Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Barycentre d'un système de points

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     On va se limiter au cadre de la géométrie élémentaire pour introduire la notion de barycentre d'un système de points avec son utilisation pratique en physique.

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Barycentre de deux pointsModifier

     Cette notion peut être introduite dès lors qu'on associe à chaque point une grandeur non nulle caractérisant le point et étant additive, on dit alors que les points sont « pondérés » par cette grandeur, celle-ci définissant le cœfficient affecté au point [1].

Définition du barycentre d'un système de deux points pondérésModifier

     Soit le système de deux points pondérés  , les cœfficients affectés aux points étant tous deux  , on appelle barycentre de ce système de deux points pondérés

le point   tel que « ».

     Condition d'existence et d'unicité : Supposons l'existence du barycentre du système   et appliquons la relation de Chasles [2]     que l'on reporte dans la définition de   soit   d'où l'équation suivante   ;

     Condition d'existence et d'unicité : on en déduit une C.N. [3] d'existence du barycentre du système   qui est « » et sous cette condition on obtient une solution unique «   ».

Conclusion : le barycentre du système   n'existe et est unique que si « ».

     Remarque : On peut prolonger la définition du barycentre du système   au cas où   à condition d'admettre que le barycentre puisse être un point à l'infini sur une direction, ainsi de   on déduit que « le barycentre du système   avec   est le point à l'infini de la direction  » [4].

Vecteur position du barycentre du système de deux points pondérésModifier

       étant un point quelconque de l'espace, on utilise la relation de Chasles [2] pour réécrire   que l'on reporte dans la définition du barycentre         « » [5] soit, dans la mesure où on souhaite que le barycentre reste à distance finie c.-à-d.  ,

« ».

Méthode de construction du barycentre du système de deux points pondérésModifier

 
Exposé de la méthode de construction du barycentre du système   par utilisation du théorème de Thalès [6]

     Le point   étant un point quelconque peut être choisi en un des points par exemple   et la formule précisant le vecteur position du barycentre se réécrit selon   établissant que le point   se trouve sur la droite   plus précisément

  • si   et   sont tous deux  ,   se trouve sur le segment   situé, à partir de   à la fraction   de la longueur du segment  , les points  ,   et   sont alignés dans l'ordre   ;
  • si   est   et   de valeur absolue  ,   se trouve au-delà du segment   situé, à partir de   à la fraction   de la longueur du segment  , les points  ,   et   sont alignés dans l'ordre   ;
  • si   est   et   de valeur absolue  ,   se trouve en-deçà du segment   situé, à partir de   à la fraction   de la longueur du segment  , les points  ,   et   sont alignés dans l'ordre  .

     Exemple de construction : Soit à construire le barycentre du système   d'après ce qui précède on en déduit     c.-à-d. que   se trouve sur le segment   au   de la longueur du segment à partir de   voir construction ci-contre utilisant le théorème de Thalès [6]

Propriété d'homogénéitéModifier

     Si   est le barycentre du système   avec  , on établit aisément que

pour tout réel  , le barycentre du système   est encore   ;

     en effet la définition du barycentre du système   étant  , multipliant cette dernière par   et utilisant la distributivité de la multiplication par un scalaire relativement à l'addition vectorielle on obtient   c.-à-d. la définition du barycentre du système  .

Cas particulier : isobarycentre d'un système de deux pointsModifier

     On parle d'« isobarycentre d'un système de deux points » quand les cœfficients qui leur sont affectés sont égaux ou si tous les cœfficients sont égaux à   ;

     propriété : l'isobarycentre d'un système de deux points est le milieu su segment joignant les deux points.

Barycentre de trois pointsModifier

     On généralise aisément la notion de barycentre à un système de trois points pondérés  

Définition du barycentre d'un système de trois points pondérésModifier

     Soit le système de trois points pondérés  , les cœfficients affectés aux points étant tous trois  , on appelle barycentre de ce système de trois points pondérés

le point   tel que « ».

     Condition d'existence et d'unicité : Supposons l'existence du barycentre du système   et appliquons la relation de Chasles [2]     et     que l'on reporte dans la définition de   soit   d'où l'équation suivante   ;

     Condition d'existence et d'unicité : on en déduit une C.N. [3] d'existence du barycentre du système   qui est « » et sous cette condition on obtient une solution unique « ».

Conclusion : le barycentre du système   n'existe et est unique que si « ».

     Remarque : On peut prolonger la définition du barycentre du système   au cas où   à condition d'admettre que le barycentre puisse être un point à l'infini sur une direction, ainsi de   on déduit que « le barycentre du système des trois points   avec   est le point à l'infini de la direction du vecteur  » [4].

Vecteur position du barycentre du système de trois points pondérésModifier

       étant un point quelconque de l'espace, on utilise la relation de Chasles [2] pour réécrire   que l'on reporte dans la définition du barycentre, ce qui donne la relation suivante  [7] soit, dans la mesure où on souhaite que le barycentre reste à distance finie c.-à-d.  ,

« ».

Propriétés de commutativité et d'associativité de la prise de barycentre, notion de barycentre partielModifier

     La définition du barycentre d'un système de deux  ou trois  points pondérés ne précisant pas l'ordre des points, la prise de barycentre est évidemment commutative ;

     la prise de barycentre du système   avec   est aussi associative si   c.-à-d. que le vecteur position du barycentre du système des trois points pondérés,   étant un point quelconque pris pour origine, peut se réécrire en réduisant l'une quelconque des sommes vectorielles selon   où les éléments du triplet   sont respectivement les « barycentres partiels » du système des deux points pondérés  ,   et   ;
     ainsi la somme vectorielle   peut se réécrire selon   d'où trois façons de réécrire le vecteur position du barycentre du système des trois points pondérés en utilisant l'un des trois barycentres partiels

« ».

Méthode de construction du barycentre du système de trois points pondérésModifier

     La méthode la plus simple consiste à définir le barycentre partiel entre deux points judicieusement choisis par exemple entre   et  , le barycentre partiel étant   puis à déterminer le barycentre   du système des deux points pondérés   lequel s'identifie au barycentre du système des trois points pondérés   :

 
Disposition des trois atomes d'une molécule d'eau dans le but de déterminer leur barycentre, chaque atome étant affecté de son nombre de masse [8]

     Exemple de construction du barycentre du système des trois atomes d'une molécule d'eau, chaque atome étant affecté de son nombre de masse [8] : une molécule d'eau est constitué de deux atomes d'hydrogène, notés   et   pour les distinguer  mais ils sont bien entendu identiques  liés à un atome d'oxygène, noté  , l'angle entre les liaisons étant   et la longueur de chaque liaison   étant la même égale à  [9], le nombre de masse d'un atome d'hydrogène étant   et celui d'un atome d'oxygène   ;
     on cherche donc le barycentre   du système des trois atomes pondérés   et pour cela on détermine d'abord l'isobarycentre   des deux atomes d'hydrogène   et   qui est au milieu du segment joignant ces derniers, il est donc sur la bissectrice de l'angle   situé à la distance   de l’atome d'oxygène telle que   en   soit  , puis
     on détermine le barycentre   des deux points pondérés  ,   étant sur la bissectrice de l'angle   tel que    , à la distance   en   soit  .

Isobarycentre d'un système de trois points non alignés, conséquence sur la propriété des médianes d'un triangle quelconqueModifier

     On parle d'« isobarycentre d'un système de trois points » quand les cœfficients qui leur sont affectés sont égaux ou si tous les cœfficients sont égaux à  .

 
Schéma d'un triangle   quelconque avec tracé des trois médianes   issue de  ,   issue de   et   issue de  , propriété de concours de ces trois médianes en   appelé centre de gravité du triangle

     Propriété : l'isobarycentre du système de trois points   peut se déterminer en faisant intervenir l'un des trois isobarycentre partiel  dans ce qui suit les trois points sont non alignés de façon à former un triangle  :

  • utiliser l'isobarycentre partiel du système   qui est   milieu du segment   puis en déduire   comme barycentre du système des deux points   donc tel que   établissant que   se trouve sur la médiane   au   de la longueur de la médiane à partir de   ou
  • utiliser l'isobarycentre partiel du système   qui est   milieu du segment   puis en déduire   comme barycentre du système des deux points   donc tel que   établissant que   se trouve sur la médiane   au   de la longueur de la médiane à partir de   ou enfin
  • utiliser l'isobarycentre partiel du système   qui est   milieu du segment   puis en déduire   comme barycentre du système des deux points   donc tel que   établissant que   se trouve sur la médiane   au   de la longueur de la médiane à partir de   ;

     Propriété : on en déduit que les trois médianes d'un triangle quelconque sont concourantes, le point de concours  , appelé « centre de gravité du triangle », étant, sur chaque médiane, au   de sa longueur à partir du sommet ;

     Propriété : le centre de gravité   du triangle   est donc défini par  , son vecteur position relativement à un point   quelconque étant  [10].

Barycentre de n pointsModifier

     On généralise la notion de barycentre à un système de   points pondérés,  [11]  

Définition du barycentre d'un système de n points pondérésModifier

     Soit le système de   points pondérés  , les cœfficients affectés aux points étant tous  , on appelle barycentre de ce système de points pondérés

le point   tel que « ».

     Condition d'existence et d'unicité : On admet qu'une C.N. [3] d'existence du barycentre du système   est

« » et

     Condition d'existence et d'unicité : On admet que sous cette condition on obtient une solution unique.

Notion d'espace affine de direction l'espace vectoriel associéModifier

     Étant donné un espace vectoriel   sur le corps des réels   on appelle espace affine   de direction   l'ensemble non vide muni d'une application   qui, à chaque bipoint   de   associe un élément de   noté   vérifiant les deux propriétés suivantes :

  •  , la relation de Chasles [2]   s'applique dans   et
  •  ,  , il existe un translaté unique de   par   c.-à-d.   tel que   [12].

     On définit la dimension de l'espace affine   par celle de l'espace vectoriel   qui lui est associé ;

     exemples : espace affine de dimension   encore appelé « droite affine » dont la direction est l'espace vectoriel généré par un vecteur   ;

     exemples : espace affine de dimension   encore appelé « plan affine » dont la direction est l'espace vectoriel généré par   deux vecteurs non colinéaires ;

     exemples : espace affine de dimension   représentant l'« espace affine de la physique newtonienne à trois degrés de liberté » dont la direction est l'espace vectoriel généré par   trois vecteurs non coplanaires ;

     exemples : espace affine de dimension   dont la direction est l'espace vectoriel généré par  ,   vecteurs libres [13], cet espace affine n'étant pas concevable par notre cerveau dont l'imaginaire peut représenter trois dimensions au maximum [14].

     Propriété : si on fixe un point origine   dans l'espace affine  , il existe une application   de   dans sa direction   qui, à tout point   de   associe le vecteur   ; cette application   est alors bijective [15].

Isobarycentre d'un système de quatre points non coplanaires, conséquence sur la propriété des médianes d'un tétraèdre quelconqueModifier

     On parle d'« isobarycentre d'un système de quatre points » quand les cœfficients qui leur sont affectés sont égaux ou si tous les cœfficients sont égaux à  .

 
Schéma d'un tétraèdre   quelconque avec tracé de trois des quatre médianes   issue de  ,   issue de  ,   issue de     issue de   n'ayant pas été tracée pour ne pas surcharger , propriété de concours de ces quatre médianes en   appelé centre de gravité du tétraèdre

     Propriété : l'isobarycentre du système de quatre points   peut se déterminer en faisant intervenir l'un des quatre isobarycentres partiels  dans ce qui suit les quatre points sont non coplanaires [16] de façon à former un tétraèdre  :

  • utiliser l'isobarycentre partiel du système   qui est   centre de gravité de la face   puis en déduire   comme barycentre du système   donc tel que     établissant que   se trouve sur la médiane  [17] au   de la longueur de la médiane à partir de   ou
  • utiliser l'isobarycentre partiel du système   qui est   centre de gravité de la face   puis en déduire   comme barycentre du système   donc tel que     établissant que   se trouve sur la médiane  [17] au   de la longueur de la médiane à partir de   ou
  • utiliser l'isobarycentre partiel du système   qui est   centre de gravité de la face   puis en déduire   comme barycentre du système   donc tel que     établissant que   se trouve sur la médiane  [17] au   de la longueur de la médiane à partir de   ou enfin
  • utiliser l'isobarycentre partiel du système   qui est   centre de gravité de la face   puis en déduire   comme barycentre du système   donc tel que   établissant que   se trouve sur la médiane  [17] au   de la longueur de la médiane à partir de   ;

     Propriété : on en déduit que les quatre médianes d'un tétraèdre quelconque sont concourantes, le point de concours  , appelé « centre de gravité du tétraèdre », étant, sur chaque médiane, au   de sa longueur à partir du sommet ;

     Propriété : le centre de gravité   du tétraèdre   est donc défini selon la relation « », son vecteur position relativement à un point   quelconque étant «   » [18].

Notion de fonction vectorielle de LeibnizModifier

     On se place dans un espace affine   de direction l'espace vectoriel   tous deux de dimension   ;

     soient   une famille de   points de   et   une famille de   scalaires réels, on appelle

fonction vectorielle de Leibniz [19] associée au système de   points pondérés   de l'espace affine  ,
« l'application   de   dans   qui, au point   associe le vecteur  ».

     Propriétés : si  , la fonction vectorielle de Leibniz [19] associée au système de   points pondérés   de l'espace affine   s'annule pour un unique point   définissant le barycentre du système des   points pondérés   ; en conclusion

« si  », «  tel que  » ;

     Propriétés : « si  », la fonction vectorielle de Leibniz [19] associée au système de   points pondérés   de l'espace affine   peut être simplifiée en utilisant le barycentre   du système des   points pondérés   selon

« » ;

     Propriétés : « si  », avec   choisi comme origine du vecteur position du barycentre   du système des   points pondérés  , on obtient

« ».

     Remarque : « si  », on démontre que la fonction vectorielle de Leibniz [19] associée au système de   points pondérés de l'espace affine   à savoir   est constante ;
     Remarque : « si  », « en supposant  » la constante s'écrit «  avec   le barycentre du système des   points pondérés autres que  », en effet

 Remarque : « si  », « en supposant si  , « la somme   se réécrivant  » implique « l'existence et l'unicité du barycentre   du système de   points pondérés  » soit « » ou encore « » que l'on reporte dans la définition de la fonction vectorielle de Leibniz [19] « » soit, par utilisation de la relation de Chasles [2] « » C.Q.F.D. [20].

Utilisation de la notion de barycentre à la détermination de lieu de points défini par une relation scalaire particulièreModifier

Lieu des points M tel que le rapport des distances à deux points distincts d'un espace affine euclidien à trois dimensions soit égal à un réel positif différent de unModifier

     Espace vectoriel euclidien : un espace vectoriel est dit « euclidien » si on définit sur lui un produit scalaire de deux vecteurs.

     Espace affine euclidien : un espace affine est dit « euclidien » si l'espace vectoriel direction de l'espace affine est « euclidien », la conséquence étant la possibilité de mesurer distances et angles dans l'espace affine « euclidien » ;

     Espace affine euclidien : la distance entre deux points de l'espace affine « euclidien »   de direction l'espace vectoriel   étant l'application   de   dans   défini par

« » ;

     Espace affine euclidien : l'angle entre deux bipoints de l'espace affine « euclidien »   de direction l'espace vectoriel   étant l'application   de   dans  [21] défini par

« » [22].

     Problème posé : Trouver le lieu des points   de l'espace affine « euclidien » de dimension   tel que,   étant deux points distincts de cet espace, le rapport des distances séparant   de chacun des points est un réel strictement positif différent de  , ou tel que « » [23].

     Solution : La relation de définition de   étant «  avec  »,   et  , peut se réécrire « » ou encore « » soit finalement « » [24] ;

     Solution : on réalise alors la réduction des sommes vectorielles « » en utilisant respectivement les barycentres   du système des deux points pondérés  , chaque barycentre existant et étant unique car la somme des cœfficients affectant chaque point de chacun des systèmes est non nulle [25] soit « » ce qui permet de réécrire la relation de définition du lieu cherché des points   selon « » ou, avec  , « » soit enfin

« le lieu des points   tel que   est la sphère de diamètre  » où
«  est le barycentre du système  » et «  celui du système  ».

Notion de fonction scalaire de LeibnizModifier

     On se place dans un espace affine euclidien   de direction l'espace vectoriel euclidien   tous deux de dimension   ;

     soient   une famille de   points de   et   une famille de   scalaires réels, on appelle

fonction scalaire de Leibniz [19] associée au système de   points pondérés   de l'espace affine euclidien  ,
« l'application   de   dans   qui, au point   associe le scalaire  ».

     Propriétés : « si  », la fonction scalaire de Leibniz [19] associée au système de   points pondérés   de l'espace affine euclidien   peut être réduit, en utilisant   définissant le barycentre du système des   points pondérés  , selon

« » [26] ;

     Propriétés : « si  », en effet, par relation de Chasles [2],   soit, en reportant dans la relation de définition de la fonction scalaire de Leibniz [19] et en développant les carrés scalaires « » ou, par définition «  du barycentre   du système des   points pondérés  », la fonction scalaire de Leibniz [19] se réécrit « » ;

     Propriétés : « si  », avec   choisi comme origine du vecteur position du barycentre   du système des   points pondérés  , on obtient

« ».

     Remarque : sachant que « si  », la fonction vectorielle de Leibniz [19]   associée au système de   points pondérés de l'espace affine euclidien   à savoir   est constante s'écrivant,
     Remarque : sachant que « si  » [27], selon «    avec   le barycentre du système des   points pondérés autres que  » [28] soit la réduction de la fonction scalaire de Leibniz [19] selon

« » avec   point arbitrairement fixé ;

     Remarque : sachant que si «  », en effet « si   avec  », on en déduit «  assurant l'existence et l'unicité du barycentre   du système des   points pondérés autres que  » ;

     Remarque : sachant que « si  », en effet « si     étant un point de   choisi arbitrairement, l'utilisation de la relation de Chasles [2] conduisant à   donne, en reportant dans la relation de définition de la fonction scalaire de Leibniz [19], en développant les carrés scalaires et en utilisant la nullité de la somme des cœfficients, la relation suivante «   » où «    dans la mesure où  » C.Q.F.D. [20].

Prolongement de la notion de barycentre à un système continu de points pondérésModifier

     On considère maintenant un système continu de points en chacun desquels est affectée une densité de cœfficient continue par morceaux, ces points décrivant une courbe, une surface ou une expansion tridimensionnelle toutes trois continues dans un espace affine euclidien à trois dimensions dans lequel est définie l'intégrabilité.

Barycentre d'un système continu de points décrivant une courbe continue en chacun desquels est affectée une densité linéique de cœfficient continue par morceauxModifier

     Soit une courbe continue   de point générique   affecté d'une densité linéique de cœfficient   continue par morceaux, on définit le barycentre   de ce système de points   par

« » [29]  est l'abscisse curviligne du point générique sur   ;

     on établit que la condition d'existence et d'unicité du barycentre   du système de points   est

« » [29] ;

     on démontre aussi que le vecteur position du barycentre   du système de points   avec   point quelconque de l'espace affine euclidien à trois dimensions dans lequel est définie la courbe   s'écrit

« » [29].

Barycentre d'un système continu de points décrivant une surface continue en chacun desquels est affectée une densité surfacique de cœfficient continue par morceauxModifier

     Soit une surface continue   de point générique   affecté d'une densité surfacique de cœfficient   continue par morceaux, on définit le barycentre   de ce système de points   par

« » [30]  est l'aire élémentaire définie au point générique sur   ;

     on établit que la condition d'existence et d'unicité du barycentre   du système de points