Signaux physiques (PCSI)/Exercices/Circuits linéaires du premier ordre : régime libre, réponse à un échelon

Circuits linéaires du premier ordre : régime libre, réponse à un échelon
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Exercices no26
Leçon : Signaux physiques (PCSI)
Chapitre du cours : Circuits linéaires du premier ordre : régime libre, réponse à un échelon

Exercices de niveau 14.

Exo préc. :Circuits électriques dans l'ARQS : caractéristique d'un dipôle
Exo suiv. :Circuits linéaires du premier ordre : stockage et dissipation d'énergie
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Signaux physiques (PCSI)/Exercices/Circuits linéaires du premier ordre : régime libre, réponse à un échelon
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Résistance de fuite d'un condensateur modifier

     On charge un condensateur de capacité sous , puis

     on branche à ses bornes un voltmètre numérique de résistance équivalente .

Décharge du condensateur à travers le voltmètre modifier

     Considérant le condensateur comme parfait, déterminer sachant qu'après minutes, le voltmètre indique une différence de potentiel de .

     Si le condensateur possède une résistance de fuite , quelle relation doit-elle vérifier pour que le condensateur puisse être considéré comme parfait dans l'expérience précédente ?

Décharge du condensateur à travers sa résistance de fuite modifier

     En fait la condition précédente n'est pas vérifiée car le condensateur présente une résistance de fuite de même ordre de grandeur que .

     Pour mesurer , nous isolons le condensateur après l'avoir rechargé sous et minutes après, nous branchons le voltmètre à ses bornes pendant un court instant. Nous mesurons alors une différence de potentiel de .

     Déterminer et .

Condition pour que l'intensité du courant délivré par un générateur dans un circuit parallèle soit constante dès la fermeture de l'interrupteur modifier

Schéma d'un « série » en sur un « série » soumis à un échelon de tension d'amplitude , réponse en intensité délivrée par la source

     On relie, par l'intermédiaire d'un interrupteur , un générateur de tension sans résistance interne et de f.e.m. à deux circuits montés en ,

  • l'un, composé d'un condensateur parfait de capacité et d'un conducteur ohmique de résistance et
  • l'autre, d'une bobine parfaite d'auto-inductance et d'un conducteur ohmique de résistance  ;

     initialement le condensateur étant déchargé et la bobine n'étant traversée par aucun courant, on ferme l'interrupteur à [10] voir schéma ci-contre.

Détermination de l'intensité du courant délivré par le générateur modifier

     Déterminer les intensités et des courants traversant respectivement les dipôles « série » et « série » ;

     en déduire , l'intensité du courant délivré par la source.


Détermination de la condition pour que l'intensité du courant délivré par le générateur soit constante modifier

     Quelle doit être la condition sur , , et pour que l'intensité du courant délivré par le générateur soit constante ?

Établissement d'un équilibre électrique entre un condensateur chargé et un déchargé modifier

     On charge un condensateur de capacité sous la tension , et on relie ce condensateur ainsi chargé, puis isolé de la source de tension de charge, à un condensateur de capacité , initialement neutre, par l'intermédiaire d'un conducteur ohmique de résistance .

Détermination des charges instantanées des condensateurs modifier

     Déterminer les charges et des deux condensateurs et

     en déduire l'intensité du courant circulant dans le circuit.

Détermination directe de l'intensité du courant modifier

     Reprendre l'exercice en déterminant directement l'intensité du courant circulant dans le circuit[32].

Oscillations de relaxation d'une lampe au néon modifier

Circuit d'oscillations de relaxation d'une lampe au néon de tension d'allumage , de tension d'extinction et de résistance dynamique générées par la charge et la décharge d'un condensateur de capacité soumis, à travers un conducteur ohmique de résistance , à un échelon de tension d'amplitude

     Notions préliminaires sur une lampe au néon :

  • une ampoule au néon ne s'allume que si la tension à laquelle elle est soumise est à sa tension d'allumage , soit «», la lampe allumée étant alors équivalente à une résistance dynamique  ;
  • l'ampoule au néon ne s'éteint que si la tension à laquelle elle est soumise devient à sa tension d'extinction , soit «», la lampe éteinte étant équivalente à un interrupteur ouvert[36].

     On considère le circuit ci-contre dans lequel on ferme l'interrupteur à [37], le condensateur étant déchargé pour .

Étude d'une 1ère phase de fonctionnement de la lampe et condition sur E pour qu'elle s'allume modifier

     À la lampe étant éteinte, le condensateur se charge alors à travers le conducteur ohmique de résistance  ;
     À la lampe étant éteinte, déterminer la loi de variation de la tension aux bornes du condensateur en fonction du temps
     À la lampe étant éteinte, déterminer la loi de variation de la tension dans l'hypothèse où la lampe reste éteinte ;

     À la lampe étant éteinte, en déduire une condition sur l'amplitude de l'échelon de tension pour que la lampe s'allume à la fin de cette phase et
     À la lampe étant éteinte, dans l'hypothèse où cette condition est réalisée, déterminer la durée de cette 1ère phase.

Étude d'une 2ème phase de fonctionnement de la lampe et choix de (E, R) pour qu'elle s'éteigne modifier

     La lampe s'allumant à la fin de la phase précédente, on étudie cette 2ème phase et pour cela on fait un changement d'origine des temps  ;

     La lampe s'allumant à la fin de la phase précédente, faire un schéma équivalent correspondant à la lampe au néon allumée et

     La lampe s'allumant à la fin de la phase précédente, déterminer la loi de variation de la tension en fonction du temps dans l'hypothèse où la lampe reste allumée[41] ;

     La lampe s'allumant à la fin de la phase précédente, en déduire une condition sur le choix de pour que la lampe s'éteigne et
     La lampe s'allumant à la fin de la phase précédente, dans l'hypothèse où cette condition est réalisée, déterminer la durée de cette 2ème phase.

Étude d'une 3ème phase de fonctionnement de la lampe et durée de cette 3ème phase modifier

     La lampe s'éteignant à la fin de la phase précédente, on étudie cette 3sup>ème phase et pour cela on fait un nouveau changement d'origine des temps définissant  ;

     La lampe s'éteignant à la fin de la phase précédente, déterminer la loi de variation de la tension en fonction du temps dans l'hypothèse où la lampe reste éteinte puis

     La lampe s'éteignant à la fin de la phase précédente, déterminer la durée de cette 3ème phase.

Oscillations de relaxation de la lampe au néon et explicitation de leur période modifier

     La phase succédant à la 3ème phase s'identifiant à la 2ème phase et celle-ci étant suivie par la 3ème phase on observe, après une 1ère phase d'initiation,
     La phase succédant à la 3ème phase s'identifiant à la 2ème phase et celle-ci étant suivie par la 3ème phase on observe, une succession périodique de 2ème et 3ème phases[48] ;

     La phase succédant à la 3ème phase s'identifiant à la 2ème phase et celle-ci étant suivie par la 3ème phase déduire de ce qui précède la période des oscillations de relaxation de la lampe au néon et

     La phase succédant à la 3ème phase s'identifiant à la 2ème phase et celle-ci étant suivie par la 3ème phase tracer l'allure du graphe de la tension avec les valeurs numériques ci-dessous :

     La phase succédant à la 3ème phase s'identifiant à la 2ème phase et celle-ci étant suivie par la 3ème phase A.N.[49] : , , , , et .

Application numérique modifier

     Calculer la période avec les valeurs numériques du paragraphe précédent : , , , , et .

Changement d'état d'un circuit avec condensateurs parfaits modifier

Charge et intensité du courant de charge de chaque condensateur d'une batterie « série et parallèle » modifier

Schéma d'une batterie de condensateurs parfaits initialement déchargés en charge, à travers un conducteur ohmique de résistance , sous une tension

     À la date , on établit la tension dans le circuit ci-contre, les condensateurs étant initialement déchargés ;

     exprimer les charges instantanées des divers condensateurs en fonction du temps. puis

     en déduire, également en fonction du temps, les intensités instantanées de chaque courant de charge de ces condensateurs.

     Propriété préliminaire pour simplifier la résolution[51] : association de deux condensateurs parfaits de capacité et
           Propriété préliminaire pour simplifier la résolution : équivalente à un condensateur parfait de capacité équivalente [52] ;
           Propriété préliminaire pour simplifier la résolution : association série de deux condensateurs parfaits de capacité et
           Propriété préliminaire pour simplifier la résolution : équivalente à un condensateur parfait de capacité équivalente [53]





Ajout d'un condensateur initialement chargé modifier

Ajout d'un condensateur chargé sous une tension en sur le dernier condensateur de la batterie de condensateurs précédente initialement en équilibre sous la tension

     Une fois l'équilibre atteint, on branche entre et , par l'intermédiaire d'un interrupteur initialement[64] ouvert voir schéma ci-contre un condensateur de capacité , préalablement chargé sous la tension et on ferme l'interrupteur.

Établissement d'un équilibre quasi-instantané modifier

     Montrer qu'immédiatement après fermeture de l'interrupteur , il s'établit un 1er équilibre quasi-instantané entre les quatre condensateurs, équilibre que l'on qualifiera de local dans la mesure où il se réalise sans circulation de courant dans la résistance [65] et

     déterminer les valeurs des charges des divers condensateurs après l'établissement de cet équilibre local quasi-instantané l'instant de fin d'établissement de cet équilibre local sera noté  ;

     quel risque encourent les fils de connexion ?