Signaux physiques (PCSI)/Exercices/Introduction au monde quantique : inégalités de Heisenberg

**Introduction au monde quantique : inégalités de Heisenberg**
Leçon : Signaux physiques (PCSI)

Exercices n^o18
Chapitre du cours :	Introduction au monde quantique : inégalités de Heisenberg
Exercices de niveau 14.
Exo préc. :	Introduction au monde quantique : interprétation probabiliste
Exo suiv. :	Introduction au monde quantique : oscillateur harmonique

En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Introduction au monde quantique : inégalités de Heisenberg
Signaux physiques (PCSI)/Exercices/Introduction au monde quantique : inégalités de Heisenberg », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Dimension de l'atome d'hydrogène

On considère un atome d'hydrogène « sphérique » de taille caractéristique $\;a$ ;

on admet l'approximation suivante pour l'énergie de l'électron dans l'atome « $\;E\simeq {\dfrac {\hbar ^{2}}{2\;m_{e}\;a^{2}}}-{\dfrac {e^{2}}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;a}}\;$ »^[1] où

     on admet l'approximation suivante pour l'énergie de l'électron dans l'atome « $\;e\simeq 1,60\;10^{-19}\;C\;$ est la charge élémentaire »,
     on admet l'approximation suivante pour l'énergie de l'électron dans l'atome « $\;m_{e}\simeq 9,11\;10^{-31}\;kg\;$ la masse d'un électron »,
     on admet l'approximation suivante pour l'énergie de l'électron dans l'atome « $\;{\dfrac {1}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}}}\simeq 9,00\;10^{9}\;U.S.I.\;$ la constante universelle électrostatique dans le vide^[2] » et
     on admet l'approximation suivante pour l'énergie de l'électron dans l'atome « $\;\hbar \simeq 1,05\;10^{-34}\;J\cdot s\;$ la constante réduite de Planck^[3] »^[4].

Interprétation de chaque terme de l'expression de l'énergie de l'électron dans l'atome

Que représente le 1^er terme dans l'expression de l'énergie ? Comment s'interprète-t-il ?

Que représente le 2^ème terme ?

Solution

Le « 1^er terme de l'énergie de l'électron dans l'atome $\;{\dfrac {\hbar ^{2}}{2\;m_{e}\;a^{2}}}\;$ » est l'énergie cinétique minimale due au confinement de l'électron dans un volume de taille caractéristique $\;a\;$
Le « 1^er terme de l'énergie de l'électron dans l'atome $\;\color {transparent}{\dfrac {\hbar ^{2}}{2\;m_{e}\;a^{2}}}\;$ » est l'énergie cinétique minimale résultant de l'inégalité spatiale de Heisenberg^[5], en effet si on admet que

Le « 1^er terme de l'énergie de l'électron dans l'atome $\;\color {transparent}{\dfrac {\hbar ^{2}}{2\;m_{e}\;a^{2}}}\;$ » est l'énergie cinétique minimale résultant de l'incertitude « quantique »^[6] sur la position est « $\;\Delta x=a\;$ »,
Le « 1^er terme de l'énergie de l'électron dans l'atome $\;\color {transparent}{\dfrac {\hbar ^{2}}{2\;m_{e}\;a^{2}}}\;$ » est l'énergie cinétique minimale résultant de celle sur la quantité de mouvement le long de $\;{\vec {u}}_{x}\;$ est au minimum « $\;\Delta p_{x,\,{\text{min}}}\sim {\dfrac {\hbar }{2\;a}}\;$ »^[7] ;

     Le « 1^er terme la définition de l'incertitude « quantique »^[6] sur $\;p_{x}\;$ étant « $\;\Delta p_{x}={\sqrt {\left\langle \left(p_{x}-{\overline {p_{x}}}\right)^{2}\right\rangle }}\;$ » où « $\;{\overline {p_{x}}}\;$ est la valeur moyenne de la composante de la quantité de mouvement sur $\;{\vec {u}}_{x}\;$ »^[8] et supposant
         Le « 1^er terme la définition de l'incertitude « quantique » sur $\;\color {transparent}{p_{x}}\;$ étant « $\;\color {transparent}{\Delta p_{x}={\sqrt {\left\langle \left(p_{x}-{\overline {p_{x}}}\right)^{2}\right\rangle }}}\;$ » où « $\;{\overline {p_{x}}}=0\;$ »^[9], on en déduit
         Le « 1^er terme la définition de l'incertitude « quantique » sur $\;\color {transparent}{p_{x}}\;$ étant « $\;\Delta p_{x}={\sqrt {\left\langle p_{x}^{2}\right\rangle }}\;$ » soit « $\;\left\langle \left(p_{x}^{2}\right)_{\text{min}}\right\rangle =\Delta p_{x,\;{\text{min}}}^{\,2}\sim {\dfrac {\hbar ^{2}}{4\,a^{2}}}\;$ », de même
         Le « 1^er terme la définition de l'incertitude « quantique » sur $\;\color {transparent}{p_{x}}\;$ étant « $\;\color {transparent}{\Delta p_{x}={\sqrt {\left\langle p_{x}^{2}\right\rangle }}}\;$ » soit « $\;\left\langle \left(p_{y}^{2}\right)_{\text{min}}\right\rangle =\Delta p_{y,\;{\text{min}}}^{\,2}\sim {\dfrac {\hbar ^{2}}{4\,a^{2}}}\;$ » et
         Le « 1^er terme la définition de l'incertitude « quantique » sur $\;\color {transparent}{p_{x}}\;$ étant « $\;\color {transparent}{\Delta p_{x}={\sqrt {\left\langle p_{x}^{2}\right\rangle }}}\;$ » soit « $\;\left\langle \left(p_{z}^{2}\right)_{\text{min}}\right\rangle =\Delta p_{z,\;{\text{min}}}^{\,2}\sim {\dfrac {\hbar ^{2}}{4\,a^{2}}}\;$ » d'où

Le « 1^er terme le minimum de la valeur moyenne de l'énergie cinétique de l'électron « $\;\left\langle K\right\rangle _{\text{min}}={\dfrac {\left\langle \left(p_{x}^{2}\right)_{\text{min}}\right\rangle }{2\;m_{e}}}+{\dfrac {\left\langle \left(p_{y}^{2}\right)_{\text{min}}\right\rangle }{2\;m_{e}}}+{\dfrac {\left\langle \left(p_{z}^{2}\right)_{\text{min}}\right\rangle }{2\;m_{e}}}=3\;{\dfrac {\left\langle \left(p_{x}^{2}\right)_{\text{min}}\right\rangle }{2\;m_{e}}}\sim {\dfrac {3\;\hbar ^{2}}{8\;m_{e}\;a^{2}}}\;$ » $\;{\bigg \{}$ effectivement de même ordre de grandeur que la valeur exacte $\;{\dfrac {\hbar ^{2}}{2\;m_{e}\;a^{2}}}\;$ du 1^er terme de l'énergie de l'électron ${\bigg \}}$ ;

le « 2^ème terme de l'énergie de l'électron dans l'atome $\;-{\dfrac {e^{2}}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;a}}\;$ » est son énergie potentielle électrostatique dans le champ électrique attractif créé par le proton soit
le « 2^ème terme de l'énergie de l'électron dans l'atome $\;\color {transparent}{-{\dfrac {e^{2}}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;a}}}\;$ » est son énergie potentielle électrostatique « $\;{\mathcal {E}}_{p,\,{\text{électrost}}}=-{\dfrac {e^{2}}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;a}}\;$ »^[10], la référence de l'énergie potentielle^[11] étant à l'infini.

Détermination de la valeur a_min de a minimisant l'expression de l'énergie de l'électron dans l'atome

Déterminer la valeur $\;a_{\text{min}}\;$ de $\;a\;$ qui minimise l'expression de l'énergie de l'électron dans l'atome.

Faire l'A.N. ; ce calcul donnant l'ordre de grandeur de la taille de l'atome d'hydrogène, est-il conforme à celui de vos connaissances ?

Solution

Diagramme d'énergies quantiques mécanique, cinétique et potentielle de l'électron dans l'atome d'hydrogène

On cherche la valeur $\;a_{\text{min}}\;$ de $\;a\;$ minimisant l'énergie « $\;E(a)\simeq {\dfrac {\hbar ^{2}}{2\;m_{e}\;a^{2}}}-{\dfrac {e^{2}}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;a}}\;$ » dans le diagramme d'énergie mécanique soit « $\;{\dfrac {dE}{da}}(a_{\text{min}})\simeq$ $-2\;{\dfrac {\hbar ^{2}}{2\;m_{e}\;a_{\text{min}}^{3}}}+{\dfrac {e^{2}}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;a_{\text{min}}^{2}}}=0\;$ » condition se réécrivant après factorisation « $\;{\dfrac {e^{2}}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;a_{\text{min}}^{3}}}\left(a_{\text{min}}-{\dfrac {4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;\hbar ^{2}}{m_{e}\;e^{2}}}\right)=0\;$ » d'où l'expression de la valeur minimale de $\;a\;$ minimisant l'énergie de l'électron dans l'atome « $\;a_{\text{min}}={\dfrac {4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;\hbar ^{2}}{m_{e}\;e^{2}}}\;$ ».

     Remarque : Il est aisé de vérifier qu'il s'agit effectivement d'une valeur rendant minimale l'énergie « $\;E(a)\simeq {\dfrac {\hbar ^{2}}{2\;m_{e}\;a^{2}}}-{\dfrac {e^{2}}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;a}}\;$ » en effet
     Remarque : $\succ \;$ le 1^er terme étant $\;>0\;$ et $\;\searrow \;$ prédomine aux faibles valeurs de $\;a\;$ en tendant vers $\;+\infty \;$ quand $\;a\rightarrow 0$ ,
     Remarque : $\color {transparent}{\succ }\;$ l'énergie commence donc par $\;\searrow \;$ à partir de l'infini pour $\;a\sim 0\;$ mais
     Remarque : $\succ \;$ le 2^ème terme étant $\;<0\;$ et $\;\nearrow \;$ prédomine aux grandes valeurs de $\;a\;$ en tendant vers $\;0\;$ quand $\;a\rightarrow +\infty$ ,
     Remarque : $\color {transparent}{\succ }\;$ l'énergie finit par $\;\nearrow \;$ jusqu'à $\;0\;$ quand $\;a\;$ avoisine l'infini ;
     Remarque : on en déduit donc que l'énergie passe par une valeur minimale pour $\;a\in \left]0\;,\;+\infty \right[$ .
     Remarque : On peut aussi le voir sur le diagramme d'énergie mécanique $\;{\big (}$ en noir ${\big )}\;$ tracé ci-contre,
     Remarque : On peut aussi le voir sur les diagrammes d'énergies potentielle $\;{\big (}$ en gris clair ${\big )}\;$ et cinétique $\;{\big (}$ en gris foncé ${\big )}\;$ y figurant également.

Numériquement on trouve $\;a_{\text{min}}={\dfrac {\left(1,05\;10^{-34}\right)^{2}}{9,00\;10^{9}\times 9,11\;10^{-31}\times \left(1,60\;10^{-19}\right)^{2}}}\simeq 5,25\;10^{-11}\;m\;$ soit « $\;a_{\text{min}}\simeq 0,53\;{\text{Å}}\;$ »^[12]
Numériquement on trouve $\;\color {transparent}{a_{\text{min}}={\dfrac {\left(1,05\;10^{-34}\right)^{2}}{9,00\;10^{9}\times 9,11\;10^{-31}\times \left(1,60\;10^{-19}\right)^{2}}}\simeq 5,25\;10^{-11}\;m}\;$ soit correspondant effectivement au rayon de l'atome d'hydrogène dans son état fondamental.

Détermination de la valeur minimale de l'expression de l'énergie de l'électron dans l'atome

Déterminer la valeur minimale $\;E_{\text{min}}\;$ de l'expression approchée de $\;E$ .

Faire l'A.N. ; ce calcul donnant l'ordre de grandeur de l'énergie de l'atome d'hydrogène dans l'état fondamental, est-il conforme à celui de vos connaissances ?

Solution

L'énergie mécanique minimale vaut « $\;E_{\text{min}}\simeq {\dfrac {\hbar ^{2}}{2\;m_{e}\;a_{\text{min}}^{2}}}-{\dfrac {e^{2}}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;a_{\text{min}}}}={\dfrac {\hbar ^{2}}{2\;m_{e}\left({\dfrac {4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;\hbar ^{2}}{m_{e}\;e^{2}}}\right)^{\!\!2}}}-{\dfrac {e^{2}}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;{\dfrac {4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;\hbar ^{2}}{m_{e}\;e^{2}}}}}={\dfrac {m_{e}\;e^{4}}{32\;\pi ^{2}\;\varepsilon _{0}^{2}\;\hbar ^{2}}}-{\dfrac {m_{e}\;e^{4}}{16\;\pi ^{2}\;\varepsilon _{0}^{2}\;\hbar ^{2}}}=-{\dfrac {m_{e}\;e^{4}}{32\;\pi ^{2}\;\varepsilon _{0}^{2}\;\hbar ^{2}}}\;$ » ;

     numériquement « $\;E_{\text{min}}\simeq -{\dfrac {9,11\;10^{-31}\times \left(1,60\;10^{-19}\right)^{4}\times \left(9,00\;10^{9}\right)^{2}}{2\times \left(1,05\;10^{-34}\right)^{2}}}\simeq -2,19\;10^{-18}\;J\;$ » ou, en $\;eV\;$ ^[13] « $\;E_{\text{min}}\simeq {\dfrac {-2,19\;10^{-18}}{1,60\;10^{-19}}}\simeq -13,70\;eV\;$ »
           numériquement « $\;\color {transparent}{E_{\text{min}}\simeq -9,11\;10^{-31}\times \left(1,60\;10^{-19}\right)^{4}\times \left(9,00\;10^{9}\right)^{2}\simeq -2,19\;10^{-18}\;J}\;$ » ou, en $\;\color {transparent}{eV}\;$ de même ordre de grandeur que $\;-13,5\;eV\;$ valeur de
           numériquement « $\;\color {transparent}{E_{\text{min}}\simeq -9,11\;10^{-31}\times \left(1,60\;10^{-19}\right)^{4}\times \left(9,00\;10^{9}\right)^{2}\simeq -2,19\;10^{-18}\;J}\;$ » ou, en $\;\color {transparent}{eV}\;$ de même ordre de grandeur que l'énergie de l'atome d'hydrogène dans son état fondamental^[14].

Expression de l'énergie mécanique de l'électron considéré comme particule en mouvement circulaire dans l'atome

En considérant l'aspect corpusculaire des électrons, déterminer, dans le cadre de la mécanique classique newtonienne, l'expression de l'énergie mécanique $\;E_{m}\;$ de l'électron en orbite circulaire de rayon $\;a\;$ autour du noyau en fonction, entre autres, de $\;a$ $\;{\big (}$ on prenadra la référence de l'énergie potentielle^[11] électrostatique à l'infini ${\big )}$ .

Solution

Nous plaçant dans le cadre de la mécanique classique newtonienne et dans le référentiel protocentrique^[15] supposé galiléen^[16], l'électron $\;M\;$ décrit un mouvement circulaire de rayon $\;r\;$ autour du proton $\;O\;$ en étant soumis à la seule force électrostatique attractive que le proton exerce sur lui à savoir « $\;{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,O}=-{\dfrac {e^{2}}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;r^{2}}}\;{\vec {u}}_{r}\;$ » dans laquelle $\;{\vec {u}}_{r}={\dfrac {\overrightarrow {OM}}{OM}}\;$ est le 1^er vecteur de base polaire lié à $\;M\;$ de pôle $\;O\;$ du plan de la trajectoire^[17], $\;r=OM\;$ étant sa coordonnée radiale^[17] ;

     d'une part appliquant à l'électron la r.f.d.n^[18]. nous obtenons « $\;{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,O}=m_{e}\;{\vec {a}}(M)\;$ »^[19] et
     d'une part projetant sur les deux vecteurs de base polaire on obtient $\;\succ \;$ sur $\;{\vec {u}}_{\theta }$ : « $\;0=m_{e}\;a_{\theta }\;$ » soit « $\;a_{\theta }=0\;$ » $\;{\big \{}$ pas d'accélération orthoradiale^[20] ${\big \}}\;$ ou, en utilisant l'expression de l'accélération orthoradiale d'un mouvement circulaire de centre $\;O\;$ et de rayon $\;r(t)=r=cste\;$ $\Rightarrow$ $\;{\dot {r}}(t)=0\;$ et $\;{\ddot {r}}(t)=0$ , d'où la réécriture de l'accélération orthoradiale $\;a_{\theta }=r\;{\ddot {\theta }}+{\cancel {2\;{\dot {r}}\;{\dot {\theta }}}}=r\;{\ddot {\theta }}\;$ et par suite
     d'une part projetant sur les deux vecteurs de base polaire on obtient $\;\color {transparent}{\succ }\;$ sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\theta }}$ : « $\;\color {transparent}{0=m_{e}\;a_{\theta }}\;$ » soit « $\;a_{\theta }=0\;$ » se réécrit $\;{\ddot {\theta }}=0\;$ $\Rightarrow$ $\;{\dot {\theta }}=cste\;$ ou « $\;\omega =cste\;$ » c'est-à-dire un mouvement uniforme,

     d'une part projetant sur les deux vecteurs de base polaire on obtient $\;\succ \;$ sur $\;{\vec {u}}_{r}$ : « $\;-{\dfrac {e^{2}}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;r^{2}}}=m_{e}\;a_{r}\;$ » soit « $\;a_{r}=-{\dfrac {e^{2}}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;m_{e}\;r^{2}}}\;$ » $\;{\big \{}$ accélération radiale^[20] centripète^[21] ${\big \}}\;$ ou, en utilisant l'expression de l'accélération radiale d'un mouvement circulaire de centre $\;O\;$ et de rayon $\;r(t)=r=cste\;$ $\Rightarrow$ $\;{\dot {r}}(t)=0\;$ et $\;{\ddot {r}}(t)=0$ , d'où la réécriture de l'accélération radiale $\;a_{r}={\cancel {\ddot {r}}}-r\;{\dot {\theta }}^{2}=-r\;{\dot {\theta }}^{2}\;$ et par suite
     d'une part projetant sur les deux vecteurs de base polaire on obtient $\;\color {transparent}{\succ }\;$ sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{r}}$ : « $\;\color {transparent}{-{\dfrac {e^{2}}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;r^{2}}}=m_{e}\;a_{r}}\;$ » soit « $\;a_{r}=-{\dfrac {e^{2}}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;m_{e}\;r^{2}}}\;$ » se réécrit $\;{\dot {\theta }}^{2}={\dfrac {e^{2}}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;m_{e}\;r^{3}}}\;$ $\Rightarrow$ « $\;{\dot {\theta }}=\omega ={\sqrt {\dfrac {e^{2}}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;m_{e}\;r^{3}}}}\;$ »^[22] ou
     d'une part projetant sur les deux vecteurs de base polaire on obtient $\;\color {transparent}{\succ }\;$ sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{r}}$ : « $\;\color {transparent}{-{\dfrac {e^{2}}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;r^{2}}}=m_{e}\;a_{r}}\;$ » soit « $\;\color {transparent}{a_{r}=-{\dfrac {e^{2}}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;m_{e}\;r^{2}}}}\;$ » se réécrit $\;\color {transparent}{{\dot {\theta }}^{2}={\dfrac {e^{2}}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;m_{e}\;r^{3}}}}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ « $\;v=r\;\omega ={\sqrt {\dfrac {e^{2}}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;m_{e}\;r}}}\;$ »^[23] ;

d'une part nous en déduisons l'énergie cinétique de l'électron dans le référentiel protocentrique « $\;K={\dfrac {1}{2}}\;m_{e}\;v^{2}={\dfrac {e^{2}}{8\;\pi \;\varepsilon _{0}\;r}}\;$ » ;

d'autre part l'énergie potentielle électrostatique de l'électron dans le champ électrique du proton avec choix de référence^[11] à l'infini s'explicite selon « $\;{\mathcal {E}}_{p,\,{\text{électrost}}}(M)=-{\dfrac {e^{2}}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;r}}\;$ »^[10] ;
nous en déduisons l'énergie mécanique classique de l'électron en mouvement circulaire de rayon $\;r=a\;$ autour du proton « $\;E_{m}(M)=K(M)+{\mathcal {E}}_{p,\,{\text{électrost}}}(M)=-{\dfrac {e^{2}}{8\;\pi \;\varepsilon _{0}\;a}}\;$ ».

Inégalité de Heisenberg comme base de la stabilité des atomes

Admettant qu'un électron en mouvement dans le cadre de la mécanique classique, perd de l'énergie par rayonnement électromagnétique, on en déduit que le modèle classique de l'atome ne peut être un état de stabilité ; expliquer alors la phrase suivante :

« C'est l'inégalité de Heisenberg^[5] qui est à la base de la stabilité des atomes ».

Solution

Dans le cadre de la mécanique classique, l'électron en mouvement circulaire de rayon $\;r=a\;$ autour du proton ayant une énergie mécanique « $\;E_{m}(M)=-{\dfrac {e^{2}}{8\;\pi \;\varepsilon _{0}\;a}}\;$ » et perdant de l'énergie par rayonnement électromagnétique $\Rightarrow$ $\;E_{m}(M)\searrow \;$ et par suite son mouvement ne peut pas rester circulaire^[24], il est au mieux pseudo-circulaire avec un pseudo-rayon $\;a\searrow \;$ ^[25] et ceci jusqu'à $\;a\simeq 0$ ;

en conséquence, dans le cadre de la mécanique classique, les « atomes d'hydrogène »^[26] devraient avoir une durée de vie limitée, leur état final devant correspondre à l'électron effondré sur le proton.

Dans le cadre de la mécanique quantique, l'électron de l'atome d'hydrogène ayant une énergie «

\;E\simeq {\dfrac {\hbar ^{2}}{2\;m_{e}\;a^{2}}}-{\dfrac {e^{2}}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;a}}\;

»^[1] composée de deux termes
Dans le cadre de la mécanique quantique, dont le 1^er «

\;{\dfrac {\hbar ^{2}}{2\;m_{e}\;a^{2}}}\;

» représentant l'énergie cinétique a été interprété par « utilisation de l'inégalité de Heisenberg^[5] »^[27] avec

\;{\dfrac {\hbar ^{2}}{2\;m_{e}\;a^{2}}}\nearrow \;

quand

\;a\searrow \;

et
Dans le cadre de la mécanique quantique, dont le 2^nd «

\;-{\dfrac {e^{2}}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;a}}\;

» représentant l'énergie potentielle électrostatique^[10] avec

\;-{\dfrac {e^{2}}{4\,\pi \,\varepsilon _{0}\,a}}\searrow \;

quand

\;a\searrow \;

d'où
Dans le cadre de la mécanique quantique, variation contraire permettant « une valeur minimale de l'énergie pour une valeur de

\;a\neq 0\;

correspondant à l'état fondamental »^[28] ; conclusion : c'est donc bien la présence du 1^er terme interprété par inégalité de Heisenberg^[5] qui explique la stabilité des atomes d'hydrogène^[26].

Notes et références

\big

↑ ^1,0 et ^1,1 Cette expression approchée $\;{\big (}$ admise ${\big )}\;$ suppose que l'électron est repérable par trois paramètres indépendants représentant chacun l'écart de l'électron relativement au proton suivant trois axes orthogonaux se coupant en la position du proton.
↑ $\;\varepsilon _{0}\;$ étant la permittivité diélectrique du vide $\;{\big \{}$ la permittivité diélectrique d'un milieu isolant est une constante caractérisant la réponse du milieu à l'action d'un champ électrique $\;{\big [}$ plus la permittivité diélectrique du milieu est grande, moins la portée du champ électrique dans le milieu dans lequel il baigne l'est ${\big ]}$ ; la permittivité diélectrique de l'air sec étant $\;0,05\;\%\;$ $>\;$ à celle du vide, on la confond usuellement avec cette dernière ${\big \}}$ .
↑ Max Karl Ernst Ludwig Planck (1858 - 1947) physicien allemand à qui on doit principalement, vers $\;1900$ , la théorie des quanta, théorie qui lui valut le prix Nobel de physique en $\;1918$ .
↑ Encore parfois appelée « constante de Dirac ».
   Paul Adrien Maurice Dirac (1902 - 1984) physicien et mathématicien britannique, colauréat du prix Nobel de physique en $\;1933$ , on lui doit des avancées cruciales dans le domaine de la mécanique statistique et de la physique quantique des atomes, il démontra l'équivalence physique entre la mécanique ondulatoire de Schrödinger et la mécanique matricielle de Heisenberg, deux présentations de la même mécanique quantique et enfin, pour les besoins du formalisme quantique, il inventa la notion, sans fondement mathématique précis, connue de nos jours sous le nom de distribution de Dirac et dont la description rigoureuse fut établie par le mathématicien français Laurent Schwartz dans sa théorie des distributions ; Paul Dirac fut colauréat du prix Nobel de Physique en $\;1933\;$ pour la découverte de formes nouvelles et utiles de la théorie atomique, l'autre moitié du prix Nobel étant décernée à Erwin Schrödinger pour la formulation de l'équation d'onde dite de Schrödinger.
   Erwin Rudolf Josef Alexander Schrödinger (1887 - 1961) physicien, philosophe et théoricien scientifique autrichien est à l'origine du développement d'un des formalismes théoriques de la mécanique quantique $\;{\big (}$ connu sous le nom de mécanique ondulatoire ${\big )}$ ; la formulation de l'équation d'onde connue sous le nom d'équation de Schrödinger lui a valu de partager le prix Nobel de physique en $\;1933\;$ avec Paul Dirac lequel a été honoré pour la découverte de formes nouvelles et utiles de la théorie atomique ; on doit encore à Erwin Schrödinger l'expérience de pensée proposée à Albert Einstein en $\;1935\;$ et connue sous le nom chat de Schrödinger.
   Werner Heisenberg (1901 - 1976) physicien allemand, l'un des fondateurs de la mécanique quantique : voir la note « ⁵⁴ » plus haut dans ce chapitre pour plus de détails.
   Laurent Schwartz (1915 - 2002) mathématicien français, ayant été le premier français à obtenir la médaille Fields $\;{\big (}$ équivalent du prix Nobel en mathématiques ${\big )}\;$ en $\;1950\;$ pour ses travaux sur la théorie des distributions $\;{\big (}$ sorte de prolongement des fonctions dans des domaines avec discontinuité $\ldots {\big )}$ .
   Albert Einstein (1879 - 1955), physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en $\;1896\;$ puis suisse en $\;1901$ ; on lui doit la théorie de la relativité restreinte publiée en $\;1905$ , la relativité générale en $\;1916\;$ ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la mécanique quantique et la cosmologie ; il a reçu le prix Nobel de physique en $\;1921\;$ pour son explication de l'effet photoélectrique.
↑ ^5,0 ^5,1 ^5,2 et ^5,3 Werner Heisenberg (1901 - 1976) physicien allemand, l'un des fondateurs de la mécanique quantique, a obtenu le prix Nobel de physique en $\;1932\;$ pour la création d'une forme de mécanique quantique $\;{\big (}$ connue sous le nom de mécanique matricielle ${\big )}$ , dont l’application a mené, entre autres, à la découverte des variétés allotropiques de l'hydrogène $\;{\big (}$ le dihydrogène existe sous deux formes allotropiques « ortho » où les spins sont $\;\parallel \;$ et « para » où ils sont anti $\;\parallel$ , le dihydrogène ortho étant présent à $\;75\;\%\;$ à température élevée et sa proportion $\;\searrow \;$ quand sa température $\;\searrow {\big )}$ ..
↑ ^6,0 et ^6,1 On parle d'incertitude « quantique » car c'est une incertitude théorique contenue dans les principes de la mécanique quantique, et non une incertitude « expérimentale ».
↑ L'électron a en fait trois degrés de liberté et l'inégalité de Heisenberg écrite selon « $\;\Delta p_{x}\;\Delta x\gtrsim {\dfrac {\hbar }{2}}\;$ » correspond à la mécanique ondulatoire d'un point à un degré de liberté ;
en mécanique classique le mouvement de l'électron est déterminé dès lors que l'on connaît le mouvement de chacune de ses coordonnées cartésiennes, aussi nous supposons qu'il y a confinement de chacune de ses coordonnées $\;x$ , $\;y$ , $\;z\;$ autour de $\;0$ , mais cette modélisation ne permettra de déterminer qu'un ordre de grandeur du minimum de la valeur moyenne de l'énergie cinétique et non la valeur exacte.
↑ Voir le paragraphe « incertitudes théoriques sur la quantité de mouvement et sur la position du photon lors de l'expérience de diffraction appliquée à un photon » du chap. $18$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la définition s'appliquant à toute particule massique ou non.
↑ Car on a la même probabilité d'avoir $\;p\;$ que $\;-p$ .
↑ ^10,0 ^10,1 et ^10,2 Voir le paragraphe « énergie potentielle électrostatique d'un point matériel M de charge q dans le champ électrique d'un autre point matériel O de charge q₀ » du chap. $16$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » pour la démonstration.
↑ ^11,0 ^11,1 et ^11,2 C.-à-d. l'endroit où l'énergie potentielle est choisie nulle.
↑ L'angström $\;1\;{\text{Ǻ}}=10^{-10}\;m\;$ est une unité de longueur adaptée à la physique atomique, elle a été choisie pour rendre hommage à « Anders Jonas Ångström (1814 - 1874), astronome et physicien suédois du XIX^ème siècle, un des fondateurs de la spectroscopie ».
↑ Unité adaptée au problème d'échelle atomique l'électronVolt, on rappelle que $\;1\;eV=1,60\;10^{-19}\;J$ .
↑ L'écart entre la valeur théorique fournie par le texte et la valeur expérimentale étant de $\;{\dfrac {0,20}{13,5}}\simeq 1,5\;\%\;$ par défaut relativement à la valeur expérimentale de l'énergie de l'électron dans l'état fondamental ;
l'écart $\;{\big (}$ toutefois faible ${\big )}\;$ résulte de la modélisation de l'électron ayant trois degrés de liberté $\;{\big (}$ un linéaire correspondant à l'écartement de l'électron relativement au proton et deux angulaires ${\big )}\;$ en un point à trois degrés de liberté linéaires $\;{\big (}$ écartements linéaires relativement au proton des projetés de l'électron sur trois axes orthogonaux se coupant en la position du proton, degrés de liberté supposés indépendants les uns des autres, revoir la note « ¹ » plus haut dans l'exercice ${\big )}$ , cette approximation suffit pour induire une très légère erreur $\;\ldots$
↑ C.-à-d. lié au centre d'inertie $\;{\big (}$ C.D.I. ${\big )}\;$ du proton et en translation rectiligne par rapport au référentiel d'étude galiléen.
↑ Dans la mesure où aucune force extérieure ne s'applique à l'atome, ce dernier est isolé et le C.D.I. de l'atome a un mouvement rectiligne uniforme $\;{\big (}$ M.R.U. ${\big )}\;$ dans le référentiel d'étude galiléen $\;{\big \{}$ voir le paragraphe « théorème de l'inertie (en dynamique newtonienne) » du chap. $8$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » ${\big \}}$ ;
la masse du proton étant approximativement $\;2000\;$ fois plus grande que celle de l'électron, le C.D.I. du proton se confond en 1^ère approximation avec celui de l'atome et donc le C.D.I. du proton a aussi un M.R.U. dans le référentiel d'étude galiléen, ce qui entraîne que le référentiel protocentrique peut être considéré comme galiléen selon la propriété « propriété liant deux référentiels galiléens » du chap. $8$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » ;
usuellement l'origine du repère associé au référentiel protocentrique est choisi au C.D.I. du proton, lequel se confond avec le proton dans la mesure où ce dernier est supposé ponctuel.
↑ ^17,0 et ^17,1 Voir le paragraphe « coordonnées cylindro-polaires et base locale associée d'un point » du chap. $16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », plus exactement son cas particulier de repérage polaire $\;{\big (}$ correspondant à $\;z=0{\big )}$ .
Relativement au paragraphe ci-dessus $\;{\vec {u}}_{\rho }\;$ est noté $\;{\vec {u}}_{r}\;$ et $\;\rho \;$ notée $\;r$ .
↑ Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.
↑ Voir le paragraphe « autre forme de la relation fondamentale spécifique à la dynamique newtonienne, la r.f.d.n. » du chap. $9$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
↑ ^20,0 et ^20,1 Voir le paragraphe « composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude » du chap. $2$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) », plus exactement son cas particulier de composantes polaires $\;{\big (}$ correspondant à $\;a_{z}=0\;\forall \;t{\big )}$ .
Relativement au paragraphe ci-dessus l'accélération radiale $\;a_{\rho }\;$ est notée $\;a_{r}$ , $\;\rho (t)\;$ notée $\;r(t)$ ainsi que $\;{\dot {\rho }}(t)\;$ notée ${\dot {r}}(t)\;$ et $\;{\ddot {\rho }}(t)\;$ notée $\;{\ddot {r}}(t)$ .
↑ C.-à-d. toujours dirigée vers le centre.
↑ En ayant choisi le sens $\;+\;$ dans le sens du mouvement.
↑ La vitesse radiale $\;V_{\rho }={\dot {\rho }}\;$ étant nulle dans un mouvement circulaire, le vecteur vitesse est donc orthoradial, sa composante s'écrivant $\;V_{\theta }=\rho \;{\dot {\theta }}\;$ ${\big \{}$ voir le paragraphe « composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude » du chap. $2$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) », plus exactement son cas particulier de composantes polaires $\;{\big (}$ correspondant à $\;V_{z}=0\;\forall \;t{\big )}$ .
   Relativement au paragraphe ci-dessus la vitesse radiale $\;V_{\rho }\;$ est notée $\;V_{r}$ , $\;\rho (t)\;$ notée $\;r(t)$ ainsi que $\;{\dot {\rho }}(t)\;$ notée ${\dot {r}}(t)$ .
   Dans le cas d'un mouvement circulaire de centre $\;O\;$ et choisissant d'orienter le cercle dans le sens des $\;\theta \nearrow$ , le vecteur unitaire tangentiel de Frenet $\;{\vec {\tau }}\;$ s'identifie au vecteur unitaire orthoradial $\;{\vec {u}}_{\theta }\;$ et la composante de Frenet du vecteur vitesse $\;{\big \{}$ c'est-à-dire la vitesse instantanée $\;v(t){\big \}}\;$ à la composante orthoradiale de ce dernier $\;V_{\theta }(t)$ $\;{\big [}$ voir les paragraphes « notion de 1^er vecteur de la base locale de Frenet liée au point d'une courbe continue » et « composante locale de Frenet du vecteur vitesse du point repéré sur sa trajectoire dans le référentiel d'étude, vitesse instantanée du point » du chap. $2$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » ${\big ]}$ .
   Jean Frédéric Frenet (1816 - 1900) est un mathématicien, astronome et météorologue français à qui on doit six des neuf formules de géométrie différentielle associées au trièdre $\;{\big (}$ ou base ${\big )}\;$ de Serret-Frenet $\;{\big [}$ Joseph-Alfred Serret (1819 - 1885) mathématicien et astronome français ayant trouvé indépendamment ces formules ${\big ]}$ .
↑ Puisque l'énergie mécanique $\;E_{m}(M)\;$ de l'électron en mouvement circulaire autour du proton est inversement $\;\propto \;$ à la distance $\;a\;$ électron - proton, si l'énergie $\;\searrow$ , la distance $\;a\;$ électron - proton doit varier $\Rightarrow$ le mouvement cesse d'être circulaire
↑ En effet l'énergie étant $\;<0$ , quand celle-ci $\;\searrow$ , sa valeur absolue $\;\nearrow \;$ et comme elle est inversement $\;\propto \;$ à la distance $\;a\;$ électron - proton, celle-ci $\;\searrow$ .
↑ ^26,0 et ^26,1 Mais ceci serait aussi vrai pour tous les atomes.
↑ Voir la solution de la question « interprétation de chaque terme de l'expression de l'énergie de l'électron dans l'atome » plus haut dans cet exercice.
↑ Il faut également dire que l'électron n'étant plus considéré comme une particule suivant une trajectoire précise, la perte d'énergie par rayonnement électromagnétique n'est plus applicable $\;{\big \{}$ cette perte d'énergie par rayonnement électromagnétique ne l'étant que dans le cadre de la mécanique non ondulatoire, de plus, dans le cadre de la mécanique classique, elle se fait de façon continue pour n'importe quelle valeur d'énergie $\;{\big (}$ alors qu'expérimentalement les pertes d'énergie des atomes excités sont quantifiées ${\big )}{\big \}}$ ;
si on considère un atome d'hydrogène dans un état excité $\;{\big (}$ de durée de vie limitée ${\big )}$ , la perte d'énergie est quantifiée $\;{\big (}$ émission de photon ${\big )}\;$ faisant passer l'électron du niveau d'énergie excité à un niveau d'énergie inférieur ou au niveau fondamental $\;{\big (}$ de durée de vie infinie ${\big )}$ .