Fonctions d'une variable réelle/Exercices/Développements limités

Développements limités
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Exercices no8
Leçon : Fonctions d'une variable réelle
Chapitre du cours : Développements limités

Exercices de niveau 14.

Exo préc. :Calcul de limites
Exo suiv. :Convexité
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Fonctions d'une variable réelle/Exercices/Développements limités
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Exercice 8-1Modifier

Soit  .

  1. Montrer, par la formule de Taylor-Lagrange, qu'il existe un nombre   tel que  .
  2. En utilisant la formule de Taylor-Young en 0 à l'ordre 5 de  , montrer que   .

Exercice 8-2Modifier

Calculer le développement limité de   en 0 à l'ordre 3.

Calculer le développement limité de   en 0 à l'ordre 9.

Calculer le développement limité de   en 0 à l'ordre 5.

Calculer le développement limité de   en 0 à l'ordre 2.

Exercice 8-3Modifier

Soit   admettant en 0 le développement limité suivant à l'ordre 2 :

  avec  .

Elle admet donc, au voisinage de 0, une fonction réciproque possédant un d.l. à l'ordre 2 en 0 :

 .

Déterminer  .

Soient   et  .

Trouver   et   pour que  , et calculer alors le d.l. de   (en 0, à l'ordre 5).

Exercice 8-4Modifier

Soit  

Démontrer que   admet à tout ordre un d.l. en 0, que l'on précisera.

Exercice 8-5Modifier

Soit  .

  1. En utilisant la formule de Taylor-Laplace, montrer que pour tout  ,
     .
  2. En déduire que  .

Exercice 8-6Modifier

Redémontrer le théorème de Taylor-Young par application itérée de la première règle de l'Hôpital.

Exercice 8-7Modifier

Donner les d.l. à l'ordre 3 :

  • en 0 de   ;
  • en 0 de  ,   fois (la k-ième itérée de  , à ne pas confondre avec la k-ième puissance,  , pour tout  ) ;
  • en 0 de  , pour un réel   fixé ;
  • en 1 de  .

Exercice 8-8Modifier

Calculer les limites en   des trois fonctions suivantes ( ,  ) :

  •   ;
  •   ;
  •  .

Exercice 8-9Modifier

On donne l'équation de van der Waals

 

  désignent respectivement la pression, la température et le volume occupé par un gaz et   sont des constantes.

Quand   devient infiniment grand et   reste constant, donner un développement limité à l'ordre 2 de   en fonction de l'infiniment petit  .

Exercice 8-10Modifier

Déterminer les asymptotes et les positions par rapport à ces asymptotes des courbes suivantes :

  1.   ;
  2.  .

Exercice 8-11Modifier

On pose  . En utilisant un d.l. de   en 0 à un ordre adéquat, calculer   pour tout  .

Soient   un intervalle ouvert contenant 0 et   une fonction définie sur   par :

 

Former le d.l. de   en 0 à l'ordre 4.

Exercice 8-12Modifier

On définit sur   une fonction C :  .

À l'aide d'un d.l. de  , montrer que   admet un prolongement deux fois dérivable en 0.

Exercice 8-12Modifier

Déterminer le développement limité à l'ordre 10 en 0 de la fonction   définie sur   par  .

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