Fonctions d'une variable réelle/Exercices/Convexité

Convexité
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Exercices no9
Leçon : Fonctions d'une variable réelle
Chapitre du cours : Convexité

Exercices de niveau 14.

Exo préc. :Développements limités
Exo suiv. :Sommaire
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Fonctions d'une variable réelle/Exercices/Convexité
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Exercice 1Modifier

Soient   des réels positifs. Montrer que  

Exercice 2Modifier

Soient   et   deux réels strictement supérieurs à  . Montrer que  .

Exercice 3Modifier

Soient   des intervalles de ℝ,   une fonction convexe et   une fonction convexe et croissante. Démontrer que   est convexe.

Exercice 4Modifier

Référence : Gérard Eguether, « Fonctions sous-additives », , proposition 6.

Soit   une fonction concave (c'est-à-dire telle que   est convexe) telle que  .

Montrer que   est sous-additive, c'est-à-dire que (pour tous  ) :

 .

Exercice 5Modifier

Inspiré de : Michel Quercia, « Exercices sur les dérivées », , exercice 66 (non corrigé, et qui énonce le même résultat principal mais avec une idée de preuve qui semble insuffisante).

Soit   une fonction dérivable sur un intervalle  .

  1. Vérifier que si   est strictement convexe ou strictement concave alors « le   des accroissements finis est toujours unique », c'est-à-dire :
     .
  2. Réciproquement, on suppose maintenant que « le   des accroissements finis est toujours unique ».
    1. Soient   et  . Démontrer que   est de signe constant.
    2. En déduire que   est strictement convexe ou strictement concave.

Exercice 6Modifier

À l'aide du théorème de Darboux, démontrer que si une fonction convexe (sur un intervalle réel) est dérivable, alors sa dérivée est continue.

Exercice 7Modifier

Référence : Josef Stoer et Christoph Witzgall, Convexity and Optimization in Finite Dimensions, vol. I, coll. « Grundlehren der mathematischen Wissenschaften » (no 163), 1970 [lire en ligne], p. 172 , th. 4.9.11.

Une fonction   (où   est un intervalle réel) est dite quasi convexe si pour tous   dans  ,  .

  1. Vérifier que toute fonction convexe est quasi convexe.
  2. Vérifier que s'il existe dans   deux intervalles complémentaires   (l'un des deux pouvant être vide) tels que   soit décroissante sur   et croissante sur  , alors   est quasi convexe.
  3. On veut montrer la réciproque. On suppose donc que   est quasi convexe. On pose   et  .
    1. Vérifier que   est croissante sur  .
    2. Montrer que pour tout   et tout   dans  , on a   et  .
    3. Conclure.
  4. Donner un exemple de fonction quasi convexe et non convexe.
  5. On suppose maintenant que   est convexe. En reprenant les notations de la question 3.2, montrer que sur  ,   est strictement décroissante. Par changement de variable  , en déduire qu'il existe dans   deux intervalles complémentaires   (l'un des deux pouvant être vide) tels que   soit constante sur   et strictement croissante sur  .