Introduction à la théorie des nombres/Formes quadratiques entières

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Formes quadratiques entières
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Chapitre no 5
Leçon : Introduction à la théorie des nombres
Chap. préc. :Résidus quadratiques
Chap. suiv. :Géométrie des nombres

Exercices :

Formes quadratiques entières
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Définitions et premières propriétés

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Début de l'exemple
Fin de l'exemple




Début de l'exemple
Fin de l'exemple



Début de l'exemple
Fin de l'exemple



  Faites ces exercices : Exercices 5-9 à 5-11.


 

L'adverbe « proprement » est indispensable dans la proposition et le corollaire ci-dessus (sauf bien sûr lorsqu'il s'agit des représentations d'un entier sans facteur carré). Par exemple, pour n'importe quel discriminant  , tout carré   est représentable par une forme de discriminant   (non proprement :  ) tandis que son diviseur   ne l'est pas toujours : penser par exemple au théorème des deux carrés (exercice 5-5) ou plus généralement, pour un discriminant   non carré, aux nombres premiers modulo lesquels   n'est pas un carré (il y en a une infinité).

Typologie

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Lorsqu'on s'intéresse à l'ensemble des entiers représentés par  , il est naturel de mettre en facteur  .



Début de l'exemple
Fin de l'exemple

On introduit de plus la classification suivante (issue de celle des formes réelles) :


Il reste donc à étudier les formes définies positives et les formes indéfinies non isotropes (en se limitant, si on le souhaite, à celles qui sont primitives).

La théorie de la réduction, essentiellement due à Gauss[8], va permettre de montrer que le nombre de classes est fini.

Réduction des formes définies positives

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On étudie donc ici le cas   et  .

Autrement dit :   est réduite si   ou  .

Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Début d’un théorème
Fin du théorème
  Faites ces exercices : Exercices 5-4 et 5-5.



Réduction des formes indéfinies anisotropes

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Dans le cas des formes indéfinies anisotropes (  non carré), on pourrait choisir les mêmes définition et algorithme que pour   en remplaçant   par leurs valeurs absolues, mais on perdrait l'unicité.

Cependant, avec le même genre de définition et d'algorithme que pour la fraction continue (périodique) d'un irrationnel quadratique, Gauss obtient « presque » l'unicité :



Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Début d’un théorème
Fin du théorème

Notes et références

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  1. Gauss se restreignait à ce cas ; l'hypothèse   pair complique sa théorie de la composition mais est nécessaire par exemple dans le théorème des 15. La condition   entiers (avec   non nécessairement pair) est cependant naturelle car elle équivaut à   (voir l'exercice lié).
      Faites ces exercices : Exercice 5-1.


  2. Tandis que pour une forme quadratique binaire à coefficients dans un corps, le discriminant est par définition   modulo les carrés d'éléments non nuls.
  3. J. P. G. Lejeune Dirichlet, « Recherches sur diverses applications de l'Analyse infinitésimale à la théorie des Nombres », J. reine angew. Math., vol. 19, 1839, p. 324-369 [texte intégral].
  4. J. P. G. Lejeune Dirichlet, « Über eine Eigenschaft der quadratischen Formen », Ber. Preuss. Akad. Wiss., 1840, p. 49-52 [texte intégral].
  5. Heinrich Weber, « Beweis des Satzes, dass jede eigentlich primitive quadratische Form unendlich viele Primzahlen darzustellen fähig ist », Math. Ann., vol. 20, 1882, p. 301-329 [texte intégral].
  6. W. E. Briggs, « An elementary proof of a theorem about the representation of primes by quadratic forms », Canad. J. Math., vol. 6, 1954, p. 353-363 [lien DOI]
  7. Harmut Ehlich, « Ein elementarer Beweis des Primzahlsatzes für binäre quadratische Formen », J. reine angew. Math., vol. 201, 1959, p. 1-36 [texte intégral].
  8. J. Oesterlé, « La classification de Gauss des formes binaires quadratiques », L'Enseignement mathématique, vol. 34, 1988, p. 44-52.
  9. Henri Cohen, A Course in Computational Algebraic Number Theory, coll. « GTM » (no 138), 1993 [lire en ligne], p. 243 .

Liens externes

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« Finding the class number h(d) of binary quadratic forms of negative discriminant d », sur numbertheory.org