Théorie élémentaire des corps

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Algèbre

 

La théorie des corps est à la base de toute l'algèbre et donne lieu à l'importante théorie de Galois, qui s'avère être à la base de techniques fondamentales dans tous les domaines des mathématiques. Rappelons tout d’abord la définition d'un corps et donnons les premières propriétés immédiates de ces objets.

Définition

On appelle corps un anneau commutatif $k$ tel que le monoïde multiplicatif des éléments non nuls de $k$ soit un groupe.

Notons que nous avions pris la convention qu'un corps est toujours commutatif, on préfèrera le terme de corps gauche pour parler d'un corps non commutatif. De plus on suppose toujours que $1\neq 0$ c'est-à-dire que le corps n’est pas réduit à l'unique élément $0$. Un morphisme de corps sera un morphisme d'anneau entre corps.

Propriété

Soit $k$ un corps et $A\neq \{0\}$ un anneau, un morphisme d'anneaux de $k$ dans $A$ est toujours injectif.

Démonstration

Si $\phi (x)=0$ avec $x\neq 0$ on aurait $1=\phi (1)=\phi (xx^{-1})=0$ et $A$ serait nul, ce qui est exclu.

 

Extension de corps

Définition

Soit $k$ un corps. On appelle extension de $k$ tout corps $K$ tel qu’il existe un morphisme de corps de $k$ dans $K$. On notera alors $K/k$.

Remarque

Si $k$ est un sous-corps de $K$, alors $K$ est une extension de $k$. (Il suffit de considérer l'injection canonique de $k$ dans $K$.)

Réciproquement :

Début d'un lemme

Lemme

Si $K$ est une extension de $k$, alors $k$ est isomorphe à un sous-corps de $K$.

Fin du lemme

Démonstration

Soit $K$ une extension de $k$, alors il existe un homomorphisme de corps $\phi$ de $k$ dans $K$. $\phi$ est un homomorphisme de corps donc il est injectif. De plus, $\phi$ est surjectif sur $k'=\phi (k)$ qui est un sous-corps de $K$ donc $\phi$ est une bijection de $k$ sur $k'$.

 

On fait le choix d’identifier $k$ et le sous-corps de $K$ isomorphe, si bien que par abus de langage on dira que $k$ est un sous-corps de $K$.

Début de l'exemple

Exemple

$\mathbb {C}$ est une extension de $\mathbb {R}$ qui est elle-même une extension de $\mathbb {Q}$.

Fin de l'exemple

Degré d'une extension

Début d'un lemme

Lemme

Soit $K/k$ une extension. Alors, $K$ est une $k$-algèbre.

Fin du lemme

Définition

On appelle degré de l'extension $K$ de $k$ noté $[K:k]$, la dimension de $K$ comme $k$-espace vectoriel.

Formule de la base télescopique

Soit $L/K$, et $K/k$ deux extensions de corps, alors

$[L:k]=[L:K][K:k]$.

Démonstration

Si (x_i)_i∈I est une K-base de L et (y_j)_j∈J une k-base de K, alors la famille des produits x_i y_j, indexée par I × J, est une k-base de L.