Signaux physiques (PCSI)/Exercices/Propagation d'un signal : Onde progressive sinusoïdale

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Signaux physiques (PCSI)/Exercices/Propagation d'un signal : Onde progressive sinusoïdale
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Corde excitée de façon sinusoïdale modifier

     L'extrémité   d'une corde élastique maintenue horizontale en sa position de repos est reliée à un vibreur qui lui impose un mouvement oscillatoire vertical sinusoïdal de fréquence « » et d'amplitude « ».

     Chaque point   de la corde est balisé par son abscisse horizontale « » et son élongation verticale ascendante « » dans le repère  ,   désignant la position d'équilibre de   et   étant orienté de   vers l'autre extrémité de la corde.

     Le mouvement de   débute à l'instant  .

     Un dispositif amortisseur placé à l'autre extrémité de la corde empêche la réflexion de l'onde issue de  .

Explicitation de l'équation horaire de S connaissant son mouvement modifier

     Sachant qu'à l'instant  ,   passe par sa position d'équilibre avec une vitesse «  verticale ascendante de norme  », expliciter l'équation horaire du mouvement de  , notée « », en précisant les valeurs numériques de tous les paramètres.

Détermination de la longueur d'onde et de la célérité des ondes connaissant la plus courte distance de points de la corde vibrant en opposition de phase modifier

     La plus petite distance entre deux points de la corde vibrant en opposition de phase étant « », en déduire

  • la longueur d'onde « » des ondes le long de la corde ainsi que
  • la célérité « » de propagation des ondes le long de cette corde.

Comparaison du mouvement d'un point M1 d'abscisse fixée à celui du point S lié au vibreur modifier

     On considère maintenant un point   de la corde, d'abscisse « ».

  • Préciser son équation horaire « », en particulier déterminer la valeur numérique de son retard temporel par rapport à   ;
  • Comparer les mouvements des points   et    on calculera, en particulier, les élongations des points   et   à l'instant de date « » .

Détermination de l'aspect de la corde à un instant t1 fixé modifier

     On étudie maintenant la corde globalement à l'instant « ».

  • Préciser la fonction « » décrivant l'élongation le long de la corde à cet instant « », en particulier déterminer la valeur numérique de sa période spatiale ;
  • représenter précisément l'aspect de la corde à cet instant « ».

Effet Doppler modifier

     Une onde sinusoïdale de fréquence   se propage dans la direction   dans le sens des   avec la célérité   ;
     un observateur   se déplace à la vitesse    est le vecteur unitaire de l'axe   dans le sens des  .

Explicitation du signal au point d'abscisse x et à l'instant t modifier

     Expliciter le signal   associé à l'onde sinusoïdale au point   d'abscisse   et à l'instant  , on définira toutes les notations nécessaires.

Réécriture du signal au point d'abscisse x' (repéré par rapport à l'observateur) et à l'instant t modifier

     Pour l'observateur   en mouvement, le point   est repéré par une abscisse   le long de l'axe   en translation uniforme relativement à l'axe   de vecteur vitesse   ;
     expliciter   en fonction de l'abscisse   du point   relativement à l'axe  ,   et   puis

     réécrire l'expression du signal   au point   d'abscisse   repérée relativement à l'axe   et à l'instant  .

Expression de la fréquence du signal définie par rapport à l'observateur en mouvement modifier

     De l'expression de   en déduire l'expression de la fréquence   pour l'observateur en mouvement.

     Comparer   et   suivant le signe de  .

Application à un exemple de la vie courante modifier

     Vous marchez dans la rue et un camion de pompiers, sirène en marche, arrive de derrière et vous dépasse. Qu'entendez-vous ?

Mesure de distance et de vitesse par radar modifier

     Un « radar »[10] est un appareil utilisant des ondes « radio »[11] pour détecter la présence d'objets mobiles, et pouvant également déterminer leur distance et leur vitesse.

     On présente ici le principe de ces deux mesures.

     Le « radar »[10] comporte une antenne qui émet, avec une période  , des impulsions, c'est-à-dire des signaux sinusoïdaux de « durée limitée  »[12], la durée des impulsions[12]   étant petite relativement à la période   de leur émission[13]  mais toutefois  .

     Ces impulsions[12] sont envoyées dans toutes les directions de l'espace.
     Lorsque l'une d'elles rencontre un objet réfléchissant, elle est renvoyée vers l'antenne, laquelle est réceptrice entre deux émissions  l'antenne ne pouvant être simultanément émettrice et réceptrice[14] .

     Cela fait alors apparaître un point lumineux sur l'écran, indiquant la direction de la cible, et l'analyse du signal reçu permet d'effectuer les mesures souhaitées.

Étude de trois échos renvoyés par des objets mobiles sur un même intervalle de non émission de l'antenne modifier

     Un « radar »[10] émet des impulsions[12] de fréquence « » et de durée « », avec une période d'émission « »[13].

     On considère un 1er enregistrement entre deux impulsions[12] successives émises par le « radar »[10], la 1ère impulsion[12] débutant à l'instant « » et la 2nde à l'instant « » ;
     on y observe trois échos renvoyés par des objets,  le début du 1er écho commençant à l'instant « »  l'amplitude de l'écho étant plus faible que celle de chaque impulsion incidente ,
     on y observe trois échos renvoyés par des objets,  le début du 2ème écho d'amplitude plus faible que celle du précédent à l'instant « » et
     on y observe trois échos renvoyés par des objets,  le début du 3ème écho d'amplitude encore plus faible que celle du précédent à l'instant « ».

Longueur d'onde des ondes émises pendant une impulsion et nombre d'oscillations dans chaque impulsion modifier

     Calculer la longueur d'onde   des ondes émises pendant une impulsion[12] sachant que la célérité des ondes radio dans l'air vaut « » et

     Calculer le nombre   d'oscillations dans chaque impulsion[12].

Détermination de la distance à laquelle se trouvent les divers objets détectés par écho modifier

     Déterminer la distance à laquelle se trouve chaque objet détecté par l'un des trois échos  les ondes radio réfléchies se propageant à la même célérité que les ondes incidentes « »  ;

     proposer une explication à la différence d'amplitude entre les impulsions[12] incidentes et les échos ainsi qu'à
     proposer une explication à la différence d'amplitude entre chaque écho.

Détermination des distances extrémales séparant un objet du radar en dessous et au-dessus de laquelle l'objet ne peut pas être détecté sur l'enregistrement étudié modifier

     Montrer qu'il existe une distance minimale séparant un objet du « radar »[10] en dessous de laquelle on ne peut pas détecter un objet  on calculera sa valeur numérique  et

     Montrer qu'il existe une distance maximale séparant un objet du « radar »[10] au-dessus de laquelle on ne peut pas détecter un objet sur l'enregistrement étudié  on calculera aussi sa valeur numérique .

1ère méthode de détermination de la vitesse d'un objet par utilisation de l'effet Doppler modifier

     Pour déterminer la vitesse d'un objet à l'aide d'un « radar »[10], une 1ère possibilité consiste à utiliser l'effet Doppler[9] à savoir
           Pour déterminer la vitesse d'un objet à l'aide d'un « radar », dans la mesure où l'objet « s'éloigne du “ radar ”[10] avec une vitesse  »
           Pour déterminer la vitesse d'un objet à l'aide d'un « radar », les oscillations de l'écho ont une fréquence   à celle des oscillations de l'impulsion[12] incidente selon « »[8] ou
           Pour déterminer la vitesse d'un objet à l'aide d'un « radar », dans la mesure où l'objet « se rapproche du “ radar ”[10] avec une vitesse  »
           Pour déterminer la vitesse d'un objet à l'aide d'un « radar », les oscillations de l'écho ont une fréquence   à celle des oscillations de l'impulsion[12] incidente selon « »[8].

     Rappeler la raison du décalage en fréquence puis

     déterminer la variation relative de fréquence pour un avion s'éloignant à la vitesse   et

     conclure sur la précision de cette méthode.

2ème méthode de détermination de la vitesse d'un objet par utilisation du décalage temporel des échos de deux impulsions successives renvoyés par l'objet modifier

     Pour déterminer la vitesse d'un objet à l'aide d'un « radar »[10], une 2ème possibilité consiste à utiliser l'écho de deux impulsions[12] successives renvoyé par le même objet mobile,
           Pour déterminer la vitesse d'un objet à l'aide d'un « radar », en mesurant simplement le décalage temporel entre ces échos.

     Calculer le décalage temporel entre les échos de deux impulsions[12] successives renvoyés par l'avion précédent s'éloignant à la vitesse   et
     commenter.

3ème méthode de détermination de la vitesse d'un objet par utilisation du déphasage des échos de deux impulsions successives en phase renvoyés par l'objet modifier

     Pour déterminer la vitesse d'un objet à l'aide d'un « radar »[10], une 3ème possibilité consiste à utiliser l'écho de deux impulsions[12] successives en phase renvoyé par le même objet mobile,
           Pour déterminer la vitesse d'un objet à l'aide d'un « radar », en mesurant simplement le déphasage entre ces échos.

     Exprimer ce déphasage entre les échos de deux impulsions[12] successives en phase, renvoyés par un objet s'éloignant du « radar »[10] à une vitesse  , en fonction de  , de la durée   entre les impulsions[12] et de la longueur d'onde   des oscillations ;

     calculer ce déphasage dans le cas de l'avion précédent s'éloignant à la vitesse   et
     commenter.

Détermination de la vitesse d'éloignement (ou d'approche) d'un objet ne se déplaçant pas le long de la ligne de visée modifier

     Un objet ne se déplaçant pas le long de la ligne de visée de l'antenne du “ radar ”[10] a une « vitesse d'éloignement  ou d'approche »[32] décomposable en

  • une vitesse longitudinale[33]   déterminable par l'une des trois méthodes exposées précédemment[34] et
  • une vitesse transversale[35]   inéligible à l'utilisation de l'une des trois méthodes exposées précédemment.

     Proposer un moyen de déterminer cette composante transversale[35] de la « vitesse d'éloignement  ou d'approche »[32]  on pensera à utiliser la détermination des positions de l'objet lors d'envoi successif d'impulsions  ;

     en déduire la détermination de la norme de la « vitesse d'éloignement  ou d'approche »[32]   de l'objet.

Célérité des ondes sismiques modifier

 
Modélisation des interactions entre atomes par un ressort de raideur   et de longueur à vide nulle

     On modélise un matériau solide à l'échelle microscopique par une chaîne d'atomes infinie  voir figure ci-contre .

     Les atomes sont assimilés à des points matériels de même masse  , reliés par des ressorts identiques de longueur à vide nulle et de raideur  , susceptibles de se déplacer sans frottements le long de l'axe  .
     Ces ressorts fictifs modélisent, dans l'approximation linéaire, les actions subies par les atomes lorsqu'ils se déplacent au voisinage de leur position d'équilibre d'abscisse   sous l'action d'une perturbation liée à l'arrivée d'une onde sismique.
     On repère les positions des atomes hors d'équilibre par leurs abscisses   où leurs déplacements   sont supposés faibles devant  .

Équation différentielle du mouvement du nème atome modifier

     Établir l'équation différentielle en   du mouvement de l'atome  ,
     la mettre sous la forme « » et

     exprimer   en fonction des données ;

     quelle est sa signification concrète ?

Condition pour qu'une onde sismique soit solution de l'équation différentielle précédente modifier

     Une onde sismique harmonique de pulsation   étant décrite par une solution de la forme « » où   et   sont des constantes,
     vérifier qu'une telle solution n'est possible que « si   et   sont reliés par une condition  » [45].

Simplification de la condition (C) dans l'approximation des milieux continus modifier

     On se place maintenant dans l'approximation des milieux continus[49] ce qui correspond dans le cas présent à
     On se place maintenant dans l'hypothèse dans laquelle « la distance   séparant deux atomes successifs dans leurs positions d'équilibre est considérée comme petite pour l'onde sismique la traversant » soit
     On se place maintenant dans l'hypothèse dans laquelle « » ;

          On se place maintenant dans l'approximation des milieux continus en déduire que la condition   se simplifie en « ».

     Dans toute la suite, on admet que «  est la célérité   des ondes sismiques »[50].

Évaluation de l'ordre de grandeur de la célérité de propagation des ondes sismiques dans le fer modifier

     On cherche à évaluer un ordre de grandeur de la célérité de propagation des ondes sismiques   dans le fer et pour cela,
     On cherche à évaluer on donne la « masse molaire atomique du Fer  » ainsi que « sa masse volumique  » et
     On cherche à évaluer on rappelle les valeurs suivantes : « un électronvolt  » et la « constante d'Avogadro[52]    ».

     Calculer la distance   séparant deux atomes successifs dans leurs positions d'équilibre en admettant que le volume moyen occupé par un atome est  .

     Rappeler, sans démonstration, l'expression de l'énergie potentielle associée à un ressort de raideur   et d'allongement   ;

     Rappeler, sans démonstration, en identifiant cette énergie à l'énergie de liaison par atome supposée égale à  , calculer   ;

     Rappeler, sans démonstration, en déduire un ordre de grandeur de   et

     Rappeler, sans démonstration, commenter.