Algèbre linéaire et calcul matriciel/Espaces vectoriels (définitions et exemples)

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Avant de commencer...

À ce niveau-ci, nous nous concentrerons sur les corps commutatifs (mais signalons que les espaces vectoriels en général peuvent aussi être définis sur des corps non commutatifs).

Espaces vectoriels

Les espaces vectoriels sont définis et décrits dans la leçon « Espace vectoriel » qui est un prérequis pour celle-ci. En particulier, les notions de famille libre, de famille génératrice et de base sont détaillées dans le chapitre « Familles de vecteurs » de cette leçon.

Pour rappel :

• Une base d'un espace vectoriel E est une famille de vecteurs de E qui est à la fois génératrice de E et libre.
• Une famille de vecteurs est dite libre si aucun de ces vecteurs n'est combinaison linéaire des autres.
• Le sous-espace vectoriel engendré par une famille de vecteurs est l’ensemble des combinaisons linéaires de ces vecteurs.
• Une famille de vecteurs de E est génératrice de E quand le sous-espace vectoriel engendré est E tout entier.

On démontre si E est engendré par un nombre fini de vecteurs, alors il admet une base finie et toutes ses bases ont le même nombre d'éléments ; ce nombre n est appelé la dimension de E.
De plus, les familles libres ont alors toutes au plus n éléments et les familles génératrices de E ont au moins n éléments. Enfin, toute famille de n vecteurs qui est génératrice de E ou libre est une base (donc a aussi l'autre propriété).

Exemples

Début de l'exemple

Géométrie : espaces euclidiens

En géométrie, l'espace euclidien à trois dimensions est canoniquement identifié à $\mathbb {R} ^{3}$. Il est de dimension 3 et la base canonique est $\left({{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}};{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}};{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}}\right)$

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Début de l'exemple

Analyse : fonction du second degré

Les fonctions polynomiales de degré inférieur ou égal à 2 (dont le graphe est, pour celles de degré 2, une parabole) forment un espace vectoriel sur les réels, de dimension 3, dont la base canonique est $(x\mapsto x^{2},x\mapsto x,x\mapsto 1)$. En effet, toute fonction de la forme $x\mapsto ax^{2}+bx+c$ peut s'écrire comme combinaison linéaire de ces trois fonctions (coefficients respectifs : $a,b,c$).

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Début de l'exemple

Algèbre : les suites de réels

Les suites de réels constituent un espace vectoriel de dimension card(R) et il n'y a pas de choix évident de base.

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