Signaux physiques (PCSI)/Introduction au monde quantique : particule libre confinée 1D

**Introduction au monde quantique : particule libre confinée 1D**
Leçon : Signaux physiques (PCSI)

Chapitre n^o 20
Chap. préc. :	Introduction au monde quantique : oscillateur harmonique
Chap. suiv. :	Circuits électriques dans l'ARQS : intensité, tension, puissance

En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Signaux physiques (PCSI) : Introduction au monde quantique : particule libre confinée 1D
Signaux physiques (PCSI)/Introduction au monde quantique : particule libre confinée 1D », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Analogie « particule libre confinée 1D », « corde vibrante fixée à ses extrémités »

Définition d'une « particule libre confinée 1D »

Une « particule libre confinée 1D » est une particule $\;{\big (}$ classique ou quantique ${\big )}\;$ susceptible de se déplacer uniquement sur un axe $\;x'x\;$ ${\big [}$ donc d'unique paramètre de position $\;x{\big ]}\;$
Une « particule libre confinée 1D » est une particule $\;\color {transparent}{\big (}$ classique ou quantique $\color {transparent}{\big )}\;$ libre sur un intervalle borné de positions $\;{\big [}$ c.-à-d. sans action extérieure sur cet intervalle et ne pouvant pas en sortie ${\big ]}$ .

Traduction énergétique d'une « particule libre confinée 1D »

     La notion de confinement spatial d'une particule a déjà été vue dans le paragraphe « utilisation du confinement spatial d'un oscillateur harmonique unidimensionnel quantique » au chap. $19$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la particule étant confinée dans un puits d'énergie potentielle parabolique ^[1] :
  La notionil y a confinement spatial s'il y a deux « murs d'énergie potentielle » ^[2] en regard, l'espace entre ces deux murs définissant un « puits d'énergie potentielle » ^[3],
     La notion il y a confinement spatial s'il y a deux « murs d'énergie potentielle » en regard, empêche une particule « classique » de sortir de cet espace ^[4] mais
     La notion il y a confinement spatial s'il y a deux « murs d'énergie potentielle » en regard, n'interdit pas à une particule « quantique » de pénétrer sous conditions ^[5] ;

À gauche le diagramme d'énergie du
puits d'énergie potentielle infinie et

à droite les deux murs d'énergie potentielle
matérialisant les deux zones interdites

une « particule libre confinée 1D » ne devant pas sortir $\;{\big (}$ qu'elle soit classique ou quantique ${\big )}\;$ de l'intervalle borné de positions, on suppose
une « particule libre confinée 1D » que chaque borne correspond à l'existence d'un « mur d'énergie potentielle infinie » $\;{\big (}$ ainsi la densité linéique de probabilité de présence de la particule quantique au-delà du mur est nulle car l'écart $\;U-E\;$ est infini quelle que soit $\;E\;$ ^[6]^, ^[4] ${\big )}$ ;

une « particule libre confinée 1D » est donc une particule susceptible de se déplacer uniquement sur un axe $\;x'x\;$
une « particule libre confinée 1D » est donc une particule dans un « puits d'énergie potentielle infinie » de largeur finie $\;{\big (}$ schéma ci-contre ${\big )}$ :

l'équation du puits d'énergie potentielle infinie est $\;U(x)=\left\lbrace {\begin{array}{l}\infty \;\;{\text{si }}x\geqslant {\mathit {l}}\\0\;\;\;\,{\text{si }}0<x<{\mathit {l}}\\\infty \;\;{\text{si }}x\leqslant 0\end{array}}\right.$
l'équation du puits d'énergie potentielle infinie et les murs d'énergie potentielle sont d'équation $\;x=0\;$ à gauche et $\;x={\mathit {l}}\;$ à droite.

Analogie d'une « particule libre confinée 1D » avec une « corde vibrante à extrémités fixées »

     Préliminaire : la partie spatiale de fonction d'onde d'une « particule quantique libre confinée 1D sur l'intervalle $\;\left[0\,;\;{\mathit {l}}\,\right]\;$ » en état stationnaire $\;{\big (}$ c.-à-d. d'énergie $\;E\;$ fixée ${\big )}\;$ « $\;{\underline {\Psi }}_{E}(x)\;$ » étant solution de « $\;{\dfrac {\hbar ^{2}}{2\;m}}\;{\dfrac {d^{2}{\underline {\Psi }}_{n}}{dx^{2}}}(x)+E_{n}\;{\underline {\Psi }}_{n}(x)=0\;$ » ^[7]
     Préliminaire : la partie spatiale de fonction d'onde d'une « particule quantique libre confinée 1D est continue en tout point ^[8] et par suite
     Préliminaire : la densité linéique de probabilité de présence « $\;{\mathcal {P}}_{l,\,n}(x)=\vert {\underline {\Psi }}_{n}(x)\vert ^{2}\;$ » est aussi continue en tout point.

     Exposé : la partie spatiale de la fonction d'onde d'une « particule quantique libre confinée 1D sur l'intervalle $\;\left[0\,;\;{\mathit {l}}\,\right]\;$ » en état stationnaire $\;{\big (}$ c.-à-d. d'énergie $\;E\;$ fixée ${\big )}\;$ « $\;{\underline {\Psi }}_{E}(x)\;$ »
     Exposé : la partie spatiale de la fonction d'onde étant « nulle sur les deux murs d'énergie potentielle infinie » $\;{\big (}$ par nullité hors intervalle de confinement ^[9], et continuité sur les frontières ^[10] ${\big )}$ ,
     Exposé : la partie spatiale de la fonction d'onde étant « nulle sur ces murs d'énergie potentielle infinie doivent être des nœuds de $\;{\underline {\Psi }}_{E}(x)\;$ ${\big \{}$ tout comme les extrémités fixées d'une corde vibrante sont les nœuds de l'onde stationnaire qui peut s'y créer ^[11] ${\big \}}$ ;
     Exposé : nous pouvons donc affirmer l'analogie d'une « particule libre confinée 1D » avec une « corde vibrante à extrémités fixées ».

Longueurs d'onde de de Broglie possibles pour la « particule libre confinée 1D »

     Sachant que la distance séparant deux nœuds successifs d'une onde stationnaire est $\;{\dfrac {\lambda }{2}}\;$ ^[12], par analogie, nous en déduisons
     Sachant que les longueurs d'onde de de Broglie ^[13] possibles « $\;\lambda _{d.B.,\;n}\;$ » de la « particule quantique libre confinée 1D sur l'intervalle $\;\left[0\,;\;{\mathit {l}}\,\right]\;$ » en état stationnaire comme les seules valeurs
           Sachant que les longueurs d'onde de de Broglie possibles « $\;\color {transparent}{\lambda _{d.B.,\;n}}\;$ » vérifiant la relation « $\;{\mathit {l}}=n\;{\dfrac {\lambda _{d.B.,\;n}}{2}},\;n\in \mathbb {N} ^{*}\;$ » ^[14] $\Rightarrow$ « $\;\lambda _{d.B.,\;n}={\dfrac {2\;{\mathit {l}}}{n}},\;n\in \mathbb {N} ^{*}\;$ » soit
                  Sachant que les longueurs d'onde de de Broglie possibles « $\;\color {transparent}{\lambda _{d.B.,\;n}}\;$ » vérifiant la relation « $\;\color {transparent}{{\mathit {l}}=n\;{\dfrac {\lambda _{d.B.,\;n}}{2}},\;n\in \mathbb {N} ^{*}}\;$ » $\color {transparent}{\Rightarrow }$ une série discrète de valeurs de longueurs d'onde de de Broglie ^[13].

Niveaux d'énergie d'une « particule libre confinée 1D », fonction d'onde stationnaire associée

Niveaux d'énergie possibles d'une « particule libre confinée 1D »

     À chaque longueur d'onde de de Broglie ^[13], on associe la quantité de mouvement de la particule « $\;p_{n}={\dfrac {h}{\lambda _{d.B.,\;n}}},\;n\in \mathbb {N} ^{*}\;$ » ^[15] soit, avec « $\;\lambda _{d.B.,\;n}={\dfrac {2\;{\mathit {l}}}{n}},\;n\in \mathbb {N} ^{*}\;$ » ^[16],
           À chaque longueur d'onde de de Broglie, on associe la quantité de mouvement de la particule « $\;p_{n}=n\;{\dfrac {h}{2\;{\mathit {l}}}},\;n\in \mathbb {N} ^{*}\;$ » c.-à-d.
           À chaque longueur d'onde de de Broglie, on associe la quantité de mouvement de la particule une série discrète de valeurs dont le quantum ^[17] est $\;{\dfrac {h}{2\;{\mathit {l}}}}\;$
                           À chaque longueur d'onde de de Broglie, on associe la quantité de mouvement de la particule ${\big (}$ les autres valeurs en étant tous les multiples ${\big )}\;$ et

           À chaque longueur d'onde de de Broglie, on associe l'énergie, purement cinétique ^[18], de cette particule « $\;E_{n}=K_{n}={\dfrac {p_{n}^{2}}{2\;m}}\;$ » soit, avec « $\;\lambda _{d.B.,\;n}={\dfrac {2\;{\mathit {l}}}{n}},\;n\in \mathbb {N} ^{*}\;$ » ^[16],
                 À chaque longueur d'onde de de Broglie, on associe l'énergie, purement cinétique, de cette particule « $\;E_{n}=K_{n}=n^{2}\,{\dfrac {h^{2}}{8\;m\;{\mathit {l}}^{\,2}}}\;$ » c.-à-d. encore
                 À chaque longueur d'onde de de Broglie, on associe l'énergie, purement cinétique, de cette particule une série discrète de valeurs dont le quantum ^[17] est $\;{\dfrac {h^{2}}{8\;m\;{\mathit {l}}^{\,2}}}\;$
                   À chaque longueur d'onde de de Broglie, on associe l'énergie, purement cinétique, de cette particule sans que les autres valeurs soient tous ses multiples ;

     l'énergie est donc quantifiée, elle prend une série de valeurs discrètes variant comme le carré d'un entier naturel
     l'énergie est donc quantifiée, elle prend une série de valeurs discrètes avec un niveau fondamental d'énergie « $\;E_{1}={\dfrac {h^{2}}{8\;m\;{\mathit {l}}^{\,2}}}\;$ » ^[19] non nulle ^[20] et
     l'énergie est donc quantifiée, elle prend une série de valeurs discrètes avec des niveaux excités d'énergie d'autant plus écartés du précédent que $\;n\;$ est grand « $\;E_{n+1}-E_{n}=(2\;n+1)\;{\dfrac {h^{2}}{8\;m\;{\mathit {l}}^{\,2}}}\;$ » ^[21].

     Remarque : Nous avons défini le lien entre énergie et fréquence de de Broglie ^[13] pour une onde de matière dans le paragraphe « relation de de Broglie et conséquences » du chap. $16$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » par $\;E_{\text{tot}}=h\;\nu _{d.B.}\;$ où $\;E_{\text{tot}}\;$ est l'énergie totale égale, dans le cas d'une particule libre, à la somme de l'énergie de masse $\;E^{\,0}=m\;c^{2}\;$ ${\big (}$ à compter dans l'énergie totale pour définir la fréquence de de Broglie, que la particule soit relativiste ou non ${\big )}\;$ et de l'énergie cinétique $\;K$ ;
     Remarque : ici la fréquence de de Broglie ^[13] de la particule libre est « $\;\nu _{d.B.,\;n}={\dfrac {m\;c^{2}}{h}}+n^{2}\,{\dfrac {h}{8\;m\;{\mathit {l}}^{\,2}}}\;$ » soit encore « $\;\nu _{d.B.,\;{\cancel {n}}}\simeq {\dfrac {m\;c^{2}}{h}}\;$ » compte-tenu du 1^er terme largement prépondérant pour des particules non relativistes ^[22] ;
     Remarque : on peut déterminer, de la fréquence de de Broglie ^[13], la célérité de l'onde de matière pour le niveau $\;n\;$ par « $\;v_{{\text{onde}},\;n}=\lambda _{d.B.,\;n}\times \nu _{d.B.,\;n}\simeq {\dfrac {2\;{\mathit {l}}}{n}}\;{\dfrac {m\;c^{2}}{h}}=c^{2}\;{\dfrac {2\;m\;{\mathit {l}}}{n\;h}}\;$ » et
     Remarque : on peut déterminer, de la quantification de la quantité de mouvement, la vitesse de la particule classique associée par « $\;v_{{\text{part}},\;n}={\dfrac {p_{n}}{m}}=n\;{\dfrac {h}{2\;m\;{\mathit {l}}}}\;$ »,
     Remarque : on vérifie ainsi le lien déjà évoqué au paragraphe « relation de de Broglie et conséquences » du chap. $16$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » « $\;v_{{\text{part}},\;n}\times v_{{\text{onde}},\;n}=c^{2}\;$ ».

Détermination d'un minorant de l'énergie d'une « particule libre confinée 1D » par utilisation de l'inégalité de Heisenberg spatiale

La « particule libre 1D » étant confinée sur l'intervalle $\;\left[0\,,\,{\mathit {l}}\,\right]$ , l'incertitude « quantique » ^[23] sur sa position « $\;\Delta x\;$ » est majorée selon « $\;\Delta x\leqslant {\dfrac {\mathit {l}}{2}}\;$ » ^[24] et

La « particule libre 1D » étant confinée sur l'intervalle $\;\color {transparent}{\left[0\,,\,{\mathit {l}}\,\right]}$ , l'incertitude « quantique » celle sur sa quantité de mouvement « $\;\Delta p\;$ » se déduisant de l'inégalité de Heisenberg ^[25] spatiale
La « particule libre 1D » étant confinée sur l'intervalle $\;\color {transparent}{\left[0\,,\,{\mathit {l}}\,\right]}$ , l'incertitude « quantique » sur sa quantité de mouvement « $\;\color {transparent}{\Delta p}\;$ » se déduisant de « $\;\Delta p\;\Delta x\geqslant {\dfrac {\hbar }{2}}\;$ » ^[26] selon « $\;\Delta p\geqslant {\dfrac {\hbar }{2\;\Delta x}}\;$ »

La « particule libre 1D » étant confinée sur l'intervalle $\;\color {transparent}{\left[0\,,\,{\mathit {l}}\,\right]}$ , on obtient, en utilisant le majorant précédemment déterminé de l'incertitude « quantique » ^[23] sur la position « $\;\Delta x\leqslant {\dfrac {\mathit {l}}{2}}\;$ », que
La « particule libre 1D » étant confinée sur l'intervalle $\;\color {transparent}{\left[0\,,\,{\mathit {l}}\,\right]}$ , on obtient, l'incertitude « quantique » ^[23] sur la quantité de mouvement « $\;\Delta p\;$ » est minorée selon « $\;\Delta p\geqslant {\dfrac {\hbar }{\mathit {l}}}\;$ » ;

La « particule libre 1D » étant confinée sur l'intervalle $\;\color {transparent}{\left[0\,,\,{\mathit {l}}\,\right]}$ , la définition de cette dernière étant « $\;\Delta p={\sqrt {\left\langle (p-{\overline {p}})^{2}\right\rangle }}={\sqrt {\left\langle p^{2}\right\rangle }}\;$ », la valeur moyenne de sa quantité de mouvement étant $\;{\overline {p}}=0\;$ ^[27],
La « particule libre 1D » étant confinée sur l'intervalle $\;\color {transparent}{\left[0\,,\,{\mathit {l}}\,\right]}$ , la définition de cette dernière étant « $\;\color {transparent}{\Delta p={\sqrt {\left\langle (p-{\overline {p}})^{2}\right\rangle }}={\sqrt {\left\langle p^{2}\right\rangle }}}\;$ », nous en déduisons « $\;\left\langle p^{2}\right\rangle =(\Delta p)^{2}\;$ » ^[28] ;

     La « particule libre 1D » étant confinée si la « particule libre confinée 1D » est dans un état stationnaire, son énergie a une valeur fixée $\;E\;$ $=\;$ à sa valeur moyenne soit « $\;E=\left\langle E\right\rangle =\left\langle K\right\rangle ={\dfrac {\left\langle p^{2}\right\rangle }{2\;m}}\;$ » et,
     La « particule libre 1D » étant confinée si la « particule libre confinée 1D » est dans un état stationnaire, en utilisant le résultat établi précédemment « $\;\left\langle p^{2}\right\rangle =(\Delta p)^{2}\;$ » ainsi que
     La « particule libre 1D » étant confinée si la « particule libre confinée 1D » est dans un état stationnaire, en utilisant le minorant de l'incertitude « quantique » ^[23] sur la quantité de mouvement $\;\Delta p$ ,
     La « particule libre 1D » étant confinée si la « particule libre confinée 1D » est dans un état stationnaire, en utilisant le minorant « $\;\Delta p\geqslant {\dfrac {\hbar }{\mathit {l}}}\;$ », nous obtenons que
     La « particule libre 1D » étant confinée si la « particule libre confinée 1D » est dans un état stationnaire, l'énergie de la « particule libre 1D » confinée sur l'intervalle $\;\left[0\,,\,{\mathit {l}}\,\right]\;$ dans un état stationnaire
     La « particule libre 1D » étant confinée si la « particule libre confinée 1D » est dans un état stationnaire, l'énergie de la « particule libre 1D » est minorée selon « $\;E\geqslant {\dfrac {\hbar ^{2}}{2\;m\;{\mathit {l}}^{\,2}}}={\dfrac {h^{2}}{8\;\pi ^{2}\;m\;{\mathit {l}}^{\,2}}}\;$ » ^[29],
     La « particule libre 1D » étant confinée si la « particule libre confinée 1D » est dans un état stationnaire, évidemment vérifié par tout niveau d'énergie, donc par le niveau fondamental, ce qui est le cas car
     La « particule libre 1D » étant confinée si la « particule libre confinée 1D » est dans un état stationnaire, l'énergie de la « particule libre 1D » est minorée selon « $\;E_{1}={\dfrac {h^{2}}{8\;m\;{\mathit {l}}^{\,2}}}>{\dfrac {h^{2}}{8\;\pi ^{2}\;m\;{\mathit {l}}^{\,2}}}\;$ ».

Expression de la partie spatiale de la fonction d'onde stationnaire correspondant au niveau n d'énergie de la « particule libre confinée 1D »

     À l'énergie « $\;E_{n}=K_{n}={\dfrac {p_{n}^{2}}{2\;m}}=n^{2}\,{\dfrac {h^{2}}{8\;m\;{\mathit {l}}^{\,2}}},\;n\in \mathbb {N} ^{*}\;$ » ^[30] d'une « particule libre 1D » confinée sur l'intervalle $\;\left[0\,,\,{\mathit {l}}\,\right]\;$ dans un état stationnaire, correspondant
     à la quantité de mouvement « $\;p_{n}={\dfrac {h}{\lambda _{d.B.,\,n}}}=n\;{\dfrac {h}{2\;{\mathit {l}}}},\;n\in \mathbb {N} ^{*}\;$ » ^[31] de cette « particule libre 1D » confinée sur l'intervalle $\;\left[0\,,\,{\mathit {l}}\,\right]\;$ dans un état stationnaire,
           à la quantité de mouvement « $\;\color {transparent}{p_{n}={\dfrac {h}{\lambda _{d.B.,\,n}}}=n\;{\dfrac {h}{2\;{\mathit {l}}}},\;n\in \mathbb {N} ^{*}}\;$ » la partie spatiale de la fonction d'onde stationnaire de cette « particule libre 1D » confinée sur l'intervalle $\;\left[0\,,\,{\mathit {l}}\,\right]\;$ s'écrit,
           à la quantité de mouvement « $\;\color {transparent}{p_{n}={\dfrac {h}{\lambda _{d.B.,\,n}}}=n\;{\dfrac {h}{2\;{\mathit {l}}}},\;n\in \mathbb {N} ^{*}}\;$ » par analogie aux ondes sinusoïdales stationnaires sur une corde à extrémités fixes, « $\;\Psi _{n}(x)=A_{n}\;\sin \!\left({\dfrac {2\;\pi }{\lambda _{d.B.,\,n}}}\;x+\varphi _{n}\right)\;$ » ^[32]
           à la quantité de mouvement « $\;\color {transparent}{p_{n}={\dfrac {h}{\lambda _{d.B.,\,n}}}=n\;{\dfrac {h}{2\;{\mathit {l}}}},\;n\in \mathbb {N} ^{*}}\;$ » dans laquelle il faut écrire que les murs d'énergie potentielle infinie sont des nœuds de fonction d'onde soit :
           à la quantité de mouvement « $\;\color {transparent}{p_{n}={\dfrac {h}{\lambda _{d.B.,\,n}}}=n\;{\dfrac {h}{2\;{\mathit {l}}}},\;n\in \mathbb {N} ^{*}}\;$ » dans laquelle il faut écrire $\succ \;$ « $\;\Psi _{n}(0)=0\;$ » impliquant « $\;\varphi _{n}\equiv 0\!\!{\pmod {\pi }}\;$ » par exemple « $\;\varphi _{n}=0\;$ » ^[33] et
           à la quantité de mouvement « $\;\color {transparent}{p_{n}={\dfrac {h}{\lambda _{d.B.,\,n}}}=n\;{\dfrac {h}{2\;{\mathit {l}}}},\;n\in \mathbb {N} ^{*}}\;$ » dans laquelle il faut écrire $\succ \;$ « $\;\Psi _{n}({\mathit {l}})=0\;$ » entraînant « $\;\sin \!\left({\dfrac {2\;\pi }{\lambda _{d.B.,\,n}}}\;{\mathit {l}}\right)=0\;$ » ^[34] c.-à-d. « $\;{\dfrac {2\;\pi }{\lambda _{d.B.,\,n}}}\;{\mathit {l}}=q\;\pi ,\;q\in \mathbb {N} ^{*}\;$ » ou
           à la quantité de mouvement « $\;\color {transparent}{p_{n}={\dfrac {h}{\lambda _{d.B.,\,n}}}=n\;{\dfrac {h}{2\;{\mathit {l}}}},\;n\in \mathbb {N} ^{*}}\;$ » dans laquelle il faut écrire $\color {transparent}{\succ }\;$ « $\;\color {transparent}{\Psi _{n}({\mathit {l}})=0}\;$ » entraînant « $\;\lambda _{d.B.,\,n}={\dfrac {2\;{\mathit {l}}}{q}},\;q\in \mathbb {N} ^{*}\;$ » ou encore, en choisissant $\;q=n$ ,
           à la quantité de mouvement « $\;\color {transparent}{p_{n}={\dfrac {h}{\lambda _{d.B.,\,n}}}=n\;{\dfrac {h}{2\;{\mathit {l}}}},\;n\in \mathbb {N} ^{*}}\;$ » dans laquelle il faut écrire $\color {transparent}{\succ }\;$ « $\;\color {transparent}{\Psi _{n}({\mathit {l}})=0}\;$ » entraînant « $\;\lambda _{d.B.,\,n}={\dfrac {2\;{\mathit {l}}}{n}},\;n\in \mathbb {N} ^{*}\;$ »
           à la quantité de mouvement « $\;\color {transparent}{p_{n}={\dfrac {h}{\lambda _{d.B.,\,n}}}=n\;{\dfrac {h}{2\;{\mathit {l}}}},\;n\in \mathbb {N} ^{*}}\;$ » dans laquelle il faut écrire $\color {transparent}{\succ }\;$ « $\;\color {transparent}{\Psi _{n}({\mathit {l}})=0}\;$ » entraînant c.-à-d. la condition de quantification trouvée précédemment ^[16] $\Rightarrow$

           à la quantité de mouvement « $\;\color {transparent}{p_{n}={\dfrac {h}{\lambda _{d.B.,\,n}}}=n\;{\dfrac {h}{2\;{\mathit {l}}}},\;n\in \mathbb {N} ^{*}}\;$ » la partie spatiale de la fonction d'onde stationnaire pour le mode $\;n\;$ de vibration de cette « particule libre 1D » confinée s'écrit
           à la quantité de mouvement « $\;\color {transparent}{p_{n}={\dfrac {h}{\lambda _{d.B.,\,n}}}=n\;{\dfrac {h}{2\;{\mathit {l}}}},\;n\in \mathbb {N} ^{*}}\;$ » la partie spatiale « $\;\Psi _{n}(x)=A_{n}\;\sin \!\left(n\;\pi \;{\dfrac {x}{\mathit {l}}}\right)\;$ », $\;A_{n}\;$ se déterminant en normalisant la densité linéique de probabilité
               à la quantité de mouvement « $\;\color {transparent}{p_{n}={\dfrac {h}{\lambda _{d.B.,\,n}}}=n\;{\dfrac {h}{2\;{\mathit {l}}}},\;n\in \mathbb {N} ^{*}}\;$ » la partie spatiale « $\;\color {transparent}{\Psi _{n}(x)=A_{n}\;\sin \!\left(n\;\pi \;x\right)}\;$ », $\;\color {transparent}{A_{n}}\;$ se déterminant en normalisant de présence « $\;{\mathcal {P}}_{{\text{lin}},\;n}(x)=\Psi _{n}^{2}(x)\;$ » ^[35]
               à la quantité de mouvement « $\;\color {transparent}{p_{n}={\dfrac {h}{\lambda _{d.B.,\,n}}}=n\;{\dfrac {h}{2\;{\mathit {l}}}},\;n\in \mathbb {N} ^{*}}\;$ » la partie spatiale « $\;\color {transparent}{\Psi _{n}(x)=A_{n}\;\sin \!\left(n\;\pi \;x\right)}\;$ », « $\;{\mathcal {P}}_{{\text{lin}},\;n}(x)=A_{n}^{2}\;\sin ^{2}\!\left(n\;\pi \;{\dfrac {x}{\mathit {l}}}\right)\;$ » par « $\;\displaystyle \int _{0}^{\mathit {l}}{\mathcal {P}}_{{\text{lin}},\;n}(x)\;dx=1\;$ » soit
           à la quantité de mouvement « $\;\color {transparent}{p_{n}={\dfrac {h}{\lambda _{d.B.,\,n}}}=n\;{\dfrac {h}{2\;{\mathit {l}}}},\;n\in \mathbb {N} ^{*}}\;$ » la partie spatiale $\;A_{n}^{2}\;\displaystyle \int _{0}^{\mathit {l}}\sin ^{2}\!\left(n\;\pi \;{\dfrac {x}{\mathit {l}}}\right)dx=1\;$ ou, en linéarisant $\;{\dfrac {A_{n}^{2}}{2}}\;\displaystyle \int _{0}^{\mathit {l}}\left[1-\cos \!\left(2\;n\;\pi \;{\dfrac {x}{\mathit {l}}}\right)\right]dx=1\;$ ^[36] et, après une intégration sans souci, $\;{\dfrac {A_{n}^{2}}{2}}\;\left[x-{\dfrac {\mathit {l}}{2\;n\;\pi }}\;\sin \!\left(2\;n\;\pi \;{\dfrac {x}{\mathit {l}}}\right)\right]_{0}^{\mathit {l}}=1\;$ ou $\;{\dfrac {A_{n}^{2}}{2}}\;\left[{\mathit {l}}-{\cancel {{\dfrac {\mathit {l}}{2\;n\;\pi }}\;\sin \!\left(2\;n\;\pi \right)}}\right]=1$ , finalement on choisit « $\;A_{n}={\sqrt {\dfrac {2}{\mathit {l}}}}\;$ » d'où l'expression de
           à la quantité de mouvement « $\;\color {transparent}{p_{n}={\dfrac {h}{\lambda _{d.B.,\,n}}}=n\;{\dfrac {h}{2\;{\mathit {l}}}},\;n\in \mathbb {N} ^{*}}\;$ » la partie spatiale de la fonction d'onde stationnaire pour le mode $\;n\;$ de vibration de cette « particule libre 1D » confinée
           à la quantité de mouvement « $\;\color {transparent}{p_{n}={\dfrac {h}{\lambda _{d.B.,\,n}}}=n\;{\dfrac {h}{2\;{\mathit {l}}}},\;n\in \mathbb {N} ^{*}}\;$ » la partie spatiale « $\;\Psi _{n}(x)={\sqrt {\dfrac {2}{\mathit {l}}}}\;\sin \!\left(n\;\pi \;{\dfrac {x}{\mathit {l}}}\right)\;$ » ^[37] $\Rightarrow$
           à la quantité de mouvement « $\;\color {transparent}{p_{n}={\dfrac {h}{\lambda _{d.B.,\,n}}}=n\;{\dfrac {h}{2\;{\mathit {l}}}},\;n\in \mathbb {N} ^{*}}\;$ » une densité linéique de probabilité de présence pour le mode $\;n\;$ de vibration de cette « particule libre 1D » confinée
           à la quantité de mouvement « $\;\color {transparent}{p_{n}={\dfrac {h}{\lambda _{d.B.,\,n}}}=n\;{\dfrac {h}{2\;{\mathit {l}}}},\;n\in \mathbb {N} ^{*}}\;$ » une densité linéique de probabilité de présence « $\;{\mathcal {P}}_{{\text{lin}},\;n}(x)={\dfrac {2}{\mathit {l}}}\;\sin ^{2}\!\left(n\;\pi \;{\dfrac {x}{\mathit {l}}}\right)\;$ » ^[37].

           à la quantité de mouvement « $\;\color {transparent}{p_{n}={\dfrac {h}{\lambda _{d.B.,\,n}}}=n\;{\dfrac {h}{2\;{\mathit {l}}}},\;n\in \mathbb {N} ^{*}}\;$ » Remarque : en les positions des ventres de vibration « $\;x_{{\text{ventre}},\;n}=\left(p+{\dfrac {1}{2}}\right){\dfrac {\lambda _{d.B.,\,n}}{2}},\;p\in \left[\left[0\,,\,n-1\right]\right]\;$ » ^[38],
           à la quantité de mouvement « $\;\color {transparent}{p_{n}={\dfrac {h}{\lambda _{d.B.,\,n}}}=n\;{\dfrac {h}{2\;{\mathit {l}}}},\;n\in \mathbb {N} ^{*}}\;$ » Remarque : en les positions des ventres de vibration la « densité linéique de probabilité de présence est $\;{\dfrac {2}{\mathit {l}}}\;$ » ^[39],
           à la quantité de mouvement « $\;\color {transparent}{p_{n}={\dfrac {h}{\lambda _{d.B.,\,n}}}=n\;{\dfrac {h}{2\;{\mathit {l}}}},\;n\in \mathbb {N} ^{*}}\;$ » Remarque : en les positions des ventres de vibration valeur indépendante du nombre de « fuseaux » $\;\ldots$

Transitions entre niveaux d'énergie

La « particule libre 1D » confinée sur l'intervalle $\;\left[0\,,\,{\mathit {l}}\,\right]\;$ dans un état stationnaire, doit être dans l'un des niveaux $\;n\;$ précédemment déterminés,

elle peut passer dans un niveau plus faible $\;n'<n\;$ en émettant un photon d'énergie « $\;h\;\nu _{n'\,\leftarrow \,n}=E_{n}-E_{n'}=\left(n^{2}-{n'}^{2}\right){\dfrac {h^{2}}{8\;m\;{\mathit {l}}^{\,2}}}\;$ » ou
elle peut passer dans un niveau plus élevé $\;n''>n\;$ en absorbant un photon d'énergie « $\;h\;\nu _{n\,\rightarrow \,n''}=E_{n''}-E_{n}=\left({n''}^{2}-n^{2}\right){\dfrac {h^{2}}{8\;m\;{\mathit {l}}^{\,2}}}\;$ » ;

la plus petite fréquence de photon pouvant être émis ou absorbé par la « particule libre 1D » confinée sur l'intervalle $\;\left[0\,,\,{\mathit {l}}\,\right]\;$ dans un état stationnaire est « $\;\nu _{\text{min}}={\dfrac {E_{2}-E_{1}}{h}}={\dfrac {3\;h}{8\;m\;{\mathit {l}}^{\,2}}}\;$ ».

     Exemple : on peut réaliser un puits d'énergie potentielle infinie en mettant une couche semi-conductrice d'arséniure de gallium $\;GaAs\;$ ^[40]
     Exemple : on peut réaliser un puits d'énergie potentielle infinie en sandwich entre deux couches d'arséniure d'aluminium-gallium $\;GaAlAs\;$ ^[41],
     Exemple : on peut réaliser un puits d'énergie potentielle infinie les porteurs de charge mobile de la couche semi-conductrice centrale restant confinés entre les deux couches latérales
     Exemple : on peut réaliser un puits d'énergie potentielle infinie les porteurs de charge mobile de la couche semi-conductrice centrale restant confinés avec un espace de confinement ^[42] de quelques $\;nm$ ;

Exemple : on peut réaliser un puits d'énergie potentielle infinie en prenant « $\;{\mathit {l}}=3\;nm\;$ » et en considérant la conductivité électrique des électrons de la couche semi-conductrice centrale avec leur « masse effective $\;m_{{\text{eff}},\,e}\simeq 0,067\;m_{e}\simeq 0,067\times 0,91\;10^{-30}\;kg\simeq 6,1\;10^{-32}\;kg\;$ » ^[43], on trouve une fréquence minimale de photon échangeable ^[44] $\;\nu _{\text{min}}={\dfrac {3\;h}{8\;m_{{\text{eff}},\,e}\;{\mathit {l}}^{\,2}}}\simeq$ ${\dfrac {3\times 6,626\;10^{-34}}{8\times 6,1\;10^{-32}\times \left(3\;10^{-9}\right)^{2}}}\;$ ^[45] $\simeq 4,52\;10^{14}\;Hz\;$ correspondant à une longueur d'onde maximale dans le vide $\;\lambda _{0,\,{\text{max}}}={\dfrac {c}{\nu _{\text{min}}}}\simeq {\dfrac {3\;10^{8}}{4,52\;10^{14}}}\simeq 6,63\;10^{-7}\;m\;$ soit « $\;\lambda _{0,\,{\text{max}}}\simeq 0,663\;\mu m\;$ » caractéristique de la lumière émise par les diodes électroluminescentes émettant dans le rouge ^[46].

Lien qualitatif entre « confinement spatial » et « quantification de l'énergie »

Nous avons vu $\;2\;$ exemples où le confinement spatial d'une particule à un seul paramètre de position sur un intervalle borné $\;{\big \{}$ le 1^er sur les « oscillateurs harmoniques unidimensionnels quantiques » ^[47] $\;{\big [}$ voir le paragraphe « spectre des niveaux d'énergie d'un oscillateur harmonique unidimensionnel quantique » du chap. $19$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » ${\big ]}\;$ et le 2^ème sur les « particules libres confinées 1D » ^[48] en état stationnaire $\;{\big [}$ voir le paragraphe « niveaux d'énergie possibles d'une particule libre confinée 1D » plus haut dans ce chapitre ${\big ]}{\big \}}\;$
Nous avons vu $\;\color {transparent}{2}\;$ exemples où le confinement spatial d'une particule à un seul paramètre de position sur un intervalle borné se traduit par la « quantification de son énergie » ^[49] ;

Nous avons vu $\;\color {transparent}{2}\;$ exemples ceci est généralisable : « une particule quantique confinée dans une région de l'espace de taille finie a son énergie quantifiée ».

En appliquant le modèle du puits d'énergie potentielle infinie, nous déterminons l'« ordre de grandeur des écarts entre niveaux d'énergie » pour une « particule confinée 1D sur un intervalle $\;\left[0\,,\,{\mathit {l}}\,\right]\;$ » ^[50],
En appliquant le modèle du puits d'énergie potentielle infinie, nous déterminons l'« ordre de grandeur des écarts entre niveaux d'énergie » suivant la nature de la particule ^[51] :

     En appliquant le modèle du puits d'énergie potentielle infinie, $\succ \;$ pour un électron dans un puits d'énergie potentielle infinie de la taille d'un atome $\;{\mathit {l}}\sim 1\;{\text{Ǻ}}=10^{-10}\;m\;$ ^[52] et $\;m_{e}=0,91\;10^{-30}\;kg\;$
     En appliquant le modèle du puits d'énergie potentielle infinie, $\color {transparent}{\succ }\;$ pour un électron on trouve $\;E_{2}-E_{1}={\dfrac {3\;h^{2}}{8\;m_{e}\;{\mathit {l}}^{\,2}}}\;$ ^[53] c.-à-d. $\;E_{2}-E_{1}={\dfrac {3\times \left(6,626\;10^{-34}\right)^{2}}{8\times 0,91\;10^{-30}\times \left(10^{-10}\right)^{2}}}\;$ ^[45] $\simeq 1,81\;10^{-17}\;J\;$ soit
     En appliquant le modèle du puits d'énergie potentielle infinie, $\color {transparent}{\succ }\;$ pour un électron on trouve $\;E_{2}-E_{1}\simeq {\dfrac {1,81\;10^{-17}}{1,6\;10^{-19}}}\simeq 110\;eV\;$ ^[54] c.-à-d. un « ordre de grandeur de $\;100\;eV\;$ ^[54] » ;

     En appliquant le modèle du puits d'énergie potentielle infinie, $\succ \;$ pour un nucléon dans un puits d'énergie potentielle infinie de la taille d'un noyau $\;{\mathit {l}}\sim 3\;fm=3\;10^{-15}\;m\;$ ^[55]^, ^[56] et
     En appliquant le modèle du puits d'énergie potentielle infinie, $\color {transparent}{\succ }\;$ pour un nucléon dans un puits d'énergie potentielle infinie de la taille d'un noyau $\;m_{\text{nucl}}=1,67\;10^{-27}\;kg=1\;u\;$ ^[57]
     En appliquant le modèle du puits d'énergie potentielle infinie, $\color {transparent}{\succ }\;$ pour un nucléon on trouve $\;E_{2}-E_{1}={\dfrac {3\;h^{2}}{8\;m_{e}\;{\mathit {l}}^{\,2}}}\;$ ^[53] c.-à-d. $\;E_{2}-E_{1}={\dfrac {3\times \left(6,626\;10^{-34}\right)^{2}}{8\times 1,67\;10^{-27}\times \left(3\;10^{-15}\right)^{2}}}\;$ ^[45] $\simeq 1,1\;10^{-11}\;J\;$ soit
     En appliquant le modèle du puits d'énergie potentielle infinie, $\color {transparent}{\succ }\;$ pour un nucléon on trouve $\;E_{2}-E_{1}\simeq {\dfrac {1,1\;10^{-11}}{1,6\;10^{-13}}}\simeq 70\;MeV\;$ ^[58] c.-à-d. un « ordre de grandeur de $\;100\;MeV\;$ ^[58] » ;

En appliquant le modèle du puits d'énergie potentielle infinie, $\succ \;$ l'ordre de grandeur des écarts entre niveaux d'énergie $\Rightarrow$ les valeurs nucléaires sont $\;\simeq 10^{6}\;$ fois plus grandes que les valeurs atomiques.

En complément : résolution de l'équation de Schrödinger indépendante du temps d'une « particule libre confinée 1D »

Équation de Schrödinger indépendante du temps d'une « particule libre confinée 1D »

L'équation de Schrödinger ^[59] indépendante du temps d'une « particule libre confinée 1D » à savoir $\;-{\dfrac {\hbar ^{2}}{2\;m}}\;{\dfrac {d^{2}{\underline {\Psi }}_{n}}{dx^{2}}}(x)=E_{n}\;{\underline {\Psi }}_{n}(x)\;$ ^[60] se réécrivant « $\;{\dfrac {\hbar ^{2}}{2\;m}}\;{\dfrac {d^{2}{\underline {\Psi }}_{n}}{dx^{2}}}(x)+E_{n}\;{\underline {\Psi }}_{n}(x)=0\;$ »

L'équation de Schrödinger indépendante du temps est une équation différentielle linéaire à cœfficients constants homogène du 2^ème ordre en $\;{\underline {\Psi }}_{n}(x)\;$ sans terme du 1^er ordre,
L'équation de Schrödinger indépendante du temps est une équation différentielle linéaire à cœfficients constants homogène dont la résolution passe par celle de l'équation caractéristique ^[61] $\;\ldots$

Résolution de l'équation de Schrödinger indépendante du temps d'une « particule libre confinée 1D »

     L'équation de Schrödinger ^[59] indépendante du temps d'une « particule libre confinée 1D » à savoir « $\;{\dfrac {\hbar ^{2}}{2\;m}}\;{\dfrac {d^{2}{\underline {\Psi }}_{n}}{dx^{2}}}(x)+E_{n}\;{\underline {\Psi }}_{n}(x)=0\;$ »
           L'équation de Schrödinger indépendante du temps étant une équation différentielle linéaire à cœfficients constants homogène du 2^ème ordre en $\;{\underline {\Psi }}_{n}(x)\;$ sans terme du 1^er ordre ^[61]
           L'équation de Schrödinger indépendante du temps admet pour équation caractéristique « $\;{\dfrac {\hbar ^{2}}{2\;m}}\;{\underline {s}}^{2}+E_{n}=0\;$ » ^[62] dont la résolution nécessite la discussion suivante :

« si $\;E_{n}\;$ est $\;<0\;$ », les « racines de l'équation caractéristique sont réelles $\;{\underline {s_{\pm }}}=\pm {\dfrac {\sqrt {-2\;m\;E_{n}}}{\hbar }}\;$ » et
« si $\;\color {transparent}{E_{n}}\;$ est $\;\color {transparent}{<0}\;$ », la solution de l'équation différentielle s'écrit « $\;{\underline {\Psi }}_{n}={\underline {A_{+}}}\;\exp \!\left({\dfrac {\sqrt {-2\;m\;E_{n}}}{\hbar }}\;x\right)+{\underline {A_{-}}}\;\exp \!\left(-{\dfrac {\sqrt {-2\;m\;E_{n}}}{\hbar }}\;x\right)\;$ » ^[63] mais
« si $\;\color {transparent}{E_{n}}\;$ est $\;\color {transparent}{<0}\;$ », cette solution est à rejeter car les C.A.L. ^[64] $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\underline {\Psi }}_{n}(0)=0\\{\underline {\Psi }}_{n}({\mathit {l}})=0\end{array}}\right\rbrace \;$ s'écrivant $\;\left\lbrace {\begin{array}{l c l c l}{\underline {A_{+}}}\!\!&+&\!\!{\underline {A_{-}}}\!\!&=&\!\!0\\{\underline {A_{+}}}\;\exp \!\left({\dfrac {\sqrt {-2\;m\;E_{n}}}{\hbar }}\;{\mathit {l}}\right)\!\!&+&\!\!{\underline {A_{-}}}\;\exp \!\left(-{\dfrac {\sqrt {-2\;m\;E_{n}}}{\hbar }}\;{\mathit {l}}\right)\!\!&=&\!\!0\end{array}}\right\rbrace \;$ ^[65] $\Rightarrow$ $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\underline {A_{+}}}=0\\{\underline {A_{-}}}=0\end{array}}\right\rbrace \;$ ^[66]
« si $\;\color {transparent}{E_{n}}\;$ est $\;\color {transparent}{<0}\;$ », cette solution est à rejeter d'où la nullité de la fonction d'onde ;
« si $\;E_{n}\;$ est $\;=0\;$ », il y a « une racine double de l'équation caractéristique $\;{\underline {s_{d}}}=0\;$ » et
« si $\;\color {transparent}{E_{n}}\;$ est $\;\color {transparent}{=0}\;$ », la solution de l'équation différentielle s'écrit « $\;{\underline {\Psi }}_{n}={\underline {A}}\;x+{\underline {B}}\;$ » ^[67] mais
« si $\;\color {transparent}{E_{n}}\;$ est $\;\color {transparent}{=0}\;$ », cette solution est à rejeter car les C.A.L. ^[64] $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\underline {\Psi }}_{n}(0)=0\\{\underline {\Psi }}_{n}({\mathit {l}})=0\end{array}}\right\rbrace \;$ s'écrivant $\;\left\lbrace {\begin{array}{l c l c l}\!\!&&\!\!{\underline {B}}\!\!&=&\!\!0\\{\underline {A}}\;{\mathit {l}}\!\!&+&\!\!{\underline {B}}\!\!&=&\!\!0\end{array}}\right\rbrace \;$ ^[65] $\Rightarrow$ $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\underline {A}}=0\\{\underline {B}}=0\end{array}}\right\rbrace \;$ ^[68]
« si $\;\color {transparent}{E_{n}}\;$ est $\;\color {transparent}{=0}\;$ », cette solution est à rejeter d'où la nullité de la fonction d'onde ;
« si $\;E_{n}\;$ est $\;>0\;$ », les « racines de l'équation caractéristique sont complexes conjuguées $\;{\underline {s_{\pm }}}=\pm i\;{\dfrac {\sqrt {2\;m\;E_{n}}}{\hbar }}\;$ » et
« si $\;\color {transparent}{E_{n}}\;$ est $\;\color {transparent}{>0}\;$ », la solution de l'équation différentielle s'écrit « $\;{\underline {\Psi }}_{n}={\underline {A_{+}}}\;\exp \!\left(i\;{\dfrac {\sqrt {2\;m\;E_{n}}}{\hbar }}\;x\right)+{\underline {A_{-}}}\;\exp \!\left(-i\;{\dfrac {\sqrt {2\;m\;E_{n}}}{\hbar }}\;x\right)\;$ » ^[69],
« si $\;\color {transparent}{E_{n}}\;$ est $\;\color {transparent}{>0}\;$ », les constantes d'intégration $\;\left({\underline {A_{+}}}\,,\,{\underline {A_{-}}}\right)\;$ devant obéir aux C.A.L. ^[64] $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\underline {\Psi }}_{n}(0)=0\\{\underline {\Psi }}_{n}({\mathit {l}})=0\end{array}}\right\rbrace \;$ soit $\;\left\lbrace {\begin{array}{l c l c l}{\underline {A_{+}}}\!\!&+&\!\!{\underline {A_{-}}}\!\!&=&\!\!0\\{\underline {A_{+}}}\;\exp \!\left(i\;{\dfrac {\sqrt {2\;m\;E_{n}}}{\hbar }}\;{\mathit {l}}\right)\!\!&+&\!\!{\underline {A_{-}}}\;\exp \!\left(-i\;{\dfrac {\sqrt {2\;m\;E_{n}}}{\hbar }}\;{\mathit {l}}\right)\!\!&=&\!\!0\end{array}}\right\rbrace \;$ ^[65],
« si $\;\color {transparent}{E_{n}}\;$ est $\;\color {transparent}{>0}\;$ », les « solutions de ce système étant non triviales ^[70] si $\;1\times \exp \!\left(-i\;{\dfrac {\sqrt {2\;m\;E_{n}}}{\hbar }}\;{\mathit {l}}\right)=$ $\exp \!\left(i\;{\dfrac {\sqrt {2\;m\;E_{n}}}{\hbar }}\;{\mathit {l}}\right)\times 1\;$ » ^[71] ou
      « si $\;\color {transparent}{E_{n}}\;$ est $\;\color {transparent}{>0}\;$ », les « solutions de ce système étant non triviales si $\;\exp \!\left(i\;{\dfrac {\sqrt {2\;m\;E_{n}}}{\hbar }}\;{\mathit {l}}\right)-\exp \!\left(-i\;{\dfrac {\sqrt {2\;m\;E_{n}}}{\hbar }}\;{\mathit {l}}\right)=0\;$ $\Leftrightarrow$ « $\;2\;i\;\sin \!\left({\dfrac {\sqrt {2\;m\;E_{n}}}{\hbar }}\;{\mathit {l}}\right)=0\;$ » ^[72] d'où
      « si $\;\color {transparent}{E_{n}}\;$ est $\;\color {transparent}{>0}\;$ », les « solutions de ce système étant non triviales la condition de quantification de l'énergie « $\;{\dfrac {\sqrt {2\;m\;E_{n}}}{\hbar }}\;{\mathit {l}}=n\;\pi ,\;n\in \mathbb {N} ^{*}\;$ » $\Leftrightarrow$ « $\;E_{n}=n^{2}{\dfrac {\pi ^{2}\;\hbar ^{2}}{2\;m\;{\mathit {l}}^{\,2}}},\;n\in \mathbb {N} ^{*}\;$ » ou encore
      « si $\;\color {transparent}{E_{n}}\;$ est $\;\color {transparent}{>0}\;$ », les « solutions de ce système étant non triviales la condition de quantification de l'énergie « $\;E_{n}=n^{2}{\dfrac {h^{2}}{8\;m\;{\mathit {l}}^{\,2}}},\;n\in \mathbb {N} ^{*}\;$ » ^[29] ;
      « si $\;\color {transparent}{E_{n}}\;$ est $\;\color {transparent}{>0}\;$ », les « solutions de ce système étant non triviales avec cette condition « les constantes d'intégration sont liées par $\;{\underline {A_{-}}}=-{\underline {A_{+}}}\;$ » et la solution de l'équation différentielle se réécrit
      « si $\;\color {transparent}{E_{n}}\;$ est $\;\color {transparent}{>0}\;$ », les « solutions de ce système étant non triviales avec cette condition « $\;{\underline {\Psi }}_{n}(x)={\underline {A_{+}}}\left[\exp \!\left(i\;{\dfrac {\sqrt {2\;m\;E_{n}}}{\hbar }}\;x\right)-\exp \!\left(-i\;{\dfrac {\sqrt {2\;m\;E_{n}}}{\hbar }}\;x\right)\right]\;$ » ou encore
      « si $\;\color {transparent}{E_{n}}\;$ est $\;\color {transparent}{>0}\;$ », les « solutions de ce système étant non triviales avec cette condition « $\;{\underline {\Psi }}_{n}(x)=2\;i\;{\underline {A_{+}}}\;\sin \!\left({\dfrac {\sqrt {2\;m\;E_{n}}}{\hbar }}\;x\right)\;$ » ^[72] soit, en posant $\;2\;i\;{\underline {A_{+}}}=A\;\exp(i\;\varphi )\;$ ^[73] et
            « si $\;\color {transparent}{E_{n}}\;$ est $\;\color {transparent}{>0}\;$ », les « solutions de ce système étant non triviales avec cette condition « $\;\color {transparent}{{\underline {\Psi }}_{n}(x)=2\;i\;{\underline {A_{+}}}\;\sin \!\left({\dfrac {\sqrt {2\;m\;E_{n}}}{\hbar }}\;x\right)}\;$ » soit, en choisissant $\;\varphi =0\;$ ^[74],
      « si $\;\color {transparent}{E_{n}}\;$ est $\;\color {transparent}{>0}\;$ », les « solutions de ce système étant non triviales avec cette condition « $\;\Psi _{n}(x)=A\;\sin \!\left({\dfrac {\sqrt {2\;m\;E_{n}}}{\hbar }}\;x\right)\;$ » solution de l'équation différentielle ^[75]
      « si $\;\color {transparent}{E_{n}}\;$ est $\;\color {transparent}{>0}\;$ », les « solutions de ce système étant non triviales avec cette condition avec $\;A\;$ à déterminer par normalisation de la densité linéique de probabilité de présence.

Normalisation de la densité linéique de probabilité de présence d'une « particule libre confinée 1D »

     La normalisation de la « densité linéique de probabilité de présence $\;{\mathcal {P}}_{{\text{lin}},\;n}(x)=\Psi _{n}^{2}(x)=A^{2}\;\sin ^{2}\!\left({\dfrac {\sqrt {2\;m\;E_{n}}}{\hbar }}\;x\right)\;$ » se traite en évaluant $\;A>0\;$ par « $\;\displaystyle \int _{0}^{\mathit {l}}{\mathcal {P}}_{{\text{lin}},\;n}(x)\;dx=1\;$ » ^[76], soit
     La normalisation « $\;A^{2}\;\displaystyle \int _{0}^{\mathit {l}}\sin ^{2}\!\left({\dfrac {\sqrt {2\;m\;E_{n}}}{\hbar }}\;x\right)dx=1\;$ » ou, en linéarisant « $\;{\dfrac {A^{2}}{2}}\;\displaystyle \int _{0}^{\mathit {l}}\left[1-\cos \!\left(2\;{\dfrac {\sqrt {2\;m\;E_{n}}}{\hbar }}\;x\right)\right]dx=1\;$ » ^[36] soit, après une intégration sans souci,
     La normalisation « $\;{\dfrac {A^{2}}{2}}\;\left[x-{\dfrac {\hbar }{2\;{\sqrt {2\;m\;E_{n}}}}}\;\sin \!\left(2\;{\dfrac {\sqrt {2\;m\;E_{n}}}{\hbar }}\;x\right)\right]_{0}^{\mathit {l}}=1\;$ » ou, avec la condition de quantification « $\;E_{n}=n^{2}{\dfrac {h^{2}}{8\;m\;{\mathit {l}}^{\,2}}},\;n\in \mathbb {N} ^{*}\;$ ^[77] $\Rightarrow$ $\;{\dfrac {\sqrt {8\;m\;{\mathit {l}}^{\,2}\;E_{n}}}{\hbar }}=n\;2\;\pi \;$ » ^[29],
     La normalisation « $\;{\dfrac {A^{2}}{2}}\;\left[{\mathit {l}}-{\cancel {{\dfrac {\hbar }{2\;{\sqrt {2\;m\;E_{n}}}}}\;\sin \!\left({\dfrac {\sqrt {8\;m\;{\mathit {l}}^{\,2}\;E_{n}}}{\hbar }}\right)}}\right]=1\;$ et finalement en choisissant $\;A>0$ , $\;A={\sqrt {\dfrac {2}{\mathit {l}}}}\;$ » d'où

la fonction d'onde solution de l'équation de Schrödinger ^[59] indépendante du temps «

\;\Psi _{n}(x)={\sqrt {\dfrac {2}{\mathit {l}}}}\;\sin \!\left({\dfrac {\sqrt {2\;m\;E_{n}}}{\hbar }}\;x\right)\;

» ^[78] et
la densité linéique de probabilité de présence «

\;{\mathcal {P}}_{{\text{lin}},\;n}(x)=\Psi _{n}^{2}(x)={\dfrac {2}{\mathit {l}}}\;\sin ^{2}\!\left({\dfrac {\sqrt {2\;m\;E_{n}}}{\hbar }}\;x\right)\;

» ^[79].

Additif à l'introduction au monde quantique concernant l'« énergie du vide » de l'Univers en « cosmologie »

Pourquoi peut-on parler d'« énergie du vide » de l'Univers en « cosmologie » ?

La cosmologie est la science qui étudie la structure, l'origine et l'évolution de l'Univers considéré dans son ensemble.

     Un espace localement vide ne l'a pas toujours été et ne le sera pas toujours, plus précisément, appelant $\;\Delta t\;$ l'incertitude « quantique » ^[23] du temps où l'espace est observé vide et
     Un espace localement vide ne l'a pas toujours été et ne le sera pas toujours, plus précisément, appelant $\;\Delta E\;$ l'incertitude « quantique » ^[23] de l'énergie $\;E\;$ de cet espace localement vide,
     Un espace localement vide ne l'a pas toujours été et ne le sera pas toujours, plus précisément, ces incertitudes « quantiques » ^[23] suivent l'inégalité de Heisenberg ^[25] temporelle « $\;\Delta E\;\Delta t\geqslant {\dfrac {\hbar }{2}}\;$ » d'où
     Un espace localement vide ne l'a pas toujours été et ne le sera pas toujours, plus précisément, l'incertitude « quantique » ^[23] de l'énergie $\;E\;$ du vide est minorée selon « $\;\Delta E\geqslant {\dfrac {\hbar }{2\;\Delta t}}\;$ »,
           Un espace localement vide ne l'a pas toujours été et ne le sera pas toujours, plus précisément, l'incertitude « quantique » de l'énergie $\;\color {transparent}{E}\;$ du vide est minorant d'autant plus grand que $\;\Delta t\;$ est petite
      Un espace localement vide ne l'a pas toujours été et ne le sera pas toujours, plus précisément, l'incertitude « quantique » de l'énergie $\;\color {transparent}{E}\;$ du vide est minorant ou d'autant plus petit que $\;\Delta t\;$ est grande ;

l'incertitude « quantique » ^[23] $\;\Delta E\;$ de l'énergie du vide $\;E\;$ correspond à l'« écart quadratique moyen de cette énergie $\;\Delta E={\sqrt {\left\langle \left(E-{\overline {E}}\right)^{\!2}\right\rangle }}\;$ » avec $\;{\overline {E}}\;$ énergie moyenne $\;{\big (}$ nulle ${\big )}\;$ du vide d'où
l'incertitude « quantique » $\;\color {transparent}{\Delta E}\;$ de l'énergie du vide $\;\color {transparent}{E}\;$ correspond à l'« écart quadratique moyen de cette énergie $\;\Delta E={\sqrt {\left\langle E^{2}\right\rangle }}\;$ $\Rightarrow$ « $\;{\sqrt {\left\langle E^{2}\right\rangle }}=\Delta E\geqslant {\dfrac {\hbar }{2\;\Delta t}}>0\;$ » ;

cette relation « $\;{\sqrt {\left\langle E^{2}\right\rangle }}\geqslant {\dfrac {\hbar }{2\;\Delta t}}>0\;$ » nous enseigne que « le vide $\;{\big (}$ qualifié de quantique ${\big )}\;$ peut contenir de l'énergie à certains instants » ^[80] avec des valeurs pouvant être d'autant plus élevées que la durée d'observation est petite, ces très grandes valeurs potentielles d'énergie du « vide quantique » pendant des durées très courtes sont appelées « fluctuations du vide $\;{\big (}$ quantique ${\big )}\;$ » ;

on a observé que « des valeurs très élevées d'énergie peuvent être “empruntées” au vide quantique pour créer des particules virtuelles à durée de vie très courte » ^[81], l'emprunt étant restitué au vide quantique lors de l'annihilation des particules virtuelles $\;\ldots \;$

La succession de création et d'annihilation des particules virtuelles à partir du vide quantique a-t-elle un intérêt ? Oui car il se trouve que, sous conditions de très fortes valeurs d'énergie $\;{\big (}$ ce qui nécessitent, on le rappelle, des durées d'interaction excessivement petites ${\big )}$ , les particules virtuelles peuvent devenir « réelles » ^[82] $\;{\big (}$ ceci ayant été observé dans les accélérateurs de particules et plus particulièrement dans ceux de dernières générations ^[83] ${\big )}$ .

En conclusion, l'existence des fluctuations du vide quantique ne sont pas des hypothèses théoriques sans retombées expérimentales : nous avons déjà vu leur apparition dans les accélérateurs de particules, mais elles permettent aussi

l'explication de l'« effet Casimir » ^[84] et
du point de vue théorique, l'explication de la création de l'Univers à partir du vide quantique $\;\ldots$

Retour sur l'énergie du vide quantique

     Un espace localement vide ne l'ayant pas toujours été et ne le restant pas toujours, a contenu ou contiendra des champs fondamentaux comme le champ électromagnétique ou
     Un espace localement vide ne l'ayant pas toujours été et ne le restant pas toujours, a contenu ou contiendra des champs fondamentaux comme l'un des trois autres champs ^[85] ou
     Un espace localement vide ne l'ayant pas toujours été et ne le restant pas toujours, a contenu ou contiendra des champs fondamentaux comme une combinaison de ces quatre champs ;

     or en théorie quantique des champs, ces derniers peuvent être vus comme un ensemble de « balles » et de « ressorts vibrants » tous interconnectés c.-à-d. des « oscillateurs harmoniques quantiques »,
     or en théorie quantique des champs, cet ensemble ayant une énergie fondamentale ${\big (}$ c.-à-d. en absence de vibrations ${\big )}$ « non nulle » ^[86]
     or en théorie quantique des champs, cet ensemble ayant une énergie fondamentale conservée lors de la création du vide par disparition des champs,
     or en théorie quantique des champs, cet ensemble ayant une énergie fondamentale sa valeur définissant « l'énergie du vide quantique » ou « énergie du point zéro ».

Notes et références

↑ Voir la 2^ème définition d'un oscillateur harmonique unidimensionnel classique c.-à-d. « objet piégé dans un puits d'énergie potentielle parabolique » justifiée dans le paragraphe « rappel de l'intégrale 1^ère énergétique de l'oscillateur harmonique à une dimension constitué d'un pendule élastique horizontal non amorti (P.E.H.N.A.) » du chap. $17$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » et
la propriété de « confinement spatial » d'un oscillateur harmonique unidimensionnel classique est établie dans le paragraphe « présence de deux murs d'énergie potentielle : trajectoire du point matériel cinétiquement bornée » du même chap. $17$ de la même leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
↑ Notion vue en détail dans le paragraphe « notion de mur d'énergie potentielle » du chap. $17$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » sur l'exemple d'une particule en chute libre ;
une particule classique d'énergie mécanique $\;E_{m}=K+U\;$ étant telle que son énergie cinétique $\;K\;$ est $\;\geqslant 0\;$ on en déduit que $\;E_{m}\geqslant U\;$ c.-à-d. que la courbe « physique » d'énergie mécanique $\;{\big (}$ ensemble des points $\;P_{m}\;$ d'abscisse $\;x\;$ et d'ordonnée $\;E_{m}{\big )}\;$ doit être au-dessus de la courbe « physique » d'énergie potentielle $\;{\big (}$ ensemble des points $\;P_{u}\;$ d'abscisse $\;x\;$ et d'ordonnée $\;U{\big )}$ , les droites $\;\parallel \;$ à l'axe des énergies, d'abscisse égale à celle des points d'intersection, définissant alors les « murs d'énergie potentielle », c.-à-d. les droites séparant les zones où $\;E_{m}<U\;$ interdites pour une particule classique, de celles où $\;E_{m}\geqslant U\;$ seules autorisées si la particule est classique.
↑ Encore appelé « cuvette d'énergie potentielle ».
↑ ^4,0 et ^4,1 La présence de « deux murs d'énergie potentielle en regard », interdit, pour une particule classique, la zone située au-delà du mur de plus grande abscisse et en deçà du mur de plus petite abscisse, la zone autorisée se limite donc à un intervalle fermé pour une particule classique, mais ce raisonnement fondé sur $\;K\geqslant 0\;$ n'est applicable qu'à une particule classique ;
   pour une particule quantique, les « murs d'énergie potentielle » $\;{\big (}$ définis comme les droites $\;\parallel \;$ à l'axe des énergies, d'abscisse égale à celle des points d'intersection des deux courbes « physiques » d'énergie mécanique et d'énergie potentielle ${\big )}\;$ restent toujours définis, mais
   pour une particule quantique les zones classiquement interdites ne le sont plus nécessairement, la probabilité de présence dans le voisinage immédiat au-delà du mur de plus grande abscisse et en deçà du mur de plus petite abscisse n'est pas nulle $\;{\big (}$ pour traiter les deux cas simultanément nous dirons, par abus, « au-delà des murs » pour traduire que $\;x\;$ est envisagée dans les zones classiquement interdites ${\big )}$ , elle est d'autant plus grande que la pénétration au-delà des murs est faible et que l'écart $\;U-E_{m}>0\;$ est petit ;
   ainsi les zones classiquement interdites $\;{\big (}$ c.-à-d. « au-delà des murs » ${\big )}\;$ ne sont-elles pas quantiquement interdites mêmes si elles le deviennent avec l'augmentation de la pénétration dans ces zones.
↑ Un 1^er exemple de ce phénomène a déjà été présenté : la densité linéique de probabilité de présence de l'oscillateur harmonique unidimensionnel quantique est grossièrement maximal pour $\;x_{\text{max}}\simeq$ ${\sqrt {n}}\;\left[a\right]\;$ avec $\;{\dfrac {m\;\omega _{0}}{\hbar }}={\dfrac {2}{\left[a\right]^{2}}}\;$ d'où $\;x_{\text{max}}\simeq {\sqrt {\dfrac {2\;n\;\hbar }{m\;\omega _{0}}}}\;$ ${\big [}$ voir le paragraphe « en complément : composante spatiale de la fonction d'onde de l'état correspondant au niveau n d'un oscillateur harmonique unidimensionnel quantique » du chap. $19$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » ${\big ]}$ , « $\;x_{\text{max}}\;$ assimilable à l'amplitude des oscillations classiques pour $\;n\;$ grand » $\;{\Bigg [}E_{n}=\left({\dfrac {1}{2}}+n\right)\hbar \;\omega _{0}$ $\sim n\;\hbar \;\omega _{0}={\dfrac {1}{2}}\;k\;A_{x}^{2}={\dfrac {1}{2}}\;m\;\omega _{0}^{2}\;A_{x}^{2}\;$ d'où l'amplitude des oscillations classiques $\;A_{x}\sim {\sqrt {\dfrac {2\;n\;\hbar }{m\;\omega _{0}}}}\;{\Bigg ]}$ , les « valeurs $\;\pm x_{\text{max}}\;$ définissant donc les murs d'énergie potentielle pour $\;n\;$ grand », nous constatons, sur les courbes de densités linéiques de probabilité de présence ${\big [}$ voir le paragraphe « en complément : allure des diagrammes de densité linéique de probabilité de présence dans l'état correspondant au nveau n d'un oscillateur harmonique unidimensionnel quantique (remarques) » du chap. $19$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » dans lequel $\;n=13\;$ $\Rightarrow$ $\;{\sqrt {13}}\simeq 3,6{\big ]}$ , que celle-ci n'est pas nulle « au-delà de ces murs » $\;{\big (}$ par abus, « au-delà des murs » signifie que $\;x\;$ est envisagée dans les zones classiquement interdites ${\big )}$ $\;{\big \{}$ dans le paragraphe (remarques) cité ci-dessus, les murs sont aux abscisses $\;\pm 3,6\;\left[a\right]{\big \}}$ , même on constate qu'elle est assez rapidement $\;\searrow \;$ avec l'augmentation de l'éloignement du mur ; cela signifie que la particule quantique peut aller au-delà des bornes d'oscillations classiques ;
   un 2^ème exemple correspond au cas d'une particule libre dans un demi-espace par exemple $\;x<0\;$ avec la présence d'une « barrière d'énergie potentielle » $\;{\big (}$ correspondant à une énergie potentielle $\;U\;$ constante $\;>0{\big )}\;$ sur un intervalle $\;\left[0\;;{\mathit {l}}\,\right]\;$ de petite largeur :
   un 2^ème exemple si la particule est d'énergie $\;E_{m}<U\;$ et si elle est classique, elle ne peut pas se retrouver dans la zone $\;x>0\;$ mais
   un 2^ème exemple si la particule est d'énergie $\;\color {transparent}{E_{m}<U}\;$ et si elle est quantique, sa probabilité d'être présente en $\;x>0\;$ est $\;\neq 0$ , étant d'autant plus grande, à $\;x\;$ fixée, que $\;U-E_{m}\;$ est petit
un 2^ème exemple si la particule est d'énergie $\;\color {transparent}{E_{m}<U}\;$ et si elle est quantique, sa probabilité d'être présente en $\;\color {transparent}{x>0}\;$ est $\;\color {transparent}{\neq 0}$ ,et étant une fonction $\;\searrow \;$ de $\;x\;$ $\Rightarrow$
   un 2^ème exemple si la particule est d'énergie $\;\color {transparent}{E_{m}<U}\;$ et si elle est quantique, dans la mesure où $\;U-E_{m}\;$ n'est pas trop grand et que la barrière d'énergie potentielle n'est pas trop large, la particule quantique a une probabilité non nulle de se retrouver « libre » dans la « zone classiquement interdite » $\;x>{\mathit {l}}$ , ce phénomène étant connu sous le nom d'« effet tunnel » ;
   un 2^ème exemple l'« effet tunnel » se manifeste, par exemple :
   un 2^ème exemple l'« effet tunnel » se manifeste $\succ \;$ comme un défaut dans les interrupteurs microscopiques, l'« isolant » étant d'autant moins parfait qu'il est de faible épaisseur mais
   un 2^ème exemple l'« effet tunnel » se manifeste $\succ \;$ en devenant une propriété avantageuse dans les microscopes à effet tunnel, la mesure de la probabilité de présence des électrons au-delà de la barrière $\;{\big (}$ d.d.p. entre une pointe se déplaçant à niveau constant et la surface à ausculter ${\big )}\;$ c.-à-d. la mesure de l'intensité du flux d'électrons, permettant de déterminer la largeur de la barrière et d'en déduire, points par points, la surface étudiée.
↑ $\;E\;$ étant finie et $\;U\;$ infinie.
↑ Voir le paragraphe « équation de Schrödinger indépendante du temps d'une particule libre confinée 1D » plus bas dans ce chapitre.
↑ En effet l'équation à laquelle souscrit cette partie spatiale de fonction d'onde « $\;{\dfrac {\hbar ^{2}}{2\;m}}\;{\dfrac {d^{2}{\underline {\Psi }}_{n}}{dx^{2}}}(x)+E_{n}\;{\underline {\Psi }}_{n}(x)=0\;$ » étant une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre sans terme du 1^er ordre homogène, l'absence de discontinuité de toute espèce du 2^nd membre entraîne la continuité de la dérivée de plus haut ordre c.-à-d. de $\;{\dfrac {d^{2}{\underline {\Psi }}_{n}}{dx^{2}}}(x)\;$ et par suite aussi celle de $\;{\dfrac {d{\underline {\Psi }}_{n}}{dx}}(x)\;$ et de $\;{\underline {\Psi }}_{n}(x)$ , voir le paragraphe « nature de la discontinuité de la solution générale d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants hétérogène du 2^ème ordre connaissant la nature de la discontinuité de l'excitation » du chap. $21$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », le cas homogène étant un cas particulier du cas hétérogène avec excitation nulle en tout point.
↑ D'après la paragraphe « traduction énergétique d'une particule libre confinée 1D (mur d'énergie potentielle infinie) » plus haut dans ce chapitre précisant la nullité de la densité linéique de probabilité de présence au-delà des murs donc celle de la partie spatiale de fonction d'onde car $\;{\mathcal {P}}_{l}(x)=\vert {\underline {\Psi }}(x)\vert ^{2}$ .
↑ Voir le préliminaire de ce paragraphe.
↑ Revoir le paragraphe sur l'« caractérisation d'une onde sinusoïdale stationnaire par l'absence de propagation, notion de nœuds et de ventres » du chap. $7$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
↑ Revoir le paragraphe sur la « détermination de la position des nœuds (d'une onde stationnaire sinusoïdale sur une corde) » du chap. $7$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
↑ ^13,0 ^13,1 ^13,2 ^13,3 ^13,4 et ^13,5 Louis Victor de Broglie (1892 - 1987) $\;{\big (}$ se prononce « Brogle » ${\big )}\;$ mathématicien et physicien français, essentiellement connu pour sa proposition de nature ondulatoire des électrons, ce qui lui valut le prix Nobel de physique en $\;1929$ .
↑ $\;n\;$ étant le nombre de fuseaux du graphe, en fonction du paramètre de position, de la partie spatiale de la fonction d'onde de la « particule quantique libre confinée 1D sur l'intervalle $\;\left[0\,;\;{\mathit {l}}\,\right]\;$ » en état stationnaire.
↑ Voir le paragraphe « la longueur d'onde de de Broglie » du chap. $16$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
↑ ^16,0 ^16,1 et ^16,2 Voir le paragraphe « longueurs d'onde de de Broglie possibles pour la particule libre confinée 1D » plus haut dans ce chapitre.
↑ ^17,0 et ^17,1 Le quantum d'une grandeur est la plus petite mesure indivisible de cette grandeur.
↑ L'énergie potentielle étant nulle entre les deux murs d'énergie potentielle infinie.
↑ Dont nous allons déterminer l'ordre de grandeur d'un minorant par utilisation de l'inégalité de Heisenberg spatiale dans le paragraphe « détermination d'un minorant de l'énergie d'une particule libre confinée 1D par utilisation de l'inégalité de Heisenberg spatiale » plus bas dans ce chapitre.
Werner Heisenberg (1901 - 1976) physicien allemand, l'un des fondateurs de la mécanique quantique : voir la note « ²⁵ » plus bas dans ce chapitre pour plus de détails..
↑ Qui est aussi le quantum d'énergie $\;{\big (}$ bien que pratiquement on réserve le qualificatif « quantum » quand les autres valeurs sont tous les multiples de la plus petite valeur indivisible ${\big )}$ .
↑ En effet $\;(n+1)^{2}-n^{2}=2\;n+1$ .
↑ D'où un inintérêt de la notion de fréquence de de Broglie dans le cas non relativiste.
↑ ^23,0 ^23,1 ^23,2 ^23,3 ^23,4 ^23,5 ^23,6 ^23,7 et ^23,8 On parle d'incertitude « quantique » car c'est une incertitude théorique contenue dans les principes de la mécanique quantique, et non une incertitude « expérimentale ».
↑ En effet la valeur moyenne de l'abscisse de la particule est $\;{\overline {x}}={\dfrac {\mathit {l}}{2}}\;$ et son incertitude « quantique » définie selon $\;\Delta x={\sqrt {\left\langle (x-{\overline {x}})^{2}\right\rangle }}\;$ donne $\;\Delta x={\sqrt {\left\langle \left(x-{\dfrac {\mathit {l}}{2}}\right)^{\!\!2}\right\rangle }}\leqslant {\dfrac {\mathit {l}}{2}}\;$ car $\;\vert x\vert \leqslant {\mathit {l}}$ .
↑ ^25,0 et ^25,1 Werner Heisenberg (1901 - 1976) physicien allemand, l'un des fondateurs de la mécanique quantique, a obtenu le prix Nobel de physique en $\;1932\;$ pour la création d'une forme de mécanique quantique $\;{\big (}$ connue sous le nom de mécanique matricielle ${\big )}$ , dont l’application a mené, entre autres, à la découverte des variétés allotropiques de l'hydrogène $\;{\big (}$ le dihydrogène existe sous deux formes allotropiques « ortho » où les spins sont parallèles et « para » où ils sont antiparallèles, le dihydrogène ortho étant présent à $\;75\;\%\;$ à température élevée et sa proportion diminuant quand sa température diminue ${\big )}$ .
↑ Voir le paragraphe « induction de l'inégalité de Heisenberg spatiale à partir de la relation de diffraction appliquée à un photon » du chap. $18$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
Werner Heisenberg (1901 - 1976) physicien allemand, l'un des fondateurs de la mécanique quantique : voir la note « ²⁵ » plus haut dans ce chapitre pour plus de détails
↑ Correspondant à une même probabilité d'avoir la valeur $\;p\;$ et $\;-p$ .
↑ C.-à-d. la valeur moyenne du carré de la quantité de mouvement en fonction de l'incertitude « quantique » sur cette dernière.
↑ ^29,0 ^29,1 et ^29,2 On rappelle le lien entre constante réduite de Planck $\;{\big (}$ encore appelée constante de Dirac ${\big )}\;$ et constante de Planck $\;\hbar ={\dfrac {h}{2\;\pi }}$ .
   Max Karl Ernst Ludwig Planck (1858 - 1947) physicien allemand à qui on doit principalement, vers $\;1900$ , la théorie des quanta, théorie qui lui valut le prix Nobel de physique en $\;1918$ .
   Paul Adrien Maurice Dirac (1902 - 1984) physicien et mathématicien britannique, colauréat du prix Nobel de physique en $\;1933$ , on lui doit des avancées cruciales dans le domaine de la mécanique statistique et de la physique quantique des atomes, il démontra l'équivalence physique entre la mécanique ondulatoire de Schrödinger et la mécanique matricielle de Heisenberg, deux présentations de la même mécanique quantique et enfin, pour les besoins du formalisme quantique, il inventa la notion, sans fondement mathématique précis, connue de nos jours sous le nom de distribution de Dirac et dont la description rigoureuse fut établie par le mathématicien français Laurent Schwartz dans sa théorie des distributions ; Paul Dirac fut colauréat du prix Nobel de Physique en $\;1933\;$ pour la découverte de formes nouvelles et utiles de la théorie atomique, l'autre moitié du prix Nobel étant décernée à Erwin Schrödinger pour la formulation de l'équation d'onde dite de Schrödinger.
   Erwin Rudolf Josef Alexander Schrödinger (1887 - 1961) physicien, philosophe et théoricien scientifique autrichien : voir note « ⁵⁹ » plus bas dans ce chapitre pour plus de détails.
   Werner Heisenberg (1901 - 1976) physicien allemand, l'un des fondateurs de la mécanique quantique : voir la note « ²⁵ » plus haut dans ce chapitre pour plus de détails.
   Laurent Schwartz (1915 - 2002) mathématicien français, ayant été le premier français à obtenir la médaille Fields $\;{\big (}$ équivalent du prix Nobel en mathématiques ${\big )}\;$ en $\;1950\;$ pour ses travaux sur la théorie des distributions $\;{\big (}$ sorte de prolongement des fonctions dans des domaines avec discontinuité $\ldots {\big )}$ .
↑ Voir le paragraphe « niveaux d'énergie possibles d'une particule libre confinée 1D » plus haut dans ce chapitre ;
l'introduction de l'énergie totale pour une « particule libre confinée 1D » $\;{\big \{}$ c.-à-d. la somme de l'énergie cinétique $\;{\big (}$ on rappelle l'absence d'énergie potentielle d'une « particule libre confinée 1D » ${\big )}\;$ et de l'énergie de masse ${\big \}}\;$ n'étant nécessaire que pour définir la fréquence de de Broglie $\;{\big \{}$ voir paragraphe « niveaux d'énergie possibles d'une particule libre confinée 1D (remarque) » plus haut dans ce chapitre ${\big \}}\;$ ce que nous ne ferons plus dans le cadre de ce cours.
Louis Victor de Broglie (1892 - 1987) $\;{\big (}$ se prononce « Brogle » ${\big )}\;$ mathématicien et physicien français, voir la note « ¹³ » plus haut dans ce chapitre pour plus de détails.
↑ Voir le paragraphe « niveaux d'énergie possibles d'une particule libre confinée 1D » plus haut dans ce chapitre.
↑ La partie spatiale de la fonction d'onde est réelle comme l'est la fonction caractérisant les oscillations stationnaires d'une corde à extrémités fixées voir paragraphe « définition d'une onde sinusoïdale stationnaire 1D » du chap. $7$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », le choix d'un sinus au lieu d'un cosinus étant fait pour des raisons de simplification de calcul.
↑ Le choix de $\;\varphi _{n}=\pi \;$ conduirait simplement au remplacement de $\;A_{n}\;$ par $\;-A_{n}$ .
↑ $\;A_{n}\;$ devant être nécessairement $\;\neq 0\;$ pour que la densité linéique de probabilité de présence de la particule $\;{\big \{}$ égale à $\;\vert {\underline {\Psi }}_{n}(x)\vert ^{2}{\big \}}\;$ ne soit pas identiquement nulle sur tout l'intervalle.
↑ Modification de la notation de la densité linéique de probabilité de présence car l'indice habituel $\;_{{\mathit {l}},\;n}\;$ prêterait à confusion compte-tenu que $\;{\mathit {l}}\;$ est l'abscisse d'un des murs.
↑ ^36,0 et ^36,1 On rappelle la formule de trigonométrie $\;\sin ^{2}({\mathfrak {a}})={\dfrac {1-\cos(2\;{\mathfrak {a}})}{2}}$ .
↑ ^37,0 et ^37,1 On remarque que l'amplitude est indépendante du mode de vibration.
↑ Revoir le paragraphe « détermination de la position des ventres (d'une onde sinusoïdale stationnaire sur une corde) » du chap. $7$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » ;
un double crochet ouvrant et un double crochet fermant autour de deux entiers séparés par une virgule signifiant intervalle d'entiers.
↑ En effet, en les positions des ventres de vibration $\;x_{{\text{ventre}},\;n}$ , « $\;\sin \!\left(n\;\pi \;{\dfrac {x_{{\text{ventre}},\;n}}{\mathit {l}}}\right)=\pm 1\;$ ».
↑ L'arsenic étant pentavalent et le gallium trivalent, les porteurs de charge mobiles sont, à température ordinaire, les électrons de l'arsenic et les trous du gallium excédentaires relativement à la tétravalence $\;{\big [}$ en ce qui concerne le gallium, le site de l'électron « manquant » par rapport à la tétravalence est remplacé par la présence simultanée d'un électron de valence fictif et d'un trou fictif $\;{\big (}$ particule fictive chargée positivement ${\big )}$ , les électrons de valence fictifs ajoutés restant fixes mais les trous pouvant se déplacer pour « recouvrir » d'autres électrons de valence, ceci ayant pour effet la matérialisation de l'électron de valence initialement fictif du site de départ et rendant fictif l'électron de valence initialement réel du site d'arrivée, les trous constituant donc les porteurs de charge mobiles, voir aussi la note « ⁵ » du chap. $21$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » ${\big ]}$ ;
bien que liés dans le semi-conducteur les porteurs peuvent être considérés comme libres si on remplace leur masse par une masse dite effective par exemple la masse effective de l'électron est $\;m_{{\text{eff}},\,e}\simeq 0,067\;m_{e}\;$ ou celles des trous $\;m_{{\text{eff}},\,{\text{trou lourd}}}\simeq 0,45\;m_{e}\;$ ou $\;m_{{\text{eff}},\,{\text{trou léger}}}\simeq 0,082\;m_{e}\;$ ${\big (}$ plus complexe car le trou étant fictif, sa masse effective n'est pas déterminable en fonction de la masse qu'il aurait s'il était entièrement libre puisque dans ces conditions, il n'existerait pas, on rappelle que sa fonction permet de remplacer un site vide d'électron de valence par un site rempli d'un électron de valence fictif auquel se superpose un trou fictif chargé positivement, ce dernier pouvant se déplacer car considéré comme appartenant à la bande de conduction alors l'électron de valence fictif considéré comme appartenant à la bande de valence reste « figé dans son site », la théorie permet de définir des trous « légers » et des trous « lourds » ${\big )}$ .
↑ Une fraction des atomes de gallium dans l'arséniure de gallium est remplacée uniformément par des atomes d'aluminium aussi trivalent ; il s'agit donc d'un alliage arbitraire entre l'arséniure de gallium et l'arséniure d'aluminium.
↑ C.-à-d. la distance séparant les deux couches d'arséniure d'aluminium-gallium.
↑ On rappelle la masse d'un électron libre $\;m_{e}\simeq 0,91\;10^{-30}\;kg\;$ .
↑ C.-à-d. productible ou absorbable.
↑ ^45,0 ^45,1 et ^45,2 On rappelle la valeur de la constante de Planck $\;h\simeq 6,626\;10^{-34}\;kg\cdot m^{2}\cdot s^{-1}$ ;
Max Karl Ernst Ludwig Planck (1858 - 1947) physicien allemand à qui on doit principalement, vers $\;1900$ , la théorie des quanta, théorie qui lui valut le prix Nobel de physique en $\;1918$ .
↑ Voir le paragraphe Couleurs de l'article diode électroluminescente de wikipédia.
↑ À énergie fixée, l'oscillateur harmonique unidimensionnel classique est confiné sur l'intervalle $\;\left[-A(x)\,,\,+A(x)\right]\;$ où $\;\pm A(x)\;$ sont les positions des murs d'énergie potentielle, l'oscillateur harmonique unidimensionnel quantique élargit un peu cet intervalle $\;{\big (}$ dans la mesure où la densité de probabilité de présence n'est pas nulle au-delà d'un mur d'énergie potentielle finie ${\big )}\;$ mais il reste confiné.
↑ Les murs d'énergie potentielle infinie empêchant strictement la particule « quantique » de sortir de l'intervalle de confinement.
↑ On rappelle que l'énergie d'un oscillateur harmonique unidimensionnel quantique est quantifiée selon $\;E_{n}=\left({\dfrac {1}{2}}+n\right)\hbar \;\omega _{0},\;n\in \mathbb {N} \;$ et
On rappelle que celle d'une particule libre confinée 1D sur un intervalle $\;\left[0\,,\,{\mathit {l}}\,\right]\;$ en état stationnaire l'est selon $\;E_{n}=n^{2}{\dfrac {h^{2}}{8\;m\;{\mathit {l}}^{\,2}}},\;n\in \mathbb {N} ^{*}$ .
↑ Bien qu'a priori liée cette particule sera supposée libre $\;{\big \{}$ dans l'hypothèse où la particule reste classique $\;{\big (}$ c.-à-d. non quantique ${\big )}$ , nous supposerons que la valeur absolue de son énergie potentielle reste négligeable par rapport à son énergie cinétique ${\big \}}\;$ et
Bien qu'a priori liée cette particule sera supposée en état stationnaire $\;{\big (}$ c.-à-d. d'énergie fixée ${\big )}$ .
↑ Plus exactement nous déterminons ci-après le plus petit écart possible c.-à-d. l'écart entre le 1^er niveau excité et le niveau fondamental $\;{\big (}$ les autres écarts étant tous plus grands ${\big )}$ ,
Plus exactement nous déterminons ci-après ce n'est qu'un ordre de grandeur car dans les exemples cités la particule n'est pas libre d'une part et
Plus exactement nous déterminons ci-après ce n'est qu'un ordre de grandeur car dans les exemples cités le confinement n'est pas unidimensionnel d'autre part.
↑ L'angström « $\;1\;{\text{Ǻ}}=10^{-10}\;m\;$ » est une unité bien adaptée aux dimensions de l'atome, elle a été choisie pour rendre hommage à « Anders Jonas Ångström (1814 - 1874), astronome et physicien suédois du XIX^ème siècle, un des fondateurs de la spectroscopie ».
↑ ^53,0 et ^53,1 Résultat trouvé dans le paragraphe « niveaux d'énergie possibles d'une particule libre confinée 1D » plus haut dans ce chapitre $\;E_{n+1}-E_{n}=(2\;n+1)\;{\dfrac {h^{2}}{8\;m\;{\mathit {l}}^{\,2}}}\;$ avec $\;n=1$ .
↑ ^54,0 et ^54,1 On rappelle que $\;1\;eV\simeq 1,6\;10^{-19}\;J$ .
↑ Pour $\;fm\;$ lire « fentomètre » $\;{\big \{}$ sous-multiple de l'unité de longueur du Système international $\;{\big (}$ SI ${\big )}\;$ bien adapté aux dimensions du noyau ${\big \}}\;$ ou
Pour $\;\color {transparent}{fm}\;$ lire « fermi » $\;{\big \{}$ appellation historique en hommage à « Enrico Fermi (1901 - 1954), physicien italien naturalisé américain, ayant reçu le prix Nobel de physique en $\;1938\;$ pour sa démonstration de l'existence de nouveaux éléments radioactifs produits par bombardements de neutrons, et pour sa découverte des réactions nucléaires créées par les neutrons lents » ${\big \}}$ .
↑ Le rayon d'un nucléon est estimé à $\;1,3\;fm$ , celui d'un noyau de nombre de masse $\;A\;$ estimé à $\;{\sqrt[{3}]{A}}\times 1,3\;fm\;$ par exemple pour $\;A=235\;$ le rayon est $\;\simeq 8\;fm$ .
↑ Pour $\;u\;$ lire « unité de masse atomique unifiée », cette dernière est définie en fixant la masse d'un atome de $\;^{12}C\;$ à exactement $\;12\;u$ , sa valeur correspondant approximativement à la masse d'un nucléon.
↑ ^58,0 et ^58,1 On rappelle que $\;1\;MeV=10^{6}\;eV\simeq 1,6\;10^{-13}\;J$ .
↑ ^59,0 ^59,1 et ^59,2 Erwin Rudolf Josef Alexander Schrödinger (1887 - 1961) physicien, philosophe et théoricien scientifique autrichien est à l'origine du développement d'un des formalismes théoriques de la mécanique quantique $\;{\big (}$ connu sous le nom de mécanique ondulatoire ${\big )}$ ; la formulation de l'équation d'onde connue sous le nom d'équation de Schrödinger lui a valu de partager le prix Nobel de physique en $\;1933\;$ avec Paul Dirac lequel a été honoré pour la découverte de formes nouvelles et utiles de la théorie atomique ; on doit encore à Erwin Schrödinger l'expérience de pensée proposée à Albert Einstein en $\;1935\;$ et connue sous le nom chat de Schrödinger.
Paul Adrien Maurice Dirac (1902 - 1984) physicien et mathématicien britannique : voir note « ²⁹ » plus haut dans ce chapitre pour plus de détails.
Albert Einstein (1879 - 1955), physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en $\;1896\;$ puis suisse en $\;1901$ ; on lui doit la théorie de la relativité restreinte publiée en $\;1905$ , la relativité générale en $\;1916\;$ ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la mécanique quantique et la cosmologie ; il a reçu le prix Nobel de physique en $\;1921\;$ pour son explication de l'effet photoélectrique.
↑ Revoir le paragraphe « recherche des états propres de l'opérateur linéaire hamiltonien à énergie potentielle ne dépendant pas explicitement du temps, équation de Schrödinger indépendante du temps » du chap. $19$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
↑ ^61,0 et ^61,1 Revoir le paragraphe « résolution d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre homogène sans terne du 1^er ordre » du chap. $2$ de la leçon «« Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », avec une différence par rapport à l'exposé qui a été fait dans le paragraphe précité où la fonction recherchée était réelle, ici elle n'est pas nécessairement réelle mais peut être complexe.
↑ On cherche une fonction à valeur complexe de la forme $\;\exp \!\left({\underline {s}}\;x\right)$ , le paramètre $\;{\underline {s}}\;$ est cherché a priori complexe.
↑ Voir le paragraphe « cas où le cœfficient du terme d'ordre zéro est strictement négatif » du chap. $2$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ ^64,0 ^64,1 et ^64,2 Conditions Aux Limites. Les C.A.L. remplacent les C.I. $\;{\big (}$ Conditions Initiales ${\big )}\;$ utilisées pour une fonction du temps quand la fonction est une fonction de l'espace.
↑ ^65,0 ^65,1 et ^65,2 Voir le paragraphe « condition d'existence de solutions non triviales » du chap. $3$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », la « condition d'existence de solutions non triviales pour le système $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\alpha \,x+\beta \,y=0\\\gamma \,x+\delta \,y=0\end{array}}\right\rbrace \;$ étant $\;\alpha \;\delta =\gamma \;\beta \;$ ».
↑ La condition d'existence de solutions non triviales n'étant pas vérifiée car « $\;1\times \exp \!\left(-{\dfrac {\sqrt {-2\;m\;E_{n}}}{\hbar }}\;{\mathit {l}}\right)\neq 1\times \exp \!\left({\dfrac {\sqrt {-2\;m\;E_{n}}}{\hbar }}\;{\mathit {l}}\right)\;$ » $\Rightarrow$ seules les solutions triviales existent.
↑ Voir le paragraphe « cas où le cœfficient du terme d'ordre zéro est nul » du chap. $2$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ La condition d'existence de solutions non triviales n'étant pas vérifiée car « $\;0\times 1\neq {\mathit {l}}\times 1\;$ » $\Rightarrow$ seules les solutions triviales existent.
↑ Voir le paragraphe « cas où le cœfficient du terme d'ordre zéro est strictement positif » du chap. $2$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ; recherchant une solution complexe à l'équation différentielle et non a priori réelle, la dernière phase du paragraphe précité consistant à rendre réelle la fonction n'est pas à utiliser ici.
↑ Ce qui est nécessaire pour que la fonction d'onde ne soit une nouvelle fois nulle et par suite pour que l'équation de Schrödinger indépendante du temps de la « particule libre confinée 1D » ne soit pas sans solution quelle que soit son énergie $\;\ldots$
↑ Condition d'existence de solutions non triviales, revoir la note « ⁶⁵ » plus haut dans ce chapitre.
↑ ^72,0 et ^72,1 On rappelle la formule d'Euler relative au sinus $\;\sin({\mathfrak {a}})={\dfrac {\exp(i\;{\mathfrak {a}})-\exp(-i\;{\mathfrak {a}})}{2\;i}}$ ;
Leonhard Euler (1707 - 1783) mathématicien et physicien suisse, connu pour ses travaux en analyse mathématique ainsi qu'en mécanique des fluides, optique et astronomie, considéré comme l'un des plus grands et plus prolifiques mathématiciens de tous les temps.
↑ Avec $\;A\;$ le module de $\;2\;i\;{\underline {A_{+}}}\;$ c.-à-d. $\;A=\vert 2\;i\;{\underline {A_{+}}}\vert =2\;\vert {\underline {A_{+}}}\vert \;$ et $\;\varphi \;$ l'argument de $\;2\;i\;{\underline {A_{+}}}\;$ c.-à-d. $\;\varphi =\mathrm {arg} \left[2\;i\;{\underline {A_{+}}}\right]={\dfrac {\pi }{2}}+\mathrm {arg} \left[{\underline {A_{+}}}\right]$ .
↑ Comme seule la densité de probabilité de présence, c.-à-d. le carré du module de la fonction d'onde, a une signification physique, nous en déduisons que la fonction d'onde est définie à un facteur de phase près, le choix de $\;\varphi =0\;$ revient donc à choisir la fonction d'onde réelle.
↑ Il s'agit bien de la même solution que celle établie par analogie avec les ondes sinusoïdales stationnaires sur une corde à extrémités fixées $\;\Psi _{n}(x)=A_{n}\;\sin \!\left(n\;\pi \;{\dfrac {x}{\mathit {l}}}\right)\;$ ${\big [}$ voir le paragraphe « expression de la partie spatiale de la fonction d'onde stationnaire correspondant au niveau n d'énergie de la particule libre confinée 1D » plus haut dans ce chapitre ${\big ]}\;$ car $\;{\dfrac {\sqrt {2\;m\;E_{n}}}{\hbar }}\;{\mathit {l}}=$ $n\;\pi ,\;n\in \mathbb {N} ^{*}\;$ $\Leftrightarrow$ $\;{\dfrac {\sqrt {2\;m\;E_{n}}}{\hbar }}={\dfrac {n\;\pi }{\mathit {l}}},\;n\in \mathbb {N} ^{*}$ , la seule différence étant que la constante a priori arbitraire avant normalisation de la densité linéique de probabilité de présence était notée $\;A_{n}\;$ et qu'ici elle est notée $\;A$ .
↑ Bien que déjà été exposée au paragraphe « expression de la partie spatiale de la fonction d'onde stationnaire correspondant au niveau n d'énergie de la particule libre confinée 1D » plus haut dans ce chapitre avec l'autre forme équivalente de cette densité linéique de probabilité de présence $\;{\mathcal {P}}_{{\text{lin}},\;n}(x)=\Psi _{n}^{2}(x)=A^{2}\;\sin ^{2}\!\left(n\;\pi \;{\dfrac {x}{\mathit {l}}}\right)$ , son exposition est réitérée ici.
↑ Voir le paragraphe « résolution de l'équation de Schrödinger indépendante du temps d'une particule libre confinée 1D » plus haut dans ce chapitre.
↑ Ou, en utilisant la condition de quantification « $\;\Psi _{n}(x)={\sqrt {\dfrac {2}{\mathit {l}}}}\;\sin \!\left(n\;\pi \;{\dfrac {x}{\mathit {l}}}\right)\;$ ».
↑ Ou, en utilisant la condition de quantification « $\;{\mathcal {P}}_{{\text{lin}},\;n}(x)=\Psi _{n}^{2}(x)={\dfrac {2}{\mathit {l}}}\;\sin ^{2}\!\left(n\;\pi \;{\dfrac {x}{\mathit {l}}}\right)\;$ ».
↑ L'affirmation contraire serait « le vide ne contient à aucun moment de l'énergie » c.-à-d. $\;E=0\;$ à tout instant $\;t\;$ fixé correspondant à la simultanéité de $\;\Delta E=0\;$ ${\big (}$ puisque $\;E\;$ est toujours nulle ${\big )}\;$ et $\;\Delta t=0\;$ ${\big (}$ puisque $\;t\;$ est fixé ${\big )}\;$ en contradiction avec l'inégalité de Heisenberg temporelle d'où la validité du contraire.
↑ La durée de vie étant inversement proportionnelle à l'énergie empruntée selon l'inégalité de Heisenberg temporelle.
↑ Les particules devenues réelles étant très instables et se désintégrant en d'autres particules instables etc $\;\ldots$
↑ Comme le LHC du CERN qui a permis la découverte du Boson de Higgs $\;{\big (}$ chaînon manquant de la naissance de l'Univers ${\big )}$ .
↑ C'est la manifestation expérimentale la plus flagrante des fluctuations du vide ; entre deux miroirs plans parfaits entre lesquels on a effectué le vide s'exerce une force attractive « la force de Casimir » qui a pour origine les fluctuations du vide, aujourd'hui fait expérimental parfaitement vérifié ; l'effet Casimir a été prédit en $\;1948\;$ par Hendrik Brugt Gérhard Casimir (1909 - 2000) physicien néerlandais essentiellement connu pour l'effet portant son nom.
↑ C.-à-d. le champ d'interaction nucléaire forte ou le champ d'interaction nucléaire faible ou le champ gravitationnel.
↑ Revoir le paragraphe « ordre de grandeur de l'énergie minimale de l'oscillateur harmonique unidimensionnel quantique » du chap. $19$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », l'énergie de l'état fondamental étant $\;E^{\,0}={\dfrac {h\;\omega _{0}}{2}}$ .

Signaux physiques (PCSI)

Introduction au monde quantique : oscillateur harmonique

Circuits électriques dans l'ARQS : intensité, tension, puissance

[2ème_définition_d'un_oscillateur_harmonique-1] Voir la 2^ème définition d'un oscillateur harmonique unidimensionnel classique c.-à-d. « objet piégé dans un puits d'énergie potentielle parabolique » justifiée dans le paragraphe « rappel de l'intégrale 1^ère énergétique de l'oscillateur harmonique à une dimension constitué d'un pendule élastique horizontal non amorti (P.E.H.N.A.) » du chap. $17$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » et
la propriété de « confinement spatial » d'un oscillateur harmonique unidimensionnel classique est établie dans le paragraphe « présence de deux murs d'énergie potentielle : trajectoire du point matériel cinétiquement bornée » du même chap. $17$ de la même leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».

[mur_d'énergie_potentielle-2] Notion vue en détail dans le paragraphe « notion de mur d'énergie potentielle » du chap. $17$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » sur l'exemple d'une particule en chute libre ;
une particule classique d'énergie mécanique $\;E_{m}=K+U\;$ étant telle que son énergie cinétique $\;K\;$ est $\;\geqslant 0\;$ on en déduit que $\;E_{m}\geqslant U\;$ c.-à-d. que la courbe « physique » d'énergie mécanique $\;{\big (}$ ensemble des points $\;P_{m}\;$ d'abscisse $\;x\;$ et d'ordonnée $\;E_{m}{\big )}\;$ doit être au-dessus de la courbe « physique » d'énergie potentielle $\;{\big (}$ ensemble des points $\;P_{u}\;$ d'abscisse $\;x\;$ et d'ordonnée $\;U{\big )}$ , les droites $\;\parallel \;$ à l'axe des énergies, d'abscisse égale à celle des points d'intersection, définissant alors les « murs d'énergie potentielle », c.-à-d. les droites séparant les zones où $\;E_{m}<U\;$ interdites pour une particule classique, de celles où $\;E_{m}\geqslant U\;$ seules autorisées si la particule est classique.

[cuvette-3] Encore appelé « cuvette d'énergie potentielle ».

[deux_murs_d'énergie_potentielle-4] 4,0 et ^4,1 La présence de « deux murs d'énergie potentielle en regard », interdit, pour une particule classique, la zone située au-delà du mur de plus grande abscisse et en deçà du mur de plus petite abscisse, la zone autorisée se limite donc à un intervalle fermé pour une particule classique, mais ce raisonnement fondé sur $\;K\geqslant 0\;$ n'est applicable qu'à une particule classique ;
pour une particule quantique, les « murs d'énergie potentielle » $\;{\big (}$ définis comme les droites $\;\parallel \;$ à l'axe des énergies, d'abscisse égale à celle des points d'intersection des deux courbes « physiques » d'énergie mécanique et d'énergie potentielle ${\big )}\;$ restent toujours définis, mais
pour une particule quantique les zones classiquement interdites ne le sont plus nécessairement, la probabilité de présence dans le voisinage immédiat au-delà du mur de plus grande abscisse et en deçà du mur de plus petite abscisse n'est pas nulle $\;{\big (}$ pour traiter les deux cas simultanément nous dirons, par abus, « au-delà des murs » pour traduire que $\;x\;$ est envisagée dans les zones classiquement interdites ${\big )}$ , elle est d'autant plus grande que la pénétration au-delà des murs est faible et que l'écart $\;U-E_{m}>0\;$ est petit ;
ainsi les zones classiquement interdites $\;{\big (}$ c.-à-d. « au-delà des murs » ${\big )}\;$ ne sont-elles pas quantiquement interdites mêmes si elles le deviennent avec l'augmentation de la pénétration dans ces zones.

[5] Un 1^er exemple de ce phénomène a déjà été présenté : la densité linéique de probabilité de présence de l'oscillateur harmonique unidimensionnel quantique est grossièrement maximal pour $\;x_{\text{max}}\simeq$ ${\sqrt {n}}\;\left[a\right]\;$ avec $\;{\dfrac {m\;\omega _{0}}{\hbar }}={\dfrac {2}{\left[a\right]^{2}}}\;$ d'où $\;x_{\text{max}}\simeq {\sqrt {\dfrac {2\;n\;\hbar }{m\;\omega _{0}}}}\;$ ${\big [}$ voir le paragraphe « en complément : composante spatiale de la fonction d'onde de l'état correspondant au niveau n d'un oscillateur harmonique unidimensionnel quantique » du chap. $19$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » ${\big ]}$ , « $\;x_{\text{max}}\;$ assimilable à l'amplitude des oscillations classiques pour $\;n\;$ grand » $\;{\Bigg [}E_{n}=\left({\dfrac {1}{2}}+n\right)\hbar \;\omega _{0}$ $\sim n\;\hbar \;\omega _{0}={\dfrac {1}{2}}\;k\;A_{x}^{2}={\dfrac {1}{2}}\;m\;\omega _{0}^{2}\;A_{x}^{2}\;$ d'où l'amplitude des oscillations classiques $\;A_{x}\sim {\sqrt {\dfrac {2\;n\;\hbar }{m\;\omega _{0}}}}\;{\Bigg ]}$ , les « valeurs $\;\pm x_{\text{max}}\;$ définissant donc les murs d'énergie potentielle pour $\;n\;$ grand », nous constatons, sur les courbes de densités linéiques de probabilité de présence ${\big [}$ voir le paragraphe « en complément : allure des diagrammes de densité linéique de probabilité de présence dans l'état correspondant au nveau n d'un oscillateur harmonique unidimensionnel quantique (remarques) » du chap. $19$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » dans lequel $\;n=13\;$ $\Rightarrow$ $\;{\sqrt {13}}\simeq 3,6{\big ]}$ , que celle-ci n'est pas nulle « au-delà de ces murs » $\;{\big (}$ par abus, « au-delà des murs » signifie que $\;x\;$ est envisagée dans les zones classiquement interdites ${\big )}$ $\;{\big \{}$ dans le paragraphe (remarques) cité ci-dessus, les murs sont aux abscisses $\;\pm 3,6\;\left[a\right]{\big \}}$ , même on constate qu'elle est assez rapidement $\;\searrow \;$ avec l'augmentation de l'éloignement du mur ; cela signifie que la particule quantique peut aller au-delà des bornes d'oscillations classiques ;
un 2^ème exemple correspond au cas d'une particule libre dans un demi-espace par exemple $\;x<0\;$ avec la présence d'une « barrière d'énergie potentielle » $\;{\big (}$ correspondant à une énergie potentielle $\;U\;$ constante $\;>0{\big )}\;$ sur un intervalle $\;\left[0\;;{\mathit {l}}\,\right]\;$ de petite largeur :
un 2^ème exemple si la particule est d'énergie $\;E_{m}<U\;$ et si elle est classique, elle ne peut pas se retrouver dans la zone $\;x>0\;$ mais
un 2^ème exemple si la particule est d'énergie $\;\color {transparent}{E_{m}<U}\;$ et si elle est quantique, sa probabilité d'être présente en $\;x>0\;$ est $\;\neq 0$ , étant d'autant plus grande, à $\;x\;$ fixée, que $\;U-E_{m}\;$ est petit
un 2^ème exemple si la particule est d'énergie $\;\color {transparent}{E_{m}<U}\;$ et si elle est quantique, sa probabilité d'être présente en $\;\color {transparent}{x>0}\;$ est $\;\color {transparent}{\neq 0}$ ,et étant une fonction $\;\searrow \;$ de $\;x\;$ $\Rightarrow$
un 2^ème exemple si la particule est d'énergie $\;\color {transparent}{E_{m}<U}\;$ et si elle est quantique, dans la mesure où $\;U-E_{m}\;$ n'est pas trop grand et que la barrière d'énergie potentielle n'est pas trop large, la particule quantique a une probabilité non nulle de se retrouver « libre » dans la « zone classiquement interdite » $\;x>{\mathit {l}}$ , ce phénomène étant connu sous le nom d'« effet tunnel » ;
un 2^ème exemple l'« effet tunnel » se manifeste, par exemple :
un 2^ème exemple l'« effet tunnel » se manifeste $\succ \;$ comme un défaut dans les interrupteurs microscopiques, l'« isolant » étant d'autant moins parfait qu'il est de faible épaisseur mais
un 2^ème exemple l'« effet tunnel » se manifeste $\succ \;$ en devenant une propriété avantageuse dans les microscopes à effet tunnel, la mesure de la probabilité de présence des électrons au-delà de la barrière $\;{\big (}$ d.d.p. entre une pointe se déplaçant à niveau constant et la surface à ausculter ${\big )}\;$ c.-à-d. la mesure de l'intensité du flux d'électrons, permettant de déterminer la largeur de la barrière et d'en déduire, points par points, la surface étudiée.

[6] $\;E\;$ étant finie et $\;U\;$ infinie.

[7] Voir le paragraphe « équation de Schrödinger indépendante du temps d'une particule libre confinée 1D » plus bas dans ce chapitre.

[continuité_de_la_partie_spatiale_de_fonction_d'onde-8] En effet l'équation à laquelle souscrit cette partie spatiale de fonction d'onde « $\;{\dfrac {\hbar ^{2}}{2\;m}}\;{\dfrac {d^{2}{\underline {\Psi }}_{n}}{dx^{2}}}(x)+E_{n}\;{\underline {\Psi }}_{n}(x)=0\;$ » étant une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre sans terme du 1^er ordre homogène, l'absence de discontinuité de toute espèce du 2^nd membre entraîne la continuité de la dérivée de plus haut ordre c.-à-d. de $\;{\dfrac {d^{2}{\underline {\Psi }}_{n}}{dx^{2}}}(x)\;$ et par suite aussi celle de $\;{\dfrac {d{\underline {\Psi }}_{n}}{dx}}(x)\;$ et de $\;{\underline {\Psi }}_{n}(x)$ , voir le paragraphe « nature de la discontinuité de la solution générale d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants hétérogène du 2^ème ordre connaissant la nature de la discontinuité de l'excitation » du chap. $21$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », le cas homogène étant un cas particulier du cas hétérogène avec excitation nulle en tout point.

[9] D'après la paragraphe « traduction énergétique d'une particule libre confinée 1D (mur d'énergie potentielle infinie) » plus haut dans ce chapitre précisant la nullité de la densité linéique de probabilité de présence au-delà des murs donc celle de la partie spatiale de fonction d'onde car $\;{\mathcal {P}}_{l}(x)=\vert {\underline {\Psi }}(x)\vert ^{2}$ .

[10] Voir le préliminaire de ce paragraphe.

[11] Revoir le paragraphe sur l'« caractérisation d'une onde sinusoïdale stationnaire par l'absence de propagation, notion de nœuds et de ventres » du chap. $7$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».

[12] Revoir le paragraphe sur la « détermination de la position des nœuds (d'une onde stationnaire sinusoïdale sur une corde) » du chap. $7$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».

[L._de_Broglie-13] 13,0 ^13,1 ^13,2 ^13,3 ^13,4 et ^13,5 Louis Victor de Broglie (1892 - 1987) $\;{\big (}$ se prononce « Brogle » ${\big )}\;$ mathématicien et physicien français, essentiellement connu pour sa proposition de nature ondulatoire des électrons, ce qui lui valut le prix Nobel de physique en $\;1929$ .

[n_fuseaux-14] $\;n\;$ étant le nombre de fuseaux du graphe, en fonction du paramètre de position, de la partie spatiale de la fonction d'onde de la « particule quantique libre confinée 1D sur l'intervalle $\;\left[0\,;\;{\mathit {l}}\,\right]\;$ » en état stationnaire.

[lien_longueur_d'onde_et_quantité_de_mouvement-15] Voir le paragraphe « la longueur d'onde de de Broglie » du chap. $16$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».

[longueurs_d'onde_possibles-16] 16,0 ^16,1 et ^16,2 Voir le paragraphe « longueurs d'onde de de Broglie possibles pour la particule libre confinée 1D » plus haut dans ce chapitre.

[quantum-17] 17,0 et ^17,1 Le quantum d'une grandeur est la plus petite mesure indivisible de cette grandeur.

[18] L'énergie potentielle étant nulle entre les deux murs d'énergie potentielle infinie.

[19] Dont nous allons déterminer l'ordre de grandeur d'un minorant par utilisation de l'inégalité de Heisenberg spatiale dans le paragraphe « détermination d'un minorant de l'énergie d'une particule libre confinée 1D par utilisation de l'inégalité de Heisenberg spatiale » plus bas dans ce chapitre.
Werner Heisenberg (1901 - 1976) physicien allemand, l'un des fondateurs de la mécanique quantique : voir la note « ²⁵ » plus bas dans ce chapitre pour plus de détails..

[20] Qui est aussi le quantum d'énergie $\;{\big (}$ bien que pratiquement on réserve le qualificatif « quantum » quand les autres valeurs sont tous les multiples de la plus petite valeur indivisible ${\big )}$ .

[21] En effet $\;(n+1)^{2}-n^{2}=2\;n+1$ .

[22] D'où un inintérêt de la notion de fréquence de de Broglie dans le cas non relativiste.

[incertitude_quantique-23] 23,0 ^23,1 ^23,2 ^23,3 ^23,4 ^23,5 ^23,6 ^23,7 et ^23,8 On parle d'incertitude « quantique » car c'est une incertitude théorique contenue dans les principes de la mécanique quantique, et non une incertitude « expérimentale ».

[24] En effet la valeur moyenne de l'abscisse de la particule est $\;{\overline {x}}={\dfrac {\mathit {l}}{2}}\;$ et son incertitude « quantique » définie selon $\;\Delta x={\sqrt {\left\langle (x-{\overline {x}})^{2}\right\rangle }}\;$ donne $\;\Delta x={\sqrt {\left\langle \left(x-{\dfrac {\mathit {l}}{2}}\right)^{\!\!2}\right\rangle }}\leqslant {\dfrac {\mathit {l}}{2}}\;$ car $\;\vert x\vert \leqslant {\mathit {l}}$ .

[Heisenberg-25] 25,0 et ^25,1 Werner Heisenberg (1901 - 1976) physicien allemand, l'un des fondateurs de la mécanique quantique, a obtenu le prix Nobel de physique en $\;1932\;$ pour la création d'une forme de mécanique quantique $\;{\big (}$ connue sous le nom de mécanique matricielle ${\big )}$ , dont l’application a mené, entre autres, à la découverte des variétés allotropiques de l'hydrogène $\;{\big (}$ le dihydrogène existe sous deux formes allotropiques « ortho » où les spins sont parallèles et « para » où ils sont antiparallèles, le dihydrogène ortho étant présent à $\;75\;\%\;$ à température élevée et sa proportion diminuant quand sa température diminue ${\big )}$ .

[inégalité_de_Heisenberg_spatiale-26] Voir le paragraphe « induction de l'inégalité de Heisenberg spatiale à partir de la relation de diffraction appliquée à un photon » du chap. $18$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
Werner Heisenberg (1901 - 1976) physicien allemand, l'un des fondateurs de la mécanique quantique : voir la note « ²⁵ » plus haut dans ce chapitre pour plus de détails

[27] Correspondant à une même probabilité d'avoir la valeur $\;p\;$ et $\;-p$ .

[28] C.-à-d. la valeur moyenne du carré de la quantité de mouvement en fonction de l'incertitude « quantique » sur cette dernière.

[constante_réduite_de_Planck-29] 29,0 ^29,1 et ^29,2 On rappelle le lien entre constante réduite de Planck $\;{\big (}$ encore appelée constante de Dirac ${\big )}\;$ et constante de Planck $\;\hbar ={\dfrac {h}{2\;\pi }}$ .
Max Karl Ernst Ludwig Planck (1858 - 1947) physicien allemand à qui on doit principalement, vers $\;1900$ , la théorie des quanta, théorie qui lui valut le prix Nobel de physique en $\;1918$ .
Paul Adrien Maurice Dirac (1902 - 1984) physicien et mathématicien britannique, colauréat du prix Nobel de physique en $\;1933$ , on lui doit des avancées cruciales dans le domaine de la mécanique statistique et de la physique quantique des atomes, il démontra l'équivalence physique entre la mécanique ondulatoire de Schrödinger et la mécanique matricielle de Heisenberg, deux présentations de la même mécanique quantique et enfin, pour les besoins du formalisme quantique, il inventa la notion, sans fondement mathématique précis, connue de nos jours sous le nom de distribution de Dirac et dont la description rigoureuse fut établie par le mathématicien français Laurent Schwartz dans sa théorie des distributions ; Paul Dirac fut colauréat du prix Nobel de Physique en $\;1933\;$ pour la découverte de formes nouvelles et utiles de la théorie atomique, l'autre moitié du prix Nobel étant décernée à Erwin Schrödinger pour la formulation de l'équation d'onde dite de Schrödinger.
Erwin Rudolf Josef Alexander Schrödinger (1887 - 1961) physicien, philosophe et théoricien scientifique autrichien : voir note « ⁵⁹ » plus bas dans ce chapitre pour plus de détails.
Werner Heisenberg (1901 - 1976) physicien allemand, l'un des fondateurs de la mécanique quantique : voir la note « ²⁵ » plus haut dans ce chapitre pour plus de détails.
Laurent Schwartz (1915 - 2002) mathématicien français, ayant été le premier français à obtenir la médaille Fields $\;{\big (}$ équivalent du prix Nobel en mathématiques ${\big )}\;$ en $\;1950\;$ pour ses travaux sur la théorie des distributions $\;{\big (}$ sorte de prolongement des fonctions dans des domaines avec discontinuité $\ldots {\big )}$ .

[30] Voir le paragraphe « niveaux d'énergie possibles d'une particule libre confinée 1D » plus haut dans ce chapitre ;
l'introduction de l'énergie totale pour une « particule libre confinée 1D » $\;{\big \{}$ c.-à-d. la somme de l'énergie cinétique $\;{\big (}$ on rappelle l'absence d'énergie potentielle d'une « particule libre confinée 1D » ${\big )}\;$ et de l'énergie de masse ${\big \}}\;$ n'étant nécessaire que pour définir la fréquence de de Broglie $\;{\big \{}$ voir paragraphe « niveaux d'énergie possibles d'une particule libre confinée 1D (remarque) » plus haut dans ce chapitre ${\big \}}\;$ ce que nous ne ferons plus dans le cadre de ce cours.
Louis Victor de Broglie (1892 - 1987) $\;{\big (}$ se prononce « Brogle » ${\big )}\;$ mathématicien et physicien français, voir la note « ¹³ » plus haut dans ce chapitre pour plus de détails.

[31] Voir le paragraphe « niveaux d'énergie possibles d'une particule libre confinée 1D » plus haut dans ce chapitre.

[32] La partie spatiale de la fonction d'onde est réelle comme l'est la fonction caractérisant les oscillations stationnaires d'une corde à extrémités fixées voir paragraphe « définition d'une onde sinusoïdale stationnaire 1D » du chap. $7$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », le choix d'un sinus au lieu d'un cosinus étant fait pour des raisons de simplification de calcul.

[33] Le choix de $\;\varphi _{n}=\pi \;$ conduirait simplement au remplacement de $\;A_{n}\;$ par $\;-A_{n}$ .

[34] $\;A_{n}\;$ devant être nécessairement $\;\neq 0\;$ pour que la densité linéique de probabilité de présence de la particule $\;{\big \{}$ égale à $\;\vert {\underline {\Psi }}_{n}(x)\vert ^{2}{\big \}}\;$ ne soit pas identiquement nulle sur tout l'intervalle.

[35] Modification de la notation de la densité linéique de probabilité de présence car l'indice habituel $\;_{{\mathit {l}},\;n}\;$ prêterait à confusion compte-tenu que $\;{\mathit {l}}\;$ est l'abscisse d'un des murs.

[linéariser_sinus_carré-36] 36,0 et ^36,1 On rappelle la formule de trigonométrie $\;\sin ^{2}({\mathfrak {a}})={\dfrac {1-\cos(2\;{\mathfrak {a}})}{2}}$ .

[Indépendance_du_mode_de_vibration-37] 37,0 et ^37,1 On remarque que l'amplitude est indépendante du mode de vibration.

[38] Revoir le paragraphe « détermination de la position des ventres (d'une onde sinusoïdale stationnaire sur une corde) » du chap. $7$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » ;
un double crochet ouvrant et un double crochet fermant autour de deux entiers séparés par une virgule signifiant intervalle d'entiers.

[39] En effet, en les positions des ventres de vibration $\;x_{{\text{ventre}},\;n}$ , « $\;\sin \!\left(n\;\pi \;{\dfrac {x_{{\text{ventre}},\;n}}{\mathit {l}}}\right)=\pm 1\;$ ».

[40] L'arsenic étant pentavalent et le gallium trivalent, les porteurs de charge mobiles sont, à température ordinaire, les électrons de l'arsenic et les trous du gallium excédentaires relativement à la tétravalence $\;{\big [}$ en ce qui concerne le gallium, le site de l'électron « manquant » par rapport à la tétravalence est remplacé par la présence simultanée d'un électron de valence fictif et d'un trou fictif $\;{\big (}$ particule fictive chargée positivement ${\big )}$ , les électrons de valence fictifs ajoutés restant fixes mais les trous pouvant se déplacer pour « recouvrir » d'autres électrons de valence, ceci ayant pour effet la matérialisation de l'électron de valence initialement fictif du site de départ et rendant fictif l'électron de valence initialement réel du site d'arrivée, les trous constituant donc les porteurs de charge mobiles, voir aussi la note « ⁵ » du chap. $21$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » ${\big ]}$ ;
bien que liés dans le semi-conducteur les porteurs peuvent être considérés comme libres si on remplace leur masse par une masse dite effective par exemple la masse effective de l'électron est $\;m_{{\text{eff}},\,e}\simeq 0,067\;m_{e}\;$ ou celles des trous $\;m_{{\text{eff}},\,{\text{trou lourd}}}\simeq 0,45\;m_{e}\;$ ou $\;m_{{\text{eff}},\,{\text{trou léger}}}\simeq 0,082\;m_{e}\;$ ${\big (}$ plus complexe car le trou étant fictif, sa masse effective n'est pas déterminable en fonction de la masse qu'il aurait s'il était entièrement libre puisque dans ces conditions, il n'existerait pas, on rappelle que sa fonction permet de remplacer un site vide d'électron de valence par un site rempli d'un électron de valence fictif auquel se superpose un trou fictif chargé positivement, ce dernier pouvant se déplacer car considéré comme appartenant à la bande de conduction alors l'électron de valence fictif considéré comme appartenant à la bande de valence reste « figé dans son site », la théorie permet de définir des trous « légers » et des trous « lourds » ${\big )}$ .

[41] Une fraction des atomes de gallium dans l'arséniure de gallium est remplacée uniformément par des atomes d'aluminium aussi trivalent ; il s'agit donc d'un alliage arbitraire entre l'arséniure de gallium et l'arséniure d'aluminium.

[42] C.-à-d. la distance séparant les deux couches d'arséniure d'aluminium-gallium.

[43] On rappelle la masse d'un électron libre $\;m_{e}\simeq 0,91\;10^{-30}\;kg\;$ .

[44] C.-à-d. productible ou absorbable.

[constante_de_Planck-45] 45,0 ^45,1 et ^45,2 On rappelle la valeur de la constante de Planck $\;h\simeq 6,626\;10^{-34}\;kg\cdot m^{2}\cdot s^{-1}$ ;
Max Karl Ernst Ludwig Planck (1858 - 1947) physicien allemand à qui on doit principalement, vers $\;1900$ , la théorie des quanta, théorie qui lui valut le prix Nobel de physique en $\;1918$ .

[46] Voir le paragraphe Couleurs de l'article diode électroluminescente de wikipédia.

[47] À énergie fixée, l'oscillateur harmonique unidimensionnel classique est confiné sur l'intervalle $\;\left[-A(x)\,,\,+A(x)\right]\;$ où $\;\pm A(x)\;$ sont les positions des murs d'énergie potentielle, l'oscillateur harmonique unidimensionnel quantique élargit un peu cet intervalle $\;{\big (}$ dans la mesure où la densité de probabilité de présence n'est pas nulle au-delà d'un mur d'énergie potentielle finie ${\big )}\;$ mais il reste confiné.

[48] Les murs d'énergie potentielle infinie empêchant strictement la particule « quantique » de sortir de l'intervalle de confinement.

[49] On rappelle que l'énergie d'un oscillateur harmonique unidimensionnel quantique est quantifiée selon $\;E_{n}=\left({\dfrac {1}{2}}+n\right)\hbar \;\omega _{0},\;n\in \mathbb {N} \;$ et
On rappelle que celle d'une particule libre confinée 1D sur un intervalle $\;\left[0\,,\,{\mathit {l}}\,\right]\;$ en état stationnaire l'est selon $\;E_{n}=n^{2}{\dfrac {h^{2}}{8\;m\;{\mathit {l}}^{\,2}}},\;n\in \mathbb {N} ^{*}$ .

[50] Bien qu'a priori liée cette particule sera supposée libre $\;{\big \{}$ dans l'hypothèse où la particule reste classique $\;{\big (}$ c.-à-d. non quantique ${\big )}$ , nous supposerons que la valeur absolue de son énergie potentielle reste négligeable par rapport à son énergie cinétique ${\big \}}\;$ et
Bien qu'a priori liée cette particule sera supposée en état stationnaire $\;{\big (}$ c.-à-d. d'énergie fixée ${\big )}$ .

[51] Plus exactement nous déterminons ci-après le plus petit écart possible c.-à-d. l'écart entre le 1^er niveau excité et le niveau fondamental $\;{\big (}$ les autres écarts étant tous plus grands ${\big )}$ ,
Plus exactement nous déterminons ci-après ce n'est qu'un ordre de grandeur car dans les exemples cités la particule n'est pas libre d'une part et
Plus exactement nous déterminons ci-après ce n'est qu'un ordre de grandeur car dans les exemples cités le confinement n'est pas unidimensionnel d'autre part.

[angström-52] L'angström « $\;1\;{\text{Ǻ}}=10^{-10}\;m\;$ » est une unité bien adaptée aux dimensions de l'atome, elle a été choisie pour rendre hommage à « Anders Jonas Ångström (1814 - 1874), astronome et physicien suédois du XIX^ème siècle, un des fondateurs de la spectroscopie ».

[écart_entre_niveaux_d'énergie_possibles-53] 53,0 et ^53,1 Résultat trouvé dans le paragraphe « niveaux d'énergie possibles d'une particule libre confinée 1D » plus haut dans ce chapitre $\;E_{n+1}-E_{n}=(2\;n+1)\;{\dfrac {h^{2}}{8\;m\;{\mathit {l}}^{\,2}}}\;$ avec $\;n=1$ .

[eV-54] 54,0 et ^54,1 On rappelle que $\;1\;eV\simeq 1,6\;10^{-19}\;J$ .

[fm-55] Pour $\;fm\;$ lire « fentomètre » $\;{\big \{}$ sous-multiple de l'unité de longueur du Système international $\;{\big (}$ SI ${\big )}\;$ bien adapté aux dimensions du noyau ${\big \}}\;$ ou
Pour $\;\color {transparent}{fm}\;$ lire « fermi » $\;{\big \{}$ appellation historique en hommage à « Enrico Fermi (1901 - 1954), physicien italien naturalisé américain, ayant reçu le prix Nobel de physique en $\;1938\;$ pour sa démonstration de l'existence de nouveaux éléments radioactifs produits par bombardements de neutrons, et pour sa découverte des réactions nucléaires créées par les neutrons lents » ${\big \}}$ .

[56] Le rayon d'un nucléon est estimé à $\;1,3\;fm$ , celui d'un noyau de nombre de masse $\;A\;$ estimé à $\;{\sqrt[{3}]{A}}\times 1,3\;fm\;$ par exemple pour $\;A=235\;$ le rayon est $\;\simeq 8\;fm$ .

[u-57] Pour $\;u\;$ lire « unité de masse atomique unifiée », cette dernière est définie en fixant la masse d'un atome de $\;^{12}C\;$ à exactement $\;12\;u$ , sa valeur correspondant approximativement à la masse d'un nucléon.

[MeV-58] 58,0 et ^58,1 On rappelle que $\;1\;MeV=10^{6}\;eV\simeq 1,6\;10^{-13}\;J$ .

[Schrödinger-59] 59,0 ^59,1 et ^59,2 Erwin Rudolf Josef Alexander Schrödinger (1887 - 1961) physicien, philosophe et théoricien scientifique autrichien est à l'origine du développement d'un des formalismes théoriques de la mécanique quantique $\;{\big (}$ connu sous le nom de mécanique ondulatoire ${\big )}$ ; la formulation de l'équation d'onde connue sous le nom d'équation de Schrödinger lui a valu de partager le prix Nobel de physique en $\;1933\;$ avec Paul Dirac lequel a été honoré pour la découverte de formes nouvelles et utiles de la théorie atomique ; on doit encore à Erwin Schrödinger l'expérience de pensée proposée à Albert Einstein en $\;1935\;$ et connue sous le nom chat de Schrödinger.
Paul Adrien Maurice Dirac (1902 - 1984) physicien et mathématicien britannique : voir note « ²⁹ » plus haut dans ce chapitre pour plus de détails.
Albert Einstein (1879 - 1955), physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en $\;1896\;$ puis suisse en $\;1901$ ; on lui doit la théorie de la relativité restreinte publiée en $\;1905$ , la relativité générale en $\;1916\;$ ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la mécanique quantique et la cosmologie ; il a reçu le prix Nobel de physique en $\;1921\;$ pour son explication de l'effet photoélectrique.

[équation_de_Schrödinger_indépendante_du_temps-60] Revoir le paragraphe « recherche des états propres de l'opérateur linéaire hamiltonien à énergie potentielle ne dépendant pas explicitement du temps, équation de Schrödinger indépendante du temps » du chap. $19$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».

[résolution_équa_diff_lin_du_2ème_ordre_à_cœff_csts_sans_terme_du_1er_ordre_homogène-61] 61,0 et ^61,1 Revoir le paragraphe « résolution d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre homogène sans terne du 1^er ordre » du chap. $2$ de la leçon «« Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », avec une différence par rapport à l'exposé qui a été fait dans le paragraphe précité où la fonction recherchée était réelle, ici elle n'est pas nécessairement réelle mais peut être complexe.

[62] On cherche une fonction à valeur complexe de la forme $\;\exp \!\left({\underline {s}}\;x\right)$ , le paramètre $\;{\underline {s}}\;$ est cherché a priori complexe.

[63] Voir le paragraphe « cas où le cœfficient du terme d'ordre zéro est strictement négatif » du chap. $2$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[C.A.L.-64] 64,0 ^64,1 et ^64,2 Conditions Aux Limites. Les C.A.L. remplacent les C.I. $\;{\big (}$ Conditions Initiales ${\big )}\;$ utilisées pour une fonction du temps quand la fonction est une fonction de l'espace.

[condition_de_solutions_non_triviales_d'un_système_homogène_de_2_équations_linéaires_algébriques_à_2_inconnues-65] 65,0 ^65,1 et ^65,2 Voir le paragraphe « condition d'existence de solutions non triviales » du chap. $3$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », la « condition d'existence de solutions non triviales pour le système $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\alpha \,x+\beta \,y=0\\\gamma \,x+\delta \,y=0\end{array}}\right\rbrace \;$ étant $\;\alpha \;\delta =\gamma \;\beta \;$ ».

[66] La condition d'existence de solutions non triviales n'étant pas vérifiée car « $\;1\times \exp \!\left(-{\dfrac {\sqrt {-2\;m\;E_{n}}}{\hbar }}\;{\mathit {l}}\right)\neq 1\times \exp \!\left({\dfrac {\sqrt {-2\;m\;E_{n}}}{\hbar }}\;{\mathit {l}}\right)\;$ » $\Rightarrow$ seules les solutions triviales existent.

[67] Voir le paragraphe « cas où le cœfficient du terme d'ordre zéro est nul » du chap. $2$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[68] La condition d'existence de solutions non triviales n'étant pas vérifiée car « $\;0\times 1\neq {\mathit {l}}\times 1\;$ » $\Rightarrow$ seules les solutions triviales existent.

[69] Voir le paragraphe « cas où le cœfficient du terme d'ordre zéro est strictement positif » du chap. $2$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ; recherchant une solution complexe à l'équation différentielle et non a priori réelle, la dernière phase du paragraphe précité consistant à rendre réelle la fonction n'est pas à utiliser ici.

[70] Ce qui est nécessaire pour que la fonction d'onde ne soit une nouvelle fois nulle et par suite pour que l'équation de Schrödinger indépendante du temps de la « particule libre confinée 1D » ne soit pas sans solution quelle que soit son énergie $\;\ldots$

[71] Condition d'existence de solutions non triviales, revoir la note « ⁶⁵ » plus haut dans ce chapitre.

[Euler_relative_au_sinus-72] 72,0 et ^72,1 On rappelle la formule d'Euler relative au sinus $\;\sin({\mathfrak {a}})={\dfrac {\exp(i\;{\mathfrak {a}})-\exp(-i\;{\mathfrak {a}})}{2\;i}}$ ;
Leonhard Euler (1707 - 1783) mathématicien et physicien suisse, connu pour ses travaux en analyse mathématique ainsi qu'en mécanique des fluides, optique et astronomie, considéré comme l'un des plus grands et plus prolifiques mathématiciens de tous les temps.

[73] Avec $\;A\;$ le module de $\;2\;i\;{\underline {A_{+}}}\;$ c.-à-d. $\;A=\vert 2\;i\;{\underline {A_{+}}}\vert =2\;\vert {\underline {A_{+}}}\vert \;$ et $\;\varphi \;$ l'argument de $\;2\;i\;{\underline {A_{+}}}\;$ c.-à-d. $\;\varphi =\mathrm {arg} \left[2\;i\;{\underline {A_{+}}}\right]={\dfrac {\pi }{2}}+\mathrm {arg} \left[{\underline {A_{+}}}\right]$ .

[74] Comme seule la densité de probabilité de présence, c.-à-d. le carré du module de la fonction d'onde, a une signification physique, nous en déduisons que la fonction d'onde est définie à un facteur de phase près, le choix de $\;\varphi =0\;$ revient donc à choisir la fonction d'onde réelle.

[75] Il s'agit bien de la même solution que celle établie par analogie avec les ondes sinusoïdales stationnaires sur une corde à extrémités fixées $\;\Psi _{n}(x)=A_{n}\;\sin \!\left(n\;\pi \;{\dfrac {x}{\mathit {l}}}\right)\;$ ${\big [}$ voir le paragraphe « expression de la partie spatiale de la fonction d'onde stationnaire correspondant au niveau n d'énergie de la particule libre confinée 1D » plus haut dans ce chapitre ${\big ]}\;$ car $\;{\dfrac {\sqrt {2\;m\;E_{n}}}{\hbar }}\;{\mathit {l}}=$ $n\;\pi ,\;n\in \mathbb {N} ^{*}\;$ $\Leftrightarrow$ $\;{\dfrac {\sqrt {2\;m\;E_{n}}}{\hbar }}={\dfrac {n\;\pi }{\mathit {l}}},\;n\in \mathbb {N} ^{*}$ , la seule différence étant que la constante a priori arbitraire avant normalisation de la densité linéique de probabilité de présence était notée $\;A_{n}\;$ et qu'ici elle est notée $\;A$ .

[76] Bien que déjà été exposée au paragraphe « expression de la partie spatiale de la fonction d'onde stationnaire correspondant au niveau n d'énergie de la particule libre confinée 1D » plus haut dans ce chapitre avec l'autre forme équivalente de cette densité linéique de probabilité de présence $\;{\mathcal {P}}_{{\text{lin}},\;n}(x)=\Psi _{n}^{2}(x)=A^{2}\;\sin ^{2}\!\left(n\;\pi \;{\dfrac {x}{\mathit {l}}}\right)$ , son exposition est réitérée ici.

[condition_de_quantification_de_l'énergie-77] Voir le paragraphe « résolution de l'équation de Schrödinger indépendante du temps d'une particule libre confinée 1D » plus haut dans ce chapitre.

[78] Ou, en utilisant la condition de quantification « $\;\Psi _{n}(x)={\sqrt {\dfrac {2}{\mathit {l}}}}\;\sin \!\left(n\;\pi \;{\dfrac {x}{\mathit {l}}}\right)\;$ ».

[79] Ou, en utilisant la condition de quantification « $\;{\mathcal {P}}_{{\text{lin}},\;n}(x)=\Psi _{n}^{2}(x)={\dfrac {2}{\mathit {l}}}\;\sin ^{2}\!\left(n\;\pi \;{\dfrac {x}{\mathit {l}}}\right)\;$ ».

[80] L'affirmation contraire serait « le vide ne contient à aucun moment de l'énergie » c.-à-d. $\;E=0\;$ à tout instant $\;t\;$ fixé correspondant à la simultanéité de $\;\Delta E=0\;$ ${\big (}$ puisque $\;E\;$ est toujours nulle ${\big )}\;$ et $\;\Delta t=0\;$ ${\big (}$ puisque $\;t\;$ est fixé ${\big )}\;$ en contradiction avec l'inégalité de Heisenberg temporelle d'où la validité du contraire.

[81] La durée de vie étant inversement proportionnelle à l'énergie empruntée selon l'inégalité de Heisenberg temporelle.

[82] Les particules devenues réelles étant très instables et se désintégrant en d'autres particules instables etc $\;\ldots$

[83] Comme le LHC du CERN qui a permis la découverte du Boson de Higgs $\;{\big (}$ chaînon manquant de la naissance de l'Univers ${\big )}$ .

[84] C'est la manifestation expérimentale la plus flagrante des fluctuations du vide ; entre deux miroirs plans parfaits entre lesquels on a effectué le vide s'exerce une force attractive « la force de Casimir » qui a pour origine les fluctuations du vide, aujourd'hui fait expérimental parfaitement vérifié ; l'effet Casimir a été prédit en $\;1948\;$ par Hendrik Brugt Gérhard Casimir (1909 - 2000) physicien néerlandais essentiellement connu pour l'effet portant son nom.

[85] C.-à-d. le champ d'interaction nucléaire forte ou le champ d'interaction nucléaire faible ou le champ gravitationnel.

[86] Revoir le paragraphe « ordre de grandeur de l'énergie minimale de l'oscillateur harmonique unidimensionnel quantique » du chap. $19$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », l'énergie de l'état fondamental étant $\;E^{\,0}={\dfrac {h\;\omega _{0}}{2}}$ .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

[32]

[33]

[34]

[35]

[36]

[37]

[38]

[39]

[40]

[41]

[42]

[43]

[44]

[45]

[46]

[47]

[48]

[49]

[50]

[51]

[52]

[53]

[54]

[55]

[56]

[57]

[58]

[59]

[60]

[61]

[62]

[63]

[64]

[65]

[66]

[67]

[68]

[69]

[70]

[71]

[72]

[73]

[74]

[75]

[76]

[77]

[78]

[79]

[80]

[81]

[82]

[83]

[84]

[85]

[86]