Utilisateur:Ellande/Brouillon7

Puissance

La puissance s'exprime souvent en physique comme le produit de deux grandeurs de champ $x(t)$ et $y(t)$ .

Champ électrique ${\overrightarrow {E}}(t)$ et champ magnétique ${\overrightarrow {B}}(t)$ dans le domaines des ondes électromagnétiques et plus spécifiquement en optique ondulatoire.
Pression ${\overrightarrow {p}}(t)$ et vitesse ${\overrightarrow {v}}(t)$ acoustiques en acoustique.
Tension $u(t)$ et intensité $i(t)$ électriques en électronique et électrotechnique.
Etc.

Fonctions réelles $x(t)$ et $y(t)$ : $P_{xy}={\frac {1}{T}}\int _{t_{0}}^{t_{0}+T}x(t)\cdot y(t)\cdot \mathrm {d} t$ .

Fonctions complexes : ${\underline {x}}(t)$ et ${\underline {y}}(t)$ : ${\underline {P}}_{xy}={\frac {1}{T}}\int _{t_{0}}^{t_{0}+T}{\underline {x}}(t)\cdot {\underline {y}}^{*}(t)\cdot \mathrm {d} t$ .

Il est toutefois possible et fort pratique de n'exprimer la puissance qu'avec une seule des grandeurs de champ grâce à l'impédance (électrique, acoustique, etc.).

P_{yy}={1 \over {T}}\cdot \int _{0}^{T}y(t)\cdot y^{*}(t)\cdot \mathrm {d} t={1 \over {T}}\cdot \int _{0}^{T}|y(t)|^{2}\cdot \mathrm {d} t={1 \over {2\pi }}\cdot \int _{0}^{2\pi }y(\theta )\cdot y^{*}(\theta )\cdot \mathrm {d} \theta

.

P_{yy}={1 \over {2\pi }}\cdot \int _{0}^{2\pi }y(\theta )\cdot y^{*}(\theta )\cdot \mathrm {d} \theta ={1 \over {2\pi }}\cdot \int _{0}^{2\pi }|y(\theta )|^{2}\cdot \mathrm {d} \theta

.

Théorème de Parseval appliqué aux séries de Fourier

$P={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }|y(\theta )|^{2}\cdot \mathrm {d} \theta ={\frac {|A_{0}|^{2}}{4}}+{\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{\infty }\left(|A_{k}|^{2}+|B_{k}|^{2}\right)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }|D_{k}|^{2}$