Réduction des endomorphismes/Réductions de Jordan et de Dunford

Début de la boite de navigation du chapitre

Dans ce chapitre, est un -espace vectoriel et est un endomorphisme de . On suppose que possède un polynôme minimal (ce qui est assuré si est de dimension finie).

Réductions de Jordan et de Dunford
Icône de la faculté
Chapitre no 7
Leçon : Réduction des endomorphismes
Chap. préc. :Applications
Chap. suiv. :Décomposition de Frobenius

Exercices :

Réductions de Dunford, Jordan et Frobenius
fin de la boite de navigation du chapitre
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Réduction des endomorphismes : Réductions de Jordan et de Dunford
Réduction des endomorphismes/Réductions de Jordan et de Dunford
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Décomposition de Dunford

modifier


Début d’un théorème
Fin du théorème


Remarque
D'après l'unicité de la décomposition, si   alors   n'est pas diagonalisable.
En particulier, la somme d'une matrice scalaire et d'une matrice nilpotente non nulle n'est pas diagonalisable. Exemple : un bloc de Jordan de dimension > 1.

Réduction d'un endomorphisme nilpotent

modifier

Soit   un endomorphisme nilpotent de  . Les définitions et propriétés suivantes seront étendues, dans le prochain chapitre, à un endomorphisme non nécessairement nilpotent.


Remarques
  • Si   est nilpotent d'indice  , son polynôme minimal est  .
  • L'indice d'un vecteur   est l'indice de la restriction de   à  .
  • Si   est d'indice  , la famille   est une base de  .


Début d’un théorème
Fin du théorème


Réduction de Jordan

modifier

L'objectif de ce paragraphe est d'énoncer et de démontrer le théorème de Jordan, en dimension finie. La démonstration fournira une méthode pratique de réduction de Jordan (ou « jordanisation ») d'une matrice, qu'on illustrera sur un exemple.


Début d’un théorème
Fin du théorème


Remarques
  • La forme de Jordan d'une matrice diagonalisable est la matrice diagonale associée.
  • Une démonstration plus globale (donc moins propice aux calculs) consiste à passer par la décomposition de Dunford  , puis à appliquer à   le théorème de décomposition d'un endomorphisme nilpotent.
Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Applications

modifier

Matrices semblables

modifier

Les réduites de Jordan caractérisent entièrement les classes de similitude dans   :

Début d’un théorème
Fin du théorème

Puissances d'une matrice

modifier

Si l'on a trouvé la décomposition de Dunford de   sous la forme  , alors comme   et   commutent, on peut appliquer la formule du binôme à   :

 .

Comme nous savons déjà calculer les puissances de   (qui est diagonalisable) et comme   est nilpotente d'ordre  , on sait que   et il reste à calculer (manuellement !) les puissances  . Remarquez que si  , alors  .

Dans le cas où la décomposition de Dunford est même une décomposition de Jordan, les puissances sont plus faciles à calculer.

Exemple : On reprend l'exemple ci-dessus. Donc   et  . Reste à calculer les puissances de   : pour cela, on pose   la décomposition de Dunford de   qui « saute aux yeux » sur   :   et  .