Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Divers repérages d'un point dans l'espace

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Nous supposerons, dans tout ce chapitre, l'espace « orienté à droite » .

Repérage intrinsèque d'un point dans l'espace

Vecteur position d'un point

     Un corps physique fixe dans l'espace définissant un « référentiel d'espace » $\;{\mathcal {R}}\;$ par rapport auquel on peut positionner tout point, on y choisit « un point fixe » $\;O\;$ et
     on repère « un point quelconque » $\;M\;$ de l'espace dans $\;{\mathcal {R}}\;$ de façon intrinsèque par le vecteur $\;{\overrightarrow {OM}}\;$ appelé « vecteur position du point » $\;M$.

Repérage cartésien d'un point dans l'espace

Choix d'un repère cartésien

     Un corps physique fixe dans l'espace ayant été défini comme « référentiel d'espace » $\;{\mathcal {R}}$, on lui associe un « repère cartésien » c.-à-d. qu'on y choisit une « origine » $\;O\;$ fixe dans $\;{\mathcal {R}}\;$ et une « base orthonormée » $\;{\big (}$usuellement directe ${\big )}$ $\;\left({\vec {u}}_{x},\,{\vec {u}}_{y},\,{\vec {u}}_{z}\right)\;$ également fixe dans $\;{\mathcal {R}}$,
          chaque vecteur de base orientant un axe passant par $\;O\;$ à savoir :

• $\;{\overrightarrow {Ox}}\;$ orienté par $\;{\vec {u}}_{x}$ $\;{\big (}$axe des abscisses${\big )}$,
• $\;{\overrightarrow {Oy}}\;$ orienté par $\;{\vec {u}}_{y}$ $\;{\big (}$axe des ordonnées${\big )}\;$ et
• $\;{\overrightarrow {Oz}}\;$ orienté par $\;{\vec {u}}_{z}$ $\;{\big (}$axe des cotes${\big )}$.

Coordonnées cartésiennes d'un point

     Le vecteur position de $\;M\;$ se décomposant dans la base cartésienne selon $\;{\overrightarrow {OM}}=x\,{\vec {u}}_{x}+y\,{\vec {u}}_{y}+z\,{\vec {u}}_{z}$,

$\;\left(x,\,y,\,z\right)\;$ définissent les coordonnées cartésiennes du point $\;M\;$ ${\big (}x\;$ abscisse, $\;y\;$ ordonnée et $\;z\;$ cote${\big )}$.

Propriété

     Les coordonnées cartésiennes de $\;M\;$ sont aussi les mesures algébriques $-$ comptées sur l'axe considéré $-$ de la distance entre l'origine $\;O\;$ et le projeté orthogonal de $\;M\;$ sur cet axe, ainsi :
          appelant $\;M_{x}\;$ le projeté orthogonal de $\;M\;$ sur $\;{\overrightarrow {Ox}}$, l'abscisse est égale à $\;x={\overline {OM_{x}}}$,
          appelant $\;M_{y}\;$ le projeté orthogonal de $\;M\;$ sur $\;{\overrightarrow {Oy}}$, l'ordonnée est égale à $\;y={\overline {OM_{y}}}\;$ et
          appelant $\;M_{z}\;$ le projeté orthogonal de $\;M\;$ sur $\;{\overrightarrow {Oz}}$, la cote est égale à $\;z={\overline {OM_{z}}}$ ;
     de plus notant $\;M_{xy}\;$ le projeté orthogonal de $\;M\;$ sur le plan $\;xOy$, on a $\;{\overrightarrow {OM_{xy}}}=x\,{\vec {u}}_{x}+y\,{\vec {u}}_{y}$,
     de plus notant $\;M_{yz}\;$ le projeté orthogonal de $\;M\;$ sur le plan $\;yOz$, on a $\;{\overrightarrow {OM_{yz}}}=y\,{\vec {u}}_{y}+z\,{\vec {u}}_{z}\;$ et
     de plus notant $\;M_{zx}\;$ le projeté orthogonal de $\;M\;$ sur le plan $\;zOx$, on a $\;{\overrightarrow {OM_{zx}}}=x\,{\vec {u}}_{x}+z\,{\vec {u}}_{z}$.

Repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace

Principe du repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point

Vue en perspective du repérage cylindro-polaire $\;{\big (}$ou cylindrique${\big )}\;$ d'un point $\;M\;$

     Appelant $\;M_{z}\;$ le projeté orthogonal de $\;M\;$ sur l'axe $\;{\overrightarrow {Oz}}\;$ et $\;M_{xy}\;$ celui de $\;M\;$ sur le plan $\;xOy$, on conserve
          la localisation de $\;M_{z}\;$ par sa cote $\;z\;$ mais
          on modifie celle de $\;M_{xy}\;$ relativement au repérage cartésien en repérant $\;M_{xy}\;$ par la distance $\;\rho \;$ le séparant de l'origine $\;O\;$ et par l'angle orienté $\;\theta \;$ que fait $\;{\overrightarrow {OM_{xy}}}\;$ avec $\;{\overrightarrow {Ox}}$,
     on obtient ainsi le repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'axe $\;{\overrightarrow {Oz}}$.
     Voir schéma en perspective ci-contre.

Coordonnées cylindro-polaires et base locale associée d'un point

Vues projetées du repérage cylindro-polaire $\;{\big (}$ou cylindrique${\big )}\;$ d'un point $\;M$ : demi-plan méridien et vue de dessus

     Les coordonnées cylindro-polaires (ou cylindriques) de $\;M\;$ sont $\;(\rho ,\,\theta ,\,z)\;$ avec

• $\;\rho =\left\Vert {\overrightarrow {OM_{xy}}}\right\Vert \geqslant 0\;$ sa « coordonnée radiale » ,
• $\;\theta ={\widehat {\left({\overrightarrow {Ox}}\,{\text{,}}\,{\overrightarrow {OM_{xy}}}\right)}}\in \left]-\pi \,{\text{,}}\,+\pi \right]\;$ sa « coordonnée angulaire » et
• $\;z={\overline {OM_{z}}}\;$ sa cote ;

     il faut savoir remplacer le schéma en perspective par deux schémas de projection, l'un dans le demi-plan méridien $\;\theta =cste\;$ et l'autre en vue de dessus $\;z=0\;$ voir ci-contre.

     On définit la base « cylindro-polaire » (ou cylindrique) liée à $\;M\;$ $\;({\vec {u}}_{\rho },\,{\vec {u}}_{\theta },\,{\vec {u}}_{z})\;$ orthonormée directe avec

• le 1^er vecteur de la base $\;{\vec {u}}_{\rho }={\dfrac {\overrightarrow {OM_{xy}}}{\rho }}$,
• le 2^nd vecteur de la base $\;{\vec {u}}_{\theta }\;$ dans le plan $\;xOy\;$ « directement $\;\perp \;$ au précédent » ${\big (}$on peut encore le définir par $\;{\vec {u}}_{\theta }=$ ${\vec {u}}_{z}\wedge {\vec {u}}_{\rho }{\big )}\;$ et
• le 3^ème vecteur de la base $\;{\vec {u}}_{z}\;$ identique au 3^ème vecteur de la base cartésienne ;

     cette base est liée à $\;M\;$ car les deux premiers vecteurs de la base dépendent de $\;\theta$ :

• le 1^er $\;{\vec {u}}_{\rho }={\vec {u}}_{\rho }(\theta )\;$ est appelé « vecteur radial »,
• le 2^nd $\;{\vec {u}}_{\theta }={\vec {u}}_{\theta }(\theta )\;$ « vecteur orthoradial » et
• le 3^ème constant $\;{\vec {u}}_{z}\;$ « vecteur axial » .

Composantes cylindro-polaires du vecteur position d'un point

     Le vecteur position du point $\;M\;$ s'écrivant dans la base cylindro-polaire liée à $\;M\;$ selon

$\;{\overrightarrow {OM}}=\rho \,{\vec {u}}_{\rho }+z\,{\vec {u}}_{z}\;$,

     on en déduit que les composantes radiale et axiale du vecteur position sont respectivement $\;{\overline {OM_{\rho }}}=\rho \;$ et $\;{\overline {OM_{z}}}=z\;$ identiques aux coordonnées radiale et axiale du point,
      on en alors que la composante orthoradiale du vecteur position $\;{\overline {OM_{\theta }}}=0\;$ diffère de la coordonnée angulaire $\;\theta \;$ du point .

Lien entre repérages cylindro-polaire et cartésien d'un point

Repérage cylindro-polaire en fonction du repérage cartésien

     Vecteurs de base cylindro-polaire (ou cylindrique) en fonction des vecteurs de base cartésienne : $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\vec {u}}_{\rho }=\quad \;\;\;\cos(\theta )\;\;\;{\vec {u}}_{x}+\quad \;\;\;\sin(\theta )\;\;\;{\vec {u}}_{y}\\{\vec {u}}_{\theta }=\cos \!\left(\theta +{\dfrac {\pi }{2}}\right){\vec {u}}_{x}+\sin \!\left(\theta +{\dfrac {\pi }{2}}\right){\vec {u}}_{y}\end{array}}\right.$, le 3^ème vecteur étant le même ou encore $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\vec {u}}_{\rho }=\;\;\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{x}+\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{y}\\{\vec {u}}_{\theta }=-\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{x}+\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{y}\end{array}}\right.\;$.

     Coordonnées cylindro-polaires (ou cylindriques) en fonction des coordonnées cartésiennes : $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}\rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\\\cos(\theta )={\dfrac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\\\sin(\theta )={\dfrac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\end{array}}\right.\;$ ${\big [}\theta \;$ étant défini à $\;2\,\pi$ près, il faut simultanément les expressions de $\;\cos(\theta )\;$ et $\;\sin(\theta )\;$ pour déterminer la valeur de $\;\theta {\big ]}$, la 3^ème cordonnée étant la même.

Repérage cartésien en fonction du repérage cylindro-polaire

     Vecteurs de base cartésienne en fonction des vecteurs de base cylindro-polaire (ou cylindrique) : $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\vec {u}}_{x}=\quad \;\;\;\cos(-\theta )\;\;\;{\vec {u}}_{\rho }+\quad \;\;\;\sin(-\theta )\;\;\;{\vec {u}}_{\theta }\\{\vec {u}}_{y}=\cos \!\left(-\theta +{\dfrac {\pi }{2}}\right){\vec {u}}_{\rho }+\sin \!\left(-\theta +{\dfrac {\pi }{2}}\right){\vec {u}}_{\theta }\end{array}}\right.$, le 3^ème vecteur étant le même ou encore $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\vec {u}}_{x}=\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{\rho }-\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{\theta }\\{\vec {u}}_{y}=\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{\rho }+\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{\theta }\end{array}}\right.\;$.

     Coordonnées cartésiennes en fonction des coordonnées cylindro-polaires (ou cylindriques) : $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}x=\rho \,\cos(\theta )\\y=\rho \,\sin(\theta )\end{array}}\right.$, la 3^ème cordonnée étant la même.

     Remarque : Le repérage cylindro-polaire $\;{\big (}$ou cylindrique${\big )}\;$ se suffit à lui-même, il ne faut jamais $-$ sauf dans de très rares cas $-$ transformer le repérage cylindro-polaire en repérage cartésien ; si on utilise le repérage cylindro-polaire c'est que le traitement dans ce repérage est plus simple que dans le repérage cartésien, et il peut être nettement plus simple !

Repérage sphérique d'un point dans l'espace

Principe du repérage sphérique d'un point

Vue en perspective du repérage sphérique d'un point $\;M$

     Appelant $\;M_{z}\;$ le projeté orthogonal de $\;M\;$ sur l'axe $\;{\overrightarrow {Oz}}\;$ et $\;M_{xy}\;$ celui de $\;M\;$ sur le plan $\;xOy$, on définit le demi-plan méridien contenant $\;(Oz)\;$ et $\;M_{xy}\;$ et
          on repère ce demi-plan méridien par
$\;\succ \;$ l'angle orienté $\;\varphi \;$ qu'il fait avec le demi-plan méridien de référence $\;xOz$ $\;{\big (}$analogue géographique de la longitude${\big )}$, puis
          on repère $\;M\;$ dans ce demi-plan méridien par

• la distance $\;r\;$ séparant $\;M\;$ de $\;O$ $\;{\big (}$analogue géographique de l'altitude augmentée du rayon de la Terre${\big )}\;$ et
• l'angle orienté $\;\theta \;$ que fait $\;{\overrightarrow {OM}}\;$ ${\big (}$le vecteur position de $\;M{\big )}\;$ avec l'axe $\;{\overrightarrow {Oz}}$ $\;{\big (}$analogue géographique de la colatitude${\big )}$ ;

     on obtient ainsi le repérage sphérique ${\big (}$de pôle $\;O\;$ et${\big )}$ d'axe $\;{\overrightarrow {Oz}}$, ce repérage utilisant une distance non algébrisée et deux angles orientés.

     Voir schéma en perspective ci-contre.

Coordonnées sphériques et base locale associée d'un point

Vues projetées du repérage sphérique d'un point $\;M$ : demi-plan méridien et vue de dessus

     Les coordonnées sphériques de $\;M\;$ sont $\;(r,\,\theta ,\,\varphi )\;$ avec

• $\;r=\left\Vert {\overrightarrow {OM}}\right\Vert \geqslant 0\;$ son « rayon (polaire) » ,
• $\;\theta ={\widehat {\left({\overrightarrow {Oz}}\,{\text{,}}\,{\overrightarrow {OM}}\right)}}\in \left[0\,{\text{,}}\,+\pi \right]\;$ sa « colatitude » et
• $\;\varphi ={\widehat {\left({\overrightarrow {Ox}}\,{\text{,}}\,{\overrightarrow {OM_{xy}}}\right)}}\in \left]-\pi \,{\text{,}}\,+\pi \right]\;$ sa « longitude »  ;

     il faut savoir remplacer le schéma en perspective par deux schémas de projection dans le demi-plan méridien $\;\varphi =cste\;$ et en vue de dessus $\;z=0\;$, voir ci-contre $\;{\big (}$la base cylindro-polaire y est rappelée en marron${\big )}$.
     On définit la base « sphérique » liée à $\;M\;$ $\;({\vec {u}}_{r},\,{\vec {u}}_{\theta },\,{\vec {u}}_{\varphi })\;$ orthonormée directe avec

• le 1^er vecteur de la base $\;{\vec {u}}_{r}={\dfrac {\overrightarrow {OM}}{r}}$,
• le 2^nd vecteur de la base $\;{\vec {u}}_{\theta }\;$ dans le demi-plan méridien « directement $\;\perp \;$ au précédent » $\;{\big (}$soit encore, avec $\;{\vec {u}}_{\varphi }\;$ 2^ème vecteur de base cylindro-polaire directement $\;\perp \;$ au 1^er vecteur de base cylindro-polaire $\;{\vec {u}}_{\rho }$, une définition équivalente du 2^ème vecteur de la base sphérique $\;{\vec {u}}_{\theta }={\vec {u}}_{\varphi }\wedge {\vec {u}}_{r}{\big )}\;$ et
• le 3^ème vecteur de la base $\;{\vec {u}}_{\varphi }$ $\;\perp \;$ au demi-plan méridien et orientant ce dernier soit encore $\;{\vec {u}}_{\varphi }={\vec {u}}_{r}\wedge {\vec {u}}_{\theta }\;$ ;

     cette base est liée à $\;M\;$ car les deux 1^ers vecteurs de la base dépendent de $\;\theta \;$ et $\;\varphi$, le 3^ème dépendant uniquement de $\;\varphi$ :

• le 1^er $\;{\vec {u}}_{r}={\vec {u}}_{r}(\theta ,\,\varphi )\;$ est appelé « vecteur radial »,
• le 2^nd $\;{\vec {u}}_{\theta }={\vec {u}}_{\theta }(\theta ,\,\varphi )$ est appelé « vecteur orthoradial » et
• le 3^ème $\;{\vec {u}}_{\varphi }={\vec {u}}_{\varphi }(\varphi )\;\,$est appelé « vecteur longitudal » .

Composantes sphériques du vecteur position d'un point

     Le vecteur position du point $\;M\;$ s'écrivant dans la base sphérique liée à $\;M\;$ selon

$\;{\overrightarrow {OM}}=r\,{\vec {u}}_{r}\;$,

     on en déduit que la composante radiale du vecteur position est $\;{\overline {OM_{r}}}=r$, identique à la coordonnée radiale du point,
       on en alors que les composantes orthoradiale et longitudale du vecteur position $\;{\overline {OM_{\theta }}}=0\;$ et $\;{\overline {OM_{\varphi }}}=0\;$ diffèrent des coordonnées angulaires $\;\theta \;$ et $\;\varphi \;$ du point .

Interprétation géographique du repérage sphérique d'un point

     Pour un repérage sphérique de pôle $\;O\;$ et d'axe $\;{\overrightarrow {Oz}}$, l'axe $\;{\overrightarrow {Oz}}\;$ est identifié à l'axe « pôle Sud $-$ pôle Nord » de la Terre,

• $\;r\;$ est l'altitude augmentée du rayon de la Terre, $\;{\vec {u}}_{r}\;$ le vecteur unitaire vertical ascendant,

• $\;\theta \;$ la colatitude , $\;{\vec {u}}_{\theta }\;$ le vecteur unitaire horizontal dirigé vers le Sud,

• $\;\varphi \;$ la longitude et $\;{\vec {u}}_{\varphi }\;$ le vecteur unitaire horizontal dirigé vers l'Est.

Lien entre repérages sphérique et cylindro-polaire d'un point

Repérage sphérique en fonction du repérage cylindro-polaire

     Vecteurs de base sphérique en fonction des vecteurs de base cylindro-polaire (ou cylindrique) : $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\vec {u}}_{r}=\quad \;\;\;\cos(\theta )\;\;\;{\vec {u}}_{z}+\quad \;\;\;\sin(\theta )\;\;\;{\vec {u}}_{\rho }\\{\vec {u}}_{\theta }=\cos \!\left(\theta +{\dfrac {\pi }{2}}\right){\vec {u}}_{z}+\sin \!\left(\theta +{\dfrac {\pi }{2}}\right){\vec {u}}_{\rho }\end{array}}\right.$, le 3^ème vecteur étant le même que le 2^nd de la base cylindro-polaire ou encore $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\vec {u}}_{r}=\;\;\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{z}+\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{\rho }\\{\vec {u}}_{\theta }=-\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{z}+\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{\rho }\end{array}}\right.\;$.

     Coordonnées sphériques en fonction des coordonnées cylindro-polaires (ou cylindriques) : $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}r={\sqrt {z^{2}+\rho ^{2}}}\\\cos(\theta )={\dfrac {z}{\sqrt {z^{2}+\rho ^{2}}}}\end{array}}\right.\;$ ${\big \{}$$\theta \in \left[0\,{,}\,+\pi \right]\;$ $\;\cos(\theta )\;$ est donc suffisante pour déterminer sa valeur${\big \}}$, la 3^ème cordonnée étant la même que la 2^nde coordonnée cylindro-polaire.

Repérage cylindro-polaire en fonction du repérage sphérique

     Vecteurs de base cylindro-polaire (ou cylindrique) en fonction des vecteurs de base sphérique : $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\vec {u}}_{z}=\quad \;\;\;\cos(-\theta )\;\;\;{\vec {u}}_{r}+\quad \;\;\;\sin(-\theta )\;\;\;{\vec {u}}_{\theta }\\{\vec {u}}_{\rho }=\cos \!\left(-\theta +{\dfrac {\pi }{2}}\right){\vec {u}}_{r}+\sin \!\left(-\theta +{\dfrac {\pi }{2}}\right){\vec {u}}_{\theta }\end{array}}\right.$, le 2^ème vecteur étant le même que le 3^ème vecteur de base sphérique ou encore $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\vec {u}}_{z}=\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{r}-\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{\theta }\\{\vec {u}}_{\rho }=\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{r}+\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{\theta }\end{array}}\right.\;$.

     Coordonnées cylindro-polaires (ou cylindriques) en fonction des coordonnées sphériques : $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}z=r\,\cos(\theta )\\\rho =r\,\sin(\theta )\end{array}}\right.$, la 2^ème cordonnée étant la même que la 3^ème coordonnée sphérique.

     Remarque : Le repérage sphérique se suffit à lui-même, a priori il est inutile de transformer le repérage sphérique en repérage cartésien  ; si on utilise le repérage sphérique c'est que le traitement dans ce repérage est plus simple que dans le repérage cylindro-polaire, comme dans l'exemple d'un déplacement relativement à une sphère !

Lien entre repérages sphérique et cartésien d'un point

Repérage sphérique en fonction du repérage cartésien

     Vecteurs de base sphérique en fonction des vecteurs de base cartésienne : $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\vec {u}}_{r}=\;\;\;\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{z}+\sin(\theta )\,\cos(\varphi )\;{\vec {u}}_{x}+\sin(\theta )\,\sin(\varphi )\;{\vec {u}}_{y}\\{\vec {u}}_{\theta }=-\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{z}+\cos(\theta )\,\cos(\varphi )\;{\vec {u}}_{x}+\cos(\theta )\,\sin(\varphi )\;{\vec {u}}_{y}\\{\vec {u}}_{\varphi }=\qquad \qquad \qquad \quad -\sin(\varphi )\;{\vec {u}}_{x}\;\;\;\;+\qquad \cos(\varphi )\;{\vec {u}}_{y}\end{array}}\right\rbrace \;$.

     Coordonnées sphériques en fonction des coordonnées cartésiennes : $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}r={\sqrt {z^{2}+\rho ^{2}}}={\sqrt {z^{2}+x^{2}+y^{2}}}\\\cos(\theta )={\dfrac {z}{\sqrt {z^{2}+\rho ^{2}}}}={\dfrac {z}{\sqrt {z^{2}+x^{2}+y^{2}}}}\\\cos(\varphi )={\dfrac {x}{\rho }}={\dfrac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\\\sin(\varphi )={\dfrac {y}{\rho }}={\dfrac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\end{array}}\right.\;$, $\;\theta \in \left[0\,{,}\,+\pi \right]$, $\;\cos(\theta )$ est donc suffisante pour déterminer sa valeur mais par contre $\;\varphi \in \left]-\pi \,{,}\,+\pi \right]\;$ les expressions de $\;\cos(\varphi )\;$ et $\;\sin(\varphi )\;$ sont toutes deux nécessaires pour déterminer la valeur de $\;\varphi$.

Repérage cartésien en fonction du repérage sphérique

     Vecteurs de base cartésienne en fonction des vecteurs de base sphérique : on décompose d'abord les vecteurs de base cartésienne dans la base cylindro-polaire $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\vec {u}}_{z}={\vec {u}}_{z}\\{\vec {u}}_{x}=\cos(\varphi )\;{\vec {u}}_{\rho }-\sin(\varphi )\;{\vec {u}}_{\varphi }\\{\vec {u}}_{y}=\sin(\varphi )\;{\vec {u}}_{\rho }+\cos(\varphi )\;{\vec {u}}_{\varphi }\end{array}}\right.\;$ puis
les vecteurs de base cylindro-polaire dans la base sphérique $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\vec {u}}_{z}=\qquad \cos(\theta )\quad {\vec {u}}_{r}\;-\quad \sin(\theta )\quad {\vec {u}}_{\theta }\\{\vec {u}}_{x}=\sin(\theta )\,\cos(\varphi )\;{\vec {u}}_{r}+\cos(\theta )\,\cos(\varphi )\;{\vec {u}}_{\theta }-\sin(\varphi )\;{\vec {u}}_{\varphi }\\{\vec {u}}_{y}=\sin(\theta )\,\sin(\varphi )\;{\vec {u}}_{r}+\cos(\theta )\,\sin(\varphi )\;{\vec {u}}_{\theta }+\cos(\varphi )\;{\vec {u}}_{\varphi }\end{array}}\right.$.

     Coordonnées cartésiennes en fonction des coordonnées sphériques : $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}z=r\,\cos(\theta )\\x=\rho \,\cos(\varphi )=r\,\sin(\theta )\,\cos(\varphi )\\y=\rho \,\sin(\varphi )=r\,\sin(\theta )\,\sin(\varphi )\end{array}}\right.\;$.

     Remarque : Le repérage sphérique se suffit à lui-même, il n'est jamais utile de transformer le repérage sphérique en repérage cartésien ; dans certains cas, substituer le repérage cylindro-polaire au repérage sphérique s'impose mais il ne sera jamais intéressant de substituer le repérage cartésien au repérage sphérique.

Vecteur déplacement élémentaire d'un point

Définition intrinsèque

     La notion de vecteur déplacement à partir d'un point quelconque $\;M\;$ nécessite de préciser la position finale $\;M_{f}\;$ du déplacement, le vecteur déplacement obtenu s'écrivant $\;{\overrightarrow {MM_{f}}}$ ;
     dans la mesure où la position finale $\;M_{f}\;$ est proche de $\;M$, on la notera $\;M''\;$ et le vecteur déplacement $\;{\overrightarrow {MM''}}\;$ pourra être qualifié de « petit » ;
     si on rapproche suffisamment $\;M''\;$ de $\;M\;$ pour que sa norme devienne infiniment petite, le point infiniment proche de $\;M$ $\;{\big (}$suivant la direction d'approche${\big )}\;$ sera noté $\;M'\;$ et le vecteur déplacement $\;{\overrightarrow {MM'}}\;$ qualifié d'élémentaire.

     Nous avons défini le vecteur déplacement élémentaire à partir d'un point quelconque $\;M\;$ en considérant un petit vecteur déplacement à partir de ce point et en faisant tendre la position finale vers la position initiale suivant une certaine direction ou, plus généralement, en suivant une courbe passant par $\;M\;$ ; en conclusion la définition intrinsèque du vecteur déplacement élémentaire à partir d'un point $\;M\;$ s'identifie à celle du vecteur déplacement élémentaire d'un point le long d'une courbe vue au chap.$15$ dans le paragraphe « définition intrinsèque du vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe continue » de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

     On y a défini le vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe continue comme la différentielle du vecteur position dont les valeurs successives décrivent la courbe soit encore $\;{\overrightarrow {MM'}}=d\!\left[{\overrightarrow {OM}}\right]\;$ ou simplement $\;{\overrightarrow {MM'}}={\overrightarrow {dM}}\;$ ;
     le vecteur déplacement élémentaire le long de la courbe $\;(\Gamma )\;$ est tangent à la courbe en $\;M$, dans la mesure où $\;{\overrightarrow {dM}}\neq {\vec {0}}\;$.

Composantes cartésiennes du vecteur déplacement élémentaire d'un point

Expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage cartésien

     Pour établir l'expression du vecteur déplacement élémentaire en repérage cartésien nous différencions le vecteur position exprimé dans ce repérage, sans particulariser le déplacement suivant une courbe, soit $\;{\overrightarrow {OM}}=x\,{\vec {u}}_{x}+y\,{\vec {u}}_{y}+z\,{\vec {u}}_{z}\;$ $\Rightarrow$ $\;{\overrightarrow {dM}}=dx\;{\vec {u}}_{x}+dy\;{\vec {u}}_{y}+dz\;{\vec {u}}_{z}$, les vecteurs de la base cartésienne étant constants leur différentielle est nulle.

À retenir $\rightsquigarrow$ vecteur déplacement élémentaire en repérage cartésien :

$\;{\overrightarrow {dM}}=dx\;{\vec {u}}_{x}+dy\;{\vec {u}}_{y}+dz\;{\vec {u}}_{z}$.

Détermination géométrique des composantes cartésiennes du vecteur déplacement élémentaire d'un point

     Pour créer un déplacement élémentaire du point $\;M\;$ en repérage cartésien, on envisage successivement un déplacement élémentaire le long de chaque vecteur de base, le vecteur déplacement élémentaire du point $\;M\;$ étant la somme de ces trois déplacements élémentaires, ainsi :

• suivant $\;{\vec {u}}_{x}$, on se déplace selon la droite passant par $\;M\;$ et $\;\parallel$ à ${\vec {u}}_{x}\;$ ${\big (}$c.-à-d. d'équations $\;y=cste\;$ et $\;z=cste{\big )}\;$ du « petit segment élémentaire » de longueur algébrique $\;dx\;$ d'où $\;{\overrightarrow {dM_{x}}}=dx\;{\vec {u}}_{x}$,

• suivant $\;{\vec {u}}_{y}$, on se déplace selon la droite passant par $\;M\;$ et $\;\parallel$ à ${\vec {u}}_{y}\;$ ${\big (}$c.-à-d. d'équations $\;x=cste\;$ et $\;z=cste{\big )}\;$ du « petit segment élémentaire » de longueur algébrique $\;dy\;$ d'où $\;{\overrightarrow {dM_{y}}}=dy\;{\vec {u}}_{y}$,

• suivant $\;{\vec {u}}_{z}$, on se déplace selon la droite passant par $\;M\;$ et $\;\parallel$ à ${\vec {u}}_{z}\;$ ${\big (}$c.-à-d. d'équations $\;x=cste\;$ et $\;y=cste{\big )}\;$ du « petit segment élémentaire » de longueur algébrique $\;dz\;$ d'où $\;{\overrightarrow {dM_{z}}}=dz\;{\vec {u}}_{z}$,

     le vecteur déplacement élémentaire étant finalement $\;{\overrightarrow {dM}}={\overrightarrow {dM_{x}}}+{\overrightarrow {dM_{y}}}+{\overrightarrow {dM_{z}}}\;$ se réécrit $\;{\overrightarrow {dM}}=dx\;{\vec {u}}_{x}+dy\;{\vec {u}}_{y}+dz\;{\vec {u}}_{z}$, ses composantes cartésiennes étant donc $\;(dx,\,dy,\,dz)$.

Application au vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe

     Considérons la parabole d'équations cartésiennes $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}y=a\,x^{2}\\z=0\end{array}}\right.\;$ et différencions ces équations : on obtient alors $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}dy=2\,a\,x\,dx\\dz=0\end{array}}\right.\;$ et le vecteur déplacement élémentaire le long de la parabole peut s'écrire uniquement en fonction de l'élément différentiel $\;dx\;$ selon

$\;{\overrightarrow {dM}}=\left[{\vec {u}}_{x}+2\,a\,x\,{\vec {u}}_{y}\right]dx\;$ ;

     d'une part il n'existe aucun point de la parabole où le vecteur déplacement élémentaire est nul,
     d'autre part, pour $\;dx>0$, la composante vectorielle sur $\;{\vec {u}}_{x}\;$ $\;{\overrightarrow {dM_{x}}}\;$ est toujours dans le sens de $\;{\vec {u}}_{x}\;$ et
     d'autre part, pour ~dx > 0~, la composante vectorielle sur $\;{\vec {u}}_{y}\;$ $\;{\overrightarrow {dM_{y}}}\;$ est de sens contraire à $\;{\vec {u}}_{y}\;$ pour $\;x<0$, s'annulant pour $\;x=0\;$ et dans le sens de $\;{\vec {u}}_{y}\;$ pour $\;x>0$, de norme d'autant plus grande que $\;\vert x\vert \;$ l'est $\ldots$

Composantes cylindro-polaires du vecteur déplacement élémentaire d'un point

Calcul préliminaire

     Pour établir l'expression du vecteur déplacement élémentaire en repérage cylindro-polaire $\;{\big (}$ou cylindrique${\big )}\;$ nous différencions le vecteur position exprimé dans ce repérage, sans particulariser le déplacement suivant une courbe, soit

$\;{\overrightarrow {OM}}=\rho \,{\vec {u}}_{\rho }+z\,{\vec {u}}_{z}\;$ $\Rightarrow$ $\;{\overrightarrow {dM}}=d\rho \;{\vec {u}}_{\rho }+\rho \;d\!\left[{\vec {u}}_{\rho }\right]+dz\;{\vec {u}}_{z}\;$.

Différentielle des vecteurs de base cylindro-polaire

     Pour déterminer la différentielle des vecteurs de base cylindro-polaire, il faut les décomposer dans la base cartésienne de façon à faire apparaître explicitement l'angle $\;\theta \;$ dont ils dépendent soit $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\vec {u}}_{\rho }=\quad \cos(\theta )\;\;\;{\vec {u}}_{x}\;\;\;+\quad \sin(\theta )\;\;\;{\vec {u}}_{y}\\{\vec {u}}_{\theta }=\cos \!\left(\theta +{\dfrac {\pi }{2}}\right)\,{\vec {u}}_{x}+\sin \!\left(\theta +{\dfrac {\pi }{2}}\right)\,{\vec {u}}_{y}\\{\vec {u}}_{z}={\vec {u}}_{z}\end{array}}\right.\;$ ;
     on utilise alors $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}d\!\left[{\vec {u}}_{\rho }\right]={\dfrac {d\!\left[{\vec {u}}_{\rho }\right]}{d\theta }}\;d\theta \\d\!\left[{\vec {u}}_{\theta }\right]={\dfrac {d\!\left[{\vec {u}}_{\theta }\right]}{d\theta }}\;d\theta \\d\!\left[{\vec {u}}_{z}\right]={\vec {0}}\end{array}}\right.\;$ dans lesquelles les dérivées par rapport à $\;\theta \;$ des deux 1^ers vecteurs de base sont égales à $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\dfrac {d\!\left[{\vec {u}}_{\rho }\right]}{d\theta }}=\cos \!\left(\theta +{\dfrac {\pi }{2}}\right)\,{\vec {u}}_{x}+\sin \!\left(\theta +{\dfrac {\pi }{2}}\right)\,{\vec {u}}_{y}={\vec {u}}_{\theta }\\{\dfrac {d\!\left[{\vec {u}}_{\theta }\right]}{d\theta }}=\;\cos \!\left(\theta +\pi \right)\;{\vec {u}}_{x}\;+\;\sin \!\left(\theta +\pi \right)\;{\vec {u}}_{y}=-{\vec {u}}_{\rho }\end{array}}\right.\;$ soit finalement :

À retenir $\rightsquigarrow$ dérivées des vecteurs de base $\;{\vec {u}}_{\rho }\;$ et $\;{\vec {u}}_{\theta }\;$ par rapport à $\;\theta$ :

$\;{\dfrac {d\!\left[{\vec {u}}_{\rho }\right]}{d\theta }}={\vec {u}}_{\theta }\;$          et          $\;{\dfrac {d\!\left[{\vec {u}}_{\theta }\right]}{d\theta }}=-{\vec {u}}_{\rho }$ ;

     quand on dérive un vecteur unitaire d'un plan par rapport à l'angle qu'il fait avec une direction fixe de ce plan, on obtient un vecteur unitaire de ce plan directement $\;\perp \;$ au vecteur initial, ainsi
     dérivant $\;{\vec {u}}_{\rho }\;$ par rapport à l'angle qu'il fait avec $\;{\vec {u}}_{x}$, on obtient $\;{\vec {u}}_{\theta }\;$ se déduisant de $\;{\vec {u}}_{\rho }\;$ par rotation de $\;+{\dfrac {\pi }{2}}$,
     dérivant $\;{\vec {u}}_{\theta }\;$ par rapport à l'angle qu'il fait avec $\;{\vec {u}}_{y}$, on obtient $\;-{\vec {u}}_{\rho }\;$ se déduisant de $\;{\vec {u}}_{\theta }\;$ par rotation de $\;+{\dfrac {\pi }{2}}$ ;
     on peut encore écrire $\;{\dfrac {d\!\left[{\vec {u}}_{\rho }\right]}{d\theta }}={\vec {u}}_{z}\wedge {\vec {u}}_{\rho }={\vec {u}}_{\theta }\;$          et          $\;{\dfrac {d\!\left[{\vec {u}}_{\theta }\right]}{d\theta }}={\vec {u}}_{z}\wedge {\vec {u}}_{\theta }=-{\vec {u}}_{\rho }$.

     Le report dans les expressions des différentielles nous conduisent à $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}d\!\left[{\vec {u}}_{\rho }\right]={\vec {u}}_{\theta }\;d\theta \\d\!\left[{\vec {u}}_{\theta }\right]=-{\vec {u}}_{\rho }\;d\theta \\d\!\left[{\vec {u}}_{z}\right]={\vec {0}}\end{array}}\right.$.

Expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage cylindro-polaire

     On reporte l'expression de $\;d\!\left[{\vec {u}}_{\rho }\right]\;$ dans celle de $\;{\overrightarrow {dM}}\;$ obtenue en calcul préliminaire et on trouve $\;{\overrightarrow {dM}}=d\rho \;{\vec {u}}_{\rho }+\rho \;{\vec {u}}_{\theta }d\theta +dz\;{\vec {u}}_{z}$.

À retenir $\rightsquigarrow$ vecteur déplacement élémentaire en repérage cylindro-polaire :

$\;{\overrightarrow {dM}}=d\rho \;{\vec {u}}_{\rho }+\rho \,d\theta \;{\vec {u}}_{\theta }+dz\;{\vec {u}}_{z}$.

Détermination géométrique des composantes cylindro-polaires du vecteur déplacement élémentaire d'un point

     Pour créer un déplacement élémentaire du point $\;M\;$ en repérage cynlidro-polaire, on envisage successivement un déplacement élémentaire le long de chaque vecteur de base, le vecteur déplacement élémentaire du point $\;M\;$ étant la somme de ces trois déplacements élémentaires, ainsi :

• suivant $\;{\vec {u}}_{\rho }$, on se déplace selon la demi-droite passant par $\;M\;$ et $\;\parallel$ à ${\vec {u}}_{\rho }\;$ ${\big (}$c.-à-d. d'équations $\;\theta =cste\;$ et $\;z=cste{\big )}\;$ du « petit segment élémentaire » de longueur algébrique $\;d\rho \;$ d'où $\;{\overrightarrow {dM_{\rho }}}=d\rho \;{\vec {u}}_{\rho }$,

• suivant $\;{\vec {u}}_{\theta }$, on se déplace selon le cercle passant par $\;M\;$ et d'axe $\;Oz\;$ ${\big (}$c.-à-d. d'équations $\;\rho =cste\;$ et $\;z=cste{\big )}\;$ du « petit arc élémentaire » de longueur algébrique $\;\rho \,d\theta \;$ d'où $\;{\overrightarrow {dM_{\theta }}}=\rho \,d\theta \;{\vec {u}}_{\theta }$,

• suivant $\;{\vec {u}}_{z}$, on se déplace selon la droite passant par $\;M\;$ et $\;\parallel$ à ${\vec {u}}_{z}\;$ ${\big (}$c.-à-d. d'équations $\;\rho =cste\;$ et $\;\theta =cste{\big )}\;$ du « petit segment élémentaire » de longueur algébrique $\;dz\;$ d'où $\;{\overrightarrow {dM_{z}}}=dz\;{\vec {u}}_{z}$,

     le vecteur déplacement élémentaire étant finalement $\;{\overrightarrow {dM}}={\overrightarrow {dM_{\rho }}}+{\overrightarrow {dM_{\theta }}}+{\overrightarrow {dM_{z}}}\;$ se réécrit $\;{\overrightarrow {dM}}=d\rho \;{\vec {u}}_{\rho }+\rho \,d\theta \;{\vec {u}}_{\theta }+dz\;{\vec {u}}_{z}$, ses composantes cylindro-polaires étant donc $\;(d\rho ,\,\rho \,d\theta ,\,dz)$.

Application au vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe connue par ses équations cylindro-polaires

Tracé d'une hélice circulaire droite d'axe z'z

Tracé de la surface d'équation cylindro-polaire "cote proportionnelle à l'abscisse angulaire"

     Ci-contre à gauche le tracé d'une hélice circulaire droite d'axe $\;z'z$ ;

     ci-contre à droite le tracé de la surface d'équation cylindro-polaire "cote proportionnelle à l'abscisse angulaire" qui est une des deux équations cylindro-polaires définissant l'hélice circulaire droite d'axe $\;z'z$, l'autre surface étant un tuyau cylindrique de révolution d'axe $\;z'z$.

     Vecteur déplacement élémentaire le long d'une hélice circulaire droite d'axe${\underline {\;z'z}}\;$ : Soit l'hélice circulaire d'équations cylindro-polaires $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}\rho =a\\z=h\;\theta \end{array}}\right.\;$ et différencions ces équations : on obtient alors $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}d\rho =0\\dz=h\;d\theta \end{array}}\right.\;$ et le vecteur déplacement élémentaire le long de l'hélice peut s'écrire uniquement en fonction de l'élément différentiel $\;d\theta \;$ selon

$\;{\overrightarrow {dM}}=\left[a\;{\vec {u}}_{\theta }+h\;{\vec {u}}_{z}\right]d\theta \;$.

     Commentaires sur le vecteur déplacement le long d'une hélice circulaire droite d'axe${\underline {\;z'z}}\;$ :

• il n'existe aucun point de l'hélice circulaire où le vecteur déplacement élémentaire est nul,
• pour $\;d\theta >0$, la composante vectorielle sur $\;{\vec {u}}_{\theta }$, $\;{\overrightarrow {dM_{\theta }}}\;$ est toujours dans le sens de $\;{\vec {u}}_{\theta }\;$ et
     pour dΘ > 0, la composante vect celle sur $\;{\vec {u}}_{z}$, $\;{\overrightarrow {dM_{z}}}\;$ est de sens contraire à $\;{\vec {u}}_{z}\;$ pour $\;h<0\;$, et dans le sens de $\;{\vec {u}}_{z}\;$ pour $\;h>0\;$,
• la norme du vecteur déplacement élémentaire est indépendante de $\;\theta \;$ $\ldots$

     Quelques commentaires sur l'hélice circulaire : une hélice circulaire est donc tracée sur un tuyau cylindrique de révolution avec $\;z\;\propto \;$ à $\;\theta$ ;
          si on « développe » le tuyau cylindrique de façon à ce que sa surface latérale devienne un plan, l'hélice se « développe » en une droite c.-à-d. en une courbe de « pente constante »  ;
          elle est qualifiée de « dextre ou droite » si le cœfficient de proportionnalité entre $\;z\;$ et $\;\theta \;$ est positif, ce qui correspond au fait qu'elle « monte » dans le sens trigonométrique, un observateur placé à l’extérieur la voit, lorsqu'elle est devant lui, « monter de gauche à droite » ;
          elle est qualifiée de « senestre ou gauche » si le cœfficient de proportionnalité entre $\;z\;$ et $\;\theta \;$ est négatif, elle « monte » dans le sens trigonométrique indirect ou rétrograde $\;{\big (}$ou encore dans le sens horaire${\big )}$, un observateur placé à l’extérieur la voit, lorsqu'elle est devant lui, « monter de droite à gauche » ;
          on définit le pas de l'hélice par la variation de cote correspondant à un tour complet soit un pas de $\;2\,\pi \,\vert h\vert \;$ pour une équation cylindro-polaire de rampe en colimaçon $\;z=h\;\theta$.

Composantes sphériques du vecteur déplacement élémentaire d'un point

Calcul préliminaire

     Pour établir l'expression du vecteur déplacement élémentaire en repérage sphérique nous différencions le vecteur position exprimé dans ce repérage, sans particulariser le déplacement suivant une courbe, soit

$\;{\overrightarrow {OM}}=r\;{\vec {u}}_{r}\;$ $\Rightarrow$ $\;{\overrightarrow {dM}}=dr\;{\vec {u}}_{r}+r\;d\!\left[{\vec {u}}_{r}\right]\;$.

Détermination géométrique des composantes sphériques du vecteur déplacement élémentaire d'un point

     Pour créer un déplacement élémentaire du point $\;M\;$ en repérage sphérique, on envisage successivement un déplacement élémentaire le long de chaque vecteur de base, le vecteur déplacement élémentaire du point $\;M\;$ étant la somme de ces trois déplacements élémentaires, ainsi :

• suivant $\;{\vec {u}}_{r}$, on se déplace selon la demi-droite passant par $\;M\;$ et $\;\parallel$ à ${\vec {u}}_{r}\;$ ${\big (}$c.-à-d. d'équations $\;\theta =cste\;$ et $\;\varphi =cste{\big )}\;$ du « petit segment élémentaire » de longueur algébrique $\;dr\;$ d'où $\;{\overrightarrow {dM_{r}}}=$ $dr\;{\vec {u}}_{r}$,

• suivant $\;{\vec {u}}_{\theta }$, on se déplace selon le demi-cercle méridien passant par $\;M\;$ ${\big (}$c.-à-d. d'équations $\;r=cste\;$ et $\;\varphi =cste{\big )}\;$ du « petit arc élémentaire » de longueur algébrique $\;r\,d\theta \;$ d'où $\;{\overrightarrow {dM_{\theta }}}=$ $r\,d\theta \;{\vec {u}}_{\theta }$,

• suivant $\;{\vec {u}}_{\varphi }$, on se déplace selon le cercle « parallèle » passant par $\;M\;$ ${\big (}$c.-à-d. d'équations $\;r=cste\;$ et $\;\theta =cste{\big )}\;$ du « petit arc élémentaire » de longueur algébrique $\;\left[r\,\sin(\theta )\right]d\varphi \;$ d'où $\;{\overrightarrow {dM_{\varphi }}}$ $=r\,\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{\varphi }$,

     le vecteur déplacement élémentaire étant finalement $\;{\overrightarrow {dM}}={\overrightarrow {dM_{r}}}+{\overrightarrow {dM_{\theta }}}+{\overrightarrow {dM_{\varphi }}}\;$ se réécrit $\;{\overrightarrow {dM}}=dr\;{\vec {u}}_{r}+r\,d\theta \;{\vec {u}}_{\theta }+r\,\sin(\theta )\,d\varphi \;{\vec {u}}_{\varphi }$, ses composantes sphériques étant $\;\left[dr,\,r\,d\theta ,\,r\,\sin(\theta )\,d\varphi \right]$.

Expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage sphérique

À retenir $\rightsquigarrow$ vecteur déplacement élémentaire en repérage sphérique :

$\;{\overrightarrow {dM}}=dr\;{\vec {u}}_{r}+r\,d\theta \;{\vec {u}}_{\theta }+r\,\sin(\theta )\,d\varphi \;{\vec {u}}_{\varphi }\;$.

Complément : différentielle des vecteurs de base sphérique

     Nous utiliserons la définition de la différentielle d'une fonction vectorielle de l'espace exprimée en utilisant la notion de dérivées partielles introduite dans le paragraphe « différentielle d'une fonction vectorielle » du chap.$13$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » d'où $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}d\!\left[{\vec {u}}_{r}\right]=\left[{\dfrac {\partial \left({\vec {u}}_{r}\right)}{\partial \theta }}\right]_{\varphi }(\theta ,\,\varphi )\;d\theta +\left[{\dfrac {\partial \left({\vec {u}}_{r}\right)}{\partial \varphi }}\right]_{\theta }(\theta ,\,\varphi )\;d\varphi \\d\!\left[{\vec {u}}_{\theta }\right]=\left[{\dfrac {\partial \left({\vec {u}}_{\theta }\right)}{\partial \theta }}\right]_{\varphi }(\theta ,\,\varphi )\;d\theta +\left[{\dfrac {\partial \left({\vec {u}}_{\theta }\right)}{\partial \varphi }}\right]_{\theta }(\theta ,\,\varphi )\;d\varphi \\d\!\left[{\vec {u}}_{\varphi }\right]={\dfrac {d\!\left({\vec {u}}_{\varphi }\right)}{d\varphi }}(\varphi )\;d\varphi \end{array}}\right.$.

Détermination des dérivées partielles du 1^er vecteur de base sphérique

Vues projetées du repérage sphérique d'un point $\;M$ : demi-plan méridien et vue de dessus

     Pour cela on utilise la décomposition de $\;{\vec {u}}_{r}\;$ dans la base cylindro-polaire $\;({\vec {u}}_{z},\,{\vec {u}}_{\rho },\,{\vec {u}}_{\varphi })\;$ soit :
     $\;{\vec {u}}_{r}=$ $\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{z}+\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{\rho }(\varphi )\;$ $\Rightarrow$ $\;\left[{\dfrac {\partial \left({\vec {u}}_{r}\right)}{\partial \theta }}\right]_{\varphi }=\cos \!\left(\theta +{\dfrac {\pi }{2}}\right)\;{\vec {u}}_{z}+\sin \!\left(\theta +{\dfrac {\pi }{2}}\right)\;{\vec {u}}_{\rho }(\varphi )\;$ d'où finalement le vecteur unitaire du demi-plan méridien directement $\;\perp \;$ à $\;{\vec {u}}_{r}\;$ c.-à-d. $\;{\vec {u}}_{\theta }$,

en conclusion on a $\;\left[{\dfrac {\partial \left({\vec {u}}_{r}\right)}{\partial \theta }}\right]_{\varphi }={\vec {u}}_{\theta }$ ;

     $\;{\vec {u}}_{r}=\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{z}+\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{\rho }(\varphi )\;$ $\Rightarrow$ $\;\left[{\dfrac {\partial \left({\vec {u}}_{r}\right)}{\partial \varphi }}\right]_{\theta }=\sin(\theta )\;{\dfrac {d\left[{\vec {u}}_{\rho }\right]}{d\varphi }}\;$ ou, $\;{\vec {u}}_{\rho }\;$ étant un vecteur unitaire du plan équatorial $\;xOy\;$ et dérivant par rapport à l'angle $\;\varphi \;$ qu'il fait avec la direction $\;Ox\;$ fixe de ce plan, sa dérivée est le vecteur unitaire du plan $\;xOy\;$ se déduisant de $\;{\vec {u}}_{\rho }\;$ par rotation de $\;+{\dfrac {\pi }{2}}\;$ soit $\;{\dfrac {d\left[{\vec {u}}_{\rho }\right]}{d\varphi }}={\vec {u}}_{\varphi }$,

en conclusion on a $\;\left[{\dfrac {\partial \left({\vec {u}}_{r}\right)}{\partial \varphi }}\right]_{\theta }=\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{\varphi }$.

Détermination des dérivées partielles du 2^nd vecteur de base sphérique

     Pour cela on utilise la décomposition de $\;{\vec {u}}_{\theta }\;$ dans la base cylindro-polaire $\;({\vec {u}}_{z},\,{\vec {u}}_{\rho },\,{\vec {u}}_{\varphi })\;$ soit :
     $\;{\vec {u}}_{\theta }=\cos \!\left(\theta +{\dfrac {\pi }{2}}\right)\,{\vec {u}}_{z}+\sin \!\left(\theta +{\dfrac {\pi }{2}}\right)\,{\vec {u}}_{\rho }(\varphi )\;$ $\Rightarrow$ $\;\left[{\dfrac {\partial \left({\vec {u}}_{\theta }\right)}{\partial \theta }}\right]_{\varphi }=\cos \!\left(\theta +\pi \right)\;{\vec {u}}_{z}+\sin \!\left(\theta +\pi \right)\;{\vec {u}}_{\rho }(\varphi )\;$ d'où finalement le vecteur unitaire du demi-plan méridien directement $\;\perp \;$ à $\;{\vec {u}}_{\theta }\;$ c.-à-d. $\;-{\vec {u}}_{r}$,

en conclusion on a $\;\left[{\dfrac {\partial \left({\vec {u}}_{\theta }\right)}{\partial \theta }}\right]_{\varphi }=-{\vec {u}}_{r}\;$ ;

     $\;{\vec {u}}_{\theta }=-\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{z}+\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{\rho }(\varphi )\;$ $\Rightarrow$ $\;\left[{\dfrac {\partial \left({\vec {u}}_{\theta }\right)}{\partial \varphi }}\right]_{\theta }=\cos(\theta )\;{\dfrac {d\left[{\vec {u}}_{\rho }\right]}{d\varphi }}=\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{\varphi }\;$,

en conclusion on a $\;\left[{\dfrac {\partial \left({\vec {u}}_{\theta }\right)}{\partial \varphi }}\right]_{\theta }=\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{\varphi }$.

Détermination de la dérivée du 3^ème vecteur de base sphérique

     $\;{\vec {u}}_{\varphi }\;$ étant un vecteur unitaire du plan équatorial $\;xOy\;$ et dérivant par rapport à l'angle $\;\varphi \;$ qu'il fait avec la direction $\;Oy\;$ fixe de ce plan, sa dérivée est le vecteur unitaire du plan se déduisant de $\;{\vec {u}}_{\varphi }\;$ par rotation de $\;+{\dfrac {\pi }{2}}\;$ soit $\;{\dfrac {d\left[{\vec {u}}_{\varphi }\right]}{d\varphi }}=-{\vec {u}}_{\rho }$ ;
     il reste alors à décomposer $\;{\vec {u}}_{\rho }\;$ dans la base sphérique , ce qui donne $\;{\vec {u}}_{\rho }=\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{r}+\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{\theta }\;$ d'où

$\;{\dfrac {d\left[{\vec {u}}_{\varphi }\right]}{d\varphi }}=-\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{r}-\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{\theta }$.

Explicitation des différentielles des vecteurs de base sphérique

$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}d\!\left[{\vec {u}}_{r}\right]=\;\;\,\qquad {\vec {u}}_{\theta }\;d\theta \quad \,+\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{\varphi }\;d\varphi \\d\!\left[{\vec {u}}_{\theta }\right]=\qquad -{\vec {u}}_{r}\;d\theta \quad \,+\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{\varphi }\;d\varphi \\d\!\left[{\vec {u}}_{\varphi }\right]=-\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{r}\;d\varphi -\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{\theta }\;d\varphi \end{array}}\right.$.

Complément : détermination du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage sphérique par utilisation de la différentielle du 1^er vecteur de base sphérique

     Reprenant le résultat du calcul préliminaire $\;{\overrightarrow {dM}}=dr\;{\vec {u}}_{r}+r\;d\!\left[{\vec {u}}_{r}\right]\;$ et y reportant $\;d\!\left[{\vec {u}}_{r}\right]={\vec {u}}_{\theta }\;d\theta +\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{\varphi }\;d\varphi \;$ nous trouvons effectivement

$\;{\overrightarrow {dM}}=dr\;{\vec {u}}_{r}+r\,d\theta \;{\vec {u}}_{\theta }+r\,\sin(\theta )\,d\varphi \;{\vec {u}}_{\varphi }\;$.

Application au vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe connue par ses équations sphériques

Tracé de l'Équateur au pôle Nord de la loxodromie de sphère de pente $\;30\;{\text{°}}\;$ par rapport aux parallèles $\;{\big (}$en rouge${\big )}\;$ ainsi que de sa projetée sur le plan équatorial "la spirale de Poinsot bornée" $\;{\big (}$en vert${\big )}\;$

     Considérons la loxodromie de sphère de pente $\;{\dfrac {\pi }{6}}\;$ par rapport aux parallèles $\;{\big (}$tracée en rouge sur le schéma ci-contre${\big )}\;$ d'équations sphériques $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}r=a\\\varphi =-\tan \!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)\,\ln \!\left[\tan \!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)\right]\end{array}}\right.\;$ et différencions ces équations : nous obtenons alors $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}dr=0\\d\varphi =-\tan \!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)\,{\dfrac {d\theta }{2\,\cos ^{2}\!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)\,\tan \!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)}}\end{array}}\right.\;$ ou $\;d\varphi =-{\dfrac {\tan \!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)\,d\theta }{2\,\cos \!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)\,\sin \!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)}}\;$ ou encore $\;d\varphi =-{\dfrac {\tan \!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)\,d\theta }{\sin(\theta )}}={\dfrac {-\tan \!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)}{\sin(\theta )}}\;d\theta \;$ et
     le vecteur déplacement élémentaire $\;{\overrightarrow {dM}}\;$ le long de la loxodromie de sphère peut s'écrire uniquement en fonction de l'élément différentiel $\;d\theta$, $\;{\overrightarrow {dM}}=\left[a\;{\vec {u}}_{\theta }-a\;\sin(\theta )\;{\dfrac {\tan \!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)}{\sin(\theta )}}\;{\vec {u}}_{\varphi }\right]d\theta \;$ ${\big [}$ne pas oublier $\;{\overrightarrow {dM_{\theta }}}=$ $a\;{\vec {u}}_{\theta }\;d\theta {\big ]}\;$ soit finalement, après une transformation élémentaire,

$\;{\overrightarrow {dM}}=\left[{\vec {u}}_{\theta }-\tan \!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right){\vec {u}}_{\varphi }\right]a\;d\theta \;$ ;

     Commentaires sur le vecteur déplacement le long de la loxodromie de sphère de pente${\underline {\;30\;{\text{°}}\;}}$par rapport aux parallèles :

• il n'existe aucun point de la loxodromie sphérique où le vecteur déplacement élémentaire est nul,
• pour $\;d\theta <0$, la composante vectorielle sur $\;{\vec {u}}_{\theta }$, $\;{\overrightarrow {dM_{\theta }}}$, est toujours dans le sens contraire de $\;{\vec {u}}_{\theta }\;$ c.-à-d. vers le Nord et
     pour dΘ < 0, la composante vect celle sur $\;{\vec {u}}_{\varphi }$, $\;{\overrightarrow {dM_{\varphi }}}$, est dans le sens de $\;{\vec {u}}_{\varphi }\;$ c.-à-d. vers l'Est,
  pour $\;d\theta >0$, la composante vectorielle sur $\;{\vec {u}}_{\theta }$, $\;{\overrightarrow {dM_{\theta }}}$, est toujours dans le sens de $\;{\vec {u}}_{\theta }\;$ c.-à-d. vers le Sud et
     pour dΘ > 0, la composante vect celle sur $\;{\vec {u}}_{\varphi }$, $\;{\overrightarrow {dM_{\varphi }}}$, est en sens contraire de $\;{\vec {u}}_{\varphi }\;$ c.-à-d. vers l'Ouest ;
• la norme ainsi que la pente dans le plan tangent à la sphère du vecteur déplacement élémentaire sont indépendantes de $\;\theta \;$ $\ldots$

     Remarque : Pour mieux faire apparaître la loxodromie de sphère, sa projetée sur le plan équatorial de la sphère a été tracée en vert, elle porte le nom de « spirale de Poinsot bornée » .

Repérages d'une courbe dans l'espace

Repérages cartésien, cylindro-polaire ou sphérique d'une courbe

     Dans un repérage cartésien, cylindro-polaire ou sphérique, il faut deux équations pour caractériser une courbe, pour mémoire revoir les trois exemples précédemment exposés :

Parabole en cartésien caractérisée comme intersection d'un cylindre parabolique et d'un plan

Hélice circulaire droite caractérisée comme intersection d'un cylindre de révolution et d'une "nappe en colimaçon"

loxodromie sphérique caractérisée comme intersection d'une sphère et d'une autre surface $\;big($ensemble de demi-droites issues de $\;O{\big )}\;$

• la parabole d'équations «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}y=a\,x^{2}\\z=0\end{array}}\right.\;$» repérée en cartésien $\;{\big (}$ci-contre à gauche${\big )}$,
       la 1^ère équation «$\;y=a\,x^{2}\;$» caractérisant un cylindre parabolique de génératrices $\;\parallel \;$ à $\;z'z\;$ et
       la 2^nde «$\;z=0\;$» le plan $\;xOy$ ;
• l'hélice circulaire d'équations «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}\rho =a\\z=h\;\theta \end{array}}\right.\;$» repérée en cylindro-polaire $\;{\big (}$ci-contre à droite${\big )}$,
       la 1^ère équation «$\;\rho =a\;$» caractérisant un tuyau cylindrique de révolution d'axe $\;z'z\;$ et de rayon $\;a$,
       la 2^nde «$\;z=h\;\theta \;$» une surface sans nom mathématique mais que l'on pourrait appeler « rampe en colimaçon » constituée de demi-droites $\;\parallel \;$ au plan $\;xOy\;$ issues d'un point de l'axe $\;z'z\;$ de cote plus ou moins élevée suivant la valeur de l'abscisse angulaire $\;{\big (}$la cote étant fonction de cette dernière${\big )}$ ;
• la loxodromie sphérique de pente $\;{\dfrac {\pi }{6}}\;$ par rapport aux parallèles, d'équations «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}r=a\\\varphi =-\tan \!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)\,\ln \!\left[\tan \!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)\right]\end{array}}\right.\;$» repérée en sphérique $\;{\big (}$ci-contre à droite${\big )}$,
       la 1^ère équation «$\;r=a\;$» caractérisant une sphère de centre $\;O\;$ dont le rayon est $\;a\;$ et
       la 2^nde «$\;\varphi =-\tan \!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)\,\ln \!\left[\tan \!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)\right]\;$» une surface sans nom mathématique constituée de demi-droites issues de $\;O\;$ plus ou moins inclinées suivant la valeur de la colatitude $\;\theta$ $\;{\big (}$la longitude $\;\varphi \;$étant fonction de cette dernière${\big )}$.

Repérage paramétrique d'une courbe

     En repérage paramétrique, qu'il soit cartésien, cylindro-polaire ou sphérique, il faut trois équations paramétriques pour caractériser une courbe  ; ci-dessous un exemple de courbe en repérage paramétrique cartésien  :

Tracé des deux surfaces $\;{\big (}$un plan et un cylindre parabolique de génératrices coupant le plan${\big )}\;$ dont la parabole est l'intersection

     Soient les trois équations paramétriques cartésiennes de la courbe $\;({\mathcal {T}})\;$ «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}x={\dfrac {t}{2}}\\y=t^{2}-1\\z=2\,t+1\end{array}}\right.\;$», nous nous proposons d'établir
     $\succ \;$d'une part le caractère plan de la courbe et
     $\succ \;$d'autre part sa nature ;

• pour démontrer la nature plane de la courbe il faut trouver une relation affine entre $\;x$, $\;y\;$ et $\;z\;$ en éliminant le paramètre $\;t\;$ entre les équations paramétriques affines $\;(1)\;$ et $\;(3)$ $\;{\big \{}$pour cela exprimer $\;t\;$ en fonction de $\;x\;$ par l'équation $\;(1)\;$ et reporter cette expression dans l'équation $\;(3)\;$ $\Rightarrow$ l'équation d'un plan d'où la nature plane de $\;({\mathcal {T}})$ $\;{\big [}$simultanément reporter l'expression de $\;t\;$ en fonction de $\;x\;$ dans l'équation $\;(2)\;$ $\Rightarrow$ l'équation de la 2^ème surface permettant de déterminer la nature de $\;({\mathcal {T}}){\big ]}{\big \}}\;$ soit «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}t=2\,x\\y=(2\,x)^{2}-1\\z=2\,(2\,x)+1\end{array}}\right.\;$» donnant les deux équations cartésiennes «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}y=4\,x^{2}-1\\z=4\,x+1\end{array}}\right.\;$» dont la 2^ème est celle du plan parallèle à $\;y'y\;$ passant par le point $\;(2,\;0,\;9)\;$ ;
• la nature de la courbe $\;({\mathcal {T}})\;$ s'obtient en déterminant celle de la 2^ème surface d'équation cartésienne «$\;y=4\,x^{2}-1\;$», laquelle s'identifie à un « cylindre parabolique » de génératrices parallèles à $\;z'z$ ;                                                                                                     $\;({\mathcal {T}})\;$ étant l'intersection d'un cylindre parabolique et d'un plan non parallèle aux génératrices est donc une « parabole » .

Choix du système de coordonnées adapté au problème

     Le plus souvent le système de coordonnées est imposé par le texte de l'exercice $\;{\big (}$et a priori vous ne devez en aucun cas en changer${\big )}$, mais si l'initiative du choix vous est laissée, vous adoptez le système adapté au problème à savoir :

• le système de coordonnées cylindro-polaires (ou cylindriques) d'axe $\;Oz\;$ pour un problème ayant l'« invariance par symétrie de révolution d'axe${\underline {\;Oz\;}}$» ${\big (}$c.-à-d. un problème invariant par rotation autour de l'axe $\;Oz$, ne dépendant donc pas de l'abscisse angulaire $\;\theta$, par exemple l'écoulement de l'eau dans un tuyau cylindrique d'axe $\;Oz\;$ ou la marche d'une fourmi sur la surface latérale de ce tuyau${\big )}\;$ ou pour un problème ne possédant pas cette invariance mais pour lequel le rayon polaire${\underline {\;\rho }}\;$ ne varie pas ${\big (}$par exemple la montée d'une fourmi sur une hélice circulaire, courbe tracée sur un tuyau cylindrique${\big )}$,

• le système de coordonnées sphériques de pôle $\;O\;$ pour un problème possédant l'« invariance par symétrie sphérique de centre${\underline {\;O\;}}$» ${\big (}$c.-à-d. un problème invariant par rotation autour de n'importe quel axe passant par $\;O$, ne dépendant donc pas de la colatitude $\;\theta \;$ et de la longitude $\;\varphi \;$ relativement à un axe quelconque choisi comme axe $\;Oz$, par exemple $-$ en restant dans le cadre de la « mécanique classique » $-$ le « mouvement de l'électron dans un atome d'hydrogène autour de son noyau » ou le « mouvement d'un satellite autour de la Terre » ou la marche d'une fourmi sur un ballon de handball${\big )}\;$ ou pour un problème ne possédant pas cette invariance mais pour lequel le rayon (polaire)${\underline {\;r\;}}$ne varie pas ${\big (}$par exemple la marche d'une fourmi sur un ballon de handball en rotation autour d'un axe vertical, la rotation rendant la marche moins assurée au niveau équatorial du ballon que près d'un pôle c.-à-d. que les conditions de maintien sur le ballon dépendent de la colatitude de la fourmi sur le ballon, maintien plus difficile au niveau équatorial qu'à un des pôles ${\big )}$,

• le système de coordonnées cartésiennes pour un problème ne possédant aucune des invariances précédentes et pour lequel on cherche la description du mouvement d'un objet relativement à des plans fixes ${\big (}$par exemple le drop d'un ballon de rugby pour savoir si ce mouvement va passer au-dessus de la barre transversale${\big )}$.

En complément, repérage de Frenet d'un point sur une courbe

     L'introduction du repérage de Frenet est présentée « en complément » , toutefois il est difficile de s'en passer car c'est le seul repérage introduisant les notions utilisées dans la vie quotidienne comme la « longueur parcourue sur une courbe » ou la « vitesse lue sur un tachymètre » ou l'« accélération $\;{\big (}$tangentielle${\big )}\;$ le long d'une courbe » .

Rappel, notion d'abscisse curviligne d'un point et de vecteur unitaire tangentiel, 1^er vecteur de la base locale de Frenet associée

     Ces notions ayant déjà été introduites dans les paragraphes « abscisse curviligne » et « 1^er vecteur de base de Frenet » du chap.$15$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », seules les grandes lignes sont rappelées :

Abscisse curviligne d'un point le long d'une courbe et 1^er vecteur de base de Frenet associé $\;{\big (}$en marron${\big )}\;$

     Sur une courbe continue $\;(\Gamma )\;$ plane ou gauche, on choisit arbitrairement un sens «$\;+\;$» et une « origine $\;A\;$» de mesure des abscisses curvilignes ; le « point générique $\;M\;$» de $\;(\Gamma )\;$ est repéré par son « abscisse curviligne $\;s={\overset {\curvearrowright }{AM}}\;$» ${\big [}$longueur algébrique parcourue dans le sens «$\;+\;$» sur $\;(\Gamma )\;$ depuis l'origine $\;A{\big ]}\;$ ;

     on définit, en tout point $\;M\;$ non anguleux de $\;(\Gamma )$, un vecteur unitaire $\;{\vec {\tau }}\;$ tangent à $\;(\Gamma )\;$