En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Mécanique 2 (PCSI) : Loi du moment cinétique : Moments cinétiques d'un point matériel Mécanique 2 (PCSI)/Loi du moment cinétique : Moments cinétiques d'un point matériel », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
La notion de moment cinétique n'est au programme de physique de P.C.S.I. que dans son aspect newtonien.
Aspect de la cinétique du point matériel M dans le référentiel d'étude relativement à un autre point A : définition dans le référentiel d’étude du « moment cinétique de M par rapport au point A » (ou « moment cinétique vectoriel de M »)
Il s'agit d’une part, de décrire le mouvement du point matériel dans le référentiel d'étude [1] relativement à un point privilégié [2] et Il s'agit d'autre part, de tenir compte de l'inertie du point matériel c'est-à-dire de sa masse.
Définition du vecteur « moment cinétique du point matériel M dans le référentiel d’étude par rapport à un point A »
Moment cinétique (vectoriel) de M dans le référentiel d'étude par rapport à A
Le vecteur moment cinétique du point matériel dans le référentiel d'étude par rapport au point [3] est la grandeur vectorielle, définie à l'instant , selon
avec « le vecteur quantité de mouvement de dans au même instant »,
soit encore, en cinétique classique[4] avec « le vecteur vitesse de dans au même instant » et « la masse du point matériel ».
Schéma de définition du moment cinétique vectoriel d'un point matériel par rapport à un point dans le référentiel d'étude orienté à droite[5]
Commentaires : cette grandeur traduit la réserve de « mouvement inertiel » du point matériel par rapport au point , elle tient compte de l'inertie d'une part et de la vitesse en norme, direction et sens d'autre part, le tout relativement au point , la grandeur dépend donc du référentiel ;
Commentaires : le point est le point par rapport auquel on calcule le moment cinétique vectorielencore appelé point origine de calcul, le moment cinétique vectoriel «» est représenté au point voir ci-contre dans le cas d'un espace orienté à droite[5] ;
Les propriétés du « moment cinétique vectoriel du point matériel dans le référentiel d’étude par rapport au point origine » se déduisent de la définition d’un produit vectoriel[10] à savoir :
produit vectoriel et
dans le cas où , les direction, sens et norme sont direction au plan , sens tel que le trièdre soit direct[11] dans le cas présent où l'espace est orienté à droite[12] et norme en ;
remarque : si le mouvement de est plan et si est choisi dans le plan de la trajectoire de , est au plan dans la mesure où il n’est pas nul et « son sens »[13] précise le sens de « rotation »[14] relativement à dans le plan.
« Vecteur moment cinétique de M par rapport au point origine A », cas particulier de « vecteur moment d’un champ vectoriel défini en M par rapport au point origine A »
De façon générale, le « vecteur moment d’un champ vectoriel [15],[16] par rapport à point origine de calcul du moment» étant défini selon [17], on en déduit que De façon générale, le « vecteur moment cinétique du point matériel dans le référentiel par rapport à point origine de calcul du moment cinétique» est le « vecteur moment de la quantité de mouvement du point matériel dans le référentiel [18] par rapport à point origine de calcul du moment».
Complément, expression « relativiste » du « vecteur moment cinétique de M dans le référentiel d’étude par rapport au point origine A »
La notion de « vecteur moment d’un champ vectoriel [15],[16] par rapport à un point origine » étant [17] et ceci indépendamment de toute cinétique, le « vecteur moment cinétique du point matériel par rapport au point origine dans un référentiel » est défini comme le « vecteur moment de la quantité de mouvement du point matériel par rapport au point origine », que le mouvement de dans soit classique[4] ou relativiste soit,
elle nécessite de définir le « facteur de Lorentz[19] du point dans le référentiel par » et
la quantité de mouvement de dans s'écrit alors
«» ou encore, «»[20] en définissant la « masse apparente de dans par »[21] ;
par cette expression on en déduit l'expression relativiste, dans , du vecteur moment cinétique du point matériel par rapport au point origine en fonction, entre autres, de la vitesse de dans
«» avec « le facteur de Lorentz[19] de dans » soit encore, «» où « est l'expression classique[4] du vecteur moment cinétique de par rapport à dans ».
Remarques : Conformément à ce qui est introduit dans le paragraphe « torseur cinétique » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) », les éléments de réduction du torseur cinétique du point matériel dans le référentiel au point de réduction sont définis selon , expression applicable en cinétique classique[4] ou relativiste et Remarques : suivant le caractère classique[4] ou relativiste du mouvement du point matériel dans le référentiel : Remarques : en cinétique classique[4], Remarques : en cinétique relativiste établissant l'importance de «» facteur de Lorentz[19] du point matériel dans le référentiel aussi bien dans la cinétique utilisant la résultante que dans celle utilisant le moment vectoriel en ;
Remarques : on remarque aussi que « les éléments de réduction du torseur cinétique relativiste du point matériel dans le référentiel au point de réduction se déduisent de ceux du torseur cinétique classique[4] du point matériel dans le même référentiel au même point de réduction » en y « substituant la masse du point matériel par la masse apparente de ce dernier à l'instant , » soit «»[21].
Formule de changement d’origine du calcul des moments (cinétiques) vectoriels
ici la démonstration s'effectue simplement en partant de la définition du vecteur moment du champ par rapport au point origine soit «», ici la démonstration s'effectue simplement en utilisant la relation de Chasles[26] «» puis ici la démonstration s'effectue simplement en utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle[27] soit «», expression dans laquelle « le 2nd terme du 2ème membre étant par définition », nous permet de conclure la démonstration.
Formule de changement d’origine du calcul du vecteur moment cinétique d’un point matériel dans le référentiel d’étude
Le « vecteur moment cinétique du point matériel dans le référentiel par rapport à point origine de calcul du moment cinétique» étant le « vecteur moment de la quantité de mouvement du point matériel dans le référentiel [18] par rapport à point origine de calcul du moment», on peut lui appliquer la formule de changement d'origine du calcul du vecteur moment d'un champ vectoriel et on obtient
«» applicable sous cette forme en cinétique classique[4] ou relativiste.
Cas où M décrit un mouvement circulaire d’axe Δ, de rayon R et de vecteur rotation instantanée fixé
Schéma descriptif du mouvement d'un point matériel décrivant un cercle de centre , de vecteur rotation instantanée [28] imposé, avec précision du vecteur moment cinétique de au point origine de calcul de moment cinétique
Évaluation du vecteur moment cinétique de M en mouvement circulaire dans le référentiel d’étude par rapport au centre C du cercle
Considérant un point matériel , de masse , en mouvement circulaire de centre , de vecteur rotation instantanée [28] dans le référentiel d'étude orienté à droite[5], le vecteur moment cinétique de ce point matériel dans par rapport au centre de sa trajectoire circulaire, noté est défini par
«» ou, dans le cadre de la cinétique classique[4], «» ;
injectant dans cette dernière expression de du cadre de la cinétique classique[4], l'expression intrinsèque du vecteur vitesse d'un point en mouvement circulaire de centre et de vecteur rotation instantanée [28], à savoir «»[29], on obtient «» nécessitant d'utiliser une des deux formules du double produit vectoriel[30] soit «» car, de par la nature du mouvement de « le rayon vecteur est à à tout instant », soit encore, en notant le rayon du cercle , l'expression finale du vecteur moment cinétique du point matérielen mouvement circulaire de centre, de rayon et de vecteur rotation instantanée[28] quand l'origine de calcul du moment cinétique est le centre du cercle
Le moment d'inertie[32] d'un point matériel, de masse , relativement à un axe est introduit quand le point « tourne »[33] autour de l'axe , il est noté «»[34] et représente une « grandeur scalaire inertielle de rotation »[35], il est défini par la relation
« exprimé en », dans laquelle « est la masse du point » et « la distance orthogonale séparant de l'axe ».
Réécriture du vecteur moment cinétique de M en mouvement circulaire dans le référentiel d’étude par rapport au centre C du cercle en fonction, entre autres, du vecteur rotation instantanée
Le vecteur moment cinétique du point matériel dans le référentiel d'étude par rapport au centre du cercle « support de la trajectoire de »[36] s'écrit
«»[37] où « est le moment d'inertie de relativement à l'axe de rotation », « étant la masse du point », « le rayon du cercle » et « le vecteur rotation instantanée du mouvement circulaire du point ».
Évaluation du vecteur moment cinétique de M en mouvement circulaire dans le référentiel d’étude par rapport à un point A de l’axe de rotation, différent du centre C du cercle
Schéma descriptif du mouvement d'un point matériel décrivant un cercle de centre , de vecteur rotation instantanée [28], avec précision du vecteur moment cinétique de en un point origine de calcul de moment cinétique de l'axe de rotation mais différent du centre
Soit « un point quelconque de l'axe de rotation du point matériel » avec « centre du cercle décrit par dans le référentiel orienté à droite[5] avec pour vecteur rotation instantanée », « le vecteur moment cinétique du point matériel dans par rapport au point de son axe de rotation, noté » est défini par
«» ou, dans le cadre de la cinétique classique[4], «» ;
injectant dans cette dernière expression de du cadre de la cinétique classique[4], l'expression intrinsèque du vecteur vitesse d'un point en mouvement circulaire de centre et de vecteur rotation instantanée [28], à savoir «»[29],[38], on obtient «» nécessitant d'utiliser une des deux formules du double produit vectoriel[30] soit «» avec «» utilisant la relation de Chasles[26] ou, en notant le vecteur unitaire de étant à d'où «», soit encore, en notant le rayon du cercle , l'expression finale du vecteur moment cinétique du point matérielen mouvement circulaire de centre, de rayon et de vecteur rotation instantanée[28] quand l'origine de calcul du moment cinétique est un pointde l'axe de rotation du centre du cercle
«»,
soit une somme de deux termes dont
le 1er «» est colinéaire à l'axe de rotation et
le 2nd «» est à l'axe de rotation dans le « plan méridien de »,
Remarque : « la relation de proportionnalité entre et n'est réalisée qu'en choisissant pour origine de calcul du moment cinétique le centredu cercle », et qu'« en dehors de ce point, il n'y a pas proportionnalité entre et » car « pour , n’est pas porté par l'axe »[40].
Analogie entre la cinétique d’un point matériel en mouvement quelconque et celle d’un point matériel en mouvement de rotation autour d’un axe Δ
En cinétique classique[4] d'un point matériel en mouvement quelconque, il existe un facteur de proportionnalité entre la « grandeur cinétique » et la « grandeur cinématique », ce facteur égal à la masse du point matériel « représentant la grandeur d'inertie » soit
en cinétique classique[4] d'un point matériel de masse en mouvement circulaire d'axe , de centre et de rayon , on trouve une relation de proportionnalité analogue[41] entre la « grandeur cinétique » et la « grandeur cinématique », le facteur de proportionnalité égal au moment d'inertie du point matériel relativement à l'axe de rotation « représentant la grandeur d'inertie » soit
on vérifie ainsi l'analogie de cinétique classique[4] entre mouvements de translation et de rotation suivant les correspondances suivantes
«».
Complément, expression relativiste du vecteur moment cinétique de M en mouvement circulaire dans le référentiel d’étude par rapport au centre C du cercle
Comme cela a été établi dans le paragraphe « complément, expression relativiste du vecteur moment cinétique de M dans le référentiel d'étude par rapport au point origine A » plus haut dans ce chapitre, le vecteur moment cinétique du point matériel en mouvement relativiste dans le référentiel d'étude orienté à droite[5] par rapport à un point origine est lié à l'expression que le vecteur moment cinétique du point matériel prendrait si le mouvement de ce dernier était classique[4] dans le même référentiel d'étude par rapport au même point origine selon
«» avec « facteur de Lorentz[19] du point dans » ;
dans le référentiel d'étude , le vecteur moment cinétique du point matériel en mouvement circulaire classique[4] autour de l'axe de rotation, de centre , de rayon et de vecteur rotation instantanée [28], avec, pour point origine de calcul du moment, le centre du cercle, ayant pour expression établie précédemment «» dans laquelle « est le moment d'inertie du point autour de son axe de rotation » et
dans le référentiel d'étude , la définition du vecteur rotation instantanée [28] ainsi que son lien avec le vecteur vitesse dans un mouvement circulaire de centre à savoir restant les mêmes en relativiste, on en déduit l'expression du facteur de Lorentz[19] du point dans en fonction de la vitesse angulaire non algébrisée et du rayon du cercle soit «» d'où
dans le référentiel d'étude , l'expression du vecteur moment cinétique du point matériel en mouvement circulaire relativiste autour de l'axe de rotation, de centre , de rayon et de vecteur rotation instantanée [28], avec, pour point origine de calcul du moment, le centre du cercle,
«» avec « le moment d'inertie du point autour de son axe de rotation » et « le facteur de Lorentz[19] du point dans ».
Remarque 1 : en cinétique relativiste d'un point matériel de masse en mouvement quelconque, il existe un facteur de proportionnalité entre la « grandeur cinétique » et la « grandeur cinématique », ce facteur égal à la masse du point matériel « représentant la grandeur d'inertie » soit
«» ;
Remarque 1 : en cinétique relativiste d'un point matériel de masse en mouvement circulaire d'axe , de centre et de rayon , on trouve une relation de proportionnalité analogue[41] entre la « grandeur cinétique » et la « grandeur cinématique », le facteur de proportionnalité égal au moment d'inertie du point matériel relativement à l'axe de rotation « représentant la grandeur d'inertie » soit
«» ;
Remarque 2 : dans le but de garder les mêmes grandeurs cinématiques en cinétiques classique[4] et relativiste, on peut introduire des « grandeurs d'inertie apparentes »[42] c'est-à-dire Remarque 2 : la « masse apparente » « en translation relativiste » et Remarque 2 : le « moment d'inertie apparent ou » « en rotation relativiste ».
Aspect de la cinétique de M dans le référentiel d’étude relativement à un axe Δ, définition dans ce référentiel du moment cinétique de M par rapport à l’axe Δ (ou « moment cinétique scalaire de M »)
n'est pas vérifiée pour n'importe quel champ de vecteurs mais
cette propriété d’« équiprojectivité » est « applicable au champ de vecteurs moment d'un champ vectoriel quelconque défini par , », en effet «» «» par utilisation de la relation de Chasles[26] soit enfin, en utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l'addition vectorielle[27] dans le 1er membre de cette équation que l'on cherche à vérifier «» ce qui établit la propriété d’« équiprojectivité » compte-tenu de la nullité du 1er produit mixte du 1er membre[43] ;
en conclusion on retient «».
Équiprojectivité du « vecteur champ moment cinétique de M » dans le référentiel d’étude et conséquence, notion de « moment cinétique de M dans le référentiel d'étude par rapport à un axe Δ »
Le « vecteur moment cinétique du point matériel dans le référentiel par rapport à point origine de calcul du moment cinétique» étant le « vecteur moment du champ vectoriel quantité de mouvement du point matériel dans le référentiel [18] par rapport à point origine de calcul du moment», nous en déduisons l'« équiprojectivité du vecteur champ moment cinétique du point matériel» dans le référentiel d’étude soit
«».
Remarque : avec la notion hors programme de physique de P.C.S.I. de « torseur » introduite dans le chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) », le vecteur moment cinétique du point matériel par rapport à «» étant le moment du torseur cinétique de «» d'éléments de réduction en «» et Remarque : le « moment d'un torseur au point » étant par définition un « champ de vecteurs équiprojectif »[44] nous en déduisons, sans autre développement, le caractère « équiprojectif » du « vecteur moment cinétique du point matériel dans le référentiel par rapport à ».
Conséquence : considérant un axe quelconque et deux points quelconques distincts de cet axe , nous déduisons de l'équiprojectivité du vecteur moment cinétique du point matériel dans le référentiel la relation «»[45] ou, Conséquence : en orientant l'axe par «» et en simplifiant par , «»[46] cette valeur constante sur définissant le moment cinétique scalaire du point matériel dans le référentiel d'étude par rapport à l'axe .
Moment cinétique (scalaire) de M dans le référentiel d'étude par rapport à Δ
Le moment cinétique scalaire du point matériel dans le référentiel d'étude par rapport à l'axe est la grandeur scalaire, définie à l'instant , selon
«» avec « le vecteur unitaire orientant » et « le vecteur moment cinétique de dans évalué en un point quelconque de au même instant », soit encore, avec « le vecteur quantité de mouvement de dans au même instant ».
Commentaire : cette grandeur traduit la réserve de « mouvement inertiel » du point matériel par rapport à l'axe , elle tient compte de l'inertie d'une part et de la composante de la vitesse dans un plan à ainsi que de la disposition du point par rapport à cet axe d'autre part, la grandeur dépend donc du référentiel .
Retour sur le cas où M décrit un mouvement circulaire d’axe Δ, de rayon R et de vecteur rotation instantanée fixé
Le vecteur moment cinétique du point matériel , de masse , par rapport au centre du cercle « support de la trajectoire de »[36] de rayon dans le référentiel d'étude s'écrivant «» avec « le moment d'inertie du point relativement à l'axe » et « le vecteur rotation instantanée[28] du mouvement du point », nous en déduisons
après orientation de l'axe par «» dans laquelle « est la vitesse angulaire de rotation du point sur le cercle »,
l'expression du moment cinétique scalaire du point matériel par rapport à l'axe du cercle, à l'instant , dans le référentiel d'étude , «» soit finalement
Remarque : Le moment cinétique scalaire de par rapport à l'axe de rotation de son mouvement circulaire étant la projection sur orienté par du moment cinétique vectoriel de par rapport à n'importe quel point de , on vérifie qu'en prenant un point origine avec centre du cercle on trouve le même résultat, en effet Remarque : ayant établi précédemment «»[48] et multipliant scalairement par on obtient, après utilisation de la distributivité du produit scalaire relativement à l’addition vectorielle[49], «», « le 2ème terme du 2ème membre étant nul car est à » et « le 1er terme restant du 2ème membre étant égal à ».
Expression symbolique reliant la cinétique et la cinématique dans le cas d’un mouvement circulaire autour d’un axe Δ
En cinétique classique[4] d'un point matériel de masse en mouvement circulaire d'axe et de rayon , on trouve une relation de proportionnalité analogue à celles exposées au paragraphe « analogie entre la cinétique d'un point matériel en mouvement quelconque et celle d'un point matériel en mouvement de rotation autour d'un axe Δ » plus haut dans ce chapitre entre la « grandeur cinétique “moment cinétique scalaire” du point » et la « grandeur cinématique “vitesse angulaire de rotation” du point », le facteur de proportionnalité égal au moment d'inertie du point matériel relativement à l'axe de rotation « représentant la grandeur d'inertie » soit
on vérifie ainsi l'analogie de cinétique classique[4] entre mouvements de translation et de rotation suivant les correspondances suivantes
«».
Complément, expression relativiste du moment cinétique de M en mouvement circulaire dans le référentiel d’étude par rapport à l’axe Δ du cercle
dans laquelle «[28] est le vecteur rotation instantanée », « le moment d'inertie du point autour de son axe de rotation » et « le facteur de Lorentz[19] du point dans le référentiel d'étude », il suffit, pour établir l'expression relativiste du moment cinétique scalaire du point matériel en mouvement circulaire d'axe , ce dernier étant l'axe par rapport auquel le moment cinétique scalaire est évalué, de projeter sur le vecteur unitaire orientant l'axe , d'où
«» soit encore, en reconnaissant dans l'expression entre crochets le moment cinétique scalaire que le point matériel en mouvement circulaire d'axe aurait en cinétique classique[4], la relation suivante, dans le référentiel d'étude ,
«» avec « le facteur de Lorentz[19] du point », « le moment d'inertie du point autour de son axe de rotation » et « la vitesse angulaire de rotation de sur le cercle ».
Remarque 1 : en cinétique relativiste d'un point matériel de masse en mouvement circulaire d'axe , de centre et de rayon , on trouve une relation de proportionnalité analogue à celles exposées dans le paragraphe plus haut dans ce chapitre, entre la « grandeur cinétique » et la « grandeur cinématique », le facteur de proportionnalité égal au moment d'inertie du point matériel relativement à l'axe de rotation « représentant la grandeur d'inertie » soit
«».
Remarque 2 : là encore, dans le but de garder les mêmes grandeurs cinématiques en cinétiques classique[4] et relativiste, on peut introduire des « grandeurs d'inertie apparentes »[42]c'est-à-dire Remarque 2 : la « masse apparente » « en translation relativiste » et Remarque 2 : le « moment d'inertie apparent ou » « en rotation relativiste ».
↑ Tant que l'on ne fait pas de la dynamique c'est-à-dire tant que les causes de la cinétique à savoir « les forces » ne sont pas introduites, le référentiel peut être quelconque « galiléen ou non ».
↑ Usuellement ce point est choisi fixe dans mais il peut être mobile si le but recherché est l'étude du plus ou moins grand écart séparant le point matériel de ce point mobile de , lequel n'est pas nécessairement galiléen si l'étude reste en dehors du cadre de la dynamique.
↑ Ou « moment cinétique (vectoriel) du point matériel en » en absence d'ambiguïté, le qualificatif « vectoriel » pouvant même être omis.
↑ Pour le déterminer la règle la plus pratique me semble être celle du tire-bouchon de Maxwell on suppose que l'espace est orienté à droite voir l'« introduction du paragraphe produit vectoriel de deux vecteurs (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » : le tire-bouchon étant placé en tourne dans le sens de pour se déplacer dans le sens de .
↑ « Rotation » entre guillemets car la trajectoire de n'est a priori pas un cercle de centre mais cela peut l'être ; si le sens de est connu dans un espace orienté à droite voir l'« introduction du paragraphe produit vectoriel de deux vecteurs (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », pour que le tire-bouchon de Maxwell placé en se déplace dans le sens de il faut qu'il tourne dans un certain sens, ce qui nous détermine alors le sens de .
↑ Le seul avantage de cette expression est qu'elle permet d'avoir une expression de quantité de mouvement en fonction de la vitesse en apparence identique que le mouvement soit newtonien ou relativiste, mais ce n'est qu'une apparence car en relativiste dépend de la vitesse voir la note « 21 » qui suit et n'est donc pas une constante du mouvement comme en newtonien.
↑ 21,0 et 21,1 L'inconvénient de l'introduction de la masse apparente est que cette dernière dépend de la vitesse, raison pour laquelle son utilisation doit être réfléchie personnellement j'évite de m'y référer.
↑Pierre Varignon (1654 - 1722) mathématicien français ayant fourni d'importantes contributions dans le domaine de la statique
↑ Formule à retenir elle se retient facilement si on pense à la « relation de Chasles » Michel Chasles (1793 - 1880) mathématicien français à qui on doit d'importants travaux en géométrie projective ainsi qu'en analyse harmonique ; la relation dite de Chasles, connue depuis très longtemps, porte son nom pour lui rendre hommage.
↑ 26,026,1 et 26,2Michel Chasles (1793 - 1880) mathématicien français à qui on doit d'importants travaux en géométrie projective ainsi qu'en analyse harmonique ; la relation dite de Chasles, connue depuis très longtemps, porte son nom pour lui rendre hommage.
↑ On remarque que « est à » c'est-à-dire que « la grandeur cinétique dans un mouvement de rotation est à la grandeur cinématique correspondante » de même que l'on a trouvé que « la grandeur cinétique dans un mouvement de translation est à la grandeur cinématique correspondante »
↑ Cette appellation historique n'ayant aucun rapport avec les notions de moment de champ vectoriel pourrait prêter à confusion, mais un changement pour un autre nom n'est guère envisageable, de plus, à l'expérience, on se rend compte que, très rapidement, les usagers ne sont plus gênés tout comme les usagers de l'électricité des métaux ne sont plus gênés que le sens du courant soit contraire au sens de déplacement des électrons de conduction, porteurs de charge mobiles dans les métaux.
↑ Pour définir le moment d'inertie de par rapport à , il n'est pas nécessaire que ait un mouvement circulaire d'axe d'où les guillemets encadrant « tourne », mais la trajectoire de doit être telle que sa « concavité soit dirigée vers l'axe » c'est-à-dire que le centre de courbure de la trajectoire en soit, par rapport à la tangente en ce point, le centre de courbure et la tangente en définissant le plan osculateur en ce point, situé du même côté de la tangente en que le point d'intersection de avec le plan osculateur ; voir les notions de plan osculateur et de centre de courbure dans le paragraphe « notion de plan et cercle osculateurs en un point d'une courbe gauche (c'est-à-dire non plane), de centre et de rayon de courbure en ce point » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
↑ C.-à-d. une grandeur scalaire caractérisant l'inertie du point matériel dans le cadre d'un mouvement de rotation de ce dernier autour d'un axe plus cette grandeur est grande, plus grandes doivent être les actions appliquées au point pour modifier la norme du vecteur rotation instantanée.
↑ 36,0 et 36,1 La trajectoire étant a priori une portion de cercle et non nécessairement le cercle entier.
↑ Expression à retenir, cette formule n'étant valable qu'en centre du cercle.
↑ Cette 2ème composante étant représentée en tiretés sur le schéma, on constate qu'elle est en rotation autour de l'axe simultanément à la rotation du point .
↑ Il y a toujours la même composante sur l'axe «» mais il y a en plus une composante à l'axe «» de norme d’autant plus grande que est éloigné de et dont le sens dépend de la position de sur l'axe relativement à pour au-dessous de comme représenté sur le schéma ci-dessus, est et la composante à l’axe est de sens contraire à alors que, pour au-dessus de , non représenté sur le schéma ci-dessus, serait et la composante à l’axe serait de même que ; on vérifie l’homogénéité de cette composante à l'axe car celle-ci s'exprime en multipliée par .
↑ 41,0 et 41,1 L’analogie n’étant vérifiée que si l’origine de calcul du vecteur moment cinétique est le centre du cercle.
↑ 42,0 et 42,1 L'inconvénient de l'introduction des grandeurs d'inertie apparentes est que ces dernières dépendant aussi de la vitesse ont également une composante cinématique laquelle joue en pratique un rôle d'inertie tout comme la composante pure d'inertie, raison pour laquelle leur utilisation doit être réfléchie personnellement j'éviterais, par la suite, à m'y référer.
![{\displaystyle {\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31d63350d68291e3f56604a089e0e0b5a86c2472)
![{\displaystyle \;\Vert {\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}(M,\,t)\Vert ={\Big \Vert }{\overrightarrow {AM}}(t){\Big \Vert }\;\Vert {\vec {p}}_{M}(t)\Vert \;{\Bigg \vert }\sin \!\left\lbrace {\widehat {\left[{\overrightarrow {AM}}(t)\,,\,{\vec {p}}_{M}(t)\right]}}\right\rbrace {\Bigg \vert }\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c679ebb072faaa6e3212c8e31f53348764e552c5)
![{\displaystyle \;\gamma _{M}(t)={\dfrac {1}{\sqrt {1-\left[{\dfrac {\Vert {\vec {V}}_{M}(t)\Vert }{c}}\right]^{\!2}}}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32b2301d34d1e8c092caafd0ec40d8a0593a3e2d)
![{\displaystyle \;m_{\text{app}}(t)=\gamma _{M}(t)\;m={\dfrac {m}{\sqrt {1-\left[{\dfrac {\Vert {\vec {V}}_{M}(t)\Vert }{c}}\right]^{\!2}}}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8cc83bb6cc3414c27f28070d4da5818b2e423440)
![{\displaystyle {\dfrac {1}{\sqrt {1-\left[{\dfrac {\Vert {\vec {V}}_{M}(t)\Vert }{c}}\right]^{\!2}}}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70d2816ea0d8e3429950434dcf06e511b7ce3f9b)
![{\displaystyle =\gamma _{M}(t)\;m={\dfrac {m}{\sqrt {1-\left[{\dfrac {\Vert {\vec {V}}_{M}(t)\Vert }{c}}\right]^{\!2}}}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba8a3cd668392a2fe9f8b0262ebeadbf5b5ddb5d)
![{\displaystyle \;\forall \;\left(O\,,\,O'\right)\in {\mathcal {E}}^{2},\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O'}\!\left[{\vec {C}}(M)\right]={\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O}\!\left[{\vec {C}}(M)\right]+{\overrightarrow {O'O}}\wedge {\vec {C}}(M)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48374bc5b59b83b285643704632a89b17b744c38)
![{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O'}\!\left[{\vec {C}}(M)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57b63a4353d9ab8cb3e665559ffbf330cad9b3c4)
![{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O'}\!\left[{\vec {C}}(M)\right]={\overrightarrow {O'O}}\wedge {\vec {C}}(M)+{\overrightarrow {OM}}\wedge {\vec {C}}(M)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24aba8bc55a455e9f8867e8eed841a8ec67fbf0f)
![{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O}\!\left[{\vec {C}}(M)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e5d0013e2c0219ecd7f96e40693470b033379dd)
![{\displaystyle {\overrightarrow {CM}}(t)\wedge m\,\left[{\overrightarrow {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {CM}}(t)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88033db79fbf673e67fcc9ebd6dd7daca51b8180)
![{\displaystyle ={\overrightarrow {CM}}^{\,2}\!\!(t)\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\;{\cancel {-\;\left[{\overrightarrow {CM}}(t)\cdot {\overrightarrow {\Omega }}(t)\right]{\overrightarrow {CM}}(t)}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/512c539949e25a0243167dd5f165929fbf1d530c)
![{\displaystyle {\overrightarrow {AM}}(t)\wedge m\,\left[{\overrightarrow {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {CM}}(t)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f0ac38bffc31d0dd3043d346a922aba2b73acf7)
![{\displaystyle =\left[{\overrightarrow {AM}}(t)\cdot {\overrightarrow {CM}}(t)\right]{\overrightarrow {\Omega }}(t)-\left[{\overrightarrow {AM}}(t)\cdot {\overrightarrow {\Omega }}(t)\right]{\overrightarrow {CM}}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27a2150535f974e3de832e6dfa84b871d9802a32)
![{\displaystyle \;{\vec {u}}_{\Delta }{\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d67f47c04eaaf196080956e6ec8a3ef69971ae7a)
![{\displaystyle {\dfrac {1}{\sqrt {1-\left[{\dfrac {R\;{\Big \Vert }{\overrightarrow {\Omega }}(t){\Big \Vert }}{c}}\right]^{\!2}}}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/923ecea298e89c6e1ee1dbbd53bf7183ea6ab659)
![{\displaystyle \;\gamma _{M}(t)={\dfrac {1}{\sqrt {1-\left[{\dfrac {R\;{\Big \Vert }{\overrightarrow {\Omega }}(t){\Big \Vert }}{c}}\right]^{\!2}}}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b476e4cfa322921c762ca888a8125fe30d3723c1)
![{\displaystyle \;\gamma _{M}(t)\;{\vec {V}}_{M}(t)={\dfrac {{\vec {V}}_{M}(t)}{\sqrt {1-\left[{\dfrac {\Vert {\vec {V}}_{M}(t)\Vert }{c}}\right]^{\!2}}}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3f6482411969628cac36c54f7da4911b04447f7)
![{\displaystyle \;{\begin{array}{c}{\vec {p}}_{M}(t)&=&m&\times &\gamma _{M}(t)\;{\vec {V}}_{M}(t)\\&&{\text{ou}}&&\\{\vec {p}}_{M}(t)&=&m&\times &{\dfrac {{\vec {V}}_{M}(t)}{\sqrt {1-\left[{\dfrac {\Vert {\vec {V}}_{M}(t)\Vert }{c}}\right]^{\!2}}}}\\{\text{grandeur cinétique}}&=&{\text{grandeur d'inertie}}&\times &{\text{grandeur cinématique}}\end{array}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/414be4c99e1df45a3eee0b4e0cc4230b32dc91bf)
![{\displaystyle {\dfrac {{\overrightarrow {\Omega }}(t)}{\sqrt {1-\left[{\dfrac {R\;{\Big \Vert }{\overrightarrow {\Omega }}(t){\Big \Vert }}{c}}\right]^{\!2}}}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7423b1222df7beabc61490cb2c54b95ef2648062)
![{\displaystyle \;{\begin{array}{c}{\overrightarrow {\sigma }}_{C,\,{\text{relativ}}}(M,\,t)&=&J_{\Delta }(M)&\times &\gamma _{M}(t)\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\\&&{\text{ou}}&&\\{\overrightarrow {\sigma }}_{C,\,{\text{relativ}}}(M,\,t)&=&J_{\Delta }(M)&\times &{\dfrac {{\overrightarrow {\Omega }}(t)}{\sqrt {1-\left[{\dfrac {R\;{\Big \Vert }{\overrightarrow {\Omega }}(t){\Big \Vert }}{c}}\right]^{\!2}}}}\\{\text{grandeur cinétique}}&=&{\text{grandeur d'inertie}}&\times &{\text{grandeur cinématique}}\end{array}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c92afaa25e5fdd43430aef38521e9349e80bccf)
![{\displaystyle \;m_{\text{app}}=\gamma _{M}(t)\;m={\dfrac {m}{\sqrt {1-\left[{\dfrac {\Vert {\vec {V}}_{M}(t)\Vert }{c}}\right]^{\!2}}}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b199eba9056e3409335050926c8cc52f1836661)
![{\displaystyle \;J_{\Delta ,\,{\text{app}}}(M)=\gamma _{M}(t)\;J_{\Delta }(M)={\dfrac {J_{\Delta }(M)}{\sqrt {1-\left[{\dfrac {R\;{\Big \Vert }{\overrightarrow {\Omega }}(t){\Big \Vert }}{c}}\right]^{\!2}}}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37f9a0d13c9928c37d49b6ceb0b38e297e36bc74)
![{\displaystyle \;J_{\Delta ,\,{\text{app}}}(M)=m_{\text{app}}\;R^{2}{\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d064dd5bc1e23192d42ba1533eb82e859f41c574)
![{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\!\left[{\vec {C}}(M)\right]={\overrightarrow {PM}}\wedge {\vec {C}}(M)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4e9ddbbd034b80977a27903f4805c0e47b54230)
![{\displaystyle {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\!\left[{\vec {C}}(M)\right]\cdot {\overrightarrow {PQ}}\;{\overset {\text{?}}{=}}\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{Q}\!\left[{\vec {C}}(M)\right]\cdot {\overrightarrow {PQ}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd63596c19c7754e6d28edbeb28acc40059301b6)
![{\displaystyle \;\left[{\overrightarrow {PM}}\wedge {\vec {C}}(M)\right]\cdot {\overrightarrow {PQ}}\;{\overset {\text{?}}{=}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bf97a8c5d297adf00b59279a0f2ecf320af1101)
![{\displaystyle \left[{\overrightarrow {QM}}\wedge {\vec {C}}(M)\right]\cdot {\overrightarrow {PQ}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fb30b5e4ad1721c464ddc3313fc3778bff446c4)
![{\displaystyle \;\left\lbrace \left[{\overrightarrow {PQ}}+{\overrightarrow {QM}}\right]\wedge {\vec {C}}(M)\right\rbrace \cdot {\overrightarrow {PQ}}\;{\overset {\text{?}}{=}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9d74102fe23a0d9cc8ad2fb6fcdb5f650cefd5e)
![{\displaystyle \;{\cancel {\left[{\overrightarrow {PQ}}\wedge {\vec {C}}(M)\right]\cdot {\overrightarrow {PQ}}\;+}}\;\left[{\overrightarrow {QM}}\wedge {\vec {C}}(M)\right]\cdot {\overrightarrow {PQ}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ea4a2987bb9d18acb3a3cd9604be66bb849a6d2)
![{\displaystyle {\overset {\cancel {\text{?}}}{=}}\;\left[{\overrightarrow {QM}}\wedge {\vec {C}}(M)\right]\cdot {\overrightarrow {PQ}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2d16179b2478691c749c257b883b1064b8c0c75)
![{\displaystyle \;\forall \;\left(P\,,\,Q\right)\in {\mathcal {E}}^{2},\quad {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\!\left[{\vec {C}}(M)\right]\cdot {\overrightarrow {PQ}}={\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{Q}\!\left[{\vec {C}}(M)\right]\cdot {\overrightarrow {PQ}}\qquad \forall \;{\vec {C}}(M)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8f1fdc1928b7d26fcfa497af9b8d38c223863c3)
![{\displaystyle \;\sigma _{\Delta }(M,\,t)=\left[{\overrightarrow {AM}}(t)\wedge {\vec {p}}_{M}(t)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;\;\forall \;A\in \Delta \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35f2f79da1abb5749608291d8edb48e551f91750)
![{\displaystyle \;\sigma _{\Delta ,\,{\text{relativ}}}(M,\,t)={\overrightarrow {\sigma }}_{C,\,{\text{relativ}}}(M,\,t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }=\left[\gamma _{M}(t)\;{\overrightarrow {\sigma }}_{C,\,{\text{newton}}}(M,\,t)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }=\gamma _{M}(t)\left[{\overrightarrow {\sigma }}_{C,\,{\text{newton}}}(M,\,t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2895a21bcbbb600aacfefe0f6d15dc078d1f1bb)
![{\displaystyle \;\gamma _{M}(t)={\dfrac {1}{\sqrt {1-\left[{\dfrac {R\;{\overline {\Omega }}(t)}{c}}\right]^{\!2}}}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/748a3d6853f6644da1d278e628b381be3225fb5d)
![{\displaystyle {\dfrac {{\overline {\Omega }}(t)}{\sqrt {1-\left[{\dfrac {R\;{\overline {\Omega }}(t)}{c}}\right]^{\!2}}}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c14a923ab5f3a37a6844ef1a191a5fd6d147031c)
![{\displaystyle \;{\begin{array}{c}\sigma _{\Delta ,\,{\text{relativ}}}(M,\,t)&=&J_{\Delta }(M)&\times &\gamma _{M}(t)\;{\overline {\Omega }}(t)\\&&{\text{ou}}&&\\\sigma _{\Delta ,\,{\text{relativ}}}(M,\,t)&=&J_{\Delta }(M)&\times &{\dfrac {{\overline {\Omega }}(t)}{\sqrt {1-\left[{\dfrac {R\;{\overline {\Omega }}(t)}{c}}\right]^{\!2}}}}\\{\text{grandeur cinétique}}&=&{\text{grandeur d'inertie}}&\times &{\text{grandeur cinématique}}\end{array}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34b30a1b12b14160e21d898f2304c08089831105)
![{\displaystyle \;J_{\Delta ,\,{\text{app}}}(M)=\gamma _{M}(t)\;J_{\Delta }(M)={\dfrac {J_{\Delta }(M)}{\sqrt {1-\left[{\dfrac {R\;{\overline {\Omega }}(t)}{c}}\right]^{\!2}}}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1699ffe54ded7ff7a5d63a08866a607b4dd733c0)
![{\displaystyle {\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6409e9848c1422eef16462fbeae301d8fa0f831)
![{\displaystyle {\big ]}{\big \}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7eb4c3d7025b909a7ea0c2918eb8a91f6954ae68)
![{\displaystyle \;{\overrightarrow {AM}}\wedge {\vec {C}}(M){\Big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b148ef1b8bc7b86cb89c3bdbfa27db3d416b4c48)
![{\displaystyle \;1886{\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e51e0d0a20f4454591deaeae4338684f8138c52)
![{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\!\left[{\vec {C}}(M)\right]{\Big \}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2862eaf200b620c58d37f8b2d981d2b089609283)
![{\displaystyle \;\forall \;\left(O\,,\,O'\right)\in {\mathcal {E}}^{2},\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O'}\!\left[{\vec {C}}(M)\right]=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a83c300c6ffb460ed510e4c1c0f572b47f543c3)
![{\displaystyle {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O}\!\left[{\vec {C}}(M)\right]+{\vec {C}}(M)\wedge {\overrightarrow {OO'}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36cdeb969ab259eee17a94158d7c393a642f4da3)
![{\displaystyle {\Big ]}\;\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4579121a0ea8593b916801a4ae8b0537ceea820c)
![{\displaystyle -\left[m\;R\;{\overline {AC}}\right]{\overline {\Omega }}\;{\vec {u}}_{r}(M,\,t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24f161cbacc1215b2eb1d3c55c629df8ab7ab252)
![{\displaystyle \;{\vec {u}}_{r}(M,\,t){\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69a62d47dc82590452cde92f7a98d0da0577ad38)
![{\displaystyle \;\left[m\;R\;AC\right]=kg\cdot m^{2}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0921c648ab2538fdd1e812429fcd094455f7bf9d)
![{\displaystyle \;\left[\Omega \right]=s^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7400a5cba662ee09cb1c41d465719882380479e)
![{\displaystyle \;\left[{\overrightarrow {AA'}}\wedge {\vec {p}}_{M}(t)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }=0\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6c76acf1982f48500e400de33cc781595898f19)
