Théorie des groupes/Exercices/Sous-groupe de Frattini

Sous-groupe de Frattini
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Exercices no49
Leçon : Théorie des groupes
Chapitre du cours : Sous-groupe de Frattini

Exercices de niveau 14.

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Théorie des groupes/Exercices/Sous-groupe de Frattini
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Problème 1

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Soit G un groupe simple fini. Prouver que Frat(G) est trivial.

Problème 2

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Soient G un groupe fini et   un diviseur premier de   Prouver que   figure dans la décomposition de   en facteurs premiers à une puissance strictement plus petite que dans la décomposition de   (Autrement dit, si la décomposition de   en facteurs premiers est  ,   divise  )
Indication : d'après les théorèmes de Sylow, il revient au même de prouver que si P est un p-sous-groupe de Sylow de G, alors P n'est pas contenu dans Frat(G); dans le cas contraire, déduire de la nilpotence de Frat(G) que P est un sous-groupe normal de G; appliquer le théorème de Schur-Zassenhaus puis le fait que P est contenu dans Frat(G).

Problème 3

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Soit   un nombre naturel; prouver que Frat( ) et Frat( ) sont triviaux.
Indication : on peut utiliser le fait que Frat( ) est un sous-groupe normal nilpotent de  ; on a déterminé les sous-groupes normaux de   dans les exercices sur le chapitre Groupes alternés.

Notes et références

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  1. Plus généralement, si un groupe G agit primitivement sur un ensemble X d'au moins deux éléments, le stabilisateur d'un point de X est toujours un sous-groupe maximal de G. Voir W.R. Scott, Group Theory, réimpr. Dover, 1987, 10.5.7, p. 270; J.J. Rotman, An Introduction to the Theory of Groups, 4e éd., tirage corrigé de 1999, Springer, théor. 9.15, p. 258; D.J.S.Robinson, A Course in the Theory of Groups, 2e éd., Springer, 1995, 7.2.3, p. 198.