Calcul différentiel/Exercices/Recherches d'extrema
Exercice 1
modifierSoit . Montrer que est le seul point critique de , qu'il n’est pas un extremum local, mais que pourtant la restriction de à toute droite passant par admet en ce point un minimum local.
et s'annulent simultanément si et seulement si ou est nul et , c'est-à-dire si .
Au point , est nulle et sa restriction à toute droite passant par ce point a un minimum local (strict, pour toutes les droites sauf une) car et pour .
Mais pour .
Exercice 2
modifierDéterminer les extrema (locaux et globaux) de :
- sur ;
- .
a un minimum global et un maximum global (fonction continue sur un compact), atteints soit au bord, soit à l'intérieur.
Pour l'étude au bord, par symétrie, il suffit de s'intéresser au bord horizontal inférieur et au bord vertical de droite.
- Bord horizontal : s'annule en tout point , et au voisinage de ce point si , donc a un minimum local en ces points.
- Bord vertical : est une fonction strictement décroissante de donc n'a pas d'extremum local en si .
- Extrémité commune : sur tout voisinage de ce point, prend à la fois des valeurs (sur la verticale) et des valeurs (sur les obliques) donc n'a pas d'extremum local en ce point.
- Autre extrémité du bord vertical : donc les minima locaux ci-dessus ( ) ne sont pas globaux, et le minimum global est atteint soit en , soit en un point de , et le maximum global est atteint en un point de .
Le seul point intérieur au carré en lequel et s'annulent simultanément est . C'est donc en ce point qu'est atteint le maximum global, et en le minimum global.
est continue sur et tend vers quand , donc elle a un minimum global et pas de maximum global.
et s'annulent simultanément lorsque , c'est-à-dire et . Les points critiques de sont donc , et . L'étude en et suffit car est paire, ou encore : car .
Puisque , c'est en (et en ) que le minimum global est atteint. Reste à voir s'il y a un extremum local en . Le calcul de ne permet pas de conclure car il y a une valeur propre nulle. Mais quand , par valeurs strictement supérieures tandis que par valeurs strictement inférieures, donc n'a pas d'extremum local en .
Bilan : non extrémal et minimum absolu.
Exercice 3
modifierSoit .
- Montrer que admet au plus un extremum.
- Écrire comme la somme de deux carrés et en déduire que admet comme valeur minimale.
- et ne s'annulent simultanément qu'au point .
- On effectue une réduction de Gauss en isolant d'abord, par exemple, la variable :
donc , et .
Remarquons que la première question était redondante. Il aurait suffi de répondre directement à la seconde.
Montrer que n'a pas de point critique (donc pas d'extremum global ni même local).
et ne s'annulent jamais simultanément.
Montrer que n'a pas d'extremum global ni même local.
et ne s'annulent simultanément qu'au point . Mais ce point n'est ni minimum local (car ), ni maximum local (car ). Ou simplement : c'est un point selle car le déterminant de la hessienne est .
Montrer que a un extremum.
et ne s'annulent simultanément qu'au point .
est un polynôme en du second degré, à coefficient dominant , de discriminant , donc constamment , ce qui prouve que admet en un minimum global (qui est même strict).
Ou encore (par la même méthode que pour au début de l'exercice) :
, et l'inégalité est stricte sauf si et .
Exercice 4
modifierSoit . Montrer que n'a pas d'extremum local.
et s'annulent simultanément lorsque et , c'est-à-dire lorsque et avec , ou encore, , dont l'unique solution est . Le seul point critique de est donc .
, et donc
, qui a une valeur propre et une , donc n'a pas d'extremum local en .
Exercice 5
modifier- Étudier les extrema éventuels de la fonction .
- En déduire qu'à volume fixé, le parallélépipède rectangle d'aire minimale est un cube.
- Déterminer de même le volume maximal et la forme d'un parallélépipède rectangle inscrit dans une sphère de rayon .
- et s'annulent simultanément si et seulement si et , c'est-à-dire . On peut se dispenser de calculer car « au bord » c'est-à-dire quand ou tend vers ou (et même : quel que soit le comportement de l'autre variable), tend vers (car ). Elle admet donc un minimum global, qui ne peut être qu'au point , et pas de maximum global (ni même local, d'après ce qui précède).
- Soient les côtés d'un parallélépipède rectangle de volume . Son aire est . Posons et . Alors, donc est minimale si , c'est-à-dire .
- Soient les huit sommets, avec . Le volume est . Il s'agit donc de maximiser la fonction (positive) sur .
Elle est nulle au bord donc atteint son maximum à l'intérieur.
et s'annulent simultanément si et seulement si , c'est-à-dire : on trouve à nouveau un cube, de volume .
Exercice 6
modifierOn considère le point et la sphère unité de : .
- Quel est le point de le plus proche de ?
- On considère aussi le plan : . Quel est le point de le plus proche de ?
Ce sont des problèmes d'extrema liés : on cherche les extrema de (donc ) sous une contrainte , ou deux contraintes , et dans les 2 cas il y a forcément un min et un max (fonction continue sur un compact).
- donc .
- Pour tout , , et est multiple de si et seulement si est multiple de , c'est-à-dire (compte tenu de ) si . Le point de le plus proche de est et le plus loin est (on pouvait le prévoir géométriquement…).
- est linéaire donc .
- Pour tout , et sont indépendantes, et est une combinaison linéaire des deux si et seulement si
- , c'est-à-dire (compte tenu de et ) si . Le point de le plus proche de est (distance ) et le plus loin est (distance ).
Exercice 7
modifierChercher les extrema globaux de
sur le disque unité fermé
puis sur le disque unité ouvert
- .
- , continue sur le compact , atteint ses extrema globaux lorsque et . Ils valent .
- .
- sur atteint ses extrema globaux lorsque et . Ils valent .
- Par conséquent, sur , chacune de ces trois fonctions a les mêmes bornes (supérieure et inférieure) que sur mais ne les atteint pas.
Exercice 8
modifierPour chacune des fonctions suivantes, donner le développement limité d'ordre et étudier la nature du point donné, s'il est critique :
- au point ;
- au point ;
- au point ;
- au point .
- est une forme quadratique définie positive donc a un minimum global strict en .
- , a un déterminant donc point selle ;
- , point non critique ;
- , point non critique.
Exercice 9
modifierDéterminer si les matrices suivantes peuvent être des matrices hessiennes :
n'est pas une hessienne car elle n'est pas symétrique.
n'est pas une hessienne non plus car la fonction serait fois différentiable (et même ) et l'on aurait donc , ce qui est incompatible avec et .
Exercice 10
modifierTrouver les points critiques des six fonctions suivantes de dans et déterminer si ce sont des minima locaux, des maxima locaux ou des points selle.
Déterminer aussi si ces mêmes fonctions ont des maxima ou minima globaux.
- ;
- ;
- , où est un nombre réel donné ;
- ;
- ;
- .
- Le gradient est nul si et seulement si et .
or pour tout entier , . Par conséquent, est un point de minimum local si est impair et un point selle si est pair. pour tout entier impair. Les minima locaux trouvés sont donc en fait un minimum global, et il n'y a pas de maximum global ni même local. D'ailleurs, quand ). - donc a un point selle en . Lorsqu'on translate ou de , ne fait que changer de signe. Elle a donc aussi des points selle en tous les points du réseau . Les autres points critiques, où le vecteur s'annule, sont des extrema globaux car (pour une approche moins efficace, voir « Exo7, exercice 2643 »).
- n'est pas différentiable aux points et . Pour différent de ces deux points, notons et . Alors, si et seulement si et , ce qui implique . On a donc si et seulement si et sont de signes contraires, c'est-à-dire si et seulement si . Un d.l. à l'ordre ne suffirait pas pour établir la nature de ces points critiques (on trouverait une forme quadratique positive mais non définie) mais il est évident géométriquement (et l'on peut vérifier par le calcul) que atteint, en tout point du segment , son minimum global, qui vaut donc . Par ailleurs, n’a pas de maximum (elle tend vers à l’infini).
- est différentiable sauf aux points , et .
Pour fixé, est minimum quand l'est, c.-à-d (d'après la question précédente) quand . Or pour , est minimum quand est maximum, c'est-à-dire ou . a donc un minimum global en ces deux points (et n'a pas de maximum global puisqu'elle tend vers à l'infini).
Dans un repère bien choisi, les coordonnées de et sont et . Pour différent de , et , notons , et . Alors, si et seulement si et , c'est-à-dire (puisque la première équation implique ) et , ce qui se traduit par : . a donc deux points critiques, situés sur la médiatrice de et symétriques par rapport à la droite , à distance , donc , . Ces deux points critiques sont des points selles car le long de l'ellipse de foyers ou du cercle de centre passant par ces points, ils réalisent un maximum local, tandis que le long de la médiatrice de ils réalisent un minimum local (d'après le calcul précédent de ). On pourrait le retrouver en calculant la hessienne.
Enfin, est un point de maximum local, d'après le développement limité suivant quand :
- .
- . Le seul point critique est donc . Le calcul de la hessienne en ce point montrerait que c'est un maximum local, mais c'est inutile : c'est un maximum global car pour fixé, le maximum de est atteint quand , puis quand varie, le maximum de est atteint quand .
- est C∞ car polynomiale. . Donc les points critiques de sont et .
.
donc est un point selle.
et donc est un maximum local, mais pas global car .
Exercice 11
modifierOn considère la fonction définie par
- .
- Trouver les points critiques de .
- Déterminer si la fonction possède un maximum global (resp. minimum global).
- Déterminer si la restriction de à l'ensemble possède un maximum global (resp. minimum global). Que peut-on dire sur la localisation de ces extrema globaux ?
- donc le seul point critique de est .
- est évidemment minimum en ce point, et n’a donc pas de maximum local ni, a fortiori, de maximum global (d’ailleurs, sa limite quand ou ou tend vers est ).
- La restriction de à a même minimum global que , puisque . Elle a aussi, contrairement à et comme toute fonction numérique continue sur un compact, un maximum global. Contrairement au min, ce max est situé sur la frontière de (c'est-à-dire sur la sphère unité), puisque ce n’est pas un maximum local pour .
Exercice 12
modifierDans l'espace affine euclidien usuel, soient , , trois droites deux à deux non parallèles. Soit
- .
On choisit sur chaque droite un point et un vecteur directeur , et l'on note .
- Montrer que et en déduire que admet un minimum.
- Montrer que ce minimum est strict (donc n'est atteint qu'une fois).
- Dans le cas où , , sont coplanaires et délimitent un triangle équilatéral, identifier ce minimum.
(http://exo7.emath.fr/ficpdf/fic00080.pdf exo 4198)
- est un polynôme de degré 2 en , qui se décompose sous la forme avec forme linéaire et forme quadratique, données par
et
.
est même définie positive car sont deux à deux non colinéaires. Il en résulte que donc par continuité, admet un minimum. - Choisissons de sorte que soit égal à ce minimum. On a alors (car est point critique de ) d'où, pour tout (c'est-à-dire ) : .
- Choisissons pour le triplet constitué des milieux des côtés, et pour les vecteurs . Ce triplet est justement celui où le minimum est atteint, car pour tout ,
car tous les pour sont égaux.
Par conséquent, le minimum est , où est la longueur d'un côté.
Exercice 13
modifierSoient différentiable, la sphère unité de , la restriction de à , et un point de en lequel a un extremum local (par exemple un maximum ou un minimum global — on sait que les deux existent). Montrer qu'il existe un réel tel que .
(Voir http://exo7.emath.fr/ficpdf/fic00080.pdf exo 4200 et Calcul différentiel/Recherches d'extrema#Extrema liés.)
Soit , où est la boule unité de l'hyperplan . Puisque est à valeurs dans et , a un extremum local en donc . Comme est l'inclusion de dans , on en déduit que est nulle sur , c'est-à-dire que tout vecteur orthogonal à est orthogonal à . Donc est colinéaire à .
Déterminer la valeur maximum de sur la lemniscate de Bernoulli d'équation .
Justifions d'abord l'existence de ce maximum. La fonction est continue donc la courbe est un fermé de . De plus, la courbe est bornée car . C'est donc un compact. La fonction étant continue, elle est bornée sur ce compact et atteint ses bornes, en particulier son maximum, en au moins un point.
D'après le théorème des extrema liés, en un tel point, est colinéaire à , autrement dit : ou , soit (en cumulant ces équations avec celle de la courbe) : ou .
.
Remarque : en paramétrant cette courbe par , on arrive au même résultat de façon plus élémentaire :
donc le maximum de est atteint en , et vaut .
Déterminer les extrema locaux de sur le folium de Descartes d'équation .
Soit . D'après le théorème des extrema liés, en un tel point, est colinéaire à , autrement dit : , ou encore (en tenant compte de l'équation de la courbe) : ou .
La réponse est incomplète car le théorème des extrema liés ne donne qu'une condition nécessaire d'extremum local mais ici, en paramétrant cette courbe par , on obtient de façon plus élémentaire une réponse complète :
donc a un minimum local en et un maximum local en .
On peut aussi étudier directement les variations de y comme fonction de x, sur toute la portion de la courbe où x\ne y^2 : cf. Calcul différentiel/Exercices/Inversion locale, fonctions implicites#Exercice 9, question 1.1.
Exercice 14
modifierChercher les extrema des fonctions suivantes :
- ;
- ;
- ;
- ;
- .
(Voir http://exo7.emath.fr/ficpdf/fic00080.pdf exo 4191)
- non extrémal et maximum local.
- donc est un point critique si et seulement si ou ou .
. Le point critique est un point de maximum local strict de car est définie négative (cf. règle de Monge), ou encore (sans utiliser la hessienne) : car , or pour tout .
En les autres points critiques et , l'étude de la hessienne ne permet pas de conclure car elle admet pour valeur propre, mais une étude directe de signe donne le résultat : par exemple, et si et sont suffisamment petits, si , si , et est de signe variable (le signe de ) si , donc est un point de min. local pour , max. local pour , selle pour .
De même, donc est un point de min. local pour , max. local pour et selle pour . - : maximum absolu.
- Soit : .
et analogue pour donc un point est critique si et seulement si et , c'est-à-dire ( n'est pas solution car n'appartient pas au domaine ).
Le seul point critique est donc . On peut affirmer que c'est un maximum local sans même calculer la hessienne. En effet, c'est même un maximum absolu car il en existe, puisque et , cette limite signifiant : quand tend vers le bord du domaine, c'est-à-dire ou tend vers ou vers .
Cette limite est bien nulle car quand ou tend vers et quand ou tend vers . Une façon plus directe de prouver que c'est un maximum absolu est de remarquer que d'un point quelconque à , ne cesse de croître si l'on fait varier de à (en fixant x) puis de à en restant sur la courbe . - et donc un point est critique si et seulement si et , c'est-à-dire ou .
.
L'autre point critique, , n'est pas un extremum même local ; c'est même un point selle car donc a deux valeurs propres non nulles de signes opposés. Ou moins savamment, au simple vu des dérivées partielles de : a un maximum local strict en tandis que a un minimum local strict en .
Exercice 15
modifierOn pose .
- Calculer le vecteur gradient et la matrice hessienne de .
- Déterminer les points critiques de .
- Donner le développement limité de au point à l'ordre 2.
- Montrer que est un point selle et que est un minimum local.
- ;
. - est un point critique si et seulement si , c'est-à-dire , ce qui équivaut à donc à . Autrement dit, a exactement 4 points critiques : , , et .
- .
- D'après la question précédente, est un point selle.
a pour valeurs propres 2 et 6 > 0 donc le point critique est un minimum local.
Exercice 16
modifierConsidérons la fonction .
- Calculer le développement limité d'ordre 2 de en un point quelconque .
- En déduire les points critiques de et leur nature.
- donc
. - ou ou ou . Le point est un minimum local (on le voit même directement, car