Topologie générale/Exercices/Espaces métriques

Espaces métriques
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Exercices no3
Leçon : Topologie générale
Chapitre du cours : Espace métrique

Exercices de niveau 16.

Exo préc. :Espaces topologiques
Exo suiv. :Espaces complets
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Topologie générale/Exercices/Espaces métriques
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Exercice 1 : espace ultramétriqueModifier

Soit   un espace ultramétrique, c'est-à-dire un espace métrique tel que

 .

Montrer que :

  1. si deux boules ouvertes (ou deux boules fermées) ont un point commun alors l'une contient l'autre ;
  2. tout point d'une boule en est un centre ;
  3. toute boule fermée est ouverte ;
  4. toute boule ouverte est fermée ;
  5. tout triangle est isocèle et sa base est au plus égale aux côtés égaux ;
  6. une suite   est de Cauchy si (et seulement si)  .

Exercice 2Modifier

Soient   un espace topologique,   un espace métrique,   un ouvert de   et   une fonction continue par rapport à sa première variable et localement lipschitzienne par rapport à la seconde. Montrer que   est continue.

Exercice 3Modifier

Soient   et   deux espaces métriques,   une application de   dans   et   un point de  .

Montrer que   est continue au point   si et seulement s'il existe une application   telle que

  (pour tout  ) et  .

Exercice 4Modifier

Soient   un espace métrique et   une partie non vide de  . Pour tout  , on pose

 .
  1. Dans   muni de la distance usuelle, quelle est la distance de   à   ?
  2. Dans   muni d'une distance associée à une norme, montrer que pour tout  , il existe   tel que  .
  3. On revient à un espace métrique quelconque. Montrer qu'on a encore :   si et seulement si  .
  4. Montrer que l'application   est  -lipschitzienne.
  5. En déduire que si   est un fermé de   et   un compact de   tels que   et   sont disjoints, alors il existe une constante   telle que  .
  6. Montrer par un contre-exemple que le résultat est faux si l'on suppose seulement que   et   sont deux fermés disjoints.

Exercice 5Modifier

Wikipédia possède un article à propos de « Espace polonais ».

Un espace métrique est dit polonais s'il est complet et séparable.

  1. Soient   et   deux espaces polonais. Montrer que l'espace produit  , muni de la distance  , est polonais.
  2. Montrer que tout fermé   d'un espace polonais   est polonais.
  3. On rappelle (cf. cet exercice) que le graphe d'une application continue est homéomorphe à l'espace de départ. En utilisant la fonction  , déduire des questions précédentes qu'il existe sur   une distance   induisant la topologie usuelle, mais telle que   soit polonais.

Exercice 6Modifier

Soient   un espace métrique,   un sous-ensemble et   une application  -lipschitzienne.

Montrer que   s'étend en une application  -lipschitzienne  .

Indication : on pourra considérer la quantité   pour un   convenable.