Introduction à la théorie des nombres/Exercices/Formes quadratiques entières

Formes quadratiques entières
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Exercices no5
Leçon : Introduction à la théorie des nombres
Chapitre du cours : Formes quadratiques entières

Exercices de niveau 16.

Exo préc. :Résidus quadratiques
Exo suiv. : Géométrie des nombres
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Introduction à la théorie des nombres/Exercices/Formes quadratiques entières
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Exercice 5-1

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  1. Soit  . Montrer que   (si et) seulement si  .
  2. Trouver un polynôme   tel que  .
  3. Trouver un polynôme   homogène de degré   tel que  .

Exercice 5-2

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Montrer que   est le pgcd de tous les entiers représentés par  .

Exercice 5-3

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Soient   et  .

  1. Montrer que s'il existe un entier représenté par   et premier avec  , alors   est primitive.
  2. Pourquoi est-ce une généralisation de la règle (évidente) « si   et   sont premiers entre eux, alors   est primitive » ?
  3. Réciproquement, on suppose   primitive. Montrer que[1] pour tout entier  , il existe un entier premier avec   et représenté par  .

Exercice 5-4

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Calculer   et  .

Exercice 5-5

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Wikipédia possède un article à propos de « Théorème des deux carrés ».

Vous allez, dans cet exercice, démontrer[2] qu'un entier   est somme de deux carrés si et seulement si, dans sa décomposition en facteurs premiers, les exposants de tous les facteurs premiers congrus à   sont pairs.

  1. Démontrer le sens direct (« seulement si ») de l'équivalence. (Indication : montrer d'abord que si un nombre premier   divise une somme de deux carrés  , alors   divise   et  .)
  2. Montrer que  .
  3. Soit   un entier sans facteur carré, et sans facteur premier congru à  . Montrer que   est un carré   et en déduire (grâce à la question précédente) que   est une somme de deux carrés.
  4. En déduire le sens réciproque (« si ») de l'équivalence.

Exercice 5-6

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  1. Vérifier (dans tout anneau commutatif) l'identité de Brahmagupta :  .
  2. Montrer que pour tout discriminant  , l'ensemble   des entiers représentés par la forme principale de discriminant   contient   et est stable par produit. (Dans le cas  , on pourra vérifier puis utiliser que  .)

Exercice 5-7

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  1. Montrer que  .
  2. En déduire que tout nombre premier congru à   est de la forme  .
  3. Caractériser de même les nombres premiers de la forme  , pour  .

Exercice 5-8

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  1. Identifier les classes pour  .
  2. En déduire que tout nombre premier congru à   est de la forme  .
  3. Identifier de même les classes pour   et les nombres premiers de la forme  .

Exercice 5-9

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    1. Identifier les classes pour  .
    2. Montrer que tout nombre impair de la forme   est congru à  .
    3. Montrer que tout nombre impair de la forme   est congru à  .
    4. En déduire une condition nécessaire et suffisante (en termes de congruence) pour qu'un nombre premier soit de la forme  , et caractériser de même ceux de la forme  [3].
    1. Parmi les nombres premiers  , sachant (cf. exercice 4-17, question 1) que ceux tels que   est un carré   sont les   tels que [  ou   et  ], et ceux tels que [  ou   et  ], déterminer ceux qui sont représentables par une forme quadratique (binaire, entière) de discriminant  .
    2. Identifier les formes positives réduites de discriminant  .
    3. En déduire une caractérisation des nombres premiers de la forme  .

Exercice 5-10

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Soit un nombre premier  . On rappelle (exercice 4-17, question 2) que

  est un carré   si et seulement si   est congru soit à   et à  , soit à   et à  .

  1. Montrer que les deux seules formes (quadratiques entières positives) réduites de discriminant   sont   et  .
  2. En déduire que   est de la forme   si et seulement s'il est congru à  , et qu'il est de la forme   si et seulement s'il est congru à  .
  3. Montrer que si deux entiers   sont représentés tous deux par   ou tous deux par   alors   est représenté par  , et que si l'un est représenté par   et l'autre par   alors   est représenté par  .

Exercice 5-11

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  1. Montrer que pour toute représentation propre  , il existe une unique équivalence propre   telle que  .
  2. Déterminer les racines carrées de  .
  3. En déduire les couples d'entiers   tels que   et  .
  4. En déduire que   est somme de deux carrés d'exactement deux façons (à interversion près des deux carrés), que l'on précisera.

Exercice 5-12

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Soit   une forme quadratique entière de discriminant  . Montrer que les trois propriétés suivantes sont équivalentes[4] :

  1.   est un carré parfait (éventuellement nul) ;
  2.   s'annule en d'autres points (de  ) que le point   ;
  3.   est le produit de deux formes linéaires (de   dans  ).

Exercice 5-13

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  1. Déterminer les formes réduites et les cycles, pour  .
  2. Réduire  , en appliquant un algorithme standard[5], ou celui indiqué dans la démonstration du cours (existence d'une forme réduite proprement équivalente à une forme indéfinie anisotrope donnée).

Exercice 5-14

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(Analogue à l'exercice 5-5 ci-dessus.)

  1. Quels sont les nombres premiers modulo lesquels   est un carré ?
  2. Soient   (avec   entiers) et  , congru à   ou  , un diviseur premier de  .
    1. Déduire de la question précédente que   divise   (donc aussi  ).
    2. En déduire que l'exposant de   dans la décomposition de   en facteurs premiers est pair.
  3. Montrer que la forme principale   est la seule forme positive réduite de discriminant  .
  4. Soit   un entier sans facteur carré, et sans diviseur premier congru à   ou  . Déduire de la question précédente que   est de la forme  .
  5. Déduire de tout ce qui précède une condition nécessaire et suffisante pour qu'un entier   soit de la forme  .

Références

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  1. Énoncé comme exercice par Niven, Zuckerman et Montgomery (ex. 14 p. 163). Traité par Dickson, p. 82.
  2. Baker, p. 38-39.
  3. Voir aussi Niven, Zuckerman et Montgomery, exercices 5, 9 et 10 p. 162.
  4. Voir aussi Niven, Zuckerman et Montgomery, exercices 6 à 10, p. 154-155.
  5. Duncan A. Buell, Binary Quadratic Forms: Classical Theory and Modern Computations, Springer, 1989 [lire en ligne], p. 22-23 .