Signaux physiques (PCSI)/Exercices/Propagation d'un signal : Onde progressive sinusoïdale

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Signaux physiques (PCSI)/Exercices/Propagation d'un signal : Onde progressive sinusoïdale
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Corde excitée de façon sinusoïdale

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     L'extrémité   d'une corde élastique maintenue horizontale en sa position de repos est reliée à un vibreur qui lui impose un mouvement oscillatoire vertical sinusoïdal de fréquence « » et d'amplitude « ».

     Chaque point   de la corde est balisé par son abscisse horizontale « » et son élongation verticale ascendante « » dans le repère  ,   désignant la position d'équilibre de   et   étant orienté de   vers l'autre extrémité de la corde.

     Le mouvement de   débute à l'instant  .

     Un dispositif amortisseur placé à l'autre extrémité de la corde empêche la réflexion de l'onde issue de  .

Explicitation de l'équation horaire de S connaissant son mouvement

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     Sachant qu'à l'instant  ,   passe par sa position d'équilibre avec une vitesse «  verticale ascendante de norme  », expliciter l'équation horaire du mouvement de  , notée « », en précisant les valeurs numériques de tous les paramètres.

Détermination de la longueur d'onde et de la célérité des ondes connaissant la plus courte distance de points de la corde vibrant en opposition de phase

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     La plus petite distance entre deux points de la corde vibrant en opposition de phase étant « », en déduire

  • la longueur d'onde « » des ondes le long de la corde ainsi que
  • la célérité « » de propagation des ondes le long de cette corde.

Comparaison du mouvement d'un point M1 d'abscisse fixée à celui du point S lié au vibreur

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     On considère maintenant un point   de la corde, d'abscisse « ».

  • Préciser son équation horaire « », en particulier déterminer la valeur numérique de son retard temporel par rapport à   ;
  • Comparer les mouvements des points   et    on calculera, en particulier, les élongations des points   et   à l'instant de date « » .

Détermination de l'aspect de la corde à un instant t1 fixé

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     On étudie maintenant la corde globalement à l'instant « ».

  • Préciser la fonction « » décrivant l'élongation le long de la corde à cet instant « », en particulier déterminer la valeur numérique de sa période spatiale ;
  • représenter précisément l'aspect de la corde à cet instant « ».

Effet Doppler

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     Une onde sinusoïdale de fréquence   se propage dans la direction   dans le sens des   avec la célérité   ;
     un observateur   se déplace à la vitesse    est le vecteur unitaire de l'axe   dans le sens des  .

Explicitation du signal au point d'abscisse x et à l'instant t

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     Expliciter le signal   associé à l'onde sinusoïdale au point   d'abscisse   et à l'instant  , on définira toutes les notations nécessaires.

Réécriture du signal au point d'abscisse x' (repéré par rapport à l'observateur) et à l'instant t

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     Pour l'observateur   en mouvement, le point   est repéré par une abscisse   le long de l'axe   en translation uniforme relativement à l'axe   de vecteur vitesse   ;
     expliciter   en fonction de l'abscisse   du point   relativement à l'axe  ,   et   puis

     réécrire l'expression du signal   au point   d'abscisse   repérée relativement à l'axe   et à l'instant  .

Expression de la fréquence du signal définie par rapport à l'observateur en mouvement

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     De l'expression de   en déduire l'expression de la fréquence   pour l'observateur en mouvement.

     Comparer   et   suivant le signe de  .

Application à un exemple de la vie courante

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     Vous marchez dans la rue et un camion de pompiers, sirène en marche, arrive de derrière et vous dépasse. Qu'entendez-vous ?

Mesure de distance et de vitesse par radar

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     Un « radar »[10] est un appareil utilisant des ondes « radio »[11] pour détecter la présence d'objets mobiles, et pouvant également déterminer leur distance et leur vitesse.

     On présente ici le principe de ces deux mesures.

     Le « radar »[10] comporte une antenne qui émet, avec une période  , des impulsions, c'est-à-dire des signaux sinusoïdaux de « durée limitée  »[12], la durée des impulsions[12]   étant petite relativement à la période   de leur émission[13]  mais toutefois  .

     Ces impulsions[12] sont envoyées dans toutes les directions de l'espace.
     Lorsque l'une d'elles rencontre un objet réfléchissant, elle est renvoyée vers l'antenne, laquelle est réceptrice entre deux émissions  l'antenne ne pouvant être simultanément émettrice et réceptrice[14] .

     Cela fait alors apparaître un point lumineux sur l'écran, indiquant la direction de la cible, et l'analyse du signal reçu permet d'effectuer les mesures souhaitées.

Étude de trois échos renvoyés par des objets mobiles sur un même intervalle de non émission de l'antenne

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     Un « radar »[10] émet des impulsions[12] de fréquence « » et de durée « », avec une période d'émission « »[13].

     On considère un 1er enregistrement entre deux impulsions[12] successives émises par le « radar »[10], la 1ère impulsion[12] débutant à l'instant « » et la 2nde à l'instant « » ;
     on y observe trois échos renvoyés par des objets,  le début du 1er écho commençant à l'instant « »  l'amplitude de l'écho étant plus faible que celle de chaque impulsion incidente ,
     on y observe trois échos renvoyés par des objets,  le début du 2ème écho d'amplitude plus faible que celle du précédent à l'instant « » et
     on y observe trois échos renvoyés par des objets,  le début du 3ème écho d'amplitude encore plus faible que celle du précédent à l'instant « ».

Longueur d'onde des ondes émises pendant une impulsion et nombre d'oscillations dans chaque impulsion

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     Calculer la longueur d'onde   des ondes émises pendant une impulsion[12] sachant que la célérité des ondes radio dans l'air vaut « » et

     Calculer le nombre   d'oscillations dans chaque impulsion[12].

Détermination de la distance à laquelle se trouvent les divers objets détectés par écho

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     Déterminer la distance à laquelle se trouve chaque objet détecté par l'un des trois échos  les ondes radio réfléchies se propageant à la même célérité que les ondes incidentes « »  ;

     proposer une explication à la différence d'amplitude entre les impulsions[12] incidentes et les échos ainsi qu'à
     proposer une explication à la différence d'amplitude entre chaque écho.

Détermination des distances extrémales séparant un objet du radar en dessous et au-dessus de laquelle l'objet ne peut pas être détecté sur l'enregistrement étudié

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     Montrer qu'il existe une distance minimale séparant un objet du « radar »[10] en dessous de laquelle on ne peut pas détecter un objet  on calculera sa valeur numérique  et

     Montrer qu'il existe une distance maximale séparant un objet du « radar »[10] au-dessus de laquelle on ne peut pas détecter un objet sur l'enregistrement étudié  on calculera aussi sa valeur numérique .

1ère méthode de détermination de la vitesse d'un objet par utilisation de l'effet Doppler

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     Pour déterminer la vitesse d'un objet à l'aide d'un « radar »[10], une 1ère possibilité consiste à utiliser l'effet Doppler[9] à savoir
           Pour déterminer la vitesse d'un objet à l'aide d'un « radar », dans la mesure où l'objet « s'éloigne du “ radar ”[10] avec une vitesse  »
           Pour déterminer la vitesse d'un objet à l'aide d'un « radar », les oscillations de l'écho ont une fréquence   à celle des oscillations de l'impulsion[12] incidente selon « »[8] ou
           Pour déterminer la vitesse d'un objet à l'aide d'un « radar », dans la mesure où l'objet « se rapproche du “ radar ”[10] avec une vitesse  »
           Pour déterminer la vitesse d'un objet à l'aide d'un « radar », les oscillations de l'écho ont une fréquence   à celle des oscillations de l'impulsion[12] incidente selon « »[8].

     Rappeler la raison du décalage en fréquence puis

     déterminer la variation relative de fréquence pour un avion s'éloignant à la vitesse   et

     conclure sur la précision de cette méthode.

2ème méthode de détermination de la vitesse d'un objet par utilisation du décalage temporel des échos de deux impulsions successives renvoyés par l'objet

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     Pour déterminer la vitesse d'un objet à l'aide d'un « radar »[10], une 2ème possibilité consiste à utiliser l'écho de deux impulsions[12] successives renvoyé par le même objet mobile,
           Pour déterminer la vitesse d'un objet à l'aide d'un « radar », en mesurant simplement le décalage temporel entre ces échos.

     Calculer le décalage temporel entre les échos de deux impulsions[12] successives renvoyés par l'avion précédent s'éloignant à la vitesse   et
     commenter.

3ème méthode de détermination de la vitesse d'un objet par utilisation du déphasage des échos de deux impulsions successives en phase renvoyés par l'objet

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     Pour déterminer la vitesse d'un objet à l'aide d'un « radar »[10], une 3ème possibilité consiste à utiliser l'écho de deux impulsions[12] successives en phase renvoyé par le même objet mobile,
           Pour déterminer la vitesse d'un objet à l'aide d'un « radar », en mesurant simplement le déphasage entre ces échos.

     Exprimer ce déphasage entre les échos de deux impulsions[12] successives en phase, renvoyés par un objet s'éloignant du « radar »[10] à une vitesse  , en fonction de  , de la durée   entre les impulsions[12] et de la longueur d'onde   des oscillations ;

     calculer ce déphasage dans le cas de l'avion précédent s'éloignant à la vitesse   et
     commenter.

Détermination de la vitesse d'éloignement (ou d'approche) d'un objet ne se déplaçant pas le long de la ligne de visée

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     Un objet ne se déplaçant pas le long de la ligne de visée de l'antenne du “ radar ”[10] a une « vitesse d'éloignement  ou d'approche »[32] décomposable en

  • une vitesse longitudinale[33]   déterminable par l'une des trois méthodes exposées précédemment[34] et
  • une vitesse transversale[35]   inéligible à l'utilisation de l'une des trois méthodes exposées précédemment.

     Proposer un moyen de déterminer cette composante transversale[35] de la « vitesse d'éloignement  ou d'approche »[32]  on pensera à utiliser la détermination des positions de l'objet lors d'envoi successif d'impulsions  ;

     en déduire la détermination de la norme de la « vitesse d'éloignement  ou d'approche »[32]   de l'objet.

Célérité des ondes sismiques

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Modélisation des interactions entre atomes par un ressort de raideur   et de longueur à vide nulle

     On modélise un matériau solide à l'échelle microscopique par une chaîne d'atomes infinie  voir figure ci-contre .

     Les atomes sont assimilés à des points matériels de même masse  , reliés par des ressorts identiques de longueur à vide nulle et de raideur  , susceptibles de se déplacer sans frottements le long de l'axe  .
     Ces ressorts fictifs modélisent, dans l'approximation linéaire, les actions subies par les atomes lorsqu'ils se déplacent au voisinage de leur position d'équilibre d'abscisse   sous l'action d'une perturbation liée à l'arrivée d'une onde sismique.
     On repère les positions des atomes hors d'équilibre par leurs abscisses   où leurs déplacements   sont supposés faibles devant  .

Équation différentielle du mouvement du nème atome

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     Établir l'équation différentielle en   du mouvement de l'atome  ,
     la mettre sous la forme « » et

     exprimer   en fonction des données ;

     quelle est sa signification concrète ?

Condition pour qu'une onde sismique soit solution de l'équation différentielle précédente

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     Une onde sismique harmonique de pulsation   étant décrite par une solution de la forme « » où   et   sont des constantes,
     vérifier qu'une telle solution n'est possible que « si   et   sont reliés par une condition  » [45].

Simplification de la condition (C) dans l'approximation des milieux continus

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     On se place maintenant dans l'approximation des milieux continus[49] ce qui correspond dans le cas présent à
     On se place maintenant dans l'hypothèse dans laquelle « la distance   séparant deux atomes successifs dans leurs positions d'équilibre est considérée comme petite pour l'onde sismique la traversant » soit
     On se place maintenant dans l'hypothèse dans laquelle « » ;

          On se place maintenant dans l'approximation des milieux continus en déduire que la condition   se simplifie en « ».

     Dans toute la suite, on admet que «  est la célérité   des ondes sismiques »[50].

Évaluation de l'ordre de grandeur de la célérité de propagation des ondes sismiques dans le fer

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     On cherche à évaluer un ordre de grandeur de la célérité de propagation des ondes sismiques   dans le fer et pour cela,
     On cherche à évaluer on donne la « masse molaire atomique du Fer  » ainsi que « sa masse volumique  » et
     On cherche à évaluer on rappelle les valeurs suivantes : « un électronvolt  » et la « constante d'Avogadro[52]    ».

     Calculer la distance   séparant deux atomes successifs dans leurs positions d'équilibre en admettant que le volume moyen occupé par un atome est  .

     Rappeler, sans démonstration, l'expression de l'énergie potentielle associée à un ressort de raideur   et d'allongement   ;

     Rappeler, sans démonstration, en identifiant cette énergie à l'énergie de liaison par atome supposée égale à  , calculer   ;

     Rappeler, sans démonstration, en déduire un ordre de grandeur de   et

     Rappeler, sans démonstration, commenter.

Notes et références

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  1. Conditions Initiales.
  2. Sachant que « ».
  3. Voir le paragraphe « propagation dans le sens des abscisses ↗ (2ème encadré “ à retenir ”) » du chap.  de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
  4. 4,0 4,1 4,2 4,3 4,4 et 4,5 Voir le paragraphe « lien entre longueur d'onde, fréquence (temporelle) et célérité pour une P.P.H. (remarque) » du chap.  de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
  5. Voir le paragraphe « périodicité temporelle de l'onde progressive sinusoïdale (O.P.H.), période et fréquence » du chap.  de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
  6. Puisqu'il s'est écoulé   périodes temporelles depuis l'instant initial,   retrouve son mouvement initial.
  7. Ce que l'on peut vérifier numériquement avec « » d'où « ».
  8. 8,0 8,1 et 8,2 Cette expression n'est correcte que dans le cadre cinématique classique  ou newtonienne  nécessitant que   reste petite par rapport à la vitesse de la lumière soit   et en pratique    voir le paragraphe « définition du (vecteur) quantité de mouvement du point matériel dans le cadre de la cinétique newtonienne (en cinétique newtonienne - partie entre crochets) » du chap.  de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » .
  9. 9,0 9,1 9,2 et 9,3 Christian Doppler (1803 - 1853) mathématicien et physicien autrichien qui fut à l'origine de la découverte de l'effet Doppler.
  10. 10,00 10,01 10,02 10,03 10,04 10,05 10,06 10,07 10,08 10,09 10,10 10,11 10,12 10,13 10,14 10,15 10,16 10,17 10,18 10,19 10,20 10,21 10,22 10,23 10,24 10,25 et 10,26 Mot provenant de l'acronyme anglais « Radio Detection And Ranging » signifiant « radiodétection et télémétrie ».
  11. Ondes électromagnétiques de fréquences comprises entre « » et « ».
  12. 12,00 12,01 12,02 12,03 12,04 12,05 12,06 12,07 12,08 12,09 12,10 12,11 12,12 12,13 12,14 12,15 12,16 12,17 12,18 12,19 12,20 12,21 12,22 12,23 12,24 12,25 12,26 12,27 12,28 12,29 12,30 12,31 12,32 12,33 12,34 12,35 12,36 12,37 12,38 12,39 12,40 12,41 et 12,42 Encore appelés « train d'ondes », «  étant la durée du train d'ondes ».
  13. 13,0 et 13,1 C.-à-d. la durée écoulée entre les débuts d'émission d'impulsions successives.
  14. La propriété émettrice étant prépondérante sur la propriété réceptrice   pas de réception possible simultanément à une émission.
  15. Si nous tenons compte de la précision sur   et sur   nous obtenons « », raison pour laquelle nous écrivons « » car seuls les   1ers chiffres sont assurés.
  16. 16,0 et 16,1 C.-à-d. non détectés par « radar ».
  17. Correspondant à « la distance parcourue par l'onde de l'antenne à l'objet sur l'intervalle   soit  » égale à « la distance séparant l'antenne et l'objet à l'instant   soit  ».
  18. 18,0 18,1 et 18,2 On rappelle que « ».
  19. 19,0 et 19,1 Dans le cadre de la cinématique newtonienne  voir le paragraphe « définition du (vecteur) quantité de mouvement du point matériel dans le cadre de la cinétique newtonienne (en cinétique newtonienne - partie entre crochets) » du chap.  de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » , «  peut être considéré comme un infiniment petit d'ordre un »  voir le paragraphe « infiniment petits d'ordres successifs » du chap.  de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » , on forme alors le « développement limité  D.L.  de   à l'ordre un en l'infiniment petit  », voir le paragraphe « D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles » du chap.  de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » appliqué à «       ».
  20. En supposant que le signal émis par l'antenne s'écrit « », celui atteignant l'objet a une amplitude diminuée due aux phénomènes d'absorption  d'où   remplacée par   et est en retard temporel relativement au signal émis par l'antenne, le « retard temporel étant égal à  »  les distances n'étant pas algébrisées, le sens de propagation n'intervient pas .
  21. Correspondant à « la distance parcourue par l'onde de l'objet à l'antenne sur l'intervalle   soit  » égale à « la distance séparant l'antenne et l'objet à l'instant   soit  ».
  22. En effet « »   « »  
  23. Compte-tenu de la petitesse de    on pourrait considérer   comme un infiniment petit de même ordre que   c'est-à-dire un ordre un  d'où «    à l'ordre un », «  étant considéré comme un infiniment petit d'ordre deux» doit être éliminé.
  24. Le symbole « » étant personnel signifiant « approximativement compris dans ».
  25. En effet la distance à parcourir dans le sens incident pour atteindre l'objet à l'instant   à partir de l'instant   est la même que celle à parcourir dans le sens réfléchi pour atteindre l'antenne à l'instant   et ceci avec une célérité   invariante par changement de référentiel d'où « ».
  26. Le signal réfléchi par l'objet s'écrivant « », celui atteignant l'antenne devenue réceptrice a une amplitude diminuée due aux phénomènes d'absorption  d'où   remplacée par   et est en retard temporel relativement au signal réfléchi par l'objet s'ajoutant au retard temporel relativement au signal incident, le « retard temporel total étant égal à  »  les distances n'étant pas algébrisées, le sens de propagation n'intervient pas .
  27. La classe d'un appareil détermine son degré de précision dans ses mesures ou repérages, ainsi un « appareil de classe   admet une précision de   de l'étendue de mesure », il faudrait ici un « appareil de classe  ».
  28. 28,0 28,1 28,2 28,3 28,4 et 28,5 Voir la solution de la question « 1ère méthode de détermination de la vitesse d'un objet par utilisation de l'effet Doppler » plus haut dans cet exercice.
  29. En supposant que le signal émis par l'antenne s'écrit « », celui atteignant l'antenne devenue réceptrice a une amplitude diminuée due aux phénomènes d'absorption  d'où   remplacée par   et est en retard temporel relativement au signal émis par l'antenne, le « retard temporel étant la somme de celui relativement au signal incident et de celui relativement au signal réfléchi égal à  »  les distances n'étant pas algébrisées, le sens de propagation n'intervient pas .
  30. 30,0 et 30,1 Nous limitant à l'ordre un en   nous pouvons éliminer   considéré comme un ordre deux.
  31. En supposant que le signal émis par l'antenne lors de la 2ème impulsion s'écrit « »  en phase avec le signal émis lors de la 1ère impulsion , celui atteignant l'antenne devenue réceptrice a une amplitude diminuée due aux phénomènes d'absorption  d'où   remplacée par   et est en retard temporel relativement au signal émis par l'antenne, le « retard temporel étant la somme de celui relativement au signal incident et de celui relativement au signal réfléchi égal à    »  les distances n'étant pas algébrisées, le sens de propagation n'intervient pas .
  32. 32,0 32,1 32,2 32,3 et 32,4 Supposant l'antenne du “ radar ” linéaire, nous appelons « vitesse d'éloignement  ou d'approche » d'un objet la composante de la vitesse   à l'antenne.
  33. C.-à-d. le long de la ligne de visée.
  34. Dans le cas d'une approche au lieu d'un éloignement il suffit de remplacer   par  .
  35. 35,0 35,1 et 35,2 C.-à-d.   à la ligne de visée.
  36. 36,0 et 36,1 Attention si l'objet se déplace rectilignement en faisant un angle   avec la ligne de visée orientée en partant de l'antenne, la distance   parcourue perpendiculairement à la ligne de visée est liée à la distance   parcourue sur l'écran par « ».
  37. Voir la solution de la question « détermination de la distance à laquelle se trouvent les divers objets détectés par écho » plus haut dans cet exercice.
  38. 38,0 et 38,1 Voir le paragraphe « cause de déséquilibre, loi de Hooke » du chap.  de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
       Robert Hooke (1635 - 1703) est l'un des plus grands scientifiques expérimentaux anglais du XVIIème siècle ayant contribué à l'avancement des sciences et techniques dans pratiquement tous les domaines.
  39. Quand le ressort de gauche est allongé il est dans le sens contreire de  .
  40. Quand l'atome   se déplace de   l'allongement du ressort de gauche   de   et quand l'atome   se déplace de   l'allongement du ressort de gauche   de  .
  41. Quand le ressort de droite est allongé il est dans le sens de  .
  42. Quand l'atome   se déplace de   l'allongement du ressort de droite   de   et quand l'atome   se déplace de   l'allongement du ressort de droite   de  .
  43. Voir le paragraphe « rappel de dynamique, relation fondamentale de la dynamique newtonienne » du chap.  de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
  44. Comme par exemple dans une molécule diatomique.
  45. 45,0 et 45,1 Pour résoudre cette question on associera à « la solution harmonique  », « la grandeur instantanée complexe    » où «    est l'amplitude complexe », l'équation différentielle à laquelle la grandeur instantanée complexe obéit étant la même que celle dont   est solution, puis
                        Pour résoudre cette question on exprimera « cette équation différentielle en fonction de  » après simplification par   ;
                        Pour résoudre cette question on exprimera « cette équation admettant pour seule solution    évidemment à rejeter  sauf « si la condition   cherchée sur   est réalisée ».
  46. Voir la solution de la question « équation différentielle du mouvement du nème atome » plus haut dans cet exercice.
  47. On a utilisé la formule d'Euler relative au cosinus « ».
       Leonhard Euler (1707 - 1783) mathématicien et physicien suisse qui passa la plus grande partie de sa vie dans l'Empire russe et en Allemagne ; en mathématiques il fit d'importantes découvertes dans des domaines aussi variés que le calcul infinitésimal et la théorie des graphes, il introduisit également une grande partie de la terminologie et de la notation des mathématiques modernes, en particulier pour l'analyse mathématique, comme la notion de fonction mathématique ; il est aussi connu pour ses travaux en mécanique, en dynamique des fluides, en optique et en astronomie.
  48. En effet le 2nd membre de l'égalité « » pouvant être réécrit sous forme d'un carré en utilisant la formule de trigonométrie « »  on rappelle les trois expressions équivalentes de  , « » .
  49. 49,0 49,1 et 49,2 Voir le paragraphe « introduction de l'approximation des milieux continus » du chap.  de la leçon « Statique des fluides » pour plus de détails.
  50. Ainsi «  est la pulsation spatiale des ondes sismiques » et
       Ainsi «  la phase à l'instant   et à l'abscisse   de l'onde sismique progressive sinusoïdale » se propageant dans le sens  .
  51. En effet si un angle  en   est infiniment petit la valeur de son sinus peut être confondu avec la valeur de l'angle  en    voir aussi le paragraphe « développemeents limités (D.L.) à l'ordre un de quelques fonctions usuelles » du chap.  de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » appliqué à la fonction sinus au voisinage de zéro .
  52. 52,0 et 52,1 Lorenzo Romano Amedeo Carlo Avogadro (1776 - 1856) est un physicien et chimiste du Piémont  région actuelle de l'Italie  à qui on doit essentiellement la loi d'Avogadro Ampère qu'il énonça en   et proposée indépendamment par Ampère en  , celle-ci spécifiant que « des volumes égaux de gaz parfaits différents, aux mêmes conditions de température et de pression, contiennent le même nombre de molécules ».
       André-Marie Ampère (1775 - 1836), mathématicien, physicien, chimiste et philosophe français, peut être considéré comme l'un des premiers artisans de la mathématisation de la physique, il a édifié les fondements théoriques de l'électromagnétisme et a découvert les bases de l'électronique de la matière.
  53. Ayant «  atome pour un volume   exprimé en  », pour un volume de   on a   atomes soit une « densité atomique par unité de volume   exprimée en  ».
  54. Le rayon d'un atome d'hydrogène dans son état fondamental étant  .
  55. Cette expression a été vue une 1ère fois dans le paragraphe « énergie potentielle élastique, conséquence de l'action d'un ressort » du chap.  de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »,
                            elle sera établie sous une forme plus générale au paragraphe « énergie potentielle élastique d'un point matériel » du chap.  de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
  56. La référence d'une énergie potentielle étant la position ou les conditions dans lesquelles l'objet dont c'est l'énergie potentielle est choisie nulle.