Réduction des endomorphismes/Trigonalisabilité

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Soient un -espace vectoriel de dimension finie et .

Trigonalisabilité
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Chapitre no 5
Leçon : Réduction des endomorphismes
Chap. préc. :Diagonalisabilité
Chap. suiv. :Applications
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Réduction des endomorphismes/Trigonalisabilité
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Définition

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Remarque
On obtient une définition équivalente en remplaçant « triangulaire supérieure » par « triangulaire inférieure ». En effet, on vérifie facilement que la matrice de   dans une base   est triangulaire supérieure si et seulement si celle dans   est triangulaire inférieure. Ou plus savamment (cf. cet exercice du chapitre 7) : toute matrice est semblable à sa transposée.

Théorème de trigonalisation

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Début d’un théorème
Fin du théorème



Exemples

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Matrice carrée d'ordre 2 à coefficients réels

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Soit   ; son polynôme caractéristique est   qui a comme unique racine  , qui est donc l'unique valeur propre de  .

On peut déjà en déduire que   n'est pas diagonalisable (car  ) et prévoir que par conséquent, le sous-espace propre   est de dimension 1.

Le calcul le confirme :

 , avec  .

On peut alors compléter   avec par exemple le vecteur  , de manière que   forme une base de  .

On sait déjà que   et l'on trouve facilement  .

La matrice   dans la base   s'écrit donc

 .

La matrice   telle que   n'est autre que la matrice de passage de la base canonique   à la base  . Elle est donc constituée des vecteurs de   exprimés dans la base   :

 .

De même, pour calculer  , il suffit d'exprimer les vecteurs de   dans la base  . On trouve facilement

  et   donc
 .

Matrice carrée d'ordre 3 à coefficients complexes

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Soit   ; son polynôme caractéristique est  .

Comme dans l'exemple précédent, on a après calculs :   et   avec

  et  ,

que l’on complète par   pour former une base   de  , et l'on calcule :

 .

La matrice   dans   est donc

 

et l’on a   avec   la matrice de passage de la base canonique   à la base  , d'où :

  et  .