On utilisera que la longueur d'une courbe plane paramétrée
γ
:
[
a
,
b
]
→
R
2
,
t
↦
γ
(
t
)
=
(
x
(
t
)
,
y
(
t
)
)
{\displaystyle \gamma :\left[a,b\right]\to \mathbb {R} ^{2},\,t\mapsto \gamma (t)=\left(x(t),y(t)\right)}
est
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Exercice : Calculs de longueursIntégration de Riemann/Exercices/Calculs de longueurs », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
L
(
γ
)
=
∫
a
b
‖
γ
′
(
t
)
‖
d
t
=
∫
a
b
(
x
′
(
t
)
)
2
+
(
y
′
(
t
)
)
2
d
t
{\displaystyle L(\gamma )=\int _{a}^{b}\left\|\gamma '(t)\right\|\,\mathrm {d} t=\int _{a}^{b}{\sqrt {\left(x'(t)\right)^{2}+\left(y'(t)\right)^{2}}}\,\mathrm {d} t}
.
Soit
R
>
0
{\displaystyle R>0}
. Calculer la longueur du cercle
C
R
:=
{
(
x
,
y
)
∈
R
2
∣
x
2
+
y
2
=
R
2
}
{\displaystyle C_{R}:=\left\{\left(x,y\right)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x^{2}+y^{2}=R^{2}\right\}}
, paramétré par
[
0
,
2
π
]
→
R
2
,
t
↦
(
R
cos
t
,
R
sin
t
)
{\displaystyle \left[0,2\pi \right]\to \mathbb {R} ^{2},\,t\mapsto \left(R\cos t,R\sin t\right)}
.
Solution
L
(
C
R
)
=
∫
0
2
π
(
−
R
sin
t
)
2
+
(
R
cos
t
)
2
d
t
=
R
∫
0
2
π
sin
2
t
+
cos
2
t
d
t
=
2
π
R
{\displaystyle L\left(C_{R}\right)=\int _{0}^{2\pi }{\sqrt {\left(-R\sin t\right)^{2}+\left(R\cos t\right)^{2}}}\,\mathrm {d} t=R\int _{0}^{2\pi }{\sqrt {\sin ^{2}t+\cos ^{2}t}}\,\mathrm {d} t=2\pi R}
.
Soit
a
≥
b
>
0
{\displaystyle a\geq b>0}
. Montrer que la longueur de l'ellipse
E
a
,
b
:=
{
(
x
,
y
)
∈
R
2
|
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
}
{\displaystyle E_{a,b}:=\left\{\left(x,y\right)\in \mathbb {R} ^{2}~\left|~{\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1\right.\right\}}
est égale à
L
a
,
b
:=
∫
0
2
π
a
2
sin
2
t
+
b
2
cos
2
t
d
t
{\displaystyle L_{a,b}:=\int _{0}^{2\pi }{\sqrt {a^{2}\sin ^{2}t+b^{2}\cos ^{2}t}}\,\mathrm {d} t}
(il s'agit d'une intégrale elliptique , qu'on ne demande donc pas de calculer).
Solution
On procède comme dans l'exercice précédent, en paramétrant l'ellipse par
[
0
,
2
π
]
→
R
2
,
t
↦
(
a
cos
t
,
b
sin
t
)
{\displaystyle \left[0,2\pi \right]\to \mathbb {R} ^{2},\,t\mapsto \left(a\cos t,b\sin t\right)}
.
Soit
R
>
0
{\displaystyle R>0}
. On s'intéresse aux ellipses
E
a
,
b
{\displaystyle E_{a,b}}
pour
a
b
=
R
2
{\displaystyle ab=R^{2}}
(ce sont toutes celles délimitant un domaine de même aire
π
R
2
{\displaystyle \pi R^{2}}
, cf. Exercice 3-3 ).
On veut montrer que celle de longueur minimale est le cercle
E
R
,
R
{\displaystyle E_{R,R}}
. On note donc, pour tout
a
≥
R
{\displaystyle a\geq R}
:
ℓ
(
a
)
:=
L
a
,
R
2
a
=
∫
0
2
π
h
t
(
a
)
d
t
{\displaystyle \ell (a):=L_{a,{\frac {R^{2}}{a}}}=\int _{0}^{2\pi }h_{t}(a)\,\mathrm {d} t}
, avec
h
t
(
a
)
:=
a
2
sin
2
t
+
R
4
cos
2
t
a
2
{\displaystyle h_{t}(a):={\sqrt {a^{2}\sin ^{2}t+{\frac {R^{4}\cos ^{2}t}{a^{2}}}}}}
.
Montrer que pour tous réels positifs
α
,
β
{\displaystyle \alpha ,\beta }
, la fonction
h
:
R
+
∗
→
R
,
x
↦
x
2
α
+
β
x
2
{\displaystyle h:\mathbb {R} _{+}^{*}\to \mathbb {R} ,\,x\mapsto {\sqrt {x^{2}\alpha +{\frac {\beta }{x^{2}}}}}}
a une dérivée seconde constamment positive.
En déduire que
∀
t
∈
R
∀
a
≥
R
h
t
(
a
)
≥
h
t
(
R
)
+
(
a
−
R
)
h
t
′
(
R
)
{\displaystyle \forall t\in \mathbb {R} \quad \forall a\geq R\quad h_{t}(a)\geq h_{t}(R)+\left(a-R\right)h'_{t}(R)}
.
En déduire que
∀
a
≥
R
ℓ
(
a
)
≥
ℓ
(
R
)
{\displaystyle \forall a\geq R\quad \ell (a)\geq \ell (R)}
.
Solution
La fonction
h
{\displaystyle h}
est de classe C∞ et (sauf dans le cas trivial
α
=
β
=
0
{\displaystyle \alpha =\beta =0}
) strictement positive.
En dérivant deux fois
h
2
{\displaystyle h^{2}}
, on obtient (pour tout
x
>
0
{\displaystyle x>0}
) :
h
(
x
)
h
′
(
x
)
=
α
x
−
β
x
3
{\displaystyle h(x)h'(x)=\alpha x-{\frac {\beta }{x^{3}}}}
puis
(
h
′
(
x
)
)
2
+
h
(
x
)
h
″
(
x
)
=
α
+
3
β
x
4
{\displaystyle \left(h'(x)\right)^{2}+h(x)h''(x)=\alpha +{\frac {3\beta }{x^{4}}}}
, donc
h
3
(
x
)
h
″
(
x
)
=
(
α
+
3
β
x
4
)
(
α
x
2
+
β
x
2
)
−
(
α
x
−
β
x
3
)
2
=
6
α
β
x
2
+
2
β
2
x
6
≥
0
{\displaystyle h^{3}(x)h''(x)=\left(\alpha +{\frac {3\beta }{x^{4}}}\right)\left(\alpha x^{2}+{\frac {\beta }{x^{2}}}\right)-\left(\alpha x-{\frac {\beta }{x^{3}}}\right)^{2}={\frac {6\alpha \beta }{x^{2}}}+{\frac {2\beta ^{2}}{x^{6}}}\geq 0}
donc
h
″
(
x
)
≥
0
{\displaystyle h''(x)\geq 0}
.
D'après le théorème des accroissements finis , pour tout
a
>
R
{\displaystyle a>R}
, il existe
c
∈
]
R
,
a
[
{\displaystyle c\in \left]R,a\right[}
tel que
h
t
(
a
)
−
h
t
(
R
)
a
−
R
=
h
t
′
(
c
)
{\displaystyle {\frac {h_{t}(a)-h_{t}(R)}{a-R}}=h'_{t}(c)}
et d'après la question précédente,
h
t
′
(
c
)
≥
h
t
′
(
R
)
{\displaystyle h'_{t}(c)\geq h'_{t}(R)}
.
Remarque
C'est une propriété caractéristique des fonctions dérivables convexes .
D'après la question précédente,
∀
a
≥
R
ℓ
(
a
)
≥
ℓ
(
R
)
+
(
a
−
R
)
∫
0
2
π
h
t
′
(
R
)
d
t
{\displaystyle \forall a\geq R\quad \ell (a)\geq \ell (R)+\left(a-R\right)\int _{0}^{2\pi }h'_{t}(R)\,\mathrm {d} t}
.
Or (cf. question 1)
h
t
′
(
x
)
=
x
sin
2
t
−
R
4
cos
2
t
x
3
h
t
(
x
)
{\displaystyle h'_{t}(x)={\frac {x\sin ^{2}t-{\frac {R^{4}\cos ^{2}t}{x^{3}}}}{h_{t}(x)}}}
,
en particulier
h
t
′
(
R
)
=
R
sin
2
t
−
cos
2
t
h
t
(
R
)
=
−
cos
2
t
{\displaystyle h'_{t}(R)=R\,{\frac {\sin ^{2}t-\cos ^{2}t}{h_{t}(R)}}=-\cos 2t}
,
donc
∫
0
2
π
h
t
′
(
R
)
d
t
=
0
{\displaystyle \int _{0}^{2\pi }h'_{t}(R)\,\mathrm {d} t=0}
.
Pour
s
≥
0
{\displaystyle s\geq 0}
, on considère la fonction
f
s
:
[
−
1
,
1
]
→
R
,
x
↦
s
(
1
−
x
2
)
{\displaystyle f_{s}:\left[-1,1\right]\to \mathbb {R} ,\ x\mapsto s\left(1-x^{2}\right)}
.
Dessiner sa courbe représentative
C
s
{\displaystyle {\mathcal {C}}_{s}}
.
Calculer la longueur de cette courbe.
Calculer la longueur de la courbe
x
∈
[
0
,
1
]
,
y
=
x
2
{\displaystyle x\in \left[0,1\right],\;y=x^{2}}
.
Solution
Si
s
>
0
{\displaystyle s>0}
,
C
s
{\displaystyle {\mathcal {C}}_{s}}
est un arc de parabole , d'extrémités
(
−
1
,
0
)
{\displaystyle \left(-1,0\right)}
et
(
1
,
0
)
{\displaystyle \left(1,0\right)}
et de sommet
(
0
,
s
)
{\displaystyle \left(0,s\right)}
. Pour
s
=
0
{\displaystyle s=0}
,
C
s
{\displaystyle {\mathcal {C}}_{s}}
dégénère en un segment.
L
(
C
s
)
=
∫
−
1
1
1
+
(
f
s
′
(
x
)
)
2
d
x
=
∫
−
1
1
1
+
4
s
2
x
2
d
x
{\displaystyle L\left({\mathcal {C}}_{s}\right)=\int _{-1}^{1}{\sqrt {1+\left(f'_{s}(x)\right)^{2}}}\,\mathrm {d} x=\int _{-1}^{1}{\sqrt {1+4s^{2}x^{2}}}\,\mathrm {d} x}
.
Sans surprise, la longueur minimale est donc
L
(
C
0
)
=
2
{\displaystyle L\left({\mathcal {C}}_{0}\right)=2}
.
Pour
s
>
0
{\displaystyle s>0}
, on effectue un changement de variable approprié :
On peut choisir
2
s
x
=
tan
t
{\displaystyle 2sx=\tan t}
puis calculer une primitive sur
]
−
π
/
2
,
π
/
2
[
{\displaystyle \left]-\pi /2,\pi /2\right[}
de
1
cos
3
{\displaystyle {\frac {1}{\cos ^{3}}}}
, soit en calculant d'abord une primitive de
1
cos
{\displaystyle {\frac {1}{\cos }}}
puis en intégrant par parties (cf. Intégration en mathématiques, Exercice 17-2 ), soit en faisant le même changement de variable
u
=
sin
t
{\displaystyle u=\sin t}
que pour intégrer
1
cos
t
{\displaystyle {\frac {1}{\cos t}}}
, suivi d'une décomposition en éléments simples :
∫
d
t
cos
3
t
=
∫
d
u
(
1
−
u
2
)
2
=
∫
(
1
(
u
+
1
)
2
+
1
(
u
−
1
)
2
+
1
u
+
1
−
1
u
−
1
)
d
u
4
=
1
4
[
2
u
1
−
u
2
+
ln
1
+
u
1
−
u
]
=
1
2
[
u
1
−
u
2
+
ln
1
+
u
1
−
u
2
]
=
1
2
[
tan
cos
+
ln
(
tan
+
1
cos
)
]
,
{\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {\mathrm {d} t}{\cos ^{3}t}}&=\int {\frac {\mathrm {d} u}{(1-u^{2})^{2}}}\\&=\int \left({\frac {1}{(u+1)^{2}}}+{\frac {1}{(u-1)^{2}}}+{\frac {1}{u+1}}-{\frac {1}{u-1}}\right){\frac {\mathrm {d} u}{4}}\\&={\frac {1}{4}}\left[{\frac {2u}{1-u^{2}}}+\ln {\frac {1+u}{1-u}}\right]\\&={\frac {1}{2}}\left[{\frac {u}{1-u^{2}}}+\ln {\frac {1+u}{\sqrt {1-u^{2}}}}\right]\\&={\frac {1}{2}}\left[{\frac {\tan }{\cos }}+\ln \left(\tan +{\frac {1}{\cos }}\right)\right],\end{aligned}}}
ce qui donne :
L
(
C
s
)
=
1
2
s
∫
−
arctan
2
s
arctan
2
s
d
t
cos
3
t
=
1
4
s
(
2
×
2
s
1
+
4
s
2
+
ln
2
s
+
1
+
4
s
2
−
2
s
+
1
+
4
s
2
)
=
1
+
4
s
2
+
1
4
s
ln
(
2
s
+
1
+
4
s
2
)
2
(
1
+
4
s
2
−
2
s
)
(
1
+
4
s
2
+
2
s
)
=
1
+
4
s
2
+
1
2
s
ln
(
2
s
+
1
+
4
s
2
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}L\left({\mathcal {C}}_{s}\right)&={\frac {1}{2s}}\int _{-\arctan 2s}^{\arctan 2s}{\frac {\mathrm {d} t}{\cos ^{3}t}}\\&={\frac {1}{4s}}\left(2\times 2s{\sqrt {1+4s^{2}}}+\ln {\frac {2s+{\sqrt {1+4s^{2}}}}{-2s+{\sqrt {1+4s^{2}}}}}\right)\\&={\sqrt {1+4s^{2}}}+{\frac {1}{4s}}\ln {\frac {\left(2s+{\sqrt {1+4s^{2}}}\right)^{2}}{\left({\sqrt {1+4s^{2}}}-2s\right)\left({\sqrt {1+4s^{2}}}+2s\right)}}\\&={\sqrt {1+4s^{2}}}+{\frac {1}{2s}}\ln \left(2s+{\sqrt {1+4s^{2}}}\right).\end{aligned}}}
Un autre changement de variable possible est
2
s
x
=
sinh
u
{\displaystyle 2sx=\sinh u}
(cf. Trigonométrie hyperbolique ), qui donne bien sûr le même résultat :
L
(
C
s
)
=
1
2
s
∫
−
arsinh
2
s
arsinh
2
s
cosh
2
u
d
u
=
1
2
s
∫
−
arsinh
2
s
arsinh
2
s
1
+
cosh
2
u
2
d
u
=
1
2
s
[
u
2
+
sinh
2
u
4
]
−
arsinh
2
s
arsinh
2
s
=
arsinh
2
s
2
s
+
1
+
4
s
2
=
ln
(
2
s
+
1
+
4
s
2
)
2
s
+
1
+
4
s
2
.
{\displaystyle {\begin{aligned}L\left({\mathcal {C}}_{s}\right)&={\frac {1}{2s}}\int _{-\operatorname {arsinh} 2s}^{\operatorname {arsinh} 2s}\cosh ^{2}u\,\mathrm {d} u={\frac {1}{2s}}\int _{-\operatorname {arsinh} 2s}^{\operatorname {arsinh} 2s}{\frac {1+\cosh 2u}{2}}\,\mathrm {d} u\\&={\frac {1}{2s}}\left[{\frac {u}{2}}+{\frac {\sinh 2u}{4}}\right]_{-\operatorname {arsinh} 2s}^{\operatorname {arsinh} 2s}={\frac {\operatorname {arsinh} 2s}{2s}}+{\sqrt {1+4s^{2}}}\\&={\frac {\ln \left(2s+{\sqrt {1+4s^{2}}}\right)}{2s}}+{\sqrt {1+4s^{2}}}.\end{aligned}}}
L
=
∫
0
1
1
+
4
x
2
d
x
=
1
2
L
(
C
1
)
=
5
2
+
1
4
ln
(
2
+
5
)
{\displaystyle L=\int _{0}^{1}{\sqrt {1+4x^{2}}}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}L\left({\mathcal {C}}_{1}\right)={\frac {\sqrt {5}}{2}}+{\frac {1}{4}}\ln \left(2+{\sqrt {5}}\right)}
.
Soit
a
>
0
{\displaystyle a>0}
. Calculer la longueur de l'astroïde
x
=
a
cos
3
t
,
y
=
a
sin
3
t
{\displaystyle x=a\cos ^{3}t,y=a\sin ^{3}t}
.
Soit
R
>
0
{\displaystyle R>0}
. Calculer la longueur d'une arche de cycloïde
x
=
R
(
t
−
sin
t
)
,
y
=
R
(
1
−
cos
t
)
,
t
∈
[
0
,
2
π
]
{\displaystyle x=R\left(t-\sin t\right),\;y=R\left(1-\cos t\right),\;t\in [0,2\pi ]}
.
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Déterminer la longueur de la courbe
y
=
x
(
1
−
x
3
)
{\displaystyle y={\sqrt {x}}\left(1-{\frac {x}{3}}\right)}
pour
0
≤
x
≤
3
{\displaystyle 0\leq x\leq 3}
.
Calculer la longueur de la néphroïde paramétrée par
x
=
3
cos
t
−
cos
(
3
t
)
,
y
=
3
sin
t
−
sin
(
3
t
)
,
t
∈
[
0
,
2
π
]
{\displaystyle x=3\cos t-\cos(3t),\;y=3\sin t-\sin(3t),\;t\in [0,2\pi ]}
.
Calculer la longueur de la courbe
(
x
,
y
,
z
)
=
(
t
2
,
2
t
,
ln
t
)
,
1
≤
t
≤
e
{\displaystyle (x,y,z)=(t^{2},2t,\ln t),\;1\leq t\leq \mathrm {e} }
.
On considère une courbe plane définie par
x
=
r
(
θ
)
cos
θ
,
y
=
r
(
θ
)
sin
θ
,
θ
∈
[
a
,
b
]
{\displaystyle x=r(\theta )\cos \theta ,\;y=r(\theta )\sin \theta ,\;\theta \in [a,b]}
où
r
{\displaystyle r}
est une fonction C1 sur
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
. Montrer que la longueur de cette courbe est
∫
a
b
r
2
(
θ
)
+
(
r
′
)
2
(
θ
)
d
θ
{\displaystyle \int _{a}^{b}{\sqrt {r^{2}(\theta )+(r')^{2}(\theta )}}\;\mathrm {d} \theta }
.
Calculer la longueur de la courbe d'équation polaire
r
(
θ
)
=
cos
θ
,
θ
∈
[
0
,
π
2
]
{\displaystyle r(\theta )=\cos \theta ,\;\theta \in \left[0,{\frac {\pi }{2}}\right]}
.
Calculer la longueur de la cardioïde d'équation polaire
r
(
θ
)
=
1
+
cos
θ
,
θ
∈
[
−
π
,
π
]
{\displaystyle r(\theta )=1+\cos \theta ,\;\theta \in [-\pi ,\pi ]}
.