Topologie générale/Exercices/Topologie de R ou C

Topologie de R ou C
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Exercices no1
Leçon : Topologie générale

Exercices de niveau 16.

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Exercice 1Modifier

1.— Soit   une suite réelle bornée telle que  . Montrer que l’ensemble des valeurs d'adhérence de la suite est un segment non vide de  .

2.— Soit   une fonction continue et   définie par   et la relation  . Montrer que la suite converge si (et bien sûr seulement si)  .

Exercice 2Modifier

Soit   un sous-groupe additif non nul de  . On note   l'ensemble (non vide et minoré) des éléments strictement positifs de   et   sa borne inférieure.

  1. Montrer que si   alors  .
  2. Montrer que si   alors   est dense dans  .
  3. Décrire les sous-groupes fermés de  .
  4. Soit  . Montrer que le sous-groupe   est dense dans   si et seulement si  .

Exercice 3Modifier

  1. Quels sont les sous-groupes multiplicatifs non denses de   ? (Indication : regarder l'image par   et utiliser l'exercice précédent). En déduire les sous-groupes multiplicatifs non denses de  .
  2. Montrer qu'un sous-groupe multiplicatif de   est soit cyclique d'ordre fini, soit dense dans  . (Indication : utiliser l'application  .)
  3. Montrer que l'ensemble des valeurs d'adhérence de la suite   est  .

Exercice 4Modifier

Déterminer toutes les applications   telles que

 

et, parmi elles :

  • toutes celles qui sont continues ;
  • des exemples simples de solutions non continues.

Exercice 5Modifier

Déterminer, pour tous les sous-ensembles de   suivants, si ce sont des ouverts, des fermés, les deux, ou ni l'un ni l'autre. Donner également leurs intérieurs, adhérences et frontières.

  1.   .
  2.  .
  3.  .
  4.  .
  5.  .
  6.  .

Exercice 6Modifier

Décrire géométriquement les 7 ensembles suivants de   et dire s'il s'agit d'une partie ouverte, fermée, les deux, ou ni l'un ni l'autre. On utilisera la définition uniquement, à partir des boules ouvertes pour la distance euclidienne.

  1.  .
  2.  .
  3.  .
  4.  .
  5.  .
  6.  .
  7.  .

Soit   une fonction continue. Montrer que l'ensemble   est ouvert et en déduire que l'ensemble   est fermé. Retrouver ainsi que toute droite de   est fermée.

Déterminer (en justifiant) si les sous-ensembles de   ci-dessous sont ouverts, fermés, bornés, compacts :

 ,

 .

Décrire géométriquement les 6 parties suivantes de   et dire pour chacune d'elles si c'est un ouvert, un fermé, ou ni l'un ni l'autre.

  1.   ;
  2.   ;
  3.   ;
  4.   ;
  5.   ;
  6.  .

Exercice 7Modifier

Soit   constituée en intercalant de façon arbitraire toutes les valeurs de deux suites réelles  ,   (par exemple :  ). Démontrer que

  et  .

Exercice 8Modifier

Soient  , montrer que  .