Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Formes différentielles et différentielles de fonctions

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Forme différentielle des variables indépendantes « x, y et z »

Définition d'une forme différentielle des variables indépendantes « x, y et z »

     On appelle « forme différentielle des variables indépendantes$\;\left(x\,,\,y\,,\,z\right)\;$ », toute expression formée à partir des trois fonctions scalaires de classe $\;C^{1}\;$
        On appelle « forme différentielle des variables indépendantes$\;\color {transparent}{\left(x\,,\,y\,,\,z\right)}\;$ », toute expression formée à partir de$\;\left\lbrace A(x,\,y,\,z)\,,\;B(x,\,y,\,z)\,,\;C(x,\,y,\,z)\right\rbrace \;$
        On appelle « forme différentielle des variables indépendantes$\;\color {transparent}{\left(x\,,\,y\,,\,z\right)}\;$ », toute expression formée à partir des trois variables indépendantes $\;\left(x\,,\,y\,,\,z\right)\;$ et
        On appelle « forme différentielle des variables indépendantes$\;\color {transparent}{\left(x\,,\,y\,,\,z\right)}\;$ », toute expression formée à partir des trois éléments différentiels $\;\left(dx\,,\,dy\,,\,dz\right)\;$ selon
        On appelle « forme différentielle des variables indépendantes$\;\color {transparent}{\left(x\,,\,y\,,\,z\right)}\;$ », «$\;A(x,\,y,\,z)\;dx+B(x,\,y,\,z)\;dy+C(x,\,y,\,z)\;dz\;$».

Exemple dans le cas où les variables indépendantes sont les coordonnées cartésiennes d'un point dans l'espace tridimensionnel

     Si $\;\left(x\,,\,y\,,\,z\right)\;$ sont les coordonnées cartésiennes du point générique $\;M\;$ de l'espace à trois dimensions,
     Si $\;\color {transparent}{\left(x\,,\,y\,,\,z\right)}\;$ sont les coordonnées cartésiennes la circulation élémentaire du champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)=A_{x}(M)\;{\vec {u}}_{x}+A_{y}(M)\;{\vec {u}}_{y}+A_{z}(M)\;{\vec {u}}_{z}\;$
     Si $\;\color {transparent}{\left(x\,,\,y\,,\,z\right)}\;$ sont les coordonnées cartésiennes la circulation élémentaire définie selon $\;\delta {\mathcal {C}}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)={\vec {A}}(M)\cdot {\overrightarrow {dM}}\;$est une forme différentielle car
     Si $\;\color {transparent}{\left(x\,,\,y\,,\,z\right)}\;$ sont les coordonnées cartésiennes la circulation élémentaire définie selon $\;\delta {\mathcal {C}}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)={\vec {A}}(M)\cdot {\overrightarrow {dM}}=A_{x}(M)\;dx+A_{y}(M)\;dy+A_{z}(M)\;dz$,
      Si $\;\color {transparent}{\left(x\,,\,y\,,\,z\right)}\;$ sont les coordonnées cartésiennes la circulation élémentaire définie selon les trois fonctions scalaires de la forme différentielle $\;\delta {\mathcal {C}}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)\;$ étant respectivement
      Si $\;\color {transparent}{\left(x\,,\,y\,,\,z\right)}\;$ sont les coordonnées cartésiennes la circulation élémentaire définie selon les trois composantes cartésiennes du champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\;$ soit $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}A(x,\,y,\,z)=A_{x}(M)\\B(x,\,y,\,z)=A_{y}(M)\\C(x,\,y,\,z)=A_{z}(M)\end{array}}\right\rbrace$.

Exemple dans le cas où les variables indépendantes sont les coordonnées cylindro-polaires (ou cylindriques) d'un point dans l'espace tridimensionnel

     Si $\;\left(\rho \,,\,\theta \,,\,z\right)\;$ sont les coordonnées cylindro-polaires $\;{\big (}$ou cylindriques${\big )}\;$ du point générique $\;M\;$ de l'espace à trois dimensions,
     Si $\;\color {transparent}{\left(\rho \,,\,\theta \,,\,z\right)}\;$ sont les coordonnées cylindro-polaires la circulation élémentaire du champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)=A_{\rho }(M)\;{\vec {u}}_{\rho }(M)+A_{\theta }(M)\;{\vec {u}}_{\theta }(M)+A_{z}(M)\;{\vec {u}}_{z}\;$
     Si $\;\color {transparent}{\left(\rho \,,\,\theta \,,\,z\right)}\;$ sont les coordonnées cylindro-polaires la circulation élémentaire définie selon $\;\delta {\mathcal {C}}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)={\vec {A}}(M)\cdot {\overrightarrow {dM}}\;$est une forme différentielle car
     Si $\;\color {transparent}{\left(\rho \,,\,\theta \,,\,z\right)}\;$ sont les coordonnées cylindro-polaires la circulation élémentaire définie selon $\;\delta {\mathcal {C}}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)={\vec {A}}(M)\cdot {\overrightarrow {dM}}=A_{\rho }(M)\;d\rho +A_{\theta }(M)\;\rho \,d\theta +A_{z}(M)\;dz\;$,
      Si $\;\color {transparent}{\left(\rho \,,\,\theta \,,\,z\right)}\;$ sont les coordonnées cylindro-polaires la circulation élémentaire définie selon les trois fonctions scalaires de la forme différentielle $\;\delta {\mathcal {C}}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)\;$ étant liées aux
      Si $\;\color {transparent}{\left(\rho \,,\,\theta \,,\,z\right)}\;$ sont les coordonnées cylindro-polaires la circulation élémentaire définie selon les trois composantes cylindro-polaires $\;{\big (}$ou cylindriques${\big )}\;$ du champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\;$ par
      Si $\;\color {transparent}{\left(\rho \,,\,\theta \,,\,z\right)}\;$ sont les coordonnées cylindro-polaires la circulation élémentaire définie selon les trois fonctions scalaires de la forme différentielle $\;\color {transparent}{\delta {\mathcal {C}}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)}\;$ étant liées $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}A(\rho ,\,\theta ,\,z)=A_{\rho }(M)\\B(\rho ,\,\theta ,\,z)=\rho \;A_{\theta }(M)\\C(\rho ,\,\theta ,\,z)=A_{z}(M)\end{array}}\right\rbrace$.

Exemple dans le cas où les variables indépendantes sont les coordonnées sphériques d'un point dans l'espace tridimensionnel

     Si $\;\left(r\,,\,\theta \,,\,\varphi \right)\;$ sont les coordonnées sphériques du point générique $\;M\;$ de l'espace à trois dimensions,
     Si $\;\color {transparent}{\left(r\,,\,\theta \,,\,\varphi \right)}\;$ sont les coordonnées sphériques la circulation élémentaire du champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)=A_{r}(M)\;{\vec {u}}_{r}(M)+A_{\theta }(M)\;{\vec {u}}_{\theta }(M)+A_{\varphi }(M)\;{\vec {u}}_{\varphi }(M)\;$
     Si $\;\color {transparent}{\left(r\,,\,\theta \,,\,\varphi \right)}\;$ sont les coordonnées sphériques la circulation élémentaire définie selon $\;\delta {\mathcal {C}}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)={\vec {A}}(M)\cdot {\overrightarrow {dM}}\;$est une forme différentielle car
     Si $\;\color {transparent}{\left(r\,,\,\theta \,,\,\varphi \right)}\;$ sont les coordonnées sphériques la circulation élémentaire définie selon $\;\delta {\mathcal {C}}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)={\vec {A}}(M)\cdot {\overrightarrow {dM}}=A_{r}(M)\;dr+A_{\theta }(M)\;r\,d\theta +A_{\varphi }(M)\;r\,\sin(\theta )\,d\varphi \;$,
      Si $\;\color {transparent}{\left(r\,,\,\theta \,,\,\varphi \right)}\;$ sont les coordonnées sphériques la circulation élémentaire définie selon les trois fonctions scalaires de la forme différentielle $\;\delta {\mathcal {C}}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)\;$ étant liées aux
      Si $\;\color {transparent}{\left(r\,,\,\theta \,,\,\varphi \right)}\;$ sont les coordonnées sphériques la circulation élémentaire définie selon les trois composantes sphériques du champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\;$ par $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}A(r,\,\theta ,\,\varphi )=A_{r}(M)\\B(r,\,\theta ,\,\varphi )=r\;A_{\theta }(M)\\C(r,\,\theta ,\,\varphi )=r\;\sin(\theta )\;A_{\varphi }(M)\end{array}}\right\rbrace$.

Exemple dans le cas où les variables indépendantes ne sont pas des coordonnées d'un point de l'espace

     Nous aurons de nombreux exemples dans le domaine de la thermodynamique ou de la statique des fluides, les variables indépendantes pouvant être

• définies en chaque point $\;M\;$ de l'espace comme la température absolue $\;T_{M}$, la pression $\;p_{M}$, la concentration volumique molaire $\;c_{M}\;$ ou la masse volumique $\;\mu _{M}\;$ ou
• définies pour l'ensemble du système $\;(\Sigma )\;$ étudié comme le volume $\;V_{(\Sigma )}$, la quantité de matière $\;n_{(\Sigma )}\;$ ou la masse $\;m_{(\Sigma )}\;$ ou encore
• un ensemble des deux judicieusement défini $\ldots$

Distinction entre forme différentielle et différentielle de fonction scalaire des variables indépendantes « x, y et z »

Dans ce paragraphe, $\;\left(x\,,\,y\,,\,z\right)\;$ désigne n'importe quel type de variables indépendantes.

Rappel sur la notion de différentielle d'une fonction scalaire de deux variables indépendantes et généralisation à plus de deux variables indépendantes

     Revoir la « notion de différentielle d'une fonction de deux variables indépendantes » ainsi que
     Revoir la « définition correspondante » introduites au chap.$6$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » soit

pour la fonction scalaire des deux variables indépendantes $\;(x,\,y)\;{\overset {f}{\rightarrow }}\;f(x,\,y)\in \mathbb {R} ,\;\forall \;(x,\,y)\in \mathbb {R} ^{2}$,
la différentielle $\;df\;$ définie au point $\;(x_{0}\,,\,y_{0})\;$ selon $\;df=\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!\!y}\!(x_{0},\,y_{0})\,dx\,+\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!\!x}\!(x_{0},\,y_{0})\,dy\;$
dans laquelle $\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!\!y}\!(x_{0},\,y_{0})\;$ et $\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!\!x}\!(x_{0},\,y_{0})\;$ sont les dérivées partielles de $\;f\;$ au point en question ;

     Revoir la généralisation à une fonction scalaire de plus de deux variables indépendantes est explicitée ci-dessous dans le cas de trois variables indépendantes soit

pour la fonction scalaire des trois variables indépendantes $\;(x,\,y,\,z)\;{\overset {f}{\rightarrow }}\;f(x,\,y,\,z)\in \mathbb {R} ,\;\forall \;(x,\,y,\,z)\in \mathbb {R} ^{3}$,
la différentielle $\;df\;$ définie en $\;(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0})\;$ selon $\;df=\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!\!y,z}\!(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})\,dx\,+\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!\!x,z}\!(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})\,dy\,+\left({\dfrac {\partial f}{\partial z}}\right)_{\!\!x,y}\!(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})\,dz\;$
dans laquelle $\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!\!y,z}\!(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})$, $\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!\!x,z}\!(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})\;$ et $\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial z}}\right)_{\!\!x,y}\!(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})\;$ sont les dérivées partielles de $\;f\;$ au point en question.

Distinction entre une « forme différentielle » et une « différentielle de fonction scalaire » (exposée dans le cas de deux variables indépendantes)

     La différentielle$\;df\;$de la fonction scalaire$\;f\;$ des deux variables indépendantes $\;(x\,,\,y)\;$
     La différentielle$\;\color {transparent}{df}\;$de la fonction scalaire$\;\color {transparent}{f}\;$ étant un cas particulier de forme différentielle$\;\delta _{\text{forme diff}}(x,\,y)\;$ avec les deux fonctions $\;\left\lbrace A(x,\,y)\,,\,B(x,\,y)\right\rbrace$, a priori indépendantes l'une de l'autre,
           La différentielle$\;\color {transparent}{df}\;$de la fonction scalaire$\;\color {transparent}{f}\;$ étant un cas particulier de forme différentielle$\;\color {transparent}{\delta _{\text{forme diff}}(x,\,y)}\;$ avec les deux fonctions liées entre elles comme dérivées partielles de la fonction $\;f\;$,
          La différentielle$\;\color {transparent}{df}\;$de la fonction scalaire$\;\color {transparent}{f}\;$ étant un cas particulier de forme différentielle$\;\color {transparent}{\delta _{\text{forme diff}}(x,\,y)}\;$ nous qualifierons de « forme différentielle » la différentielle d'une fonction scalaire tant que
          La différentielle$\;\color {transparent}{df}\;$de la fonction scalaire$\;\color {transparent}{f}\;$ étant un cas particulier de forme différentielle$\;\color {transparent}{\delta _{\text{forme diff}}(x,\,y)}\;$ nous n'aurons pas vérifié qu'il s'agit bien d'une différentielle de fonction scalaire $\;\ldots$

     Si on intègre une forme différentielle quelconque des deux variables indépendantes $\;(x\,,\,y)\;$ à partir d'un point $\;M_{1}\;$ jusqu'à un point $\;M_{2}\;$ en suivant une courbe $\;(\Gamma )\;$ et
          Si on intègre une forme différentielle quelconque $\bullet \;$si on obtient un résultat dépendant de la courbe$\;(\Gamma )\;$ suivie pour un même couple de points extrêmes $\;\left(M_{1}\,,\,M_{2}\right)$,
          Si on intègre une forme différentielle quelconque $\color {transparent}{\bullet }\;$si on obtient un résultat dépendant de la courbe$\;\color {transparent}{(\Gamma )}\;$ la forme différentielle n'est pas une différentielle de fonction scalaire mais
          Si on intègre une forme différentielle quelconque $\bullet \;$si on obtient un résultat indépendant de la courbe$\;(\Gamma )\;$ suivie pour un même couple de points extrêmes $\;\left(M_{1}\,,\,M_{2}\right)$,
          Si on intègre une forme différentielle quelconque $\color {transparent}{\bullet }\;$si on obtient un résultat indépendant de la courbe$\;\color {transparent}{(\Gamma )}\;$ la forme différentielle est en fait une différentielle de fonction scalaire.

Retour sur les exemples où les trois variables indépendantes sont les coordonnées cartésiennes, cylindro-polaires ou sphériques d'un point de l'espace tridimensionnel

Correspondance entre « forme différentielle des coordonnées de l'espace » et « circulation élémentaire d'un champ vectoriel de cet espace »

     Dans le cas où les variables indépendantes sont des coordonnées cartésiennes, cylindro-polaires ou sphériques d'un point $\;M\;$ de l'espace tridimensionnel,
     Dans le cas où les variables indépendantes sont des coordonnées toute forme différentielle $\;\delta _{\text{forme diff}}(M)\;$ est la circulation élémentaire d'un champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\;$ de l'espace $\;\delta {\mathcal {C}}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)\;$ et
     Dans le cas où les variables indépendantes sont des coordonnées toute circulation élémentaire d'un champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\;$ de l'espace $\;\delta {\mathcal {C}}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)\;$ est une forme différentielle $\;\delta _{\text{forme diff}}(M)\;$ :

• en repérage cartésien $\;M\left(x\,,\,y\,,\,z\right)$, toute forme différentielle $\;\delta _{\text{forme diff}}(M)=A(M)\,dx+B(M)\,dy+C(M)\,dz\;$ est la circulation élémentaire du champ vectoriel
           en repérage cartésien $\;\color {transparent}{M\left(x\,,\,y\,,\,z\right)}$, toute forme différentielle $\;\color {transparent}{\delta _{\text{forme diff}}(M)=A(M)\,dx+B(M)\,dy+C(M)\,dz}\;$ est la circulation élémentaire $\;{\vec {A}}(M)\left\lbrace {\begin{array}{l}A_{x}(M)=A(M)\\A_{y}(M)=B(M)\\A_{z}(M)=C(M)\end{array}}\right\rbrace$,
• en repérage cylindro-polaire $\;M\left(\rho \,,\,\theta \,,\,z\right)\;$ toute forme différentielle $\;\delta _{\text{forme diff}}(M)=A(M)\,d\rho +B(M)\,d\theta +C(M)\,dz\;$ est la circulation élémentaire du champ vectoriel
               en repérage cylindro-polaire $\;\color {transparent}{M\left(\rho \,,\,\theta \,,\,z\right)}$, toute forme différentielle $\;\color {transparent}{\delta _{\text{forme diff}}(M)=A(M)\,d\rho +B(M)\,d\theta +C(M)\,dz}\;$ est la circulation élémentaire $\;{\vec {A}}(M)\left\lbrace {\begin{array}{l}A_{\rho }(M)=A(M)\\A_{\theta }(M)={\dfrac {B(M)}{\rho }}\\A_{z}(M)=C(M)\end{array}}\right\rbrace \;$ et
• en repérage sphérique $\;M\left(r\,,\,\theta \,,\,\varphi \right)\;$ toute forme différentielle $\;\delta _{\text{forme diff}}(M)=A(M)\,dr+B(M)\,d\theta +C(M)\,d\varphi \;$ est la circulation élémentaire du champ vectoriel
               en repérage sphérique $\;\color {transparent}{M\left(r\,,\,\theta \,,\,\varphi \right)}$, toute forme différentielle $\;\color {transparent}{\delta _{\text{forme diff}}(M)=A(M)\,dr+B(M)\,d\theta +C(M)\,d\varphi }\;$ est la circulation élémentaire $\;{\vec {A}}(M)\left\lbrace {\begin{array}{l}A_{r}(M)=A(M)\\A_{\theta }(M)={\dfrac {B(M)}{r}}\\A_{\varphi }(M)={\dfrac {C(M)}{r\;\sin(\theta )}}\end{array}}\right\rbrace$.

Notion de « champ vectoriel à circulation conservative » et correspondance entre la « circulation élémentaire d'un tel champ » et la « différentielle de fonction scalaire des coordonnées de l'espace »

Notion de « champ vectoriel à circulation conservative »

     Un champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\;$ de l'espace est dit « à circulation conservative » ssi sa circulation le long de la courbe$\;(\Gamma )\;$ de $\;M_{1}\;$ à $\;M_{2}\;$ c.-à-d. $\;{\mathcal {C}}_{M_{1}{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}M_{2}}\!\left[{\vec {A}}(M)\right]=\displaystyle \int _{M_{1}{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}M_{2}}\!\delta {\mathcal {C}}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)\;$
          Un champ vectoriel $\;\color {transparent}{{\vec {A}}(M)}\;$ de l'espace est dit « à circulation conservative » ssi sa circulation le long de la courbe$\;\color {transparent}{(\Gamma )}\;$ de $\;\color {transparent}{M_{1}}\;$ à $\;\color {transparent}{M_{2}}\;$ c.-à-d. $\;\color {transparent}{{\mathcal {C}}_{M_{1}{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}M_{2}}\!\left[{\vec {A}}(M)\right]}$ $=\displaystyle \int _{M_{1}{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}M_{2}}\!{\vec {A}}(M)\cdot {\overrightarrow {dM}}\;$
          Un champ vectoriel $\;\color {transparent}{{\vec {A}}(M)}\;$ de l'espace est dit « à circulation conservative » ssi sa circulation le long de la courbe$\;\color {transparent}{(\Gamma )}\;$ de $\;\color {transparent}{M_{1}}\;$ à $\;\color {transparent}{M_{2}}\;$ est indépendante de la courbe$\;(\Gamma )\;$ suivie.

Correspondance entre « différentielle de fonction scalaire des coordonnées de l'espace » et « circulation élémentaire d'un champ vectoriel à circulation conservative »

     Compte-tenu des propriétés et définition fournies ci-dessus : $\bullet \;$« toute forme différentielle $\;\delta _{\text{forme diff}}(M)\;$ dont l'intégrale en suivant une courbe $\;(\Gamma )\;$ à partir d'un point $\;M_{1}\;$ jusqu'à un point $\;M_{2}\;$
          Compte-tenu des propriétés et définition fournies ci-dessus : $\color {transparent}{\bullet }\;$« toute forme différentielle $\;\color {transparent}{\delta _{\text{forme diff}}(M)}\;$ dont l'intégrale en suivant une courbe $\;\color {transparent}{(\Gamma )}\;$ est indépendante de la courbe suivie
          Compte-tenu des propriétés et définition fournies ci-dessus : $\color {transparent}{\bullet }\;$« toute forme différentielle $\;\color {transparent}{\delta _{\text{forme diff}}(M)}\;$ est une différentielle de fonction scalaire »,
     Compte-tenu des propriétés et définition fournies ci-dessus : $\bullet \;$« toute forme différentielle $\;\delta _{\text{forme diff}}(M)\;$ des coordonnées de l'espace
          Compte-tenu des propriétés et définition fournies ci-dessus : $\color {transparent}{\bullet }\;$« toute forme différentielle $\;\color {transparent}{\delta _{\text{forme diff}}(M)}\;$ est aussi la circulation élémentaire d'un champ vectoriel de l'espace » et
     Compte-tenu des propriétés et définition fournies ci-dessus : $\bullet \;$« tout champ vectoriel de l'espace dont la circulation le long de la courbe $\;(\Gamma )\;$ de $\;M_{1}\;$ à $\;M_{2}\;$
     Compte-tenu des propriétés et définition fournies ci-dessus : $\color {transparent}{\bullet }\;$« tout champ vectoriel de l'espace dont la circulation le long de la courbe $\;\color {transparent}{(\Gamma )}\;$ est indépendante de la courbe suivie
     Compte-tenu des propriétés et définition fournies précédemment : $\color {transparent}{\bullet }\;$« tout champ vectoriel de l'espace est dit à circulation conservative »,
     Compte-tenu des propriétés et définition fournies ci-dessus : on en déduit $\blacktriangleright \;$toute « différentielle de fonction scalaire des coordonnées de l'espace »
     Compte-tenu des propriétés et définition fournies ci-dessus : on en déduit $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$toute « différentielle de fonction scalaire est la « circulation élémentaire d'un champ vectoriel de l'espace
          Compte-tenu des propriétés et définition fournies ci-dessus : on en déduit $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$toute « différentielle de fonction scalaire est la « circulation élémentaire d'un champ vectoriel à circulation conservative » et
     Compte-tenu des propriétés et définition fournies ci-dessus : on en déduit $\blacktriangleright \;$toute « circulation élémentaire d'un champ vectoriel de l'espace à circulation conservative
          Compte-tenu des propriétés et définition fournies ci-dessus : on en déduit $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$toute « circulation élémentaire d'un champ vectoriel est la « différentielle de fonction scalaire des coordonnées de l'espace ».

Définition équivalente d'un « champ vectoriel à circulation conservative »

     Compte-tenu de la correspondance entre une « différentielle de fonction scalaire des coordonnées de l'espace » et
        Compte-tenu de la correspondance entre la « circulation élémentaire d'un champ vectoriel à circulation conservative »,
     Compte-tenu de la correspondance nous en déduisons une définition équivalente d'un « champ vectoriel à circulation conservative » :

     Définition équivalente : Un champ vectoriel de l'espace est dit « à circulation conservative » ssi sa circulation élémentaire est une différentielle de fonction scalaire $\;{\big (}$c.-à-d. une différentielle exacte${\big )}$.

Conditions nécessaires (mais non suffisantes) pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire (conditions d'« égalités des dérivées croisées »)

Recherche de conditions nécessaires pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire

     Soit $\;\delta _{\text{forme diff}}=A(x,\,y,\,z)\,dx+B(x,\,y,\,z)\,dy+C(x,\,y,\,z)\,dz\;$ une forme différentielle qui est la différentielle d'une fonction scalaire $\;f(x,\,y,\,z)\;$ c.-à-d. telle que
     Soit $\;\delta _{\text{forme diff}}=df\;$ avec $\;df=\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!\!y,\,z}\!\!(M)\,dx+\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!\!x,\,z}\!\!(M)\,dy+\left({\dfrac {\partial f}{\partial z}}\right)_{\!\!x,\,y}\!\!(M)\,dz$, cette identification devant être vérifiée pour tout triplet $\;\left(dx\,,\,dy\,,\,dz\right)$,
     Soit $\;\color {transparent}{\delta _{\text{forme diff}}=df}\;$ avec $\;\color {transparent}{df=\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!\!y,\,z}\!\!(M)\,dx+\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!\!x,\,z}\!\!(M)\,dy+\left({\dfrac {\partial f}{\partial z}}\right)_{\!\!x,\,y}\!\!(M)\,dz}$, cette identification $\Rightarrow$ $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}A(M)=\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!\!y,\,z}\!\!(M)\\B(M)=\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!\!x,\,z}\!\!(M)\\C(M)=\left({\dfrac {\partial f}{\partial z}}\right)_{\!\!x,\,y}\!\!(M)\end{array}}\right\rbrace$ ;

     lors d'une dérivation partielle 2^nde on peut permuter l'ordre des dérivations sans changer le résultat $\;{\big (}$théorème de Schwarz admis${\big )}\;$
     lors d'une dérivation partielle 2^nde on peut permuter l'ordre des dérivations $\Rightarrow$ les C.N. suivantes $\bullet \;$«$\;\left\lbrace {\dfrac {\partial \!\left[\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!\!y,\,z}\right]}{\partial y}}\right\rbrace _{\!\!x,\,z}\!\!(M)=\left\lbrace {\dfrac {\partial \!\left[\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!\!x,\,z}\right]}{\partial x}}\right\rbrace _{\!\!y,\,z}\!\!(M)\;$» $\Rightarrow$ $\;\left({\dfrac {\partial A}{\partial y}}\right)_{\!\!x,\,z}\!\!(M)=\left({\dfrac {\partial B}{\partial x}}\right)_{\!\!y,\,z}\!\!(M)$,
          lors d'une dérivation partielle 2^nde on peut permuter l'ordre des dérivations $\color {transparent}{\Rightarrow }$ les C.N. suivantes $\bullet \;$«$\;\left\lbrace {\dfrac {\partial \!\left[\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!\!y,\,z}\right]}{\partial z}}\right\rbrace _{\!\!x,\,y}\!\!(M)=\left\lbrace {\dfrac {\partial \!\left[\left({\dfrac {\partial f}{\partial z}}\right)_{\!\!x,\,y}\right]}{\partial x}}\right\rbrace _{\!\!y,\,z}\!\!(M)\;$» $\Rightarrow$ $\;\left({\dfrac {\partial A}{\partial z}}\right)_{\!\!x,\,y}\!\!(M)=\left({\dfrac {\partial C}{\partial x}}\right)_{\!\!y,\,z}\!\!(M)\;$ et
          lors d'une dérivation partielle 2^nde on peut permuter l'ordre des dérivations $\color {transparent}{\Rightarrow }$ les C.N. suivantes $\bullet \;$«$\;\left\lbrace {\dfrac {\partial \!\left[\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!\!x,\,z}\right]}{\partial z}}\right\rbrace _{\!\!x,\,y}\!\!(M)=\left\lbrace {\dfrac {\partial \!\left[\left({\dfrac {\partial f}{\partial z}}\right)_{\!\!x,\,y}\right]}{\partial y}}\right\rbrace _{\!\!x,\,z}\!\!(M)\;$» $\Rightarrow$ $\;\left({\dfrac {\partial B}{\partial z}}\right)_{\!\!x,\,y}\!\!(M)=\left({\dfrac {\partial C}{\partial y}}\right)_{\!\!x,\,z}\!\!(M)$.

     Ces trois C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire $\;{\big (}$c.-à-d. une différentielle exacte${\big )}\;$
                  Ces trois C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire sont connues sous le nom de « conditions d'égalités des dérivées croisées ».

Intégration d'une différentielle de fonction scalaire sur une courbe continue fermée

     Préliminaire : Bien que les variables indépendantes au nombre de $\;2\;$ ou $\;3\;$ ne soient pas nécessairement des coordonnées de points de l'espace physique,
     Préliminaire : nous pouvons construire un espace virtuel à $\;2\;$ ou $\;3\;$ dimensions tel qu'un point quelconque de cet espace virtuel ait pour coordonnées les variables indépendantes utilisées $\;{\big [}$par exemple,
     Préliminaire : nous pouvons construire un espace virtuel en thermodynamique ou statique des fluides, si les variables indépendantes sont la pression $\;p\;$ et la température absolue $\;T$,
     Préliminaire : nous pouvons construire un espace virtuel en thermodynamique ou statique des fluides, l'espace virtuel à $\;2\;$ dimensions serait généré par l'ensemble des couples $\;(T\,,\,p)\;$ possibles${\big ]}$ ;
     Préliminaire : nous pouvons construire un espace virtuel on peut définir une courbe continue dans cet espace virtuel à $\;2\;$ ou $\;3\;$ dimensions par $\;2\;$ ou $\;3\;$ équations paramétriques ou
     Préliminaire : nous pouvons construire un espace virtuel on peut définir une courbe continue dans cet espace virtuel à $\;\color {transparent}{2}\;$ ou $\;\color {transparent}{3}\;$ dimensions par $\;1\;$ ou $\;2\;$ équation(s) explicite(s), et par conséquent
     Préliminaire : nous pouvons construire un espace virtuel on peut définir aussi une courbe continue fermée dans cet espace virtuel.

     Soit la différentielle $\;df\;$ de la fonction scalaire $\;f\;$ de deux variables indépendantes $\;(x\,,\,y)\;$ $\;{\big \{}$ou de trois variables indépendantes $\;(x\,,\,y\,,\,z)\;$${\big \}}\;$ et
     Soit une courbe continue fermée $\;(\Gamma )\;$ de l'espace engendré par tous les couples $\;(x\,,\,y)\;$ possibles $\;{\big \{}$ou engendré par tous les triplets $\;(x\,,\,y\,,\,z)\;$ possibles${\big \}}$,
     Soit une courbe continue fermée $\;\color {transparent}{(\Gamma )}\;$ de l'espace l'intégrale curviligne $\;\displaystyle \oint _{P_{0}\;{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}\;P_{0}}df\;$ étant égale à $\;\left[f(P)\right]_{P_{0}}^{P_{0}}\;$ est nulle quelle que soit la courbe $\;(\Gamma )$.

     Conclusion : L'intégrale d'une différentielle exacte sur une courbe continue fermée est nécessairement nulle c.-à-d. «$\;\displaystyle \oint _{P_{0}\;{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}\;P_{0}}df=0\;\;\forall \;(\Gamma )\;$».

Exemple de forme différentielle vérifiant les conditions d'« égalités des dérivées croisées » mais n'étant pas une différentielle de fonction scalaire

     Soit $\;\delta _{\text{forme diff}}=-{\dfrac {y}{x^{2}+y^{2}}}\,dx+{\dfrac {x}{x^{2}+y^{2}}}\,dy\;$ forme différentielle des deux variables indépendantes $\;(x\,,\,y)\;$ définie sur $\;\mathbb {R} ^{2}\,\backslash \,\left\lbrace \left(0\,,\,0\right)\right\rbrace \;$ telle que
     Soit $\;\color {transparent}{\delta _{\text{forme diff}}=-{\dfrac {y}{x^{2}+y^{2}}}\,dx+{\dfrac {x}{x^{2}+y^{2}}}\,dy}\;$ $\left\lbrace {\begin{array}{l c l}A(x,\,y)=-{\dfrac {y}{x^{2}+y^{2}}}\!\!\!\!&\Rightarrow &\!\!\!\!\left({\dfrac {\partial A}{\partial y}}\right)_{\!x}=-{\dfrac {\left(x^{2}+y^{2}\right)-y\;2\;y}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}}={\dfrac {y^{2}-x^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}}\\B(x,\,y)={\dfrac {x}{x^{2}+y^{2}}}\!\!\!\!&\Rightarrow &\!\!\!\!\left({\dfrac {\partial B}{\partial x}}\right)_{\!y}={\dfrac {\left(x^{2}+y^{2}\right)-x\;2\;x}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}}={\dfrac {y^{2}-x^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}}\end{array}}\right\rbrace$ $\Rightarrow$ forme vérifiant la condition d'égalité des dérivées croisées mais
     Soit $\;\color {transparent}{\delta _{\text{forme diff}}=-{\dfrac {y}{x^{2}+y^{2}}}\,dx+{\dfrac {x}{x^{2}+y^{2}}}\,dy}\;$ ce n'est pas la différentielle d'une fonction scalaire car « son intégrale sur un cercle $\;(\Gamma )\;$ de centre $\;\left(0\,,\,0\right)\;$ ne donne pas $\;0\;$» en effet
     Soit $\;\color {transparent}{\delta _{\text{forme diff}}=-{\dfrac {y}{x^{2}+y^{2}}}\,dx+{\dfrac {x}{x^{2}+y^{2}}}\,dy}\;$ $(\Gamma )\;$ étant un cercle de centre $\;O$, le meilleur repérage du point générique $\;P\;$ de $\;(\Gamma )\;$ est $\;P\;(r\,,\,\theta )\;$ ${\big \{}$coordonnées polaires de pôle $\;\left(0\,,\,0\right)\!{\big \}}\;$ où
     Soit $\;\color {transparent}{\delta _{\text{forme diff}}=-{\dfrac {y}{x^{2}+y^{2}}}\,dx+{\dfrac {x}{x^{2}+y^{2}}}\,dy}\;$ $\color {transparent}{(\Gamma )}\;$ étant un cercle de centre $\;\color {transparent}{O}$, le meilleur repérage du point générique $\;\color {transparent}{P}\;$ de $\;\color {transparent}{(\Gamma )}\;$ est $\;\color {transparent}{P\;(}$$r\;$ est le rayon du cercle, d'où,
     Soit $\;\color {transparent}{\delta _{\text{forme diff}}=-{\dfrac {y}{x^{2}+y^{2}}}\,dx+{\dfrac {x}{x^{2}+y^{2}}}\,dy}\;$ $\color {transparent}{(\Gamma )}\;$ étant un cercle de centre $\;\color {transparent}{O}$, avec $\;\left\lbrace {\begin{array}{l c l}x=r\;\cos(\theta )\!\!\!\!&\Rightarrow &\!\!\!\!dx=-r\;\sin(\theta )\;d\theta \\y=r\;\sin(\theta )\!\!\!\!&\Rightarrow &\!\!\!\!dy=r\;\cos(\theta )\;d\theta \end{array}}\right\rbrace \;$ $\Rightarrow$ la réécriture de la forme différentielle en restant sur $\;(\Gamma )\;$ selon
     Soit $\;\color {transparent}{\delta _{\text{forme diff}}=-{\dfrac {y}{x^{2}+y^{2}}}\,dx+{\dfrac {x}{x^{2}+y^{2}}}\,dy}\;$ $\color {transparent}{(\Gamma )}\;$ étant un cercle de centre $\;\color {transparent}{O}$, $\delta _{{\text{forme diff sur}}\,(\Gamma )}=-{\dfrac {\sin(\theta )}{r}}\left[-r\;\sin(\theta )\;d\theta \right]+{\dfrac {\cos(\theta )}{r}}\left[r\;\cos(\theta )\;d\theta \right]=d\theta \;$ et par suite
     Soit $\;\color {transparent}{\delta _{\text{forme diff}}=-{\dfrac {y}{x^{2}+y^{2}}}\,dx+{\dfrac {x}{x^{2}+y^{2}}}\,dy}\;$ $\color {transparent}{(\Gamma )}\;$ étant un cercle de centre $\;\color {transparent}{O}$, $\displaystyle \oint _{P_{0}\;{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}\;P_{0}}-{\dfrac {y}{x^{2}+y^{2}}}\,dx+{\dfrac {x}{x^{2}+y^{2}}}\,dy=\displaystyle \oint _{P_{0}\;{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}\;P_{0}}\delta _{\text{forme diff}}\;$ $=\int _{0}^{2\;\pi }d\theta =2\;\pi \;$ et donc $\;\neq 0$.

     Conclusion : Les conditions d'égalité des dérivées croisées vérifiées par une forme différentielle $\;{\big (}$alors qualifiée de « fermée »${\big )}\;$ne sont pas suffisantes pour que cette forme soit une différentielle exacte.

Conditions suffisantes pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire

     Préliminaire : Une partie $\;U\;$ de $\;\mathbb {R} ^{n},\;n\in \mathbb {N} ^{*}$, est dite « étoilée » lorsque «$\;U\;$ contient au moins un point $\;P\;$ tel que le segment $\;\left[PQ\right]\subset U$ $\;\forall \;Q\in U\;$» ;
     Préliminaire : une partie $\;U\;$ de $\;\mathbb {R} ^{n},\;n\in \mathbb {N} ^{*}$, est dite « convexe » ssi $\;U\;$ est étoilée par rapport à chacun de ses points.

     Nous admettrons le lemme de Poincaré relatif aux formes différentielles fermées sur un ouvert étoilé de $\;\mathbb {R} ^{n},\;n\in \mathbb {N} ^{*}$ :

Début d’un théorème

Lemme de Poincaré

     « Toute forme différentielle telle qu'on vérifie les conditions d'égalité des dérivées croisées
           « Toute forme différentielle telle qu'on vérifie sur un ouvert étoilé de son domaine de définition
           « Toute forme différentielle est la différentielle d'une fonction scalaire ».
     Énoncé équivalent : « Toute forme différentielle fermée sur un ouvert étoilé de son domaine de définition
           Énoncé équivalent : « Toute forme différentielle fermée sur un ouvert étoilé est une différentielle exacte ».

Fin du théorème

     Dans le cas d'une forme différentielle sur laquelle le lemme de Poincaré s'applique, la fonction dont cette forme est la différentielle
                 Dans le cas d'une forme différentielle sur laquelle le lemme de Poincaré s'applique, la fonction est appelée « primitive de la forme différentielle sur l'ouvert étoilé de son domaine dé définition ».

     Remarques : La forme différentielle $\;\delta _{\text{forme diff}}=-{\dfrac {y}{x^{2}+y^{2}}}\,dx+{\dfrac {x}{x^{2}+y^{2}}}\,dy\;$ des deux variables indépendantes $\;(x\,,\,y)\;$ définie sur $\;\mathbb {R} ^{2}\,\backslash \,\left\lbrace \left(0\,,\,0\right)\right\rbrace$ est effectivement fermée
     Remarques : La forme différentielle $\;\color {transparent}{\delta _{\text{forme diff}}}$ mais la partie$\;U\;$du domaine de définition choisie pour définir le cercle $\;(\Gamma )\;$ de centre $\;\left(0\,,\,0\right)\;$ et de rayon $\;r\;$ le long duquel on intègre la forme différentielle,
     Remarques : La forme différentielle $\;\color {transparent}{\delta _{\text{forme diff}}}$ à savoir $\;U\;$identique au disque privé du centre, n'est pas étoilée$\;{\big \{}$en effet $\;P\;$ et $\;Q\;$ étant deux points diamétralement opposés sur le cercle,
      Remarques : La forme différentielle $\;\color {transparent}{\delta _{\text{forme diff}}}$ à savoir $\;\color {transparent}{U}\;$identique au disque privé du centre, n'est pas étoilée$\;\color {transparent}{\big \{}$en effet le segment $\;\left[PQ\right]\;\not \subset U\;$ car il passe par le centre $\;\left(0\,,\,0\right)\not \in U{\big \}}$, on en déduit que
     Remarques : La forme différentielle $\;\color {transparent}{\delta _{\text{forme diff}}}$ cette forme différentielle n'est pas exacte sur la partie $\;U\;$ identique au disque privé du centre.

     Remarques : Toutefois, en physique, les formes différentielles qui y sont introduites et qui sont fermées sont pratiquement toujours définies sur une partie étoilée et par conséquent
                 Remarques : Toutefois, en physique, les formes différentielles qui y sont introduites et qui sont fermées sont des différentielles exactes.

Exemples de forme différentielle, déterminations (ou non) de sa fermeture puis des primitives de cette forme différentielle dans le cas où cette dernière est exacte

1^er exemple : forme différentielle des trois variables indépendantes « x, y, z » non fermée

     La forme différentielle $\;\delta _{\text{forme diff}}=(x^{2}+y^{2}+z^{2})\,dx+(2\,x\,y+2\,y\,z)\,dy+(2\,x\,z)\,dz\;$ est-elle fermée sur $\;\mathbb {R} ^{3}$ $\;{\big (}$c.-à-d. cette forme vérifie-t-elle les conditions d'égalité des dérivées croisées${\big )}$ ?

     Pour répondre à cette question on compare, en les croisant, les dérivées partielles des fonctions « cœfficient des éléments différentiels » c.-à-d. des fonctions $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}A(x,\,y,\,z)=(x^{2}+y^{2}+z^{2})\\B(x,\,y,\,z)=(2\,x\,y+2\,y\,z)\\C(x,\,y,\,z)=(2\,x\,z)\end{array}}\right\rbrace \;$
           Pour répondre à cette question on compare, en les croisant, les dérivées partielles des fonctions « cœfficient des éléments différentiels » c.-à-d. des fonctions respectivement cœfficient de $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}dx\\dy\\dz\end{array}}\right\rbrace$,
           Pour répondre à cette question on compare, en les croisant, les dérivées partielles $\bullet \;$$\;\left({\dfrac {\partial A}{\partial y}}\right)_{\!\!x,\,z}\!\!(x,\,y,\,z)=2\;y\;{\overset {\text{?}}{=}}\;\left({\dfrac {\partial B}{\partial x}}\right)_{\!\!y,\,z}\!\!(x,\,y,\,z)=2\;y\;$ soit une 1^ère condition vérifiée,
           Pour répondre à cette question on compare, en les croisant, les dérivées partielles $\bullet \;$$\;\left({\dfrac {\partial A}{\partial z}}\right)_{\!\!x,\,y}\!\!(x,\,y,\,z)=2\;z\;{\overset {\text{?}}{=}}\;\left({\dfrac {\partial C}{\partial x}}\right)_{\!\!y,\,z}\!\!(x,\,y,\,z)=2\;z\;$ soit une 2^ème condition vérifiée et
           Pour répondre à cette question on compare, en les croisant, les dérivées partielles $\bullet \;$$\;\left({\dfrac {\partial B}{\partial z}}\right)_{\!\!x,\,y}\!\!(x,\,y,\,z)=2\;y\;{\overset {\text{?}}{=}}\;\left({\dfrac {\partial C}{\partial y}}\right)_{\!\!x,\,z}\!\!(x,\,y,\,z)=0\;$ soit une 3^ème condition non vérifiée ;
           Pour répondre à cette question on compare, en les croisant, les dérivées partielles conclusion : la forme différentielle $\;\delta _{\text{forme diff}}=(x^{2}+y^{2}+z^{2})\,dx+(2\,x\,y+2\,y\,z)\,dy+(2\,x\,z)\,dz\;$
            Pour répondre à cette question on compare, en les croisant, les dérivées partielles conclusion : la forme différentielle n'étant pas fermée n'est donc pas une différentielle exacte et
           Pour répondre à cette question on compare, en les croisant, les dérivées partielles conclusion : toute tentative de recherche de primitive de cette forme différentielle conduirait à une impasse
           Pour répondre à cette question on compare, en les croisant, les dérivées partielles conclusion : ${\big \{}$voir la méthode de recherche dans le paragraphe suivant${\big \}}$.

2^ème exemple : forme différentielle des trois variables indépendantes « x, y, z » fermée et recherche des primitives de cette forme sans vérifier au préalable son exactitude

     La forme différentielle $\;\delta _{\text{forme diff}}=(x^{2}+y^{2}+z^{2})\,dx+(2\,x\,y+2\,y\,z)\,dy+(2\,x\,z+y^{2})\,dz\;$ est-elle fermée sur $\;\mathbb {R} ^{3}$ $\;{\big (}$c.-à-d. vérifie-t-elle les conditions d'égalité des dérivées croisées${\big )}$ ?

     Pour répondre à cette question on compare, en les croisant, les dérivées partielles des fonctions « cœfficient des éléments différentiels » c.-à-d. des fonctions $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}A(x,\,y,\,z)=(x^{2}+y^{2}+z^{2})\\B(x,\,y,\,z)=(2\,x\,y+2\,y\,z)\\C(x,\,y,\,z)=(2\,x\,z+y^{2})\end{array}}\right\rbrace \;$
           Pour répondre à cette question on compare, en les croisant, les dérivées partielles des fonctions « cœfficient des éléments différentiels » c.-à-d. des fonctions respectivement cœfficient de $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}dx\\dy\\dz\end{array}}\right\rbrace$,
           Pour répondre à cette question on compare, en les croisant, les dérivées partielles $\bullet \;$$\;\left({\dfrac {\partial A}{\partial y}}\right)_{\!\!x,\,z}\!\!(x,\,y,\,z)=2\;y\;{\overset {\text{?}}{=}}\;\left({\dfrac {\partial B}{\partial x}}\right)_{\!\!y,\,z}\!\!(x,\,y,\,z)=2\;y\;$ soit une 1^ère condition vérifiée,
           Pour répondre à cette question on compare, en les croisant, les dérivées partielles $\bullet \;$$\;\left({\dfrac {\partial A}{\partial z}}\right)_{\!\!x,\,y}\!\!(x,\,y,\,z)=2\;z\;{\overset {\text{?}}{=}}\;\left({\dfrac {\partial C}{\partial x}}\right)_{\!\!y,\,z}\!\!(x,\,y,\,z)=2\;z\;$ soit une 2^ème condition vérifiée et
           Pour répondre à cette question on compare, en les croisant, les dérivées partielles $\bullet \;$$\;\left({\dfrac {\partial B}{\partial z}}\right)_{\!\!x,\,y}\!\!(x,\,y,\,z)=2\;y\;{\overset {\text{?}}{=}}\;\left({\dfrac {\partial C}{\partial y}}\right)_{\!\!x,\,z}\!\!(x,\,y,\,z)=2\;y\;$ soit une 3^ème et dernière condition vérifiée ;
           Pour répondre à cette question on compare, en les croisant, les dérivées partielles conclusion : la forme différentielle $\;\delta _{\text{forme diff}}=(x^{2}+y^{2}+z^{2})\,dx+(2\,x\,y+2\,y\,z)\,dy+(2\,x\,z+y^{2})\,dz\;$
            Pour répondre à cette question on compare, en les croisant, les dérivées partielles conclusion : la forme différentielle étant fermée est vraisemblablement une différentielle exacte et
           Pour répondre à cette question on compare, en les croisant, les dérivées partielles conclusion : on peut donc se lancer dans la recherche des primitives de la forme différentielle $\;{\big (}$voir ci-dessous${\big )}$.

     Recherche de primitives de cette forme différentielle : identifiant la forme différentielle $\;\delta _{\text{forme diff}}=(x^{2}+y^{2}+z^{2})\,dx+(2\,x\,y+2\,y\,z)\,dy+(2\,x\,z+y^{2})\,dz\;$
     Recherche de primitives de cette forme différentielle : identifiant avec la différentielle $\;df=\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!\!y,\,z}\!\!(M)\,dx+\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!\!x,\,z}\!\!(M)\,dy+\left({\dfrac {\partial f}{\partial z}}\right)_{\!\!x,\,y}\!\!(M)\,dz\;$ de la fonction cherchée $\;f(x,\,y,\,z)$,
     Recherche de primitives de cette forme différentielle : on est donc amené à trouver une fonction $\;f(x,\,y,\,z)\;$ connaissant les trois dérivées partielles
     Recherche de primitives de cette forme différentielle : on est donc amené à trouver une fonction $\;\color {transparent}{f(x,\,y,\,z)}\;$ connaissant $\left\lbrace {\begin{array}{l c l c l}A(x,\,y,\,z)\!\!&=&\!\!x^{2}+y^{2}+z^{2}\!\!&=&\!\!\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!\!y,\,z}(x,\,y,\,z)\\B(x,\,y,\,z)\!\!&=&\!\!2\,x\,y+2\,y\,z\!\!&=&\!\!\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!\!x,\,z}(x,\,y,\,z)\\C(x,\,y,\,z)\!\!&=&\!\!2\,x\,z+y^{2}\!\!&=&\!\!\left({\dfrac {\partial f}{\partial z}}\right)_{\!\!x,\,y}(x,\,y,\,z)\end{array}}\right\rbrace$ ;
     Recherche de primitives de cette forme différentielle : pour cela il est conseillé de procéder exclusivement de la façon décrite ci-dessous :
     Recherche de primitives de cette forme différentielle : $\bullet \;$à partir de $\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!\!y,\,z}\!\!(x,\,y,\,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}$, on intègre par rapport à $\;x$, $\;{\big (}$en laissant $\;y\;$ et $\;z\;$ figés le temps de l'intégration${\big )}$, soit
     Recherche de primitives de cette forme différentielle : $\color {transparent}{\bullet }\;$à partir de «$\;f(x,\,y,\,z)={\dfrac {x^{3}}{3}}+y^{2}\,x+z^{2}\,x+\varphi (y,\,z)\;$» avec «$\;\varphi (y,\,z)\;$ fonction arbitraire des deux variables indépendantes $\;y\;$ et $\;z\;$» puis,
     Recherche de primitives de cette forme différentielle : $\bullet \;$on dérive l'expression précédente relativement à $\;y$ ${\big (}$en laissant $\;x\;$ et $\;z\;$ figés le temps de la dérivation${\big )}$,
     Recherche de primitives de cette forme différentielle : $\color {transparent}{\bullet }\;$on dérive l'expression précédente relativement à $\;\color {transparent}{y}$ dans le but d'introduire la fonction $\;\varphi (y,\,z)\;$ restant à déterminer dans la 2^ème équation soit
     Recherche de primitives de cette forme différentielle : $\color {transparent}{\bullet }\;$on dérive $\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!\!x,\,z}\!\!(x,\,y,\,z)=2\,y\,x+\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial y}}\right)_{\!\!z}\!(y,\,z)\;$ d'où la réécriture de la 2^ème équation $\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!\!x,\,z}\!\!(x,\,y,\,z)=2\,x\,y+2\,y\,z\;$ selon
     Recherche de primitives de cette forme différentielle : $\color {transparent}{\bullet }\;$on dérive $\;\color {transparent}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!\!x,\,z}\!\!(x,\,y,\,z)=2\,y\,x+\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial y}}\right)_{\!\!z}\!(y,\,z)}\;$ d'où la réécriture de la 2^ème équation $\;2\,y\,x+\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial y}}\right)_{\!\!z}\!(y,\,z)=2\,x\,y+2\,y\,z\;$ soit,
     Recherche de primitives de cette forme différentielle : $\color {transparent}{\bullet }\;$on dérive après simplification évidente, $\;\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial y}}\right)_{\!\!z}\!(y,\,z)=2\,y\,z\;$ que l'on intègre par rapport à $\;y$, $\;{\big (}$en laissant $\;z\;$ figé le temps de l'intégration${\big )}$, d'où
     Recherche de primitives de cette forme différentielle : $\color {transparent}{\bullet }\;$on dérive «$\;\varphi (y,\,z)=y^{2}\,z+F(z)\;$» où «$\;F(z)\;$ est une fonction arbitraire de la variable $\;z\;$» dont on déduit
     Recherche de primitives de cette forme différentielle : $\color {transparent}{\bullet }\;$on dérive «$\;f(x,\,y,\,z)={\dfrac {x^{3}}{3}}+y^{2}\,x+z^{2}\,x+y^{2}\,z+F(z)\;$» avec «$\;F(z)\;$ fonction arbitraire de la variable $\;z\;$» enfin,
     Recherche de primitives de cette forme différentielle : $\bullet \;$on dérive l'expression précédente relativement à $\;z$ ${\big (}$en laissant $\;x\;$ et $\;y\;$ figés le temps de la dérivation${\big )}$,
     Recherche de primitives de cette forme différentielle : $\color {transparent}{\bullet }\;$on dérive l'expression précédente relativement à $\;\color {transparent}{z}$ dans le but d'introduire la fonction $\;F(z)\;$ restant à déterminer dans la 3^ème équation soit
     Recherche de primitives de cette forme différentielle : $\color {transparent}{\bullet }\;$on dérive $\left({\dfrac {\partial f}{\partial z}}\right)_{\!\!x,\,y}\!\!(x,\,y,\,z)=2\,z\,x+y^{2}+{\dfrac {dF}{dz}}(z)\;$ d'où la réécriture de la 3^ème équation $\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial z}}\right)_{\!\!x,\,y}\!\!(x,\,y,\,z)=2\,x\,z+y^{2}\;$ selon
     Recherche de primitives de cette forme différentielle : $\color {transparent}{\bullet }\;$on dérive $\;\color {transparent}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial z}}\right)_{\!\!x,\,y}\!\!(x,\,y,\,z)=2\,z\,x+y^{2}+{\dfrac {dF}{dz}}(z)}\;$ d'où la réécriture de la 3^ème équation $\;2\,z\,x+y^{2}+{\dfrac {dF}{dz}}(z)=2\,x\,z+y^{2}\;$ soit,
     Recherche de primitives de cette forme différentielle : $\color {transparent}{\bullet }\;$on dérive après simplification évidente, $\;{\dfrac {dF}{dz}}(z)=0\;$ que l'on intègre par rapport à $\;z$, d'où
     Recherche de primitives de cette forme différentielle : $\color {transparent}{\bullet }\;$on dérive «$\;F(z)=cste\;$» $\Rightarrow$ les primitives de la forme différentielle $\;\delta _{\text{forme diff}}=(x^{2}+y^{2}+z^{2})\,dx+(2\,x\,y+2\,y\,z)\,dy+(2\,x\,z+y^{2})\,dz\;$
     Recherche de primitives de cette forme différentielle : $\color {transparent}{\bullet }\;$on dérive «$\;\color {transparent}{F(z)=cste}\;$» $\color {transparent}{\Rightarrow }$ les primitives «$\;f(x,\,y,\,z)={\dfrac {x^{3}}{3}}+y^{2}\,x+z^{2}\,x+y^{2}\,z+cste\;$».

Retour sur le 1^er exemple : forme différentielle des trois variables indépendantes « x, y, z » non fermée et constatation du blocage de la méthode de recherche de primitives de cette forme en accord avec leur inexistence

     Supposons que nous n'ayons pas cherché à savoir si la forme différentielle $\;\delta _{\text{forme diff}}=(x^{2}+y^{2}+z^{2})\,dx+(2\,x\,y+2\,y\,z)\,dy+(2\,x\,z)\,dz\;$ est fermée sur $\;\mathbb {R} ^{3}$ $\;{\big (}$c.-à-d.
     Supposons que nous n'ayons pas cherché à savoir si cette forme vérifie les conditions d'égalité des dérivées croisées${\big )}$ et que, néanmoins,
     Supposons que nous appliquions la méthode de recherche de primitives exposée dans le paragraphe précédent alors qu'il n'existe pas de primitives pour cette forme,
     Supposons que nous appliquions la méthode appliquée doit nécessairement conduire à une impasse, c'est la description de cette impasse que l'on présente ci-dessous :

     Supposons que Si nous identifions, ${\big (}$à tort${\big )}$, la forme différentielle $\;\delta _{\text{forme diff}}=(x^{2}+y^{2}+z^{2})\,dx+(2\,x\,y+2\,y\,z)\,dy+(2\,x\,z)\,dz\;$
     Supposons que Si nous identifions, $\color {transparent}{\big (}$à tort$\color {transparent}{\big )}$, avec la différentielle $\;df=\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!\!y,\,z}\!\!(M)\,dx+\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!\!x,\,z}\!\!(M)\,dy+\left({\dfrac {\partial f}{\partial z}}\right)_{\!\!x,\,y}\!\!(M)\,dz\;$ d'une fonction $\;f(x,\,y,\,z)$,
     Supposons que Si on est amené à chercher une fonction $\;f(x,\,y,\,z)\;$ connaissant les trois dérivées partielles $\;\left\lbrace {\begin{array}{l c l c l}A(x,\,y,\,z)\!\!&=&\!\!x^{2}+y^{2}+z^{2}\!\!&{\overset {?}{=}}&\!\!\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!\!y,\,z}(x,\,y,\,z)\\B(x,\,y,\,z)\!\!&=&\!\!2\,x\,y+2\,y\,z\!\!&{\overset {?}{=}}&\!\!\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!\!x,\,z}(x,\,y,\,z)\\C(x,\,y,\,z)\!\!&=&\!\!2\,x\,z\!\!&{\overset {?}{=}}&\!\!\left({\dfrac {\partial f}{\partial z}}\right)_{\!\!x,\,y}(x,\,y,\,z)\end{array}}\right\rbrace$ ;
     Supposons que Si $\bullet \;$à partir de $\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!\!y,\,z}\!\!(x,\,y,\,z)\;{\overset {?}{=}}\;x^{2}+y^{2}+z^{2}$, on intègre par rapport à $\;x$, $\;{\big (}$en laissant $\;y\;$ et $\;z\;$ figés le temps de l'intégration${\big )}$, soit
     Supposons que Si $\color {transparent}{\bullet }\;$à partir de «$\;f(x,\,y,\,z)={\dfrac {x^{3}}{3}}+y^{2}\,x+z^{2}\,x+\varphi (y,\,z)\;$» avec «$\;\varphi (y,\,z)\;$ fonction arbitraire des deux variables indépendantes $\;y\;$ et $\;z\;$» puis,
     Supposons que Si $\bullet \;$on dérive l'expression précédente relativement à $\;y$ ${\big (}$en laissant $\;x\;$ et $\;z\;$ figés le temps de la dérivation${\big )}$,
     Supposons que Si $\color {transparent}{\bullet }\;$on dérive l'expression précédente relativement à $\;\color {transparent}{y}$ dans le but d'introduire la fonction $\;\varphi (y,\,z)\;$ restant à déterminer dans la 2^ème équation soit
     Supposons que Si $\color {transparent}{\bullet }\;$on dérive $\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!\!x,\,z}\!\!(x,\,y,\,z)=2\,y\,x+\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial y}}\right)_{\!\!z}\!(y,\,z)\;$ d'où la réécriture de la 2^ème équation $\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!\!x,\,z}\!\!(x,\,y,\,z)=2\,x\,y+2\,y\,z\;$ selon
     Supposons que Si $\color {transparent}{\bullet }\;$on dérive $\;\color {transparent}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!\!x,\,z}\!\!(x,\,y,\,z)=2\,y\,x+\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial y}}\right)_{\!\!z}\!(y,\,z)}\;$ d'où la réécriture de la 2^ème équation $\;2\,y\,x+\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial y}}\right)_{\!\!z}\!(y,\,z)=2\,x\,y+2\,y\,z\;$ soit,
     Supposons que Si $\color {transparent}{\bullet }\;$on dérive après simplification évidente, $\;\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial y}}\right)_{\!\!z}\!(y,\,z)=2\,y\,z\;$ que l'on intègre par rapport à $\;y$, $\;{\big (}$en laissant $\;z\;$ figé le temps de l'intégration${\big )}$, d'où
     Supposons que Si $\color {transparent}{\bullet }\;$on dérive «$\;\varphi (y,\,z)=y^{2}\,z+F(z)\;$» où «$\;F(z)\;$ est une fonction arbitraire de la variable $\;z\;$» dont on déduit
     Supposons que Si $\color {transparent}{\bullet }\;$on dérive «$\;f(x,\,y,\,z)={\dfrac {x^{3}}{3}}+y^{2}\,x+z^{2}\,x+y^{2}\,z+F(z)\;$» avec «$\;F(z)\;$ fonction arbitraire de la variable $\;z\;$» enfin,
     Supposons que Si $\bullet \;$on dérive l'expression précédente relativement à $\;z$ ${\big (}$en laissant $\;x\;$ et $\;y\;$ figés le temps de la dérivation${\big )}$,
     Supposons que Si $\color {transparent}{\bullet }\;$on dérive l'expression précédente relativement à $\;\color {transparent}{z}$ dans le but d'introduire la fonction $\;F(z)\;$ restant à déterminer dans la 3^ème équation soit
     Supposons que Si $\color {transparent}{\bullet }\;$on dérive $\left({\dfrac {\partial f}{\partial z}}\right)_{\!\!x,\,y}\!\!(x,\,y,\,z)=2\,z\,x+y^{2}+{\dfrac {dF}{dz}}(z)\;$ d'où la réécriture de la 3^ème équation $\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial z}}\right)_{\!\!x,\,y}\!\!(x,\,y,\,z)=2\,x\,z\;$ selon
     Supposons que Si $\color {transparent}{\bullet }\;$on dérive $\;\color {transparent}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial z}}\right)_{\!\!x,\,y}\!\!(x,\,y,\,z)=2\,z\,x+y^{2}+{\dfrac {dF}{dz}}(z)}\;$ d'où la réécriture de la 3^ème équation $\;2\,z\,x+y^{2}+{\dfrac {dF}{dz}}(z)=2\,x\,z\;$ soit,
     Supposons que Si $\color {transparent}{\bullet }\;$on dérive après simplification évidente, $\;{\cancel {{\dfrac {dF}{dz}}(z)\;{\overset {?}{=}}\;-y^{2}}}\;$ ce qui n'admet aucune solution du fait que $\;{\dfrac {dF}{dz}}(z)\;$ ne doit dépendre que de $\;z\;$ et aucunement de $\;y$, d'où
     Supposons que Si $\color {transparent}{\bullet }\;$on dérive l'impasse cherchée établissant qu'il n'existe aucune primitive de la forme différentielle $\;\delta _{\text{forme diff}}=(x^{2}+y^{2}+z^{2})\,dx+(2\,x\,y+2\,y\,z)\,dy+(2\,x\,z)\,dz$,
     Supposons que Si $\color {transparent}{\bullet }\;$on dérive l'impasse cherchée la raison de cette impasse étant que cette forme n'est pas fermée et par conséquent encore moins exacte.

Conditions nécessaires (mais non suffisantes) pour qu'un champ vectoriel de l'espace à deux ou trois dimensions soit à circulation conservative et détermination des potentiels scalaires dont dérive un tel champ

Rappel de la 2^ème définition d'un champ vectoriel à circulation conservative (relatif à sa circulation élémentaire) et conséquences

     Un champ vectoriel de l'espace à deux ou trois dimensions étant « à circulation conservative » ssi sa circulation élémentaire est une différentielle de fonction scalaire ${\big (}$ou une différentielle exacte${\big )}\;$ soit
Un champ vectoriel de l'espace à deux ou trois dimensions ${\vec {A}}(M)\;$ « à circulation conservative » ssi $\;\delta {\mathcal {C}}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)={\vec {A}}(M)\cdot {\overrightarrow {dM}}\;$ est une différentielle exacte $\Rightarrow$
     la recherche de l'éventuel caractère « à circulation conservative » d'un champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\;$ de l'espace à deux ou trois dimensions est équivalente à
                 celle de l'éventuel caractère « d'être une différentielle exacte » de la circulation élémentaire de ce champ vectoriel $\;\delta {\mathcal {C}}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)={\vec {A}}(M)\cdot {\overrightarrow {dM}}\;$ et par suite,
     il suffira de travailler sur cette forme différentielle $\;\delta {\mathcal {C}}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)={\vec {A}}(M)\cdot {\overrightarrow {dM}}\;$ pour en tirer toutes les conséquences sur le champ vectoriel dont elle est la circulation élémentaire.

Conditions nécessaires (mais non suffisantes) pour qu'un champ vectoriel de l'espace à deux ou trois dimensions soit à circulation conservative

     D'après le « paragraphe précédent » les C.N. $\;{\big (}$mais non suffisantes${\big )}\;$ pour qu'un champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\;$ de l'espace à deux ou trois dimensions soit « à circulation conservative » sont
                                                      D'après le « paragraphe précédent » celles pour lesquelles la circulation élémentaire du champ vectoriel $\;\delta {\mathcal {C}}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)={\vec {A}}(M)\cdot {\overrightarrow {dM}}\;$ est une « différentielle exacte » ;
     D'après le « paragraphe précédent » ainsi, suivant la nature du repérage des points de l'espace $\;{\big (}$supposé à trois dimensions${\big )}$, nous obtenons :
     D'après le « paragraphe précédent » ainsi, $\bullet \;$en repérage cartésien $\;{\vec {A}}(M)=A_{x}(M)\;{\vec {u}}_{x}+A_{y}(M)\;{\vec {u}}_{y}+A_{z}(M)\;{\vec {u}}_{z}\;$ $\Rightarrow$ $\;\delta {\mathcal {C}}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)=A_{x}(M)\;dx+A_{y}(M)\;dy+A_{z}(M)\;dz\;$ d'où
      D'après le « paragraphe précédent » ainsi, $\color {transparent}{\bullet }\;$en repérage cartésien les C.N. $\;{\big (}$mais non suffisantes${\big )}\;$ pour que $\;{\vec {A}}(M)\;$ soit « à circulation conservative » sont
           D'après le « paragraphe précédent » ainsi, $\color {transparent}{\bullet }\;$en repérage cartésien les C.N. $\;\color {transparent}{\big (}$mais non suffisantes$\color {transparent}{\big )}\;$ $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial y}}\right)_{\!\!x,\,z}(M)=\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial x}}\right)_{\!\!y,\,z}(M)\\\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial z}}\right)_{\!\!x,\,y}(M)=\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial x}}\right)_{\!\!y,\,z}(M)\\\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial z}}\right)_{\!\!x,\,y}(M)=\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial y}}\right)_{\!\!x,\,z}(M)\end{array}}\right\rbrace$,
     D'après le « paragraphe précédent » ainsi, $\bullet \;$en repérage cylindro-polaire $\;{\vec {A}}(M)=A_{\rho }(M)\;{\vec {u}}_{\rho }+A_{\theta }(M)\;{\vec {u}}_{\theta }+A_{z}(M)\;{\vec {u}}_{z}\;$ soit, avec $\;{\overrightarrow {dM}}=d\rho \;{\vec {u}}_{\rho }+\rho \;d\theta \;{\vec {u}}_{\theta }+dz\;{\vec {u}}_{z}\;$, on en déduit
           D'après le « paragraphe précédent » ainsi, $\color {transparent}{\bullet }\;$en repérage cylindro-polaire $\;\color {transparent}{{\vec {A}}(M)=A_{\rho }(M)\;{\vec {u}}_{\rho }+A_{\theta }(M)\;{\vec {u}}_{\theta }+A_{z}(M)\;{\vec {u}}_{z}}\;$ soit,$\delta {\mathcal {C}}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)=A_{\rho }(M)\;d\rho +A_{\theta }(M)\;\rho \,d\theta +A_{z}(M)\;dz\;$ d'où
           D'après le « paragraphe précédent » ainsi, $\color {transparent}{\bullet }\;$en repérage cylindro-polaire les C.N. $\;{\big (}$mais non suffisantes${\big )}\;$ pour que $\;{\vec {A}}(M)\;$ soit « à circulation conservative » sont
                 D'après le « paragraphe précédent » ainsi, $\color {transparent}{\bullet }\;$en repérage cylindro-polaire les C.N. $\;\color {transparent}{\big (}$mais non suffisantes$\color {transparent}{\big )}\;$ $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\left[{\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial \theta }}\right]_{\!\rho ,\,z}(M)=\left[{\dfrac {\partial \left(\rho \;A_{\theta }\right)}{\partial \rho }}\right]_{\!\theta ,\,z}(M)\\\left[{\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial z}}\right]_{\!\rho ,\,\theta }(M)=\left[{\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \rho }}\right]_{\!\theta ,\,z}(M)\\\left[{\dfrac {\partial \left(\rho \;A_{\theta }\right)}{\partial z}}\right]_{\!\rho ,\,\theta }(M)=\left[{\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \theta }}\right]_{\!\rho ,\,z}(M)\end{array}}\right\rbrace \;$ ou encore
                 D'après le « paragraphe précédent » ainsi, $\color {transparent}{\bullet }\;$en repérage cylindro-polaire les C.N. $\;\color {transparent}{\big (}$mais non suffisantes$\color {transparent}{\big )}\;$ $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial \theta }}\right)_{\!\!\rho ,\,z}(M)=A_{\theta }(M)+\rho \,\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \rho }}\right)_{\!\!\theta ,\,z}(M)\\\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial z}}\right)_{\!\!\rho ,\,\theta }(M)=\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \rho }}\right)_{\!\!\theta ,\,z}(M)\\\rho \,\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial z}}\right)_{\!\!\rho ,\,\theta }(M)=\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \theta }}\right)_{\!\!\rho ,\,z}(M)\end{array}}\right\rbrace \;$ et
     D'après le « paragraphe précédent » ainsi, $\bullet \;$en repérage sphérique $\;{\vec {A}}(M)=A_{r}(M)\;{\vec {u}}_{r}+A_{\theta }(M)\;{\vec {u}}_{\theta }+A_{\varphi }(M)\;{\vec {u}}_{\varphi }\;$ soit, avec $\;{\overrightarrow {dM}}=dr\;{\vec {u}}_{r}+r\;d\theta \;{\vec {u}}_{\theta }+r\;\sin(\theta )\;d\varphi \;{\vec {u}}_{\varphi }\;$, on en déduit
           D'après le « paragraphe précédent » ainsi, $\color {transparent}{\bullet }\;$en repérage sphérique $\;\color {transparent}{{\vec {A}}(M)=A_{r}(M)\;{\vec {u}}_{r}+A_{\theta }(M)\;{\vec {u}}_{\theta }+A_{\varphi }(M)\;{\vec {u}}_{\varphi }}\;$ soit,$\delta {\mathcal {C}}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)=A_{r}(M)\;dr+A_{\theta }(M)\;r\,d\theta +A_{\varphi }(M)\;r\,\sin(\theta )\,d\varphi \;$ d'où
           D'après le « paragraphe précédent » ainsi, $\color {transparent}{\bullet }\;$en repérage sphérique les C.N. $\;{\big (}$mais non suffisantes${\big )}\;$ pour que $\;{\vec {A}}(M)\;$ soit « à circulation conservative » sont
                 D'après le « paragraphe précédent » ainsi, $\color {transparent}{\bullet }\;$en repérage sphérique les C.N. $\;\color {transparent}{\big (}$mais non suffisantes$\color {transparent}{\big )}\;$ $\;\left\lbrace {\begin{array}{l c l}\left[{\dfrac {\partial A_{r}}{\partial \theta }}\right]_{\!r,\,\varphi }(M)\!\!&=&\!\!\left[{\dfrac {\partial \left(r\;A_{\theta }\right)}{\partial r}}\right]_{\!\theta ,\,\varphi }(M)\\\left[{\dfrac {\partial A_{r}}{\partial \varphi }}\right]_{\!r,\,\theta }(M)\!\!&=&\!\!\left[{\dfrac {\partial \left[r\;\sin(\theta )\;A_{\varphi }\right]}{\partial r}}\right]_{\!\theta ,\,\varphi }(M)\\\left[{\dfrac {\partial \left(r\;A_{\theta }\right)}{\partial \varphi }}\right]_{\!r,\,\theta }(M)\!\!&=&\!\!\left[{\dfrac {\partial \left[r\;\sin(\theta )\;A_{\varphi }\right]}{\partial \theta }}\right]_{\!r,\,\varphi }(M)\end{array}}\right\rbrace \;$ ou encore
                 D'après le « paragraphe précédent » ainsi, $\color {transparent}{\bullet }\;$en repérage sphérique les C.N. $\;\color {transparent}{\big (}$mais non suffisantes$\color {transparent}{\big )}\;$ $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\left({\dfrac {\partial A_{r}}{\partial \theta }}\right)_{\!\!r,\,\varphi }(M)=A_{\theta }(M)+r\,\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial r}}\right)_{\!\!\theta ,\,\varphi }(M)\\\left({\dfrac {\partial A_{r}}{\partial \varphi }}\right)_{\!\!r,\,\theta }(M)=\sin(\theta )\;A_{\varphi }(M)+r\;\sin(\theta )\,\left({\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial r}}\right)_{\!\!\theta ,\,\varphi }(M)\\{\cancel {r}}\,\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \varphi }}\right)_{\!\!r,\,\theta }(M)=\,{\cancel {r}}\;\cos(\theta )\;A_{\varphi }(M)+\,{\cancel {r}}\;\sin(\theta )\,\left({\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial \theta }}\right)_{\!\!r,\,\varphi }(M)\end{array}}\right\rbrace \;$.

Circulation d'un champ vectoriel de l'espace à deux ou trois dimensions à circulation conservative sur une courbe continue fermée

     Soient le champ vectoriel « à circulation conservative » $\;{\vec {A}}(M)\;$ de l'espace physique à deux ou trois dimensions et une courbe continue fermée $\;(\Gamma )\;$ de cet espace,
     Soient le champ vectoriel « à circulation conservative » $\;\color {transparent}{{\vec {A}}(M)}\;$ de l'espace physique à deux ou trois dimensions l'intégrale curviligne $\;\displaystyle \oint _{P_{0}\;{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}\;P_{0}}\delta {\mathcal {C}}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(P)\;$ étant égale à $\;\left[{\mathcal {C}}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(P)\right]_{P_{0}}^{P_{0}}\;$
           Soient le champ vectoriel « à circulation conservative » $\;\color {transparent}{{\vec {A}}(M)}\;$ de l'espace physique à deux ou trois dimensions l'intégrale curviligne $\;\color {transparent}{\displaystyle \oint _{P_{0}\;{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}\;P_{0}}\delta {\mathcal {C}}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(P)}\;$ est nulle quelle que soit la courbe $\;(\Gamma )$.

     Conclusion : La circulation d'un champ vectoriel « à circulation conservative » sur une courbe continue fermée d'un espace à deux ou trois dimensions
           Conclusion : La circulation d'un champ vectoriel « à circulation conservative » sur une courbe continue fermée est nécessairement nulle soit $\;\displaystyle \oint _{P_{0}\;{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}\;P_{0}}{\vec {A}}(P)\cdot {\overrightarrow {dP}}=0\;\;\forall \;(\Gamma )\;$.

Exemple de champ vectoriel vérifiant les C.N. pour être « à circulation conservative » mais pour lequel les conditions ne sont pas suffisantes

     Soit $\;{\vec {A}}(M)=-{\dfrac {y}{x^{2}+y^{2}}}\,{\vec {u}}_{x}+{\dfrac {x}{x^{2}+y^{2}}}\,{\vec {u}}_{y}\;$ le champ vectoriel de l'espace physique à deux dimensions défini sur $\;\mathbb {R} ^{2}\,\backslash \,\left\lbrace \left(0\,,\,0\right)\right\rbrace \;$ tel que
     Soit $\;\color {transparent}{{\vec {A}}(M)=-{\dfrac {y}{x^{2}+y^{2}}}\,{\vec {u}}_{x}+{\dfrac {x}{x^{2}+y^{2}}}\,{\vec {u}}_{y}}\;$ sa circulation élémentaire vérifie la C.N. pour que ce champ soit « à circulation conservative » à savoir que
Soit $\;\color {transparent}{{\vec {A}}(M)=-{\dfrac {y}{x^{2}+y^{2}}}\,{\vec {u}}_{x}+{\dfrac {x}{x^{2}+y^{2}}}\,{\vec {u}}_{y}}\;$ cette circulation élémentaire soit une différentielle exacte $\;{\big (}$c.-à-d. de C.N. « égalité des dérivées croisées »${\big )}\;$
     Soit $\;\color {transparent}{{\vec {A}}(M)=-{\dfrac {y}{x^{2}+y^{2}}}\,{\vec {u}}_{x}+{\dfrac {x}{x^{2}+y^{2}}}\,{\vec {u}}_{y}}\;$ $\left\lbrace {\begin{array}{l c l}A_{x}(x,\,y)=-{\dfrac {y}{x^{2}+y^{2}}}\!\!\!\!&\Rightarrow &\!\!\!\!\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial y}}\right)_{\!x}=-{\dfrac {\left(x^{2}+y^{2}\right)-y\;2\;y}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}}={\dfrac {y^{2}-x^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}}\\A_{y}(x,\,y)={\dfrac {x}{x^{2}+y^{2}}}\!\!\!\!&\Rightarrow &\!\!\!\!\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial x}}\right)_{\!y}={\dfrac {\left(x^{2}+y^{2}\right)-x\;2\;x}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}}={\dfrac {y^{2}-x^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}}\end{array}}\right\rbrace \;$ $\Rightarrow$ vérifiant la condition d'égalité des dérivées croisées mais
     Soit $\;\color {transparent}{{\vec {A}}(M)=-{\dfrac {y}{x^{2}+y^{2}}}\,{\vec {u}}_{x}+{\dfrac {x}{x^{2}+y^{2}}}\,{\vec {u}}_{y}}\;$ ce champ vectoriel n'est pas à circulation conservative car sa circulation sur un cercle $\;(\Gamma )\;$ de centre $\;\left(0\,,\,0\right)$ serait alors $\;0\;$,
     Soit $\;\color {transparent}{{\vec {A}}(M)=-{\dfrac {y}{x^{2}+y^{2}}}\,{\vec {u}}_{x}+{\dfrac {x}{x^{2}+y^{2}}}\,{\vec {u}}_{y}}\;$ ce champ vectoriel n'est pas à circulation conservative car sa circulation sur un cercle $\;\color {transparent}{(\Gamma )}\;$ de centre $\;\color {transparent}{\left(0\,,\,0\right)}$ ce qui n'est pas le cas en effet
     Soit $\;\color {transparent}{{\vec {A}}(M)=-{\dfrac {y}{x^{2}+y^{2}}}\,{\vec {u}}_{x}+{\dfrac {x}{x^{2}+y^{2}}}\,{\vec {u}}_{y}}\;$ ce champ vectoriel n'est pas à circulation conservative $\displaystyle \oint _{P_{0}\;{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}\;P_{0}}\delta {\mathcal {C}}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(P)=\displaystyle \oint _{P_{0}\;{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}\;P_{0}}{\vec {A}}(P)\cdot {\overrightarrow {dP}}=\displaystyle \oint _{P_{0}\;{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}\;P_{0}}-{\dfrac {y}{x^{2}+y^{2}}}\,dx+{\dfrac {x}{x^{2}+y^{2}}}\,dy\;$
     Soit $\;\color {transparent}{{\vec {A}}(M)=-{\dfrac {y}{x^{2}+y^{2}}}\,{\vec {u}}_{x}+{\dfrac {x}{x^{2}+y^{2}}}\,{\vec {u}}_{y}}\;$ ce champ vectoriel n'est pas à circulation conservative se simplifie en repérant le point générique $\;P\;$ du cercle $\;(\Gamma )\;$ de centre $\;\left(0\,,\,0\right)\;$ et de rayon $\;r\;$
     Soit $\;\color {transparent}{{\vec {A}}(M)=-{\dfrac {y}{x^{2}+y^{2}}}\,{\vec {u}}_{x}+{\dfrac {x}{x^{2}+y^{2}}}\,{\vec {u}}_{y}}\;$ ce champ vectoriel n'est pas à circulation conservative se simplifie en repérant par ses coordonnées polaires de pôle $\;\left(0\,,\,0\right)\;$ soit $\;P\;(r\,,\,\theta )$, dont on tire
     Soit $\;\color {transparent}{{\vec {A}}(M)=-{\dfrac {y}{x^{2}+y^{2}}}\,{\vec {u}}_{x}+{\dfrac {x}{x^{2}+y^{2}}}\,{\vec {u}}_{y}}\;$ ce champ vectoriel n'est pas à circulation conservative se simplifie en repérant $\left\lbrace {\begin{array}{l c l}x=r\;\cos(\theta )\!\!&\Rightarrow &\!\!dx=-r\;\sin(\theta )\;d\theta \\y=r\;\sin(\theta )\!\!&\Rightarrow &\!\!dy=r\;\cos(\theta )\;d\theta \end{array}}\right\rbrace \;$ permettant de réécrire
     Soit $\;\color {transparent}{{\vec {A}}(M)=-{\dfrac {y}{x^{2}+y^{2}}}\,{\vec {u}}_{x}+{\dfrac {x}{x^{2}+y^{2}}}\,{\vec {u}}_{y}}\;$ ce champ vectoriel n'est pas à circulation conservative se simplifie en repérant $\delta {\mathcal {C}}_{{\text{sur}}\,(\Gamma )}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(P)=-{\dfrac {\sin(\theta )}{r}}\left[-r\;\sin(\theta )\;d\theta \right]+{\dfrac {\cos(\theta )}{r}}\left[r\;\cos(\theta )\;d\theta \right]$
     Soit $\;\color {transparent}{{\vec {A}}(M)=-{\dfrac {y}{x^{2}+y^{2}}}\,{\vec {u}}_{x}+{\dfrac {x}{x^{2}+y^{2}}}\,{\vec {u}}_{y}}\;$ ce champ vectoriel n'est pas à circulation conservative se simplifie en repérant $\color {transparent}{\delta {\mathcal {C}}_{{\text{sur}}\,(\Gamma )}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(P)}\;$ $=d\theta \;$ d'où
     Soit $\;\color {transparent}{{\vec {A}}(M)=-{\dfrac {y}{x^{2}+y^{2}}}\,{\vec {u}}_{x}+{\dfrac {x}{x^{2}+y^{2}}}\,{\vec {u}}_{y}}\;$ ce champ vectoriel n'est pas à circulation conservative $\displaystyle \oint _{P_{0}\;{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}\;P_{0}}\delta {\mathcal {C}}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(P)=\int _{0}^{2\;\pi }d\theta =2\;\pi \;$ et donc $\;\neq 0$.

     Conclusion : Les C.N. pour qu'un champ vectoriel soit « à circulation conservative » c.-à-d. « sa circulation élémentaire est une différentielle exacte » ne sont, a priori, pas suffisantes.

Conditions suffisantes pour qu'un champ vectoriel de l'espace à deux ou trois dimensions soit « à circulation conservative »

Début d’un théorème

Lemme de Poincaré (réécrit en termes de champ vectoriel)

     « Tout champ vectoriel d'un espace à deux ou trois dimensions
     « Tout champ vectoriel pour lequel la circulation élémentaire vérifie les conditions d'égalité des dérivées croisées
         « Tout champ vectoriel pour lequel la circulation élémentaire vérifie sur un ouvert étoilé de son domaine de définition
     « Tout champ vectoriel est un champ vectoriel à circulation conservative ».
     Énoncé équivalent : « Tout champ vectoriel d'un espace à deux ou trois dimensions
     Énoncé équivalent : « Tout champ vectoriel pour lequel la circulation élémentaire est une forme différentielle fermée
         Énoncé équivalent : « Tout champ vectoriel pour lequel la circulation élémentaire est sur un ouvert étoilé de son domaine de définition
     Énoncé équivalent : « Tout champ vectoriel est un champ vectoriel à circulation conservative ».

Fin du théorème

     Dans le cas où le lemme de Poincaré $\;{\big (}$réécrit en termes de champ vectoriel${\big )}\;$ s'applique à un champ vectoriel,
           Dans le cas où le lemme de Poincaré $\;\color {transparent}{\big (}$réécrit en termes de champ vectoriel$\color {transparent}{\big )}\;$ s'applique l'opposé de la fonction dont la circulation élémentaire est la différentielle
                 Dans le cas où le lemme de Poincaré $\;\color {transparent}{\big (}$réécrit en termes de champ vectoriel$\color {transparent}{\big )}\;$ s'applique l'opposé de la fonction est appelé « potentiel scalaire dont dérive le champ vectoriel
                 Dans le cas où le lemme de Poincaré $\;\color {transparent}{\big (}$réécrit en termes de champ vectoriel$\color {transparent}{\big )}\;$ s'applique l'opposé de la fonction est appelé « potentiel scalaire sur l'ouvert étoilé de son domaine dé définition ».

     Remarques : La circulation élémentaire du champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)=-{\dfrac {y}{x^{2}+y^{2}}}\,{\vec {u}}_{x}+{\dfrac {x}{x^{2}+y^{2}}}\,{\vec {u}}_{y}\;$ défini sur $\;\mathbb {R} ^{2}\,\backslash \,\left\lbrace \left(0\,,\,0\right)\right\rbrace$ est effectivement fermée
     Remarques : La circulation élémentaire du champ vectoriel $\;\color {transparent}{{\vec {A}}(M)}$ mais la partie$\;U\;$du domaine de définition contenant le cercle $\;(\Gamma )\;$ de centre $\;\left(0\,,\,0\right)\;$ et de rayon $\;r\;$ sur lequel on cherche la circulation,
     Remarques : La circulation élémentaire du champ vectoriel $\;\color {transparent}{{\vec {A}}(M)}$ à savoir $\;U\;$identique au disque privé du centre, n'est pas étoilée $\;{\big \{}$en effet $P\;$ et $\;Q\;$ étant des points diamétralement opposés sur $\;(\Gamma )$,
      Remarques : La circulation élémentaire du champ vectoriel $\;\color {transparent}{{\vec {A}}(M)}$ à savoir $\;\color {transparent}{U}\;$identique au disque privé du centre, n'est pas étoilée$\;\color {transparent}{\big \{}$en effet le segment $\;\left[PQ\right]\;$ passant par $\;\left(0\,,\,0\right)\not \in U\;$ est $\;\not \subset U{\big \}}$, d'où
     Remarques : La circulation élémentaire du champ vectoriel $\;\color {transparent}{{\vec {A}}(M)}$ cette circulation élémentaire n'est pas exacte sur la partie $\;U\;$ identique au disque privé du centre et par suite
     Remarques : La circulation élémentaire du champ vectoriel $\;\color {transparent}{{\vec {A}}(M)}$ le champ vectoriel$\;{\vec {A}}(M)=-{\dfrac {y}{x^{2}+y^{2}}}\,{\vec {u}}_{x}+{\dfrac {x}{x^{2}+y^{2}}}\,{\vec {u}}_{y}\;$n'est pas à circulation conservative.

     Remarques : Toutefois, en physique, les champs vectoriels introduits et vérifiant la fermeture de leur circulation élémentaire sont usuellement définis sur une partie étoilée et par conséquent
                Remarques : Toutefois, en physique, les champs vectoriels introduits et vérifiant la fermeture de leur circulation élémentaire sont des champs vectoriels à circulation conservative.

Détermination des potentiels scalaires dont dérive un champ vectoriel à circulation conservative d'un espace à deux ou trois dimensions

Potentiels scalaires dont dérive un champ vectoriel à circulation conservative

     On appelle potentiel scalaire dont dérive un champ vectoriel d'un espace à deux ou trois dimensions $\;{\vec {A}}(M)\;$ à circulation conservative,
     On appelle potentiel scalaire tout champ scalaire $\;V(M)\;$ de cet espace tel que la circulation élémentaire du champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\;$
     On appelle potentiel scalaire tout champ scalaire $\;\color {transparent}{V(M)}\;$ de cet espace tel que soit l'« opposé de la différentielle de $\;V(M)\;$» c.-à-d.
     On appelle potentiel scalaire tout champ scalaire $\;\color {transparent}{V(M)}\;$ de cet espace tel que «$\;\delta {\mathcal {C}}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)={\vec {A}}(M)\cdot {\overrightarrow {dM}}=-dV\;$».

     La détermination des potentiels scalaires $\;V(M)\;$ dont dérive un champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\;$ à circulation conservative revenant à
                        celle des primitives de la circulation élémentaire $\;\delta {\mathcal {C}}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)\;$ du champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\;$ usuellement suivie d'un changement de signe $\Rightarrow$ appliquer la méthode exposée au paragraphe
     « 2^ème exemple : forme différentielle des trois variables indépendantes “ x, y, z ” fermé et recherche des primitives de cette forme sans vérifier au préalable son exactitude » plus haut dans ce chapitre.

     Exemple : le champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)=(x^{2}+y^{2}+z^{2})\,{\vec {u}}_{x}+(2\,x\,y+2\,y\,z)\,{\vec {u}}_{y}+(2\,x\,z+y^{2})\,{\vec {u}}_{z}\;$ de l'espace à trois dimensions
     Exemple : le champ vectoriel $\;\color {transparent}{{\vec {A}}(M)}$ dont la circulation élémentaire $\;\delta {\mathcal {C}}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)={\vec {A}}(M)\cdot {\overrightarrow {dM}}=(x^{2}+y^{2}+z^{2})\,dx+(2\,x\,y+2\,y\,z)\,dy+(2\,x\,z+y^{2})\,dz\;$
           Exemple : le champ vectoriel $\;\color {transparent}{{\vec {A}}(M)}$ dont la circulation élémentaire est une forme différentielle fermée $\;{\big (}$plus précisément, vérifiant que la fermeture est assurée sur toute partie étoilée de $\;\mathbb {R} ^{3}$,
                        Exemple : le champ vectoriel $\;\color {transparent}{{\vec {A}}(M)}$ dont la circulation élémentaire est une forme différentielle fermée $\;\color {transparent}{\big (}$plus précisément, une différentielle exacte${\big )}$,
           Exemple : le champ vectoriel $\;\color {transparent}{{\vec {A}}(M)}$ dont la circulation élémentaire est une forme différentielle dont les primitives ont été déterminées précédemment d'où
           Exemple : le champ vectoriel $\;\color {transparent}{{\vec {A}}(M)}$ dont la circulation élémentaire est une la connaissance des potentiels scalaires $\;V(M)\;$ dont dérive le champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\;$ soit
     Exemple : le champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)=(x^{2}+y^{2}+z^{2})\,{\vec {u}}_{x}+(2\,x\,y+2\,y\,z)\,{\vec {u}}_{y}+(2\,x\,z+y^{2})\,{\vec {u}}_{z}\;$ dérivant de $\;V(M)=-\left({\dfrac {x^{3}}{3}}+y^{2}\,x+z^{2}\,x+y^{2}\,z\right)+cste\;$.

2^ème définition (équivalente) des potentiels scalaires dont dérive un champ vectoriel à circulation conservative d'un espace à deux ou trois dimensions

2^ème définition (équivalente) de potentiels scalaires dont dérive un champ vectoriel à circulation conservative

     On appelle potentiel scalaire dont dérive un champ vectoriel d'un espace à deux ou trois dimensions $\;{\vec {A}}(M)\;$ à circulation conservative,
     On appelle potentiel scalaire tout champ scalaire $\;V(M)\;$ de cet espace tel que son gradient $\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left[V\right]\!(M)\;$
     On appelle potentiel scalaire tout champ scalaire $\;\color {transparent}{V(M)}\;$ de cet espace tel que soit l'opposé du champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\;$ soit
     On appelle potentiel scalaire tout champ scalaire $\;\color {transparent}{V(M)}\;$ de cet espace tel que «$\;{\vec {A}}(M)=-{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left[V\right]\!(M)\;$».

     Justification de l'équivalence $\bullet \;$« 1^ère définition $\Rightarrow$ 2^ème définition » : La 1^ère définition des potentiels scalaires $\;V(M)\;$ dont dérive le champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\;$ à circulation conservative étant
     Justification de l'équivalence $\color {transparent}{\bullet }\;$« 1^ère définition $\color {transparent}{\Rightarrow }$ 2^ème définition » : La 1^ère définition des potentiels scalaires $\;\color {transparent}{V(M)}\;$ «$\;{\vec {A}}(M)\cdot {\overrightarrow {dM}}=-dV\;\;\forall \;{\overrightarrow {dM}}\;$» et
   Justification de l'équivalence : $\color {transparent}{\bullet }\;$« 1^ère définition $\color {transparent}{\Rightarrow }$ 2^ème définition » : le gradient d'un champ scalaire $\;V(M)\;$ étant défini intrinsèquement comme
   Justification de l'équivalence : $\color {transparent}{\bullet }\;$« 1^ère définition $\color {transparent}{\Rightarrow }$ 2^ème définition » : le gradient d'un champ scalaire $\;\color {transparent}{V(M)}\;$ étant le champ vectoriel $\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left[V\right]\!(M)\;$ dont la circulation élémentaire est
   Justification de l'équivalence : $\color {transparent}{\bullet }\;$« 1^ère définition $\color {transparent}{\Rightarrow }$ 2^ème définition » : le gradient d'un champ scalaire $\;\color {transparent}{V(M)}\;$ étant le champ vectoriel $\;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left[V\right]\!(M)}\;$ dont la différentielle du champ scalaire c.-à-d.
   Justification de l'équivalence : $\color {transparent}{\bullet }\;$« 1^ère définition $\color {transparent}{\Rightarrow }$ 2^ème définition » : le gradient d'un champ scalaire $\;\color {transparent}{V(M)}\;$ étant le champ vectoriel $\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left[V\right]\!(M)\cdot {\overrightarrow {dM}}=dV\;\;\forall \;{\overrightarrow {dM}}\;$, d'où
   Justification de l'équivalence : $\color {transparent}{\bullet }\;$« 1^ère définition $\color {transparent}{\Rightarrow }$ 2^ème définition » : par somme de ces deux relations, $\left\lbrace {\vec {A}}(M)+{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left[V\right]\!(M)\right\rbrace \cdot {\overrightarrow {dM}}=0\;\;\forall \;{\overrightarrow {dM}}\;$ $\Rightarrow$ «$\;{\vec {A}}(M)=-{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left[V\right]\!(M)\;$» C.Q.F.D. ;

     Justification de l'équivalence : $\bullet \;$« 2^ème définition $\Rightarrow$ 1^ère définition » : La 2^ème définition des potentiels scalaires $\;V(M)\;$ dont dérive le champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\;$ à circulation conservative étant
      Justification de l'équivalence $\color {transparent}{\bullet }\;$« 2^ème définition $\color {transparent}{\Rightarrow }$ 1^ère définition » : La 2^ème définition des potentiels scalaires $\;\color {transparent}{V(M)}\;$ «$\;{\vec {A}}(M)=-{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left[V\right]\!(M)\;$» dont
       Justification de l'équivalence $\color {transparent}{\bullet }\;$« 2^ème définition $\color {transparent}{\Rightarrow }$ 1^ère définition » : on multiplie scalairement chaque membre par $\;{\overrightarrow {dM}}\;$ pour obtenir, dans le membre de gauche, $\;{\vec {A}}(M)\cdot {\overrightarrow {dM}}\;$ c.-à-d.
       Justification de l'équivalence $\color {transparent}{\bullet }\;$« 2^ème définition $\color {transparent}{\Rightarrow }$ 1^ère définition » : on multiplie scalairement chaque membre par $\;\color {transparent}{\overrightarrow {dM}}\;$ pour obtenir, la circulation élémentaire du champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\;$ et
       Justification de l'équivalence $\color {transparent}{\bullet }\;$« 2^ème définition $\color {transparent}{\Rightarrow }$ 1^ère définition » : on multiplie scalairement chaque membre par $\;\color {transparent}{\overrightarrow {dM}}\;$ pour obtenir, dans le membre de droite $\;-{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left[V\right]\!(M)\cdot {\overrightarrow {dM}}\;$ c.-à-d. $\;-dV\;$
       Justification de l'équivalence $\color {transparent}{\bullet }\;$« 2^ème définition $\color {transparent}{\Rightarrow }$ 1^ère définition » : on multiplie scalairement chaque membre par $\;\color {transparent}{\overrightarrow {dM}}\;$ pour obtenir, l'opposé de la différentielle du potentiel scalaire $\;V(M)\;$ d'où
       Justification de l'équivalence $\color {transparent}{\bullet }\;$« 2^ème définition $\color {transparent}{\Rightarrow }$ 1^ère définition » : on multiplie scalairement chaque membre par $\;\color {transparent}{\overrightarrow {dM}}\;$ pour obtenir, «$\;{\vec {A}}(M)\cdot {\overrightarrow {dM}}=-dV\;$» C.Q.F.D..

Propriété locale d'un champ vectoriel à circulation conservative de l'espace tridimensionnel

Rappel de la 1^ère définition d'un champ vectoriel à circulation conservative de l'espace tridimensionnel

     Soient un champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\;$ de l'espace tridimensionnel « à circulation conservative » et
     Soient une courbe continue $\;(\Gamma )\;$ quelconque sur laquelle sont choisies deux positions quelconques $\;\left(M_{1}\,,\,M_{2}\right)$,
     Soient un champ vectoriel $\;\color {transparent}{{\vec {A}}(M)}\;$ de l'espace tridimensionnel « à circulation conservative » la circulation $\;{\mathcal {C}}_{M_{1}{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}M_{2}}\!\left[{\vec {A}}(M)\right]\;$ du champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\;$ le long de $\;(\Gamma )\;$ orientée de $\;M_{1}\;$ à $\;M_{2}\;$
     Soient un champ vectoriel $\;\color {transparent}{{\vec {A}}(M)}\;$ de l'espace tridimensionnel « à circulation conservative » la circulation $\;{\mathcal {C}}_{M_{1}{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}M_{2}}\!\left[{\vec {A}}(M)\right]=\displaystyle \int _{M_{1}{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}M_{2}}\!\delta {\mathcal {C}}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)=\displaystyle \int _{M_{1}{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}M_{2}}\!{\vec {A}}(M)\cdot {\overrightarrow {dM}}\;$
      Soient un champ vectoriel $\;\color {transparent}{{\vec {A}}(M)}\;$ de l'espace tridimensionnel « à circulation conservative » la circulation est indépendante de la courbe $\;(\Gamma )\;$ suivie ${\big [}$voir le paragraphe
      Soient un champ vectoriel $\;\color {transparent}{{\vec {A}}(M)}\;$ de l'espace tridimensionnel « à circulation conservative » la circulation est « notion de champ vectoriel à circulation conservative » plus haut dans ce chapitre${\big ]}$.

Circulation le long d'une courbe fermée d'un champ vectoriel à circulation conservative de l'espace tridimensionnel

     Soient un champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\;$ de l'espace tridimensionnel « à circulation conservative »,
     Soient une courbe continue fermée $\;(\Gamma _{f})\;$ quelconque orientée dans un sens arbitraire et
     Soient un couple de points distincts $\;\left(M_{1}\,,\,M_{2}\right)\;$ quelconque sur la courbe $\;(\Gamma _{f})\;$ séparant cette dernière en deux portions de courbe $\;(\Gamma )\;$ et $\;(\Gamma ')\;$ toutes deux orientées de $\;M_{1}\;$ vers $\;M_{2}$
     Soient un couple de points distincts $\;\color {transparent}{\left(M_{1}\,,\,M_{2}\right)}\;$ quelconque sur la courbe $\;\color {transparent}{(\Gamma _{f})}\;$ séparant cette dernière en ${\big [}(\Gamma )\;$ étant la portion de courbe orientée dans le même sens que $\;(\Gamma _{f})$,
     Soient un couple de points distincts $\;\color {transparent}{\left(M_{1}\,,\,M_{2}\right)}\;$ quelconque sur la courbe $\;\color {transparent}{(\Gamma _{f})}\;$ séparant cette dernière en $\color {transparent}{\big [}$$(\Gamma ')\;$ celle orientée en sens contraire de $\;(\Gamma _{f}){\big ]}$,
     de la 1^ère définition d'un champ vectoriel « à circulation conservative » nous déduisons que la circulation du champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\;$ le long de $\;(\Gamma )\;$ ou $\;(\Gamma ')\;$ de $\;M_{1}\;$ à $\;M_{2}\;$ est la même soit
          de la 1^ère définition d'un champ vectoriel « à circulation conservative » nous déduisons que $\;{\mathcal {C}}_{M_{1}{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}M_{2}}\!\left[{\vec {A}}(M)\right]={\mathcal {C}}_{M_{1}{\overset {(\Gamma ')}{\rightarrow }}M_{2}}\!\left[{\vec {A}}(M)\right]\;$ c.-à-d. $\;\displaystyle \int _{M_{1}{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}M_{2}}\!{\vec {A}}(M)\cdot {\overrightarrow {dM}}=\displaystyle \int _{M_{1}{\overset {(\Gamma ')}{\rightarrow }}M_{2}}\!{\vec {A}}(M)\cdot {\overrightarrow {dM}}\;$ ou
          de la 1^ère définition d'un champ vectoriel « à circulation conservative » nous déduisons que $\;\color {transparent}{{\mathcal {C}}_{M_{1}{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}M_{2}}\!\left[{\vec {A}}(M)\right]={\mathcal {C}}_{M_{1}{\overset {(\Gamma ')}{\rightarrow }}M_{2}}\!\left[{\vec {A}}(M)\right]}\;$ c.-à-d. $\;\displaystyle \int _{M_{1}{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}M_{2}}\!{\vec {A}}(M)\cdot {\overrightarrow {dM}}=-\displaystyle \int _{M_{2}{\overset {(\Gamma ')}{\rightarrow }}M_{1}}\!{\vec {A}}(M)\cdot {\overrightarrow {dM}}\;$
          de la 1^ère définition d'un champ vectoriel « à circulation conservative » nous déduisons d'où $\;\displaystyle \int _{M_{1}{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}M_{2}}\!{\vec {A}}(M)\cdot {\overrightarrow {dM}}+\displaystyle \int _{M_{2}{\overset {(\Gamma ')}{\rightarrow }}M_{1}}\!{\vec {A}}(M)\cdot {\overrightarrow {dM}}=0\;$ soit «$\;\displaystyle \oint \limits _{(\Gamma _{f})}{\vec {A}}(M)\cdot {\overrightarrow {dM}}=0\;$»
          de la 1^ère définition d'un champ vectoriel « à circulation conservative » nous déduisons c.-à-d. la propriété ci-dessous :

Circulation d'un champ vectoriel à circulation conservative le long d'une courbe fermée

     Dans un espace tridimensionnel, la circulation d'un champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\;$ « à circulation conservative »
           Dans un espace tridimensionnel, la circulation le long d'une courbe fermée $\;(\Gamma _{f})\;$ quelconque orientée dans un sens arbitraire
           Dans un espace tridimensionnel, la circulation le long d'une courbe fermée $\;\color {transparent}{(\Gamma _{f})}\;$ quelconque est nulle soit «$\;{\mathcal {C}}_{(\Gamma _{f})}\!\left[{\vec {A}}(M)\right]=\displaystyle \oint \limits _{(\Gamma _{f})}{\vec {A}}(M)\cdot {\overrightarrow {dM}}=0\;\;\forall \;(\Gamma _{f})\;$ fermée » pour $\;{\vec {A}}(M)\;$ « à circulation conservative ».

Théorème de Kelvin - Stokes

     Le théorème de Kelvin - Stokes ${\big (}$admis${\big )}$ transforme la circulation d'un champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\;$ de l'espace tridimensionnel le long d'une courbe fermée $\;(\Gamma )\;$ orientée de façon arbitraire,
                  Le théorème de Kelvin - Stokes $\;\color {transparent}{\big (}$admis$\color {transparent}{\big )}\;$ transforme en flux du rotationnel du champ vectoriel $\;{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(P)\;$ à travers une surface ouverte quelconque $\;{\mathcal {S}}_{{\text{lim. par }}(\Gamma )}\;$ s'appuyant sur $\;(\Gamma )\;$
                       Le théorème de Kelvin - Stokes $\;\color {transparent}{\big (}$admis$\color {transparent}{\big )}\;$ transforme en flux du rotationnel du champ vectoriel $\;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(P)}\;$ à travers dont l'orientation est en accord avec celle du contour $\;(\Gamma )\;$ limitant
                 Le théorème de Kelvin - Stokes ${\Big \{}$condition d'applicabilité de ce théorème si le rotationnel du champ $\;{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(P)\;$ est continu sur toute la surface ouverte $\;{\mathcal {S}}_{{\text{lim. par }}(\Gamma )}\;$ s'appuyant sur $\;(\Gamma ){\Big \}}$ :

Début d’un théorème

Théorème de Kelvin - Stokes

     « La circulation d'un champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\;$ de l'espace tridimensionnel le long d'une courbe fermée $\;(\Gamma )\;$ orientée arbitrairement,
          « La circulation d'un champ vectoriel $\;\color {transparent}{{\vec {A}}(M)}\;$ est égale au flux du rotationnel du champ vectoriel $\;{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(P)\;$
          « La circulation d'un champ vectoriel $\;\color {transparent}{{\vec {A}}(M)}\;$ est égale au flux à travers une surface ouverte quelconque $\;{\mathcal {S}}_{{\text{lim. par }}(\Gamma )}\;$
          « La circulation d'un champ vectoriel $\;\color {transparent}{{\vec {A}}(M)}\;$ est égale au flux à travers une surface ouverte s'appuyant sur $\;(\Gamma )\;$
          « La circulation d'un champ vectoriel $\;\color {transparent}{{\vec {A}}(M)}\;$ est égale au flux à travers dont l'orientation est liée à celle du contour $\;(\Gamma )\;$ limitant,
     ce théorème s'appliquant dès lors que le rotationnel du champ $\;{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(P)\;$ est continu sur toute la surface ouverte $\;{\mathcal {S}}_{{\text{lim. par }}(\Gamma )}\;$
          ce théorème s'appliquant dès lors que le rotationnel du champ $\;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(P)}\;$ est continu sur toute la surface s'appuyant sur $\;(\Gamma )$ ;
     ce théorème soit, mathématiquement, avec «$\;{\mathcal {C}}_{(\Gamma )}\!\left[{\vec {A}}(M)\right]=\displaystyle \oint \limits _{(\Gamma )}{\vec {A}}(M)\cdot {\overrightarrow {dM}}\;$ la circulation de $\;{\vec {A}}(M)\;$ le long de $\;(\Gamma )\;$»,
     ce théorème soit, mathématiquement, avec «$\;\Phi _{{\mathcal {S}}_{{\text{lim. par }}(\Gamma )}}\!\left\lbrace {\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(P)\right\rbrace \;$ $=\displaystyle \iint \limits _{{\mathcal {S}}_{{\text{lim. par }}(\Gamma )}}{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(P)\cdot {\overrightarrow {dS}}_{P}\;$
          ce théorème soit, mathématiquement, avec «$\;\color {transparent}{\Phi _{{\mathcal {S}}_{{\text{lim. par }}(\Gamma )}}\!\left\lbrace {\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(P)\right\rbrace }\;$ le flux du champ $\;{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(P)\;$ à travers $\;{\mathcal {S}}_{{\text{lim. par }}(\Gamma )}\;$»,
     ce théorème soit, mathématiquement, «$\;{\mathcal {C}}_{(\Gamma )}\!\left[{\vec {A}}(M)\right]=\Phi _{{\mathcal {S}}_{{\text{lim. par }}(\Gamma )}}\!\left\lbrace {\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(P)\right\rbrace \;$» soit, en explicitant,
     ce théorème soit, mathématiquement, «$\;\displaystyle \oint \limits _{(\Gamma )}{\vec {A}}(M)\cdot {\overrightarrow {dM}}\;$ $=\displaystyle \iint \limits _{{\mathcal {S}}_{{\text{lim. par }}(\Gamma )}}{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(P)\cdot {\overrightarrow {dS}}_{P}\;$ ».

Fin du théorème

Propriété locale caractérisant un champ vectoriel à circulation conservative de l'espace tridimensionnel

     Propriété directe : soit un champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\;$ de l'espace tridimensionnel « à circulation conservative » et une courbe fermée $\;(\Gamma )\;$ quelconque orientée de façon arbitraire,

• la propriété de la circulation d'un champ vectoriel à circulation conservative de l'espace tridimensionnel le long d'une courbe fermée $\Rightarrow$«$\;{\mathcal {C}}_{(\Gamma )}\!\left[{\vec {A}}(M)\right]=\displaystyle \oint \limits _{(\Gamma )}{\vec {A}}(M)\cdot {\overrightarrow {dM}}=0\;\;\forall \;(\Gamma )\;$»,
• l'application du théorème de Kelvin - Stokes $\Rightarrow$ «$\;\displaystyle \oint \limits _{(\Gamma )}{\vec {A}}(M)\cdot {\overrightarrow {dM}}=\displaystyle \iint \limits _{{\mathcal {S}}_{{\text{lim. par }}(\Gamma )}}{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(P)\cdot {\overrightarrow {dS}}_{P}\;$» $\;{\big \{}$l'orientation de $\;({\mathcal {S}}_{{\text{lim. par }}(\Gamma )})\;$ étant en accord avec celle de $\;(\Gamma )\;$${\big \}}$,
• l'utilisation des deux résultats ci-dessus $\Rightarrow$ «$\;\displaystyle \iint \limits _{{\mathcal {S}}_{{\text{lim. par }}(\Gamma )}}{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(P)\cdot {\overrightarrow {dS}}_{P}=0\;\;\forall \;({\mathcal {S}}_{{\text{lim. par }}(\Gamma )})\;$» et, comme la surface $\;({\mathcal {S}}_{{\text{lim. par }}(\Gamma )})\;$ sur laquelle l'intégration est faite est quelconque,
  l'utilisation des deux résultats ci-dessus $\color {transparent}{\Rightarrow }$ la fonction vectorielle de l'espace tridimensionnel dont on calcule le flux est nulle en tout point de l'espace soit «$\;{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(P)={\vec {0}}\;\;\forall \;P\;$» ;

     Propriété directe : un champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\;$ de l'espace tridimensionnel « à circulation conservative » est tel que son rotationnel $\;{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)\;$ est nul en tout point $\;M\;$ de son domaine de définition.

     Propriété réciproque : soit un champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\;$ de l'espace tridimensionnel vérifiant $\;{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)={\vec {0}}\;\;\forall \;M\;$ et une surface ouverte $\;({\mathcal {S}})\;$ quelconque limitée par $\;(\Gamma _{f})$, courbe fermée,
          Propriété réciproque : soit un champ vectoriel $\;\color {transparent}{{\vec {A}}(M)}\;$ de l'espace tridimensionnel vérifiant $\;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)={\vec {0}}\;\;\forall \;M}\;$ et ${\big \{}$l'orientation de $\;({\mathcal {S}})\;$ étant en accord avec celle de $\;(\Gamma _{f})\;$${\big \}}$,

• l'utilisation du théorème de Kelvin - Stokes $\Rightarrow$ «$\;\displaystyle \iint \limits _{({\mathcal {S}})}{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(P)\cdot {\overrightarrow {dS}}_{P}=\displaystyle \oint \limits _{(\Gamma _{f})}{\vec {A}}(M)\cdot {\overrightarrow {dM}}\;$»,
• la nullité du rotationnel $\;{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)\;$ du champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\;$ $\Rightarrow$ «$\;\displaystyle \iint \limits _{({\mathcal {S}})}{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(P)\cdot {\overrightarrow {dS}}_{P}=\displaystyle \iint \limits _{({\mathcal {S}})}{\vec {0}}\cdot {\overrightarrow {dS}}_{P}=0\;$»,
• l'utilisation des deux résultats ci-dessus $\Rightarrow$ «$\;\displaystyle \oint \limits _{(\Gamma _{f})}{\vec {A}}(M)\cdot {\overrightarrow {dM}}=0\;$» ce qui assure que le champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\;$ est « à circulation conservative » ;

     Propriété réciproque : un champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\;$ de l'espace tridimensionnel vérifiant $\;{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)={\vec {0}}\;\;\forall \;M\;$ est « à circulation conservative ».

Début d’un théorème

Propriété locale d'un champ vectoriel à circulation conservative de l'espace tridimensionnel

     Un champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\;$ de l'espace tridimensionnel est « à circulation conservative » ssi «$\;{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)=0\;\;\forall \;M\;$».

Fin du théorème

Formule de Green - Riemann (cas particulier du théorème de Kelvin - Stokes)

     La formule de Green - Riemann, cas particulier du théorème de Kelvin - Stokes vu plus haut dans ce chapitre pour un champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\;$ d'un espace bidimensionnel plan,
                          La formule de Green - Riemann transforme la circulation de ce champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\;$ le long d'une courbe fermée plane $\;(\Gamma )\;$ orientée dans le sens trigonométrique direct,
                          La formule de Green - Riemann transforme en intégrale surfacique de la grandeur $\;\left[\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial x}}\right)_{\!\!y}-\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial y}}\right)_{\!\!x}\right](P)\;$ sur la surface plane $\;{\mathcal {S}}_{{\text{lim. par }}(\Gamma )}\;$ limitée par $\;(\Gamma )$,
                          La formule de Green - Riemann ${\bigg \{}$condition d'applicabilité de cette formule si $\;\left[\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial x}}\right)_{\!\!y}-\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial y}}\right)_{\!\!x}\right](P)\;$ est continue sur toute la surface plane $\;{\mathcal {S}}_{{\text{lim. par }}(\Gamma )}\;$ limitée par $\;(\Gamma ){\bigg \}}$ :

Début d’un théorème

Formule de Green - Riemann

     « La circulation d'un champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\;$ de l'espace bidimensionnel plan le long d'une courbe fermée plane $\;(\Gamma )\;$ orientée
          « La circulation d'un champ vectoriel $\;\color {transparent}{{\vec {A}}(M)}\;$ de l'espace bidimensionnel plan le long d'une dans le sens trigonométrique direct,
          « La circulation d'un champ vectoriel $\;\color {transparent}{{\vec {A}}(M)}\;$ est égale à l'intégrale surfacique de la grandeur $\;\left[\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial x}}\right)_{\!\!y}-\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial y}}\right)_{\!\!x}\right](P)\;$
          « La circulation d'un champ vectoriel $\;\color {transparent}{{\vec {A}}(M)}\;$ est égale à sur la surface plane $\;{\mathcal {S}}_{{\text{lim. par }}(\Gamma )}\;$ limitée par $\;(\Gamma )$,
     cette formule s'appliquant dès lors que la grandeur $\;\left[\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial x}}\right)_{\!\!y}-\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial y}}\right)_{\!\!x}\right](P)\;$ est continue sur $\;{\mathcal {S}}_{{\text{lim. par }}(\Gamma )}\;$ limitée par $\;(\Gamma )$ ;
     cette formule soit, mathématiquement, avec «$\;{\mathcal {C}}_{(\Gamma )}\!\left[{\vec {A}}(M)\right]=\displaystyle \oint \limits _{(\Gamma )}{\vec {A}}(M)\cdot {\overrightarrow {dM}}\;$ la circulation de $\;{\vec {A}}(M)\;$ le long de $\;(\Gamma )\;$»,
     cette formule soit, mathématiquement, «$\;{\mathcal {C}}_{(\Gamma )}\!\left[{\vec {A}}(M)\right]=\displaystyle \iint \limits _{{\mathcal {S}}_{{\text{lim. par }}(\Gamma )}}\left[\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial x}}\right)_{\!\!y}-\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial y}}\right)_{\!\!x}\right](P)\;dS_{P}\;$» avec $\;dS_{P}=dx\;dy$
 ce théorème soit, mathématiquement, ou «$\;\displaystyle \oint \limits _{(\Gamma )}{\vec {A}}(M)\cdot {\overrightarrow {dM}}\;$ $=\displaystyle \iint \limits _{{\mathcal {S}}_{{\text{lim. par }}(\Gamma )}}\left[\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial x}}\right)_{\!\!y}-\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial y}}\right)_{\!\!x}\right](P)\;dx\;dy\;$ ».

Fin du théorème

     Remarque 1 : Si on plonge l'espace bidimensionnel plan $\;(xOy)\;$ dans l'espace tridimensionnel $\;({\mathcal {E}}_{3})$ $\;{\big \{}$le vecteur de base $\;{\vec {u}}_{z}\;$ de la 3^ème dimension orientant $\;(xOy)\;$ dans le sens trigonométrique direct${\big \}}$,
     Remarque 1 : le champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\;$ de l'espace bidimensionnel plan $\;(xOy)\;$ étant considéré comme champ vectoriel de l'espace tridimensionnel $\;({\mathcal {E}}_{3})\;$ avec «$\;A_{z}=0\;$» pour composante sur $\;{\vec {u}}_{z}$,
     Remarque 1 : la grandeur $\;\left[\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial x}}\right)_{\!\!y}-\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial y}}\right)_{\!\!x}\right](x\,,\,y)\;$ à intégrer sur la surface plane $\;{\mathcal {S}}_{{\text{lim. par }}(\Gamma )}\;$ du plan $\;xOy\;$ dans l'intégrale surfacique de la formule de Green - Riemann
                   Remarque 1 : la grandeur $\;\color {transparent}{\left[\left(\partial A_{y}\right)_{\!\!y}-\left(\partial A_{x}\right)_{\!\!x}\right](x\,,\,y)}\;$ à intégrer s'identifie à la seule composante cartésienne non nulle du rotationnel $\;{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right](P)\;$ du champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\;$ dans $\;({\mathcal {E}}_{3})$,
                   Remarque 1 : la grandeur $\;\color {transparent}{\left[\left(\partial A_{y}\right)_{\!\!y}-\left(\partial A_{x}\right)_{\!\!x}\right](x\,,\,y)}\;$ à intégrer c.-à-d. la composante sur $\;{\vec {u}}_{z}\;$, soit «$\;\left[\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial x}}\right)_{\!\!y}-\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial y}}\right)_{\!\!x}\right](x\,,\,y)\;$ $={\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right](P)\cdot {\vec {u}}_{z}\;$ » et par suite,
     Remarque 1 : la formule de Green - Riemann se réécrit «$\;{\mathcal {C}}_{(\Gamma )}\!\left[{\vec {A}}(M)\right]=\displaystyle \iint \limits _{{\mathcal {S}}_{{\text{lim. par }}(\Gamma )}}\left\lbrace {\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right](P)\cdot {\vec {u}}_{z}\right\rbrace \,dx\;dy=\displaystyle \iint \limits _{{\mathcal {S}}_{{\text{lim. par }}(\Gamma )}}{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right](P)\cdot \left[dx\;dy\;{\vec {u}}_{z}\right]\;$» ou,
                         Remarque 1 : la formule de Green - Riemann se réécrit « le vecteur surface élémentaire de $\;{\mathcal {S}}_{{\text{lim. par }}(\Gamma )}\;$ s'écrivant $\;{\overrightarrow {dS}}_{P}=dx\;dy\;{\vec {u}}_{z}\;$
                         Remarque 1 : la formule de Green - Riemann se réécrit «$\;{\mathcal {C}}_{(\Gamma )}\!\left[{\vec {A}}(M)\right]=\displaystyle \iint \limits _{{\mathcal {S}}_{{\text{lim. par }}(\Gamma )}}{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right](P)\cdot {\overrightarrow {dS}}_{P}\;$ », cas particulier du théorème de Kelvin - Stokes.

     Remarque 2 : On en déduit la propriété locale caractéristique d'un champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\;$ « à circulation conservative » d'un espace bidimensionnel plan $\;(xOy)$ :

«$\;\left[\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial x}}\right)_{\!\!y}-\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial y}}\right)_{\!\!x}\right](x\,,\,y)=0\;$ » $\Leftrightarrow$ «$\;\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial x}}\right)_{\!\!y}(x\,,\,y)=\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial y}}\right)_{\!\!x}(x\,,\,y)\;$ ».

Retour sur les conditions nécessaires (mais non suffisantes) pour qu'un champ vectoriel de l'espace tridimensionnel soit à circulation conservative

     Nous avons établi ces conditions dans le paragraphe « conditions nécessaires (mais non suffisantes) pour qu'un champ vectoriel de l'espace à deux ou trois dimensions soit à circulation conservative »
     Nous avons établi des conditions plus haut dans ce chapitre, les C.N. $\;{\big (}$mais non suffisantes${\big )}\;$ sont, dans les trois principaux types de repérage des points de l'espace :
     Nous avons établi des conditions plus haut dans ce chapitre, elles sont, $\bullet \;$en repérage cartésien, «$\;{\vec {A}}(M)=A_{x}(M)\;{\vec {u}}_{x}+A_{y}(M)\;{\vec {u}}_{y}+A_{z}(M)\;{\vec {u}}_{z}\;$» est « à circulation conservative » si
     Nous avons établi des conditions plus haut dans ce chapitre, elles sont, $\color {transparent}{\bullet }\;$en repérage cartésien, $\;\left\lbrace {\begin{array}{l c l}\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial z}}\right)_{\!\!x,\,y}(M)\!\!&=&\!\!\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial y}}\right)_{\!\!x,\,z}(M)\\\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial z}}\right)_{\!\!x,\,y}(M)\!\!&=&\!\!\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial x}}\right)_{\!\!y,\,z}(M)\\\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial y}}\right)_{\!\!x,\,z}(M)\!\!&=&\!\!\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial x}}\right)_{\!\!y,\,z}(M)\end{array}}\right\rbrace \;$ $\Leftrightarrow$ $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial y}}\right)_{\!\!z,\,x}(M)-\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial z}}\right)_{\!\!y,\,x}(M)=0\\\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial z}}\right)_{\!\!x,\,y}(M)-\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial x}}\right)_{\!\!z,\,y}(M)=0\\\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial x}}\right)_{\!\!y,\,z}(M)-\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial y}}\right)_{\!\!x,\,z}(M)=0\end{array}}\right\rbrace \;$
        Nous avons établi des conditions plus haut dans ce chapitre, elles sont, $\color {transparent}{\bullet }\;$en repérage cartésien, soit finalement $\;{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)={\vec {0}}\;$,
     Nous avons établi des conditions plus haut dans ce chapitre, elles sont, $\bullet \;$en repérage cylindro-polaire, «$\;{\vec {A}}(M)=A_{\rho }(M)\;{\vec {u}}_{\rho }+A_{\theta }(M)\;{\vec {u}}_{\theta }+A_{z}(M)\;{\vec {u}}_{z}\;$» est « à circulation conservative » si
            Nous avons établi des conditions plus haut dans ce chapitre, elles sont, $\color {transparent}{\bullet }\;$en repérage cylindro-polaire, $\;\left\lbrace {\begin{array}{l c l}\left[{\dfrac {\partial \left(\rho \;A_{\theta }\right)}{\partial z}}\right]_{\!\rho ,\,\theta }(M)\!\!&=&\!\!\left[{\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \theta }}\right]_{\!\rho ,\,z}(M)\\\left[{\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial z}}\right]_{\!\rho ,\,\theta }(M)\!\!&=&\!\!\left[{\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \rho }}\right]_{\!\theta ,\,z}(M)\\\left[{\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial \theta }}\right]_{\!\rho ,\,z}(M)\!\!&=&\!\!\left[{\dfrac {\partial \left(\rho \;A_{\theta }\right)}{\partial \rho }}\right]_{\!\theta ,\,z}(M)\end{array}}\right\rbrace \;$ $\Leftrightarrow$
            Nous avons établi des conditions plus haut dans ce chapitre, elles sont, $\color {transparent}{\bullet }\;$en repérage cylindro-polaire, $\;\left\lbrace {\begin{array}{l c l}{\dfrac {1}{\rho }}\,\left[{\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \theta }}\right]_{\!\rho ,\,z}(M)-\left[{\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial z}}\right]_{\!\rho ,\,\theta }(M)\!\!&=&\!\!0\\\left[{\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial z}}\right]_{\!\rho ,\,\theta }(M)-\left[{\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \rho }}\right]_{\!\theta ,\,z}(M)\!\!&=&\!\!0\\{\dfrac {1}{\rho }}\left\lbrace \left[{\dfrac {\partial \left(\rho \;A_{\theta }\right)}{\partial \rho }}\right]_{\!\theta ,\,z}(M)-\left[{\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial \theta }}\right]_{\!\rho ,\,z}(M)\right\rbrace \!\!&=&\!\!0\end{array}}\right\rbrace \;$
               Nous avons établi des conditions plus haut dans ce chapitre, elles sont, $\color {transparent}{\bullet }\;$en repérage cylindro-polaire, soit finalement $\;{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)={\vec {0}}\;$ et
     Nous avons établi des conditions plus haut dans ce chapitre, elles sont, $\bullet \;$en repérage sphérique, «$\;{\vec {A}}(M)=A_{r}(M)\;{\vec {u}}_{r}+A_{\theta }(M)\;{\vec {u}}_{\theta }+A_{\varphi }(M)\;{\vec {u}}_{\varphi }\;$» est « à circulation conservative » si
            Nous avons établi des conditions plus haut dans ce chapitre, elles sont, $\color {transparent}{\bullet }\;$en repérage sphérique, $\;\left\lbrace {\begin{array}{l c l}\left[{\dfrac {\partial \left(r\;A_{\theta }\right)}{\partial \varphi }}\right]_{\!r,\,\theta }(M)\!\!&=&\!\!\left[{\dfrac {\partial \left[r\;\sin(\theta )\;A_{\varphi }\right]}{\partial \theta }}\right]_{\!r,\,\varphi }(M)\\\left[{\dfrac {\partial A_{r}}{\partial \varphi }}\right]_{\!r,\,\theta }(M)\!\!&=&\!\!\left[{\dfrac {\partial \left[r\;\sin(\theta )\;A_{\varphi }\right]}{\partial r}}\right]_{\!\theta ,\,\varphi }(M)\\\left[{\dfrac {\partial A_{r}}{\partial \theta }}\right]_{\!r,\,\varphi }(M)\!\!&=&\!\!\left[{\dfrac {\partial \left(r\;A_{\theta }\right)}{\partial r}}\right]_{\!\theta ,\,\varphi }(M)\end{array}}\right\rbrace \;$ $\Leftrightarrow$
            Nous avons établi des conditions plus haut dans ce chapitre, elles sont, $\color {transparent}{\bullet }\;$en repérage sphérique, $\;\left\lbrace {\begin{array}{l c l}{\dfrac {1}{r\;\sin(\theta )}}\left\lbrace \left[{\dfrac {\partial \left[\sin(\theta )\;A_{\varphi }\right]}{\partial \theta }}\right]_{\!r,\,\varphi }(M)-\left[{\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \varphi }}\right]_{\!r,\,\theta }(M)\right\rbrace \!\!&=&\!\!0\\{\dfrac {1}{r\;\sin(\theta )}}\left[{\dfrac {\partial A_{r}}{\partial \varphi }}\right]_{\!r,\,\theta }(M)-{\dfrac {1}{r}}\left[{\dfrac {\partial \left[r\;A_{\varphi }\right]}{\partial r}}\right]_{\!\theta ,\,\varphi }(M)\!\!&=&\!\!0\\{\dfrac {1}{r}}\left\lbrace \left[{\dfrac {\partial \left(r\;A_{\theta }\right)}{\partial r}}\right]_{\!\theta ,\,\varphi }(M)-\left[{\dfrac {\partial A_{r}}{\partial \theta }}\right]_{\!r,\,\varphi }(M)\right\rbrace \!\!&=&\!\!0\end{array}}\right\rbrace \;$
               Nous avons établi des conditions plus haut dans ce chapitre, elles sont, $\color {transparent}{\bullet }\;$en repérage sphérique, soit finalement $\;{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)={\vec {0}}\;$.
     Conclusion : les C.N. $\;{\big (}$mais non suffisantes${\big )}\;$ pour que $\;{\vec {A}}(M)\;$ soit « à circulation conservative » s'identifie à la propriété locale pour qu'un tel champ vectoriel soit « à circulation conservative » soit

«$\;{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)={\vec {0}}\;$ ».

Retour sur les conditions suffisantes pour qu'un champ vectoriel de l'espace tridimensionnel soit « à circulation conservative »

     Nous avons vu, d'après le lemme de Poincaré $\;{\big (}$réécrit en termes de champ vectoriel${\big )}\;$, que
     Nous avons vu, tout champ vectoriel d'un espace tridimensionnel
     Nous avons vu, tout champ vectoriel pour lequel la circulation élémentaire est une forme différentielle fermée
         Nous avons vu, tout champ vectoriel pour lequel la circulation élémentaire est sur un ouvert étoilé de son domaine de définition
     Nous avons vu, tout champ vectoriel est un champ vectoriel à circulation conservative ;
     nous avons établi, au paragraphe précédent, l'équivalence entre « la circulation élémentaire du champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\;$ est une forme différentielle fermée et
     nous avons établi, au paragraphe précédent, l'équivalence entre « la nullité du rotationnel du champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\;$ c.-à-d. $\;{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)={\vec {0}}\;$»,
     nous pouvons donc affirmer que « la condition de nullité du rotationnel du champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\;$ sur un ouvert étoilé du domaine de définition de ce champ vectoriel »
     nous pouvons donc affirmer que « est suffisante pour que le champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\;$ soit « à circulation conservative » ainsi
     nous pouvons donc affirmer que «$\;{\vec {A}}(M)\;$ est “ à circulation conservative ” sur un ouvert étoilé de $\;\mathbb {R} ^{3}\;$ ssi $\;{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)={\vec {0}}\;$ en tout point de cet ouvert ».