Réponse impulsionnelle
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La répartition du champ dans le plan image peut être exprimée
U i ( x , y ) = ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ U o ( a , b ) h ( x , y , a , b ) d a d b {\displaystyle U_{i}(x,y)=\int _{-\infty }^{\infty }\!\int _{-\infty }^{\infty }U_{o}(a,b)\,h(x,y,a,b)\ \mathrm {d} a\ \mathrm {d} b} .Entre l'objet et la lentille
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Le champ au niveau de la face d'entrée de la lentille en fonction du champ dans le plan objet est :
U l ( X , Y , a , b ) = e i k D o i λ D o ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ U o e i k 2 D o [ ( X − a ) 2 + ( Y − b ) 2 ] d X d Y {\displaystyle U_{l}(X,Y,a,b)={\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \,kD_{o}}}{\mathrm {i} \,\lambda D_{o}}}\ \!\int _{-\infty }^{\infty }\!\int _{-\infty }^{\infty }U_{o}\,\mathrm {e} ^{{\frac {\mathrm {i} \,k}{2D_{o}}}\left[(X-a)^{2}+(Y-b)^{2}\right]}\ \mathrm {d} X\ \mathrm {d} Y} .Si on considère un seul point source , afin de trouver l'expression de la réponse impulsionnelle en amplitude, le champ U o {\displaystyle U_{o}} se ramène à un pic de Dirac δ {\displaystyle \delta } centré sur ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} et le champ U l {\displaystyle U_{l}} devient :
U l ( X , Y , a , b ) = e i k D o i λ D o e i k 2 D o [ ( X − a ) 2 + ( Y − b ) 2 ] {\displaystyle U_{l}(X,Y,a,b)={\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \,kD_{o}}}{\mathrm {i} \,\lambda D_{o}}}\ \mathrm {e} ^{{\frac {\mathrm {i} \,k}{2D_{o}}}\left[(X-a)^{2}+(Y-b)^{2}\right]}} .Au niveau de la lentille
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p.97
L'épaisseur de la lentille à traverser dépend de la position ( X , Y ) {\displaystyle (X,Y)} :
Δ = Δ 0 − X 2 + Y 2 2 ( 1 R 1 − 1 R 2 ) {\displaystyle \Delta =\Delta _{0}-{\frac {X^{2}+Y^{2}}{2}}\left({\frac {1}{R_{1}}}-{\frac {1}{R_{2}}}\right)} ,qui se traduit dans l'équation de la propagation par la multiplication par un facteur de module unité :
e i k n Δ 0 e − i k ( n − 1 ) X 2 + Y 2 2 ( 1 R 1 − 1 R 2 ) {\displaystyle \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \,kn\Delta _{0}}\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \,k(n-1){\frac {X^{2}+Y^{2}}{2}}\left({\frac {1}{R_{1}}}-{\frac {1}{R_{2}}}\right)}} ,où on reconnait l'expression de la vergence de la lentille mince si bien que :
e i k n Δ 0 e − i k 2 f ( X 2 + Y 2 ) {\displaystyle \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \,kn\Delta _{0}}\mathrm {e} ^{-{\frac {\mathrm {i} \,k}{2f}}\left(X^{2}+Y^{2}\right)}} .Après le passage de la lentille, on trouve :
U l ′ ( X , Y ) = t ( X , Y ) e i k n Δ 0 e − i k 2 f ( X 2 + Y 2 ) U l ( X , Y ) {\displaystyle U_{l}^{'}(X,Y)=t(X,Y)\ \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \,kn\Delta _{0}}\ \mathrm {e} ^{-{\frac {\mathrm {i} \,k}{2f}}\left(X^{2}+Y^{2}\right)}U_{l}(X,Y)} .Entre la lentille et l'image
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Ce qui amène l'expression
U i ( x , y ) = e i k D i i λ D i ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ U l ′ e i k 2 D i [ ( x − Y ) 2 + ( y − Y ) 2 ] d X d Y {\displaystyle U_{i}(x,y)={\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \,kD_{i}}}{\mathrm {i} \,\lambda D_{i}}}\int _{-\infty }^{\infty }\!\int _{-\infty }^{\infty }U_{l}^{'}\,\mathrm {e} ^{{\frac {\mathrm {i} \,k}{2D_{i}}}\left[(x-Y)^{2}+(y-Y)^{2}\right]}\ \mathrm {d} X\ \mathrm {d} Y} ,Entre le plan objet et le plan image
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En combinant les trois résultats précédents :
U i ( x , y , a , b ) = h ( x , y , a , b ) = e i k D i i λ D i e i k D o i λ D o e i k n Δ 0 ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ t ( X , Y ) e − i k 2 f ( X 2 + Y 2 ) e i k 2 D o [ ( X − a ) 2 + ( Y − b ) 2 ] e i k 2 D i [ ( x − Y ) 2 + ( y − Y ) 2 ] d X d Y {\displaystyle U_{i}(x,y,a,b)=h(x,y,a,b)={\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \,kD_{i}}}{\mathrm {i} \,\lambda D_{i}}}\ {\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \,kD_{o}}}{\mathrm {i} \,\lambda D_{o}}}\ \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \,kn\Delta _{0}}\int _{-\infty }^{\infty }\!\int _{-\infty }^{\infty }t(X,Y)\ \mathrm {e} ^{-{\frac {\mathrm {i} \,k}{2f}}\left(X^{2}+Y^{2}\right)}\ \mathrm {e} ^{{\frac {\mathrm {i} \,k}{2D_{o}}}\left[(X-a)^{2}+(Y-b)^{2}\right]}\ \mathrm {e} ^{{\frac {\mathrm {i} \,k}{2D_{i}}}\left[(x-Y)^{2}+(y-Y)^{2}\right]}\ \mathrm {d} X\ \mathrm {d} Y}
h ( x , y , a , b ) = − e i k D i e i k D o e i k n Δ 0 λ 2 D i D o ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ t ( X , Y ) e i k 2 ( 1 D i + 1 D o − 1 f ) ( X 2 + Y 2 ) e i k 2 D i ( x 2 + y 2 ) e i k 2 D o ( a 2 + b 2 ) e − i k [ ( a D o + x D i ) X + ( b D o + y D i ) Y ] d X d Y {\displaystyle h(x,y,a,b)=-{\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \,kD_{i}}\ \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \,kD_{o}}\ \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \,kn\Delta _{0}}}{\lambda ^{2}D_{i}D_{o}}}\int _{-\infty }^{\infty }\!\int _{-\infty }^{\infty }t(X,Y)\ \mathrm {e} ^{{\frac {\mathrm {i} \,k}{2}}\left({\frac {1}{D_{i}}}+{\frac {1}{D_{o}}}-{\frac {1}{f}}\right)\left(X^{2}+Y^{2}\right)}\ \mathrm {e} ^{{\frac {\mathrm {i} \,k}{2D_{i}}}\left(x^{2}+y^{2}\right)}\ \mathrm {e} ^{{\frac {\mathrm {i} \,k}{2D_{o}}}\left(a^{2}+b^{2}\right)}\ \mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \,k\left[\left({\frac {a}{D_{o}}}+{\frac {x}{D_{i}}}\right)X+\left({\frac {b}{D_{o}}}+{\frac {y}{D_{i}}}\right)Y\right]}\ \mathrm {d} X\ \mathrm {d} Y} D'une part, la relation de conjugaison apporte 1 D i + 1 D o − 1 f = 0 {\displaystyle {\frac {1}{D_{i}}}+{\frac {1}{D_{o}}}-{\frac {1}{f}}=0} , et la formule du grandissement indique γ t = − D i D o {\displaystyle \gamma _{t}=-{\frac {D_{i}}{D_{o}}}} .
D'autre part, si on considère que la lentille donne une image convenable (pas trop floue), on peut considérer que les points ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} qui ont une contribution significative pour le facteur k 2 D o ( a 2 + b 2 ) {\displaystyle {\frac {k}{2D_{o}}}\left(a^{2}+b^{2}\right)} sont tous à proximité du point ( x γ t , y γ t ) {\displaystyle \left({\frac {x}{\gamma _{t}}},{\frac {y}{\gamma _{t}}}\right)} qui a la contribution principale. On fera donc l'approximation selon laquelle a ≃ x γ t {\displaystyle a\simeq {\frac {x}{\gamma _{t}}}} et b ≃ y γ t {\displaystyle b\simeq {\frac {y}{\gamma _{t}}}} pour ce facteur. La réponse impulsionnelle devient :
h ( x , y , a , b ) = − e i k D i e i k D o e i k n Δ 0 e i k 2 D i ( x 2 + y 2 ) e i k 2 D o x 2 + y 2 γ t 2 λ 2 D i D o ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ t ( X , Y ) e − i k [ ( − γ t a D i + x D i ) X + ( − γ t b D i + y D i ) Y ] d X d Y {\displaystyle h(x,y,a,b)=-{\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \,kD_{i}}\ \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \,kD_{o}}\ \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \,kn\Delta _{0}}\ \mathrm {e} ^{{\frac {\mathrm {i} \,k}{2D_{i}}}\left(x^{2}+y^{2}\right)}\ \mathrm {e} ^{{\frac {\mathrm {i} \,k}{2D_{o}}}{\frac {x^{2}+y^{2}}{\gamma _{t}^{2}}}}}{\lambda ^{2}D_{i}D_{o}}}\int _{-\infty }^{\infty }\!\int _{-\infty }^{\infty }t(X,Y)\ \mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \,k\left[\left({\frac {-\gamma _{t}a}{D_{i}}}+{\frac {x}{D_{i}}}\right)X+\left({\frac {-\gamma _{t}b}{D_{i}}}+{\frac {y}{D_{i}}}\right)Y\right]}\ \mathrm {d} X\ \mathrm {d} Y} Si on ne tient pas compte des divers déphasages la relation devient :
h ( x − γ t a , y − γ t b ) = − 1 λ 2 D i D o ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ t ( X , Y ) e − i k D i [ ( x − γ t a ) X + ( y − γ t b ) Y ] d X d Y {\displaystyle h(x-\gamma _{t}a\,,\,y-\gamma _{t}b)=-{\frac {1}{\lambda ^{2}D_{i}D_{o}}}\int _{-\infty }^{\infty }\!\int _{-\infty }^{\infty }t(X,Y)\ \mathrm {e} ^{{\frac {-\mathrm {i} \,k}{D_{i}}}\left[\left(x-\gamma _{t}a\right)X+\left(y-\gamma _{t}b\right)Y\right]}\ \mathrm {d} X\ \mathrm {d} Y} ,
h ( x , y ) = − 1 λ 2 D i D o ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ t ( X , Y ) e − i 2 π λ D i ( x X + y Y ) d X d Y {\displaystyle h(x,y)=-{\frac {1}{\lambda ^{2}D_{i}D_{o}}}\int _{-\infty }^{\infty }\!\int _{-\infty }^{\infty }t(X,Y)\ \mathrm {e} ^{{\frac {-\mathrm {i} \,2\pi }{\lambda D_{i}}}\left(xX+yY\right)}\ \mathrm {d} X\ \mathrm {d} Y} .
Fort de ces approximations, la réponse impulsionnelle en amplitude d'une lentille, dans le plan image, et équivalente à la figure de diffraction de Fraunhofer d'une ouverture étudiée en champ lointain.
Fonction de transfert en amplitude
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En introduisant les variable réduites X ′ = − X λ D i {\displaystyle X'={\frac {-X}{\lambda D_{i}}}} et Y ′ = − Y λ D i {\displaystyle Y'={\frac {-Y}{\lambda D_{i}}}} , alors d X = − λ D i X ′ {\displaystyle \mathrm {d} X=-\lambda D_{i}X'} il vient :
h ( x , y ) = γ t ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ t ( − λ D i X ′ , − λ D i Y ′ ) e i 2 π ( x X ′ + y Y ′ ) d X ′ d Y ′ {\displaystyle h(x,y)=\gamma _{t}\int _{-\infty }^{\infty }\!\int _{-\infty }^{\infty }t\left(-\lambda D_{i}X',-\lambda D_{i}Y'\right)\ \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \,2\pi \left(xX'+yY'\right)}\ \mathrm {d} X'\ \mathrm {d} Y'} ,
h ( x , y ) = γ t F − 1 { t ( − λ D i X ′ , − λ D i Y ′ ) } {\displaystyle h(x,y)=\gamma _{t}\ {\mathcal {F}}^{-1}\left\{t(-\lambda D_{i}X',-\lambda D_{i}Y')\right\}} La fonction de transfert en amplitude h ^ ( ν x , ν y ) = F { h ( x , y ) } {\displaystyle {\hat {h}}(\nu _{x},\nu _{y})={\mathcal {F}}\left\{h(x,y)\right\}}
h ^ ( ν x , ν y ) = ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ h ( x , y ) e − i 2 π ( x ν x + y ν y ) d x d y {\displaystyle {\hat {h}}(\nu _{x},\nu _{y})=\int _{-\infty }^{\infty }\!\int _{-\infty }^{\infty }h\left(x,y\right)\ \mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \,2\pi \left(x\nu _{x}+y\nu _{y}\right)}\ \mathrm {d} x\ \mathrm {d} y} ,
h ^ ( ν x , ν y ) = F { h ( x , y ) } = F { γ t F − 1 { t ( − λ D i X ′ , − λ D i Y ′ ) } } {\displaystyle {\hat {h}}(\nu _{x},\nu _{y})={\mathcal {F}}\left\{h(x,y)\right\}={\mathcal {F}}\left\{\gamma _{t}\ {\mathcal {F}}^{-1}\left\{t(-\lambda D_{i}X',-\lambda D_{i}Y')\right\}\right\}} ,
h ^ ( ν x , ν y ) = γ t t ( − λ D i ν x , − λ D i ν y ) {\displaystyle {\hat {h}}(\nu _{x},\nu _{y})=\gamma _{t}\ t(-\lambda D_{i}\nu _{x},-\lambda D_{i}\nu _{y})}
Compte-tenu de la symétrie des systèmes étudiés, les signes – peuvent être supprimés (toutes les fonctions sont paires).
h ^ ( ν x , ν y ) = γ t t ( λ D i ν x , λ D i ν y ) {\displaystyle {\hat {h}}(\nu _{x},\nu _{y})=\gamma _{t}\ t(\lambda D_{i}\nu _{x},\lambda D_{i}\nu _{y})} .
Fonction de transfert optique
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I i ( x , y ) = ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ I o ( a , b ) H ( x , y , a , b ) d a d b {\displaystyle I_{i}(x,y)=\int _{-\infty }^{\infty }\!\int _{-\infty }^{\infty }I_{o}(a,b)\,{\mathcal {H}}(x,y,a,b)\ \mathrm {d} a\ \mathrm {d} b}
I i ( x , y ) = ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ I o ( a , b ) | h ( x , y , a , b ) | 2 d a d b {\displaystyle I_{i}(x,y)=\int _{-\infty }^{\infty }\!\int _{-\infty }^{\infty }I_{o}(a,b)\,|h(x,y,a,b)|^{2}\ \mathrm {d} a\ \mathrm {d} b}
I i ( x , y ) = ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ I o ( a , b ) | h ( x − γ t a , y − γ t b ) | 2 d a d b {\displaystyle I_{i}(x,y)=\int _{-\infty }^{\infty }\!\int _{-\infty }^{\infty }I_{o}(a,b)\,|h(x-\gamma _{t}a,y-\gamma _{t}b)|^{2}\ \mathrm {d} a\ \mathrm {d} b}
La fonction de transfert optique est :
H ^ ( ν x , ν y ) = F { | h ( x , y ) | 2 } = F { h ( x , y ) } ∗ F { h ( x , y ) } = h ^ ( ν x , ν y ) ∗ h ^ ( ν x , ν y ) {\displaystyle {\hat {\mathcal {H}}}(\nu _{x},\nu _{y})={\mathcal {F}}\left\{|h(x,y)|^{2}\right\}={\mathcal {F}}\left\{h(x,y)\right\}*{\mathcal {F}}\left\{h(x,y)\right\}={\hat {h}}(\nu _{x},\nu _{y})*{\hat {h}}(\nu _{x},\nu _{y})}
H ^ ( ν x , ν y ) = γ t 2 t ( − λ D i ν x , − λ D i ν y ) ∗ t ( − λ D i ν x , − λ D i ν y ) {\displaystyle {\hat {\mathcal {H}}}(\nu _{x},\nu _{y})=\gamma _{t}^{2}\ t(-\lambda D_{i}\nu _{x},-\lambda D_{i}\nu _{y})*t(-\lambda D_{i}\nu _{x},-\lambda D_{i}\nu _{y})} La fonction de transfert optique normalisée est :
H ^ 1 ( ν x , ν y ) = F { | h ( x , y ) | 2 } ∫ ∫ − ∞ ∞ | h ( x , y ) | 2 d x d y {\displaystyle {\hat {\mathcal {H}}}_{1}(\nu _{x},\nu _{y})={\frac {{\mathcal {F}}\left\{|h(x,y)|^{2}\right\}}{\int \!\int _{-\infty }^{\infty }|h(x,y)|^{2}\mathrm {d} x\mathrm {d} y}}}
Ouverture circulaire
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t ( X , Y ) = { 1 , si X 2 + Y 2 ≤ d 2 0 , sinon {\displaystyle t(X,Y)={\begin{cases}1,&{\text{si }}{\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}\leq {\frac {d}{2}}\\0,&{\text{sinon }}\end{cases}}}
On observe que la fonction de transfert sera nulle si ν x 2 + ν y 2 ≤ ν c = d λ f = 1 λ N {\displaystyle {\sqrt {\nu _{x}^{2}+\nu _{y}^{2}}}\leq \nu _{c}={\frac {d}{\lambda f}}={\frac {1}{\lambda N}}} . Au vu de la symétrie de révolution, on peut se contenter d'étudier sur axe quelconque.
Autoconvolution d'un disque L’auto-convolution peut être calculée en déterminant la surface d'intersection de deux disques de rayons ν c 2 = d λ f = 1 2 λ N {\displaystyle {\frac {\nu _{c}}{2}}={\frac {d}{\lambda f}}={\frac {1}{2\lambda N}}} . ν c {\displaystyle \nu _{c}} est nommée fréquence de coupure, ce qui correspond au fréquences pour lesquelles les deux disques ne s'interceptent pas.
A = 2 ( θ ν c 2 2 − ν c cos θ ν c sin θ ) {\displaystyle A=2\left({\frac {\theta \nu _{c}^{2}}{2}}-\nu _{c}\cos \theta \,\nu _{c}\sin \theta \right)}
A = 2 ν c 2 ( θ 2 − sin 2 θ 2 ) {\displaystyle A=2\,\nu _{c}^{2}\left({\frac {\theta }{2}}-{\frac {\sin 2\theta }{2}}\right)}
A = 2 ν c 2 ( θ 2 − cos θ sin θ ) {\displaystyle A=2\,\nu _{c}^{2}\left({\frac {\theta }{2}}-{\cos \theta \sin \theta }\right)} Au maximum, l'aire vaut A m a x = π ν c 2 {\displaystyle A_{\mathrm {max} }=\pi \,\nu _{c}^{2}} .
ν ν c = cos θ {\displaystyle {\frac {\nu }{\nu _{c}}}=\cos \theta } et sin 2 θ = 1 − ( ν ν c ) 2 {\displaystyle \sin ^{2}\theta =1-\left({\frac {\nu }{\nu _{c}}}\right)^{2}}
A = 2 ν c 2 ( arccos ( ν / ν c ) 2 − ν ν c 1 − ( ν ν c ) 2 ) {\displaystyle A=2\,\nu _{c}^{2}\left({\frac {\arccos(\nu /\nu _{c})}{2}}-{{\frac {\nu }{\nu _{c}}}{\sqrt {1-\left({\frac {\nu }{\nu _{c}}}\right)^{2}}}}\right)} En divisant par A m a x {\displaystyle A_{\mathrm {max} }} pour obtenir une valeur maximale de 1 = 100 %, on obtient :
H ^ 1 ( ν ) = 2 π ( arccos ( | ν | / ν c ) 2 − | ν | ν c 1 − ( ν ν c ) 2 ) {\displaystyle {\hat {\mathcal {H}}}_{1}(\nu )={\frac {2}{\pi }}\left({\frac {\arccos(|\nu |/\nu _{c})}{2}}-{{\frac {|\nu |}{\nu _{c}}}{\sqrt {1-\left({\frac {\nu }{\nu _{c}}}\right)^{2}}}}\right)} .Ouverture rectangulaire
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t ( X , Y ) = Π L / 2 , H / 2 ( X , Y ) = { 1 , si − L 2 ≤ X ≤ L 2 et si − H 2 ≤ Y ≤ H 2 0 , sinon {\displaystyle t(X,Y)=\Pi _{{L}/2,H/2}(X,Y)={\begin{cases}1,&{\text{si }}-{\frac {L}{2}}\leq X\leq {\frac {L}{2}}{\text{ et si }}-{\frac {H}{2}}\leq Y\leq {\frac {H}{2}}\\0,&{\text{sinon }}\end{cases}}}