Signaux physiques (PCSI)/Exercices/Propagation d'un signal : Exemples de signaux, spectre

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Signaux physiques (PCSI)/Exercices/Propagation d'un signal : Exemples de signaux, spectre
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Détermination du spectre d'un produit de deux fonctions sinusoïdales modifier

     On considère le signal formé du produit de deux fonctions sinusoïdales[1] « » où « » et « » sont des constantes réelles et

     on se propose d'en faire une analyse spectrale dans le cas où les fréquences peuvent être incommensurables[2] puis dans le cas où elles sont égales.

Analyse spectrale du produit de deux fonctions sinusoïdales de fréquences, a priori, incommensurables modifier

     Vérifier que le produit de fonctions sinusoïdales[1] « » avec   et   incommensurables[2] n'est pas périodique et par suite
             Vérifier que le produit de fonctions sinusoïdales « » avec   et   incommensurables n'est pas éligible à l'application du théorème de Fourier[3] ;

     malgré cela, comme « » peut être linéarisé en une somme de deux fonctions sinusoïdales[1], il est possible d'en faire une analyse spectrale[4] ;

     malgré cela déterminer les harmoniques contenus dans « » et

     malgré cela représenter son spectre d'amplitude ainsi que

     malgré cela représenter son spectre de phase.

Analyse spectrale du produit de deux fonctions sinusoïdales de même fréquence modifier

     Reprendre les questions précédentes dans le cas où « ».

Détermination de la représentation fréquentielle d'un signal périodique construit à partir de deux signaux périodiques dont les représentations fréquentielles sont connues modifier

 
Diagramme temporel d'un signal  -périodique,   linéairement de   à   sur  , avec un saut de   à  ,   linéairement de   à   puis   linéairement de   à   sur  , avec un saut de   à   et   linéairement de   à   sur  

     Connaissant la représentation fréquentielle[7] d'un signal créneau symétrique[8] pair[9] d'amplitude   et de fréquence   : « »[10],[11] et

Connaissant la représentation fréquentielle celle d'un signal triangulaire symétrique[8] pair[12] d'amplitude   et de fréquence   : « »[10],[13],

     on se propose d'en déduire la représentation fréquentielle[7] du signal   périodique, de fréquence  , dont le diagramme temporel est donné ci-contre et pour cela

  • trouver le lien entre ce signal   et les signaux créneau symétrique[8] pair[9] et triangulaire symétrique[8] pair[12]  pour justifier ce lien, on représentera sur un même diagramme temporel les trois signaux et on conclura  puis,
  • en déduire le lien entre la représentation fréquentielle[7] du signal   et celles des signaux créneau symétrique[8] pair[9] et triangulaire symétrique[8] pair[12] ensuite,
  • expliciter la représentation fréquentielle[7] du signal  ,
  • préciser le spectre d'amplitude de ce signal    on pourra se contenter d'évaluer les hauteurs des 1ères raies  et
  • estimer le nombre minimal de 1ers harmoniques nécessaire pour reconstruire le signal   en comparant les vitesses de décroissance de hauteur des raies du spectre d'amplitude de ce signal à celles des raies des spectres d'amplitude des signaux créneau et triangulaire composants .

Notes et références modifier

  1. 1,0 1,1 et 1,2 En fait on devrait plutôt dire « produit de deux fonctions cosinusoïdales » mais l'usage veut qu'on parle de fonction sinusoïdale même quand elle est écrite sous forme d'un cosinus.
  2. 2,0 2,1 et 2,2 C.-à-d. dont le rapport n'est pas entier ou rationnel.
  3. 3,0 3,1 et 3,2 Voir le paragraphe « énoncé du théorème de Fourier » du chap.  de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  4. Le signal n'étant pas périodique, la méthode systématique de détermination des harmoniques nécessiterait d'introduire les notions de transformée de Fourier, ce qui est hors programme de physique de PCSI  ceux qui souhaiteraient néanmoins quelques notions les trouveront dans le paragraphe « définition de la transformée de Fourier d'une fonction réelle d'une variable réelle intégrable » du chap.  de la leçon « Outils mathématiques pour la physique »  ; nous n'avons donc pas de méthode générale à utiliser pour faire une analyse spectrale et ne pouvons le faire que dans des cas très particuliers comme celui proposé ici.
       Joseph Fourier (1768 – 1830) mathématicien et physicien français connu pour ses travaux sur la décomposition de fonctions périodiques en séries trigonométriques convergentes et leur application au problème de la propagation de la chaleur  
  5. C.-à-d. dont le rapport est entier ou rationnel.
  6. 6,0 et 6,1 À représenter soi-même.
  7. 7,0 7,1 7,2 7,3 7,4 7,5 7,6 7,7 et 7,8 Voir le paragraphe « analyse spectrale d'un signal périodique (représentation fréquentielle) » du chap.  de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
  8. 8,00 8,01 8,02 8,03 8,04 8,05 8,06 8,07 8,08 et 8,09 Un signal alterné  c'est-à-dire périodique avec une alternance positive et une négative  est dit « symétrique » si la durée de l'alternance positive est égale à celle de l'alternance négative.
  9. 9,0 9,1 9,2 9,3 et 9,4 Dans la mesure où le 1er palier haut du signal créneau symétrique est un segment ayant l'axe des ordonnées comme axe de symétrie, le signal créneau symétrique est pair car sa valeur sur   est égale à celle sur   et les paliers bas situés immédiatement de part et d'autre de ce 1er palier haut  c'est-à-dire sur   et   sont également symétriques par rapport à l'axe des ordonnées.
  10. 10,0 10,1 10,2 10,3 et 10,4 L'« harmonique de rang   du 2ème développement en série de Fourier d'un signal périodique  voir le paragraphe « 2ème développement en série de Fourier » du chap.  de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »  est usuellement noté, dans la représentation fréquentielle du signal,  », ici on utilise l'« amplitude complexe de l'harmonique considéré    »  voir les paragraphes « grandeur instantanée complexe » et « amplitude complexe » du chap.  de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ,
       la « grandeur instantanée complexe de l'harmonique de rang   s'écrivant  » avec, « pour expression physique,  ».
  11. 11,0 et 11,1 Revoir le paragraphe « exemple d'un signal créneau symétrique (preuve des valeurs d'amplitudes - en complément) » du chap.  de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », les valeurs fournies dans le paragraphe précité étant à rectifier car le créneau y était impair alors qu'ici il y est pair   tous les harmoniques impairs sont nuls   et les harmoniques pairs se calculent selon      un créneau symétrique pair correspondant à un palier haut de valeur   sur   et un palier bas de valeur   sur   soit   ou, après simplfication évidente   puis, en utilisant     «  valant   pour   pair et   pour    c'est-à-dire impair », «   » et, comme     « » ;
       pour conclure il convient de déterminer l'amplitude complexe des harmoniques   selon la méthode indiquée dans le paragraphe « passage du 1er au 2nd développement en série de Fourier » du chap.  de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » laquelle appliquée ici donne, pour  ,   d'où « » et par suite « ».
  12. 12,0 12,1 12,2 12,3 et 12,4 Le signal triangulaire symétrique est pair si la pente   sur   est égale à l'opposé de la pente   sur  , les segments   et   étant symétriques par rapport à l'axe des ordonnées.
  13. 13,0 et 13,1 Revoir le paragraphe « exemple d'un signal triangulaire symétrique (preuve des valeurs d'amplitudes - en complément) » du chap.  de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », les valeurs fournies dans le paragraphe précité étant à rectifier car le triangulaire y était impair alors qu'ici il y est pair   tous les harmoniques impairs sont nuls   et les harmoniques pairs se calculent selon      avant de poursuivre déterminons l'expression algébrique du signal « »  en effet la valeur absolue de la pente est   d'où   ou, en faisant le « changement de variable   dans la 2ème intégrale »  on obtient   et  , les bornes inférieure et supérieure devenant   et     la 2ème intégrale est l'opposé de la 1ère multipliée par   soit «   » ;
       cette dernière intégrale s'intègre « par parties »  cette méthode est exposée succinctement dans le paragraphe « développement de quelques méthodes de calcul (intégrer un produit de fonctions par parties) » du chap.  de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » : si on doit « calculer   en connaissant une primitive de   notée  », on peut écrire «   », en effet           et finalement, par intégration, la relation énoncée précédemment , en posant       et par conséquent       soit, avec    en effet    , d'où « » ;
       par report on en déduit « » ; si   est pair, le cœfficient   et par suite   ;
       par report on en déduit « » ; si   est impair, le cœfficient   et par suite   soit finalement
       par report on en déduit «  pour  » et, comme   nous en déduisons « ».
       pour conclure il convient de déterminer l'amplitude complexe des harmoniques   selon la méthode indiquée dans le paragraphe « passage du 1er au 2nd développement en série de Fourier » du chap.  de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » laquelle appliquée ici donne, pour  ,   d'où « » et par suite « ».
  14. Voir le paragraphe « discontinuité de 1ère espèce d'une fonction scalaire d'une variable en une valeur de cette dernière » du chap.  de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » introduisant cette discontinuité à un instant quelconque s'il y a un saut fini de la fonction à cet instant.
  15. 15,0 15,1 15,2 15,3 15,4 15,5 et 15,6 Voir le paragraphe « 2ème développement en série de Fourier » du chap.  de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
       Joseph Fourier (1768 – 1830) mathématicien et physicien français connu pour ses travaux sur la décomposition de fonctions périodiques en séries trigonométriques convergentes et leur application au problème de la propagation de la chaleur  
  16. 16,0 et 16,1 On retire   car ces valeurs ont déjà été traitées.
  17. Voir le paragraphe « nombre minimal de 1ers harmoniques nécessaire pour reconstruire un signal créneau symétrique » du chap.  de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
  18. Qui est aussi le nombre minimal de 1ers harmoniques nécessaire pour reconstruire un signal triangulaire, voir le paragraphe « nombre minimal de 1ers harmoniques nécessaire pour reconstruire un signal triangulaire symétrique » du chap.  de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
  19. Qui est aussi le nombre minimal de 1ers harmoniques nécessaire pour reconstruire un signal créneau, voir la note « 17 » plus haut dans la solution de cet exercice.