Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Formes différentielles et différentielles de fonctions

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Forme différentielle des variables indépendantes « x, y et z »Modifier

Définition d'une forme différentielle des variables indépendantes « x, y et z »Modifier

     On appelle « forme différentielle des variables indépendantes  [1] », toute expression formée à partir des trois fonctions scalaires de classe  [2]   des trois variables indépendantes  [1] et des trois éléments différentiels   selon

 [3].

Exemple dans le cas où les variables indépendantes sont les coordonnées cartésiennes d'un point dans l'espace tridimensionnelModifier

     Si   sont les coordonnées cartésiennes du point générique   de l'espace à trois dimensions, la circulation élémentaire du champ vectoriel [4]   définie selon   est une forme différentielle car    , les trois fonctions scalaires de la forme différentielle   étant respectivement les trois composantes acrtésiennes du champ vectoriel   soit  .

Exemple dans le cas où les variables indépendantes sont les coordonnées cylindro-polaires (ou cylindriques) d'un point dans l'espace tridimensionnelModifier

     Si   sont les coordonnées cylindro-polaires  ou cylindriques  du point générique   de l'espace à trois dimensions [5], la circulation élémentaire du champ vectoriel [4]     définie selon   est une forme différentielle car    [6], les trois fonctions scalaires de la forme différentielle   étant liées aux trois composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du champ vectoriel   par  .

Exemple dans le cas où les variables indépendantes sont les coordonnées sphériques d'un point dans l'espace tridimensionnelModifier

     Si   sont les coordonnées sphériques du point générique   de l'espace à trois dimensions [7], la circulation élémentaire du champ vectoriel [4]     définie selon     est une forme différentielle car    [8], les trois fonctions scalaires de la forme différentielle   étant liées aux trois composantes sphériques du champ vectoriel   par  .

Exemple dans le cas où les variables indépendantes ne sont pas des coordonnées d'un point de l'espaceModifier

     Nous aurons de nombreux exemples dans le domaine de la thermodynamique ou de la statique des fluides, les variables indépendantes pouvant être

  • définies en chaque point   de l'espace comme la température absolue  , la pression  , la concentration volumique molaire   ou la masse volumique   ou
  • définies pour l'ensemble du système   étudié comme le volume  , la quantité de matière   ou la masse   ou encore
  • un ensemble des deux judicieusement défini  

Distinction entre forme différentielle et différentielle de fonction scalaire des variables indépendantes « x, y et z »Modifier

Dans ce paragraphe,   désigne n'importe quel type de variables indépendantes [1].

Rappel sur la notion de différentielle d'une fonction scalaire de deux variables indépendantes et généralisation à plus de deux variables indépendantesModifier

     Revoir la notion de « différentielle d'une fonction de deux variables indépendantes » ainsi que la « définition correspondante » introduites au chap.  de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » soit

pour la fonction scalaire des deux variables indépendantes  ,
la différentielle   définie au point   selon  
dans laquelle   et   sont les dérivées partielles de   au point en question [9], [10] ;

     la généralisation à une fonction scalaire de plus de deux variables indépendantes est explicitée ci-dessous dans le cas de trois variables indépendantes soit

pour la fonction scalaire des trois variables indépendantes  ,
la différentielle   définie en   selon  
dans laquelle  ,   et   sont les dérivées partielles de   au point en question [9], [10].

Distinction entre une « forme différentielle » et une « différentielle de fonction scalaire » (exposée dans le cas de deux variables indépendantes)Modifier

     La différentielle   de la fonction scalaire   des deux variables indépendantes   étant un cas particulier de forme différentielle   dans laquelle les deux fonctions   a priori indépendantes l'une de l'autre sont liées entre elles comme dérivées partielles de la fonction  , nous pouvons qualifier de « forme différentielle » la différentielle d'une fonction scalaire tant que nous n'avons pas vérifié qu'il s'agit bien d'une différentielle de fonction scalaire  

     Si on intègre une forme différentielle quelconque [11] des deux variables indépendantes   à partir d'un point   jusqu'à un point   en suivant une courbe   et

  • si on obtient un résultat dépendant de la courbe   suivie pour un même couple de points extrêmes  , la forme différentielle n'est pas une différentielle de fonction scalaire [12] mais
  • si le résultat est indépendant de la courbe   suivie pour un même couple de points extrêmes  , la forme différentielle est en fait une différentielle de fonction scalaire  une forme différentielle qui est une différentielle de fonction scalaire est encore appelée « différentielle exacte » [13] .

Retour sur les exemples où les trois variables indépendantes sont les coordonnées cartésiennes, cylindro-polaires ou sphériques d'un point de l'espace tridimensionnelModifier

Correspondance entre « forme différentielle des coordonnées de l'espace » et « circulation élémentaire d'un champ vectoriel de cet espace »Modifier

     Dans le cas où les trois variables indépendantes sont des coordonnées cartésiennes, cylindro-polaires ou sphériques d'un point   de l'espace tridimensionnel, toute forme différentielle  [11] est aussi la circulation élémentaire d'un champ vectoriel   de l'espace  [4] et réciproquement selon la correspondance suivante :

  • en repérage cartésien   toute forme différentielle  [11] est aussi la circulation élémentaire [4] du champ vectoriel  ,
  • en repérage cylindro-polaire  [5] toute forme différentielle  [11] est aussi la circulation élémentaire [4] du champ vectoriel   et
  • en repérage sphérique  [7] toute forme différentielle  [11] est aussi la circulation élémentaire [4] du champ vectoriel  .

Notion de « champ vectoriel à circulation conservative » et correspondance entre la « circulation élémentaire d'un tel champ » et la « différentielle de fonction scalaire des coordonnées de l'espace »Modifier

Notion de « champ vectoriel à circulation conservative »Modifier

     Un champ vectoriel   de l'espace est dit « à circulation conservative » ssi sa circulation le long de la courbe   de   à  [14] définie par      [15] est indépendante de la courbe   suivie.

Correspondance entre « différentielle de fonction scalaire des coordonnées de l'espace » et « circulation élémentaire d'un champ vectoriel à circulation conservative »Modifier

     Compte-tenu des propriétés et définition fournies précédemment, à savoir :

  • toute forme différentielle  [11] dont l'intégrale à partir d'un point   jusqu'à un point   en suivant une courbe   est indépendante de la courbe suivie est une différentielle de fonction scalaire,
  • toute forme différentielle  [11] des coordonnées de l'espace est aussi la circulation élémentaire d'un champ vectoriel de l'espace et
  • tout champ vectoriel de l'espace dont la circulation le long de la courbe   de   à  [14] est indépendante de la courbe suivie est dit « à circulation conservative »,

     on en déduit que toute « différentielle de fonction scalaire des coordonnées de l'espace » est la « circulation élémentaire d'un champ vectoriel [4] à circulation conservative » et réciproquement.

Définition équivalente d'un « champ vectoriel à circulation conservative »Modifier

     Compte-tenu de la correspondance entre une « différentielle de fonction scalaire des coordonnées de l'espace » et la « circulation élémentaire d'un champ vectoriel [4] à circulation conservative », nous en déduisons qu'il est équivalent de définir un champ vectoriel à circulation conservative selon :

     Un champ vectoriel de l'espace est dit « à circulation conservative » ssi sa circulation élémentaire [4] est une différentielle de fonction scalaire  c.-à-d. une différentielle exacte [13] .

Conditions nécessaires (mais non suffisantes) pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire (conditions d'« égalités des dérivées croisées »)Modifier

Recherche de conditions nécessaires pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaireModifier

     Soit   une forme différentielle qui est la différentielle d'une fonction scalaire   c.-à-d. telle que   avec    , cette identification devant être vérifiée pour tout triplet  , on en déduit donc   ;

     admettant que lors d'une dérivation partielle du 2nd ordre on peut permuter l'ordre des dérivations sans changer le résultat  théorème de Schwarz [16]  on en déduit les C.N. [17] suivantes :

  • de   on déduit  ,
  • de   on déduit   et
  • de   on déduit  .

     Ces trois C.N. [17] pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire  c.-à-d. une différentielle exacte [13]  sont connues sous le nom de « conditions d'égalités des dérivées croisées » [18].

Intégration d'une différentielle de fonction scalaire sur une courbe continue ferméeModifier

     Préliminaire : Bien que les variables indépendantes au nombre de   ou   ne soient pas nécessairement des coordonnées de points de l'espace physique, nous pouvons construire un espace virtuel à   ou   dimensions tel qu'un point quelconque de cet espace virtuel ait pour coordonnées les variables indépendantes utilisées  par exemple, en thermodynamique ou statique des fluides, si les variables indépendantes sont la pression   et la température absolue  , l'espace virtuel à   dimensions serait généré par l'ensemble des couples   possibles  ;

     Préliminaire : on peut alors définir une courbe continue dans cet espace virtuel à   ou   dimensions par   ou   équations paramétriques ou par   ou   équation(s) implicite(s), et par conséquent définir aussi une courbe continue fermée dans cet espace virtuel.

     Soit la différentielle   de la fonction scalaire   des deux variables indépendantes  [19] et une courbe continue fermée   de l'espace engendré par tous les couples   possibles, l'intégrale curviligne  [15] étant égale à   est nulle quelle que soit la courbe  .

     Conclusion : L'intégrale d'une différentielle exacte sur une courbe continue fermée est nécessairement nulle soit  [15].

Exemple de forme différentielle vérifiant les conditions d'« égalités des dérivées croisées » mais n'étant pas une différentielle de fonction scalaireModifier

     Soit la forme différentielle   des deux variables indépendantes   définie sur  , cette forme vérifie la condition d'égalité des dérivées croisées   mais ce n'est pas la différentielle d'une fonction scalaire car son intégrale sur un cercle   de centre   ne donne pas   comme il serait nécessaire de trouver pour l'intégrale d'une différentielle de fonction scalaire sur une courbe continue fermée en effet

      [15] se simplifie en repérant le point générique   du cercle   par ses coordonnées polaires de pôle   soit    est le rayon du cercle, dont on tire   permettant de réécrire la forme différentielle en restant sur   selon   et par suite    [15] et donc  .

     Conclusion : Les conditions d'égalité des dérivées croisées vérifiées par une forme différentielle  alors qualifiée de « fermée »  ne sont pas suffisantes pour que cette forme soit une différentielle exacte [13].

Conditions suffisantes pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaireModifier

     Préliminaire : Une partie   ouverte ou non de   est dite « étoilée » lorsque   contient au moins un point   tel que pour tout point   de   le segment   soit inclus dans  , on dit alors que   est « étoilée par rapport à  »   est « convexe » ssi   est étoilée par rapport à chacun de ses points .

     Nous admettrons le théorème de Poincaré [20] relatif aux formes différentielles fermées [18] sur un ouvert étoilé de   :

Début d’un théorème
Fin du théorème

     Dans le cas où le théorème de Poincaré [20] s'applique à une forme différentielle, la fonction dont cette forme est la différentielle est appelée « primitive de la forme différentielle sur l'ouvert étoilé de son domaine dé définition ».

     Remarques : La forme différentielle   des deux variables indépendantes   définie sur   est effectivement fermée [18] mais la partie   du domaine de définition qu'il est nécessaire de choisir pour définir le cercle   de centre   et de rayon   le long duquel on intègre la forme différentielle, à savoir   identique au disque privé du centre, n'est pas étoilée  en effet   et   étant deux points diamétralement opposés sur le cercle, le segment   n'est pas inclus dans   car il passe par le centre  , on en déduit donc bien que cette forme différentielle n'est pas exacte sur la partie   identique au disque privé du centre.

     Remarques : Toutefois, en physique, les formes différentielles qui y sont introduites et pour lesquelles on vérifie l'égalité des dérivées croisées  donc des formes différentielles fermées [18]  sont pratiquement toujours définies sur une partie étoilée et par conséquent sont des différentielles de fonction scalaire  c.-à-d. des différentielles exactes [13] .

Exemples de forme différentielle, déterminations (ou non) de sa fermeture puis des primitives de cette forme différentielle dans le cas où cette dernière est exacteModifier

1er exemple : forme différentielle des trois variables indépendantes « x, y, z » non ferméeModifier

     La forme différentielle   est-elle fermée [18] sur    c.-à-d. cette forme vérifie-t-elle les conditions d'égalité des dérivées croisées  ?

     Pour répondre à cette question on compare, en les croisant, les dérivées partielles des fonctions « cœfficient des éléments différentiels » soit, pour les fonctions   respectivement cœfficient de  ,

  •   soit une 1ère condition vérifiée,
  •   soit une 2ème condition vérifiée et
  •   soit une 3ème condition non vérifiée ;

     conclusion : la forme différentielle   n'étant pas fermée [18], elle n'est pas donc pas exacte  c.-à-d. qu'elle n'est pas une différentielle de fonction  et

     conclusion : toute tentative de recherche de primitive de cette forme différentielle selon la méthode exposée dans le paragraphe suivant conduirait à un blocage de l'application de cette méthode  il est donc préférable de vérifier la fermeture de la forme différentielle [21] avant de tenter de rechercher une primitive  inexistante  de celle-ci .

2ème exemple : forme différentielle des trois variables indépendantes « x, y, z » fermée et recherche des primitives de cette forme sans vérifier au préalable son exactitudeModifier

     La forme différentielle   est-elle fermée [18] sur    c.-à-d. cette forme vérifie-t-elle les conditions d'égalité des dérivées croisées  ?

     Pour répondre à cette question on compare, en les croisant, les dérivées partielles des fonctions « cœfficient des éléments différentiels » soit, pour les fonctions   respectivement cœfficient de  ,

  •   soit une 1ère condition vérifiée,
  •   soit une 2ème condition vérifiée et
  •   soit une 3ème et dernière condition vérifiée ;

     conclusion : la forme différentielle   étant fermée [18], elle est vraisemblablement exacte [22]  ce qui signifie que c'est vraisemblablement une différentielle de fonction [22] , on peut donc se lancer dans la recherche des primitives de la forme différentielle.

     Recherche de primitives de cette forme différentielle : identifiant la forme différentielle avec la différentielle de la fonction cherchée  , on est donc amené à trouver une fonction   connaissant les trois dérivées partielles soit   ; pour cela il est conseillé de procéder exclusivement de la façon décrite ci-dessous  même si, dans certains cas, une méthode plus simple est possible, celle exposée ci-après assure l'obtention du résultat cherché  :

  • à partir de  , on intègre par rapport à  ,  en laissant   et   figés le temps de l'intégration , soit
     
      est une fonction arbitraire des deux variables indépendantes   et  , laquelle est effectivement une constante pendant le temps de l'intégration relativement à   puis,
  • on dérive l'expression précédente relativement à  ,  en laissant   et   figés le temps de la dérivation , dans le but d'introduire la fonction   restant à déterminer dans la 2ème équation   soit   d'où la réécriture de la 2ème équation   ou
     
    que l'on intègre par rapport à  ,  en laissant   figé le temps de l'intégration , soit    est une fonction arbitraire de la variable  , laquelle est effectivement une constante pendant le temps de l'intégration relativement à  , dont on déduit
     
    avec   fonction arbitraire de la variable  , enfin,
  • on dérive l'expression précédente relativement à  ,  en laissant   et   figés le temps de la dérivation , dans le but d'introduire la fonction   restant à déterminer dans la 3ème équation     soit   d'où la réécriture de la 3ème équation   ou
     [23]
    que l'on intègre par rapport à  , soit   et dont on déduit les primitives cherchées de cette forme différentielle
     .

Retour sur le 1er exemple : forme différentielle des trois variables indépendantes « x, y, z » non fermée et constatation du blocage de la méthode de recherche de primitives de cette forme en accord avec leur inexistenceModifier

     Supposons que nous n'ayons pas cherché à savoir si la forme différentielle   est fermée [18] sur    c.-à-d. si cette forme vérifie les conditions d'égalité des dérivées croisées  et que, néanmoins, nous appliquions la méthode de recherche de primitives exposée dans le paragraphe précédent alors qu'il n'existe pas de primitives pour cette forme dans la mesure où, n'étant pas fermée [18], elle n'est pas exacte ; la méthode appliquée doit nécessairement conduire à une impasse, c'est celle-ci que l'on veut souligner ci-dessous :

     Si nous identifions la forme différentielle avec une différentielle de fonction  , on est donc amené à chercher une fonction   connaissant les trois dérivées partielles soit   ;

  • à partir de  , on intègre par rapport à  ,  en laissant   et   figés le temps de l'intégration , soit
     
      est une fonction arbitraire des deux variables indépendantes   et  , laquelle est effectivement une constante pendant le temps de l'intégration relativement à   puis,
  • on dérive l'expression précédente relativement à  ,  en laissant   et   figés le temps de la dérivation , dans le but d'introduire la fonction   restant à déterminer dans la 2ème équation     soit   d'où la réécriture de la 2ème équation   ou
     
    que l'on intègre par rapport à  ,  en laissant   figé le temps de l'intégration , soit    est une fonction arbitraire de la variable  , laquelle est effectivement une constante pendant le temps de l'intégration relativement à  , dont on déduit
     
    avec   fonction arbitraire de la variable  , enfin,
  • on dérive l'expression précédente relativement à  ,  en laissant   et   figés le temps de la dérivation , dans le but d'introduire la fonction   restant à déterminer dans la 3ème équation     soit   d'où la réécriture de la 3ème équation   ou
     
    ce qui n'admet aucune solution du fait que   ne doit dépendre que de   et aucunement de   ; nous sommes donc arrivé à l'impasse cherchée établissant qu'il n'existe aucune primitive de la forme différentielle  , la raison de cette affirmation étant que cette forme n'est pas fermée [18], [24] et par conséquent encore moins exacte.

Conditions nécessaires (mais non suffisantes) pour qu'un champ vectoriel de l'espace à deux ou trois dimensions soit à circulation conservative et détermination des potentiels scalaires dont dérive un tel champModifier

Rappel de la 2ème définition d'un champ vectoriel à circulation conservative (relatif à sa circulation élémentaire) et conséquencesModifier

     Un champ vectoriel de l'espace à deux ou trois dimensions étant « à circulation conservative » ssi sa circulation élémentaire [4] est une différentielle de fonction scalaire  ou une différentielle exacte [13]  soit

  à circulation conservative ssi   est une différentielle exacte [13],

     nous en déduisons que la recherche de l'« éventuel caractère d'un champ vectoriel   de l'espace à deux ou trois dimensions d'être à circulation conservative » est équivalente à celle de l'« éventuel caractère de la circulation élémentaire [4] de ce champ vectoriel   d'être une différentielle exacte [13] » et par suite, il suffira de travailler sur cette dernière pour en tirer toutes les conséquences sur le champ vectoriel dont elle est la circulation élémentaire [4].

Conditions nécessaires (mais non suffisantes) pour qu'un champ vectoriel de l'espace à deux ou trois dimensions soit à circulation conservativeModifier

     D'après le paragraphe précédent nous pouvons donc affirmer que les C.N. [17] (mais non suffisantes) pour qu'un champ vectoriel   de l'espace à deux ou trois dimensions soit « à circulation conservative » sont celles pour lesquelles la circulation élémentaire [4] du champ vectoriel   est une « différentielle exacte [13] » ; ainsi, suivant la nature du repérage des points de l'espace  que nous supposons à trois dimensions  nous obtenons :

  • en repérage cartésien       d'où les C.N. [17]  mais non suffisantes  pour que   soit « à circulation conservative » sont  ,
  • en repérage cylindro-polaire [5]   soit, avec  [6], on en déduit     d'où les C.N. [17]  mais non suffisantes  pour que   soit « à circulation conservative » sont   ou   obtenu en explicitant les dérivées partielles de produits de facteurs intervenant [25] et
  • en repérage sphérique [7]   soit, avec  [8], on en déduit     d'où les C.N. [17]  mais non suffisantes  pour que   soit « à circulation conservative » sont     ou, en explicitant les dérivées partielles de produits de facteurs intervenant [25]  .

Circulation d'un champ vectoriel de l'espace à deux ou trois dimensions à circulation conservative sur une courbe continue ferméeModifier

     Soit le champ vectoriel à circulation conservative   de l'espace physique à deux ou trois dimensions et une courbe continue fermée   de cet espace, l'intégrale curviligne  [14] étant égale à   est nulle quelle que soit la courbe  .

     Conclusion : La circulation d'un champ vectoriel [14] à circulation conservative d'un espace à deux ou trois dimensions sur une courbe continue fermée de cet espace est nécessairement nulle soit  [15].

Exemple de champ vectoriel vérifiant les C.N. pour être « à circulation conservative » mais pour lequel les conditions ne sont pas suffisantesModifier

     Soit le champ vectoriel de l'espace physique à deux dimensions   défini sur  , la circulation élémentaire de ce champ [4] vérifie la C.N. [17] pour que ce champ soit à circulation conservative à savoir que cette circulation élémentaire [4] soit une différentielle exacte [13]  C.N. [17] d'égalité des dérivées croisées      mais ce n'est pas un champ à circulation conservative car sa circulation sur un cercle   de centre   ne donne pas   comme il serait nécessaire de trouver pour la circulation d'un champ vectoriel à circulation conservative sur une courbe continue fermée en effet

      [15] se simplifie en repérant le point générique   du cercle   par ses coordonnées polaires de pôle   soit    est le rayon du cercle, dont on tire   permettant de réécrire la circulation élémentaire du champ [4] en restant sur   selon     d'où      [15] et donc  .

     Conclusion : Les C.N. [17] pour qu'un champ vectoriel soit à circulation conservative à savoir que la circulation élémentaire [4] de ce champ soit une différentielle exacte [13]  C.N. [17] d'égalité des dérivées croisées  ne sont, a priori, pas suffisantes.

Conditions suffisantes pour qu'un champ vectoriel de l'espace à deux ou trois dimensions soit « à circulation conservative »Modifier


Début d’un théorème
Fin du théorème

     Dans le cas où le théorème de Poincaré [20] (réécrit en terme de champ vectoriel) s'applique à un champ vectoriel, l'opposé de la fonction [26] dont la circulation élémentaire est la différentielle est appelée « potentiel scalaire dont dérive le champ vectoriel sur l'ouvert étoilé de son domaine dé définition ».

     Remarques : La circulation élémentaire du champ vectoriel   défini sur   est effectivement fermée [18] mais la partie   du domaine de définition qu'il est nécessaire de choisir pour définir le cercle   de centre   et de rayon   le long duquel on cherche la circulation, à savoir   identique au disque privé du centre, n'est pas étoilée  en effet   et   étant deux points diamétralement opposés sur le cercle, le segment   n'est pas inclus dans   car il passe par le centre  , on en déduit donc bien que cette circulation élémentaire n'est pas exacte sur la partie   identique au disque privé du centre et par suite que le champ vectoriel n'est pas à circulation conservative.

     Remarques : Toutefois, en physique, les champs vectoriels qui y interviennent avec la vérification de l'égalité des dérivées croisées sur la circulation élémentaire [4]  la circulation élémentaire [4] est une forme différentielle fermée  sont usuellement définis sur une partie étoilée [27] et par conséquent sont des champs vectoriels à circulation conservative  c.-à-d. tels que leur circulation élémentaire [4] est une différentielle exacte [13] .

Détermination des potentiels scalaires dont dérive un champ vectoriel à circulation conservative d'un espace à deux ou trois dimensionsModifier