Signaux physiques (PCSI)/Exercices/Propagation d'un signal : Onde progressive sinusoïdale
Corde excitée de façon sinusoïdale
modifierL'extrémité d'une corde élastique maintenue horizontale en sa position de repos est reliée à un vibreur qui lui impose un mouvement oscillatoire vertical sinusoïdal de fréquence « » et d'amplitude « ».
Chaque point de la corde est balisé par son abscisse horizontale « » et son élongation verticale ascendante « » dans le repère , désignant la position d'équilibre de et étant orienté de vers l'autre extrémité de la corde.
Le mouvement de débute à l'instant .
Un dispositif amortisseur placé à l'autre extrémité de la corde empêche la réflexion de l'onde issue de .
Explicitation de l'équation horaire de S connaissant son mouvement
modifierSachant qu'à l'instant , passe par sa position d'équilibre avec une vitesse « verticale ascendante de norme », expliciter l'équation horaire du mouvement de , notée « », en précisant les valeurs numériques de tous les paramètres.
Compte-tenu des données, l'équation horaire de l'extrémité de la corde est de la forme « » avec et à déterminer en utilisant les C.I[1]. suivantes :
- « » soit « » dont on tire « »,
- « », ce qui nécessite d'évaluer « » d'où « » dont on tire « » ;
pour avoir « » on choisit « » « en » soit « » c'est-à-dire une amplitude de vibration verticale de « » ;
l'équation horaire du mouvement de s'écrit donc « en » ou
l'équation horaire du mouvement de s'écrit donc « en »[2].
Détermination de la longueur d'onde et de la célérité des ondes connaissant la plus courte distance de points de la corde vibrant en opposition de phase
modifierLa plus petite distance entre deux points de la corde vibrant en opposition de phase étant « », en déduire
- la longueur d'onde « » des ondes le long de la corde ainsi que
- la célérité « » de propagation des ondes le long de cette corde.
L'élongation transversale de la corde en d'abscisse se déduit de celle du point d'attache par « »,
L'élongation transversale de la corde en d'abscisse « représentant le retard temporel de la vibration sur le point d'attache »[3] soit « en » ou
L'élongation transversale de la corde en d'abscisse avec la fréquence spatiale ou nombre d'onde inverse de la période spatiale ou longueur d'onde c'est-à-dire « »[4] dont on déduit
L'élongation transversale de la corde en d'abscisse avec la pulsation spatiale « »[4] la phase “ initiale ” à l'abscisse « »[5],
L'élongation transversale de la corde en d'abscisse se déduit de celle du point d'attache par « en » ;
- sur cette expression on vérifie qu'à un instant fixé « deux points voisins vibrent en opposition de phase s'ils sont séparés de car » soit
« » « » ; - on en déduit la célérité des ondes le long de la corde par « »[4] « en » soit « ».
Comparaison du mouvement d'un point M1 d'abscisse fixée à celui du point S lié au vibreur
modifierOn considère maintenant un point de la corde, d'abscisse « ».
- Préciser son équation horaire « », en particulier déterminer la valeur numérique de son retard temporel par rapport à ;
- Comparer les mouvements des points et on calculera, en particulier, les élongations des points et à l'instant de date « » .
- L'équation horaire d'un point de la corde dans la mesure où le front d'onde a atteint le point a déjà traité en question « détermination de la longueur d'onde et de la célérité des ondes connaissant la plus courte distance de points de la corde vibrant en opposition de phase » plus haut dans cet exercice « en » soit,
L'équation horaire d'un point de la corde avec « » « en » s'écrivant encore « en » soit finalement
L'équation horaire d'un point de la corde avec « » « en » dans la mesure où le front d'onde a atteint le point ou
L'équation horaire d'un point de la corde avec « » « » si le front d'onde n'a pas atteint le point ;
remarque : le front d'onde issue de atteint le point pour tout instant « » ainsi « » ;
le retard temporel de par rapport à vaut donc « » ; - de les mouvements sont en quadrature de phase, le mouvement du point étant « physiquement » en quadrature avance sur celui de la source ;
à l'instant de date « », « en » avec « » soit « » ;
à l'instant de date « », passant par sa position d'équilibre en [6] et vibrant en quadrature avance sur atteint sa valeur maximale à l'instant soit « »[7].
Détermination de l'aspect de la corde à un instant t1 fixé
modifierOn étudie maintenant la corde globalement à l'instant « ».
- Préciser la fonction « » décrivant l'élongation le long de la corde à cet instant « », en particulier déterminer la valeur numérique de sa période spatiale ;
- représenter précisément l'aspect de la corde à cet instant « ».
- L'équation de la partie de la corde en vibration à un instant a déjà traité en question « détermination de la longueur d'onde et de la célérité des ondes connaissant la plus courte distance de points de la corde vibrant en opposition de phase » plus haut dans cet exercice « en » soit,
L'équation de la partie de la corde en vibration à un instant avec « » « en » s'écrivant finalement
L'équation de la partie de la corde en vibration à un instant avec « » « en » dans la mesure où le point est atteint par la vibration ou
L'équation de la partie de la corde en vibration à un instant avec « » « » si le point ne vibre pas encore à l'instant ;
remarque : la corde vibre au point à l'instant si l'abscisse du front d'onde à cet instant « en » est « à l'abscisse de » ainsi
remarque : « » ;
remarque : la période spatiale pour la partie vibrante c'est-à-dire vaut « » voir la solution de la question « détermination de la longueur d'onde et de la célérité des ondes connaissant la plus courte distance de points de la corde vibrant en opposition de phase » plus haut dans cet exercice ;
- l'aspect de la corde, à l'instant « », est représenté ci-contre,
l'aspect de la corde, à l'instant « », on y observe la vibration de la corde sur les 1ères périodes spatiales,
l'aspect de la corde, à l'instant « », le front d'onde à « » ayant pour abscisse « »
l'aspect de la corde, à l'instant « », le front d'onde à « » ayant pour abscisse c'est-à-dire
l'aspect de la corde, à l'instant « », le front d'onde à « » correspondant à longueurs d'onde
l'aspect de la corde, à l'instant « », le restant de la corde étant encore en sa position de repos .
Effet Doppler
modifier Une onde sinusoïdale de fréquence se propage dans la direction dans le sens des avec la célérité ;
un observateur se déplace à la vitesse où est le vecteur unitaire de l'axe dans le sens des .
Explicitation du signal au point d'abscisse x et à l'instant t
modifierExpliciter le signal associé à l'onde sinusoïdale au point d'abscisse et à l'instant , on définira toutes les notations nécessaires.
«
» ou,
Réécriture du signal au point d'abscisse x' (repéré par rapport à l'observateur) et à l'instant t
modifier Pour l'observateur en mouvement, le point est repéré par une abscisse le long de l'axe en translation uniforme relativement à l'axe de vecteur vitesse ;
expliciter en fonction de l'abscisse du point relativement à l'axe , et puis
réécrire l'expression du signal au point d'abscisse repérée relativement à l'axe et à l'instant .
« »
« ».
Expression de la fréquence du signal définie par rapport à l'observateur en mouvement
modifierDe l'expression de en déduire l'expression de la fréquence pour l'observateur en mouvement.
Comparer et suivant le signe de .
pour l'observateur mobile se déplaçant à la vitesse , celle qu'il recevrait en restant immobile au même point et au même instant avec une fréquence « »[8] ;
- « si », c'est-à-dire « si l'observateur se déplace dans le sens de propagation de l'onde », la fréquence qu'il perçoit est plus grande que celle émise , « » ;
- « si », c'est-à-dire « si l'observateur se déplace dans le sens contraire de propagation de l'onde », la fréquence qu'il perçoit est plus petite que celle émise , « ».
Application à un exemple de la vie courante
modifierVous marchez dans la rue et un camion de pompiers, sirène en marche, arrive de derrière et vous dépasse. Qu'entendez-vous ?
Marchant dans la rue, un camion de pompiers, sirène en marche, arrive de derrière et vous dépasse :
- « tant qu'il est derrière vous », vous vous déplacez dans le même sens que celui de la propagation, « la fréquence reçue est donc plus élevée que la fréquence émise »,
« tant qu'il est derrière vous », vous vous déplacez dans le même sens que celui de la propagation, « le son apparaît plus aigu que celui émis » mais, - « dès qu'il vous a dépassé », l'onde que vous recevez se propageant en sens inverse de celui de votre marche, « la fréquence reçue est donc plus basse que la fréquence émise »,
« dès qu'il vous a dépassé », l'onde que vous recevez se propageant en sens inverse de celui de votre marche, « le son apparaît plus grave que celui émis ».
Ce phénomène observable dans le cadre de la cinématique newtonienne est connu sous le nom d'effet Doppler[9].
Mesure de distance et de vitesse par radar
modifierUn « radar »[10] est un appareil utilisant des ondes « radio »[11] pour détecter la présence d'objets mobiles, et pouvant également déterminer leur distance et leur vitesse.
On présente ici le principe de ces deux mesures.
Le « radar »[10] comporte une antenne qui émet, avec une période , des impulsions, c'est-à-dire des signaux sinusoïdaux de « durée limitée »[12], la durée des impulsions[12] étant petite relativement à la période de leur émission[13] mais toutefois .
Ces impulsions[12] sont envoyées dans toutes les directions de l'espace.
Lorsque l'une d'elles rencontre un objet réfléchissant, elle est renvoyée vers l'antenne, laquelle est réceptrice entre deux émissions l'antenne ne pouvant être simultanément émettrice et réceptrice[14] .
Cela fait alors apparaître un point lumineux sur l'écran, indiquant la direction de la cible, et l'analyse du signal reçu permet d'effectuer les mesures souhaitées.
Étude de trois échos renvoyés par des objets mobiles sur un même intervalle de non émission de l'antenne
modifierUn « radar »[10] émet des impulsions[12] de fréquence « » et de durée « », avec une période d'émission « »[13].
On considère un 1er enregistrement entre deux impulsions[12] successives émises par le « radar »[10], la 1ère impulsion[12] débutant à l'instant « » et la 2nde à l'instant « » ;
on y observe trois échos renvoyés par des objets, le début du 1er écho commençant à l'instant « » l'amplitude de l'écho étant plus faible que celle de chaque impulsion incidente ,
on y observe trois échos renvoyés par des objets, le début du 2ème écho d'amplitude plus faible que celle du précédent à l'instant « » et
on y observe trois échos renvoyés par des objets, le début du 3ème écho d'amplitude encore plus faible que celle du précédent à l'instant « ».
Longueur d'onde des ondes émises pendant une impulsion et nombre d'oscillations dans chaque impulsion
modifierCalculer la longueur d'onde des ondes émises pendant une impulsion[12] sachant que la célérité des ondes radio dans l'air vaut « » et
Calculer le nombre d'oscillations dans chaque impulsion[12].
La célérité des ondes radio dans l'air étant « » et la fréquence de ces ondes « », nous en déduisons la longueur d'onde de ces ondes radio « »[4] soit « » ;
chaque oscillation à l'intérieur d'une impulsion[12] ayant une durée égale à leur période d'oscillation « » et la durée d'une impulsion[12] étant « », nous en déduisons le nombre d'oscillations dans une impulsion[12] « » soit « »[15].
Détermination de la distance à laquelle se trouvent les divers objets détectés par écho
modifierDéterminer la distance à laquelle se trouve chaque objet détecté par l'un des trois échos les ondes radio réfléchies se propageant à la même célérité que les ondes incidentes « » ;
proposer une explication à la différence d'amplitude entre les impulsions[12] incidentes et les échos ainsi qu'à
proposer une explication à la différence d'amplitude entre chaque écho.
La 1ère impulsion[12] envoyée ayant débuté à la date « », la durée écoulée entre l'instant de début de détection de chaque écho et cette date de début de 1ère impulsion[12] représente
La 1ère impulsion envoyée ayant débuté à la date « », la durée nécessaire pour que les oscillations de cette 1ère impulsion[12] fassent l'aller - retour entre l'antenne émettrice et la même antenne réceptrice après s'être réfléchi sur l'objet, soit en notant « , et » les distances respectives entre l'antenne du « radar »[10] et les objets ayant renvoyé un écho dont la réception a commencé aux instants « , et », nous en déduisons :
« » « » soit « »,
« » « » soit « » et
« » « » soit « ».
Explication de la diminution d'amplitude entre l'impulsion[12] incidente et chaque impulsion[12] écho : Il y a absorption partielle des ondes par l'air, ce qui explique que,
Explication de la diminution d'amplitude entre l'impulsion incidente et chaque impulsion écho : plus la distance parcourue entre les dates d'émission et de réception est grande, plus l'amplitude de l'écho est faible.
Détermination des distances extrémales séparant un objet du radar en dessous et au-dessus de laquelle l'objet ne peut pas être détecté sur l'enregistrement étudié
modifierMontrer qu'il existe une distance minimale séparant un objet du « radar »[10] en dessous de laquelle on ne peut pas détecter un objet on calculera sa valeur numérique et
Montrer qu'il existe une distance maximale séparant un objet du « radar »[10] au-dessus de laquelle on ne peut pas détecter un objet sur l'enregistrement étudié on calculera aussi sa valeur numérique .
L'antenne du « radar »[10] ne peut pas détecter les échos tant qu'elle est émettrice, aussi le 1er écho détectable le sera à l'instant « »
L'antenne du « radar » ne peut pas détecter les échos tant qu'elle est émettrice, soit une distance minimale de détection « » telle que « » ou
L'antenne du « radar » ne peut pas détecter les échos tant qu'elle est émettrice, soit une distance minimale de détection « » c'est-à-dire « ».
L'antenne du « radar »[10] ne peut pas détecter les échos tant qu'elle est émettrice, aussi le dernier écho détectable sur l'enregistrement de l'intervalle « »
L'antenne du « radar » ne peut pas détecter les échos tant qu'elle est émettrice, aussi le dernier écho détectable le sera à l'instant « »
L'antenne du « radar » ne peut pas détecter les échos tant qu'elle est émettrice, soit une distance maximale de détection « » telle que « » ou
L'antenne du « radar » ne peut pas détecter les échos tant qu'elle est émettrice, soit une distance maximale de détection « » ou « ».
Remarque : en théorie il n'est pas exclu qu'un objet séparé de l'antenne du « radar »[10] d'une distance plus grande que « » renvoie un écho capté sur l'enregistrement suivant c'est-à-dire l'enregistrement de l'intervalle « » mais
Remarque : en pratique l'amplitude de l'écho serait suffisamment faible pour être quasi-inobservable, si toutefois l'observation était possible, on démontrerait que
Remarque : en théorie seuls les objets séparés de l'antenne du « radar »[10] d'une distance comprise entre et seraient détectables d'où
Remarque : en théorie en plus de la boule centrée sur l'antenne du « radar »[10] et de rayon à l'intérieur de laquelle les objets sont « passivement furtifs »[16], on observe que
Remarque : en théorie en plus de l'espace compris entre les sphères centrées sur l'antenne du « radar »[10] et de rayons respectifs et est aussi une zone d'objets « passivement furtifs »[16].
1ère méthode de détermination de la vitesse d'un objet par utilisation de l'effet Doppler
modifier Pour déterminer la vitesse d'un objet à l'aide d'un « radar »[10], une 1ère possibilité consiste à utiliser l'effet Doppler[9] à savoir
Pour déterminer la vitesse d'un objet à l'aide d'un « radar », dans la mesure où l'objet « s'éloigne du “ radar ”[10] avec une vitesse »
Pour déterminer la vitesse d'un objet à l'aide d'un « radar », les oscillations de l'écho ont une fréquence à celle des oscillations de l'impulsion[12] incidente selon « »[8] ou
Pour déterminer la vitesse d'un objet à l'aide d'un « radar », dans la mesure où l'objet « se rapproche du “ radar ”[10] avec une vitesse »
Pour déterminer la vitesse d'un objet à l'aide d'un « radar », les oscillations de l'écho ont une fréquence à celle des oscillations de l'impulsion[12] incidente selon « »[8].
Rappeler la raison du décalage en fréquence puis
déterminer la variation relative de fréquence pour un avion s'éloignant à la vitesse et
conclure sur la précision de cette méthode.
Si l'objet « s'éloigne du “ radar ”[10] avec une vitesse », la distance à parcourir par chaque oscillation d'une même impulsion[12] avant d'être réfléchie sur l'objet avec le temps ;
Si l'objet « s'éloigne du “ radar ” avec une vitesse », notant « » l'instant générique d'émission des oscillations de l'impulsion[12] envoyée à l'instant initial « » tel que « » et
Si l'objet « s'éloigne du “ radar ” avec une vitesse », notant « » l'instant générique de réflexion des oscillations de cette impulsion[12] envoyée à l'instant initial « », oscillations réfléchies sur l'objet mobile initialement à la distance de l'antenne et s'en éloignant à la vitesse « »[17] ou « »[18] soit finalement
Si l'objet « s'éloigne du “ radar ” avec une vitesse », notant « » ou « à l'ordre un en »[19],
Si l'objet « s'éloigne du “ radar ” avec une vitesse », la distance entre l'objet et le “ radar ”[10] à la date générique « » étant « » un retard temporel de l'oscillation au niveau de l'objet relativement à l'oscillation incidente de « »[18],
Si l'objet « s'éloigne du “ radar ” avec une vitesse », nous en déduisons l'équation du signal incident à l'instant « » « »[20] et
Si l'objet « s'éloigne du “ radar ” avec une vitesse », ce signal se réfléchissant sur l'objet et repartant en sens contraire est détecté par l'antenne devenue réceptrice à « » l'instant générique de réception des oscillations de cette impulsion[12] envoyée à l'instant initial « » et réfléchie par l'objet mobile « »[21] ou « »[18] ou encore « »[22] ou « à l'ordre un en »[19] » soit finalement
Si l'objet « s'éloigne du “ radar ” avec une vitesse », notant « à l'ordre un en » ou, compte-tenu de la petitesse de ,
Si l'objet « s'éloigne du “ radar ” avec une vitesse », notant « à l'ordre un en »[23],[24] ;
Si l'objet « s'éloigne du “ radar ” avec une vitesse », la durée de propagation du signal jusqu'à l'antenne réceptrice après réflexion sur l'objet mobile est égale à celle écoulée entre l'émission par l'antenne et la réflexion par l'objet, c'est-à-dire « »[25] « »,
Si l'objet « s'éloigne du “ radar ” avec une vitesse », nous en déduisons l'équation du signal écho à l'instant « » « »[26] ou
Si l'objet « s'éloigne du “ radar ” avec une vitesse », nous en déduisons l'équation du signal écho à l'instant « » « » qui s'interprète comme un signal écho de « fréquence » qui se serait réfléchi sur un objet fixe situé initialement à la distance de l'antenne.
La variation de fréquence pour un avion s'éloignant à la vitesse serait de « » ce qui, numériquement, donnerait
La variation de fréquence pour un avion s'éloignant à la vitesse serait de « en » soit « » ne représentant que « de la fréquence des ondes » et nécessiterait une précision difficilement réalisable avec des appareils de « classe »[27] usuelle.
2ème méthode de détermination de la vitesse d'un objet par utilisation du décalage temporel des échos de deux impulsions successives renvoyés par l'objet
modifier Pour déterminer la vitesse d'un objet à l'aide d'un « radar »[10], une 2ème possibilité consiste à utiliser l'écho de deux impulsions[12] successives renvoyé par le même objet mobile,
Pour déterminer la vitesse d'un objet à l'aide d'un « radar », en mesurant simplement le décalage temporel entre ces échos.
Calculer le décalage temporel entre les échos de deux impulsions[12] successives renvoyés par l'avion précédent s'éloignant à la vitesse et
commenter.
Deux impulsions[12] successives étant séparées d'une durée « », nous pouvons affirmer les propriétés suivantes :
- une 1ère impulsion[12] émise à « » se réfléchit sur l'avion créant un écho reçu par l'antenne réceptrice à l'instant « », « étant la distance séparant le “ radar ”[10] de l'avion à l'instant de la réflexion »,
- une 2ème impulsion[12] émise à « » se réfléchit sur l'avion créant un écho reçu par l'antenne réceptrice à l'instant « », « l'avion s'étant éloigné de « » pendant la durée séparant ces deux impulsions »,
- etc.
On en déduit la durée séparant la réception des échos de deux impulsions[12] successives « »,
On en déduit la mesure de ce décalage temporel « » permettant effectivement d'en déduire la vitesse d'éloignement de l'avion suivant « » ;
On en déduit numériquement un avion s'éloignant du « radar »[10] à la vitesse conduit à un décalage temporel de l'écho de deux impulsions[12] successives « en » soit « » représentant « de l'intervalle séparant deux impulsions[12] successives » ;
On en déduit numériquement le fait que le décalage temporel de l'écho de deux impulsions[12] successives renvoyé par l'avion ne représente que « de l'intervalle séparant ces deux impulsions[12] » nécessite, pour être détecté, une très grande précision tout aussi difficilement réalisable que celle sur la mesure de la différence de fréquence due à l'effet Doppler[9] même si, dans le cas présent, il a une amélioration par rapport à la méthode de l'effet Doppler[9] d'un facteur .
3ème méthode de détermination de la vitesse d'un objet par utilisation du déphasage des échos de deux impulsions successives en phase renvoyés par l'objet
modifier Pour déterminer la vitesse d'un objet à l'aide d'un « radar »[10], une 3ème possibilité consiste à utiliser l'écho de deux impulsions[12] successives en phase renvoyé par le même objet mobile,
Pour déterminer la vitesse d'un objet à l'aide d'un « radar », en mesurant simplement le déphasage entre ces échos.
Exprimer ce déphasage entre les échos de deux impulsions[12] successives en phase, renvoyés par un objet s'éloignant du « radar »[10] à une vitesse , en fonction de , de la durée entre les impulsions[12] et de la longueur d'onde des oscillations ;
calculer ce déphasage dans le cas de l'avion précédent s'éloignant à la vitesse et
commenter.
Les oscillations de la 1ère impulsion[12] émise à débutent leur réflexion sur l'objet mobile, initialement distant du “ radar ”[10] de , à « à l'ordre un en »[28] puis
Les oscillations de la 1ère impulsion émise à se propagent en sens inverse et commencent leur détection par l'antenne réceptrice à « à l'ordre un en »[28],
Les oscillations de la 1ère impulsion émise à le signal écho reçu s'écrivant « »[29] dans lequel est l'instant générique des oscillations de l'écho de la 1ère impulsion[12] c'est-à-dire tel que avec « à l'ordre un en »[28] ;
les oscillations de la 2ème impulsion[12] émise à débutent leur réflexion sur l'objet mobile lequel s'est déplacé de sur , à l'instant « à l'ordre un en »[28],[30] puis
Les oscillations de la 2ème impulsion émise à se propagent en sens inverse et commencent leur détection par l'antenne réceptrice à l'instant « à l'ordre un en »[28],[30],
Les oscillations de la 2ème impulsion émise à le signal écho reçu s'écrivant « »[31] dans lequel est l'instant générique des oscillations de l'écho de la 2ème impulsion[12] c'est-à-dire tel que avec « à l'ordre un en »[28] ;
de ce qui précède nous déduisons le décalage temporel entre les échos de ces impulsions[12] successives lors de leur début de réception par l'antenne réceptrice « à l'ordre un en » décalage temporel constant à l'ordre un en pendant toute la réception, « à l'ordre un en » , puis
de ce qui précède nous déduisons leur déphasage initial « à l'ordre un en » soit, avec la « longueur d'onde »[4], « » ;
numériquement, avec l'avion s'éloignant à la vitesse « » on a « » soit
numériquement, avec l'avion s'éloignant à la vitesse « » on a « » largement mesurable.
Détermination de la vitesse d'éloignement (ou d'approche) d'un objet ne se déplaçant pas le long de la ligne de visée
modifierUn objet ne se déplaçant pas le long de la ligne de visée de l'antenne du “ radar ”[10] a une « vitesse d'éloignement ou d'approche »[32] décomposable en
- une vitesse longitudinale[33] déterminable par l'une des trois méthodes exposées précédemment[34] et
- une vitesse transversale[35] inéligible à l'utilisation de l'une des trois méthodes exposées précédemment.
Proposer un moyen de déterminer cette composante transversale[35] de la « vitesse d'éloignement ou d'approche »[32] on pensera à utiliser la détermination des positions de l'objet lors d'envoi successif d'impulsions ;
en déduire la détermination de la norme de la « vitesse d'éloignement ou d'approche »[32] de l'objet.
Pour déterminer la composante transversale[35] de la « vitesse d'éloignement ou d'approche »[32] de l'objet relativement à l'antenne du “ radar ”[10], il suffit
- de repérer, sur l'écran, les différentes positions successives de la cible pour en déduire la distance parcourue perpendiculairement à la ligne de visée[36],[37] et
- de diviser la distance parcourue perpendiculairement à la ligne de visée[36] par la durée écoulée entre les impulsions[12] extrêmes ayant permis de positionner la cible d'où
la vitesse transversale « » avec
le nombre d'impulsions[12] extrêmes ayant permis de positionner la cible ;
ayant déterminé la vitesse longitudinale « » par l'une des trois méthodes exposées précédemment, on en déduit la norme de la « vitesse d'éloignement ou d'approche »[32] de l'objet relativement à l'antenne du “ radar ”[10] par « ».
Célérité des ondes sismiques
modifierOn modélise un matériau solide à l'échelle microscopique par une chaîne d'atomes infinie voir figure ci-contre .
Les atomes sont assimilés à des points matériels de même masse , reliés par des ressorts identiques de longueur à vide nulle et de raideur , susceptibles de se déplacer sans frottements le long de l'axe .
Ces ressorts fictifs modélisent, dans l'approximation linéaire, les actions subies par les atomes lorsqu'ils se déplacent au voisinage de leur position d'équilibre d'abscisse sous l'action d'une perturbation liée à l'arrivée d'une onde sismique.
On repère les positions des atomes hors d'équilibre par leurs abscisses où leurs déplacements sont supposés faibles devant .
Équation différentielle du mouvement du nème atome
modifier Établir l'équation différentielle en du mouvement de l'atome ,
la mettre sous la forme « » et
exprimer en fonction des données ;
quelle est sa signification concrète ?
Le nème atome subit l’action des tensions des ressorts modélisant l'interaction avec ses voisins c'est-à-dire et :
- « »[38],[39], étant la longueur à l'équilibre du ressort de gauche et aussi son allongement à l’équilibre la longueur à vide étant supposée nulle , il faut lui « ajouter [40] pour avoir l’allongement total » ;
- « »[38],[41], étant la longueur à l'équilibre du ressort de droite et aussi son allongement à l’équilibre la longueur à vide étant supposée nulle , il faut lui « ajouter [42] pour avoir l’allongement total »,
Appliquant la r.f.d.n. relation fondamentale de la dynamique newtonienne[43] à l’atome nous obtenons, en projection sur :
« » soit encore « » ou,
en utilisant « » et
en simplifiant après développement du membre de gauche « » soit enfin, après normalisation
Condition pour qu'une onde sismique soit solution de l'équation différentielle précédente
modifier Une onde sismique harmonique de pulsation étant décrite par une solution de la forme « » où et sont des constantes,
vérifier qu'une telle solution n'est possible que « si et sont reliés par une condition » [45].
on introduit la grandeur instantanée complexe « » avec « l'amplitude complexe »,
on introduit l'équation différentielle à laquelle la grandeur instantanée complexe obéit étant celle à laquelle la grandeur instantanée sinusoïdale obéit[45] soit
on introduit l'équation différentielle se réécrivant, « » ou, avec et en simplifiant par ,
on introduit l'équation différentielle se réécrivant, « » admettant une autre solution que à condition que
«
« »[48],
soit « » ;
Simplification de la condition (C) dans l'approximation des milieux continus
modifier On se place maintenant dans l'approximation des milieux continus[49] ce qui correspond dans le cas présent à
On se place maintenant dans l'hypothèse dans laquelle « la distance séparant deux atomes successifs dans leurs positions d'équilibre est considérée comme petite pour l'onde sismique la traversant » soit
On se place maintenant dans l'hypothèse dans laquelle « » ;
On se place maintenant dans l'approximation des milieux continus en déduire que la condition se simplifie en « ».
Dans toute la suite, on admet que « est la célérité des ondes sismiques »[50].
Dans l'approximation des milieux continus « »[51] d'où la réécriture de la condition « » sous la forme
ou encore « » ;
Évaluation de l'ordre de grandeur de la célérité de propagation des ondes sismiques dans le fer
modifier On cherche à évaluer un ordre de grandeur de la célérité de propagation des ondes sismiques dans le fer et pour cela,
On cherche à évaluer on donne la « masse molaire atomique du Fer » ainsi que « sa masse volumique » et
On cherche à évaluer on rappelle les valeurs suivantes : « un électronvolt » et la « constante d'Avogadro[52] ».
Calculer la distance séparant deux atomes successifs dans leurs positions d'équilibre en admettant que le volume moyen occupé par un atome est .
Rappeler, sans démonstration, l'expression de l'énergie potentielle associée à un ressort de raideur et d'allongement ;
Rappeler, sans démonstration, en identifiant cette énergie à l'énergie de liaison par atome supposée égale à , calculer ;
Rappeler, sans démonstration, en déduire un ordre de grandeur de et
Rappeler, sans démonstration, commenter.
Distance moyenne d'équilibre séparant deux atomes consécutifs de fer : le « volume moyen disponible par atome étant », la « densité d’atomes par unité de volume est »[53] ;
Distance moyenne d'équilibre séparant deux atomes consécutifs de fer : la « masse d'un atome » se déduit de la « masse molaire atomique » et de la « constante d'Avogadro[52] » par
Distance moyenne d'équilibre séparant deux atomes consécutifs de fer : la « masse d'un atome » « » ; enfin
Distance moyenne d'équilibre séparant deux atomes consécutifs de fer : la « masse volumique est liée à la densité volumique d'atomes par » d'où
Distance moyenne d'équilibre séparant deux atomes consécutifs de fer : « » « » et par suite « » soit numériquement
Distance moyenne d'équilibre séparant deux atomes consécutifs de fer : « » ou, en unité adaptée « » [54].
Calcul de « » raideur du ressort traduisant l'interaction interatomique : l'« énergie potentielle associée à un ressort de raideur et d'allongement [55] étant »
Calcul de « » raideur du ressort traduisant l'interaction interatomique : l'« énergie potentielle avec « choix de la référence[56] lorsque le ressort est au repos », et
Calcul de « » raideur du ressort traduisant l'interaction interatomique : en identifiant cette énergie à l'énergie de liaison entre deux atomes soit « » ou « » on en déduit
Calcul de « » raideur du ressort traduisant l'interaction interatomique : « » soit numériquement « en » ou « ».
Ordre de grandeur de « » célérité des ondes sismiques dans le fer : admettant « » avec « » soit, en y reportant « », « » on en déduit
Ordre de grandeur de « » célérité des ondes sismiques dans le fer : « » soit numériquement « en » ou « » ;
Ordre de grandeur de « » célérité des ondes sismiques dans le fer : il s'agit effectivement de l'ordre de grandeur de la célérité des ondes dans les solides.
Notes et références
modifier- ↑ Conditions Initiales.
- ↑ Sachant que « ».
- ↑ Voir le paragraphe « propagation dans le sens des abscisses ↗ (2ème encadré “ à retenir ”) » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
- ↑ 4,0 4,1 4,2 4,3 4,4 et 4,5 Voir le paragraphe « lien entre longueur d'onde, fréquence (temporelle) et célérité pour une P.P.H. (remarque) » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
- ↑ Voir le paragraphe « périodicité temporelle de l'onde progressive sinusoïdale (O.P.H.), période et fréquence » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
- ↑ Puisqu'il s'est écoulé périodes temporelles depuis l'instant initial, retrouve son mouvement initial.
- ↑ Ce que l'on peut vérifier numériquement avec « » d'où « ».
- ↑ 8,0 8,1 et 8,2 Cette expression n'est correcte que dans le cadre cinématique classique ou newtonienne nécessitant que reste petite par rapport à la vitesse de la lumière soit et en pratique voir le paragraphe « définition du (vecteur) quantité de mouvement du point matériel dans le cadre de la cinétique newtonienne (en cinétique newtonienne - partie entre crochets) » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » .
- ↑ 9,0 9,1 9,2 et 9,3 Christian Doppler (1803 - 1853) mathématicien et physicien autrichien qui fut à l'origine de la découverte de l'effet Doppler.
- ↑ 10,00 10,01 10,02 10,03 10,04 10,05 10,06 10,07 10,08 10,09 10,10 10,11 10,12 10,13 10,14 10,15 10,16 10,17 10,18 10,19 10,20 10,21 10,22 10,23 10,24 10,25 et 10,26 Mot provenant de l'acronyme anglais « Radio Detection And Ranging » signifiant « radiodétection et télémétrie ».
- ↑ Ondes électromagnétiques de fréquences comprises entre « » et « ».
- ↑ 12,00 12,01 12,02 12,03 12,04 12,05 12,06 12,07 12,08 12,09 12,10 12,11 12,12 12,13 12,14 12,15 12,16 12,17 12,18 12,19 12,20 12,21 12,22 12,23 12,24 12,25 12,26 12,27 12,28 12,29 12,30 12,31 12,32 12,33 12,34 12,35 12,36 12,37 12,38 12,39 12,40 12,41 et 12,42 Encore appelés « train d'ondes », « étant la durée du train d'ondes ».
- ↑ 13,0 et 13,1 C.-à-d. la durée écoulée entre les débuts d'émission d'impulsions successives.
- ↑ La propriété émettrice étant prépondérante sur la propriété réceptrice pas de réception possible simultanément à une émission.
- ↑ Si nous tenons compte de la précision sur et sur nous obtenons « », raison pour laquelle nous écrivons « » car seuls les 1ers chiffres sont assurés.
- ↑ 16,0 et 16,1 C.-à-d. non détectés par « radar ».
- ↑ Correspondant à « la distance parcourue par l'onde de l'antenne à l'objet sur l'intervalle soit » égale à « la distance séparant l'antenne et l'objet à l'instant soit ».
- ↑ 18,0 18,1 et 18,2 On rappelle que « ».
- ↑ 19,0 et 19,1 Dans le cadre de la cinématique newtonienne voir le paragraphe « définition du (vecteur) quantité de mouvement du point matériel dans le cadre de la cinétique newtonienne (en cinétique newtonienne - partie entre crochets) » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » , « peut être considéré comme un infiniment petit d'ordre un » voir le paragraphe « infiniment petits d'ordres successifs » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » , on forme alors le « développement limité D.L. de à l'ordre un en l'infiniment petit », voir le paragraphe « D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » appliqué à « ».
- ↑ En supposant que le signal émis par l'antenne s'écrit « », celui atteignant l'objet a une amplitude diminuée due aux phénomènes d'absorption d'où remplacée par et est en retard temporel relativement au signal émis par l'antenne, le « retard temporel étant égal à » les distances n'étant pas algébrisées, le sens de propagation n'intervient pas .
- ↑ Correspondant à « la distance parcourue par l'onde de l'objet à l'antenne sur l'intervalle soit » égale à « la distance séparant l'antenne et l'objet à l'instant soit ».
- ↑ En effet « » « »
- ↑ Compte-tenu de la petitesse de on pourrait considérer comme un infiniment petit de même ordre que c'est-à-dire un ordre un d'où « à l'ordre un », « étant considéré comme un infiniment petit d'ordre deux» doit être éliminé.
- ↑ Le symbole « » étant personnel signifiant « approximativement compris dans ».
- ↑ En effet la distance à parcourir dans le sens incident pour atteindre l'objet à l'instant à partir de l'instant est la même que celle à parcourir dans le sens réfléchi pour atteindre l'antenne à l'instant et ceci avec une célérité invariante par changement de référentiel d'où « ».
- ↑ Le signal réfléchi par l'objet s'écrivant « », celui atteignant l'antenne devenue réceptrice a une amplitude diminuée due aux phénomènes d'absorption d'où remplacée par et est en retard temporel relativement au signal réfléchi par l'objet s'ajoutant au retard temporel relativement au signal incident, le « retard temporel total étant égal à » les distances n'étant pas algébrisées, le sens de propagation n'intervient pas .
- ↑ La classe d'un appareil détermine son degré de précision dans ses mesures ou repérages, ainsi un « appareil de classe admet une précision de de l'étendue de mesure », il faudrait ici un « appareil de classe ».
- ↑ 28,0 28,1 28,2 28,3 28,4 et 28,5 Voir la solution de la question « 1ère méthode de détermination de la vitesse d'un objet par utilisation de l'effet Doppler » plus haut dans cet exercice.
- ↑ En supposant que le signal émis par l'antenne s'écrit « », celui atteignant l'antenne devenue réceptrice a une amplitude diminuée due aux phénomènes d'absorption d'où remplacée par et est en retard temporel relativement au signal émis par l'antenne, le « retard temporel étant la somme de celui relativement au signal incident et de celui relativement au signal réfléchi égal à » les distances n'étant pas algébrisées, le sens de propagation n'intervient pas .
- ↑ 30,0 et 30,1 Nous limitant à l'ordre un en nous pouvons éliminer considéré comme un ordre deux.
- ↑ En supposant que le signal émis par l'antenne lors de la 2ème impulsion s'écrit « » en phase avec le signal émis lors de la 1ère impulsion , celui atteignant l'antenne devenue réceptrice a une amplitude diminuée due aux phénomènes d'absorption d'où remplacée par et est en retard temporel relativement au signal émis par l'antenne, le « retard temporel étant la somme de celui relativement au signal incident et de celui relativement au signal réfléchi égal à » les distances n'étant pas algébrisées, le sens de propagation n'intervient pas .
- ↑ 32,0 32,1 32,2 32,3 et 32,4 Supposant l'antenne du “ radar ” linéaire, nous appelons « vitesse d'éloignement ou d'approche » d'un objet la composante de la vitesse à l'antenne.
- ↑ C.-à-d. le long de la ligne de visée.
- ↑ Dans le cas d'une approche au lieu d'un éloignement il suffit de remplacer par .
- ↑ 35,0 35,1 et 35,2 C.-à-d. à la ligne de visée.
- ↑ 36,0 et 36,1 Attention si l'objet se déplace rectilignement en faisant un angle avec la ligne de visée orientée en partant de l'antenne, la distance parcourue perpendiculairement à la ligne de visée est liée à la distance parcourue sur l'écran par « ».
- ↑ Voir la solution de la question « détermination de la distance à laquelle se trouvent les divers objets détectés par écho » plus haut dans cet exercice.
- ↑ 38,0 et 38,1 Voir le paragraphe « cause de déséquilibre, loi de Hooke » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
Robert Hooke (1635 - 1703) est l'un des plus grands scientifiques expérimentaux anglais du XVIIème siècle ayant contribué à l'avancement des sciences et techniques dans pratiquement tous les domaines. - ↑ Quand le ressort de gauche est allongé il est dans le sens contreire de .
- ↑ Quand l'atome se déplace de l'allongement du ressort de gauche de et quand l'atome se déplace de l'allongement du ressort de gauche de .
- ↑ Quand le ressort de droite est allongé il est dans le sens de .
- ↑ Quand l'atome se déplace de l'allongement du ressort de droite de et quand l'atome se déplace de l'allongement du ressort de droite de .
- ↑ Voir le paragraphe « rappel de dynamique, relation fondamentale de la dynamique newtonienne » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
- ↑ Comme par exemple dans une molécule diatomique.
- ↑ 45,0 et 45,1 Pour résoudre cette question on associera à « la solution harmonique », « la grandeur instantanée complexe » où « est l'amplitude complexe », l'équation différentielle à laquelle la grandeur instantanée complexe obéit étant la même que celle dont est solution, puis
Pour résoudre cette question on exprimera « cette équation différentielle en fonction de » après simplification par ;
Pour résoudre cette question on exprimera « cette équation admettant pour seule solution évidemment à rejeter sauf « si la condition cherchée sur est réalisée ». - ↑ Voir la solution de la question « équation différentielle du mouvement du nème atome » plus haut dans cet exercice.
- ↑ On a utilisé la formule d'Euler relative au cosinus « ».
Leonhard Euler (1707 - 1783) mathématicien et physicien suisse qui passa la plus grande partie de sa vie dans l'Empire russe et en Allemagne ; en mathématiques il fit d'importantes découvertes dans des domaines aussi variés que le calcul infinitésimal et la théorie des graphes, il introduisit également une grande partie de la terminologie et de la notation des mathématiques modernes, en particulier pour l'analyse mathématique, comme la notion de fonction mathématique ; il est aussi connu pour ses travaux en mécanique, en dynamique des fluides, en optique et en astronomie. - ↑ En effet le 2nd membre de l'égalité « » pouvant être réécrit sous forme d'un carré en utilisant la formule de trigonométrie « » on rappelle les trois expressions équivalentes de , « » .
- ↑ 49,0 49,1 et 49,2 Voir le paragraphe « introduction de l'approximation des milieux continus » du chap. de la leçon « Statique des fluides » pour plus de détails.
- ↑ Ainsi « est la pulsation spatiale des ondes sismiques » et
Ainsi « la phase à l'instant et à l'abscisse de l'onde sismique progressive sinusoïdale » se propageant dans le sens . - ↑ En effet si un angle en est infiniment petit la valeur de son sinus peut être confondu avec la valeur de l'angle en voir aussi le paragraphe « développemeents limités (D.L.) à l'ordre un de quelques fonctions usuelles » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » appliqué à la fonction sinus au voisinage de zéro .
- ↑ 52,0 et 52,1 Lorenzo Romano Amedeo Carlo Avogadro (1776 - 1856) est un physicien et chimiste du Piémont région actuelle de l'Italie à qui on doit essentiellement la loi d'Avogadro Ampère qu'il énonça en et proposée indépendamment par Ampère en , celle-ci spécifiant que « des volumes égaux de gaz parfaits différents, aux mêmes conditions de température et de pression, contiennent le même nombre de molécules ».
André-Marie Ampère (1775 - 1836), mathématicien, physicien, chimiste et philosophe français, peut être considéré comme l'un des premiers artisans de la mathématisation de la physique, il a édifié les fondements théoriques de l'électromagnétisme et a découvert les bases de l'électronique de la matière. - ↑ Ayant « atome pour un volume exprimé en », pour un volume de on a atomes soit une « densité atomique par unité de volume exprimée en ».
- ↑ Le rayon d'un atome d'hydrogène dans son état fondamental étant .
- ↑ Cette expression a été vue une 1ère fois dans le paragraphe « énergie potentielle élastique, conséquence de l'action d'un ressort » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »,
elle sera établie sous une forme plus générale au paragraphe « énergie potentielle élastique d'un point matériel » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ». - ↑ La référence d'une énergie potentielle étant la position ou les conditions dans lesquelles l'objet dont c'est l'énergie potentielle est choisie nulle.