On va se limiter au cadre de la géométrie élémentaire pour introduire la notion de barycentre d'un système de points avec son utilisation pratique en physique.
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) : Barycentre d'un système de points Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Barycentre d'un système de points », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Cette notion peut être introduite dès lors qu'on associe à chaque point une grandeur non nulle caractérisant le point et étant additive, on dit alors que les points sont « pondérés » par cette grandeur, celle-ci définissant le cœfficient affecté au point[1].
Définition du barycentre d'un système de deux points pondérésModifier
Soit le système de deux points pondérés , les cœfficients affectés aux points étant tous deux , on appelle barycentre de ce système de deux points pondérés
le point tel que «».
Condition d'existence et d'unicité : Supposons l'existence du barycentre du système et appliquons la relation de Chasles [2] que l'on reporte dans la définition de soit d'où l'équation suivante ;
Condition d'existence et d'unicité : on en déduit une C.N. [3] d'existence du barycentre du système qui est «» et sous cette condition on obtient une solution unique «».
Conclusion : le barycentre du système n'existe et est unique que si «».
Remarque : On peut prolonger la définition du barycentre du système au cas où à condition d'admettre que le barycentre puisse être un point à l'infini sur une direction, ainsi de on déduit que « le barycentre du système avec est le point à l'infini de la direction » [4].
Vecteur position du barycentre du système de deux points pondérésModifier
étant un point quelconque de l'espace, on utilise la relation de Chasles [2] pour réécrire que l'on reporte dans la définition du barycentre «» [5] soit, dans la mesure où on souhaite que le barycentre reste à distance finie c.-à-d. ,
«».
Méthode de construction du barycentre du système de deux points pondérésModifier
Exposé de la méthode de construction du barycentre du système par utilisation du théorème de Thalès [6]
Le point étant un point quelconque peut être choisi en un des points par exemple et la formule précisant le vecteur position du barycentre se réécrit selon établissant que le point se trouve sur la droite plus précisément
si et sont tous deux , se trouve sur le segment situé, à partir de à la fraction de la longueur du segment , les points , et sont alignés dans l'ordre ;
si est et de valeur absolue , se trouve au-delà du segment situé, à partir de à la fraction de la longueur du segment , les points , et sont alignés dans l'ordre ;
si est et de valeur absolue , se trouve en-deçà du segment situé, à partir de à la fraction de la longueur du segment , les points , et sont alignés dans l'ordre .
Exemple de construction : Soit à construire le barycentre du système d'après ce qui précède on en déduit c.-à-d. que se trouve sur le segment au de la longueur du segment à partir de voir construction ci-contre utilisant le théorème de Thalès [6]
Si est le barycentre du système avec , on établit aisément que
pour tout réel , le barycentre du système est encore ;
en effet la définition du barycentre du système étant , multipliant cette dernière par et utilisant la distributivité de la multiplication par un scalaire relativement à l'addition vectorielle on obtient c.-à-d. la définition du barycentre du système .
Cas particulier : isobarycentre d'un système de deux pointsModifier
On parle d'« isobarycentre d'un système de deux points » quand les cœfficients qui leur sont affectés sont égaux ou si tous les cœfficients sont égaux à ;
propriété : l'isobarycentre d'un système de deux points est le milieu su segment joignant les deux points.
On généralise aisément la notion de barycentre à un système de trois points pondérés
Définition du barycentre d'un système de trois points pondérésModifier
Soit le système de trois points pondérés , les cœfficients affectés aux points étant tous trois , on appelle barycentre de ce système de trois points pondérés
le point tel que «».
Condition d'existence et d'unicité : Supposons l'existence du barycentre du système et appliquons la relation de Chasles [2] et que l'on reporte dans la définition de soit d'où l'équation suivante ;
Condition d'existence et d'unicité : on en déduit une C.N. [3] d'existence du barycentre du système qui est «» et sous cette condition on obtient une solution unique «».
Conclusion : le barycentre du système n'existe et est unique que si «».
Remarque : On peut prolonger la définition du barycentre du système au cas où à condition d'admettre que le barycentre puisse être un point à l'infini sur une direction, ainsi de on déduit que « le barycentre du système des trois points avec est le point à l'infini de la direction du vecteur » [4].
Vecteur position du barycentre du système de trois points pondérésModifier
étant un point quelconque de l'espace, on utilise la relation de Chasles [2] pour réécrire que l'on reporte dans la définition du barycentre, ce qui donne la relation suivante [7] soit, dans la mesure où on souhaite que le barycentre reste à distance finie c.-à-d. ,
«».
Propriétés de commutativité et d'associativité de la prise de barycentre, notion de barycentre partielModifier
La définition du barycentre d'un système de deux ou trois points pondérés ne précisant pas l'ordre des points, la prise de barycentre est évidemment commutative ;
la prise de barycentre du système avec est aussi associative si c.-à-d. que le vecteur position du barycentre du système des trois points pondérés, étant un point quelconque pris pour origine, peut se réécrire en réduisant l'une quelconque des sommes vectorielles selon où les éléments du triplet sont respectivement les « barycentres partiels » du système des deux points pondérés , et ; ainsi la somme vectorielle peut se réécrire selon d'où trois façons de réécrire le vecteur position du barycentre du système des trois points pondérés en utilisant l'un des trois barycentres partiels
«».
Méthode de construction du barycentre du système de trois points pondérésModifier
La méthode la plus simple consiste à définir le barycentre partiel entre deux points judicieusement choisis par exemple entre et , le barycentre partiel étant puis à déterminer le barycentre du système des deux points pondérés lequel s'identifie au barycentre du système des trois points pondérés :
Disposition des trois atomes d'une molécule d'eau dans le but de déterminer leur barycentre, chaque atome étant affecté de son nombre de masse [8]
Exemple de construction du barycentre du système des trois atomes d'une molécule d'eau, chaque atome étant affecté de son nombre de masse[8] : une molécule d'eau est constitué de deux atomes d'hydrogène, notés et pour les distinguer mais ils sont bien entendu identiques liés à un atome d'oxygène, noté , l'angle entre les liaisons étant et la longueur de chaque liaison étant la même égale à [9], le nombre de masse d'un atome d'hydrogène étant et celui d'un atome d'oxygène ; on cherche donc le barycentre du système des trois atomes pondérés et pour cela on détermine d'abord l'isobarycentre des deux atomes d'hydrogène et qui est au milieu du segment joignant ces derniers, il est donc sur la bissectrice de l'angle situé à la distance de l’atome d'oxygène telle que en soit , puis on détermine le barycentre des deux points pondérés , étant sur la bissectrice de l'angle tel que , à la distance en soit .
Isobarycentre d'un système de trois points non alignés, conséquence sur la propriété des médianes d'un triangle quelconqueModifier
On parle d'« isobarycentre d'un système de trois points » quand les cœfficients qui leur sont affectés sont égaux ou si tous les cœfficients sont égaux à .
Schéma d'un triangle quelconque avec tracé des trois médianes issue de , issue de et issue de , propriété de concours de ces trois médianes en appelé centre de gravité du triangle
Propriété : l'isobarycentre du système de trois points peut se déterminer en faisant intervenir l'un des trois isobarycentre partiel dans ce qui suit les trois points sont non alignés de façon à former un triangle :
utiliser l'isobarycentre partiel du système qui est milieu du segment puis en déduire comme barycentre du système des deux points donc tel que établissant que se trouve sur la médiane au de la longueur de la médiane à partir de ou
utiliser l'isobarycentre partiel du système qui est milieu du segment puis en déduire comme barycentre du système des deux points donc tel que établissant que se trouve sur la médiane au de la longueur de la médiane à partir de ou enfin
utiliser l'isobarycentre partiel du système qui est milieu du segment puis en déduire comme barycentre du système des deux points donc tel que établissant que se trouve sur la médiane au de la longueur de la médiane à partir de ;
Propriété : on en déduit que les trois médianes d'un triangle quelconque sont concourantes, le point de concours , appelé « centre de gravité du triangle », étant, sur chaque médiane, au de sa longueur à partir du sommet ;
Propriété : le centre de gravité du triangle est donc défini par , son vecteur position relativement à un point quelconque étant [10].
On généralise la notion de barycentre à un système de points pondérés, [11]
Définition du barycentre d'un système de n points pondérésModifier
Soit le système de points pondérés , les cœfficients affectés aux points étant tous , on appelle barycentre de ce système depoints pondérés
le point tel que «».
Condition d'existence et d'unicité : On admet qu'une C.N. [3] d'existence du barycentre du système est
«» et
Condition d'existence et d'unicité : On admet que sous cette condition on obtient une solution unique.
Notion d'espace affine de direction l'espace vectoriel associéModifier
Étant donné un espace vectoriel sur le corps des réels on appelle espace affine de direction l'ensemble non vide muni d'une application qui, à chaque bipoint de associe un élément de noté vérifiant les deux propriétés suivantes :
, , il existe un translaté unique de par c.-à-d. tel que [12].
On définit la dimension de l'espace affine par celle de l'espace vectoriel qui lui est associé ;
exemples : espace affine de dimension encore appelé « droite affine » dont la direction est l'espace vectoriel généré par un vecteur ;
exemples : espace affine de dimension encore appelé « plan affine » dont la direction est l'espace vectoriel généré par deux vecteurs non colinéaires ;
exemples : espace affine de dimension représentant l'« espace affine de la physique newtonienne à trois degrés de liberté » dont la direction est l'espace vectoriel généré par trois vecteurs non coplanaires ;
exemples : espace affine de dimension dont la direction est l'espace vectoriel généré par , vecteurs libres [13], cet espace affine n'étant pas concevable par notre cerveau dont l'imaginaire peut représenter trois dimensions au maximum [14].
Propriété : si on fixe un point origine dans l'espace affine , il existe une application de dans sa direction qui, à tout point de associe le vecteur ; cette application est alors bijective [15].
Isobarycentre d'un système de quatre points non coplanaires, conséquence sur la propriété des médianes d'un tétraèdre quelconqueModifier
On parle d'« isobarycentre d'un système de quatre points » quand les cœfficients qui leur sont affectés sont égaux ou si tous les cœfficients sont égaux à .
Schéma d'un tétraèdre quelconque avec tracé de trois des quatre médianes issue de , issue de , issue de issue de n'ayant pas été tracée pour ne pas surcharger, propriété de concours de ces quatre médianes en appelé centre de gravité du tétraèdre
Propriété : l'isobarycentre du système de quatre points peut se déterminer en faisant intervenir l'un des quatre isobarycentres partiels dans ce qui suit les quatre points sont non coplanaires [16] de façon à former un tétraèdre :
utiliser l'isobarycentre partiel du système qui est centre de gravité de la face puis en déduire comme barycentre du système donc tel que établissant que se trouve sur la médiane [17] au de la longueur de la médiane à partir de ou
utiliser l'isobarycentre partiel du système qui est centre de gravité de la face puis en déduire comme barycentre du système donc tel que établissant que se trouve sur la médiane [17] au de la longueur de la médiane à partir de ou
utiliser l'isobarycentre partiel du système qui est centre de gravité de la face puis en déduire comme barycentre du système donc tel que établissant que se trouve sur la médiane [17] au de la longueur de la médiane à partir de ou enfin
utiliser l'isobarycentre partiel du système qui est centre de gravité de la face puis en déduire comme barycentre du système donc tel que établissant que se trouve sur la médiane [17] au de la longueur de la médiane à partir de ;
Propriété : on en déduit que les quatre médianes d'un tétraèdre quelconque sont concourantes, le point de concours , appelé « centre de gravité du tétraèdre », étant, sur chaque médiane, au de sa longueur à partir du sommet ;
Propriété : le centre de gravité du tétraèdre est donc défini selon la relation «», son vecteur position relativement à un point quelconque étant «» [18].
On se place dans un espace affine de direction l'espace vectoriel tous deux de dimension ;
soient une famille de points de et une famille de scalaires réels, on appelle
fonction vectorielle de Leibniz[19] associée au système de points pondérés de l'espace affine , « l'application de dans qui, au point associe le vecteur ».
Propriétés : si , la fonction vectorielle de Leibniz [19] associée au système de points pondérés de l'espace affine s'annule pour un unique point définissant le barycentre du système des points pondérés ; en conclusion
« si », « tel que » ;
Propriétés : « si », la fonction vectorielle de Leibniz [19] associée au système de points pondérés de l'espace affine peut être simplifiée en utilisant le barycentre du système des points pondérés selon
«» ;
Propriétés : « si », avec choisi comme origine du vecteur position du barycentre du système des points pondérés , on obtient
«».
Remarque : « si », on démontre que la fonction vectorielle de Leibniz [19] associée au système de points pondérés de l'espace affine à savoir est constante ; Remarque : « si », « en supposant » la constante s'écrit « avec le barycentre du système des points pondérés autres que », en effet
Remarque : « si », « en supposant si , « la somme se réécrivant » implique « l'existence et l'unicité du barycentre du système de points pondérés » soit «» ou encore «» que l'on reporte dans la définition de la fonction vectorielle de Leibniz [19] «» soit, par utilisation de la relation de Chasles [2] «» C.Q.F.D. [20].
Utilisation de la notion de barycentre à la détermination de lieu de points défini par une relation scalaire particulièreModifier
Lieu des points M tel que le rapport des distances à deux points distincts d'un espace affine euclidien à trois dimensions soit égal à un réel positif différent de unModifier
Espace vectoriel euclidien : un espace vectoriel est dit « euclidien » si on définit sur lui un produit scalaire de deux vecteurs.
Espace affine euclidien : un espace affine est dit « euclidien » si l'espace vectoriel direction de l'espace affine est « euclidien », la conséquence étant la possibilité de mesurer distances et angles dans l'espace affine « euclidien » ;
Espace affine euclidien : la distance entre deux points de l'espace affine « euclidien » de direction l'espace vectoriel étant l'application de dans défini par
«» ;
Espace affine euclidien : l'angle entre deux bipoints de l'espace affine « euclidien » de direction l'espace vectoriel étant l'application de dans [21] défini par
Problème posé : Trouver le lieu des points de l'espace affine « euclidien » de dimension tel que, étant deux points distincts de cet espace, le rapport des distances séparant de chacun des points est un réel strictement positif différent de , ou tel que «» [23].
Solution : La relation de définition de étant « avec », et , peut se réécrire «» ou encore «» soit finalement «» [24] ;
Solution : on réalise alors la réduction des sommes vectorielles «» en utilisant respectivement les barycentres du système des deux points pondérés , chaque barycentre existant et étant unique car la somme des cœfficients affectant chaque point de chacun des systèmes est non nulle [25] soit «» ce qui permet de réécrire la relation de définition du lieu cherché des points selon «» ou, avec , «» soit enfin
« le lieu des points tel que est la sphère de diamètre » où « est le barycentre du système » et « celui du système ».
On se place dans un espace affine euclidien de direction l'espace vectoriel euclidien tous deux de dimension ;
soient une famille de points de et une famille de scalaires réels, on appelle
fonction scalaire de Leibniz[19] associée au système de points pondérés de l'espace affine euclidien , « l'application de dans qui, au point associe le scalaire ».
Propriétés : « si », la fonction scalaire de Leibniz [19] associée au système de points pondérés de l'espace affine euclidien peut être réduit, en utilisant définissant le barycentre du système des points pondérés , selon
Propriétés : « si », en effet, par relation de Chasles [2], soit, en reportant dans la relation de définition de la fonction scalaire de Leibniz [19] et en développant les carrés scalaires «» ou, par définition « du barycentre du système des points pondérés », la fonction scalaire de Leibniz [19] se réécrit «» ;
Propriétés : « si », avec choisi comme origine du vecteur position du barycentre du système des points pondérés , on obtient
«».
Remarque : sachant que « si », la fonction vectorielle de Leibniz [19] associée au système de points pondérés de l'espace affine euclidien à savoir est constante s'écrivant, Remarque : sachant que « si » [27], selon « avec le barycentre du système des points pondérés autres que » [28] soit la réduction de la fonction scalaire de Leibniz [19] selon
«» avec point arbitrairement fixé ;
Remarque : sachant que si « », en effet « si avec », on en déduit « assurant l'existence et l'unicité du barycentre du système des points pondérés autres que » ;
Remarque : sachant que « si », en effet « si étant un point de choisi arbitrairement, l'utilisation de la relation de Chasles [2] conduisant à donne, en reportant dans la relation de définition de la fonction scalaire de Leibniz [19], en développant les carrés scalaires et en utilisant la nullité de la somme des cœfficients, la relation suivante «» où « dans la mesure où » C.Q.F.D. [20].
Prolongement de la notion de barycentre à un système continu de points pondérésModifier
On considère maintenant un système continu de points en chacun desquels est affectée une densité de cœfficient continue par morceaux, ces points décrivant une courbe, une surface ou une expansion tridimensionnelle toutes trois continues dans un espace affine euclidien à trois dimensions dans lequel est définie l'intégrabilité.
Barycentre d'un système continu de points décrivant une courbe continue en chacun desquels est affectée une densité linéique de cœfficient continue par morceauxModifier
Soit une courbe continue de point générique affecté d'une densité linéique de cœfficient continue par morceaux, on définit le barycentre de ce système de points par
«» [29] où est l'abscisse curviligne du point générique sur ;
on établit que la condition d'existence et d'unicité du barycentre du système de points est
on démontre aussi que le vecteur position du barycentre du système de points avec point quelconque de l'espace affine euclidien à trois dimensions dans lequel est définie la courbe s'écrit
Barycentre d'un système continu de points décrivant une surface continue en chacun desquels est affectée une densité surfacique de cœfficient continue par morceauxModifier
Soit une surface continue de point générique affecté d'une densité surfacique de cœfficient continue par morceaux, on définit le barycentre de ce système de points par
«» [30] où est l'aire élémentaire définie au point générique sur ;
on établit que la condition d'existence et d'unicité du barycentre du système de points