Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)/Notion d'angle solide
La notion d'angle solide permet d'introduire la mesure d'une portion d'« espace affine euclidien tridimensionnel » comme la notion d'angle autorise l'introduction de la mesure d'une portion d'« espace affine euclidien bidimensionnel » bien que l'introduction de cette notion ne soit pas au programme de mathématiques de P.C.S.I., elle ne présente aucune difficulté et est très utile pour simplifier les exposés en physique.
Rappel de la définition de la mesure d'un angle non orienté d'un plan (en radians « rad »)
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Deux demi-droites distinctes de même origine délimitent dans le plan les contenant deux secteurs angulaires ou angles ,
- la portion d'espace plan convexe définit un « secteur angulaire[1] saillant » voir ci-contre ,
- l'autre portion d'espace plan non convexe définit un « secteur angulaire[1] rentrant » sur le schéma ci-contre c'est la portion d'espace plan complémentaire du « secteur angulaire[1] saillant » du plan les contenant ;
dans la suite nous considérons le « secteur angulaire[1] saillant » comme support d'explication mais tout ce qui est introduit est encore applicable au « secteur angulaire[1] rentrant » complémentaire du « secteur angulaire[1] saillant » du plan ;
pour mesurer un secteur angulaire[1] l'origine des deux demi-droites définissant le somment du secteur angulaire[1] et les demi-droites ses côtés ,
nous traçons, dans le plan contenant le secteur angulaire[1], un cercle de rayon quelconque centré au sommet du secteur angulaire[1] et
nous mesurons l'« arc découpé par le secteur angulaire[1] sur le cercle »,
« étant à »[2] le « rapport indépendant de représente la mesure du secteur angulaire[1] en ».
Propriétés : la mesure d'un secteur angulaire[1] « saillant » est « à »,
Propriétés : la mesure d'un secteur angulaire[1] « rentrant » est « à mais à »,
Propriétés : si les côtés d'un secteur angulaire[1] sont alignés sans être superposés, le secteur angulaire[1] est dit « plat » et sa « mesure est »,
Propriétés : si les côtés d'un secteur angulaire[1] sont superposés, le secteur angulaire[1] est dit « nul » et sa « mesure est »,
Propriétés : le secteur angulaire[1] complémentaire dans le plan du secteur angulaire[1] nul est dit « plein » et sa « mesure est »,
Propriétés : un secteur angulaire[1] « saillant » à côtés est dit « droit » et sa « mesure est »,
Propriétés : un secteur angulaire[1] « saillant » de « mesure à » est dit « aigu » et
Propriétés : un secteur angulaire[1] « saillant » de « mesure à » est dit « obtus ».
Définition d'un angle solide non orienté mesurant l'intérieur d'un cône (en stéradians « sr »)
modifierAnalogie tridimensionnelle de la notion de secteur angulaire (ou angle) d'un plan
modifierDe même qu'un plan peut être découpé en deux portions par deux demi-droites de même origine donnant la notion de secteurs angulaires ou angles « saillant ou intérieur » et « rentrant ou extérieur », la mesure du secteur angulaire[1] « saillant ou intérieur » étant plus petite que celle du secteur angulaire[1] « rentrant ou extérieur »,
De même qu'l'espace tridimensionnel peut être découpé en deux portions par un cône c'est-à-dire un ensemble de demi-droites de même origine appelé sommet du cône s'appuyant sur une courbe fermée plane [3] appelée directrice du cône [4], les demi-droites constituant les génératrices de ce dernier ,
![{\displaystyle {\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31d63350d68291e3f56604a089e0e0b5a86c2472)
- dans le cas où la directrice du cône est « convexe », la portion « convexe » d'espace tridimensionnel délimité par le cône définit l'« intérieur du cône », l'autre portion « non convexe » complémentaire de l'intérieur du cône dans l'espace tridimensionnel définissant l'« extérieur du cône »,
- dans le cas où la directrice du cône est « non convexe », il est possible de définir une courbe fermée plane « convexe » telle que tous les points de la directrice du cône « non convexe » soient à l'intérieur de cette courbe fermée plane « convexe » et par suite de définir comme
« intérieur du cône de directrice » la portion d'espace tridimensionnel délimité par ce dernier incluse dans l'intérieur du cône de directrice de même sommet que le cône de directrice et
« extérieur du cône de directrice » le complémentaire de l'intérieur du cône de directrice dans l'espace tridimensionnel.
Dans la suite nous considérons l'« intérieur du cône » comme support d'explication mais tout ce qui est introduit est encore applicable à l'« extérieur du cône » complémentaire de l'« intérieur du cône » dans l'espace tridimensionnel .
Définition de l'angle solide mesurant l'intérieur d’un cône (en stéradians « sr »)
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La mesure de la « portion d'espace tridimensionnel intérieur à un cône »[5] est calquée sur celle de portion de plan correspondant à un « secteur angulaire[1] saillant », le « cercle de rayon quelconque centré sur le sommet du secteur angulaire[1] » étant remplacé par une « sphère de rayon quelconque centrée sur le sommet du cône ».
Pour mesurer l'« intérieur du cône [5], de sommet , de directrice » non représentée sur le schéma ci-contre dans le but de ne pas surcharger la figure ,
nous traçons une sphère , de rayon quelconque, centrée au sommet du cône et
nous mesurons l'« aire de la portion de sphère limitée par la courbe fermée découpée par le cône sur la sphère »,
« étant à »[6] le « rapport indépendant de représente la mesure de l'« intérieur du cône [5]», mesure encore appelée, par abus, « angle solide non orienté de l'intérieur du cône » en « stéradians de symbole » » d'où
« l'aire de la surface limitée par la courbe fermée découpée par sur la sphère de rayon .
Algébrisation d'un angle solide Ω mesurant l'intérieur d'un cône par orientation de la surface sphérique limitée par l'intersection du cône et de la sphère de rayon R centrée au sommet du cône
modifierSi la surface sphérique limitée par l'intersection du cône et de la sphère de rayon centrée au sommet du cône est orientée, en de la surface sphérique, par le 1er vecteur de la base sphérique de pôle liée à à savoir le vecteur unitaire radial « » orientation dans le sens centrifuge ,
c'est-à-dire « » ;
si la surface sphérique limitée par l'intersection du cône et de la sphère de rayon centrée au sommet du cône est orientée, en de la surface sphérique, par l'opposé du 1er vecteur de la base sphérique de pôle liée à à savoir l'opposé du vecteur unitaire radial « » orientation dans le sens centripète ,
c'est-à-dire « ».
Expression en coordonnées sphériques de l'angle solide (algébrique) mesurant l'intérieur du cône élémentaire d'axe repéré en sphérique par (θ, φ) à dθ et dφ près
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Considérons le cône élémentaire de sommet d'axe repéré en sphérique de pôle par à et près voir ci-contre ainsi que
Considérons la sphère de centre et de rayon seul le huitième de sphère du quadrant est partiellement représenté par ses méridiens de longitude et ainsi que par les portions de parallèles localisés entre les deux méridiens précédents, parallèles de colatitude et ,
l'intersection du cône et de la sphère donnant une courbe fermée constituée des deux portions de parallèles de colatitude et et des deux portions de méridiens de longitude et localisées entre les deux parallèles précédemment cités en bleu sur le schéma ci-contre délimite la « portion de sphère d'aire »[7] d'où
![{\displaystyle {\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6409e9848c1422eef16462fbeae301d8fa0f831)
l'angle solide non algébrisé « » mesurant l'intérieur du cône élémentaire d'axe repéré par à et près
Nous introduisons l'algébrisation de l'angle solide « » mesurant l'intérieur du cône élémentaire d'axe repéré par à et près en posant
en déduisons que « est si et sont de même signe » et toutes deux ou ,
![{\displaystyle \;\searrow {\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97dfb0fd4860364b28e71d4a8d8dd162d860938d)
en déduisons que « est si et sont de signe contraire » et ou et .
![{\displaystyle \;\varphi \nearrow {\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2835529c82b4882a8e5a50ad470a6ac30df54ded)
Remarques : La définition de l'angle solide algébrique « » mesurant l'intérieur du cône élémentaire d'axe repéré par à et près est en accord avec celle donnée dans le paragraphe « algébrisation d'un angle solide Ω mesurant l'intérieur d'un cône par orientation de la surface sphérique limitée par l'intersection du cône et de la sphère de rayon R centrée au sommet du cône » ci-dessus car le « vecteur surface élémentaire de la portion sphérique limitée par étant défini selon », nous en déduisons que
Remarques : si et sont de même signe et toutes deux ou , « étant orienté par », « est » soit
Remarques : si et sont de signe contraire et ou et , « étant orienté par », « est » soit
Remarques : Avec la définition de l'aire algébrique de la portion de sphère délimitée par l'intersection du cône et de la sphère selon « » permettant de réécrire le « vecteur surface élémentaire de cette portion sphérique selon » nous pouvons réécrire l'angle solide algébrique « » mesurant l'intérieur du cône élémentaire d'axe repéré par à et près selon
![{\displaystyle \;{\Big [}\!\Rightarrow {\overline {d\Sigma (R)}}={\overrightarrow {d\Sigma (R)}}\cdot {\vec {u}}_{r}{\Big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d894f4367b482e78cc2ddf1dee7fd83c336026df)
Remarques : ce qui nous permet effectivement de retrouver l'accord avec l'algébrisation de la notion d'angle solide donnée dans le paragraphe « algébrisation d'un angle solide Ω mesurant l'intérieur d'un cône par orientation de la surface sphérique limitée par l'intersection du cône et de la sphère de rayon R centrée au sommet du cône » ci-dessus en effet,
Remarques : si et sont de même signe et toutes deux ou , « étant , est dans le sens de », « est » soit
Remarques : si et sont de signe contraire et ou et , « étant , est dans le sens de », « est » soit
Définition de l'angle solide (algébrique) sous lequel de O on voit une surface ouverte orientée
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Considérant la surface ouverte s’appuyant sur le contour fermé voir ci-contre , l'« angle solide non algébrisé sous lequel du point est vue la surface ouverte » est l'« angle solide mesurant l'intérieur du cône de sommet s'appuyant sur la courbe fermée » soit,
après définition de la sphère centrée en de rayon quelconque et détermination de l'aire de la portion de sphère limitée par , « ».
Pour obtenir l'algébrisation de l’angle solide, on oriente la surface ouverte par « vecteur unitaire normal ou »[8] et
Pour obtenir l’algébrisation de l’angle solide, on oriente la portion de la sphère limitée par en correspondance[9] c'est-à-dire par « vecteur unitaire radial du repérage sphérique de pôle , ou »[8] ;
si est orienté par la portion de sphère limitée par l'est par , l'« angle solide algébrisé sous lequel la surface ouverte orientée est vue de est » et
![{\displaystyle \;{\vec {u}}_{r}{\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef85be1fac4986edd3d4793a8fdc921df323e652)
si est orienté par la portion de sphère limitée par l'est par , l'« angle solide algébrisé sous lequel la surface ouverte orientée est vue de est » et
![{\displaystyle \;-{\vec {u}}_{r}{\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e869df912abe007b50c341ce75c759e2686e4bb)
Caractère additif de la notion d'angle solide : Que l'« angle solide sous lequel du point est vue la surface ouverte orientée » soit algébrisé ou non, l'« angle solide étant défini, à partir de la sphère , de rayon et de centre , en introduisant l'aire de la portion de sphère limitée par » étant le cône de sommet s'appuyant sur la courbe fermée limitant et « l'aire d'une portion de sphère étant une grandeur additive », nous en déduisons que
Caractère additif de la notion d'angle solide : l'« angle solide algébrisé ou non sous lequel du point est vue la surface ouverte orientée est une grandeur additive ».
![{\displaystyle \;\left({\mathcal {S}}\right){\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/048e93a52f65a1c7610105a6ef8077731e061257)
Expression de l'angle solide élémentaire sous lequel de O on voit une surface élémentaire de vecteur surface fixé
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Considérant la surface élémentaire d'aire centrée en de coordonnées sphériques de pôle « » ci-contre la surface élémentaire est représentée en bleu, elle n'est pas nécessairement rectangulaire , l'« angle solide non algébrisé sous lequel du point est vue la surface élémentaire d'aire » est l'« angle solide mesurant l'intérieur du cône de sommet s'appuyant sur la courbe fermée limitant la surface élémentaire d'aire » cône élémentaire en rouge sur le schéma ci-contre soit,
après définition de la sphère centrée en de rayon coordonnée radiale de et détermination de l'aire de la portion de sphère limitée par représentée en rouge sur le schéma ci-contre , « »[10].
Pour obtenir l'algébrisation de l'angle solide élémentaire sous lequel de est vue la surface élémentaire d'aire , on oriente
- cette dernière par « vecteur unitaire normal ou » voir les coupes ci-dessous réalisées dans le plan méridien passant par c'est-à-dire le plan , « cas où la surface élémentaire d'aire est orientée par à gauche » et « celui où elle est orientée par à droite » et
- la portion de sphère limitée par en correspondance[9] par « vecteur unitaire radial du repérage sphérique de pôle , » ou son opposé » ;
![{\displaystyle \;\left({\overrightarrow {Oz}}\,,\,M\right){\bigg ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac0b9d92f61d07d3cd0a7edbf2a57379cf8f2c51)
1er cas voir schéma ci-contre à gauche la portion de sphère limitée par étant orientée par « », l'« angle solide algébrisé sous lequel du point est vue la surface élémentaire d'aire est » « » ;
il reste à évaluer en fonction de l'orientation de la surface élémentaire et de son aire , soit, en notant , « »[11] ou encore « » ;
finalement nous obtenons dans ce cas « ».
2ème cas voir schéma ci-contre à droite la portion de sphère limitée par étant orientée par « », l'« angle solide algébrisé sous lequel du point est vue la surface élémentaire d'aire est » « » ;
il reste à évaluer en fonction de l'orientation de la surface élémentaire et de son aire , soit, en notant , « »[12] ou encore « » « » ;
finalement nous obtenons dans ce cas « ».
Conclusion : Quelle que soit l'orientation de la surface élémentaire d'aire centrée en , l'« angle solide algébrisé sous lequel du point est vue la surface élémentaire » s'écrit
est la coordonnée radiale de dans son repérage sphérique de pôle ,
étant le vecteur unitaire radial de la base sphérique liée à .
Conclusion : L'« angle solide algébrisé sous lequel du point est vue la surface élémentaire d'aire centrée en » s'écrivant encore « » quelle que soit l'orientation de la surface élémentaire, nous en déduisons que c'est aussi « le flux élémentaire du champ vectoriel à travers la surface élémentaire de vecteur surface »[13].
Définition (équivalente) de l'angle solide (algébrique) sous lequel de O on voit une surface ouverte orientée
modifierAyant établi d'une part dans le paragraphe « définition de l'angle solide (algébrique) sous lequel de O on voit une surface orientée ouverte (caractère additif de la notion d'angle solide) » plus haut dans ce chapitre que l'« angle solide algébrisé ou non sous lequel du point est vue une surface ouverte orientée est une grandeur additive » et
Ayant établi d'autre part dans le paragraphe « expression de l'angle solide élémentaire sous lequel de O on voit une surface élémentaire de vecteur surface fixé (2ème conclusion) » précédent que l'« angle solide algébrisé sous lequel du point est vue la surface élémentaire d'aire centrée en de coordonnée radiale dans son repérage sphérique de pôle , le vecteur unitaire radial de la base sphérique liée à étant est le flux élémentaire du champ vectoriel à travers la surface élémentaire de vecteur surface »[13] c'est-à-dire « »,
![{\displaystyle \;{\vec {u}}_{r}{\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11af98f226a87b9e88c8a9833b71e0cab664a26a)
nous en déduisons une définition équivalente de l'« angle solide algébrique sous lequel du point est vue une surface ouverte orientée » comme « flux du champ vectoriel à travers la surface ouverte orientée »[14] :
![{\displaystyle \;M{\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19a7e7677d7c8ddfa751d0cc213d5919154c4bd9)
![{\displaystyle \;\Omega =\Phi _{({\mathcal {S}})}\!\left[{\dfrac {{\vec {u}}_{r}}{r^{2}}}\right]=\displaystyle \iint _{({\mathcal {S}})}{\dfrac {{\vec {u}}_{r}}{r^{2}}}\cdot {\overrightarrow {dS}}_{M}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/796707a65c33872dd3432759ad6cd1b1cca07791)
étant le vecteur surface élémentaire défini au point générique de .
Remarque : Ci-dessus nous avons établi que la définition de l'angle solide (algébrique) sous lequel du point est vue la surface ouverte orientée du paragraphe « définition de l'angle solide (algébrique) sous lequel de O on voit une surface ouverte orientée » la définition de ce paragraphe,
Remarque :pour affirmer l'équivalence des deux définitions il conviendrait d'établir la réciproque à savoir que
Remarque :le « flux du champ vectoriel à travers la surface ouverte orientée »[14] étant la coordonnée radiale du repérage sphérique de pôle du point générique de et le vecteur unitaire radial de la base sphérique liée à mesure algébriquement l'« intérieur du cône de somment s'appuyant sur le contour fermé limitant » mais
Remarque :l'établissement de la réciproque ne présentant aucune difficulté est laissé au soin du lecteur
Expression de l'angle solide mesurant l'intérieur d'un cône de révolution de demi-angle au sommet α à partir du sommet du cône
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Considérons un cône de révolution , de sommet , d'axe et de demi-angle au sommet les génératrices du cône étant des demi-droites ne sont pas limitées du côté opposé au sommet, contrairement à la représentation qui en est faite ci-contre , chaque direction intérieure au cône étant repérée par sa « colatitude » et sa « longitude »,
nous nous proposons d'évaluer l'« angle solide non algébrisé mesurant l'intérieur de ce cône de révolution » à l'aide du résultat obtenu au paragraphe « expression en coordonnées sphériques de l'angle solide (algébrique) mesurant l'intérieur du cône élémentaire d'axe repéré en sphérique par (θ,_φ) à dθ et dφ près (avant algébrisation) » plus haut dans ce chapitre à savoir « ».
Ayant justifié dans le paragraphe « définition de l'angle solide (algébrique) sous lequel de O on voit une surface ouverte orientée (caractère additif de la notion d'angle solide) » plus haut dans ce chapitre qu'« un angle solide algébrisé ou non est une grandeur additive » nous en déduisons
l'expression de l'« angle solide non algébrisé mesurant l'intérieur de ce cône de révolution » sous forme de l'intégrale surfacique sur la portion de sphère de centre , de rayon quelconque, limitée par le contour fermé , portion de sphère notée ,
![{\displaystyle \;\omega =\displaystyle \int _{\varphi \,=\,0}^{\varphi \,=\,2\;\pi }\left[\displaystyle \int _{\theta \,=\,0}^{\theta \,=\,\alpha }\sin(\theta )\;d\theta \right]d\varphi \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8aff237148f96f77e91ed0d6ab891926bd5120be)
![{\displaystyle \;=2\;\pi \times \left[-\cos(\theta )\right]_{0}^{\alpha }\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77b734a255e284faa78e8e3c8f21fd31639c1c45)
« » résultat utile à connaître .
![{\displaystyle \;\omega =2\;\pi \,\left[1-\cos(\alpha )\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3133f816cbe5694b1ce5c795763ce704083c16e4)
Applications : L'« angle solide non algébrisé mesurant l'espace tridimensionnel entier à partir d'un point quelconque » est aussi l'« angle solide non algébrisé mesurant l'intérieur du cône de révolution de sommet et de demi-angle au sommet » d'où soit
![{\displaystyle \;\omega _{\text{espace entier}}=2\;\pi \,\left[1-\cos(\pi )\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51536685d24b60095fad155a7b064ba4daeb7891)
Applications : L'« angle solide non algébrisé mesurant l'espace tridimensionnel situé d'un même côté de plan à partir d'un point situé de l'autre côté du plan c'est-à-dire un demi-espace » est aussi l'« angle solide non algébrisé mesurant l'intérieur du cône de révolution de sommet et de demi-angle au sommet » d'où soit
![{\displaystyle \;\omega _{\text{demi-espace}}=2\;\pi \,\left[1-\cos \!\left({\dfrac {\pi }{2}}\right)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16ec6c14cab4ae36de3824dbb4f4f36966eaef85)
Applications : L'« angle solide non algébrisé sous lequel d'un point est vu un disque , de centre , de rayon , d'axe passant par tel que » est aussi l'« angle solide non algébrisé mesurant l'intérieur du cône de révolution de sommet et de demi-angle au sommet » d'où soit
![{\displaystyle \;\omega _{\,\left({\mathcal {D}}\right)\;{\text{vu de }}O}=2\;\pi \,\left\lbrace 1-\cos \!\left[\arctan \!\left({\dfrac {R}{h}}\right)\right]\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0e7a316cff7092f0f712afde6a886b50842fd56)
Utilisation des symétries de l'espace pour évaluer des angles solides
modifier Préliminaire : Il faut entendre ici par « symétrie » de l'espace, le fait qu'à partir d'un même point l'espace entier ou une partie de ce dernier peut être décomposé en parties disjointes[19] semblables avec , la symétrie étant alors dite d'ordre ;
Préliminaire : la similitude de chaque partie vue du point l'identité des angles solides non algébrisés sous lequel de est vue chaque partie soit « » ;
Préliminaire : connaissant l'angle solide sous lequel du point est vu l'espace entier ou une partie de ce dernier et utilisant le caractère additif de la notion d'angle solide[20], nous en déduisons que l'« angle solide non algébrisé sous lequel de est vue chaque partie vaut de l'angle solide sous lequel de est vu l'espace entier » ou une partie de ce dernier .
![{\displaystyle \;\omega _{k}=cste\;\;\forall \;k\;\in \left[\left[1\,,\,n\right]\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0986d9e0ef1856781f35af13067e6fdd5e4a5d5)
Exemples : Utilisation d'une symétrie d'ordre deux ou symétrie orthogonale par rapport à un plan ,
Exemples : Utilisation d'une symétrie d'ordre deux l'espace tridimensionnel situé de part et d'autre d'un plan passant par peut être décomposé en parties disjointes à l'exception du plan [19], celles situées d'un côté ou de l'autre de , ces deux parties étant symétriques l'une de l'autre par rapport à sont semblables et sont mesurées par le « même angle solide non algébrisé sous lequel de elles sont vues » ; nous en déduisons que l'« angle solide non algébrisé sous lequel de est vue la partie d'espace située d'un même côté du plan passant par vaut de l'angle solide sous lequel de est vu l'espace entier » d'où
![{\displaystyle \;\left(\Pi \right){\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29906741cfda1ad6b4f851406790b699e9789930)
Exemples : Utilisation d'une symétrie d'ordre quatre ou invariance par rotation d'angle autour d'un même axe ,
Exemples : Utilisation d'une symétrie d'ordre quatre le demi-espace tridimensionnel situé d'un même côté d'un plan passant par peut être décomposé en un ensemble ordonné de parties se déduisant respectivement par rotation autour d'un axe à en d'angle disjointes à l'exception du plan et de l'axe [19], ces quatre parties se déduisant les unes des autres par rotation autour de d'angle sont semblables et sont mesurées par le « même angle solide non algébrisé sous lequel de elles sont vues » ; nous en déduisons que l'« angle solide non algébrisé sous lequel de est vue la partie d'espace située à l'intérieur d'un trièdre rectangle d'origine vaut de l'angle solide sous lequel de est vu le demi-espace » d'où
![{\displaystyle \;\left(\Delta \right){\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df2df70e6380eb7b7861f3554b3aaa9313c6373c)
Exemples : Utilisation d'une symétrie d'ordre quatre ou invariance par rotations d'angle autour d'au moins deux axes ,
Exemples : Utilisation d'une symétrie d'ordre quatre l'espace tridimensionnel vu à partir du centre d'un tétraèdre régulier peut être décomposé en parties trois d'entre elles se déduisant respectivement par rotation d'angle autour d'un axe issu de passant par un sommet du tétraèdre et la 4ème se déduisant de n'importe laquelle des précédentes par rotation d'angle autour d'un autre axe issu de passant le sommet adéquat disjointes à l'exception des quatre demi-droites issues de passant par l'un des sommets du tétraèdre [19], ces quatre parties se déduisant les unes des autres par rotation d'angle sont semblables et sont mesurées par le « même angle solide non algébrisé sous lequel de elles sont vues » ; nous en déduisons que l'« angle solide non algébrisé sous lequel de est vue une face quelconque du tétraèdre régulier de centre vaut de l'angle solide sous lequel de est vu l'espace entier » d'où
Exemples : Utilisation d'une symétrie d'ordre six ou invariance par rotations d'angle autour d'au moins deux axes ,
Exemples : Utilisation d'une symétrie d'ordre six l'espace tridimensionnel vu à partir du centre d'un cube peut être décomposé en parties quatre d'entre elles se déduisant respectivement par rotation d'angle autour d'un axe issu de passant par le centre d'une des faces du cube et les deux autres s'obtenant à partir de deux des précédentes n'ayant que comme point commun par exemple par rotation d'angle autour d'un axe issu de passant par le centre d'une des deux faces incluses dans l'une des deux parties disjointes à l'exception des huit demi-droites issues de passant par l'un des sommets du cube [19], ces six parties se déduisant les unes des autres par rotation d'angle sont semblables et sont mesurées par le « même angle solide non algébrisé sous lequel de elles sont vues » ; nous en déduisons que l'« angle solide non algébrisé sous lequel de est vue une face quelconque du cube de centre vaut de l'angle solide sous lequel de est vu l'espace entier » d'où
![{\displaystyle \;\left(_{1}\,,\,_{3}\right){\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1390e27889e7a38e1736fa9d173689e10601d475)
Définition de l'angle solide (algébrique) sous lequel de O on voit une courbe fermée orientée
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Rappel des orientations couplées entre contour fermé et surface ouverte s’appuyant sur le contour : Supposant que l'espace tridimensionnel est orienté à droite[22] avec choix d'une base orthonormée directe[23], nous appliquons la règle du tire-bouchon de Maxwell[24] pour déterminer l'orientation de la surface ouverte à partir de celle de la courbe fermée la limitant voir schémas ci-contre :
- « plaçant le tire-bouchon de Maxwell en un point de limitrophe de et le tournant dans le sens choisi sur , le sens défini sur en correspond au sens de déplacement du tire-bouchon, le sens défini sur en tout autre point étant obtenu par continuité »
Rappel des orientations couplées entre contour fermé et surface ouverte s’appuyant sur le contour : nous pouvons aussi appliquer la règle de trois doigts de la main droite de l'apprenti cow-boy droitier, le pouce pointant le sens choisi sur en un point de cette dernière, l'index pointant un point de à partir de et le majeur pointant le sens défini sur en .
![{\displaystyle \;M{\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ee29e700212816b70e22cc23ed37656d4fe18f3)
Rappel des orientations couplées entre contour fermé et surface ouverte s’appuyant sur le contour : Remarque : dans l'hypothèse très peu fréquente où l'espace tridimensionnel est orienté à gauche[22] avec choix d'une base orthonormée indirecte au sens de la physique [25], nous utilisons la règle de trois doigts de la main gauche de l'apprenti cow-boy gaucher, le pouce pointant le sens choisi sur en un point de cette dernière, l'index pointant un point de à partir de et le majeur pointant le sens défini sur en , ce qui donne un sens opposé à celui obtenu dans un espace tridimensionnel orienté à droite[22] avec choix d'une base orthonormée directe[23].
L'« angle solide algébrique sous lequel du point est vue une courbe fermée orientée » est l'« angle solide (algébrique) sous lequel de est vue une surface ouverte quelconque[26] s'appuyant , l'orientation de étant couplée à celle de » ;
c'est donc aussi l'« angle solide algébrique mesurant l'intérieur du cône de sommet s'appuyant sur le contour fermé orienté de la surface ouverte à orientation couplée à celle de ».
Propriétés
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« Les angles solides algébriques sous lequel d'un même point sont vues deux surfaces ouvertes orientées distinctes et s'appuyant sur un même contour fermé orienté , les orientations de et étant couplées à celle de [27], sont égaux ».
Justification : En effet si nous modifions la surface ouverte en gardant le même contour, le cône s'appuyant sur le contour reste le même et par suite l'ange solide non algébrisé reste inchangé ; si les orientations des surfaces ouvertes s'appuyant sur le contour restent couplées à celle du contour, l'algébrisation de l'angle solide n'est pas modifiée.
« Les angles solides algébriques sous lequel d'un même point sont vues deux courbes fermées distinctes orientées dans le même sens et tracées sur un même cône de sommet les orientations de et étant dans le même sens si les orientations des surfaces ouvertes et s'appuyant sur et en leur étant respectivement couplées[27] sont les mêmes par rapport c'est-à-dire s'en éloignent ou s'en rapprochent simultanément , sont égaux ».
![{\displaystyle {\big )}{\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fd0c02f32f607a22fbd5b1388a07b45e1c3f614)
Justification : En effet si nous modifions la courbe fermée en gardant le même cône, l'ange solide non algébrisé reste inchangé ; si les orientations des courbes fermées sont dans le même sens, l'algébrisation de l'angle solide n'est pas modifiée.
Notes et références
modifier- ↑ 1,00 1,01 1,02 1,03 1,04 1,05 1,06 1,07 1,08 1,09 1,10 1,11 1,12 1,13 1,14 1,15 1,16 1,17 1,18 1,19 1,20 1,21 1,22 1,23 1,24 1,25 1,26 1,27 1,28 et 1,29 Ou angle.
- ↑ En effet la longueur de l'arc de cercle défini selon « » où est le cercle centré au somment du secteur angulaire et de rayon , et étant les intersections des côtés du secteur et du cercle voir le paragraphe « les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » , soit encore, en utilisant le paramétrage polaire de pôle du cercle « ».
- ↑ Dans le cas où la courbe est plane, si le plan de celle-ci contient le sommet du cône, le cône obtenu est dégénéré c'est-à-dire plan .
- ↑ En fait la directrice du cône peut être gauche mais dans ce cas il est toujours possible de tracer sur le cône une courbe fermée plane jouant le rôle de directrice de ce cône et par suite d'utiliser cette courbe fermée plane comme directrice
- ↑ 5,0 5,1 et 5,2 Ou « angle solide intérieur au cône ».
- ↑ En effet l'aire de la portion de sphère définie selon « » avec l'aire de la surface élémentaire définie en de la portion de sphère centrée au somment du cône et de rayon voir le paragraphe « les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » soit encore, en utilisant le paramétrage sphérique de pôle de la sphère « ».
- ↑ Voir le paragraphe « expressions en paramétrage sphérique (du vecteur élément de surface en un point générique d'une surface) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
- ↑ 8,0 et 8,1 Choix d'un sens en un point quelconque puis généralisation par continuité en tous les autres points de la surface ouverte.
- ↑ 9,0 et 9,1 Il reste à définir la signification de « en correspondance » : le plus simple est de passer par l'orientation des surfaces ouvertes en accord avec celle des contours fermés sur lesquels elles s'appuient voir la note « 4 » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » , pour que l'orientation des deux surfaces ouvertes soient en correspondance il faut que celle, vue du point , des contours fermés soient dans le même sens pour un observateur ayant placé son œil en .
- ↑ Cette définition étant un cas particulier de celle donnée au paragraphe « définition de l'angle solide (algébrique) sous lequel de O on voit une surface ouverte orientée (avant algébrisation) » plus haut dans ce chapitre dans lequel .
- ↑ En effet, dans l'hypothèse où la surface élémentaire d'aire est rectangulaire à deux côtés au plan méridien de coupe et deux autres côtés à ce plan,
chaque côté au plan méridien de coupe de longueur se projette sur le plan tangent à en en vraie grandeur et
chaque côté au plan méridien de coupe de longueur se projette sur le plan tangent à en selon d'où
« », le résultat obtenu en prenant une surface élémentaire rectangulaire étant applicable quelle que soit la forme de la surface. - ↑ En effet, dans l'hypothèse où la surface élémentaire d'aire est rectangulaire à deux côtés au plan méridien de coupe et deux autres côtés à ce plan,
chaque côté au plan méridien de coupe de longueur se projette sur le plan tangent à en en vraie grandeur et
chaque côté au plan méridien de coupe de longueur se projette sur le plan tangent à en selon d'où
« », le résultat obtenu en prenant une surface élémentaire rectangulaire étant applicable quelle que soit la forme de la surface. - ↑ 13,0 et 13,1 Voir le paragraphe « définition du flux élémentaire d'un champ vectoriel de l'espace tridimensionnel » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
- ↑ 14,0 14,1 et 14,2 Voir le paragraphe « définition du flux d'un champ vectoriel de l'espace tridimensionnel à travers une surface ouverte » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
- ↑ 15,0 et 15,1 Voir le paragraphe « les deux types d'intégrale surfacique et les grandes lignes de la méthode d'évaluation » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
- ↑ Ayant imposé que et soient nous en déduisons et .
- ↑ Quand la méthode de calcul de l'intégrale surfacique conduit à deux intégrales emboîtées telles que les bornes de l'intégrale intérieure ici l'intégrale sur réalisée à constant sont indépendantes de la variable figée ici , l'ensemble des deux intégrales emboîtées devient un produit de deux intégrales indépendantes.
- ↑ Voir le paragraphe « simplification de fonction composée de grandeurs trigonométriques directe et inverse » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ;
appliquant la méthode exposée dans le paragraphe cité ci-dessus, avec « s'inversant en », nous en déduisons d'une part « » et d'autre part « » soit finalement « ». - ↑ 19,0 19,1 19,2 19,3 et 19,4 En fait il est possible que les parties ne soient pas strictement disjointes mais aient une intersection commune, dans ce cas il faut s'assurer que la suppression de cette intersection commune ne change pas la mesure de l'angle solide sous lequel du point est vue chaque partie d'espace.
- ↑ Voir le paragraphe « définition de l'angle solide (algébrique) sous lequel de O on voit une surface ouverte orientée (caractère additif de la notion d'angle solide) » plus haut dans ce chapitre.
- ↑ Nous retrouvons le résultat obtenu dans le paragraphe « expression de l'angle solide mesurant l'intérieur d'un cône de révolution de demi-angle au sommet α à partir du sommet du cône (2ème application) » plus haut dans ce chapitre.
- ↑ 22,0 22,1 et 22,2 Voir l'« introduction du paragraphe produit vectoriel de deux vecteurs » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
- ↑ 23,0 et 23,1 Voir le paragraphe « base directe d'un espace orienté à droite » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
- ↑ James Clerk Maxwell (1831 - 1879) physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif permettant de déterminer le caractère direct d'un triplet de vecteurs a été baptisé « tire-bouchon de Maxwell » en son honneur..
- ↑ Voir le paragraphe « base directe (au sens de la physique) d'un espace orienté à gauche » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
- ↑ Le caractère « quelconque » est justifié dans le paragraphe suivant de la définition car si nous modifions la surface ouverte en gardant le même contour, le cône s'appuyant sur le contour restant le même l'ange solide reste inchangé.
- ↑ 27,0 et 27,1 Voir le paragraphe « définition de l'angle solide (algébrique) sous lequel de O on voit une courbe fermée orientée (rappel des orientations couplées entre contour fermé et surface ouverte s’appuyant sur le contour) » plus haut dans ce chapitre.
![{\displaystyle \;\Sigma (R)=\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,{\text{int de }}\left(K\right)\,\cap \,\left(\Sigma \right)}\!\!\!\!R^{2}\;\sin \!\left(\theta _{M}\right)\;d\theta _{M}\;d\varphi _{M}=R^{2}\left[\,\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,{\text{int de }}\left(K\right)\,\cap \,\left(\Sigma \right)}\!\!\!\!\sin \!\left(\theta _{M}\right)\;d\theta _{M}\;d\varphi _{M}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bf3ced16c14609118863c87ff84169795966310)
![{\displaystyle \;\alpha =\arctan \!\left({\dfrac {R}{h}}\right)\in \left]0\,,\,{\dfrac {\pi }{2}}\right[\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43d819bc9f24ca23471e3bcda548d3094af3d1d7)
