Signaux physiques (PCSI)/Introduction au monde quantique : particule libre confinée 1D

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Introduction au monde quantique : particule libre confinée 1D
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Chapitre no 20
Leçon : Signaux physiques (PCSI)
Chap. préc. :Introduction au monde quantique : oscillateur harmonique
Chap. suiv. :Circuits électriques dans l'ARQS : intensité, tension, puissance
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Analogie « particule libre confinée 1D », « corde vibrante fixée à ses extrémités »

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Définition d'une « particule libre confinée 1D »

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     Une « particule libre confinée 1D » est une particule  classique ou quantique  susceptible de se déplacer uniquement sur un axe    donc d'unique paramètre de position  
     Une « particule libre confinée 1D » est une particule  classique ou quantique  libre sur un intervalle borné de positions  c.-à-d. sans action extérieure sur cet intervalle et ne pouvant pas en sortie .

Traduction énergétique d'une « particule libre confinée 1D »

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     La notion de confinement spatial d'une particule a déjà été vue dans le paragraphe « utilisation du confinement spatial d'un oscillateur harmonique unidimensionnel quantique » au chap.  de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la particule étant confinée dans un puits d'énergie potentielle parabolique [1] :
  La notionil y a confinement spatial s'il y a deux « murs d'énergie potentielle » [2] en regard, l'espace entre ces deux murs définissant un « puits d'énergie potentielle » [3],
     La notion il y a confinement spatial s'il y a deux « murs d'énergie potentielle » en regard, empêche une particule « classique » de sortir de cet espace [4] mais
     La notion il y a confinement spatial s'il y a deux « murs d'énergie potentielle » en regard, n'interdit pas à une particule « quantique » de pénétrer sous conditions [5] ;

 
À gauche le diagramme d'énergie du
puits d'énergie potentielle infinie et
à droite les deux murs d'énergie potentielle
matérialisant les deux zones interdites

     une « particule libre confinée 1D » ne devant pas sortir  qu'elle soit classique ou quantique  de l'intervalle borné de positions, on suppose
     une « particule libre confinée 1D » que chaque borne correspond à l'existence d'un « mur d'énergie potentielle infinie »  ainsi la densité linéique de probabilité de présence de la particule quantique au-delà du mur est nulle car l'écart   est infini quelle que soit  [6], [4]  ;

     une « particule libre confinée 1D » est donc une particule susceptible de se déplacer uniquement sur un axe  
     une « particule libre confinée 1D » est donc une particule dans un « puits d'énergie potentielle infinie » de largeur finie  schéma ci-contre  :

     l'équation du puits d'énergie potentielle infinie est  
     l'équation du puits d'énergie potentielle infinie et les murs d'énergie potentielle sont d'équation   à gauche et   à droite.

Analogie d'une « particule libre confinée 1D » avec une « corde vibrante à extrémités fixées »

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     Préliminaire : la partie spatiale de fonction d'onde d'une « particule quantique libre confinée 1D sur l'intervalle  » en état stationnaire  c.-à-d. d'énergie   fixée  « » étant solution de « » [7]
     Préliminaire : la partie spatiale de fonction d'onde d'une « particule quantique libre confinée 1D est continue en tout point [8] et par suite
     Préliminaire : la densité linéique de probabilité de présence « » est aussi continue en tout point.

     Exposé : la partie spatiale de la fonction d'onde d'une « particule quantique libre confinée 1D sur l'intervalle  » en état stationnaire  c.-à-d. d'énergie   fixée  « »
     Exposé : la partie spatiale de la fonction d'onde étant « nulle sur les deux murs d'énergie potentielle infinie »  par nullité hors intervalle de confinement [9], et continuité sur les frontières [10] ,
     Exposé : la partie spatiale de la fonction d'onde étant « nulle sur ces murs d'énergie potentielle infinie doivent être des nœuds de    tout comme les extrémités fixées d'une corde vibrante sont les nœuds de l'onde stationnaire qui peut s'y créer [11]  ;
     Exposé : nous pouvons donc affirmer l'analogie d'une « particule libre confinée 1D » avec une « corde vibrante à extrémités fixées ».

Longueurs d'onde de de Broglie possibles pour la « particule libre confinée 1D »

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     Sachant que la distance séparant deux nœuds successifs d'une onde stationnaire est  [12], par analogie, nous en déduisons
     Sachant que les longueurs d'onde de de Broglie [13] possibles « » de la « particule quantique libre confinée 1D sur l'intervalle  » en état stationnaire comme les seules valeurs
           Sachant que les longueurs d'onde de de Broglie possibles « » vérifiant la relation « » [14]   « » soit
                  Sachant que les longueurs d'onde de de Broglie possibles « » vérifiant la relation « »   une série discrète de valeurs de longueurs d'onde de de Broglie [13].

Niveaux d'énergie d'une « particule libre confinée 1D », fonction d'onde stationnaire associée

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Niveaux d'énergie possibles d'une « particule libre confinée 1D »

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     À chaque longueur d'onde de de Broglie [13], on associe la quantité de mouvement de la particule « » [15] soit, avec « » [16],
           À chaque longueur d'onde de de Broglie, on associe la quantité de mouvement de la particule « » c.-à-d.
           À chaque longueur d'onde de de Broglie, on associe la quantité de mouvement de la particule une série discrète de valeurs dont le quantum [17] est  
                           À chaque longueur d'onde de de Broglie, on associe la quantité de mouvement de la particule  les autres valeurs en étant tous les multiples  et

           À chaque longueur d'onde de de Broglie, on associe l'énergie, purement cinétique [18], de cette particule « » soit, avec « » [16],
                 À chaque longueur d'onde de de Broglie, on associe l'énergie, purement cinétique, de cette particule « » c.-à-d. encore
                 À chaque longueur d'onde de de Broglie, on associe l'énergie, purement cinétique, de cette particule une série discrète de valeurs dont le quantum [17] est  
                   À chaque longueur d'onde de de Broglie, on associe l'énergie, purement cinétique, de cette particule sans que les autres valeurs soient tous ses multiples ;

     l'énergie est donc quantifiée, elle prend une série de valeurs discrètes variant comme le carré d'un entier naturel
     l'énergie est donc quantifiée, elle prend une série de valeurs discrètes avec un niveau fondamental d'énergie « » [19] non nulle [20] et
     l'énergie est donc quantifiée, elle prend une série de valeurs discrètes avec des niveaux excités d'énergie d'autant plus écartés du précédent que   est grand « » [21].

     Remarque : Nous avons défini le lien entre énergie et fréquence de de Broglie [13] pour une onde de matière dans le paragraphe « relation de de Broglie et conséquences » du chap.  de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » par    est l'énergie totale égale, dans le cas d'une particule libre, à la somme de l'énergie de masse    à compter dans l'énergie totale pour définir la fréquence de de Broglie, que la particule soit relativiste ou non  et de l'énergie cinétique   ;
     Remarque : ici la fréquence de de Broglie [13] de la particule libre est « » soit encore « » compte-tenu du 1er terme largement prépondérant pour des particules non relativistes [22] ;
     Remarque : on peut déterminer, de la fréquence de de Broglie [13], la célérité de l'onde de matière pour le niveau   par « » et
     Remarque : on peut déterminer, de la quantification de la quantité de mouvement, la vitesse de la particule classique associée par « »,
     Remarque : on vérifie ainsi le lien déjà évoqué au paragraphe « relation de de Broglie et conséquences » du chap.  de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » « ».

Détermination d'un minorant de l'énergie d'une « particule libre confinée 1D » par utilisation de l'inégalité de Heisenberg spatiale

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     La « particule libre 1D » étant confinée sur l'intervalle  , l'incertitude « quantique » [23] sur sa position « » est majorée selon « » [24] et

  La « particule libre 1D » étant confinée sur l'intervalle  , l'incertitude « quantique » celle sur sa quantité de mouvement « » se déduisant de l'inégalité de Heisenberg [25] spatiale
          La « particule libre 1D » étant confinée sur l'intervalle  , l'incertitude « quantique » sur sa quantité de mouvement « » se déduisant de « » [26] selon « »

     La « particule libre 1D » étant confinée sur l'intervalle  , on obtient, en utilisant le majorant précédemment déterminé de l'incertitude « quantique » [23] sur la position « », que
     La « particule libre 1D » étant confinée sur l'intervalle  , on obtient, l'incertitude « quantique » [23] sur la quantité de mouvement « » est minorée selon « » ;

     La « particule libre 1D » étant confinée sur l'intervalle  , la définition de cette dernière étant « », la valeur moyenne de sa quantité de mouvement étant  [27],
     La « particule libre 1D » étant confinée sur l'intervalle  , la définition de cette dernière étant « », nous en déduisons « » [28] ;

     La « particule libre 1D » étant confinée si la « particule libre confinée 1D » est dans un état stationnaire, son énergie a une valeur fixée     à sa valeur moyenne soit « » et,
     La « particule libre 1D » étant confinée si la « particule libre confinée 1D » est dans un état stationnaire, en utilisant le résultat établi précédemment « » ainsi que
     La « particule libre 1D » étant confinée si la « particule libre confinée 1D » est dans un état stationnaire, en utilisant le minorant de l'incertitude « quantique » [23] sur la quantité de mouvement  ,
     La « particule libre 1D » étant confinée si la « particule libre confinée 1D » est dans un état stationnaire, en utilisant le minorant « », nous obtenons que
     La « particule libre 1D » étant confinée si la « particule libre confinée 1D » est dans un état stationnaire, l'énergie de la « particule libre 1D » confinée sur l'intervalle   dans un état stationnaire
     La « particule libre 1D » étant confinée si la « particule libre confinée 1D » est dans un état stationnaire, l'énergie de la « particule libre 1D » est minorée selon « » [29],
     La « particule libre 1D » étant confinée si la « particule libre confinée 1D » est dans un état stationnaire, évidemment vérifié par tout niveau d'énergie, donc par le niveau fondamental, ce qui est le cas car
     La « particule libre 1D » étant confinée si la « particule libre confinée 1D » est dans un état stationnaire, l'énergie de la « particule libre 1D » est minorée selon « ».

Expression de la partie spatiale de la fonction d'onde stationnaire correspondant au niveau n d'énergie de la « particule libre confinée 1D »

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     À l'énergie « » [30] d'une « particule libre 1D » confinée sur l'intervalle   dans un état stationnaire, correspondant
     à la quantité de mouvement « » [31] de cette « particule libre 1D » confinée sur l'intervalle   dans un état stationnaire,
           à la quantité de mouvement « » la partie spatiale de la fonction d'onde stationnaire de cette « particule libre 1D » confinée sur l'intervalle   s'écrit,
           à la quantité de mouvement « » par analogie aux ondes sinusoïdales stationnaires sur une corde à extrémités fixes, « » [32]
           à la quantité de mouvement « » dans laquelle il faut écrire que les murs d'énergie potentielle infinie sont des nœuds de fonction d'onde soit :
           à la quantité de mouvement « » dans laquelle il faut écrire  « » impliquant « » par exemple « » [33] et
           à la quantité de mouvement « » dans laquelle il faut écrire  « » entraînant « » [34] c.-à-d. « » ou
           à la quantité de mouvement « » dans laquelle il faut écrire  « » entraînant « » ou encore, en choisissant  ,
           à la quantité de mouvement « » dans laquelle il faut écrire  « » entraînant « » 
           à la quantité de mouvement « » dans laquelle il faut écrire  « » entraînant c.-à-d. la condition de quantification trouvée précédemment [16]  

           à la quantité de mouvement « » la partie spatiale de la fonction d'onde stationnaire pour le mode   de vibration de cette « particule libre 1D » confinée s'écrit
           à la quantité de mouvement « » la partie spatiale « »,   se déterminant en normalisant la densité linéique de probabilité
               à la quantité de mouvement « » la partie spatiale « »,   se déterminant en normalisant de présence « » [35]
               à la quantité de mouvement « » la partie spatiale « », « » par « » soit
           à la quantité de mouvement « » la partie spatiale   ou, en linéarisant  [36] et, après une intégration sans souci,   ou  , finalement on choisit « » d'où l'expression de
           à la quantité de mouvement « » la partie spatiale de la fonction d'onde stationnaire pour le mode   de vibration de cette « particule libre 1D » confinée
           à la quantité de mouvement « » la partie spatiale « » [37]  
           à la quantité de mouvement « » une densité linéique de probabilité de présence pour le mode   de vibration de cette « particule libre 1D » confinée
           à la quantité de mouvement « » une densité linéique de probabilité de présence « » [37].

           à la quantité de mouvement « » Remarque : en les positions des ventres de vibration « » [38],
           à la quantité de mouvement « » Remarque : en les positions des ventres de vibration la « densité linéique de probabilité de présence est  » [39],
           à la quantité de mouvement « » Remarque : en les positions des ventres de vibration valeur indépendante du nombre de « fuseaux »  

Transitions entre niveaux d'énergie

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     La « particule libre 1D » confinée sur l'intervalle   dans un état stationnaire, doit être dans l'un des niveaux   précédemment déterminés,

  • elle peut passer dans un niveau plus faible   en émettant un photon d'énergie « » ou
  • elle peut passer dans un niveau plus élevé   en absorbant un photon d'énergie « » ;

     la plus petite fréquence de photon pouvant être émis ou absorbé par la « particule libre 1D » confinée sur l'intervalle   dans un état stationnaire est « ».

     Exemple : on peut réaliser un puits d'énergie potentielle infinie en mettant une couche semi-conductrice d'arséniure de gallium  [40]
     Exemple : on peut réaliser un puits d'énergie potentielle infinie en sandwich entre deux couches d'arséniure d'aluminium-gallium  [41],
     Exemple : on peut réaliser un puits d'énergie potentielle infinie les porteurs de charge mobile de la couche semi-conductrice centrale restant confinés entre les deux couches latérales
     Exemple : on peut réaliser un puits d'énergie potentielle infinie les porteurs de charge mobile de la couche semi-conductrice centrale restant confinés avec un espace de confinement [42] de quelques   ;

     Exemple : on peut réaliser un puits d'énergie potentielle infinie en prenant « » et en considérant la conductivité électrique des électrons de la couche semi-conductrice centrale avec leur « masse effective  » [43], on trouve une fréquence minimale de photon échangeable [44]    [45]   correspondant à une longueur d'onde maximale dans le vide   soit « » caractéristique de la lumière émise par les diodes électroluminescentes émettant dans le rouge [46].

Lien qualitatif entre « confinement spatial » et « quantification de l'énergie »

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     Nous avons vu   exemples où le confinement spatial d'une particule à un seul paramètre de position sur un intervalle borné  le 1er sur les « oscillateurs harmoniques unidimensionnels quantiques » [47]  voir le paragraphe « spectre des niveaux d'énergie d'un oscillateur harmonique unidimensionnel quantique » du chap.  de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »  et le 2ème sur les « particules libres confinées 1D » [48] en état stationnaire  voir le paragraphe « niveaux d'énergie possibles d'une particule libre confinée 1D » plus haut dans ce chapitre 
      Nous avons vu   exemples où le confinement spatial d'une particule à un seul paramètre de position sur un intervalle borné se traduit par la « quantification de son énergie » [49] ;

     Nous avons vu   exemples ceci est généralisable : « une particule quantique confinée dans une région de l'espace de taille finie a son énergie quantifiée ».

     En appliquant le modèle du puits d'énergie potentielle infinie, nous déterminons l'« ordre de grandeur des écarts entre niveaux d'énergie » pour une « particule confinée 1D sur un intervalle  » [50],
     En appliquant le modèle du puits d'énergie potentielle infinie, nous déterminons l'« ordre de grandeur des écarts entre niveaux d'énergie » suivant la nature de la particule [51] :

     En appliquant le modèle du puits d'énergie potentielle infinie,  pour un électron dans un puits d'énergie potentielle infinie de la taille d'un atome  [52] et  
     En appliquant le modèle du puits d'énergie potentielle infinie,  pour un électron on trouve  [53] c.-à-d.  [45]   soit
     En appliquant le modèle du puits d'énergie potentielle infinie,  pour un électron on trouve  [54] c.-à-d. un « ordre de grandeur de  [54] » ;

     En appliquant le modèle du puits d'énergie potentielle infinie,  pour un nucléon dans un puits d'énergie potentielle infinie de la taille d'un noyau  [55], [56] et
     En appliquant le modèle du puits d'énergie potentielle infinie,  pour un nucléon dans un puits d'énergie potentielle infinie de la taille d'un noyau  [57]
     En appliquant le modèle du puits d'énergie potentielle infinie,  pour un nucléon on trouve  [53] c.-à-d.  [45]   soit
     En appliquant le modèle du puits d'énergie potentielle infinie,  pour un nucléon on trouve  [58] c.-à-d. un « ordre de grandeur de  [58] » ;

     En appliquant le modèle du puits d'énergie potentielle infinie,  l'ordre de grandeur des écarts entre niveaux d'énergie   les valeurs nucléaires sont   fois plus grandes que les valeurs atomiques.

En complément : résolution de l'équation de Schrödinger indépendante du temps d'une « particule libre confinée 1D »

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Équation de Schrödinger indépendante du temps d'une « particule libre confinée 1D »

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     L'équation de Schrödinger [59] indépendante du temps d'une « particule libre confinée 1D » à savoir  [60] se réécrivant « »

           L'équation de Schrödinger indépendante du temps est une équation différentielle linéaire à cœfficients constants homogène du 2ème ordre en   sans terme du 1er ordre,
           L'équation de Schrödinger indépendante du temps est une équation différentielle linéaire à cœfficients constants homogène dont la résolution passe par celle de l'équation caractéristique [61]  

Résolution de l'équation de Schrödinger indépendante du temps d'une « particule libre confinée 1D »

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     L'équation de Schrödinger [59] indépendante du temps d'une « particule libre confinée 1D » à savoir « »
           L'équation de Schrödinger indépendante du temps étant une équation différentielle linéaire à cœfficients constants homogène du 2ème ordre en   sans terme du 1er ordre [61]
           L'équation de Schrödinger indépendante du temps admet pour équation caractéristique « » [62] dont la résolution nécessite la discussion suivante :

  • « si   est  », les « racines de l'équation caractéristique sont réelles  » et
    « si   est  », la solution de l'équation différentielle s'écrit « » [63] mais
    « si   est  », cette solution est à rejeter car les C.A.L. [64]   s'écrivant  [65]    [66]
    « si   est  », cette solution est à rejeter d'où la nullité de la fonction d'onde ;
  • « si   est  », il y a « une racine double de l'équation caractéristique  » et
    « si   est  », la solution de l'équation différentielle s'écrit « » [67] mais
    « si   est  », cette solution est à rejeter car les C.A.L. [64]   s'écrivant  [65]    [68]
    « si   est  », cette solution est à rejeter d'où la nullité de la fonction d'onde ;
  • « si   est  », les « racines de l'équation caractéristique sont complexes conjuguées  » et
    « si   est  », la solution de l'équation différentielle s'écrit « » [69],
    « si   est  », les constantes d'intégration   devant obéir aux C.A.L. [64]   soit  [65],
    « si   est  », les « solutions de ce système étant non triviales [70] si    » [71] ou
          « si   est  », les « solutions de ce système étant non triviales si     « » [72] d'où
          « si   est  », les « solutions de ce système étant non triviales la condition de quantification de l'énergie « »   « » ou encore
          « si   est  », les « solutions de ce système étant non triviales la condition de quantification de l'énergie « » [29] ;
          « si   est  », les « solutions de ce système étant non triviales avec cette condition « les constantes d'intégration sont liées par  » et la solution de l'équation différentielle se réécrit
          « si   est  », les « solutions de ce système étant non triviales avec cette condition « » ou encore
          « si   est  », les « solutions de ce système étant non triviales avec cette condition « » [72] soit, en posant  [73] et
                « si   est  », les « solutions de ce système étant non triviales avec cette condition « » soit, en choisissant  [74],
          « si   est  », les « solutions de ce système étant non triviales avec cette condition « » solution de l'équation différentielle [75]
          « si   est  », les « solutions de ce système étant non triviales avec cette condition avec   à déterminer par normalisation de la densité linéique de probabilité de présence.

Normalisation de la densité linéique de probabilité de présence d'une « particule libre confinée 1D »

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     La normalisation de la « densité linéique de probabilité de présence  » se traite en évaluant   par « » [76], soit
     La normalisation « » ou, en linéarisant « » [36] soit, après une intégration sans souci,
     La normalisation « » ou, avec la condition de quantification « [77]    » [29],
     La normalisation «  et finalement en choisissant  ,  » d'où

la fonction d'onde solution de l'équation de Schrödinger [59] indépendante du temps « » [78] et
la densité linéique de probabilité de présence « » [79].

Additif à l'introduction au monde quantique concernant l'« énergie du vide » de l'Univers en « cosmologie »

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Pourquoi peut-on parler d'« énergie du vide » de l'Univers en « cosmologie » ?

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La cosmologie est la science qui étudie la structure, l'origine et l'évolution de l'Univers considéré dans son ensemble.

     Un espace localement vide ne l'a pas toujours été et ne le sera pas toujours, plus précisément, appelant   l'incertitude « quantique » [23] du temps où l'espace est observé vide et
     Un espace localement vide ne l'a pas toujours été et ne le sera pas toujours, plus précisément, appelant   l'incertitude « quantique » [23] de l'énergie   de cet espace localement vide,
     Un espace localement vide ne l'a pas toujours été et ne le sera pas toujours, plus précisément, ces incertitudes « quantiques » [23] suivent l'inégalité de Heisenberg [25] temporelle « » d'où
     Un espace localement vide ne l'a pas toujours été et ne le sera pas toujours, plus précisément, l'incertitude « quantique » [23] de l'énergie   du vide est minorée selon « »,
           Un espace localement vide ne l'a pas toujours été et ne le sera pas toujours, plus précisément, l'incertitude « quantique » de l'énergie   du vide est minorant d'autant plus grand que   est petite
      Un espace localement vide ne l'a pas toujours été et ne le sera pas toujours, plus précisément, l'incertitude « quantique » de l'énergie   du vide est minorant ou d'autant plus petit que   est grande ;

     l'incertitude « quantique » [23]   de l'énergie du vide   correspond à l'« écart quadratique moyen de cette énergie  » avec   énergie moyenne  nulle  du vide d'où
          l'incertitude « quantique »   de l'énergie du vide   correspond à l'« écart quadratique moyen de cette énergie     « » ;

     cette relation « » nous enseigne que « le vide qualifié de quantique peut contenir de l'énergie à certains instants » [80] avec des valeurs pouvant être d'autant plus élevées que la durée d'observation est petite, ces très grandes valeurs potentielles d'énergie du « vide quantique » pendant des durées très courtes sont appelées « fluctuations du vide quantique » ;

     on a observé que « des valeurs très élevées d'énergie peuvent être “empruntées” au vide quantique pour créer des particules virtuelles à durée de vie très courte » [81], l'emprunt étant restitué au vide quantique lors de l'annihilation des particules virtuelles  

     La succession de création et d'annihilation des particules virtuelles à partir du vide quantique a-t-elle un intérêt ? Oui car il se trouve que, sous conditions de très fortes valeurs d'énergie  ce qui nécessitent, on le rappelle, des durées d'interaction excessivement petites , les particules virtuelles peuvent devenir « réelles » [82]  ceci ayant été observé dans les accélérateurs de particules et plus particulièrement dans ceux de dernières générations [83] .

     En conclusion, l'existence des fluctuations du vide quantique ne sont pas des hypothèses théoriques sans retombées expérimentales : nous avons déjà vu leur apparition dans les accélérateurs de particules, mais elles permettent aussi

  • l'explication de l'« effet Casimir » [84] et
  • du point de vue théorique, l'explication de la création de l'Univers à partir du vide quantique  

Retour sur l'énergie du vide quantique

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     Un espace localement vide ne l'ayant pas toujours été et ne le restant pas toujours, a contenu ou contiendra des champs fondamentaux comme le champ électromagnétique ou
     Un espace localement vide ne l'ayant pas toujours été et ne le restant pas toujours, a contenu ou contiendra des champs fondamentaux comme l'un des trois autres champs [85] ou
     Un espace localement vide ne l'ayant pas toujours été et ne le restant pas toujours, a contenu ou contiendra des champs fondamentaux comme une combinaison de ces quatre champs ;

     or en théorie quantique des champs, ces derniers peuvent être vus comme un ensemble de « balles » et de « ressorts vibrants » tous interconnectés c.-à-d. des « oscillateurs harmoniques quantiques »,
     or en théorie quantique des champs, cet ensemble ayant une énergie fondamentale  c.-à-d. en absence de vibrations  « non nulle » [86]
     or en théorie quantique des champs, cet ensemble ayant une énergie fondamentale conservée lors de la création du vide par disparition des champs,
     or en théorie quantique des champs, cet ensemble ayant une énergie fondamentale sa valeur définissant « l'énergie du vide quantique » ou « énergie du point zéro ».

Notes et références

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  1. Voir la 2ème définition d'un oscillateur harmonique unidimensionnel classique c.-à-d. « objet piégé dans un puits d'énergie potentielle parabolique » justifiée dans le paragraphe « rappel de l'intégrale 1ère énergétique de l'oscillateur harmonique à une dimension constitué d'un pendule élastique horizontal non amorti (P.E.H.N.A.) » du chap.  de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » et
       la propriété de « confinement spatial » d'un oscillateur harmonique unidimensionnel classique est établie dans le paragraphe « présence de deux murs d'énergie potentielle : trajectoire du point matériel cinétiquement bornée » du même chap.  de la même leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
  2. Notion vue en détail dans le paragraphe « notion de mur d'énergie potentielle » du chap.  de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » sur l'exemple d'une particule en chute libre ;
       une particule classique d'énergie mécanique   étant telle que son énergie cinétique   est   on en déduit que   c.-à-d. que la courbe « physique » d'énergie mécanique  ensemble des points   d'abscisse   et d'ordonnée   doit être au-dessus de la courbe « physique » d'énergie potentielle  ensemble des points   d'abscisse   et d'ordonnée  , les droites   à l'axe des énergies, d'abscisse égale à celle des points d'intersection, définissant alors les « murs d'énergie potentielle », c.-à-d. les droites séparant les zones où   interdites pour une particule classique, de celles où   seules autorisées si la particule est classique.
  3. Encore appelé « cuvette d'énergie potentielle ».
  4. 4,0 et 4,1 La présence de « deux murs d'énergie potentielle en regard », interdit, pour une particule classique, la zone située au-delà du mur de plus grande abscisse et en deçà du mur de plus petite abscisse, la zone autorisée se limite donc à un intervalle fermé pour une particule classique, mais ce raisonnement fondé sur   n'est applicable qu'à une particule classique ;
       pour une particule quantique, les « murs d'énergie potentielle »  définis comme les droites   à l'axe des énergies, d'abscisse égale à celle des points d'intersection des deux courbes « physiques » d'énergie mécanique et d'énergie potentielle  restent toujours définis, mais
       pour une particule quantique les zones classiquement interdites ne le sont plus nécessairement, la probabilité de présence dans le voisinage immédiat au-delà du mur de plus grande abscisse et en deçà du mur de plus petite abscisse n'est pas nulle  pour traiter les deux cas simultanément nous dirons, par abus, « au-delà des murs » pour traduire que   est envisagée dans les zones classiquement interdites , elle est d'autant plus grande que la pénétration au-delà des murs est faible et que l'écart   est petit ;
       ainsi les zones classiquement interdites  c.-à-d. « au-delà des murs »  ne sont-elles pas quantiquement interdites mêmes si elles le deviennent avec l'augmentation de la pénétration dans ces zones.
  5. Un 1er exemple de ce phénomène a déjà été présenté : la densité linéique de probabilité de présence de l'oscillateur harmonique unidimensionnel quantique est grossièrement maximal pour     avec   d'où    voir le paragraphe « en complément : composante spatiale de la fonction d'onde de l'état correspondant au niveau n d'un oscillateur harmonique unidimensionnel quantique » du chap.  de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » , «  assimilable à l'amplitude des oscillations classiques pour   grand »     d'où l'amplitude des oscillations classiques  , les « valeurs   définissant donc les murs d'énergie potentielle pour   grand », nous constatons, sur les courbes de densités linéiques de probabilité de présence  voir le paragraphe « en complément : allure des diagrammes de densité linéique de probabilité de présence dans l'état correspondant au nveau n d'un oscillateur harmonique unidimensionnel quantique (remarques) » du chap.  de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » dans lequel      , que celle-ci n'est pas nulle « au-delà de ces murs »  par abus, « au-delà des murs » signifie que   est envisagée dans les zones classiquement interdites   dans le paragraphe (remarques) cité ci-dessus, les murs sont aux abscisses  , même on constate qu'elle est assez rapidement   avec l'augmentation de l'éloignement du mur ; cela signifie que la particule quantique peut aller au-delà des bornes d'oscillations classiques ;
       un 2ème exemple correspond au cas d'une particule libre dans un demi-espace par exemple   avec la présence d'une « barrière d'énergie potentielle »  correspondant à une énergie potentielle   constante   sur un intervalle   de petite largeur :
       un 2ème exemple si la particule est d'énergie   et si elle est classique, elle ne peut pas se retrouver dans la zone   mais
       un 2ème exemple si la particule est d'énergie   et si elle est quantique, sa probabilité d'être présente en   est  , étant d'autant plus grande, à   fixée, que   est petit
    un 2ème exemple si la particule est d'énergie   et si elle est quantique, sa probabilité d'être présente en   est  ,et étant une fonction   de    
       un 2ème exemple si la particule est d'énergie   et si elle est quantique, dans la mesure où   n'est pas trop grand et que la barrière d'énergie potentielle n'est pas trop large, la particule quantique a une probabilité non nulle de se retrouver « libre » dans la « zone classiquement interdite »  , ce phénomène étant connu sous le nom d'« effet tunnel » ;
       un 2ème exemple l'« effet tunnel » se manifeste, par exemple :
       un 2ème exemple l'« effet tunnel » se manifeste  comme un défaut dans les interrupteurs microscopiques, l'« isolant » étant d'autant moins parfait qu'il est de faible épaisseur mais
       un 2ème exemple l'« effet tunnel » se manifeste  en devenant une propriété avantageuse dans les microscopes à effet tunnel, la mesure de la probabilité de présence des électrons au-delà de la barrière  d.d.p. entre une pointe se déplaçant à niveau constant et la surface à ausculter  c.-à-d. la mesure de l'intensité du flux d'électrons, permettant de déterminer la largeur de la barrière et d'en déduire, points par points, la surface étudiée.
  6.   étant finie et   infinie.
  7. Voir le paragraphe « équation de Schrödinger indépendante du temps d'une particule libre confinée 1D » plus bas dans ce chapitre.
  8. En effet l'équation à laquelle souscrit cette partie spatiale de fonction d'onde « » étant une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2ème ordre sans terme du 1er ordre homogène, l'absence de discontinuité de toute espèce du 2nd membre entraîne la continuité de la dérivée de plus haut ordre c.-à-d. de   et par suite aussi celle de   et de  , voir le paragraphe « nature de la discontinuité de la solution générale d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants hétérogène du 2ème ordre connaissant la nature de la discontinuité de l'excitation » du chap.  de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », le cas homogène étant un cas particulier du cas hétérogène avec excitation nulle en tout point.
  9. D'après la paragraphe « traduction énergétique d'une particule libre confinée 1D (mur d'énergie potentielle infinie) » plus haut dans ce chapitre précisant la nullité de la densité linéique de probabilité de présence au-delà des murs donc celle de la partie spatiale de fonction d'onde car  .
  10. Voir le préliminaire de ce paragraphe.
  11. Revoir le paragraphe sur l'« caractérisation d'une onde sinusoïdale stationnaire par l'absence de propagation, notion de nœuds et de ventres » du chap.  de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
  12. Revoir le paragraphe sur la « détermination de la position des nœuds (d'une onde stationnaire sinusoïdale sur une corde) » du chap.  de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
  13. 13,0 13,1 13,2 13,3 13,4 et 13,5 Louis Victor de Broglie (1892 - 1987)  se prononce « Brogle »  mathématicien et physicien français, essentiellement connu pour sa proposition de nature ondulatoire des électrons, ce qui lui valut le prix Nobel de physique en  .
  14.   étant le nombre de fuseaux du graphe, en fonction du paramètre de position, de la partie spatiale de la fonction d'onde de la « particule quantique libre confinée 1D sur l'intervalle  » en état stationnaire.
  15. Voir le paragraphe « la longueur d'onde de de Broglie » du chap.  de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
  16. 16,0 16,1 et 16,2 Voir le paragraphe « longueurs d'onde de de Broglie possibles pour la particule libre confinée 1D » plus haut dans ce chapitre.
  17. 17,0 et 17,1 Le quantum d'une grandeur est la plus petite mesure indivisible de cette grandeur.
  18. L'énergie potentielle étant nulle entre les deux murs d'énergie potentielle infinie.
  19. Dont nous allons déterminer l'ordre de grandeur d'un minorant par utilisation de l'inégalité de Heisenberg spatiale dans le paragraphe « détermination d'un minorant de l'énergie d'une particule libre confinée 1D par utilisation de l'inégalité de Heisenberg spatiale » plus bas dans ce chapitre.
       Werner Heisenberg (1901 - 1976) physicien allemand, l'un des fondateurs de la mécanique quantique : voir la note « 25 » plus bas dans ce chapitre pour plus de détails..
  20. Qui est aussi le quantum d'énergie  bien que pratiquement on réserve le qualificatif « quantum » quand les autres valeurs sont tous les multiples de la plus petite valeur indivisible .
  21. En effet  .
  22. D'où un inintérêt de la notion de fréquence de de Broglie dans le cas non relativiste.
  23. 23,0 23,1 23,2 23,3 23,4 23,5 23,6 23,7 et 23,8 On parle d'incertitude « quantique » car c'est une incertitude théorique contenue dans les principes de la mécanique quantique, et non une incertitude « expérimentale ».
  24. En effet la valeur moyenne de l'abscisse de la particule est   et son incertitude « quantique » définie selon   donne   car  .
  25. 25,0 et 25,1 Werner Heisenberg (1901 - 1976) physicien allemand, l'un des fondateurs de la mécanique quantique, a obtenu le prix Nobel de physique en   pour la création d'une forme de mécanique quantique  connue sous le nom de mécanique matricielle , dont l’application a mené, entre autres, à la découverte des variétés allotropiques de l'hydrogène  le dihydrogène existe sous deux formes allotropiques « ortho » où les spins sont parallèles et « para » où ils sont antiparallèles, le dihydrogène ortho étant présent à   à température élevée et sa proportion diminuant quand sa température diminue .
  26. Voir le paragraphe « induction de l'inégalité de Heisenberg spatiale à partir de la relation de diffraction appliquée à un photon » du chap.  de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
       Werner Heisenberg (1901 - 1976) physicien allemand, l'un des fondateurs de la mécanique quantique : voir la note « 25 » plus haut dans ce chapitre pour plus de détails
  27. Correspondant à une même probabilité d'avoir la valeur   et  .
  28. C.-à-d. la valeur moyenne du carré de la quantité de mouvement en fonction de l'incertitude « quantique » sur cette dernière.
  29. 29,0 29,1 et 29,2 On rappelle le lien entre constante réduite de Planck  encore appelée constante de Dirac  et constante de Planck  .
       Max Karl Ernst Ludwig Planck (1858 - 1947) physicien allemand à qui on doit principalement, vers  , la théorie des quanta, théorie qui lui valut le prix Nobel de physique en  .
       Paul Adrien Maurice Dirac (1902 - 1984) physicien et mathématicien britannique, colauréat du prix Nobel de physique en  , on lui doit des avancées cruciales dans le domaine de la mécanique statistique et de la physique quantique des atomes, il démontra l'équivalence physique entre la mécanique ondulatoire de Schrödinger et la mécanique matricielle de Heisenberg, deux présentations de la même mécanique quantique et enfin, pour les besoins du formalisme quantique, il inventa la notion, sans fondement mathématique précis, connue de nos jours sous le nom de distribution de Dirac et dont la description rigoureuse fut établie par le mathématicien français Laurent Schwartz dans sa théorie des distributions ; Paul Dirac fut colauréat du prix Nobel de Physique en