Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Barycentre d'un système de points

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     On va se limiter au cadre de la géométrie élémentaire pour introduire la notion de barycentre d'un système de points $\;{\big (}$avec son utilisation pratique en physique${\big )}$.

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Barycentre de deux points

     Cette notion peut être introduite dès lors qu'on associe à chaque point une grandeur additive, non nulle caractérisant le point,
     Cette notion peut être introduite dès lors qu'on dit alors que les points sont « pondérés » par cette grandeur, celle-ci définissant le cœfficient affecté au point .

Définition du barycentre d'un système de deux points pondérés

     Soit le système de deux points pondérés $\;\left\lbrace A\,(\alpha )\,,\,B\,(\beta )\right\rbrace$, les cœfficients affectés aux points étant tous deux $\;\neq 0$, on appelle
     Soit le barycentre de ce système de deux points pondérés le point $\;G\;$ tel que «$\;\alpha \;{\overrightarrow {GA}}+\beta \;{\overrightarrow {GB}}={\vec {0}}\;$».

     Condition d'existence et d'unicité : Supposons l'existence du barycentre du système $\;\left\lbrace A\,(\alpha )\,,\,B\,(\beta )\right\rbrace \;$ et
     Condition d'existence et d'unicité : appliquons la relation de Chasles $\;{\overrightarrow {GB}}=$ ${\overrightarrow {GA}}+{\overrightarrow {AB}}\;$ que l'on reporte dans la définition de $\;G\;$ soit
     Condition d'existence et d'unicité : $\;\alpha \;{\overrightarrow {GA}}+\beta \left({\overrightarrow {GA}}+{\overrightarrow {AB}}\right)={\vec {0}}\;$ d'où l'équation suivante $\;\left(\alpha +\beta \right){\overrightarrow {GA}}=-\beta \;{\overrightarrow {AB}}$ ;
     Condition d'existence et d'unicité : on en déduit une C.N. d'existence du barycentre du système $\;\left\lbrace A\,(\alpha )\,,\,B\,(\beta )\right\rbrace \;$ qui est «$\;\alpha +\beta \neq 0\;$» et
     Condition d'existence et d'unicité : on en déduit sous cette condition on obtient une solution unique «$\;{\overrightarrow {GA}}=-{\dfrac {\beta }{\alpha +\beta }}\;{\overrightarrow {AB}}\;$».
     Condition d'existence et d'unicité : Conclusion : le barycentre du système $\;\left\lbrace A\,(\alpha )\,,\,B\,(\beta )\right\rbrace \;$ n'existe et est unique que si «$\;\alpha +\beta \neq 0\;$».

     Remarque : On peut prolonger la définition du barycentre du système $\;\left\lbrace A\,(\alpha )\,,\,B\,(\beta )\right\rbrace \;$ au cas où $\;\alpha +\beta =0\;$ à condition d'admettre que le barycentre puisse être un point à l'infini sur une direction, ainsi
     Remarque : de $\;\left(\alpha +\beta \right){\overrightarrow {AG}}=\beta \;{\overrightarrow {AB}}\;$ on déduit que « le barycentre du système $\;\left\lbrace A\,(\alpha )\,,\,B\,(\beta )\right\rbrace \;$ avec $\;\alpha +\beta =0\;$ est le point à l'infini de la direction $\;(AB)\;$» .

Vecteur position du barycentre du système de deux points pondérés

     $\;O\;$ étant un point quelconque de l'espace, on utilise la relation de Chasles pour réécrire $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\overrightarrow {GA}}={\overrightarrow {OA}}-{\overrightarrow {OG}}\\{\overrightarrow {GB}}={\overrightarrow {OB}}-{\overrightarrow {OG}}\end{array}}\right\rbrace \;$ que l'on reporte dans la définition du barycentre «$\;\alpha \;{\overrightarrow {GA}}+\beta \;{\overrightarrow {GB}}={\vec {0}}\;$» $\Rightarrow$
     $\;\color {transparent}{O}\;$ étant un point quelconque de l'espace, $\;\alpha \left[{\overrightarrow {OA}}-{\overrightarrow {OG}}\right]+\beta \left[{\overrightarrow {OB}}-{\overrightarrow {OG}}\right]={\vec {0}}\;$ $\Leftrightarrow$ «$\;\left(\alpha +\beta \right){\overrightarrow {OG}}=\alpha \;{\overrightarrow {OA}}+\beta \;{\overrightarrow {OB}}\;$» soit,
     $\;\color {transparent}{O}\;$ étant un point quelconque de l'espace, dans le cas d'un barycentre restant à distance finie c.-à-d. «$\;\alpha +\beta \neq 0\;$», «$\;{\overrightarrow {OG}}={\dfrac {\alpha }{\alpha +\beta }}\;{\overrightarrow {OA}}+{\dfrac {\beta }{\alpha +\beta }}\;{\overrightarrow {OB}}\;$».

Méthode de construction du barycentre du système de deux points pondérés

Exposé de la méthode de construction du barycentre du système $\;\left\lbrace A(1)\,,\,B(2)\right\rbrace \;$ par utilisation du théorème de Thalès

     Le point $\;O\;$ étant un point quelconque peut être choisi en un des points par exemple $\;A\;$ $\Rightarrow$
     la formule précisant le vecteur position du barycentre se réécrit selon $\;{\overrightarrow {AG}}={\cancel {{\dfrac {\alpha }{\alpha +\beta }}\;{\overrightarrow {AA}}}}\;+{\dfrac {\beta }{\alpha +\beta }}\;{\overrightarrow {AB}}\;$
     la formule précisant le vecteur position du barycentre établissant que le point $\;G\;$ se trouve sur la droite $\;(AB)\;$ plus précisément

• si $\;\alpha \;$ et $\;\beta \;$ sont tous deux $\;>0$, $\;G\;$ se trouve sur le segment $\;\left[AB\right]\;$
  si $\;\color {transparent}{\alpha }\;$ et $\;\color {transparent}{\beta }\;$ sont tous deux $\;\color {transparent}{>0}$, $\;\color {transparent}{G}\;$ situé, à partir de $\;A\;$ à la fraction $\;{\dfrac {\beta }{\alpha +\beta }}\;$ de la longueur du segment $\;\left[AB\right]$,
  si $\;\color {transparent}{\alpha }\;$ et $\;\color {transparent}{\beta }\;$ sont tous deux $\;\color {transparent}{>0}$, $\;\color {transparent}{G}\;$ les points $\;A$, $\;B\;$ et $\;G\;$ sont alignés dans l'ordre $\;A\,,\,G\,,\,B$ ;
• si $\;\beta \;$ est $\;>0\;$ et $\;\alpha <0\;$ de valeur absolue $\;\vert \alpha \vert <\beta$, $\;G\;$ se trouve au-delà du segment $\;\left[AB\right]\;$
  si $\;\color {transparent}{\beta }\;$ est $\;\color {transparent}{>0}\;$ et $\;\color {transparent}{\alpha <0}\;$ de valeur absolue $\;\color {transparent}{\vert \alpha \vert <\beta }$, $\;\color {transparent}{G}\;$ situé, à partir de $\;A\;$ à la fraction $\;{\dfrac {\beta }{\alpha +\beta }}>1\;$ de la longueur du segment $\;\left[AB\right]$,
  si $\;\color {transparent}{\beta }\;$ est $\;\color {transparent}{>0}\;$ et $\;\color {transparent}{\alpha <0}\;$ de valeur absolue $\;\color {transparent}{\vert \alpha \vert <\beta }$, $\;\color {transparent}{G}\;$ les points $\;A$, $\;B\;$ et $\;G\;$ sont alignés dans l'ordre $\;A\,,\,B\,,\,G$ ;
• si $\;\beta \;$ est $\;>0\;$ et $\;\alpha <0\;$ de valeur absolue $\;\vert \alpha \vert >\beta$, $\;G\;$ se trouve en-deçà du segment $\;\left[AB\right]\;$
  si $\;\color {transparent}{\beta }\;$ est $\;\color {transparent}{>0}\;$ et $\;\color {transparent}{\alpha <0}\;$ de valeur absolue $\;\color {transparent}{\vert \alpha \vert >\beta }$, $\;\color {transparent}{G}\;$ situé, à partir de $\;A\;$ à la fraction $\;{\dfrac {\beta }{\alpha +\beta }}<0\;$ de la longueur du segment $\;\left[AB\right]$,
  si $\;\color {transparent}{\beta }\;$ est $\;\color {transparent}{>0}\;$ et $\;\color {transparent}{\alpha <0}\;$ de valeur absolue $\;\color {transparent}{\vert \alpha \vert >\beta }$, $\;\color {transparent}{G}\;$ les points $\;A$, $\;B\;$ et $\;G\;$ sont alignés dans l'ordre $\;G\,,\,A\,,\,B$.

     Exemple de construction : Soit à construire le barycentre du système $\;\left\lbrace A\,(1)\,,\,B\,(2)\right\rbrace \;$
     Exemple de construction : d'après ce qui précède on en déduit $\;{\overrightarrow {AG}}={\dfrac {2}{3}}\;{\overrightarrow {AB}}\;$ c.-à-d. que
     Exemple de construction : d'après ce qui précède $\;G\;$ se trouve sur le segment $\;\left[AB\right]\;$ au $\;{\dfrac {2}{3}}\;$ de la longueur du segment à partir de $\;A\;$
     Exemple de construction : voir construction ci-dessus utilisant le théorème de Thalès .

Propriété d'homogénéité

     Si $\;G\;$ est le barycentre du système $\;\left\lbrace A\,(\alpha )\,,\,B\,(\beta )\right\rbrace \;$ avec $\;\alpha +\beta \neq 0$, $\Rightarrow$ « pour tout réel $\;k\neq 0$, le barycentre du système $\;\left\lbrace A\,(k\;\alpha )\,,\,B\,(k\;\beta )\right\rbrace \;$ est encore $\;G\;$».

     Démonstration : la définition du barycentre du système $\;\left\lbrace A\,(\alpha )\,,\,B\,(\beta )\right\rbrace \;$ étant $\;\alpha \;{\overrightarrow {GA}}+\beta \;{\overrightarrow {GB}}={\vec {0}}\;$, multipliant cette dernière par $\;k\neq 0\;$ et
        Démonstration : la définition du barycentre du système $\;\color {transparent}{\left\lbrace A\,(\alpha )\,,\,B\,(\beta )\right\rbrace }\;$ étant $\;\color {transparent}{\alpha \;{\overrightarrow {GA}}+\beta \;{\overrightarrow {GB}}={\vec {0}}}\;$, utilisant la distributivité de la multiplication par un scalaire relativement à l'addition vectorielle $\Rightarrow$
     Démonstration : la définition du barycentre du système $\;\color {transparent}{\left\lbrace A\,(\alpha )\,,\,B\,(\beta )\right\rbrace }\;$ étant $\;k\;\alpha \;{\overrightarrow {GA}}+k\;\beta \;{\overrightarrow {GB}}={\vec {0}}\;$ c.-à-d. la définition du barycentre du système $\;\left\lbrace A\,(k\;\alpha )\,,\,B\,(k\;\beta )\right\rbrace$.

Cas particulier : isobarycentre d'un système de deux points

     On parle d'« isobarycentre d'un système de deux points » quand les cœfficients qui leur sont affectés sont égaux ou si tous les cœfficients sont égaux à $\;1$ ;

     propriété : l'isobarycentre d'un système de deux points est le milieu du segment joignant les deux points.

Barycentre de trois points

     On généralise aisément la notion de barycentre à un système de trois points pondérés $\;\ldots$

Définition du barycentre d'un système de trois points pondérés

     Soit le système de trois points pondérés $\;\left\lbrace A\,(\alpha )\,,\,B\,(\beta )\,,\,C\,(\gamma )\right\rbrace$, les cœfficients affectés aux points étant tous trois $\;\neq 0$, on appelle
     Soit le barycentre de ce système de trois points pondérés le point $\;G\;$ tel que «$\;\alpha \;{\overrightarrow {GA}}+\beta \;{\overrightarrow {GB}}+\gamma \;{\overrightarrow {GC}}={\vec {0}}\;$».

     Condition d'existence et d'unicité : Supposons l'existence du barycentre du système $\;\left\lbrace A\,(\alpha )\,,\,B\,(\beta )\,,\,C\,(\gamma )\right\rbrace \;$ et
     Condition d'existence et d'unicité : appliquons les relations de Chasles $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\overrightarrow {GB}}={\overrightarrow {GA}}+{\overrightarrow {AB}}\\{\overrightarrow {GC}}={\overrightarrow {GA}}+{\overrightarrow {AC}}\end{array}}\right\rbrace \;$ que l'on reporte dans la définition de $\;G\;$ soit
     Condition d'existence et d'unicité : $\;\alpha \;{\overrightarrow {GA}}+\beta \left({\overrightarrow {GA}}+{\overrightarrow {AB}}\right)+\gamma \left({\overrightarrow {GA}}+{\overrightarrow {AC}}\right)={\vec {0}}\;$ d'où l'équation suivante $\;\left(\alpha +\beta +\gamma \right){\overrightarrow {GA}}=-\beta \;{\overrightarrow {AB}}-\gamma \;{\overrightarrow {AC}}$ ;
     Condition d'existence et d'unicité : on en déduit une C.N. d'existence du barycentre du système $\;\left\lbrace A\,(\alpha )\,,\,B\,(\beta )\,,\,C\,(\gamma )\right\rbrace \;$ qui est «$\;\alpha +\beta +\gamma \neq 0\;$» et
     Condition d'existence et d'unicité : on en déduit sous cette condition on obtient une solution unique «$\;{\overrightarrow {GA}}=-{\dfrac {\beta }{\alpha +\beta +\gamma }}\;{\overrightarrow {AB}}-{\dfrac {\gamma }{\alpha +\beta +\gamma }}\;{\overrightarrow {AC}}\;$».
     Condition d'existence et d'unicité : Conclusion : le barycentre du système $\;\left\lbrace A\,(\alpha )\,,\,B\,(\beta )\,,\,C\,(\gamma )\right\rbrace \;$ n'existe et est unique que si «$\;\alpha +\beta +\gamma \neq 0\;$».

     Remarque : On peut prolonger la définition du barycentre du système $\;\left\lbrace A\,(\alpha )\,,\,B\,(\beta )\,,\,C\,(\gamma )\right\rbrace \;$ au cas où $\;\alpha +\beta +\gamma =0\;$ si on admet que le barycentre puisse être le point à l'infini d'une direction, ainsi
     Remarque : de $\;\left(\alpha +\beta +\gamma \right){\overrightarrow {AG}}=\beta \;{\overrightarrow {AB}}+\gamma \;{\overrightarrow {AC}}\;$ on déduit que « le barycentre du système des trois points $\;\left\lbrace A\,(\alpha )\,,\,B\,(\beta )\,,\,C\,(\gamma )\right\rbrace \;$ avec $\;\alpha +\beta +\gamma =0\;$
     Remarque : de $\;\color {transparent}{\left(\alpha +\beta +\gamma \right){\overrightarrow {AG}}=\beta \;{\overrightarrow {AB}}+\gamma \;{\overrightarrow {AC}}}\;$ on déduit que « le barycentre du système des trois points $\;\color {transparent}{\left\lbrace A\,(\alpha )\,,\,B\,(\beta )\,,\,C\,(\gamma )\right\rbrace }\;$ est le point à l'infini de la direction de $\;\beta \;{\overrightarrow {AB}}+\gamma \;{\overrightarrow {AC}}\;$» .

Vecteur position du barycentre du système de trois points pondérés

     $\;O\;$ étant un point quelconque de l'espace, on utilise les relations de Chasles pour $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\overrightarrow {GA}}={\overrightarrow {OA}}-{\overrightarrow {OG}}\\{\overrightarrow {GB}}={\overrightarrow {OB}}-{\overrightarrow {OG}}\\{\overrightarrow {GC}}={\overrightarrow {OC}}-{\overrightarrow {OG}}\end{array}}\right\rbrace \;$ que l'on reporte dans la définition du barycentre «$\;\alpha \;{\overrightarrow {GA}}+\beta \;{\overrightarrow {GB}}+\gamma \;{\overrightarrow {GC}}={\vec {0}}\;$» $\Rightarrow$
     $\;\color {transparent}{O}\;$ étant un point quelconque de l'espace, $\;\alpha \left[{\overrightarrow {OA}}-{\overrightarrow {OG}}\right]+\beta \left[{\overrightarrow {OB}}-{\overrightarrow {OG}}\right]+\gamma \left[{\overrightarrow {OC}}-{\overrightarrow {OG}}\right]={\vec {0}}\Leftrightarrow \left(\alpha +\beta +\gamma \right){\overrightarrow {OG}}=\alpha \;{\overrightarrow {OA}}+\beta \;{\overrightarrow {OB}}+\gamma \;{\overrightarrow {OC}}\;$ soit,
     $\;\color {transparent}{O}\;$ étant un point quelconque de l'espace, dans le cas d'un barycentre restant à distance finie c.-à-d. «$\;\alpha +\beta +\gamma \neq 0\;$», «$\;{\overrightarrow {OG}}={\dfrac {\alpha }{\alpha +\beta +\gamma }}\;{\overrightarrow {OA}}+{\dfrac {\beta }{\alpha +\beta +\gamma }}\;{\overrightarrow {OB}}+{\dfrac {\gamma }{\alpha +\beta +\gamma }}\;{\overrightarrow {OC}}\;$».

Propriétés de commutativité et d'associativité de la prise de barycentre, notion de barycentre partiel

     La définition du barycentre d'un système de deux $\;{\big (}$ou trois${\big )}\;$ points pondérés ne précisant pas l'ordre des points, la prise de barycentre est évidemment commutative ;

     la prise de barycentre du système des trois points pondérés $\;\left\lbrace A\,(\alpha )\,,\,B\,(\beta )\,,\,C\,(\gamma )\right\rbrace \;$ avec $\;\alpha +\beta +\gamma \neq 0\;$
      la prise de barycentre du système des trois points pondérés est associative si $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\alpha +\beta \neq 0\\\beta +\gamma \neq 0\\\gamma +\alpha \neq 0\end{array}}\right\rbrace$, cela se traduisant alors, avec $\;O\;$ point quelconque pris pour origine, selon
      la prise de barycentre du système des trois points pondérés est associative le vecteur position $\;{\overrightarrow {OG}}\;$ du barycentre du système des trois points pondérés $\;\left\lbrace A\,(\alpha )\,,\,B\,(\beta )\,,\,C\,(\gamma )\right\rbrace \;$
      la prise de barycentre du système des trois points pondérés est associative le vecteur position $\;\color {transparent}{\overrightarrow {OG}}\;$ peut se réécrire en réduisant l'une quelconque des sommes vectorielles selon
     la prise de barycentre du système des trois points pondérés est associative le vecteur position $\;\color {transparent}{\overrightarrow {OG}}\;$ peut se réécrire en réduisant $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\alpha \;{\overrightarrow {OA}}+\beta \;{\overrightarrow {OB}}=\left(\alpha +\beta \right){\overrightarrow {OG_{A,\,B}}}\\\beta \;{\overrightarrow {OB}}+\gamma \;{\overrightarrow {OC}}=\left(\beta +\gamma \right){\overrightarrow {OG_{B,\,C}}}\\\gamma \;{\overrightarrow {OC}}+\alpha \;{\overrightarrow {OA}}=\left(\gamma +\alpha \right){\overrightarrow {OG_{C,\,A}}}\end{array}}\right\rbrace \;$ où les éléments du triplet
     la prise de barycentre du système des trois points pondérés est associative le vecteur position $\;\color {transparent}{\overrightarrow {OG}}\;$ $\;\left\lbrace G_{A,\,B}\,,\,G_{B,\,C}\,,\,G_{C,\,A}\right\rbrace \;$ sont respectivement les « barycentres partiels » du système des deux points
      la prise de barycentre du système des trois points pondérés est associative le vecteur position $\;\color {transparent}{\overrightarrow {OG}}\;$ pondérés $\;\left\lbrace A\,(\alpha )\,,\,B\,(\beta )\right\rbrace$, $\;\left\lbrace B\,(\beta )\,,\,C\,(\gamma )\right\rbrace \;$ et $\;\left\lbrace C\,(\gamma )\,,\,A\,(\alpha )\right\rbrace$ ; ainsi
      la prise de barycentre du système des trois points pondérés est associative le vecteur position $\;\color {transparent}{\overrightarrow {OG}}\;$ la somme vectorielle $\;\alpha \;{\overrightarrow {OA}}+\beta \;{\overrightarrow {OB}}+\gamma \;{\overrightarrow {OC}}\;$ peut se réécrire selon
      la prise de barycentre du système des trois points pondérés est associative le vecteur position $\;\color {transparent}{\overrightarrow {OG}}\;$ la somme vectorielle $\;\alpha \;{\overrightarrow {OA}}+\beta \;{\overrightarrow {OB}}+\gamma \;{\overrightarrow {OC}}=\left\lbrace {\begin{array}{l}\left(\alpha +\beta \right){\overrightarrow {OG_{A,\,B}}}+\gamma \;{\overrightarrow {OC}}\\\left(\beta +\gamma \right){\overrightarrow {OG_{B,\,C}}}+\alpha \;{\overrightarrow {OA}}\\\left(\gamma +\alpha \right){\overrightarrow {OG_{C,\,A}}}+\beta \;{\overrightarrow {OB}}\end{array}}\right\rbrace \;$ d'où
     la prise de barycentre du système des trois points pondérés est associative trois façons de réécrire le vecteur position $\;{\overrightarrow {OG}}\;$ du barycentre du système des trois points pondérés $\;\left\lbrace A\,(\alpha )\,,\,B\,(\beta )\,,\,C\,(\gamma )\right\rbrace \;$
     la prise de barycentre du système des trois points pondérés est associative trois façons de réécrire en utilisant l'un des trois barycentres partiels $\;\left\lbrace G_{A,\,B}\,,\,G_{B,\,C}\,,\,G_{C,\,A}\right\rbrace \;$
     la prise de barycentre du système des trois points pondérés est associative trois façons de réécrire «$\;{\overrightarrow {OG}}=\left\lbrace {\begin{array}{l}{\dfrac {\alpha +\beta }{\alpha +\beta +\gamma }}\;{\overrightarrow {OG_{A,\,B}}}+{\dfrac {\gamma }{\alpha +\beta +\gamma }}\;{\overrightarrow {OC}}\\{\dfrac {\beta +\gamma }{\alpha +\beta +\gamma }}\;{\overrightarrow {OG_{B,\,C}}}+{\dfrac {\alpha }{\alpha +\beta +\gamma }}\;{\overrightarrow {OA}}\\{\dfrac {\gamma +\alpha }{\alpha +\beta +\gamma }}\;{\overrightarrow {OG_{C,\,A}}}+{\dfrac {\beta }{\alpha +\beta +\gamma }}\;{\overrightarrow {OB}}\end{array}}\right\rbrace \;$».

Méthode de construction du barycentre du système de trois points pondérés

     La méthode la plus simple consiste à définir le barycentre partiel entre deux points judicieusement choisis par exemple entre $\;A\,(\alpha )\;$ et $\;B\,(\beta )$, le barycentre partiel étant $\;G_{A,\,B}\,(\alpha +\beta )\;$ puis
     La méthode la plus simple consiste à déterminer le barycentre $\;G\,(\alpha +\beta +\gamma )\;$ du système des deux points pondérés $\;\left\lbrace G_{A,\,B}\,(\alpha +\beta )\,,\,C\,(\gamma )\right\rbrace \;$ lequel
     La méthode la plus simple consiste à déterminer le barycentre $\;\color {transparent}{G\,(\alpha +\beta +\gamma )}\;$ s'identifie au barycentre du système des trois points pondérés $\;\left\lbrace A\,(\alpha )\,,\,B\,(\beta )\,,\,C\,(\gamma )\right\rbrace$ :

Disposition des trois atomes d'une molécule d'eau dans le but de déterminer leur barycentre, chaque atome étant affecté de son nombre de masse

     Exemple de construction du barycentre du système des trois atomes d'une molécule d'eau, chaque atome étant affecté de son nombre de masse  :
     Exemple de construction une molécule d'eau est constitué de deux atomes d'hydrogène, notés $\;H_{a}\;$ et $\;H_{b}\;$ pour les distinguer
     Exemple de construction une molécule d'eau est constitué de deux atomes d'hydrogène, liés à un atome d'oxygène, noté $\;O$,
     Exemple de construction une molécule d'eau est constitué l'angle entre les liaisons étant $\;{\widehat {H_{a}OH_{b}}}=\alpha \simeq 105\,{\text{°}}\;$ et
     Exemple de construction une molécule d'eau est constitué la longueur de chaque liaison $\;H\!-\!O\;$ étant la même égale à $\;d\simeq 0,96\;{\text{Å}}\;$,
     Exemple de construction une molécule d'eau est constitué le nombre de masse d'un atome d'hydrogène étant $\;1\;$ et celui d'un atome d'oxygène $\;16$ ;
     Exemple de construction on cherche donc le barycentre $\;G\;$ du système des trois atomes pondérés $\;\left\lbrace O\,(16)\,,\,H_{a}\,(1)\,,\,H_{b}\,(1)\right\rbrace \;$ et pour cela
     Exemple de construction on détermine d'abord l'isobarycentre $\;I\;$ des deux atomes d'hydrogène $\;H_{a}\;$ et $\;H_{b}\;$ qui est
     Exemple de construction on détermine d'abord l'isobarycentre $\;\color {transparent}{I}\;$ au milieu du segment joignant ces derniers , il est donc
     Exemple de construction on détermine d'abord l'isobarycentre $\;\color {transparent}{I}\;$ sur la bissectrice de l'angle $\;{\widehat {H_{a}OH_{b}}}=\alpha \;$ situé
     Exemple de construction on détermine d'abord l'isobarycentre $\;\color {transparent}{I}\;$ à la distance $\;OI=OH\;\cos \!\left({\dfrac {\alpha }{2}}\right)\;$ de l’atome d'oxygène, soit numériquement,
     Exemple de construction on détermine d'abord l'isobarycentre $\;\color {transparent}{I}\;$ à la distance $\;OI\simeq 0,96\times \cos(52,5\,{\text{°}})\;$ en $\;{\text{Å}}\;$ ou $\;OI\simeq 0,584\,{\text{Ǻ}}$, puis
     Exemple de construction on détermine le barycentre $\;G\;$ des deux points pondérés $\;\left\lbrace O\,(16)\,,\,I\,(2)\right\rbrace$, $\;G\;$ étant sur la bissectrice de l'angle $\;{\widehat {H_{a}OH_{b}}}=\alpha \;$
     Exemple de construction on détermine le barycentre $\;\color {transparent}{G}\;$ des deux points pondérés $\;\color {transparent}{\left\lbrace O\,(16)\,,\,I\,(2)\right\rbrace }$, $\;\color {transparent}{G}\;$ étant tel que $\;{\overrightarrow {OG}}={\cancel {{\dfrac {16}{18}}\;{\overrightarrow {OO}}}}+{\dfrac {2}{18}}\;{\overrightarrow {OI}}={\dfrac {1}{9}}\;{\overrightarrow {OI}}\;$,
     Exemple de construction on détermine le barycentre $\;\color {transparent}{G}\;$ des deux points pondérés $\;\color {transparent}{\left\lbrace O\,(16)\,,\,I\,(2)\right\rbrace }$, $\;\color {transparent}{G}\;$ étant à la distance $\;OG={\dfrac {OI}{9}}\simeq {\dfrac {0,584}{9}}\;$ en $\;{\text{Å}}\;$ soit $\;OG\simeq 0,065\,{\text{Ǻ}}$.

Isobarycentre d'un système de trois points non alignés, conséquence sur la propriété des médianes d'un triangle quelconque

     On parle d'« isobarycentre d'un système de trois points » quand les cœfficients qui leur sont affectés sont égaux ou si tous les cœfficients sont égaux à $\;1$.

Schéma d'un triangle $\;ABC\;$ quelconque avec tracé des trois médianes $\;AA'\;$ issue de $\;A$, $\;BB'\;$ issue de $\;B\;$ et $\;CC'\;$ issue de $\;C$, propriété de concours de ces trois médianes en $\;G\;$ appelé centre de gravité du triangle

     Propriété : l'isobarycentre du système de trois points $\;\left\lbrace A\,(1)\,,\,B\,(1)\,,\,C\,(1)\right\rbrace \;$ peut se déterminer en faisant intervenir l'un des trois isobarycentres partiels
     Propriété : l'isobarycentre du système de trois points $\;\color {transparent}{\left\lbrace A\,(1)\,,\,B\,(1)\,,\,C\,(1)\right\rbrace }\;$ ${\big [}$dans ce qui suit les trois points sont non alignés de façon à former un triangle${\big ]}$ :
     Propriété : l'isobarycentre du système de trois points $\bullet \;$utiliser l'isobarycentre partiel du système $\;\left\lbrace B\,(1)\,,\,C\,(1)\right\rbrace \;$ qui est $\;A'\;$ milieu du segment $\;\left[BC\right]\;$ puis
     Propriété : l'isobarycentre du système de trois points $\color {transparent}{\bullet }\;$en déduire $\;G\;$ comme barycentre du système des deux points $\;\left\lbrace A\,(1)\,,\,A'\,(2)\right\rbrace \;$ donc
     Propriété : l'isobarycentre du système de trois points $\color {transparent}{\bullet }\;$en déduire $\;\color {transparent}{G}\;$ tel que $\;{\overrightarrow {AG}}={\cancel {{\dfrac {1}{3}}\;{\overrightarrow {AA}}}}+{\dfrac {2}{3}}\;{\overrightarrow {AA'}}\;$ établissant que
     Propriété : l'isobarycentre du système de trois points $\color {transparent}{\bullet }\;$en déduire $\;G\;$ se trouve sur la médiane $\;\left(AA'\right)\;$ au $\;{\dfrac {2}{3}}\;$ de la longueur de la médiane à partir de $\;A\;$ ou
     Propriété : l'isobarycentre du système de trois points $\bullet \;$utiliser l'isobarycentre partiel du système $\;\left\lbrace A\,(1)\,,\,C\,(1)\right\rbrace \;$ qui est $\;B'\;$ milieu du segment $\;\left[AC\right]\;$ puis
     Propriété : l'isobarycentre du système de trois points $\color {transparent}{\bullet }\;$en déduire $\;G\;$ comme barycentre du système des deux points $\;\left\lbrace B\,(1)\,,\,B'\,(2)\right\rbrace \;$ donc
     Propriété : l'isobarycentre du système de trois points $\color {transparent}{\bullet }\;$en déduire $\;\color {transparent}{G}\;$ tel que $\;{\overrightarrow {BG}}={\cancel {{\dfrac {1}{3}}\;{\overrightarrow {BB}}}}+{\dfrac {2}{3}}\;{\overrightarrow {BB'}}\;$ établissant que
     Propriété : l'isobarycentre du système de trois points $\color {transparent}{\bullet }\;$en déduire $\;G\;$ se trouve sur la médiane $\;\left(BB'\right)\;$ au $\;{\dfrac {2}{3}}\;$ de la longueur de la médiane à partir de $\;B\;$ ou enfin
     Propriété : l'isobarycentre du système de trois points $\bullet \;$utiliser l'isobarycentre partiel du système $\;\left\lbrace A\,(1)\,,\,B\,(1)\right\rbrace \;$ qui est $\;C'\;$ milieu du segment $\;\left[AB\right]\;$ puis
     Propriété : l'isobarycentre du système de trois points $\color {transparent}{\bullet }\;$en déduire $\;G\;$ comme barycentre du système des deux points $\;\left\lbrace C\,(1)\,,\,C'\,(2)\right\rbrace \;$ donc
     Propriété : l'isobarycentre du système de trois points $\color {transparent}{\bullet }\;$en déduire $\;\color {transparent}{G}\;$ tel que $\;{\overrightarrow {CG}}={\cancel {{\dfrac {1}{3}}\;{\overrightarrow {CC}}}}+{\dfrac {2}{3}}\;{\overrightarrow {CC'}}\;$ établissant que
     Propriété : l'isobarycentre du système de trois points $\color {transparent}{\bullet }\;$en déduire $\;G\;$ se trouve sur la médiane $\;\left(CC'\right)\;$ au $\;{\dfrac {2}{3}}\;$ de la longueur de la médiane à partir de $\;C$ ;

     Propriété : on en déduit que les trois médianes d'un triangle quelconque sont concourantes, le point de concours $\;G$, appelé « centre de gravité du triangle »,
     Propriété : on en déduit que les trois médianes d'un triangle quelconque sont concourantes, le point de concours $\;\color {transparent}{G}$, étant, sur chaque médiane, au $\;{\dfrac {2}{3}}\;$ de sa longueur à partir du sommet ;

     Propriété : le centre de gravité $\;G\;$ du triangle $\;ABC\;$ est donc défini par «$\;{\overrightarrow {GA}}+{\overrightarrow {GB}}+{\overrightarrow {GC}}={\vec {0}}\;$»,
     Propriété : le centre de gravité $\;\color {transparent}{G}\;$ son vecteur position relativement à un point $\;O\;$ quelconque étant «$\;{\overrightarrow {OG}}={\dfrac {{\overrightarrow {OA}}+{\overrightarrow {OB}}+{\overrightarrow {OC}}}{3}}\;$» .

Barycentre de n points

     On généralise la notion de barycentre à un système de n points pondérés, $\;n\in \mathbb {N} ^{*}/\left\lbrace 1\right\rbrace \;$ $\;\ldots$

Définition du barycentre d'un système de n points pondérés

     Soit le système de $\;n\;$ points pondérés $\;\left\lbrace A_{1}\,(\alpha _{1})\,,\,A_{2}\,(\alpha _{2})\,,\,\ldots \,,\,A_{k}\,(\alpha _{k})\,,\,\ldots \,,\,A_{n}\,(\alpha _{n})\right\rbrace$, les cœfficients affectés aux points étant tous $\;\neq 0$, on appelle
     Soit le barycentre de ce système de n points pondérés le point $\;G\;$ tel que «$\;\sum \limits _{k=1}^{n}\alpha _{k}\;{\overrightarrow {GA_{k}}}={\vec {0}}\;$».

     Condition d'existence et d'unicité : On admet qu'une C.N. d'existence du barycentre du système $\;\left\lbrace A_{1}\,(\alpha _{1})\,,\,A_{2}\,(\alpha _{2})\,,\,\ldots \,,\,A_{k}\,(\alpha _{k})\,,\,\ldots \,,\,A_{n}\,(\alpha _{n})\right\rbrace \;$ est «$\;\sum \limits _{k=1}^{n}\alpha _{k}\neq 0\;$» et
     Condition d'existence et d'unicité : On admet que sous cette condition on obtient une solution unique.

Notion d'espace affine de direction l'espace vectoriel associé

     Étant donné un espace vectoriel $\;{\mathcal {E}}_{\text{vect}}\;$ sur le corps des réels $\;\mathbb {R} \;$ on appelle
     Étant donné un espace affine $\;{\mathcal {E}}_{\text{aff}}\;$ de direction $\;{\mathcal {E}}_{\text{vect}}\;$ l'ensemble non vide muni d'une application $\;\varphi \;$ qui, à chaque bipoint $\;\left(A\,,\,B\right)\;$ de $\;{\mathcal {E}}_{\text{aff}}^{2}\;$ associe un élément de $\;{\mathcal {E}}_{\text{vect}}\;$ noté $\;{\overrightarrow {AB}}\;$
     Étant donné un espace affine $\;\color {transparent}{{\mathcal {E}}_{\text{aff}}}\;$ de direction $\;\color {transparent}{{\mathcal {E}}_{\text{vect}}}\;$ l'ensemble non vide muni d'une application $\;\color {transparent}{\varphi }\;$ vérifiant les deux propriétés suivantes :
     Étant donné un espace affine $\;\color {transparent}{{\mathcal {E}}_{\text{aff}}}\;$ de direction $\;\color {transparent}{{\mathcal {E}}_{\text{vect}}}\;$ l'ensemble non vide muni d'une application $\;\color {transparent}{\varphi }\;$ vérifiant $\bullet \;$«$\;\forall \,\left(A\,,\,B\,,\,C\right)\in {\mathcal {E}}_{\text{aff}}^{3}$, la relation de Chasles $\;{\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {BC}}={\overrightarrow {AC}}\;$
          Étant donné un espace affine $\;\color {transparent}{{\mathcal {E}}_{\text{aff}}}\;$ de direction $\;\color {transparent}{{\mathcal {E}}_{\text{vect}}}\;$ l'ensemble non vide muni d'une application $\;\color {transparent}{\varphi }\;$ vérifiant $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;\color {transparent}{\forall \,\left(A\,,\,B\,,\,C\right)\in {\mathcal {E}}_{\text{aff}}^{3}}$, la relation de Chasles s'applique dans $\;{\mathcal {E}}_{\text{vect}}\;$» et
     Étant donné un espace affine $\;\color {transparent}{{\mathcal {E}}_{\text{aff}}}\;$ de direction $\;\color {transparent}{{\mathcal {E}}_{\text{vect}}}\;$ l'ensemble non vide muni d'une application $\;\color {transparent}{\varphi }\;$ vérifiant $\bullet \;$«$\;\forall \,A\in {\mathcal {E}}_{\text{aff}}$, $\;\forall \;{\vec {v}}\in {\mathcal {E}}_{\text{vect}}$, il existe un translaté unique de $\;A\;$ par $\;{\vec {v}}\;$» c.-à-d.
     Étant donné un espace affine $\;\color {transparent}{{\mathcal {E}}_{\text{aff}}}\;$ de direction $\;\color {transparent}{{\mathcal {E}}_{\text{vect}}}\;$ l'ensemble non vide muni d'une application $\;\color {transparent}{\varphi }\;$ vérifiant $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;\color {transparent}{\forall \,A\in {\mathcal {E}}_{\text{aff}}}$, $\;\color {transparent}{\forall \;{\vec {v}}\in {\mathcal {E}}_{\text{vect}}}$, «$\;\exists !\;B\in {\mathcal {E}}_{\text{aff}}\;$ tel que $\;{\overrightarrow {AB}}={\vec {v}}\;$» .

     On définit la dimension de l'espace affine $\;{\mathcal {E}}_{\text{aff}}\;$ par celle de l'espace vectoriel $\;{\mathcal {E}}_{\text{vect}}\;$ qui lui est associé ;

     exemples : espace affine de dimension $\;1\;$ encore appelé « droite affine » dont la direction est l'espace vectoriel généré par un vecteur $\;{\vec {i}}$ ;

     exemples : espace affine de dimension $\;2\;$ encore appelé « plan affine » dont la direction est l'espace vectoriel généré par $\;\left({\vec {i}}\,,\,{\vec {j}}\right)\;$ deux vecteurs non colinéaires ;

     exemples : espace affine de dimension $\;3\;$ dont la direction est l'espace vectoriel généré par $\;\left({\vec {i}}\,,\,{\vec {j}}\,,\,{\vec {k}}\right)\;$ trois vecteurs non coplanaires ;

     exemples : espace affine de dimension $\;n\geqslant 4\;$ dont la direction est l'espace vectoriel généré par $\;\left({\vec {u}}_{i}\right)_{i=1\,\ldots \,n\geqslant 4}$, $\;n\geqslant 4\;$ formant une famille libre ,
     exemples : espace affine de dimension $\;\color {transparent}{n\geqslant 4}\;$ ${\big [}$non concevable par notre cerveau dont l'imaginaire ne peut représenter que trois dimensions au maximum ${\big ]}$.

     Propriété : si on fixe un point origine $\;O\;$ dans l'espace affine $\;{\mathcal {E}}_{\text{aff}}$, il existe une application $\;\varphi _{O}\;$ de $\;{\mathcal {E}}_{\text{aff}}\;$ dans sa direction $\;{\mathcal {E}}_{\text{vect}}\;$
     Propriété : si on fixe un point origine $\;\color {transparent}{O}\;$ dans l'espace affine $\;\color {transparent}{{\mathcal {E}}_{\text{aff}}}$, il existe une application $\;\color {transparent}{\varphi _{O}}\;$ qui, à tout point $\;M\;$ de $\;{\mathcal {E}}_{\text{aff}}\;$ associe le vecteur $\;{\overrightarrow {OM}}$ ; cette application $\;\varphi _{O}\;$ est alors bijective .

Isobarycentre d'un système de quatre points non coplanaires, conséquence sur la propriété des médianes d'un tétraèdre quelconque

     On parle d'« isobarycentre d'un système de quatre points » quand les cœfficients qui leur sont affectés sont égaux ou si tous les cœfficients sont égaux à $\;1$.

Schéma d'un tétraèdre $\;ABCD\;$ quelconque avec tracé de trois des quatre médianes $\;AA'\;$ issue de $\;A$, $\;BB'\;$ issue de $\;B$, $\;CC'\;$ issue de $\;C$ $\;{\big (}DD'\;$ issue de $\;D\;$ n'ayant pas été tracée pour ne pas surcharger${\big )}$, propriété de concours de ces quatre médianes en $\;G\;$ appelé centre de gravité du tétraèdre

     Propriété : l'isobarycentre du système de quatre points $\;\left\lbrace A\,(1)\,,\,B\,(1)\,,\,C\,(1)\,,\,D\,(1)\right\rbrace \;$
     Propriété : l'isobarycentre du système de quatre points peut se déterminer en faisant intervenir l'un des quatre isobarycentres partiels
     Propriété : l'isobarycentre du système de quatre points ${\big [}$dans ce qui suit les quatre points sont non coplanaires de façon à former un tétraèdre${\big ]}$ :
     Propriété : l'isobarycentre du système de quatre points $\bullet \;$utiliser l'isobarycentre partiel $\;A'\;$ du système $\;\left\lbrace B\,(1)\,,\,C\,(1)\,,\,D\,(1)\right\rbrace$,
     Propriété : l'isobarycentre du système de quatre points $\color {transparent}{\bullet }\;$$A'\;$ étant le centre de gravité de la face $\;\left(BCD\right)\;$ puis
     Propriété : l'isobarycentre du système de quatre points $\color {transparent}{\bullet }\;$en déduire $\;G\;$ comme barycentre du système $\;\left\lbrace A\,(1)\,,\,A'\,(3)\right\rbrace \;$ donc
     Propriété : l'isobarycentre du système de quatre points $\color {transparent}{\bullet }\;$en déduire $\;\color {transparent}{G}\;$ tel que $\;{\overrightarrow {AG}}={\cancel {{\dfrac {1}{4}}\;{\overrightarrow {AA}}}}+{\dfrac {3}{4}}\;{\overrightarrow {AA'}}\;$ établissant que
     Propriété : l'isobarycentre du système de quatre points $\color {transparent}{\bullet }\;$en déduire $\;G\;$ se trouve sur la médiane $\;\left(AA'\right)\;$
     Propriété : l'isobarycentre du système de quatre points $\color {transparent}{\bullet }\;$en déduire $\;\color {transparent}{G}\;$ se trouve au $\;{\dfrac {3}{4}}\;$ de la longueur de la médiane à partir de $\;A\;$ ou
     Propriété : l'isobarycentre du système de quatre points $\bullet \;$utiliser l'isobarycentre partiel $\;B'\;$ du système $\;\left\lbrace A\,(1)\,,\,C\,(1)\,,\,D\,(1)\right\rbrace$,
     Propriété : l'isobarycentre du système de quatre points $\color {transparent}{\bullet }\;$$B'\;$ étant le centre de gravité de la face $\;\left(ACD\right)\;$ puis
     Propriété : l'isobarycentre du système de quatre points $\color {transparent}{\bullet }\;$en déduire $\;G\;$ comme barycentre du système $\;\left\lbrace B\,(1)\,,\,B'\,(3)\right\rbrace \;$ donc
     Propriété : l'isobarycentre du système de quatre points $\color {transparent}{\bullet }\;$en déduire $\;\color {transparent}{G}\;$ tel que $\;{\overrightarrow {BG}}={\cancel {{\dfrac {1}{4}}\;{\overrightarrow {BB}}}}+{\dfrac {3}{4}}\;{\overrightarrow {BB'}}\;$ établissant que
     Propriété : l'isobarycentre du système de quatre points $\color {transparent}{\bullet }\;$en déduire $\;G\;$ se trouve sur la médiane $\;\left(BB'\right)\;$
     Propriété : l'isobarycentre du système de quatre points $\color {transparent}{\bullet }\;$en déduire $\;\color {transparent}{G}\;$ se trouve au $\;{\dfrac {3}{4}}\;$ de la longueur de la médiane à partir de $\;B\;$ ou
     Propriété : l'isobarycentre du système de quatre points $\bullet \;$utiliser l'isobarycentre partiel $\;C'\;$ du système $\;\left\lbrace A\,(1)\,,\,B\,(1)\,,\,D\,(1)\right\rbrace$,
     Propriété : l'isobarycentre du système de quatre points $\color {transparent}{\bullet }\;$$C'\;$ étant le centre de gravité de la face $\;\left(ABD\right)\;$ puis
     Propriété : l'isobarycentre du système de quatre points $\color {transparent}{\bullet }\;$en déduire $\;G\;$ comme barycentre du système $\;\left\lbrace C\,(1)\,,\,C'\,(3)\right\rbrace \;$ donc tel que $\;{\overrightarrow {CG}}={\cancel {{\dfrac {1}{4}}\;{\overrightarrow {CC}}}}+{\dfrac {3}{4}}\;{\overrightarrow {CC'}}\;$ établissant que
     Propriété : l'isobarycentre du système de quatre points $\color {transparent}{\bullet }\;$en déduire $\;G\;$ se trouve sur la médiane $\;\left(CC'\right)\;$ au $\;{\dfrac {3}{4}}\;$ de la longueur de la médiane à partir de $\;C\;$ ou enfin
     Propriété : l'isobarycentre du système de quatre points $\bullet \;$utiliser l'isobarycentre partiel $\;D'\;$ du système $\;\left\lbrace A\,(1)\,,\,B\,(1)\,,\,C\,(1)\right\rbrace$, $D'\;$ étant le centre de gravité de la face $\;\left(ABC\right)\;$ puis
     Propriété : l'isobarycentre du système de quatre points $\color {transparent}{\bullet }\;$en déduire $\;G\;$ comme barycentre du système $\;\left\lbrace D\,(1)\,,\,D'\,(3)\right\rbrace \;$ donc tel que $\;{\overrightarrow {DG}}={\cancel {{\dfrac {1}{4}}\;{\overrightarrow {DD}}}}+{\dfrac {3}{4}}\;{\overrightarrow {DD'}}\;$ établissant que
     Propriété : l'isobarycentre du système de quatre points $\color {transparent}{\bullet }\;$en déduire $\;G\;$ se trouve sur la médiane $\;\left(DD'\right)\;$ au $\;{\dfrac {3}{4}}\;$ de la longueur de la médiane à partir de $\;D$ ;

     Propriété : on en déduit que les quatre médianes d'un tétraèdre quelconque sont concourantes, le point de concours $\;G$, appelé « centre de gravité du tétraèdre »,
     Propriété : on en déduit que les quatre médianes d'un tétraèdre quelconque sont concourantes, le point de concours $\;\color {transparent}{G}$, étant, sur chaque médiane, au $\;{\dfrac {3}{4}}\;$ de sa longueur à partir du sommet ;

     Propriété : le centre de gravité $\;G\;$ du tétraèdre $\;ABCD\;$ est donc défini selon la relation «$\;{\overrightarrow {GA}}+{\overrightarrow {GB}}+{\overrightarrow {GC}}+{\overrightarrow {GD}}={\vec {0}}\;$»,
     Propriété : le centre de gravité $\;\color {transparent}{G}\;$ son vecteur position relativement à un point $\;O\;$ quelconque étant «$\;{\overrightarrow {OG}}={\dfrac {{\overrightarrow {OA}}+{\overrightarrow {OB}}+{\overrightarrow {OC}}+{\overrightarrow {OD}}}{4}}\;$» .

Notion de fonction vectorielle de Leibniz

     On se place dans un espace affine $\;{\mathcal {E}}_{\text{aff}}\;$ de direction l'espace vectoriel $\;{\mathcal {E}}_{\text{vect}}\;$ tous deux de dimension $\;p\in \mathbb {N} ^{*}$ ;

     soient $\;\left(A_{k}\right)_{k=1,\,\ldots ,\,n\,\geqslant \,p+1}\;$ une famille de $\;n\;$ points de $\;{\mathcal {E}}_{\text{aff}}\;$ et $\;\left(\alpha _{k}\right)_{k=1,\,\ldots ,\,n\,\geqslant \,p+1}\;$ une famille de $\;n\;$ scalaires réels, on appelle

fonction vectorielle de Leibniz associée au système de $\;n\;$ points pondérés $\;\left\lbrace A_{k}\,\left(\alpha _{k}\right)\right\rbrace _{k=1,\,\ldots ,\,n\,\geqslant \,p+1}\;$ de l'espace affine $\;{\mathcal {E}}_{\text{aff}}$,
« l'application $\;{\vec {f}}\;$ de $\;{\mathcal {E}}_{\text{aff}}\;$ dans $\;{\mathcal {E}}_{\text{vect}}\;$ qui, au point $\;M\in {\mathcal {E}}_{\text{aff}}\;$ associe le vecteur $\;{\vec {f}}(M)=\sum \limits _{k=1}^{n}\alpha _{k}\;{\overrightarrow {MA_{k}}}\;\;\in {\mathcal {E}}_{\text{vect}}\;$».

     Propriétés : si $\;\sum \limits _{k=1}^{n\,\geqslant \,p+1}\alpha _{k}\neq 0$, la fonction vectorielle de Leibniz associée au système de $\;n\;$ points pondérés $\;\left\lbrace A_{k}\,\left(\alpha _{k}\right)\right\rbrace _{k=1,\,\ldots ,\,n\,\geqslant \,p+1}\;$ de l'espace affine $\;{\mathcal {E}}_{\text{aff}}\;$
           Propriétés : si $\;\color {transparent}{\sum \limits _{k=1}^{n\,\geqslant \,p+1}\alpha _{k}\neq 0}$, la fonction vectorielle de Leibniz s'annule pour un unique point $\;G\,\in \,{\mathcal {E}}_{\text{aff}}\;$ définissant le barycentre du système des $\;n\;$ points pondérés $\;\left\lbrace A_{k}\,\left(\alpha _{k}\right)\right\rbrace _{k=1,\,\ldots ,\,n\,\geqslant \,p+1}$ ;

en conclusion « si $\;\sum \limits _{k=1}^{n\,\geqslant \,p+1}\alpha _{k}\neq 0\;$», «$\;\exists !\,G\,\in \,{\mathcal {E}}_{\text{aff}}\;$ tel que $\;{\vec {f}}(G)=\sum \limits _{k=1}^{n\,\geqslant \,p+1}\alpha _{k}\;{\overrightarrow {GA_{k}}}={\vec {0}}\;$» ;

     Propriétés : « si $\;\sum \limits _{k=1}^{n\,\geqslant \,p+1}\alpha _{k}\neq 0\;$», la fonction vectorielle de Leibniz associée au système de $\;n\;$ points pondérés $\;\left\lbrace A_{k}\,\left(\alpha _{k}\right)\right\rbrace _{k=1,\,\ldots ,\,n\,\geqslant \,p+1}\;$ de l'espace affine $\;{\mathcal {E}}_{\text{aff}}\;$
           Propriétés : « si $\;\color {transparent}{\sum \limits _{k=1}^{n\,\geqslant \,p+1}\alpha _{k}\neq 0}\;$», la fonction vectorielle de Leibniz peut être simplifiée en utilisant le barycentre $\;G\;$ du système des $\;n\;$ points pondérés $\;\left\lbrace A_{k}\,\left(\alpha _{k}\right)\right\rbrace _{k=1,\,\ldots ,\,n\,\geqslant \,p+1}$
           Propriétés : « si $\;\color {transparent}{\sum \limits _{k=1}^{n\,\geqslant \,p+1}\alpha _{k}\neq 0}\;$», la fonction vectorielle de Leibniz peut être simplifiée selon «$\;{\vec {f}}(M)=\sum \limits _{k=1}^{n\,\geqslant \,p+1}\alpha _{k}\;{\overrightarrow {MA_{k}}}=\left(\sum \limits _{k=1}^{n\,\geqslant \,p+1}\alpha _{k}\right){\overrightarrow {MG}}\;$» ;

     Propriétés : « si $\;\sum \limits _{k=1}^{n\,\geqslant \,p+1}\alpha _{k}\neq 0\;$», avec $\;O\,\in \,{\mathcal {E}}_{\text{aff}}\;$ choisi comme origine du vecteur position du barycentre $\;G\;$ du système des $\;n\;$ points pondérés $\;\left\lbrace A_{k}\,\left(\alpha _{k}\right)\right\rbrace _{k=1,\,\ldots ,\,n\,\geqslant \,p+1}$, on obtient

«$\;{\overrightarrow {OG}}={\dfrac {{\vec {f}}(O)}{\sum \limits _{k=1}^{n\,\geqslant \,p+1}\alpha _{k}}}={\dfrac {\sum \limits _{k=1}^{n\,\geqslant \,p+1}\alpha _{k}\;{\overrightarrow {OA_{k}}}}{\sum \limits _{k=1}^{n\,\geqslant \,p+1}\alpha _{k}}}\;$».

     Remarque : « si $\;\sum \limits _{k=1}^{n\,\geqslant \,p+1}\alpha _{k}=0\;$», on démontre que la fonction vectorielle de Leibniz associée au système de $\;n\;$ points pondérés de l'espace affine $\;{\mathcal {E}}_{\text{aff}}\;$ à savoir $\;\left\lbrace A_{k}\,\left(\alpha _{k}\right)\right\rbrace _{k=1,\,\ldots ,\,n\,\geqslant \,p+1}\;$
           Remarque : « si $\;\color {transparent}{\sum \limits _{k=1}^{n\,\geqslant \,p+1}\alpha _{k}=0}\;$», on démontre que la fonction vectorielle de Leibniz est constante ;
     Remarque : « si $\;\color {transparent}{\sum \limits _{k=1}^{n\,\geqslant \,p+1}\alpha _{k}=0}\;$», « avec $\;\alpha _{1}\neq 0\;$» la constante s'écrit «$\;{\vec {f}}(M)=\sum \limits _{k=1}^{n\,\geqslant \,p+1}\alpha _{k}\;{\overrightarrow {MA_{k}}}=\alpha _{1}\;{\overrightarrow {G_{1}A_{1}}}\;$ avec $\;G_{1}\;$ le barycentre du système des $\;n-1\;$ points pondérés autres que $\;A_{1}\;$»,
Remarque : « si $\;\color {transparent}{\sum \limits _{k=1}^{n\,\geqslant \,p+1}\alpha _{k}=0}\;$», en effet si $\;\alpha _{1}\neq 0$, « la somme $\;\sum \limits _{k=1}^{n\,\geqslant \,p+1}\alpha _{k}=0\;$ se réécrit $\;\sum \limits _{k=2}^{n\,\geqslant \,p+1}\alpha _{k}=-\alpha _{1}\neq 0\;$» $\Rightarrow$ « l'existence et l'unicité du barycentre $\;G_{1}\;$ des $\;n-1\;$ points pondérés
Remarque : « si $\;\color {transparent}{\sum \limits _{k=1}^{n\,\geqslant \,p+1}\alpha _{k}=0}\;$», en effet si $\;\color {transparent}{\alpha _{1}\neq 0}$, « la somme $\;\color {transparent}{\sum \limits _{k=1}^{n\,\geqslant \,p+1}\alpha _{k}=0}\;$ se réécrit $\;\color {transparent}{\sum \limits _{k=2}^{n\,\geqslant \,p+1}\alpha _{k}=-\alpha _{1}\neq 0}\;$» $\color {transparent}{\Rightarrow }$ « l'existence et l'unicité du barycentre $\;\color {transparent}{G_{1}}\;$ des $\;\left\lbrace A_{k}\,\left(\alpha _{k}\right)\right\rbrace _{k=2,\,\ldots ,\,n\,\geqslant \,p+1}\;$» soit
Remarque : « si $\;\color {transparent}{\sum \limits _{k=1}^{n\,\geqslant \,p+1}\alpha _{k}=0}\;$», en effet si $\;\color {transparent}{\alpha _{1}\neq 0}$, « la somme $\;\color {transparent}{\sum \limits _{k=1}^{n\,\geqslant \,p+1}\alpha _{k}=0}\;$ se réécrit $\;\color {transparent}{\sum \limits _{k=2}^{n\,\geqslant \,p+1}\alpha _{k}=-\alpha _{1}\neq 0}\;$» $\color {transparent}{\Rightarrow }$ «$\;\sum \limits _{k=2}^{n\,\geqslant \,p+1}\alpha _{k}\;{\overrightarrow {MA_{k}}}=\left(\sum \limits _{k=2}^{n\,\geqslant \,p+1}\alpha _{k}\right)\,{\overrightarrow {MG_{1}}}\;$» ou encore
Remarque : « si $\;\color {transparent}{\sum \limits _{k=1}^{n\,\geqslant \,p+1}\alpha _{k}=0}\;$», en effet si $\;\color {transparent}{\alpha _{1}\neq 0}$, « la somme $\;\color {transparent}{\sum \limits _{k=1}^{n\,\geqslant \,p+1}\alpha _{k}=0}\;$ se réécrit $\;\color {transparent}{\sum \limits _{k=2}^{n\,\geqslant \,p+1}\alpha _{k}=-\alpha _{1}\neq 0}\;$» $\color {transparent}{\Rightarrow }$ «$\;\sum \limits _{k=2}^{n\,\geqslant \,p+1}\alpha _{k}\;{\overrightarrow {MA_{k}}}=-\alpha _{1}\;{\overrightarrow {MG_{1}}}\;$» que l'on reporte dans la définition de
Remarque : « si $\;\color {transparent}{\sum \limits _{k=1}^{n\,\geqslant \,p+1}\alpha _{k}=0}\;$», en effet si $\;\color {transparent}{\alpha _{1}\neq 0}$, « la somme $\;\color {transparent}{\sum \limits _{k=1}^{n\,\geqslant \,p+1}\alpha _{k}=0}\;$ se réécrit $\;\color {transparent}{\sum \limits _{k=2}^{n\,\geqslant \,p+1}\alpha _{k}=-\alpha _{1}\neq 0}\;$» $\color {transparent}{\Rightarrow }$ «$\;\color {transparent}{\sum \limits _{k=2}^{n\,\geqslant \,p+1}\alpha _{k}\;{\overrightarrow {MA_{k}}}=-\alpha _{1}\;{\overrightarrow {MG_{1}}}}\;$» la fonction vectorielle de Leibniz
     Remarque : « si $\;\color {transparent}{\sum \limits _{k=1}^{n\,\geqslant \,p+1}\alpha _{k}=0}\;$», « avec $\;\color {transparent}{\alpha _{1}\neq 0}\;$» la constante s'écrit «$\;{\vec {f}}(M)=\alpha _{1}\;{\overrightarrow {MA_{1}}}+\sum \limits _{k=2}^{n\,\geqslant \,p+1}\alpha _{k}\;{\overrightarrow {MA_{k}}}=\alpha _{1}\;{\overrightarrow {MA_{1}}}-\alpha _{1}\;{\overrightarrow {MG_{1}}}\;$» soit, par utilisation de la relation de Chasles
     Remarque : « si $\;\color {transparent}{\sum \limits _{k=1}^{n\,\geqslant \,p+1}\alpha _{k}=0}\;$», « avec $\;\color {transparent}{\alpha _{1}\neq 0}\;$» la constante s'écrit «$\;{\vec {f}}(M)=\alpha _{1}\left[{\overrightarrow {MA_{1}}}-{\overrightarrow {MG_{1}}}\right]=\alpha _{1}\;{\overrightarrow {G_{1}A_{1}}}\;$» C.Q.F.D. .

Utilisation de la notion de barycentre à la détermination de lieu de points défini par une relation scalaire particulière

Lieu des points M tel que le rapport des distances à deux points distincts d'un espace affine euclidien à trois dimensions soit égal à un réel positif différent de un

     Espace vectoriel euclidien : un espace vectoriel est dit « euclidien » si on définit sur lui un produit scalaire de deux vecteurs .

     Espace affine euclidien : un espace affine est dit « euclidien » si l'espace vectoriel direction de l'espace affine est « euclidien »,
     Espace affine euclidien : un espace affine est dit « euclidien » la conséquence étant la possibilité de mesurer distances et angles dans l'espace affine « euclidien » ;

     Espace affine euclidien : la distance entre deux points de l'espace affine « euclidien » $\;{\mathcal {E}}_{\text{aff}}\;$ de direction l'espace vectoriel $\;{\mathcal {E}}_{\text{vect}}\;$ est l'application $\;d\;$ de $\;{\mathcal {E}}_{\text{aff}}\times {\mathcal {E}}_{\text{aff}}\;$ dans $\;\mathbb {R} _{+}\;$ défini par

«$\;\left(A\,,\,B\right)\;{\overset {d}{\mapsto }}\;{\Big \Vert }{\overrightarrow {AB}}{\Big \Vert }={\sqrt {{\overrightarrow {AB}}\cdot {\overrightarrow {AB}}}}={\sqrt {{\overrightarrow {AB}}^{2}}}\;$» ;

     Espace affine euclidien : l'angle entre deux bipoints de l'espace affine « euclidien » $\;{\mathcal {E}}_{\text{aff}}\;$ de direction l'espace vectoriel $\;{\mathcal {E}}_{\text{vect}}\;$ est l'application $\;\alpha \;$ de $\;{\mathcal {E}}_{\text{aff}}^{2}\times {\mathcal {E}}_{\text{aff}}^{2}\;$ dans $\;\mathbb {R} _{+}\;$ défini par

«$\;\left\lbrace \left(A\,,\,B\right)\,,\,\left(C\,,\,D\right)\right\rbrace \;{\overset {\alpha }{\mapsto }}\;\arccos \!\left[{\dfrac {{\overrightarrow {AB}}\cdot {\overrightarrow {CD}}}{{\Big \Vert }{\overrightarrow {AB}}{\Big \Vert }\;{\Big \Vert }{\overrightarrow {CD}}{\Big \Vert }}}\right]\;$» .

     Problème posé : Trouver le lieu des points $\;M\;$ de l'espace affine « euclidien » de dimension $\;3\;$ tel que, $\left(A\,,\,B\right)\;$ étant deux points distincts de cet espace,
     Problème posé : Trouver le lieu des points $\;\color {transparent}{M}\;$ de l'espace affine « euclidien » de dimension $\;\color {transparent}{3}\;$ tel que, le rapport des distances séparant $\;M\;$ de chacun des points est un réel $\;>0$, $\;\neq 1$, ou
     Problème posé : Trouver le lieu des points $\;\color {transparent}{M}\;$ de l'espace affine « euclidien » de dimension $\;\color {transparent}{3}\;$ tel que «$\;{\dfrac {d\!\left(M,\,A\right)}{d\!\left(M,\,B\right)}}=k\;\in \mathbb {R} _{+}^{*}\!\setminus \!\left\lbrace 1\right\rbrace \;$» .

     Solution : La relation de définition de $\;M\,\in \,{\mathcal {E}}_{{\text{aff}},\,3}\;$ étant «$\;{\Big \Vert }{\overrightarrow {MA}}{\Big \Vert }=k\;{\Big \Vert }{\overrightarrow {MB}}{\Big \Vert }\;$ avec $\;k\;\in \mathbb {R} _{+}^{*}\!\setminus \!\left\lbrace 1\right\rbrace \;$», $\;\left(A\,,\,B\right)\,\in \,{\mathcal {E}}_{{\text{aff}},\,3}^{2}\;$ et $\;A\neq B$,
     Solution : La relation de définition de $\;\color {transparent}{M\,\in \,{\mathcal {E}}_{{\text{aff}},\,3}}\;$ peut se réécrire «$\;{\Big \Vert }{\overrightarrow {MA}}{\Big \Vert }^{2}=k^{2}\;{\Big \Vert }{\overrightarrow {MB}}{\Big \Vert }^{2}\;$» ou encore «$\;{\overrightarrow {MA}}^{2}-k^{2}\;{\overrightarrow {MB}}^{2}=0\;$» soit finalement
     Solution : La relation de définition de $\;\color {transparent}{M\,\in \,{\mathcal {E}}_{{\text{aff}},\,3}}\;$ peut se réécrire «$\;\left({\overrightarrow {MA}}-k\;{\overrightarrow {MB}}\right)\!\cdot \!\left({\overrightarrow {MA}}+k\;{\overrightarrow {MB}}\right)=0\;$»  ;

     Solution : on réalise alors la réduction des sommes vectorielles «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\overrightarrow {MA}}-k\;{\overrightarrow {MB}}\\{\overrightarrow {MA}}+k\;{\overrightarrow {MB}}\end{array}}\right\rbrace \;$» en utilisant respectivement les barycentres $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}G_{-}\\G_{+}\end{array}}\right\rbrace \;$ du système des deux points pondérés $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}\left[A\,(1)\,,\,B\,(-k)\right]\\\left[A\,(1)\,,\,B\,(+k)\right]\end{array}}\right\rbrace$,
        Solution : on réalise alors la réduction des sommes vectorielles «$\;\color {transparent}{\left\lbrace {\overrightarrow {MA}}-k\;{\overrightarrow {MB}}\right\rbrace }\;$» en utilisant respectivement chaque barycentre existant et étant unique car
        Solution : on réalise alors la réduction des sommes vectorielles «$\;\color {transparent}{\left\lbrace {\overrightarrow {MA}}-k\;{\overrightarrow {MB}}\right\rbrace }\;$» en utilisant respectivement la somme des cœfficients affectant les points de chacun des systèmes est non nulle
Solution : on réalise alors la réduction des sommes vectoriellessoit «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\overrightarrow {MA}}-k\;{\overrightarrow {MB}}=\left(1-k\right){\overrightarrow {MG_{-}}}\\{\overrightarrow {MA}}+k\;{\overrightarrow {MB}}=\left(1+k\right){\overrightarrow {MG_{+}}}\end{array}}\right\rbrace \;$»
        Solution : on réalise alors la réduction des sommes vectorielles ce qui permet de réécrire la relation de définition du lieu cherché des points $\;M\;$ selon «$\;\left(1-k^{2}\right){\overrightarrow {MG_{-}}}\cdot {\overrightarrow {MG_{+}}}=0\;$» ou,
        Solution : on réalise alors la réduction des sommes vectorielles ce qui permet de réécrire avec $\;k^{2}\neq 1$, «$\;{\overrightarrow {MG_{-}}}\cdot {\overrightarrow {MG_{+}}}=0\;$» soit enfin

« le lieu des points $\;M\;$ tel que $\;{\dfrac {d\!\left(M,\,A\right)}{d\!\left(M,\,B\right)}}=k\;\in \mathbb {R} _{+}^{*}\!\setminus \!\left\lbrace 1\right\rbrace \;$ est la sphère de diamètre $\;\left[G_{-}G_{+}\right]\;$» où
«$\;G_{-}\;$ est le barycentre du système $\;\left\lbrace A\,(1)\,,\,B\,(-k)\right\rbrace \;$» et «$\;G_{+}\;$ celui du système $\;\left\lbrace A\,(1)\,,\,B\,(+k)\right\rbrace \;$».

Notion de fonction scalaire de Leibniz

     On se place dans un espace affine euclidien $\;{\mathcal {E}}_{\text{aff}}\;$ de direction l'espace vectoriel euclidien $\;{\mathcal {E}}_{\text{vect}}\;$ tous deux de dimension $\;p\in \mathbb {N} ^{*}$ ;

     soient $\;\left(A_{k}\right)_{k=1,\,\ldots ,\,n\,\geqslant \,p+1}\;$ une famille de $\;n\;$ points de $\;{\mathcal {E}}_{\text{aff}}\;$ et $\;\left(\alpha _{k}\right)_{k=1,\,\ldots ,\,n\,\geqslant \,p+1}\;$ une famille de $\;n\;$ scalaires réels, on appelle

fonction scalaire de Leibniz associée au système de $\;n\;$ points pondérés $\;\left\lbrace A_{k}\,\left(\alpha _{k}\right)\right\rbrace _{k=1,\,\ldots ,\,n\,\geqslant \,p+1}\;$ de l'espace affine euclidien $\;{\mathcal {E}}_{\text{aff}}$,
« l'application $\;f\;$ de $\;{\mathcal {E}}_{\text{aff}}\;$ dans $\;\mathbb {R} \;$ qui, au point $\;M\in {\mathcal {E}}_{\text{aff}}\;$ associe le scalaire $\;f(M)=\sum \limits _{k=1}^{n}\alpha _{k}\;{\overrightarrow {MA_{k}}}^{2}\;\;\in \mathbb {R} \;$».

     Propriétés : « si $\;\sum \limits _{k=1}^{n\,\geqslant \,p+1}\alpha _{k}\neq 0\;$», la fonction scalaire de Leibniz associée au système de $\;n\;$ points pondérés $\;\left\lbrace A_{k}\,\left(\alpha _{k}\right)\right\rbrace _{k=1,\,\ldots ,\,n\,\geqslant \,p+1}\;$ de l'espace affine euclidien $\;{\mathcal {E}}_{\text{aff}}\;$
           Propriétés : « si $\;\color {transparent}{\sum \limits _{k=1}^{n\,\geqslant \,p+1}\alpha _{k}\neq 0}\;$», la fonction scalaire de Leibniz peut être réduite, en utilisant $\;G\,\in \,{\mathcal {E}}_{\text{aff}}\;$ le barycentre du système des n points pondérés $\;\left\lbrace A_{k}\,\left(\alpha _{k}\right)\right\rbrace _{k=1,\,\ldots ,\,n\,\geqslant \,p+1}$, selon
           Propriétés : « si $\;\color {transparent}{\sum \limits _{k=1}^{n\,\geqslant \,p+1}\alpha _{k}\neq 0}\;$», la fonction scalaire de Leibniz peut être réduite, «$\;f(M)=\sum \limits _{k=1}^{n}\alpha _{k}\;{\overrightarrow {MA_{k}}}^{2}=f(G)+\left(\sum \limits _{k=1}^{n\,\geqslant \,p+1}\alpha _{k}\right){\overrightarrow {MG}}^{2}\;$»  ;

     Propriétés : « si $\;\color {transparent}{\sum \limits _{k=1}^{n\,\geqslant \,p+1}\alpha _{k}\neq 0}\;$», en effet, par relation de Chasles , $\;{\overrightarrow {MA_{k}}}={\overrightarrow {MG}}+{\overrightarrow {GA_{k}}}\;$ $\Rightarrow$ $\;\alpha _{k}\;{\overrightarrow {MA_{k}}}^{2}=\alpha _{k}\;{\overrightarrow {MG}}^{2}+\alpha _{k}\;{\overrightarrow {GA_{k}}}^{2}+2\;{\overrightarrow {MG}}\cdot \alpha _{k}\;{\overrightarrow {GA_{k}}}\;$ soit,
          Propriétés : « si $\;\color {transparent}{\sum \limits \alpha _{k}\neq 0}\;$», en effet, en reportant dans la relation de définition de la fonction scalaire de Leibniz et
          Propriétés : « si $\;\color {transparent}{\sum \limits \alpha _{k}\neq 0}\;$», en effet, en factorisant dans les produits de scalaires et les produits scalaires de vecteurs
          Propriétés : « si $\;\color {transparent}{\sum \limits \alpha _{k}\neq 0}\;$», en effet, «$\;f(M)=\left(\sum \limits _{k=1}^{n\,\geqslant \,p+1}\alpha _{k}\right){\overrightarrow {MG}}^{2}+\left(\sum \limits _{k=1}^{n\,\geqslant \,p+1}\alpha _{k}\;{\overrightarrow {GA_{k}}}^{2}\right)+2\;{\overrightarrow {MG}}\cdot \left(\sum \limits _{k=1}^{n\,\geqslant \,p+1}\alpha _{k}\;{\overrightarrow {GA_{k}}}\right)\;$» ou,
          Propriétés : « si $\;\color {transparent}{\sum \limits \alpha _{k}\neq 0}\;$», en effet, par définition «$\;\sum \limits _{k=1}^{n\,\geqslant \,p+1}\alpha _{k}\;{\overrightarrow {GA_{k}}}={\vec {0}}\;$ du barycentre $\;G\;$ du système des $\;n\;$ points pondérés $\;\left\lbrace A_{k}\,\left(\alpha _{k}\right)\right\rbrace _{k=1,\,\ldots ,\,n\,\geqslant \,p+1}\;$» ,
          Propriétés : « si $\;\color {transparent}{\sum \limits \alpha _{k}\neq 0}\;$», en effet, la fonction scalaire de Leibniz se réécrit «$\;f(M)=\left(\sum \limits _{k=1}^{n\,\geqslant \,p+1}\alpha _{k}\right){\overrightarrow {MG}}^{2}+\left(\sum \limits _{k=1}^{n\,\geqslant \,p+1}\alpha _{k}\;{\overrightarrow {GA_{k}}}^{2}\right)=\left(\sum \limits _{k=1}^{n\,\geqslant \,p+1}\alpha _{k}\right){\overrightarrow {MG}}^{2}+f(G)\;$» ;

     Propriétés : « si $\;\sum \limits _{k=1}^{n\,\geqslant \,p+1}\alpha _{k}\neq 0\;$», avec $\;O\,\in \,{\mathcal {E}}_{\text{aff}}\;$ choisi comme origine du vecteur position du barycentre $\;G\;$ du système des $\;n\;$ points pondérés $\;\left\lbrace A_{k}\,\left(\alpha _{k}\right)\right\rbrace _{k=1,\,\ldots ,\,n\,\geqslant \,p+1}$, on obtient

«$\;{\overrightarrow {OG}}^{2}={\dfrac {f(O)-f(G)}{\sum \limits _{k=1}^{n\,\geqslant \,p+1}\alpha _{k}}}={\dfrac {\sum \limits _{k=1}^{n\,\geqslant \,p+1}\alpha _{k}\left[{\overrightarrow {OA_{k}}}^{2}-{\overrightarrow {GA_{k}}}^{2}\right]}{\sum \limits _{k=1}^{n\,\geqslant \,p+1}\alpha _{k}}}\;$».

     Remarque : « si $\;\sum \limits _{k=1}^{n\,\geqslant \,p+1}\alpha _{k}=0\;$», ayant admis que la fonction vectorielle de Leibniz $\;{\vec {f}}(M)=\sum \limits _{k=1}^{n\,\geqslant \,p+1}\alpha _{k}\;{\overrightarrow {MA_{k}}}\;$ associée au système de $\;n\;$ points pondérés de l'espace affine euclidien $\;{\mathcal {E}}_{\text{aff}}\;$ à savoir
                     Remarque : « si $\;\color {transparent}{\sum \limits \alpha _{k}=0}\;$», ayant admis que la fonction vectorielle de Leibniz $\;\color {transparent}{{\vec {f}}(M)=\sum \limits \alpha _{k}\;{\overrightarrow {MA_{k}}}}\;$ associée à $\;\left\lbrace A_{k}\,\left(\alpha _{k}\right)\right\rbrace _{k=1,\,\ldots ,\,n\,\geqslant \,p+1}\;$ est constante s'écrivant, « si $\;\alpha _{1}\neq 0\;$» ,
                Remarque : « si $\;\color {transparent}{\sum \limits \alpha _{k}=0}\;$», ayant admis que la fonction vectorielle de Leibniz «$\;{\vec {f}}(M)=\alpha _{1}\;{\overrightarrow {G_{1}A_{1}}}\;$ avec $\;G_{1}\;$ le barycentre du système des $\;n-1\;$ points pondérés autres que $\;A_{1}\;$» soit
          Remarque : « si $\;\color {transparent}{\sum \limits \alpha _{k}=0}\;$», la réduction de la fonction scalaire de Leibniz selon «$\;f(M)=\sum \limits _{k=1}^{n}\alpha _{k}\;{\overrightarrow {MA_{k}}}^{2}=f(O)+2\;\alpha _{1}\;{\overrightarrow {MO}}\cdot {\overrightarrow {G_{1}A_{1}}}\;$» avec $\;O\;$ point arbitrairement fixé ;

          Remarque : « si $\;\color {transparent}{\sum \limits \alpha _{k}=0}\;$», en effet « si $\;\alpha _{1}\neq 0\;$ avec $\;\sum \limits _{k=1}^{n\,\geqslant \,p+1}\alpha _{k}=0\;$», $\Rightarrow$ $\;\sum \limits _{k=2}^{n\,\geqslant \,p+1}\alpha _{k}=-\alpha _{1}\neq 0\;$ $\Rightarrow$ l'existence et l'unicité du barycentre $\;G_{1}\;$ des $\;n-1\;$ points pondérés autres que $\;A_{1}$ ;

          Remarque : « si $\;\color {transparent}{\sum \limits \alpha _{k}=0}\;$», en effet « si $\;\color {transparent}{\alpha _{1}\neq 0}\;$ $O\;$ étant un point de $\;{\mathcal {E}}_{\text{aff}}\;$ choisi arbitrairement, l'utilisation de la relation de Chasles conduisant à $\;{\overrightarrow {MA_{k}}}={\overrightarrow {MO}}+{\overrightarrow {OA_{k}}}\;$ donne,
          Remarque : « si $\;\color {transparent}{\sum \limits \alpha _{k}=0}\;$», en effet « si $\;\color {transparent}{\alpha _{1}\neq 0}\;$ en reportant dans la définition de la fonction scalaire de Leibniz avec $\;\alpha _{k}\;{\overrightarrow {MA_{k}}}^{2}=\alpha _{k}\;{\overrightarrow {MO}}^{2}+\alpha _{k}\;{\overrightarrow {OA_{k}}}^{2}+2\;{\overrightarrow {MO}}\cdot \left(\alpha _{k}\;{\overrightarrow {OA_{k}}}\right)\;$ $\Rightarrow$
          Remarque : « si $\;\color {transparent}{\sum \limits \alpha _{k}=0}\;$», en effet « si $\;\color {transparent}{\alpha _{1}\neq 0}\;$ «$\;f(M)=\sum \limits _{k=1}^{n\,\geqslant \,p+1}\alpha _{k}\;{\overrightarrow {MA_{k}}}^{2}={\cancel {\left(\sum \limits _{k=1}^{n\,\geqslant \,p+1}\alpha _{k}\right){\overrightarrow {MO}}^{2}+}}\;\left(\sum \limits _{k=1}^{n\,\geqslant \,p+1}\alpha _{k}\;{\overrightarrow {OA_{k}}}^{2}\right)+2\;{\overrightarrow {MO}}\cdot \left(\sum \limits _{k=1}^{n\,\geqslant \,p+1}\alpha _{k}\;{\overrightarrow {OA_{k}}}\right)\;$» obtenue
          Remarque : « si $\;\color {transparent}{\sum \limits \alpha _{k}=0}\;$», en effet « si $\;\color {transparent}{\alpha _{1}\neq 0}\;$ en factorisant dans les produits de scalaires et les produits scalaires de vecteurs et en utilisant la nullité de la somme des cœfficients, ou encore,
          Remarque : « si $\;\color {transparent}{\sum \limits \alpha _{k}=0}\;$», en effet « si $\;\color {transparent}{\alpha _{1}\neq 0}\;$ «$\;f(M)=f(O)+2\;{\overrightarrow {MO}}\cdot {\vec {f}}(O)\;$» où «$\;{\vec {f}}(O)=\sum \limits _{k=1}^{n\,\geqslant \,p+1}\alpha _{k}\;{\overrightarrow {OA_{k}}}=\alpha _{1}\;{\overrightarrow {G_{1}A_{1}}}\;$ dans la mesure où $\;\alpha _{1}\neq 0\;$» C.Q.F.D. .

Prolongement de la notion de barycentre à un système continu de points pondérés

     On considère maintenant un système continu de points en chacun desquels est affectée une densité de cœfficient continue par morceaux,
   On considère maintenant un système continu ces points décrivant une courbe, une surface ou une expansion tridimensionnelle continues dans un espace affine euclidien à trois dimensions
   On considère maintenant un système continu ces points décrivant une courbe, une surface ou une expansion tridimensionnelle continues dans un espace affine dans lequel est définie l'intégrabilité.

Barycentre d'un système continu de points décrivant une courbe continue en chacun desquels est affectée une densité linéique de cœfficient continue par morceaux

     Soit une courbe continue $\;\left(\Gamma \right)\;$ de point générique $\;P\;$ affecté d'une densité linéique de cœfficient $\;\lambda (P)\;$ continue par morceaux, on y définit
     Soit le barycentre $\;G\;$ de ce système de points $\;\left\lbrace P\,\left[\lambda (P)\right],\,P\in \left(\Gamma \right)\right\rbrace \;$ par «$\;\displaystyle \int _{P\in \left(\Gamma \right)}\lambda (P)\;{\overrightarrow {GP}}\;ds_{P}={\vec {0}}\;$» où $\;s_{P}\;$ est l'abscisse curviligne du point générique sur $\;\left(\Gamma \right)\;$ ;

     on établit que la condition d'existence et d'unicité du barycentre $\;G\;$ du système de points $\;\left\lbrace P\,\left[\lambda (P)\right],\,P\in \left(\Gamma \right)\right\rbrace \;$ est «$\;\displaystyle \int _{P\in \left(\Gamma \right)}\lambda (P)\;ds_{P}\neq 0\;$»  ;

     on démontre aussi que le vecteur position du barycentre $\;G\;$ du système de points $\;\left\lbrace P\,\left[\lambda (P)\right],\,P\in \left(\Gamma \right)\right\rbrace \;$ avec $\;O\;$ point quelconque de l'espace affine euclidien à trois dimensions
           on démontre aussi que le vecteur position du barycentre $\;\color {transparent}{G}\;$ du système de points $\;\color {transparent}{\left\lbrace P\,\left[\lambda (P)\right],\,P\in \left(\Gamma \right)\right\rbrace }\;$ avec $\;\color {transparent}{O}\;$ point quelconque de l'espace affine dans lequel est définie la courbe $\;\left(\Gamma \right)\;$
           on démontre aussi que le vecteur position du barycentre $\;\color {transparent}{G}\;$ du système de points $\;\color {transparent}{\left\lbrace P\,\left[\lambda (P)\right],\,P\in \left(\Gamma \right)\right\rbrace }\;$ s'écrit «$\;{\overrightarrow {OG}}={\dfrac {\displaystyle \int _{P\in \left(\Gamma \right)}\lambda (P)\;{\overrightarrow {OP}}\;ds_{P}}{\displaystyle \int _{P\in \left(\Gamma \right)}\lambda (P)\;ds_{P}}}\;$» .

Barycentre d'un système continu de points décrivant une surface continue en chacun desquels est affectée une densité surfacique de cœfficient continue par morceaux

     Soit une surface continue $\;\left(\Sigma \right)\;$ de point générique $\;P\;$ affecté d'une densité surfacique de cœfficient $\;\sigma (P)\;$ continue par morceaux, on y définit
     Soit le barycentre $\;G\;$ de ce système de points $\;\left\lbrace P\,\left[\sigma (P)\right],\,P\in \left(\Sigma \right)\right\rbrace \;$ par «$\;\displaystyle \iint _{P\in \left(\Sigma \right)}\sigma (P)\;{\overrightarrow {GP}}\;dS_{P}={\vec {0}}\;$» où $\;dS_{P}\;$ est l'aire élémentaire définie au point générique sur $\;\left(\Sigma \right)\;$ ;

     on établit que la condition d'existence et d'unicité du barycentre $\;G\;$ du système de points $\;\left\lbrace P\,\left[\sigma (P)\right],\,P\in \left(\Sigma \right)\right\rbrace \;$ est «$\;\displaystyle \iint _{P\in \left(\Sigma \right)}\sigma (P)\;dS_{P}\neq 0\;$»  ;

     on démontre aussi que le vecteur position du barycentre $\;G\;$ du système de points $\;\left\lbrace P\,\left[\sigma (P)\right],\,P\in \left(\Sigma \right)\right\rbrace \;$ avec $\;O\;$ point quelconque de l'espace affine euclidien à trois dimensions
           on démontre aussi que le vecteur position du barycentre $\;\color {transparent}{G}\;$ du système de points $\;\color {transparent}{\left\lbrace P\,\left[\sigma (P)\right],\,P\in \left(\Sigma \right)\right\rbrace }\;$ avec $\;\color {transparent}{O}\;$ point quelconque de l'espace affine dans lequel est définie la surface $\;\left(\Sigma \right)\;$
           on démontre aussi que le vecteur position du barycentre $\;\color {transparent}{G}\;$ du système de points $\;\color {transparent}{\left\lbrace P\,\left[\sigma (P)\right],\,P\in \left(\Sigma \right)\right\rbrace }\;$ s'écrit «$\;{\overrightarrow {OG}}={\dfrac {\displaystyle \iint _{P\in \left(\Sigma \right)}\sigma (P)\;{\overrightarrow {OP}}\;dS_{P}}{\displaystyle \iint _{P\in \left(\Sigma \right)}\sigma (P)\;dS_{P}}}\;$» .

Barycentre d'un système continu de points décrivant une expansion tridimensionnelle continue en chacun desquels est affectée une densité volumique de cœfficient continue par morceaux

     Soit une expansion tridimensionnelle continue $\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$ de point générique $\;P\;$ affecté d'une densité volumique de cœfficient $\;\mu (P)\;$ continue par morceaux, on y définit
     Soit le barycentre $\;G\;$ de ce système de points $\;\left\lbrace P\,\left[\mu (P)\right],\,P\in \left({\mathcal {V}}\right)\right\rbrace \;$ par «$\;\displaystyle \iiint _{P\in \left({\mathcal {V}}\right)}\mu (P)\;{\overrightarrow {GP}}\;d{\mathcal {V}}_{P}={\vec {0}}\;$» où $\;d{\mathcal {V}}_{P}\;$ est le volume élémentaire défini au point générique dans $\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$ ;

     on établit que la condition d'existence et d'unicité du barycentre $\;G\;$ du système de points $\;\left\lbrace P\,\left[\mu (P)\right],\,P\in \left({\mathcal {V}}\right)\right\rbrace \;$ est «$\;\displaystyle \iiint _{P\in \left({\mathcal {V}}\right)}\mu (P)\;d{\mathcal {V}}_{P}\neq 0\;$»  ;

     on démontre aussi que le vecteur position du barycentre $\;G\;$ du système de points $\;\left\lbrace P\,\left[\mu (P)\right],\,P\in \left({\mathcal {V}}\right)\right\rbrace \;$ avec $\;O\;$ point quelconque de l'espace affine euclidien à trois dimensions
           on démontre aussi que le vecteur position du barycentre $\;\color {transparent}{G}\;$ du système de points $\;\color {transparent}{\left\lbrace P\,\left[\mu (P)\right],\,P\in \left({\mathcal {V}}\right)\right\rbrace }\;$ avec $\;\color {transparent}{O}\;$ point quelconque de l'espace affine dans lequel est définie l'expansion $\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$
           on démontre aussi que le vecteur position du barycentre $\;\color {transparent}{G}\;$ du système de points $\;\color {transparent}{\left\lbrace P\,\left[\mu (P)\right],\,P\in \left({\mathcal {V}}\right)\right\rbrace }\;$ s'écrit «$\;{\overrightarrow {OG}}={\dfrac {\displaystyle \iiint _{P\in \left({\mathcal {V}}\right)}\mu (P)\;{\overrightarrow {OP}}\;d{\mathcal {V}}_{P}}{\displaystyle \iiint _{P\in \left({\mathcal {V}}\right)}\mu (P)\;d{\mathcal {V}}_{P}}}\;$» .