Fonctions d'une variable réelle/Développements limités

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Dans tout ce chapitre, est une fonction définie sur un intervalle et continue en un point et est un entier naturel.

Développements limités
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Chapitre no 6
Leçon : Fonctions d'une variable réelle
Chap. préc. :Relations de comparaison
Chap. suiv. :Convexité

Exercices :

Développements limités
Fiche :Développements limités
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Fonctions d'une variable réelle/Développements limités
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Définition

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La fonction cosinus et son développement limité d'ordre 4 au voisinage de 0.

L'idée à retenir est qu'un développement limité est une approximation polynomiale au voisinage du point où il est effectué : l'image le montre bien.

Formules de Taylor

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Wikipédia possède un article à propos de « Théorème de Taylor ».

Nous exposons ici trois formules de Taylor :

Début d’un théorème
Fin du théorème


Remarque
Pour démontrer ce théorème, on utilise celui d'intégration terme à terme (voir infra). Ces deux théorèmes se généralisent aux fonctions d'un espace vectoriel normé dans un autre : voir Calcul différentiel/Théorèmes utiles#Développement limité.

La formule de Taylor-Young est à usage local (du fait de la présence du  ).

Les autres formules de Taylor sont à usage global.

Elles permettent notamment de préciser la valeur du « reste » de la formule de Taylor-Young :

Début d’un théorème
Fin du théorème


La formule de Taylor-Lagrange et son corollaire immédiat, l'inégalité de Taylor-Lagrange, sont des généralisations respectives du théorème des accroissements finis et de l'inégalité des accroissements finis (voir Fonctions d'une variable réelle/Dérivabilité).

Début d’un théorème
Fin du théorème

(Si  , on a un énoncé analogue en remplaçant   par   et   par  .)


Développements limités des fonctions usuelles en zéro

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On a alors les développements limités des fonctions usuelles, directement (ou presque) avec la formule de Taylor-Young :

  • le développement limité à l’ordre   d'une fonction polynomiale est la troncature de cette fonction à l’ordre   ;
  •  
  •  
  •  
  •  
    avec   et   (si  , c’est un polynôme…) ;
    • Cas particulier :   :
       
      et  .

Remarque : On trouvera parfois dans d'autres sources des listes (beaucoup) plus longues de développements limités à connaître. Cependant, ceux présentés ci-dessus suffisent dans la pratique ; les exemples ci-dessous montrent comment obtenir d'autres développements limités à partir de ceux-ci.

Propriétés des développements limités

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Somme et produit

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Dérivation et intégration terme à terme

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Début d’un théorème
Fin du théorème


Remarque
Ce théorème d'« intégration » (plus exactement : de primitivation) terme à terme s'étend aux fonctions d'un espace vectoriel normé dans un autre : voir Calcul différentiel/Théorèmes utiles#Développement limité.

Pourquoi ne peut-on pas dériver un développement limité terme à terme comme on peut le faire pour une primitive ?

Pour comprendre, on peut prendre l'exemple classique de  , prolongée par  . Cette fonction admet un développement limité d'ordre   en   mais   n'a pas de limite en   donc pas de développement limité en   (même à l'ordre  ).

L'idée est qu'en dérivant, on « perd (au moins un peu) la régularité » de la fonction (si   est de classe  , alors   est de classe  ) et rien n'assure que si   admet un développement limité à l'ordre   alors   en admet un, même à l'ordre  .

Par contre, on « gagne en régularité » en intégrant donc on peut être sûr de l’existence du développement limité de  .

Composition

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Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Parité

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Exemples

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Les exemples qui suivent illustrent quelques méthodes de calcul des développements limités souvent utilisées et montrent comment, grâce à ces propriétés, on peut obtenir de nouveaux développements limités.

Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Voyez aussi les exercices sur les développements limités.

Applications : calculs de limites et étude locale d'une fonction

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La limite d'une fonction en un point   est égale à celle de son développement limité en  .

Mais il y a nettement mieux : le développement limité donne une « vision » du comportement de la fonction au voisinage du point  . En particulier, pour trouver une équation de tangente (ou d'asymptote, voir le paragraphe suivant) en   à la courbe de la fonction, il suffit de prendre les termes de degré   et   du développement limité.
Le signe des termes d'ordre supérieur donne la position de la courbe par rapport à cette tangente (ou asymptote).

Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Développements limités généralisés

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Ce sont des développements limités en   ou en  . On les déduit de ceux en   par un changement de variable  .