors que pour le dernier étage la raison est l'existence d'une impédance de sortie quasi nulle  pour les tous les étages sauf le dernier il n'est donc pas nécessaire d'avoir une impédance de sortie quasi nulle dans la mesure où l'impédance d'entrée de l'étage suivant est quasi infinie .
  4. ↑ Revoir le paragraphe « définition de l'impédance complexe itérative (ou des impédances complexes itératives) d'un Q.L.P. » du chap.  de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
  5. ↑ Revoir le paragraphe « système linéaire à plusieurs étages identiques, le dernier étage étant fermé sur son impédance complexe itérative » du chap.  de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
  6. ↑ 6,0 6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 et 6,6 Joseph Fourier (1768 – 1830) mathématicien et physicien français connu pour ses travaux sur la décomposition de fonctions périodiques en séries trigonométriques convergentes (évoqués ici) et leur application au problème de la propagation de la chaleur  
  7. ↑ 7,0 7,1 7,2 7,3 et 7,4 Voir le paragraphe « analyse spectrale d'un signal périodique (représentation fréquentielle d'un signal périodique) » du chap.  de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
  8. ↑   étant l'éventuelle composante permanente et   la valeur efficace complexe de l'harmonique de rang    de fréquence  .
  9. ↑ Ce qui est le cas par exemple pour un signal créneau symétrique impair « ,   et  »  voir les paragraphes « exemple d'un signal créneau symétrique (preuve des valeurs d'amplitudes - en complément) » du chap.  de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » et « passage du 1er au 2nd développement en série de Fourier » du chap.  de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » où ce sont, dans ces paragraphes, les amplitudes de la réponse fréquentielle et non les valeurs efficaces qui sont fournies, d'où la nécessité de diviser ces résultats par   en maintenant la signification de valeur de crête supérieure du créneau pour  , la valeur efficace complexe étant définie à partir des cœfficients du 2ème développement en série de Fourier par   ou, à partir de ceux du 1er   ; la représentation temporelle du créneau définie selon « » se réécrit, à l'aide de la représentation fréquentielle, sous forme réelle « » ou
       Ce qui est le cas par exemple pour un signal triangulaire symétrique impair « ,   et  »  voir les paragraphes « exemple d'un signal triangulaire symétrique (preuve des valeurs d'amplitudes - en complément) » du chap.  de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » et « passage du 1er au 2nd développement en série de Fourier » du chap.  de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » où ce sont les amplitudes de la réponse fréquentielle et non les valeurs efficaces qui sont fournies, d'où la nécessité de diviser ces résultats par   en maintenant la signification de valeur de crête supérieure du triangulaire pour  , la valeur efficace complexe étant définie à partir des cœfficients du 2ème développement en série de Fourier par   ou, à partir de ceux du 1er   ; la représentation temporelle du triangulaire définie selon « » se réécrit, à l'aide de la représentation fréquentielle, sous forme réelle « ».
  10. ↑ La principale différence lors du passage d'un signal périodique à un signal non périodique est que le spectre d'un signal non périodique est continu alors que celui d'un signal périodique est discret.
  11. ↑ 11,0 et 11,1 Voir le paragraphe « définition de la transformée de Fourier d'une fonction réelle d'une variable réelle intégrable » du chap.  de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ;
       le passage d'une fonction du temps   à sa représentation fréquentielle est appelée « transformation de Fourier » dont l'image de la fonction temporelle   est notée   et est définie selon « »,   étant une fonction de la variable réelle   ;
       dans le cas physique où   est réelle, la transformée de Fourier obéit à « »  la transformée de Fourier d'une fonction réelle est donc “ à symétrie hermitienne  au sens des électroniciens   voir la note « 49 » du chap.  de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »  ”  donnant une signification aux valeurs négatives de la pulsation.
  12. ↑   étant l'éventuelle composante continue et   l'amplitude complexe du quasi harmonique de pulsation   à   près,   étant la transformée de Fourier  directe  de   ;
       avec   réelle et dans le cas  , « » d'après la note « 11 » plus haut dans ce paragraphe, soit,
       avec   réelle en couplant les amplitudes complexes des quasi-harmoniques de pulsations opposées avec  , «   » permettant de ramener le domaine de pulsations aux seules valeurs positives  
  13. ↑ Voir le paragraphe « expression de la transformée de Fourier inverse d'une fonction complexe à symétrie hermitienne (au sens des électronciciens) d'une variable réelle sous conditions d'existence et d'intégrabilité » du chap.  de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ;
       le passage de la représentation fréquentielle   de la variable réelle   à sa représentation temporelle est appelée « transformation de Fourier inverse » et est notée «  fonction de la variable réelle  », elle est définie selon « ».
  14. ↑ 14,0 et 14,1 Régime Sinusoïdal Forcé.
  15. ↑ C.-à-d. de monôme de degré zéro égal à  .
  16. ↑ L'équation différentielle n'est pas normalisée au sens habituel de normalisation d'une équation différentielle, ici c'est le cœfficient de   qui vaut  , nous gardons cette forme d'équation différentielle dans la suite de l'exposé.
  17. ↑ 17,00 17,01 17,02 17,03 17,04 17,05 17,06 17,07 17,08 et 17,09 C.-à-d. le 2nd membre de l'équation différentielle linéaire.
  18. ↑ 18,0 18,1 et 18,2 Si l'échelon d'entrée est un échelon de tension et, dans le cas où l'échelon d'entrée est un échelon de courant, on remplace   par  .
  19. ↑ Voir le paragraphe « échelon unité (ou fonction d'Heaviside) » du chap.  de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
       Oliver Heaviside (1850 - 1925) physicien britannique autodidacte, ayant commencé sa carrière en tant qu'opérateur de télégraphe, développé de façon intuitive le calcul opérationnel pour résoudre des équations différentielles en les transformant en équations algébriques, travaillé sur la propagation des courants électriques dans des conducteurs et développé la fonction portant son nom  encore appelée échelon ou marche  utilisée dans l'étude de systèmes en automatique.
  20. ↑ Voir le paragraphe « pic de Dirac d'impulsion unité et son lien avec l'échelon unité (ou fonction d'Heaviside) » du chap.  de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
       Paul Adrien Maurice Dirac (1902 - 1984) physicien et mathématicien britannique, colauréat du prix Nobel de physique en  , on lui doit des avancées cruciales dans le domaine de la mécanique statistique et de la physique quantique des atomes, il démontra l'équivalence physique entre la mécanique ondulatoire de Schrödinger et la mécanique matricielle de Heisenberg, deux présentations de la même mécanique quantique et enfin, pour les besoins du formalisme quantique, il inventa la notion, sans fondement mathématique précis, connue de nos jours sous le nom de distribution de Dirac et dont la description rigoureuse fut établie par le mathématicien français Laurent Schwartz (1915 - 2002) dans sa théorie des distributions ; Paul Dirac fut colauréat du prix Nobel de Physique en   pour la découverte de formes nouvelles et utiles de la théorie atomique, l'autre moitié du prix Nobel étant décernée à Erwin Schrödinger pour la formulation de l'équation d'onde dite de Schrödinger.
       Erwin Rudolf Josef Alexander Schrödinger (1887 - 1961) physicien, philosophe et théoricien scientifique autrichien est à l'origine du développement d'un des formalismes théoriques de la mécanique quantique  connu sous le nom de mécanique ondulatoire  ; la formulation de l'équation d'onde connue sous le nom d'équation de Schrödinger lui a valu de partager le prix Nobel de physique en   avec Paul Dirac lequel a été honoré pour la découverte de formes nouvelles et utiles de la théorie atomique ; on doit encore à Erwin Schrödinger l'expérience de pensée proposée à Albert Einstein en   et connue sous le nom chat de Schrödinger.
       Werner Karl Heisenberg (1901 - 1976) physicien allemand, l'un des fondateurs de la mécanique quantique, ayant obtenu le prix Nobel de physique en   pour la création de la mécanique quantique, dont l’application a mené, entre autres, à la découverte des variétés allotropiques de l'hydrogène.
       Albert Einstein (1879 - 1955), physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en   puis suisse en   ; on lui doit la théorie de la relativité restreinte publiée en  , la relativité générale en   ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la mécanique quantique et la cosmologie ; il a reçu le prix Nobel de physique en   pour son explication de l'effet photoélectrique.
       Oliver Heaviside (1850 - 1925) physicien britannique autodidacte : voir la note « 19 » plus haut dans ce chapitre pour plus de détails.
  21. ↑ Voir le paragraphe « évaluation de la dérivée temporelle seconde de la tension aux bornes de l'association série d'un interrupteur K et d'une source de tension parfaite de f.e.m. E lors de la fermeture de K et “ modélisation ” » du chap.  de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », « la dérivée  au sens des distributions  du pic de Dirac d'impulsion unité  » est notée  notation personnelle    et appelée « double pic de Dirac inversé »  appellation personnelle .
       Paul Adrien Maurice Dirac (1902 - 1984) physicien et mathématicien britannique, colauréat du prix Nobel de physique en  , voir la note « 20 » plus haut dans ce chapitre pour plus de détails.
  22. ↑ 22,0 et 22,1 Condition(s) Initiale(s).
  23. ↑ Une équation différentielle linéaire du 1er ordre nécessite une C.I. et une du 2ème ordre deux C.I.  l'ensemble des solutions libres d'une équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du nème ordre étant un  -espace vectoriel de dimension    généralisation de la propriété énoncée dans le paragraphe « propriété (admise) de l'ensemble des solutions d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1er ou 2ème ordre homogène » du chap.  de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » .
  24. ↑ 24,00 24,01 24,02 24,03 24,04 24,05 24,06 24,07 24,08 24,09 24,10 24,11 24,12 24,13 et 24,14
       Une grandeur est discontinue de 1ère espèce en   si elle y subit un saut fini en étant continue de part et d'autre dans le voisinage de  , exemple l'échelon unité    ou fonction d'Heaviside   voir le paragraphe « discontinuité de 1ère espèce de l'échelon de tension d'amplitude E » du chap.  de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »  ;
       Oliver Heaviside (1850 - 1925) physicien britannique autodidacte : voir la note « 19 » plus haut dans ce chapitre pour plus de détails.
       Une grandeur est discontinue de 2ème espèce en   si elle y subit un saut infini en étant continue de part et d'autre dans le voisinage de  , elle est usuellement   à la dérivée  au sens des distributions  d'une grandeur discontinue de 1ère espèce en  , exemple le pic de Dirac d'impulsion unité    voir le paragraphe « discontinuité de 2ème espèce du pic de Dirac de tension d'impulsion E » du chap.  de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »  ;
       Paul Adrien Maurice Dirac (1902 - 1984) physicien et mathématicien britannique, colauréat du prix Nobel de physique en  , voir la note « 20 » plus haut dans ce chapitre pour plus de détails.
       Une grandeur sera dite « discontinue de 3ème espèce en  »  appellation personnelle  si elle est   à la dérivée  au sens des distributions  d'une grandeur discontinue de 2ème espèce en    ou   à la dérivée seconde  au sens des distributions  d'une grandeur discontinue de 1ère espèce en  , exemple le « double pic de Dirac inversé  appellation personnelle »    voir le paragraphe « évaluation de la dérivée temporelle seconde de la tension aux bornes de l'association série d'un interrupteur K et d'une source de tension parfaite de f.e.m. E lors de la fermeture de K et “ modélisation ” » du chap.  de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » .
       Par abus une grandeur continue en   pourra être qualifiée de « discontinue de 0ème espèce en  ».
  25. ↑ 25,0 25,1 25,2 25,3 et 25,4 Voir les paragraphes « nature de la discontinuité de la solution générale d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants hétérogène du 1er ordre connaissant la nature de la discontinuité de l'excitation », « nature de la discontinuité de la solution générale d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants hétérogène du 2ème ordre connaissant la nature de la discontinuité de l'excitation » et « retour sur la nature de la discontinuité de la solution générale d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants hétérogène du 2ème ordre sachant que l'excitation est “ discontinue de 3ème espèce ” en t = 0 » du chap.  de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  26. ↑ 26,0 26,1 et 26,2 Revoir le paragraphe « notion de circuit “ réel ” et propriété de la puissance instantanée électrique fournie par les générateurs d'un circuit “ réel ” » du chap.  de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
  27. ↑ 27,0 et 27,1 Voir les paragraphes « continuité de l'énergie électrostatique (instantanée) stockée dans un condensateur parfait d'un circuit “ réel ” et conséquences » et « continuité de l'énergie électromagnétique (instantanée) stockée dans une bobine parfaite d'un circuit “ réel ” et conséquences » du chap.  de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
  28. ↑ 28,0 et 28,1 Si un condensateur parfait est initialement déchargé, la tension initiale à ses bornes   et par continuité de cette tension on en déduit   c.-à-d. que le condensateur parfait est équivalent à un court-circuit dans le circuit à  ,
       si un condensateur parfait est initialement chargé, la tension initiale à ses bornes   et par continuité de cette tension on en déduit   c.-à-d. que le condensateur parfait est équivalent à une source de tension parfaite de f.e.m.   dans le circuit à  .
       Si une bobine parfaite n'est initialement traversée par aucun courant, l'intensité du courant la traversant est   et par continuité de cette intensité on en déduit   c.-à-d. que la bobine parfaite est équivalente à un interrupteur ouvert dans le circuit à  ,
       si un bobine parfaite est initialement traversée par un courant, l'intensité du courant la traversant est   et par continuité de cette intensité on en déduit   c.-à-d. que la bobine parfaite est équivalente à une source de courant parfaite de c.e.m.   dans le circuit à  .
  29. ↑ Au sens des distributions.
  30. ↑ Ici la méthode du programme consistant à chercher la dernière loi de Kirchhoff avant la dérivation finale donnant l'équation différentielle ne peut être appliquée car l'équation différentielle n'a pas été déterminée par utilisation des lois de Kirchhoff mais par fonction de transfert harmonique  
       Gustav Robert Kirchhoff (1824 – 1887) est l'un des plus grands physiciens d'origine allemande  prussienne  du XIXème siècle ; bien qu'il doive sa célébrité aux lois relatives au courant électrique dans les circuits, lois qu'il a établies alors qu'il était encore étudiant, c'est surtout en tant que fondateur, avec Robert Whilhelm Bunsen (1811 - 1899) chimiste allemand, de la spectroscopie qu'il a apporté sa plus grande contribution à la science.
  31. ↑ Nom donnée à la solution complète de l'équation différentielle linéaire.
  32. ↑ Voir le paragraphe « but recherché pour résoudre une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1er ou du 2ème ordre hétérogène » du chap.  de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  33. ↑ 33,0 33,1 33,2 et 33,3 Excitation au sens de source envoyée à l'entrée du filtre.
  34. ↑ C.-à-d. que l'échelon d'excitation  au sens de source envoyée à l'entrée du filtre  imposé au circuit est d'amplitude unité, le 2nd membre de l'équation différentielle écrite pour tout   contient alors l'une au moins des trois fonctions ou distributions  ,   et  .
  35. ↑ Dans le cas où l'échelon d'excitation  au sens de source envoyée à l'entrée du filtre  est d'amplitude   la réponse forcée s'obtient par  .
  36. ↑ 36,0 36,1 36,2 36,3 36,4 36,5 36,6 et 36,7 Haute Fréquence.
  37. ↑ On rappelle qu'un filtre du 1er ordre non fondamental à transfert statique non nul peut être un passe-bas, un passe-haut ou un passe-tout, ce type de filtre est donc exclu pour la propriété énoncée.
  38. ↑ En effet pour un système du 1er ordre,   est de degré un et   au plus de degré zéro, l'excitation  c.-à-d. le 2nd membre de l'équation différentielle linéaire  est donc discontinue de 1ère espèce correspondant à la discontinuité de  , et
       En effet pour un système du 2ème ordre,   est de degré deux et   au plus de degré un,
       En effet pour un système avec un degré zéro l'excitation  c.-à-d. le 2nd membre de l'équation différentielle linéaire  est discontinue de 1ère espèce correspondant à la discontinuité de   et
       En effet pour un système avec un degré un l'excitation  c.-à-d. le 2nd membre de l'équation différentielle linéaire  est discontinue de 2ème espèce correspondant à la discontinuité de  .
  39. ↑ Dans le cas où l'échelon d'excitation  au sens de source envoyée à l'entrée du filtre  est d'amplitude   la valeur initiale de la réponse temporelle du filtre à l'échelon d'excitation  au sens de source envoyée à l'entrée du filtre  s'obtient par «   ».
  40. ↑ Un filtre du 1er ordre non fondamental à transfert statique non nul pouvant être un passe-bas, un passe-haut ou un passe-tout, mais le degré du numérateur   étant égal à celui du dénominateur   de la fonction de transfert, ce type de filtre est donc autorisé pour la propriété énoncée.
  41. ↑ À condition que l'acuité d'antirésonance ne soit pas trop petite sinon il s'agit d'un « passe-tout »  appellation personnelle .
  42. ↑ En effet pour un système du 1er ordre,   est de degré un et   est aussi de degré un, l'excitation  c.-à-d. le 2nd membre de l'équation différentielle linéaire  est donc discontinue de 2ème espèce correspondant à la discontinuité de  , et
       En effet pour un système du 2ème ordre,   est de degré deux et   est aussi de degré deux, l'excitation  c.-à-d. le 2nd membre de l'équation différentielle linéaire  est donc discontinue de 3ème espèce correspondant à la discontinuité de  .
  43. ↑ Dans le cas où l'échelon d'excitation  au sens de source envoyée à l'entrée du filtre  est d'amplitude   la valeur initiale de la réponse temporelle du filtre à l'échelon d'excitation  au sens de source envoyée à l'entrée du filtre  s'obtient par «   ».
  44. ↑ 44,0 44,1 44,2 et 44,3 C.-à-d. donnant le signal dérivé de la réponse étudiée en fonction de l'excitation d'entrée  appellation personnelle  ; elle correspond à «   ».
  45. ↑ En effet   est de degré deux et   de degré zéro.
  46. ↑ En effet le système étant du 2ème ordre,   est de degré deux et   est de degré zéro, l'excitation  c.-à-d. le 2nd membre de l'équation différentielle linéaire  est donc discontinue de 1ère espèce correspondant à la discontinuité de  .
  47. ↑ Dans le cas où l'échelon d'excitation  au sens de source envoyée à l'entrée du filtre  est d'amplitude   la valeur initiale de la dérivée temporelle de la réponse temporelle du filtre à l'échelon d'excitation  au sens de source envoyée à l'entrée du filtre  s'obtient par «   ».
  48. ↑ En fait ce n'est pas la seule possibilité de 2ème ordre mais c'est la seule parmi les 2èmes ordres étudiés.
  49. ↑ En effet   est de degré deux et   de degré un.
  50. ↑ En effet le système étant du 2ème ordre,   est de degré deux et   est de degré un, l'excitation  c.-à-d. le 2nd membre de l'équation différentielle linéaire  est donc discontinue de 2ème espèce correspondant à la discontinuité de  .
  51. ↑ Dans le cas où l'échelon d'excitation  au sens de source envoyée à l'entrée du filtre  est d'amplitude   la valeur initiale de la dérivée temporelle de la réponse temporelle du filtre à l'échelon d'excitation  au sens de source envoyée à l'entrée du filtre  s'obtient par «   ».
  52. ↑ Sauf dans le cas d'un passe-haut du 2ème ordre ou d'un coupe-bande où seule la C.I. sur la réponse peut être trouvée à partir de la fonction de transfert, la fonction de transfert “ dérivée ” d'un passe-haut du 2ème ordre ou d'un coupe-bande ayant un transfert H.F. infini, il est impossible de déterminer la C.I. sur la dérivée temporelle de la réponse  il faut donc écrire l'équation différentielle pour tout   et l'intégrer entre   et   au sens des distributions .
  53. ↑ 53,0 et 53,1 Voir la note « 10 » du chap.  de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
  54. ↑ Le redresseur simple alternance négatif s'obtiendrait en inversant le branchement de la diode.
  55. ↑ 55,0 55,1 55,2 55,3 55,4 55,5 55,6 et 55,7 Voir le paragraphe « modélisation linéaire par morceaux de la caractéristique statique courant - tension d'une diode Zener (tension de seuil) » du chap.  de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la caractéristique directe d'une diode à jonction étant de même forme que celle d'une diode Zener.
       Clarence Melvin Zener (1905 - 1993) physicien américain qui fut le 1er  en   à décrire le phénomène de claquage des isolants électriques qui rendit possible la diode portant son nom ; il fut également opérationnel dans bien d'autres domaines de la physique grâce à ses connaissances mathématiques allant de la supraconductivité à la métallurgie en passant par le ferromagnétisme, l’élasticité, la mécanique de la rupture, la diffusion ; entre   et   il développa ses méthodes d'optimisation de forme en paramétrant par des fonctions mathématiques les proportions des pièces.
  56. ↑ 56,0 et 56,1 Voir le paragraphe « résistance dynamique d'un dipôle passif en un point de fonctionnement de polarisation de ce dernier » du chap.  de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
  57. ↑ 57,0 et 57,1 Intensité maximale du courant dans le sens passant sans risque  le constructeur laisse une marge mais il y a néanmoins un risque de « griller » la jonction si on la dépasse .
  58. ↑ 58,0 et 58,1 En effet   fait que      .
  59. ↑ 59,0 et 59,1 C.-à-d. sans résistance dynamique dans le sens passant mais avec une tension de seuil.
  60. ↑ 60,0 60,1 60,2 60,3 60,4 et 60,5 Et il faut valider cette hypothèse sur la conclusion que l'on en déduit.
  61. ↑ C'est l'hypothèse « polarisée en inverse » de la diode qui implique son caractère « bloquant ».
  62. ↑ Ce qui est réalisé à au moins   près, avec  , si   par exemple  .
  63. ↑ 63,0 63,1 63,2 63,3 63,4 63,5 63,6 et 63,7 Jules-Antoine Lissajous (1822 - 1880) physicien français, essentiellement connu pour ses travaux sur les ondes, on lui doit en particulier la méthode de Lissajous utilisée en électronique et permettant de calculer le déphasage temporel entre deux signaux sinusoïdaux en étudiant l'ellipse qu'ils forment dans le mode X-Y d'un oscilloscope  la courbe obtenue dans ce mode étant encore appelée courbe de Lissajous .
  64. ↑ 64,00 64,01 64,02 64,03 64,04 64,05 64,06 64,07 64,08 et 64,09 Redresseur Simple Alternance Positif.
  65. ↑ 65,0 et 65,1 Approximation des Régimes Quasi-Stationnaires.
  66. ↑ 66,0 et 66,1 Voir le paragraphe « notion d'A.R.Q.S. et condition d'application en fonction de la taille du circuit et de la fréquence » du chap.  de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
  67. ↑ Par définition, un redressement simple alternance positif  ou négatif  est « sans défaut de seuil », ce n'est que dans la façon expérimentale vue précédemment qu'apparaît un « défaut de seuil », mais il y a d'autres méthodes expérimentales pour réaliser un redressement simple alternance où n'apparaît pas de défaut de seuil  par exemple à base d'une diode à jonction et d'un A.O. « amplificateur opérationnel »  octopôle utilisé dans le montage suiveur  voir sa description dans le paragraphe « utilisation d'un montage suiveur interposé entre le multimètre et le G.B.F. pour mesurer la f.e.m. efficace d'un G.B.F. » du chap.  de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »  toutefois nous n'en verrons aucune dans la mesure où celles-ci ne sont pas explicitement au programme de physique de PCSI 
  68. ↑ 68,0 et 68,1 On choisit le « 2ème développement en série de Fourier »   avec   introduit au chap.  de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » et on associe à l'harmonique physique   l'harmonique complexe   avec   l'amplitude complexe de l'harmonique complexe.
  69. ↑ 69,0 69,1 69,2 et 69,3 Laquelle est à peine plus compliquée à établir « à la main » que celle d'un signal créneau impair symétrique  exposée dans le paragraphe « exemple d'un créneau symétrique (preuve des valeurs d'amplitudes - en complément) » du chap.  de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »  ou
                               Laquelle est à peine plus compliquée à établir « à la main » que celle d'un signal triangulaire pair symétrique  exposée dans le paragraphe « exemple d'un triangulaire symétrique (preuve des valeurs d'amplitudes - en complément) » du même chap.  de la même leçon « Signaux physiques (PCSI) » ,
                               Laquelle est à peine plus compliquée à établir « à la main » ces calculs utilisant le 1er développement en série de Fourier n'auraient guère été plus compliqués à partir du 2ème développement en série de Fourier ;
       les formules des cœfficients du 2ème développement en série de Fourier peuvent être déduites du chap.  de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », en effet on trouve dans le paragraphe « 1er développement en série de Fourier » «  avec  » et dans le paragraphe « passage du 1er au 2ème développement en série de Fourier »     et   tel que     « » et, par conséquent «  avec  », la composante permanente se déterminant par «   ».
  70. ↑ Décroissance de l'amplitude aussi rapide que celle de l'amplitude des harmoniques d'un triangulaire, ici l'amplitude de l'harmonique de rang   vaut   et
       Décroissance de l'amplitude aussi rapide que celle de l'amplitude des harmoniques d'un triangulaire, ici l'amplcelle de l'harmonique de rang   vaut  .
  71. ↑ Léo Graetz (1856 - 1941) physicien allemand qui s'occupa, entre autres, de magnétisme, d'électricité et de modèles atomiques.
  72. ↑ La présence d'un transformateur d'isolement est nécessaire pour qu'il n'y ait pas de points reliés à la Terre dans le circuit situé à la sortie du transformateur, alors qu'à l'entrée de ce dernier il y a nécessairement une des bornes reliée à la masse du générateur de fonctions, laquelle est reliée à la Terre par l'intermédiaire du fil de secteur ; on peut ainsi visualiser simultanément la tension d'entrée   sur la voie   d'un oscilloscope, la masse de ce dernier étant reliée à la borne d'entrée du transformateur reliée à la masse du générateur et la tension de sortie   sur la voie   du même oscilloscope, la masse de l'oscilloscope pouvant être reliée à   sans problème puisqu'aucun point de ce circuit n'est relié à la Terre.
  73. ↑ 73,0 et 73,1 À condition que les bornes   et   soient en regard et non   et  .
  74. ↑ 74,0 74,1 74,2 74,3 74,4 74,5 74,6 et 74,7
       Si le sens possible de courant est dans le sens   de la diode, la diode est nécessairement polarisée en directe et elle est passante à condition que la tension à ses bornes ne soit pas inférieure à   et
       si le sens possible de courant est dans le sens   de la diode, la diode est polarisée en inverse et elle est bloquante.
  75. ↑ On ne trouve donc pas   pour       est décalée par rapport à   de   correspondant, en ce qui concerne la tension d'entrée positive, à un « redresseur avec défaut de seuil ».
  76. ↑ On ne trouve donc pas   pour       est décalée par rapport à   de   correspondant, en ce qui concerne la tension d'entrée négative, à un « redresseur avec défaut de seuil ».
  77. ↑ Ce qui est réalisé à au moins   près, avec  , si   par exemple  .
  78. ↑ Avec cette valeur le défaut de seuil ne peut pas réellement être négligé car représentant   de l'amplitude maximale, mais   a été conservé pour faire la comparaison avec le redressement simple alternance positif.
  79. ↑ 79,00 79,01 79,02 79,03 79,04 79,05 79,06 79,07 79,08 79,09 79,10 79,11 et 79,12 Redresseur Double Alternance.
  80. ↑ Par définition, un redressement double alternance est « sans défaut de seuil », ce n'est que dans la façon expérimentale vue précédemment qu'apparaît un « défaut de seuil », mais il y a d'autres méthodes expérimentales pour réaliser un redressement double alternance où n'apparaît pas de défaut de seuil  par exemple à base de diodes à jonction identiques et de plusieurs A.O. « amplificateurs opérationnels »  octopôle utilisé dans le montage suiveur  voir sa description dans le paragraphe « utilisation d'un montage suiveur interposé entre le multimètre et le G.B.F. pour mesurer la f.e.m. efficace d'un G.B.F. » du chap.  de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »  toutefois nous n'en verrons aucune dans la mesure où celles-ci ne sont pas explicitement au programme de physique de PCSI 
  81. ↑ Qui est le double de la composante permanente du signal redressé simple alternance positif.
  82. ↑ Qui est le double de l'amplitude complexe de l'harmonique du redressé simple alternance  positif  de même rang pair.
  83. ↑ D'amplitude effectivement le double de l'amplitude de l'harmonique de rang   du signal redressé simple alternance.
  84. ↑ Dans l'exemple électrique c'est un 2ème ordre du type « réponse en tension aux bornes de l'ensemble “ bobine  parfaite  en série avec condensateur ” d'un   série soumis à une tension sinusoïdale d'amplitude constante » qui est un coupe-bande  c.-à-d. encore le complémentaire du passe-bande correspondant à la réponse en tension aux bornes du conducteur ohmique de résistance     à la réponse en intensité , l'analogue mécanique est un P.E.A.E.S.  pendule élastique amorti excité sinusoïdalement  avec « réponse complémentaire de la “ réponse en force de frottement fluide   à la réponse en vitesse ”, le P.E.A.  pendule élastique amorti  étant soumis à une force excitatrice sinusoïdale d'amplitude constante »  
       Revoir le paragraphe « analogie électromécanique, résonance en vitesse d'un oscillateur mécanique amorti par frottement fluide linéaire soumis à une force excitatrice sinusoïdale » du chap.  de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) ».
  85. ↑ Il faudra, pour obtenir un coupe-bande, construire le complémentaire de ce passe-bande.
  86. ↑ 86,0 et 86,1 Se dit d'une route déformée par une succession de lignes transverses d'altitude variant régulièrement  c.-à-d. de bosses et de trous .
  87. ↑ 87,0 87,1 87,2 87,3 et 87,4 Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.
  88. ↑ 88,0 et 88,1 Voir le paragraphe « retour sur la recherche de référentiels galiléens » du chap.  de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
  89. ↑ Voir le paragraphe « autre forme de la relation fondamentale spécifique à la dynamique newtonienne, la “ r.f.d.n. ” » du chap.  de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
  90. ↑ Le référentiel   n'étant pas en translation rectiligne uniforme par rapport à un référentiel galiléen est « non galiléen »  voir les paragraphes « propriété liant deux référentiels galiléens » et « démonstration de la propriété précédente » du chap.  de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » .
  91. ↑ La démonstration est donnée dans le paragraphe « loi de composition des vecteurs accélérations dans le cas où les deux référentiels sont en translation l'un par rapport à l'autre » du chap.  de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » :
       le vecteur accélération du point   dans un référentiel « absolu »    c.-à-d. le vecteur accélération absolue de   encore noté   s'obtient en ajoutant au vecteur accélération de   dans un référentiel « d'entraînement »    c.-à-d. le vecteur accélération relative de   encore noté   le vecteur accélération d’entrainement de translation de   relativement à    encore appelé vecteur accélération d'entraînement de   et noté   ;
       cette loi devient fausse si   est en rotation relativement à   autour d'un axe fixe, dans ce cas apparaît un 2ème vecteur accélération à ajouter au vecteur accélération relative  ajout non évident  appelé vecteur accélération complémentaire ou de Coriolis   ;
       Gaspard-Gustave Coriolis (1792 - 1843) mathématicien et ingénieur français à qui on doit la notion d'accélération complémentaire à ajouter dans la loi de composition des accélérations lors d'un changement de référentiels en rotation l'un par rapport à l'autre ainsi que la pseudo force « dite de Coriolis » qu'il est nécessaire d'ajouter au bilan des forces appliquées pour traduire le mouvement du point par rapport à un référentiel d'étude non galiléen plus précisément en rotation autour d'un axe fixe relativement à un référentiel galiléen.
  92. ↑ Les composantes horizontales devant se compenser.


  Filtrage linéaire : gabarit d'un filtre, 1ère partie
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