Intégration de Riemann/Exercices/Intégrales impropres

Intégrales impropres
Image logo représentative de la faculté
Exercices no5
Leçon : Intégration de Riemann
Chapitre du cours : Intégrales généralisées

Exercices de niveau 14.

Exo préc. :Propriétés de l'intégrale
Exo suiv. :Calcul numérique d'une intégrale
Icon falscher Titel.svg
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Intégrales impropres
Intégration de Riemann/Exercices/Intégrales impropres
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.




Soient .

Exercice 5-1Modifier

Nature de :

  1.  ,   ?
  2.   ?
  3.   et   ?   ?
  4.   ?
  5.   ?
  6.   ?
  7.   et   ?
  8.   ?
  9.   ?
  10.   ?
  11.   ?
  12.   ?
  13.   et   ?

Exercice 5-2Modifier

Nature de :

  1.   et   ?
  2.   ?
  3.   ?
  4.  , si   ?

Exercice 5-3Modifier

Nature de   et de   ?

Nature de :

  1.   ?
  2.   ?
  3.   ?
  4.   et   ?
  5.   ?
  6.   ?
  7.  ,   et   ?
  8.   ?
  9.   ?

Exercice 5-4Modifier

Soient   une fonction localement intégrable, et  . On suppose que  . Est-il vrai que sous cette hypothèse :

  1. Si l'intégrale   converge alors   ?
  2. Si   est positive alors l'intégrale   converge ?
  3. Si   est positive alors l'intégrale   converge ?
  4. Si   est positive alors   ?
  5. Si   admet en   une limite (finie ou infinie), alors l'intégrale   converge ?
  6. Si   est dérivable et de dérivée bornée, alors l'intégrale   converge ?

Exercice 5-5Modifier

En admettant, bien que vous soyez supposé(e) savoir le trouver par vous-même, que

  avec  ,

calculer :

  1.   ;
  2.   ;
  3.  .

Exercice 5-6Modifier

Pour quelle valeur de   l'intégrale

 

est-elle convergente ? La calculer dans ce cas.

Rappel : une primitive de   est  .

Exercice 5-7Modifier

Montrer la convergence et calculer :

  1.  ,  ,   et   ;
  2.   et   ;
  3.   et   ;
  4.   ;
  5.   ;
  6.   ;
  7.   ;
  8.   ;
  9.   ;
  10.   ou plus généralement,   avec   et   ;
  11.   et   ( ) ;
  12.   ;
  13.   et   ( ) ;
  14.  .
  15.   pour   et   ;
  16.   et   ;
  17.   pour   et   pour   ;
  18.  .

Exercice 5-8Modifier

Soit  .

  1. Signification physique pour un toboggan   ?
  2. Convergence et calcul pour une planche   ?
  3. Et pour   ?

Exercice 5-9Modifier

Soit   une fonction continue telle que   converge et soient  . Pour tout  , on pose :

 .
  1. Montrer que  .
  2. Montrer que si une fonction   est continue et nulle en  , alors  .
  3. Déduire des deux questions précédentes que
     .
  4. Application : montrer que  .

Exercice 5-10Modifier

Nature de   ?

Exercice 5-11Modifier

Soit   une fonction uniformément continue sur   et telle que   converge. Montrer que  .

Exercice 5-12Modifier

Calculer   et  .