Théorie de la mesure/Exercices/Intégrales

Intégrales
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Exercices no3
Leçon : Théorie de la mesure

Exercices de niveau 16.

Exo préc. :Mesures
Exo suiv. :Sommaire
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Théorie de la mesure/Exercices/Intégrales
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Exercice 3-1

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Soit   un espace mesuré et   une suite monotone d'applications  -intégrables de   dans  , de limite simple   (à valeurs dans  ). Démontrer que les propositions suivantes sont équivalentes :

  •   ;
  •   est  -intégrable ;
  •   ;
  •  .

Exercice 3-2

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Wikipédia possède un article à propos de « Lemme de Fatou ».

Soit   un espace mesuré.

1. Soient  . Examiner le lemme de Fatou sur l'exemple suivant :  ,  .

2. Soient   mesurables telles que  .

On pose  . Montrer que   et calculer  .

3. Soit   une suite d'éléments de   tels que  . Soit   une fonction  -intégrable. Montrer que  . Indication (Topologie générale/Exercices/Topologie de R ou C#Exercice 8) : pour tous réels positifs  , si   alors  .

Exercice 3-2

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Wikipédia possède un article à propos de « Théorème de convergence dominée ».

En utilisant le théorème de convergence dominée, montrer que

 .

Exercice 3-3

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Wikipédia possède un article à propos de « Intégrale de Stieltjes ».

Soient   une mesure sur  , de Radon (c'est-à-dire finie sur tout compact) et diffuse (c'est-à-dire sans atomes), et   une fonction bornée sur  .

Montrer que si   est Stieltjes  -intégrable alors elle est continue  -presque partout.

Indication : utiliser l'oscillation de   en  ,  , où  , et les ensembles  .

Exercice 3-4

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Wikipédia possède un article à propos de « Théorème de Fubini ».

Soient   et   définie par  

  1. Prouver que   est borélienne et calculer les intégrales   et  .
  2.   est-elle  -intégrable sur   ?

Exercice 3-5

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Wikipédia possède un article à propos de « Opérateur intégral ».

Soient   tels que   (ce qui implique  ). Soient   une constante et   mesurable de   dans  , telles que les applications   (pour   presque tout  ) et   (pour  -presque tout  ) appartiennent à   et aient une norme  . On veut montrer que la formule   définit une application (évidemment linéaire)   de   dans  , et que   est continue, de norme  .

  1. Traiter le cas  .
  2. On suppose  . Soit  . Pour   fixé on pose  . Démontrer que  .
    (Indication : appliquer l'inégalité de Hölder généralisée pour  ,  ,  ,  ).
    En déduire que   et conclure.
  3. Dans le cas particulier  , si   est continue (de   dans  ), montrer que pour tout   est continue.
  4. On pose   et pour  ,  . Vérifier que   est bornée. Déduire alors des questions 1 et 2 que la formule   définit une application bilinéaire continue  , de norme   (inégalité de Young), puis vérifier que  .
  5. Montrer que si   avec   alors   est (uniformément) continue (on se ramènera par translation à la continuité en  , puis on procèdera par densité dans  , en supposant d'abord   continue à support compact). Déduire alors de la question 3 que si   alors ( )   est continue.
  6. Si   (et  ), montrer que si   alors   est (non seulement continue et bornée mais) nulle à l'infini. (On approximera   et   par des fonctions à support borné).
  7. Soit   une mesure bornée sur  . Généraliser le cas   de la question 4 pour définir une application linéaire continue  .

Exercice 3-6

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(Généralisation de la formule d'intégration par parties)

Soient   un intervalle ouvert de   et   une mesure sigma-finie sur la tribu borélienne   (par exemple, une mesure de Stieltjes).   et   désignent des applications  -intégrables de   dans   ; on pose pour tout  ,

 .
  1. Montrer que pour tout   existe ; elle est notée  .
  2. Soit   et pour  . Montrer que   est borélienne et  -intégrable.
  3. A l'aide du théorème de Fubini, démontrer que   et   sont  -intégrables et que  .

Exercice 3-7

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Soient   un espace mesuré,   mesurable et  . On rappelle que si   est sigma-finie,  . Montrer que si   alors   quand  . Étudier la réciproque.

Exercice 3-8

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Soient   un espace mesuré,   et   mesurables. On suppose que   en mesure et qu'il existe   telle que  . Prouver qu'alors   dans  .

Exercice 3-9

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Soient   et   un espace mesuré sigma-fini. Soient  , montrer que   et en déduire que   est continue de   dans  .