Série entière/Exercices/Calcul de sommes

Calcul de sommes
Image logo représentative de la faculté
Exercices no5
Leçon : Série entière

Exercices de niveau 15.

Exo préc. :Rayon de convergence 3
Exo suiv. :Série entière et équation différentielle
Icon falscher Titel.svg
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Calcul de sommes
Série entière/Exercices/Calcul de sommes
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.




Exercice 1Modifier

On considère la série entière de la variable réelle   :  

  Déterminer le rayon de convergence   de cette série entière. Est-elle convergente pour   ?

  Pour tout nombre réel   tel que la série entière précédente converge, on note   sa somme.

  • Expliciter la dérivée de la fonction   sur  .
  • En déduire   pour   appartenant à  .

  Calculer la somme de chacune des séries numériques suivantes :

  •   ;
  •  .

Exercice 2Modifier

Soit   un nombre complexe de module  . On rappelle (Série numérique/Exercices/Critère d'Abel#Exercice 8) que la série   converge, et (Série entière/Propriétés#Dérivation, intégration) que   est défini, pour tout réel  , par  . Démontrer que  .

Exercice 3Modifier

Sachant que   (cf. Sommation/Exercices/Séries de Fourier et fonction zêta#Exercice 9-1), démontrer que

 .

Exercice 4Modifier

Soit (S) la série   .

  1. On pose  . Déterminer le rayon de convergence de la série  .
  2. Quel est le rayon de convergence des séries entières   et   ?
  3. Déterminer la somme de la série  .
  4. En déduire la somme de la série (S).