Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Formes différentielles et différentielles de fonctions

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Forme différentielle des variables indépendantes « x, y et z »

Définition d'une forme différentielle des variables indépendantes « x, y et z »

     On appelle « forme différentielle des variables indépendantes $\;\left(x\,,\,y\,,\,z\right)\;$ », toute expression formée à partir des trois fonctions scalaires de classe $\;C^{1}\;$ $\;\left\lbrace A(x,\,y,\,z)\,,\;B(x,\,y,\,z)\,,\;C(x,\,y,\,z)\right\rbrace \;$ des trois variables indépendantes $\;\left(x\,,\,y\,,\,z\right)\;$ et des trois éléments différentiels $\;\left(dx\,,\,dy\,,\,dz\right)\;$ selon

$\;A(x,\,y,\,z)\;dx+B(x,\,y,\,z)\;dy+C(x,\,y,\,z)\;dz\;$.

Exemple dans le cas où les variables indépendantes sont les coordonnées cartésiennes d'un point dans l'espace tridimensionnel

     Si $\;\left(x\,,\,y\,,\,z\right)\;$ sont les coordonnées cartésiennes du point générique $\;M\;$ de l'espace à trois dimensions, la circulation élémentaire du champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)=A_{x}(M)\;{\vec {u}}_{x}+A_{y}(M)\;{\vec {u}}_{y}+A_{z}(M)\;{\vec {u}}_{z}\;$ définie selon $\;\delta {\mathcal {C}}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)={\vec {A}}(M)\cdot {\overrightarrow {dM}}\;$ est une forme différentielle car $\;\delta {\mathcal {C}}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)=$ ${\vec {A}}(M)\cdot {\overrightarrow {dM}}=A_{x}(M)\;dx+A_{y}(M)\;dy+A_{z}(M)\;dz$, les trois fonctions scalaires de la forme différentielle $\;\delta {\mathcal {C}}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)\;$ étant respectivement les trois composantes acrtésiennes du champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\;$ soit $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}A(x,\,y,\,z)=A_{x}(M)\\B(x,\,y,\,z)=A_{y}(M)\\C(x,\,y,\,z)=A_{z}(M)\end{array}}\right\rbrace$.

Exemple dans le cas où les variables indépendantes sont les coordonnées cylindro-polaires (ou cylindriques) d'un point dans l'espace tridimensionnel

     Si $\;\left(\rho \,,\,\theta \,,\,z\right)\;$ sont les coordonnées cylindro-polaires $\;{\big (}$ou cylindriques${\big )}\;$ du point générique $\;M\;$ de l'espace à trois dimensions , la circulation élémentaire du champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)=$ $A_{\rho }(M)\;{\vec {u}}_{\rho }(M)+A_{\theta }(M)\;{\vec {u}}_{\theta }(M)+A_{z}(M)\;{\vec {u}}_{z}\;$ définie selon $\;\delta {\mathcal {C}}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)={\vec {A}}(M)\cdot {\overrightarrow {dM}}\;$ est une forme différentielle car $\;\delta {\mathcal {C}}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)=$ ${\vec {A}}(M)\cdot {\overrightarrow {dM}}=A_{\rho }(M)\;d\rho +A_{\theta }(M)\;\rho \,d\theta +A_{z}(M)\;dz\;$, les trois fonctions scalaires de la forme différentielle $\;\delta {\mathcal {C}}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)\;$ étant liées aux trois composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\;$ par $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}A(\rho ,\,\theta ,\,z)=A_{\rho }(M)\\B(\rho ,\,\theta ,\,z)=\rho \;A_{\theta }(M)\\C(\rho ,\,\theta ,\,z)=A_{z}(M)\end{array}}\right\rbrace$.

Exemple dans le cas où les variables indépendantes sont les coordonnées sphériques d'un point dans l'espace tridimensionnel

     Si $\;\left(r\,,\,\theta \,,\,\varphi \right)\;$ sont les coordonnées sphériques du point générique $\;M\;$ de l'espace à trois dimensions , la circulation élémentaire du champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)=$ $A_{r}(M)\;{\vec {u}}_{r}(M)+A_{\theta }(M)\;{\vec {u}}_{\theta }(M)+A_{\varphi }(M)\;{\vec {u}}_{\varphi }(M)\;$ définie selon $\;\delta {\mathcal {C}}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)=$ ${\vec {A}}(M)\cdot {\overrightarrow {dM}}\;$ est une forme différentielle car $\;\delta {\mathcal {C}}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)={\vec {A}}(M)\cdot {\overrightarrow {dM}}=$ $A_{r}(M)\;dr+A_{\theta }(M)\;r\,d\theta +A_{\varphi }(M)\;r\,\sin(\theta )\,d\varphi \;$, les trois fonctions scalaires de la forme différentielle $\;\delta {\mathcal {C}}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)\;$ étant liées aux trois composantes sphériques du champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\;$ par $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}A(r,\,\theta ,\,\varphi )=A_{r}(M)\\B(r,\,\theta ,\,\varphi )=r\;A_{\theta }(M)\\C(r,\,\theta ,\,\varphi )=r\;\sin(\theta )\;A_{\varphi }(M)\end{array}}\right\rbrace$.

Exemple dans le cas où les variables indépendantes ne sont pas des coordonnées d'un point de l'espace

     Nous aurons de nombreux exemples dans le domaine de la thermodynamique ou de la statique des fluides, les variables indépendantes pouvant être

• définies en chaque point $\;M\;$ de l'espace comme la température absolue $\;T_{M}$, la pression $\;p_{M}$, la concentration volumique molaire $\;c_{M}\;$ ou la masse volumique $\;\mu _{M}\;$ ou
• définies pour l'ensemble du système $\;(\Sigma )\;$ étudié comme le volume $\;V_{(\Sigma )}$, la quantité de matière $\;n_{(\Sigma )}\;$ ou la masse $\;m_{(\Sigma )}\;$ ou encore
• un ensemble des deux judicieusement défini $\ldots$

Distinction entre forme différentielle et différentielle de fonction scalaire des variables indépendantes « x, y et z »

Dans ce paragraphe, $\;\left(x\,,\,y\,,\,z\right)\;$ désigne n'importe quel type de variables indépendantes .

Rappel sur la notion de différentielle d'une fonction scalaire de deux variables indépendantes et généralisation à plus de deux variables indépendantes

     Revoir la notion de « différentielle d'une fonction de deux variables indépendantes » ainsi que la « définition correspondante » introduites au chap.$6$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » soit

pour la fonction scalaire des deux variables indépendantes $\;(x,\,y)\;{\overset {f}{\rightarrow }}\;f(x,\,y)\in \mathbb {R} ,\;\forall \;(x,\,y)\in \mathbb {R} ^{2}$,
la différentielle $\;df\;$ définie au point $\;(x_{0}\,,\,y_{0})\;$ selon $\;df=\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!\!y}\!(x_{0},\,y_{0})\,dx\,+\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!\!x}\!(x_{0},\,y_{0})\,dy\;$
dans laquelle $\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!\!y}\!(x_{0},\,y_{0})\;$ et $\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!\!x}\!(x_{0},\,y_{0})\;$ sont les dérivées partielles de $\;f\;$ au point en question  ;

     la généralisation à une fonction scalaire de plus de deux variables indépendantes est explicitée ci-dessous dans le cas de trois variables indépendantes soit

pour la fonction scalaire des trois variables indépendantes $\;(x,\,y,\,z)\;{\overset {f}{\rightarrow }}\;f(x,\,y,\,z)\in \mathbb {R} ,\;\forall \;(x,\,y,\,z)\in \mathbb {R} ^{3}$,
la différentielle $\;df\;$ définie en $\;(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0})\;$ selon $\;df=\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!\!y,z}\!(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})\,dx\,+\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!\!x,z}\!(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})\,dy\,+\left({\dfrac {\partial f}{\partial z}}\right)_{\!\!x,y}\!(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})\,dz\;$
dans laquelle $\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!\!y,z}\!(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})$, $\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!\!x,z}\!(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})\;$ et $\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial z}}\right)_{\!\!x,y}\!(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})\;$ sont les dérivées partielles de $\;f\;$ au point en question .

Distinction entre une « forme différentielle » et une « différentielle de fonction scalaire » (exposée dans le cas de deux variables indépendantes)

     La différentielle $\;df\;$ de la fonction scalaire $\;f\;$ des deux variables indépendantes $\;(x\,,\,y)\;$ étant un cas particulier de forme différentielle $\;\delta _{\text{forme diff}}(x,\,y)\;$ dans laquelle les deux fonctions $\;\left\lbrace A(x,\,y)\,,\,B(x,\,y)\right\rbrace \;$ a priori indépendantes l'une de l'autre sont liées entre elles comme dérivées partielles de la fonction $\;f$, nous pouvons qualifier de « forme différentielle » la différentielle d'une fonction scalaire tant que nous n'avons pas vérifié qu'il s'agit bien d'une différentielle de fonction scalaire $\;\ldots$

     Si on intègre une forme différentielle quelconque des deux variables indépendantes $\;(x\,,\,y)\;$ à partir d'un point $\;M_{1}\;$ jusqu'à un point $\;M_{2}\;$ en suivant une courbe $\;(\Gamma )\;$ et

• si on obtient un résultat dépendant de la courbe $\;(\Gamma )\;$ suivie pour un même couple de points extrêmes $\;\left(M_{1}\,,\,M_{2}\right)$, la forme différentielle n'est pas une différentielle de fonction scalaire mais
• si le résultat est indépendant de la courbe $\;(\Gamma )\;$ suivie pour un même couple de points extrêmes $\;\left(M_{1}\,,\,M_{2}\right)$, la forme différentielle est en fait une différentielle de fonction scalaire $\;{\big [}$une forme différentielle qui est une différentielle de fonction scalaire est encore appelée « différentielle exacte » ${\big ]}$.

Retour sur les exemples où les trois variables indépendantes sont les coordonnées cartésiennes, cylindro-polaires ou sphériques d'un point de l'espace tridimensionnel

Correspondance entre « forme différentielle des coordonnées de l'espace » et « circulation élémentaire d'un champ vectoriel de cet espace »

     Dans le cas où les trois variables indépendantes sont des coordonnées cartésiennes, cylindro-polaires ou sphériques d'un point $\;M\;$ de l'espace tridimensionnel, toute forme différentielle $\;\delta _{\text{forme diff}}(M)\;$ est aussi la circulation élémentaire d'un champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\;$ de l'espace $\;\delta {\mathcal {C}}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)\;$ et réciproquement selon la correspondance suivante :

• en repérage cartésien $\;M\left(x\,,\,y\,,\,z\right)\;$ toute forme différentielle $\;\delta _{\text{forme diff}}(M)=A(M)\,dx+B(M)\,dy+C(M)\,dz\;$ est aussi la circulation élémentaire du champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\left\lbrace {\begin{array}{l}A_{x}(M)=A(M)\\A_{y}(M)=B(M)\\A_{z}(M)=C(M)\end{array}}\right\rbrace$,
• en repérage cylindro-polaire $\;M\left(\rho \,,\,\theta \,,\,z\right)\;$ toute forme différentielle $\;\delta _{\text{forme diff}}(M)=A(M)\,d\rho +B(M)\,d\theta +C(M)\,dz\;$ est aussi la circulation élémentaire du champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\left\lbrace {\begin{array}{l}A_{\rho }(M)=A(M)\\A_{\theta }(M)={\dfrac {B(M)}{\rho }}\\A_{z}(M)=C(M)\end{array}}\right\rbrace \;$ et
• en repérage sphérique $\;M\left(r\,,\,\theta \,,\,\varphi \right)\;$ toute forme différentielle $\;\delta _{\text{forme diff}}(M)=A(M)\,dr+B(M)\,d\theta +C(M)\,d\varphi \;$ est aussi la circulation élémentaire du champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\left\lbrace {\begin{array}{l}A_{r}(M)=A(M)\\A_{\theta }(M)={\dfrac {B(M)}{r}}\\A_{\varphi }(M)={\dfrac {C(M)}{r\;\sin(\theta )}}\end{array}}\right\rbrace$.

Notion de « champ vectoriel à circulation conservative » et correspondance entre la « circulation élémentaire d'un tel champ » et la « différentielle de fonction scalaire des coordonnées de l'espace »

Notion de « champ vectoriel à circulation conservative »

     Un champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\;$ de l'espace est dit « à circulation conservative » ssi sa circulation le long de la courbe $\;(\Gamma )\;$ de $\;M_{1}\;$ à $\;M_{2}\;$ définie par $\;{\mathcal {C}}_{M_{1}{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}M_{2}}\!\left[{\vec {A}}(M)\right]$ $=\displaystyle \int _{M_{1}{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}M_{2}}\!\delta {\mathcal {C}}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)=$ $=\displaystyle \int _{M_{1}{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}M_{2}}\!{\vec {A}}(M)\cdot {\overrightarrow {dM}}\;$ est indépendante de la courbe $\;(\Gamma )\;$ suivie.

Correspondance entre « différentielle de fonction scalaire des coordonnées de l'espace » et « circulation élémentaire d'un champ vectoriel à circulation conservative »

     Compte-tenu des propriétés et définition fournies précédemment, à savoir :

• toute forme différentielle $\;\delta _{\text{forme diff}}(M)\;$ dont l'intégrale à partir d'un point $\;M_{1}\;$ jusqu'à un point $\;M_{2}\;$ en suivant une courbe $\;(\Gamma )\;$ est indépendante de la courbe suivie est une différentielle de fonction scalaire,
• toute forme différentielle $\;\delta _{\text{forme diff}}(M)\;$ des coordonnées de l'espace est aussi la circulation élémentaire d'un champ vectoriel de l'espace et
• tout champ vectoriel de l'espace dont la circulation le long de la courbe $\;(\Gamma )\;$ de $\;M_{1}\;$ à $\;M_{2}\;$ est indépendante de la courbe suivie est dit « à circulation conservative »,

     on en déduit que toute « différentielle de fonction scalaire des coordonnées de l'espace » est la « circulation élémentaire d'un champ vectoriel à circulation conservative » et réciproquement.

Définition équivalente d'un « champ vectoriel à circulation conservative »

     Compte-tenu de la correspondance entre une « différentielle de fonction scalaire des coordonnées de l'espace » et la « circulation élémentaire d'un champ vectoriel à circulation conservative », nous en déduisons qu'il est équivalent de définir un champ vectoriel à circulation conservative selon :

     Un champ vectoriel de l'espace est dit « à circulation conservative » ssi sa circulation élémentaire est une différentielle de fonction scalaire $\;{\big (}$c.-à-d. une différentielle exacte ${\big )}$.

Conditions nécessaires (mais non suffisantes) pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire (conditions d'« égalités des dérivées croisées »)

Recherche de conditions nécessaires pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire

     Soit $\;\delta _{\text{forme diff}}=A(x,\,y,\,z)\,dx+B(x,\,y,\,z)\,dy+C(x,\,y,\,z)\,dz\;$ une forme différentielle qui est la différentielle d'une fonction scalaire $\;f(x,\,y,\,z)\;$ c.-à-d. telle que $\;\delta _{\text{forme diff}}=df\;$ avec $\;df=$ $\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!\!y,\,z}\!\!(M)\,dx+\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!\!x,\,z}\!\!(M)\,dy+\left({\dfrac {\partial f}{\partial z}}\right)_{\!\!x,\,y}\!\!(M)\,dz$, cette identification devant être vérifiée pour tout triplet $\;\left(dx\,,\,dy\,,\,dz\right)$, on en déduit donc $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}A(M)=\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!\!y,\,z}\!\!(M)\\B(M)=\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!\!x,\,z}\!\!(M)\\C(M)=\left({\dfrac {\partial f}{\partial z}}\right)_{\!\!x,\,y}\!\!(M)\end{array}}\right\rbrace$ ;

     admettant que lors d'une dérivation partielle du 2^nd ordre on peut permuter l'ordre des dérivations sans changer le résultat $\;{\big (}$théorème de Schwarz ${\big )}\;$ on en déduit les C.N. suivantes :

• de $\;\left\lbrace {\dfrac {\partial \!\left[\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!\!y,\,z}\right]}{\partial y}}\right\rbrace _{\!\!x,\,z}\!\!(M)=\left\lbrace {\dfrac {\partial \!\left[\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!\!x,\,z}\right]}{\partial x}}\right\rbrace _{\!\!y,\,z}\!\!(M)\;$ on déduit $\;\left({\dfrac {\partial A}{\partial y}}\right)_{\!\!x,\,z}\!\!(M)=\left({\dfrac {\partial B}{\partial x}}\right)_{\!\!y,\,z}\!\!(M)$,
• de $\;\left\lbrace {\dfrac {\partial \!\left[\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!\!y,\,z}\right]}{\partial z}}\right\rbrace _{\!\!x,\,y}\!\!(M)=\left\lbrace {\dfrac {\partial \!\left[\left({\dfrac {\partial f}{\partial z}}\right)_{\!\!x,\,y}\right]}{\partial x}}\right\rbrace _{\!\!y,\,z}\!\!(M)\;$ on déduit $\;\left({\dfrac {\partial A}{\partial z}}\right)_{\!\!x,\,y}\!\!(M)=\left({\dfrac {\partial C}{\partial x}}\right)_{\!\!y,\,z}\!\!(M)\;$ et
• de $\;\left\lbrace {\dfrac {\partial \!\left[\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!\!x,\,z}\right]}{\partial z}}\right\rbrace _{\!\!x,\,y}\!\!(M)=\left\lbrace {\dfrac {\partial \!\left[\left({\dfrac {\partial f}{\partial z}}\right)_{\!\!x,\,y}\right]}{\partial y}}\right\rbrace _{\!\!x,\,z}\!\!(M)\;$ on déduit $\;\left({\dfrac {\partial B}{\partial z}}\right)_{\!\!x,\,y}\!\!(M)=\left({\dfrac {\partial C}{\partial y}}\right)_{\!\!x,\,z}\!\!(M)$.

     Ces trois C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire $\;{\big (}$c.-à-d. une différentielle exacte ${\big )}\;$ sont connues sous le nom de « conditions d'égalités des dérivées croisées » .

Intégration d'une différentielle de fonction scalaire sur une courbe continue fermée

     Préliminaire : Bien que les variables indépendantes au nombre de $\;2\;$ ou $\;3\;$ ne soient pas nécessairement des coordonnées de points de l'espace physique, nous pouvons construire un espace virtuel à $\;2\;$ ou $\;3\;$ dimensions tel qu'un point quelconque de cet espace virtuel ait pour coordonnées les variables indépendantes utilisées $\;{\big [}$par exemple, en thermodynamique ou statique des fluides, si les variables indépendantes sont la pression $\;p\;$ et la température absolue $\;T$, l'espace virtuel à $\;2\;$ dimensions serait généré par l'ensemble des couples $\;(T\,,\,p)\;$ possibles${\big ]}$ ;

     Préliminaire : on peut alors définir une courbe continue dans cet espace virtuel à $\;2\;$ ou $\;3\;$ dimensions par $\;2\;$ ou $\;3\;$ équations paramétriques ou par $\;1\;$ ou $\;2\;$ équation(s) implicite(s), et par conséquent définir aussi une courbe continue fermée dans cet espace virtuel.

     Soit la différentielle $\;df\;$ de la fonction scalaire $\;f\;$ des deux variables indépendantes $\;(x\,,\,y)\;$ et une courbe continue fermée $\;(\Gamma )\;$ de l'espace engendré par tous les couples $\;(x\,,\,y)\;$ possibles, l'intégrale curviligne $\;\displaystyle \oint _{P_{0}\;{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}\;P_{0}}df\;$ étant égale à $\;\left[f(P)\right]_{P_{0}}^{P_{0}}\;$ est nulle quelle que soit la courbe $\;(\Gamma )$.

     Conclusion : L'intégrale d'une différentielle exacte sur une courbe continue fermée est nécessairement nulle soit $\;\displaystyle \oint _{P_{0}\;{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}\;P_{0}}df=0\;\;\forall \;(\Gamma )\;$.

Exemple de forme différentielle vérifiant les conditions d'« égalités des dérivées croisées » mais n'étant pas une différentielle de fonction scalaire

     Soit la forme différentielle $\;\delta _{\text{forme diff}}=-{\dfrac {y}{x^{2}+y^{2}}}\,dx+{\dfrac {x}{x^{2}+y^{2}}}\,dy\;$ des deux variables indépendantes $\;(x\,,\,y)\;$ définie sur $\;\mathbb {R} ^{2}\,\backslash \,\left\lbrace \left(0\,,\,0\right)\right\rbrace$, cette forme vérifie la condition d'égalité des dérivées croisées $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}A(x,\,y)=-{\dfrac {y}{x^{2}+y^{2}}}&\Rightarrow &\left({\dfrac {\partial A}{\partial y}}\right)_{\!x}=-{\dfrac {\left(x^{2}+y^{2}\right)-y\;2\;y}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}}={\dfrac {y^{2}-x^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}}\\B(x,\,y)={\dfrac {x}{x^{2}+y^{2}}}&\Rightarrow &\left({\dfrac {\partial B}{\partial x}}\right)_{\!y}={\dfrac {\left(x^{2}+y^{2}\right)-x\;2\;x}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}}={\dfrac {y^{2}-x^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}}\end{array}}\right\rbrace \;$ mais ce n'est pas la différentielle d'une fonction scalaire car son intégrale sur un cercle $\;(\Gamma )\;$ de centre $\;\left(0\,,\,0\right)\;$ ne donne pas $\;0\;$ comme il serait nécessaire de trouver pour l'intégrale d'une différentielle de fonction scalaire sur une courbe continue fermée en effet

     $\;\displaystyle \oint _{P_{0}\;{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}\;P_{0}}-{\dfrac {y}{x^{2}+y^{2}}}\,dx+{\dfrac {x}{x^{2}+y^{2}}}\,dy\;$ se simplifie en repérant le point générique $\;P\;$ du cercle $\;(\Gamma )\;$ par ses coordonnées polaires de pôle $\;\left(0\,,\,0\right)\;$ soit $\;P\;(r\,,\,\theta )\;$ où $\;r\;$ est le rayon du cercle, dont on tire $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}x=r\;\cos(\theta )&\Rightarrow &dx=-r\;\sin(\theta )\;d\theta \\y=r\;\sin(\theta )&\Rightarrow &dy=r\;\cos(\theta )\;d\theta \end{array}}\right\rbrace \;$ permettant de réécrire la forme différentielle en restant sur $\;(\Gamma )\;$ selon $\;\delta _{{\text{forme diff sur}}\,(\Gamma )}=-{\dfrac {\sin(\theta )}{r}}\left[-r\;\sin(\theta )\;d\theta \right]+{\dfrac {\cos(\theta )}{r}}\left[r\;\cos(\theta )\;d\theta \right]=d\theta \;$ et par suite $\;\displaystyle \oint _{P_{0}\;{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}\;P_{0}}\delta _{\text{forme diff}}=\int _{0}^{2\;\pi }d\theta$ $=2\;\pi \;$ et donc $\;\neq 0$.

     Conclusion : Les conditions d'égalité des dérivées croisées vérifiées par une forme différentielle $\;{\big (}$alors qualifiée de « fermée »${\big )}\;$ ne sont pas suffisantes pour que cette forme soit une différentielle exacte .

Conditions suffisantes pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire

     Préliminaire : Une partie $\;U\;$ ouverte ou non de $\;\mathbb {R} ^{n},\;\;n\in \mathbb {N} ^{*}\;$ est dite « étoilée » lorsque $\;U\;$ contient au moins un point $\;P\;$ tel que pour tout point $\;Q\;$ de $\;U\;$ le segment $\;\left[PQ\right]\;$ soit inclus dans $\;U$, on dit alors que $\;U\;$ est « étoilée par rapport à $\;P\;$» ${\big \{}U\;$ est « convexe » ssi $\;U\;$ est étoilée par rapport à chacun de ses points${\big \}}$.

     Nous admettrons le théorème de Poincaré relatif aux formes différentielles fermées sur un ouvert étoilé de $\;\mathbb {R} ^{n},\;\;n\in \mathbb {N} ^{*}$ :

Début d’un théorème

Théorème de Poincaré

     Toute forme différentielle pour laquelle les conditions d'égalité des dérivées croisées sont vérifiées sur un ouvert étoilé de son domaine de définition est la différentielle d'une fonction scalaire.

$\Updownarrow$

     Toute forme différentielle fermée sur un ouvert étoilé de son domaine de définition est une différentielle exacte $\;{\big (}$ou totale${\big )}$.

Fin du théorème

     Dans le cas où le théorème de Poincaré s'applique à une forme différentielle, la fonction dont cette forme est la différentielle est appelée « primitive de la forme différentielle sur l'ouvert étoilé de son domaine dé définition ».

     Remarques : La forme différentielle $\;\delta _{\text{forme diff}}=-{\dfrac {y}{x^{2}+y^{2}}}\,dx+{\dfrac {x}{x^{2}+y^{2}}}\,dy\;$ des deux variables indépendantes $\;(x\,,\,y)\;$ définie sur $\;\mathbb {R} ^{2}\,\backslash \,\left\lbrace \left(0\,,\,0\right)\right\rbrace$ est effectivement fermée mais la partie $\;U\;$ du domaine de définition qu'il est nécessaire de choisir pour définir le cercle $\;(\Gamma )\;$ de centre $\;\left(0\,,\,0\right)\;$ et de rayon $\;r\;$ le long duquel on intègre la forme différentielle, à savoir $\;U\;$ identique au disque privé du centre, n'est pas étoilée $\;{\big \{}$en effet $\;P\;$ et $\;Q\;$ étant deux points diamétralement opposés sur le cercle, le segment $\;\left[PQ\right]\;$ n'est pas inclus dans $\;U\;$ car il passe par le centre $\;\left(0\,,\,0\right)\not \in U{\big \}}$, on en déduit donc bien que cette forme différentielle n'est pas exacte sur la partie $\;U\;$ identique au disque privé du centre.

     Remarques : Toutefois, en physique, les formes différentielles qui y sont introduites et pour lesquelles on vérifie l'égalité des dérivées croisées $\;{\big (}$donc des formes différentielles fermées ${\big )}\;$ sont pratiquement toujours définies sur une partie étoilée et par conséquent sont des différentielles de fonction scalaire $\;{\big (}$c.-à-d. des différentielles exactes ${\big )}$.

Exemples de forme différentielle, déterminations (ou non) de sa fermeture puis des primitives de cette forme différentielle dans le cas où cette dernière est exacte

1^er exemple : forme différentielle des trois variables indépendantes « x, y, z » non fermée

     La forme différentielle $\;\delta _{\text{forme diff}}=(x^{2}+y^{2}+z^{2})\,dx+(2\,x\,y+2\,y\,z)\,dy+(2\,x\,z)\,dz\;$ est-elle fermée sur $\;\mathbb {R} ^{3}$ $\;{\big (}$c.-à-d. cette forme vérifie-t-elle les conditions d'égalité des dérivées croisées${\big )}$ ?

     Pour répondre à cette question on compare, en les croisant, les dérivées partielles des fonctions « cœfficient des éléments différentiels » soit, pour les fonctions $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}A(x,\,y,\,z)=(x^{2}+y^{2}+z^{2})\\B(x,\,y,\,z)=(2\,x\,y+2\,y\,z)\\C(x,\,y,\,z)=(2\,x\,z)\end{array}}\right\rbrace \;$ respectivement cœfficient de $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}dx\\dy\\dz\end{array}}\right\rbrace$,

• $\;\left({\dfrac {\partial A}{\partial y}}\right)_{\!\!x,\,z}\!\!(x,\,y,\,z)=2\;y\;{\overset {\text{?}}{=}}\;\left({\dfrac {\partial B}{\partial x}}\right)_{\!\!y,\,z}\!\!(x,\,y,\,z)=2\;y\;$ soit une 1^ère condition vérifiée,
• $\;\left({\dfrac {\partial A}{\partial z}}\right)_{\!\!x,\,y}\!\!(x,\,y,\,z)=2\;z\;{\overset {\text{?}}{=}}\;\left({\dfrac {\partial C}{\partial x}}\right)_{\!\!y,\,z}\!\!(x,\,y,\,z)=2\;z\;$ soit une 2^ème condition vérifiée et
• $\;\left({\dfrac {\partial B}{\partial z}}\right)_{\!\!x,\,y}\!\!(x,\,y,\,z)=2\;y\;{\overset {\text{?}}{=}}\;\left({\dfrac {\partial C}{\partial y}}\right)_{\!\!x,\,z}\!\!(x,\,y,\,z)=0\;$ soit une 3^ème condition non vérifiée ;

     conclusion : la forme différentielle $\;\delta _{\text{forme diff}}=(x^{2}+y^{2}+z^{2})\,dx+(2\,x\,y+2\,y\,z)\,dy+(2\,x\,z)\,dz\;$ n'étant pas fermée , elle n'est pas donc pas exacte $\;{\big (}$c.-à-d. qu'elle n'est pas une différentielle de fonction${\big )}\;$ et

     conclusion : toute tentative de recherche de primitive de cette forme différentielle selon la méthode exposée dans le paragraphe suivant conduirait à un blocage de l'application de cette méthode $\;{\big [}$il est donc préférable de vérifier la fermeture de la forme différentielle avant de tenter de rechercher une primitive $\;{\big (}$inexistante${\big )}\;$ de celle-ci${\big ]}$.

2^ème exemple : forme différentielle des trois variables indépendantes « x, y, z » fermée et recherche des primitives de cette forme sans vérifier au préalable son exactitude

     La forme différentielle $\;\delta _{\text{forme diff}}=(x^{2}+y^{2}+z^{2})\,dx+(2\,x\,y+2\,y\,z)\,dy+(2\,x\,z+y^{2})\,dz\;$ est-elle fermée sur $\;\mathbb {R} ^{3}$ $\;{\big (}$c.-à-d. cette forme vérifie-t-elle les conditions d'égalité des dérivées croisées${\big )}$ ?

     Pour répondre à cette question on compare, en les croisant, les dérivées partielles des fonctions « cœfficient des éléments différentiels » soit, pour les fonctions $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}A(x,\,y,\,z)=(x^{2}+y^{2}+z^{2})\\B(x,\,y,\,z)=(2\,x\,y+2\,y\,z)\\C(x,\,y,\,z)=(2\,x\,z+y^{2})\end{array}}\right\rbrace \;$ respectivement cœfficient de $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}dx\\dy\\dz\end{array}}\right\rbrace$,

• $\;\left({\dfrac {\partial A}{\partial y}}\right)_{\!\!x,\,z}\!\!(x,\,y,\,z)=2\;y\;{\overset {\text{?}}{=}}\;\left({\dfrac {\partial B}{\partial x}}\right)_{\!\!y,\,z}\!\!(x,\,y,\,z)=2\;y\;$ soit une 1^ère condition vérifiée,
• $\;\left({\dfrac {\partial A}{\partial z}}\right)_{\!\!x,\,y}\!\!(x,\,y,\,z)=2\;z\;{\overset {\text{?}}{=}}\;\left({\dfrac {\partial C}{\partial x}}\right)_{\!\!y,\,z}\!\!(x,\,y,\,z)=2\;z\;$ soit une 2^ème condition vérifiée et
• $\;\left({\dfrac {\partial B}{\partial z}}\right)_{\!\!x,\,y}\!\!(x,\,y,\,z)=2\;y\;{\overset {\text{?}}{=}}\;\left({\dfrac {\partial C}{\partial y}}\right)_{\!\!x,\,z}\!\!(x,\,y,\,z)=2\;y\;$ soit une 3^ème et dernière condition vérifiée ;

     conclusion : la forme différentielle $\;\delta _{\text{forme diff}}=(x^{2}+y^{2}+z^{2})\,dx+(2\,x\,y+2\,y\,z)\,dy+(2\,x\,z+y^{2})\,dz\;$ étant fermée , elle est vraisemblablement exacte $\;{\big (}$ce qui signifie que c'est vraisemblablement une différentielle de fonction ${\big )}$, on peut donc se lancer dans la recherche des primitives de la forme différentielle.

     Recherche de primitives de cette forme différentielle : identifiant la forme différentielle avec la différentielle de la fonction cherchée $\;f(x,\,y,\,z)$, on est donc amené à trouver une fonction $\;f(x,\,y,\,z)\;$ connaissant les trois dérivées partielles soit $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}A(x,\,y,\,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}\!\!&=&\!\!\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!\!y,\,z}(x,\,y,\,z)\\B(x,\,y,\,z)=2\,x\,y+2\,y\,z\!\!&=&\!\!\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!\!x,\,z}(x,\,y,\,z)\\C(x,\,y,\,z)=2\,x\,z+y^{2}\!\!&=&\!\!\left({\dfrac {\partial f}{\partial z}}\right)_{\!\!x,\,y}(x,\,y,\,z)\end{array}}\right\rbrace$ ; pour cela il est conseillé de procéder exclusivement de la façon décrite ci-dessous $\;{\big [}$même si, dans certains cas, une méthode plus simple est possible, celle exposée ci-après assure l'obtention du résultat cherché${\big ]}$ :

• à partir de $\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!\!y,\,z}\!\!(x,\,y,\,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}$, on intègre par rapport à $\;x$, $\;{\big (}$en laissant $\;y\;$ et $\;z\;$ figés le temps de l'intégration${\big )}$, soit $\;f(x,\,y,\,z)={\dfrac {x^{3}}{3}}+y^{2}\,x+z^{2}\,x+\varphi (y,\,z)\;$ où $\;\varphi (y,\,z)\;$ est une fonction arbitraire des deux variables indépendantes $\;y\;$ et $\;z$, laquelle est effectivement une constante pendant le temps de l'intégration relativement à $\;x\;$ puis,
• on dérive l'expression précédente relativement à $\;y$, $\;{\big (}$en laissant $\;x\;$ et $\;z\;$ figés le temps de la dérivation${\big )}$, dans le but d'introduire la fonction $\;\varphi (y,\,z)\;$ restant à déterminer dans la 2^ème équation $\;B(x,\,y,\,z)=\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!\!x,\,z}(x,\,y,\,z)\;$ soit $\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!\!x,\,z}\!\!(x,\,y,\,z)=2\,y\,x+\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial y}}\right)_{\!\!z}\!(y,\,z)\;$ d'où la réécriture de la 2^ème équation $\;B(x,\,y,\,z)=2\,x\,y+2\,y\,z=2\,y\,x+\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial y}}\right)_{\!\!z}\!(y,\,z)\;$ ou $\;\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial y}}\right)_{\!\!z}\!(y,\,z)=2\,y\,z\;$ que l'on intègre par rapport à $\;y$, $\;{\big (}$en laissant $\;z\;$ figé le temps de l'intégration${\big )}$, soit $\;\varphi (y,\,z)=y^{2}\,z+F(z)\;$ où $\;F(z)\;$ est une fonction arbitraire de la variable $\;z$, laquelle est effectivement une constante pendant le temps de l'intégration relativement à $\;y$, dont on déduit $\;f(x,\,y,\,z)={\dfrac {x^{3}}{3}}+y^{2}\,x+z^{2}\,x+y^{2}\,z+F(z)\;$
  avec $\;F(z)\;$ fonction arbitraire de la variable $\;z$, enfin,
• on dérive l'expression précédente relativement à $\;z$, $\;{\big (}$en laissant $\;x\;$ et $\;y\;$ figés le temps de la dérivation${\big )}$, dans le but d'introduire la fonction $\;F(z)\;$ restant à déterminer dans la 3^ème équation $\;C(x,\,y,\,z)$ $=\left({\dfrac {\partial f}{\partial z}}\right)_{\!\!x,\,y}(x,\,y,\,z)\;$ soit $\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial z}}\right)_{\!\!x,\,y}\!\!(x,\,y,\,z)=2\,z\,x+y^{2}+{\dfrac {dF}{dz}}(z)\;$ d'où la réécriture de la 3^ème équation $\;C(x,\,y,\,z)=2\,x\,z+y^{2}=2\,z\,x+y^{2}+{\dfrac {dF}{dz}}(z)\;$ ou $\;{\dfrac {dF}{dz}}(z)=0\;$ que l'on intègre par rapport à $\;z$, soit $\;F(z)=cste\;$ et dont on déduit les primitives cherchées de cette forme différentielle $\;f(x,\,y,\,z)={\dfrac {x^{3}}{3}}+y^{2}\,x+z^{2}\,x+y^{2}\,z+cste$.

Retour sur le 1^er exemple : forme différentielle des trois variables indépendantes « x, y, z » non fermée et constatation du blocage de la méthode de recherche de primitives de cette forme en accord avec leur inexistence

     Supposons que nous n'ayons pas cherché à savoir si la forme différentielle $\;\delta _{\text{forme diff}}=(x^{2}+y^{2}+z^{2})\,dx+(2\,x\,y+2\,y\,z)\,dy+(2\,x\,z)\,dz\;$ est fermée sur $\;\mathbb {R} ^{3}$ $\;{\big (}$c.-à-d. si cette forme vérifie les conditions d'égalité des dérivées croisées${\big )}$ et que, néanmoins, nous appliquions la méthode de recherche de primitives exposée dans le paragraphe précédent alors qu'il n'existe pas de primitives pour cette forme dans la mesure où, n'étant pas fermée , elle n'est pas exacte ; la méthode appliquée doit nécessairement conduire à une impasse, c'est celle-ci que l'on veut souligner ci-dessous :

     Si nous identifions la forme différentielle avec une différentielle de fonction $\;f(x,\,y,\,z)$, on est donc amené à chercher une fonction $\;f(x,\,y,\,z)\;$ connaissant les trois dérivées partielles soit $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}A(x,\,y,\,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}\!\!&\;{\overset {?}{=}}\;&\!\!\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!\!y,\,z}(x,\,y,\,z)\\B(x,\,y,\,z)=2\,x\,y+2\,y\,z\!\!&\;{\overset {?}{=}}&\!\!\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!\!x,\,z}(x,\,y,\,z)\\C(x,\,y,\,z)=2\,x\,z\!\!&\;{\overset {?}{=}}&\!\!\left({\dfrac {\partial f}{\partial z}}\right)_{\!\!x,\,y}(x,\,y,\,z)\end{array}}\right\rbrace$ ;

• à partir de $\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!\!y,\,z}\!\!(x,\,y,\,z)\;{\overset {?}{=}}\;x^{2}+y^{2}+z^{2}$, on intègre par rapport à $\;x$, $\;{\big (}$en laissant $\;y\;$ et $\;z\;$ figés le temps de l'intégration${\big )}$, soit $\;f(x,\,y,\,z)={\dfrac {x^{3}}{3}}+y^{2}\,x+z^{2}\,x+\varphi (y,\,z)\;$ où $\;\varphi (y,\,z)\;$ est une fonction arbitraire des deux variables indépendantes $\;y\;$ et $\;z$, laquelle est effectivement une constante pendant le temps de l'intégration relativement à $\;x\;$ puis,
• on dérive l'expression précédente relativement à $\;y$, $\;{\big (}$en laissant $\;x\;$ et $\;z\;$ figés le temps de la dérivation${\big )}$, dans le but d'introduire la fonction $\;\varphi (y,\,z)\;$ restant à déterminer dans la 2^ème équation $\;B(x,\,y,\,z)$ $\;{\overset {?}{=}}\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!\!x,\,z}(x,\,y,\,z)\;$ soit $\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!\!x,\,z}\!\!(x,\,y,\,z)=2\,y\,x+\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial y}}\right)_{\!\!z}\!(y,\,z)\;$ d'où la réécriture de la 2^ème équation $\;B(x,\,y,\,z)\;{\overset {?}{=}}\;2\,x\,y+2\,y\,z=2\,y\,x+\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial y}}\right)_{\!\!z}\!(y,\,z)\;$ ou $\;\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial y}}\right)_{\!\!z}\!(y,\,z)\;{\overset {?}{=}}\;2\,y\,z\;$ que l'on intègre par rapport à $\;y$, $\;{\big (}$en laissant $\;z\;$ figé le temps de l'intégration${\big )}$, soit $\;\varphi (y,\,z)=y^{2}\,z+F(z)\;$ où $\;F(z)\;$ est une fonction arbitraire de la variable $\;z$, laquelle est effectivement une constante pendant le temps de l'intégration relativement à $\;y$, dont on déduit $\;f(x,\,y,\,z)={\dfrac {x^{3}}{3}}+y^{2}\,x+z^{2}\,x+y^{2}\,z+F(z)\;$
  avec $\;F(z)\;$ fonction arbitraire de la variable $\;z$, enfin,
• on dérive l'expression précédente relativement à $\;z$, $\;{\big (}$en laissant $\;x\;$ et $\;y\;$ figés le temps de la dérivation${\big )}$, dans le but d'introduire la fonction $\;F(z)\;$ restant à déterminer dans la 3^ème équation $\;C(x,\,y,\,z)$ $\;{\overset {?}{=}}\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial z}}\right)_{\!\!x,\,y}(x,\,y,\,z)\;$ soit $\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial z}}\right)_{\!\!x,\,y}\!\!(x,\,y,\,z)=2\,z\,x+y^{2}+{\dfrac {dF}{dz}}(z)\;$ d'où la réécriture de la 3^ème équation $\;C(x,\,y,\,z)\;{\overset {?}{=}}\;2\,x\,z=2\,z\,x+y^{2}+{\dfrac {dF}{dz}}(z)\;$ ou $\;{\cancel {{\dfrac {dF}{dz}}(z)\;{\overset {?}{=}}\;-y^{2}}}\;$ ce qui n'admet aucune solution du fait que $\;{\dfrac {dF}{dz}}(z)\;$ ne doit dépendre que de $\;z\;$ et aucunement de $\;y$ ; nous sommes donc arrivé à l'impasse cherchée établissant qu'il n'existe aucune primitive de la forme différentielle $\;\delta _{\text{forme diff}}=(x^{2}+y^{2}+z^{2})\,dx+(2\,x\,y+2\,y\,z)\,dy+(2\,x\,z)\,dz$, la raison de cette affirmation étant que cette forme n'est pas fermée et par conséquent encore moins exacte.

Conditions nécessaires (mais non suffisantes) pour qu'un champ vectoriel de l'espace à deux ou trois dimensions soit à circulation conservative et détermination des potentiels scalaires dont dérive un tel champ

Rappel de la 2^ème définition d'un champ vectoriel à circulation conservative (relatif à sa circulation élémentaire) et conséquences

     Un champ vectoriel de l'espace à deux ou trois dimensions étant « à circulation conservative » ssi sa circulation élémentaire est une différentielle de fonction scalaire ${\big (}$ou une différentielle exacte ${\big )}\;$ soit

$\;{\vec {A}}(M)\;$ à circulation conservative ssi $\;\delta {\mathcal {C}}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)={\vec {A}}(M)\cdot {\overrightarrow {dM}}\;$ est une différentielle exacte ,

     nous en déduisons que la recherche de l'« éventuel caractère d'un champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\;$ de l'espace à deux ou trois dimensions d'être à circulation conservative » est équivalente à celle de l'« éventuel caractère de la circulation élémentaire de ce champ vectoriel $\;\delta {\mathcal {C}}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)={\vec {A}}(M)\cdot {\overrightarrow {dM}}\;$ d'être une différentielle exacte  » et par suite, il suffira de travailler sur cette dernière pour en tirer toutes les conséquences sur le champ vectoriel dont elle est la circulation élémentaire .

Conditions nécessaires (mais non suffisantes) pour qu'un champ vectoriel de l'espace à deux ou trois dimensions soit à circulation conservative

     D'après le paragraphe précédent nous pouvons donc affirmer que les C.N. (mais non suffisantes) pour qu'un champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\;$ de l'espace à deux ou trois dimensions soit « à circulation conservative » sont celles pour lesquelles la circulation élémentaire du champ vectoriel $\;\delta {\mathcal {C}}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)={\vec {A}}(M)\cdot {\overrightarrow {dM}}\;$ est une « différentielle exacte  » ; ainsi, suivant la nature du repérage des points de l'espace $\;{\big (}$que nous supposons à trois dimensions${\big )}\;$ nous obtenons :

• en repérage cartésien $\;{\vec {A}}(M)=A_{x}(M)\;{\vec {u}}_{x}+A_{y}(M)\;{\vec {u}}_{y}+A_{z}(M)\;{\vec {u}}_{z}\;$ $\Rightarrow$ $\;\delta {\mathcal {C}}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)=A_{x}(M)\;dx+A_{y}(M)\;dy+A_{z}(M)\;dz\;$ d'où les C.N. $\;{\big (}$mais non suffisantes${\big )}\;$ pour que $\;{\vec {A}}(M)\;$ soit « à circulation conservative » sont $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial y}}\right)_{\!\!x,\,z}(M)=\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial x}}\right)_{\!\!y,\,z}(M)\\\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial z}}\right)_{\!\!x,\,y}(M)=\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial x}}\right)_{\!\!y,\,z}(M)\\\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial z}}\right)_{\!\!x,\,y}(M)=\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial y}}\right)_{\!\!x,\,z}(M)\end{array}}\right\rbrace$,
• en repérage cylindro-polaire $\;{\vec {A}}(M)=A_{\rho }(M)\;{\vec {u}}_{\rho }+A_{\theta }(M)\;{\vec {u}}_{\theta }+A_{z}(M)\;{\vec {u}}_{z}\;$ soit, avec $\;{\overrightarrow {dM}}=d\rho \;{\vec {u}}_{\rho }+\rho \;d\theta \;{\vec {u}}_{\theta }+dz\;{\vec {u}}_{z}\;$, on en déduit $\;\delta {\mathcal {C}}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)=$ $A_{\rho }(M)\;d\rho +A_{\theta }(M)\;\rho \,d\theta +A_{z}(M)\;dz\;$ d'où les C.N. $\;{\big (}$mais non suffisantes${\big )}\;$ pour que $\;{\vec {A}}(M)\;$ soit « à circulation conservative » sont $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\left[{\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial \theta }}\right]_{\!\rho ,\,z}(M)=\left[{\dfrac {\partial \left(\rho \;A_{\theta }\right)}{\partial \rho }}\right]_{\!\theta ,\,z}(M)\\\left[{\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial z}}\right]_{\!\rho ,\,\theta }(M)=\left[{\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \rho }}\right]_{\!\theta ,\,z}(M)\\\left[{\dfrac {\partial \left(\rho \;A_{\theta }\right)}{\partial z}}\right]_{\!\rho ,\,\theta }(M)=\left[{\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \theta }}\right]_{\!\rho ,\,z}(M)\end{array}}\right\rbrace \;$ ou $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial \theta }}\right)_{\!\!\rho ,\,z}(M)=A_{\theta }(M)+\rho \,\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \rho }}\right)_{\!\!\theta ,\,z}(M)\\\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial z}}\right)_{\!\!\rho ,\,\theta }(M)=\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \rho }}\right)_{\!\!\theta ,\,z}(M)\\\rho \,\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial z}}\right)_{\!\!\rho ,\,\theta }(M)=\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \theta }}\right)_{\!\!\rho ,\,z}(M)\end{array}}\right\rbrace \;$ obtenu en explicitant les dérivées partielles de produits de facteurs intervenant et
• en repérage sphérique $\;{\vec {A}}(M)=A_{r}(M)\;{\vec {u}}_{r}+A_{\theta }(M)\;{\vec {u}}_{\theta }+A_{\varphi }(M)\;{\vec {u}}_{\varphi }\;$ soit, avec $\;{\overrightarrow {dM}}=dr\;{\vec {u}}_{r}+r\;d\theta \;{\vec {u}}_{\theta }+r\;\sin(\theta )\;d\varphi \;{\vec {u}}_{\varphi }\;$, on en déduit $\;\delta {\mathcal {C}}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)=$ $A_{r}(M)\;dr+A_{\theta }(M)\;r\,d\theta +A_{\varphi }(M)\;r\,\sin(\theta )\,d\varphi \;$ d'où les C.N. $\;{\big (}$mais non suffisantes${\big )}\;$ pour que $\;{\vec {A}}(M)\;$ soit « à circulation conservative » sont $\;\left\lbrace {\begin{array}{l c}\left[{\dfrac {\partial A_{r}}{\partial \theta }}\right]_{\!r,\,\varphi }(M)&\!\!=\\\left[{\dfrac {\partial A_{r}}{\partial \varphi }}\right]_{\!r,\,\theta }(M)&\!\!=\\\left[{\dfrac {\partial \left(r\;A_{\theta }\right)}{\partial \varphi }}\right]_{\!r,\,\theta }(M)&\!\!=\end{array}}\right.\;$ $\;\left.{\begin{array}{c}\left[{\dfrac {\partial \left(r\;A_{\theta }\right)}{\partial r}}\right]_{\!\theta ,\,\varphi }(M)\\\left[{\dfrac {\partial \left[r\;\sin(\theta )\;A_{\varphi }\right]}{\partial r}}\right]_{\!\theta ,\,\varphi }(M)\\\left[{\dfrac {\partial \left[r\;\sin(\theta )\;A_{\varphi }\right]}{\partial \theta }}\right]_{\!r,\,\varphi }(M)\end{array}}\right\rbrace \;$ ou, en explicitant les dérivées partielles de produits de facteurs intervenant $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\left({\dfrac {\partial A_{r}}{\partial \theta }}\right)_{\!\!r,\,\varphi }(M)=A_{\theta }(M)+r\,\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial r}}\right)_{\!\!\theta ,\,\varphi }(M)\\\left({\dfrac {\partial A_{r}}{\partial \varphi }}\right)_{\!\!r,\,\theta }(M)=\sin(\theta )\;A_{\varphi }(M)+r\;\sin(\theta )\,\left({\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial r}}\right)_{\!\!\theta ,\,\varphi }(M)\\{\cancel {r}}\,\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \varphi }}\right)_{\!\!r,\,\theta }(M)=\,{\cancel {r}}\;\cos(\theta )\;A_{\varphi }(M)+\,{\cancel {r}}\;\sin(\theta )\,\left({\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial \theta }}\right)_{\!\!r,\,\varphi }(M)\end{array}}\right\rbrace$.

Circulation d'un champ vectoriel de l'espace à deux ou trois dimensions à circulation conservative sur une courbe continue fermée

     Soit le champ vectoriel à circulation conservative $\;{\vec {A}}(M)\;$ de l'espace physique à deux ou trois dimensions et une courbe continue fermée $\;(\Gamma )\;$ de cet espace, l'intégrale curviligne $\;\displaystyle \oint _{P_{0}\;{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}\;P_{0}}\delta {\mathcal {C}}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(P)\;$ étant égale à $\;\left[{\mathcal {C}}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(P)\right]_{P_{0}}^{P_{0}}\;$ est nulle quelle que soit la courbe $\;(\Gamma )$.

     Conclusion : La circulation d'un champ vectoriel à circulation conservative d'un espace à deux ou trois dimensions sur une courbe continue fermée de cet espace est nécessairement nulle soit $\;\displaystyle \oint _{P_{0}\;{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}\;P_{0}}{\vec {A}}(P)\cdot {\overrightarrow {dP}}=0\;\;\forall \;(\Gamma )\;$.

Exemple de champ vectoriel vérifiant les C.N. pour être « à circulation conservative » mais pour lequel les conditions ne sont pas suffisantes

     Soit le champ vectoriel de l'espace physique à deux dimensions $\;{\vec {A}}(M)=-{\dfrac {y}{x^{2}+y^{2}}}\,{\vec {u}}_{x}+{\dfrac {x}{x^{2}+y^{2}}}\,{\vec {u}}_{y}\;$ défini sur $\;\mathbb {R} ^{2}\,\backslash \,\left\lbrace \left(0\,,\,0\right)\right\rbrace$, la circulation élémentaire de ce champ vérifie la C.N. pour que ce champ soit à circulation conservative à savoir que cette circulation élémentaire soit une différentielle exacte $\;{\big (}$C.N. d'égalité des dérivées croisées${\big )}\;$ $\left\lbrace {\begin{array}{l}A_{x}(x,\,y)=-{\dfrac {y}{x^{2}+y^{2}}}&\Rightarrow &\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial y}}\right)_{\!x}=\\A_{y}(x,\,y)={\dfrac {x}{x^{2}+y^{2}}}&\Rightarrow &\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial x}}\right)_{\!y}=\end{array}}\right.$ $\left.{\begin{array}{l}-{\dfrac {\left(x^{2}+y^{2}\right)-y\;2\;y}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}}={\dfrac {y^{2}-x^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}}\\{\dfrac {\left(x^{2}+y^{2}\right)-x\;2\;x}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}}={\dfrac {y^{2}-x^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}}\end{array}}\right\rbrace \;$ mais ce n'est pas un champ à circulation conservative car sa circulation sur un cercle $\;(\Gamma )\;$ de centre $\;\left(0\,,\,0\right)\;$ ne donne pas $\;0\;$ comme il serait nécessaire de trouver pour la circulation d'un champ vectoriel à circulation conservative sur une courbe continue fermée en effet

     $\;\displaystyle \oint _{P_{0}\;{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}\;P_{0}}-{\dfrac {y}{x^{2}+y^{2}}}\,dx+{\dfrac {x}{x^{2}+y^{2}}}\,dy\;$ se simplifie en repérant le point générique $\;P\;$ du cercle $\;(\Gamma )\;$ par ses coordonnées polaires de pôle $\;\left(0\,,\,0\right)\;$ soit $\;P\;(r\,,\,\theta )\;$ où $\;r\;$ est le rayon du cercle, dont on tire $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}x=r\;\cos(\theta )&\Rightarrow &dx=-r\;\sin(\theta )\;d\theta \\y=r\;\sin(\theta )&\Rightarrow &dy=r\;\cos(\theta )\;d\theta \end{array}}\right\rbrace \;$ permettant de réécrire la circulation élémentaire du champ en restant sur $\;(\Gamma )\;$ selon $\;\delta {\mathcal {C}}_{{\text{sur}}\,(\Gamma )}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(P)=$ $-{\dfrac {\sin(\theta )}{r}}\left[-r\;\sin(\theta )\;d\theta \right]+{\dfrac {\cos(\theta )}{r}}\left[r\;\cos(\theta )\;d\theta \right]=d\theta \;$ d'où $\;\displaystyle \oint _{P_{0}\;{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}\;P_{0}}\delta {\mathcal {C}}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(P)$ $=\int _{0}^{2\;\pi }d\theta$ $=2\;\pi \;$ et donc $\;\neq 0$.

     Conclusion : Les C.N. pour qu'un champ vectoriel soit à circulation conservative à savoir que la circulation élémentaire de ce champ soit une différentielle exacte $\;{\big (}$C.N. d'égalité des dérivées croisées${\big )}\;$ ne sont, a priori, pas suffisantes.

Conditions suffisantes pour qu'un champ vectoriel de l'espace à deux ou trois dimensions soit « à circulation conservative »

Début d’un théorème

Théorème de Poincaré (réécrit en terme de champ vectoriel)

     Tout champ vectoriel d'un espace à deux ou trois dimensions pour lequel la circulation élémentaire vérifie les conditions d'égalité des dérivées croisées sur un ouvert étoilé de son domaine de définition est un champ vectoriel à circulation conservative.

$\Updownarrow$

     Tout champ vectoriel d'un espace à deux ou trois dimensions pour lequel la circulation élémentaire est une forme différentielle fermée sur un ouvert étoilé de son domaine de définition est un champ vectoriel à circulation conservative.

Fin du théorème

     Dans le cas où le théorème de Poincaré (réécrit en terme de champ vectoriel) s'applique à un champ vectoriel, l'opposé de la fonction dont la circulation élémentaire est la différentielle est appelée « potentiel scalaire dont dérive le champ vectoriel sur l'ouvert étoilé de son domaine dé définition ».

     Remarques : La circulation élémentaire du champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)=-{\dfrac {y}{x^{2}+y^{2}}}\,{\vec {u}}_{x}+{\dfrac {x}{x^{2}+y^{2}}}\,{\vec {u}}_{y}\;$ défini sur $\;\mathbb {R} ^{2}\,\backslash \,\left\lbrace \left(0\,,\,0\right)\right\rbrace$ est effectivement fermée mais la partie $\;U\;$ du domaine de définition qu'il est nécessaire de choisir pour définir le cercle $\;(\Gamma )\;$ de centre $\;\left(0\,,\,0\right)\;$ et de rayon $\;r\;$ le long duquel on cherche la circulation, à savoir $\;U\;$ identique au disque privé du centre, n'est pas étoilée $\;{\big \{}$en effet $\;P\;$ et $\;Q\;$ étant deux points diamétralement opposés sur le cercle, le segment $\;\left[PQ\right]\;$ n'est pas inclus dans $\;U\;$ car il passe par le centre $\;\left(0\,,\,0\right)\not \in U{\big \}}$, on en déduit donc bien que cette circulation élémentaire n'est pas exacte sur la partie $\;U\;$ identique au disque privé du centre et par suite que le champ vectoriel n'est pas à circulation conservative.

     Remarques : Toutefois, en physique, les champs vectoriels qui y interviennent avec la vérification de l'égalité des dérivées croisées sur la circulation élémentaire $\;{\big (}$la circulation élémentaire est une forme différentielle fermée${\big )}\;$ sont usuellement définis sur une partie étoilée et par conséquent sont des champs vectoriels à circulation conservative $\;{\big (}$c.-à-d. tels que leur circulation élémentaire est une différentielle exacte ${\big )}$.

Détermination des potentiels scalaires dont dérive un champ vectoriel à circulation conservative d'un espace à deux ou trois dimensions

Potentiels scalaires dont dérive un champ vectoriel à circulation conservative

     On appelle potentiel scalaire dont dérive un champ vectoriel d'un espace à deux ou trois dimensions $\;{\vec {A}}(M)\;$