Signaux physiques (PCSI)/Exercices/Propagation d'un signal : Interférences entre deux ondes acoustiques ou mécaniques de même fréquence

Interférences sur une cuve à ondes

Dispositif expérimental pour créer et observer des ondes de surface d'un liquide $\;{\big (}$cuve à ondes${\big )}$

Surface de la cuves à ondes en éclairage stroboscopique, lignes d'interférences constructives et destructives avec contraste

     La figure ci-contre à droite représente ce qui est vu sur l'écran dépoli vertical d'une cuve à ondes sous éclairage stroboscopique dont le schéma est rappelé ci-contre à gauche.
     Deux pointes, distantes de $\;a$, frappent en même temps, à intervalles réguliers, la surface de l'eau, générant deux ondes qui interfèrent.
     Les zones d'interférences constructives sont claires là où la surface de l'eau est convexe $\;{\big (}$c'est-à-dire pour des crêtes${\big )}\;$ et sombres là elle est concave $\;{\big (}$c'est-à-dire pour des creux${\big )}$ ;
     les zones d'interférences destructives ressortent en lumière peu intense et sans contraste.

Condition d'interférences destructives

     On suppose, pour simplifier, que des ondes sinusoïdales partent des deux points $\;S_{1}\;$ et $\;S_{2}\;$ où les pointes frappent la surface de l'eau.
     En notant $\;\lambda \;$ la longueur d'onde, donner la condition pour que l'interférence en un point $\;M\;$ situé aux distances $\;d_{1}\;$ et $\;d_{2}\;$ respectivement de $\;S_{1}\;$ et $\;S_{2}$, soit destructive.

Solution

     Les ondes issues de $\;S_{1}\;$ et $\;S_{2}\;$ sont en phase à leur création car les pointes frappent la surface de l'eau en même temps, « la phase de l'onde issue de $\;S_{1}\;$ arrivant en $\;M\;$ est $\;\varphi _{1}=$ $-{\dfrac {2\pi }{\lambda }}\,d_{1}\;$» et
           Les ondes issues de $\;\color {transparent}{S_{1}}\;$ et $\;\color {transparent}{S_{2}}\;$ sont en phase à leur création car les pointes frappent la surface de l'eau en même temps, « celle de l'onde issue de $\;S_{2}\;$ arrivant en $\;M\;$ est $\;\varphi _{2}=-{\dfrac {2\pi }{\lambda }}\,d_{2}\;$» d'où un déphasage en $\;M$, «$\;\Delta \varphi =\varphi _{2}-\varphi _{1}=-{\dfrac {2\pi }{\lambda }}\left(d_{2}-d_{1}\right)\;$» ;      l'interférence en $\;M\;$ sera destructive si le déphasage « mathématique » en $\;M\;$ est « égale à $\;\pi \;$ à un multiple de $\;2\,\pi \;$ près » ce qui se réécrit selon «$\;\Delta \varphi =(2\,m+1)\,\pi ,$ $\;m\,\in \mathbb {Z} \;$» ou
         l'interférence en $\;\color {transparent}{M}\;$ sera destructive si le déphasage « mathématique » en $\;\color {transparent}{M}\;$ est « égale à $\;\color {transparent}{\pi }\;$ à un multiple de $\;\color {transparent}{2\,\pi }\;$ près » ce qui se réécrit selon «$\;-{\dfrac {2\,\pi }{\lambda }}\left(d_{2}-d_{1}\right)=$ $(2\,m+1)\,\pi \;$» soit encore une différence de marche «$\;\delta =d_{1}-d_{2}=(2\,m+1)\,{\dfrac {\lambda }{2}},\;m\,\in \mathbb {Z} \;$».

 

Lieu d'interférences destructives

     Chaque lieu des points vérifiant cette condition est une courbe que l'on appelle dans la suite « ligne d'interférences destructives ».
     Les lignes d'interférences destructives sont représentées en gris sur la « figure de droite d'introduction de cet exercice ».

     Les demi-droites de l'axe $\;(x'x)\;$ définies par $\;x<-{\dfrac {a}{2}}\;$ et $\;x>{\dfrac {a}{2}}\;$ étant des lignes d'interférences destructives, en déduire un « renseignement sur $\;{\dfrac {a}{\lambda }}\;$»,

     Les demi-droites de l'axe $\;\color {transparent}{(x'x)}\;$ définies par $\;\color {transparent}{x<-{\dfrac {a}{2}}}\;$ et $\;\color {transparent}{x>{\dfrac {a}{2}}}\;$ étant des lignes d'interférences destructives, quel est l'intervalle de variation de $\;d_{1}-d_{2}\;$ sur le segment $\;\left[S_{1}S_{2}\right]$ ?

     Les demi-droites de l'axe $\;\color {transparent}{(x'x)}\;$ définies par $\;\color {transparent}{x<-{\dfrac {a}{2}}}\;$ et $\;\color {transparent}{x>{\dfrac {a}{2}}}\;$ étant des lignes d'interférences destructives, Déduire de la figure la « valeur de $\;{\dfrac {a}{\lambda }}\;$».

Solution

     Soit $\;M\;$ un point de la demi-droite de l'axe $\;x'x\;$ définie par $\;x>{\dfrac {a}{2}}\;$ nous avons «$\;d_{1}-d_{2}=S_{1}M-S_{2}M=S_{1}S_{2}=a\;$» et,
     Soit $\;\color {transparent}{M}\;$ un point de la demi-droite de l'axe $\;\color {transparent}{x'x}\;$ définie par $\;\color {transparent}{x>{\dfrac {a}{2}}}\;$ le caractère destructif des interférences en ce point nous conduit à $\;a=(2\,n+1)\,{\dfrac {\lambda }{2}},\;n\,\in \mathbb {N} \;$ soit encore «$\;{\dfrac {a}{\lambda }}={\dfrac {1}{2}}+n,\;n\,\in \mathbb {N} \;$» ;

     pour $\;M\;$ point de la demi-droite de l'axe $\;x'x\;$ définie par $\;x<-{\dfrac {a}{2}}\;$ nous avons $\;d_{1}-d_{2}<0$, un calcul identique à celui fait précédemment conduit à «$\;d_{1}-d_{2}$ $=-S_{1}S_{2}=-a\;$» et
     pour $\;\color {transparent}{M}\;$ point de la demi-droite de l'axe $\;\color {transparent}{x'x}\;$ définie par $\;\color {transparent}{x<-{\dfrac {a}{2}}}\;$ le caractère destructif des interférences en ce point nous donne $\;-a=(2\,m+1)\,{\dfrac {\lambda }{2}},\;m\,\in \mathbb {Z} ^{-}\;$ ou encore
     pour $\;\color {transparent}{M}\;$ point de la demi-droite de l'axe $\;\color {transparent}{x'x}\;$ définie par $\;\color {transparent}{x<-{\dfrac {a}{2}}}\;$ le caractère destructif des interférences en ce point nous donne «$\;{\dfrac {a}{\lambda }}=-{\dfrac {1}{2}}-m,$ $\;m\,\in \mathbb {Z} ^{-}\;$» $\Leftrightarrow$ «$\;{\dfrac {a}{\lambda }}={\dfrac {1}{2}}+n,\;n\,\in \mathbb {N} \;$».

     Pour $\;M\;$ sur le segment $\;\left[S_{1}S_{2}\right]\;$ variant de $\;S_{1}\;$ à $\;S_{2}$, $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}d_{1}\nearrow \;{\text{de}}\;0\;{\text{à}}\;a\\d_{2}\searrow \;\;{\text{de}}\;a\;{\text{à}}\;0\end{array}}\right\rbrace \;$ $\Leftrightarrow$ $\;\left\lbrace {\begin{array}{r c}d_{1}\nearrow \;{\text{de}}\!\!&0\;{\text{à}}\;a\\-d_{2}\nearrow \;{\text{de}}\!\!&-a\;{\text{à}}\;0\end{array}}\right\rbrace \;$ d'où « la différence de marche $\;\delta =d_{1}-d_{2}\nearrow \;$ de $\;-a\;$ à $\;a\;$» et
     Pour $\;\color {transparent}{M}\;$ sur le segment $\;\color {transparent}{\left[S_{1}S_{2}\right]}\;$ variant de $\;\color {transparent}{S_{1}}\;$ à $\;\color {transparent}{S_{2}}$, $\;\color {transparent}{\left\lbrace {\begin{array}{c}d_{1}\nearrow \;{\text{de}}\;0\;{\text{à}}\;a\\d_{2}\searrow \;\;{\text{de}}\;a\;{\text{à}}\;0\end{array}}\right\rbrace }\;$ $\color {transparent}{\Leftrightarrow }$ $\;\color {transparent}{\left\lbrace {\begin{array}{r c}d_{1}\nearrow \;{\text{de}}\!\!&0\;{\text{à}}\;a\\-d_{2}\nearrow \;{\text{de}}\!\!&-a\;{\text{à}}\;0\end{array}}\right\rbrace }\;$ d'où « l'ordre d'interférence correspondant $\;p={\dfrac {\delta }{\lambda }}\nearrow \;$ de $\;-{\dfrac {a}{\lambda }}\;$ à $\;{\dfrac {a}{\lambda }}\;$» ;

     Pour $\;\color {transparent}{M}\;$ sur le segment $\;\color {transparent}{\left[S_{1}S_{2}\right]}\;$ variant de $\;\color {transparent}{S_{1}}\;$ à $\;\color {transparent}{S_{2}}$, or nous observons $\;8\;$ lignes d'interférences destructives coupant le segment $\;\left[S_{1}S_{2}\right]$, correspondant aux ordres d'interférence
     Pour $\;\color {transparent}{M}\;$ sur le segment $\;\color {transparent}{\left[S_{1}S_{2}\right]}\;$ variant de $\;\color {transparent}{S_{1}}\;$ à $\;\color {transparent}{S_{2}}$, or nous observons $\;\color {transparent}{8}\;$ lignes d'interférences destructives coupant le segment $\;\color {transparent}{\left[S_{1}S_{2}\right]}$, «$\;{\dfrac {1}{2}},\;{\dfrac {3}{2}},\;{\dfrac {5}{2}},\;{\dfrac {7}{2}},\;-{\dfrac {1}{2}},\;-{\dfrac {3}{2}},\;-{\dfrac {5}{2}}\;{\text{et}}\;-{\dfrac {7}{2}}$»,
     Pour $\;\color {transparent}{M}\;$ sur le segment $\;\color {transparent}{\left[S_{1}S_{2}\right]}\;$ variant de $\;\color {transparent}{S_{1}}\;$ à $\;\color {transparent}{S_{2}}$, $\;\color {transparent}{\left\lbrace {\begin{array}{c}d_{1}\nearrow \;{\text{de}}\;0\;{\text{à}}\;a\\d_{2}\searrow \;\;{\text{de}}\;a\;{\text{à}}\;0\end{array}}\right\rbrace }\;$ $\color {transparent}{\Leftrightarrow }$ $\;\color {transparent}{\left\lbrace {\begin{array}{r c}d_{1}\nearrow \;{\text{de}}\!\!&0\;{\text{à}}\;a\\-d_{2}\nearrow \;{\text{de}}\!\!&-a\;{\text{à}}\;0\end{array}}\right\rbrace }\;$ d'où nous en déduisons que «$\;{\dfrac {a}{\lambda }}\;$» est «$\;>{\dfrac {7}{2}}\;$» mais doit être «$\;\leqslant {\dfrac {9}{2}}\;$» ;

     comme nous avons vu précédemment que «$\;{\dfrac {a}{\lambda }}={\dfrac {1}{2}}+n,\;n\,\in \mathbb {N} \;$» nous en déduisons «$\;{\dfrac {a}{\lambda }}={\dfrac {9}{2}}\;$».

 

Explication du contraste au voisinage de l'axe de symétrie ne passant pas par les sources

     Expliquer pourquoi l'image est bien contrastée au voisinage de l'axe $\;(Oy)$.

Solution

     « Si $\;M\;$ appartient à $\;Oy$, $\;d_{1}=d_{2}\;$» et l'interférence y est constructive correspondant à une image avec un extremum de luminosité ;
     « au voisinage de $\;Oy\;$ l'amplitude de vibration étant moindre jusqu'à devenir quasi nulle sur la ligne d'interférences destructives voisine »,
     « au voisinage de $\;\color {transparent}{Oy}\;$ cela correspond donc à une image à luminosité d'autant plus faible que la ligne d'interférences destructives voisines est proche d'où :

     l'image de la ligne d'interférences constructives que constitue $\;Oy\;$ se dégage assez nettement de l'image d'un voisinage de luminosité $\;\searrow \;$ jusqu'à la quasi obscurité observée sur la ligne d'interférences destructives voisine, ce qu'on résume en parlant de bon contraste de l'image au voisinage de$\;Oy$.

 

Explication de l'alternance zones claires, zones sombres

     On observe sur la « figure de droite d'introduction de cet exercice » que les zones claires et sombres sont alternées en opposition de phase de part et d'autre d'une ligne d'interférences destructives.

     On observe Le but de cette question est de comprendre pourquoi.

Expression des phases instantanées en M des ondes issues de chaque source

     On suppose la phase initiale de chacune des ondes nulle à la source ;
     exprimer les « phases instantanées $\;\varphi _{1}(t)\;$ et $\;\varphi _{2}(t)\;$ en $\;M\;$ des ondes $\;(1)\;$ et $\;(2)\;$ provenant respectivement des sources $\;S_{1}\;$ et $\;S_{2}\;$» ;

     en déduire la « phase moyenne en $\;M$, $\;\varphi (t)={\dfrac {\varphi _{1}(t)+\varphi _{2}(t)}{2}}\;$ en fonction de $\;f$, $\;t$, $\;d_{1}$, $\;d_{2}\;$ et $\;\lambda \;$» ;

     quelle est la nature d'une « courbe définie par la condition $\;\varphi (t)=cste\;$ à $\;t\;$ fixé » ?

Solution

     Les « phases instantanées de chaque onde sont respectivement $\;\varphi _{1}(t)=2\,\pi \,f\,t-{\dfrac {2\,\pi }{\lambda }}\,d_{1}\;$ et $\;\varphi _{2}(t)=2\,\pi \,f\,t-{\dfrac {2\,\pi }{\lambda }}\,d_{2}\;$» ;

     on en déduit la « phase moyenne en $\;M$, $\;\varphi (t)={\dfrac {\varphi _{1}(t)+\varphi _{2}(t)}{2}}\;$ soit $\;\varphi (t)=2\,\pi \,f\,t-{\dfrac {\pi }{\lambda }}(d_{1}+d_{2})\;$» ;

     une « courbe définie par la condition $\;\varphi (t)=cste\;$ à $\;t\;$ fixé » est telle que «$\;d_{1}+d_{2}=cste\;$» c'est-à-dire l'« ensemble des points $\;M\;$ de la surface libre de la cuve telle que $\;S_{1}M+S_{2}M=cste\;$» ou encore
         une « courbe définie par la condition $\;\color {transparent}{\varphi (t)=cste}\;$ à $\;\color {transparent}{t}\;$ fixé » est telle que «$\;\color {transparent}{d_{1}+d_{2}=cste}\;$» c'est-à-dire une ellipse de foyers $\;S_{1}\;$ et $\;S_{2}\;$.

 

Représentation des vecteurs de Fresnel associés aux ondes émises par chaque source en un point M d'une ligne d'interférences destructives

     On se place en un point $\;M\;$ d'une ligne d'interférences destructives $\;({\mathcal {L}})$.

     Représenter les vecteurs de Fresnel correspondant aux ondes $\;(1)\;$ et $\;(2)\;$ en $\;M$ ;

     faire apparaître, sur la figure, la phase moyenne $\;\varphi (t)$.

Solution

Diagramme de Fresnel pour des ondes émises en phase par deux sources synchrones, en un point $\;M\;$ plus proche de la source $\;(2)\;$ que de la source $\;(1)$, en interférences destructives

     Voir diagramme de Fresnel à l'instant $\;t\;$ ci-contre :

     d'une part le vecteur de Fresnel tournant $\;{\vec {S}}_{2}(t)\;$ est de norme légèrement plus grande que celle du vecteur de Fresnel tournant $\;{\vec {S}}_{1}(t)$ $\;{\bigg \{}$car le point $\;M\;$ étant plus proche de la source $\;(2)\;$ que de la source $\;(1)$, la $\;\searrow \;$ de l'amplitude de l'onde émise par $\;S_{1}\;$ est plus importante que celle de l'amplitude de l'onde émise par $\;S_{2}\;$, $\;\searrow \;$ d'amplitude en $\;{\dfrac {1}{d}}\;$ due à l'« étalement de la puissance sur la ride se propageant »${\bigg \}}\;$ et

     d'autre part les vecteurs de Fresnel tournants $\;{\vec {S}}_{2}(t)\;$ et $\;{\vec {S}}_{1}(t)\;$ ont même support et sont de sens opposés $\;{\big \{}$car le point $\;M\;$ étant d'interférences destructives, le déphasage « mathématique » «$\;\varphi (t)-\varphi (t)\equiv \pi \!\!{\pmod {2\,\pi }}\;$»${\big \}}$ ;

     on y a représenté la « phase moyenne $\;\varphi (t)={\dfrac {\varphi _{1}(t)+\varphi _{2}(t)}{2}}\;$» en tiretés,
     on y a représenté la direction est $\;\perp \;$ à la direction commune des deux vecteurs de Fresnel tournants $\;{\vec {S}}_{2}(t)\;$ et $\;{\vec {S}}_{1}(t)$.

 

Représentation des vecteurs de Fresnel associés aux ondes émises par chaque source en un point M' ou M’’, de part et d'autre d'une ligne d'interférences destructives

     Que devient cette figure si l'on se place en un point $\;M'\;$ proche de $\;M$, du même côté de $\;({\mathcal {L}})\;$ que $\;S_{1}\;$ ou,

     Que devient cette figure si l'on se place en un point $\;M''\;$ proche de $\;M$, situé du même côté de $\;({\mathcal {L}})\;$ que $\;S_{2}\;$ ?

Solution

Franges d'interférences destructives sur cuve à ondes et positionnement des points $\;M'\;$ et $\;M''\;$ proches d'un point $\;M\;$ en interférences destructives, respectivement du côté de la source $\;(1)\;$ et de la source $\;(2)$

Diagramme de Fresnel pour des ondes émises en phase par deux sources synchrones, en un point $\;M'\;$ proche d'un point $\;M\;$ en interférences destructives, $\;M'\;$ étant situé du côté de la source $\;(1)$

Diagramme de Fresnel pour des ondes émises en phase par deux sources synchrones, en un point $\;M''\;$ proche d'un point $\;M\;$ en interférences destructives, $\;M''\;$ étant situé du côté de la source $\;(2)$

     $\;M'$, $\;M\;$ et $\;M''\;$ sont choisis tels que $\;\varphi (t)\;$ reste constante à $\;t\;$ fixé, ils sont donc sur une « ellipse de foyers$\;S_{1}\;$et$\;S_{2}\;$pour laquelle$\;O\;$en est le centre de symétrie, l'axe $\;Ox\;$ l'axe focal et $\;Oy\;$ l'axe non focal » 
     ${\big (}$voir schéma ci-contre à droite où figurent les lignes d'interférences destructives ainsi que le lieu des points à phase moyenne indépendante de $\;d_{1}\;$ et $\;d_{2}{\big )}$ :

     $\blacktriangleright$$\;M'\;$ étant du même côté de $\;({\mathcal {L}})\;$ que $\;S_{1}$, on en déduit que $\;M'\;$ est plus proche de $\;S_{1}\;$ que ne l'est $\;M\;$ ${\big \{}$et plus éloigné de $\;S_{2}\;$ que ne l'est $\;M{\big \}}\;$ soit «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{d'}_{\!1}<d_{1}\\{d'}_{\!2}>d_{2}\end{array}}\right\rbrace \;$» d'où
     $\color {transparent}{\blacktriangleright }$$\succ \;$«$\;2\,\pi \,f\,t-{\dfrac {2\,\pi }{\lambda }}\,{d'}_{\!1}>2\,\pi \,f\,t-{\dfrac {2\,\pi }{\lambda }}\,d_{1}\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\varphi '}_{\!1}(t)>\varphi _{1}(t)\;$» et
     $\color {transparent}{\blacktriangleright }$$\succ \;$«$\;2\,\pi \,f\,t-{\dfrac {2\,\pi }{\lambda }}\,{d'}_{\!2}<2\,\pi \,f\,t-{\dfrac {2\,\pi }{\lambda }}\,d_{2}\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\varphi '}_{\!2}(t)<\varphi _{2}(t)\;$» ;

     $\color {transparent}{\blacktriangleright }$on en déduit le diagramme de Fresnel ci-contre à gauche, le vecteur de Fresnel résultant faisant l'angle, avec l'axe de référence, «$\;\varphi '(t)=2\,\pi \,f\,t-{\dfrac {\pi }{\lambda }}\,({d'}_{\!1}+{d'}_{\!2})\;$» lequel est égal à «$\;\varphi (t)$ $=2\,\pi \,f\,t-{\dfrac {\pi }{\lambda }}\,(d_{1}+d_{2})\;$», $\;M'\;$ et $\;M\;$ étant sur la même ellipse de foyers $\;S_{1}\;$ et $\;S_{2}\;$ vérifiant $\;d_{1}+d_{2}=cste\;$ $\Rightarrow$ «$\;{d'}_{\!1}+{d'}_{\!2}=d_{1}+d_{2}\;$» ;

     $\blacktriangleright$$\;M''\;$ étant du même côté de $\;({\mathcal {L}})\;$ que $\;S_{2}$, on en déduit que $\;M''\;$ est plus proche de $\;S_{2}\;$ que ne l'est $\;M\;$ ${\big \{}$et plus éloigné de $\;S_{1}\;$ que ne l'est $\;M{\big \}}\;$ soit «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{d''}_{\!\!1}>d_{1}\\{d''}_{\!\!2}<d_{2}\end{array}}\right\rbrace \;$» d'où
     $\color {transparent}{\blacktriangleright }$$\succ \;$«$\;2\,\pi \,f\,t-{\dfrac {2\,\pi }{\lambda }}\,{d''}_{\!\!1}<2\,\pi \,f\,t-{\dfrac {2\,\pi }{\lambda }}\,d_{1}\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\varphi ''}_{\!\!1}(t)<\varphi _{1}(t)\;$» et
     $\color {transparent}{\blacktriangleright }$$\succ \;$«$\;2\,\pi \,f\,t-{\dfrac {2\,\pi }{\lambda }}\,{d''}_{\!\!2}>2\,\pi \,f\,t-{\dfrac {2\,\pi }{\lambda }}\,d_{2}\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\varphi ''}_{\!\!2}(t)>\varphi _{2}(t)\;$» ;

     $\color {transparent}{\blacktriangleright }$on en déduit le diagramme de Fresnel ci-contre à gauche, le vecteur de Fresnel résultant faisant l'angle, avec l'axe de référence, «$\;\varphi ''(t)\pm \pi =2\,\pi \,f\,t-{\dfrac {\pi }{\lambda }}\,({d''}_{\!\!1}+{d''}_{\!\!2})\pm \pi \;$» lequel est égal à «$\;\varphi (t)=2\,\pi \,f\,t-{\dfrac {\pi }{\lambda }}\,(d_{1}+d_{2})\pm \pi \;$», $\;M''\;$ et $\;M\;$ étant sur la même ellipse de foyers $\;S_{1}\;$ et $\;S_{2}\;$ vérifiant $\;d_{1}+d_{2}=cste\;$ $\Rightarrow$ «$\;{d''}_{\!\!1}+{d''}_{\!\!2}=d_{1}+d_{2}\;$».

 

Conséquences sur les vibrations en M' et M’’ situés de part et d'autre d'une ligne d'interférences destructives

     Que peut-on dire des vibrations en $\;M'\;$ et $\;M''\;$ ?

Solution

     Compte-tenu des deux diagrammes de Fresnel établis dans la solution de la question « représentation des vecteurs de Fresnel associés aux ondes émises par chaque source en un point M' ou M, de part et d'autre d'une ligne d'interférences destructives » de cet exercice, on constate que « les vibrations en $\;M'\;$ et $\;M''\;$ sont en opposition de phase »,

     l'onde résultante en $\;M'\;$ s'écrivant «$\;s_{\text{résult}}(M',\,t)=A'(M')\,\cos \!\left[2\,\pi \,f\,t-{\dfrac {\pi }{\lambda }}\,({d'}_{\!1}+{d'}_{\!2})\right]=A'(M')\,\cos \!\left[2\,\pi \,f\,t-{\dfrac {\pi }{\lambda }}\,(d_{1}+d_{2})\right]\;$» où
     l'onde résultante en $\;\color {transparent}{M'}\;$ s'écrivant «$\;\color {transparent}{s_{\text{résult}}(M',\,t)=A'(M')\,\cos \!\left[2\,\pi \,f\,t-{\dfrac {\pi }{\lambda }}\,({d'}_{\!1}+{d'}_{\!2})\right]}$ «$\;A'(M')=2\,A(M)\,\cos \!\left[{\varphi '}_{\!2}(t)-{\varphi '}_{\!1}(t)\right]\;$» avec $\;A(M)\;$ l'amplitude commune des deux ondes au point $\;M\;$,

                      celle en $\;M''\;$ s'écrivant «$\;s_{\text{résult}}(M'',\,t)=A''(M'')\,\cos \!\left[2\,\pi \,f\,t-{\dfrac {\pi }{\lambda }}\,({d''}_{\!\!1}+{d''}_{\!\!2})+\pi \right]=A''(M'')\,\cos \!\left[2\,\pi \,f\,t-{\dfrac {\pi }{\lambda }}\,(d_{1}+d_{2})+\pi \right]\;$» où
                      celle en $\;\color {transparent}{M''}\;$ s'écrivant «$\;\color {transparent}{s_{\text{résult}}(M'',\,t)=A''(M'')\,\cos \!\left[2\,\pi \,f\,t-{\dfrac {\pi }{\lambda }}\,({d''}_{\!\!1}+{d''}_{\!\!2})+\pi \right]}$ «$\;A''(M'')=-2\,A(M)\,\cos \!\left[{\varphi ''}_{\!\!2}(t)-{\varphi ''}_{\!\!1}(t)\right]\;$» avec $\;A(M)\;$ l'amplitude commune des deux ondes au point $\;M$.

 

Interprétation d'expériences d'interférences ultrasonores

Dispositif expérimental d'expériences d'ondes ultrasonores avec repérage angulaire du point d'observation

     Une expérience d'interférences d'ondes ultrasonores est réalisée comme rappelé ci-contre,
     la fréquence d'émission est égale à $\;40,0\;kHz$, ceci correspond à une longueur d'onde $\;\lambda =8,5\;mm\;$  ;
     sauf dans la dernière question, les sources $\;(1)\;$ et $\;(2)\;$ émettent des ondes acoustiques en phase.

     On note $\;O\;$ le point milieu du segment joignant les deux émetteurs distants de $\;a=40,0\;mm\;$ et
     On note $\;{\overrightarrow {Ox}}\;$ l'axe situé sur la médiatrice du segment et orienté vers la droite $\;{\big (}$axe non représenté sur le schéma ci-contre${\big )}$.

     On déplace le microphone sur un grand cercle de rayon $\;r=0,50\;m\;$ et
     on relève l'évolution de l'amplitude en fonction de l'angle $\;\theta \;$ que fait la direction $\;{\overrightarrow {OM}}\;$ avec l'axe $\;{\overrightarrow {Ox}}$.

Distance « angulaire » interfrange

     Faire une figure faisant apparaître les points $\;O$, $\;S_{1}$, $\;S_{2}\;$ ${\big (}$positions des deux émetteurs supposés ponctuels${\big )}\;$ et $\;M\;$ ${\big (}$position du récepteur supposé ponctuel${\big )}$, pour un petit angle $\;\theta \;$ non nul, $\;M\;$ étant situé du même côté de la médiatrice $\;Ox\;$ de $\;\left[S_{1}S_{2}\right]\;$ que le point $\;S_{2}$.

     Tracer les arcs de cercle de centre $\;M\;$ passant par $\;S_{2}\;$ et de centre $\;M\;$ passant par $\;S_{1}$ $\;{\big \{}$on notera respectivement $\;H_{2}\;$ et $\;H_{1}\;$ leur intersection avec la droite $\;(OM){\big \}}$.

     Que représente $\;H_{1}H_{2}\;$ pour le phénomène d'interférences ?

     Puisque $\;r\gg a$, on peut assimiler respectivement $\;H_{1}\;$ et $\;H_{2}\;$ avec les projetés orthogonaux de $\;S_{1}\;$ et de $\;S_{2}\;$ sur $\;(OM)$.

     En déduire une expression du déphasage entre les ondes reçues en $\;M\;$ en fonction de $\;\theta$, $\;a\;$ et $\;\lambda$.

     Quelles sont, dans l'intervalle $\;\left[-30{\text{°}},\;+30{\text{°}}\right]$, les valeurs de $\;\theta \;$ où on observe un maximum d'amplitude résultante ?

Solution

Description du repérage angulaire du point $\;M\;$ d'observation

     Figure de repérage demandée $\;{\big (}$voir ci-contre à gauche${\big )}$ :

Schéma d'évaluation de la différence de marche au point $\;M\;$ par utilisation de son repérage angulaire

     Tracé des arcs de cercle de centre $\;M\;$ passant par $\;S_{2}\;$ et de centre $\;M\;$ passant par $\;S_{1}$ $\;{\big (}$voir ci-contre à droite${\big )}$ ;

     «$\;H_{1}H_{2}\;$ est la différence $\;S_{1}M-S_{2}M=d_{1}-d_{2}\;$» soit encore la « différence de marche » de l'onde $\;(1)\;$ relativement à l'onde $\;(2)\;$  d'où «$\;H_{1}H_{2}=\delta =d_{1}-d_{2}\;$».

     Pouvant confondre $\;H_{1}\;$ avec le projeté orthogonal $\;K_{1}\;$ de $\;S_{1}\;$ sur $\;(OM)\;$ ainsi que
     Pouvant confondre $\;H_{2}\;$ avec le projeté orthogonal $\;K_{2}\;$ de $\;S_{2}\;$ sur $\;(OM)\;$  et
     remarquant que $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\widehat {OS_{1}K_{1}}}={\widehat {({\overrightarrow {Ox}}\;{\text{,}}\;{\overrightarrow {OM}})}}\\{\widehat {OS_{2}K_{2}}}={\widehat {({\overrightarrow {Ox}}\;{\text{,}}\;{\overrightarrow {OM}})}}\end{array}}\right\rbrace \;$ soit encore $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\widehat {OS_{1}H_{1}}}\simeq \theta \\{\widehat {OS_{2}H_{2}}}\simeq \theta \end{array}}\right\rbrace$, on en déduit «$\;H_{1}O$ $\simeq S_{1}O\,\sin(\theta )={\dfrac {a}{2}}\,\sin(\theta )\;$» ainsi que «$\;H_{2}O\simeq S_{2}O\,\sin(\theta )={\dfrac {a}{2}}\,\sin(\theta )\;$» d'où «$\;H_{1}H_{2}=$ $H_{1}O+OH_{2}=2\,H_{1}O\simeq 2\,{\dfrac {a}{2}}\,\sin(\theta )\;$» soit finalement «$\;\delta =H_{1}H_{2}\simeq a\,\sin(\theta )\;$» ;      sachant d'autre part que le déphasage «$\;\varphi _{2}-\varphi _{1}=-k\,(d_{2}-d_{1})=k\,\delta \;$» , «$\;k={\dfrac {2\,\pi }{\lambda }}\;$ étant la pulsation spatiale », on en déduit finalement «$\;\varphi _{2}-\varphi _{1}={\dfrac {2\,\pi }{\lambda }}\,\delta \simeq {\dfrac {2\,\pi \,a}{\lambda }}\,\sin(\theta )$».

     Les positions des maxima d'amplitude résultante $\;{\big (}$ou d'interférences constructives${\big )}\;$ correspondent à «$\;\varphi _{2}-\varphi _{1}=p\,2\,\pi ,\;p\in \mathbb {Z} \;$», soit, avec l'explicitation du déphasage obtenue précédemment,
     Les positions des maxima d'amplitude résultante $\;\color {transparent}{\big (}$ou d'interférences constructives$\color {transparent}{\big )}\;$ correspondent à la « direction d'interférences constructives d'ordre $\;p$, $\;\theta _{p}\;$», définie selon
     Les positions des maxima d'amplitude résultante $\;\color {transparent}{\big (}$ou d'interférences constructives$\color {transparent}{\big )}\;$ correspondent à la « direction «$\;\sin(\theta _{p})=p\,{\dfrac {\lambda }{a}},\qquad \,p\in \mathbb {Z} \;$
     Les positions des maxima d'amplitude résultante $\;\color {transparent}{\big (}$ou d'interférences constructives$\color {transparent}{\big )}\;$ correspondent à la « direction «$\;\color {transparent}{\sin(\theta _{p})}$$\;=p\,\sin(\alpha ),\;p\in \mathbb {Z} \;$»
     Les positions des maxima d'amplitude résultante $\;\color {transparent}{\big (}$ou d'interférences constructives$\color {transparent}{\big )}\;$ correspondent à la « direction «$\;\color {transparent}{\sin(\theta _{p})}$«$\;\alpha =\arcsin \!\left({\dfrac {\lambda }{a}}\right)\;$ étant l'échelle angulaire du phénomène d'interférences » ;

• « pour $\;p=0$, $\;\theta _{0}=0\;$  on a interférences constructives »,
• l'« échelle angulaire valant $\;\alpha =\arcsin \!\left({\dfrac {8,5}{40}}\right)\simeq 0,214\;rad\simeq 12,3\;{\text{°}}\;$», nous observons des interférences constructives pour «$\;\theta _{\pm 1}=\pm 12,3\;{\text{°}}\;$» et
  l'« échelle angulaire valant $\;\color {transparent}{\alpha =\arcsin \!\left({\dfrac {8,5}{40}}\right)\simeq 0,214\;rad\simeq 12,3\;{\text{°}}}\;$», nous observons des interférences constructives pour «$\;\theta _{\pm 2}=\pm \arcsin \!\left(2\times {\dfrac {8,5}{40}}\right)\simeq \pm 0,439\;rad\simeq \pm 25,2\;{\text{°}}\;$» ,
  l'« échelle angulaire valant $\;\color {transparent}{\alpha =\arcsin \!\left({\dfrac {8,5}{40}}\right)\simeq 0,214\;rad\simeq 12,3\;{\text{°}}}\;$», les suivantes ne faisant pas partie de l'intervalle d'étude car «$\;\theta _{\pm 3}=\pm \arcsin \!\left(3\times {\dfrac {8,5}{40}}\right)\simeq \pm 0,691\;rad\simeq \pm 39,6\;{\text{°}}\;$»  ;

     il y a donc au total « cinq franges d'interférences constructives » dans le domaine d'étude.

 

Minima d'amplitude

     Sur l'intervalle d'étude précédent, quelles sont les positions où un minimum d'amplitude est attendu ?

     Si les ondes reçues ont même amplitude, quelle valeur d'amplitude minimale est prévue par la théorie ?

     Quels défauts peuvent expliquer un écart entre prévision et observation ?

Solution

     Les positions des minima d'amplitude résultante $\;{\big (}$ou d'interférences destructives${\big )}\;$ correspondent à «$\;\varphi _{2}-\varphi _{1}=\pi +p\,2\,\pi ,\;p\in \mathbb {Z} \;$», soit, avec l'explicitation du déphasage obtenue précédemment,
     Les positions des minima d'amplitude résultante $\;\color {transparent}{\big (}$ou d'interférences destructives$\color {transparent}{\big )}\;$ correspondent à la « direction d'interférences destructives d'ordre $\;p+{\dfrac {1}{2}}$, $\;\theta _{p+{\frac {1}{2}}}\;$», définie selon
     Les positions des minima d'amplitude résultante $\;\color {transparent}{\big (}$ou d'interférences destructives$\color {transparent}{\big )}\;$ correspondent à la « direction «$\;\sin \!\left(\theta _{p+{\frac {1}{2}}}\right)=\left(p+{\dfrac {1}{2}}\right){\dfrac {\lambda }{a}},\qquad \,p\in \mathbb {Z} \;$
     Les positions des minima d'amplitude résultante $\;\color {transparent}{\big (}$ou d'interférences destructives$\color {transparent}{\big )}\;$ correspondent à la « direction «$\;\color {transparent}{\sin \!\left(\theta _{p+{\frac {1}{2}}}\right)}$$\;=\left(p+{\dfrac {1}{2}}\right)\sin(\alpha ),\;p\in \mathbb {Z} \;$»
     Les positions des minima d'amplitude résultante $\;\color {transparent}{\big (}$ou d'interférences destructives$\color {transparent}{\big )}\;$ correspondent à la « direction «$\;\color {transparent}{\sin \!\left(\theta _{p+{\frac {1}{2}}}\right)}$«$\;\alpha =\arcsin \!\left({\dfrac {\lambda }{a}}\right)\;$ l'échelle angulaire du phénomène d'interférences » introduite dans la solution de la question « distance “ angulaire ” interfrange » plus haut dans cet exercice ;

     nous observons des interférences destructives pour :

• «$\;\theta _{\pm {\frac {1}{2}}}=\pm \arcsin \!\left({\dfrac {\lambda }{2\,a}}\right)=\pm \arcsin \!\left({\dfrac {8,5}{2\times 40}}\right)\simeq \pm 0,106\;rad\simeq \pm 6,1\;{\text{°}}\;$»  et
• «$\;\theta _{\pm {\frac {3}{2}}}=\pm \arcsin \!\left({\dfrac {3\,\lambda }{2\,a}}\right)=\pm \arcsin \!\left({\dfrac {3\times 8,5}{2\times 40}}\right)\simeq \pm 0,324\;rad\simeq \pm 18,6\;{\text{°}}\;$» alors que le suivant «$\;\theta _{\pm {\frac {5}{2}}}=\pm \arcsin \!\left({\dfrac {5\,\lambda }{2\,a}}\right)=\pm \arcsin \!\left({\dfrac {5\times 8,5}{2\times 40}}\right)$ $\simeq \pm 0,560\;rad\simeq \pm 32,1\;{\text{°}}\;$» ainsi que
  «$\;\color {transparent}{\theta _{\pm {\frac {3}{2}}}=\pm \arcsin \!\left({\dfrac {3\,\lambda }{2\,a}}\right)=\pm \arcsin \!\left({\dfrac {3\times 8,5}{2\times 40}}\right)\simeq \pm 0,324\;rad\simeq \pm 18,6\;{\text{°}}}\;$» alors que les autres de valeur absolue d'ordre plus élevée ne sont pas dans l'intervalle d'étude ;

     il y a donc au total « quatre franges d'interférences destructives » dans le domaine d'étude.

     Si les ondes reçues au point considéré ont même amplitude en étant en opposition de phase $\;{\big (}$caractérisant des interférences destructives${\big )}\;$ l'amplitude résultante doit être nulle alors que
     Si les ondes reçues au point considéré ont même amplitude en étant en phase $\;{\big (}$caractérisant des interférences constructives${\big )}\;$ l'amplitude résultante est le double de l'amplitude commune,

     Si les ondes reçues au point considéré ont même amplitude or l'état d'amplitude nulle est particulièrement sensible à tout défaut, par exemple :

• l'amplitude réelle étant une fonction « décroissante » en $\;{\dfrac {1}{r}}\;$  mais, le seul endroit où les amplitudes peuvent être rigoureusement les mêmes, si on tient compte de la $\;\searrow \;$ de l'amplitude de l'onde avec la distance, correspond à une différence de marche nulle c'est-à-dire à une interférence constructive $\;{\big \{}$toutefois ici, les plus faibles différences envisagées entre $\;r_{1}\;$ et $\;r_{2}\;$ pour pouvoir observer des interférences destructives restant minimes, ce ne peut être la raison principale de l'écart entre la prévision et l'observation${\big \}}$,
• la présence d'ondes parasites dues à des réflexions sur divers obstacles alentour $\;{\big \{}$peuvent être considérées comme une des raisons de l'écart entre la prévision et l'observation sans être la principale${\big \}}$ et
• la taille du récepteur $\;{\big (}$les lieux d'annulation étant ponctuels alors qu'un microphone capte sur une certaine surface et donne une réponse correspondant à la moyenne captée${\big )}$ $\;{\big \{}$doit être considérée comme une des raisons de l'écart entre la prévision et l'observation, vraisemblablement la principale${\big \}}$.

 

Inversion de phase

     Le dispositif permet d'« inverser »  le signal émis par l'un des émetteurs ${\big (}$ce qui revient à le déphaser de $\;\pi {\big )}$.

     Quel est l'état d'interférences sur l'axe $\;Ox$ ?

     Quelles sont les positions des nouveaux points de maximum et de minimum d'amplitude ?

     Qu'advient-il si l'on inverse également l'autre signal ?

Solution

     Sur l'axe $\;Ox$, la différence de parcours est « nulle » , on retrouve donc, au point $\;M$, le déphasage initial existant entre les sources ;
          Sur l'axe $\;\color {transparent}{Ox}$, la différence de parcours est « nulle », on observe donc des interférences destructives à amplitude nulle $\;{\big (}$si on néglige les deux derniers défauts énoncés dans la solution de la question « minima d'amplitude » plus haut dans cet exercice${\big )}$ ;

          Sur l'axe $\;\color {transparent}{Ox}$, la différence de parcours est « nulle », ajouter $\;\pi \;$ au déphasage revient à intervertir les lieux d'interférences constructives et ceux d'interférences destructives.

     Si on inverse également l'autre signal cela revient à rétablir la mise en phase des deux sources ; on retrouve donc les observations initiales.