En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) : Divers repérages d'un point dans l'espace Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Divers repérages d'un point dans l'espace », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Nous supposerons, dans tout ce chapitre, l'espace « orienté à droite » [1].
Un corps physique fixe dans l'espace définissant un « référentiel d'espace » [2] par rapport auquel on peut positionner tout point, Un corps physique fixe dans l'espace définissant un « référentiel d'espace » on y choisit « un point fixe » et Un corps physique fixe dans l'espace définissant un « référentiel d'espace » on repère « un point quelconque » de l'espace Un corps physique fixe dans l'espace définissant un « référentiel d'espace » on repère dans de façon intrinsèque Un corps physique fixe dans l'espace définissant un « référentiel d'espace » on repère par le vecteur appelé Un corps physique fixe dans l'espace définissant un « référentiel d'espace » on repère par « vecteur position du point » .
Un corps physique fixe dans l'espace ayant été défini comme « référentiel d'espace » , on lui associe un « repère cartésien » c.-à-d. Un corps physique fixe dans l'espace ayant été défini comme « référentiel d'espace » , on lui associe une « origine » fixe dans et Un corps physique fixe dans l'espace ayant été défini comme « référentiel d'espace » , on lui associe une « base orthonormée » usuellement directe [3][4]également fixe dans , Un corps physique fixe dans l'espace ayant été défini comme « référentiel d'espace » , on lui associe une « chaque vecteur de base orientant un axe passant par à savoir : Un corps physique fixe dans l'espace ayant été défini comme « référentiel d'espace » , on lui associe une « chaque vecteur de base « orienté par » axe des abscisses, Un corps physique fixe dans l'espace ayant été défini comme « référentiel d'espace » , on lui associe une « chaque vecteur de base « orienté par » axe des ordonnées et Un corps physique fixe dans l'espace ayant été défini comme « référentiel d'espace » , on lui associe une « chaque vecteur de base « orienté par » axe des cotes.
Le vecteur position de se décomposant dans la base cartésienne selon , « définissent les coordonnées cartésiennes du point » [5] Le vecteur position de se décomposant dans la base cartésienne selon , « définissent les abscisse, ordonnée et cote.
Propriété
Les coordonnées cartésiennes de sont les mesures algébriques de la distance entre l'origine et Les coordonnées cartésiennes de sont les mesures algébriques de la distance entre le projeté orthogonal de sur l'axe adapté, ainsi : appelant le projeté orthogonal de sur , l'abscisse de est égale à «», ainsi : appelant le projeté orthogonal de sur , l'ordonnée de est égale à «» et ainsi : appelant le projeté orthogonal de sur , la cote de est égale à «» ; de plus notant « le projeté orthogonal de sur le plan », on a «», de plus notant « le projeté orthogonal de sur le plan », on a «» et de plus notant « le projeté orthogonal de sur le plan », on a «».
Repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace
Vue en perspective du repérage cylindro-polaire ou cylindrique d'un point
Appelant le projeté orthogonal de sur l'axe et Appelant celui de sur le plan , on définit le repérage cylindro-polaire ou cylindrique de en conservant la localisation de par sa cote mais on définit le repérage cylindro-polaire ou cylindrique de en modifiant celle de relativement à son repérage cartésien, on définit le repérage cylindro-polaire ou cylindrique de en modifiant étant repéré par la distance le séparant de on définit le repérage cylindro-polaire ou cylindrique de en modifiant étant repéré et par l'angle orienté [6] que fait on définit le repérage cylindro-polaire ou cylindrique de en modifiant étant repéré et par l'angle avec ; le nom complet du repérage est repérage cylindro-polaireou cylindriqued'axe.
Voir schéma en perspective ci-contre.
Coordonnées cylindro-polaires et base locale associée d'un point
Vues projetées du repérage cylindro-polaire ou cylindrique d'un point : demi-plan méridien et vue de dessus
Les coordonnées cylindro-polairesou cylindriques de sont avec Les coordonnées cylindro-polaires«» sa « coordonnée radiale » [7], Les coordonnées cylindro-polaires«» sa « coordonnée angulaire » [8] et Les coordonnées cylindro-polaires«» sa cote ;
il faut savoir remplacer le schéma en perspective par deux schémas de projection, l'un dans le demi-plan méridien et il faut savoir remplacer le schéma en perspective par deux schémas de projection, l'autre en vue de dessus il faut savoir remplacer le schéma en perspective par deux schémas de projection, voir ci-contre.
On définit la base « cylindro-polaire »ou cylindrique liée à « orthonormée directe [3] » avec On définit la base « cylindro-polaire »le 1er vecteur de la base , On définit la base « cylindro-polaire »le 2nd vecteur de la base dans le plan « directement au précédent » [9]on peut encore le définir par et On définit la base « cylindro-polaire »le 3ème vecteur de la base identique au 3ème vecteur de la base cartésienne ;
cette base est liée à car les deux 1ers vecteurs de la base dépendent de : le 1er est appelé « vecteur radial », cette base est liée à car les deux 1ers vecteurs de la base dépendent de : le 2ndest appelé« vecteur orthoradial » et cette base est liée à car les deux 1ers vecteurs de la base dépendent de : le 3ème constant est appelé« vecteur axial » [10].
Composantes cylindro-polaires du vecteur position d'un point
Le vecteur position du point s'écrivant dans la base cylindro-polaire liée à selon «» [11], on en déduit que les composantes radiale et axiale du vecteur position, respectivement et , sont identiques aux coordonnées radiale et axiale du point, on en alors que la composante orthoradiale du vecteur positiondiffère de la coordonnée angulaire du point [12].
Lien entre repérages cylindro-polaire et cartésien d'un point
Vecteurs de base cylindro-polaireou cylindriqueen fonction des vecteurs de base cartésienne : , le 3ème vecteur étant le même ou encore Vecteurs de base cylindro-polaireou cylindriqueen fonction des vecteurs de base cartésienne : [13].
Coordonnées cylindro-polairesou cylindriquesen fonction des coordonnées cartésiennes : [14], la 3ème cordonnée étant la même.
Repérage cartésien en fonction du repérage cylindro-polaire
Vecteurs de base cartésienne en fonction des vecteurs de base cylindro-polaireou cylindrique : , le 3ème vecteur étant le même ou encore Vecteurs de base cartésienne en fonction des vecteurs de base cylindro-polaireou cylindrique : [13].
Coordonnées cartésiennes en fonction des coordonnées cylindro-polairesou cylindriques : , la 3ème cordonnée étant la même.
Remarque : Le repérage cylindro-polaire ou cylindrique se suffit à lui-même, il ne faut jamais sauf dans de très rares cas transformer le repérage cylindro-polaire en repérage cartésien ; Remarque : si on utilise le repérage cylindro-polaire c'est que le traitement dans ce repérage est plus simple que dans le repérage cartésien, et il peut être nettement plus simple !
Vue en perspective du repérage sphérique d'un point
Appelant le projeté orthogonal de sur l'axe et Appelant celui de sur le plan , on définit le demi-plan méridien contenant et [15] et Appelant celui de sur le plan , on repère ce demi-plan méridien par l'angle orienté [16] qu'il fait avec Appelant celui de sur le plan , on repère le demi-plan méridien de référence analogue géographique Appelant celui de sur le plan , on repère le demi-plan méridien de référence de la longitude, puis Appelant celui de sur le plan , on repère dans ce demi-plan méridien Appelant celui de sur le plan , on repère par la distance séparant de analogue géographique Appelant celui de sur le plan , on repère par la distance de l'altitude augmentée du rayon de la Terre et Appelant celui de sur le plan , on repère par l'angle orienté [17] que fait le vecteur position de Appelant celui de sur le plan , on repère par l'angle avec l'axe analogue géographique Appelant celui de sur le plan , on repère par l'angle avec l'axe analogue de la colatitude ;
on obtient ainsi le repérage sphériquede pôle et[18]d'axe, on obtient ainsi ce repérage utilisant une distance non algébrisée et deux angles orientés.
Voir schéma en perspective ci-contre.
Coordonnées sphériques et base locale associée d'un point
Vues projetées du repérage sphérique d'un point : demi-plan méridien et vue de dessus
Les coordonnées sphériques de sont avec «» son « rayonpolaire» [19], Les coordonnées sphériques de sont avec «» sa « colatitude » [20] et Les coordonnées sphériques de sont avec «» sa « longitude » [21] ;
il faut savoir remplacer le schéma en perspective par deux schémas de projection dans le demi-plan méridien et il faut savoir remplacer le schéma en perspective par deux schémas de projection en vue de dessus [22], il faut savoir remplacer le schéma en perspective par deux schémas de projection voir ci-contre la base cylindro-polaire y est il faut savoir remplacer le schéma en perspective par deux schémas de projection voir ci-contre la base rappelée en marron.
On définit la base « sphérique » liée à orthonormée directe [3] avec On définit la base « sphérique »le 1er vecteur de la base , On définit la base « sphérique »le 2nd vecteur de la base dans le demi-plan méridien « directement au précédent » [23]on peut encore le définir par On définit la base « sphérique »le 2nd vecteur de la base dans le demi-plan méridien « directement au précédent » on peut encore avec le 3ème vecteur de la base et On définit la base « sphérique »le 3ème vecteur de la base au demi-plan méridien et orientant ce dernier [24] soit encore [25] ;
cette base est liée à car les deux 1ers vecteurs de la base dépendent de et , le 1er est appelé « vecteur radial », cette base est liée à car les deux 1ers vecteurs de la base dépendent de et , le 2ndest appelé « vecteur orthoradial » [26],[27] et cette base est liée à car le 3ème vecteur de la base sphérique dépend de seul, le 3èmeest appelé « vecteur longitudal » [28].
Composantes sphériques du vecteur position d'un point
Le vecteur position du point s'écrivant dans la base sphérique liée à selon «» [29],
on en déduit que la composante radiale du vecteur position, est identique à la coordonnée radiale du point,
on en alors que les composantes orthoradiale et longitudale du vecteur position et diffèrent des coordonnées angulaires et du point [30].
Interprétation géographique du repérage sphérique d'un point
Pour un repérage sphérique de pôle et[18] d'axe , l'axe est identifié à l'axe « pôle Sud - pôle Nord » de la Terre, « est l'altitude augmentée du rayon de la Terre », Pour un repérage sphérique de pôle et d'axe , l'axe est identifié à l'axe « pôle Sud - pôle Nord » de la Terre, « le vecteur unitaire vertical », Pour un repérage sphérique de pôle et d'axe , l'axe est identifié à l'axe « pôle Sud - pôle Nord » de la Terre, « la colatitude » [31], Pour un repérage sphérique de pôle et d'axe , l'axe est identifié à l'axe « pôle Sud - pôle Nord » de la Terre, « le vecteur unitaire horizontal dirigé vers le Sud », Pour un repérage sphérique de pôle et d'axe , l'axe est identifié à l'axe « pôle Sud - pôle Nord » de la Terre, « la longitude » et Pour un repérage sphérique de pôle et d'axe , l'axe est identifié à l'axe « pôle Sud - pôle Nord » de la Terre, « le vecteur unitaire horizontal dirigé vers l'Est ».
Lien entre repérages sphérique et cylindro-polaire d'un point
Vecteurs de base sphérique en fonction des vecteurs de base cylindro-polaireou cylindrique : [25] ou encore Vecteurs de base sphérique en fonction des vecteurs de base cylindro-polaireou cylindrique : [13],[25].
Coordonnées sphériques en fonction des coordonnées cylindro-polairesou cylindriques : [32] suffisant pour déterminer .
Repérage cylindro-polaire en fonction du repérage sphérique
Vecteurs de base cylindro-polaireou cylindriqueen fonction des vecteurs de base sphérique : [25] ou encore Vecteurs de base cylindro-polaireou cylindriqueen fonction des vecteurs de base sphérique : [13],[25].
Coordonnées cylindro-polairesou cylindriquesen fonction des coordonnées sphériques : [32].
Remarque : Le repérage sphérique se suffit à lui-même, a priori il est inutile de transformer le repérage sphérique en repérage cylindro-polaire ou cylindrique[33] ; Remarque : si on utilise le repérage sphérique c'est que le traitement dans ce repérage est plus simple que dans le repérage cylindro-polaire, Remarque : si on utilise le repérage sphérique c'est que le traitement dans ce repérage est plus simple exemple d'un déplacement sur une sphère seules et varient !
Lien entre repérages sphérique et cartésien d'un point
Vecteurs de base cartésienne en fonction des vecteurs de base sphérique : on décompose les vecteurs de base cartésienne dans la base cylindro-polaire puis Vecteurs de base cartésienne en fonction des vecteurs de base sphérique : la base cylindro-polaire dans la base sphérique .
Coordonnées cartésiennes en fonction des coordonnées sphériques : [37].
Remarque : Le repérage sphérique se suffit à lui-même, il n'est jamais utile de transformer le repérage sphérique en repérage cartésien ; Remarque : si, dans certains cas, substituer le repérage cylindro-polaire au repérage sphérique s'impose, il ne sera jamais intéressant de remplacer le repérage sphérique par le repérage cartésien.
La notion de vecteur déplacement d'un point à partir d'une position quelconque nécessite de préciser la position finale du déplacement, le vecteur déplacement obtenu s'écrivant ; si la position finale reste proche de la position initiale , on substitue la notation à celle de et le vecteur déplacementest qualifié de « petit » ; pour infiniment proche de suivant une direction d'approche fixée, on substitue la notation à celle de et le vecteur déplacementest qualifié d'élémentaire.
Le vecteur déplacement élémentaire à partir d'une position quelconque en suivant une direction fixée peut être considéré aussi comme obtenu en suivant une courbe passant par [38] ;
en conclusion la définition intrinsèque du vecteur déplacement élémentaire à partir d'une positions'identifie à en conclusion la définition celle du vecteur déplacement élémentaire d'un point le long d'une courbe vue dans le chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » [39] ;
en conclusion on y a défini le vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe continue comme la différentielle du vecteur position dont les valeurs successives décrivent la courbe soit en conclusion on y a défini le vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe continue comme ou simplement «» [40] ; en conclusion on y a défini le vecteur déplacement élémentaire le long de la courbe est tangent à la courbe en , dans la mesure où [41].
Composantes cartésiennes du vecteur déplacement élémentaire d'un point
Pour établir l'expression du vecteur déplacement élémentaire en repérage cartésien nous différencions le vecteur position exprimé dans ce repérage, sans particulariser le déplacement suivant une courbe, soit , les vecteurs de la base cartésienne étant constants leur différentielle est nulle.
À retenir vecteur déplacement élémentaire en repérage cartésien :
«».
Détermination géométrique des composantes cartésiennes du vecteur déplacement élémentaire d'un point
Pour créer un déplacement élémentaire du point en repérage cartésien, on envisage successivement un déplacement élémentaire le long de chaque vecteur de base, le vecteur déplacement élémentaire du point étant la somme de ces trois déplacements élémentaires, ainsi :
suivant , on se déplace selon la droite passant par et à c.-à-d. d'équations et du « petit segment élémentaire » de longueur algébrique d'où ,
suivant , on se déplace selon la droite passant par et à c.-à-d. d'équations et du « petit segment élémentaire » de longueur algébrique d'où ,
suivant , on se déplace selon la droite passant par et à c.-à-d. d'équations et du « petit segment élémentaire » de longueur algébrique d'où ,
le vecteur déplacement élémentaire étant finalement se réécrit , ses composantes cartésiennes étant donc .
Application au vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe
Considérons la parabole d'équations cartésiennes [42] et différencions ces équations : on obtient alors et Considérons la parabole d'équations cartésiennes le vecteur déplacement élémentaire le long de la parabole s'explicite en fonction de l'élément différentiel selon Considérons la parabole d'équations cartésiennes le vecteur déplacement élémentaire «» [43] ; Considérons la parabole d'équations cartésiennes d'une part il n'existe aucun point de la parabole où le vecteur déplacement élémentaire est nul, Considérons la parabole d'équations cartésiennes d'autre part, pour , la composante vectorielle sur est toujours dans le sens de et Considérons la parabole d'équations cartésiennes d'autre part, pour , la composante vectorielle sur est de sens contraire à pour , Considérons la parabole d'équations cartésiennes d'autre part, pour , la composante vectorielle sur s'annule pour et Considérons la parabole d'équations cartésiennes d'autre part, pour , la composante vectorielle sur est dans le sens de pour , Considérons la parabole d'équations cartésiennes d'autre part, pour , la composante vectorielle sur de norme d'autant plus grande que l'est [44]
Composantes cylindro-polaires du vecteur déplacement élémentaire d'un point
Pour établir l'expression du vecteur déplacement élémentaire en repérage cylindro-polaire ou cylindrique nous différencions le vecteur position exprimé dans ce repérage, sans particulariser le déplacement suivant une courbe, soit [45].
Différentielle des vecteurs de base cylindro-polaire
Pour déterminer la différentielle des vecteurs de base cylindro-polaire, il faut les décomposer dans la base cartésienne de façon à faire apparaître explicitement l'angle dont ils dépendent soit Pour déterminer la différentielle des vecteurs de base cylindro-polaire, il faut les décomposer dans la base cartésienne [46] ; on utilise [47] avec les dérivées par rapport à des deux 1ers vecteurs de base égales à [48],[49] soit :
À retenir dérivées des vecteurs de base et par rapport à :
et ;
quand on dérive un vecteur unitaire d'un plan par rapport à l'angle qu'il fait avec une direction fixe de ce plan, on obtient un vecteur unitaire de ce plan directement au vecteur initial, ainsi dérivant par rapport à l'angle qu'il fait avec , on obtient se déduisant de par rotation de , dérivant par rapport à l'angle qu'il fait avec , on obtient se déduisant de par rotation de ;
on peut encore écrire et .
Le report dans les expressions des différentielles nous conduisent à .
Expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage cylindro-polaire
Pour créer un déplacement élémentaire du point en repérage cynlidro-polaire, on envisage successivement un déplacement élémentaire le long de chaque vecteur de base, le vecteur déplacement élémentaire du point étant la somme de ces trois déplacements élémentaires, ainsi :
suivant , on se déplace selon la demi-droite passant par et à c.-à-d. d'équations et du « petit segment élémentaire » de longueur algébrique d'où suivant , «»,
suivant , on se déplace selon le cercle passant par et d'axe c.-à-d. d'équations et du « petit arc élémentaire » de longueur algébrique [50] d'où suivant , «»,
suivant , on se déplace selon la droite passant par et à c.-à-d. d'équations et du « petit segment élémentaire » de longueur algébrique d'où suivant , «»,
le vecteur déplacement élémentaire étant finalement se réécrit «», ses composantes cylindro-polaires étant donc .
Application au vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe connue par ses équations cylindro-polaires
ci-contre à droite le tracé de la surface d'équation cylindro-polaire « cote à l'abscisse angulaire » qui est une des deux équations cylindro-polaires définissant l'hélice circulaire droite [51] d'axe , l'autre surface étant un tuyau cylindrique de révolution d'axe .
Vecteur déplacement élémentaire le long d'une hélice circulaire droite [51] d'axe : Soit l'hélice circulaire d'équations cylindro-polaires «» [52], nous cherchons à déterminer le vecteur déplacement élémentaire du point générique de l'hélice circulaire et pour cela nous différencions les équations de cette dernière : on obtient alors «» et le vecteur déplacement élémentaire le long de l'hélice circulaire peut s'écrire uniquement en fonction de l'élément différentiel selon «» [53].
Commentaires sur le vecteur déplacement le long d'une hélice circulaire droite [51] d'axe : il n'existe aucun point de l'hélice circulaire où le vecteur déplacement élémentaire est nul, Commentaires sur le vecteur déplacement le long d'une hélice circulaire droite d'axe : pour , la composante vectorielle sur , est toujours dans le sens de et Commentaires sur le vecteur déplacement le long d'une hélice circulaire droite d'axe : pour , la composante vect celle sur , est de sens contraire à pour [54], et Commentaires sur le vecteur déplacement le long d'une hélice circulaire droite d'axe : pour , la composante vect celle sur , est dans le sens de pour [55], Commentaires sur le vecteur déplacement le long d'une hélice circulaire droite d'axe : la norme du vecteur déplacement élémentaire est indépendante de [56]
Quelques commentaires sur l'hélice circulaire : une hélice circulaire est donc tracée sur un tuyau cylindrique de révolution avec à ; Quelques commentaires sur l'hélice circulaire : si on « développe » le tuyau cylindrique de révolution de façon à ce que sa surface latérale devienne un plan, Quelques commentaires sur l'hélice circulaire : si on « développe » le tuyau cylindrique de révolution l'hélice circulaire se « développe » en une droite c.-à-d. en une courbe de « pente constante » [57] ; Quelques commentaires sur l'hélice circulaire : elle est qualifiée de « dextre ou droite » si le cœfficient de proportionnalité entre et est , elle « monte » dans le sens trigonométrique [58] Quelques commentaires sur l'hélice circulaire : elle est qualifiée de « dextre ou droite » si un observateur placé à l’extérieur la voit, lorsqu'elle est devant lui, « monter de gauche à droite » ; Quelques commentaires sur l'hélice circulaire : elle est qualifiée de « senestre ou gauche » si le cœfficient de proportionnalité entre et est , elle « monte » dans le sens anti-trigonométrique [59], Quelques commentaires sur l'hélice circulaire : elle est qualifiée de « senestre ou gauche » si un observateur placé à l’extérieur la voit, lorsqu'elle est devant lui, « monter de droite à gauche » ; Quelques commentaires sur l'hélice circulaire : on définit le pas de l'hélice circulaire par la variation de cote correspondant à un tour complet soit Quelques commentaires sur l'hélice circulaire : on définit un pas de pour une équation cylindro-polaire de rampe en colimaçon .
Composantes sphériques du vecteur déplacement élémentaire d'un point
Pour établir l'expression du vecteur déplacement élémentaire en repérage sphérique nous différencions le vecteur position exprimé dans ce repérage, sans particulariser le déplacement suivant une courbe, soit [60].
Détermination géométrique des composantes sphériques du vecteur déplacement élémentaire d'un point
Pour créer un déplacement élémentaire du point en repérage sphérique, on envisage successivement un déplacement élémentaire le long de chaque vecteur de base, le vecteur déplacement élémentaire du point étant la somme de ces trois déplacements élémentaires, ainsi :
suivant , on se déplace selon la demi-droite passant par et à [61]c.-à-d. d'équations et du « petit segment élémentaire » de longueur algébrique d'où suivant , «»,
suivant , on se déplace selon le demi-cercle méridien passant par [62]c.-à-d. d'équations et du « petit arc élémentaire » de longueur algébrique [63] d'où suivant , «»,
suivant , on se déplace selon le cercle « parallèle » passant par [64]c.-à-d. d'équations et du « petit arc élémentaire » de longueur algébrique [65] d'où suivant , «»,
le vecteur déplacement élémentaire étant finalement se réécrit «», le vecteur déplacement élémentaire étant finalement ses composantes sphériques étant .
Expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage sphérique
Nous utilisons la définition de la différentielle d'une fonction vectorielle de l'espace utilisant la notion de dérivées partielles vue chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » d'où Nous utilisons la définition de la différentielle d'une fonction vectorielle de l'espace «» [67].
Détermination des dérivées partielles du 1er vecteur de base sphérique
Vues projetées du repérage sphérique d'un point : demi-plan méridien et vue de dessus
Pour cela on utilise la décomposition de dans la base cylindro-polaire [68] soit : «» «» [69] d'où finalement le vecteur unitaire du demi-plan méridien directement à c.-à-d. , en conclusion on a «» ; «» «» [70] ou, étant un vecteur unitaire du plan équatorial [71], en conclusion on a «».
Détermination des dérivées partielles du 2nd vecteur de base sphérique
Pour cela on utilise la décomposition de dans la base cylindro-polaire [68] soit : «» «» [69] d'où finalement le vecteur unitaire du demi-plan méridien directement à c.-à-d., en conclusion on a «» ; «» [13] «» [70] ou, sachant que [71], on en déduit en conclusion «».
Détermination de la dérivée du 3ème vecteur de base sphérique
étant un vecteur unitaire du plan équatorial et dérivant par rapport à l'angle qu'il fait avec la direction fixe de ce plan «» [71] ; il reste alors à décomposer dans la base sphérique [72], ce qui donne d'où «».
Explicitation des différentielles des vecteurs de base sphérique
Complément : détermination du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage sphérique par utilisation de la différentielle du 1er vecteur de base sphérique
Tracé de l'Équateur au pôle Nord de la loxodromie de sphère de pente par rapport aux parallèles en rouge ainsi que de sa projetée sur le plan équatorial « la spirale de Poinsot bornée » [74]en vert
Considérons la loxodromie de sphère de pente par rapport aux parallèles tracée en rouge sur le schéma ci-contre d'équations sphériques [75], pour établir l'expression du vecteur déplacement élémentaire le long de la loxodromie de sphère au point , nous différencions ses équations et obtenons alors «» [76],[77] ou ou encore [78] soit finalement «», d'où le vecteur déplacement élémentaire le long de la loxodromie de sphère en fonction de l'élément différentiel «» [79]ne pas oublier soit finalement, après une transformation élémentaire, «» [80] ;
Commentaires sur le vecteur déplacement élémentaire le long de la loxodromie de sphère de pentepar rapport aux parallèles : Commentaires sur le vecteur déplacement élémentaire il n'existe aucun point de la loxodromie sphérique Commentaires sur le vecteur déplacement élémentaire il n'existe aucun point de vecteur déplacement élémentaire nul, Commentaires sur le vecteur déplacement élémentaire pour , la composante vectorielle sur , , est toujours dans le sens contraire de c.-à-d. vers le Nord et Commentaires sur le vecteur déplacement élémentaire pour , la composante celle sur , , est dans le sens de c.-à-d. vers l'Est, Commentaires sur le vecteur déplacement élémentaire pour , la composante vectorielle sur , , est toujours dans le sens de c.-à-d. vers le Sud et Commentaires sur le vecteur déplacement élémentaire pour , la composante celle sur , , est en sens contraire de c.-à-d. vers l'Ouest ; Commentaires sur le vecteur déplacement élémentaire la norme ainsi que la pente dans le plan tangent à la sphère du vecteur déplacement élémentaire sont indépendantes de [81]
Remarque : Pour mieux faire apparaître la loxodromie de sphère, sa projetée sur le plan équatorial de la sphère a été tracée en vert, elle porte le nom de « spirale de Poinsot bornée » [74].
Dans un repérage cartésien, cylindro-polaire ou sphérique, il faut deux équations pour caractériser une courbe, pour mémoire revoir les trois exemples précédemment exposés :
Parabole en cartésien caractérisée comme intersection d'un cylindre parabolique et d'un plan [82]Hélice circulaire droite [51] caractérisée comme intersection d'un tuyau cylindrique de révolution et d'une « nappe en colimaçon » [82]Loxodromie sphérique caractérisée comme intersection d'une sphère et d'une autre surface hors nomenclature ensemble de demi-droites issues de [82]
la parabole d'équations «» [42] repérée en cartésien ci-contre à gauche, la parabole la 1ère équation «» caractérisant un cylindre parabolique de génératrices à et la parabole la 2nde «» le plan ;
l'hélice circulaire d'équations «» [52] repérée en cylindro-polaire ci-contre à droite, l'hélice circulaire la 1ère équation «» caractérisant un tuyau cylindrique de révolution d'axe et de rayon , l'hélice circulaire la 2nde «» une surface sans nom mathématique mais que l'on pourrait appeler « rampe en colimaçon » constituée de demi-droites au plan issues d'un point de l'axe de cote plus ou moins élevée suivant la valeur de l'abscisse angulaire fonction de ;
la loxodromie sphérique de pente par rapport aux parallèles, d'équations «» [75] repérée en sphérique ci-contre à droite, la loxodromie la 1ère équation «» caractérisant une sphère de centre dont le rayon est et la loxodromie la 2nde «» une surface sans nom mathématique constituée de demi-droites issues de plus ou moins inclinées suivant la valeur de la colatitude la longitude étant fonction de la colatitude .
En repérage paramétrique, qu'il soit cartésien, cylindro-polaire ou sphérique, il faut trois équations paramétriques pour caractériser une courbe[83] ; En repérage paramétrique, ci-dessous un exemple de courbe en repérage paramétrique cartésien [84] :
Tracé des deux surfaces un plan et un cylindre parabolique de génératrices coupant le plan dont la parabole est l'intersection
Soient les trois équations paramétriques cartésiennes de la courbe «», nous nous proposons d'établir Soient les trois équations paramétriques cartésiennes de la courbe le caractère plan de la courbe et Soient les trois équations paramétriques cartésiennes de la courbe la nature de cette dernière ;
pour démontrer la nature plane de la courbe il faut trouver une relation affine entre , et en éliminant le paramètre pour démontrer la nature plane de la courbe entre les équations paramétriques affines et soit «» en pour démontrer la nature plane de la courbe reportant dans , ou «» équation cartésienne pour démontrer la nature plane de la courbe reportant dans , ou «» équation d'un plan, pour démontrer la nature plane de la courbe « plan à de trace dans le plan , la droite d'équation pour démontrer la nature plane de la courbe « plan à passant par le point » [85] d'où la nature plane de ;
pour déterminer la nature de la courbe il faut établir une 2ème équation cartésienne de , la 1ère étant celle du plan précédent, pour déterminer la nature de la courbe pour cela, éliminer le paramètre entre les équations paramétriques et soit pour déterminer la nature de la courbe «» en reportant dans , ou pour déterminer la nature de la courbe «» en reportant dans , «» [86] équation cartésienne d'un cylindre parabolique de génératrices à ; pour déterminer la nature de la courbe les deux équations cartésiennes de la courbe sont «» est l'intersection du cylindre parabolique de génératrices à et pour déterminer la nature de la courbe les deux équations cartésiennes de la courbe sont «» est l'intersection du plan à passant par le point , pour déterminer la nature de la courbe en conclusion étant l'intersection d'un cylindre parabolique de génératrices à et d'un plan à est une parabole[87].
Remarque : utiliser la 2ème équation paramétrique pour éliminer le paramètre était possible mais aurait été particulièrement maladroit en effet cela aurait conduit à «» soient, Remarque : par report, les deux équations cartésiennes «» dont aucune n'est une relation affine bien que la courbe soit plane, elle est déterminée ici à l'aide de cette Remarque : par report, les deux équations cartésiennes «» dont aucune n'est une relation affine élimination maladroite par l'intersection de deux surfaces non planes ; Remarque : les deux équations cartésiennes obtenues en éliminant le paramètre à l'aide de la 2ème équation paramétrique se réécrivant «» «» Remarque : les deux équations cartésiennes ne permettent pas de déterminer le caractère plan de la courbe ainsi que Remarque : les deux équations cartésiennes ne permettent pas de déterminer la nature de cette dernière Remarque : les deux équations cartésiennes ne permettent pas de déterminer car elle est l'intersection de deux cylindres paraboliques de génératrices respectivement à et à Remarque : les deux équations cartésiennes ne permettent pas de déterminer car elle est l'intersection de deux cylindres paraboliques dont l'intersection nécessiterait une étude plus poussée.
Choix du système de coordonnées adapté au problème
Le plus souvent le système de coordonnées est imposé par le texte de l'exercice et a priori vous ne devez en aucun cas en changer, Le plus souvent le système de coordonnées est imposé par le texte de l'exercice mais si l'initiative du choix vous est laissée, vous adoptez le système adapté au problème à savoir :
le système de coordonnées cylindro-polairesou cylindriques d'axe pour un problème ayant l'« invariance par symétrie de révolution d'axe» c.-à-d. un problème invariant par rotation autour de l'axe , ne dépendant donc pas de l'abscisse angulaire , par exemple l'écoulement de l'eau à l'intérieur d'un tuyau cylindrique de révolution d'axe ou la marche d'une fourmi sur la surface latérale extérieure de ce tuyau cylindrique de révolution ou pour un problème ne possédant pas cette invariance mais pour lequel le rayon polaire[88]ne varie paspar exemple la montée d'une fourmi sur une hélice circulaire, courbe tracée sur un tuyau cylindrique de révolution,
le système de coordonnées sphériques de pôle pour un problème possédant l'« invariance par symétrie sphérique de centre» c.-à-d. un problème invariant par rotation autour de n'importe quel axe passant par , ne dépendant donc pas de la colatitude et de la longitude relativement à un axe quelconque choisi comme axe , par exemple en restant dans le cadre de la « mécanique classique » [89] le « mouvement de l'électron dans un atome d'hydrogène autour de son noyau » [90] ou le « mouvement d'un satellite autour de la Terre » ou la marche d'une fourmi sur un ballon de handball ou pour un problème ne possédant pas cette invariance mais pour lequel le rayonpolairene varie paspar exemple la marche d'une fourmi sur un ballon de handball en rotation autour d'un axe vertical, la rotation rendant la marche moins assurée au niveau équatorial du ballon que près d'un pôle c.-à-d. que les conditions de maintien sur le ballon dépendent de la colatitude de la fourmi sur le ballon, maintien plus difficile au niveau équatorial qu'à un des pôles [91],
le système de coordonnées cartésiennes pour un problème ne possédant aucune des invariances précédentes et pour lequel on cherche la description du mouvement d'un objet relativement à des plans fixes par exemple le drop d'un ballon de rugby pour savoir si ce mouvement va passer au-dessus de la barre transversale.
En complément, repérage de Frenet d'un point sur une courbe
L'introduction du repérage de Frenet [92] est présentée « en complément » [93], toutefois il est difficile de s'en passer car c'est le seul repérage introduisant les notions utilisées dans la vie quotidienne comme la « longueur parcourue sur une courbe » ou la « vitesse lue sur un tachymètre » ou l'« accélération tangentielle le long d'une courbe » [94].
Rappel, notion d'abscisse curviligne d'un point et de vecteur unitaire tangentiel, 1er vecteur de la base locale de Frenet associée
Abscisse curviligne d'un point le long d'une courbe et 1er vecteur de base de Frenet [92] associé en marron
Sur une courbe continue plane ou gauche, on choisit arbitrairement un sens «» et Sur une courbe continue plane ou gauche, on choisit arbitrairement une « origine » de mesure des abscisses curvilignes ; Sur une courbe continue le « point générique » de est repéré par son « abscisse curviligne » longueur Sur une courbe continue le « point générique » de algébrique parcourue dans le sens «» sur à partir de [95] ; Sur une courbe continue on définit, en tout point non anguleux [96] de , un vecteur unitaire tangent à en Sur une courbe continue on définit, en tout point non anguleux de , un vecteur unitaire orienté dans le sens «» Sur une courbe continue on définit, en tout point non anguleux de , appelé « vecteur unitaire tangentiel » et constituant Sur une courbe continue on définit, en tout point non anguleux de , le « 1er vecteur de la base locale de Frenet » [92] ; Sur une courbe continue mathématiquement la relation caractérise la courbe et Sur une courbe continue mathématiquement la relation représente son « équation vectorielle paramétrique » ; Sur une courbe continue la définition mathématique du 1er vecteur de base de Frenet [92]équivalente à la définition précédente Sur une courbe continue la définition mathématique du 1er vecteur de base de Frenet est «» c.-à-d. que Sur une courbe continue le vecteur unitaire tangentiel peut être obtenu en dérivant par rapport l'équation vectorielle paramétrique de la courbe .
Notion de cercle osculateur en un point d'une courbe plane, centre et rayon de courbure en ce point
Parmi tous les cercles du plan de la courbe lui étant tangents en , le cercle osculateur à la courbe en est celui qui est « localement le plus proche de la courbe » [97],[98].
Cas particuliers : si le point est un point d'inflexion de la courbe, le cercle osculateur est la tangente elle-même c.-à-d. un cercle de rayon infini, Cas particuliers : si la courbe est un cercle, le cercle osculateur en chacun de ses points est le cercle lui-même et Cas particuliers : si la courbe est une droite, le cercle osculateur en chacun de ses points est la droite elle-même c.-à-d. un cercle de rayon infini.
Propriété : Il existe une seule courbe plane à rayon de courbure constant c'est le cercle.
Exemple : La comparaison des rayons de courbure d'une courbe plane en ses différents points se fait visuellement de façon relativement aisée, par exemple, Exemple : si on considère la parabole d'équation cartésienne dans le plan , , de sommet et de direction asymptotique , la concavité étant tournée vers les , Exemple : si on considère la parabole d'équation cartésienne dans le plan , , on remarque aisément que le rayon de courbure est minimale au sommet et Exemple : si on considère la parabole d'équation cartésienne dans le plan , , on remarque aisément qu'il est d'autant plus grand que le point s'éloigne du sommet Exemple : si on considère la parabole d'équation cartésienne dans le plan , , on remarque aisément le rayon de courbure tendant vers l'infini pour s'éloignant à l'infini du sommet.
Notion de plan et de cercle osculateurs en un point d'une courbe gauche, centre et rayon de courbure en ce point
Parmi tous les plans tangents en à une courbe gauche , le plan osculateur de en est celui qui est « localement le plus proche de la courbe » [100],[101] ; cette détermination est encore applicable à une courbe plane mais elle est d'un intérêt limité car le plan osculateur d'une courbe plane en chacun de ses points est le plan de la courbe.
Parmi tous les cercles tangents à la courbe gauche en dans le plan osculateur de celle-ci en , le cercle osculateur est celui qui est « localement le plus proche de la courbe » [97] ; on définit alors de même que pour une courbe plane : le centre de courbure de en comme le centre du cercle osculateur à en et on définit alors de même que pour une courbe plane : le rayon de courbure de en comme le rayon du cercle osculateur c.-à-d. .
Le 2ème vecteur de base locale de Frenet [92] en un point de la courbe , noté et appelé « vecteurunitairenormal principal » ou simplement « vecteur normal » pour une courbe plane Le 2ème vecteur de base locale de Frenet en un point de la courbe , est le « vecteur unitaire porté par la normale principale » à en c.-à-d. la direction où est Le 2ème vecteur de base locale de Frenet en un point de la courbe , est le « vecteur unitaire porté par la normale principale » à en c.-à-d. la direction le centre de courbure[102] et Le 2ème vecteur de base locale de Frenet en un point de la courbe , est le « vecteur unitaire porté par la normale principale » de sens dirigé vers le centre de courbure.
3ème vecteur de la base de Frenet associée à un point de la courbe : vecteur unitaire normal secondaire
Le 3ème vecteur de base locale de Frenet [92] en un point de la courbe , noté et appelé « vecteurunitairenormal secondaire » Le 3ème vecteur de base locale de Frenet en un point de la courbe , est le « vecteur unitaire porté par la normale secondaire » à en c.-à-d. la direction au plan osculateur Le 3ème vecteur de base locale de Frenet en un point de la courbe , est le « vecteur unitaire porté par la normale secondaire » à en c.-à-d. la direction à en [103] et Le 3ème vecteur de base locale de Frenet en un point de la courbe , est le « vecteur unitaire porté par la normale secondaire » de sens tel que la baseest directe[3] ; Le 3ème vecteur de base locale de Frenet en un point de la courbe , les angles du plan osculateur à en sont orientés par le vecteur normal secondaire [104] ; Le 3ème vecteur de base locale de Frenet en un point de la courbe , une définition équivalente du vecteur normal secondaire est «».
Rappel, composante de Frenet du vecteur déplacement élémentaire d'un point de la courbe étudiée
Établissement par interprétation géométrique du vecteur déplacement élémentaire d'un point le long d'une courbe continue : Établissement par interprétation géométrique étant repéré sur la courbe par son abscisse curviligne , Établissement par interprétation géométrique nous envisageons un déplacement élémentaire le long du vecteur unitaire tangentiel de la base locale de Frenet [92], Établissement par interprétation géométrique nous envisageons un déplacement élémentaire correspondant à un « arc de courbe » de longueur algébrique soit finalement Établissement par interprétation géométrique nous envisageons un déplacement élémentaire «».
Justification de la définition mathématique du vecteur unitaire tangentiel : étant le point origine de la définition intrinsèque du vecteur position de [105] et Justification de la définition mathématique du vecteur unitaire tangentiel : étant repéré sur la courbe par son abscisse curviligne , Justification de la définition mathématique du vecteur unitaire tangentiel : nous pouvons, a priori, connaître l'équation paramétrique vectorielle de , «» ; Justification de la définition mathématique du vecteur unitaire tangentiel : or la différentielle de est le vecteur déplacement élémentaire du point d'où, Justification de la définition mathématique du vecteur unitaire tangentiel : par définition de la différentielle d'une fonction vectorielle d'une variable [47], identifiable à , Justification de la définition mathématique du vecteur unitaire tangentiel : ce qui justifie, a posteriori, la définition mathématique du vecteur unitaire tangentiel de la base de Frenet [92] «».
Définition du rayon de courbure en un point non anguleux d'une courbe plane
Schéma introductif de la définition du rayon de courbure en un point d'une courbe plane
Le vecteur unitaire tangentiel de la base locale de Frenet [92],[106] en , point non anguleux [96], étant de direction repérée par Le vecteur unitaire tangentiel l'angle qu'elle fait avec la direction fixe du plan de la courbe c.-à-d. «», on en déduit Le vecteur unitaire tangentiel l'angle algébrisé formé entre les vecteurs unitaires tangentiels en et deux points voisins de la courbe Le vecteur unitaire tangentiel l'angle algébrisé formé entre les vecteurs unitaires tangentiels en et «» et les vecteurs unitaires normaux principaux[107] de Frenet [92],[108] en ces deux points formant le même angle algébrisé [109], on définit le rayon de courbure moyen sur l'arc de courbe par «» ;
on en déduit la définition du rayon de courbure de en [110] comme la limite du rayon de courbure moyen on en déduit la définition du rayon de courbure de en comme la limite quand on fait tendre l'écart angulaire vers zéro soit on en déduit la définition du rayon de courbure de en «» [111] soit finalement la définition du rayon de courbure de courbe plane en un point non anguleux [96] «» [112] où [113].
Propriété : étant l'angle que fait le vecteur unitaire tangentiel de la base de Frenet [92],[106] avec de direction fixe dans le plan de la courbe, Propriété : quand on dérive par rapport à , on obtient le vecteur unitaire du plan directement au vecteur unitaire initial [71] c.-à-d. Propriété : quand on dérive par rapport à , on obtient le vecteur unitaire normal principal[107] de la base locale de Frenet [92],[108] soit encore «» [113].
Définition simultanée du 2ème vecteur de la base locale de Frenet et du rayon de courbure en un point non anguleux d'une courbe quelconque (gauche ou plane)
Établissement de la définition simultanée du 2ème vecteur de la base locale de Frenet et du rayon de courbure en un point non anguleux d'une courbe plane
Ayant établi l'expression du vecteur unitaire tangentiel [106] à la courbe plane en non anguleux [96] en fonction de l'abscisse curviligne de ce dernier Ayant établi l'expression du vecteur unitaire tangentiel à la courbe plane «» [106] où est l'équation paramétrique vectorielle de , Ayant établi l'expression du vecteur unitaire tangentiel à la courbe plane on dérive par rapport à en remarquant qu'à toute valeur de on peut associer un point unique Ayant établi l'expression du vecteur unitaire tangentiel à la courbe plane on dérive par rapport à en remarquant qu'à toute valeurque la courbe plane soit ouverte ou fermée et Ayant établi l'expression du vecteur unitaire tangentiel à la courbe plane on dérive par rapport à en remarquant qu'à tout non anguleux [96] correspond une valeur unique Ayant établi l'expression du vecteur unitaire tangentiel à la courbe plane on dérive par rapport à en remarquant qu'à toute valeur de permettant de déduire, par transitivité, Ayant établi l'expression du vecteur unitaire tangentiel à la courbe plane on dérive par rapport à en remarquant qu'à toute valeur de on peut associer une valeur unique Ayant établi l'expression du vecteur unitaire tangentiel à la courbe plane on dérive par rapport à en remarquant ce qui définit la fonction sans avoir besoin de Ayant établi l'expression du vecteur unitaire tangentiel à la courbe plane on dérive par rapport à en remarquant ce qui définit la fonction restreindre le domaine de définition de ;
Ayant établi l'expression du vecteur unitaire tangentiel à la courbe plane on en déduit, par dérivée de fonction composée, «» avec «» [114] et Ayant établi l'expression du vecteur unitaire tangentiel à la courbe plane on en déduit, par dérivée de fonction composée, «» avec «» [114] c.-à-d. « courbure Ayant établi l'expression du vecteur unitaire tangentiel à la courbe plane on en déduit, par dérivée de fonction composée, «» avec de en » [115] Ayant établi l'expression du vecteur unitaire tangentiel à la courbe plane on en déduit, par dérivée de fonction composée, ces deux relations n'étant définies que pour une courbe plane Ayant établi l'expression du vecteur unitaire tangentiel à la courbe plane on en déduit, soit finalement «» [116].
Énoncé de la définition simultanée du 2ème vecteur de la base locale de Frenet et du rayon de courbure en un point non anguleux d'une courbe gauche
L'expression donnant la dérivée du vecteur unitaire tangentiel [106] en fonction de l'abscisse curviligne établie pour une courbe plane [117] est admise pour une courbe gauche et L'expression sert de définition simultanée du vecteur unitaire normal principal [118] et du rayon de courbure à la courbe gauche [119] en non anguleux [96] soit
Mode opératoire pour déterminer le rayon de courbure[119] et le vecteur unitaire normal principal [118] en un point non anguleux [96] d'une courbe gauche : Mode opératoire « Connaissant l'expression de relativement à [121], on dérive cette expression et on obtient », Mode opératoire « on en prend la norme et on obtient la courbure de la courbe [115] en , ou, en inversant, le rayon de courbure de la courbe [119] en , », Mode opératoire « on en déduit alors le vecteur unitaire normal principal [118] par » ; Mode opératoire enfin « on peut terminer avec la détermination du vecteur unitaire normal secondaire par » [122].
↑ Attention à ne pas confondre « référentiel » qui est un objet purement physique comme la Terre, un train et « repère » qui est un objet mathématique nécessitant le choix d'une base ; dans un repérage intrinsèque nous ne choisissons pas de base et dès qu'une base intervient c'est que nous sommes sortis du repérage intrinsèque Pratiquement peu de choses sont traitées uniquement en repérage intrinsèque.
↑ Définissant la « base cartésienne » du repère cartésien.
↑ On constate que les coordonnées cartésiennes du point sont par définition les composantes cartésiennes du vecteur position , ceci n'est vrai qu'en repérage cartésien, cela devient faux en repérage local comme cylindro-polaire ou sphérique car les vecteurs de base n'y sont pas choisis fixes.
↑ Orienté par un vecteur unitaire au plan c.-à-d. par et on choisit usuellement en orientant les angles du plan selon la « règle de la main droite » ou une autre équivalente vue au paragraphe « base directe d'un espace orienté à droite » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » on pourrait mais on ne le fera jamais choisir et utiliser la « règle de la main gauche concernant les bases indirectes » vue dans le même chapitre, cela donnerait la même orientation des angles du plan.
↑ Ou « abscisse angulaire » ou encore « angle polaire » s'exprimant en , sa détermination principale pouvant encore être choisie sur .
↑ Ce qui signifie que , les angles du plan étant orientés par .
↑ Comme la base orthonormée cartésienne , la base orthonormée polaire permet d'exprimer tout vecteur du plan , à la différence que ces vecteurs de base polaire dépendent de l'abscisse angulaire du point alors que les vecteurs de base cartésienne sont constants.
↑ Le vecteur position dépend explicitement de et implicitement de par l'intermédiaire de .
↑ Les composantes cylindro-polaires de sont donc , à distinguer des coordonnées cylindro-polaires de qui sont la 2ème coordonnée cylindro-polaire étant angulaire ne peut être qualifiée d'« orthoradiale », qualificatif réservé aux grandeurs linéaires ou déduites de grandeurs linéaires.
↑ 13,013,113,213,3 et 13,4 On utilise les formules de trigonométrie suivantes et suivies éventuellement de l'utilisation de la parité de la fonction cosinus et de l'imparité de la fonction sinus .
↑ étant défini à près, il faut simultanément les expressions de et pour déterminer la valeur de .
↑ Angle orienté par le vecteur unitaire au plan selon la « règle de la main droite » ou une autre équivalente vue au paragraphe « base directe d'un espace orienté à droite » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » c'est le même vecteur unitaire que celui orientant l'angle du repérage cylindro-polaire, ce n'est pas surprenant puisqu'il s'agit en fait du même angle.
↑ 25,025,125,225,3 et 25,4 Ce 3ème vecteur de base sphérique est identique au 2ème vecteur de base cylindro-polaire.
↑ On pourrait encore l'appeler « vecteur colatitudinal » mais cela n'est pas fait pour des raisons de sonorité de la langue.
↑ Comme la base orthonormée cylindro-polaire , la base orthonormée sphérique permet d'exprimer tout vecteur du demi-plan méridien, en fonction de pour la 1ère et pour la 2nde, le demi-plan étant orienté par le même vecteur .
↑ On aurait pu encore l'appeler « vecteur longitudinal » plus harmonieux à l'oreille mais cela n'est pas fait car on accorde usuellement un autre sens à « longitudinal » celui complémentaire de « transversal ».
↑ Le vecteur position dépend explicitement de et implicitement de par l'intermédiaire de .
↑ Les composantes sphériques de sont donc , à distinguer des coordonnées sphériques de qui sont les 2ème et 3ème coordonnées sphériques étant angulaires ne peuvent être qualifiées d'« orthoradiale » ni de « longitudale », qualificatif réservé aux grandeurs linéaires ou déduite de grandeurs linéaires en ce qui concerne « orthoradial » et que l'on étendra à « longitudal ».
↑ En géographie on utilise préférentiellement la latitude notée pour repérer le point dans un demi-plan méridien à partir du point d'intersection de ce demi-plan avec le plan de l'équateur ; la latitude est orientée en sens inverse de la colatitude c.-à-d. comptée positivement du pôle Sud vers le pôle Nord, elle est définie selon , nulle quand est sur l'équateur, valant au pôle Nord et au pôle Sud ; son lien avec la colatitude est donnant effectivement une valeur nulle au pôle Nord, à l'équateur et au pôle Sud.
↑ 32,0 et 32,1 La 3ème cordonnée sphérique étant la même que la 2nde coordonnée cylindro-polaire .
↑ Ce n'est guère que dans le cadre de la cinématique quand on s'intéresse au vecteur accélération du point qu'on peut envisager de convertir le repérage sphérique en repérage cylindro-polaire car les expressions du vecteur accélération en repérage sphérique sont très compliquées alors qu'en repérage cylindro-polaire elles le sont nettement moins.
↑ On décompose d'abord les vecteurs de base sphérique dans la base cylindro-polaire puis ces derniers dans la base cartésienne
↑ On utilise d'abord le passage des coordonnées sphériques aux coordonnées cylindro-polaires avant de se servir du passage des coordonnées cylindriques aux coordonnées cartésiennes.
↑, il faut simultanément les expressions de et pour déterminer la valeur de .
↑ On utilise d'abord le passage des coordonnées cartésiennes aux coordonnées cylindro-polaires avant de se servir du passage des coordonnées cylindriques aux coordonnées sphériques.
↑ Suivre une certaine direction c'est suivre une certaine droite, donc un cas particulier de suivre une courbe.
↑ Il est rappelé que ce vecteur est unique à condition que ne soit pas un point anguleux de la courbe.
↑ On rappelle que, dans le cas général, le vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe continue n'est pas nul, ceci n'arrivant que très rarement.
↑ 42,0 et 42,1 On rappelle qu'une courbe dans l'espace à trois dimensions est caractérisée par deux équations cartésiennes, chaque équation cartésienne caractérisant une surface : étant l'équation du plan et l'équation d'un cylindre parabolique de génératrices à un cylindre étant généré par une droite « génératrice » ici de direction se déplaçant le long d'une courbe « directrice » ici la parabole le résultat étant encore appelé surface cylindrique.
↑ Il suffit de remplacer, dans l'expression générale du vecteur déplacement élémentaire, et par leur expression en fonction de .
↑ Si on essaie d'imaginer l'évolution du vecteur déplacement élémentaire on obtient mentalement l'allure du graphe de la parabole, le vecteur déplacement élémentaire étant tangent à la parabole.
↑ Le 1er vecteur de la base cylindro-polaire dépendant de sa différentielle n'est pas nulle contrairement au 3ème vecteur de cette base qui, étant constant, est de différentielle nulle.
↑ On écrit sous cette forme car il est directement à .
↑ 51,051,151,251,3 et 51,4 Elle est donc tracée sur un tuyau cylindrique de révolution avec si on « développe » le tuyau cylindrique de façon à ce que sa surface latérale devienne un plan, l'hélice devient une droite de pente égale au cœfficient de proportionnalité entre et , elle est qualifiée de « dextre » ou « droite » si le cœfficient de proportionnalité entre et est positif, ce qui correspond au fait qu'elle « monte » dans le sens trigonométrique, un observateur placé à l’extérieur la voit, lorsqu'elle est devant, « monter de gauche à droite » ; elle serait qualifiée de « senestre » ou « gauche » si le cœfficient de proportionnalité entre et était négatif, elle « monterait » dans le sens trigonométrique indirect ou rétrograde ou encore dans le sens horaire.
↑ 52,0 et 52,1 On rappelle qu'une courbe dans l'espace à trois dimensions est caractérisée par deux équations donc ici deux équations cylindro-polaires, chaque équation caractérisant une surface : étant l'équation d'un tuyau cylindrique de révolution d'axe et de rayon , l'équation d'une surface hors nomenclature mais que l'on pourrait appelée « rampe en colimaçon » elle est constituée de demi-droites à , dans la direction repérée par et issues du point de l'axe de côte c.-à-d. de valeur absolue d'autant plus grande que l'est, voir tracé à droite de celui de l'hélice circulaire.
↑ L'hélice circulaire est alors qualifiée de « gauche ».
↑ L'hélice circulaire est alors qualifiée de « droite ».
↑ Si on essaie d'imaginer l'évolution du vecteur déplacement élémentaire on obtient mentalement l'allure du graphe de l'hélice circulaire, le vecteur déplacement élémentaire étant tangent à l'hélice.
↑ Pour l'hélice circulaire droite étudiée, la pente de la droite correspondant au « développement » de l'hélice circulaire est de pente où est la longueur de l'arc de cercle de la base du tuyau cylindrique de révolution correspondant à la variation ou encore de pente .
↑ Ou le sens direct ou encore le sens antihoraire ou, mais très peu utilisé, le sens prograde.
↑ Ou le sens indirect ou encore le sens horaire ou, assez fréquemment utilisé, le sens rétrograde.
↑ Le 1er vecteur de la base sphérique dépendant de et sa différentielle n'est pas nulle son évaluation étant moins aisée que celle des deux 1ers vecteurs de base cylindro-polaire, nous ne la verrons qu'en complément.
↑ En repérage géographique le déplacement serait suivant la verticale dans le sens ascendant.
↑ En repérage géographique le déplacement serait suivant l'horizontale dirigée vers le Sud.
↑ 68,0 et 68,1 On fait une permutation circulaire pour que le 2ème vecteur de la base cylindro-polaire devienne le 3ème vecteur comme il l'est dans la base sphérique.
↑ 69,0 et 69,1 On rappelle que est figé pendant la durée de la dérivation c.-à-d. que ne varie pas.
↑ 70,0 et 70,1 On rappelle que est figé pendant la durée de la dérivation.
↑ 71,071,171,2 et 71,3 On rappelle la propriété établie dans le paragraphe « différentielle des vecteurs de base cylindro-polaire (à retenir) » plus haut dans ce chapitre et qui reste applicable ici : « quand on dérive un vecteur unitaire d'un plan fixe par rapport à l'angle qu'il fait avec une direction fixe de ce plan, on obtient un vecteur unitaire de ce plan directement au vecteur initial », ainsi dérivant par rapport à l'angle qu'il fait avec , le plan équatorial les contenant tous deux étant fixe on obtient se déduisant de par rotation de dans le plan équatorial ; dérivant par rapport à l'angle qu'il fait avec , le plan équatorial les contenant tous deux étant fixe on obtient se déduisant de par rotation de dans le plan équatorial. Dérivant par rapport à l'angle qu'il fait avec , le plan de la courbe les contenant tous deux étant fixe on obtient se déduisant de par rotation de dans le plan de la courbe.
↑ étant un vecteur unitaire du demi-plan méridien, on n'utilise que la partie de base sphérique située dans ce demi-plan à savoir .
↑ Il est rappelé que seule sa détermination géométrique est une exigence.
↑ 75,0 et 75,1 Une loxodromie de sphère est une courbe tracée sur une sphère telle qu'elle coupe les parallèles de cette sphère à angle constant, l'angle valant ici ; comme toute courbe de l'espace elle est déterminée par deux équations, dans le cas présent deux équations sphériques dont la 1ère est l'équation de la sphère de centre et de rayon et la 2ème l'équation d'une surface hors nomenclature constituée de demi-droites issues de caractérisées par sa colatitude et sa longitude associée Usuellement la 2ème équation est donnée en fonction de la latitude soit ou, avec , la réécriture de l'équation selon .
↑ Dérivation de fonctions composées : on dérive le logarithme népérien par rapport à son argument d'où , on multiplie par la dérivée de l'argument par rapport à l'argument de ce dernier soit et on termine en multipliant par la dérivée de par rapport à soit
↑ Le vecteur déplacement élémentaire suivant étant .
↑ On pourrait s'étonner des signes obtenus mais il ne faut pas oublier que variant de à , est , ainsi le vecteur déplacement élémentaire selon un demi-cercle méridien est bien en sens contraire de et celui selon un parallèle dans le sens de .
↑ La norme du vecteur déplacement élémentaire étant égale à d'après soit finalement «» en utilisant établissant que « est effectivement indépendant de » ; le plan tangent à la sphère au point étant de vecteurs de base , la pente calculée par rapport aux parallèles et comptée positivement vers le Nord est c.-à-d. « une pente effectivement indépendante de » la direction de faisant un angle constant de par rapport aux parallèles.
↑ 82,082,1 et 82,2 Le tracé a été fait avec «» ; la courbe est en rouge.
↑ Pour en déduire deux équations non paramétriques cartésiennes, cylindro-polaires ou sphériques nécessaires à la caractérisation de la courbe, il suffit d'éliminer le paramètre entre ces trois équations paramétriques cartésiennes, cylindro-polaires ou sphériques ; les deux équations non paramétriques obtenues ne sont pas uniques, en effet si on nomme les équations paramétriques de la courbe, on peut éliminer le paramètre
entre et , entre et d'où un 1er couple d'équations non paramétriques possibles ou
entre et , entre et d'où un 2ème couple d'équations non paramétriques possibles ou encore
entre et , entre et d'où un 3ème couple d'équations non paramétriques possibles.
↑ La façon de procéder serait la même en repérage paramétrique cylindro-polaire ou en repérage paramétrique sphérique.
↑ On aurait pu éliminer le paramètre à l'aide de la 3ème équation paramétrique selon «» donnant par report «» c.-à-d. l'équation cartésienne d'un plan à il s'agit du même plan que celui trouvé en éliminant le paramètre à l'aide de la 1ère équation paramétrique.
↑ On aurait pu éliminer le paramètre à l'aide de la 3ème équation paramétrique selon «» donnant par report «» c.-à-d. l'équation cartésienne d'un cylindre parabolique de génératrices à .
↑ En utilisant les notes « 85 » et « 86 » exposées plus haut dans ce chapitre consistant à éliminer à l'aide de l'équation paramétrique on a trouvé pour les deux équations cartésiennes de «» étant l'intersection d'un cylindre parabolique de génératrices à et d'un plan à est effectivement une parabolebien qu'il s'agisse ici d'un cylindre parabolique distinct de celui intervenant dans le corps du paragraphe, la parabole est évidemment la même.
↑ Souvent encore noté , ce qui ne pose aucun problème si le repérage sphérique n'est pas simultanément utilisé.
↑ C.-à-d. hors mécanique ondulatoiredomaine dans lequel les particules sont considérées comme des ondes de probabilité de présence réparties dans l'espace et non comme des objets y étant parfaitement localisés, les endroits de maximum de probabilité de présence s'identifiant à ce que seraient les trajectoires des particules si elles étaient considérées comme des objets localisés dans l'espace.
↑ Dans le cadre de la mécanique classique, l'électron est une particule quasi-ponctuelle et le noyau aussi, le mouvement ainsi étudié aboutit à certains résultats non observés expérimentalement, le physicien Niels Bohr a ajouté une condition que le mouvement de l'électron devait suivre pour être en accord avec l'expérience, cette condition porte sur le « moment cinétique » de l'électron grandeur caractérisant la rotation orbitale de l'électron, cette grandeur étant introduite dans le paragraphe « définition du vecteur moment cinétique du point matériel M dans le référentiel d'étude par rapport à un point A » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » qui, selon Niels Bohr, devait être un multiple d'une grandeur connue sous le nom de constante réduite de Planck, étant la constante de Planck ; le problème du mouvement de l'électron particule ponctuelle dans l'atome d'hydrogène avec cette condition de quantification est connu sous le nom de « modèle de Bohr de l'atome d'hydrogène » ce qui est extraordinaire c'est que l'on trouve ainsi les bons résultats expérimentaux bien que la condition de quantification du moment cinétique de l'électron se soit révélée par la suite fausse en effet dans le cadre de la mécanique ondulatoire on peut aussi définir un moment cinétique pour l'onde électronique mais le nombre quantique intervenant n'est pas celui considéré dans le modèle de Bohr de l'atome d'hydrogène, étonnant non ! ; Niels Henrik David Bohr (1885 - 1962), physicien danois, surtout connu pour son apport à la construction de la mécanique quantique, a obtenu le prix Nobel de physique en « pour ses contributions à la recherche sur la structure des atomes et sur le rayonnement qu'ils émettent » ; Max Karl Ernst Ludwig Planck (1858 - 1947), physicien allemand, l'un des fondateurs de la mécanique quantique, a obtenu le prix Nobel de physique en « pour ses travaux en théorie des quanta » ; en son hommage, la période de l'histoire cosmologique suivant immédiatement l'apparition de l'Univers pendant laquelle les quatre interactions fondamentales électromagnétisme, interaction faible, interaction forte et gravitation n'en formait qu'une, fut baptisée « ère de Planck », sa durée « temps de Planck » étant estimée à .
↑ Toutefois le vecteur-accélération d'un point dans le système de coordonnées sphériques étant trop compliqué pour être retenu ou trop long à établir pour être retrouvé, on se ramènera au système de coordonnées le plus proche pour appliquer la r.f.d.n. relation fondamentale de la dynamique newtonienne à savoir le repérage cylindro-polaire
↑ Il n'est donc pas exigible pour un étudiant de classe préparatoire option PCSI.
↑ Traduisant le fait que la vitesse lue sur le tachymètre augmente ou diminue.
↑ La distance non algébrisée séparant de sur étant .
↑ 96,096,196,296,396,496,5 et 96,6 En un point anguleux d'une courbe continue on définit deux tangentes ne coïncidant pas, l'une à gauche et l'autre à droite, pour un point non anguleux il n'existe donc qu'une seule tangente.
↑ 97,0 et 97,1 Une définition plus précise également valable pour une courbe gauche pourrait être : soient un point de et un point voisin de sur , le cercle osculateurencore appelé cercle de courbure de la courbe au point est la limite du cercle passant par et en étant tangent à en quand tend vers , voir aussi le paragraphe « Définitions et propriétés » de l'article de « wikipédia » intitulé « cercle osculateur ».
↑ Pour définir un cercle osculateur il faut qu'il existe une tangente unique au point , on ne peut donc pas définir un cercle osculateur en un point anguleux où existe une tangente à gauche de la tangente à droite mais on peut définir un cercle osculateur à gauche et un cercle osculateur à droite.
↑ Pour définir un plan osculateur il faut bien sûr que les plans tangents existent c.-à-d. qu'il existe une tangente unique au point , tout plan contenant cette tangente et il y en a une infinité définissant alors un plan tangent particulier, parmi tous ces plans il en existe un se rapprochant localement le plus de la courbe c'est le plan osculateur.
↑ La notion de plan osculateur a été introduite par Alexis Claude Clairaut (1713 - 1765)mathématicien français particulièrement précoce à l'âge de douze ans il écrit un mémoire sur quatre courbes géométriques et entre à l'Académie des Sciences à dix-huit ans, on lui doit des travaux en analyse mathématique, en géométrie différentielle et en géodésiescience s'attachant à résoudre les dimensions et la forme de la Terre.
↑ La normale principale à en est encore la direction normale dans le plan osculateur ou le plan de la courbe si cette dernière est plane.
↑ Ou, si la courbe est plane, au plan de la courbe ; ce plan étant usuellement noté et le vecteur normal secondaire est noté ou suivant le sens du vecteur normal secondaire défini ci-après.
↑ Ainsi l'angle entre le vecteur unitaire tangentiel et le vecteur normal principal est . Si la courbe est plane dans le plan , le sens «» des mesures d'angle de ce plan doit être tel que ; Si la courbe est plane dans le plan or ce sens «» est déterminé par le sens du vecteur normal secondaire, d'où Si la courbe est plane dans le plan , le vecteur normal secondaire est si correspondant à directe, le plan étant orienté dans le sens Si la courbe est plane dans le plan , le vecteur normal secondaire est si correspondant à directe, trigonométrique ou anti-horaire ou Si la courbe est plane dans le plan , le vecteur normal secondaire est si correspondant à indirecte, le plan étant orienté Si la courbe est plane dans le plan , le vecteur normal secondaire est si correspondant à dans le sens anti-trigonométrique ou horaire. Remarque : voir les notes « 58 » et « 59 » plus haut dans ce chapitre pour d'autres appellations synonymes de trigonométrique et anti-trigonométrique.
↑ Ce pourrait être un point fixe de et en particulier le point .
↑ 107,0 et 107,1 Omis pour une courbe plane d'où les parenthèses.
↑ 108,0 et 108,1 Voir le paragraphe « 2ème vecteur de la base de Frenet associée à un point de la courbe : vecteur unitaire normal principal » plus haut dans ce chapitre. Le vecteur unitaire normal principal de Frenet en un point non anguleux d'une courbe plane est directement au vecteur unitaire tangentiel en de « directement » car on choisit d'orienter le plan de la courbe tel que l'angle algébrisé , le vecteur unitaire normal secondaire au plan de la courbe orientant ces angles étant, dans le cas de la figure, de sens opposé à mais il serait dans le sens de si la courbure de en était inversée, c.-à-d. si le centre de courbure associé était de l'autre côté de voir aussi la note « 104 » plus haut dans ce chapitre.
↑ Par égalité d'angles à côtés respectivement , cette propriété étant applicable à condition qu'il n'y ait pas de point d'inflexion de entre et , en effet la présence d'un point d'inflexion de entre et une inversion de courbure de entre ces deux points et comme le vecteur unitaire normal est toujours de sens vers le centre de courbure associé, un positionnement inverse de par rapport à entre les deux points ce qui nécessite que les sens de mesure des angles soient inversés lors du passage d'un point à l'autre d'où l'inapplicabilité de la propriété énoncée.
↑ À chaque valeur d'abscisse curviligne on associe un point que la courbe soit ouverte ou fermée et à chaque point , non anguleux, on associe une valeur de , aussi peut-on définir de façon unique la fonction ; en restreignant éventuellement le domaine de définition de on peut alors inverser la fonction pour obtenir la fonction inverse ; dans «» on reconnaît la définition de la dérivée par rapport à de .
↑ Les définitions et expressions ayant permis d'établir cette relation pour une courbe plane n'ayant aucune signification pour une courbe gauche, seule cette relation est utilisable dans le cas d'une courbe gauche.
↑ Obtenue en dérivant l'équation paramétrique vectorielle de la courbe par rapport à .
![{\displaystyle \;\theta ={\widehat {\left({\overrightarrow {Ox}}\,{\text{,}}\,{\overrightarrow {OM_{xy}}}\right)}}\in \left]-\pi \,{\text{,}}\,+\pi \right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6101f10d214bef769dd9482448bec3100ed4711)
![{\displaystyle \;\theta ={\widehat {\left({\overrightarrow {Oz}}\,{\text{,}}\,{\overrightarrow {OM}}\right)}}\in \left[0\,{\text{,}}\,+\pi \right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16b6e22cc56594affb962665a116a54f99a0938c)
![{\displaystyle \;\varphi ={\widehat {\left({\overrightarrow {Ox}}\,{\text{,}}\,{\overrightarrow {OM_{xy}}}\right)}}\in \left]-\pi \,{\text{,}}\,+\pi \right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21a815a7aac2161be56752772a47d4d455e3b99f)
![{\displaystyle \theta \in \left[0\,{,}\,+\pi \right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c1fe6d129e7496f06f23c53265690c6ac10b9b0)
![{\displaystyle \;{\overrightarrow {MM'}}=d\!\left[{\overrightarrow {OM}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c405274be54cf5b9eb1516e0e1a67d0fcc6ca1e)
![{\displaystyle \;{\overrightarrow {dM}}=dx\;{\vec {u}}_{x}+dy\;{\vec {u}}_{y}\;{\cancel {+\;dz\;{\vec {u}}_{z}}}=\left[{\vec {u}}_{x}+2\,a\,x\;{\vec {u}}_{y}\right]\,dx\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c30f84f5afc95260d9cbc501ccd7ac5312b93c1)
![{\displaystyle \;{\overrightarrow {dM}}=d\rho \;{\vec {u}}_{\rho }+\rho \;d\!\left[{\vec {u}}_{\rho }\right]+dz\;{\vec {u}}_{z}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdf2655709e3d438d899725c28b42aab9a22c656)
![{\displaystyle \;\left\lbrace {\begin{array}{l}d\!\left[{\vec {u}}_{\rho }\right]={\dfrac {d\!\left[{\vec {u}}_{\rho }\right]}{d\theta }}\;d\theta \\d\!\left[{\vec {u}}_{\theta }\right]={\dfrac {d\!\left[{\vec {u}}_{\theta }\right]}{d\theta }}\;d\theta \\d\!\left[{\vec {u}}_{z}\right]={\vec {0}}\end{array}}\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6d6e73647ef8c9d0563b30d0b25e86deed45963)
![{\displaystyle \;\left\lbrace {\begin{array}{l c r c r c r}{\dfrac {d\!\left[{\vec {u}}_{\rho }\right]}{d\theta }}\!\!&=&\!\!\cos \!\left(\theta +{\dfrac {\pi }{2}}\right)\,{\vec {u}}_{x}\!\!&+&\!\!\sin \!\left(\theta +{\dfrac {\pi }{2}}\right)\,{\vec {u}}_{y}\!\!&=&\!\!{\vec {u}}_{\theta }\\{\dfrac {d\!\left[{\vec {u}}_{\theta }\right]}{d\theta }}\!\!&=&\!\!\cos \!\left(\theta +\pi \right)\,{\vec {u}}_{x}\!\!&+&\!\!\sin \!\left(\theta +\pi \right)\,{\vec {u}}_{y}\!\!&=&\!\!-{\vec {u}}_{\rho }\end{array}}\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fda8ab1556fe9bb63ac8b9045c740ab1da97fc9)
![{\displaystyle \;{\dfrac {d\!\left[{\vec {u}}_{\rho }\right]}{d\theta }}={\vec {u}}_{\theta }\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba803b0769fe9c8070075752ac0dbfc73e7be629)
![{\displaystyle \;{\dfrac {d\!\left[{\vec {u}}_{\theta }\right]}{d\theta }}=-{\vec {u}}_{\rho }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1102636df0d1283354760fb3be5a4069e653667)
![{\displaystyle \;{\dfrac {d\!\left[{\vec {u}}_{\rho }\right]}{d\theta }}={\vec {u}}_{z}\wedge {\vec {u}}_{\rho }={\vec {u}}_{\theta }\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a03044ada35b58702aea3fa820775e4873da2477)
![{\displaystyle \;{\dfrac {d\!\left[{\vec {u}}_{\theta }\right]}{d\theta }}={\vec {u}}_{z}\wedge {\vec {u}}_{\theta }=-{\vec {u}}_{\rho }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7149ffb4b3075ad4c1b413cb55fdaae0aadb17e1)
![{\displaystyle \;\left\lbrace {\begin{array}{l}d\!\left[{\vec {u}}_{\rho }\right]={\vec {u}}_{\theta }\;d\theta \\d\!\left[{\vec {u}}_{\theta }\right]=-{\vec {u}}_{\rho }\;d\theta \\d\!\left[{\vec {u}}_{z}\right]={\vec {0}}\end{array}}\right\rbrace }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/301b92e0275329850adfff40511faf02accdcf3f)
![{\displaystyle \;d\!\left[{\vec {u}}_{\rho }\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb00374b04c93f7953dc77d08aae7a31f38a11b3)
![{\displaystyle \;{\overrightarrow {dM}}=\left[a\;{\vec {u}}_{\theta }+h\;{\vec {u}}_{z}\right]d\theta \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5efe0388efca0dc1b76f06281d8c345ea241d323)
![{\displaystyle \;{\overrightarrow {dM}}=dr\;{\vec {u}}_{r}+r\;d\!\left[{\vec {u}}_{r}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ca482082e799678147e23caa377424f61d3b100)
![{\displaystyle \;\left[r\,\sin(\theta )\right]d\varphi \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f2c27807522a87cbca2629fb5975bcb0a8019ee)
![{\displaystyle \;\left[dr,\,r\,d\theta ,\,r\,\sin(\theta )\,d\varphi \right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42d643dec25f3078c01a677cc1fa85b4e2c18564)
![{\displaystyle \;\left\lbrace {\begin{array}{l}d\!\left[{\vec {u}}_{r}\right]=\left[{\dfrac {\partial \left({\vec {u}}_{r}\right)}{\partial \theta }}\right]_{\varphi }(\theta ,\,\varphi )\;d\theta +\left[{\dfrac {\partial \left({\vec {u}}_{r}\right)}{\partial \varphi }}\right]_{\theta }(\theta ,\,\varphi )\;d\varphi \\d\!\left[{\vec {u}}_{\theta }\right]=\left[{\dfrac {\partial \left({\vec {u}}_{\theta }\right)}{\partial \theta }}\right]_{\varphi }(\theta ,\,\varphi )\;d\theta +\left[{\dfrac {\partial \left({\vec {u}}_{\theta }\right)}{\partial \varphi }}\right]_{\theta }(\theta ,\,\varphi )\;d\varphi \\d\!\left[{\vec {u}}_{\varphi }\right]={\dfrac {d\!\left({\vec {u}}_{\varphi }\right)}{d\varphi }}(\varphi )\;d\varphi \end{array}}\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a4c8e89267187231108ee4a9147f8cd31986671)
![{\displaystyle \;\left[{\dfrac {\partial \left({\vec {u}}_{r}\right)}{\partial \theta }}\right]_{\varphi }=\cos \!\left(\theta +{\dfrac {\pi }{2}}\right)\;{\vec {u}}_{z}+\sin \!\left(\theta +{\dfrac {\pi }{2}}\right)\;{\vec {u}}_{\rho }(\varphi )\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5050152678228acc565932591b200104b5a10521)
![{\displaystyle \;\left[{\dfrac {\partial \left({\vec {u}}_{r}\right)}{\partial \theta }}\right]_{\varphi }={\vec {u}}_{\theta }\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6afe83ffbd0955e5577b4307771d6548e7f5f7d)
![{\displaystyle \;\left[{\dfrac {\partial \left({\vec {u}}_{r}\right)}{\partial \varphi }}\right]_{\theta }=\sin(\theta )\;{\dfrac {d\left[{\vec {u}}_{\rho }\right]}{d\varphi }}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f40b13c9023d9f99b9f4916f7dc1644bdab92ba)
![{\displaystyle \;{\dfrac {d\left[{\vec {u}}_{\rho }\right]}{d\varphi }}={\vec {u}}_{\varphi }\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3947de04f8363f94c0ff8f3ecc04dfd87eaa324c)
![{\displaystyle \;\left[{\dfrac {\partial \left({\vec {u}}_{r}\right)}{\partial \varphi }}\right]_{\theta }=\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{\varphi }\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ba390ba5d086bd5eff814ea36ceb4fbdf646789)
![{\displaystyle \;\left[{\dfrac {\partial \left({\vec {u}}_{\theta }\right)}{\partial \theta }}\right]_{\varphi }=\cos \!\left(\theta +\pi \right)\;{\vec {u}}_{z}+\sin \!\left(\theta +\pi \right)\;{\vec {u}}_{\rho }(\varphi )\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa0365be4b56d45dc430cc8a831ad47adb61461a)
![{\displaystyle \;\left[{\dfrac {\partial \left({\vec {u}}_{\theta }\right)}{\partial \theta }}\right]_{\varphi }=-{\vec {u}}_{r}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a59edab0e19b4ed939893044aea82940c412c0f)
![{\displaystyle \;\left[{\dfrac {\partial \left({\vec {u}}_{\theta }\right)}{\partial \varphi }}\right]_{\theta }=\cos(\theta )\;{\dfrac {d\left[{\vec {u}}_{\rho }\right]}{d\varphi }}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d8c79a98711a0c3c3bd70b212d677e04a710304)
![{\displaystyle \;\left[{\dfrac {\partial \left({\vec {u}}_{\theta }\right)}{\partial \varphi }}\right]_{\theta }=\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{\varphi }\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09e0433c429aa1f8f7a914346b247cc54c22c4ec)
![{\displaystyle \;{\dfrac {d\left[{\vec {u}}_{\varphi }\right]}{d\varphi }}=-{\vec {u}}_{\rho }\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4ba76403d1872f379366e33075888db72cdbf6b)
![{\displaystyle \;{\dfrac {d\left[{\vec {u}}_{\varphi }\right]}{d\varphi }}=-\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{r}-\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{\theta }\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2433d6a91cd3bbc776c2724b1b11fd1005df585)
![{\displaystyle \;\left\lbrace {\begin{array}{l c r c r}d\!\left[{\vec {u}}_{r}\right]\!\!&=&\!\!{\vec {u}}_{\theta }\;d\theta \!\!&+&\!\!\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{\varphi }\;d\varphi \\d\!\left[{\vec {u}}_{\theta }\right]\!\!&=&\!\!-{\vec {u}}_{r}\;d\theta \!\!&+&\!\!\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{\varphi }\;d\varphi \\d\!\left[{\vec {u}}_{\varphi }\right]\!\!&=&\!\!&-&\left[\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{r}+\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{\theta }\right]\,d\varphi \end{array}}\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e8535624e71cfbece784a9efc5664d062519a70)
![{\displaystyle \;d\!\left[{\vec {u}}_{r}\right]={\vec {u}}_{\theta }\;d\theta +\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{\varphi }\;d\varphi \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8105ca99c08d38d8258b09ad8b8939d283f2a02)
![{\displaystyle \;\left\lbrace {\begin{array}{l}r=a\\\varphi =-\tan \!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)\,\ln \!\left[\tan \!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)\right]\end{array}}\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da33d1f075ba2329629737df49c58542688f0385)
![{\displaystyle \;{\overrightarrow {dM}}=\left[a\;{\vec {u}}_{\theta }-a\;\sin(\theta )\;{\dfrac {\tan \!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)}{\sin(\theta )}}\;{\vec {u}}_{\varphi }\right]d\theta \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de0a12d12f8a76d77084a6d4ea84358fb46567e2)
![{\displaystyle \;{\overrightarrow {dM_{\theta }}}=a\;{\vec {u}}_{\theta }\;d\theta {\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e768b95ab14f6c9d4524381ceb0fe0b3a63bc5eb)
![{\displaystyle \;{\overrightarrow {dM}}=\left[{\vec {u}}_{\theta }-\tan \!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right){\vec {u}}_{\varphi }\right]a\;d\theta \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a5792f5e209d416df80ffe888b2df38587da888)
![{\displaystyle \;\varphi =-\tan \!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)\,\ln \!\left[\tan \!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f746a72b6ebc1486c5de64e48f975622ae318e17)
![{\displaystyle \;A{\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2843d12e0f85b01796870d9938a7b6088cb78b07)
![{\displaystyle {\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31d63350d68291e3f56604a089e0e0b5a86c2472)
![{\displaystyle \;M{\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19a7e7677d7c8ddfa751d0cc213d5919154c4bd9)
![{\displaystyle \;{\mathcal {R}}_{M_{1}}=\lim \limits _{M_{2}\rightarrow M_{1}}\left[{\mathcal {R}}_{{\text{moy sur }}{\overset {\frown }{M_{1}M_{2}}}}\right]=\lim \limits _{\delta \alpha \rightarrow 0}\left[{\dfrac {\delta s}{\delta \alpha }}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb2b5f530a32b58c269dd447f71e0f8292834916)
![{\displaystyle \;\sin \!\left({\dfrac {\pi }{2}}+\theta \right)=\sin \!\left[{\dfrac {\pi }{2}}-(-\theta )\right]=\cos(-\theta )=\cos(\theta )\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39ceacdd2d70a0bfa6d8ab5c180a879eaf194a4a)
![{\displaystyle \;\cos \!\left({\dfrac {\pi }{2}}+\theta \right)=\cos \!\left[{\dfrac {\pi }{2}}-(-\theta )\right]=\sin(-\theta )=-\sin(\theta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82342ad4778aa05cd0b70655675be1a1396d61a0)
![{\displaystyle \;\varphi \in \left]-\pi \,{,}\,+\pi \right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7235509e06bbeaa2e4812cb8b904a7e75df255e)
![{\displaystyle \;z{\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d565a0566c58be3a47f3ed34a32325154bddb3ee)
![{\displaystyle \;M_{z}M{\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/509fc638795d5b2ecba01db831a236c36fb2853f)
![{\displaystyle \;\varphi =-\tan \!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)\,\ln \!\left[\tan \!\left({\dfrac {\pi }{4}}-{\dfrac {\lambda }{2}}\right)\right]=-\tan \!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)\,\ln \!\left\lbrace \tan \!\left[{\dfrac {\pi }{2}}-\left({\dfrac {\pi }{4}}+{\dfrac {\lambda }{2}}\right)\right]\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e54221a9ca0321e9e70208143602ef30ebcdc44)
![{\displaystyle \;\varphi =-\tan \!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)\,\ln \!\left[{\dfrac {1}{\tan \!\left({\dfrac {\pi }{4}}+{\dfrac {\lambda }{2}}\right)}}\right]=\tan \!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)\,\ln \!\left[\tan \!\left({\dfrac {\pi }{4}}+{\dfrac {\lambda }{2}}\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c3f57c276d8b067a390f4cd2b43154b6816484b)
![{\displaystyle \;\Vert {\overrightarrow {dM}}\Vert ={\sqrt {1^{2}+\left[-\tan \!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)\right]^{2}}}\;a\,\vert d\theta \vert ={\sqrt {1+\tan ^{2}\!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)}}\;a\,\vert d\theta \vert ={\dfrac {a}{\cos \!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)}}\,\vert d\theta \vert \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b53b28daccaa39b4acb4f867dedc1f8ede20fef7)
![{\displaystyle {\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6409e9848c1422eef16462fbeae301d8fa0f831)
![{\displaystyle {\big )}{\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fd0c02f32f607a22fbd5b1388a07b45e1c3f614)
![{\displaystyle \;{\widehat {\left({\vec {\tau }},\;{\vec {n}}\right)}}={\widehat {\left({\vec {u}}_{x},\;{\vec {u}}_{y}\right)}}{\Big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29d8caab9b5b3c67042efe62443e5401118c50ee)
![{\displaystyle \;\color {transparent}{{\widehat {\left({\vec {\tau }},\;{\vec {n}}\right)}}={\widehat {\left({\vec {u}}_{x},\;{\vec {u}}_{y}\right)}}{\Big ]}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43f5ba2af92368e2616d47e4f87a7a926411fea4)
![{\displaystyle \;{\widehat {\left({\vec {\tau }},\;{\vec {n}}\right)}}=-{\widehat {\left({\vec {u}}_{x},\;{\vec {u}}_{y}\right)}}{\Big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6298a3232642f6f7cec5508812af8e3d9d4e69a9)
![{\displaystyle \;\color {transparent}{{\widehat {\left({\vec {\tau }},\;{\vec {n}}\right)}}=-{\widehat {\left({\vec {u}}_{x},\;{\vec {u}}_{y}\right)}}{\Big ]}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/962a24b66fb8d91ccf5599ee0a9eddc0e5375c56)
![{\displaystyle {\bigg ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6515d4ab3aeccb7f846142fd40a7d0f7d1129e6e)
![{\displaystyle \;\lim \limits _{\delta \alpha \rightarrow 0}\left[{\dfrac {\delta s}{\delta \alpha }}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67f00ce4b4848164b34d62df711d535512e8578f)
