Topologie générale/Suites
La définition et les propriétés de limite d'une fonction que nous venons de voir s'appliquent en particulier aux fonctions définies sur , c'est-à-dire aux suites.
Soient un espace topologique et est une suite d'éléments de .
Limite d'une suite
modifierLa notion de limite (finie ou infinie) d'une suite de réels se généralise naturellement aux suites à valeurs dans un espace topologique qui n'est plus nécessairement la droite réelle achevée :
Soit . On dit que la suite a pour limite si, pour tout voisinage de , il existe un entier tel que .
On constate que cette définition est un cas particulier de celle de limite d'une fonction en un point adhérent à son domaine de définition, ce point étant ici , adhérent à dans ℕ ∪ {+∞} muni de la topologie de l'ordre. Par conséquent :
- Si est limite d'une suite à valeurs dans une partie de , alors .
- La réciproque est vraie si admet une base dénombrable de voisinages.
- Dans un espace séparé, toute suite admet au plus une limite.
Nous verrons au prochain chapitre que tout espace métrique est séparé et à bases dénombrables de voisinages.
Valeurs d'adhérence d'une suite
modifierSoit , on dit que est une valeur d'adhérence de la suite si
- pour tout voisinage de , il existe une infinité d'indices tels que ,
ou plus formellement :
- .
Soit une suite. On dit que est une suite extraite (ou sous-suite) de si la suite est à valeurs dans et strictement croissante.
- Toute limite d'une suite est une valeur d'adhérence de cette suite.
- L'ensemble des valeurs d'adhérence de est égal à .
- L'ensemble des valeurs d'adhérence de est un fermé.
- Toute valeur d'adhérence d'une sous-suite de est une valeur d'adhérence de .
- Toute limite d'une sous-suite de est une valeur d'adhérence de .
- Si alors pour tout voisinage de , il existe un indice à partir duquel tous les termes de la suite sont dans .
- Notons . Un point est une valeur d'adhérence de si et seulement si chacun de ses voisinages rencontre tous les , c'est-à-dire si est adhérent à tous les .
Les points 3 et 4 sont des conséquences immédiates du point 2. Le point 5 est une conséquence immédiate des points 1 et 4.
Dans ℝ, la plus grande et la plus petite valeur d'adhérence d'une suite sont respectivement ses limites supérieure et inférieure.