Introduction à la théorie des nombres/Exercices/Formes quadratiques entières

Exercice 5-1

1. Soit $q\left(x,y\right)=ax^{2}+bxy+cy^{2}$. Montrer que $q\left(\mathbb {Z} ^{2}\right)\subset \mathbb {Z}$ (si et) seulement si $a,b,c\in \mathbb {Z}$.
2. Trouver un polynôme $P\in \mathbb {Q} [X]\setminus \mathbb {Z} [X]$ tel que $P(\mathbb {Z} )\subset \mathbb {Z}$.
3. Trouver un polynôme $P\in \mathbb {Q} [X,Y]\setminus \mathbb {Z} [X,Y]$ homogène de degré $3$ tel que $P(\mathbb {Z} ^{2})\subset \mathbb {Z}$.

Solution

1. Si : immédiat. Seulement si : $a,c,a+b+c\in q\left(\mathbb {Z} ^{2}\right)$. Remarque : on démontrerait de même qu'une forme quadratique en $n$ variables est « à valeurs entières » si et seulement si elle est « à coefficients entiers ».
2. $P(X)=X(X+1)/2$.
3. $P(X,Y)=XY(X+Y)/2$.

Remarque : $\left(p,q\right)\mapsto {\frac {(p+q)^{2}+p+3q}{2}}$ est une bijection quadratique de $\mathbb {N} \times \mathbb {N}$ dans $\mathbb {N}$, mais n'est pas homogène.

 

Exercice 5-2

Montrer que $\operatorname {pgcd} \left(a,b,c\right)$ est le pgcd de tous les entiers représentés par $ax^{2}+bxy+cy^{2}$.

Solution

Soit $q\left(x,y\right)=ax^{2}+bxy+cy^{2}$. Alors, $\operatorname {pgcd} \left(a,b,c\right)$ divise $q\left(\mathbb {Z} ^{2}\right)$. Réciproquement, $\operatorname {pgcd} \left(a,b,c\right)=\operatorname {pgcd} \left(a,a+b+c,c\right)=\operatorname {pgcd} \left(q(1,0),q(1,1),q(0,1)\right)$ est divisible par $\operatorname {pgcd} \left(q\left(\mathbb {Z} ^{2}\right)\right)$, donc il lui est égal.

 

Exercice 5-3

Soient $q\left(x,y\right)=ax^{2}+bxy+cy^{2}$ et $d=b^{2}-4ac$.

1. Montrer que s'il existe un entier représenté par $q$ et premier avec $d$, alors $q$ est primitive.
2. Pourquoi est-ce une généralisation de la règle (évidente) « si $a$ et $b$ sont premiers entre eux, alors $q$ est primitive » ?
3. Réciproquement, on suppose $q$ primitive. Montrer que pour tout entier $n\neq 0$, il existe un entier premier avec $n$ et représenté par $q$.

Solution

1. $d$ est divisible par $\operatorname {pgcd} \left(a,b,c\right)$ (et même par son carré) et tout entier représenté par $q$ est divisible par $\operatorname {pgcd} \left(a,b,c\right)$.
2. $a=q\left(1,0\right)$, et $a$ est premier avec $d=b^{2}-4ac$ si et seulement s'il est premier avec $b^{2}$ ou, ce qui est équivalent, avec $b$.
3. Soit $p$ un nombre premier. Il ne peut pas diviser à la fois $a=q\left(1,0\right)$, $c=q\left(0,1\right)$ et $q\left(1,1\right)=a+b+c$. Il existe donc deux entiers $x_{p},y_{p}$ tels que $q\left(x_{p},y_{p}\right)$ ne soit pas divisible par $p$. Soit maintenant (par le théorème chinois) deux entiers $x,y$ tels que pour tout facteur premier $p$ de $n$, $x\equiv x_{p}{\bmod {p}}$ et $y\equiv y_{p}{\bmod {p}}$. Alors, pour chacun de ces nombres premiers $p$, on a $q\left(x,y\right)\equiv q\left(x_{p},y_{p}\right){\bmod {p}}$, si bien que $q\left(x,y\right)$ n'est divisible par aucun facteur premier de $n$. Il est donc premier avec $n$.

 

Exercice 5-4

Calculer ${\widetilde {h}}(-31)$ et $h(-31)$.

Solution

On cherche les triplets d'entiers $\left(a,b,c\right)$ correspondant à des formes positives de discriminant $d=b^{2}-4ac=-31$ et qui sont réduites, c'est-à-dire $-a<b\leq a<c$ ou $0\leq b\leq a=c$. On applique la preuve de finitude du nombre de classes : $0<a\leq {\sqrt {|d|/3}}$, puis $b$ compris entre $-a$ et $a$ et de même parité que $d$, puis on ne conserve que les $\left(a,b\right)$ tels que $c:={\frac {b^{2}-d}{4a}}$ soit entier et que les inégalités voulues soient vérifiées.

Ici, $3<{\sqrt {31/3}}<4$ (car $27<31<48$) donc $a\in \{1,2,3\}$.

• Pour $a=1$, il n'y a qu'une possibilité ($|b|=1=a$ donc $b=1$) qui est nécessairement réalisée par la forme principale $q_{-31}$ : $\left(a,b,c\right)=\left(1,1,8\right)$.
• Pour $a=2$, il y a deux solutions : $\left(2,1,4\right)$ et $\left(2,-1,4\right)$, qui sont primitives. Remarquons qu'elles sont non ambiguës.
• Pour $a=3$, il n'y a pas de solution car $1^{2}+31$ et $3^{2}+31$ ne sont pas divisibles par $12$.

Par conséquent, ${\widetilde {h}}(-31)=h(-31)=3$.

 

Exercice 5-5

Vous allez, dans cet exercice, démontrer qu'un entier $n>0$ est somme de deux carrés si et seulement si, dans sa décomposition en facteurs premiers, les exposants de tous les facteurs premiers congrus à $3{\bmod {4}}$ sont pairs.

1. Démontrer le sens direct (« seulement si ») de l'équivalence. (Indication : montrer d'abord que si un nombre premier $p\equiv 3{\bmod {4}}$ divise une somme de deux carrés $x^{2}+y^{2}$, alors $p$ divise $x$ et $y$.)
2. Montrer que ${\widetilde {h}}(-4)=1$.
3. Soit $m$ un entier sans facteur carré, et sans facteur premier congru à $3{\bmod {4}}$. Montrer que $-4$ est un carré ${\bmod {4m}}$ et en déduire (grâce à la question précédente) que $m$ est une somme de deux carrés.
4. En déduire le sens réciproque (« si ») de l'équivalence.

Solution

1. Soit $p\equiv 3{\bmod {4}}$ un diviseur premier de $n=x^{2}+y^{2}$. Alors, $x$ est divisible par $p$ car sinon, en notant $z$ un inverse de $x{\bmod {p}}$, on trouverait : $-1\equiv \left(zy\right)^{2}{\bmod {p}}$, ce qui est exclu (critère d'Euler). De même, $y$ est divisible par $p$. On divise $x,y$ par $p$ et $n$ par $p^{2}$, et on recommence tant qu'on peut. À la fin, $n=\left(p^{2}\right)^{k}n'$ avec $n'=x'^{2}+y'^{2}$ non divisible par $p$.
2. Même méthode que dans l'exercice précédent.
3. $-4$ est un carré ${\bmod {4m}}$ car $-1$ est un carré ${\bmod {m}}$, puisque c'en est un modulo chaque facteur premier (simple) de $m$. Par conséquent, $m$ est (proprement) représenté par une forme de discriminant $-4$ donc (question précédente) par $q_{-4}\left(x,y\right)=x^{2}+y^{2}$.
4. Supposons que dans la décomposition de $n$ en facteurs premiers, les exposants de tous les facteurs premiers congrus à $3{\bmod {4}}$ sont pairs. Alors, $n=k^{2}m$ avec $m$ comme dans la question précédente, donc $n=(kx)^{2}+(ky)^{2}$.

Remarque : il y a une infinité de nombres premiers congrus à $3{\bmod {4}}$ et une infinité de nombres premiers congrus à $1{\bmod {4}}$.

 

Exercice 5-6

1. Vérifier (dans tout anneau commutatif) l'identité de Brahmagupta : $\left(a^{2}-nb^{2}\right)\left(c^{2}-nd^{2}\right)=\left(ac+nbd\right)^{2}-n\left(ad+bc\right)^{2}$.
2. Montrer que pour tout discriminant $d$, l'ensemble $q_{d}\left(\mathbb {Z} ^{2}\right)$ des entiers représentés par la forme principale de discriminant $d$ contient $1$ et est stable par produit. (Dans le cas $d\equiv 1{\bmod {4}}$, on pourra vérifier puis utiliser que $q_{d}\left(x,y\right)={\frac {\left(2x+y\right)^{2}-dy^{2}}{4}}$.)

Solution

1. Il suffit de développer puis factoriser le terme de droite :

   ${\begin{aligned}\left(ac+nbd\right)^{2}-n\left(ad+bc\right)^{2}&=a^{2}c^{2}+2acnbd+n^{2}b^{2}d^{2}-na^{2}d^{2}-2nadbc-nb^{2}d^{2}\\&=a^{2}c^{2}+n^{2}b^{2}d^{2}-na^{2}d^{2}-nb^{2}c^{2}\\&=a^{2}\left(c^{2}-nd^{2}\right)+nb^{2}\left(nd^{2}-c^{2}\right)\\&=\left(a^{2}-nb^{2}\right)\left(c^{2}-nd^{2}\right).\end{aligned}}$

2. • $q_{d}\left(1,0\right)=1$.
   • Si $d\equiv 0{\bmod {4}}$, $q_{d}\left(x,y\right)=x^{2}-{\frac {d}{4}}y^{2}$ donc la stabilité de $q_{d}\left(\mathbb {Z} ^{2}\right)$ par produit se déduit immédiatement de l'identité de Brahmagupta.
   • Si $d\equiv 1{\bmod {4}}$, $q_{d}\left(x,y\right)={\frac {4x^{2}+4xy+(1-d)y^{2}}{4}}={\frac {\left(2x+y\right)^{2}-dy^{2}}{4}}$ donc en posant $z=2x+y,z'=2x'+y'$, on trouve : $q_{d}\left(x,y\right)q_{d}\left(x',y'\right)={\frac {z^{2}-dy^{2}}{4}}{\frac {z'^{2}-dy^{2}}{4}}={\frac {\left(zz'+dyy'\right)^{2}-d\left(zy'+yz'\right)^{2}}{16}}=q_{d}\left(x'',y''\right)$ avec
     $y''={\frac {zy'+yz'}{2}}={\frac {\left(2x+y\right)y'+y\left(2x'+y'\right)}{2}}=xy'+yx'+yy'\in \mathbb {Z}$ et
     $x''={\frac {{\frac {zz'+dyy'}{2}}-y''}{2}}={\frac {\left(2x+y\right)\left(2x'+y'\right)+dyy'-2\left(xy'+yx'+yy'\right)}{4}}=xx'+{\frac {d-1}{4}}yy'\in \mathbb {Z}$.
     (Vu de plus haut : $q_{d}\left(x,y\right)=\left(x+{\frac {y}{2}}\right)^{2}-d\left({\frac {y}{2}}\right)^{2}=:N\left(x+\omega y\right)$ est la norme (multiplicative) d'un élément de l'anneau $\mathbb {Z} [\omega ]$, avec $\omega ={\frac {1+{\sqrt {d}}}{2}}$, c'est-à-dire $\omega ^{2}=\omega +{\frac {d-1}{4}}$.)

 

Exercice 5-7

1. Montrer que ${\widetilde {h}}(-3)=1$.
2. En déduire que tout nombre premier congru à $1{\bmod {3}}$ est de la forme $x^{2}+xy+y^{2}$.
3. Caractériser de même les nombres premiers de la forme $q_{d}\left(x,y\right)$, pour $d=-4,-7,-8,-11,-19,-43,-67,-163$.

Solution

1. Même méthode que dans l'exercice 5-4 : on cherche les triplets d'entiers $\left(a,b,c\right)$ tels que $0<a\leq {\sqrt {|-3|/3}}$, $b$ compris entre $-a$ et $a$ et de même parité que $-3$, $c={\frac {b^{2}-(-3)}{4a}}$, et $-a<b\leq a<c$ ou $0\leq b\leq a=c$. Donc $a=b=c=1$.
2. Si $p\equiv 1{\bmod {3}}$ alors (exercice 4-11, question 1) $-3$ est un carré ${\bmod {p}}$ ou ce qui revient au même, ${\bmod {4p}}$ (car $-3\equiv 1^{2}{\bmod {4}}$), donc $p$ est représenté par une forme de discriminant $-3$, donc par la seule à équivalence près.
   Lien avec l'exercice précédent : $\omega ={\frac {-1+{\sqrt {-3}}}{2}}=\mathrm {j}$ ; tout nombre premier $p\equiv 1{\bmod {3}}$ est la norme d'un entier d'Eisenstein $x-\mathrm {j} y$ : $p=x^{2}+xy+y^{2}=\left(x-\mathrm {j} y\right)\left(x-\mathrm {j} ^{2}y\right)$.
   Remarque : $3$ est de la forme $x^{2}+xy+y^{2}$ car $-3$ est un carré ${\bmod {3}}$ ou ce qui revient au même, ${\bmod {12}}$, ou simplement : car $3=1^{2}+1\times 1+1^{2}$.
   En revanche, si $p\equiv -1{\bmod {3}}$ alors $p$ n'est pas de cette forme, car $-3$ n'est pas un carré ${\bmod {p}}$ ou ce qui revient au même, ${\bmod {4p}}$, ou simplement : car ${\bmod {3}}$, $x^{2}+xy+y^{2}\equiv 4\left(x^{2}+xy+y^{2}\right)=\left(2x+y\right)^{2}+3y^{2}\equiv \left(2x+y\right)^{2}\not \equiv -1$.
   Et $2$ n'est pas non plus de cette forme car $-3$ n'est pas un carré ${\bmod {4\times 2}}$ (bien qu'il en soit un ${\bmod {2}}$), ou simplement : car $x^{2}+xy+y^{2}\not \equiv 2{\bmod {4}}$.
3. On constate que pour toutes ces valeurs, ${\widetilde {h}}(d)=1$ : on l'a déjà vu pour $d=-4$ dans l'exercice 5-5 (ce sont en fait les seules 9 valeurs pour $d<0$, tandis qu'on conjecture qu'il y a une infinité de $d>0$ tels que ${\widetilde {h}}(d)=1$). Pour chacune de ces valeurs de $d$, par le même raisonnement que dans l'exercice 5-5, un nombre premier impair $p$ est représenté par $q_{d}$ (nécessairement proprement, puisqu'il est sans facteur carré) si et seulement si $d$ est un carré ${\bmod {p}}$, et la loi de réciprocité quadratique permet de déterminer les nombres premiers $p$ solutions. Quant au nombre premier $p=2$, il est représenté (proprement) par $q_{d}$ si et seulement si $d$ est un carré ${\bmod {8}}$, c'est-à-dire si $d$ est congru à $0$, $1$ ou $4{\bmod {8}}$ ; dans la liste, seuls conviennent $d=-4,-7,-8$, car tous les autres sont congrus à $-3{\bmod {8}}$.
   Par exemple pour $d=-7$ : $\left({\frac {-7}{p}}\right)=\left({\frac {-1}{p}}\right)\left({\frac {7}{p}}\right)=(-1)^{(p-1)/2}(-1)^{(p-1)(7-1)/4}\left({\frac {p}{7}}\right)=\left({\frac {p}{7}}\right)$ (si $p\neq 2,7$), donc $p$ est de la forme $x^{2}+xy+2y^{2}$ si et seulement si $p=7$ ou $p\equiv 1,2{\text{ ou }}4{\bmod {7}}$ (et d'après le théorème de la progression arithmétique, chacune de ces trois classes de congruence contient une infinité de nombres premiers).

 

Exercice 5-8

1. Identifier les classes pour $d=-12$.
2. En déduire que tout nombre premier congru à $1{\bmod {3}}$ est de la forme $x^{2}+3y^{2}$.
3. Identifier de même les classes pour $d=-28$ et les nombres premiers de la forme $x^{2}+7y^{2}$.

Solution

1. Même méthode que dans l'exercice 5-4 : $0<a\leq {\sqrt {12/3}}=2$, $|b|\leq a$ et $b$ pair. Donc il y a deux classes, correspondant à $\left(2,2,2\right)$ (non primitive) et à $\left(1,0,3\right)$ (principale).
2. Par conséquent, un nombre impair $p$ sans facteur carré est représenté par $q_{-12}$ si et seulement si $-12$ est un carré ${\bmod {4p}}$, c'est-à-dire $-3$ est un carré ${\bmod {p}}$. Si $p$ est premier et $>3$, cela équivaut (cf. exercice 4-11, question 1) à $p\equiv 1{\bmod {3}}$.
3. $0<a\leq \left\lfloor {\sqrt {28/3}}\right\rfloor =3$, $|b|\leq a$ et $4a\mid b^{2}+28$. On ne trouve que deux classes : $(2,2,8)$ (non primitive) et $(1,0,7)$ (principale). Par conséquent, un nombre impair $p$ sans facteur carré est représenté par $q_{-28}$ si et seulement si $-28$ est un carré ${\bmod {4p}}$, c'est-à-dire $-7$ est un carré ${\bmod {p}}$. Les nombres premiers de la forme $x^{2}+7y^{2}$ sont donc, outre $7$, les premiers $p\neq 2,7$ tels que $1=\left({\frac {-7}{p}}\right)=\left({\frac {-1}{p}}\right)(-1)^{(7-1)(p-1)/4}\left({\frac {p}{7}}\right)=(-1)^{(p-1)/2+3(p-1)/2}\left({\frac {p}{7}}\right)=\left({\frac {p}{7}}\right)$. Ce sont donc $7$ et les nombres premiers impairs congrus ${\bmod {7}}$ à $1$, $2$ ou $4$.

 

Exercice 5-9

1. 1. Identifier les classes pour $d=-20$.
   2. Montrer que tout nombre impair de la forme $x^{2}+5y^{2}$ est congru à $1{\bmod {4}}$.
   3. Montrer que tout nombre impair de la forme $2x^{2}+2xy+3y^{2}$ est congru à $3{\bmod {4}}$.
   4. En déduire une condition nécessaire et suffisante (en termes de congruence) pour qu'un nombre premier soit de la forme $x^{2}+5y^{2}$, et caractériser de même ceux de la forme $2x^{2}+2xy+3y^{2}$.
2. 1. Parmi les nombres premiers $p>5$, sachant (cf. exercice 4-17, question 1) que ceux tels que $-40$ est un carré ${\bmod {4p}}$ sont les $p$ tels que [$p\equiv 1$ ou $3{\bmod {8}}$ et $p\equiv \pm 1{\bmod {5}}$], et ceux tels que [$p\equiv -1$ ou $-3{\bmod {8}}$ et $p\equiv \pm 2{\bmod {5}}$], déterminer ceux qui sont représentables par une forme quadratique (binaire, entière) de discriminant $-40$.
   2. Identifier les formes positives réduites de discriminant $-40$.
   3. En déduire une caractérisation des nombres premiers de la forme $x^{2}+10y^{2}$.

Solution

1. 1. Même méthode que dans l'exercice 5-4 : $0<a\leq \lfloor {\sqrt {20/3}}\rfloor =2$, $|b|\leq a$ et $b$ pair. Donc il y a deux classes, correspondant à la forme principale $\left(1,0,5\right)$ et à $\left(2,2,3\right)$ (toutes deux primitives).
   2. Les carrés ${\bmod {4}}$ sont $0$ et $1$. Si $z=x^{2}+5y^{2}$ est impair alors $x,y$ sont de parités différentes, donc $z\equiv 1{\bmod {4}}$.
   3. Si $z=2x^{2}+2xy+3y^{2}=2x\left(x+y\right)+3y^{2}$ est impair alors $y$ est impair donc $x\left(x+y\right)$ (produit de deux entiers de parités différentes) est pair, donc $z\equiv 3{\bmod {4}}$.
   4. Un nombre premier $p$ est représenté par une forme de discriminant $-20$ si et seulement si $-20$ est un carré ${\bmod {4p}}$, c'est-à-dire $-5$ est un carré ${\bmod {p}}$, c'est-à-dire $p=2$ ou $5$, ou $p\neq 2$ et $5$ et $\left({\frac {-5}{p}}\right)=1$, ou encore : $\left({\frac {5}{p}}\right)=(-1)^{(p-1)/2}$, soit (cf. exercice 4-12, question 1) :
      • ou bien $p=2$ ou $5$ ;
      • ou bien $p\equiv 1{\bmod {4}}$ et $p\equiv \pm 1{\bmod {5}}$, c'est-à-dire (cf. Arithmétique/Exercices/Congruences#Exercice 9-10) $p\equiv 1{\text{ ou }}9{\bmod {20}}$ ;
      • ou bien $p\equiv 3{\bmod {4}}$ et $p\equiv \pm 2{\bmod {5}}$, c'est-à-dire (cf. même exercice) $p\equiv 3{\text{ ou }}7{\bmod {20}}$.

      D'après les questions précédentes, $p$ est donc de la forme $x^{2}+5y^{2}$ si et seulement si $p\equiv 1{\text{ ou }}9{\bmod {20}}$ ou $p=5$, et de la forme $2x^{2}+2xy+3y^{2}$ si et seulement si $p\equiv 3{\text{ ou }}7{\bmod {20}}$ ou $p=2$.

      Remarque : la densité dans les nombres premiers de chacune de ces deux catégories est égale à $2/\varphi (20)=1/4$.

2. 1. $p$ (premier $>5$) est représenté par l'une de ces formes si et seulement si $-40$ est un carré ${\bmod {4p}}$, c'est-à-dire :
      ou bien [$p\equiv 1$ ou $3{\bmod {8}}$ et $p\equiv \pm 1{\bmod {5}}$], ou bien [$p\equiv -1$ ou $-3{\bmod {8}}$ et $p\equiv \pm 2{\bmod {5}}$].
   2. $q(x,y)=ax^{2}+bxy+cy^{2}$ avec $0<a\leq \left\lfloor {\sqrt {40/3}}\right\rfloor =3$, $|b|\leq a$, $b$ pair et $c={\frac {b^{2}+40}{4a}}$. Donc $(a,b,c)=(1,0,10)$ ou $(2,0,5)$.
   3. Les nombres premiers $2$, $3$ et $5$ ne sont évidemment pas de cette forme. Soit maintenant $p$ premier $>5$. Si $p=x^{2}+10y^{2}$ alors $p\equiv \pm 1{\bmod {5}}$, tandis que si $p=2x^{2}+5y^{2}$ alors $p\equiv \pm 2{\bmod {5}}$. Donc les nombres premiers de la forme $x^{2}+10y^{2}$ sont ceux congrus à $1$ ou $3{\bmod {8}}$ et $\pm 1{\bmod {5}}$, c'est-à-dire $p\equiv 1$, $9$, $11$ ou $19{\bmod {40}}$.

 

Exercice 5-10

Soit un nombre premier $p>3$. On rappelle (exercice 4-17, question 2) que

$-24$ est un carré ${\bmod {4p}}$ si et seulement si $p$ est congru soit à $\pm 1{\bmod {8}}$ et à $1{\bmod {3}}$, soit à $\pm 3{\bmod {8}}$ et à $-1{\bmod {3}}$.

1. Montrer que les deux seules formes (quadratiques entières positives) réduites de discriminant $-24$ sont $x^{2}+6y^{2}$ et $2x^{2}+3y^{2}$.
2. En déduire que $p$ est de la forme $x^{2}+6y^{2}$ si et seulement s'il est congru à $1{\text{ ou }}7{\bmod {24}}$, et qu'il est de la forme $2x^{2}+3y^{2}$ si et seulement s'il est congru à $5{\text{ ou }}11{\bmod {24}}$.
3. Montrer que si deux entiers $N_{1},N_{2}$ sont représentés tous deux par $x^{2}+6y^{2}$ ou tous deux par $2x^{2}+3y^{2}$ alors $N_{1}N_{2}$ est représenté par $x^{2}+6y^{2}$, et que si l'un est représenté par $x^{2}+6y^{2}$ et l'autre par $2x^{2}+3y^{2}$ alors $N_{1}N_{2}$ est représenté par $2x^{2}+3y^{2}$.

Solution

1. $b^{2}-4ac=-24$ (donc $b$ pair), $0\leq |b|\leq a\leq {\sqrt {24/3}}<3$. Pour $a=2$ : $|b|=2$ impossible ($4-8c\neq -24$) donc $b=0$ et $c=3$. Pour $a=1$ : $b=0$ et $c=6$.
2. $p$ est de l'une de ces deux formes si et seulement si $-24$ est un carré ${\bmod {4p}}$ c'est-à-dire si $p$ vérifie les conditions du rappel. Par ailleurs, ${\bmod {3}}$, $2x^{2}+3y^{2}\equiv -x^{2}\not \equiv 1$ et $x^{2}+6y^{2}\equiv x^{2}\not \equiv -1$. Donc $p$ est de la forme $x^{2}+6y^{2}$ si et seulement si $p\equiv 1{\bmod {3}}$ et $p\equiv \pm 1{\bmod {8}}$, c'est-à-dire (cf. Arithmétique/Exercices/Congruences#Exercice 9-10) $p\equiv 1{\text{ ou }}7{\bmod {24}}$, et $p$ est de la forme $2x^{2}+3y^{2}$ si et seulement si $p\equiv -1{\bmod {3}}$ et $p\equiv \pm 3{\bmod {8}}$, c'est-à-dire (cf. même exercice) $p\equiv 5{\text{ ou }}11{\bmod {24}}$.
3. Pour le premier cas, voir l'exercice 5-6 ci-dessus. En remarquant que $2x^{2}+3y^{2}={\frac {(2x)^{2}+6y^{2}}{2}}$, on en déduit les deux autres :

   $\left(2x^{2}+3y^{2}\right)\left(2x'^{2}+3y'^{2}\right)=\left(2xx'-3yy'\right)^{2}+6\left(xy'+yx'\right)^{2}$ et $\left(2x^{2}+3y^{2}\right)\left(x'^{2}+6y'^{2}\right)=2\left(xx'-3yy'\right)^{2}+3\left(2xy'+yx'\right)^{2}$.

 

Exercice 5-11

1. Montrer que pour toute représentation propre $q\left(\alpha ,\gamma \right)=m>0$, il existe une unique équivalence propre $q(\alpha x+\beta y,\gamma x+\delta y)=mx^{2}+nxy+ly^{2}$ telle que $-m<n\leq m$.
2. Déterminer les racines carrées de $-1{\bmod {65}}$.
3. En déduire les couples d'entiers $\left(n,l\right)$ tels que $-65<n\leq 65$ et $n^{2}-4\times 65l=-4$.
4. En déduire que $65$ est somme de deux carrés d'exactement deux façons (à interversion près des deux carrés), que l'on précisera.

Solution

(Variante de Dickson th. 56 p. 74 et ex. 1 p. 76.)

1. Soient $m=q\left(\alpha ,\gamma \right)$ une représentation propre et $\left(\beta _{0},\delta _{0}\right)\in \mathbb {Z} ^{2}$ une solution de l'identité de Bézout $\alpha \delta -\beta \gamma =1$. Les autres sont les couples $\left(\beta _{0}+t\alpha ,\delta _{0}+t\gamma \right)$ avec $t\in \mathbb {Z}$. Si $q\left(x,y\right)=ax^{2}+bxy+cy^{2}$ alors $q\left(\alpha x+\beta y,\gamma x+\delta y\right)=mx^{2}+nxy+ly^{2}$ avec $m=q\left(\alpha ,\gamma \right)$, $l=q\left(\beta ,\delta \right)$ et $n=2a\alpha \beta +b\left(\alpha \delta +\beta \gamma \right)+2c\gamma \delta =n_{0}+2tm$ (où l'on a posé $n_{0}=2a\alpha \beta _{0}+b\left(\alpha \delta _{0}+\beta _{0}\gamma \right)+2c\gamma \delta _{0}$), d'où l'existence et l'unicité de $t\in \mathbb {Z}$ tel que $-m<n\leq m$.
2. Les racines carrées de $-1{\bmod {65=5\times 13}}$ s'obtiennent en combinant les deux racines carrées de $-1{\bmod {5}}$ (qui sont $\pm 2$) et les deux racines carrées de $-1{\bmod {13}}$ (qui sont $\pm 5$). Il y en a donc quatre : $\pm 8$ et $\pm 18$ (cf. Arithmétique/Exercices/Congruences#Exercice 9-10).
3. $n^{2}-4\times 65l=-4{\text{ et }}-65<n\leq 65\Leftrightarrow n=2n',\;n'^{2}+1=65l{\text{ et }}-32\leq n'\leq 32\Leftrightarrow$$n=2n'{\text{ et }}l={\frac {n'^{2}+1}{65}}{\text{ avec }}n'=\pm 8{\text{ ou }}\pm 18\Leftrightarrow \left(n,l\right)=\left(\pm 16,1\right){\text{ ou }}\left(\pm 36,5\right)$.
4. Chaque représentation $\alpha ^{2}+\gamma ^{2}=q_{-4}\left(\alpha ,\gamma \right)=65$ (nécessairement propre puisque $65$ est sans facteur carré) correspond à $q\left(1,0\right)=65$ pour l'une des quatre formes $q=\left(65,n,l\right)$ associées à ces quatre valeurs de $n'$, et chacune de ces formes n'est proprement équivalente à $q_{-4}$ que de deux façons (car $q_{-4}$ n'a que deux automorphismes dans $\mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {Z} )$ : l'identité et $\pm \left(x,y\right)\mapsto \pm \left(-y,x\right)$) donc ne correspond qu'à une décomposition à interversion près des deux carrés. Cependant, $q_{-4}$ est ambiguë donc a également deux automorphismes impropres, composés de ces deux automorphismes propres par $\pm \left(x,y\right)\mapsto \pm \left(x,-y\right)$. Une représentation $65=q_{-4}\left(\pm \left(\alpha ,\gamma \right)\right)=q_{-4}\left(\pm \left(-\gamma ,\alpha \right)\right)$ et une représentation $65=q_{-4}\left(\pm \left(\alpha ,-\gamma \right)\right)=q_{-4}\left(\pm \left(\gamma ,\alpha \right)\right)$, bien qu'identiques du point de vue de la décomposition en somme de deux carrés, correspondent à deux formes quadratiques différentes parmi ces quatre formes. Il y a donc (à interversion près des deux carrés) seulement deux décompositions de 65 en somme de deux carrés, qui sont $65=8^{2}+1^{2}=7^{2}+4^{2}$, d'après les calculs ci-dessous.
   • La réduction de $\left(65,16,1\right)$ :
     • $65x^{2}+16xy+y^{2}=x'^{2}-16x'y'+65y'^{2}$ pour $\left(x,y\right)=\left(-y',x'\right)$,
     • puis $x'^{2}-16x'y'+65y'^{2}=u^{2}+v^{2}$ pour $\left(u,v\right)=\left(x'-8y',y'\right)$,

     donne $65x^{2}+16xy+y^{2}=\left(8x+y\right)^{2}+\left(-x\right)^{2}$ donc $65=8^{2}+\left(-1\right)^{2}$.

   • La réduction de $\left(65,36,5\right)$ :
     • $65x^{2}+36xy+5y^{2}=x'^{2}-4x'y'+5y'^{2}$ pour $\left(x,y\right)=\left(x',y'-4x'\right)$,
     • puis $x'^{2}-4x'y'+5y'^{2}=u^{2}+v^{2}$ pour $\left(u,v\right)=\left(x'-2y',y'\right)$,

     donne $65x^{2}+36xy+5y^{2}=\left(-7x-2y\right)^{2}+\left(4x+y\right)^{2}$ donc $65=\left(-7\right)^{2}+4^{2}$.

   • Les réductions de $\left(65,-16,1\right)$ et $\left(65,-36,5\right)$ se déduisent des deux précédentes en les faisant précéder et suivre par l'involution impropre $\left(x,y\right)\mapsto \left(x,-y\right)$ : de façon générale,
     • $mx^{2}-nxy+ly^{2}=mx'^{2}+nx'y'+ly'^{2}$ pour $\left(x',y'\right)=\left(x,-y\right)$ (impropre),
     • $mx'+nx'y'+ly'^{2}=u^{2}+v^{2}$ pour $\left(u,v\right)=\left(\alpha x'+\beta y',\gamma x'+\delta y'\right)$ donné par les calculs précédents,
     • $u^{2}+v^{2}=u'^{2}+v'^{2}$ pour $\left(u',v'\right)=\left(u,-v\right)$ (impropre)

     donne $mx^{2}-nxy+ly^{2}=\left(\alpha x-\beta y\right)^{2}+\left(-\gamma x+\delta y\right)^{2}$ donc redonne $m=\alpha ^{2}+\left(-\gamma \right)^{2}$, trouvé sous la forme $m=\alpha ^{2}+\gamma ^{2}$ dans les calculs précédents.

Remarque : les deux décompositions $65=8^{2}+1^{2}=7^{2}+4^{2}$ se déduisent aussi de $65=5\times 13=\left(2^{2}+\left(\pm 1\right)^{2}\right)\left(3^{2}+2^{2}\right)$ (exercice 5-6 ci-dessus). On pouvait donc se dispenser des calculs de réduction et se contenter du raisonnement montrant qu'il n'y en a pas plus.

 

Exercice 5-12

Soit $q$ une forme quadratique entière de discriminant $d$. Montrer que les trois propriétés suivantes sont équivalentes :

1. $d$ est un carré parfait (éventuellement nul) ;
2. $q$ s'annule en d'autres points (de $\mathbb {Z} ^{2}$) que le point $\left(0,0\right)$ ;
3. $q$ est le produit de deux formes linéaires (de $\mathbb {Z} ^{2}$ dans $\mathbb {Z}$).

Solution

La propriété 2 est centrale car elle équivaut à : $q$ représente proprement $0$.

• $2\Rightarrow 1$ : si $q$ représente proprement $0$, alors $d$ est un carré modulo $4\times 0$, c'est-à-dire un carré parfait.
• $1\Rightarrow 2$ : notons $q\left(x,y\right)=ax^{2}+bxy+cy^{2}$ et supposons que $d=\delta ^{2}$. Alors, $q$ s'annule en $\left(-b\pm \delta ,2a\right)$ et $\left(2c,-b\pm \delta \right)$ (et en tout point si ces quatre-là sont nuls).
• $2\Leftrightarrow 3$ : $q$ représente proprement $0$ si et seulement si elle est équivalente, pour certains entiers $B,C$, à $Bxy+Cy^{2}=y\left(Bx+Cy\right)$, ce qui se traduit par :

  $q\left(x,y\right)=\left(\gamma x+\delta y\right)\left(B\left(\alpha x+\beta y\right)+C\left(\gamma x+\delta y\right)\right)$ pour certains entiers $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ,B,C$ tels que $\alpha \delta -\beta \gamma =\pm 1$.

  Cela équivaut à

  $q\left(x,y\right)=\left(\gamma x+\delta y\right)\left(\epsilon x+\zeta y\right)$ pour certains entiers $\gamma ,\delta ,\epsilon ,\zeta$ tels que $\gamma \land \delta =1$,

  et la condition $\gamma \land \delta =1$ peut être omise car si elle n'est pas vérifiée, on peut toujours mettre en facteur, dans la première forme linéaire, le pgcd de $\gamma$ et $\delta$, et le reporter dans la seconde forme.

 

Exercice 5-13

1. Déterminer les formes réduites et les cycles, pour $d=20$.
2. Réduire $q_{20}$, en appliquant un algorithme standard, ou celui indiqué dans la démonstration du cours (existence d'une forme réduite proprement équivalente à une forme indéfinie anisotrope donnée).

Solution

1. $0<b<{\sqrt {20}}$, $-ac=5-{\frac {b^{2}}{4}}$, et $|a|,|c|<{\frac {{\sqrt {20}}+b}{2}}$. Donc $b=2$ et $\left(a,c\right)=\pm \left(2,-2\right)$, ou $b=4$ et $\left(a,c\right)=\pm \left(1,-1\right)$. Il y a donc quatre formes réduites. Elles constituent deux cycles de longueur $2$ : $\left(2,2,-2\right);\left(-2,2,2\right)$ et $\left(1,4,-1\right);\left(-1,4,1\right)$ car, par exemple, la forme adjacente à droite de $2q_{5}=\left(2,2,-2\right)$ est l'une de ces quatre formes et son coefficient de $x^{2}$ est $-2$.
2. Par l'algorithme standard, on trouve $q_{20}\left(y,-x\right)=-5x^{2}+y^{2}$ et $-5(-v)^{2}+(u+2v)^{2}=u^{2}+4uv-v^{2}$ donc
   $u^{2}+4uv-v^{2}=q_{20}\left(u+2v,v\right)$.
   Par l'algorithme du cours appliqué à $Q_{0}:=q_{20}=X^{2}-5Y^{2}$ et donc $x_{0}:=-{\sqrt {5}}=\left[-3,1,3,{\overline {4}}\right]$ (cf. Exercice 2-7, question 10), on trouve
   $-u^{2}+4uv+v^{2}=Q_{4}\left(u,v\right)=Q_{0}\left(h_{3}u+h_{2}v,k_{3}u+k_{2}v\right)=q_{20}\left(-38u-9v,17u+4v\right)$.

 

Exercice 5-14

(Analogue à l'exercice 5-5 ci-dessus.)

1. Quels sont les nombres premiers modulo lesquels $-2$ est un carré ?
2. Soient $n=x^{2}+2y^{2}$ (avec $x,y$ entiers) et $p$, congru à $-1$ ou $-3{\bmod {8}}$, un diviseur premier de $n$.
   1. Déduire de la question précédente que $p$ divise $y$ (donc aussi $x$).
   2. En déduire que l'exposant de $p$ dans la décomposition de $n$ en facteurs premiers est pair.
3. Montrer que la forme principale $q_{-8}$ est la seule forme positive réduite de discriminant $-8$.
4. Soit $m$ un entier sans facteur carré, et sans diviseur premier congru à $-1$ ou $-3{\bmod {8}}$. Déduire de la question précédente que $m$ est de la forme $x^{2}+2y^{2}$.
5. Déduire de tout ce qui précède une condition nécessaire et suffisante pour qu'un entier $n\in \mathbb {N} ^{*}$ soit de la forme $x^{2}+2y^{2}$.

Solution

1. $-2$ est un carré ${\bmod {2}}$, et pour $p$ premier impair, $-2$ est un carré ${\bmod {p}}$ si et seulement si $1=\left({\frac {-2}{p}}\right)=(-1)^{(p-1)/2}(-1)^{(p^{2}-1)/8}=(-1)^{(p+5)(p-1)/8}$, c'est-à-dire $p\equiv 1$ ou $3{\bmod {8}}$.
2. 1. Montrons par l'absurde que $p$ divise $y$ : sinon, en notant $z$ un inverse de $y{\bmod {p}}$, on aurait $-2\equiv (xz)^{2}{\bmod {p}}$, ce qui contredirait le résultat de la question précédente. (Donc $p$ divise aussi $x$ car il divise $\left(x^{2}+2y^{2}\right)-2y^{2}=x^{2}$.)
   2. On divise $x,y$ par $p$ et $n$ par $p^{2}$, et l'on recommence tant qu'on peut, c'est-à-dire tant que le « nouveau $n$ » est encore divisible par $p$. À la fin, $n=\left(p^{2}\right)^{k}n'$ avec $n'=x'^{2}+2y'^{2}$ non divisible par $p$, donc l'exposant de $p$ dans la décomposition de $n$ est $2k$.
3. $1\leq a\leq {\sqrt {8/3}}\Leftrightarrow a=1$,
   $b^{2}=4ac-8\Rightarrow b$ pair,
   $|b|\leq a=1$ et pair $\Leftrightarrow b=0$, et
   $0^{2}-4.1.c=-8\Leftrightarrow c=2$.
4. D'après la question précédente, $m$ est représenté par $q_{-8}$ si et seulement s'il représenté (nécessairement proprement puisqu'il est sans facteur carré) par une forme de discriminant $-8$, c'est-à-dire si $-8$ est un carré ${\bmod {4m}}$, c'est-à-dire si $-2$ est un carré ${\bmod {m}}$, c'est-à-dire (d'après la question 1 et le théorème des restes chinois) si tous les facteurs premiers impairs de $m$ sont congrus à $1$ ou $3{\bmod {8}}$. Cette condition est vérifiée par hypothèse, donc $m$ est bien de la forme $x^{2}+2y^{2}$.
5. Un entier $n>0$ est de la forme $x^{2}+2y^{2}$ si et seulement si dans sa décomposition en facteurs premiers, les exposants des nombres premiers congrus à $-1$ ou $-3{\bmod {8}}$ sont pairs. En effet, cette condition est non seulement nécessaire (question 2) mais aussi suffisante, car $n$ s'écrit alors $k^{2}m$ avec $m$ comme dans la question précédente, donc $n=(kx)^{2}+2(ky)^{2}$.