Calcul différentiel/Exercices/Équations différentielles linéaires

Équations différentielles linéaires
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Exercices no4
Leçon : Calcul différentiel
Chapitre du cours : Équations différentielles

Exercices de niveau 15.

Exo préc. :Recherches d'extrema
Exo suiv. :Équations différentielles non linéaires
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Calcul différentiel/Exercices/Équations différentielles linéaires
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désignera un intervalle réel et un ouvert de .

Exercice 1Modifier

Soient   fonctions continues  .

  1. Mettre l'équation différentielle   sous la forme d'un système d'ordre  .
  2. Lorsque les fonctions   sont des constantes, déterminer le polynôme caractéristique de la matrice associée.

Exercice 2Modifier

Soient un entier   et un réel  . Montrer que l'équation différentielle

 

admet comme solutions particulières non nulles, sur   :

  1. une fonction de la forme  , pour un réel   à déterminer ;
  2. un polynôme dont on précisera le degré.

Exercice 3Modifier

Soient   deux fonctions continues  -périodiques. On s'intéresse aux solutions de

 .

Montrer que :

  1. si   est solution,   aussi ;
  2. une solution   est  -périodique si (et seulement si)   ;
  3. toute solution   vérifie :   .
    Que peut-on en conclure ?

Exercice 4Modifier

  1. Soient   une fonction de classe Ck et   un réel tel que   et  . Montrer que   est un zéro isolé de  .
  2. Soient   fonctions continues   et   une solution non identiquement nulle de
     .
    Montrer que les éventuels zéros de   sont isolés.

Exercice 5Modifier

On considère l'équation différentielle linéaire d'ordre 2 à coefficients constants

 

  est une fonction continue. Montrer que :

  1. la fonction   est une solution de  . En déduire la solution générale de   ;
  2. si   alors toutes les solutions de   sont des fonctions bornées. En est-il de même si   est seulement bornée sur   ?

Exercice 6Modifier

  1. Soient  , avec  . Montrer que si   alors  .
  2. Que peut-on en déduire sur les solutions de l'équation différentielle
     ,
      et   sont des constantes réelles ?

Exercice 7Modifier

Calculer la résolvante   du système suivant.

 .

Avant de présenter les calculs, on indiquera la méthode que l'on entend suivre (il y en a plusieurs).