Calcul différentiel/Exercices/Équations différentielles linéaires
désignera un intervalle réel et un ouvert de .
Exercice 1
modifierSoient fonctions continues .
- Mettre l'équation différentielle sous la forme d'un système d'ordre .
- Lorsque les fonctions sont des constantes, déterminer le polynôme caractéristique de la matrice associée.
- On applique le procédé général (valable pour toute E.D. d'ordre n, même non linéaire ni sous forme résolue), en posant
.
L'équation devient, pour une E.D. linéaire sous forme résolue comme ici : , avec
. - Si les fonctions sont des constantes, est la matrice compagnon de son polynôme caractéristique, (au signe près et à transposition près de la matrice, selon les auteurs). Plus précisément :
en ajoutant à la dernière colonne la combinaison linéaire des colonnes précédentes, puis en développant suivant cette dernière colonne :
.
Pour l'utilité de ce résultat, voir « Équation caractéristique d'une équation différentielle linéaire à coefficients constants » sur Wikipédia.
Exercice 2
modifierSoient un entier et un réel . Montrer que l'équation différentielle
admet comme solutions particulières non nulles, sur :
- une fonction de la forme , pour un réel à déterminer ;
- un polynôme dont on précisera le degré.
Cette équation différentielle s'écrit aussi .
- Si alors et donc
si . - Pour avec , l'équation différentielle se traduit par :
- c'est-à-dire : et déterminés de proche en proche en fonction de . Il existe donc une solution polynomiale de degré .
Exercice 3
modifierSoient deux fonctions continues -périodiques. On s'intéresse aux solutions de
.
Montrer que :
- si est solution, aussi ;
- une solution est -périodique si (et seulement si) ;
- toute solution vérifie : .
Que peut-on en conclure ?
- Soit une solution ; posons . Alors, .
- Soit une solution vérifiant . Alors, la solution de la question précédente coïncide avec en donc partout, d'après l'unicité dans le théorème de Cauchy-Lipschitz (qui s'applique ici car la fonction est bien continue, et localement lipschitzienne par rapport à ).
- Revoir « Équation différentielle linéaire du premier ordre » (niveau 13).
Si (la primitive de qui s'annule en ),
, ce qui est bien la formule annoncée.
On en déduit les équivalences suivantes :
est -périodique .
Exercice 4
modifier- Soient une fonction de classe Ck et un réel tel que et . Montrer que est un zéro isolé de .
- Soient fonctions continues et une solution non identiquement nulle de
.
Montrer que les éventuels zéros de sont isolés.
- S'il existait une suite de zéros de distincts de et convergeant vers , on en déduirait, en appliquant le théorème de Rolle successivement à , une suite de zéros de convergeant vers , ce qui (par continuité de ) contredirait l'hypothèse .
- Si est un zéro non isolé d'une solution , on en déduit, par le même raisonnement que dans la question précédente, que c'est aussi un zéro de pour tout de à . Les valeurs au point de déterminent entièrement la solution de l'équation différentielle et coïncident avec celles de la solution nulle, donc .
Exercice 5
modifierOn considère l'équation différentielle linéaire d'ordre 2 à coefficients constants
où est une fonction continue. Montrer que :
- la fonction est une solution de . En déduire la solution générale de ;
- si alors toutes les solutions de sont des fonctions bornées. En est-il de même si est seulement bornée sur ?
- Soit . Alors, et donc . Dès lors, les solutions de sont :
. - D'après la question précédente, les solutions de sont bornées si et seulement si l'est.
Si alors .
En revanche, si par exemple (bornée) alors (non bornée).
Exercice 6
modifier- Soient , avec . Montrer que si alors .
- Que peut-on en déduire sur les solutions de l'équation différentielle
,
où et sont des constantes réelles ?
- Soit . En supposant par exemple , l'hypothèse peut se mettre sous la forme , ce qui n'est possible que si .
- Si , la seule solution vérifiant est la fonction nulle.
Exercice 7
modifierCalculer la résolvante du système suivant.
- .
Avant de présenter les calculs, on indiquera la méthode que l'on entend suivre (il y en a plusieurs).
Résolvons le système, puis déduisons-en comme la matrice telle que pour toute solution , .
, et (avec quelconques).
Donc avec
- .
(On peut éviter le calcul de en remarquant que donc , d'où ).
Une autre méthode serait de calculer l'exponentielle de la matrice , où .