Signaux physiques (PCSI)/Exercices/Oscillateur harmonique

Ajout d'une surcharge à un pendule élastique vertical non amorti

     Soit un disque de masse $\;m\;$ suspendu à un ressort idéal vertical de raideur $\;k\;$ et de longueur à vide $\;l_{0}\;$.

     À l'équilibre on pose sur le disque un « tore »  de même masse.

     Déterminer l'allongement maximal du ressort ainsi que la période d'oscillation.

Solution

Pose de surcharge sur la charge d'un pendule élastique vertical idéal

     Vous devez faire autant de schémas de situation que nécessaire : ici ressort à vide, ressort avec disque à l'équilibre, ressort avec « disque et tore dans les conditions initiales $\;{\big (}$C.I.${\big )}\;$», ressort avec « disque et tore à l'équilibre » et enfin ressort avec « disque et tore à un instant $\;t\;$ quelconque ».

     Mise en équation :

          Les schémas ci-contre avec forces appliquées au disque ou à l'ensemble « disque - tore » $\;{\big (}$constituant un solide en translation${\big )}\;$ sont nécessaires à l'exposé ; le référentiel d’étude considéré est supposé galiléen ; cherchant l'allongement maximal  du ressort, il convient de déterminer le mouvement du pendule élastique vertical nouvellement constitué à partir du disque et du tore et pour cela de trouver l'équation différentielle du mouvement de ce nouveau pendule en utilisant par exemple la r.f.d.n. appliquée à l'ensemble « disque tore ».

          Deux forces agissent sur l'ensemble « disque - tore » : le poids de l'ensemble $\;2\,m\,{\vec {g}}\;$ et la tension du ressort $\;{\vec {T}}$ ; choisissant la position initiale de dépôt du tore comme origine de l'axe vertical descendant $\;{\overrightarrow {x'x}}\;$ on en déduit «$\;{\vec {T}}=-k\left[\Delta l_{\text{éq}}+x(t)\right]{\vec {u}}_{x}\;$» où «$\;x(t)\;$ est l'abscisse de l'ensemble à l'instant $\;t\;$ relativement à la position de dépôt du tore » $\;{\big (}$cette dernière étant encore la position d'équilibre du disque sans le tore${\big )}\;$ et $\;\Delta l_{\text{éq}}\;$ l'allongement à l'équilibre du pendule sans le tore ;

          l'application de la r.f.d.n. à l'ensemble « disque - tore » projetée sur $\;{\vec {u}}_{x}\;$ donne : «$\;2\,m\,g-k\left[\Delta l_{\text{éq}}+x(t)\right]=2\,m\,{\ddot {x}}(t)\;$» ;

          pour déterminer $\;\Delta l_{\text{éq}}\;$ on écrit la condition d'équilibre du disque sans le tore soit «$\;{\vec {T}}_{\text{éq}}+m\,{\vec {g}}={\vec {0}}\;$» que l'on projette sur $\;{\vec {u}}_{x}\;$ d'où : «$\;-k\left(\Delta l_{\text{éq}}\right)+m\,g=0\;$» ou «$\;\Delta l_{\text{éq}}={\dfrac {m\,g}{k}}\;$» que l'on reporte dans l'équation précédente, ce qui donne l'équation simplifiée «$\;m\,g-k\,x(t)=2\,m\,{\ddot {x}}(t)\;$» ou

«$\;2\,m\,{\ddot {x}}(t)+k\,x(t)=m\,g\;$».

     Résolution de l'équation différentielle :

          Il reste à résoudre cette équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre sans terme du 1^er ordre « hétérogène », l'excitation $\;m\,g\;$ étant une constante, pour cela on utilisera le résultat exposé dans le paragraphe « résolution d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants hétérogène du 2^ème ordre sans terme du 1^er ordre à excitation constante » du chap.$2$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » :

• la solution générale de l'équation homogène $\;2\,m\,{\ddot {x}}_{\text{libre}}(t)+k\,x_{\text{libre}}(t)=0\;$ écrite sous forme normalisée «$\;{\ddot {x}}_{\text{libre}}(t)+{\dfrac {k}{2\,m}}\,x_{\text{libre}}(t)=0\;$» puis sous forme canonique en posant «$\;\omega _{0}^{2}={\dfrac {k}{2\,m}}\;$» où «$\;\omega _{0}\;$» est la pulsation propre du nouveau pendule constitué de l'ensemble « disque - tore » conduit à
  «$\;x_{\text{libre}}(t)=A\,\cos(\omega _{0}\,t)+B\,\sin(\omega _{0}\,t)\;$»,
• la solution forcée de l'équation hétérogène $\;{\big (}$c'est-à-dire la solution particulière cherchée sous la même forme que l'excitation${\big )}\;$ conduit à $\;k\,x_{\text{forcée}}=m\,g\;$ d'où
  «$\;x_{\text{forcée}}={\dfrac {m\,g}{k}}\;$»,
• la solution générale de l'équation hétérogène s'écrit donc $\;x(t)=x_{\text{libre}}(t)+x_{\text{forcée}}\;$ soit encore
  «$\;x(t)=A\,\cos(\omega _{0}\,t)+B\,\sin(\omega _{0}\,t)+{\dfrac {m\,g}{k}}\;$»,
  $\;A\;$ et $\;B\;$ étant des constantes à déterminer par C.I..

     Utilisation des C.I. :

          L'abscisse de l'ensemble étant repéré par rapport à la position de dépôt du tore et l'instant de dépôt du tore étant choisi comme origine des temps, « la 1^ère C.I. est $\;x(0)=0\;$», l'ensemble étant lâché sans vitesse initiale, « la 2^ème C.I. est $\;{\dot {x}}(0)=0\;$» :

• de $\;x(0)=0\;$ on déduit $\;A+{\dfrac {m\,g}{k}}=0\;$ soit «$\;A=-{\dfrac {m\,g}{k}}\;$»,
• de $\;{\dot {x}}(0)=0\;$ avec «$\;{\dot {x}}(t)=-A\,\omega _{0}\,\sin(\omega _{0}\,t)+B\,\omega _{0}\,\cos(\omega _{0}\,t)\;$» on déduit $\;B\,\omega _{0}=0\;$ soit «$\;B=0\;$»,

finalement «$\;x(t)={\dfrac {m\,g}{k}}\left[1-\cos(\omega _{0}\,t)\right]\;$».

     Allongement maximal du ressort et période d'oscillations :

          La période propre des oscillations est «$\;{\mathcal {T}}_{0}={\dfrac {2\,\pi }{\omega _{0}}}=2\,\pi \,{\sqrt {\dfrac {2\,m}{k}}}\;$» ;

          la valeur maximale de $\;x(t)\;$ est obtenue pour $\;t_{n}=(2\,n+1)\,{\dfrac {{\mathcal {T}}_{0}}{2}}\;$ d'où «$\;x_{\text{max}}=2\,{\dfrac {m\,g}{k}}\;$» et par suite l'allongement maximal vaut

«$\;\Delta l_{\text{éq}}+x_{\text{max}}=3\,{\dfrac {m\,g}{k}}\;$».

 

Ressorts montés en parallèle, ressorts montés en série

     On dispose d'un solide de masse $\;m\;$ et de deux ressorts idéaux de raideur $\;k_{1}\;$ et $\;k_{2}$ ; on négligera tout frottement.

Ressorts d'axes verticaux montés en parallèle

     Les deux extrémités supérieures des ressorts sont fixes et les deux extrémités inférieures sont liées au solide $\;{\big (}$le solide ayant un mouvement de translation vertical, les ressorts ont donc constamment même longueur${\big )}$.

     Montrer que le système constitue un oscillateur harmonique et déterminer la période des oscillations ;

     vérifier que l'ensemble des deux ressorts montés en parallèle est équivalent à un ressort unique dont on précisera la raideur $\;k_{{\text{éq}}\,\parallel }\;$ en fonction de $\;k_{1}\;$ et $\;k_{2}$.

Solution

Deux ressorts en parallèle

     Les deux ressorts montés en parallèle agissent directement sur le solide $\;M\;$ de masse $\;m\;$ qui est donc soumis à trois forces verticales $\;({\vec {T}}_{1},\;{\vec {T}}_{2}\;{\text{et}}\;m\,{\vec {g}})\;$ ; en prenant un axe vertical descendant $\;{\overrightarrow {Ox}}\;$ avec $\;O\;$ position d'équilibre de $\;M$, et en projetant la r.f.d.n. sur cet axe, on obtient l'équation différentielle du mouvement : «$\;-k_{1}\left(\Delta l_{{\text{éq}},\,1}+x\right)-k_{2}\left(\Delta l_{{\text{éq}},\,2}+x\right)+m\,g=m\,{\ddot {x}}(t)\;$» qui se simplifie à l'aide de la condition d’équilibre «$\;-k_{1}\,\Delta l_{{\text{éq}},\,1}-k_{2}\,\Delta l_{{\text{éq}},\,2}+m\,g=0\;$» soit finalement l'équation différentielle du mouvement du solide

«$\;m\,{\ddot {x}}(t)+\left(k_{1}+k_{2}\right)x(t)=0\;$»
qui caractérise effectivement un oscillateur harmonique à un degré de liberté ;

     on constate que l'association parallèle des deux ressorts de raideur $\;k_{1}\;$ et $\;k_{2}\;$ est équivalente à un ressort unique de raideur «$\;k_{{\text{éq}}\,\parallel }=k_{1}+k_{2}\;$» ;
     la forme canonique de l'équation différentielle s'écrivant «$\;{\ddot {x}}(t)+{\dfrac {k_{1}+k_{2}}{m}}\,x(t)=0\;$» on définit
     $\succ \;$la pulsation propre de l'oscillateur «$\;\omega _{0}={\sqrt {\dfrac {k_{1}+k_{2}}{m}}}\;$» et on en déduit
     $\succ \;$la période propre des oscillations «$\;{\mathcal {T}}_{0}=2\,\pi \,{\sqrt {\dfrac {m}{k_{1}+k_{2}}}}\;$».

 

Ressorts d'axe commun vertical montés en série

     L'extrémité supérieure du ressort supérieur $\;(1)\;$ est fixe et son extrémité inférieure est reliée à l'extrémité supérieure de ressort inférieur $\;(2)$, l'extrémité inférieure de ce dernier étant reliée au solide $\;{\big (}$dont on n'envisage que les mouvements de translation verticalemath>\big)</math>.

     Montrer que le système constitue un oscillateur harmonique et déterminer la période des oscillations ;

     vérifier que l'ensemble des deux ressorts montés en série est équivalent à un ressort unique dont on précisera la raideur $\;k_{\text{éq, série}}\;$ en fonction de $\;k_{1}\;$ et $\;k_{2}$.

Solution

Deux ressorts en série

     Les deux ressorts d'axe commun vertical étant montés en série, seul le ressort inférieur agit directement sur le solide $\;M\;$ mais l'allongement de ce ressort dépend aussi de la position de son extrémité supérieure laquelle est directement liée à l'allongement du ressort supérieur ; soit $\;(1)\;$ le ressort supérieur et $\;(2)\;$ le ressort inférieur, on note $\;A\;$ le point d'attache entre eux deux $\;{\big (}$point sans masse${\big )}\;$ voir schéma ci-contre.

     Application de la r.f.d.n. au solide :

          La r.f.d.n. appliquée à $\;M\;$ projetée sur $\;{\vec {u}}_{x}\;$ donne : «$\;T_{2,\,x}+m\,g=m\,{\ddot {x}}(t)\;$» avec «$\;T_{2,\,x}=$ $-k_{2}\left[\Delta l_{{\text{éq}},\,2}+x(t)-x_{A}(t)\right]\;$» soit, en reportant dans la r.f.d.n. «$\;-k_{2}\left[\Delta l_{{\text{éq}},\,2}+x(t)-x_{A}(t)\right]+m\,g$ $=m\,{\ddot {x}}(t)\;$» ;

          la condition d'équilibre s'écrit alors «$\;-k_{2}\,\Delta l_{{\text{éq}},\,2}+m\,g=0\;$» d'où la réécriture de l'équation différentielle du mouvement de $\;M\;$ :

«$\;m\,{\ddot {x}}(t)+k_{2}\,x(t)=k_{2}\,x_{A}(t)\;$».

     Application de la r.f.d.n. au point d'attache entre les deux ressorts :

          La r.f.d.n. appliquée à $\;A\;$ projetée sur $\;{\vec {u}}_{x}\;$ donne : «$\;{T'}_{2,\,x}+T_{1,\,x}=0\times {\ddot {x}}_{A}(t)\;$» ou «$\;T'_{2,\,x}+T_{1,\,x}=0\;$» avec «$\;{T'}_{2,\,x}=-T_{2,\,x}=$ $k_{2}\left[\Delta l_{{\text{éq}},\,2}+x(t)-x_{A}(t)\right]\;$» et «$\;T_{1,\,x}=-k_{1}\left[\Delta l_{{\text{éq}},\,1}+x_{A}(t)\right]\;$» soit «$\;k_{2}\left[\Delta l_{{\text{éq}},\,2}+x(t)-x_{A}(t)\right]-k_{1}\left[\Delta l_{{\text{éq}},\,1}+x_{A}(t)\right]=0\;$» ;

          la condition d’équilibre s’écrit alors «$\;k_{2}\,\Delta l_{{\text{éq}},\,2}-k_{1}\,\Delta l_{{\text{éq}},\,1}=0\;$» d'où le lien entre $\;x(t)\;$ et $\;x_{A}(t)$ : «$\;k_{2}\left[x(t)-x_{A}(t)\right]-k_{1}\,x_{A}(t)=0\;$» ou

«$\;x_{A}(t)={\dfrac {k_{2}}{k_{1}+k_{2}}}\,x(t)\;$».

     Équation différentielle finale du mouvement du solide :

          Reportant cette dernière expression dans l'équation différentielle en $\;x(t)\;$ déterminée précédemment, on trouve : «$\;m\,{\ddot {x}}(t)+k_{2}\,x(t)=k_{2}\,{\dfrac {k_{2}}{k_{1}+k_{2}}}\,x(t)\;$» soit, après simplification :

«$\;m\,{\ddot {x}}(t)+{\dfrac {k_{1}\,k_{2}}{k_{1}+k_{2}}}\,x(t)=0\;$»
qui caractérise effectivement un oscillateur harmonique à un degré de liberté ;

          on constate que l'association série des deux ressorts de raideur $\;k_{1}\;$ et $\;k_{2}\;$ est équivalente à un ressort unique de raideur «$\;k_{\text{éq, série}}={\dfrac {k_{1}\,k_{2}}{k_{1}+k_{2}}}\;$» ;
          la forme canonique de l'équation différentielle s'écrivant selon «$\;{\ddot {x}}(t)+{\dfrac {k_{1}\,k_{2}}{m\left(k_{1}+k_{2}\right)}}\,x(t)=0\;$» on définit
          $\succ \;$la pulsation propre de l'oscillateur «$\;\omega _{0}=$ ${\sqrt {\dfrac {k_{1}\,k_{2}}{m\left(k_{1}+k_{2}\right)}}}\;$» et on en déduit
          $\succ \;$la période propre des oscillations «$\;{\mathcal {T}}_{0}=2\,\pi \,{\sqrt {\dfrac {m\left(k_{1}+k_{2}\right)}{k_{1}\,k_{2}}}}\;$».

 

Modes propres d'un oscillateur à deux ressorts

Disposition des deux oscillateurs harmoniques couplés

     Considérons deux mobiles $\;M_{1}\;$ et $\;M_{2}$, de même masse $\;m$, supposés ponctuels, et astreints à glisser sur un plan horizontal dans la direction $\;Ox$.
     Considérons Le mobile $\;M_{1}\;$ est accroché à un point fixe $\;O$, par l'intermédiaire d'un ressort de raideur $\;k\;$ et de longueur à vide $\;l_{0}$.
     Considérons Le mobile $\;M_{2}\;$ est accroché au mobile $\;M_{1}\;$ par l'intermédiaire d'un ressort identique au précédent.
     Considérons Tous les frottements sont négligés $\;{\big (}$voir schéma ci-contre${\big )}$.

Mise en équations de l'oscillateur à deux ressorts

     Établir les équations différentielles du mouvement vérifiées par les positions $\;x_{1}(t)\;$ et $\;x_{2}(t)\;$ des mobiles $\;M_{1}\;$ et $\;M_{2}\;$ par rapport à $\;O$ $\;{\big \{}$on notera que ces équations différentielles sont couplées, c'est-à-dire que l'équation différentielle en $\;x_{1}(t)\;$ contient des termes en $\;x_{2}(t)\;$ et vice versa${\big \}}$.

Solution

Bilan des forces horizontales sur chaque solide du couple des oscillateurs harmoniques couplés

     Les seules forces pouvant créer ou modifier un mouvement sont « horizontales » , ce sont les tensions des ressorts :

• s'exerçant sur $\;M_{1}$, les tensions des ressorts $\;(1)\;$ «$\;{\vec {T}}_{1}=-k\,(x_{1}-l_{0})\,{\vec {u}}_{x}\;$» et $\;(2)\;$ «$\;{\vec {T}}_{2}=k\,(x_{2}-x_{1}-l_{0})\,{\vec {u}}_{x}\;$» ;
• s'exerçant sur $\;M_{2}$, la tension du ressort $\;(2)\;$ «$\;{{\vec {T}}'}_{2}=-{\vec {T}}_{2}=-k\,(x_{2}-x_{1}-l_{0})\,{\vec {u}}_{x}\;$» ;

     on applique la r.f.d.n. à $\;M_{1}\;$ pour avoir l'équation différentielle de son mouvement d'où, en projetant sur $\;{\overrightarrow {Ox}}\;$ «$\;-k\,(x_{1}-l_{0})+k\,(x_{2}-x_{1}-l_{0})=$ $m\,{\ddot {x}}_{1}\;$» et en ordonnant «$\;m\,{\ddot {x}}_{1}+2\,k\,x_{1}=k\,x_{2}\;$» ;

     on applique la r.f.d.n. à $\;M_{2}\;$ pour avoir l'équation différentielle de son mouvement d'où, en projetant sur $\;{\overrightarrow {Ox}}\;$ «$\;-k\,(x_{2}-x_{1}-l_{0})=m\,{\ddot {x}}_{2}\;$» et en ordonnant «$\;m\,{\ddot {x}}_{2}+k\,x_{2}=k\,x_{1}+k\,l_{0}\;$» ;

     on obtient le système d'équations différentielles linéaires à cœfficients constants du 2^ème ordre sans terme du 1^er ordre couplées :

«$\;\left\lbrace {\begin{array}{r c r c l}m\,{\ddot {x}}_{1}\!\!&+&\!\!2\,k\,x_{1}\!\!&=&\!\!k\,x_{2}\\m\,{\ddot {x}}_{2}\!\!&+&\!\!k\,x_{2}\!\!&=&\!\!k\,x_{1}+k\,l_{0}\end{array}}\right.\;$».

 

Détermination des modes propres d'oscillation

     On pose «$\;X_{1}(t)=x_{1}(t)-l_{0}\;$» et «$\;X_{2}(t)=x_{2}(t)-2\,l_{0}\;$».

Réécriture du système d'équations différentielles couplées dans ce nouveau repérage et interprétation physique

     Justifier le choix des grandeurs $\;X_{1}(t)\;$ et $\;X_{2}(t)\;$ en donnant leur interprétation physique.

Solution

     On a «$\;x_{1}(t)=X_{1}(t)+l_{0}\;$» et «$\;x_{2}(t)=X_{2}(t)+2\,l_{0}\;$» ainsi que «$\;{\ddot {x}}_{1}(t)={\ddot {X}}_{1}(t)\;$» et «$\;{\ddot {x}}_{2}(t)={\ddot {X}}_{2}(t)\;$» soit, en reportant dans le système d'équations différentielles «$\;\left\lbrace {\begin{array}{r c r c l}m\,{\ddot {X}}_{1}\!\!&+&\!\!2\,k\,(X_{1}+l_{0})\!\!&=&\!\!k\,(X_{2}+2\,l_{0})\\m\,{\ddot {X}}_{2}\!\!&+&\!\!k\,(X_{2}+2\,l_{0})\!\!&=&\!\!k\,(X_{1}+l_{0})+k\,l_{0}\end{array}}\right.\;$» et après simplification «$\;\left\lbrace {\begin{array}{r c r c l}m\,{\ddot {X}}_{1}\!\!&+&\!\!2\,k\,X_{1}\!\!&=&\!\!k\,X_{2}\\m\,{\ddot {X}}_{2}\!\!&+&\!\!k\,X_{2}\!\!&=&\!\!k\,X_{1}\end{array}}\right.\;$» ;

     les positions d'équilibre étant $\;x_{1,\,{\text{éq}}}=l_{0}\;$ et $\;x_{2,\,{\text{éq}}}=2\,l_{0}\;$, les changements d'origine entraînent le repérage de $\;M_{1}\;$ et de $\;M_{2}\;$ relativement à leur position d'équilibre d'où $\;X_{1,\,{\text{éq}}}=0\;$ et $\;X_{2,\,{\text{éq}}}=0$.

 

Mise en équation des modes propres d'oscillation

     On étudie les mouvements oscillatoires harmoniques possibles des deux mobiles à la même pulsation $\;\omega \;$ en l'absence de frottements $\;{\big (}$les modes d'oscillation à la même pulsation étant appelés « modes propres »${\big )}$.

     En choisissant «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}X_{1}(t)=X_{m,\,1}\,\cos(\omega \,t+\varphi _{1})\\X_{2}(t)=X_{m,\,2}\,\cos(\omega \,t+\varphi _{2})\end{array}}\right\rbrace \;$», montrer qu'on obtient dans ce cas le système «$\;\left\lbrace {\begin{array}{r c r c l}(2\,\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})\,X_{1}(t)\!\!&-&\!\!\omega _{0}^{2}\,X_{2}(t)\!\!&=&\!\!0\\-\omega _{0}^{2}\,X_{1}(t)\!\!&+&\!\!(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})\,X_{2}(t)\!\!&=&\!\!0\end{array}}\right.\;$» où $\;\omega _{0}\;$ est une grandeur qu'on explicitera en fonction de $\;k\;$ et $\;m$.

Solution

     On cherche des solutions harmoniques de même pulsation $\;\omega \;$ c'est-à-dire des solutions de la forme «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}X_{1}(t)=X_{m,\,1}\,\cos(\omega \,t+\varphi _{1})\\{\text{et}}\\X_{2}(t)=X_{m,\,2}\,\cos(\omega \,t+\varphi _{2})\end{array}}\right.\;$» de dérivées temporelles 2^ndes «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\ddot {X}}_{1}(t)=-\omega ^{2}\,X_{m,\,1}\,\cos(\omega \,t+\varphi _{1})=\\{\ddot {X}}_{2}(t)=-\omega ^{2}\,X_{m,\,2}\,\cos(\omega \,t+\varphi _{2})=\end{array}}\right.\;$ $\;\left.{\begin{array}{c}-\omega ^{2}\,X_{1}(t)\\-\omega ^{2}\,X_{2}(t)\end{array}}\right\rbrace \;$» que l'on reporte dans le système d'équations différentielles simplifiées de la solution de la question « réécriture du système d'équations différentielles couplées dans ce nouveau repérage et interprétation physique » plus haut dans cet exercice «$\;\left\lbrace {\begin{array}{r c r c l}-m\,\omega ^{2}\,X_{1}\!\!&+&\!\!2\,k\,X_{1}\!\!&=&\!\!k\,X_{2}\\-m\,\omega ^{2}\,X_{2}\!\!&+&\!\!k\,X_{2}\!\!&=&\!\!k\,X_{1}\end{array}}\right.\;$» soit encore «$\;\left\lbrace {\begin{array}{r c r c l}(2\,k-m\,\omega ^{2})\,X_{1}\!\!&-&\!\!k\,X_{2}\!\!&=&\!\!0\\-k\,X_{1}\!\!&+&\!\!(k-m\,\omega ^{2})\,X_{2}\!\!&=&\!\!0\end{array}}\right.\;$» ou, en divisant par $\;m\;$ pour avoir des cœfficients homogènes au carré d'une pulsation «$\;\left\lbrace {\begin{array}{r c r c l}\left(2\,{\dfrac {k}{m}}-\omega ^{2}\right)X_{1}\!\!&-&\!\!{\dfrac {k}{m}}\,X_{2}\!\!&=&\!\!0\\-{\dfrac {k}{m}}\,X_{1}\!\!&+&\!\!\left({\dfrac {k}{m}}-\omega ^{2}\right)X_{2}\!\!&=&\!\!0\end{array}}\right.\;$» et,
     en posant $\;\omega _{0}={\sqrt {\dfrac {k}{m}}}$, on obtient le système de deux équations linéaires en $\;X_{1}(t)\;$ et $\;X_{2}(t)\;$ homogène suivant «$\;\left\lbrace {\begin{array}{r c r c l}(2\,\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})\,X_{1}(t)\!\!&-&\!\!\omega _{0}^{2}\,X_{2}(t)\!\!&=&\!\!0\\-\omega _{0}^{2}\,X_{1}(t)\!\!&+&\!\!(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})\,X_{2}(t)\!\!&=&\!\!0\end{array}}\right.\;$».

 

Détermination des pulsations propres d'oscillation

     En déduire les solutions $\;\omega _{1}\;$ et $\;\omega _{2}\;$ ${\big (}$pulsations propres des oscillateurs couplés${\big )}\;$ correspondant aux valeurs de $\;\omega \;$ recherchées.

Solution

     On cherche un « couple de solutions non triviales »  au système des deux équations linéaires algébriques homogène «$\;\left\lbrace {\begin{array}{r c r c l}(2\,\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})\,X_{1}(t)\!\!&-&\!\!\omega _{0}^{2}\,X_{2}(t)\!\!&=&\!\!0\\-\omega _{0}^{2}\,X_{1}(t)\!\!&+&\!\!(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})\,X_{2}(t)\!\!&=&\!\!0\end{array}}\right.\;$» ce qui nécessite que les cœfficients de $\;X_{1}(t)\;$ et de $\;X_{2}(t)\;$ soient tels que $\;(2\,\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})\times (\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})=(-\omega _{0}^{2})\times (-\omega _{0}^{2})\;$ selon la condition exposée dans le paragraphe « condition d'existence de solutions non triviales (d'un système d'équations linéaires à deux inconnues » du chap.$3$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » et par suite la pulsation commune doit être nécessairement solution de l'équation en $\;\omega \;$ obtenue en développant et ordonnant

«$\;\omega ^{4}-3\,\omega _{0}^{2}\,\omega ^{2}+\omega _{0}^{4}=0\;$» ;

     le discriminant valant «$\;\Delta =9\,\omega _{0}^{4}-4\,\omega _{0}^{4}=5\,\omega _{0}^{4}>0\;$», il existe deux solutions réelles distinctes en $\;\omega ^{2}\;$ toutes deux positives car le produit des solutions réelles en $\;\omega ^{2}\;$ vaut $\;\omega _{0}^{4}>0\;$ et la somme $\;3\,\omega _{0}^{2}>0\;$, chacune des solutions réelles en $\;\omega ^{2}\;$ donnant une solution réelle positive en $\;\omega$ ; les deux solutions distinctes en $\;\omega ^{2}\;$ valant respectivement «$\;\omega _{1}^{2}=\omega _{0}^{2}\,{\dfrac {3+{\sqrt {5}}}{2}}\;$» et «$\;\omega _{2}^{2}=\omega _{0}^{2}\,{\dfrac {3-{\sqrt {5}}}{2}}\;$», nous en déduisons :

« il existe deux pulsations propres $\;\omega _{1}\;$ et $\;\omega _{2}\;$ distinctes de valeurs
$\;\omega _{1}=\omega _{0}\,{\sqrt {\dfrac {3+{\sqrt {5}}}{2}}}\simeq 1,62\;\omega _{0}\;$ et $\;\omega _{2}=\omega _{0}\,{\sqrt {\dfrac {3-{\sqrt {5}}}{2}}}\simeq 0,62\;\omega _{0}\;$».

 

Détermination des modes propres correspondant aux pulsations propres d'oscillation

     Préciser, pour chaque pulsation propre, le mode propre d'oscillations c'est-à-dire le lien entre $\;X_{1}(t)\;$ et $\;X_{2}(t)$, en particulier on précisera le lien entre leurs amplitudes et leurs phases.

Solution

     Pour chaque valeur de $\;\omega _{1}\;$ et $\;\omega _{2}$, $\;X_{1}(t)\;$ et $\;X_{2}(t)\;$ sont liées par « l'une ou l'autre des équations du système $\;\left\lbrace {\begin{array}{r c r c l}(2\,\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})\,X_{1}(t)\!\!&-&\!\!\omega _{0}^{2}\,X_{2}(t)\!\!&=&\!\!0\\-\omega _{0}^{2}\,X_{1}(t)\!\!&+&\!\!(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})\,X_{2}(t)\!\!&=&\!\!0\end{array}}\right.\;$» , ainsi :

• pour la « pulsation $\;\omega _{1}=\omega _{0}\,{\sqrt {\dfrac {3+{\sqrt {5}}}{2}}}\simeq 1,62\;\omega _{0}\;$», la « 2^ème équation »  se réécrit, compte-tenu de «$\;\omega _{0}^{2}-\omega _{1}^{2}=\omega _{0}^{2}\left(1-{\dfrac {3+{\sqrt {5}}}{2}}\right)=-\omega _{0}^{2}\left({\dfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)\;$», «$\;X_{1}(t)+{\dfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\,X_{2}(t)=0\;$» après simplification par $\;-\omega _{0}^{2}$, soit encore
  «$\;X_{2}(t)=-{\dfrac {2}{1+{\sqrt {5}}}}\,X_{1}(t)\;$» c'est-à-dire que
  $\;M_{1}\;$ et $\;M_{2}\;$ vibrent en opposition de phase avec
  des amplitudes $\;X_{m,\,2}={\dfrac {2}{1+{\sqrt {5}}}}\,X_{m,\,1}\simeq 0,62\;X_{m,\,1}\;$ ;
• pour la « pulsation $\;\omega _{2}=\omega _{0}\,{\sqrt {\dfrac {3-{\sqrt {5}}}{2}}}\simeq 0,62\;\omega _{0}\;$», la « 2^ème équation »  se réécrit, compte-tenu de «$\;\omega _{0}^{2}-\omega _{2}^{2}=\omega _{0}^{2}\left(1-{\dfrac {3-{\sqrt {5}}}{2}}\right)=\omega _{0}^{2}\left({\dfrac {-1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)\;$», «$\;-X_{1}(t)+{\dfrac {-1+{\sqrt {5}}}{2}}\,X_{2}(t)=0\;$» après simplification par $\;\omega _{0}^{2}$, soit encore
  «$\;X_{2}(t)={\dfrac {2}{{\sqrt {5}}-1}}\,X_{1}(t)\;$» c'est-à-dire que
  $\;M_{1}\;$ et $\;M_{2}\;$ vibrent en phase avec
  des amplitudes $\;X_{m,\,2}={\dfrac {2}{{\sqrt {5}}-1}}\,X_{m,\,1}\simeq 1,62\;X_{m,\,1}$.

 

Découplage du système d'équations différentielles couplées de l'oscillateur à deux ressorts et conséquences

     Reprenant le système d'équations différentielles couplées en $\;X_{1}(t)\;$ et $\;X_{2}(t)$, nous nous proposons de « le découpler » de façon à le résoudre d'une part et d'autre part de voir quel est le lien de ce découplage avec la recherche des modes propres d'oscillation de l'oscillateur à deux ressorts.

Découplage par combinaison linéaire (C.L.) des deux équations différentielles couplées

     Le système d'équations différentielles couplées étant mis sous la forme $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}m\,{\ddot {X}}_{1}+a\,X_{1}=b\,X_{2}\;\;{\mathfrak {(1)}}\\m\,{\ddot {X}}_{2}+c\,X_{2}=d\,X_{1}\;\;{\mathfrak {(2)}}\end{array}}\right\rbrace \;$, $\;a,\;b,\;c,\;d\;$ étant des cœfficients précédemment trouvés,
          « former la C.L. $\;\alpha \,{\mathfrak {(1)}}+\beta \,{\mathfrak {(2)}}\;$» dans le but de poser «$\;\alpha \,X_{1}+\beta \,X_{2}\;$ comme nouvelle variable », et
          « mettre cette C.L. sous la forme $\;m\left[\alpha \,{\ddot {X}}_{1}+\beta \,{\ddot {X}}_{2}\right]+k\left[\gamma \,X_{1}+\delta \,X_{2}\right]=0\;$», $\;\gamma \;{\text{et}}\;\delta \;$ dépendant de $\;\alpha \;{\text{et}}\;\beta \;$ ainsi que des cœfficients numériques des équations différentielles $\;{\mathfrak {(1)}}\;{\text{et}}\;{\mathfrak {(2)}}\;$ ;

     le système d'équations différentielles sera découplé si «$\;\gamma \;$ est $\;\propto \;$ à $\;\alpha \;$» et «$\;\delta \;$ $\;\propto \;$ à $\;\beta \;$» avec le même cœfficient de proportionnalité c'est-à-dire si «$\;{\dfrac {\gamma }{\alpha }}={\dfrac {\delta }{\beta }}\;$» ou si «$\;\gamma \times \beta =\alpha \times \delta \;$»,
     le système d'équations différentielles sera découplé en déduire l'équation du 2^ème degré en $\;{\dfrac {\alpha }{\beta }}\;$ pour qu'il en soit ainsi et la résoudre ;

     le système d'équations différentielles sera découplé proposer alors deux nouvelles variables «$\;\xi _{1}(t)=\alpha _{1}\,X_{1}(t)+\beta _{1}\,X_{2}(t)\;$» et «$\;\xi _{2}(t)=\alpha _{2}\,X_{1}(t)+\beta _{2}\,X_{2}(t)\;$» et
     le système d'équations différentielles sera découplé réécrire le système d'équations différentielles découplées en $\;\xi _{1}(t)\;$ et $\;\xi _{2}(t)$.

Solution

     Partant du système d'équations différentielles couplées de l'oscillateur à deux ressorts précédemment trouvé «$\;\left\lbrace {\begin{array}{r c r c l}m\,{\ddot {X}}_{1}\!\!&+&\!\!2\,k\,X_{1}\!\!&=&\!\!k\,X_{2}\;\;{\mathfrak {(1)}}\\m\,{\ddot {X}}_{2}\!\!&+&\!\!k\,X_{2}\!\!&=&\!\!k\,X_{1}\;\;{\mathfrak {(2)}}\end{array}}\right.\;$» $\;{\big \{}$d'où les cœfficients de l'énoncé $\;a=2\,k$, $\;b=c=d=k{\big \}}$,
          on effectue la « C.L. $\;\alpha \,{\mathfrak {(1)}}+\beta \,{\mathfrak {(2)}}\;$» et on obtient «$\;m\left(\alpha \,{\ddot {X}}_{1}+\beta \,{\ddot {X}}_{2}\right)+2\,\alpha \,k\,X_{1}+\beta \,k\,X_{2}=\alpha \,k\,X_{2}+\beta \,k\,X_{1}\;$» soit encore

«$\;m\left(\alpha \,{\ddot {X}}_{1}+\beta \,{\ddot {X}}_{2}\right)+k\left[\left(2\,\alpha -\beta \right)X_{1}+\left(\beta -\alpha \right)X_{2}\right]=0\;$» $\;{\big \{}$d'où les cœfficients de l'énoncé $\;\gamma =2\,\alpha -\beta$, $\;\delta =\beta -\alpha {\big \}}$ ;

          la condition de découplage «$\;\gamma \times \beta =\alpha \times \delta \;$» s'écrit donc «$\;\left(2\,\alpha -\beta \right)\times \beta =\alpha \times \left(\beta -\alpha \right)\;$» ou, en développant «$\;2\,\alpha \,\beta -\beta ^{2}=\alpha \,\beta -\alpha ^{2}\;$» soit encore «$\;\alpha ^{2}+\alpha \,\beta -\beta ^{2}=0\;$» puis
          la condition de découplage «$\;\color {transparent}{\gamma \times \beta =\alpha \times \delta }\;$» s'écrit donc en divisant par $\;\beta ^{2}\;$ pour obtenir l'équation du 2^ème degré recherchée

«$\;\left({\dfrac {\alpha }{\beta }}\right)^{\!\!2}+{\dfrac {\alpha }{\beta }}-1=0\;$» ;

          la condition de découplage «$\;\color {transparent}{\gamma \times \beta =\alpha \times \delta }\;$» le discriminant de cette équation du 2^ème degré valant «$\;\Delta =1+4=5\;$» elle a deux racines réelles distinctes

«$\;{\dfrac {\alpha _{1}}{\beta _{1}}}={\dfrac {-1-{\sqrt {5}}}{2}}\;$» et «$\;{\dfrac {\alpha _{2}}{\beta _{2}}}={\dfrac {-1+{\sqrt {5}}}{2}}\;$» ;

          la condition de découplage «$\;\color {transparent}{\gamma \times \beta =\alpha \times \delta }\;$» on peut alors proposer les valeurs suivantes «$\;\alpha _{1}=-\left(1+{\sqrt {5}}\right)\;{\text{et}}\;\beta _{1}=2\;$ pour l'une des nouvelles variables » ainsi que
          la condition de découplage «$\;\color {transparent}{\gamma \times \beta =\alpha \times \delta }\;$» on peut alors proposer les valeurs suivantes «$\;\alpha _{2}=\left({\sqrt {5}}-1\right)\;{\text{et}}\;\beta _{2}=2\;$ pour l'autre des nouvelles variables »
          la condition de découplage «$\;\color {transparent}{\gamma \times \beta =\alpha \times \delta }\;$» on peut alors proposer les valeurs suivantes donnant pour variables de découplage «$\;\xi _{1}(t)=-\left(1+{\sqrt {5}}\right)X_{1}(t)+2\,X_{2}(t)\;$» et
          la condition de découplage «$\;\color {transparent}{\gamma \times \beta =\alpha \times \delta }\;$» on peut alors proposer les valeurs suivantes donnant pour variables de découplage «$\;\xi _{2}(t)=\left({\sqrt {5}}-1\right)X_{1}(t)+2\,X_{2}(t)\;$» ;

          la condition de découplage «$\;\color {transparent}{\gamma \times \beta =\alpha \times \delta }\;$» on peut alors proposer les valeurs suivantes au couple $\;(\alpha _{1}\,,\,\beta _{1})\;$ correspond «$\;\gamma _{1}=2\,\alpha _{1}-\beta _{1}=-2\left(1+{\sqrt {5}}\right)-2=-2\left(2+{\sqrt {5}}\right)\;$» et
          la condition de découplage «$\;\color {transparent}{\gamma \times \beta =\alpha \times \delta }\;$» on peut alors proposer les valeurs suivantes au couple $\;\color {transparent}{(\alpha _{1}\,,\,\beta _{1})}\;$ correspond «$\;\delta _{1}=\beta _{1}-\alpha _{1}=2+\left(1+{\sqrt {5}}\right)=3+{\sqrt {5}}\;$» d'où
          la condition de découplage «$\;\color {transparent}{\gamma \times \beta =\alpha \times \delta }\;$» on peut alors proposer les valeurs suivantes le même cœfficient de proportionnalité entre $\;\alpha _{1}\;$ et $\;\gamma _{1}\;$ ${\big \{}$ou entre $\;\beta _{1}\;$ et $\;\delta _{1}{\big \}}\;$ s'évalue selon «$\;{\dfrac {\gamma _{1}}{\alpha _{1}}}={\dfrac {-2\left(2+{\sqrt {5}}\right)}{-\left(1+{\sqrt {5}}\right)}}=$ ${\dfrac {2\left(2+{\sqrt {5}}\right)\left(-1+{\sqrt {5}}\right)}{\left(1+{\sqrt {5}}\right)\left(-1+{\sqrt {5}}\right)}}\;$ soit $\;{\dfrac {\gamma _{1}}{\alpha _{1}}}={\dfrac {2\left(-2-{\sqrt {5}}+2\,{\sqrt {5}}+5\right)}{4}}={\dfrac {3+{\sqrt {5}}}{2}}={\dfrac {\delta _{1}}{\beta _{1}}}\;$» dont on déduit
          la condition de découplage «$\;\color {transparent}{\gamma \times \beta =\alpha \times \delta }\;$» on peut alors proposer les valeurs suivantes la réécriture de la « C.L. $\;\alpha _{1}\,{\mathfrak {(1)}}+\beta _{1}\,{\mathfrak {(2)}}\;$» c'est-à-dire «$\;m\left(\alpha _{1}\,{\ddot {X}}_{1}+\beta _{1}\,{\ddot {X}}_{2}\right)+k\left[\gamma _{1}X_{1}+\delta _{1}X_{2}\right]=0\;$» soit, avec la condition de découplage «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\gamma _{1}=\alpha _{1}\,{\dfrac {3+{\sqrt {5}}}{2}}\\\delta _{1}=\beta _{1}\,{\dfrac {3+{\sqrt {5}}}{2}}\end{array}}\right\rbrace \;$», «$\;m\left(\alpha _{1}\,{\ddot {X}}_{1}+\beta _{1}\,{\ddot {X}}_{2}\right)+k\,{\dfrac {3+{\sqrt {5}}}{2}}\left[\alpha _{1}X_{1}+\beta _{1}X_{2}\right]=0\;$» ou finalement «$\;m\,{\ddot {\xi }}_{1}(t)+k\,{\dfrac {3+{\sqrt {5}}}{2}}\xi _{1}(t)=0\;$» ;

          la condition de découplage «$\;\color {transparent}{\gamma \times \beta =\alpha \times \delta }\;$» on peut alors proposer les valeurs suivantes au couple $\;(\alpha _{2}\,,\,\beta _{2})\;$ correspond «$\;\gamma _{2}=2\,\alpha _{2}-\beta _{2}=2\left({\sqrt {5}}-1\right)-2=2\left({\sqrt {5}}-2\right)\;$» et
          la condition de découplage «$\;\color {transparent}{\gamma \times \beta =\alpha \times \delta }\;$» on peut alors proposer les valeurs suivantes au couple $\;\color {transparent}{(\alpha _{2}\,,\,\beta _{2})}\;$ correspond «$\;\delta _{2}=\beta _{2}-\alpha _{2}=2-\left({\sqrt {5}}-1\right)=3-{\sqrt {5}}\;$» d'où
          la condition de découplage «$\;\color {transparent}{\gamma \times \beta =\alpha \times \delta }\;$» on peut alors proposer les valeurs suivantes le même cœfficient de proportionnalité entre $\;\alpha _{2}\;$ et $\;\gamma _{2}\;$ ${\big \{}$ou entre $\;\beta _{2}\;$ et $\;\delta _{2}{\big \}}\;$ s'évalue selon «$\;{\dfrac {\gamma _{2}}{\alpha _{2}}}={\dfrac {2\left({\sqrt {5}}-2\right)}{\left({\sqrt {5}}-1\right)}}=$ ${\dfrac {2\left({\sqrt {5}}-2\right)\left({\sqrt {5}}+1\right)}{\left({\sqrt {5}}-1\right)\left({\sqrt {5}}+1\right)}}\;$ soit $\;{\dfrac {\gamma _{2}}{\alpha _{2}}}={\dfrac {2\left(5-2\,{\sqrt {5}}+{\sqrt {5}}-2\right)}{4}}={\dfrac {3-{\sqrt {5}}}{2}}={\dfrac {\delta _{2}}{\beta _{2}}}\;$» dont on déduit
          la condition de découplage «$\;\color {transparent}{\gamma \times \beta =\alpha \times \delta }\;$» on peut alors proposer les valeurs suivantes la réécriture de la « C.L. $\;\alpha _{2}\,{\mathfrak {(1)}}+\beta _{2}\,{\mathfrak {(2)}}\;$» c'est-à-dire «$\;m\left(\alpha _{2}\,{\ddot {X}}_{1}+\beta _{2}\,{\ddot {X}}_{2}\right)+k\left[\gamma _{2}X_{1}+\delta _{2}X_{2}\right]=0\;$» soit, avec la condition de découplage «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\gamma _{2}=\alpha _{2}\,{\dfrac {3-{\sqrt {5}}}{2}}\\\delta _{2}=\beta _{2}\,{\dfrac {3-{\sqrt {5}}}{2}}\end{array}}\right\rbrace \;$», «$\;m\left(\alpha _{2}\,{\ddot {X}}_{1}+\beta _{2}\,{\ddot {X}}_{2}\right)+k\,{\dfrac {3-{\sqrt {5}}}{2}}\left[\alpha _{2}X_{1}+\beta _{2}X_{2}\right]=0\;$» ou finalement «$\;m\,{\ddot {\xi }}_{2}(t)+k\,{\dfrac {3-{\sqrt {5}}}{2}}\xi _{2}(t)=0\;$» ;

          la condition de découplage «$\;\color {transparent}{\gamma \times \beta =\alpha \times \delta }\;$» le système d'équations différentielles découplées s'écrit donc «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}m\,{\ddot {\xi }}_{1}(t)+k\,{\dfrac {3+{\sqrt {5}}}{2}}\xi _{1}(t)=0\;\;({\mathfrak {1}}')\\m\,{\ddot {\xi }}_{2}(t)+k\,{\dfrac {3-{\sqrt {5}}}{2}}\xi _{2}(t)=0\;\;({\mathfrak {2}}')\end{array}}\right.$».

 

Résolution du système d'équations différentielles découplées

     Résoudre le système d'équations différentielles découplées en $\;\xi _{1}(t)\;$ et $\;\xi _{2}(t)\;$ et préciser les pulsations propres correspondant aux deux oscillateurs découplés ;

     comparer aux pulsations propres de l'oscillateur à deux ressorts.

Solution

     Le système d'équations différentielles étant découplé on peut résoudre chaque équation indépendamment l'une de l'autre ainsi :

• $\;({\mathfrak {1}}')$ : «$\;m\,{\ddot {\xi }}_{1}(t)+k\,{\dfrac {3+{\sqrt {5}}}{2}}\xi _{1}(t)=0\;$» donne, en divisant par $\;m\;$ et en définissant $\;\omega _{0}={\sqrt {\dfrac {k}{m}}}$, la forme canonique «$\;{\ddot {\xi }}_{1}(t)+\omega _{0}^{2}\,{\dfrac {3+{\sqrt {5}}}{2}}\xi _{1}(t)=0\;$» correspondant à un oscillateur harmonique non amorti de pulsation propre «$\;\omega _{1}=\omega _{0}\,{\sqrt {\dfrac {3+{\sqrt {5}}}{2}}}\;$» et de solution «$\;\xi _{1}(t)=A_{1}\,\cos(\omega _{1}\,t+\varphi _{1})\;$», $\;A_{1}\;{\text{et}}\;\varphi _{1}\;$ étant à déterminer à l'aide des C.I. ;
• $\;({\mathfrak {2}}')$ : «$\;m\,{\ddot {\xi }}_{2}(t)+k\,{\dfrac {3-{\sqrt {5}}}{2}}\xi _{2}(t)=0\;$» donne, en divisant par $\;m\;$ et en définissant $\;\omega _{0}={\sqrt {\dfrac {k}{m}}}$, la forme canonique «$\;{\ddot {\xi }}_{2}(t)+\omega _{0}^{2}\,{\dfrac {3-{\sqrt {5}}}{2}}\xi _{2}(t)=0\;$» correspondant à un oscillateur harmonique non amorti de pulsation propre «$\;\omega _{2}=\omega _{0}\,{\sqrt {\dfrac {3-{\sqrt {5}}}{2}}}\;$» et de solution «$\;\xi _{2}(t)=A_{2}\,\cos(\omega _{2}\,t+\varphi _{2})\;$», $\;A_{2}\;{\text{et}}\;\varphi _{2}\;$ étant à déterminer à l'aide des C.I. ;

     on constate que les pulsations propres des deux oscillateurs harmoniques obtenus par découplage sont exactement les pulsations propres de l'oscillateur harmonique à deux ressorts précédemment trouvées $\;{\big (}$ce qui n'est pas une surprise compte-tenu de la définition des modes propres d'oscillation de l'oscillateur harmonique à deux ressorts${\big )}$.

 

Retour aux variables d'origine

     Déduire de la résolution du système d'équations différentielles découplées les expressions des variables $\;X_{1}(t)\;$ et $\;X_{2}(t)\;$ puis retrouver les modes propres d'oscillation de l'oscillateur harmonique à deux ressorts.

Solution

     De «$\;\xi _{1}(t)=-\left(1+{\sqrt {5}}\right)X_{1}(t)+2\,X_{2}(t)\;$» et «$\;\xi _{2}(t)=\left({\sqrt {5}}-1\right)X_{1}(t)+2\,X_{2}(t)\;$» on en déduit :

          en faisant la « différence $\;\xi _{1}(t)-\xi _{2}(t)=-2\,{\sqrt {5}}\,X_{1}(t)\;$» ou «$\;X_{1}(t)={\dfrac {\xi _{2}(t)-\xi _{1}(t)}{2\,{\sqrt {5}}}}\;$» donnant, après report des expressions de $\;\xi _{1}(t)\;{\text{et}}\;\xi _{2}(t)$,

«$\;X_{1}(t)={\dfrac {A_{2}\,\cos(\omega _{2}\,t+\varphi _{2})-A_{1}\,\cos(\omega _{1}\,t+\varphi _{1})}{2\,{\sqrt {5}}}}\;$» et

          en formant la « C.L. $\;\left({\sqrt {5}}-1\right)\xi _{1}(t)+\left({\sqrt {5}}+1\right)\xi _{2}(t)=4\,{\sqrt {5}}\,X_{2}(t)\;$» ou «$\;X_{2}(t)={\dfrac {\left({\sqrt {5}}-1\right)\xi _{1}(t)+\left({\sqrt {5}}+1\right)\xi _{2}(t)}{4\,{\sqrt {5}}}}\;$» donnant, après report des expressions de $\;\xi _{1}(t)\;{\text{et}}\;\xi _{2}(t)$,

«$\;X_{2}(t)={\dfrac {\left({\sqrt {5}}-1\right)A_{1}\,\cos(\omega _{1}\,t+\varphi _{1})+\left({\sqrt {5}}+1\right)A_{2}\,\cos(\omega _{2}\,t+\varphi _{2})}{4\,{\sqrt {5}}}}\;$» ;

     pour avoir un mode propre d'oscillation de l'oscillateur harmonique à deux ressorts, les variables $\;X_{1}(t)\;{\text{et}}\;X_{2}(t)\;$ doivent osciller à la même fréquence ce qui impose :

• soit «$\;A_{2}=0\;$» correspondant à «$\;\xi _{2}(t)=0\;$» ou encore «$\;\left({\sqrt {5}}-1\right)X_{1}(t)+2\,X_{2}(t)=0\;$» soit enfin «$\;X_{2}(t)=-{\dfrac {{\sqrt {5}}-1}{2}}\,X_{1}(t)\;$» c'est-à-dire «$\;M_{1}\;$ et $\;M_{2}\;$ vibrant en opposition de phase avec des amplitudes $\;X_{m,\,2}={\dfrac {{\sqrt {5}}-1}{2}}\,X_{m,\,1}\simeq 0,62\;X_{m,\,1}\;$» avec la pulsation «$\;\omega _{1}=\omega _{0}\,{\sqrt {\dfrac {3+{\sqrt {5}}}{2}}}\;$» ce qui est effectivement le 1^er mode propre trouvé précédemment,
• soit «$\;A_{1}=0\;$» correspondant à «$\;\xi _{1}(t)=0\;$» ou encore «$\;-\left(1+{\sqrt {5}}\right)X_{1}(t)+2\,X_{2}(t)=0\;$» soit enfin «$\;X_{2}(t)={\dfrac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\,X_{1}(t)\;$» c'est-à-dire «$\;M_{1}\;$ et $\;M_{2}\;$ vibrant en phase avec des amplitudes $\;X_{m,\,2}=$ ${\dfrac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\,X_{m,\,1}\simeq 1,62\;X_{m,\,1}\;$» avec la pulsation «$\;\omega _{2}=\omega _{0}\,{\sqrt {\dfrac {3-{\sqrt {5}}}{2}}}\;$» ce qui est effectivement le 2^nd mode propre trouvé précédemment.

 

Pendule élastique vertical non amorti

Schémas du ressort à vide et du ressort vertical à charge

     On considère un ressort idéal, d'axe $\;(z'z)\;$ vertical, de raideur $\;k\;$ et de longueur à vide $\;l_{0}$, dont l'extrémité supérieure $\;O\;$ est fixe et dont l'extrémité inférieure est liée à un objet $\;M\;$ de masse $\;m$, se déplaçant sans frottements le long de l'axe vertical $\;(Oz)$.

     On note $\;{\vec {g}}=g\,{\vec {u}}_{z}\;$ le champ de pesanteur uniforme ${\big (}{\vec {u}}_{z}\;$ étant un vecteur unitaire vertical descendant${\big )}$.

Équation du mouvement et équilibre

     Établir l'équation différentielle vérifiée par la cote $\;z(t)\;$ de l'objet $\;M\;$ de masse $\;m$ ;

          en déduire sa position d'équilibre $\;z_{\text{éq}}$.

     Posant $\;\zeta (t)=z(t)-z_{\text{éq}}$, réécrire la nouvelle équation différentielle vérifiée par $\;\zeta (t)$.

          Commenter le résultat obtenu.

     L'objet étant lâché à $\;t=0\;$ depuis sa position d'équilibre avec une vitesse initiale $\;{\vec {v}}_{0}=v_{0}\,{\vec {u}}_{z}$, déterminer l'expression de $\;\zeta (t)\;$ pour tout $\;t$.

Solution

Schémas du ressort à vide et du ressort vertical à charge avec forces appliquées

     Bilan des forces appliquées à $M$ : son poids $\;m\,{\vec {g}}=m\,g\,{\vec {u}}_{z}\;$ et la tension du ressort $\;{\vec {T}}=-k\,(z-l_{0})\,{\vec {u}}_{z}$ ;

     application de la r.f.d.n. à $\;M\;$ projetée sur $\;{\vec {u}}_{z}$ : «$\;m\,g-k\,(z-l_{0})=m\,{\ddot {z}}\;$» soit encore

«$\;m\,{\ddot {z}}+k\,z=m\,g+k\,l_{0}\;$».

     Condition nécessaire $\;{\big (}$C.N.${\big )}\;$ d'équilibre de $\;M$ : «$\;m\,{\vec {g}}+{\vec {T}}_{\text{éq}}={\vec {0}}\;$» soit, en projetant sur $\;{\vec {u}}_{z}$, «$\;m\,g-k\,(z_{\text{éq}}-l_{0})=0\;$», soit

«$\;z_{\text{éq}}=l_{0}+{\dfrac {m\,g}{k}}\;$».

     On en déduit «$\;z(t)=z_{\text{éq}}+\zeta (t)\;$» ainsi que «$\;{\ddot {z}}(t)={\ddot {\zeta }}(t)\;$» d'où, en reportant dans l'équation différentielle en $\;z(t)\;$ : «$\;m\,{\ddot {\zeta }}(t)+k\,z_{\text{éq}}+k\,\zeta (t)=m\,g+k\,l_{0}\;$» ou, en remplaçant $\;z_{\text{éq}}\;$ par son expression précédemment trouvée «$\;m\,{\ddot {\zeta }}(t)+k\left(l_{0}+{\dfrac {m\,g}{k}}\right)+k\,\zeta (t)=m\,g+k\,l_{0}\;$» soit, finalement

«$\;m\,{\ddot {\zeta }}(t)+k\,\zeta (t)=0\;$».

     Ayant choisi de repérer $\;M\;$ relativement à sa position d'équilibre, on doit avoir, à l'équilibre, «$\;\zeta (t)=\zeta _{\text{éq}}=0\;$» avec «$\;{\ddot {\zeta }}(t)=0\;$» et par suite il est tout à fait naturel que le 2^nd membre de l'équation différentielle en $\;\zeta (t)\;$ soit nul.

     La forme canonique de l'équation différentielle s'écrit, après avoir divisé les deux membres par $\;m$, «$\;{\ddot {\zeta }}(t)+\omega _{0}^{2}\,\zeta (t)=0\;$» avec «$\;\omega _{0}={\sqrt {\dfrac {k}{m}}}\;$ pulsation propre de l'oscillateur harmonique » ;
     la solution générale de l'équation est alors «$\;\zeta (t)=A\,\cos(\omega _{0}\,t)+B\,\sin(\omega _{0}\,t)\;$» et, on détermine $\;A\;$ et $\;B\;$ par C.I. soit :

• «$\;\zeta (0)=0\;$» $\Rightarrow$ $\;A=0\;$ $\Rightarrow$ «$\;\zeta (t)=B\,\sin(\omega _{0}\,t)\;$» dont on tire $\;{\dot {\zeta }}(t)=B\,\omega _{0}\,\cos(\omega _{0}\,t)\;$ et
•  «$\;{\dot {\zeta }}(0)=v_{0}\;$» $\Rightarrow$ $\;v_{0}=B\,\omega _{0}\;$ $\Rightarrow$ $\;B={\dfrac {v_{0}}{\omega _{0}}}\;$ d'où finalement
  «$\;\zeta (t)={\dfrac {v_{0}}{\omega _{0}}}\,\sin(\omega _{0}\,t)\;$».

 

Énergie

     Le mouvement de l'objet $\;M\;$ étant vertical, son énergie potentielle comporte, non seulement un terme d'« énergie potentielle élastique », mais aussi
     Le mouvement de l'objet $\;M\;$ étant vertical, son énergie potentielle comporte, non seulement un terme d'énergie potentielle de pesanteur «$\;U_{\text{pes}}(M)=-m\,g\,z+cste_{2}\;$».

     Montrer que l'énergie potentielle totale peut être mise sous la forme «$\;U={\dfrac {1}{2}}\,k\,\zeta ^{2}+cste\;$» ;

          choisissant comme référence de l'énergie potentielle totale, la position d'équilibre de l'objet $\;M$, que vaut, dans ce cas, $\;cste$ ?

     En utilisant l'expression de $\;\zeta (t)\;$ trouvée précédemment, en déduire l'expression de l'énergie mécanique $\;E_{m}\;$ de l'objet $\;M\;$ en fonction de $\;m$, $\;v_{0}\;$ et $\;\omega _{0}$ ;

          commenter le résultat obtenu.

          On démontre, en mécanique, qu'en absence de frottements et d'apport d'énergie de l'extérieur, l'énergie mécanique d'un objet est conservée ; utiliser cette propriété pour établir une intégrale 1^ère du mouvement de l'objet $\;M\;$ en fonction de $\;\zeta (t)$, $\;{\dot {\zeta }}(t)$, $\;m$, $\;k$ et $\;v_{0}$ ;

          en déduire l'équation différentielle du 2^ème ordre vérifiée par $\;\zeta (t)\;$.

Solution

     L'énergie potentielle élastique de $\;M\;$ étant égale à «$\;U_{\text{élast}}(M)={\dfrac {1}{2}}\,k\,(z-l_{0})^{2}+cste_{1}\;$» et son énergie potentielle de pesanteur à «$\;U_{\text{pes}}(M)=-m\,g\,z+cste_{2}\;$», nous en déduisons l'expression de l'énergie potentielle totale de $\;M\;$ selon «$\;U(M)=U_{\text{élast}}(M)+U_{\text{pes}}(M)={\dfrac {1}{2}}\,k\,(z-l_{0})^{2}-m\,g\,z+cste'\;$» ou, en introduisant «$\;\zeta (t)=z(t)-z_{\text{éq}}=z(t)-l_{0}-{\dfrac {m\,g}{k}}\;$» $\Rightarrow$ «$\;z(t)=\zeta (t)+l_{0}+{\dfrac {m\,g}{k}}\;$», «$\;U(M)=$ ${\dfrac {1}{2}}\,k\left(\zeta +{\dfrac {m\,g}{k}}\right)^{2}-m\,g\left(\zeta +l_{0}+{\dfrac {m\,g}{k}}\right)+cste'\;$» soit en développant, «$\;U(M)={\dfrac {1}{2}}\,k\,\zeta ^{2}+k\,\zeta \,{\dfrac {m\,g}{k}}+{\dfrac {1}{2}}\,k\left({\dfrac {m\,g}{k}}\right)^{2}-m\,g\zeta -m\,g\left(l_{0}+{\dfrac {m\,g}{k}}\right)+cste'\;$» et, en regroupant les termes ne dépendant pas de $\;\zeta \;$ dans un terme $\;cste$, «$\;U(M)={\dfrac {1}{2}}\,k\,\zeta ^{2}+m\,g\,\zeta -m\,g\zeta +cste\;$» ce qui donne finalement

«$\;U(M)={\dfrac {1}{2}}\,k\,\zeta ^{2}+cste\;$» ;

          choisissant comme référence de l'énergie potentielle totale, la position d'équilibre de l'objet $\;M\;$, on déduit de «$\;U(\zeta _{\text{éq}})=0\;$ avec $\;\zeta _{\text{éq}}=0\;$»,

«$\;cste=0\;$» et par suite «$\;U(M)={\dfrac {1}{2}}\,k\,\zeta ^{2}\;$».

     L'énergie mécanique de $\;M\;$ étant définie selon «$\;E_{m}(t)=K+U={\dfrac {1}{2}}\,m\,{\dot {\zeta }}^{2}+{\dfrac {1}{2}}\,k\,\zeta ^{2}\;$» d'où, avec «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\zeta (t)={\dfrac {v_{0}}{\omega _{0}}}\,\sin(\omega _{0}t)\\{\dot {\zeta }}(t)=v_{0}\,\cos(\omega _{0}t)\end{array}}\right\rbrace \;$», «$\;E_{m}(t)={\dfrac {1}{2}}\,m\,v_{0}^{2}\,\cos ^{2}(\omega _{0}t)+{\dfrac {1}{2}}\,k\,{\dfrac {v_{0}^{2}}{\omega _{0}^{2}}}\,\sin ^{2}(\omega _{0}t)\;$», soit, « en éliminant $\;k\;$ par $\;\omega _{0}^{2}={\dfrac {k}{m}}\;$ $\Rightarrow$ $\;k=m\,\omega _{0}^{2}\;$», on en déduit, grâce à $\;\cos ^{2}(\omega _{0}t)+\sin ^{2}(\omega _{0}t)=1$,

«$\;E_{m}(t)={\dfrac {1}{2}}\,m\,v_{0}^{2}\;$» ;

          en absence de frottements, l'énergie mécanique reste constante $\;{\big (}$donc indépendante du temps $\;t{\big )}\;$ sa valeur étant celle acquise à l'instant $\;0\;$ c'est-à-dire $\;E_{m}(0)={\dfrac {1}{2}}\,m\,v_{0}^{2}+0\;$.

     par absence de frottements, l'énergie mécanique est conservée c'est-à-dire «$\;E_{m}(t)=E_{m}(0)\;$» soit «$\;{\dfrac {1}{2}}\,m\,{\dot {\zeta }}^{2}(t)+{\dfrac {1}{2}}\,k\,\zeta ^{2}(t)={\dfrac {1}{2}}\,m\,v_{0}^{2}\;$» ;

          pour en déduire l'équation différentielle du 2^ème ordre vérifiée par $\;\zeta (t)$, on dérive l'intégrale 1^ère du mouvement de $\;M\;$ relativement à $\;t\;$ soit : «$\;{\dfrac {1}{2}}\,m\,2\,{\dot {\zeta }}(t)\,{\ddot {\zeta }}(t)+{\dfrac {1}{2}}\,k\,2\,\zeta (t)\,{\dot {\zeta }}(t)=0\;$» où $\;{\dot {\zeta }}(t)\neq 0\;$, soit

«$\;m\,{\ddot {\zeta }}(t)+k\,\zeta (t)=0\;$» ;

     on vérifie effectivement que l'on trouve la même équation différentielle que celle trouvée dans la solution de la question « équation du mouvement et équilibre » plus haut dans cet exercice.