En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Intégrales Théorie de la mesure/Exercices/Intégrales », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Soit un espace mesuré et une suite monotone d'applications -intégrables de dans , de limite simple (à valeurs dans ). Démontrer que les propositions suivantes sont
équivalentes :
;
est -intégrable ;
;
.
Solution
On peut supposer (quitte à remplacer par leurs opposées, ce qui ne modifie pas abcd) croissante. Mais ensuite, on peut de plus (en soustrayant à , ce qui ne modifie pas non plus abcd), supposer . Notons leurs intégrales, on a alors , si bien que
.
Si , peut se réécrire , d'où .
Réciproquement, comme , si alors il existe tel que le second terme soit fini. Comme , on en déduit , d'où .
1. Soient . Examiner le lemme de Fatou sur l'exemple suivant : , .
Solution
Rappel : si mesurables positives, . Or , donc , tandis que . Cet exemple évident peut donc servir de « pense-bête » pour retrouver dans quel sens est l'inégalité dans le lemme de Fatou.
2. Soient mesurables telles que .
On pose . Montrer que et calculer .
Solution
Les sont mesurables donc aussi (la mesurabilité est préservée par limsup et liminf, car par sup
et inf dénombrables, car et ), donc .
Par Fatou, , fini par hypothèse, donc est intégrable, donc finie presque partout, c'est-à-dire .
D'après l'indication, il suffit de montrer que . Mais par Fatou, ceci est (car intégrable), et cette intégrale est nulle puisque est supposé négligeable.
Montrer que si est Stieltjes -intégrable alors elle est continue -presque partout.
Indication : utiliser l'oscillation de en , , où , et les ensembles .
Solution
L'ensemble des points de discontinuité de est . Il suffit donc de prouver que les sont -négligeables. Soit , prouvons que .
Par hypothèse sur , l'intégrale de Stieltjes inférieure et l'intégrale de Stieltjes supérieure sont égales donc il existe une subdivision () de telle que . Pour tout , si , on a , donc , et car est diffuse.
Remarque : réciproquement, si est continue -p.p. alors elle est Stieltjes -intégrable. En effet, soit une suite de subdivisions de plus en plus fines telle que et et soient les fonctions en escalier associées et la limite croissante des , la limite décroissante des . Alors, en posant (dénombrable), on a donc , donc les inégalités sont en fait des égalités -p.p. d'où ( est -mesurable et) par convergence dominée (en utilisant que est bornée et fini), .
Soient tels que (ce qui implique ). Soient une constante et mesurable de dans , telles que les applications (pour presque tout ) et (pour -presque tout ) appartiennent à et aient une norme . On veut montrer que la formule définit une application (évidemment linéaire) de dans , et que est continue, de norme .
Traiter le cas .
On suppose . Soit . Pour fixé on pose . Démontrer que . (Indication : appliquer l'inégalité de Hölder généralisée pour , , , ). En déduire que et conclure.
Dans le cas particulier , si est continue (de dans ), montrer que pour tout est continue.
On pose et pour , . Vérifier que est bornée. Déduire alors des questions 1 et 2 que la formule définit une application bilinéaire continue , de norme (inégalité de Young), puis vérifier que .
Montrer que si avec alors est (uniformément) continue (on se ramènera par translation à la continuité en , puis on procèdera par densité dans , en supposant d'abord continue à support compact). Déduire alors de la question 3 que si alors () est continue.
Si (et ), montrer que si alors est (non seulement continue et bornée mais) nulle à l'infini. (On approximera et par des fonctions à support borné).
Soit une mesure bornée sur . Généraliser le cas de la question 4 pour définir une application linéaire continue .
Solution
(pour la mesurabilité, on peut se ramener au cas où puis utiliser Tonelli) . Pour presque tout , par Hölder, donc est (mesurable et) essentiellement bornée, avec .
, d'où , d'où par Tonelli, donc et .
est la composée de deux fonctions continues, car pour , linéaire continue (de norme par Hölder).
, et en posant (où est l'isométrie de défine par ), on trouve . ( vérifie bien les hypothèses pour , puisque et ). Donc . Un changement de variable immédiat donne .
Montrons que quand , dans (uniformément par rapport à ). Comme on peut supposer (la continuité en entraînera donc la continuité uniforme). Si est continue et à support compact, donc uniformément continue à support dans une boule , pour tout il existe tel que , et est à support dans , d'où en choisissant , ce qui permet de conclure. On peut aussi utiliser simplement la continuité (sans uniformité) et raisonner par convergence dominée. Si , le résultat pour s'étend facilement par densité au cas . Si et , les hypothèses de la question 3 sont donc remplies. Pour la continuité de lorsque (donc ), il suffit, pour se ramener au cas , d'échanger les rôles de et .
et dans , l'adhérence de est .
Supposons sans perte de généralité que est positive et de masse et montrons qu'alors, pour toute fonction , la fonction définie par vérifie : . Pour , c'est immédiat. Pour , on sait que pour toute fonction mesurable positive , (cf. fin de Fonctions convexes/Exercices/Sur l’inégalité de Jensen#Exercice 1-3). On en déduit : , d'où .
Soient un intervalle ouvert de et une mesure sigma-finie sur la tribu borélienne (par exemple, une mesure de Stieltjes). et désignent des applications -intégrables de dans ; on pose pour tout ,
.
Montrer que pour tout existe ; elle est notée .
Soit et pour . Montrer que est borélienne et -intégrable.
A l'aide du théorème de Fubini, démontrer que et sont -intégrables et que .
Solution
Par convergence dominée, .
sont boréliennes et est borélien, donc est borélienne. Par Tonelli, .
En appliquant Fubini à , on trouve (que l'égalité ci-dessous a un sens et) que , c'est-à-dire . Donc et sont intégrables (car l'est car l'est), et la formule s'en déduit.
Soient un espace mesuré, mesurable et . On rappelle
que si est sigma-finie, . Montrer que si alors quand . Étudier la réciproque.
Solution
Remarquons d'abord que le cas quelconque se ramène facilement au cas (en remplaçant par ).
D'autre part, est une fonction positive décroissante, continue à droite quelconque (en posant, pour toute vérifiant ces propriétés, et la mesure de Stieltjes sur associée à ). Le problème se ramène donc à montrer, pour vérifiant ces propriétés, que (ou même ), mais que la réciproque est fausse.
Preuve de : sinon, soient et avec tels que , alors .
Contre-exemple de la réciproque : soit pour (et constante sur ), on a mais .
Soient un espace mesuré, et mesurables. On suppose que
en mesure et qu'il existe telle que .
Prouver qu'alors dans .
Solution
Sinon, il existerait et une sous-suite tels que . Or puisque en mesure, il existe une sous-suite de qui converge vers -presque partout donc (par convergence dominée) qui converge vers dans , ce qui contredit . D'où la conclusion par l'absurde.
Soient et un espace mesuré sigma-fini.
Soient , montrer que et en déduire que est continue de dans .
Solution
Soit , ainsi . Pour déduire de Hölder la majoration demandée, il s'agit de prouver que pour , on a . Or par les accroissements finis, , donc .
On conclut en vérifiant que . L'inégalité démontrée assure la continuité demandée.