Signaux physiques (PCSI)/Exercices/Introduction au monde quantique : interprétation probabiliste

Principe d'indétermination et complémentarité

Schéma de l'expérience des fentes d'Young avec photon envoyé un par un

     On réalise l'expérience des fentes d'Young avec des photons de longueur d'onde dans le vide $\;\lambda _{0}\;$ que l'on envoie un à un $\;{\big (}$voir figure ci-contre${\big )}$ ;

     la distance entre les fentes est $\;a\;$ et
              celle entre le plan des fentes et l'écran $\;D$.

Expérience à écran de détection fixe

     Dans cette question l'écran de détection est fixe et
     Dans cette question$\;M\;$ est un point de l'écran tel que $\;{\overrightarrow {OM}}=d\;{\vec {u}}_{x}$.

Description de l'observation sur l'écran

     Décrire ce qu'on observe sur l'écran au fur et à mesure de l'arrivée des photons.

Solution

     Les photons arrivent successivement en des points aléatoires de l'écran $\;{\big (}$le caractère « aléatoire » signifiant que le point d'impact sur l'écran ne peut être induit par l'aspect corpusculaire du photon, il est nécessaire de supposer l'aspect ondulatoire de ce dernier $\Rightarrow$ la probabilité de passage du photon par l'une ou l'autre des fentes est la même${\big )}\;$ et
     Les photons arrivent successivement en ces points d'impact dessinent peu à peu des franges « rectilignes » $\;\parallel \;$ aux fentes et régulièrement espacées.

 

Expression de la différence de marche et du déphasage en M

     Les fentes étant à égale distance de la source, retrouver l'expression de la différence de marche $\;\delta =F_{2}M-F_{1}M\;$ en fonction $\;a$, $\;D\;$ et $\;d$ ;

     Les fentes étant à égale distance de la source, en déduire l'expression du déphasage en $\;M\;$ des ondes passant par les deux fentes.

Solution

     Évaluation de la différence de marche$\;\delta =F_{2}M-F_{1}M\;$ : on forme d'abord $\;\left(F_{2}M\right)^{2}-\left(F_{1}M\right)^{2}\;$ à partir de $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\left(F_{2}M\right)^{2}=D^{2}+\left(d+{\dfrac {a}{2}}\right)^{2}\\\left(F_{1}M\right)^{2}=D^{2}+\left(d-{\dfrac {a}{2}}\right)^{2}\end{array}}\right\rbrace$, soit, en formant la différence $\;\left(F_{2}M\right)^{2}-\left(F_{1}M\right)^{2}=$ $\left(d+{\dfrac {a}{2}}\right)^{2}-\left(d-{\dfrac {a}{2}}\right)^{2}=2\;a\;d$ ;

         Évaluation de la différence de marche$\;\color {transparent}{\delta =F_{2}M-F_{1}M}\;$ : on utilise alors $\;\left(F_{2}M\right)^{2}-\left(F_{1}M\right)^{2}=\left(F_{2}M-F_{1}M\right)\left(F_{2}M+F_{1}M\right)\;$ puis on évalue le facteur somme $\;\left(F_{2}M+F_{1}M\right)\;$ en utilisant les expressions à l'ordre zéro de $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}F_{2}M={\sqrt {\left(F_{2}M\right)^{2}}}={\sqrt {D^{2}+{\cancel {\left(d+{\dfrac {a}{2}}\right)^{2}}}}}\simeq D\\F_{1}M={\sqrt {\left(F_{1}M\right)^{2}}}={\sqrt {D^{2}+{\cancel {\left(d-{\dfrac {a}{2}}\right)^{2}}}}}\simeq D\end{array}}\right\rbrace \;$ d'où $\;\left(F_{2}M+F_{1}M\right)\simeq 2\;D\;$ et par suite on en déduit «$\;\left(F_{2}M\right)^{2}-\left(F_{1}M\right)^{2}\simeq 2\;D\;\left(F_{2}M-F_{1}M\right)=2\;D\;\delta \;$» ;

         Évaluation de la différence de marche$\;\color {transparent}{\delta =F_{2}M-F_{1}M}\;$ : des deux résultats précédents «$\;\left(F_{2}M\right)^{2}-\left(F_{1}M\right)^{2}\left\lbrace {\begin{array}{l}=2\;a\;d\\\simeq 2\;D\;\delta \end{array}}\right.\;$», on tire l'expression de la différence de marche au point $\;M\;$ de l'écran de détection à savoir «$\;\delta =F_{2}M-F_{1}M\;$» «$\;\delta =F_{2}M-F_{1}M\simeq {\dfrac {a\;d}{D}}\;$».      Évaluation du déphasage au point$\;M\;$ : L'avance de phase de l'onde en $\;M\;$ passant par $\;F_{1}\;$ sur l'onde en $\;M\;$ passant par $\;F_{2}\;$ est «$\;\Delta \varphi =\varphi _{1}-\varphi _{2}=$ $-k\left(F_{1}M-F_{2}M\right)=k\left(F_{2}M-F_{1}M\right)=k\;\delta \;$» avec $\;k={\dfrac {2\;\pi }{\lambda _{0}}}\;$ et $\;\delta =F_{2}M-F_{1}M\simeq {\dfrac {a\;d}{D}}\;$ soit finalement, en regroupant toutes les connaissances «$\;\Delta \varphi =\varphi _{1}-\varphi _{2}=2\;\pi \;{\dfrac {a\;d}{\lambda _{0}\;D}}\;$».

 

Distance caractéristique du phénomène observé sur l'écran

     Donner l'ordre de grandeur d'une distance caractéristique du phénomène observé sur l'écran de détection.

Solution

     La distance caractéristique du phénomène observé est l'« interfrange $\;i\;$» c'est-à-dire la distance séparant les centres de deux franges brillantes consécutives ;

     or les positions des franges brillantes correspondent à $\;\Delta \varphi \;$ multiple de $\;2\;\pi$, le facteur multiplicateur définissant l'ordre de la frange d'interférence,

• ainsi la frange d'ordre $\;q\in \mathbb {Z} \;$ ayant pour abscisse $\;d_{q}\;$ telle que $\;\Delta \varphi =2\;\pi \;{\dfrac {a\;d_{q}}{\lambda _{0}\;D}}=q\;2\;\pi \;$ $\Rightarrow$ «$\;d_{q}=q\;{\dfrac {\lambda _{0}\;D}{a}}\;$», et
•               celle d'ordre $\;q+1\;$            pour abscisse $\;d_{q+1}\;$ telle que $\;\Delta \varphi =2\;\pi \;{\dfrac {a\;d_{q+1}}{\lambda _{0}\;D}}=\left(q+1\right)2\;\pi \;$ $\Rightarrow$ «$\;d_{q+1}=\left(q+1\right){\dfrac {\lambda _{0}\;D}{a}}\;$»,

     par définition de l'« interfrange » on en déduit $\;i=d_{q+1}-d_{q}\simeq \left(q+1\right){\dfrac {\lambda _{0}\;D}{a}}-q\;{\dfrac {\lambda _{0}\;D}{a}}\;$ soit finalement «$\;i={\dfrac {\lambda _{0}\;D}{a}}\;$».

 

Expérience à écran de détection monté sur dispositif mobile

     Dans cette question l'écran est monté sur un dispositif mobile de manière à ce qu'il puisse se déplacer en translation dans ce plan selon l'axe $\;(Ox)$, et
     Dans cette question on adopte le modèle corpusculaire de la lumière ;

     Dans cette question l'écran absorbant tout photon arrivant sur lui en gagnant la composante de la quantité de mouvement de ce dernier sur $\;{\vec {u}}_{x}$,
     Dans cette question l'écran absorbant tout photon arrivant sur lui on mesure la quantité de mouvement acquise par l'écran juste après la détection du photon et
     Dans cette question l'écran absorbant tout photon arrivant sur lui on doit pouvoir savoir de quelle fente il provient ;

     Dans cette question on note $\;p_{\gamma }\;$ la norme de la quantité de mouvement du photon.

Composante de la quantité de mouvement d'un photon passant par F₁ (ou par F₂) et arrivant en M

     Exprimer la composante sur $\;{\vec {u}}_{x}\;$ de la quantité de mouvement d'un photon parvenant en $\;M\;$ et passant par la fente $\;F_{1}$, composante notée $\;p_{\gamma ,\,1\,x}$, en fonction de $\;p_{\gamma }$, $\;d$, $\;a\;$ et $\;D$ ainsi que celle

     Exprimer la composante sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{x}}\;$ de la quantité de mouvement d'un photon parvenant en $\;\color {transparent}{M}\;$ et passant par la fente $\;F_{2}$, composante notée $\;p_{\gamma ,\,2,\,x}$, en fonction des mêmes grandeurs $\;p_{\gamma }$, $\;d$, $\;a\;$ et $\;D$.

Solution

Schéma de l'expérience des fentes d'Young avec photon envoyé un par un, angles nécessaires à l'évaluation de la composante sur l'écran de la quantité de mouvement du photon passant par $\;F_{1}\;$ ou $\;F_{2}\;$ et arrivant en $\;M$

     La composante de la quantité de mouvement selon $\;{\vec {u}}_{x}\;$ d'un photon arrivant en $\;M\;$ et passant par la fente $\;F_{1}\;$ est «$\;p_{\gamma ,\,1,\,x}$ $=p_{\gamma }\;\sin(\theta _{1})\;$» $\;{\big (}$voir la définition de $\;\theta _{1}\;$ sur le schéma ci-contre${\big )}\;$ et
     La composante de la quantité de mouvement selon $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{x}}\;$ dans la mesure de la petitesse de $\;\theta _{1}\;$ «$\;p_{\gamma ,\,1,\,x}\simeq p_{\gamma }\;\theta _{1}\;$» ;

     La composante de la quantité de mouvement selon $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{x}}\;$ or $\;\tan(\theta _{1})={\dfrac {d-{\dfrac {a}{2}}}{D}}\;$ dans laquelle $\;\theta _{1}\;$ est considéré petit $\Rightarrow$ $\;\tan(\theta _{1})\simeq \theta _{1}\;$ d'où «$\;\theta _{1}\simeq {\dfrac {d-{\dfrac {a}{2}}}{D}}\;$» et par suite «$\;p_{\gamma ,\,1,\,x}\simeq p_{\gamma }\;{\dfrac {2\;d-a}{2\;D}}\;$» ;

     la composante de la quantité de mouvement selon $\;{\vec {u}}_{x}\;$ d'un photon arrivant en $\;M\;$ et passant par la fente $\;F_{2}\;$ est «$\;p_{\gamma ,\,2,\,x}$ $=p_{\gamma }\;\sin(\theta _{2})\;$» $\;{\big (}$voir la définition de $\;\theta _{2}\;$ sur le schéma ci-contre${\big )}\;$ et
     la composante de la quantité de mouvement selon $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{x}}\;$ dans la mesure de la petitesse de $\;\theta _{2}\;$ «$\;p_{\gamma ,\,2,\,x}\simeq p_{\gamma }\;\theta _{2}\;$» ;

     la composante de la quantité de mouvement selon $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{x}}\;$ or $\;\tan(\theta _{2})={\dfrac {d+{\dfrac {a}{2}}}{D}}\;$ dans laquelle $\;\theta _{2}\;$ est considéré petit $\Rightarrow$ $\;\tan(\theta _{2})\simeq \theta _{2}\;$ d'où «$\;\theta _{2}\simeq {\dfrac {d+{\dfrac {a}{2}}}{D}}\;$» et par suite «$\;p_{\gamma ,\,2,\,x}\simeq p_{\gamma }\;{\dfrac {2\;d+a}{2\;D}}\;$».

 

Condition sur l'incertitude quantique de la composante de la quantité de mouvement de l'écran le long de celui-ci pour connaître de quelle fente provient le photon

     En déduire que l'on sait de quelle fente provient le photon arrivant sur l'écran de détection seulement
     En déduire que l'on sait de quelle fente provient le photon si l'incertitude quantique sur la quantité de mouvement de l'écran selon $\;{\vec {u}}_{x}\;$ est $\;\ll \;$ à une valeur à exprimer en fonction de $\;p_{\gamma }$, $\;a\;$ et $\;D$.

Solution

     La différence des composantes selon $\;{\vec {u}}_{x}\;$ des quantités de mouvement d'un photon arrivant au même point $\;M\;$ après être passé par $\;F_{2}\;$ ou $\;F_{1}\;$ est «$\;p_{\gamma ,\,2,\,x}-p_{\gamma ,\,1,\,x}\simeq p_{\gamma }\;{\dfrac {2\;d+a}{2\;D}}-p_{\gamma }\;{\dfrac {2\;d-a}{2\;D}}\simeq p_{\gamma }\;{\dfrac {a}{D}}\;$» ;

     pour pouvoir déterminer de quelle fente le photon provient il faut mesurer la quantité de mouvement acquise par l'écran avec une incertitude expérimentale très inférieure à cette différence $\;p_{\gamma ,\,2,\,x}-p_{\gamma ,\,1,\,x}\simeq p_{\gamma }\;{\dfrac {a}{D}}$ ;

     pour pouvoir déterminer de quelle fente le photon provient comme l'incertitude expérimentale est toujours $\;>\;$ à l'incertitude quantique, il est nécessaire que
     pour pouvoir déterminer de quelle fente le photon provient l'incertitude quantique sur la quantité de mouvement acquise par l'écran $\;\Delta p_{\text{écran}}\;$ soit très inférieure à cette différence $\;p_{\gamma ,\,2,\,x}-p_{\gamma ,\,1,\,x}\simeq p_{\gamma }\;{\dfrac {a}{D}}\;$ c'est-à-dire
         pour pouvoir déterminer de quelle fente le photon provient l'incertitude quantique sur la quantité de mouvement acquise par l'écran «$\;\Delta p_{\text{écran}}\ll p_{\gamma }\;{\dfrac {a}{D}}\;$».

 

Principe de complémentarité

     En se plaçant dans l'« hypothèse vérifiant la condition sur l'incertitude quantique de la composante de la quantité de mouvement de l'écran le long de celui-ci pour connaître de quelle fente provient le photon », comparer les incertitudes quantiques sur la position transversale de l'écran et sur la distance caractéristique du phénomène observé sur l'écran $\;{\big \{}$nous supposerons connue l'inégalité spatiale de Heisenberg${\big \}}$ ;

     en déduire que le « principe de complémentarité » est bien vérifié.

Solution

     Supposons que l'inégalité spatiale de Heisenberg permette de déterminer l'incertitude quantique sur la position de l'écran connaissant celle sur sa quantité de mouvement selon la même direction c'est-à-dire «$\;\Delta x_{\text{écran}}\;\Delta p_{\text{écran}}\gtrsim {\dfrac {\hbar }{2}}\;$ $\Leftrightarrow$ $\;\Delta x_{\text{écran}}\gtrsim {\dfrac {\hbar }{2\;\Delta p_{\text{écran}}}}\;$» ;

     or, pour pouvoir déterminer de quelle fente le photon provient il est nécessaire que «$\;\Delta p_{\text{écran}}\ll p_{\gamma }\;{\dfrac {a}{D}}\;$» soit réalisée $\Rightarrow$ «$\;\Delta x_{\text{écran}}\gtrsim {\dfrac {\hbar }{2\;\Delta p_{\text{écran}}}}\gg {\dfrac {\hbar }{2\;p_{\gamma }}}\;{\dfrac {D}{a}}={\dfrac {h}{4\;\pi \;p_{\gamma }}}\;{\dfrac {D}{a}}\;$» ou,
     or, pour pouvoir déterminer de quelle fente le photon provient il est nécessaire que «$\;\color {transparent}{\Delta p_{\text{écran}}\ll p\gamma \;{\dfrac {a}{D}}}\;$» soit réalisée en utilisant la relation de de Broglie appliquée à un photon $\;p_{\gamma }={\dfrac {h}{\lambda _{0}}}\;$
     or, pour pouvoir déterminer de quelle fente le photon provient il est nécessaire que «$\;\color {transparent}{\Delta p_{\text{écran}}\ll p_{\gamma }\;{\dfrac {a}{D}}}\;$» soit réalisée $\color {transparent}{\Rightarrow }$ «$\;\Delta x_{\text{écran}}\gg {\dfrac {h}{4\;\pi \;p_{\gamma }}}\;{\dfrac {D}{a}}={\dfrac {\lambda _{0}}{4\;\pi }}\;{\dfrac {D}{a}}\;$» soit enfin,
     or, pour pouvoir déterminer de quelle fente le photon provient il est nécessaire que «$\;\color {transparent}{\Delta p_{\text{écran}}\ll p_{\gamma }\;{\dfrac {a}{D}}}\;$» soit réalisée avec l'expression de l'« interfrange » trouvée à la 1^ère question «$\;i={\dfrac {\lambda _{0}\;D}{a}}\;$»,
     or, pour pouvoir déterminer de quelle fente le photon provient il est nécessaire que «$\;\color {transparent}{\Delta p_{\text{écran}}\ll p_{\gamma }\;{\dfrac {a}{D}}}\;$» soit réalisée $\color {transparent}{\Rightarrow }$ «$\;\Delta x_{\text{écran}}\gg {\dfrac {i}{4\;\pi }}\;$» soit encore «$\;\Delta x_{\text{écran}}\gg i\;$» ;

     ainsi l'incertitude quantique sur la position de l'écran doit être très grande devant l'« interfrange » d'interférence c'est-à-dire «$\;\Delta x_{\text{écran}}\gg i\;$» pour pouvoir déterminer de quelle fente provient le photon ;

     ainsi l'incertitude expérimentale sur la position de l'écran$\;\Delta x_{\text{écran, exp}}\;$ étant $\;>\;$ à l'indétermination quantique sur sa position $\;\Delta x_{\text{écran}}$, on en déduit que
     ainsi l'incertitude expérimentale sur la position de l'écran doit être aussi très grande devant l'« interfrange » d'interférences c'est-à-dire «$\;\Delta x_{\text{écran, exp}}\gg i\;$» pour pouvoir déterminer de quelle fente provient le photon et, « si $\;\Delta x_{\text{écran, exp}}\gg i\;$ est réalisé », cela empêche de façon certaine l'observation des interférences $\;\ldots$

     Énoncé du principe de complémentarité : « Une particule quantique ne peut se comporter en même temps comme une onde et comme un corpuscule ».

     Justification sur cet exemple : La condition permettant de déterminer par quelle fente le photon serait passer «$\;\Delta x_{\text{écran, exp}}\gg i\;$» $\;{\big (}$aspect corpusculaire${\big )}\;$
     Justification sur cet exemple : La condition permettant de déterminer par quelle fente le photon serait passer est incompatible avec l'observation des interférences «$\;\Delta x_{\text{écran, exp}}\ll i\;$» soit, en étant moins strict,
     Justification sur cet exemple : La condition permettant de déterminer par quelle fente le photon serait passer est incompatible avec l'observation des interférences «$\;\Delta x_{\text{écran, exp}}\lesssim {\dfrac {i}{10}}\;$» $\;{\big (}$aspect ondulatoire${\big )}$.