Topologie générale/Exercices/Espaces topologiques

Espaces topologiques
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Exercices no2
Leçon : Topologie générale
Chapitre du cours : Espace topologique, Adhérence, intérieur

Exercices de niveau 16.

Exo préc. :Topologie de R ou C
Exo suiv. :Espaces métriques
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Topologie générale/Exercices/Espaces topologiques
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Exercice 1 : Topologie définie par les voisinagesModifier

Soient un ensemble   et une application

 .

1. — Vérifier que si   est muni d'une topologie pour laquelle   est l'application qui à chaque point   de   associe l'ensemble des voisinages de  , alors   possède les cinq propriétés suivantes (pour tout  ) :

(i)  ,
(ii)  ,
(iii)  ,
(iv)  ,
(v)  .

2. — La suite de l'exercice consiste à démontrer la réciproque. On suppose donc que   est une application vérifiant ces cinq propriétés, et l'on note   l'ensemble des parties   de   qui vérifient :  . Montrer que :

(a)   est une topologie sur   ;
(b) pour tout   et tout voisinage   de   pour  ,   ;
(c) pour toute partie   de  , l'ensemble
 
appartient à   ;
(d) pour tout   et tout  ,   est un voisinage de   pour  .

Exercice 2 : Mesurabilité des convexesModifier

Soit   un convexe dont l'enveloppe affine (le plus petit sous-espace affine contenant  ) est   tout entier.

Wikipédia possède un article à propos de « Adhérence, intérieur et frontière d'un convexe ».
  1. Montrer que le convexe   (l'intérieur de  ) est non vide.
  2. Pour simplifier les notations, on suppose désormais que  . Montrer qu'alors,  .
  3. En déduire que pour tout réel  , l'adhérence   est incluse dans l'ouvert  .
  4. En déduire que si   est borné alors sa frontière est Lebesgue-négligeable, puis étendre ce résultat au cas   non borné. En déduire que   est Lebesgue-mesurable.
  5. Montrer que si   est de volume fini alors   est borné.
  6. Montrer qu'il existe, dans  , des convexes non boréliens.

Exercice 3 : Théorème « 14 » de KuratowskiModifier

Wikipédia possède un article à propos de « Théorème de fermeture/complémentaire de Kuratowski ».

Pour toute partie S d'un espace topologique X, notons kS l'adhérence de S et cS le complémentaire de S. On utilisera des notations allégées, sans signes ∘ ni parenthèses, pour les diverses composées de k et c, appliquées à S.

  1. Montrer que ckcSS.
  2. En déduire que kckckck = kck.
  3. En déduire que parmi toutes les applications de 𝒫(X) dans 𝒫(X) obtenues à partir de 1 (l'identité) par compositions répétées par k ou c (qui pourraient a priori former un ensemble dénombrable) en fait au plus 14 (que l'on explicitera) sont distinctes.
  4. Pour X = ℝ muni de sa topologie usuelle, montrer que ces 14 composées sont effectivement distinctes (considérer la partie ]0, 1[ ∪ ]1, 2[ ∪ {3} ∪ (ℚ ∩ ]4, 5[)).
  5. Existe-t-il des espaces X pour lesquels seules deux de ces composées sont distinctes ?
  6. Existe-t-il des espaces X pour lesquels toutes ces composées sont égales ?

Exercice 4Modifier

Soient   un espace métrique,   et pour tout  ,  . On considère  .

  1. Montrer que   est une topologie sur  .
  2. Cette topologie est-elle séparée ?
  3. Vérifier que toute partie   contenant   est dense dans  .

Exercice 5Modifier

Soient   continue et   son graphe (  est muni de la topologie produit).

Montrer que   (muni de la topologie induite) est homéomorphe à  .

Exercice 6Modifier

Soient   une famille d'espaces topologiques et   l'espace produit associé.

  1. Soit  . Montrer que l'application   est continue.
  2. Supposons que chaque   est séparé. Montrer que   l'est également.
  3. Supposons que   et que chaque   est séparable. Montrer que   l'est également.

Exercice 7 : séparabilité et cardinauxModifier

  1. Soient   un espace séparé et à bases dénombrables de voisinages et   une partie dense dans  .
    1. Montrer (en signalant où chaque hypothèse est utilisée) que le cardinal de   est inférieur ou égal au cardinal de l'ensemble des suites à valeurs dans  .
    2. En déduire que si   est de plus séparable, son cardinal est inférieur ou égal au cardinal de  .
  2. Pour tout  , notons   l'ensemble des entiers de   à  ,   l'ensemble de ses parties et   l'ensemble des applications de   dans  . Montrer que l'ensemble   est dénombrable.
  3. Soit   une famille d'espaces séparables non vides indexée par  , et   muni de la topologie produit. On va montrer que   est séparable.
    On fixe dans chaque   une partie dense  .
    On considère l'ensemble dénombrable   de la question 2. À chaque application  , définie sur   pour un certain  , on associe le point   de  . On note   l'ensemble de tous ces  .
    1. Montrer que tout ouvert élémentaire non vide   rencontre  .
      (Indication : en notant   les   pour lesquels l'ouvert   n'est pas   tout entier, montrer qu'il existe   tels que  , puis fixer un entier   suffisamment grand pour que les   parties finies   soient distinctes et choisir un   convenable.)
    2. En déduire que   est séparable.
  4. En utilisant les questions 1 et 3, construire au moins un espace séparé, séparable et non métrisable (c'est-à-dire dont la topologie ne peut pas être définie à partir d'une distance).

Exercice 8Modifier

Dans cet exercice,   désigne la boule fermée de rayon   de  , centrée à l'origine. On considère l'espace produit

 .
  1. Soient   deux entiers. On note   la projection sur   définie par
     
    Vérifier que   est continue.
  2. On considère le sous-ensemble de   :
     .
    Montrer que c'est une partie fermée de   (on pourra écrire   comme une intersection de fermés).
  3. Soit  . Déterminer la suite  .
  4. En déduire qu'il existe une injection continue  .
  5. À quoi est homéomorphe le complémentaire   ?