Signaux physiques (PCSI)/Exercices/Circuits linéaires du premier ordre : stockage et dissipation d'énergie

Établissement d'un équilibre électrique entre un condensateur chargé et un déchargé par bilan de puissance

     On charge un condensateur de capacité $\;C\;$ sous la tension $\;U$, et on relie ce condensateur ainsi chargé, puis isolé de la source de tension de charge, à un condensateur de capacité $\;C'$, initialement neutre, par l'intermédiaire d'un conducteur ohmique de résistance $\;R$.

Détermination, par bilan de puissance, de l'intensité du courant de charge du condensateur initialement déchargé

     Faire un bilan de puissance du circuit,

     en déduire l'équation différentielle en $\;i(t)\;$ ${\big (}$intensité du courant de charge du condensateur initialement déchargé${\big )}\;$ et

     déterminer la variation de cette intensité $\;i\;$ en fonction du temps $\;t$.

Solution

Circuit de décharge $\;{\big (}$partielle${\big )}\;$ d'un condensateur initialement chargé de capacité $\;C\;$ dans un condensateur initialement déchargé de capacité $\;C'\;$ par l'intermédiaire d'un conducteur ohmique de résistance $\;R$

     Bilan de puissance, à l'instant$\;t$, dans le circuit ci-contre :

     Soient $\;{\mathcal {E}}(t)\;$ et $\;{\mathcal {E}}'(t)\;$ les énergies électrostatiques des condensateurs à l'instant $\;t\;$ de capacité respective $\;C\;$ et $\;C'$, le bilan de puissance s'énonce $\;{\big [}$sachant qu'il n'y a pas de source de tension dans le circuit mais qu'il y a un conducteur ohmique et appelant $\;{\mathcal {E}}_{\text{tot}}(t)={\mathcal {E}}(t)+{\mathcal {E}}'(t)\;$ l'énergie électrostatique totale stockée dans les condensateurs${\big ]}$ :

     « le gain $\;{\big (}$algébrique${\big )}\;$ horaire d'énergie électrostatique stockée dans les condensateurs et la puissance calorifique dissipée dans le conducteur ohmique se compensent » ou «$\;{\dfrac {d{\mathcal {E}}_{\text{tot}}}{dt}}(t)+{\mathcal {P}}_{{\text{cal dissipée dans }}R}(t)=0\;$» ou encore «$\;{\dfrac {d{\mathcal {E}}_{\text{tot}}}{dt}}(t)+R\,i^{2}(t)=0\;$» avec «$\;{\mathcal {E}}_{\text{tot}}(t)={\dfrac {1}{2}}\,C\,u^{2}(t)+{\dfrac {1}{2}}\,C'\,u'^{2}(t)\;$».

     Remarque : la façon la plus pratique de faire un bilan de puissance est d'écrire symboliquement « apport par les sources $\;=\;$ augmentation horaire d'énergie stockée $\;+\;$ perte calorifique » ;

     Remarque : sans apport provenant d'un générateur, il faut qu'une partie au moins de l'énergie stockée $\;\searrow \;$ pour compenser la perte calorifique,
         Remarque : sans apport provenant d'un générateur, c'est le cas ici où le condensateur de capacité $\;C\;$ restitue de l'énergie, il joue donc le rôle de générateur et
         Remarque : sans apport provenant d'un générateur, c'est le cas ici on peut réécrire le bilan de puissance selon :

     Remarque : « la diminution horaire de l'énergie stockée par le condensateur de capacité $\;C\;$ est égale à la somme de l'augmentation horaire de l'énergie stockée par le condensateur de capacité $\;C'\;$ et de la puissance calorifique dissipée par le conducteur ohmique de résistance $\;R\;$» ou «$\;-{\dfrac {d{\mathcal {E}}}{dt}}(t)={\dfrac {d{\mathcal {E}}'}{dt}}(t)+{\mathcal {P}}_{{\text{cal dissipée dans }}R}(t)\;$».

     Équation différentielle en$\;i(t)\;{\big (}$intensité du courant de charge du condensateur initialement déchargé${\big )}$ :

     On obtient l'équation différentielle en $\;i(t)\;$ en évaluant la dérivée de $\;{\mathcal {E}}_{\text{tot}}(t)={\dfrac {1}{2}}\,C\,u^{2}(t)+{\dfrac {1}{2}}\,C'\,u'^{2}(t)\;$ soit $\;{\dfrac {d{\mathcal {E}}_{\text{tot}}}{dt}}(t)={\dfrac {1}{2}}\,C\,2\,u(t)\,{\dot {u}}(t)+{\dfrac {1}{2}}\,C'\,2\,u'(t)\,{\dot {u}}'(t)=C\,u(t)\,{\dot {u}}(t)+C'\,u'(t)\,{\dot {u}}'(t)\;$ d'où l'explicitation du bilan de puissance «$\;C\,u(t)\,{\dot {u}}(t)+C'\,u'(t)\,{\dot {u}}'(t)+R\,i^{2}(t)=0\;$» ;

     le circuit étant en série, l'équation différentielle pouvant s'obtenir directement par équation de maille $\;{\big (}$suivie ou non d'une dérivation temporelle${\big )}$,
     le circuit étant en série, son obtention par bilan de puissance nécessite de diviser ce dernier par une intensité c'est-à-dire ici $\;i(t)\;{\big (}$suivie ou non d'une dérivation temporelle${\big )}$, il faut donc la faire apparaître dans les deux 1^ers termes selon $\;i(t)=-C\,{\dot {u}}(t)\;$ et $\;i(t)=C'\,{\dot {u}}'(t)\;$ soit «$\;-u(t)\,i(t)+u'(t)\,i(t)+R\,i^{2}(t)=0\;$» et, après division par $\;i(t)$, «$\;-u(t)+u'(t)+R\,i(t)=0\;$» ;

     on dérive alors l'équation obtenue par rapport à $\;t\;$ pour éliminer $\;u(t)\;$ et $\;u'(t)\;$ au profit de $\;i(t)\;$ soit «$\;-{\dot {u}}(t)+{\dot {u}}'(t)+R\,{\dfrac {di}{dt}}(t)=0\;$» ou, avec $\;i(t)=-C\,{\dot {u}}(t)=C'\,{\dot {u}}'(t)$, on obtient
     on dérive alors l'équation obtenue par rapport à $\;\color {transparent}{t}\;$ pour éliminer $\;\color {transparent}{u(t)}\;$ et $\;\color {transparent}{u'(t)}\;$ au profit de $\;\color {transparent}{i(t)}\;$ soit «$\;{\dfrac {i(t)}{C}}+{\dfrac {i(t)}{C'}}+R\,{\dfrac {di}{dt}}(t)=0\;$» et finalement, en normalisant
     on dérive alors l'équation obtenue par rapport à $\;\color {transparent}{t}\;$ pour éliminer $\;\color {transparent}{u(t)}\;$ et $\;\color {transparent}{u'(t)}\;$ au profit de $\;\color {transparent}{i(t)}\;$ soit «$\;{\dfrac {di}{dt}}(t)+{\dfrac {1}{R}}\left({\dfrac {1}{C}}+{\dfrac {1}{C'}}\right)i(t)=0\;$».

     On peut simplifier l'équation précédente en posant «$\;{\dfrac {1}{C_{\text{éq}}}}={\dfrac {1}{C}}+{\dfrac {1}{C'}}\;$ $\Leftrightarrow$ $\;C_{\text{éq}}={\dfrac {C\,C'}{C+C'}}\;$» et «$\;\tau _{\text{éq}}=R\,C_{\text{éq}}\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\dfrac {di}{dt}}(t)+{\dfrac {1}{\tau _{\text{éq}}}}\;i(t)=0\;$».

     Variation de l'intensité en fonction du temps : la solution de l'équation différentielle ci-dessus est de la forme «$\;i(t)=i_{l}(t)=A\,\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau _{\text{éq}}}}\right)\;$»
     Variation de l'intensité en fonction du temps : la solution avec $\;A\;$ constante réelle d'intégration à déterminer par C.I. c'est-à-dire la valeur de $\;i(0^{+})\;$ laquelle ne s'obtient pas a priori par continuité mais
     Variation de l'intensité en fonction du temps : la solution avec $\;\color {transparent}{A}\;$ constante réelle d'intégration à déterminer par circuit à $\;0^{+}\;$ dans lequel on utilise la continuité des tensions aux bornes des condensateurs
     Variation de l'intensité en fonction du temps : la solution avec $\;\color {transparent}{A}\;$ constante réelle d'intégration à déterminer à savoir «$\;u(0^{+})=u(0^{-})=U\;$» et «$\;u'(0^{+})=u'(0^{-})=0\;$» $\Rightarrow$ dans le circuit à $\;0^{+}\;$
     Variation de l'intensité en fonction du temps : la solution avec $\;\color {transparent}{A}\;$ constante réelle d'intégration à déterminer on retrouve $\;U\;$ aux bornes du conducteur ohmique de résistance $\;R\;$ $\Rightarrow$ «$\;i(0^{+})={\dfrac {U}{R}}\;$» par loi d'Ohm
     Variation de l'intensité en fonction du temps : la solution avec $\;\color {transparent}{A}\;$ constante réelle d'intégration à déterminer soit $\;A\;{\cancel {\exp \!\left(-{\dfrac {0}{\tau _{\text{éq}}}}\right)}}={\dfrac {U}{R}}\;$ $\Rightarrow$ «$\;A={\dfrac {U}{R}}\;$» et finalement
     Variation de l'intensité en fonction du temps : la solution de l'équation différentielle ci-dessus est «$\;i(t)={\dfrac {U}{R}}\,\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau _{\text{éq}}}}\right)\;\;{\text{pour }}t>0\;$».

 

Évaluation de la variation d'énergie du système composé des deux condensateurs lors de la charge complète du condensateur de capacité C'

     Calculer, de deux façons différentes, la variation d'énergie du système composé des deux condensateurs lors de la charge complète du condensateur de capacité $\;C'$.

Solution

     Par calcul direct : L'énergie électrostatique initiale est stockée uniquement dans le condensateur de capacité $\;C\;$ soit «$\;{\mathcal {E}}_{\text{tot}}(0)={\dfrac {1}{2}}\,C\,U^{2}\;$» ;

     Par calcul direct : quand la charge complète du condensateur de capacité $\;C'\;$ est terminée, les deux condensateurs sont chargés en ayant une même tension entre leurs bornes $\;U_{\infty }$, l'énergie électrostatique finale, stockée dans les deux condensateurs, est alors «$\;{\mathcal {E}}_{\text{tot}}(\infty )={\dfrac {1}{2}}\,C\,U_{\infty }^{2}+{\dfrac {1}{2}}\,C'\,U_{\infty }^{2}={\dfrac {1}{2}}\,(C+C')\,U_{\infty }^{2}\;$» ;

           Par calcul direct : quand la charge complète du condensateur de capacité $\;\color {transparent}{C'}\;$ est terminée, pour évaluer cette dernière il faut déterminer la tension commune aux bornes des condensateurs à l'équilibre $\;U_{\infty }\;$ et            Par calcul direct : quand la charge complète du condensateur de capacité $\;\color {transparent}{C'}\;$ est terminée, pour cela on écrit que « la charge entre les armatures supérieures des condensateurs de capacité $\;C\;$ et $\;C'\;$»            Par calcul direct : quand la charge complète du condensateur de capacité $\;\color {transparent}{C'}\;$ est terminée, pour cela on écrit que « la charge reste constante entre l'instant $\;0\;$ et l'instant $\;\infty \;$ c'est-à-dire «$\;q(0^{+})+q'(0^{+})=$ $q(\infty )+q'(\infty )\;$» ou $\;C\,U=C\,U_{\infty }+C'\,U_{\infty }\;$ $\Leftrightarrow$ «$\;U_{\infty }={\dfrac {C}{C+C'}}\,U\;$» d'où $\;{\mathcal {E}}_{\text{tot}}(\infty )={\dfrac {1}{2}}\,(C+C')\,U_{\infty }^{2}={\dfrac {1}{2}}\,(C+C')\,\left({\dfrac {C}{C+C'}}\right)^{\!2}U^{2}\;$ et finalement «$\;{\mathcal {E}}_{\text{tot}}(\infty )={\dfrac {1}{2}}\,{\dfrac {C^{2}}{C+C'}}U^{2}\;$» ;

     Par calcul direct : la variation d'énergie électrostatique des deux condensateurs lors de la charge complète du condensateur de capacité $\;C'\;$ est donc $\;\Delta {\mathcal {E}}_{\text{tot}}={\dfrac {1}{2}}\,{\dfrac {C^{2}}{C+C'}}U^{2}-{\dfrac {1}{2}}\,C\,U^{2}$
     Par calcul direct : la variation d'énergie électrostatique des deux condensateurs lors de la charge complète du condensateur de capacité $\;\color {transparent}{C'}\;$ est donc $\;\color {transparent}{\Delta {\mathcal {E}}_{\text{tot}}}$ $={\dfrac {1}{2}}\,C\,U^{2}\left({\dfrac {C}{C+C'}}-1\right)\;$ soit finalement
     Par calcul direct : la variation d'énergie électrostatique des deux condensateurs lors de la charge complète du condensateur de capacité $\;\color {transparent}{C'}\;$ est donc «$\;\Delta {\mathcal {E}}_{\text{tot}}=-{\dfrac {1}{2}}\,{\dfrac {C\,C'}{C+C'}}U^{2}\;$».

     Par calcul de l'énergie calorifique dissipée dans le conducteur ohmique et bilan d'énergie : reprenant le bilan de puissance et l'intégrant sur l'intervalle $\;\left]0\;;\,+\infty \right[\;$ on obtient
     Par calcul de l'énergie calorifique dissipée dans le conducteur ohmique et bilan d'énergie : reprenant le bilan d'énergie lors de la charge complète du condensateur de capacité $\;C'\;$ soit
     Par calcul de l'énergie calorifique dissipée dans le conducteur ohmique et bilan d'énergie : « le gain d'énergie électrostatique stockée dans les condensateurs et l'énergie calorifique dissipée dans le conducteur ohmique se compensent » ou encore « la perte d'énergie électrostatique stockée dans les condensateurs est égale à l'énergie calorifique dissipée dans le conducteur ohmique » c'est-à-dire
     Par calcul de l'énergie calorifique dissipée dans le conducteur ohmique et bilan d'énergie : «$\;\Delta {\mathcal {E}}_{\text{tot}}+W_{{\text{cal dissipée dans }}R}=0\;$» ou,
     Par calcul de l'énergie calorifique dissipée dans le conducteur ohmique et bilan d'énergie : avec l'expression de l'énergie calorifique dissipée dans le conducteur ohmique de résistance $\;R$, l'équation suivante
     Par calcul de l'énergie calorifique dissipée dans le conducteur ohmique et bilan d'énergie : «$\;\Delta {\mathcal {E}}_{\text{tot}}+\displaystyle \int _{0}^{+\infty }R\,i^{2}(t)\,dt=0\;$» ;

     Par calcul de l'énergie calorifique dissipée dans le conducteur ohmique et bilan d'énergie : y reportant «$\;i(t)={\dfrac {U}{R}}\,\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau _{\text{éq}}}}\right)\;$ avec $\;\tau _{\text{éq}}=R\,C_{\text{éq}}=R\,{\dfrac {C\,C'}{C+C'}}\;$», on obtient
     Par calcul de l'énergie calorifique dissipée dans le conducteur ohmique et bilan d'énergie : «$\;\Delta {\mathcal {E}}_{\text{tot}}=-\displaystyle \int _{0}^{+\infty }R\,{\dfrac {U^{2}}{R^{2}}}\,\exp \!\left(-{\dfrac {2\,t}{\tau _{\text{éq}}}}\right)\,dt=-{\dfrac {U^{2}}{R}}\displaystyle \int _{0}^{+\infty }\exp \!\left(-{\dfrac {2\,t}{\tau _{\text{éq}}}}\right)\,dt\;$
     Par calcul de l'énergie calorifique dissipée dans le conducteur ohmique et bilan d'énergie : «$\;\color {transparent}{\Delta {\mathcal {E}}_{\text{tot}}}$ $=-{\dfrac {U^{2}}{R}}\left[-{\dfrac {\tau _{\text{éq}}}{2}}\,\exp \!\left(-{\dfrac {2\,t}{\tau _{\text{éq}}}}\right)\right]_{0}^{+\infty }=-{\dfrac {U^{2}\,\tau _{\text{éq}}}{2\ R}}\;$» soit, avec $\;{\dfrac {\tau _{\text{éq}}}{R}}=C_{\text{éq}}={\dfrac {C\,C'}{C+C'}}$,
     Par calcul de l'énergie calorifique dissipée dans le conducteur ohmique et bilan d'énergie : «$\;\Delta {\mathcal {E}}_{\text{tot}}=-{\dfrac {1}{2}}\,{\dfrac {C\,C'}{C+C'}}\;U^{2}\;$».

 

Adaptation d'impédance

     Un conducteur ohmique de résistance $\;R\;$ est alimenté par un générateur de tension permanente de f.e.m. $\;E\;$ et de résistance interne $\;r$.

Détermination de la résistance R du conducteur ohmique pour que la puissance calorifique que ce dernier consomme soit maximale

     Calculer la résistance $\;R\;$ du conducteur ohmique pour que la puissance calorifique $\;{\mathcal {P}}_{{\text{cal}}\,\rightarrow \,R}\;$ consommée par le conducteur ohmique soit maximale $\;{\big (}$on réalise ainsi une adaptation d'impédance${\big )}$ ;

     adapter l'impédance d'un circuit série composé d'un récepteur et d'un générateur consiste donc à déterminer la valeur de l'impédance du récepteur pour qu'il reçoive le maximum de puissance.

Solution

Circuit série en régime permanent pour adaptation d'impédance

     Le générateur de tension permanente modélisé par « une source de tension parfaite de f.e.m. $\;E\;$ en série avec un conducteur ohmique de résistance $\;r\;$»
     Le générateur de tension permanente est fermé sur un conducteur ohmique de résistance $\;R\;$ ${\big (}$voir schéma ci-contre${\big )}$,
     Le générateur de tension permanente est fermé sur un conducteur ohmique de résistance $\;\color {transparent}{R}\;$ l'intensité traversant ce dernier se calcule par loi de Pouillet «$\;I={\dfrac {E}{R+r}}\;$» ;

     la puissance consommée par le conducteur ohmique de résistance $\;R\;$ se calcule alors selon $\;{\mathcal {P}}_{{\text{cal}}\,\rightarrow \,R}=R\;I^{2}\;$ soit finalement «$\;{\mathcal {P}}_{{\text{cal}}\,\rightarrow \,R}=R\;{\dfrac {E^{2}}{(R+r)^{2}}}\;$» ;

     la puissance consommée par le conducteur ohmique de résistance $\;\color {transparent}{R}\;$ cette dernière sera extrémale si $\;{\dfrac {d{\mathcal {P}}_{{\text{cal}}\,\rightarrow \,R}}{dR}}(R)=0\;$ et la dérivée de $\;{\mathcal {P}}_{{\text{cal}}\,\rightarrow \,R}\;$ par rapport à $\;R\;$ donnant
     la puissance consommée par le conducteur ohmique de résistance $\;\color {transparent}{R}\;$ cette dernière sera extrémale si $\;{\dfrac {d{\mathcal {P}}_{{\text{cal}}\,\rightarrow \,R}}{dR}}(R)=E^{2}\,{\dfrac {(R+r)^{2}-R\,2\,(R+r)}{(R+r)^{4}}}=E^{2}\,{\dfrac {r-R}{(R+r)^{3}}}\;$
     la puissance consommée par le conducteur ohmique de résistance $\;\color {transparent}{R}\;$ cette dernière sera extrémale si $\;\color {transparent}{{\dfrac {d{\mathcal {P}}_{{\text{cal}}\,\rightarrow \,R}}{dR}}(R)}\;$ s'annule pour $\;R=r$ ;

     la puissance consommée par le conducteur ohmique de résistance $\;\color {transparent}{R}\;$ vérifions qu'il s'agit bien d'un maximum en étudiant le signe de $\;{\dfrac {d{\mathcal {P}}_{{\text{cal}}\,\rightarrow \,R}}{dR}}(R)=E^{2}\,{\dfrac {r-R}{(R+r)^{3}}}$ :

     la puissance consommée par le conducteur ohmique de résistance $\;\color {transparent}{R}\;$ vérifions qu'il s'agit bien d'un maximum $\succ \;$quand $\;R\rightarrow 0$, $\;{\dfrac {d{\mathcal {P}}_{{\text{cal}}\,\rightarrow \,R}}{dR}}(R)\rightarrow {\dfrac {E^{2}}{r^{2}}}>0\;$ $\Rightarrow$ «$\;{\dfrac {d{\mathcal {P}}_{{\text{cal}}\,\rightarrow \,R}}{dR}}(R)>0\;\;\forall \;R\in \left[0\;;\,r\right[\;$»,
     la puissance consommée par le conducteur ohmique de résistance $\;\color {transparent}{R}\;$ vérifions qu'il s'agit bien d'un maximum $\succ \;$quand $\;R\rightarrow +\infty$, $\;{\dfrac {d{\mathcal {P}}_{{\text{cal}}\,\rightarrow \,R}}{dR}}(R)\sim -{\dfrac {E^{2}}{R^{2}}}\rightarrow 0^{-}\;$ $\Rightarrow$ «$\;{\dfrac {d{\mathcal {P}}_{{\text{cal}}\,\rightarrow \,R}}{dR}}(R)<0\;\;\forall \;R\in \left]r\;;\,+\infty \right[\;$» ;

     la puissance consommée par le conducteur ohmique de résistance $\;\color {transparent}{R}\;$ on vérifie donc bien que «$\;{\mathcal {P}}_{{\text{cal}}\,\rightarrow \,R}\;$ est maximale pour $\;R=r\;$».

     Conclusion : La puissance reçue par le récepteur ohmique est maximale à caractéristiques du générateur $\;(E,\,r)\;$ fixées, si on choisit une résistance $\;R\;$ de valeur égale à la résistance interne du générateur ;
     Conclusion : La puissance reçue par le récepteur ohmique est maximale à caractéristiques du générateur $\;\color {transparent}{(E,\,r)}\;$ fixées, on dit alors qu'il y a « adaptation d'impédance ».

 

Valeur de la puissance maximale reçue par le conducteur ohmique

     Que vaut alors cette puissance maximale notée $\;{\mathcal {P}}_{{\text{cal max}}\,\rightarrow \,R}$ ?

     La comparer à celle dissipée dans le générateur c'est-à-dire dans sa partie résistive de résistance interne $\;r$.

Solution

     La puissance maximale vaut alors $\;{\mathcal {P}}_{{\text{cal max}}\,\rightarrow \,R}={\mathcal {P}}_{{\text{cal}}\,\rightarrow \,R}(r)=r\,{\dfrac {E^{2}}{(r+r)^{2}}}\;$ soit finalement «$\;{\mathcal {P}}_{{\text{cal max}}\,\rightarrow \,R}={\dfrac {E^{2}}{4\,r}}\;$» ;

     les résistances $\;r\;$ et $\;R\;$ ayant même valeur et l'intensité du courant les traversant étant la même, la puissance dissipée sous forme calorifique dans la partie résistive du générateur de résistance $\;r\;$ est égale à celle consommée par la charge de résistance $\;R\;$ soit «$\;{\mathcal {P}}_{{\text{cal dissipée dans }}r}={\mathcal {P}}_{{\text{cal max}}\,\rightarrow \,R}={\dfrac {E^{2}}{4\,r}}\;$».

 

Tracé de la courbe représentant le rapport de la puissance consommée dans le conducteur ohmique sur la puissance maximale qui peut être consommée en fonction du rapport de la résistance du conducteur ohmique sur la résistance interne du générateur

     Exprimer la puissance consommée réduite $\;{\dfrac {{\mathcal {P}}_{{\text{cal}}\,\rightarrow \,R}}{{\mathcal {P}}_{{\text{cal max}}\,\rightarrow \,R}}}\;$ en fonction de $\;x={\dfrac {R}{r}}\;$ puis

     tracer sa courbe représentative en fonction de $\;x$.

Solution

     La puissance réduite s'écrit «$\;{\dfrac {{\mathcal {P}}_{{\text{cal}}\,\rightarrow \,R}}{{\mathcal {P}}_{{\text{cal max}}\,\rightarrow \,R}}}={\dfrac {R\,{\dfrac {E^{2}}{(R+r)^{2}}}}{\dfrac {E^{2}}{4\,r}}}={\dfrac {4\,R\,r}{(R+r)^{2}}}={\dfrac {4\,{\dfrac {R}{r}}}{\left({\dfrac {R}{r}}+1\right)^{\!\!2}}}\;$» ou, en posant $\;x={\dfrac {R}{r}}$, «$\;{\dfrac {{\mathcal {P}}_{{\text{cal}}\,\rightarrow \,R}}{{\mathcal {P}}_{{\text{cal max}}\,\rightarrow \,R}}}={\dfrac {4\,x}{(1+x)^{2}}}\;$».

Courbe de variation de la puissance réduite consommée par la charge en fonction du rapport « résistance de charge sur résistance interne » dans un circuit série « générateur - charge résistive »

     La variation s'obtient par étude de «$\;{\dfrac {d\!\left\lbrace {\dfrac {{\mathcal {P}}_{{\text{cal}}\,\rightarrow \,R}}{{\mathcal {P}}_{{\text{cal max}}\,\rightarrow \,R}}}\right\rbrace }{dx}}={\dfrac {(1+x)^{2}\times 4-4\,x\times 2\,(1+x)}{(1+x)^{4}}}={\dfrac {4\,(1+x)-8\,x}{(1+x)^{3}}}={\dfrac {4\,(1-x)}{(x+1)^{3}}}\;$» ;

     on vérifie que $\;{\dfrac {d\!\left\lbrace {\dfrac {{\mathcal {P}}_{{\text{cal}}\,\rightarrow \,R}}{{\mathcal {P}}_{{\text{cal max}}\,\rightarrow \,R}}}\right\rbrace }{dx}}(x)\;$ s'annule pour $\;x=1\;$ et on détermine son signe selon ce qui suit :

• si $\;x\nearrow \;$ de $\;0\;$ à $\;1$, la dérivée est $\;>0\;$ et $\;{\dfrac {{\mathcal {P}}_{{\text{cal}}\,\rightarrow \,R}}{{\mathcal {P}}_{{\text{cal max}}\,\rightarrow \,R}}}\nearrow \;$ de $\;0\;$ à $\;1\;$ puis
• si $\;x\nearrow \;$ de $\;1\;$ à $\;+\infty$, la dérivée est $\;<0\;$ et $\;{\dfrac {{\mathcal {P}}_{{\text{cal}}\,\rightarrow \,R}}{{\mathcal {P}}_{{\text{cal max}}\,\rightarrow \,R}}}\searrow \;$ de $\;1\;$ à $\;0$,

     d'où le graphe ci-contre.

     Remarque : on pouvait obtenir l'expression de la dérivée $\;{\dfrac {d\!\left\lbrace {\dfrac {{\mathcal {P}}_{{\text{cal}}\,\rightarrow \,R}}{{\mathcal {P}}_{{\text{cal max}}\,\rightarrow \,R}}}\right\rbrace }{dx}}(x)\;$ en se servant du calcul de la dérivée $\;{\dfrac {d{\mathcal {P}}_{{\text{cal}}\,\rightarrow \,R}}{dR}}(R)\;$ fait dans la solution de la question « détermination de la résistance R du conducteur ohmique pour que la puissance calorifique que ce dernier consomme soit maximale » plus haut dans cet exercice, cela donnait :

     Remarque : «$\;{\dfrac {d\!\left\lbrace {\dfrac {{\mathcal {P}}_{{\text{cal}}\,\rightarrow \,R}}{{\mathcal {P}}_{{\text{cal max}}\,\rightarrow \,R}}}\right\rbrace }{dx}}={\dfrac {1}{{\mathcal {P}}_{{\text{cal max}}\,\rightarrow \,R}}}\;{\dfrac {d{\mathcal {P}}_{{\text{cal}}\,\rightarrow \,R}}{dR}}\;{\dfrac {dR}{dx}}\;$» ou, avec $\;R=r\,x\;$ $\Rightarrow$ «$\;{\dfrac {dR}{dx}}=r\;$»,
     Remarque : «$\;\color {transparent}{{\dfrac {d\!\left\lbrace {\dfrac {{\mathcal {P}}_{{\text{cal}}\,\rightarrow \,R}}{{\mathcal {P}}_{{\text{cal max}}\,\rightarrow \,R}}}\right\rbrace }{dx}}={\dfrac {1}{{\mathcal {P}}_{{\text{cal max}}\,\rightarrow \,R}}}\;{\dfrac {d{\mathcal {P}}_{{\text{cal}}\,\rightarrow \,R}}{dR}}\;{\dfrac {dR}{dx}}}\;$» ou, avec $\;{\mathcal {P}}_{{\text{cal max}}\,\rightarrow \,R}={\dfrac {E^{2}}{4\,r}}\;$ $\Rightarrow$ «$\;{\dfrac {1}{{\mathcal {P}}_{{\text{cal max}}\,\rightarrow \,R}}}={\dfrac {4\,r}{E^{2}}}\;$» et «$\;{\dfrac {d{\mathcal {P}}_{{\text{cal}}\,\rightarrow \,R}}{dR}}=E^{2}\,{\dfrac {r-R}{(R+r)^{3}}}\;$»,
     Remarque : «$\;{\dfrac {d\!\left\lbrace {\dfrac {{\mathcal {P}}_{{\text{cal}}\,\rightarrow \,R}}{{\mathcal {P}}_{{\text{cal max}}\,\rightarrow \,R}}}\right\rbrace }{dx}}={\dfrac {4\,r}{E^{2}}}\;E^{2}\,{\dfrac {r-R}{(R+r)^{3}}}\;r={\dfrac {4\,r^{2}\,(r-R)}{(R+r)^{3}}}\;$» ou encore, en divisant par $\;r^{3}\;$ haut et bas de façon à faire apparaître $\;x$, «$\;{\dfrac {d\!\left\lbrace {\dfrac {{\mathcal {P}}_{{\text{cal}}\,\rightarrow \,R}}{{\mathcal {P}}_{{\text{cal max}}\,\rightarrow \,R}}}\right\rbrace }{dx}}(x)={\dfrac {4\,(1-x)}{(x+1)^{3}}}\;$».

 

Montage potentiométrique, rendement en puissance

Schéma d'un montage potentiométrique alimentant une charge résistive

Générateur de Thévenin du dipôle actif AA'

     On réalise le montage représenté sur la figure ci-contre avec les valeurs numériques suivantes :
     $\;E=24\,V$, $\;R=80\,\Omega$, $\;r_{1}\;$ et $\;r_{2}\;$ telles que leur somme soit constante égale à $\;r_{1}+r_{2}=R'=1\,k\Omega$.

     Déterminer la f.e.m. $\;{\big (}$de Thévenin${\big )}$ «$\;\alpha \,E\;$» et
     Déterminer la résistance interne $\;{\big (}$de Thévenin${\big )}$ «$\;r_{i}\;$» du générateur de Thévenin équivalent au R.D.L.A. $\;AA'\;$ ${\big (}$encadré en tiretés ci-contre${\big )}$.

     Exprimer $\;\alpha \;$ et $\;r_{i}\;$ en fonction de $\;r_{1}\;$ et $\;r_{2}$.

Solution

     Le R.D.L.A. $\;AA'\;$ ${\big (}$voir encadré en tiretés ci-dessus${\big )}\;$ étant le R.D. formé d'un P.D.T. alimenté en entrée par la source de tension parfaite de f.e.m. $\;E$,
          Le R.D.L.A. $\;\color {transparent}{AA'}\;$ est équivalent au générateur de Thévenin $\succ \;$de f.e.m. $\;{\big (}$de Thévenin${\big )}$ «$\;e_{\text{Th}}={\dfrac {r_{1}}{r_{1}+r_{2}}}\,E\;$» soit, «$\;e_{\text{Th}}=\alpha \,E\;$ avec $\;\alpha ={\dfrac {r_{1}}{r_{1}+r_{2}}}\;$» et
                Le R.D.L.A. $\;\color {transparent}{AA'}\;$ est équivalent au générateur de Thévenin $\succ \;$de résistance $\;{\big (}$de Thévenin${\big )}$ «$\;r_{\text{Th}}={\dfrac {r_{1}\,r_{2}}{r_{1}+r_{2}}}\;$» soit, «$\;r_{\text{Th}}=r_{i}\;$ avec $\;r_{i}={\dfrac {r_{1}\,r_{2}}{r_{1}+r_{2}}}\;$».

 

Puissance calorifique dissipée dans la charge ohmique de résistance R

     En déduire la puissance calorifique $\;{\mathcal {P}}_{2}\;$ dissipée dans le conducteur ohmique de résistance $\;R\;$ en fonction de $\;E$, $\;\alpha$, $\;R'\;$ et $\;R$.

Solution

     Bien sûr il est nécessaire de refaire un schéma en ayant substitué le R.D.L.A. formé du P.D.T. alimenté en entrée par la source de tension parfaite de f.e.m. $\;E\;$ par son modèle générateur de Thévenin.

     La puissance $\;{\mathcal {P}}_{2}\;$ dissipée dans le conducteur ohmique de charge de résistance $\;R\;$ s'évalue par «$\;{\mathcal {P}}_{2}=R\,i_{2}^{2}\;$» avec $\;i_{2}\;$ déterminée par loi de Pouillet du circuit équivalent «$\;i_{2}={\dfrac {e_{\text{Th}}}{r_{\text{Th}}+R}}={\dfrac {\alpha \,E}{r_{i}+R}}\;$» ;

     en reportant dans l'expression de $\;{\mathcal {P}}_{2}\;$ on obtient «$\;{\mathcal {P}}_{2}=R\left[{\dfrac {\alpha \,E}{r_{i}+R}}\right]^{2}\;$» dans laquelle, d'après l'énoncé, il convient d'« éliminer $\;r_{i}\;$ au profit de $\;\alpha \;$ et $\;R'=r_{1}+r_{2}\;$» ;

 en reportant dans l'expression de $\;\color {transparent}{{\mathcal {P}}_{2}}\;$ on obtient «$\;\color {transparent}{{\mathcal {P}}_{2}=R\left[{\dfrac {\alpha \,E}{r_{i}+R}}\right]^{2}}\;$» dans laquelle, d'après l'énoncé, il convient d'« éliminer or $\;r_{i}={\dfrac {r_{1}\,r_{2}}{r_{1}+r_{2}}}=\alpha \,r_{2}\;$
 en reportant dans l'expression de $\;\color {transparent}{{\mathcal {P}}_{2}}\;$ on obtient «$\;\color {transparent}{{\mathcal {P}}_{2}=R\left[{\dfrac {\alpha \,E}{r_{i}+R}}\right]^{2}}\;$» dans laquelle, d'après l'énoncé, il convient d'« éliminer et $\;r_{2}=R'-r_{1}\;$ avec $\;r_{1}=\alpha \,R'\;$ d'où $\;r_{2}=R'\,(1-\alpha )\;$ et par suite
     en reportant dans l'expression de $\;\color {transparent}{{\mathcal {P}}_{2}}\;$ on obtient «$\;\color {transparent}{{\mathcal {P}}_{2}=R\left[{\dfrac {\alpha \,E}{r_{i}+R}}\right]^{2}}\;$» dans laquelle, d'après l'énoncé, il convient d'« éliminer $\;r_{i}=\alpha \,(1-\alpha )\,R'\;$ ; finalement on obtient
     en reportant dans l'expression de $\;\color {transparent}{{\mathcal {P}}_{2}}\;$ on obtient «$\;{\mathcal {P}}_{2}=R\left[{\dfrac {\alpha \,E}{\alpha \,(1-\alpha )\,R'+R}}\right]^{2}\;$».

 

Puissance électrique fournie par la source de tension de f.e.m. E

     Exprimer la puissance électrique $\;{\mathcal {P}}_{1}\;$ fournie par la source de tension de f.e.m. $\;E\;$ en fonction de $\;E$, $\;\alpha$, $\;R'\;$ et $\;R$.

Solution

     La puissance $\;{\mathcal {P}}_{1}\;$ fournie par la source de tension du circuit d'origine s'évalue selon «$\;{\mathcal {P}}_{1}=E\,i\;$» où $\;i\;$ est l'intensité du courant qu'elle fournit ;

     il faut donc exprimer «$\;i\;$» en fonction des paramètres précisés dans l'énoncé et pour cela, on reconnaît un P.D.C. en sortie court-circuitée $\;{\big [}i_{2}\;$ étant l'intensité du courant de sortie court-circuitée du pont et
          il faut donc exprimer «$\;\color {transparent}{i}\;$» en fonction des paramètres précisés dans l'énoncé et pour cela, on reconnaît un P.D.C. en sortie court-circuitée $\;\color {transparent}{\big [}$$\;i\;$ celle du courant d'entrée${\big ]}\;$
           il faut donc exprimer «$\;\color {transparent}{i}\;$» en fonction des paramètres précisés dans l'énoncé et pour cela, on reconnaît un P.D.C. en sortie court-circuitée «$\;i_{2}={\dfrac {r_{1}}{r_{1}+R}}\,i\;$» d'où «$\;i={\dfrac {r_{1}+R}{r_{1}}}\,i_{2}={\dfrac {\alpha \,R'+R}{\alpha \,R'}}\,i_{2}\;$»,
     il faut donc exprimer ce qui donne, avec l'expression de $\;i_{2}\;$ en fonction de $\;\alpha \;$ établie dans la note « ⁴⁴ » plus haut dans cet exercice à savoir $\;i_{2}={\dfrac {\alpha \,E}{\alpha \,(1-\alpha )\,R'+R}}$,
     il faut donc exprimer «$\;i={\dfrac {\alpha \,R'+R}{\alpha \,R'}}\,{\dfrac {\alpha \,E}{\alpha \,(1-\alpha )\,R'+R}}={\dfrac {\alpha \,R'+R}{\alpha \,(1-\alpha )\,R'+R}}\,{\dfrac {E}{R'}}\;$» dont on déduit
     La puissance $\;\color {transparent}{{\mathcal {P}}_{1}}\;$ fournie par la source de tension du circuit d'origine s'évalue selon «$\;{\mathcal {P}}_{1}={\dfrac {\alpha \,R'+R}{\alpha \,(1-\alpha )\,R'+R}}\,{\dfrac {E^{2}}{R'}}\;$».

 

Rendement en puissance du circuit

     En déduire le rendement en puissance du circuit $\;\eta ={\dfrac {{\mathcal {P}}_{2}}{{\mathcal {P}}_{1}}}\;$ en fonction de $\;\alpha$, $\;R'\;$ et $\;R$.

     A.N. : Calculer le rendement $\;\eta \;$ pour $\;\alpha ={\dfrac {3}{4}}$.

           A.N. : Que pensez vous de la valeur obtenue ?

Solution

     Le rendement en puissance du circuit $\;\eta ={\dfrac {{\mathcal {P}}_{2}}{{\mathcal {P}}_{1}}}\;$ s'évalue selon $\;\eta ={\dfrac {R\left[{\dfrac {\alpha \,E}{\alpha \,(1-\alpha )\,R'+R}}\right]^{2}}{{\dfrac {\alpha \,R'+R}{\alpha \,(1-\alpha )\,R'+R}}\,{\dfrac {E^{2}}{R'}}}}\;$ soit finalement, après simplification, «$\;\eta ={\dfrac {\alpha ^{2}\,R\,R'}{\left[\alpha \,(1-\alpha )\,R'+R\right]\left(\alpha \,R'+R\right)}}\;$».

     A.N. : Calcul du rendement $\;\eta \;$ pour $\;\alpha ={\dfrac {3}{4}}\;$ avec les valeurs de résistances suivantes $\;R=80\,\Omega \;$ et $\;R'=1\,k\Omega$ :

     A.N. : $\;\eta ={\dfrac {0,75^{2}\times 80\times 10^{3}}{\left[0,75\times (1-0,75)\times 10^{3}+80\right]\left(0,75\times 10^{3}+80\right)}}\;$ soit «$\;\eta \simeq 20,27\,\%\;$».

     A.N. : Le rendement est très faible, correspondant à un effet Joule dans le potentiomètre très important $\;{\big (}$il est prédominant car il représente $\;79,73\,\%{\big )}$.

 

Moteur en régime permanent, fonctionnement stable

Schéma de circuit d'alimentation d'un moteur par une source idéale de tension permanente, la f.c.e.m. du moteur étant $\;\propto \;$ à sa vitesse angulaire de rotation

     On schématise $\;{\big (}$voir ci-contre${\big )}\;$ un moteur par un conducteur ohmique de résistance $\;R=10\,\Omega \;$ et
     On schématise $\;\color {transparent}{\big (}$voir ci-contre$\color {transparent}{\big )}\;$ un moteur par une f.c.e.m. $\;e'=k\,\omega \;$ ${\big (}\omega \;$ étant la vitesse angulaire de rotation du moteur${\big )}$.

     On schématise $\;\color {transparent}{\big (}$voir ci-contre$\color {transparent}{\big )}\;$ Ce moteur fournit une puissance mécanique notée $\;{\mathcal {P}}_{m}$.

Étude de la variation de la puissance mécanique fournie par le moteur

En fonction de l'intensité I du courant traversant le moteur

     Faire un bilan de puissance et

     en déduire $\;{\mathcal {P}}_{m}={\mathcal {P}}_{m}(I)$, puis

     tracer son graphe.

Solution

Diagramme de la puissance mécanique fournie par le moteur en fonction de l'intensité du courant délivré par une source de tension parfaite de f.e.m. $\;E=100\,V$, la résistance interne du moteur étant $\;R=10\,\Omega$

     La puissance électrique fournie par le générateur $\;{\mathcal {P}}_{e,\,f\,{\text{par géné}}}=E\,I\;$ se retrouve dans le moteur sous forme mécanique $\;{\mathcal {P}}_{m,\,{\text{dispo dans mot}}}=e'\,I\;$ et
     La puissance électrique fournie par le générateur $\;\color {transparent}{{\mathcal {P}}_{e,\,f\,{\text{par géné}}}=E\,I}\;$ se retrouve dans le moteur sous forme calorifique $\;{\mathcal {P}}_{{\text{cal dissip dans }}R}=R\,I^{2}\;$
     soit le bilan de puissance suivant «$\;{\mathcal {P}}_{e,\,f\,{\text{par géné}}}={\mathcal {P}}_{m,\,{\text{dispo dans mot}}}+{\mathcal {P}}_{{\text{cal dissip dans }}R}\;$» ou encore «$\;E\,I={\mathcal {P}}_{m}+R\,I^{2}\;$» ; on en déduit donc «$\;{\mathcal {P}}_{m}=(E-R\,I)\,I\;$»
soit numériquement
«$\;{\mathcal {P}}_{m}=(100-10\,I)\,I\;$» ;

     le graphe de la puissance mécanique fournie par le moteur en fonction de l'intensité du courant délivré par la source
     le graphe est donc une parabole dont la concavité est tournée vers les $\;{\mathcal {P}}_{m}<0$,
     le graphe est donc une parabole passant par les points $\;(0,\,0)\;$ et $\;(10,\,0)$,
     le graphe est donc une parabole l'axe de symétrie correspondant à $\;I=5\,A\;$ et
     le graphe est donc une parabole le sommet ayant une ordonnée $\;{\mathcal {P}}_{\text{max}}=250\,W\;$
     le graphe est donc une parabole voir le tracé ci-contre.

 

En fonction de la vitesse angulaire ω de rotation du moteur

     De l'équation électrique, déterminer le lien entre $\;\omega \;$ et $\;I$,

     en déduire $\;{\mathcal {P}}_{m}={\mathcal {P}}_{m}(\omega )$, puis

     tracer son graphe.

Solution

Diagramme de la puissance mécanique fournie par le moteur en fonction de sa vitesse angulaire de rotation $\;\omega$, la f.c.e.m. du moteur étant $\;e'=k\,\omega$, sa résistance interne $\;R=10\,\Omega \;$ et la source de tension parfaite l'alimentant de f.e.m. $\;E=100\,V$

     L'équation électrique s'écrivant «$\;E=R\,I+e'\;$» avec «$\;e'=k\,\omega \;$», on en tire l'intensité du courant en fonction, entre autres, de la f.c.e.m. du moteur soit «$\;I={\dfrac {E-e'}{R}}={\dfrac {E-k\,\omega }{R}}\;$» soit numériquement
«$\;I={\dfrac {100-k\,\omega }{10}}\;$» ou encore «$\;I=10-0,1\,k\,\omega \;$».      On reporte alors $\;I=I(\omega )\;$ dans l'expression de la puissance mécanique «$\;{\mathcal {P}}_{m}=e'\,I=k\,\omega \;I\;$» d'où «$\;{\mathcal {P}}_{m}=k\,\omega \,(10-0,1\,k\,\omega )\;$» soit encore
«$\;{\mathcal {P}}_{m}=0,1\,k\,\omega \,(100-k\,\omega )\;$»

     le graphe de la puissance mécanique fournie par le moteur en fonction de la vitesse angulaire de rotation de ce dernier
     le graphe est une parabole dont la concavité est tournée vers les $\;{\mathcal {P}}_{m}<0$,
     le graphe est une parabole passant par les points $\;(0,\,0)\;$ et $\;\left({\dfrac {100}{k}},\,0\right)$,
     le graphe est une parabole l'axe de symétrie correspondant à $\;\omega ={\dfrac {50}{k}}\;$ et
     le graphe est une parabole le sommet ayant une ordonnée $\;{\mathcal {P}}_{\text{max}}=250\,W\;$
     le graphe est une parabole voir le tracé ci-contre.

 

Stabilité de fonctionnement du moteur

     Pour $\;{\mathcal {P}}_{m}=160\,W$, calculer les valeurs de $\;I\;$ possibles ;

     le fonctionnement du moteur étant stable si $\;{\dfrac {d{\mathcal {P}}_{m}}{d\omega }}(\omega )<0\;$ et
     le fonctionnement du moteur étant instable si $\;{\dfrac {d{\mathcal {P}}_{m}}{d\omega }}(\omega )>0$,

     le fonctionnement du moteur étant stable pour quelle valeur de $\;I\;$ précédemment calculée, le moteur a-t-il un fonctionnement stable ?

Solution

     Pour $\;{\mathcal {P}}_{m}=160\,W$, il y a deux intersections avec la parabole $\;{\mathcal {P}}_{m}={\mathcal {P}}_{m}(I)\;$ située de part et d'autre de l'axe de symétrie que l'on peut déterminer $\succ \;$graphiquement ou
     Pour $\;\color {transparent}{{\mathcal {P}}_{m}=160\,W}$, il y a deux intersections avec la parabole $\;\color {transparent}{{\mathcal {P}}_{m}={\mathcal {P}}_{m}(I)}\;$ située de part et d'autre de l'axe de symétrie que l'on peut déterminer $\succ \;$algébriquement par résolution de l'équation du 2^ème degré
     Pour $\;\color {transparent}{{\mathcal {P}}_{m}=160\,W}$, il y a deux intersections avec la parabole $\;\color {transparent}{{\mathcal {P}}_{m}={\mathcal {P}}_{m}(I)}\;$ située de part et d'autre de l'axe de symétrie que l'on peut déterminer $\color {transparent}{\succ }\;$algébriquement par résolution de «$\;(100-10\,I)\,I=160\;$»
                              Pour $\;\color {transparent}{{\mathcal {P}}_{m}=160\,W}$, il y a deux intersections avec la parabole $\;\color {transparent}{{\mathcal {P}}_{m}={\mathcal {P}}_{m}(I)}\;$ située de part et d'autre de l'axe de symétrie que l'on peut déterminer $\color {transparent}{\succ }\;$algébriquement par résolution de $\Updownarrow$
     Pour $\;\color {transparent}{{\mathcal {P}}_{m}=160\,W}$, il y a deux intersections avec la parabole $\;\color {transparent}{{\mathcal {P}}_{m}={\mathcal {P}}_{m}(I)}\;$ située de part et d'autre de l'axe de symétrie que l'on peut déterminer $\color {transparent}{\succ }\;$algébriquement par résolution de «$\;I^{2}-10\,I+16=0\;$»,

     Pour $\;\color {transparent}{{\mathcal {P}}_{m}=160\,W}$, il y a deux intersections avec la parabole $\;\color {transparent}{{\mathcal {P}}_{m}={\mathcal {P}}_{m}(I)}\;$ située de part et d'autre de l'axe de symétrie que l'on peut déterminer $\color {transparent}{\succ }\;$ les solutions trouvées sont alors «$\;I_{1}=2\,A\;$ et $\;I_{2}=8\,A\;$».

     Un fonctionnement stable étant défini par $\;{\dfrac {d{\mathcal {P}}_{m}}{d\omega }}(\omega )<0$, cherchons la condition de stabilité portant sur $\;{\dfrac {d{\mathcal {P}}_{m}}{dI}}(I)\;$ par utilisation du lien avec $\;{\dfrac {d{\mathcal {P}}_{m}}{d\omega }}(\omega )\;$ à savoir $\;{\dfrac {d{\mathcal {P}}_{m}}{dI}}={\dfrac {d{\mathcal {P}}_{m}}{d\omega }}\,{\dfrac {d\omega }{dI}}$ ;
     Un fonctionnement stable étant défini par $\;\color {transparent}{{\dfrac {d{\mathcal {P}}_{m}}{d\omega }}(\omega )<0}$, cherchons la condition de stabilité portant sur $\;\color {transparent}{{\dfrac {d{\mathcal {P}}_{m}}{dI}}(I)}\;$ or $\;{\dfrac {dI}{d\omega }}\;$ s'obtenant en dérivant $\;I=10-0,1\,k\,\omega \;$ $\Rightarrow$ $\;{\dfrac {dI}{d\omega }}=-0,1\,k\;$ $\Rightarrow$ $\;{\dfrac {d\omega }{dI}}=-{\dfrac {10}{k}}<0$,
     Un fonctionnement stable étant défini par $\;\color {transparent}{{\dfrac {d{\mathcal {P}}_{m}}{d\omega }}(\omega )<0}$, nous en déduisons que la condition de stabilité $\;{\dfrac {d{\mathcal {P}}_{m}}{d\omega }}(\omega )<0\;$ se réécrit «$\;{\dfrac {d{\mathcal {P}}_{m}}{dI}}(I)>0\;$» ;

     appliqué à la puissance de $\;160\,W$, le fonctionnement stable correspond à $\;I_{1}=2\,A\;$ compte-tenu de la concavité de la parabole $\;{\mathcal {P}}_{m}={\mathcal {P}}_{m}(I)\;$ et
     appliqué à la puissance de $\;\color {transparent}{160\,W}$, le fonctionnement stable correspond à $\;\color {transparent}{I_{1}=2\,A}\;$ compte-tenu du fait que la pente de la tangente en la parabole doit y être positive ;

     en résumé, $\succ \;$si $\;I_{1}=2\,A$, $\;{\mathcal {P}}_{m}={\mathcal {P}}_{m}(I)\;$ est localement $\;\nearrow \;$ et simultanément $\;\omega _{1}={\dfrac {80}{k}}\;$ avec $\;{\mathcal {P}}_{m}={\mathcal {P}}_{m}(\omega )\;$ localement $\;\searrow \;$ d'où la stabilité mais
     en résumé, $\succ \;$si $\;I_{2}=8\,A$, $\;{\mathcal {P}}_{m}={\mathcal {P}}_{m}(I)\;$ est localement $\searrow \;$ et simultanément $\;\omega _{2}={\dfrac {20}{k}}\;$ avec $\;{\mathcal {P}}_{m}={\mathcal {P}}_{m}(\omega )\;$ localement $\;\nearrow \;$ d'où l'instabilité.

     Justification de la condition de stabilité : En régime permanent, la puissance mécanique motrice $\;{\mathcal {P}}_{m}\;$ développée par le moteur compense intégralement la puissance résistive fournie par l'extérieur au moteur $\;{\big [}$en effet le régime permanent signifiant $\;\omega =cste$, la rotation ne serait pas uniforme si cette puissance motrice fournie par le moteur n'était pas intégralement compensée par une puissance résistive créée par l'action que l'opérateur cherche à faire${\big ]}$ ;

     Justification de la condition de stabilité : prenant l'exemple d'une lame de scie circulaire entraînée par le moteur électrique utilisée pour découper un morceau de bois et faisons l'hypothèse dans un 1^er temps que la rotation de la lame circulaire « s'emballe » puis dans un 2^ème temps qu'elle ralentit par appui trop fort du morceau de bois sur la lame ;

     Justification de la condition de stabilité : $\;\succ \;$ avec $\;{\dfrac {d{\mathcal {P}}_{m}}{d\omega }}(\omega )<0$, la $\;\nearrow \;$ accidentelle ou voulue de $\;\omega \;$ ${\big (}$due à la lame qui s'emballe${\big )}\;$ $\Rightarrow$ une $\;\searrow \;$ de $\;{\mathcal {P}}_{m}$, c'est-à-dire que la puissance mécanique utilisable qui était excédentaire du fait du relâchement sur le morceau de bois $\;\searrow \;$ jusqu'à ce qu'il y ait une nouvelle compensation de la puissance résistive ayant volontairement ou accidentellement diminué correspondant à $\;{\mathcal {P}}_{m}\;$ ${\big [}$devenue plus faible${\big ]}\;$ intégralement utilisée pour la découpe plus "paresseuse" du morceau de bois ;

     Justification de la condition de stabilité : $\;\succ \;$ avec $\;{\dfrac {d{\mathcal {P}}_{m}}{d\omega }}(\omega )<0$, la $\;\searrow \;$ accidentelle ou voulue de $\;\omega \;$ ${\big (}$due à un appui plus important du morceau de bois sur la lame${\big )}\;$ $\Rightarrow$ une $\;\nearrow \;$ de $\;{\mathcal {P}}_{m}$, c'est-à-dire que la puissance mécanique utilisable qui était en défaut du fait de l'appui plus intense $\;\nearrow \;$ jusqu'à ce qu'il y ait une nouvelle compensation de la puissance résistive ayant volontairement ou accidentellement augmenté correspondant à $\;{\mathcal {P}}_{m}\;{\big [}$devenue plus grande${\big ]}\;$ intégralement utilisée pour la découpe plus "agressive" du morceau de bois ;

     Justification de la condition de stabilité : $\;\succ \;$ au contraire avec $\;{\dfrac {d{\mathcal {P}}_{m}}{d\omega }}(\omega )>0$, dans le cas où la rotation de la lame circulaire s'emballerait pour la raison que l'on appuie moins avec la lame sur le morceau de bois que l'on cherche à découper, correspondant à $\;\omega \nearrow$, la $\;\nearrow \;$ accidentelle ou voulue de $\;\omega \;$ entraînerait une $\;\searrow \;$ de $\;{\mathcal {P}}_{m}$, c'est-à-dire que la puissance mécanique utilisable, excédentaire du fait du relâchement sur le morceau de bois, continuerait de $\;\nearrow \;$ et serait de plus en plus excédentaire avec absence de nouvelle compensation et

     Justification de la condition de stabilité : $\;\succ \;$au contraire avec $\;{\dfrac {d{\mathcal {P}}_{m}}{d\omega }}(\omega )>0$, dans le cas où la rotation de la lame circulaire ralentirait pour la raison que l'on appuie plus avec la lame sur le morceau de bois que l'on cherche à découper correspondant à $\;\omega \searrow$, la $\;\searrow \;$ accidentelle ou voulue de $\;\omega \;$ entraînerait une $\;\searrow \;$ de $\;{\mathcal {P}}_{m}$, c'est-à-dire que la puissance mécanique utilisable, qui était en défaut du fait de l'appui plus intense, continuerait de $\;\searrow \;$ et serait de plus en plus déficitaire avec absence de nouvelle compensation et ceci jusqu'à l'arrêt du moteur dans l'hypothèse où l'intensité de l'appui sur le morceau de bois resterait la même.