Signaux physiques (PCSI)/Exercices/Propagation d'un signal : Exemples de signaux, spectre
Détermination du spectre d'un produit de deux fonctions sinusoïdales
modifierOn considère le signal formé du produit de deux fonctions sinusoïdales[1] « » où « » et « » sont des constantes réelles et
on se propose d'en faire une analyse spectrale dans le cas où les fréquences peuvent être incommensurables[2] puis dans le cas où elles sont égales.
Analyse spectrale du produit de deux fonctions sinusoïdales de fréquences, a priori, incommensurables
modifier Vérifier que le produit de fonctions sinusoïdales[1] « » avec et incommensurables[2] n'est pas périodique et par suite
Vérifier que le produit de fonctions sinusoïdales « » avec et incommensurables n'est pas éligible à l'application du théorème de Fourier[3] ;
malgré cela, comme « » peut être linéarisé en une somme de deux fonctions sinusoïdales[1], il est possible d'en faire une analyse spectrale[4] ;
malgré cela déterminer les harmoniques contenus dans « » et
malgré cela représenter son spectre d'amplitude ainsi que
malgré cela représenter son spectre de phase.
Pour établir que « » n'est pas périodique, il faut linéariser le signal en utilisant la formule de trigonométrie « », soit
« » étant la somme de deux fonctions périodiques « » de fréquence donc de période « »,
la condition pour que « » soit périodique est que les périodes « » et « » soient commensurables[5] c'est-à-dire tel que ou, en élargissant le domaine des valeurs possibles de à , « » ou soit finalement « » impossible compte-tenu de l'incommensurabilité[2] des fréquences et d'où « » n'est pas périodique et n'est donc pas éligible à l'application du théorème de Fourier[3].
De la linéarisation de « » selon « » nous en déduisons que le signal « » contient deux harmoniques
De la linéarisation de « » « » de « fréquence », d'« amplitude » et de « phase à l'origine » et
De la linéarisation de « » « » de « fréquence », d'« amplitude » et de « phase à l'origine » ;
ci-dessous à gauche, le spectre d'amplitude du signal « » composé de deux raies de « même hauteur » aux fréquences « et »,
ci-dessous à droite, les deux spectres de phase du signal « » suivant à gauche ou à droite ;
ci-dessous à droite, le 1er à gauche pour est composé de deux raies de « hauteurs opposées pour la fréquence et pour la fréquence »,
ci-dessous à droite, le 2ème à droite pour est composé de deux raies de « même hauteur pour les fréquence et ».
Analyse spectrale du produit de deux fonctions sinusoïdales de même fréquence
modifierReprendre les questions précédentes dans le cas où « ».
Dans le cas où « » fréquence commune notée « » par la suite , on vérifie que « » est périodique en linéarisant le signal par nouvelle utilisation de la formule de trigonométrie « », soit « » une conséquence de la périodicité de est que ce signal est éligible à l'application du théorème de Fourier[3] même s'il s'avérera inutile de l'appliquer .
De la linéarisation de « » selon « » nous en déduisons que le signal « » contient deux harmoniques
De la linéarisation de « » « » composante permanente ou harmonique de rang et
De la linéarisation de « » « » de « fréquence », d'« amplitude » et de « phase à l'origine » harmonique fondamental ou de rang ;
le spectre d'amplitude[6] est composé de deux raies, l'une de « hauteur » à « fréquence nulle » et l'autre de « hauteur » à la « fréquence » ;
le spectre de phase[6] est composé d'une raie de « hauteur » à la « fréquence ».
Détermination de la représentation fréquentielle d'un signal périodique construit à partir de deux signaux périodiques dont les représentations fréquentielles sont connues
modifierConnaissant la représentation fréquentielle[7] d'un signal créneau symétrique[8] pair[9] d'amplitude et de fréquence : « »[10],[11] et
Connaissant la représentation fréquentielle celle d'un signal triangulaire symétrique[8] pair[12] d'amplitude et de fréquence : « »[10],[13],
on se propose d'en déduire la représentation fréquentielle[7] du signal périodique, de fréquence , dont le diagramme temporel est donné ci-contre et pour cela
- trouver le lien entre ce signal et les signaux créneau symétrique[8] pair[9] et triangulaire symétrique[8] pair[12] pour justifier ce lien, on représentera sur un même diagramme temporel les trois signaux et on conclura puis,
- en déduire le lien entre la représentation fréquentielle[7] du signal et celles des signaux créneau symétrique[8] pair[9] et triangulaire symétrique[8] pair[12] ensuite,
- expliciter la représentation fréquentielle[7] du signal ,
- préciser le spectre d'amplitude de ce signal on pourra se contenter d'évaluer les hauteurs des 1ères raies et
- estimer le nombre minimal de 1ers harmoniques nécessaire pour reconstruire le signal en comparant les vitesses de décroissance de hauteur des raies du spectre d'amplitude de ce signal à celles des raies des spectres d'amplitude des signaux créneau et triangulaire composants .
On constate, sur le diagramme temporel ci-contre, que le signal -périodique « » en noir est la somme
On constate, sur le diagramme temporel ci-contre, que du signal triangulaire symétrique[8] pair[12] « » en rouge et
On constate, sur le diagramme temporel ci-contre, que du signal créneau symétrique[8] pair[9] « » en bleu ,
On constate, sur le diagramme temporel ci-contre, le passage du signal triangulaire « » au signal étudié « » étant obtenu par ajout du signal créneau « », ajout matérialisé par des flèches grises ; on constate aussi que
On constate, sur le diagramme temporel ci-contre, que le signal étudié « » récupère les deux discontinuités de 1ère espèce[14] du signal créneau « » sur tout intervalle large d'une période le signal triangulaire « » étant, quant à lui, continu sur le même intervalle d'une période .
Compte-tenu de la définition du 2ème développement en série de Fourier[15] d'un signal périodique comme somme infinie des harmoniques de ce dernier, nous en déduisons aisément que le 2ème développement en série de Fourier[15] d'un signal somme est la somme des 2èmes développements en série de Fourier[15] de chaque composante de la somme.
À partir de la représentation fréquentielle[7] du signal triangulaire « » écrite avec l'amplitude complexe[10] de ses harmoniques « »[13] on détermine sa réponse fréquentielle[7] sous forme classique « » puis son 2ème développement en série de Fourier[15] « » ou « » ; de même
à partir de la représentation fréquentielle[7] du signal créneau « » écrite avec l'amplitude complexe[10] de ses harmoniques « »[11] on détermine sa réponse fréquentielle[7] sous forme classique « » puis son 2ème développement en série de Fourier[15] « » ou « » ou encore « » ;
le 2ème développement en série de Fourier[15] de « » est la somme des 2èmes développements en série de Fourier[15] de chaque composante de la somme soit, en reportant ces derniers et en regroupant les termes « » expression dont nous déduisons aisément la représentation fréquentielle[7] du signal « » écrite avec l'amplitude complexe[10] de ses harmoniquesPour en déduire le spectre d'amplitude du signal -périodique « » il est nécessaire d'expliciter l'amplitude de chacun de ses harmoniques suivant le rang de ce dernier :
- « rang » pas de composante permanente,
- « rang » ou harmonique fondamental d'amplitude complexe « » « »,
- « rang » d'amplitude complexe « » « »,
- « rang » d'amplitude complexe « » « »,
- « rang » d'amplitude complexe « » « »,
- « rang » d'amplitude complexe « » « »,
- « rang » d'amplitude complexe « » « »,
- « rang »[16] d'amplitude complexe « » dont on déduit « » soit par exemple le « rang » « »,
- « rang »[16] d'amplitude complexe « » dont on déduit « » soit par exemple le « rang » « »,
On constate donc la lente de l'amplitude des harmoniques de « » comparable à celle d'un signal créneau et on induit que le nombre minimal de 1ers harmoniques nécessaire pour reconstruire le signal est approximativement le même que celui nécessaire pour reconstruire le signal créneau c'est-à-dire « utiliser tous les harmoniques de rang »[17].
Complément : pour vérifier le nombre minimal de 1ers harmoniques nécessaire pour reconstruire le signal nous avons utilisé un logiciel de calcul évaluant la somme des 1ers harmoniques considérés puis superposant le graphe de la somme en rouge au signal en noir dans deux cas :
Complément : ci-dessous à gauche en tronquant la somme au rang inclus[18] et
Complément : ci-dessous à droite en tronquant la somme au rang inclus[19].
Notes et références
modifier- ↑ 1,0 1,1 et 1,2 En fait on devrait plutôt dire « produit de deux fonctions cosinusoïdales » mais l'usage veut qu'on parle de fonction sinusoïdale même quand elle est écrite sous forme d'un cosinus.
- ↑ 2,0 2,1 et 2,2 C.-à-d. dont le rapport n'est pas entier ou rationnel.
- ↑ 3,0 3,1 et 3,2 Voir le paragraphe « énoncé du théorème de Fourier » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
- ↑ Le signal n'étant pas périodique, la méthode systématique de détermination des harmoniques nécessiterait d'introduire les notions de transformée de Fourier, ce qui est hors programme de physique de PCSI ceux qui souhaiteraient néanmoins quelques notions les trouveront dans le paragraphe « définition de la transformée de Fourier d'une fonction réelle d'une variable réelle intégrable » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique » ; nous n'avons donc pas de méthode générale à utiliser pour faire une analyse spectrale et ne pouvons le faire que dans des cas très particuliers comme celui proposé ici.
Joseph Fourier (1768 – 1830) mathématicien et physicien français connu pour ses travaux sur la décomposition de fonctions périodiques en séries trigonométriques convergentes et leur application au problème de la propagation de la chaleur - ↑ C.-à-d. dont le rapport est entier ou rationnel.
- ↑ 6,0 et 6,1 À représenter soi-même.
- ↑ 7,0 7,1 7,2 7,3 7,4 7,5 7,6 7,7 et 7,8 Voir le paragraphe « analyse spectrale d'un signal périodique (représentation fréquentielle) » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
- ↑ 8,00 8,01 8,02 8,03 8,04 8,05 8,06 8,07 8,08 et 8,09 Un signal alterné c'est-à-dire périodique avec une alternance positive et une négative est dit « symétrique » si la durée de l'alternance positive est égale à celle de l'alternance négative.
- ↑ 9,0 9,1 9,2 9,3 et 9,4 Dans la mesure où le 1er palier haut du signal créneau symétrique est un segment ayant l'axe des ordonnées comme axe de symétrie, le signal créneau symétrique est pair car sa valeur sur est égale à celle sur et les paliers bas situés immédiatement de part et d'autre de ce 1er palier haut c'est-à-dire sur et sont également symétriques par rapport à l'axe des ordonnées.
- ↑ 10,0 10,1 10,2 10,3 et 10,4 L'« harmonique de rang du 2ème développement en série de Fourier d'un signal périodique voir le paragraphe « 2ème développement en série de Fourier » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » est usuellement noté, dans la représentation fréquentielle du signal, », ici on utilise l'« amplitude complexe de l'harmonique considéré » voir les paragraphes « grandeur instantanée complexe » et « amplitude complexe » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ,
la « grandeur instantanée complexe de l'harmonique de rang s'écrivant » avec, « pour expression physique, ». - ↑ 11,0 et 11,1 Revoir le paragraphe « exemple d'un signal créneau symétrique (preuve des valeurs d'amplitudes - en complément) » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », les valeurs fournies dans le paragraphe précité étant à rectifier car le créneau y était impair alors qu'ici il y est pair tous les harmoniques impairs sont nuls et les harmoniques pairs se calculent selon un créneau symétrique pair correspondant à un palier haut de valeur sur et un palier bas de valeur sur soit ou, après simplfication évidente puis, en utilisant « valant pour pair et pour c'est-à-dire impair », « » et, comme « » ;
pour conclure il convient de déterminer l'amplitude complexe des harmoniques selon la méthode indiquée dans le paragraphe « passage du 1er au 2nd développement en série de Fourier » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » laquelle appliquée ici donne, pour , d'où « » et par suite « ». - ↑ 12,0 12,1 12,2 12,3 et 12,4 Le signal triangulaire symétrique est pair si la pente sur est égale à l'opposé de la pente sur , les segments et étant symétriques par rapport à l'axe des ordonnées.
- ↑ 13,0 et 13,1 Revoir le paragraphe « exemple d'un signal triangulaire symétrique (preuve des valeurs d'amplitudes - en complément) » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », les valeurs fournies dans le paragraphe précité étant à rectifier car le triangulaire y était impair alors qu'ici il y est pair tous les harmoniques impairs sont nuls et les harmoniques pairs se calculent selon
avant de poursuivre déterminons l'expression algébrique du signal « » en effet la valeur absolue de la pente est d'où ou, en faisant le « changement de variable dans la 2ème intégrale » on obtient et , les bornes inférieure et supérieure devenant et la 2ème intégrale est l'opposé de la 1ère multipliée par soit « » ;
cette dernière intégrale s'intègre « par parties » cette méthode est exposée succinctement dans le paragraphe « développement de quelques méthodes de calcul (intégrer un produit de fonctions par parties) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » : si on doit « calculer en connaissant une primitive de notée », on peut écrire « », en effet et finalement, par intégration, la relation énoncée précédemment , en posant et par conséquent soit, avec en effet , d'où « » ;
par report on en déduit « » ; si est pair, le cœfficient et par suite ;
par report on en déduit « » ; si est impair, le cœfficient et par suite soit finalement
par report on en déduit « pour » et, comme nous en déduisons « ».
pour conclure il convient de déterminer l'amplitude complexe des harmoniques selon la méthode indiquée dans le paragraphe « passage du 1er au 2nd développement en série de Fourier » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » laquelle appliquée ici donne, pour , d'où « » et par suite « ». - ↑ Voir le paragraphe « discontinuité de 1ère espèce d'une fonction scalaire d'une variable en une valeur de cette dernière » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » introduisant cette discontinuité à un instant quelconque s'il y a un saut fini de la fonction à cet instant.
- ↑ 15,0 15,1 15,2 15,3 15,4 15,5 et 15,6 Voir le paragraphe « 2ème développement en série de Fourier » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
Joseph Fourier (1768 – 1830) mathématicien et physicien français connu pour ses travaux sur la décomposition de fonctions périodiques en séries trigonométriques convergentes et leur application au problème de la propagation de la chaleur - ↑ 16,0 et 16,1 On retire car ces valeurs ont déjà été traitées.
- ↑ Voir le paragraphe « nombre minimal de 1ers harmoniques nécessaire pour reconstruire un signal créneau symétrique » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
- ↑ Qui est aussi le nombre minimal de 1ers harmoniques nécessaire pour reconstruire un signal triangulaire, voir le paragraphe « nombre minimal de 1ers harmoniques nécessaire pour reconstruire un signal triangulaire symétrique » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
- ↑ Qui est aussi le nombre minimal de 1ers harmoniques nécessaire pour reconstruire un signal créneau, voir la note « 17 » plus haut dans la solution de cet exercice.