Signaux physiques (PCSI)/Exercices/Oscillateur harmonique

Oscillateur harmonique
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Exercices no1
Leçon : Signaux physiques (PCSI)
Chapitre du cours : Oscillateur harmonique

Exercices de niveau 14.

Exo préc. :Sommaire
Exo suiv. :Propagation d'un signal : Exemples de signaux, spectre
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Signaux physiques (PCSI)/Exercices/Oscillateur harmonique
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Ajout d'une surcharge à un pendule élastique vertical non amorti modifier

     Soit un disque de masse   suspendu à un ressort idéal vertical de raideur   et de longueur à vide  [1].

     À l'équilibre on pose sur le disque un « tore » [2] de même masse.

     Déterminer l'allongement maximal du ressort ainsi que la période d'oscillation.

Ressorts montés en parallèle, ressorts montés en série modifier

     On dispose d'un solide de masse   et de deux ressorts idéaux de raideur   et   ; on négligera tout frottement.

Ressorts d'axes verticaux montés en parallèle modifier

     Les deux extrémités supérieures des ressorts sont fixes et les deux extrémités inférieures sont liées au solide  le solide ayant un mouvement de translation vertical, les ressorts ont donc constamment même longueur .

     Montrer que le système constitue un oscillateur harmonique et déterminer la période des oscillations ;

     vérifier que l'ensemble des deux ressorts montés en parallèle est équivalent à un ressort unique dont on précisera la raideur   en fonction de   et  .

Ressorts d'axe commun vertical montés en série modifier

     L'extrémité supérieure du ressort supérieur   est fixe et son extrémité inférieure est reliée à l'extrémité supérieure de ressort inférieur  , l'extrémité inférieure de ce dernier étant reliée au solide  dont on n'envisage que les mouvements de translation verticalemath>\big)</math>.

     Montrer que le système constitue un oscillateur harmonique et déterminer la période des oscillations ;

     vérifier que l'ensemble des deux ressorts montés en série est équivalent à un ressort unique dont on précisera la raideur   en fonction de   et  .

Modes propres d'un oscillateur à deux ressorts modifier

 
Disposition des deux oscillateurs harmoniques couplés

     Considérons deux mobiles   et  , de même masse  , supposés ponctuels, et astreints à glisser sur un plan horizontal dans la direction  .
     Considérons Le mobile   est accroché à un point fixe  , par l'intermédiaire d'un ressort de raideur   et de longueur à vide  .
     Considérons Le mobile   est accroché au mobile   par l'intermédiaire d'un ressort identique au précédent.
     Considérons Tous les frottements sont négligés  voir schéma ci-contre .

Mise en équations de l'oscillateur à deux ressorts modifier

     Établir les équations différentielles du mouvement vérifiées par les positions   et   des mobiles   et   par rapport à    on notera que ces équations différentielles sont couplées, c'est-à-dire que l'équation différentielle en   contient des termes en   et vice versa .

Détermination des modes propres d'oscillation modifier

     On pose « » et « ».

Réécriture du système d'équations différentielles couplées dans ce nouveau repérage et interprétation physique modifier

     Justifier le choix des grandeurs   et   en donnant leur interprétation physique.

Mise en équation des modes propres d'oscillation modifier

     On étudie les mouvements oscillatoires harmoniques possibles des deux mobiles à la même pulsation   en l'absence de frottements  les modes d'oscillation à la même pulsation étant appelés « modes propres » .

     En choisissant « », montrer qu'on obtient dans ce cas le système « » où   est une grandeur qu'on explicitera en fonction de   et  .

Détermination des pulsations propres d'oscillation modifier

     En déduire les solutions   et    pulsations propres des oscillateurs couplés  correspondant aux valeurs de   recherchées.

Détermination des modes propres correspondant aux pulsations propres d'oscillation modifier

     Préciser, pour chaque pulsation propre, le mode propre d'oscillations c'est-à-dire le lien entre   et  , en particulier on précisera le lien entre leurs amplitudes et leurs phases.

Découplage du système d'équations différentielles couplées de l'oscillateur à deux ressorts et conséquences modifier

     Reprenant le système d'équations différentielles couplées en   et  , nous nous proposons de « le découpler »[26] de façon à le résoudre d'une part et d'autre part de voir quel est le lien de ce découplage avec la recherche des modes propres d'oscillation de l'oscillateur à deux ressorts.

Découplage par combinaison linéaire (C.L.) des deux équations différentielles couplées modifier

     Le système d'équations différentielles couplées étant mis sous la forme  [27],   étant des cœfficients précédemment trouvés,
          « former la C.L[28].  » dans le but de poser «  comme nouvelle variable », et
          « mettre cette C.L[28]. sous la forme  »,   dépendant de   ainsi que des cœfficients numériques des équations différentielles  [29] ;

     le système d'équations différentielles sera découplé si «  est   à  » et «    à  » avec le même cœfficient de proportionnalité c'est-à-dire si « » ou si « »,
     le système d'équations différentielles sera découplé en déduire l'équation du 2ème degré en   pour qu'il en soit ainsi et la résoudre[30] ;

     le système d'équations différentielles sera découplé proposer alors deux nouvelles variables « » et « »[31] et
     le système d'équations différentielles sera découplé réécrire le système d'équations différentielles découplées en   et  .

Résolution du système d'équations différentielles découplées modifier

     Résoudre le système d'équations différentielles découplées en   et   et préciser les pulsations propres correspondant aux deux oscillateurs découplés ;

     comparer aux pulsations propres de l'oscillateur à deux ressorts.

Retour aux variables d'origine modifier

     Déduire de la résolution du système d'équations différentielles découplées les expressions des variables   et   puis retrouver les modes propres d'oscillation de l'oscillateur harmonique à deux ressorts.

Pendule élastique vertical non amorti modifier

 
Schémas du ressort à vide et du ressort vertical à charge

     On considère un ressort idéal, d'axe   vertical, de raideur   et de longueur à vide  , dont l'extrémité supérieure   est fixe et dont l'extrémité inférieure est liée à un objet   de masse  , se déplaçant sans frottements le long de l'axe vertical  .

     On note   le champ de pesanteur uniforme   étant un vecteur unitaire vertical descendant .

Équation du mouvement et équilibre modifier

     Établir l'équation différentielle vérifiée par la cote  [36] de l'objet   de masse   ;

          en déduire sa position d'équilibre  .

     Posant  , réécrire la nouvelle équation différentielle vérifiée par  .

          Commenter le résultat obtenu.

     L'objet étant lâché à   depuis sa position d'équilibre avec une vitesse initiale  , déterminer l'expression de   pour tout  .

Énergie modifier

     Le mouvement de l'objet   étant vertical, son énergie potentielle comporte, non seulement un terme d'« énergie potentielle élastique »[37], mais aussi
     Le mouvement de l'objet   étant vertical, son énergie potentielle comporte, non seulement un terme d'énergie potentielle de pesanteur « »[38].

     Montrer que l'énergie potentielle totale peut être mise sous la forme « » ;

          choisissant comme référence de l'énergie potentielle totale, la position d'équilibre de l'objet  , que vaut, dans ce cas,   ?

     En utilisant l'expression de   trouvée précédemment, en déduire l'expression de l'énergie mécanique   de l'objet   en fonction de  ,   et   ;

          commenter le résultat obtenu.

          On démontre, en mécanique, qu'en absence de frottements et d'apport d'énergie de l'extérieur, l'énergie mécanique d'un objet est conservée[39] ; utiliser cette propriété pour établir une intégrale 1ère du mouvement de l'objet   en fonction de  ,  ,  ,   et   ;

          en déduire l'équation différentielle du 2ème ordre vérifiée par  [40].

Notes et références modifier

  1. Un oscillateur formé d'un ressort à une extrémité duquel est lié un objet est appelé « pendule élastique ».
  2. 2,00 2,01 2,02 2,03 2,04 2,05 2,06 2,07 2,08 2,09 2,10 2,11 2,12 2,13 2,14 et 2,15 Un tore est un solide de révolution d'axe   dont la méridienne   c'est-à-dire la surface qu'il faut faire tourner autour de   pour obtenir le solide de révolution   est un disque coplanaire à l'axe et telle que ce dernier ne coupe pas le disque ; c'est donc « un anneau à section circulaire ».
  3. On rappelle qu'un allongement est défini par rapport à la longueur à vide.
  4. 4,00 4,01 4,02 4,03 4,04 4,05 4,06 4,07 4,08 4,09 et 4,10 Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.
  5. L'ensemble ayant une masse de  .
  6. C.-à-d. sous forme constante.
  7. 7,0 7,1 7,2 7,3 7,4 7,5 et 7,6 Condition(s) initiale(s).
  8. Cette position est encore la position d'équilibre du disque sans le tore.
  9. Pour que le solide se déplace verticalement alors que les tensions des deux ressorts à chaque instant   sont a priori différentes, il est nécessaire qu'il soit guidé verticalement ; il y a donc présence de composantes de réaction de ce guide sur le solide mais nous supposerons que ces composantes sont sans action sur son mouvement, ce qui nécessite qu'elles soient horizontales à tout instant donc sans frottement ;
         toutefois si les tensions des ressorts à chaque instant   ne sont pas égales, il semble vraisemblable qu'il y ait un léger basculement induisant nécessairement un frottement sur le guide et donc il semble difficile de supposer l'absence de frottement …
         Même si le résultat obtenu dans le cas de deux ressorts différents est théoriquement correct en absence de frottement, il est pratiquement applicable uniquement dans le cas de deux ressorts identiques.
  10. Obtenue en écrivant que la somme des forces est nulle ou encore, l'origine de l'axe   ayant été choisie en la position d'équilibre, en écrivant que l'on doit avoir simultanément pour tout  ,   et  .
  11. Par rapport à l'allongement à l'équilibre du ressort   quand   descend de  , l'allongement augmente et quand   descend de  , l'allongement diminue.
  12. Obtenue écrivant que la somme des forces à l'équilibre est nulle ou en imposant  ,   et   dans l'équation différentielle du mouvement de  .
  13. L'équation différentielle en   dépendant de  , elle nécessite, avant de chercher à la résoudre, de savoir comment varie  , c'est-à-dire de déterminer l'équation différentielle en  .
  14. Le point   ayant une masse nulle, son accélération n'intervient pas dans la r.f.d.n..
  15. Obtenue en écrivant que la somme des forces à l'équilibre est nulle ou en imposant   et   dans l'équation du mouvement de  .
  16. Si le point   avait une masse non nulle, son accélération interviendrait dans l'application de la r.f.d.n. et le lien entre   et   que l'on déduirait serait une équation différentielle en   dépendant de   ; on obtiendrait alors deux équations différentielles l'une en   dépendant de   et l'autre en   dépendant de  , l'ensemble des deux équations différentielles constituerait alors un système d'équations différentielles couplées, le qualificatif « couplé » signifiant que les équations différentielles ne peuvent être résolus que simultanément.
  17. Les forces verticales  poids et réactions du plan  se compensent et, bien qu'existantes, elles ne sont pas indiquées sur le schéma, mais bien entendu elles ne doivent pas être oubliées.
  18. Les équations différentielles sont effectivement couplées, la résolution de l'équation différentielle en   nécessite de connaître   et la résolution de l'équation différentielle en   nécessite de connaître   ; on ne peut donc pas a priori résoudre l'une indépendamment de l'autre ;
       ici nous n'envisagerons pas la résolution dans le cas général  méthodes de résolution évoquées dans le paragraphe « exemple de couplage de deux équations différentielles linéaires à cœfficients réels constants de deux fonctions indépendantes d'une même variable et découplage correspondant » du chap.  de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »  mais
       ici nous chercherons un couple de solutions particulières sinusoïdales de même fréquence.
  19. Correspondant aux ressorts   et   ayant leur longueur à vide.
  20. La solution triviale   correspondant à l'absence de mouvement de   et   est évidemment à rejeter.
  21. Équation bicarrée en   c'est-à-dire équation du 2ème degré en  .
  22. On rappelle que le produit des zéros du polynôme   vaut   et que la somme vaut  .
  23. La condition nécessaire  C.N.  pour l'existence d'une solution non triviale est que les équations soient liées  chacune d'elles étant multiple de l'autre .
  24. 24,0 et 24,1 Mais on pourrait prendre aussi bien la 1ère.
  25. En opposition de phase en effet     d'où   et  .
  26. C.-à-d. faire un changement de variables pour obtenir deux équations différentielles en ces nouvelles variables que l'on peut résoudre indépendamment l'une de l'autre.
  27. La méthode de découplage du système des deux équations différentielles linéaires à cœfficients réels constants utilisée  et rappelée ci-dessous  est exposée plus en détail dans le paragraphe « mise en pratique du découplage par combinaison linéaire » du chap.  de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  28. 28,0 28,1 28,2 28,3 28,4 et 28,5 Combinaison Linéaire.
  29. Cœfficients uniquement numériques car l'oscillateur à deux ressorts étant constitué de deux ressorts identiques et deux solides de même masse, il a été possible de mettre   en facteur.
  30. Les solutions seront appelées   et  , la 1ère étant la plus petite.
  31. Ces variables étant définies à une constante multiplicative arbitraire près, on choisira cette constante de façon à ne pas avoir de cœfficients fractionnaires.
  32. De façon à rendre le dénominateur de la fraction rationnel on multiplie haut et bas la fraction par le conjugué du dénominateur irrationnel à savoir   car  .
  33. De façon à rendre le dénominateur de la fraction rationnel on multiplie haut et bas la fraction par le conjugué du dénominateur irrationnel à savoir   car  .
  34. Ce qui est identique à   car  .
  35. Ce qui est identique à   car  .
  36. C.-à-d. la position verticale (on rappelle que l'axe   est orienté dans le sens descendant), voir figure ci-dessus.
  37. L'énergie potentielle élastique a été donnée en cours avec choix de sa référence « ressort à vide » ; si on choisit une autre référence, l'expression reste correcte à une   additive près.
  38. 38,0 et 38,1 D'une part la   dépend du choix de la référence de l'énergie potentielle de pesanteur et d'autre part, le signe « » résulte du fait l'axe   est orienté dans le sens descendant, ainsi, pour que l'énergie potentielle soit supérieure à    énergie potentielle de pesanteur au niveau de   le signe « » implique que   doit être   en accord avec   d'altitude supérieure à celle de  .
  39. 39,0 et 39,1 Nous démontrerons dans le paragraphe « 1ère justification du signe “ - ” dans la définition de l'énergie potentielle du mouvement d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) par réécriture du théorème de l'énergie cinétique » du chap.  de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » à partir de l'application de la r.f.d.n.
                        Nous démontrerons le «