Calcul différentiel/Exercices/Recherches d'extrema

Recherches d'extrema
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Exercices no3
Leçon : Calcul différentiel
Chapitre du cours : Recherches d'extrema

Exercices de niveau 15.

Exo préc. :Inversion locale, fonctions implicites
Exo suiv. :Équations différentielles linéaires
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Calcul différentiel/Exercices/Recherches d'extrema
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Exercice 1Modifier

Soit  . Montrer que   est le seul point critique de  , qu'il n’est pas un extremum local, mais que pourtant la restriction de   à toute droite passant par   admet en ce point un minimum local.

Exercice 2Modifier

Déterminer les extrema (locaux et globaux) de :

  •   sur   ;
  •  .

Exercice 3Modifier

Soit  .

  1. Montrer que   admet au plus un extremum.
  2. Écrire   comme la somme de deux carrés et en déduire que   admet   comme valeur minimale.

Montrer que   n'a pas de point critique (donc pas d'extremum global ni même local).

Montrer que   n'a pas d'extremum global ni même local.

Montrer que   a un extremum.

Exercice 4Modifier

Soit  . Montrer que   n'a pas d'extremum local.

Exercice 5Modifier

  1. Étudier les extrema éventuels de la fonction  .
  2. En déduire qu'à volume fixé, le parallélépipède rectangle d'aire minimale est un cube.
  3. Déterminer de même le volume maximal et la forme d'un parallélépipède rectangle inscrit dans une sphère de rayon  .

Exercice 6Modifier

On considère le point   et la sphère unité   de   :  .

  1. Quel est le point de   le plus proche de   ?
  2. On considère aussi le plan   :  . Quel est le point de   le plus proche de   ?

Exercice 7Modifier

Chercher les extrema globaux de

 

sur le disque unité fermé

 

puis sur le disque unité ouvert

 .

Exercice 8Modifier

Pour chacune des fonctions suivantes, donner le développement limité d'ordre   et étudier la nature du point donné, s'il est critique :

  •   au point   ;
  •   au point   ;
  •   au point   ;
  •   au point  .

Exercice 9Modifier

Déterminer si les matrices suivantes peuvent être des matrices hessiennes :

 

Exercice 10Modifier

Trouver les points critiques des six fonctions suivantes de   dans   et déterminer si ce sont des minima locaux, des maxima locaux ou des points selle.

Déterminer aussi si ces mêmes fonctions ont des maxima ou minima globaux.

  •   ;
  •   ;
  •  , où   est un nombre réel donné ;
  •   ;
  •   ;
  •  .

Exercice 11Modifier

On considère la fonction   définie par

 .
  1. Trouver les points critiques de  .
  2. Déterminer si la fonction   possède un maximum global (resp. minimum global).
  3. Déterminer si la restriction de   à l'ensemble   possède un maximum global (resp. minimum global). Que peut-on dire sur la localisation de ces extrema globaux ?

Exercice 12Modifier

Dans l'espace affine euclidien usuel, soient  ,  ,   trois droites deux à deux non parallèles. Soit

 .

On choisit sur chaque droite un point   et un vecteur directeur  , et l'on note  .

  1. Montrer que   et en déduire que   admet un minimum.
  2. Montrer que ce minimum est strict (donc n'est atteint qu'une fois).
  3. Dans le cas où  ,  ,   sont coplanaires et délimitent un triangle équilatéral, identifier ce minimum.

Exercice 13Modifier

Soient   différentiable,   la sphère unité de  ,   la restriction de   à  , et   un point de   en lequel   a un extremum local (par exemple un maximum ou un minimum global — on sait que les deux existent). Montrer qu'il existe un réel   tel que  .

Déterminer la valeur maximum de   sur la lemniscate de Bernoulli d'équation  .

Déterminer les extrema locaux de   sur le folium de Descartes d'équation  .

Exercice 14Modifier

Chercher les extrema des fonctions   suivantes :

  1.   ;
  2.   ;
  3.   ;
  4.   ;
  5.  .

Exercice 15Modifier

On pose  .

  1. Calculer le vecteur gradient et la matrice hessienne de  .
  2. Déterminer les points critiques de  .
  3. Donner le développement limité de   au point   à l'ordre 2.
  4. Montrer que   est un point selle et que   est un minimum local.

Exercice 16Modifier

Considérons la fonction  .

  1. Calculer le développement limité d'ordre 2 de   en un point quelconque  .
  2. En déduire les points critiques de   et leur nature.

Exercice 17Modifier

L'objectif de cet exercice est de déterminer les points d'extremum local de la fonction   définie par

 .
  1. Déterminer les points critiques de  .
  2. Montrer que  .
  3. Étudier le sens de variation de la fonction   définie par  .
  4. Montrer que pour tout   et tout   on a  .
  5. Montrer que   est un point selle.