Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Flux d'un champ vectoriel de l'espace, notion de champ vectoriel à flux conservatif

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Flux de champ vectoriel de l'espace tridimensionnel à travers une surface ouverte

Définition du flux élémentaire d'un champ vectoriel de l'espace tridimensionnel

Flux élémentaire d'un champ vectoriel de l'espace tridimensionnel

     Soit $\;{\vec {A}}(M)\;$ un champ vectoriel de l'espace tridimensionnel et $\;{\overrightarrow {dS}}_{M}\;$ un vecteur surface élémentaire positionné en $\;M\;$, point de définition du champ vectoriel, on appelle « flux élémentaire du champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\;$ à travers le vecteur élément de surface $\;{\overrightarrow {dS}}_{M}$ »,
la forme bilinéaire symétrique «$\;\delta \Phi \!\left[{\vec {A}}(M)\right]={\vec {A}}(M)\cdot {\overrightarrow {dS}}_{M}\;$».

Schéma de définition du flux d'un champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\;$ à travers une surface ouverte $\;({\mathcal {S}})\;$ dont l'orientation est en accord avec celle de la courbe fermée $\;(\Gamma )\;$ la limitant

Définition du flux d'un champ vectoriel de l'espace tridimensionnel à travers une surface ouverte

Flux d'un champ vectoriel de l'espace tridimensionnel à travers une surface ouverte

     Soit $\;{\vec {A}}(M)\;$ un champ vectoriel de l'espace tridimensionnel et $\;({\mathcal {S}})\;$ une surface ouverte limitée par la courbe fermée $\;(\Gamma )$, orientée de façon arbitraire, l'orientation de $\;({\mathcal {S}})\;$ étant définie en accord avec celle de $\;(\Gamma )\;$, on appelle « flux du champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\;$ à travers la surface ouverte orientée $\;({\mathcal {S}})\;$»,
l'intégrale surfacique «$\;\Phi _{({\mathcal {S}})}\!\left[{\vec {A}}(M)\right]=\displaystyle \iint \limits _{({\mathcal {S}})}\delta \Phi \!\left[{\vec {A}}(M)\right]=\displaystyle \iint \limits _{({\mathcal {S}})}{\vec {A}}(M)\cdot {\overrightarrow {dS}}_{M}\;$».

     Unité de flux de champ vectoriel : notant $\;\left[A\right]\;$ l'unité dans laquelle les composantes ainsi que la norme du champ vectoriel $\;{\vec {A}}\;$ sont mesurées, l'unité dans laquelle s'exprime le flux $\;\Phi _{({\mathcal {S}})}\!\left[{\vec {A}}(M)\right]\;$ du champ vectoriel $\;{\vec {A}}\;$ à travers la surface ouverte orientée $\;({\mathcal {S}})\;$ est $\;\left[A\right]\cdot m^{2}$.

1^ère définition d'un champ vectoriel à flux conservatif de l'espace tridimensionnel

Champ vectoriel à flux conservatif 1^ère définition)

     Un champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\;$ de l'espace tridimensionnel est dit « à flux conservatif » si, $\;(\Gamma )\;$ étant une courbe fermée orientée $\;{\big (}$de façon arbitraire${\big )}$, le flux du champ vectoriel à travers une surface ouverte quelconque s'appuyant sur${\underline {\;(\Gamma )\;}}$est indépendant de la surface ouverte choisie ou encore
     $\;{\mathcal {S}}_{(\Gamma )}\;$ et $\;{{\mathcal {S}}'}_{(\Gamma )}\;$ étant deux surfaces ouvertes quelconques s'appuyant sur la même courbe fermée $\;(\Gamma )\;$ et dont les orientations sont définies en accord avec celle de $\;(\Gamma )$, ssi «$\;\Phi _{{\mathcal {S}}_{(\Gamma )}}\!\left[{\vec {A}}(M)\right]=\Phi _{{{\mathcal {S}}'}_{(\Gamma )}}\!\left[{\vec {A}}(M)\right]\;$ $\Leftrightarrow$ $\;\displaystyle \iint \limits _{{\mathcal {S}}_{(\Gamma )}}{\vec {A}}(M)\cdot {\overrightarrow {dS}}_{M}=\displaystyle \iint \limits _{{{\mathcal {S}}'}_{(\Gamma )}}{\vec {A}}(M)\cdot {\overrightarrow {dS}}_{M}\;$».

Flux de champ vectoriel de l'espace tridimensionnel à travers une surface fermée

Définition du flux sortant d'un champ vectoriel de l'espace tridimensionnel à travers une surface fermée

Flux sortant d'un champ vectoriel de l'espace tridimensionnel à travers une surface fermée

     Soit $\;{\vec {A}}(M)\;$ un champ vectoriel de l'espace tridimensionnel et $\;({\mathcal {S}})\;$ une surface fermée, orientée de l'intérieur vers l'extérieur, on appelle « flux sortant du champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\;$ à travers la surface fermée $\;({\mathcal {S}})\;$»,
l'intégrale surfacique «$\;{\begin{array}{c}\qquad \\\Phi _{({\mathcal {S}})}\!\left[{\vec {A}}(M)\right]=\displaystyle \oiint \limits _{({\mathcal {S}})}\delta \Phi \!\left[{\vec {A}}(M)\right]=\displaystyle \oiint \limits _{({\mathcal {S}})}{\vec {A}}(M)\cdot {\overrightarrow {dS}}_{M}\\\qquad \end{array}}\;$».

     Remarque : Si on choisit d'orienter la surface fermée $\;({\mathcal {S}})\;$ de l'extérieur vers l'intérieur, on définit le flux entrant du champ vectoriel de l'espace tridimensionnel à travers la surface fermée $\;({\mathcal {S}})\;$ par «$\;{\begin{array}{c}\qquad \\\Phi _{{\text{entrant}},\,({\mathcal {S}})}\!\left[{\vec {A}}(M)\right]=\displaystyle \oiint \limits _{({\mathcal {S}})}{\vec {A}}(M)\cdot {\overrightarrow {dS}}_{M}\\\qquad \end{array}}\;$», ce flux étant l'opposé du flux sortant précédemment défini.

2^ème définition (équivalente) d'un champ vectoriel à flux conservatif de l'espace tridimensionnel

Champ vectoriel à flux conservatif (2^ème définition)

     Un champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\;$ de l'espace tridimensionnel est dit « à flux conservatif » si, le flux sortant du champ vectoriel à travers une surface fermée quelconque est nul ou encore
     $\;({\mathcal {S}})\;$ étant une surface fermée quelconque orientée de l'intérieur vers l'extérieur, ssi «$\;{\begin{array}{c}\qquad \\\Phi _{({\mathcal {S}})}\!\left[{\vec {A}}(M)\right]=\displaystyle \oiint \limits _{({\mathcal {S}})}{\vec {A}}(M)\cdot {\overrightarrow {dS}}_{M}=0\end{array}}\;$».

Schéma de définition du flux d'un champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\;$ à travers deux surfaces ouvertes $\;({\mathcal {S}})\;$ et $\;({\mathcal {S}}')\;$ s'appuyant sur le même contour $\;(\Gamma )\;$ et dont les orientations sont en accord avec celle de la courbe fermée les limitant

     Établissement de l'équivalence des deux définitions : la 1^ère définition $\Rightarrow$ la 2^ème définition car, le champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\;$ étant à flux conservatif, son flux à travers les deux surfaces ouvertes $\;({\mathcal {S}})\;$ et $\;({\mathcal {S}}')\;$ s'appuyant sur le même contour $\;(\Gamma )\;$ et dont les orientations sont en accord avec celle de la courbe fermée les limitant est le même c'est-à-dire «$\;\Phi _{({\mathcal {S}})}\!\left[{\vec {A}}(M)\right]=$ $\Phi _{({\mathcal {S}}')}\!\left[{\vec {A}}(M)\right]\;$» $\Leftrightarrow$ «$\;\displaystyle \iint \limits _{({\mathcal {S}})}{\vec {A}}(M)\cdot {\overrightarrow {dS}}_{M}=$ $\displaystyle \iint \limits _{({\mathcal {S}}')}{\vec {A}}(M)\cdot {\overrightarrow {dS}}_{M}\;$» ; formant la surface fermée $\;({\mathcal {S}}\cup {\mathcal {S}}')\;$ et l'orientant de l'intérieur vers l'extérieur $\;{\big [}$on conserve donc l'orientation de $\;({\mathcal {S}})\;$ et on inverse celle de $\;({\mathcal {S}}'){\big ]}$, la 1^ère définition du champ vectoriel à flux conservatif se réécrit alors «$\;\displaystyle \iint \limits _{({\mathcal {S}})}{\vec {A}}(M)\cdot {\overrightarrow {dS}}_{M}=$ $-\displaystyle \iint \limits _{({\mathcal {S}}')_{{\text{sens}}\,+\,{\text{inv}}}}{\vec {A}}(M)\cdot {\overrightarrow {dS}}_{M}\;$» $\Leftrightarrow$ «$\;\displaystyle \iint \limits _{({\mathcal {S}})}{\vec {A}}(M)\cdot {\overrightarrow {dS}}_{M}+\displaystyle \iint \limits _{({\mathcal {S}}')_{{\text{sens}}\,+\,{\text{inv}}}}{\vec {A}}(M)\cdot {\overrightarrow {dS}}_{M}=0\;$» soit finalement «$\;{\begin{array}{c}\qquad \\\displaystyle \oiint \limits _{({\mathcal {S}}\,\cup \,{\mathcal {S}}')}{\vec {A}}(M)\cdot {\overrightarrow {dS}}_{M}=0\end{array}}\;$» ;

     Établissement de l'équivalence des deux définitions : la 2^ème définition $\Rightarrow$ la 1^ère définition car, le champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\;$ étant à flux conservatif, son flux sortant à travers une surface fermée $\;({\mathcal {S}})\;$ quelconque est nul c'est-à-dire «$\;{\begin{array}{c}\qquad \\\displaystyle \oiint \limits _{({\mathcal {S}})}{\vec {A}}(M)\cdot {\overrightarrow {dS}}_{M}=0\end{array}}\;$» ou, traçant sur $\;({\mathcal {S}})\;$ une courbe fermée $\;(\Gamma )\;$ quelconque qui sépare la surface fermée $\;({\mathcal {S}})\;$ en deux surfaces ouvertes $\;({\mathcal {S}}_{1})\;$ et $\;({\mathcal {S}}_{2})\;$ s'appuyant toutes deux sur $\;(\Gamma )\;$ puis orientant $\;(\Gamma )\;$ dans un sens arbitraire, ce qui entraîne que l'orientation d'une des surfaces ouvertes est en accord avec celle de $\;(\Gamma )$ $\;{\big [}$nous supposerons qu'il s'agit de $\;({\mathcal {S}}_{1}){\big ]}$, l'orientation de l'autre surface étant l'opposée de celle en accord avec le sens de $\;(\Gamma )$ $\;{\big [}$nous supposerons qu'il s'agit donc de $\;({\mathcal {S}}_{2}){\big ]}$, la condition de champ vectoriel à flux conservatif se réécrit «$\;\displaystyle \iint \limits _{({\mathcal {S}}_{1})}{\vec {A}}(M)\cdot {\overrightarrow {dS}}_{M}+\displaystyle \iint \limits _{({\mathcal {S}}_{2})}{\vec {A}}(M)\cdot \left(-{\overrightarrow {dS}}_{M}\right)=0\;$» soit finalement «$\;\displaystyle \iint \limits _{({\mathcal {S}}_{1})}{\vec {A}}(M)\cdot {\overrightarrow {dS}}_{M}=\displaystyle \iint \limits _{({\mathcal {S}}_{2})}{\vec {A}}(M)\cdot {\overrightarrow {dS}}_{M}\;$».

Théorème de Green - Ostrogradsky (ou théorème de flux - divergence)

     Le théorème de Green - Ostrogradsky $\;{\big (}$admis${\big )}\;$ transforme le flux sortant d'un champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\;$ de l'espace tridimensionnel à travers une surface fermée quelconque $\;({\mathcal {S}})\;$ en intégrale volumique de la divergence du champ vectoriel $\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(P)\;$ sur $\;{\mathcal {V}}_{{\text{int. à }}({\mathcal {S}})}\;$ l'expansion tridimensionnelle intérieure à la surface fermée $\;({\mathcal {S}})\;$ soit

«$\;{\begin{array}{c}\qquad \\\Phi _{{\text{sortant}},\,({\mathcal {S}})}\!\left[{\vec {A}}(M)\right]=\displaystyle \oiint \limits _{({\mathcal {S}})}{\vec {A}}(M)\cdot {\overrightarrow {dS}}_{M}\end{array}}\;$ ${\begin{array}{c}\qquad \\=\displaystyle \iiint \limits _{{\mathcal {V}}_{{\text{int. à }}({\mathcal {S}})}}\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(P)\;d\tau _{P}\end{array}}\;$».

Propriété locale d'un champ vectoriel à flux conservatif de l'espace tridimensionnel

     Soit un champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\;$ de l'espace tridimensionnel « à flux conservatif » et une surface fermée $\;({\mathcal {S}})\;$ quelconque orientée de l'intérieur vers l'extérieur,

• de la 2^ème définition d'un champ vectoriel à flux conservatif de l'espace tridimensionnel nous en déduisons «$\;{\begin{array}{c}\qquad \\\Phi _{{\text{sortant}},\,({\mathcal {S}})}\!\left[{\vec {A}}(M)\right]=\displaystyle \oiint \limits _{({\mathcal {S}})}{\vec {A}}(M)\cdot {\overrightarrow {dS}}_{M}=0\;\;\forall \;({\mathcal {S}})\end{array}}\;$»
• et, par utilisation du théorème de Green - Ostrogradsky, «$\;{\begin{array}{c}\qquad \\\displaystyle \oiint \limits _{({\mathcal {S}})}{\vec {A}}(M)\cdot {\overrightarrow {dS}}_{M}=\displaystyle \iiint \limits _{{\mathcal {V}}_{{\text{int. à }}({\mathcal {S}})}}\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(P)\;d\tau _{P}\end{array}}\;$»

     d'où «$\;\displaystyle \iiint \limits _{({\mathcal {V}})}\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(P)\;d\tau _{P}=0\;\;\forall \;({\mathcal {V}})\;$» et, comme l'expansion tridimensionnelle $\;({\mathcal {V}})\;$ sur laquelle l'intégration est faite est quelconque, la fonction scalaire de l'espace tridimensionnel à intégrer est nulle en tout point de l'espace soit «$\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(P)=0\;\;\forall \;P\;$» ;

     réciproque : « si $\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)=0\;\;\forall \;M\;$, le champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\;$ est à flux conservatif », se démontre sans difficulté en intégrant «$\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)=0\;\;\forall \;M\;$» sur n'importe quelle expansion tridimensionnelle puis en transformant en intégrale surfacique par théorème de Green - Ostrogradsky d'où la conclusion par 2^ème définition d'un champ vectoriel à flux conservatif $\;\ldots$

Début d’un théorème

Propriété locale d'un champ vectoriel à flux conservatif de l'espace tridimensionnel

     Un champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\;$ de l'espace tridimensionnel est « à flux conservatif » ssi «$\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)=0\;\;\forall \;M\;$».

Fin du théorème

Condition nécessaire (mais non suffisante) pour qu'un champ vectoriel de l'espace tridimensionnel soit à flux conservatif

     Nous avons vu précédemment que la condition nécessaire $\;{\big (}$mais non suffisante${\big )}\;$ pour qu'un champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\;$ de l'espace tridimensionnel soit « à flux conservatif » s'identifie à la propriété locale d'un tel champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\;$ « à flux conservatif » à savoir «$\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)=0\;\;\forall \;M\;$».

     Ci-après nous allons réécrire la condition dans les trois principaux types de repérage du point de l'espace :

Traduction de la condition nécessaire (mais non suffisante) pour qu'un champ vectoriel de l'espace tridimensionnel soit à flux conservatif dans le repérage cartésien

     En repérage cartésien le champ vectoriel se décomposant en «$\;{\vec {A}}(M)=A_{x}(M)\;{\vec {u}}_{x}+A_{y}(M)\;{\vec {u}}_{y}+A_{z}(M)\;{\vec {u}}_{z}\;$» et la C.N. $\;{\big (}$mais non suffisante${\big )}\;$ pour que $\;{\vec {A}}(M)\;$ soit « à flux conservatif » s'écrivant «$\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)={\vec {0}}\;$», nous explicitons cette dernière selon

«$\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right](M)={\vec {\nabla }}\!\cdot \!{\vec {A}}(M)=\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(M)+\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(M)+\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(M)=0\;$».

Traduction de la condition nécessaire (mais non suffisante) pour qu'un champ vectoriel de l'espace tridimensionnel soit à flux conservatif dans le repérage cylindro-polaire

     En repérage cylindro-polaire, le champ vectoriel se décomposant en «$\;{\vec {A}}(M)=A_{\rho }(M)\;{\vec {u}}_{\rho }+A_{\theta }(M)\;{\vec {u}}_{\theta }+A_{z}(M)\;{\vec {u}}_{z}\;$» et la C.N. $\;{\big (}$mais non suffisante${\big )}\;$ pour que $\;{\vec {A}}(M)\;$ soit « à flux conservatif » s'écrivant «$\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)={\vec {0}}\;$», nous explicitons cette dernière selon

«$\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)={\vec {\nabla }}\!\cdot \!{\vec {A}}(M)={\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial \left[\rho \,A_{\rho }\right]}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\!(M)+{\dfrac {1}{\rho }}\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\!(M)+\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\!(M)=0\;$».

     Cas particulier fréquent : champ vectoriel à symétrie de révolution : la C.N. $\;{\big (}$mais non suffisante${\big )}\;$ pour que «$\;{\vec {A}}(M)=A_{\rho }(\rho )\;{\vec {u}}_{\rho }(\theta )\;$» soit « à flux conservatif » se simplifie en «$\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)=$ ${\vec {\nabla }}\!\cdot \!{\vec {A}}(M)={\dfrac {1}{\rho }}\;{\dfrac {d\left[\rho \,A_{\rho }\right]}{d\rho }}(M)=0\;$».

Traduction de la condition nécessaire (mais non suffisante) pour qu'un champ vectoriel de l'espace tridimensionnel soit à flux conservatif dans le repérage sphérique

     En repérage sphérique, le champ vectoriel se décomposant en «$\;{\vec {A}}(M)=A_{r}(M)\;{\vec {u}}_{r}+A_{\theta }(M)\;{\vec {u}}_{\theta }+A_{\varphi }(M)\;{\vec {u}}_{\varphi }\;$» et la C.N. $\;{\big (}$mais non suffisante${\big )}\;$ pour que $\;{\vec {A}}(M)\;$ soit « à flux conservatif » s'écrivant «$\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)={\vec {0}}\;$», nous explicitons cette dernière selon

«$\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)={\vec {\nabla }}\!\cdot \!{\vec {A}}(M)={\dfrac {1}{r^{2}}}\left({\dfrac {\partial \left[r^{2}\,A_{r}\right]}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\!\!(M)+{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\left\lbrace {\dfrac {\partial \left[\sin(\theta )\,A_{\theta }\right]}{\partial \theta }}\right\rbrace _{\!r,\,\varphi }\!\!(M)+{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\left({\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\!\!(M)=0\;$».

     Cas particulier fréquent : champ vectoriel à symétrie sphérique : la C.N. $\;{\big (}$mais non suffisante${\big )}\;$ pour que «$\;{\vec {A}}(M)=A_{r}(r)\;{\vec {u}}_{r}(\theta \,,\,\varphi )\;$» soit « à flux conservatif » se simplifie en «$\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)=$ ${\vec {\nabla }}\!\cdot \!{\vec {A}}(M)={\dfrac {1}{r^{2}}}\;{\dfrac {d\left[r^{2}\,A_{r}\right]}{dr}}(M)=0\;$».

Condition suffisante pour qu'un champ vectoriel de l'espace tridimensionnel soit à flux conservatif

     Pour que le champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\;$ de l'espace tridimensionnel soit « à flux conservatif » il suffit qu'il n'y ait aucun point de l'espace de définition du champ en lequel $\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)\;$ soit non défini ou $\;\neq 0\;$, aussi peut-on affirmer la proposition suivante :

     La condition de nullité de la divergence du champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\;$ sur un ouvert étoilé du domaine de définition du champ vectoriel est suffisante pour que le champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\;$ soit « à flux conservatif » ainsi

$\;{\vec {A}}(M)\;$ est « à flux conservatif » sur un ouvert étoilé de $\;\mathbb {R} ^{3}\;$ ssi «$\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)=0\;$ en tout point de cet ouvert ».