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Changement de système colorimétrique

Pour transformer les composantes, coordonnées ou fonctions colorimétriques d'un espace colorimétrique 1 à un espace colorimétrique 2, il est seulement nécessaire de connaître les coordonnées des trois primaires et du blanc de référence du système colorimétrique 2 dans le système colorimétrique 1, ainsi que la luminance relative choisie pour le blanc de référence dans le système colorimétrique 2.

Exemple : transformation CIE 1931 XYZ / TVUHD (UIT-R BT.2020)

La recommandation UIT-R BT.2020 est la recommandation de l'union internationale des télécommunications qui définit les « valeurs de paramètres des systèmes de télévision à ultra haute définition pour la production et l'échange international de programmes ».

Couleur	$x$	$y$	$z$	$X$	$Y$	$Z$	$r$	$g$	$b$	$R$	$G$	$B$
Rouge [R2020]	0,708	0,292		$X_{R}$	$Y_{R}$	$Z_{R}$	$1$	$0$	$0$	$1$	$0$	$0$
Vert [B2020]	0,170	0,797		$X_{G}$	$Y_{G}$	$Z_{G}$	$0$	$1$	$0$	$0$	$1$	$0$
Bleu [B2020]	0,131	0,046		$X_{B}$	$Y_{B}$	$Z_{B}$	$0$	$0$	$1$	$0$	$0$	$1$
Blanc D65 [D65]	0,3127	0,3290		$X_{D65}$	$1$	$Z_{D65}$	$1/3$	$1/3$	$1/3$	$1$	$1$	$1$
[X]	$1$	$0$	$0$	$1$	$0$	$0$
[Y]	$0$	$1$	$0$	$0$	$1$	$0$
[Z]	$0$	$0$	$1$	$0$	$0$	$1$
Blanc d'égale énergétique [E]	$1/3$	$1/3$	$1/3$	$1$	$1$	$1$

Pour une couleur $[C]$ quelconque, les composantes $X$, $Y$ et $Z$, normalisées à 1, sont toutes comprises entre 0 et 1, tout comme les composantes $R$, $G$ et $B$.

$[C]\equiv X\ [X]+Y\ [Y]+Z\ [Z]$ et $[C]\equiv R\ [R]+G\ [G]+G\ [G]$.

$X=R\ X_{R}+G\ X_{G}+B\ X_{B}$

$Y=R\ Y_{R}+G\ Y_{G}+B\ Y_{B}$

$Z=R\ Z_{R}+G\ Z_{G}+B\ Z_{B}$

D'après la définition des coordonnées, il vient :

$X+Y+Z={\frac {Y}{y}}={\frac {X}{x}}={\frac {Z}{z}}$ d'où $X={\frac {x}{y}}Y$ et $Z={\frac {z}{y}}Y$.

Pour égaliser le blanc de référence par addition des trois primaires, selon les lois de Grassmann, les composantes du blanc sont la somme des composantes des trois primaires.

${\begin{cases}X_{R}+X_{G}+X_{B}=X_{D65}\\Y_{R}+Y_{G}+Y_{B}=Y_{D65}\\Z_{R}+Z_{G}+Z_{B}=Z_{D65}\end{cases}}\ \ \ {\begin{array}{lcr}(1)\\(2)\\(3)\end{array}}$

La relation $(1)$ peut s'écrire ${\frac {x_{R}}{y_{R}}}Y_{R}+{\frac {x_{G}}{y_{G}}}Y_{G}+{\frac {x_{B}}{y_{B}}}Y_{B}={\frac {x_{D65}}{y_{D65}}}Y_{D65}$.

En ajoutant membre à membre les relations $(1)$, $(2)$ et $(3)$, on obtient ${\frac {1}{y_{R}}}Y_{R}+{\frac {1}{y_{G}}}Y_{G}+{\frac {1}{y_{G}}}Y_{B}={\frac {1}{y_{D65}}}Y_{D65}\ \ (4)$.

En appliquant $Y_{D65}=1$ et en réorganisant les relation dans l'ordre $(2)$, $(4)$, $(1)$, on obtient :

${\begin{pmatrix}1&1&1\\{\frac {1}{y_{R}}}&{\frac {1}{y_{G}}}&{\frac {1}{y_{B}}}\\{\frac {x_{R}}{y_{R}}}&{\frac {x_{G}}{y_{G}}}&{\frac {x_{B}}{y_{B}}}\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}Y_{R}\\Y_{G}\\Y_{B}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\{\frac {1}{y_{D65}}}\\{\frac {x_{D65}}{y_{D65}}}\end{pmatrix}}$,

qui permet de calculer les coefficients de luminance :

${\begin{pmatrix}Y_{R}\\Y_{G}\\Y_{B}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&1&1\\{\frac {1}{y_{R}}}&{\frac {1}{y_{G}}}&{\frac {1}{y_{B}}}\\{\frac {x_{R}}{y_{R}}}&{\frac {x_{G}}{y_{G}}}&{\frac {x_{B}}{y_{B}}}\end{pmatrix}}^{\!\!-1}\times {\begin{pmatrix}1\\{\frac {1}{y_{D65}}}\\{\frac {x_{D65}}{y_{D65}}}\end{pmatrix}}$.

Ne reste plus qu'à trouver les valeurs $X_{R}$, $X_{G}$, $X_{B}$ et $Z_{R}$, $Z_{G}$, $Z_{B}$.