Calcul différentiel/Recherches d'extrema

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Recherches d'extrema
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Chapitre no 5
Leçon : Calcul différentiel
Chap. préc. :Théorèmes utiles
Chap. suiv. :Équations différentielles

Exercices :

Recherches d'extrema
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Dans ce chapitre, nous allons aborder des théorèmes qui portent sur l'existence d'extrema locaux de fonctions définies sur des ouverts, puis nous verrons des méthodes plus générales permettant de trouver des extrema.

Panneau d’avertissement désigne un ouvert de dans tout le chapitre. (Les théorèmes suivants sont inapplicables sans cette hypothèse.)

DéfinitionModifier



Points critiquesModifier

DéfinitionModifier


Condition nécessaire sur la différentielleModifier

Début d’un théorème
Fin du théorème


La recherche d'extrema locaux commencera donc toujours par la recherche des points critiques de la fonction étudiée.

Pour rechercher les points critiques, il faut résoudre le système d'équations :

 .

Matrice hessienneModifier

DéfinitionModifier


Selon le théorème de Schwarz, la hessienne est symétrique.

Condition nécessaire sur la différentielle secondeModifier

Début d’un théorème
Fin du théorème


Ce théorème est surtout utilisé pour nier l'existence d'un extremum en un point critique. Il peut suffire par exemple de trouver des valeurs propres de la matrice hessienne qui sont positives et d'autres qui sont négatives, pour montrer qu'un point n’est pas un extremum.

Condition suffisante d'existence d'un extremumModifier

Début d’un théorème
Fin du théorème


Cas particulier n = 2Modifier

Si   est une fonction de deux variables réelles, sa hessienne en un point est de la forme

 

(notation de Monge).

Il est alors très facile de déterminer le signe des deux valeurs propres   de   et donc le statut de   (positive, définie positive, etc.), sachant que

 .

Extrema liésModifier

Début d’un théorème
Fin du théorème