Réduction des endomorphismes/Trigonalisabilité
Soient un -espace vectoriel de dimension finie et .
Définition
modifier- est trigonalisable si, et seulement si, il existe une base de dans laquelle la matrice de est triangulaire supérieure .
- Trigonaliser un endomorphisme, c’est déterminer une base de trigonalisation pour cet endomorphisme.
- Remarque
- On obtient une définition équivalente en remplaçant « triangulaire supérieure » par « triangulaire inférieure ». En effet, on vérifie facilement que la matrice de dans une base est triangulaire supérieure si et seulement si celle dans est triangulaire inférieure. Ou plus savamment (cf. cet exercice du chapitre 7) : toute matrice est semblable à sa transposée.
Théorème de trigonalisation
modifierest trigonalisable si et seulement si son polynôme caractéristique est scindé sur .
Si est trigonalisable alors son polynôme caractéristique est scindé puisque c'est le polynôme caractéristique d'une matrice triangulaire T (ses racines sont les coefficients diagonaux de T).
La réciproque se démontre par récurrence sur (le cas est évident). Soit . Supposons que tout endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension dont le polynôme caractéristique est scindé est trigonalisable, et donnons-nous un endomorphisme d'un -espace vectoriel de dimension dont le polynôme caractéristique est scindé.
admet au moins une racine . Comme est une valeur propre de , il existe un vecteur non nul tel que . On peut le compléter en une base de . La matrice de dans cette base est de la forme
(en calculant le déterminant par blocs), si bien que est scindé. Par hypothèse de récurrence, est alors semblable à une matrice triangulaire supérieure, donc est trigonalisable.
Si est un corps algébriquement clos (par exemple, le corps des complexes), alors est trigonalisable.
Exemples
modifierMatrice carrée d'ordre 2 à coefficients réels
modifierSoit ; son polynôme caractéristique est qui a comme unique racine , qui est donc l'unique valeur propre de .
On peut déjà en déduire que n'est pas diagonalisable (car ) et prévoir que par conséquent, le sous-espace propre est de dimension 1.
Le calcul le confirme :
- , avec .
On peut alors compléter avec par exemple le vecteur , de manière que forme une base de .
On sait déjà que et l'on trouve facilement .
La matrice dans la base s'écrit donc
- .
La matrice telle que n'est autre que la matrice de passage de la base canonique à la base . Elle est donc constituée des vecteurs de exprimés dans la base :
- .
De même, pour calculer , il suffit d'exprimer les vecteurs de dans la base . On trouve facilement
- et donc
- .
Matrice carrée d'ordre 3 à coefficients complexes
modifierSoit ; son polynôme caractéristique est .
Comme dans l'exemple précédent, on a après calculs : et avec
- et ,
que l’on complète par pour former une base de , et l'on calcule :
- .
La matrice dans est donc
et l’on a avec la matrice de passage de la base canonique à la base , d'où :
- et .