Intégration de Riemann/Exercices/Calculs de longueurs

On utilisera que la longueur d'une courbe plane paramétrée est

Calculs de longueurs
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Exercices no2
Leçon : Intégration de Riemann

Exercices de niveau 14.

Exo préc. :Primitives et fonctions trigonométriques inverses
Exo suiv. :Calculs d'aires
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Intégration de Riemann/Exercices/Calculs de longueurs
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Exercice 2-1

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Soit  . Calculer la longueur du cercle  , paramétré par  .

Exercice 2-2

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Soit  . Montrer que la longueur de l'ellipse   est égale à

 

(il s'agit d'une intégrale elliptique, qu'on ne demande donc pas de calculer).

Soit  . On s'intéresse aux ellipses   pour   (ce sont toutes celles délimitant un domaine de même aire  , cf. Exercice 3-3).

On veut montrer que celle de longueur minimale est le cercle  . On note donc, pour tout   :

 , avec  .
  1. Montrer que pour tous réels positifs  , la fonction
     
    a une dérivée seconde constamment positive.
  2. En déduire que  .
  3. En déduire que  .

Exercice 2-3

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Pour  , on considère la fonction  .

  1. Dessiner sa courbe représentative  .
  2. Calculer la longueur de cette courbe.
  3. Calculer la longueur de la courbe  .

Exercice 2-4

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  1. Soit  . Calculer la longueur de l'astroïde  .
  2. Soit  . Calculer la longueur d'une arche de cycloïde  .

Exercice 2-5

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Wikipédia possède un article à propos de « Néphroïde ».
  1. Déterminer la longueur de la courbe   pour  .
  2. Calculer la longueur de la néphroïde paramétrée par  .
  3. Calculer la longueur de la courbe  .

Exercice 2-6

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  1. On considère une courbe plane définie par    est une fonction C1 sur  .
    Montrer que la longueur de cette courbe est  .
  2. Calculer la longueur de la courbe d'équation polaire  .
  3. Calculer la longueur de la cardioïde d'équation polaire  .