Calcul différentiel/Recherches d'extrema

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Dans ce chapitre, nous allons aborder des théorèmes qui portent sur l'existence d'extrema locaux de fonctions définies sur des ouverts, puis nous verrons des méthodes plus générales permettant de trouver des extrema.

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$\Omega$ désigne un ouvert de $\mathbb {R} ^{n}$ dans tout le chapitre. (Les théorèmes suivants sont inapplicables sans cette hypothèse.)

Définition

Extremum local

Soit une fonction $f:\Omega \to \mathbb {R}$ et un point $x_{0}\in \Omega$.

$f$ admet un maximum (respectivement minimum) local en $x_{0}$ s'il existe $\rho >0$ tel que

• la boule de centre $x_{0}$ et de rayon $\rho$ soit incluse dans $\Omega$ ;
• pour tout point $x$ de cette boule, $f(x)\leqslant f(x_{0})$ (respectivement $f(x)\geqslant f(x_{0})$).

Un extremum local est minimum ou un maximum local.

Extremum local strict

Avec les mêmes notations que précédemment, l’extremum local est strict si de plus $x\neq x_{0}\Rightarrow f(x)\neq f(x_{0})$

Points critiques

Définition

Point critique

Si $x_{0}\in \Omega$, $x_{0}$ est un point critique de $f$ si sa différentielle (d'ordre 1) est nulle.

Condition nécessaire sur la différentielle

Début d’un théorème

Condition nécessaire d'existence d'un extremum

Si $f:\Omega \to \mathbb {R}$ admet un extremum local en $x_{0}\in \Omega$ alors :

1. pour tout vecteur $h\in \mathbb {R} ^{n}$, la dérivée de $f$ en $x_{0}$ suivant le vecteur $h$, si elle existe, est nulle ;
2. les dérivées partielles de $f$ en $x_{0}$, si elles existent, sont nulles ;
3. si $f$ est différentiable en $x_{0}$ alors $x_{0}$ est un point critique.

Fin du théorème

Démonstration

$1\Rightarrow 2\Rightarrow 3$, et $1$ est un corollaire du théorème de Fermat sur les extrema locaux d'une fonction numérique.

 

La recherche d'extrema locaux commencera donc toujours par la recherche des points critiques de la fonction étudiée.

Pour rechercher les points critiques, il faut résoudre le système d'équations :

$\forall i\quad {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}=0$.

Matrice hessienne

Définition

Matrice hessienne

Soient $f:\Omega \to \mathbb {R}$ deux fois différentiable en $x_{0}\in \Omega$. La matrice hessienne de $f$ en $x_{0}$ est la matrice de sa différentielle d'ordre 2 en $x_{0}$ :

$(Hf)_{x_{0}}:=\left({\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}(x_{0})\right)_{i,j}$.

Selon le théorème de Schwarz, la hessienne est symétrique.

Condition nécessaire sur la différentielle seconde

Début d’un théorème

condition nécessaire d'existence d'un extremum

Soit $f:\Omega \to \mathbb {R}$ deux fois différentiable en $x_{0}\in \Omega$ et $Q$ sa différentielle d'ordre 2 en ce point.

• Si $f$ admet un minimum local en $x_{0}$ alors $Q$ est positive.
• Si $f$ admet un maximum local en $x_{0}$ alors $Q$ est négative.

Fin du théorème

Démonstration

Montrons par exemple le point 1 donc supposons que $f$ admet un minimum local en $x_{0}$. Pour tout $h\in \mathbb {R} ^{n}$, la fonction $g:t\mapsto f(x_{0}+th)$ admet alors un minimum local en $0$, donc $0\leq g''(0)=Q(h,h)$.

 

Ce théorème est surtout utilisé pour nier l'existence d'un extremum en un point critique. Il peut suffire par exemple de trouver des valeurs propres de la matrice hessienne qui sont positives et d'autres qui sont négatives, pour montrer qu'un point n’est pas un extremum.

Condition suffisante d'existence d'un extremum

Début d’un théorème

condition suffisante d'existence d'un extremum

Soit $f:\Omega \rightarrow \mathbb {R}$ deux fois différentiable en un point critique $x_{0}\in \Omega$ et soit Q sa différentielle d'ordre 2 en ce point.

• Si Q est définie positive, $f$ admet en $x_{0}$ un minimum local strict.
• Si Q est définie négative, $f$ admet en $x_{0}$ un maximum local strict.

Fin du théorème

Démonstration

Soit H la matrice hessienne de ƒ en $x_{0}$ (c'est la matrice de Q).

H est symétrique réelle.

Soient $\lambda _{1}\leqslant \ldots \leqslant \lambda _{m}$ les valeurs propres de H.

Si Q est définie positive (par exemple), alors $\lambda _{1}>0$.

On applique le théorème de Taylor-Young (au point critique)

$f(x_{0}+h)-f(x_{0})=\underbrace {(df)_{x_{0}}} _{=0}+{\frac {Q(h)}{2}}+\|h\|^{2}\epsilon (h)\geqslant ({\frac {\lambda _{1}}{2}}+\epsilon (h))\|h\|^{2}$

Pour h assez petit, on a $\epsilon (h)\leqslant {\frac {\lambda _{1}}{4}}$

Donc $f(x_{0}+h)-f(x_{0})\geqslant {\frac {\lambda _{1}}{4}}\|h\|^{2}>0$

On a donc un minimum local strict.

 

Cas particulier n = 2

Si $f$ est une fonction de deux variables réelles, sa hessienne en un point est de la forme

$H={\begin{pmatrix}r&s\\s&t\end{pmatrix}}$

(notation de Monge).

Il est alors très facile de déterminer le signe des deux valeurs propres $\lambda ,\mu$ de $H$ et donc le statut de $Q$ (positive, définie positive, etc.), sachant que

$\lambda \mu =\det H=rt-s^{2}\quad {\text{et}}\quad \lambda +\mu =\operatorname {tr} H=r+t$.

Extrema liés

Début d’un théorème

Théorème

Soient E un espace de Banach, U un ouvert de E, $g=\left(g_{1},\dots ,g_{m}\right):U\to \mathbb {R} ^{m}$ et $f:U\to \mathbb {R}$ des fonctions de classe C¹, et $a\in U$ tel que :

• $g\left(a\right)=0$ ;
• la restriction de $f$ à $g^{-1}\left(\{0\}\right)$ admet un extremum local en $a$ ;
• l'application linéaire $\mathrm {d} g_{a}:E\to \mathbb {R} ^{m}$ est surjective (autrement dit : les $m$ formes linéaires $\mathrm {d} \left(g_{j}\right)_{a}$ sont linéairement indépendantes).

Alors, il existe $m$ réels $\lambda _{1},\dots ,\lambda _{m}$ — appelés multiplicateurs de Lagrange — tels que

$\mathrm {d} f_{a}=\sum _{j=1}^{m}\lambda _{j}\mathrm {d} \left(g_{j}\right)_{a}$.

Fin du théorème

Démonstration

Soient $F$ le noyau de $\mathrm {d} g_{a}$ et $G$ un supplémentaire (de dimension $m$ puisque $\mathrm {d} g_{a}$ est surjective). Alors, $F$ et $G$ sont supplémentaires topologiques, c'est-à-dire que la bijection linéaire $F\times G\to E,\;\left(x,y\right)\mapsto x+y$ est continue ainsi que sa réciproque. On peut donc sans perte de généralité supposer que $E=F\times G$. D'après le théorème des fonctions implicites, il existe alors dans $E=F\times G$ un ouvert $V\times W\ni a=\left(b,c\right)$, et une application $h:V\to W$ de classe C¹, tels que

$\forall \left(x,y\right)\in V\times W\quad g\left(x,y\right)=0\Leftrightarrow y=h\left(x\right)$.

L'application $k:V\to \mathbb {R} ,\,x\mapsto f\left(x,h\left(x\right)\right)$ admet un extremum local en $b$ donc $\mathrm {d} k_{b}=0$, c'est-à-dire $\forall z\in F\quad 0=\mathrm {d} f_{a}(z,\mathrm {d} h_{b}(z))=\mathrm {d} f_{a}(z,0)$. Autrement dit, $\mathrm {d} f_{a}$ est nulle sur l'intersection des noyaux des formes linéaires $\mathrm {d} \left(g_{j}\right)_{a}$, ce qui signifie qu'elle est combinaison linéaire de ces formes.