Utilisateur:Ellande/Brouillon6

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Formule de diffraction de Fresnel-KirchhoffModifier

La formule de diffraction de Fresnel-Kirchhoff[1] fournit l'expression de l'amplitude de la perturbation en un point   causée par une source ponctuelle en un point   émettant un rayonnement monochromatique isotrope, à la seule condition que la longueur d'onde soient négligeable devant les distances de propagation :

 .

Diffraction de Fresnel entre deux plansModifier

On néglige l'effet du facteur d'oblicité :  . Si le plan est éclairé par une onde plane de direction normale à la surface alors :

 .

L'approximation de Fresnel consiste à écrire la distance entre les deux points   et  

 ,

Ce qui amène l'expression

 ,
 ,

dans laquelle on identifie la réponse impulsionnelle en amplitude et sa transformée de Fourier

 ,
 
 

On peut observer qu'en décomposant la somme quadratique, on peut faire apparaître une transformée de Fourier :

 .

Objectif sans aberrationModifier

Réponse impulsionnelleModifier

La répartition du champ dans le plan image peut être exprimée

 .

Entre l'objet et la lentilleModifier

Le champ au niveau de la face d'entrée de la lentille en fonction du champ dans le plan objet est :

 .

Si on considère un seul point source, afin de trouver l'expression de la réponse impulsionnelle en amplitude, le champ   se ramène à un pic de Dirac   centré sur   et le champ   devient :

 .

Au niveau de la lentilleModifier

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L'épaisseur de la lentille à traverser dépend de la position  :

 ,

qui se traduit dans l'équation de la propagation par la multiplication par un facteur de module unité :

 ,

où on reconnait l'expression de la vergence de la lentille mince si bien que :

 .

Après le passage de la lentille, on trouve :

 .

Entre la lentille et l'imageModifier

Ce qui amène l'expression

 ,

Entre le plan objet et le plan imageModifier

En combinant les trois résultats précédents :

 
 

D'une part, la relation de conjugaison apporte  , et la formule du grandissement indique  .

D'autre part, si on considère que la lentille donne une image convenable (pas trop floue), on peut considérer que les points  qui ont une contribution significative pour le facteur   sont tous à proximité du point  qui a la contribution principale. On fera donc l'approximation selon laquelle   et   pour ce facteur. La réponse impulsionnelle devient :

 

Si on ne tient pas compte des divers déphasages la relation devient :

 ,
 .

Fort de ces approximations, la réponse impulsionnelle en amplitude d'une lentille, dans le plan image, et équivalente à la figure de diffraction de Fraunhofer d'une ouverture étudiée en champ lointain.

Fonction de transfert en amplitudeModifier

En introduisant les variable réduites   et  , alors   il vient :

 ,
 

La fonction de transfert en amplitude  

 ,
 ,
 

Compte-tenu de la symétrie des systèmes étudiés, les signes – peuvent être supprimés (toutes les fonctions sont paires).

 .

Fonction de transfert optiqueModifier

 

 

 

La fonction de transfert optique est :

 
 

La fonction de transfert optique normalisée est :

 

ExemplesModifier

Ouverture circulaireModifier

 

On observe que la fonction de transfert sera nulle si  . Au vu de la symétrie de révolution, on peut se contenter d'étudier sur axe quelconque.

 
Autoconvolution d'un disque

L’auto-convolution peut être calculée en déterminant la surface d'intersection de deux disques de rayons  .   est nommée fréquence de coupure, ce qui correspond au fréquences pour lesquelles les deux disques ne s'interceptent pas.

 
 
 

Au maximum, l'aire vaut  .

  et  
 

En divisant par   pour obtenir une valeur maximale de 1 = 100 %, on obtient :

 .

Ouverture rectangulaireModifier

 

FormulaireModifier

  1. Eugène Hecht 2005, p. 528