Signaux physiques (PCSI)/Introduction au monde quantique : inégalités de Heisenberg
Grandeurs conjuguées en mécanique quantique, 1ère introduction des opérateurs linéaires « énergie » et « quantité de mouvement » d'une particule quantique
modifierGrandeurs conjuguées en mécanique quantique
modifierIl existe, en mécanique quantique, des grandeurs deux à deux « conjuguées », liant une grandeur cinétique et une grandeur de positionnement dans l'espace-temps ; ci-dessous des exemples [1] :
- le vecteur quantité de mouvement d'une particule et son vecteur position d'observation [2],
- l'énergie d'une particule et sa date d'observation ,
la raison du caractère « conjugué » des grandeurs couplées étant qu'il existe un opérateur linéaire agissant sur la fonction d'onde associée à la particule permettant d'obtenir une valeur de la grandeur cinétique, voir détails ci-après
En complément : Induction des opérateurs linéaires « énergie » et « quantité de mouvement » à partir de la fonction d'onde d'une particule d'énergie et de quantité de mouvement fixées
modifierSi on considère une particule « quantique » d'énergie et de quantité de mouvement fixées, nous avons vu, dans le paragraphe « notion de fonction d'onde » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », qu'on peut lui associer une fonction d'onde identique à la grandeur instantanée complexe d'une O.P.P.H. soit [3] dans laquelle la partie spatiale de la fonction d'onde s'écrit [4] soit « » [5], [6] ;
en se servant de cette forme on peut induire un opérateur linéaire pour chaque grandeur cinétique agissant sur cette fonction d'onde et donnant la valeur de la grandeur cinétique voir ci-après .
Induction de l'opérateur linéaire « énergie »
modifierL'opérateur linéaire « énergie » noté devant être tel que, si on l'applique à , fonction d'onde caractérisant une particule « quantique » d'énergie fixée, on obtienne , on induit la forme de cet opérateur selon
en effet soit le résultat escompté
Induction de l'opérateur linéaire « quantité de mouvement »
modifierL'opérateur linéaire « quantité de mouvement » noté devant être tel que, si on l'applique à , fonction d'onde caractérisant une particule « quantique » de quantité de mouvement fixée, on obtienne , on induit la forme de cet opérateur selon
en effet
en effet
en effet soit le résultat escompté
En complément : Définition des opérateurs linéaires « énergie » et « quantité de mouvement » d'une particule quantique, fonctions propres et valeurs propres associées d'un opérateur linéaire, caractère « commutable » (ou non) de deux opérateurs linéaires
modifierDéfinition des opérateurs linéaires « énergie » et « quantité de mouvement » d'une particule quantique
modifier La définition de ces deux opérateurs linéaires a déjà été précédemment induite à partir de la fonction d'onde d'une particule « quantique » d'énergie et de quantité de mouvement fixées [11] ;
dans ce paragraphe on admet la validité de la définition lorsqu'on l'applique à une fonction d'onde d'une particule « quantique » dans n'importe quel état.
Opérateur linéaire « énergie »
modifier L'opérateur linéaire « énergie » est défini selon « [7] » [11],
l'opérateur linéaire « énergie » étant à l'opérateur linéaire « dérivation partielle relativement au temps » les deux grandeurs « énergie » et « temps » [12] sont dites « conjuguées ».
Opérateur linéaire « quantité de mouvement »
modifier L'opérateur linéaire vectoriel « quantité de mouvement » est défini selon « [9] » [11],
l'opérateur linéaire vectoriel « quantité de mouvement » étant à l'opérateur linéaire vectoriel « nabla » [9] les composantes respectives des deux grandeurs vectorielles « quantité de mouvement » et « position » [13] sont dites « conjuguées » [14].
Fonctions propres et valeurs propres associées d'un opérateur linéaire
modifierUne fonction propre d'un opérateur linéaire scalaire [15] est une fonction non identiquement nulle satisfaisant la relation
étant qualifié de « valeur propre » [17] associée à appelée « fonction propre » [18].
Fonctions propres et valeurs propres associées de l'opérateur « énergie »
modifier On cherche donc les fonctions du temps [19] à valeurs complexes telles que « » ou encore « » [20] c.-à-d. une équation différentielle linéaire du 1er ordre à cœfficients constants homogène [21] d'« équation caractéristique donnant pour solution » [22],
On cherche donc la « fonction propre associée à la valeur propre étant alors [23] où est une constante d'intégration » [24].
Fonctions propres et valeurs propres associées de l'opérateur « quantité de mouvement »
modifierRecherche des fonctions propres et valeurs propres associées de l'opérateur « quantité de mouvement » d'une particule « quantique »
modifierOn cherche donc les fonctions de la position [25] à valeurs complexes telles que « » ou « » [26] soit encore [15], en adoptant le repérage cartésien « » [27] ou,
en cherchant « sous la forme d'un produit de fonctions d'une variable c.-à-d. », « » soit, après simplification évidente « » c.-à-d. trois équations différentielles linéaires du 1er ordre à cœfficients constants homogènes [21] d'« équations caractéristiques ayant pour solutions respectives » [28],
On cherche donc la fonction propre associée à la valeur propre respectivement et étant alors « » respectivement et [29] où respectivement et sont des constantes d'intégration [30].
Conclusion : les fonctions propres de l'opérateur linéaire vectoriel « quantité de mouvement » de « valeur propre » peuvent se réécrire
Conclusion : les fonctions propres de l'opérateur linéaire vectoriel « quantité de mouvement » selon « » [31], [32].
Densité volumique de probabilité de présence d'une particule « quantique » de vecteur quantité de mouvement fixée et conséquences
modifier La densité volumique de probabilité de présence de la particule « quantique » de quantité de mouvement fixée [33]
La densité volumique de probabilité de présence de la particule « quantique » dont l'état est caractérisé par la « fonction d'onde associée » [34] « » [35] s'écrivant
La densité volumique de probabilité de présence de la particule « quantique » « » est uniforme sur tout l'espace
La densité volumique de probabilité de présence de la particule « quantique » il est impossible de déterminer le positionnement de la particule « quantique ».
Conséquences : on découvre une propriété des grandeurs conjuguées d'une particule « quantique » à savoir « quantité de mouvement » et « position » [2] :
Conséquences : on découvre une propriété si la quantité de mouvement d'une particule « quantique » est fixée c.-à-d. d'incertitude « quantique » [36] sur la quantité de mouvement nulle soit ,
Conséquences : on découvre une propriété si la position de la particule « quantique » est inconnue c.-à-d. d'incertitude « quantique » [36] sur la position infinie soit [37] ;
Conséquences : plus précisément la densité volumique de probabilité de présence de la particule « quantique » de quantité de mouvement sur de valeur fixée [38]
Conséquences : plus précisément la densité volumique de probabilité de présence de la particule « quantique » d'état caractérisé par la « fonction d'onde associée » [39]
Conséquences : plus précisément la densité volumique de probabilité de présence de la particule « quantique » d'état caractérisé par « » [40] étant
Conséquences : plus précisément la densité volumique de probabilité de présence de la particule « quantique » « » est indépendante de
Conséquences : plus précisément la densité volumique de probabilité de présence de la particule « quantique » il est impossible de déterminer le positionnement de la particule « quantique » sur ;
Conséquences : nous découvrons une propriété plus précise des grandeurs conjuguées d'une particule « quantique » à savoir « quantité de mouvement et position sur une même direction » :
Conséquences : nous découvrons une propriété si la quantité de mouvement d'une particule « quantique » est fixée sur une direction c.-à-d. d'incertitude « quantique » [36] sur la composante de la quantité de mouvement sur respectivement sur ou sur , nulle soit respectivement ou ,
Conséquences : nous découvrons une propriété si la position de la particule « quantique » sur la même direction est inconnue c.-à-d. d'incertitude « quantique » [36] sur la composante de la position sur respectivement sur ou sur , infinie soit respectivement ou .
Caractère « non commutable » des opérateurs linéaires « quantité de mouvement sur une direction » et « position sur la même direction »
modifier Deux opérateurs linéaires sont dits « commutables » si l'ordre d'application de ces opérateurs peut être permutés c.-à-d., et étant deux opérateurs linéaires et
Deux opérateurs linéaires sont dits « commutables » si l'ordre d'application de ces opérateurs peut être permutés c.-à-d., une fonction d'onde quelconque,
Deux opérateurs linéaires sont dits « commutables » si « »,
Deux opérateurs linéaires sont dits « commutables » dans le cas contraire, les deux opérateurs sont dits « non commutables ».
Or nous vérifions aisément que « » en effet, pour cela, calculons « » [41] et vérifions que le résultat n'est pas nul soit
Or nous vérifions aisément que « [42]
Or nous vérifions aisément que «
Or nous vérifions aisément que « »
d'où le caractère « non commutable » des deux opérateurs linéaires et [43] ;
Or nous pourrions vérifier aussi que le couple d'opérateurs linéaires conjugués est composé d'opérateurs linéaires « non commutables » [43]
Or nous pourrions vérifier ainsi que le couple d'opérateurs linéaires conjugués est composé d'opérateurs linéaires « non commutables » [43].
Par contre les opérateurs linéaires non conjugués comme sont « commutables » en effet, pour cela, il suffit de calculer « » [44] et de vérifier un résultat nul :
Par contre les opérateurs linéaires non conjugués soit « [45]
Par contre les opérateurs linéaires non conjugués soit « » [46], [47] ;
de même les opérateurs linéaires non conjugués comme , , , et sont « commutables » [47].
Si « la quantité de mouvement sur une direction est fixée » il y a impossibilité théorique « de connaître la position sur » conséquence du caractère « non commutable » des opérateurs associés et
si « la quantité de mouvement sur une direction est fixée » il y a possibilité théorique « de connaître la position sur une direction » par le caractère « commutable » des opérateurs associés .
Impossibilité théorique de connaître l'instant d'observation d'une particule quantique si son énergie est fixée
modifier Contrairement aux grandeurs position et quantité de mouvement, il n'existe pas d'opérateur linéaire associé à l'instant d'observation [12],
Contrairement aux grandeurs position et quantité de mouvement, l'impossibilité théorique de connaître l'instant d'observation d'une particule « quantique » si son énergie est fixée
Contrairement aux grandeurs position et quantité de mouvement, l'impossibilité théorique n'est donc pas de même nature que les précédentes [48] justification exposée ci-dessous résultant de l'autre façon invoquée pour expliquer l'impossibilité théorique de connaître l'abscisse d'une particule « quantique » si la composante de sa quantité de mouvement sur l'axe des abscisses est fixée [49] :
Contrairement aux grandeurs position et quantité de mouvement, la densité volumique de probabilité de présence de la particule « quantique » d'énergie fixée [50]
Contrairement aux grandeurs position et quantité de mouvement, la densité volumique de probabilité de présence de la particule « quantique » d'état caractérisé par la « fonction d'onde associée » [51]
Contrairement aux grandeurs position et quantité de mouvement, la densité volumique de probabilité de présence de la particule « quantique » [52]
Contrairement aux grandeurs position et quantité de mouvement, la densité volumique de probabilité de présence s'écrivant est indépendante de [53]
Contrairement aux grandeurs position et quantité de mouvement, la densité volumique de probabilité de présence il est impossible de déterminer l'instant d'observation de la particule « quantique ».
Conséquence : nous découvrons une propriété du couple de grandeurs conjuguées « énergie et instant d'observation » d'une particule « quantique » :
Conséquence : nous découvrons une propriété si l'énergie d'une particule « quantique » est fixée c.-à-d. d'incertitude « quantique » [36] sur l'énergie nulle soit ,
Conséquence : nous découvrons une propriété si l'instant d'observation de la particule « quantique » est inconnu c.-à-d. d'incertitude « quantique » [36] sur l'instant d'observation infinie soit .
Rappel du lien entre la taille de l'ouverture, la longueur d'onde et l'échelle angulaire du phénomène de diffraction
modifier Si on considère un photon d'un faisceau , photon de quantité de mouvement
Si on considère un photon d'un faisceau , photon arrivant orthogonalement sur une fente de largeur suivant ,
Si on considère un photon d'un faisceau , photon arrivant orthogonalement sur une fente de grande longueur suivant [55],
Si on considère un photon d'un faisceau , on observe un phénomène de diffraction du faisceau à condition que la largeur de la fente ne soit pas grande devant la longueur d'onde dans le vide du photon c.-à-d. [56] avec un demi-angle d'ouverture du faisceau principal de diffraction vérifiant la relation « » [57] ;
la « densité angulaire de probabilité de présence du photon considéré après la traversée de la fente »,
utiliser le lien entre rayon angulaire du faisceau principal de diffraction, largeur de la fente et longueur d'onde dans le vide du photon [57]
dans le paragraphe « incertitudes théoriques sur la quantité de mouvement et sur la position transversales du photon ...
... lors de l'expérience de diffraction appliquée à un photon » plus bas dans ce chapitre
un ordre de grandeur de l'inégalité de Heisenberg [54] relatif aux
grandeurs conjuguées « composantes sur l'axe des abscisses
de la quantité de mouvement et de la position du photon au niveau de la fente ».
Incertitudes théoriques sur la « quantité de mouvement » et sur la « position » transversales du photon lors de l'expérience de diffraction appliquée à un photon
modifier La position transversale [59] la plus probable, juste à la sortie de la fente, du photon diffracté, est au centre de la fente [60] c.-à-d. d'abscisse [61],
les autres positions transversales [59] possibles [62] étant d'abscisse affectées d'une densité linéique de probabilité de présence [63] ;
La position transversale comme sur toute série de valeurs, on définit l'écart quadratique moyen sur les valeurs de par « »,
La position transversale comme sur toute série de valeurs, on définit cet écart quadratique moyen servant de définition à l'« incertitude quantique » [36] sur [64] estimée par la demi-largeur de la fente soit
La position transversale comme sur toute série de valeurs, on définit l'écart quadratique moyen sur les valeurs de par « » [65] ;
la composante transversale [59] la plus probable, juste à la sortie de la fente, de la quantité de mouvement du photon diffracté est nulle faisceau principal de diffraction symétrique par rapport à
la composante transversale la plus probable, juste à la sortie de la fente, de la quantité de mouvement du photon diffracté est nulle c.-à-d. de composante [61],
les autres composantes transversales [59] possibles [62] étant de valeur affectées d'une densité linéique de probabilité de présence d'autant plus petite que la valeur s'écarte de [66],
La composante transversale comme sur toute série de valeurs, on définit l'écart quadratique moyen sur les valeurs de par « »,
La composante transversale comme sur toute série de valeurs, on définit cet écart quadratique moyen servant de définition à l'« incertitude quantique » [36] sur [64] estimée à partir du rayon angulaire
La composante transversale comme sur toute série de valeurs, on définit cet écart quadratique moyen servant de définition à l'« incertitude quantique » sur du faisceau principal de diffraction
La composante transversale comme sur toute série de valeurs, on définit l'écart quadratique moyen sur les valeurs de soit « [67] ou » [68].
Conclusion : dans le cadre du phénomène de diffraction par une fente, les « incertitudes quantiques » [36] sur les deux grandeurs conjuguées « composantes de la position et de la quantité de mouvement » du photon sur au niveau de la fente sont liées par la relation « approchée » « » [69] ;
Conclusion : ainsi, en localisant transversalement le photon avec une plus grande précision c.-à-d. en l'« incertitude quantique » [36] sur réalisé par la de la largeur de la fente ,
Conclusion : ainsi, en localisant transversalement le photon on la dispersion sur la composante transversale de sa quantité de mouvement on donc l'« incertitude quantique » [36] sur
Conclusion : ainsi, en localisant transversalement le photon on la dispersion sur la composante transversale de sa quantité de mouvement on la demi-largeur angulaire du faisceau diffracté .
Induction de l'inégalité de Heisenberg spatiale à partir de la relation de diffraction appliquée à un photon
modifier La relation entre les « incertitudes quantiques » [36] sur deux grandeurs conjuguées comme les « composantes de la position et de la quantité de mouvement » d'un photon sur [70],
La relation entre les « incertitudes quantiques » sur deux grandeurs conjuguées induite à partir de la relation de diffraction appliquée à un photon, ne fournit qu'un ordre de grandeur ;
Werner Heisenberg [54] a établi une relation plus « précise », connue sous le nom d'« inégalité de Heisenberg » [54], [71] « » [72], avec « constante réduite de Planck [73] » [74]
Werner Heisenberg a établi une relation plus « précise », connue sous le nom d'« inégalité de Heisenberg » « », valant « »,
La relation entre les « incertitudes quantiques » sur une coordonnée de position et la composante correspondante de la quantité de mouvement du photon sont liées par « »
La relation entre les « incertitudes quantiques » sur une coordonnée de position et la composante correspondante de la quantité de mouvement du photon ou une inégalité identique sur ou sur ;
cette inégalité représente une contrainte fondamentale : « plus la position du photon sur une direction est connue avec précision »,
cette inégalité représente une contrainte fondamentale : « moins celle de la composante correspondante de la quantité de mouvement du photon l'est »
cette inégalité représente une contrainte fondamentale : et inversement [75].
Généralisation à la matière de l'inégalité de Heisenberg spatiale
modifier On généralise sans aucune restriction l'« inégalité de Heisenberg » [54] sur n'importe quelle direction [76] par exemple,
On généralise sans aucune restriction l'« inégalité de Heisenberg » sur la direction , l'inégalité « » avec la « constante réduite de Planck [73] » [74] où
On généralise sans aucune restriction l'« inégalité de Heisenberg » sur la direction , l'inégalité « est l'incertitude « quantique » [36] sur la position de la particule « quantique » selon et
On généralise sans aucune restriction l'« inégalité de Heisenberg » sur la direction , l'inégalité « l'incertitude « quantique » [36] sur la composante sur de sa quantité de mouvement,
On généralise sans aucune restriction l'« inégalité de Heisenberg » sur la direction , l'inégalité « » avec la « constante réduite de Planck [73] » [74] où
On généralise sans aucune restriction l'« inégalité de Heisenberg » sur la direction , l'inégalité « est l'incertitude « quantique » [36] sur la position de la particule « quantique » selon et
On généralise sans aucune restriction l'« inégalité de Heisenberg » sur la direction , l'inégalité « l'incertitude « quantique » [36] sur la composante sur de sa quantité de mouvement et
On généralise sans aucune restriction l'« inégalité de Heisenberg » sur la direction , l'inégalité « » avec la « constante réduite de Planck [73] » [74] où
On généralise sans aucune restriction l'« inégalité de Heisenberg » sur la direction , l'inégalité « est l'incertitude « quantique » [36] sur la position de la particule « quantique » selon et
On généralise sans aucune restriction l'« inégalité de Heisenberg » sur la direction , l'inégalité « l'incertitude « quantique » [36] sur la composante sur de sa quantité de mouvement.
Remarques : L'impossibilité théorique de connaître simultanément la position et la quantité de mouvement sur une même direction d'une particule microscopique
Remarques : L'impossibilité théorique rend obsolète la notion de trajectoire à l'échelle microscopique, celle-ci nécessitant de connaître parfaitement position et quantité de mouvement :
Remarques : 1er exemple : électron d'un atome d'hydrogène pris dans son état fondamental,
Remarques : 1er exemple : l'incertitude « quantique » [36] sur la 1ère coordonnée sphérique ayant un ordre de grandeur pouvant être estimé au rayon de l'atome d'hydrogène dans son état fondamental soit
Remarques : 1er exemple : l'incertitude « quantique » sur la 1ère coordonnée sphérique ayant un ordre de grandeur ,
Remarques : 1er exemple : l'incertitude « quantique » [36] sur la 1ère composante radiale de sa quantité de mouvement est donc au minimum
Remarques : 1er exemple : l'incertitude « quantique » sur la 1ère coordonnée sphérique ayant un ordre de grandeur ou, compte-tenu de la masse de l'électron ,
Remarques : 1er exemple : l'incertitude « quantique » [36] sur la vitesse radiale de l'électron [77] est estimée au minimum à , a priori
Remarques : 1er exemple : l'incertitude « quantique » sur la vitesse radiale de l'électron « par rapport à la vitesse orthoradiale d'un électron classique tournant autour du noyau d'hydrogène à
Remarques : 1er exemple : l'incertitude « quantique » sur la vitesse radiale de l'électron « par rapport à la vitesse une distance de [78] sous l'action de la force électrique attractive » [79],
Remarques : 1er exemple : on peut donc conclure à une très grande imprécision sur la vitesse radiale [80] et par suite à une impossibilité de parler de trajectoire
Remarques : 1er exemple : La mécanique classique n'est donc plus applicable à l'échelle microscopique, il faut utiliser la mécanique quantique.
Remarques : En revanche la limitation imposée par l'inégalité de Heisenberg [54] n'est pas perceptible à l'échelle mésoscopique [81] et encore moins à l'échelle macroscopique :
Remarques : 2ème exemple : grain de sable de diamètre , de masse , emporté par le vent suivant une direction ,
Remarques : 2ème exemple : supposons une incertitude « quantique » [36] sur son positionnement transversal ,
Remarques : 2ème exemple : l'incertitude « quantique » [36] sur la composante transversale de sa quantité de mouvement est au minimum
Remarques : 2ème exemple : et l'incertitude « quantique » [36] sur la composante transversale de sa vitesse [82] est estimée au minimum à c.-à-d.
Remarques : 2ème exemple : l'incertitude « quantique » sur la composante transversale de sa vitesse excessivement petite devant la vitesse du grain de sable dans le vent ;
Remarques : 2ème exemple : on peut donc estimer que la vitesse est connue « sans imprécision » [83] et par suite la notion de trajectoire garde une signification à l'échelle mésoscopique [81]
Remarques : 2ème exemple : on peut donc estimer que la vitesse est connue « sans imprécision » et par suite on peut donc continuer d'appliquer la r.f.d.n. [84] à un objet mésoscopique [81] .
En complément : Inégalité de Heisenberg temporelle
modifier Il existe également une inégalité de Heisenberg [54] entre les deux grandeurs conjuguées d'une particule « quantique » massique ou non massique à savoir « énergie » et « temps » mais
Il existe également cette inégalité n'est pas de même nature que les précédentes car il n'existe pas d'opérateur linéaire associée à la date d'observation de la particule [12] et,
Il existe également cette inégalité n'est pas de même nature que les précédentes même si on peut définir un opérateur linéaire associé à l'énergie [85] de la particule,
Il existe également cette inégalité n'est pas de même nature que les précédentes il n'y a évidemment pas d'opérateurs linéaires non commutables associés à cette inégalité [86].
L'inégalité de Heisenberg [54] temporelle s'énonce selon « » avec la « constante réduite de Planck [73] » [74] où
L'inégalité de Heisenberg temporelle s'énonce selon « est l'incertitude « quantique » [36] sur l'énergie de la particule « quantique » et
L'inégalité de Heisenberg temporelle s'énonce selon « l'incertitude « quantique » [36] sur la date d'observation de la particule ;
commentaire : cette inégalité représente encore une contrainte : « plus la date d'observation de la particule est connue avec exactitude », « moins son énergie l'est avec précision » et inversement [87].
Exemple de la désintégration d'un état instable d'un atome excité : l'état excité ayant une durée de vie , on peut estimer l'incertitude « quantique » [36] sur la date de désexcitation et
Exemple de la désintégration d'un état instable d'un atome excité : l'état excité ayant une durée de vie , on en déduit un minimum de l'incertitude « quantique » [36] sur l'énergie de cet état excité
Exemple de la désintégration d'un état instable d'un atome excité : l'état excité ayant une durée de vie , on en déduit un minimum de l'incertitude « quantique » sur l'énergie « » [88]
Notes et références
modifier- ↑ La liste n'est pas exhaustive, je n'indique que celles qui sont accessibles à cet instant d'avancement du programme de physique de P.C.S.I.
- ↑ 2,0 et 2,1 En fait ce sont les composantes correspondantes qui sont conjuguées : étant la grandeur conjuguée de , celle de et celle de ; dire que le « vecteur quantité de mouvement » et le « vecteur position » sont des grandeurs conjuguées est donc incorrect car n'est conjuguée que de et nullement de ou mais c'est une façon plus concise de s'exprimer qui devient correct à condition de connaître sa signification ;
nous avons donc déjà trois couples de grandeurs conjuguées. - ↑ Traduisant le caractère harmonique de l'O.P.P.H. modèle.
- ↑ Traduisant le caractère plan de l'O.P.P.H. modèle, le vecteur d'onde étant de direction fixée , le terme de phase de l'O.P.P.H. modèle où est la distance parcourue sur la direction peut se réécrire car est le projeté orthogonal de sur voir le paragraphe « définition intrinsèque du produit scalaire » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ; de on en déduit la modification de la partie spatiale de la fonction d'onde « ».
- ↑ Revoir le paragraphe « explication de la figure d'interférences par fentes d'Young d'un électron en terme probabiliste » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
- ↑ La grandeur instantanée complexe associée à une O.P.P.H. a, jusqu'à présent, été écrite voir la note « 15 » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » mais aurait pu, compte-tenu du fait que seule la partie réelle ou imaginaire a un sens physique, être définie en prenant l'opposé de la phase à l'instant et au point c.-à-d. , c'est cette 2ème possibilité qui a été choisie pour définir la fonction d'onde associée à une particule « quantique » d'énergie et de quantité de mouvement fixées.
- ↑ 7,0 et 7,1 L'indice signifiant que l'on dérive partiellement par rapport à l'instant , la position restant figée.
- ↑ Cette égalité traduit le fait que est une valeur propre de l'opérateur linéaire de fonction propre associée ;
pour une fonction d'onde qui ne serait pas fonction propre de l'opérateur linéaire , le résultat ne serait pas à c.-à-d. . - ↑ 9,0 9,1 et 9,2 Voir l'opérateur linéaire « nabla » noté au paragraphe « définition de l'opérateur vectoriel linéaire du 1er ordre “nabla” en repérage cartésien » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », « », l'indice signifiant que l'on dérive partiellement par rapport aux coordonnées de , l'instant restant figé.
- ↑ Cette égalité traduit le fait que est une valeur propre de l'opérateur linéaire de fonction propre associée ;
pour une fonction d'onde qui ne serait pas fonction propre de l'opérateur linéaire , le résultat ne serait pas égal à à un facteur vectoriel près c.-à-d. . - ↑ 11,0 11,1 et 11,2 Voir les paragraphes « induction de l'opérateur linéaire énergie » et « induction de l'opérateur linéaire quantité de mouvement » plus haut dans ce chapitre.
- ↑ 12,0 12,1 et 12,2 A priori, à toute grandeur on peut associer un opérateur linéaire qui, en agissant sur la fonction d'onde décrivant l'état de la particule « quantique », permet d'obtenir une valeur de cette grandeur si cette dernière est caractéristique de l'état de la particule ou plusieurs valeurs pondérées caractérisant l'état de la particule mais
il n'existe pas d'opérateur linéaire associé à la grandeur « temps » « théorème » de Pauli , cette impossibilité mettant l'opérateur linéaire « énergie » à part des autres opérateurs linéaires raison pour laquelle vous ne trouverez pas l'opérateur linéaire « énergie » parmi la liste des opérateurs linéaires de la mécanique quantique ;
Wolfgang Ernst Pauli (1900 - 1958) physicien autrichien surtout connu pour son principe d'exclusion en mécanique quantique, lui ayant valu le prix Nobel de physique en . - ↑ À toute grandeur à l'exception du temps , on peut associer un opérateur linéaire qui, en agissant sur la fonction d'onde décrivant l'état de la particule « quantique », permet d'obtenir une valeur de cette grandeur si cette dernière est caractéristique de l'état de la particule ou plusieurs valeurs pondérées caractérisant l'état de la particule ;
ici nous définissons l'opérateur linéaire « quantité de mouvement » mais l'opérateur linéaire « position » peut aussi être défini selon « » dont l'action sur la fonction d'onde décrivant l'état de la particule « quantique » est une simple multiplication de celle-ci par le vecteur position. - ↑ Si on adopte le repérage cartésien la composante de la quantité de mouvement sur respectivement sur ou sur est conjuguée de la composante de la position sur respectivement sur ou sur c.-à-d. respectivement ou est conjuguée de respectivement ou ;
Dire que les grandeurs vectorielles « quantité de mouvement » et « position » sont conjuguées au lieu de dire que leurs composantes respectives le sont serait un abus de langage car la conjugaison doit correspondre à un lien par dérivation partielle, ainsi « » ou « » ou enfin « ». - ↑ 15,0 et 15,1 En théorie, l'opérateur linéaire peut être vectoriel mais, dans ce cas, on se ramène à trois opérateurs linéaires scalaires en considérant les composantes de l'opérateur vectoriel,
En théorie, l'opérateur linéaire peut être vectoriel mais, dans ce cas, c'est donc la raison pour laquelle on considère ici uniquement le cas d'opérateur linéaire scalaire ;
l'expression de l'opérateur linéaire scalaire est définie à partir de . - ↑ Dite « équation aux valeurs propres de l'opérateur linéaire ».
- ↑ L'ensemble des valeusr propres d'un opérateur linéaire constitue son « spectre », ce dernier peut être « continu » ou « discret ».
- ↑ Une valeur propre peut être associée à plusieurs fonctions propres distinctes c.-à-d. non entre elles , dans ce cas elle est qualifiée de « dégénérée », le nombre de fonctions propres distinctes qui lui sont associées définit le « degré de dégénérescence de la valeur propre ».
- ↑ Uniquement du temps car l'opérateur linéaire « énergie » n'agit pas sur la position du point .
- ↑ La fonction recherchée ne dépendant que du temps la dérivée partielle devient droite.
- ↑ 21,0 et 21,1 Voir le paragraphe « résolution d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1er ordre homogène » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
- ↑ Sans autre condition, peut prendre n'importe quelle valeur réelle, le spectre de l'opérateur linéaire « énergie » est alors « continu ».
- ↑ On retrouve la composante temporelle de la fonction d'onde d'une particule « quantique » d'énergie fixée.
- ↑ D'une part celle-ci peut être déterminée, quand cela est possible, par une condition de normalisation de la densité de probabilité de présence,
d'autre part celle-ci peut potentiellement dépendre du point , alors sa détermination peut se faire à l'aide de C.A.L. conditions aux limites associées à une éventuelle condition de normalisation de la densité de probabilité de présence correspondante ;
d'autre part si on s'intéresse aux fonctions propres associées à la valeur propre qui dépendent de mais aussi de sans intervention de C.A.L., pouvant être n'importe quelle fonction du point , la valeur propre est dégénérée, son degré de dégénérescence restant à déterminer il dépend, a priori, des C.A.L. . - ↑ Uniquement de la position car l'opérateur linéaire vectoriel « quantité de mouvement » n'agit pas sur l'instant .
- ↑ Voir le paragraphe « champ vectoriel gradient d'une fonction scalaire de l'espace » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », l'indice signifiant que l'on dérive partiellement par rapport aux coordonnées de , l'instant restant figé.
- ↑ La fonction recherchée ne dépendant que de la position, maintenir constant n'a plus de signification.
- ↑ Sans autre condition, respectivement et peuvent prendre n'importe quelle valeur réelle, le spectre des composantes de l'opérateur linéaire « quantité de mouvement » est alors « continu ».
- ↑ On retrouve la composante temporelle de la fonction d'onde d'une particule « quantique » d'énergie fixée.
- ↑ D'une part le produit des trois constantes d'intégration peut être déterminé, quand cela est possible, par une condition de normalisation de la densité de probabilité de présence,
d'autre part chacune des constantes peut potentiellement dépendre de l'instant , alors la détermination de chacune peut se faire à l'aide de C.I. condition initiale ;
d'autre part si on s'intéresse aux fonctions propres associées à la valeur propre respectivement et qui dépendent de mais aussi de sans intervention de C.I., respectivement et pouvant être n'importe quelle fonction de l'instant , la valeur propre respectivement et est dégénérée, leur degré respectif de dégénérescence restant à déterminer il dépend, a priori, des C.I. . - ↑ En effet le produit « » se réécrit « » avec soit le résultat énoncé sachant que « ».
- ↑ On retrouve la composante spatiale de la fonction d'onde d'une particule « quantique » de quantité de mouvement fixée.
- ↑ C.-à-d. étant valeur propre de l'opérateur linéaire vectoriel « quantité de mouvement ».
- ↑ C.-à-d. la fonction propre associée à la valeur propre de l'opérateur linéaire vectoriel « quantité de mouvement ».
- ↑ La fonction étant a priori quelconque sans autre information.
- ↑ 36,00 36,01 36,02 36,03 36,04 36,05 36,06 36,07 36,08 36,09 36,10 36,11 36,12 36,13 36,14 36,15 36,16 36,17 36,18 36,19 36,20 36,21 36,22 36,23 36,24 36,25 36,26 et 36,27 On parle d'incertitude « quantique » car c'est une incertitude théorique contenue dans les principes de la mécanique quantique, et non une incertitude « expérimentale ».
- ↑ C.-à-d. une incertitude « quantique » sur chaque composante infinie soit simultanément à et , que l'on pourrait écrire, par abus, à condition d'en préciser la signification.
- ↑ C.-à-d. étant valeur propre de la composante de l'opérateur linéaire vectoriel « quantité de mouvement » sur .
- ↑ C.-à-d. la fonction propre associée à la valeur propre de la composante de l'opérateur linéaire vectoriel « quantité de mouvement » sur .
- ↑ Les fonctions , et étant a priori quelconques sans autre information.
- ↑ L'objet mathématique « » est lui-même un opérateur linéaire, encore noté « » et appelé « commutateur des deux opérateurs linéaires » attention le commutateur des opérateurs linéaires et est