Théorie des groupes/Produit libre d'une famille de groupes

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Dans ce chapitre, on va définir le produit libre d'une famille de groupes et montrer qu'il possède une propriété universelle analogue à celle de la somme directe d'une famille de groupes abéliens. Le produit libre ne jouera qu'un rôle modeste dans le futur chapitre sur les présentations de groupes, de sorte que le lecteur intéressé par les présentations et non par le produit libre pourra passer immédiatement au chapitre sur les présentations (non encore écrit dans l'état actuel du cours).

Produit libre d'une famille de groupes
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Chapitre no 48
Leçon : Théorie des groupes
Chap. préc. :Groupes libres : théorème de Howson
Chap. suiv. :Sous-groupe de Frattini

Exercices :

Produit libre d'une famille de groupes
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Construction du produit libre modifier

Étant donné une famille   d'ensembles, nous définirons l'ensemble somme de cette famille, ou encore la réunion disjointe de cette famille, comme l'ensemble des couples (i, x), avec i dans   et x dans Xi[1].

Pour tout ensemble X, notons Mo(X) l'ensemble des multiplets d'éléments de X. On sait que Mo(X) est un monoïde (le « monoïde libre construit sur X ») pour la loi de composition par « concaténation » :

 

Nous avons déjà rencontré ce monoïde dans le chapitre Groupes libres, premiers éléments. Les éléments de Mo(X) sont souvent appelés les mots dans X. Le nombre naturel m est appelé la longueur[2] du mot  .

Pour un groupe G de neutre 1, on désignera par   l'ensemble  .

Soit   une famille de groupes. On notera 1i le neutre de Gi. On désignera par   l'ensemble somme de la famille  .

Les éléments de Mo( ) sont donc les multiplets de la forme

 ,

n parcourt les nombres naturels ( ), où   parcourent   et où, pour tout j dans {1, ... , n},  .


Exemples

1) Le multiplet vide est réduit.
2) Tout 1-uplet de Mo( ) est réduit.
3) Soient   deux différents éléments de  , soient   et  . Alors   est un élément réduit de Mo( ), mais   n'en est pas un.


Nous allons maintenant munir   d'une loi de groupe *.

Convenons d'abord, pour alléger les notations, que dans l'écriture  , avec   dans   et   dans  ,   désignera toujours le produit de   et   dans  . De même, dans l'écriture  ,   désignera toujours l'inverse de   dans  . (Cela doit être précisé, puisque les groupes   ne sont pas supposés disjoints deux à deux.)

Soient   et   deux éléments de  , autrement dit deux éléments réduits de Mo( ).

Le « concaténé » de ces deux éléments, autrement dit leur produit dans le monoïde Mo( ), est réduit si et seulement on n'est pas dans le cas   et  

Si on est dans le cas   et  , il est assez naturel d'opérer une réduction du concaténé en procédant comme suit :

- si  , calculé dans le groupe  , n'est pas égal au neutre de ce groupe, on fusionne le m-ième et le (m+1)-ième couple du concaténé, à savoir les couples   et  , en les remplaçant par le couple   ; autrement dit, on remplace le concaténé par le mot
 ,
qui peut encore s'écrire
  ;
- si maintenant  , calculé dans le groupe  , est égal au neutre de ce groupe, on supprime du concaténé le m-ième et le (m+1)-ième couple, à savoir les couples   et  .

Dans le second cas, il se peut que le résultat ne soit pas encore un mot réduit. On recommence alors l'opération de réduction jusqu'à ce qu'on tombe sur un mot réduit, ce qui doit arriver, puisqu'il est impossible de construire une suite infinie de mots de longueur strictement décroissante. Le mot réduit ainsi obtenu définit le composé (ou composé réduit)

 .

Voici une description plus maniable des opérations.

Si   est un élément de Mo( ), si s est un nombre naturel tel que  , définissons le segment initial de longueur s de   comme étant   et définissons le segment final de longueur s de   comme étant  .

(Si s = 0, le segment initial de longueur s et le segment final de longueur s sont égaux au mot vide.)

Si maintenant   est un élément réduit de Mo( ), autrement dit un élément de  , définissons l'inverse de   comme étant   Il est clair que l'inverse de   est lui aussi un élément réduit de Mo( ) et que l'inverse de cet inverse est  . (Nous verrons que   et   sont inverse l'un de l'autre selon la loi de groupe que nous allons définir dans  .)

Soient maintenant   et   deux éléments réduits de Mo( ).

Désignons par t le plus grand nombre naturel   min{m, n} tel que le segment final de longueur t de   et le segment initial de longueur t de   soient inverses l'un de l'autre.

Autrement dit, t est le plus grand nombre naturel   min{m, n} tel qu'il existe un élément (réduit)   de Mo( ) pour lequel

 

et

 

Cela revient encore à dire que t est le plus grand nombre naturel   min{m, n} tel que

 
 
...
 

Le nombre t étant ainsi défini (il existe et, si   et   sont distincts, il est égal à 0), on définit le composé

 

comme égalant

 
si on n'est pas dans le cas (  et  ) ;
 ,
qu'on peut aussi écrire
 ,
si on est dans le cas (  et  ).

Il est clair que, dans les deux cas, le composé

 

est un élément réduit de Mo( ). (Dans le second cas, où  , le fait que le composé appartient à Mo( ) résulte du fait que, par maximalité de t,  )

Nous avons donc défini une loi de composition interne * dans l'ensemble   des éléments réduits de Mo( ). Quand nous parlerons du composé (ou composé réduit) de deux éléments   et   de  , il s'agira de  

Par exemple, si  , si   est le groupe multiplicatif des puissances de 3 (sous-groupe <3> de  ), si   est le groupe multiplicatif des puissances de 5, alors

 

et

 

sont des éléments réduits de Mo( ) et leur composé réduit

 

est

 

Le fait que les indices 1 et 2 alternent n'est évidemment pas fortuit.

Début d’un théorème
Fin du théorème


Si   est la partie   de  , on écrit souvent   au lieu de  . En particulier, si G et H sont deux groupes,   désigne le produit libre de la famille  , avec   et  

Il y a une certaine ambigüité dans ces notations, car par exemple   n'est généralement pas identique à  , mais nous verrons dans les exercices que ces deux groupes sont isomorphes.

Remarques.

1° Soit   une famille de groupes deux à deux disjoints. (On pourrait même se contenter de supposer que les   sont deux à deux disjoints.) Alors, pour un élément   de  , il n'existe qu'un élément   de   tel que   appartienne à  . On peut donc parler des multiplets  , où   parcourt  , où   parcourent   et où il n'y a pas de   tel que l'unique   comprenant   soit le même que celui qui comprend   En imitant notre définition du produit libre, on peut munir l'ensemble des multiplets en question d'une structure de groupe et le groupe P ainsi obtenu est isomorphe à   par

 

Pour construire le produit libre d'une famille   de groupes, certains auteurs[3] se ramènent au cas où les   sont deux à deux disjoints et définissent alors leur produit libre comme le groupe que nous avons noté P ; ils ajoutent qu'on passe au cas général en choisissant des copies mutuellement disjointes des  . On a préféré une méthode qui ne demande pas de faire des choix arbitraires et qui s'applique directement au cas où les   ne sont pas forcément disjoints deux à deux. (En fait, si l'on munit   de la structure de groupe transportée de   par la bijection  , le produit libre des   selon notre définition est le produit libre des groupes deux à deux disjoints   selon la définition des auteurs en question.)

2° Le produit libre d'une famille   de groupes, tel que nous l'avons défini, ne dépend pas des neutres des  . Dans le même ordre d'idées, si   est une famille de groupes, si J est une partie de I telle que, pour tout   dans  , le groupe   soit trivial, alors   est égal à  

3° On vérifie facilement que si   est une famille de groupes et   une partie de  , alors   est un sous-groupe de  .

4° Soient   et   deux familles de groupes telles que, pour tout   dans  ,   soit un sous-groupe de   On vérifie facilement que   est un sous-groupe de  .

Propriété universelle du produit libre modifier

Avant d'énoncer la propriété universelle du produit libre, donnons un théorème préparatoire.

Début d’un théorème
Fin du théorème

On va donner la démonstration, bien que tout soit assez banal.

Remarque. Au lieu de  , on emploie souvent la notation   pour désigner un élément de  , tout en supposant que   appartiennent à la réunion des  . Cela revient à identifier, pour chaque   dans  , le sous-groupe   de   au groupe  . Si on ne suppose pas que les   se coupent trivialement deux à deux, cette notation rend (théoriquement) ambiguë la loi de composition du groupe   dans le cas où une réduction est nécessaire. Dans le présent cours, on s'en tiendra à la notation  , mais le lecteur doit savoir que la notation   est courante et que l'éviter risque d'être considéré par certains comme une mauvaise pratique.

Début d’un théorème
Fin du théorème