Mécanique 2 (PCSI)/Loi du moment cinétique : Moments cinétiques d'un point matériel

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Loi du moment cinétique : Moments cinétiques d'un point matériel
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Chapitre no 1
Leçon : Mécanique 2 (PCSI)
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 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
La notion de moment cinétique n'est au programme de physique de P.C.S.I. que dans son aspect newtonien.

Aspect de la cinétique du point matériel M dans le référentiel d'étude relativement à un autre point A : définition dans le référentiel d’étude du « moment cinétique de M par rapport au point A » (ou « moment cinétique vectoriel de M ») modifier

Introduction modifier

     Il s'agit d’une part, de décrire le mouvement du point matériel   dans le référentiel d'étude  [1] relativement à un point privilégié  [2] et
     Il s'agit d'autre part, de tenir compte de l'inertie du point matériel    c'est-à-dire de sa masse .

Définition du vecteur « moment cinétique du point matériel M dans le référentiel d’étude par rapport à un point A » modifier

 
Schéma de définition du moment cinétique  vectoriel  d'un point matériel   par rapport à un point   dans le référentiel d'étude orienté à droite[5]

     Commentaires : cette grandeur traduit la réserve de « mouvement inertiel » du point matériel   par rapport au point  , elle tient compte de l'inertie d'une part et de la vitesse en norme, direction et sens d'autre part, le tout relativement au point  , la grandeur dépend donc du référentiel   ;

     Commentaires : le point   est le point par rapport auquel on calcule le moment cinétique  vectoriel   encore appelé point origine de calcul , le moment cinétique  vectoriel  « » est représenté au point    voir ci-contre dans le cas d'un espace orienté à droite[5]  ;

     Commentaires : le moment cinétique du point matériel   par rapport à   est un vecteur axial  ou pseudo-vecteur [6] comme produit vectoriel de deux vecteurs polaires  ou vrais vecteurs [7]  voir le paragraphe « propriété du produit vectoriel de deux vrais vecteurs, de deux pseudo-vecteurs ou d'un vrai vecteur et d'un pseudo-vecteur » du chap.  de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » , son sens dépend donc de l'orientation de l'espace  si l'espace est orienté à gauche[8]  ce qui est excessivement rare[9]  le sens de   est inversé par rapport à celui représenté sur le schéma ci-contre .

     Remarque : avec la notion  hors programme de physique de P.C.S.I.  de « torseur » introduite dans le chap.  de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) », on remarque que le moment cinétique  vectoriel  du point matériel   par rapport à   c'est-à-dire   est le moment du torseur cinétique du point matériel   à savoir   dont les éléments de réduction sont évalués en   soit    .

Propriétés du « moment cinétique (vectoriel) de M dans le référentiel d’étude par rapport au point origine A » modifier

     Les propriétés du « moment cinétique  vectoriel  du point matériel   dans le référentiel d’étude   par rapport au point origine  »     se déduisent de la définition d’un produit vectoriel[10] à savoir :

  • produit vectoriel   et
  • dans le cas où  , les direction, sens et norme sont
        direction   au plan  ,
        sens tel que le trièdre   soit direct[11] dans le cas présent où l'espace est orienté à droite[12] et
        norme   en   ;

     remarque : si le mouvement de   est plan et si   est choisi dans le plan de la trajectoire de  ,   est   au plan  dans la mesure où il n’est pas nul  et « son sens »[13] précise le sens de « rotation »[14] relativement à   dans le plan.

« Vecteur moment cinétique de M par rapport au point origine A », cas particulier de « vecteur moment d’un champ vectoriel défini en M par rapport au point origine A » modifier

     De façon générale, le « vecteur moment d’un champ vectoriel  [15],[16] par rapport à    point origine de calcul du moment » étant défini selon  [17], on en déduit que
     De façon générale, le « vecteur moment cinétique du point matériel   dans le référentiel   par rapport à    point origine de calcul du moment cinétique » est le « vecteur moment de la quantité de mouvement   du point matériel   dans le référentiel  [18] par rapport à    point origine de calcul du moment ».

Complément, expression « relativiste » du « vecteur moment cinétique de M dans le référentiel d’étude par rapport au point origine A » modifier

     La notion de « vecteur moment d’un champ vectoriel  [15],[16] par rapport à un point origine  » étant  [17] et ceci indépendamment de toute cinétique,
     le « vecteur moment cinétique du point matériel   par rapport au point origine   dans un référentiel  »   est défini comme le « vecteur moment de la quantité de mouvement   du point matériel   par rapport au point origine  », que le mouvement de   dans   soit classique[4] ou relativiste soit,

« en cinétique relativiste,  » ;

     l'expression relativiste, dans le référentiel  , de la quantité de mouvement   du point matériel   en fonction de sa masse   et de sa vitesse   dans  , a été introduite dans le paragraphe « définition du (vecteur) quantité de mouvement du point matériel dans le cadre de la cinétique relativiste » du chap.  de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »,

  • elle nécessite de définir le « facteur de Lorentz[19] du point   dans le référentiel   par  » et
  • la quantité de mouvement de   dans   s'écrit alors
    « » ou encore,
    « »[20] en définissant la « masse apparente de   dans   par
     »[21] ;

     par cette expression on en déduit l'expression relativiste, dans  , du vecteur moment cinétique du point matériel   par rapport au point origine   en fonction, entre autres, de la vitesse de   dans  

« »
avec «  le facteur de Lorentz[19] de   dans  »
soit encore,
« » où «  est
l'expression classique[4] du vecteur moment cinétique de   par rapport à   dans  ».

     Remarques : Conformément à ce qui est introduit dans le paragraphe « torseur cinétique » du chap.  de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) », les éléments de réduction du torseur cinétique du point matériel   dans le référentiel   au point de réduction   sont définis selon  , expression applicable en cinétique classique[4] ou relativiste et
     Remarques : suivant le caractère classique[4] ou relativiste du mouvement du point matériel   dans le référentiel   :
     Remarques :  en cinétique classique[4]  ,
     Remarques :  en cinétique relativiste   établissant l'importance de «   » facteur de Lorentz[19] du point matériel   dans le référentiel   aussi bien dans la cinétique utilisant la résultante que dans celle utilisant le moment vectoriel en   ;

     Remarques : on remarque aussi que « les éléments de réduction du torseur cinétique relativiste du point matériel   dans le référentiel   au point de réduction   se déduisent de ceux du torseur cinétique classique[4] du point matériel   dans le même référentiel   au même point de réduction  » en y « substituant la masse   du point matériel   par la masse apparente de ce dernier à l'instant  ,    » soit « »[21].

Formule de changement d’origine du calcul des moments (cinétiques) vectoriels modifier

Formule de changement d’origine du calcul de vecteur moment d’un champ vectoriel modifier

     Cette formule a été introduite dans le paragraphe « notion de résultante d'un torseur » du chap.  de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) » sous le nom de « relation de Varignon[22]  ou règle de transport des moments », un champ de moments étant effectivement un torseur en tant que champ de vecteurs équiprojectif[23], elle s'écrit selon

« »[24],[25] ;

     ici la démonstration s'effectue simplement en partant de la définition du vecteur moment du champ   par rapport au point origine   soit «   »,
     ici la démonstration s'effectue simplement en utilisant la relation de Chasles[26] « » puis
     ici la démonstration s'effectue simplement en utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle[27] soit « », expression dans laquelle « le 2nd terme du 2ème membre étant   par définition », nous permet de conclure la démonstration.

Formule de changement d’origine du calcul du vecteur moment cinétique d’un point matériel dans le référentiel d’étude modifier

     Le « vecteur moment cinétique du point matériel   dans le référentiel   par rapport à    point origine de calcul du moment cinétique » étant le « vecteur moment de la quantité de mouvement   du point matériel   dans le référentiel  [18] par rapport à    point origine de calcul du moment », on peut lui appliquer la formule de changement d'origine du calcul du vecteur moment d'un champ vectoriel et on obtient

« »
applicable sous cette forme en cinétique classique[4] ou relativiste.

Cas où M décrit un mouvement circulaire d’axe Δ, de rayon R et de vecteur rotation instantanée fixé modifier

 
Schéma descriptif du mouvement d'un point matériel   décrivant un cercle de centre  , de vecteur rotation instantanée  [28] imposé, avec précision du vecteur moment cinétique   de   au point    origine de calcul de moment cinétique 

Évaluation du vecteur moment cinétique de M en mouvement circulaire dans le référentiel d’étude par rapport au centre C du cercle modifier

     Considérant un point matériel  , de masse  , en mouvement circulaire de centre  , de vecteur rotation instantanée  [28] dans le référentiel d'étude   orienté à droite[5], le vecteur moment cinétique de ce point matériel   dans   par rapport au centre   de sa trajectoire circulaire, noté   est défini par

« » ou,
dans le cadre de la cinétique classique[4], « » ;

     injectant dans cette dernière expression de   du cadre de la cinétique classique[4], l'expression intrinsèque du vecteur vitesse d'un point en mouvement circulaire de centre   et de vecteur rotation instantanée  [28], à savoir «   »[29], on obtient «   » nécessitant d'utiliser une des deux formules du double produit vectoriel[30] soit «   » car, de par la nature du mouvement de   « le rayon vecteur   est   à   à tout instant », soit encore, en notant   le rayon du cercle    , l'expression finale du vecteur moment cinétique du point matériel  en mouvement circulaire de centre  , de rayon   et de vecteur rotation instantanée  [28] quand l'origine de calcul du moment cinétique est le centre   du cercle

« »[31].

Notion de moment d'inertie de M relativement à un axe Δ modifier

     Le moment d'inertie[32] d'un point matériel  , de masse  , relativement à un axe   est introduit quand le point   « tourne »[33] autour de l'axe  , il est noté « »[34] et représente une « grandeur scalaire inertielle de rotation »[35], il est défini par la relation

«  exprimé en  »,
dans laquelle «  est la masse du point » et «  la distance orthogonale séparant   de l'axe  ».

Réécriture du vecteur moment cinétique de M en mouvement circulaire dans le référentiel d’étude par rapport au centre C du cercle en fonction, entre autres, du vecteur rotation instantanée modifier

     Le vecteur moment cinétique du point matériel   dans le référentiel d'étude   par rapport au centre   du cercle  « support de la trajectoire de  »[36]  s'écrit

« »[37]
«  est le moment d'inertie de   relativement à l'axe de rotation  »,
«  étant la masse du point », «  le rayon du cercle » et
«  le vecteur rotation instantanée du mouvement circulaire du point  ».

Évaluation du vecteur moment cinétique de M en mouvement circulaire dans le référentiel d’étude par rapport à un point A de l’axe de rotation, différent du centre C du cercle modifier

 
Schéma descriptif du mouvement d'un point matériel   décrivant un cercle de centre  , de vecteur rotation instantanée  [28], avec précision du vecteur moment cinétique   de   en un point  origine de calcul de moment cinétique    de l'axe de rotation mais différent du centre  

     Soit «  un point quelconque de l'axe   de rotation du point matériel  » avec «  centre du cercle décrit par   dans le référentiel    orienté à droite[5]  avec pour vecteur rotation instantanée  », « le vecteur moment cinétique du point matériel   dans   par rapport au point   de son axe de rotation, noté  » est défini par

« » ou,
dans le cadre de la cinétique classique[4], « » ;

     injectant dans cette dernière expression de   du cadre de la cinétique classique[4], l'expression intrinsèque du vecteur vitesse d'un point en mouvement circulaire de centre   et de vecteur rotation instantanée  [28], à savoir «   »[29],[38], on obtient «   » nécessitant d'utiliser une des deux formules du double produit vectoriel[30] soit «   » avec « » utilisant la relation de Chasles[26] ou, en notant   le vecteur unitaire de             étant   à   d'où « », soit encore, en notant   le rayon du cercle    , l'expression finale du vecteur moment cinétique du point matériel  en mouvement circulaire de centre  , de rayon   et de vecteur rotation instantanée  [28] quand l'origine de calcul du moment cinétique est un point   de l'axe de rotation   du centre   du cercle

« »,

     soit une somme de deux termes dont

  • le 1er « » est colinéaire à l'axe de rotation et
  • le 2nd « » est   à l'axe de rotation dans le « plan méridien de  »,

     ce qu'on peut encore écrire

« »[39].

     Remarque : « la relation de proportionnalité entre   et   n'est réalisée qu'en choisissant pour origine de calcul du moment cinétique le centre   du cercle », et qu'« en dehors de ce point  , il n'y a pas proportionnalité entre   et  » car « pour  ,   n’est pas porté par l'axe  »[40].

Analogie entre la cinétique d’un point matériel en mouvement quelconque et celle d’un point matériel en mouvement de rotation autour d’un axe Δ modifier

     En cinétique classique[4] d'un point matériel en mouvement quelconque, il existe un facteur de proportionnalité entre la « grandeur cinétique  » et la « grandeur cinématique  », ce facteur égal à la masse du point matériel «  représentant la grandeur d'inertie » soit

 

     en cinétique classique[4] d'un point matériel de masse   en mouvement circulaire d'axe  , de centre   et de rayon  , on trouve une relation de proportionnalité analogue[41] entre la « grandeur cinétique  » et la « grandeur cinématique  », le facteur de proportionnalité égal au moment d'inertie du point matériel relativement à l'axe de rotation «  représentant la grandeur d'inertie » soit

 

     on vérifie ainsi l'analogie de cinétique classique[4] entre mouvements de translation et de rotation suivant les correspondances suivantes

« ».

Complément, expression relativiste du vecteur moment cinétique de M en mouvement circulaire dans le référentiel d’étude par rapport au centre C du cercle modifier

     Comme cela a été établi dans le paragraphe « complément, expression relativiste du vecteur moment cinétique de M dans le référentiel d'étude par rapport au point origine A » plus haut dans ce chapitre, le vecteur moment cinétique   du point matériel   en mouvement relativiste dans le référentiel d'étude   orienté à droite[5] par rapport à un point origine   est lié à l'expression que le vecteur moment cinétique   du point matériel   prendrait si le mouvement de ce dernier était classique[4] dans le même référentiel d'étude   par rapport au même point origine   selon

« »
avec «  facteur de Lorentz[19] du point   dans  » ;

     dans le référentiel d'étude  , le vecteur moment cinétique du point matériel   en mouvement circulaire classique[4] autour de l'axe   de rotation, de centre  , de rayon   et de vecteur rotation instantanée  [28], avec, pour point origine de calcul du moment, le centre   du cercle, ayant pour expression établie précédemment «   » dans laquelle «    est le moment d'inertie du point   autour de son axe de rotation  » et

     dans le référentiel d'étude  , la définition du vecteur rotation instantanée  [28] ainsi que son lien avec le vecteur vitesse   dans un mouvement circulaire de centre   à savoir     restant les mêmes en relativiste, on en déduit l'expression du facteur de Lorentz[19] du point   dans   en fonction de la vitesse angulaire non algébrisée   et du rayon   du cercle soit «   » d'où

     dans le référentiel d'étude  , l'expression du vecteur moment cinétique du point matériel   en mouvement circulaire relativiste autour de l'axe   de rotation, de centre  , de rayon   et de vecteur rotation instantanée  [28], avec, pour point origine de calcul du moment, le centre   du cercle,

« » avec
«  le moment d'inertie du point   autour de son axe de rotation  » et
«  le facteur de Lorentz[19] du point   dans  ».

     Remarque 1 : en cinétique relativiste d'un point matériel de masse   en mouvement quelconque, il existe un facteur de proportionnalité entre la « grandeur cinétique  » et la « grandeur cinématique  », ce facteur égal à la masse du point matériel «  représentant la grandeur d'inertie » soit

« » ;

     Remarque 1 : en cinétique relativiste d'un point matériel de masse   en mouvement circulaire d'axe  , de centre   et de rayon  , on trouve une relation de proportionnalité analogue[41] entre la « grandeur cinétique  » et la « grandeur cinématique    », le facteur de proportionnalité égal au moment d'inertie du point matériel relativement à l'axe de rotation «  représentant la grandeur d'inertie » soit

« » ;

     Remarque 2 : dans le but de garder les mêmes grandeurs cinématiques en cinétiques classique[4] et relativiste, on peut introduire des « grandeurs d'inertie apparentes »[42] c'est-à-dire
     Remarque 2 :  la « masse apparente  »   «  en translation relativiste » et
     Remarque 2 :  le « moment d'inertie apparent    ou  »   «    en rotation relativiste ».

Aspect de la cinétique de M dans le référentiel d’étude relativement à un axe Δ, définition dans ce référentiel du moment cinétique de M par rapport à l’axe Δ (ou « moment cinétique scalaire de M ») modifier

Notion d’« équiprojectivité » du « champ de vecteurs moment d’un champ vectoriel » modifier

     Cette notion introduite pour un champ de vecteurs   dans le paragraphe « définition de l'équiprojectivité d'un champ de vecteurs d'un espace affine euclidien tridimensionnel » du chap.  de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) » à savoir

« »,

     n'est pas vérifiée pour n'importe quel champ de vecteurs mais  

     cette propriété d’« équiprojectivité » est « applicable au champ de vecteurs moment d'un champ vectoriel quelconque   défini par  ,  », en effet «   »   «         » par utilisation de la relation de Chasles[26] soit enfin, en utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l'addition vectorielle[27] dans le 1er membre de cette équation que l'on cherche à vérifier «   » ce qui établit la propriété d’« équiprojectivité » compte-tenu de la nullité du 1er produit mixte du 1er membre[43] ;

en conclusion on retient « ».

Équiprojectivité du « vecteur champ moment cinétique de M » dans le référentiel d’étude et conséquence, notion de « moment cinétique de M dans le référentiel d'étude par rapport à un axe Δ » modifier

     Le « vecteur moment cinétique du point matériel   dans le référentiel   par rapport à    point origine de calcul du moment cinétique » étant le « vecteur moment du champ vectoriel quantité de mouvement   du point matériel   dans le référentiel  [18] par rapport à    point origine de calcul du moment », nous en déduisons l'« équiprojectivité du vecteur champ moment cinétique du point matériel  » dans le référentiel d’étude soit

« ».

     Remarque : avec la notion  hors programme de physique de P.C.S.I.  de « torseur » introduite dans le chap.  de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) », le vecteur moment cinétique du point matériel   par rapport à   « » étant le moment du torseur cinétique de   « » d'éléments de réduction en   «   » et
     Remarque : le « moment d'un torseur au point  » étant par définition un « champ de vecteurs équiprojectif »[44] nous en déduisons, sans autre développement, le caractère « équiprojectif » du « vecteur moment cinétique du point matériel   dans le référentiel   par rapport à  ».

     Conséquence : considérant un axe   quelconque et deux points quelconques  distincts  de cet axe  , nous déduisons de l'équiprojectivité du vecteur moment cinétique du point matériel   dans le référentiel   la relation « »[45] ou,
     Conséquence : en orientant l'axe   par     « » et en simplifiant par  , « »[46] cette valeur constante sur   définissant le moment cinétique  scalaire  du point matériel   dans le référentiel d'étude   par rapport à l'axe  .

     Commentaire : cette grandeur traduit la réserve de « mouvement inertiel » du point matériel   par rapport à l'axe  , elle tient compte de l'inertie d'une part et de la composante de la vitesse dans un plan   à   ainsi que de la disposition du point   par rapport à cet axe d'autre part, la grandeur dépend donc du référentiel  .

Retour sur le cas où M décrit un mouvement circulaire d’axe Δ, de rayon R et de vecteur rotation instantanée fixé modifier

Évaluation du moment cinétique de M en mouvement circulaire dans le référentiel d’étude par rapport à l’axe Δ du cercle modifier

     Le vecteur moment cinétique du point matériel  , de masse  , par rapport au centre   du cercle  « support de la trajectoire de  »[36]  de rayon   dans le référentiel d'étude   s'écrivant « » avec «  le moment d'inertie du point   relativement à l'axe  » et «  le vecteur rotation instantanée[28] du mouvement du point », nous en déduisons

     après orientation de l'axe   par     « » dans laquelle «  est la vitesse angulaire de rotation du point   sur le cercle »,

     l'expression du moment cinétique  scalaire  du point matériel   par rapport à l'axe   du cercle, à l'instant  , dans le référentiel d'étude  , « » soit finalement

« »[47].

     Remarque : Le moment cinétique  scalaire  de   par rapport à l'axe   de rotation de son mouvement circulaire étant la projection sur   orienté par   du moment cinétique  vectoriel  de   par rapport à n'importe quel point de  , on vérifie qu'en prenant un point origine    avec     centre du cercle  on trouve le même résultat, en effet
     Remarque : ayant établi précédemment « »[48] et multipliant scalairement par   on obtient, après utilisation de la distributivité du produit scalaire relativement à l’addition vectorielle[49], « », « le 2ème terme du 2ème membre étant nul car   est   à  » et « le 1er terme restant du 2ème membre étant égal à  ».

Expression symbolique reliant la cinétique et la cinématique dans le cas d’un mouvement circulaire autour d’un axe Δ modifier

     En cinétique classique[4] d'un point matériel de masse   en mouvement circulaire d'axe   et de rayon  , on trouve une relation de proportionnalité analogue à celles exposées au paragraphe « analogie entre la cinétique d'un point matériel en mouvement quelconque et celle d'un point matériel en mouvement de rotation autour d'un axe Δ » plus haut dans ce chapitre entre la « grandeur cinétique “moment cinétique scalaire”   du point » et la « grandeur cinématique “vitesse angulaire de rotation”   du point », le facteur de proportionnalité égal au moment d'inertie du point matériel relativement à l'axe de rotation «  représentant la grandeur d'inertie » soit

 

     on vérifie ainsi l'analogie de cinétique classique[4] entre mouvements de translation et de rotation suivant les correspondances suivantes

« ».

Complément, expression relativiste du moment cinétique de M en mouvement circulaire dans le référentiel d’étude par rapport à l’axe Δ du cercle modifier

     Ayant établi, plus haut dans ce chapitre, au paragraphe « complément, expression relativiste du vecteur moment cinétique de M en mouvement circulaire dans le référentiel d'étude par rapport au centre C du cercle », l'expression du vecteur moment cinétique du point matériel   en mouvement circulaire relativiste autour de l'axe   de rotation dans le référentiel d'étude  , le point origine de calcul du vecteur moment cinétique étant le centre   du cercle,

« »

     dans laquelle « [28] est le vecteur rotation instantanée », «  le moment d'inertie du point   autour de son axe de rotation  » et «    le facteur de Lorentz[19] du point   dans le référentiel d'étude  », il suffit, pour établir l'expression relativiste du moment cinétique scalaire   du point matériel   en mouvement circulaire d'axe  , ce dernier étant l'axe par rapport auquel le moment cinétique scalaire est évalué, de projeter   sur le vecteur unitaire   orientant l'axe  , d'où

     « » soit encore, en reconnaissant dans l'expression entre crochets le moment cinétique scalaire   que le point matériel en mouvement circulaire d'axe   aurait en cinétique classique[4], la relation suivante, dans le référentiel d'étude  ,

« » avec
«  le facteur de Lorentz[19] du point  »,
«  le moment d'inertie du point   autour de son axe de rotation  » et
«  la vitesse angulaire de rotation de   sur le cercle ».

     Remarque 1 : en cinétique relativiste d'un point matériel de masse   en mouvement circulaire d'axe  , de centre   et de rayon  , on trouve une relation de proportionnalité analogue à celles exposées dans le paragraphe plus haut dans ce chapitre, entre la « grandeur cinétique  » et la « grandeur cinématique    », le facteur de proportionnalité égal au moment d'inertie du point matériel relativement à l'axe de rotation «  représentant la grandeur d'inertie » soit

« ».

     Remarque 2 : là encore, dans le but de garder les mêmes grandeurs cinématiques en cinétiques classique[4] et relativiste, on peut introduire des « grandeurs d'inertie apparentes »[42] c'est-à-dire
     Remarque 2 :  la « masse apparente  »   «  en translation relativiste » et
     Remarque 2 :  le « moment d'inertie apparent    ou  »   «    en rotation relativiste ».

Notes et références modifier

  1. Tant que l'on ne fait pas de la dynamique  c'est-à-dire tant que les causes de la cinétique à savoir « les forces » ne sont pas introduites , le référentiel peut être quelconque « galiléen ou non ».
  2. Usuellement ce point est choisi fixe dans   mais il peut être mobile si le but recherché est l'étude du plus ou moins grand écart séparant le point matériel   de ce point mobile de  , lequel n'est pas nécessairement galiléen si l'étude reste en dehors du cadre de la dynamique.
  3. Ou « moment cinétique (vectoriel) du point matériel   en  » en absence d'ambiguïté, le qualificatif « vectoriel » pouvant même être omis.
  4. 4,00 4,01 4,02 4,03 4,04 4,05 4,06 4,07 4,08 4,09 4,10 4,11 4,12 4,13 4,14 4,15 4,16 4,17 4,18 4,19 4,20 et 4,21 C.-à-d. newtonien(ne).
  5. 5,0 5,1 5,2 5,3 et 5,4 Voir l'« introduction du paragraphe produit vectoriel de deux vecteurs (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.  de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  6. Voir le paragraphe « définition d'un pseudo-vecteur (ou vecteur axial) » du chap.  de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  7. Voir le paragraphe « définition d'un vrai vecteur (ou vecteur polaire) » du chap.  de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  8. Voir l'« introduction du paragraphe produit vectoriel de deux vecteurs (pour la signification d'espace orienté à gauche) » du chap.  de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  9. Et n'est jamais le cas en absence de précision.
  10. Voir le paragraphe « définition intrinsèque du produit vectoriel de deux vecteurs » du chap.  de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  11. C.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite  voir l'« introduction du paragraphe produit vectoriel de deux vecteurs (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.  de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » , la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « 12 » du chap.  de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  12. Dans le cas où l'espace serait orienté à gauche  voir l'« introduction du paragraphe produit vectoriel de deux vecteurs (pour la signification d'espace orienté à gauche) » du chap.  de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ,  ce qui ne sera a priori jamais le cas mais qui n'est pas interdit , le trièdre   serait indirect  au sens de la physique   voir le paragraphe « base directe (au sens de la physique) d'un espace orienté à gauche (préliminaire) » du même chap.  de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »  et on utiliserait la règle de la main gauche, voir description de la règle dans la note « 14 » de ce même chap.  de cette même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  13. Pour le déterminer la règle la plus pratique me semble être celle du tire-bouchon de Maxwell  on suppose que l'espace est orienté à droite  voir l'« introduction du paragraphe produit vectoriel de deux vecteurs (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.  de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »  : le tire-bouchon étant placé en   tourne dans le sens de   pour se déplacer dans le sens de  .
  14. « Rotation » entre guillemets car la trajectoire de   n'est a priori pas un cercle de centre   mais cela peut l'être ;
       si le sens de   est connu  dans un espace orienté à droite  voir l'« introduction du paragraphe produit vectoriel de deux vecteurs (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.  de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » , pour que le tire-bouchon de Maxwell placé en   se déplace dans le sens de   il faut qu'il tourne dans un certain sens, ce qui nous détermine alors le sens de  .
  15. 15,0 et 15,1 Voir le paragraphe « définition intrinsèque d'un champ (ou d'une fonction) vectoriel(le) de l'espace » du chap.  de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  16. 16,0 et 16,1 Champ vectoriel défini en tout point  , pouvant, ou non, dépendre du référentiel.
  17. 17,0 et 17,1 C'est aussi le 2ème vecteur des éléments de réduction en   d'un torseur glisseur de résultante    voir le paragraphe « propriétés d'un torseur glisseur (M étant un point central du glisseur) » du chap.  de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) » dans lequel le moment est défini selon   ce qui est effectivement égal à  .
  18. 18,0 18,1 et 18,2 Ici le champ vectoriel   dépend du référentiel  et aussi implicitement de  .
  19. 19,0 19,1 19,2 19,3 19,4 19,5 19,6 et 19,7 Hendrik Antoon Lorentz (1853 - 1928) physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « transformations dites de Lorentz »  en fait les équations définitives des transformations de Lorentz ont été formulées en   par Henri Poincaré après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont Hendrik Lorentz dès   pour ce dernier , transformations utilisées dans la théorie de la relativité restreinte élaborée par Albert Einstein en   ;
       Hendrik Lorentz partagea, en  , le prix Nobel de physique avec Pieter Zeeman (1865 - 1943) physicien néerlandais pour leurs recherches sur l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs  Pieter Zeeman ayant découvert l'effet qui porte son nom en  .
       Henri Poincaré (1854 - 1912) mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en calcul infinitésimal, des avancées sur le problème à trois corps qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la théorie du chaos, une participation active à la théorie de la relativité restreinte ainsi qu'à la théorie des systèmes dynamiques  
       Albert Einstein (1879 - 1955), physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en   puis suisse en   ; on lui doit la théorie de la relativité restreinte publiée en  , la relativité générale en   ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la mécanique quantique et la cosmologie ; il a reçu le prix Nobel de physique en   pour son explication de l'effet photoélectrique.
  20. Le seul avantage de cette expression est qu'elle permet d'avoir une expression de quantité de mouvement en fonction de la vitesse en apparence identique que le mouvement soit newtonien ou relativiste, mais ce n'est qu'une apparence car en relativiste   dépend de la vitesse  voir la note « 21 » qui suit  et n'est donc pas une constante du mouvement comme en newtonien.
  21. 21,0 et 21,1 L'inconvénient de l'introduction de la masse apparente est que cette dernière dépend de la vitesse, raison pour laquelle son utilisation doit être réfléchie  personnellement j'évite de m'y référer .
  22. Pierre Varignon (1654 - 1722) mathématicien français ayant fourni d'importantes contributions dans le domaine de la statique  
  23. Voir le paragraphe « définition de l'équiprojectivité d'un champ de vecteurs d'un espace affine euclidien tridimensionnel » du chap.  de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) ».
  24. Dans le paragraphe « définition de l'équiprojectivité d'un champ de vecteurs d'un espace affine euclidien tridimensionnel » du chap.  de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) », la relation de Varignon était écrite  en y substituant   par   et   par  , «   » ce qui est bien la même expression compte-tenu de   et de l'anticommutativité de la multiplication vectorielle  voir le paragraphe « propriétés de la multiplication vectorielle » du chap.  de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » .
  25. Formule à retenir  elle se retient facilement si on pense à la « relation de Chasles  » 
       Michel Chasles (1793 - 1880) mathématicien français à qui on doit d'importants travaux en géométrie projective ainsi qu'en analyse harmonique ; la relation dite de Chasles, connue depuis très longtemps, porte son nom pour lui rendre hommage.
  26. 26,0 26,1 et 26,2 Michel Chasles (1793 - 1880) mathématicien français à qui on doit d'importants travaux en géométrie projective ainsi qu'en analyse harmonique ; la relation dite de Chasles, connue depuis très longtemps, porte son nom pour lui rendre hommage.
  27. 27,0 et 27,1 Voir le paragraphe « propriétés de la multiplication vectorielle » du chap.  de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  28. 28,00 28,01 28,02 28,03 28,04 28,05 28,06 28,07 28,08 28,09 28,10 et 28,11 Voir le paragraphe « définition du vecteur rotation instantanée » du chap.  de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
  29. 29,0 et 29,1 Voir le paragraphe « expression intrinsèque du vecteur vitesse du point M sur sa trajectoire circulaire à l'instant t » du chap.  de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
  30. 30,0 et 30,1 Voir le paragraphe « formules du double produit vectoriel » du chap.  de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », la formule utilisée ici étant «   ».
  31. On remarque que «  est   à  » c'est-à-dire que « la grandeur cinétique dans un mouvement de rotation   est   à la grandeur cinématique   correspondante » de même que l'on a trouvé que « la grandeur cinétique dans un mouvement de translation   est   à la grandeur cinématique   correspondante »  
  32. Cette appellation historique n'ayant aucun rapport avec les notions de moment de champ vectoriel pourrait prêter à confusion, mais un changement pour un autre nom n'est guère envisageable, de plus, à l'expérience, on se rend compte que, très rapidement, les usagers ne sont plus gênés  tout comme les usagers de l'électricité des métaux ne sont plus gênés que le sens du courant soit contraire au sens de déplacement des électrons de conduction, porteurs de charge mobiles dans les métaux .
  33. Pour définir le moment d'inertie de   par rapport à  , il n'est pas nécessaire que   ait un mouvement circulaire d'axe    d'où les guillemets encadrant « tourne » , mais la trajectoire de   doit être telle que sa « concavité soit dirigée vers l'axe »  c'est-à-dire que le centre de courbure de la trajectoire en   soit, par rapport à la tangente en ce point,  le centre de courbure et la tangente en   définissant le plan osculateur en ce point , situé du même côté de la tangente en   que le point d'intersection de   avec le plan osculateur  ;
       voir les notions de plan osculateur et de centre de courbure dans le paragraphe « notion de plan et cercle osculateurs en un point d'une courbe gauche (c'est-à-dire non plane), de centre et de rayon de courbure en ce point » du chap.  de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
  34. Ou simplement   en absence d'ambiguïté.
  35. C.-à-d. une grandeur scalaire caractérisant l'inertie du point matériel   dans le cadre d'un mouvement de rotation de ce dernier autour d'un axe  plus cette grandeur est grande, plus grandes doivent être les actions appliquées au point pour modifier la norme du vecteur rotation instantanée .
  36. 36,0 et 36,1 La trajectoire étant a priori une portion de cercle et non nécessairement le cercle entier.
  37. Expression à retenir, cette formule n'étant valable qu'en   centre du cercle.
  38. On aurait pu aussi écrire   avec   voir la remarque du paragraphe « expression intrinsèque du vecteur vitesse du point M sur sa trajectoire circulaire à l'instant t » du chap.  de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) », mais cela aurait entraîné, après une simplification apparente, une légère complication  
  39. Cette 2ème composante étant représentée en tiretés sur le schéma, on constate qu'elle est en rotation autour de l'axe   simultanément à la rotation du point  .
  40. Il y a toujours la même composante sur l'axe   « » mais il y a en plus une composante   à l'axe   «   » de norme d’autant plus grande que   est éloigné de   et dont le sens dépend de la position de   sur l'axe   relativement à    pour   au-dessous de   comme représenté sur le schéma ci-dessus,   est   et la composante   à l’axe   est de sens contraire à   alors que, pour   au-dessus de  , non représenté sur le schéma ci-dessus,   serait   et la composante   à l’axe   serait de même que   ;
       on vérifie l’homogénéité de cette composante   à l'axe   car celle-ci s'exprime en   multipliée par  .
  41. 41,0 et 41,1 L’analogie n’étant vérifiée que si l’origine de calcul du vecteur moment cinétique est le centre du cercle.
  42. 42,0 et 42,1 L'inconvénient de l'introduction des grandeurs d'inertie apparentes est que ces dernières dépendant aussi de la vitesse ont également une composante cinématique  laquelle joue en pratique un rôle d'inertie tout comme la composante pure d'inertie , raison pour laquelle leur utilisation doit être réfléchie  personnellement j'éviterais, par la suite, à m'y référer .
  43. Voir le paragraphe « définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs » du chap.  de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  44. Voir le paragraphe « définition d'un torseur » du chap.  de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) ».
  45. Il s'agit aussi d'un invariant du torseur cinétique  voir la notion d'invariants de torseur dans le paragraphe « invariants d'un torseur » du chap.  de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) » .
  46. On peut aussi le démontrer directement en utilisant la formule de changement d’origine   et en multipliant scalairement par  , on obtient alors, par distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle  voir le paragraphe « autres propriétés de la multiplication scalaire » du chap.  de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » , l'égalité cherchée car   dans la mesure où   étant   à   le produit mixte est nul  voir le paragraphe « définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs » du chap.  de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » .
  47. Expression à retenir.
  48. Avec plus précisément « »  voir le paragraphe « évaluation du vecteur moment cinétique de M en mouvement circulaire dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de l'axe de rotation, différent du centre C du cercle » plus haut dans ce chapitre  mais seule la propriété de perpendicularité de cette composante est à retenir  
  49. Voir le paragraphe « autres propriétés de la multiplication scalaire » du chap.  de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».