Signaux physiques (PCSI)/Exercices/Circuits linéaires du premier ordre : régime libre, réponse à un échelon

Résistance de fuite d'un condensateur

     On charge un condensateur de capacité $\;C=1\,\mu F\;$ sous $\;10\,V$, puis

     on branche à ses bornes un voltmètre numérique de résistance équivalente $\;R_{V}$.

Décharge du condensateur à travers le voltmètre

     Considérant le condensateur comme parfait, déterminer $\;R_{V}\;$ sachant qu'après $\;2\;$ minutes, le voltmètre indique une différence de potentiel de $\;2,3\,V$.

     Si le condensateur possède une résistance de fuite $\;R_{f}$, quelle relation doit-elle vérifier pour que le condensateur puisse être considéré comme parfait dans l'expérience précédente ?

Solution

     Le condensateur de capacité $\;C=1\,\mu F\;$ ayant été chargé sous $\;U=10\,V\;$ puis isolé, on branche à ses bornes un voltmètre numérique de résistance équivalente $\;R_{V}\;$ ; il s'agit donc d'un circuit $\;R_{V}\,C\;$ série court-circuité $\;{\big (}$c'est-à-dire sans générateur${\big )}$ avec $\;C\;$ initialement chargé ;

     à $\;t=0$, le condensateur fermé sur $\;R_{V}\;$ va se décharger à travers cette dernière d'où, en notant $\;u_{C}(t)\;$ la tension aux bornes de $\;C\;$ à l'instant $\;t\;$ et
     à $\;\color {transparent}{t=0}$, le condensateur fermé sur $\;\color {transparent}{R_{V}}\;$ va se décharger à travers cette dernière d'où, en choisissant la « convention de décharge du condensateur » correspondant aussi à
     à $\;\color {transparent}{t=0}$, le condensateur fermé sur $\;\color {transparent}{R_{V}}\;$ va se décharger à travers cette dernière d'où, en choisissant la « convention générateur pour le condensateur » c'est-à-dire $\;i(t)=-{\dfrac {dq}{dt}}(t)=-C\,{\dfrac {du_{C}}{dt}}(t)$,
     à $\;\color {transparent}{t=0}$, le condensateur fermé sur $\;\color {transparent}{R_{V}}\;$ va se décharger à travers cette dernière d'où, par application de la « loi de maille orientée dans le sens de $\;u_{C}(t)\;$» $\;u_{C}(t)+R_{V}\,C\,{\dfrac {du_{C}}{dt}}(t)=0\;$ soit encore,
     à $\;\color {transparent}{t=0}$, le condensateur fermé sur $\;\color {transparent}{R_{V}}\;$ va se décharger à travers cette dernière d'où, en normalisant «$\;{\dot {u}}_{C}(t)+{\dfrac {1}{\tau }}\,u_{C}(t)=0\;$» avec «$\;\tau =R_{V}\,C\;$ constante de temps du circuit » ; on en déduit

     à $\;\color {transparent}{t=0}$, le condensateur fermé sur $\;\color {transparent}{R_{V}}\;$ va se décharger à travers cette dernière d'où, la solution de l'équation différentielle «$\;u_{C}(t)=A\,\exp \left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\;$», la constante d'intégration $\;A\;$ se déterminant en utilisant la continuité de $\;u_{C}(t)\;$ à l'instant $\;0\;$ «$\;u_{C}(0^{+})=u_{C}(0^{-})=U=10\,V\;$» d'où «$\;u_{C}(t)=U\,\exp \left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)=10\,\exp \left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\;$ en $\;V\;$» ;

     à $\;t=t_{1}=120\,s$, $\;u_{C}(t_{1})=U_{1}=2,3\,V\;$ d'où $\;{\dfrac {t_{1}}{\tau }}=\ln \left({\dfrac {U}{U_{1}}}\right)\Rightarrow \tau ={\dfrac {t_{1}}{\ln \left({\dfrac {U}{U_{1}}}\right)}}={\dfrac {120}{\ln \left({\dfrac {10}{2,3}}\right)}}\simeq 81,65\,s\;$ dont on déduit «$\;R_{V}=$ ${\dfrac {\tau }{C}}\simeq {\dfrac {81,65}{10^{-6}}}\;$ soit $\;R_{V}\simeq 82\,M\Omega \;$».

     Si le condensateur n'est pas parfait, il se décharge, même s'il n'est pas relié à un voltmètre, à travers sa résistance de fuite $\;R_{f}$,
     Si le condensateur n'est pas parfait, on peut modéliser un condensateur non parfait par un condensateur parfait en $\;\parallel \;$ sur un conducteur ohmique de résistance $\;R_{f}$ ;

     Si le condensateur n'est pas parfait, aussi, quand le condensateur non parfait est branché sur un voltmètre de résistance $\;R_{V}$, le circuit équivalent formé à partir de $\;t=0\;$ est un condensateur parfait fermé sur deux conducteurs ohmiques en $\;\parallel \;$ de résistances respectives $\;R_{V}\;$ et $\;R_{f}\;$ et le traitement précédent reste applicable à condition de « remplacer $\;R_{V}\;$ par $\;R_{\text{éq}}={\dfrac {R_{V}\,R_{f}}{R_{V}+R_{f}}}\;$» d'où «$\;R_{\text{éq}}\simeq 82\,M\Omega \;$» ;

     Si le condensateur n'est pas parfait, or «$\;R_{\text{éq}}={\dfrac {R_{V}\,R_{f}}{R_{V}+R_{f}}}\simeq R_{V}\;$ si $\;R_{f}\gg R_{V}\;$» et, dans la mesure où ceci serait valable, «$\;R_{V}\simeq 82\,M\Omega \;$ nécessite $\;R_{f}\gg 82\,M\Omega \;$» soit «$\;R_{f}\gtrsim 820\,M\Omega \;$».

 

Décharge du condensateur à travers sa résistance de fuite

     En fait la condition précédente n'est pas vérifiée car le condensateur présente une résistance de fuite $\;R_{f}\;$ de même ordre de grandeur que $\;R_{V}$.

     Pour mesurer $\;R_{f}$, nous isolons le condensateur après l'avoir rechargé sous $\;10\,V\;$ et $\;2\;$ minutes après, nous branchons le voltmètre à ses bornes pendant un court instant. Nous mesurons alors une différence de potentiel de $\;7,9\,V$.

     Déterminer $\;R_{f}\;$ et $\;R_{V}$.

Solution

     En fait la condition précédente $\;R_{f}\gtrsim 820\,M\Omega \;$ n'étant pas vérifiée, le condensateur reste isolé pendant $\;t_{2}=2\,min=120\,s\;$ avant d'être relié au voltmètre ;

     on y fait alors la mesure instantanée $\;{\big (}$donc à l'instant $\;t_{2}=2\,min=120\,s\;$ mais sans que le condensateur ait le temps de se décharger dans la résistance équivalente $\;R_{\text{éq}}{\big )}\;$ et on trouve $\;u_{C}(t_{2}^{+})=7,9\,V$ ;

     sur l'intervalle $\;\left]0\,{\text{ ; }}t_{2}^{-}\right[$, on retrouve le circuit de la 1^ère question avec $\;R_{f}\;$ se substituant à $\;R_{V}\;$ d'où, avec «$\;\tau _{f}=R_{f}\,C\;$» et «$\;u_{C}(t_{2}^{-})=u_{C}(t_{2}^{+})=7,9\,V\;$», d'où
     sur l'intervalle $\;\color {transparent}{\left]0\,{\text{ ; }}t_{2}^{-}\right[}$, on retrouve le circuit de la 1^ère question «$\;\tau _{f}={\dfrac {t_{2}}{\ln \!\!\left[{\dfrac {U}{u_{C}(t_{2}^{+})}}\right]}}={\dfrac {120}{\ln \!\left({\dfrac {10}{7,9}}\right)}}\simeq 509\,s\;$» dont on tire $\;R_{f}={\dfrac {\tau _{f}}{C}}\simeq {\dfrac {509}{10^{-6}}}\;$ soit «$\;R_{f}\simeq 510\,M\Omega \;$».

     On utilise alors le résultat de la 1^ère question soit «$\;R_{\text{éq}}={\dfrac {R_{V}\,R_{f}}{R_{V}+R_{f}}}\simeq 82\,M\Omega \;$» pour en déduire $\;R_{V}\;$ selon $\;R_{\text{éq}}\,(R_{V}+R_{f})=R_{V}\,R_{f}\;$ d'où
     On utilise alors le résultat de la 1^ère question soit «$\;\color {transparent}{R_{\text{éq}}={\dfrac {R_{V}\,R_{f}}{R_{V}+R_{f}}}\simeq 82\,M\Omega }\;$» pour en déduire $\;R_{V}={\dfrac {R_{\text{éq}}\,R_{f}}{R_{f}-R_{\text{éq}}}}\simeq {\dfrac {82\times 509}{509-82}}\simeq 97,7\,M\Omega \;$ soit «$\;R_{V}\simeq 98\,M\Omega \;$».

 

Condition pour que l'intensité du courant délivré par un générateur dans un circuit parallèle soit constante dès la fermeture de l'interrupteur

Schéma d'un «$\;R_{1}\;C\;$ série » en $\;\parallel \;$ sur un «$\;R_{2}\;L\;$ série » soumis à un échelon de tension d'amplitude $\;E$, réponse en intensité délivrée par la source

     On relie, par l'intermédiaire d'un interrupteur $\;K$, un générateur de tension sans résistance interne et de f.e.m. $\;E\;$ à deux circuits montés en $\;\parallel$,

• l'un, composé d'un condensateur parfait de capacité $\;C\;$ et d'un conducteur ohmique de résistance $\;R_{1}\;$ et
• l'autre, d'une bobine parfaite d'auto-inductance $\;L\;$ et d'un conducteur ohmique de résistance $\;R_{2}$ ;

     initialement le condensateur étant déchargé et la bobine n'étant traversée par aucun courant, on ferme l'interrupteur à $\;t=0\;$ $\;{\big (}$voir schéma ci-contre${\big )}$.

Détermination de l'intensité du courant délivré par le générateur

     Déterminer les intensités $\;i_{1}(t)\;$ et $\;i_{2}(t)\;$ des courants traversant respectivement les dipôles «$\;R_{1}\;C\;$ série » et «$\;R_{2}\;L\;$ série » ;

     en déduire $\;i(t)$, l'intensité du courant délivré par la source.

Solution

Schéma d'un «$\;R_{1}\;C\;$ série » en $\;\parallel \;$ sur un «$\;R_{2}\;L\;$ série » soumis à un échelon de tension d'amplitude $\;E$, réponses en intensité de courant dans chaque branche

     Sachant que le générateur est sans résistance interne, on a donc deux circuits classiques

• $\;R_{1}\,C\;$ série soumis à une tension $\;e(t)=E\;Y(t)\;$ et
• $\;R_{2}\,L\;$ série soumis à une même tension $\;e(t)=E\;Y(t)$,

         Sachant que le générateur est sans résistance interne, on a donc deux circuits que l'on peut résoudre indépendamment l'un de l'autre.

     Circuit$\;R_{1}\,C\;$ série soumis à échelon de tension : $\;i_{1}(t)\;$ étant la réponse en intensité de courant d'un $\;R_{1}\,C\;$ série soumis à $\;e(t)=E\;Y(t)$,
     Circuit $\;\color {transparent}{R_{1}\,C}\;$ série soumis à échelon de tension : l'équation différentielle en $\;i_{1}(t)\;$ s'écrit «$\;{\dfrac {di_{1}}{dt}}(t)+{\dfrac {1}{R_{1}\,C}}\,i_{1}(t)={\dfrac {E}{R_{1}}}\;\delta (t)\;$» et
     Circuit $\;\color {transparent}{R_{1}\,C}\;$ série soumis à échelon de tension : la solution est de la forme «$\;i_{1}(t)=A\,\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau _{1}}}\right)\;$» avec «$\;\tau _{1}=R_{1}\,C\;$ constante de temps du circuit », $\;A\;$ se déterminant à l'aide de la C.I. $\;i_{1}(0^{+})={\dfrac {E}{R_{1}}}\;$ soit «$\;i_{1}(t)={\dfrac {E}{R_{1}}}\,\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau _{1}}}\right)\;$».

     Circuit$\;R_{2}\,L\;$ série soumis à échelon de tension : $\;i_{2}(t)\;$ étant la réponse en intensité de courant d'un $\;R_{2}\,L\;$ série soumis à $\;e(t)=E\;Y(t)$,
     Circuit $\;\color {transparent}{R_{2}\,L}\;$ série soumis à échelon de tension : l'équation différentielle en $\;i_{2}(t)\;$ s'écrit «$\;{\dfrac {di_{2}}{dt}}(t)+{\dfrac {R_{2}}{L}}\,i_{2}(t)={\dfrac {E}{L}}\;Y(t)\;$» et
     Circuit $\;\color {transparent}{R_{2}\,L}\;$ série soumis à échelon de tension : la solution est de la forme «$\;i_{2}(t)={\dfrac {E}{R}}+B\,\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau _{2}}}\right)\;$» avec «$\;\tau _{2}={\dfrac {L}{R_{2}}}\;$ constante de temps du circuit », $\;B\;$ se déterminant à l'aide de la C.I. $\;i_{2}(0^{+})$ $=0\;$ $\Rightarrow$ $\;i_{2}(0^{+})=0={\dfrac {E}{R}}+B\;$ $\Rightarrow$ $\;B=-{\dfrac {E}{R}}\;$ soit «$\;i_{2}(t)={\dfrac {E}{R_{2}}}\left[1-\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau _{2}}}\right)\right]\;$».

     Intensité du courant délivré par la source : On écrit alors la loi des nœuds $\;i(t)=i_{1}(t)+i_{2}(t)\;$ et on en déduit «$\;i(t)=E\!\left[{\dfrac {\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau _{1}}}\right)}{R_{1}}}+{\dfrac {1-\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau _{2}}}\right)}{R_{2}}}\right]\;$».

 

Détermination de la condition pour que l'intensité du courant délivré par le générateur soit constante

     Quelle doit être la condition sur $\;R_{1}$, $\;R_{2}$, $\;C\;$ et $\;L\;$ pour que l'intensité $\;i(t)\;$ du courant délivré par le générateur soit constante ?

Solution

     On veut que «$\;i(t)\;$ soit $\;cste\;\;\forall \;t\;$» ce qui est « réalisé si $\;{\dfrac {di}{dt}}(t)=0\;\forall \;t\;$» ;

     or «$\;{\dfrac {di}{dt}}(t)=E\!\left[-{\dfrac {1}{R_{1}\,\tau _{1}}}\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau _{1}}}\right)+{\dfrac {1}{R_{2}\,\tau _{2}}}\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau _{2}}}\right)\right]=0\;$» $\Leftrightarrow$ «$\;{\dfrac {1}{R_{1}^{2}\,C}}\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau _{1}}}\right)={\dfrac {1}{L}}\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau _{2}}}\right)\;\forall \;t\;$», « réalisé si $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\tau _{1}=\tau _{2}\;\;{\text{et}}\\R_{1}^{2}\,C=L\end{array}}\right\rbrace \;$» ou,
     or «$\;\color {transparent}{{\dfrac {di}{dt}}(t)=E\!\left[-{\dfrac {1}{R_{1}\,\tau _{1}}}\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau _{1}}}\right)+{\dfrac {1}{R_{2}\,\tau _{2}}}\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau _{2}}}\right)\right]=0}\;$» en réécrivant la 2^ème C.N. $\;L=R_{1}^{2}\,C\;$ en utilisant l'expression de $\;\tau _{1}=R_{1}\,C\;$ selon «$\;L=R_{1}\,\tau _{1}\;$» et
     or «$\;\color {transparent}{{\dfrac {di}{dt}}(t)=E\!\left[-{\dfrac {1}{R_{1}\,\tau _{1}}}\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau _{1}}}\right)+{\dfrac {1}{R_{2}\,\tau _{2}}}\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau _{2}}}\right)\right]=0}\;$» en réinjectant dans $\;\tau _{2}={\dfrac {L}{R_{2}}}\;$ $\Rightarrow$ «$\;\tau _{2}={\dfrac {R_{1}\tau _{1}}{R_{2}}}\;$» à identifier à $\;\tau _{1}\;$ par la 1^ère C.N. d'où «$\;R_{2}=R_{1}\;$» d'une part et
     or «$\;\color {transparent}{{\dfrac {di}{dt}}(t)=E\!\left[-{\dfrac {1}{R_{1}\,\tau _{1}}}\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau _{1}}}\right)+{\dfrac {1}{R_{2}\,\tau _{2}}}\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau _{2}}}\right)\right]=0}\;$» en réinjectant dans $\;\color {transparent}{\tau _{2}={\dfrac {L}{R_{2}}}}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ «$\;\color {transparent}{\tau _{2}={\dfrac {R_{1}\tau _{1}}{R_{2}}}}\;$» à identifier à $\;\color {transparent}{\tau _{1}}\;$ $\;L=R_{1}^{2}\,C\;$ $\Rightarrow$ «$\;R_{1}={\sqrt {\dfrac {L}{C}}}\;$» d'autre part, soit finalement «$\;R_{2}=R_{1}={\sqrt {\dfrac {L}{C}}}\;$».      L'intensité du courant délivré par la source est alors constante, après la discontinuité de 1^ère espèce à l'instant $\;0$, selon «$\;i(t)={\dfrac {E}{R_{1}}}={\dfrac {E}{R_{2}}}=E\,{\sqrt {\dfrac {C}{L}}}=cste\;\forall \;t\;$».

 

Établissement d'un équilibre électrique entre un condensateur chargé et un déchargé

     On charge un condensateur de capacité $\;C\;$ sous la tension $\;U$, et on relie ce condensateur ainsi chargé, puis isolé de la source de tension de charge, à un condensateur de capacité $\;C'$, initialement neutre, par l'intermédiaire d'un conducteur ohmique de résistance $\;R$.

Détermination des charges instantanées des condensateurs

     Déterminer les charges $\;q(t)\;$ et $\;q'(t)\;$ des deux condensateurs et

     en déduire l'intensité $\;i(t)\;$ du courant circulant dans le circuit.

Solution

Circuit de décharge $\;{\big (}$partielle${\big )}\;$ d'un condensateur initialement chargé de capacité $\;C\;$ dans un condensateur initialement déchargé de capacité $\;C'\;$ par l'intermédiaire d'un conducteur ohmique de résistance $\;R$

     Les deux armatures et le conducteur ohmique constituent un conducteur isolé du reste $\;{\big (}$partie encadrée sur le schéma ci-contre${\big )}\;$ $\Rightarrow$ conservation de la charge du conducteur isolé soit «$\;q(t)+q'(t)=cste=q(0^{+})+q'(0^{+})\;$» ou encore, les charges des condensateurs d'un circuit réel étant continues, «$\;q(t)+q'(t)=q(0^{-})+q'(0^{-})\;$» ;

     notant «$\;Q=C\,U\;$ la charge initiale du condensateur de capacité $\;C\;$», c'est-à-dire la valeur de $\;q(0^{-})$, $\;{\big [}$celle de $\;q'(0^{-})\;$ étant nulle${\big ]}$, la conservation de la charge du conducteur isolé correspondant à la partie encadrée sur le schéma ci-contre se réécrit «$\;q(t)+q'(t)=Q\;$» $\Rightarrow$ «$\;q'(t)=Q-q(t)\;$ relation $({\mathfrak {a}})\;$».

     Convention de charge pour$\;C'$ : «$\;i(t)={\dot {q'}}(t)\;$» et en dérivant la relation $({\mathfrak {a}})\;$ $\Rightarrow$ $\;{\dot {q'}}(t)=-{\dot {q}}(t)\;$ soit finalement «$\;i(t)=-{\dot {q}}(t)\;$».

     Loi de maille : «$\;{\dfrac {q(t)}{C}}-R\,i(t)-{\dfrac {q'(t)}{C'}}=0\;$» d'où l'équation en $\;q(t)\;$ en utilisant la relation $({\mathfrak {a}})\;$ ainsi que la définition de $\;i(t)\;$ relativement à $\;q(t)$
     Loi de maille : «$\;{\dfrac {q(t)}{C}}+R\,{\dot {q}}(t)-{\dfrac {Q-q(t)}{C'}}=0\;$» soit encore l'équation différentielle en $\;q(t)\;$ normalisée «$\;{\dot {q}}(t)+{\dfrac {1}{R}}\left({\dfrac {1}{C}}+{\dfrac {1}{C'}}\right)q(t)={\dfrac {Q}{R\,C'}}\;$».

     Réécriture de l'équation différentielle en$\;q(t)\;$normalisée : on simplifie l'équation en posant «$\;{\dfrac {1}{C_{\text{éq}}}}={\dfrac {1}{C}}+{\dfrac {1}{C'}}\;$» $\Leftrightarrow$ «$\;C_{\text{éq}}={\dfrac {C\,C'}{C+C'}}\;$», et
     Réécriture de l'équation différentielle en$\;\color {transparent}{q(t)}\;$normalisée : on simplifie l'équation en posant «$\;\tau _{\text{éq}}=R\,C_{\text{éq}}\;$» ainsi que «$\;\tau '=R\,C'\;$» d'où
     Réécriture de l'équation différentielle en$\;\color {transparent}{q(t)}\;$normalisée : la réécriture de l'équation différentielle en $\;q(t)\;$ normalisée «$\;{\dot {q}}(t)+{\dfrac {q(t)}{\tau _{\text{éq}}}}={\dfrac {Q}{\tau '}}\;$».

     Résolution de l'équation différentielle en$\;q(t)\;$normalisée : la solution de l'équation différentielle est de la forme «$\;q(t)=q_{l}(t)+q_{f}\;$» avec
     Résolution de l'équation différentielle en$\;\color {transparent}{q(t)}\;$normalisée : $\;q_{f}\;$ solution forcée de même forme que l'excitation c'est-à-dire constante $\Rightarrow$ «$\;q_{f}={\dfrac {\tau _{\text{éq}}}{\tau '}}\,Q\;$» ou «$\;q_{f}={\dfrac {C_{\text{éq}}}{C'}}\,Q={\dfrac {C}{C+C'}}\,Q\;$» et
     Résolution de l'équation différentielle en$\;\color {transparent}{q(t)}\;$normalisée : $\;q_{l}(t)\;$ solution libre vérifiant $\;{\dot {q}}_{l}(t)+{\dfrac {q_{l}(t)}{\tau _{\text{éq}}}}=0\;$ d'équation caractéristique $\;s+{\dfrac {1}{\tau _{\text{éq}}}}=0\;$ soit finalement «$\;q_{l}(t)=A\,\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau _{\text{éq}}}}\right)\;$» d'où
     Résolution de l'équation différentielle en$\;\color {transparent}{q(t)}\;$normalisée : la forme de la charge instantanée du condensateur initialement chargé «$\;q(t)=A\,\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau _{\text{éq}}}}\right)+{\dfrac {C}{C+C'}}\,Q\quad ({\mathfrak {b}})\;$» ;

     Solution en$\;q(t)\;$avec utilisation de C.I. : on détermine $\;A\;$ à l'aide de la C.I. nécessitant de connaître $\;q(0^{+})$, or $\;q(0^{+})=q(0^{-})\;$ d'où «$\;q(0^{+})=Q\;$» soit,
          Solution en$\;\color {transparent}{q(t)}\;$avec utilisation de C.I. : en reportant dans la relation $({\mathfrak {b}})$, $\;Q=A\,{\cancel {\exp \!\left(-{\dfrac {0}{\tau _{\text{éq}}}}\right)}}+{\dfrac {C}{C+C'}}\,Q\;$ $\Rightarrow$ «$\;A=\left(1-{\dfrac {C}{C+C'}}\right)\,Q={\dfrac {C'}{C+C'}}\,Q\;$» et par suite une 1^ère expression de $\;q(t)\;$ «$\;q(t)=Q\left[{\dfrac {C}{C+C'}}+{\dfrac {C'}{C+C'}}\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau _{\text{éq}}}}\right)\right]\;$»           Solution en$\;\color {transparent}{q(t)}\;$avec utilisation de C.I. : ou encore, en éliminant $\;Q\;$ au profit de la tension initiale de charge $\;U\;$ liée par $\;Q=C\,U$, une 2^ème expression de $\;q(t)\;$ «$\;q(t)={\dfrac {C+C'\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau _{\text{éq}}}}\right)}{C+C'}}\;C\,U\;$».      Solution en$\;q'(t)\;$ : On en déduit alors la charge instantanée $\;q'(t)\;$ du condensateur initialement déchargé à l'aide de la relation $\;q'(t)=Q-q(t)\;$ soit encore, en utilisant la 1^ère expression de $\;q(t)$,
     Solution en$\;\color {transparent}{q'(t)}\;$ : $\;q'(t)=Q-Q\left[{\dfrac {C}{C+C'}}+{\dfrac {C'}{C+C'}}\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau _{\text{éq}}}}\right)\right]=Q{\dfrac {C'}{C+C'}}-Q{\dfrac {C'}{C+C'}}\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau _{\text{éq}}}}\right)\;$ soit finalement une 1^ère expression de $\;q'(t)\;$ «$\;q'(t)=Q{\dfrac {C'}{C+C'}}\left[1-\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau _{\text{éq}}}}\right)\right]\;$»      Solution en$\;\color {transparent}{q'(t)}\;$ : ou encore, en éliminant $\;Q\;$ au profit de la tension initiale de charge $\;U\;$ liée par $\;Q=C\,U$, une 2^ème expression de $\;q'(t)\;$ «$\;q'(t)={\dfrac {C\,C'}{C+C'}}\,U\left[1-\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau _{\text{éq}}}}\right)\right]\;$».      Expression de$\;i(t)\;$ : pour obtenir $\;i(t)$, il suffit de dériver l'expression de $\;q'(t)\;$ et on obtient aisément $\;i(t)={\dot {q'}}(t)={\dfrac {C\,C'}{C+C'}}\,U\left[-{\dfrac {-1}{\tau _{\text{éq}}}}\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau _{\text{éq}}}}\right)\right]=$ $C_{\text{éq}}{\dfrac {1}{\tau _{\text{éq}}}}\,U\,\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau _{\text{éq}}}}\right)\;$ soit «$\;i(t)={\dfrac {U}{R}}\,\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau _{\text{éq}}}}\right)\;$».

     Remarque : On constate une discontinuité de 1^ère espèce de $\;i(t)\;$ à $\;t=0\;$ car $\;i(0^{+})={\dfrac {U}{R}}\;$ alors que $\;i(0^{-})=0$.

 

Détermination directe de l'intensité du courant

     Reprendre l'exercice en déterminant directement l'intensité $\;i(t)\;$ du courant circulant dans le circuit.

Solution

     Équation différentielle en$\;i(t)\;$ : même début, loi de maille $\;{\overset {\ldots }{\Rightarrow }}$ «$\;{\dfrac {q(t)}{C}}-R\,i(t)-{\dfrac {q'(t)}{C'}}=0\;$», que l'on dérive par rapport au temps $\Rightarrow$ «$\;{\dfrac {{\dot {q}}(t)}{C}}-R\,{\dfrac {di}{dt}}(t)-{\dfrac {{\dot {q'}}(t)}{C'}}=0\;$» ou encore,
     Équation différentielle en$\;\color {transparent}{i(t)}\;$ : avec le lien entre $\;{\dot {q}}(t),\;{\dot {q'}}(t)\;$ et $\;i(t)$, à savoir «$\;i(t)={\dot {q'}}(t)=-{\dot {q}}(t)\;$», permettant d'éliminer $\;{\dot {q}}(t)\;$ et $\;{\dot {q'}}(t)$, $\Rightarrow$ «$\;{\dfrac {-i(t)}{C}}-R\,{\dfrac {di}{dt}}(t)-{\dfrac {i(t)}{C'}}=0\;$» et finalement
     Équation différentielle en$\;\color {transparent}{i(t)}\;$ : on obtient la forme normalisée de l'équation différentielle en $\;i(t)$ «$\;{\dfrac {di}{dt}}(t)+{\dfrac {1}{R}}\left({\dfrac {1}{C}}+{\dfrac {1}{C'}}\right)i(t)=0\;$» ou,
     Équation différentielle en$\;\color {transparent}{i(t)}\;$ : on obtient avec introduction de la constante de temps $\;\tau _{\text{éq}}\;$ telle que $\;{\dfrac {1}{\tau _{\text{éq}}}}={\dfrac {1}{R}}\left({\dfrac {1}{C}}+{\dfrac {1}{C'}}\right)\;$ $\Rightarrow$ «$\;\tau _{\text{éq}}=R\;{\dfrac {C\,C'}{C+C'}}\;$», «$\;{\dfrac {di}{dt}}(t)+{\dfrac {1}{\tau _{\text{éq}}}}i(t)=0\;$».

Circuit de décharge $\;{\big (}$partielle${\big )}\;$ d'un condensateur initialement chargé de capacité $\;C\;$ dans un condensateur initialement déchargé de capacité $\;C'\;$ par l'intermédiaire d'un conducteur ohmique de résistance $\;R\;$ à l'instant $\;0^{+}$

     Résolution de l'équation différentielle en$\;i(t)\;$normalisée : la solution de l'équation différentielle s'identifie à la solution libre «$\;i(t)=A'\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau _{\text{éq}}}}\right)\;$» ;
     Résolution de l'équation différentielle en$\;\color {transparent}{i(t)}\;$normalisée : il reste alors à déterminer $\;A'\;$ à l'aide de la C.I. c'est-à-dire la valeur de $\;i(0^{+})\;$ et,
     Résolution de l'équation différentielle en$\;\color {transparent}{i(t)}\;$normalisée : il reste alors à déterminer $\;\color {transparent}{A'}\;$ celle-ci ne résultant pas d'une continuité de grandeur dans un circuit réel,
     Résolution de l'équation différentielle en$\;\color {transparent}{i(t)}\;$normalisée : il reste alors à déterminer $\;\color {transparent}{A'}\;$ nous la cherchons par circuit à $\;0^{+}\;$ dans lequel nous remplaçons les deux condensateurs par leur modèle équivalent à $\;0^{+}\;$ d'où le circuit à $\;0^{+}\;$ ci-contre :

     Résolution de l'équation différentielle en$\;\color {transparent}{i(t)}\;$normalisée : il reste alors à déterminer $\;\color {transparent}{A'}\;$ on retrouve $\;U\;$ aux bornes du conducteur ohmique de résistance $\;R\;$ et par application de la loi d'Ohm on en déduit la valeur de l'intensité initiale $\;i(0^{+})\;$ du courant dans le circuit
     Résolution de l'équation différentielle en$\;\color {transparent}{i(t)}\;$normalisée : il reste alors à déterminer $\;\color {transparent}{A'}\;$ «$\;i(0^{+})={\dfrac {U}{R}}\;$» égale à $\;i(0^{+})=A'{\cancel {\exp \!\left(-{\dfrac {0}{\tau _{\text{éq}}}}\right)}}\;$ $\Rightarrow$ «$\;A'={\dfrac {U}{R}}\;$»
     Résolution de l'équation différentielle en$\;\color {transparent}{i(t)}\;$normalisée : et finalement «$\;i(t)={\dfrac {U}{R}}\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau _{\text{éq}}}}\right)\;$».

     Remarque : On obtient évidemment le même résultat que dans la solution de la question précédente $\;{\big (}$de façon plus rapide${\big )}\;$ et
     Remarque : on vérifie la présence d'une discontinuité de 1^ère espèce de $\;i(t)\;$ à $\;t=0\;$ car $\;i(0^{+})={\dfrac {U}{R}}\;$ alors que $\;i(0^{-})=0$.

 

Oscillations de relaxation d'une lampe au néon

Circuit d'oscillations de relaxation d'une lampe au néon $\;{\big (}$de tension d'allumage $\;V_{a}$, de tension d'extinction $\;V_{e}\;$ et de résistance dynamique $\;\rho {\big )}\;$ générées par la charge et la décharge d'un condensateur de capacité $\;C\;$ soumis, à travers un conducteur ohmique de résistance $\;R$, à un échelon de tension d'amplitude $\;E$

     Notions préliminaires sur une lampe au néon :

• une ampoule au néon ne s'allume que si la tension $\;u(t)\;$ à laquelle elle est soumise est $\;>\;$ à sa tension d'allumage $\;V_{a}$, soit «$\;u(t)>V_{a}\;$», la lampe allumée étant alors équivalente à une résistance dynamique $\;\rho$ ;
• l'ampoule au néon ne s'éteint que si la tension $\;u(t)\;$ à laquelle elle est soumise devient $\;<\;$ à sa tension d'extinction $\;V_{e}$, soit «$\;u(t)<V_{e}\;$», la lampe éteinte étant équivalente à un interrupteur ouvert.

     On considère le circuit ci-contre dans lequel on ferme l'interrupteur $\;K\;$ à $\;t=0\;$, le condensateur étant déchargé pour $\;t<0$.

Étude d'une 1^ère phase de fonctionnement de la lampe et condition sur E pour qu'elle s'allume

     À $\;t=0\;$ la lampe étant éteinte, le condensateur se charge alors à travers le conducteur ohmique de résistance $\;R$ ;
     À $\;\color {transparent}{t=0}\;$ la lampe étant éteinte, déterminer la loi de variation de la tension $\;u(t)\;$ aux bornes du condensateur en fonction du temps
     À $\;\color {transparent}{t=0}\;$ la lampe étant éteinte, déterminer la loi de variation de la tension $\;\color {transparent}{u(t)}\;$ dans l'hypothèse où la lampe reste éteinte ;

     À $\;\color {transparent}{t=0}\;$ la lampe étant éteinte, en déduire une condition sur l'amplitude $\;E\;$ de l'échelon de tension pour que la lampe s'allume à la fin de cette phase et
     À $\;\color {transparent}{t=0}\;$ la lampe étant éteinte, dans l'hypothèse où cette condition est réalisée, déterminer la durée $\;\Delta t_{1}\;$ de cette 1^ère phase.

Solution

     Il s'agit d'un simple circuit $\;R\,C\;$ série soumis à un échelon de tension $\;e(t)=E\,Y(t)\;$ dont l'équation différentielle en $\;u(t)\;$ est «$\;R\,C\,{\dot {u}}+u=E\quad {\text{pour }}t>0\;$» ;

         Il s'agit d'un simple circuit $\;\color {transparent}{R\,C}\;$ série soumis à un échelon de tension $\;\color {transparent}{e(t)=E\,Y(t)}\;$ l'instant initial correspondant à la fermeture de $\;K$, cette phase perdurera tant que $\;u(t)<V_{a}\;$.

     Solution de l'équation différentielle en$\;u(t)$ : «$\;u(t)=u_{f}+u_{l}(t)=E+A\,\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\;$» avec «$\;\tau =R\,C\;$ constante de temps du $\;R\,C\;$ série » et $\;A\;$ constante réelle d'intégration à déterminer par C.I. ;

     Solution de l'équation différentielle en$\;\color {transparent}{u(t)}$ : C.I. utilisant la continuité de la tension $\;u(t)\;$ aux bornes d'un condensateur dans un circuit résistif soit $\;u(0^{+})=u(0^{-})=0\;$
          Solution de l'équation différentielle en$\;\color {transparent}{u(t)}$ : C.I. d'où $\;E+A\,{\cancel {\exp \!\left(-{\dfrac {0}{\tau }}\right)}}=0\;$ $\Rightarrow$ «$\;A=-E\;$» et par suite
     Solution de l'équation différentielle en$\;\color {transparent}{u(t)}$ : l'équation valable jusqu'à l'éventuel allumage de la lampe au néon s'écrit «$\;u(t)=E\left[1-\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\right]\;$».

     Condition sur$\;E\;$pour que la lampe au néon s'allume : $\;u(t)\;$ étant une fonction continue $\;\nearrow \;$ de $\;0\;$ jusqu'à $\;\lim \limits _{t\rightarrow \infty }u(t)=E\;$ $\Rightarrow$ la lampe au néon s'allumera si l'amplitude de l'échelon de tension est $\;>\;$ à la tension d'allumage de la lampe c'est-à-dire si «$\;E>V_{a}\;$» $\;{\big (}$par utilisation du théorème des valeurs intermédiaires${\big )}$.

     Durée$\;\Delta t_{1}\;$de la 1^ère phase sous condition précédente : sous cette condition l'expression de la tension $\;u(t)\;$ reste valable jusqu'à l'instant $\;t_{1}\;$ tel que $\;E\left[1-\exp \!\left(-{\dfrac {t_{1}}{\tau }}\right)\right]=V_{a}\;$ $\Rightarrow$ «$\;t_{1}=\tau \,\ln \!\left({\dfrac {E}{E-V_{a}}}\right)\;$»,
     Durée$\;\color {transparent}{\Delta t_{1}}\;$de la 1^ère phase sous condition précédente : sous cette condition l'expression de la tension $\;\color {transparent}{u(t)}\;$ reste valable jusqu'à l'instant $\;\color {transparent}{t_{1}}\;$ date à partir de laquelle la lampe au néon s'allume ;
     Durée$\;\color {transparent}{\Delta t_{1}}\;$de la 1^ère phase sous condition précédente : sous cette condition la durée de la 1^ère phase est donc «$\;\Delta t_{1}=\tau \,\ln \!\left({\dfrac {E}{E-V_{a}}}\right)\;$».

 

Étude d'une 2^ème phase de fonctionnement de la lampe et choix de (E, R) pour qu'elle s'éteigne

     La lampe s'allumant à la fin de la phase précédente, on étudie cette 2^ème phase et pour cela on fait un changement d'origine des temps $\;t'=t-\Delta t_{1}$ ;

     La lampe s'allumant à la fin de la phase précédente, faire un schéma équivalent correspondant à la lampe au néon allumée et

     La lampe s'allumant à la fin de la phase précédente, déterminer la loi de variation de la tension $\;u(t')\;$ en fonction du temps dans l'hypothèse où la lampe reste allumée ;

     La lampe s'allumant à la fin de la phase précédente, en déduire une condition sur le choix de $\;(E,\,R)\;$ pour que la lampe s'éteigne et
     La lampe s'allumant à la fin de la phase précédente, dans l'hypothèse où cette condition est réalisée, déterminer la durée $\;\Delta t'_{2}\;$ de cette 2^ème phase.

Solution

Circuit d'oscillations de relaxation d'une lampe au néon dans la phase de décharge d'un condensateur de capacité $\;C\;$ soumis, à travers un conducteur ohmique de résistance $\;R$, à un échelon de tension d'amplitude $\;E$, la lampe au néon étant allumée

     L'instant initial de cette 2^ème phase correspondant à l'allumage de la lampe au néon $\;{\bigg [}$correspondant à $\;t_{1}=\tau \,\ln \!\left({\dfrac {E}{E-V_{a}}}\right){\bigg ]}$,
     L'instant initial de cette 2^ème phase on y repère la date à partir de ce nouvel instant initial soit «$\;t'=t-t_{1}\;$»,
     L'instant initial de cette 2^ème phase cette phase perdurera tant que $\;u(t')>V_{e}\;$ en-deçà de laquelle la lampe s'éteint.

     Le circuit équivalent est représenté ci-contre $\;{\big (}$1^er schéma${\big )}$,
     on met en évidence, aux bornes du condensateur, un P.D.T. en permutant $\;\rho \;$ et $\;C\;$ $\;{\big (}$2^ème schéma au-dessous du 1^er${\big )}\;$ et
     on en prend alors le générateur de Thévenin équivalent de f.e.m. $\;{\big (}$de Thévenin${\big )}$ $\;e_{\text{Th}}={\dfrac {\rho }{\rho +R}}\,E\;$ et
           on en prend alors le générateur de Thévenin équivalent de résistance $\;{\big (}$de Thévenin${\big )}$ $\;r_{\text{Th}}={\dfrac {\rho \,R}{\rho +R}}\;$
           on en prend alors le générateur de Thévenin équivalent d'où le 3^ème schéma équivalent ci-contre à droite du 2^ème ;

     on obtient alors un simple $\;R\,C\;$ série soumis à un échelon de tension $\;{\big (}$mais avec un condensateur initialement chargé${\big )}\;$ dont l'équation différentielle est «$\;r_{\text{Th}}\,C\,{\dot {u}}(t)+u(t)=e_{\text{Th}}\quad {\text{pour }}t'>0\;$».

     Solution de l'équation différentielle en$\;u(t')$ : «$\;u(t')=u_{f}+u_{l}(t')=e_{\text{Th}}+A'\,\exp \!\left(-{\dfrac {t'}{\tau '}}\right)\;$» avec
     Solution de l'équation différentielle en$\;\color {transparent}{u(t')}$ : «$\;\tau '=r_{\text{Th}}\,C\;$ constante de temps du nouveau $\;R\,C\;$ série » et
     Solution de l'équation différentielle en$\;\color {transparent}{u(t')}$ : «$\;A'\;$ constante réelle d'intégration » à déterminer par C.I. ;

     Solution de l'équation différentielle en$\;\color {transparent}{u(t')}$ : C.I. utilisant la continuité de la tension $\;u(t)\;$ aux bornes d'un condensateur dans un circuit résistif soit $\;u(t'=0^{+})=u(t'=0^{-})=V_{a}\;$ d'où $\;e_{\text{Th}}+A'\,{\cancel {\exp \!\left(-{\dfrac {0}{\tau }}\right)}}=V_{a}\;$ $\Rightarrow$ «$\;A'=V_{a}-e_{\text{Th}}\;$» et par suite
     Solution de l'équation différentielle en$\;\color {transparent}{u(t')}$ : l'équation valable jusqu'à l'éventuelle extinction de la lampe au néon s'écrit «$\;u(t')=e_{\text{Th}}+\left(V_{a}-e_{\text{Th}}\right)\exp \!\left(-{\dfrac {t'}{\tau '}}\right)\;$».

     Condition sur$\;(E\;,\;R)\;$pour que la lampe au néon s'éteigne : une C.N. pour que la lampe s'éteigne est que $\;u(t)\;$ soit $\;\searrow \;$ et pour cela il faut que $\;e_{\text{Th}}={\dfrac {\rho }{\rho +R}}\,E\;$ soit $\;<\;$ à la tension d'allumage $\;V_{a}\;$ soit
            Condition sur$\;\color {transparent}{(E\;,\;R)}\;$pour que la lampe au néon s'éteigne : une C.N. pour que la lampe s'éteigne est que «$\;{\dfrac {\rho }{\rho +R}}\,E<V_{a}\;$» ; dans ce cas
     Condition sur$\;\color {transparent}{(E\;,\;R)}\;$pour que la lampe au néon s'éteigne : $u(t)\;$ étant une fonction continue $\;\searrow \;$ de $\;V_{a}\;$ jusqu'à $\;\lim \limits _{t'\rightarrow \infty }u(t')=e_{\text{Th}}\;$ $\Rightarrow$ la lampe au néon s'éteindra si la f.e.m. de Thévenin est $\;<\;$ à la tension d'extinction de la lampe c'est-à-dire si «$\;e_{\text{Th}}={\dfrac {\rho }{\rho +R}}\,E<V_{e}\;$» $\;{\big (}$par utilisation du théorème des valeurs intermédiaires${\big )}$ ;
     Condition sur$\;\color {transparent}{(E\;,\;R)}\;$pour que la lampe au néon s'éteigne : en conclusion la lampe au néon s'éteindra dans cette 2^ème phase pour $\;E<\left(1+{\dfrac {R}{\rho }}\right)V_{e}\;$ soit encore «$\;E<V_{e}+R{\dfrac {V_{e}}{\rho }}\;$».

     Remarque : pour que la lampe au néon s'allume il est nécessaire d'avoir $\;E>V_{a}\;$ et
     Remarque : pour qu'elle s'éteigne il est nécessaire d'avoir                        $\;E<V_{e}+R{\dfrac {V_{e}}{\rho }}$,
     Remarque : cette 2^ème condition n'est compatible avec la 1^ère que si on a «$\;V_{e}+R{\dfrac {V_{e}}{\rho }}>V_{a}\;$» ce qui nécessite «$\;R>\rho {\dfrac {V_{a}-V_{e}}{V_{e}}}\;$».

     Durée$\;\Delta {t'}_{2}\;$de la 2^ème phase sous condition précédente : avec $\;E<V_{e}+R{\dfrac {V_{e}}{\rho }}$, l'expression de la tension $\;u(t')\;$ reste valable jusqu'à l'instant $\;{t'}_{2}\;$ tel que $\;e_{\text{Th}}+\left(V_{a}-e_{\text{Th}}\right)\exp \!\left(-{\dfrac {t'_{2}}{\tau '}}\right)=V_{e}\;$ c'est-à-dire
  Durée$\;\color {transparent}{\Delta {t'}_{2}}\;$de la 2^ème phase sous condition précédente : avec $\;\color {transparent}{E<V_{e}+R{\dfrac {V_{e}}{\rho }}}$, l'expression de la tension $\;\color {transparent}{u(t')}\;$ reste valable jusqu'à l'instant «$\;{t'}_{2}=\tau '\,\ln \!\left({\dfrac {V_{a}-e_{\text{Th}}}{V_{e}-e_{\text{Th}}}}\right)\;$»,
     Durée$\;\color {transparent}{\Delta {t'}_{2}}\;$de la 2^ème phase sous condition précédente : avec $\;\color {transparent}{E<V_{e}+R{\dfrac {V_{e}}{\rho }}}$, l'expression de la tension $\;\color {transparent}{u(t')}\;$ reste valable jusqu'à l'instant date à partir de laquelle la lampe au néon s'éteint ;

     Durée$\;\color {transparent}{\Delta {t'}_{2}}\;$de la 2^ème phase sous condition précédente : avec $\;\color {transparent}{E<V_{e}+R{\dfrac {V_{e}}{\rho }}}$, la durée de cette 2^ème phase est donc «$\;\Delta {t'}_{2}=\tau '\,\ln \!\left({\dfrac {V_{a}-e_{\text{Th}}}{V_{e}-e_{\text{Th}}}}\right)\;$» ou,
     Durée$\;\color {transparent}{\Delta {t'}_{2}}\;$de la 2^ème phase sous condition précédente : avec $\;\color {transparent}{E<V_{e}+R{\dfrac {V_{e}}{\rho }}}$, en reportant les expressions de $\;e_{\text{Th}}={\dfrac {\rho }{\rho +R}}\,E\;$ et $\;r_{\text{Th}}={\dfrac {\rho \,R}{\rho +R}}$,
     Durée$\;\color {transparent}{\Delta {t'}_{2}}\;$de la 2^ème phase sous condition précédente : avec $\;\color {transparent}{E<V_{e}+R{\dfrac {V_{e}}{\rho }}}$, la durée de cette phase se réécrit «$\;\Delta t'_{2}={\dfrac {\rho \,R}{\rho +R}}\,C\,\ln \!\left({\dfrac {V_{a}-{\dfrac {\rho }{\rho +R}}\,E}{V_{e}-{\dfrac {\rho }{\rho +R}}\,E}}\right)\;$» soit finalement
     Durée$\;\color {transparent}{\Delta {t'}_{2}}\;$de la 2^ème phase sous condition précédente : avec $\;\color {transparent}{E<V_{e}+R{\dfrac {V_{e}}{\rho }}}$, la durée de cette phase se réécrit «$\;\Delta {t'}_{2}={\dfrac {\rho \,R}{\rho +R}}\,C\,\ln \!\left[{\dfrac {(\rho +R)\,V_{a}-\rho \,E}{(\rho +R)\,V_{e}-\rho \,E}}\right]\;$».

 

Étude d'une 3^ème phase de fonctionnement de la lampe et durée de cette 3^ème phase

     La lampe s'éteignant à la fin de la phase précédente, on étudie cette 3sup>ème phase et pour cela on fait un nouveau changement d'origine des temps définissant $\;t''=t'-\Delta {t'}_{2}$ ;

     La lampe s'éteignant à la fin de la phase précédente, déterminer la loi de variation de la tension $\;u(t'')\;$ en fonction du temps dans l'hypothèse où la lampe reste éteinte puis

     La lampe s'éteignant à la fin de la phase précédente, déterminer la durée $\;\Delta {t''}_{3}\;$ de cette 3^ème phase.

Solution

     L'instant initial de cette 3^ème phase correspondant à l'extinction précédente de la lampe au néon $\;{\bigg [}$correspondant à $\;t_{2}=t_{1}+{t'}_{2}=\tau \,\ln \!\left({\dfrac {E}{E-V_{a}}}\right)+\tau '\,\ln \!\left({\dfrac {V_{a}-e_{\text{Th}}}{V_{e}-e_{\text{Th}}}}\right){\bigg ]}$,

     L'instant initial de cette 3^ème phase on y repère la date à partir de ce nouvel instant initial soit «$\;t''=t'-{t'}_{2}=t-(t_{1}+{t'}_{2})\;$»,
L'instant initial de cette 3^ème phase cette nouvelle phase perdurera tant que $\;u(t'')<V_{a}\;$ au-delà de laquelle la lampe s'allumera.

     Il s'agit du même circuit que pour la 1^ère phase $\;{\big (}$mais avec un condensateur initialement chargé${\big )}\;$ dont l'équation différentielle est «$\;R\,C\,{\dot {u}}(t'')+u(t'')=E\quad {\text{pour }}t''>0\;$».

     Solution de l'équation différentielle en$\;u(t'')$ : «$\;u(t'')=u_{f}+u_{l}(t'')=E+A''\,\exp \!\left(-{\dfrac {t''}{\tau }}\right)\;$» avec «$\;\tau =R\,C\;$ constante de temps du $\;R\,C\;$ série » et $\;A''\;$ constante réelle d'intégration à obtenir par C.I. ;

     Solution de l'équation différentielle en$\;\color {transparent}{u(t'')}$ : C.I. utilisant la continuité de la tension $\;u(t'')\;$ aux bornes d'un condensateur dans un circuit résistif soit $\;u(t''=0^{+})=u(t''=0^{-})=V_{e}\;$
          Solution de l'équation différentielle en$\;\color {transparent}{u(t'')}$ : C.I. d'où $\;E+A''\,{\cancel {\exp \!\left(-{\dfrac {0}{\tau }}\right)}}=V_{e}\;$ $\Rightarrow$ «$\;A''=V_{e}-E\;$» et par suite
     Solution de l'équation différentielle en$\;\color {transparent}{u(t'')}$ : l'équation valable jusqu'au nouvel allumage de la lampe au néon s'écrit «$\;u(t'')=E-(E-V_{e})\exp \!\left(-{\dfrac {t''}{\tau }}\right)\;$» ;

     Durée$\;\Delta {t''}_{3}\;$de la 3^ème phase : l'expression de la tension $\;u(t'')\;$ reste valable jusqu'à l'instant $\;{t''}_{3}\;$ tel que $\;E-(E-V_{e})\exp \!\left(-{\dfrac {t''_{3}}{\tau }}\right)=V_{a}\;$ $\Rightarrow$ «$\;{t''}_{3}=\tau \,\ln \!\left({\dfrac {E-V_{e}}{E-V_{a}}}\right)\;$»,
     Durée$\;\color {transparent}{\Delta {t''}_{3}}\;$de la 3^ème phase : l'expression de la tension $\;\color {transparent}{u(t'')}\;$ reste valable jusqu'à l'instant $\;\color {transparent}{{t''}_{3}}\;$ date à partir de laquelle la lampe au néon s'allume de nouveau ;
     Durée$\;\color {transparent}{\Delta {t''}_{3}}\;$de la 3^ème phase : la durée de cette 3^ème phase est donc «$\;\Delta {t''}_{3}=\tau \,\ln \!\left({\dfrac {E-V_{e}}{E-V_{a}}}\right)\;$».

 

Oscillations de relaxation de la lampe au néon et explicitation de leur période

     La phase succédant à la 3^ème phase s'identifiant à la 2^ème phase et celle-ci étant suivie par la 3^ème phase on observe, après une 1^ère phase d'initiation,
     La phase succédant à la 3^ème phase s'identifiant à la 2^ème phase et celle-ci étant suivie par la 3^ème phase on observe, une succession périodique de 2^ème et 3^ème phases ;

     La phase succédant à la 3^ème phase s'identifiant à la 2^ème phase et celle-ci étant suivie par la 3^ème phase déduire de ce qui précède la période $\;T\;$ des oscillations de relaxation de la lampe au néon et

     La phase succédant à la 3^ème phase s'identifiant à la 2^ème phase et celle-ci étant suivie par la 3^ème phase tracer l'allure du graphe de la tension $\;u(t)\;$ avec les valeurs numériques ci-dessous :

     La phase succédant à la 3^ème phase s'identifiant à la 2^ème phase et celle-ci étant suivie par la 3^ème phase A.N. : $\;V_{a}=100\,V$, $\;V_{e}=80\,V$, $\;\rho =100\,\Omega$, $\;E=150\,V$, $\;R=100\,\Omega \;$ et $\;C=1\,mF$.

Solution

Diagramme horaire des oscillations de relaxation d'une lampe au néon $\;{\big (}$de tension d'allumage $\;V_{a}=100,V$, de tension d'extinction $\;V_{e}=80\,V\;$ et de résistance dynamique $\;\rho =100\,\Omega {\big )}\;$ générées par la charge et la décharge d'un condensateur de capacité $\;C=1\,mF\;$ soumis, à travers un conducteur ohmique de résistance $\;R=100\,\Omega$, à un échelon de tension d'amplitude $\;E=150\,V$

     À la date «$\;t_{1}=\tau \,\ln \!\left({\dfrac {E}{E-V_{a}}}\right)\;$» $\;{\big (}$avec $\;\tau =R\,C=100\times 10^{-3}=0,1\,s=100\,ms{\big )}\;$ soit
     À la date «$\;t_{1}=100\times \ln \!\left({\dfrac {150}{150-100}}\right)\simeq 109,9\;ms\;$»,
     À la date «$\;\color {transparent}{t_{1}}\;$ nous obtenons une succession périodique de 2^ème et 3^ème phases correspondant à des oscillations de relaxation dont la période est la somme des durées de chacune des 2^ème et 3^ème phases $\;{\big [}$voir l'allure du graphe de $\;u(t)\;$ ci-contre${\big ]}$,

     À la date «$\;\color {transparent}{t_{1}}\;$ la 2^ème phase étant de durée «$\;\Delta {t'}_{2}=\tau '\,\ln \!\left({\dfrac {V_{a}-e_{\text{Th}}}{V_{e}-e_{\text{Th}}}}\right)\;$» $\;{\bigg (}\!$avec $\;\tau '=r_{\text{Th}}\,C$,
     À la date «$\;\color {transparent}{t_{1}}\;$ la 2^ème phase étant de durée «$\;\color {transparent}{\Delta {t'}_{2}=\tau '\,\ln \!\left({\dfrac {V_{a}-e_{\text{Th}}}{V_{e}-e_{\text{Th}}}}\right)}\;$» $\;\color {transparent}{{\bigg (}\!}$avec $\;r_{\text{Th}}={\dfrac {\rho \,R}{\rho +R}}={\dfrac {100\times 100}{100+100}}=50\,\Omega \;$ d'où
     À la date «$\;\color {transparent}{t_{1}}\;$ la 2^ème phase étant de durée «$\;\color {transparent}{\Delta {t'}_{2}=\tau '\,\ln \!\left({\dfrac {V_{a}-e_{\text{Th}}}{V_{e}-e_{\text{Th}}}}\right)}\;$» $\;\color {transparent}{{\bigg (}\!}$avec $\;\tau '=50\times 10^{-3}=0,05\,s=50\,ms\;$ et
     À la date «$\;\color {transparent}{t_{1}}\;$ la 2^ème phase étant de durée «$\;\color {transparent}{\Delta {t'}_{2}=\tau '\,\ln \!\left({\dfrac {V_{a}-e_{\text{Th}}}{V_{e}-e_{\text{Th}}}}\right)}\;$» $\;\color {transparent}{{\bigg (}\!}$avec $\;e_{\text{Th}}={\dfrac {\rho }{\rho +R}}\,E={\dfrac {100}{100+100}}\times 150$ c'est-à-dire
     À la date «$\;\color {transparent}{t_{1}}\;$ la 2^ème phase étant de durée «$\;\color {transparent}{\Delta {t'}_{2}=\tau '\,\ln \!\left({\dfrac {V_{a}-e_{\text{Th}}}{V_{e}-e_{\text{Th}}}}\right)}\;$» $\;\color {transparent}{{\bigg (}\!}$avec $\;e_{\text{Th}}=75\,V{\bigg )}\;$ soit
     À la date «$\;\color {transparent}{t_{1}}\;$ la 2^ème phase étant de durée «$\;\Delta {t'}_{2}=50\times \ln \!\left({\dfrac {100-75}{80-75}}\right)\simeq 80,5\;ms\;$» et

     À la date «$\;\color {transparent}{t_{1}}\;$ la 3^ème phase de durée «$\;\Delta {t''}_{3}=\tau \,\ln \!\left({\dfrac {E-V_{e}}{E-V_{a}}}\right)\;$» $\;{\big (}$avec $\;\tau =R\,C=100\times 10^{-3}=0,1\,s=100\,ms{\big )}\;$ soit
     À la date «$\;\color {transparent}{t_{1}}\;$ la 3^ème phase de durée «$\;\Delta {t''}_{3}=100\times \ln \!\left({\dfrac {150-80}{150-100}}\right)\simeq 33,6\;ms\;$» ;

     À la date «$\;\color {transparent}{t_{1}}\;$ la 2^ème phase s'étend donc entre les instants $\;t_{1}\simeq 109,9\;ms\;$ et $\;t_{2}=t_{1}+\Delta {t'}_{2}\simeq 109,9+80,5\simeq 190,4\;ms$ et

     À la date «$\;\color {transparent}{t_{1}}\;$ la 3^ème phase s'étend donc entre les instants $\;t_{2}\simeq 190,4\;ms\;$ et $\;t_{3}=t_{2}+\Delta {t''}_{3}\simeq 190,4+33,6\simeq 224,0\;ms$.

 

Application numérique

     Calculer la période $\;T\;$ avec les valeurs numériques du paragraphe précédent : $\;V_{a}=100\,V$, $\;V_{e}=80\,V$, $\;\rho =100\,\Omega$, $\;E=150\,V$, $\;R=100\,\Omega \;$ et $\;C=1\,mF$.

Solution

     Calcul de la période $\;T\;$ dans le cas où $\;V_{a}=100\,V$, $\;V_{e}=80\,V$, $\;\rho =100\,\Omega$, $\;E=150\,V$, $\;R=100\,\Omega \;$ et $\;C=1\,mF$ :

    Calcul de la période«$\;T=\Delta {t'}_{2}+\Delta {t''}_{3}={\dfrac {\rho \,R}{\rho +R}}\,C\,\ln \!\left[{\dfrac {(\rho +R)\,V_{a}-\rho \,E}{(\rho +R)\,V_{e}-\rho \,E}}\right]+\tau \,\ln \!\left({\dfrac {E-V_{e}}{E-V_{a}}}\right)\simeq 80,5+33,6\simeq 114,1\;ms\;$»

 

Changement d'état d'un circuit avec condensateurs parfaits

Charge et intensité du courant de charge de chaque condensateur d'une batterie « série et parallèle »

Schéma d'une batterie de condensateurs parfaits $\;{\big (}$initialement déchargés${\big )}\;$ en charge, à travers un conducteur ohmique de résistance $\;R$, sous une tension $\;U_{0}$

     À la date $\;t=0$, on établit la tension $\;U_{0}\;$ dans le circuit ci-contre, les condensateurs étant initialement déchargés ;

     exprimer les charges instantanées des divers condensateurs en fonction du temps. puis

     en déduire, également en fonction du temps, les intensités instantanées de chaque courant de charge de ces condensateurs.

     Propriété préliminaire pour simplifier la résolution : $\succ \;$association $\;\parallel \;$ de deux condensateurs parfaits de capacité $\;C_{1}\;$ et $\;C_{2}\;$
           Propriété préliminaire pour simplifier la résolution : $\color {transparent}{\succ }\;$équivalente à un condensateur parfait de capacité équivalente $\;C_{\text{éq}}=C_{1}+C_{2}\;$ ;
           Propriété préliminaire pour simplifier la résolution : $\succ \;$association série de deux condensateurs parfaits de capacité $\;C_{1}\;$ et $\;C_{2}\;$
           Propriété préliminaire pour simplifier la résolution : $\color {transparent}{\succ }\;$équivalente à un condensateur parfait de capacité équivalente $\;C_{\text{éq}}={\dfrac {C_{1}\;C_{2}}{C_{1}+C_{2}}}\;$

Solution

Schéma d'une batterie de condensateurs parfaits $\;{\big (}$initialement déchargés${\big )}\;$ en charge, à travers un conducteur ohmique de résistance $\;R$, sous une tension $\;U_{0}\;$ avec définition des charges et intensité des courants instantanées

     Les condensateurs étant initialement déchargés, on peut leur appliquer les lois d'association rappelées dans le texte de la question :

• les deux condensateurs parfaits $\;({\mathfrak {1}})\;$ et $\;({\mathfrak {2}})\;$ étant montés en $\;\parallel$, leur association est équivalente à un condensateur parfait unique de capacité équivalente «$\;C_{1,\,2}$ $=C_{1}+C_{2}=2\,C\;$» ;
• ce dernier étant monté en série avec le 3^ème, leur association série est équivalente à un condensateur parfait unique de capacité équivalente «$\;C_{\text{éq}}=$ ${\dfrac {C_{1,\,2}\,C_{3}}{C_{1,\,2}+C_{3}}}={\dfrac {2\,C^{2}}{2\,C+C}}={\dfrac {2\,C}{3}}\;$» ;

     la charge instantanée du 3^ème condensateur étant notée $\;q(t)$,
charge instantanéecelle de l'association $\;\parallel \;$ des deux 1^ers de capacité équivalente $\;C_{1,\,2}\;$ est également $\;q(t)\;$, avec $\;q(t)=q_{1}(t)+q_{2}(t)$, et
charge instantanée celle de l'association $\;\color {transparent}{\parallel }\;$ des deux 1^erscomme il y a symétrie entre $\;({\mathfrak {1}})\;$ et $\;({\mathfrak {2}})\;$ $\Rightarrow$ $\;q_{1}(t)=q_{2}(t)\;$ de valeur commune $\;{\dfrac {q(t)}{2}}$ ; enfin

     le 3^ème condensateur et l'association $\;\parallel \;$ des deux 1^ers étant en série et de charge individuelle $\;q(t)$, celle du condensateur équivalent de capacité équivalente $\;C_{\text{éq}}\;$ est aussi $\;q(t)\;$.

     Nous obtenons alors un circuit $\;R\,C_{\text{éq}}\;$ série soumis à un échelon de tension d'amplitude $\;U_{0}$, l'instant $\;t=0\;$ étant celui de fermeture du circuit avec le condensateur de capacité $\;C_{\text{éq}}\;$ initialement déchargé, d'où
     Nous obtenons l'équation différentielle en $\;q(t)\;$ $\;R\,{\dot {q}}(t)+{\dfrac {1}{C_{\text{éq}}}}\,q(t)=U_{0}\;Y(t)\;$ ou, sous forme normalisée, «$\;{\dot {q}}(t)+{\dfrac {1}{R\,C_{\text{éq}}}}\,q(t)={\dfrac {U_{0}}{R}}\;Y(t)\;$» ;
     Nous obtenons la solution de l'équation différentielle du circuit équivalent est de la forme «$\;q(t)=C_{\text{éq}}\;U_{0}+A\,\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau _{\text{éq}}}}\right)\;$» avec $\;\tau _{\text{éq}}=R\,C_{\text{éq}}\;$ et $\;A\;$ constante réelle d'intégration se déterminant par utilisation de la C.I. à savoir $\;q(0^{+})=0\;$ ${\big [}$continuité de la charge d'un condensateur dans un circuit « réel » $\;q(0^{+})=q(0^{-})\;$ et caractère déchargé du condensateur dans son état initial $\;q(0^{-})=0{\big ]}\;$ d'où $\;C_{\text{éq}}\;U_{0}+A=0\;$ $\Rightarrow$ $\;A=-C_{\text{éq}}\;U_{0}\;$ et par suite
     Nous obtenons la solution de l'équation différentielle du circuit équivalent se réécrit «$\;q(t)=C_{\text{éq}}\,U_{0}\,\left[1-\exp \left(-{\dfrac {t}{\tau _{\text{éq}}}}\right)\right]\;$» ou «$\;q(t)={\dfrac {2\,C\,U_{0}}{3}}\left[1-\exp \left(-{\dfrac {t}{\tau _{\text{éq}}}}\right)\right]\;$» avec «$\;\tau _{\text{éq}}={\dfrac {2\,R\,C}{3}}\;$» ;

     les condensateurs $\;({\mathfrak {1}})\;$ et $\;({\mathfrak {2}})\;$ ayant même charge instantanée $\;q_{1}(t)=q_{2}(t)={\dfrac {q(t)}{2}}\;$ $\Rightarrow$ «$\;q_{1}(t)=q_{2}(t)={\dfrac {C\,U_{0}}{3}}\left[1-\exp \left(-{\dfrac {t}{\tau _{\text{éq}}}}\right)\right]\;$» avec même constante de temps «$\;\tau _{\text{éq}}={\dfrac {2\,R\,C}{3}}\;$».

     Nous déterminons l'intensité du courant circulant dans le circuit équivalent par $\;i(t)={\dot {q}}(t)\;$ soit «$\;i(t)={\dfrac {U_{0}}{R}}\,\exp \left(-{\dfrac {t}{\tau _{\text{éq}}}}\right)\;$» avec même constante de temps «$\;\tau _{\text{éq}}={\dfrac {2\,R\,C}{3}}\;$» et

     Nous déterminons l'intensité du courant ayant traversé chaque branche $\;({\mathfrak {1}})\;$ et $\;({\mathfrak {2}})\;$ par $\;i_{1}(t)=i_{2}(t)={\dfrac {i(t)}{2}}\;$ «$\;i_{1}(t)=i_{2}(t)={\dfrac {U_{0}}{2\,R}}\,\exp \left(-{\dfrac {t}{\tau _{\text{éq}}}}\right)$» avec même constante de temps «$\;\tau _{\text{éq}}={\dfrac {2\,R\,C}{3}}\;$».

 

Ajout d'un condensateur initialement chargé

Ajout d'un condensateur chargé sous une tension $\;U_{0}\;$ en $\;\parallel \;$ sur le dernier condensateur de la batterie de condensateurs précédente initialement en équilibre sous la tension $\;U_{0}$

     Une fois l'équilibre atteint, on branche entre $\;A\;$ et $\;B$, par l'intermédiaire d'un interrupteur $\;K\;$ initialement ouvert $\;{\big (}$voir schéma ci-contre${\big )}\;$ un condensateur de capacité $\;C$, préalablement chargé sous la tension $\;U_{0}\;$ et on ferme l'interrupteur.

Établissement d'un équilibre quasi-instantané

     Montrer qu'immédiatement après fermeture de l'interrupteur $\;K$, il s'établit un 1^er équilibre quasi-instantané entre les quatre condensateurs, équilibre que l'on qualifiera de local dans la mesure où il se réalise sans circulation de courant dans la résistance $\;R\;$ et

     déterminer les valeurs des charges des divers condensateurs après l'établissement de cet équilibre local quasi-instantané $\;{\big (}$l'instant de fin d'établissement de cet équilibre local sera noté $\;0^{+}{\big )}$ ;

     quel risque encourent les fils de connexion ?

Solution

Ajout d'un condensateur chargé sous une tension $\;U_{0}\;$ en $\;\parallel \;$ sur le dernier condensateur de la batterie de condensateurs précédente initialement en équilibre sous la tension $\;U_{0}$