Intégration de Riemann/Exercices/Propriétés de l'intégrale

Propriétés de l'intégrale
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Exercices no4
Leçon : Intégration de Riemann

Exercices de niveau 14.

Exo préc. :Calculs d'aires
Exo suiv. :Intégrales impropres
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Intégration de Riemann/Exercices/Propriétés de l'intégrale
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Exercice 4-1

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Soit   continue telle que  .

Montrer que   est constante et égale à 0 ou 1.

Soit   continue. Montrer que   si et seulement si   est de signe constant.

Exercice 4-2

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Soit   continue telle que  

Montrer qu’il existe   tel que  

Exercice 4-3

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Montrer que la suite définie par   converge et calculer sa limite.

Calculer de même les limites de

 .

Exercice 4-4

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  • Soient   une fonction continue,  -périodique sur  , et   dans  . Montrer que  .
  • Soit   continue sur  ,  -périodique, telle que  . Montrer que  .
  • Soient   une fonction impaire sur  , et  . Que dire de   ? Quid si   est paire ?

Exercice 4-5

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Soit   et   de classe   telle que  . Montrer que :

 

Exercice 4-6

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Soit   et   de classe  . Montrer que :

 .

Exercice 4-7

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Référence : Frédéric Paulin, « Topologie, analyse et calcul différentiel », , p. 260, lemme 7.23

Soient  ,   et   une fonction continue telle que

 .

Démontrer que  .

Exercice 4-8

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Soient   et   des fonctions continues sur un intervalle   (avec  ).

On suppose que   est croissante et que   prend ses valeurs dans  . On pose :

 .
  1. Étudier les variations de la fonction   définie par :
     .
    Montrer que  .
  2. Comparer les fonctions   et   définies par :
      ;
     .
  3. Démontrer que :
     .
    Dans quel cas a-t-on l'égalité ?

Exercice 4-9

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Soient   un nombre complexe de partie réelle strictement positive et   une application de classe C1 telle que  . Montrer que  .

Exercice 4-10

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Soient   une application continue et  .

  1. Montrer que si   admet en   une limite   (finie ou infinie) alors  .
  2. Donner un exemple où   n'a pas de limite en   mais  .

Exercice 4-11

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Soient   continues, strictement positives, et équivalentes en  . Montrer que :

  • si   converge alors  .
  • si   diverge alors  .

Exercice 4-12

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Soient   tels que   et   une fonction intégrable. Pour  , on pose :  .

  1. Soit   un majorant de   sur   (pourquoi un tel   existe-t-il ?). Montrer que pour tous   on a :  .
  2. En déduire que la fonction   est continue sur  .

Soient   tels que   et   une fonction bornée, localement intégrable sur  . Montrer que   est intégrable sur  .

Exercice 4-13

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Soient   tels que   et   une fonction de classe C1. Montrer que :

 .

Démontrer la même convergence vers 0 pour une fonction   en escalier.

Soit   une fonction continue. Montrer que

 .

(On pourra faire le changement de variable  .)

Exercice 4-14

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Pour   on pose

 .
  1. Montrer que   est de classe C1.
  2. Montrer que   est impaire.
  3. Étudier les variations de   sur  .
  4. Soit  .
    1. Montrer que pour tout   on a :  .
    2. En déduire que  .
    3. Étudier la limite de   quand   tend vers  .

Pour   on pose

 .
  1. Montrer que   est bien définie et C1 et  .
  2. Montrer qu'elle admet en 0 une limite, que l'on notera  .
  3. Montrer qu'en 0,   (ainsi prolongée) est dérivable.
  4. Calculer ses limites en   et  .

Lien externe

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