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Bac à sable

Conservation de la quantité de mouvement (équation d'Euler) :

$\rho _{0}\cdot {\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}}{\mathrm {d} t}}=-{\overrightarrow {\nabla }}p$.

Hypothèse simplificatrice : dans le cadre de l'hypothèse des petits mouvements, on néglige les termes du second ordre $({\vec {v}}\cdot {\overrightarrow {\nabla }}){\vec {v}}$ représentant l'accélération convective, due à la variation spatiale de la vitesse (dans son mouvement la particule passe par des points de vitesses différentes) : on suppose que l'accélération convective est négligeable face à l'accélération locale.

${\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}}{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}+({\vec {v}}\cdot {\overrightarrow {\nabla }}){\vec {v}}\simeq {\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}$.

Compte tenu des hypothèses, l'équation d'Euler peut alors s'écrire :

$\rho _{0}\cdot {\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}=-{\overrightarrow {\nabla }}p$.

Onde sphérique

Hypothèse : l'onde de pression est longitudinale : ${\frac {\partial p}{\partial \theta }}=0$ et ${\frac {\partial p}{\partial \phi }}=0$.

${\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\ p={\overrightarrow {\nabla }}p={\frac {\partial p}{\partial r}}{\overrightarrow {e_{r}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial p}{\partial \theta }}{\overrightarrow {e_{\theta }}}+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial p}{\partial \phi }}{\overrightarrow {e_{\phi }}}={\frac {\partial p}{\partial r}}{\overrightarrow {e_{r}}}$

Hypothèse : l'onde de vitesse est longitudinale : ${\vec {v}}=v\ {\vec {e}}_{r}$.

L'équation d'Euler peut alors s'écrire : $\rho _{0}{\frac {\partial v}{\partial t}}=-{\frac {\partial p}{\partial r}}$.

Onde progressive sinusoïdale

Hypothèse : l'onde de pression s'atténue en 1/r.

$p(r,t)={\frac {{\hat {P}}(1\,\mathrm {m} )}{r}}\cdot \cos(\omega \,t-k\,r+\varphi )=P(r){\sqrt {2}}\cdot \cos(\omega \,t-k\,r+\varphi )$

Sous forme complexe pour simplifier les calculs.

${\underline {p}}(r,t)=P(r)\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {j} (\omega \,t-k\,r+\varphi )}={\frac {P(1\,\mathrm {m} )}{r}}\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {j} (\omega \,t-k\,r+\varphi )}$

Expression de la vitesse acoustique

Par dérivation

${\frac {\partial p}{\partial r}}=-{\frac {P(1\,\mathrm {m} )}{r^{2}}}\cdot \cos(\omega \,t-k\,r+\varphi )+k\cdot {\frac {P(1\,\mathrm {m} )}{r}}\cdot \sin(\omega \,t-k\,r+\varphi )$

${\frac {\partial v}{\partial t}}=-{\frac {1}{\rho _{0}}}{\frac {\partial p}{\partial r}}=-{\frac {1}{\rho _{0}}}\cdot {\frac {P(1\,\mathrm {m} )}{r}}\left(-{\frac {1}{r}}\cdot \cos(\omega \,t-k\,r+\varphi )+k\cdot \sin(\omega \,t-k\,r+\varphi )\right)$

En cherchant la primitive :

$v={\frac {1}{\rho _{0}}}\cdot {\frac {P(1\,\mathrm {m} )}{r}}\left({\frac {1}{\omega \,r}}\cdot \sin(\omega \,t-k\,r+\varphi )+{\frac {k}{\omega }}\cdot \cos(\omega \,t-k\,r+\varphi )\right)$

$v={\frac {1}{\rho _{0}\,c}}\cdot {\frac {P(1\,\mathrm {m} )}{r}}\left({\frac {1}{k\,r}}\cdot \sin(\omega \,t-k\,r+\varphi )+\cos(\omega \,t-k\,r+\varphi )\right)$

$v={\frac {1}{\rho _{0}\,c}}\cdot {\frac {\sqrt {1+k^{2}\,r^{2}}}{k\,r}}\cdot {\frac {P(1\,\mathrm {m} )}{r}}\left({\frac {1}{\sqrt {1+k^{2}\,r^{2}}}}\cdot \sin(\omega \,t-k\,r+\varphi )+{\frac {k\,r}{\sqrt {1+k^{2}\,r^{2}}}}\cos(\omega \,t-k\,r+\varphi )\right)$

$v={\frac {1}{\rho _{0}\,c}}\cdot {\frac {\sqrt {1+k^{2}\,r^{2}}}{k\,r}}\cdot {\frac {P(1\,\mathrm {m} )}{r}}\left(\sin \psi \cdot \sin(\omega \,t-k\,r+\varphi )+\cos \psi \cdot \cos(\omega \,t-k\,r+\varphi )\right)$

$v={\frac {1}{\rho _{0}\,c}}\cdot {\frac {\sqrt {1+k^{2}\,r^{2}}}{k\,r}}\cdot {\frac {P(1\,\mathrm {m} )}{r}}\cdot \cos(\omega \,t-k\,r+\varphi -\psi )$

Expression de la vitesse acoustique complexe

${\frac {\partial {\underline {p}}}{\partial r}}=\left(-{\frac {P(1\,\mathrm {m} )}{r^{2}}}\cdot \mathrm {e} ^{-\mathrm {j} k\,r}-\mathrm {j} \,k\cdot {\frac {P(1\,\mathrm {m} )}{r}}\cdot \mathrm {e} ^{-\mathrm {j} k\,r}\right)\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {j} (\omega \,t+\varphi )}$

${\frac {\partial {\underline {v}}}{\partial t}}=-{\frac {1}{\rho _{0}}}{\frac {\partial {\underline {p}}}{\partial r}}={\frac {1}{\rho _{0}}}\left({\frac {1}{r}}+\mathrm {j} \,k\right)\cdot {\frac {P(1\,\mathrm {m} )}{r}}\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {j} (\omega \,t-k\,r+\varphi )}$

${\underline {v}}={\frac {1}{\mathrm {j} \,\omega \,\rho _{0}}}\left({\frac {1}{r}}+\mathrm {j} \,k\right)\cdot {\frac {P(1\,\mathrm {m} )}{r}}\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {j} (\omega \,t-k\,r+\varphi )}$

Sachant que ${\frac {k}{\omega }}={\frac {1}{c}}$ alors :

${\underline {v}}={\frac {1}{\mathrm {j} \,\rho _{0}\,c}}\left({\frac {1}{k\,r}}+\mathrm {j} \right)\cdot {\underline {p}}$

Expression de l'impédance acoustique complexe

${\underline {Z}}={\frac {\underline {p}}{\underline {v}}}=\mathrm {j} \,\rho _{0}\,c\left({\frac {k\,r}{1+\mathrm {j} \,k\,r}}\right)$

$Z=|{\underline {Z}}|=\rho _{0}\,c\left({\frac {k\,r}{\sqrt {1+k^{2}\,r^{2}}}}\right)$

$\psi =\mathrm {Arg} ({\underline {Z}})$

$\cos \psi ={\frac {k\,r}{\sqrt {1+k^{2}\,r^{2}}}}$

Expression de l'intensité acoustique

${\vec {I}}(r)={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}p(r,t)\,{\vec {v}}(r,t)\,\mathrm {d} t$

$p\,v={\frac {1}{\rho _{0}\,c}}\cdot {\frac {\sqrt {1+k^{2}\,r^{2}}}{k\,r}}\cdot {\frac {P^{2}(1\,\mathrm {m} )}{r^{2}}}\cos(\omega \,t-k\,r+\varphi )\cos(\omega \,t-k\,r+\varphi -\psi )\,\mathrm {d} t$

$p\,v={\frac {1}{\rho _{0}\,c}}\cdot {\frac {\sqrt {1+k^{2}\,r^{2}}}{k\,r}}\cdot {\frac {P^{2}(1\,\mathrm {m} )}{r^{2}}}\left(\cos(-\psi )+\cos(2\,\omega \,t-2\,k\,r+2\,\varphi -\psi )\right)$

$I(r)={\frac {1}{\rho _{0}\,c}}\cdot {\frac {\sqrt {1+k^{2}\,r^{2}}}{k\,r}}\cdot {\frac {P^{2}(1\,\mathrm {m} )}{r^{2}}}\cos \psi ={\frac {P^{2}(r)}{\rho _{0}\,c}}$

Expression de l'intensité acoustique complexe

${\underline {I}}(r)=\int _{0}^{T}{\underline {p}}(r,t)\,{\underline {v}}^{*}(r,t)\,\mathrm {d} t$

${\underline {I}}(r)={\frac {1}{-\mathrm {j} \,\rho _{0}\,c}}{\frac {1-\mathrm {j} \,k\,r}{k\,r}}\cdot {\underline {p}}^{*}\cdot {\underline {p}}={\frac {1}{\rho _{0}\,c}}{\frac {\mathrm {j} +k\,r}{k\,r}}\cdot P^{2}(r)$

$I(r)=\mathrm {Re} ({\underline {I}}(r))={\frac {P^{2}(r)}{\rho _{0}\,c}}$

À voir / À creuser

Équation de continuité : ${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\hbox{div}}(\rho \,{\vec {v}})=0$

Hypothèse : l'onde de vitesse est longitudinale. ${\frac {\partial p}{\partial \theta }}=0$ et ${\frac {\partial p}{\partial \phi }}=0$.

$\mathrm {div} \,(\rho {\vec {v}})={\overrightarrow {\nabla }}\cdot (\rho {\vec {v}})={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}(r^{2}\rho v_{r})+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial \sin \theta \rho v_{\theta }}{\partial \theta }}+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial \rho v_{\phi }}{\partial \phi }}={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}(r^{2}\rho v)$

Équation d'onde : $\Delta p-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial ^{2}p}{\partial t^{2}}}=0$.

Hypothèse : l'onde de pression est longitudinale. ${\frac {\partial p}{\partial \theta }}=0$ et ${\frac {\partial p}{\partial \phi }}=0$.

$\Delta p={\overrightarrow {\nabla }}^{2}M={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial p}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial p}{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}p}{\partial \phi ^{2}}}={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial p}{\partial r}}\right)$